条件概率教学设计教学文案
《条件概率》教案
《条件概率》教案一、我们的目标定位:(1)理解条件概率的定义(2)掌握条件概率的计算方法(3)能解决条件概率相应一些的问题二、重点难点:【教学重点】:1.条件概率的计算方法。
2.条件概率的应用。
【教学难点】:条件概率的应用三、我们一起来研究(一)课题引入小游戏:摸球3个兵乓球,2个白色的,1个黄色的,现分别由三名同学无放回地抽取一个,摸到黄色的就中奖。
1、请问最后一名同学中奖的概率是否比第一位小?2、如果已经知道第一名同学没中奖,那么最后一名摸球同学的中奖的概率是多少?(二)新课探究1、条件概率的定义:一般的设A,B为两个事件,且P(A)>0,P(B|A)为在事件A发生的条件下,事件B发生的________.其中P(B|A)读作___________________P(A|B)的含义是什么?2、条件概率的性质:(1)有界性:______________________(2)可加性:______________________3、条件概率的计算合作探究:根据上面摸奖的例子,想一想怎样求条件概率?你能否得到求条件概率的公式?请合作解决(1)利用古典概型计算()P(B|A)=_________________ 关键:_____________________(2)利用公式计算()P(B|A)= _________________ 关键:_____________________4、概率P(B|A)与P(AB)的区别与联系(三)应用与探索【例1】在5道题中有3道理科题和2道文科题。
如果不放回地依次抽取2道题,求:(1)第1次抽到理科题的概率;(2)第1次和第2次都抽到理科题的概率;(3)在第1次抽到理科题的条件下,第2次抽到理科题的概率。
求解条件概率的一般步骤:【巩固练习1】(1)掷两颗骰子,求“已知第一颗为6点,则掷出点数之和不小于9”的概率(2)掷两颗骰子,求“已知掷出点数之和不小于9,则第一颗掷出6点”的概率【巩固练习2】甲乙两地都位于长江下游,根据一百多年的气象记录,知道甲乙两地一年中雨天所占的比例分别为20%和18%,两地同时下雨的比例为12%,问:(1)乙地为雨天时甲地也为雨天的概率是多少?(2)甲地为雨天时乙地也为雨天的概率是多少?【例2】大脑细胞中的NPTN基因变异会导致天才的出现,平度一中连年取得高考佳绩引起了科学家的注意,现从我校含有5名NPTN基因变异的20名同学中任意选择两位,其中一人经测定为NPTN基因变异,求此二人都是NPTN基因变异的概率一、基本知识上:二、思想方法上:1、课后第54页练习,习题A 组2、3、42.50件产品中有3件次品,不放回的抽取两次,每次抽取一件,已知第一次抽出的是次品,第二次抽出的也是次品的概率是( ) A.503 B.12256 C. 256 D. 4923.教室里有3名男同学和5名女同学,从中随机依次走出两名同学,如第一次走出的是一名女同学,则第二次走出的是一名男同学的概率为___________.第二次走出的仍是一名女同学的概率为_____________.4.一个家庭中有两个孩子,假定生男、生女是等可能的,已知这个家庭中有一个孩子是女孩,问这时另一个孩子是男孩的概率是__________.5.一张储蓄卡的密码共有6位数字,每位数字都可从0~9中任选一个,某人在银行自动提款机上取钱时,忘记了密码的最后一位数字,求(1)任意按最后一位数字,不超过2次就按对的概率;(2)如果他记得密码的最后一位是偶数,不超过2次就按对的概率。
4.1.1条件概率教学设计-2023-2024学年高二下学期数学人教B版(2019)选择性必修第二册
1. 教材:确保每位学生都有本节课所需的教材或学习资料,即2023-2024学年高二下学期数学人教B版(2019)选择性必修第二册。教师需提前检查教材的完整性,确保学生能够跟随教学进度。
2. 辅助材料:准备与教学内容相关的图片、图表、视频等多媒体资源。例如,可以准备一些关于条件概率的实例,如疾病与症状之间的关系、判断事件的独立性等,以帮助学生更好地理解概念。此外,还可以准备一些实际问题,让学生在课堂上进行讨论和解决。
5. 条件概率的应用:
条件概率在实际生活中有着广泛的应用,例如判断疾病的症状与疾病之间的关系、判断事件的独立性、求解概率的最大值等。通过条件概率的学习,学生可以更好地理解和解决实际问题。
七、教学反思与总结
今天讲授的是条件概率,这个概念对学生来说相对抽象,且与之前学习的概率知识有较大的区别。在教学过程中,我尝试采用了多种教学方法和策略,以提高学生的理解和应用能力。
8. 教学反思表:准备一份教学反思表,让学生在课后对自己的学习情况进行评估,以便教师了解学生的学习效果,调整教学方法和策略。
9. 作业布置:根据教学内容,布置相应的作业,让学生巩固所学知识。作业应包括习题和实际问题,以培养学生的应用能力。
10. 课后辅导:为那些在课堂上没有完全理解的学生提供课后辅导机会,可以安排课后答疑时间,或者建立线上辅导群,以便学生随时提出问题,教师及时解答。
3. 学生可能遇到的困难和挑战:在学习条件概率时,学生可能对全概率公式和贝叶斯公式的理解有困难,不知道如何正确运用这些公式。此外,学生可能对如何将实际问题转化为条件概率模型感到困惑,不知道如何从实际问题中提取关键信息。还有,学生在解决实际问题时,可能不知道如何判断事件的独立性,以及如何求解概率的最大值等。这些都是学生在学习本节课时可能遇到的困难和挑战。
高中数学教案_条件概率
高中数学教案_条件概率一、教学目标:1、了解条件概率的概念和公式。
2、掌握简单的条件概率计算方法。
二、教学重点:2、通过练习,能够熟练的进行条件概率的计算,能够应用条件概率计算实际问题。
1、掌握能够应用条件概率计算实际问题。
2、分析实际问题时要确定条件。
四、学法指导:通过练习辅助学习。
五、教学方法:1、课堂讲解法。
3、练习法。
六、教学过程:条件概率是指在已知事件B发生的情况下,事件A发生的概率,在记作P(A/B)。
它表示的是在B发生的条件下,A发生的可能性大小。
(1)乘法公式P(A∩B)=P(A/B)×P(B)其中,P(A∩B)表示A与B的交集的概率,P(A/B)表示B发生的条件下,A发生的概率,P(B)表示B发生的概率。
