材料力学第7章 弯曲变形[精]
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材料力学：第七章 弯曲变形
刚度设计依据
(1) 挠度w大小取决于M, E, I三个参数 应该取较小的M, 较大的E, I
(2) 弯矩M大小取决于载荷\约束分布及梁跨度大小
(3) 截面惯性矩I 大小和截面形状有关,
弹性模量E大小和材料有关
Iz =
y2dA,
A
当A大小一定时, y越大, I 越大
梁的合理刚度设计
选择I 较大的薄壁横截面形状
1 度静不定 选 FBy 为多余力, 去约 束, 写出位移边界条件
－变形协调条件 －物理方程
利用边界条件 解出未知力
列平衡方程,求其他约束力:
－补充方程
分析方法与步骤：
判断梁的静不定度
用多余力代替多余约
束的作用，得相当系统
相当系统
相当系统有多种选择:
计算相当系统在多余约
束处的位移，并根据变形 协调条件建立补充方程。
例题
解：
()
()
例题
例题
解：
()
()
()
例题
图示组合梁，EI=常数，求 wB 与qA
例题
解：
P378, 情况8
()
P377, 情况1,2
()
例题
图示刚架，求截面 C 的铅垂位移
例题
解：
位移w1包括AB弯曲 和AB扭转两部分
例题
矩形截面梁, 自由端承受集中载荷F作用, 该载荷与对 称轴y的夹角为θ, 用叠加法计算自由端求自由端截面形心C
的位移d
解：
例题
一般情况下
挠曲轴与外力作用面一般不重合
§6 简单静不定梁
静不定度与多余约束 简单静不定梁分析方法
静不定度与多余约束
静不定度 4-3= 1
(1) 挠度w大小取决于M, E, I三个参数 应该取较小的M, 较大的E, I
(2) 弯矩M大小取决于载荷\约束分布及梁跨度大小
(3) 截面惯性矩I 大小和截面形状有关,
弹性模量E大小和材料有关
Iz =
y2dA,
A
当A大小一定时, y越大, I 越大
梁的合理刚度设计
选择I 较大的薄壁横截面形状
1 度静不定 选 FBy 为多余力, 去约 束, 写出位移边界条件
－变形协调条件 －物理方程
利用边界条件 解出未知力
列平衡方程,求其他约束力:
－补充方程
分析方法与步骤：
判断梁的静不定度
用多余力代替多余约
束的作用，得相当系统
相当系统
相当系统有多种选择:
计算相当系统在多余约
束处的位移，并根据变形 协调条件建立补充方程。
例题
解：
()
()
例题
例题
解：
()
()
()
例题
图示组合梁，EI=常数，求 wB 与qA
例题
解：
P378, 情况8
()
P377, 情况1,2
()
例题
图示刚架，求截面 C 的铅垂位移
例题
解：
位移w1包括AB弯曲 和AB扭转两部分
例题
矩形截面梁, 自由端承受集中载荷F作用, 该载荷与对 称轴y的夹角为θ, 用叠加法计算自由端求自由端截面形心C
的位移d
解：
例题
一般情况下
挠曲轴与外力作用面一般不重合
§6 简单静不定梁
静不定度与多余约束 简单静不定梁分析方法
静不定度与多余约束
静不定度 4-3= 1
材料力学 第7章 弯曲变形
M
Fx 挠曲轴近似微分方程： w ' ' EI 3 2 Fx Fx w Cx D w' ( x) C 6 EI 2EI
梁的弯矩方程： M ( x ) Fx
2、确定积分常数
FAy
A x
F L
B
X=0, w=0 X=L, w=0
M
Me L C＝－ ，D＝0 6 EI
3、挠度方程、转角方程及B截面的转角
FAy
x
F L
B
M
3、挠度方程、转角方程及B截面的转角
Fx w' (x) 2EI 3 Fx w 6 EI
2
将 x=L 代入转角方程：
FL2 B 2 EI
例2：简支梁AB，弯曲刚 度 EI为常数，受力偶 M=FL作用，求w(x)，
FAy
A x
F L
B
θ(x)；
解：1、 建立挠曲轴微分方程并积分 A端约束反力 FAy=F
FA A a l
x
F D b
FB
B x
Fb 解：坐标系如图，求出反力。 FA l 分AD、DB两段分析：
y
Fa FB l
b AD段： 0 x a M x F x l b M x F x 则： EIw1 l
积分可得：
b M x F x EIw1 l
= 0
自由端：无位移边界条件。 位移连续与光滑条件 挠曲轴在B点连续且光滑 连续：wB左= wB右 光滑：左 = 右
F A B D
写出梁的挠曲轴方程的边界条件和连续条件。 例：
F A B C E D
思考： 1、 该梁可分几段积分？ 2、 各边界和内部分界点有多少位移边界与连续条件？ 分4段。 位移边界条件：A端：2个； C端：1个；D端：无。 位移连续条件：E：2个；B：1个；C：2个
材料力学-第7章 弯曲变形
引言
梁弯曲问题的近似和简化
q( x)
M0
ML
Q0
QL
弯曲问题中，不考虑轴向拉伸。因此，梁内力只有弯矩和剪力 下面，我们分别考虑弯矩和剪力引起的弯曲变形效果
材料力学－第7章 弯曲变形
挠度曲线 垂直于轴线的横截面弯曲后仍为平面，仍 垂直于轴线，只是相互间转动一个角度
M
弯矩引起的弯曲变形
M
剪力引起的弯曲变形
例题
2
已知：简支梁受力如 图所示。FP、EI、l均为已 知。 求：加力点B的挠度和 支承A、C处的转角。
材料力学－第7章 弯曲变形
§7- 3 计算梁位移的积分法
