材料力学第7章 弯曲变形[精]

在上述条件下，如果梁受多个荷载同时作用，其任 一横截面的挠度和转角等于各荷载单独作用下同一截面 挠度和转角的叠加和，此为梁变形计算的叠加原理。
w 2 6 F lE b I x 3 b lx a 3l2 b 2x 14
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显然，最大转角可能发生在左、右两支座处的截面，其 值分别为
F a b l b
F a b l a
A 1 x 0 6 l E I , B 2 x l 6 l E I
22
8
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两次积 分得：
EIw1qx31qlx2C 64
EIw 1 qx41qlx3CxD 24 12
由简支梁的边界条件：
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(3) (4)
w 0， w 0
x0
xl
得积分常数
C 1 ql3，D0 24
9
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梁的转角方程
w q(4 x 3 6 lx 2 l3 ) 2 4 E I
F b w m axw 1xx193 lE I
l2b23
跨中挠度值 w Cw 1x2 l 4F 8E bI 3l24b2
可以证明，当集中载荷从简支梁跨中向梁端移动时， 最大挠度与跨中挠 度之比值不断增大。当b值趋于零时， 则比值wmax/wC1.0265，即最大挠度值与跨中挠度值最大 相差不超过2.65%。
解：梁的两支座支反力
Fb
wenku.baidu.comFa
FA l FB l
AC段（0 x a）:
弯矩方程：
M1x

Fbx l
挠曲线近
似微分方 程：
EIw1
Fbx l
积分一次：
EIw1
Fbx2 2l
C1
积分二次： EIw1F 6b l x3C1x1D 1 1
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CB段（a x l）:
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弯矩方程：
M 2xF lbxFxa
挠曲线近似微分方程：
EIw2F lbxFxa 积分一次： E Iw 2 F 2 b lx2F 2x a 2 C 2 积分二次： E Iw 2 F 6 l b x 3 F 6 x a 3 C 2 x D 2 12
Mx
w
EI

3
1w2 2
dd2xw2 MExI
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§7.3 积分法求梁的位移
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对于等截面直梁
Ew I M x
一次积分得转角方程
E I E w I M x d C x
二次积分得挠曲线方程
E Iw M xd x d x C x D
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例题7.2：图示弯曲刚度为EI的简支梁，受集度为q的均布 荷载作用，试求梁的挠曲线方程和转角方程，并确定其最 大挠度和最大转角。
解：由平衡方程得支座反力
FA

FB

ql 2
建立坐标系，得梁的弯矩方程为
M x1qlx1qx2 (1)
22
梁挠曲线近似微分方程
EIw 1qx21qlx 2
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由C点处的光滑连续条件：
w1 xa w2 xa w1 xa w2 xa
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C 1C 2 , D 1D 2 由梁的边界条件： w 1x00, w 2xl0
D 1 D 2 0 , C 1 C 2 F 6 l bl2 b 2
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材料力学
工程中，无论受到什么荷载作用，只要简支梁的挠
曲线上无拐点，其最大挠度均都可用梁跨中点处的挠度
代替，其精确度足可满足工程的计算要求。
16
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§7.4 叠加法求梁的变形
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梁在小变形条件下，其弯矩与荷载成线性关系，在 线弹性范围内，挠曲线的曲率与弯矩成正比，当挠度很 小时，曲率与挠度也成线性关系。
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第七章 弯曲变形
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§ 7.1 梁的弯曲变形
平面弯曲时，梁的轴线在纵向对称平面内弯曲成一条 平面曲线，这条曲线称为梁的挠曲线。横截面形心在 横向（沿y轴方向）的位移w称为挠度。
挠曲线方程或挠度方程：
wfx
梁的横截面与变形前横截面
的夹角 称为梁的转角。
当 a>b 时，B支座处截面的转角绝对值为最大
maxB=Fab 6lE lIa
简支梁的最大挠度应在dw/dx=0处，由 w1 0 得
x1
l2b2 3

aa2b
3
当 a>b 时，则有x1< a，由此可知最大挠度位于AC之间1。5
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最大挠度值
得梁AC段转角方程和挠曲线位移方程
1w 12F lE bI x21 3l2b2
w16F lb ExIx2l2b2
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得梁CB段转角方程和挠曲线位移方程
2 w 2 2 F lE b I x 2 b lx a 2 1 3l2 b 2
梁的挠曲线方程
w q x(x 3 2 lx2 l3 ) 2 4 E I
最大转角 最大挠度
max
AB
ql3
24EI
5ql4
wmax
wx2l
384EI
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(5 ) (6 )
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例题7.3：图示弯曲刚度为EI的简支梁，在C点受集中力F 作用，试求梁的挠曲线方程和转角方程，并确定其最大挠 度和最大转角。
tandwfx
dx
小变形梁可近似为
wfx 转角方程 2
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7.2 梁的挠曲线近似微分方程
由纯弯曲梁的曲率与弯矩的关系：
1M
EI
1
x

M x
EI
曲线曲率 计算公式
1
w
x

3
1w2 2
由曲率-弯矩 的符号关系：
小变形梁的近 似微分方程：
C、D积分常数，由梁上已知的挠度或转角确定，这些
已知的挠度或转角称为边界条件。
4
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以图示简支梁为例
x0, wA w00 xl, wB wl0
以图示悬臂梁为例
x0, wA w00 A w00
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