(2)全概率公式设S为样本空间,E1,E2,E3,………En为互不相交的有限个事件,且它们构成了一个完备事件组,即E1∪E2∪E3∪……En=S,且P(Ei)≠0(i=1,2,…n),则对于任一事件A,有P(A)=P(A/E1)P(E1)+P(A/E2)P(E2)+…+P(A/En)P(En)(3)贝叶斯公式例1:有五件产品,其中两件有缺陷。
从这五件产品中随机抽两件检验,已知第一次检验的产品没有缺陷,求第二次检验的产品也没有缺陷的概率。
解:设事件A为第一件产品无缺陷,事件B为第二件产品无缺陷,则所求概率为P(B/A)。
根据条件概率公式有由于第一次检验产品无缺陷,因此共有4种情况,即AB、AC、AD、AE。
而AB满足第二次检验产品无缺陷,因此P(A∩B)=1/4,P(A)=3/4,故P(B/A)=1/3。
例2:已知一种疾病患病率为0.01,一种检查疾病的方法的准确率是90%,若检查结果显示疾病有,求实际患病的概率。
由题可知,P(A)=0.01,P(B/A)=0.9,P(B/∁A)=0.01,P(∁A)=0.99,代入公式中可得P(B)=0.9×0.01+0.01×0.99=0.019七、作业:1、小球堆问题:有一堆共10个小球,其中有些白的,有些黑的,每次从中随机取出一个小球进行观察,观察后将小球放回原堆中,现已知连续两次取出的小球的颜色均相同,求第三次取出白色小球的概率。
条件概率 教案
条件概率教案教案标题:条件概率教学目标:1. 理解条件概率的概念及其在实际生活中的应用。
2. 掌握条件概率的计算方法。
3. 能够运用条件概率解决实际问题。
教学准备:1. PowerPoint演示文稿。
2. 板书工具及白板。
3. 学生练习题集。
教学过程:引入活动:1. 引导学生回顾概率的基本概念,并与实际生活中的例子联系起来。
2. 提出问题:当我们已知某个事件A已经发生时,另一个事件B发生的概率会受到影响吗?知识讲解:1. 解释条件概率的概念:条件概率是指在某个事件已经发生的前提下,另一个事件发生的概率。
2. 介绍条件概率的计算公式:P(B|A) = P(A∩B) / P(A),其中P(A∩B)表示事件A 和事件B同时发生的概率,P(A)表示事件A发生的概率。
3. 通过实际例子演示如何计算条件概率。
示例练习:1. 提供一些练习题,让学生通过计算条件概率来解决实际问题。
2. 引导学生思考如何应用条件概率解决实际生活中的问题,例如天气预报、医学诊断等。
讨论与总结:1. 引导学生讨论他们在解决练习题过程中的思路和方法。
2. 总结条件概率的重要性及其在实际生活中的应用。
3. 鼓励学生提出问题和疑惑,并进行解答和讨论。
作业布置:1. 布置一些练习题,要求学生运用条件概率解决问题。
2. 鼓励学生在日常生活中观察和思考条件概率的应用场景,并记录下来。
教学延伸:1. 鼓励学生进一步研究条件概率的相关知识,如贝叶斯定理等。
2. 推荐相关阅读材料或在线资源,以加深学生对条件概率的理解。
评估方式:1. 教师观察学生在课堂讨论和练习中的表现。
2. 学生提交的作业练习。
教学资源:1. PowerPoint演示文稿。
2. 板书内容的照片或复印件。
3. 学生练习题集。
教学反思:1. 教师应根据学生的理解情况和学习进度,适时调整教学内容和节奏。
2. 教师应鼓励学生积极参与讨论和思考,提高他们的问题解决能力和创造力。
(完整版)条件概率教学设计.docx
2.2.1 条件概率教学设计一. 教学目标(一)知识与技能:掌握条件概率的定义、判断、及求解方法。
(二)过程与方法:通过知识的探索让学生体会数学来源于生活,采用分析、归纳、总结为主的方法,以培养学生自学能力。
(三)情感态度与价值观:通过生活中的实例让学生体会数学知识的重要性,培养学生思维的灵活性和知识的迁移能力,让学生养成善于观察,分析总结的良好习惯。
二 . 教学重点、难点教学重点:条件概率的定义、公式的推导及计算;为了让学生能够区分一般概率和条件概率的区别,在教学时应特别注意条件概率的定义的引入;但能否解决问题,并解决学生知其然,不知其所以然的情况,还在于对公式的理解,所以本节课的重点是让学生理解公式的推导及应用。
教学难点:条件概率的判断与计算;在理解的基础上能运用自如才是教学的真正目的,所以在教学中选择适当的练习题让学生理解究竟什么是条件概率及条件概率该如何解决。
三 . 学情分析(一)学生已有知识基础或学习起点这是一节新授课,本班学生对数学科特别是概率内容的学习有很高的热情,本班学生具备较好的逻辑思维能力,并能够用已学的定理和概念解决一些常见问题,但分析问题的能力有待提高。
(二)学生已有生活经验和学习该内容的经验学生通过小学、初中的学习,具备了基本的逻辑思维能力,同时在以前的数学学习中学生已经经历了合作学习的过程,具有了一定的合作学习的经验,具备了一定的合作与交流的能力。
(三)学生的思维水平以及学习风格受以前传统教学方式的影响,学生的思维仍停留在就题论题上,还没有形成一套完整的思维体系去解决一类问题甚至没有形成一种解决问题的思维方法,因此思路不开阔,缺少发散思维和逻辑思维能力。
学习风格上还保留着被动接受的习惯,缺乏主动思考和探索的精神。
(四)学生学习该内容可能的困难在学习中,学生可能对对条件概率的判断和计算上会有些困难,但相比较计算上困难会更大一些,因为通过本节课的学习,我们掌握了两种解决条件概率的方法,分别是公式法和缩减基本事件空间的方法,能不能运用的好可能是学生在学习中遇到的困难。
4.1.1条件概率教学设计2023-2024学年高二下学期数学人教B版(2019)选择性必修第二册
教学设计课程基本信息课题4.1.1条件概率教学目标1. 结合古典概型,了解条件概率的概念。
2. 结合古典概型,能计算简单随机事件的条件概率。
3.了解条件概率的性质。