解：1． 确定梁约束力 首先，应用静力学方法求得 梁在支承A、C二处的约束力分别 如图中所示。 解：2． 分段建立梁的弯矩方程 因为B处作用有集中力FP，所以需要分为AB和BC两段 建立弯矩方程。 在图示坐标系中，为确定梁在0～l/4范围内各截面上的 弯矩，只需要考虑左端A处的约束力3FP/4；而确定梁在l/4～ l范围内各截面上的弯矩，则需要考虑左端A处的约束力 3FP/4和荷载FP。
Q
垂直于轴线的横截面弯曲后不垂直于轴线
Q
材料力学中一般考虑细长梁，顾而可以忽略剪力引起的变形，只 考虑弯矩引起的变形。因为所有横截面始终与轴线垂直，所以，梁的 弯曲变形可以仅用轴线来表征。空间的梁简化成一轴线。
材料力学－第7章 弯曲变形
挠度曲线
问题1： 如何表征梁的弯曲变形
－用什么物理量来描述梁的变形
( x)
w
x
x
( x)
w( x)
材料力学－第7章 弯曲变形
挠度曲线
* 弯曲变形的表征
梁在弯曲变形后，横截面的位置将发生改变，这种位置 的改变称为位移 (displacement) 。梁的位移包括三部分：
梁弯曲问题的近似和简化
q( x)
M0
ML
Q0
QL
弯曲问题中，不考虑轴向拉伸。因此，梁内力只有弯矩和剪力 下面，我们分别考虑弯矩和剪力引起的弯曲变形效果
材料力学－第7章 弯曲变形
挠度曲线 垂直于轴线的横截面弯曲后仍为平面，仍 垂直于轴线，只是相互间转动一个角度
M
弯矩引起的弯曲变形
M
剪力引起的弯曲变形
例题
2
已知：简支梁受力如 图所示。FP、EI、l均为已 知。 求：加力点B的挠度和 支承A、C处的转角。
材料力学－第7章 弯曲变形
§7- 3 计算梁位移的积分法
解：1． 确定梁约束力 首先，应用静力学方法求得 梁在支承A、C二处的约束力分别 如图中所示。 解：2． 分段建立梁的弯矩方程 因为B处作用有集中力FP，所以需要分为AB和BC两段 建立弯矩方程。 在图示坐标系中，为确定梁在0～l/4范围内各截面上的 弯矩，只需要考虑左端A处的约束力3FP/4；而确定梁在l/4～ l范围内各截面上的弯矩，则需要考虑左端A处的约束力 3FP/4和荷载FP。
Q
垂直于轴线的横截面弯曲后不垂直于轴线
Q
材料力学中一般考虑细长梁，顾而可以忽略剪力引起的变形，只 考虑弯矩引起的变形。因为所有横截面始终与轴线垂直，所以，梁的 弯曲变形可以仅用轴线来表征。空间的梁简化成一轴线。
材料力学－第7章 弯曲变形
挠度曲线
问题1： 如何表征梁的弯曲变形
－用什么物理量来描述梁的变形
( x)
w
x
x
( x)
w( x)
材料力学－第7章 弯曲变形
挠度曲线
* 弯曲变形的表征
梁在弯曲变形后，横截面的位置将发生改变，这种位置 的改变称为位移 (displacement) 。梁的位移包括三部分：
梁的弯曲变形
第7章-梁的弯曲变形(总32页)--本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可----内页可以根据需求调整合适字体及大小--第7章 梁的弯曲变形与刚度梁弯曲变形的基本概念7.1.1 挠度在线弹性小变形条件下，梁在横力作用时将产生平面弯曲，则梁轴线由原来的直线变为纵向对称面内的一条平面曲线，很明显，该曲线是连续的光滑的曲线，这条曲线称为梁的挠曲线（图7-2）。
梁轴线上某点在梁变形后沿竖直方向的位移（横向位移）称为该点的挠度。
在小变形情况下，梁轴线上各点在梁变形后沿轴线方向的位移（水平位移）可以证明是横向位移的高阶小量，因而可以忽略不计。
挠曲线的曲线方程：)(x w w = （7-1）称为挠曲线方程或挠度函数。
实际上就是轴线上各点的挠度，一般情况下规定：挠度沿y 轴的正向（向上）为正，沿y 轴的负向（向下）为负（图7-4）。
必须注意，梁的坐标系的选取可以是任意的，即坐标原点可以放在梁轴线的任意地方，另外，由于梁的挠度函数往往在梁中是分段函数，因此，梁的坐标系可采用整体坐标也可采用局部坐标。
7.1.2 转角梁变形后其横截面在纵向对称面内相对于原有位置转动的角度称为转角（图7-3）。
转角随梁轴线变化的函数：)(x θθ= （7-2）称为转角方程或转角函数。
图7-3 梁的转角)(x 图7-2梁的挠曲线由图7-3可以看出，转角实质上就是挠曲线的切线与梁的轴线坐标轴x 的正方向之间的夹角。
所以有：xx w d )(d tan =θ,由于梁的变形是小变形，则梁的挠度和转角都很小，所以θ和θtan 是同阶小量，即：θθtan ≈，于是有：xx w x d )(d )(=θ （7-3） 即转角函数等于挠度函数对x 的一阶导数。
一般情况下规定：转角逆时针转动时为正，而顺时针转动时为负（图7-4）。
需要注意，转角函数和挠度函数必须在相同的坐标系下描述，由式（7-3）可知，如果挠度函数在梁中是分段函数，则转角函数亦是分段数目相同的分段函数。
第七章 弯曲变形
材料力学
弯曲变形/挠曲线的近似微分方程
二、挠曲线的近似微分方程
1 M ( x) 力学公式 ( x) EI z d2y 1 dx2 数学公式 3 ( x) dy 2 2 [1 ( ) ] dx 1
，得：
以上两式消去
材料力学
d2y M ( x) dx2 3 EI z dy 2 2 [1 ( ) ] dx
材料力学
x 0, y A 0
x a时，C左 C右 x a时，yC左 yC右
x L, yB lBD
FBy h EA
FBy k
弯曲变形/用积分法求梁的变形
讨论：
（1）凡载荷有突变处（包括中间支座），应作为分段点；
（2）凡截面有变化处，或材料有变化处，应作为分段点； （3）中间铰视为两个梁段间的联系，此种联系体现为两 部分之间的相互作用力，故应作为分段点；
B L x
A
x L时，yB 0.
