用导数求切线方程及应用

知识回顾：
导数的几何意义：
函数f ( x)在x x0处的导数f ( x0 )就是:
'
曲线y f ( x)在点（ P x0 , f ( x0 ))处的切线PT的斜率。 即k f ( x0 ), 在点P处的切线方程为
'
y y0 f ( x0 )( x x0 )
四种常见的类型及解法．
2x y 4 0
的平行的抛物线
y x2
的切线方程是
评注：此题所给的曲线是抛物线，故也可利用
法加以
Baidu Nhomakorabea
解决，即设切线方程为
y 2x b
练习：若曲线C上一点P处的切线恰好平行于直 (2,8) 或 ( － 2, － 4) 线y=11x－1，则P点坐标为 ____________,
切线方程为_____________________
11x y 14 0或11x y 18 0
类型三：已知过曲线上一点，求切线方程 过曲线上一点的切线，该点未必是切点，故应先 设切点，再求切点，即用待定切点法．
3 y x 2 x 上的点 (1 ， 1) 的切线 • 例3 求过曲线 方程．
2 2
巩固练习：
1. y 3 x 4 x 2在点x 1处
2
2x y 1 0 的切线方程是：
2.在曲线y x 3x 6 x 10的切线中 斜率最小的切线方程是 3x y 9 0
3 2
3.曲线y ln x上的点到直线x y 3 0 的最短距离是
• 类型一：已知切点，求曲线的切线方程 • 此类题较为简单，只须求出曲线的导数，并代 入点斜式方程即可．
例1．已经曲线C： y x x 2 和点 A(1,2)。求曲线C在点A处的切线方程？
3
类型二：已知斜率，求曲线的切线方程 此类题可利用斜率求出切点，再用点斜式方程加以 解决． 例2 与直线
类型四：已知过曲线外一点，求切线方程 此类题可先设切点，再求切点，即用待定切点法 来求解．
0) 例4. 求过点 (2， 直线方程．
1 且与曲线 y x
相切的
练习 已知函数
，过点 y x 3x
3
A(0， 16) 作曲线
y f ( x的切线，求此切线方程． )
例6.已知曲线C : x 2 4 y, 直线l : x y 4 0, 在曲线C上 求一点P,使P到直线l的距离最短，并求出最小值。
x2 1 2 | x 4 | ( x 2) 3 2 x 4 (1)解析一：设P(x, );d = 4 4 2 2 3 2 当x 2时,即点P坐标为(2，1)时，dmin 2
2 x (2)解析二：设与直线l平行的直线l '与曲线C相切于P( x0 , 0 ) 4 x0 | 2 1 4 | 3 2 / 则y |x x0 1, x0 2 P(2,1); d min 2 2 2