教学内容教学重点: 条件概率概念的理解 教学难点: 条件概率概念的理解教学过程一、情境与问题1. 金融界的人经常需要计算不同投资环境下获利的概率,因此金融投资公司在招聘新员工时,通常会考查应聘人员计算概率的能力.以下是某金融投资公司的一道笔试题,你会做吗?从生物学中我们知道,生男、生女的概率基本是相等的,都可以近似地认为是12.如果某个家庭中先后生了两个小孩:(1)求两个小孩中有男孩的概率为多少?(2)当已知较大的小孩是女孩的条件下,较小的小孩是男孩的概率为多少? (3)当已知两个小孩中有女孩的条件下,两个小孩中有男孩的概率为多少? 2.对于事件A 和事件B ,当它们互斥时,和事件A B 的概率()()()P A B P A P B =+;当它们不互斥时,有()()()()P A B P A P B P A B =+-;当它们相互独立时,积事件A B的概率()()()P AB P A P B =.当它们不独立时,如何计算()P A B 呢?二、尝试与发现 1.问题解答情境1中的问题:从生物学中我们知道,生男、生女的概率基本是相等的,都可以近似地认为是12.如果某个家庭中先后生了两个小孩: (1)求两个小孩中有男孩的概率为多少?(2)当已知较大的小孩是女孩的条件下,较小的小孩是男孩的概率为多少? (3)当已知两个小孩中有女孩的条件下,两个小孩中有男孩的概率为多少?解答:(古典概型)用(),g b 表示较大的小孩是女孩,较小的小孩是男孩,该试验的样本空间{}(,),(,),(,),(,)g b g g b g b b Ω=(1)记“两个小孩中有男孩” 为事件D ,{}(,),(,),(,)D g b b g b b =,故()3()()4n D P D n ==Ω. (2)记“较大的小孩是女孩” 为事件A ,记“较小的小孩是男孩” 为事件B ,{}(,),(,)A g b g g = “已知较大的小孩是女孩的条件下,求较小的小孩是男孩的概率”,相当于以A 为样本空间,看事件AB 发生的概率, {},AB g b =(),故所求概率为(AB)1(A)2n n =. (3)记“两个小孩中有女孩” 为事件C ,记“两个小孩中有男孩” 为事件D ,{}(,),(,),(,)C g b g g b g =“已知两个小孩中有女孩的条件下,求两个小孩中有男孩的概率”,相当于以C 为样本空间,看事件CD 发生的概率, {},,CD g b b g =(),(),故所求概率为()2()3n CD n C =. 指出为什么这里要看“事件AB 发生的概率”,“事件CD 发生的概率”,便于转化为在样本空间 Ω考虑问题. 2.思考探究“当已知两个小孩中有女孩的条件下,求两个小孩中有男孩的概率” 这样的概率称为条件概率,记事件“ 两个小孩中有男孩”为事件A ,“两个小孩中有女孩”为事件B ,即求已知事件B 发生的条件下事件A 发生的概率,记作(A )P B .一般地,怎样求(A )P B ?法1:在缩小的样本空间上计算事件的概率. 以B 为样本空间,看事件AB 发生的概率. 思考:能否利用(),(),()P A P B P AB (不一定全要用到)来求()P A B ?法2:情境问题1,{}(,),(,),(,),(,)g b g g b g b b Ω=,第(2)问中“较大的小孩是女孩且较小的小孩是男孩”的概率为14,“较大的小孩是女孩”的概率为2142=,所求“已知较大的小孩是女孩的条件下,较小的小孩是男孩”的概率为1114122p ==;第(3)问中“两个小孩中有女孩且有男孩”的概率12,“两个小孩中有女孩”的概率34,所求“当已知两个小孩中有女孩的条件下,两个小孩中有男孩“的概率为2122334p ==.归纳有:()()()()()()()()()n A B n A B P A B n P A B n B n B P B n Ω===Ω3.抽象概括 一般地,当事件B 发生的概率大于0时(即()0P B >),已知事件B 发生的条件下事件A 发生的概率,称为条件概率,记作(A )P B ,且()()()P A B P A B P B =.注:①谈到条件概率如(A )P B ,默认()0P B >②条件概率的概念和相关公式对一般随机事件的概率都适用,具有普遍意义. ③()P A B 与()P B A 的意义不一样,一般情况下,它们不相等,如图.Ω ABA BΩ④ ()1;()0P A P A Ω=∅=;()1P A A =; ⑤公式的变形()()()P AB P B P A B =⋅,及公式()()()P A B P B A P A =的变形()()()P A B P A P B A =⋅回答了情境2中的问题.三、理解与运用例1、掷红、蓝两个均匀的骰子,设A :蓝色骰子的点数为5或6;B :两骰子的点数之和大于7.求已知事件A 发生的条件下事件B 发生的概率()P B A .解:用数对(,)x y 来表示抛掷结果,其中x 表示红色骰子的点数,y 表示蓝色骰子的点数,则样本空间可记为{}(,),1,2,3,4,5,6x y x y Ω==,可用图2直观表示,共包含36个样本点.{}A (,)1,2,3,4,5,6,5,6x y x y ===,包含样本点共12个,则121(A)363P ==; {}B (,)7,1,2,3,4,5,6x y x y x y =+>=且{}(3,5),(4,5),(5,5),(6,5),(2,6),(3,6),(4,6),(5,6),(6,6)A B =, A B 包含样本点共9个, 则91()364P BA ==; 因此1()34()1()43P B A P B A P A ===. 答:3()4P B A =. 另法:()93()()124n B A P B A n A ===.小结:1.样本空间及图形表示 2.求条件概率的方法 *3.条件概率与独立性的关系上例中155()3612P B ==,1()34()1()43P B A P B A P A ===,()()P B A P B ≠,说明事件A 的发生影响了事件B 发生的概率。
条件概率 说课稿 教案 教学设计
条件概率
教学目标:通过对具体情景的分析,了解条件概率的定义。
掌握一些简单的条件概率的计算。
教学重点:条件概率定义的理解
教学难点:概率计算公式的应用
教学过程:
一、复习引入:
探究: 三张奖券中只有一张能中奖,现分别由三名同学无放回地抽取,问最后一名同学抽到中奖奖券的概率是否比前两名同学小.