材料力学
弯曲变形/用积分法求梁的变形 若B支座改为弹簧支撑，则： y A a
L
若B支座改为拉杆支撑，则： D B kx A a
L
F
C
b
F C b
EA
h
x 0, y A 0
B
x a时，C左 C右 x a时，yC左 yC右
x L, y B
弯曲变形/用积分法求梁的变形 AC段 (0 x a) BC段 (a x L) Fb 2 Fb 2 F EI y1 EI 1 x C1 , EI y2 EI 2 x ( x a ) 2 C2 , 2L 2L 2 Fb 3 Fb 3 F EIy 1 x C1 x D1 , EIy 2 x ( x a ) 3 C2 x D2 , 6L 6L 6 3、确定常数 由边界条件：
工程力学弯曲变形(H)详解
第七章 弯曲变形
二、弯曲变形的基本概念
(x)
A x l F
x
l
v( x)
B
描述截面上任一点的位移: 1、形心轴的线位移 —— 挠度 v 2、截面绕形心轴的角位移 ——转角
第七章 弯曲变形
二、弯曲变形的基本概念
(x)
A x l
x
l
v( x)
B
F
F 变弯的形心轴 —— 挠曲线 F 挠度随坐标变化的方程 —— 挠曲线方程
正负号确定——确定坐标系:
v
x
x
M 0, v 0
第七章 弯曲变形
M 0, v 0
§7-3
用积分法求弯曲变形
EIv M ( x )
EIv M ( x) dx C
EIv M ( x)dxdx Cx D
F C、D为积分常数，它由位移边界与连续条件确定。
弯曲变形
解：
ql q 2 M ( x) x x 2 2 ql q 2 EIv x x 2 2
y
q
B
x l x
A ql 2 q 3 EIv x x C 4 6 ql 3 q 4 EIv x x Cx D 12 24
由边界条件：
x 0时，v 0 x l 时，v 0
第七章 弯曲变形
ql 3 B 24 EI
5ql 4 384 EI
x
l 2
例3：已知梁的抗弯刚度为EI。试求图示悬臂梁在集中力 P 作用下的转角方程、挠曲线方程，并确定max 和 vmax。 解： M ( x) P(l x)
y
A
P
x
B
EIv P(l x)
二、弯曲变形的基本概念
(x)
A x l F
x
l
v( x)
B
描述截面上任一点的位移: 1、形心轴的线位移 —— 挠度 v 2、截面绕形心轴的角位移 ——转角
第七章 弯曲变形
二、弯曲变形的基本概念
(x)
A x l
x
l
v( x)
B
F
F 变弯的形心轴 —— 挠曲线 F 挠度随坐标变化的方程 —— 挠曲线方程
正负号确定——确定坐标系:
v
x
x
M 0, v 0
第七章 弯曲变形
M 0, v 0
§7-3
用积分法求弯曲变形
EIv M ( x )
EIv M ( x) dx C
EIv M ( x)dxdx Cx D
F C、D为积分常数，它由位移边界与连续条件确定。
弯曲变形
解：
ql q 2 M ( x) x x 2 2 ql q 2 EIv x x 2 2
y
q
B
x l x
A ql 2 q 3 EIv x x C 4 6 ql 3 q 4 EIv x x Cx D 12 24
由边界条件：
x 0时，v 0 x l 时，v 0
第七章 弯曲变形
ql 3 B 24 EI
5ql 4 384 EI
x
l 2
例3：已知梁的抗弯刚度为EI。试求图示悬臂梁在集中力 P 作用下的转角方程、挠曲线方程，并确定max 和 vmax。 解： M ( x) P(l x)
y
A
P
x
B
EIv P(l x)
梁弯曲变形的计算
yC 2
A MA FA A F C
(a)
Fl 3 24 EI Z
B FB B FB
求得有无顶尖作用时，在刀 尖处变形比为：
yC 7 yC 2 32
结论：可见用顶尖可有效地 减小工件的变形，因而，在 细长轴加工中要设置顶尖， 甚至使用跟刀架。
材料力学
+ A C F B
(b)
F MA A 2a (a)
2
x
d y 2 dx
d y M ( x) 所以 2 dx EI z
2
O
1
2
M (x ) < 0
dy dx 2 < 0
2
x
材料力学
由弯矩的正负号规定可得，弯矩的符号与挠曲 线的二阶导数符号一致，所以挠曲线的近似微分方 程为：
d w M ( x) 2 dx EI z
由上式进行积分，就可以求出梁横截面的转角 和挠度。
1 M ρ EI z
忽略剪力对变形的影响
1 M ( x) ( x) EI z
材料力学
由数学知识可知：
d y 2 1 dx dy 2 3 [1 ( ) ] dx 略去高阶小量，得
2
y M (x ) > 0 M (x ) > 0
dy dx 2 > 0 O
y M (x ) < 0
3
11ql 3 ( ) 48EI
材料力学
wC
例4 已知：悬臂梁受力如图 示，q、l、EI均为已知。求C 截面的挠度wC和转角C 解 1）首先，将梁上的载荷变成 有表可查的情形
为了利用梁全长承受均 布载荷的已知结果，先将均 布载荷延长至梁的全长，为 了不改变原来载荷作用的效 果，在AB 段还需再加上集 度相同、方向相反的均布载 荷。
材料力学教程-7.弯曲变形
数据处理
根据需要，对数据进行计算、 绘图等处理，以便更好地理解 和分析实验结果。
结果分析
结合实验数据和理论分析，评 估材料的弯曲性能，并探讨影 响材料弯曲性能的因素。
结论总结
总结实验结果，得出结论，并 提出改进和优化材料弯曲性能
的建议。
04
弯曲变形的工程应用实例
桥梁的弯曲变形分析
总结词
桥梁的弯曲变形分析是确保桥梁安全的重要环节，通过分析桥梁在不同载荷下的弯曲变形程度，可以评估桥梁的 承载能力和安全性。
转角
梁在弯曲变形后，其横截 面绕其中性轴旋转的角度 称为转角。转角是衡量梁 横截面旋转程度的量。
弯曲变形的物理关系
弯矩
由于外力作用在梁上，使梁产生弯曲变形的力矩 称为弯矩。弯矩是引起梁弯曲变形的力。
剪力
在梁弯曲变形过程中，垂直于轴线的横向剪切力 称为剪力。剪力使梁产生剪切变形。
扭矩
当外力作用在梁的某一侧时，会使梁产生扭转变 形，这种使梁产生扭转变形的力矩称为扭矩。
详细描述
