高三数学《等差数列及其前n项和》知识点总结

高三数学《等差数列及其前n项和》知

识点总结

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m 一、等差数列的有关概念

．定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列．符号表示为an＋1－an＝d．

2．等差中项：数列a，A，b成等差数列的充要条件是A ＝/2，其中A叫做a，b的等差中项．

二、等差数列的有关公式

．通项公式：an＝a1＋d.

2．前n项和公式：Sn＝na1＋n/2d+d＝n/2.

三、等差数列的性质

．若m，n，p，q∈N*，且m＋n＝p＋q，{an}为等差数列，则am＋an＝ap＋aq.

2．在等差数列{an}中，ak，a2k，a3k，a4k，…仍为等差数列，公差为kd.

3．若{an}为等差数列，则Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，…仍为等差数列，公差为n2d.

4．等差数列的增减性：d>0时为递增数列，且当

a1<0时前n项和Sn有最小值．d<0时为递减数列，且当a1>0时前n项和Sn有最大值．

5．等差数列{an}的首项是a1，公差为d.若其前n项之和可以写成Sn＝An2＋Bn，则A＝d/2，B＝a1－d/2，当d≠0时它表示二次函数，数列{an}的前n项和Sn＝An2＋Bn是{an}成等差数列的充要条件．

四、解题方法

.与前n项和有关的三类问题

知三求二：已知a1、d、n、an、Sn中的任意三个，即可求得其余两个，这体现了方程思想．

Sn＝d/2*n2＋n＝An2＋Bn⇒d＝2A.

利用二次函数的图象确定Sn的最值时，最高点的纵坐标不一定是最大值，最低点的纵坐标不一定是最小值．2．设元与解题的技巧

已知三个或四个数组成等差数列的一类问题，要善于设元，若奇数个数成等差数列且和为定值时，可设为…，a－2d，a－d，a，a＋d，a＋2d，…；

若偶数个数成等差数列且和为定值时，可设为…，a－3d，a－d，a＋d，a＋3d，…，其余各项再依据等差数列的定义进行对称设元．

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