思考:如果已经知道第一名同学没有抽到中奖奖券,那么最后一名同学抽到奖券的概率又是多少?
思考:对于上面的事件A和事件B,P ( B|A)与它们的概率有什么关系呢?
条件概率
1.定义一般地,,。
2.性质:
(1)非负性:。
(2)可列可加性:如果B,C是两个互斥事件,则
=+.
(|)(|)(|)
P B C A P B A P C A
例1.在5道题中有3道理题和2道文题.如果不放回地依次抽取2 道题,求:(l)第1次抽到理题的概率;
(2)第1次和第2次都抽到理题的概率;
(3)在第 1 次抽到理题的条件下,第2次抽到理题的概率.
例2.一张储蓄卡的密码共位数字,每位数字都可从0~9中任选一个.某人在银行自动提款机上取钱时,忘记了密码的最后一位数字,求:
(1)任意按最后一位数字,不超过 2次就按对的概率;
(2)如果他记得密码的最后一位是偶数,不超过2次就按对的概率.。
教学设计2 : 2.2.1 条件概率
条件概率一、教学目标 (一)知识目标在具体情境中,了解条件概率的概念,掌握条件概率的计算公式,并能运用条件概率公式解决有关的简单概率问题.(二)情感目标创设教学情境,培养学生学习数学的良好思维习惯和兴趣,加深学生对从特殊到一般的思想认知规律的认识,树立学生善于创新的思维品质.(三)能力目标在知识的教学过程中,培养学生从特殊到一般的探索归纳能力及运算能力和应用新知的能力,渗透归纳、转化的数学思想方法.二、教学重点条件概率的概念,条件概率公式的简单应用. 三、教学难点正确理解条件概率公式,并能灵活运用条件概率公式解决简单实际问题. 四、教学过程 (一)引入课题[教师] 问题1:掷一个骰子,求掷出的点数为3的概率. [学生] (回答)61[教师] (引导学生一起分析)本次试验的全集Ω={1,2,3,4,5,6},设B ={掷出点数为3},则B 的基本事件数为1. 61)(=中的元素数中的元素数Ω=∴B B P[教师] 问题2:掷一个骰子,已知掷出了奇数,求这个奇数是3的概率. [学生] (回答)31 [教师] (引导学生一起分析)已知掷出了奇数后,试验的可能结果只有3个,它们是1,3,5. 本次试验的全集改变为A ={1,3,5},这时相对于问题1,试验的条件已经改变. 设B ={掷出的点数为3},则B ={3},这时全集A 所含基本事件数为3,B 所含基本事件数为1,则P (已知掷出奇数的条件下,掷出3)=31A =中的元素数中的元素数B .[教师] (针对问题2再次设问)问题2与问题1都是求掷出奇数3的概率,为什么结果不一样?[学生] 这两个问题的提法是不一样的,问题1是在原有条件(即掷出点数1,2,3,4,5,6的一切可能情形)下求得的;而问题2是一种新的提法,即在原有条件下还另外增加了一个附加条件(已知掷出点数为奇数)下求得的,显然这种带附加条件的概率不同于P(A)也不同P(A ∩B).[教师] (归纳小结,引出条件概率的概念)问题2虽然也是讨论事件B (掷出点数3)的概率,但是却以已知事件A (掷出奇数为前提的,这样的概率称为A 发生条件下的事件B 发生的条件概率.(板书课题——条件概率) (二)传授新知 1.形成概念[教师] 在引入课题的基础上引出下列概念:(多媒体演示)设A 、B 是事件,用P(B|A)表示已知A 发生的条件下B 发生的条件概率,简称为条件概率.2.归纳公式引例1:某校高中三个年段各派一名男生和一名女生参加市里的中学生运动会,每人参加一个不同的项目,已知一名女生获得冠军,求高一的女生获得冠军的概率.[学生] (口答)设A ={只有一名女生获得冠军},B ={高一女生获得冠军} 依题意知 已知A 发生的条件下,A 成为试验的全集,B 是A 的子集,A 所含元素数为3,B 所含元素数为1,则31A )|(=中元素数中元素数B A B P =[教师] (问)P(A)为多少?P(A ∩B)为多少?P(A),P(A ∩B),P(B|A)之间有何关系? [学生] (口答)61)(,2163)(===B A P A P )()()|(A P B A P A B P =∴[教师] 这个式子的含义是明确的. 由此,便将P(B|A)表示成P(A ∩B)与P(A)之比,这为我们在原样本空间Ω下完成条件概率P(B|A)的计算提供了方便. 那么是否其它情况下条件概率仍有上述的计算公式呢?我们再看一个例子:引例2:在一副扑克的52张(去掉两张王牌后)中任取1张,已知抽到草花的条件下,求抽到的是草花5的概率.[学生] (口答)设A ={抽到草花},B ={抽到草花5},依题意知 已知A 发生的条件下A 成为试验的全集,A 中的元素发生的可能性相同,B 是A 的子集.∵一副扑克中草花有13张 ∴A 所含元素数为13,B 所含元素数为1. 则131A )|(=中元素数中元素数B A B P =.[教师] 本例中P(A)为多少?P(A ∩B)为多少?P(B|A)与P(A)、P(A ∩B)是否仍有上例的关系?[学生] 由于5213)(=A P ,521)(=B A P 所以也有)()()|(A P B A P A B P =.[教师] 综合引例1与引例2我们可由特殊到一般地归纳出下列的条件概率的计算公式: 条件概率公式:若P(A)>0则)()()|(A P B A P A B P =.注:(1)其中P(A)>0是在概率的非负性的基础上,要求P(A)≠0,以保证)()(A P B A P 有意义;(2)类似地,若P(B)>0则)()()|(A P B A P A B P =;(3)公式的变形可得(概率的乘法公式):若P(A)>0,则P(A ∩B)=P(A) P(B|A). (三)讲解例题1.条件概率计算公式的应用例1.由人口统计资料发现,某城市居民从出生算起活到70岁以上的概率为0.7,活到80岁以上的概率是0.4,若已知某人现在70岁,试问他能活到80岁的概率是多少?【解析】设A ={活到70岁以上},B ={活到80岁以上},则P(A)=0.7 P(B)=0.4 又∵B ⊂A ∴P(A ∩B)= P(B)=0.4 ∴)()()|(A P B A P A B P =57.07.04.0≈=.[教师] 在求条件概率时,要求知道两事件之积(A ∩B)的概率,这概率或者题设已经给出,或者隐含在其他条件中,需要对所给条件进行分析才能得到.2.