高层建筑由于其高度和规模，对风载和地震等外部载荷非常敏感。因此，在高层建筑设 计阶段，需要进行详细的弯曲变形分析。这包括对建筑物的整体结构和各个楼层在不同 载荷下的弯曲变形进行模拟和分析，以确保建筑物在各种外部载荷下的安全性和稳定性。
机械零件的弯曲变形分析
要点一
总结词
机械零件的弯曲变形分析是确保机械系统正常运行的关键 环节。通过对机械零件在不同工作载荷下的弯曲变形进行 分析，可以优化零件的设计和加工工艺，提高其工作性能 和寿命。
通过实例分析和习题练习，学生可以加深对弯曲 变形的理解，提高解决实际问题的能力。
弯曲变形的未来研究方向
弯曲变形的非线性行为
根据需要，对数据进行计算、 绘图等处理，以便更好地理解 和分析实验结果。
结果分析
结合实验数据和理论分析，评 估材料的弯曲性能，并探讨影 响材料弯曲性能的因素。
结论总结
总结实验结果，得出结论，并 提出改进和优化材料弯曲性能
的建议。
04
弯曲变形的工程应用实例
桥梁的弯曲变形分析
总结词
桥梁的弯曲变形分析是确保桥梁安全的重要环节，通过分析桥梁在不同载荷下的弯曲变形程度，可以评估桥梁的 承载能力和安全性。
转角
梁在弯曲变形后，其横截 面绕其中性轴旋转的角度 称为转角。转角是衡量梁 横截面旋转程度的量。
弯曲变形的物理关系
弯矩
由于外力作用在梁上，使梁产生弯曲变形的力矩 称为弯矩。弯矩是引起梁弯曲变形的力。
剪力
在梁弯曲变形过程中，垂直于轴线的横向剪切力 称为剪力。剪力使梁产生剪切变形。
扭矩
当外力作用在梁的某一侧时，会使梁产生扭转变 形，这种使梁产生扭转变形的力矩称为扭矩。
详细描述
高层建筑由于其高度和规模，对风载和地震等外部载荷非常敏感。因此，在高层建筑设 计阶段，需要进行详细的弯曲变形分析。这包括对建筑物的整体结构和各个楼层在不同 载荷下的弯曲变形进行模拟和分析，以确保建筑物在各种外部载荷下的安全性和稳定性。
机械零件的弯曲变形分析
要点一
总结词
机械零件的弯曲变形分析是确保机械系统正常运行的关键 环节。通过对机械零件在不同工作载荷下的弯曲变形进行 分析，可以优化零件的设计和加工工艺，提高其工作性能 和寿命。
通过实例分析和习题练习，学生可以加深对弯曲 变形的理解，提高解决实际问题的能力。
弯曲变形的未来研究方向
弯曲变形的非线性行为
材料力学 第七章 弯曲变形
，
FA
3FP 4
(↑)
3FP
FP
FC
FP 4
(↑)
4
4
明德行远 交通天下
材料力学
（2）分段列梁的弯矩方程
AB段：
M1(x)
3 4
FP x
0x l 4
3
l
BC段：
M 2 ( x)
4
FP x
-
FP (x
-
) 4
l xl 4
（3）积分法求梁的挠曲线
挠曲线近似微分方程
EI
d 2w1 dx2
=
-
M1(x)
-
wC- wC
P
A （b）
图（b）： wA 0 A 0
或写成w C
左
wC右
光滑条件
C- C
或写成 C 左 C 右
明德行远 交通天下
材料力学
讨论： ①适用于小变形、线弹性材料、细长构件的平面弯曲。 ②可求解各种载荷作用下等截面或变截面梁上任意位置处的位移。 ③积分常数由挠曲线变形的几何相容条件（边界条件、光滑连续条件）确定。 ④优点：使用范围广，直接求出较精确； 缺点：计算较繁。
（2）
EIzw=EIz = -
q(x)dx3
1 2
C1x2
C2
x
C3
（3）
明德行远 交通天下
材料力学
例题7-1如图所示，受集中荷载的简支梁AC。已知EI、l、FP。试写出梁的挠 度方程和转角方程，并求截面A和C处的转角及B截面处的挠度。
明德行远 交通天下
y
FP
A
B
θA wB
l 4
EI
3l 4
C
θC
第7章-弯曲变形
x2
-
F(x2
-
a)
( a x2 L )
Mechanics of Materials
a
Fb
A
C
B
Fb
x1
FAy L
( 2 ) AC段
{
x2
Fa FBy L
EIw1''
M1
Fb L
x1
EI w1'
Fb L
x12 2
C1
3
Fb x1 EIw 1 L 6 Mechanics of Materials
C1x1 D1
a
Fb
A
C
B
FAy
Fb L
CB 段
{
x1
x2
FBy
Fa L
EIw
'' 2
M2
Fb L
x2
-
F(x2
- a)
EI 2
Fb 2L
x2 2
-
F(x 2 2
a)2
C2
EIw
2
Fb 6L
x23
-
F(x 2 6
a)3
C2x2
D2
Mechanics of Materials
a
Fb
A
C
Fb FAy L
x1
x2
( 3 ) 挠曲线光滑连续条件
x1 x2 a 时， 1 2
w1 w2
B
Fa FBy L
Mechanics of Materials
a
Fb
A
C
B
FAy
Fb L
w1' w2'
x1
x2
材料力学第七章课后题答案 弯曲变形
EI
将其相继积分两次，得
q q d 2 w 3qa x x2 x a 4 2 2 dx 2
2
dw 3qa 2 q 3 q 3 x x xa C dx 8 6 6 qa 3 q 4 q 4 EIw x x x a Cx D 8 24 24 EI
3．确定积分常数
(4)
D1 0 ， C1
由条件（4） 、式（a）与（c） ，得
qa 3 12 EI
C2
由条件（3） 、式（b）与（d） ，得
qa 3 3EI
D2
7qa 4 24 EI
3. 计算截面 C 的挠度与转角 将所得积分常数值代入式（c）与（d） ，得 CB 段的转角与挠度方程分别为
q 3 qa 3 x2 6 EI 3EI 3 q qa 7 qa 4 4 w2 x2 x2 24 EI 3EI 24 EI 将 x2=0 代入上述二式，即得截面 C 的转角与挠度分别为
0
EI
将其相继积分两次，得
d2w M e x Me x a dx 2 2 a
0
dw M e 2 x Me x a C dx 4 a M M 2 EIw e x 3 e x a Cx D 12a 2 EI
3．确定积分常数 梁的位移边界条件为：
(a) (b)
(a) (b)
6
梁的位移边界条件为：
在x 0处， w0 在x 2a处， w0 将条件(c)与(d)分别代入式(b)，得
D 0，C 3qa 3 16
(c) (d)
4．建立挠曲轴方程 将所得 C 与 D 值代入式(b),得挠曲轴的通用方程为
1 qa 3 q 4 q [ x x xa EI 8 24 24 由此得 AC 段与 CB 段的挠曲轴方程分别为 w
材料力学第7章
积分一次： Fb 2 EIw1 x C1 2l 积分二次： Fb 3 EIw1 x C1 x D1 6l
11
CB段（a x l）: 弯矩方程：
Fb M 2 x x F x a l
挠曲线近似微分方程：
Fb EIw2 x F x a l Fb 2 F 2 x x a C2 积分一次： EIw2 2l 2
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ 1 x 0
Fab l b , B 2 6lEI
Fab l a B = 6lEI
Fl 3 Fl 3 Fl 3 2 EI 6 EI 3EI
7
wmax w x l
例题7.2：图示弯曲刚度为EI的简支梁，受集度为q的均布 荷载作用，试求梁的挠曲线方程和转角方程，并确定其最 大挠度和最大转角。 解：由平衡方程得支座反力 ql FA FB 2 建立坐标系，得梁的弯矩方程为 1 1 2 M x qlx qx 2 2 梁挠曲线近似微分方程
1 3 C ql ， D 0 24
9
梁的转角方程
q w (4 x3 6lx 2 l 3 ) 24 EI
梁的挠曲线方程
(5)
qx w ( x3 2lx 2 l 3 ) 24 EI
最大转角
(6)
max
ql 3 A B 24 EI
2
最大挠度
M ( x) F l x
1
挠曲线近似微分方程
EIw M x F l x 2 两次积分，得 1 2 EIw Flx Fx C 2 1 1 3 2 EIw Flx Fx Cx D 2 6
材料力学 第七章弯曲正应力(1,2)解析
M
1.平面假设： 梁各个横截面变形后仍保持为平面，并仍垂直于变形 后的轴线，横截面绕某一轴旋转了一个角度。 2.单向受力假设： 假设各纵向纤维之间互不挤压。于是各纵向纤维均 处于单向受拉或受压的状态。
中性层 梁在弯曲变形时，凹面部分纵向纤维缩短，凸面 部分纵向纤维伸长，必有一层纵向纤维既不伸长也不 缩短,保持原来的长度，这一纵向纤维层称为中性层. 中性轴
C截面
Fb/4 拉应力 压应力 B截面
20
y 20
拉应力
压应力
可见：压应力强度条件由B截面控制，拉应力强度 条件则B、C截面都要考虑。
Fb/2
40 180
120 C 形心 86 z 134
Fb/4 考虑截面B ：
t,max
c, max
M B y1 F / 2 2 103 mm134 mm 90 MPa 4 4 Iz 5493 10 mm F 73.8 kN
c
注：强度校核（选截面、荷载） （ 1） （ 2）
[ ]t [ ]c （等截面）只须校核Mmax处
[ ]t [ ]c （等截面）
(a)对称截面情况只须校核Mmax处使
maxt [ ]t , maxc [ ]c
(b)非对称截面情况，具体分析，一般要校核 M+max与 M-max两处。
查型钢表得56b号工字钢的Wz比较接近要求值
Wz 2447cm3 2447103 mm3
此时 max
M max 153MPa Wz
误差小于5%，可用
例4-17 跨长 l= 2m 的铸铁梁受力如图，已知铸铁 的许用拉应力[ t ]=30 MPa，许用压应力[ c ] =90 MPa。试根据截面最为合理的要求，确定T字形梁 横截面的尺寸d ，并校核梁的强度 。
材料力学 哈工大
C,D 为积分常数，由梁的位移约束条件确定 为积分常数，
第7章 弯曲 章
7-10 直接积分法求解梁的弯曲变形
确定积分常数的条件有两类： 确定积分常数的条件有两类： 边界条件和变形连续条件。 边界条件和变形连续条件。 边界条件： 边界条件：
y
2l 3 l
边界条件： 边界条件：
x
y
l
铰支座： 铰支座：
第7章 弯曲 章
7-7 剪力弯曲梁横截面的切应力
τ =?
FS
圆环截面
z
τ m ax
τ max
FS = 2.0 A
y
A为圆环截面面积 为圆环截面面积
第7章 弯曲 章
7-8 开口薄壁截面的杆的弯曲中心
第7章 弯曲 章
7-8 开口薄壁截面的杆的弯曲中心
第7章 弯曲 章
7-8 开口薄壁截面的杆的弯曲中心
边界条件： 边界条件：
x = 0, v = 0 (c ) x = l, v = 0 (d )
第7章 弯曲 章
7-10 直接积分法求解梁的弯曲变形
y
为常数。 例7-15：求简支梁挠曲线方程。EI为常数。 ：求简支梁挠曲线方程。 为常数
q
A
ql 2
B x
ql 2
x
v max
l
1 1 2 解： M ( x) = qlx − qx 2 23 q l 2 1 3 l θ= ( x − x − )
D1 = 0 由(3),(4)知： C1 = C 2 , D1 = D2 = 0 知 Fb 由(2)知： 知 C1 = C2 = − (求解梁的弯曲变形
y
D1 = 0 x1 C b x2 由(3),(4)知： C1 = C 2 , D1 = D2 = 0 知 a F F l Fb l l 由(2)知： 知 C1 = C2 = − (l 2 − b2 ) Fb 2 2 6l EIθ 1 = ( x1 − l + b 2 ) Fb 2 6l x1 = 0, θ 1 = θ A = − (l − b 2 ) bFx1 2 2 6 EIl EIv1 = ( x1 − l + b 2 ) Fab 2 6l x1 = a , vC = − (l − b 2 − a 2 ) bF 3l 6 EIl 2 2 2 EIθ 2 = [3 x2 − l + b − ( x2 − a ) 2 ] 6l b bF 3 2 l 位移包括线位移 线位移和 2 EIv2 = [ x2 − l + b − ( x2 − a ) 3 ] 位移包括线位移和角位移 6l b
第7章 弯曲 章
7-10 直接积分法求解梁的弯曲变形
确定积分常数的条件有两类： 确定积分常数的条件有两类： 边界条件和变形连续条件。 边界条件和变形连续条件。 边界条件： 边界条件：
y
2l 3 l
边界条件： 边界条件：
x
y
l
铰支座： 铰支座：
第7章 弯曲 章
7-7 剪力弯曲梁横截面的切应力
τ =?