上述例题是通过条件概率公式来计算条件概率,但有时候根据问题的特点可以直接得到结果.如下面的例2就是这样一个典型例子.例2.(课本P54页例3) 把一副扑克的52张随机均分给赵、钱、孙、李四家,A =赵家分得的13张牌中有6张草花,B =孙家分得的13张牌中有3张草花.①计算P(B|A) ②计算P(A ∩B)【解析】①四家各有13张牌,已知A 发生后,A 的13张牌已固定.余下的39张牌中恰有7张草花,在另三家中的分派是等可能的.问题已经转变成:39张牌中有7张草花,将这39张牌随机分给钱、孙、李三家,求孙家得到3张草花的概率.于是 .278.0/)|(13391073937≈=-C C C A B P②在52张牌中任选13张牌有1352C 种不同的等可能的结果.于是Ω中元素数=1352C ,A 中元素数=.739613C C 利用条件概率公式得到 P(A ∩B)=P(A) P(B|A)=278.01352739613⨯C C C ≈0.012.[教师] 综上各例所述我们看到:(Ⅰ)条件概率公式提供了P(A ∩B)、P(A)、 P(B|A)三者之间的关系,三者中知二求三,关键在于分析实际问题中已知什么,要求什么.(Ⅱ)我们也可以把条件概率问题转化为古典概型的概率问题,从而将条件概率的计算转化为古典概型的概率的计算(如例2中)=中元素数中元素数-13391073937C C C )|(Ω=B A B P . (四)技能训练课本第54页练习(1)(2)(3)[学生] 设题中试验的全集Ω={(i,j)|i,j=1,2,3,4,5,6}(1)A ={投掷一枚骰子是偶数点}={(i,j)|i=2,4,6 ,j=1,2,3,4,5,6} B ={投掷另一枚骰子也是偶数点}={(i,j)|i=1,2,…6 ,j=2,4,6} ∴A ∩B={(i,j)|i=2,4,6, j=2,4,6}A ={投掷两枚骰子都是奇数点}={(i,j)|i=1,3,5, j=1,3,5}434111)(1)(16161313=-=-=-=∴C C C C A P A P41)(16161313==CC C C B A P 314341)()()|(===∴A P B A P A B P 因此已知一枚是偶数点,另一枚也是偶数点的概率为.31(2)A ={(1,1),(2,2),(3,3),(4,4)(5,5),(6,6)} B={(3,3)}则A ∩B ={(3,3)} P(A)=61366= 361)(=B A P 6161361)|(==∴A B P因此已知两枚点数相同条件下,点数都是3的概率为.61(3)A ={(3,3),(1,5),(5,1),(2,4),(4,2)} B ={(1,1),(2,2),(3,3),(4,4),(5,5),(6,6)} 则A ∩B ={(3,3)} 361)(=B A P 365)(=A P 51365361)|(==∴A B P .因此已知点数和中6 条件下两枚骰子点数相同的概率为.51[教师](引导学生得到(2)(3)题的另一种解法)我们也可以用另一种观点来求 P(B|A) 即通过转化样本空间Ω,将A 看着试验的全集(样本空间),在A 中考虑满足B 的元素数,则有解法2:(2).61A )|(=中元素数中元素数B A B P =(3).51A )|(=中元素数中元素数B A B P =(五)课堂小结1.条件概率是指在已知事件A 发生的条件下,事件B 发生的概率. 2.求条件概率的方法有两种:一是利用条件概率公式即先分别求P(A)和P(A ∩B),再用公式)()()|(A P B A P A B P =来计算.二是转化为概率,即(1)把A 看着试验的全集(样本空间),从而把P(B|A)转化为新样本空间A 下的概率,再用公式中元素数中元素数A )|(B A B P =直接得到结果.(如练习(2)(3)的解法)3.把条件概率问题直接转化为古典概型的问题求解.(如例2(课本P54/例3)的第①题)(六)思维与拓展:1.两台车床加工同一种零件共100个,结果如下表正品数 次品数 总计 第一台车床加工数 35 5 40 第二台车床加工数50 10 60 总 计8515100设A ={从100个零件中任取一个是正品},B ={从100个零件中任取一个是第一台车床加工的},求P(A|B)和)|(A B P . 【解析】10085)(=A P 10040)(=B P 10035)(=B A P 10015)(=A P 1005)(=B A P875.04035)()()|(===∴B P B A P B A P333.0155)()()|(≈==A P B A P A B P 2.P(A)>P(A|B)对吗?【解析】一般说来,P(A)与P(A|B)之间并没有什么必然的关系.事实上,“事件B 已经发生”这一条件可能使P(A|B)比P(A)大,也可能使P(A|B)比P(A)小,还可能P(A|B)=P(A).但是如果A ,B 之间存在一些特殊的关系,这时P(A|B)与P(A)谁大谁小将可以有进一步的结论.(1)A ,B 之间有包含关系,则P(A|B)≥P(A). (2)若A ∩B =Φ,则P(A|B)≤P(A). 五、布置作业1.某动物活到20岁的概率为0.8,活到25岁的概率是0.4,问现龄20岁的动物活到25岁的概率是多少?2.投掷两枚骰子,已知点数和为10,求两枚骰子中第一次投掷的点数大于第二次投掷点数的概率.六、教后记。
人教版高中数学《条件概率》教学设计
分层布置作业,让学生自己解决。
增加探究题,培养学生分析解决问题的意识,并对下一节课做好铺垫。
条件概率教学设计
(一)教学目标
1.知识与技能
了解条件概率和积事件的概念,会用条件概率公式求简单的条件概率问题。
2.过程与方法
经历概念的形成及公式的探究、应用过程,逐步培养学生观察、分析、类比、归纳的能力,进一步提高学生自主学习的能力与探究问题的能力。
3.情感、态度与价值观:
通过适宜的教学情境,激发学生学习数学的兴趣,发展数学应用意识,认识数学
探究题:
一批产品中有96%的合格品,而合格品中一等品占45%。从这批产品中任取一件,求该产品是一等品的概率.