FS
圆环截面
z
τ m ax
τ max
FS = 2.0 A
y
A为圆环截面面积 为圆环截面面积
第7章 弯曲 章
7-8 开口薄壁截面的杆的弯曲中心
第7章 弯曲 章
7-8 开口薄壁截面的杆的弯曲中心
第7章 弯曲 章
7-8 开口薄壁截面的杆的弯曲中心
边界条件： 边界条件：
x = 0, v = 0 (c ) x = l, v = 0 (d )
第7章 弯曲 章
7-10 直接积分法求解梁的弯曲变形
y
为常数。 例7-15：求简支梁挠曲线方程。EI为常数。 ：求简支梁挠曲线方程。 为常数
q
A
ql 2
B x
ql 2
x
v max
l
1 1 2 解： M ( x) = qlx − qx 2 23 q l 2 1 3 l θ= ( x − x − )
D1 = 0 由(3),(4)知： C1 = C 2 , D1 = D2 = 0 知 Fb 由(2)知： 知 C1 = C2 = − (求解梁的弯曲变形
y
D1 = 0 x1 C b x2 由(3),(4)知： C1 = C 2 , D1 = D2 = 0 知 a F F l Fb l l 由(2)知： 知 C1 = C2 = − (l 2 − b2 ) Fb 2 2 6l EIθ 1 = ( x1 − l + b 2 ) Fb 2 6l x1 = 0, θ 1 = θ A = − (l − b 2 ) bFx1 2 2 6 EIl EIv1 = ( x1 − l + b 2 ) Fab 2 6l x1 = a , vC = − (l − b 2 − a 2 ) bF 3l 6 EIl 2 2 2 EIθ 2 = [3 x2 − l + b − ( x2 − a ) 2 ] 6l b bF 3 2 l 位移包括线位移 线位移和 2 EIv2 = [ x2 − l + b − ( x2 − a ) 3 ] 位移包括线位移和角位移 6l b
梁弯曲变形的计算
材料力学
3） 应用叠加法，将简单载荷 作用时的结果求和
5ql 4 ql 4 ql 4 wC wCi 384 EI 48EI 16 EI i 1
3
wC1
11ql 4 ( ) 384 EI
wC2 wC3
ql 3 ql 3 ql 3 B Bi 24 EI 16 EI 3EI i 1
材料力学
积分常数C、D 由梁的位移边界条件和光滑连续 条件确定。 光滑连续条件 位移边界条件
~
~
~
~
A
A
~ ~
~
~
~
~
~
~
~
A A
A
A
~
~
wA 0
wA 0
wA
－弹簧变形
wAL wAR
~
wAL wAR
A 0
AL AR
材料力学
~
A
~
~
A A AA
A
A
A AA
超静定次数：多余约束或多余支反力的数目。 相当系统：用多余约束力代替多余约束的静定系统。 2.求解方法： 解除多余约束，建立相当系统——比较变形，列变 形协调条件——由物理关系建立补充方程——利用 静力平衡条件求其他约束反力。
材料力学
材料力学
例5：试分析细长轴车削过程中顶尖的作用，已知：工件的抗弯刚度 为EIZ，切削力为F，且作用在零件的中间位置，零件长度为l。
2
x
d y 2 dx
d y M ( x) 所以 2 dx EI z
2
O
1
2
M (x ) < 0
dy dx 2 < 0
3） 应用叠加法，将简单载荷 作用时的结果求和
5ql 4 ql 4 ql 4 wC wCi 384 EI 48EI 16 EI i 1
3
wC1
11ql 4 ( ) 384 EI
wC2 wC3
ql 3 ql 3 ql 3 B Bi 24 EI 16 EI 3EI i 1
材料力学
积分常数C、D 由梁的位移边界条件和光滑连续 条件确定。 光滑连续条件 位移边界条件
~
~
~
~
A
A
~ ~
~
~
~
~
~
~
~
A A
A
A
~
~
wA 0
wA 0
wA
－弹簧变形
wAL wAR
~
wAL wAR
A 0
AL AR
材料力学
~
A
~
~
A A AA
A
A
A AA
超静定次数：多余约束或多余支反力的数目。 相当系统：用多余约束力代替多余约束的静定系统。 2.求解方法： 解除多余约束，建立相当系统——比较变形，列变 形协调条件——由物理关系建立补充方程——利用 静力平衡条件求其他约束反力。
材料力学
材料力学
例5：试分析细长轴车削过程中顶尖的作用，已知：工件的抗弯刚度 为EIZ，切削力为F，且作用在零件的中间位置，零件长度为l。
2
x
d y 2 dx
d y M ( x) 所以 2 dx EI z
2
O
1
2
M (x ) < 0
dy dx 2 < 0
材料力学第2版 课后习题答案 第7章 弯曲变形
解：查自重得：
q = 587.02 N / m
J = 15760cm4 Pl 3 5ql 4 f =− − 48EJ 384EJ −176 × 103 × 113 = 48 × 210 × 109 × 15760 × 10−8 × 4 −587.02 × 5 × 114 + 385 × 210 × 109 × 15760 × 10−8 × 4 = 0.0377 m = 3.77cm
(d) 解：
D A P P E
' yC = y E + θ B ia + y C
C B P
− P ( 2a ) − Pa 3 − Pa3 = − − 3EJ 3EJ 3EJ 3 −10 Pa = 3EJ
3
252
7-5 门式起重机横梁由4根36a工字钢组成如图所示， 梁的两端均可视为铰支， 钢的弹 性模量E=210Gpa。试计算当集中载荷P＝176 kN作用在跨中并考虑钢梁自重时，跨中截面 C的挠度yC。
x=l
∴y =−
'
∴D = 0
y=0
∴C =
− M 0l 6
M 0l 2 ⎛ x x 3 ⎞ ⎜ − ⎟ 6 EJ ⎝ l l 3 ⎠
M 0l 2 ⎛ 1 3 x 2 ⎞ ∴θ = y = − ⎜ − ⎟ 6 EJ ⎝ l l 3 ⎠
− M 0l 2 l ；此时挠度最大 f = 3 9 3EJ 2 ⎛ l ⎞ − M 0l 中点挠度 y ⎜ ⎟ = ⎝ 2 ⎠ 16 EJ − M 0l Ml θA = θB = 0 6 EJ 3EJ （b）解： 设中点为C点，则分析CB段
''
C2 = −
D2 = −
a4 24
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tandwfx
dx
小变形梁可近似为
wfx 转角方程 2
材料力学
7.2 梁的挠曲线近似微分方程
由纯弯曲梁的曲率与弯矩的关系：
1M
EI
1
x
M x
EI
曲线曲率 计算公式
1
w
x
3
1w2 2
由曲率-弯矩 的符号关系：
小变形梁的近 似微分方程：
C、D积分常数，由梁上已知的挠度或转角确定，这些
已知的挠度或转角称为边界条件。
4
材料力学
以图示简支梁为例
x0, wA w00 xl, wB wl0
以图示悬臂梁为例
x0, wA w00 A w00
出版社 科技分社 5
材料力学
出版社 科技分社
材料力学
出版社 科技分社
22
8
材料力学
两次积 分得：
EIw1qx31qlx2C 64
EIw 1 qx41qlx3CxD 24 12
由简支梁的边界条件：
出版社 科技分社
(3) (4)
w 0， w 0
x0
xl
得积分常数
C 1 ql3，D0 24
9
材料力学
梁的转角方程
w q(4 x 3 6 lx 2 l3 ) 2 4 E I
当 a>b 时，B支座处截面的转角绝对值为最大
maxB=Fab 6lE lIa
简支梁的最大挠度应在dw/dx=0处，由 w1 0 得
x1
l2b2 3
aa2b
3
当 a>b 时，则有x1< a，由此可知最大挠度位于AC之间1。5
材料力学
出版社 科技分社
最大挠度值
梁的挠曲线方程
w q x(x 3 2 lx2 l3 ) 2 4 E I
最大转角 最大挠度
max
AB
ql3
24EI
5ql4
wmax
wx2l
384EI
出版社 科技分社
(5 ) (6 )
10
材料力学
出版社 科技分社
例题7.3：图示弯曲刚度为EI的简支梁，在C点受集中力F 作用，试求梁的挠曲线方程和转角方程，并确定其最大挠 度和最大转角。
工程中，无论受到什么荷载作用，只要简支梁的挠
曲线上无拐点，其最大挠度均都可用梁跨中点处的挠度
代替，其精确度足可满足工程的计算要求。
16
材料力学
§7.4 叠加法求梁的变形
出版社 科技分社
梁在小变形条件下，其弯矩与荷载成线性关系，在 线弹性范围内，挠曲线的曲率与弯矩成正比，当挠度很 小时，曲率与挠度也成线性关系。
出版社 科技分社
弯矩方程：
M 2xF lbxFxa
挠曲线近似微分方程：
EIw2F lbxFxa 积分一次： E Iw 2 F 2 b lx2F 2x a 2 C 2 积分二次： E Iw 2 F 6 l b x 3 F 6 x a 3 C 2 x D 2 12
材料力学
出版社 科技分社
例题7.2：图示弯曲刚度为EI的简支梁，受集度为q的均布 荷载作用，试求梁的挠曲线方程和转角方程，并确定其最 大挠度和最大转角。
解：由平衡方程得支座反力
FA
FBBiblioteka ql 2建立坐标系，得梁的弯矩方程为
M x1qlx1qx2 (1)
22
梁挠曲线近似微分方程
EIw 1qx21qlx 2
w 2 6 F lE b I x 3 b lx a 3l2 b 2x 14
材料力学
出版社 科技分社
显然，最大转角可能发生在左、右两支座处的截面，其 值分别为
F a b l b
F a b l a
A 1 x 0 6 l E I , B 2 x l 6 l E I
Mx
w
EI
3
1w2 2
dd2xw2 MExI
出版社 科技分社 3
材料力学
§7.3 积分法求梁的位移
出版社 科技分社
对于等截面直梁
Ew I M x
一次积分得转角方程
E I E w I M x d C x
二次积分得挠曲线方程
E Iw M xd x d x C x D
材料力学
由C点处的光滑连续条件：
w1 xa w2 xa w1 xa w2 xa
出版社 科技分社
C 1C 2 , D 1D 2 由梁的边界条件： w 1x00, w 2xl0
D 1 D 2 0 , C 1 C 2 F 6 l bl2 b 2
13
材料力学
解：梁的两支座支反力
Fb
Fa
FA l FB l
AC段（0 x a）:
弯矩方程：
M1x
Fbx l
挠曲线近
似微分方 程：
EIw1
Fbx l
积分一次：
EIw1
Fbx2 2l
C1
积分二次： EIw1F 6b l x3C1x1D 1 1
材料力学
CB段（a x l）:
在上述条件下，如果梁受多个荷载同时作用，其任 一横截面的挠度和转角等于各荷载单独作用下同一截面 挠度和转角的叠加和，此为梁变形计算的叠加原理。
得梁AC段转角方程和挠曲线位移方程
1w 12F lE bI x21 3l2b2
w16F lb ExIx2l2b2
出版社 科技分社
得梁CB段转角方程和挠曲线位移方程
2 w 2 2 F lE b I x 2 b lx a 2 1 3l2 b 2
材料力学
第七章 弯曲变形
出版社 科技分社
材料力学
出版社 科技分社
§ 7.1 梁的弯曲变形
平面弯曲时，梁的轴线在纵向对称平面内弯曲成一条 平面曲线，这条曲线称为梁的挠曲线。横截面形心在 横向（沿y轴方向）的位移w称为挠度。
挠曲线方程或挠度方程：
wfx
梁的横截面与变形前横截面
的夹角 称为梁的转角。
F b w m axw 1xx193 lE I
l2b23
跨中挠度值 w Cw 1x2 l 4F 8E bI 3l24b2
可以证明，当集中载荷从简支梁跨中向梁端移动时， 最大挠度与跨中挠 度之比值不断增大。当b值趋于零时， 则比值wmax/wC1.0265，即最大挠度值与跨中挠度值最大 相差不超过2.65%。
dx
小变形梁可近似为
wfx 转角方程 2
材料力学
7.2 梁的挠曲线近似微分方程
由纯弯曲梁的曲率与弯矩的关系：
1M
EI
1
x
M x
EI
曲线曲率 计算公式
1
w
x
3
1w2 2
由曲率-弯矩 的符号关系：
小变形梁的近 似微分方程：
C、D积分常数，由梁上已知的挠度或转角确定，这些
已知的挠度或转角称为边界条件。
4
材料力学
以图示简支梁为例
x0, wA w00 xl, wB wl0
以图示悬臂梁为例
x0, wA w00 A w00
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材料力学