先让学生思考,解决不了,再让学生小组讨论解决。两个题目层层深入,由易到难.
掌握对公式的变形应用,进一步加深对公式的理解。
归纳小结
提出问题:
今天我们学习了什么内容?
你有那些收获?
教师引导学生自己小结。
2、甲、乙两推销员推销某种产品,据以往经验,两人在一天内卖出一份的概率分别为0.6和0.7,两人在一天内都卖出一份的概率为0.5,问:
(1)在一天内甲卖出一份时乙也卖出一份的概率是多少?
(2)在一天内乙卖出一份时甲也卖出一份的概率是多少?
两个学生到黑板上板演完成,其余同学按步骤认真练习。
练习两个公式直接应用,并进一步加深理解。
师生互动
设计意图
创设
情境
导入
新课
学校给我班一张奥运会开幕式门票,每个学生得到这张票的机会相等。
(1)问某女生得到这张票的概率是多少?
(2)若只给班内女生,则该女生得到这张票的概率又是多少?
创设问题情境,引发学生思考,从而激发学生的求知欲,引入条件概率的概念,并复习交事件的概念。
条件概率的教案
条件概率的教案教案标题:探索条件概率教案目标:1. 理解条件概率的概念和定义;2. 掌握计算条件概率的方法;3. 能够应用条件概率解决实际问题。
教学重点:1. 条件概率的概念和定义;2. 条件概率的计算方法。
教学难点:1. 理解条件概率的概念和定义;2. 灵活运用条件概率解决实际问题。
教学准备:1. 教师准备:教学课件、白板、黑板笔、计算器;2. 学生准备:课本、笔记本。
教学过程:Step 1:导入与概念解释(15分钟)1. 教师通过引导学生回顾概率的基本概念,例如事件、样本空间和概率的定义。
2. 引出条件概率的概念,并解释条件概率是指在已知某一事件发生的情况下,另一事件发生的可能性。
3. 通过实际例子,如抛硬币、掷骰子等,让学生理解条件概率的概念。
Step 2:条件概率计算方法(25分钟)1. 教师介绍条件概率的计算方法:P(A|B) = P(A∩B) / P(B),其中P(A|B)表示在事件B发生的条件下事件A发生的概率。
2. 通过示例演示条件概率的计算方法,并与学生一起解决一些简单的练习题,巩固计算方法的理解和应用。
Step 3:应用实例分析(30分钟)1. 教师提供一些实际问题,如生活中的案例、社会调查等,引导学生运用条件概率解决问题。
2. 学生分组讨论并解决问题,教师在小组之间进行巡视指导,鼓励学生提出自己的解决思路和方法。
3. 学生代表向全班汇报解决问题的过程和答案,并与全班进行讨论。
Step 4:总结与拓展(10分钟)1. 教师对条件概率的概念、计算方法和应用进行总结,并强调学生在实际生活中灵活应用条件概率的重要性。
2. 鼓励学生拓展思维,尝试更复杂的条件概率问题,并给予必要的指导和支持。
教学延伸:1. 学生可通过自主学习进一步了解条件概率的相关知识,如独立事件、贝叶斯定理等;2. 学生可通过实际案例和数据分析,探索条件概率在现实生活中的应用。
教学评估:1. 教师通过观察学生在课堂上的参与度和表现,评估学生对条件概率概念和计算方法的理解程度;2. 教师布置练习题和作业,评估学生在解决条件概率问题时的应用能力和思维拓展能力;3. 教师与学生进行互动交流,及时纠正学生的错误理解和解决问题的思路。
《条件概率》教案.doc
《条件概率》教案新课起航一、我们的目标定位:(1)理解条件概率的定义(2)掌握条件概率的计算方法(3)能解决条件概率相应一些的问题二、重点难点:【教学重点】: 1.条件概率的计算方法。
2.条件概率的应用。
【教学难点】:条件概率的应用三、我们一起来研究(一)课题引入小游戏:摸球3 个兵乓球, 2 个白色的,1个黄色的,现分别由三名同学无放回地抽取一个,摸到黄色的就中奖。
1、请问最后一名同学中奖的概率是否比第一位小?2、如果已经知道第一名同学没中奖,那么最后一名摸球同学的中奖的概率是多少?(二)新课探究1、条件概率的定义:一般的设A, B 为两个事件,且P(A)>0 ,P(B|A) 为在事件 A 发生的条件下,事件 B 发生的 ________.其中 P(B|A) 读作 ___________________P(A|B) 的含义是什么?2、条件概率的性质:(1)有界性: ______________________(2)可加性: ______________________3、条件概率的计算合作探究:根据上面摸奖的例子,想一想怎样求条件概率?你能否得到求条件概率的公式?请合作解决( 1)利用古典概型计算()P(B|A)=_________________关键:_____________________( 2)利用公式计算()P(B|A)= _________________关键:_____________________4、概率P(B|A) 与 P(AB) 的区别与联系P(AB)P(B|A)联系事件发生区顺序别样本空间大小(三 )应用与探索【例 1】在 5 道题中有 3 道理科题和 2 道文科题。
如果不放回地依次抽取 2 道题,求:(1)第 1 次抽到理科题的概率;(2)第 1 次和第 2 次都抽到理科题的概率;(3)在第 1 次抽到理科题的条件下,第 2 次抽到理科题的概率。
求解条件概率的一般步骤:【巩固练习1】( 1)掷两颗骰子( 2)掷两颗骰子,求“已知第一颗为 6 点,则掷出点数之和不小于,求“已知掷出点数之和不小于 9,则第一颗掷出9”的概率6 点”的概率【巩固练习2】甲乙两地都位于长江下游,根据一百多年的气象记录,知道甲乙两地一年中雨天所占的比例分别为 20%和 18%,两地同时下雨的比例为 12%,问:(1)乙地为雨天时甲地也为雨天的概率是多少?(2)甲地为雨天时乙地也为雨天的概率是多少?【例 2】大脑细胞中的NPTN 基因变异会导致天才的出现,平度一中连年取得高考佳绩引起了科学家的注意,现从我校含有 5 名 NPTN 基因变异的 20 名同学中任意选择两位,其中一人经测定为 NPTN 基因变异,求此二人都是 NPTN 基因变异的概率我们的收获一、基本知识上:二、思想方法上:课后作业1、课后第54 页练习,习题 A 组2、3、42.50 件产品中有 3 件次品,不放回的抽取两次,每次抽取一件,已知第一次抽出的是次品,第二次抽出的也是次品的概率是()3 6 6 2A. 50B. 1225C.25D.493.教室里有 3 名男同学和 5 名女同学,从中随机依次走出两名同学,如第一次走出的是一名女同学,则第二次走出的是一名男同学的概率为___________.第二次走出的仍是一名女同学的概率为 _____________.4.一个家庭中有两个孩子,假定生男、生女是等可能的,已知这个家庭中有一个孩子是女孩,问这时另一个孩子是男孩的概率是__________.5.一张储蓄卡的密码共有 6 位数字,每位数字都可从0~ 9 中任选一个,某人在银行自动提款机上取钱时,忘记了密码的最后一位数字,求( 1)任意按最后一位数字,不超过 2 次就按对的概率;( 2)如果他记得密码的最后一位是偶数,不超过 2 次就按对的概率。
教学设计3 : 2.2.1 条件概率
条件概率【教学目标】知识与技能:通过现实情境的探究,理解条件概率的概念及其计算公式,并能简单地应用公式进行问题解决。
过程与方法:1.通过对条件概率计算公式的探究,渗透归纳思维和数形结合的思想方法,培养学生观察、归纳、抽象的能力和直观能力;2.通过知识的探究过程培养学生细心观察、认真分析、严谨论证的良好思维习惯,让学生感知从具体到抽象,从特殊到一般,从感性到理性的认知过程。
情感、态度与价值观:结合现实情境,渗透概率思想,学会透过现象看本质,加强数学应用意识和数学审美能力的培养,激发学生学习数学的兴趣;对学生进行辨证唯物主义教育,培养学生坚持实事求是的态度、锲而不舍的科学精神。
【教学重难点】教学重点:条件概率的定义及其计算公式。
教学难点:条件概率与概率的区别与联系。
解决难点的关键:弄清楚“事件A发生”、“事件A发生并且事件B也发生”以及“事件B在事件A发生的条件下发生”的概率之间的关系和区别。
【教法分析】从学生的认知规律出发,结合问题情境,通过探究、交流合作,运用讲授法、讨论法、阅读指导法充分调动学生的积极性,发挥学生的主体作用,在讲授过程中善于解疑、设疑、激疑,通过合情推理与演绎推理的思维过程,培养学生的归纳思维,让学生感知从具体到抽象,从特殊到一般,从感性到理性的认知过程。
【教学手段】计算机、投影仪。
【教学过程】教学内容师生互动设计意图创设情境,引入课题预案:问题情境:某人有两个孩子,请思考:问题1:他的两个孩子都是男孩的概率是多少?问题2:如果他说:“我的大孩子是男孩”,则两个孩子都是男孩的概率是多少?归纳:(预计学生都会凭直觉而出错)分析问题之间的区别和联系,给出条件概率的定义。
形成概念;条件概率的概念对于任何两个事件A和B,在已知事件A发生的条件下,事件B发生的概率叫做条件概率。
记作:)(ABP,读作:A发生的条件下B的概率。
教师:让学生先独立思考问题。
学生:大胆尝试,给出答案。
教师:根据学生讨论、回答情况分析两个问题之间的区别和联系,鼓励学生给出条件概率的定义,引入新课。
高中数学教案条件概率
高中数学教案条件概率一、教学目标:1. 理解条件概率的定义和性质。
2. 学会计算条件概率。
3. 能够应用条件概率解决实际问题。
二、教学内容:1. 条件概率的定义:在事件A已经发生的条件下,事件B发生的概率称为条件概率,记作P(B|A)。
2. 条件概率的性质:(1) P(B|A) = P(A∩B) / P(A)(2) 0 ≤P(B|A) ≤1(3) P(B|A) ≠P(B)三、教学重点与难点:1. 教学重点:条件概率的定义和性质,条件概率的计算方法。
2. 教学难点:条件概率的计算方法,如何正确运用条件概率解决实际问题。
四、教学方法:1. 采用讲授法,讲解条件概率的定义、性质和计算方法。
2. 运用案例分析法,让学生通过实际例子学会计算条件概率。
3. 运用练习法,让学生在课堂上和课后巩固所学知识。
五、教学过程:1. 导入:通过一个简单的概率问题引入条件概率的概念。
2. 讲解:讲解条件概率的定义、性质和计算方法。