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材料力学
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22
8
材料力学
两次积 分得：
EIw1qx31qlx2C 64
EIw 1 qx41qlx3CxD 24 12
由简支梁的边界条件：
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(3) (4)
w 0， w 0
x0
xl
得积分常数
C 1 ql3，D0 24
9
材料力学
梁的转角方程
w q(4 x 3 6 lx 2 l3 ) 2 4 E I
当 a>b 时，B支座处截面的转角绝对值为最大
maxB=Fab 6lE lIa
简支梁的最大挠度应在dw/dx=0处，由 w1 0 得
x1
l2b2 3
aa2b
3
当 a>b 时，则有x1< a，由此可知最大挠度位于AC之间1。5
材料力学
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最大挠度值
梁的挠曲线方程
w q x(x 3 2 lx2 l3 ) 2 4 E I
最大转角 最大挠度
max
AB
ql3
24EI
5ql4
wmax
wx2l
384EI
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(5 ) (6 )
10
材料力学
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例题7.3：图示弯曲刚度为EI的简支梁，在C点受集中力F 作用，试求梁的挠曲线方程和转角方程，并确定其最大挠 度和最大转角。
工程中，无论受到什么荷载作用，只要简支梁的挠
曲线上无拐点，其最大挠度均都可用梁跨中点处的挠度
代替，其精确度足可满足工程的计算要求。
16
材料力学
§7.4 叠加法求梁的变形
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梁在小变形条件下，其弯矩与荷载成线性关系，在 线弹性范围内，挠曲线的曲率与弯矩成正比，当挠度很 小时，曲率与挠度也成线性关系。
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弯矩方程：
M 2xF lbxFxa
挠曲线近似微分方程：
EIw2F lbxFxa 积分一次： E Iw 2 F 2 b lx2F 2x a 2 C 2 积分二次： E Iw 2 F 6 l b x 3 F 6 x a 3 C 2 x D 2 12
材料力学
出版社 科技分社
例题7.2：图示弯曲刚度为EI的简支梁，受集度为q的均布 荷载作用，试求梁的挠曲线方程和转角方程，并确定其最 大挠度和最大转角。
解：由平衡方程得支座反力
FA
FBBiblioteka ql 2建立坐标系，得梁的弯矩方程为
M x1qlx1qx2 (1)
22
梁挠曲线近似微分方程
EIw 1qx21qlx 2
w 2 6 F lE b I x 3 b lx a 3l2 b 2x 14
材料力学
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显然，最大转角可能发生在左、右两支座处的截面，其 值分别为
F a b l b
F a b l a
A 1 x 0 6 l E I , B 2 x l 6 l E I
Mx
w
EI
3
1w2 2
dd2xw2 MExI
出版社 科技分社 3
材料力学
§7.3 积分法求梁的位移
出版社 科技分社
对于等截面直梁
Ew I M x
一次积分得转角方程
E I E w I M x d C x
二次积分得挠曲线方程
E Iw M xd x d x C x D
材料力学
由C点处的光滑连续条件：
w1 xa w2 xa w1 xa w2 xa
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C 1C 2 , D 1D 2 由梁的边界条件： w 1x00, w 2xl0
D 1 D 2 0 , C 1 C 2 F 6 l bl2 b 2
13
材料力学
解：梁的两支座支反力
Fb
Fa
FA l FB l
AC段（0 x a）:
弯矩方程：
M1x
Fbx l
挠曲线近
似微分方 程：
EIw1
Fbx l
积分一次：
EIw1
Fbx2 2l
C1
积分二次： EIw1F 6b l x3C1x1D 1 1
材料力学
CB段（a x l）:
在上述条件下，如果梁受多个荷载同时作用，其任 一横截面的挠度和转角等于各荷载单独作用下同一截面 挠度和转角的叠加和，此为梁变形计算的叠加原理。
得梁AC段转角方程和挠曲线位移方程
1w 12F lE bI x21 3l2b2
w16F lb ExIx2l2b2
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得梁CB段转角方程和挠曲线位移方程
2 w 2 2 F lE b I x 2 b lx a 2 1 3l2 b 2
材料力学
第七章 弯曲变形
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材料力学
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§ 7.1 梁的弯曲变形
平面弯曲时，梁的轴线在纵向对称平面内弯曲成一条 平面曲线，这条曲线称为梁的挠曲线。横截面形心在 横向（沿y轴方向）的位移w称为挠度。
挠曲线方程或挠度方程：
wfx
梁的横截面与变形前横截面
的夹角 称为梁的转角。
F b w m axw 1xx193 lE I
l2b23
跨中挠度值 w Cw 1x2 l 4F 8E bI 3l24b2
可以证明，当集中载荷从简支梁跨中向梁端移动时， 最大挠度与跨中挠 度之比值不断增大。当b值趋于零时， 则比值wmax/wC1.0265，即最大挠度值与跨中挠度值最大 相差不超过2.65%。