3. 案例分析:分析几个实际例子,让学生学会计算条件概率。
4. 练习:布置一些练习题,让学生在课堂上和课后巩固所学知识。
六、教学评估:1. 课堂提问:通过提问了解学生对条件概率的理解程度。
2. 练习题:布置课堂练习题,检查学生掌握条件概率计算方法的情况。
3. 课后作业:布置相关课后作业,评估学生对课堂所学知识的巩固程度。
七、教学反思:1. 针对学生的掌握情况,调整教学方法和节奏。
2. 针对学生的疑惑,进行答疑和辅导。
八、课后作业:1. 复习条件概率的定义、性质和计算方法。
2. 完成课后练习题,巩固所学知识。
3. 思考如何将条件概率应用到实际问题中。
九、拓展与延伸:1. 研究条件概率在实际问题中的应用,如统计学、概率论等领域。
2. 了解贝叶斯定理与条件概率的关系,进一步拓展知识面。
十、教学计划:1. 下一节课内容:独立事件的概率。
2. 教学目标:理解独立事件的定义,学会计算独立事件的概率。
3. 教学方法:讲授法、案例分析法、练习法。
7.1.1条件概率教案
7.1.1条件概率教案 在概率论中,条件概率是指在已知发生了某个事件的条件下,另一个事件发生的概率。
它是概率论中的重要概念之一,广泛应用于统计学、机器学习和数据分析等领域。
本教案将详细介绍条件概率的概念、计算方法和实际应用,并通过举例说明,帮助学生深入理解。
一、概念介绍1. 条件概率的定义: 条件概率指的是在事件B已经发生的前提下,事件A发生的概率。
用符号表示为P(A|B),读作"A在B发生的条件下的概率"。
2. 条件概率的性质: - 条件概率非负性:对于任意事件A、B,P(A|B) ≥ 0。
- 总概率公式:对于任意事件B和其互斥事件B1、B2、B3...,有P(A) = P(A|B1)P(B1) + P(A|B2)P(B2) + P(A|B3)P(B3)... 。
- 乘法公式:对于任意事件A、B,有P(A∩B) = P(A|B)P(B) = P(B|A)P(A)。
二、计算方法1. 直接计算法: 当已知事件A和事件B的联合概率P(A∩B)和事件B的概率P(B)时,可以通过直接计算的方式求解条件概率P(A|B)。
根据乘法公式,有P(A|B) = P(A∩B) / P(B)。
2. 事件列举法: 当样本空间较小且事件A和事件B之间的关系可以通过列举方式明确时,可以通过统计的方法求解条件概率。
将事件B发生的样本点列举出来,然后计算事件A在这些样本点中的出现次数,最后用出现次数除以总样本数来得到概率。
3. 全概率公式和贝叶斯公式: 当已知事件A和其互斥事件B1、B2、B3...的概率,以及事件A在条件B1、B2、B3...下的概率时,可以利用总概率公式和贝叶斯公式求解条件概率。
总概率公式可以用来计算P(A),而贝叶斯公式可以通过已知的P(A|B)来计算P(B|A)。
三、实际应用举例1. 疾病诊断: 假设某种罕见疾病的发病率只有 1%,而医生诊断该疾病的准确率为 99%。
现有一个患者去医院检查,检查结果为阳性。
7.1.1条件概率教案
条件概率教案一、教学目标1.知识与技能:理解条件概率的概念,掌握条件概率的两种计算方法(公式法与缩小样本空间法),并能运用条件概率解决一些实际问题。
2.过程与方法:经历条件概率概念的形成过程,体验条件概率在解决实际问题中的应用,培养学生的抽象概括能力和应用意识。
3.情感态度价值观:通过条件概率的学习,感受数学与实际生活的联系,体验数学的应用价值。
二、教学重点与难点1.教学重点:条件概率的概念及其计算方法。
2.教学难点:如何运用条件概率解决一些实际问题。
三、教学方法与手段1.教学方法:采用讲授法、讨论法、案例分析法等多种教学方法相结合,使学生在积极参与的过程中掌握知识。
2.教学手段:利用多媒体课件、实物展示等教学手段,增强教学的直观性和趣味性。
四、教学过程设计1.导入新课:通过回顾古典概型与独立事件,引出条件概率的概念。
2.讲授新课:详细讲解条件概率的概念、两种计算方法以及应用举例,使学生能够全面掌握知识点。
3.巩固练习:设计一些实际问题,让学生运用所学知识进行解决,达到巩固知识的目的。
4.课堂小结:总结本节课的知识点,强调条件概率的重要性,使学生能够形成完整的知识体系。
5.布置作业:布置一些与条件概率相关的思考题和练习题,让学生在课后进行巩固和提高。
6.板书设计:设计简洁明了的板书,突出教学重点和难点,方便学生记忆和理解。
五、教学反思与改进1.教学反思:回顾本节课的教学过程,分析学生在课堂上的反应和作业情况,总结教学中的优点和不足。
对于学生在条件概率理解上的困难,可以在后续课程中加强相关概念的辨析和实例的讲解。
2.改进方向:针对教学中的不足之处,思考如何优化教学方法和手段,提高学生的学习效果。
例如,可以增加更多实际案例的讲解和分析,加强学生的实践应用能力;同时,也可以尝试运用现代教育技术手段,如在线课程、互动平台等,丰富教学方式和学生的学习体验。
六、教学问题与诊断分析1.问题一:学生在理解条件概率概念时存在困难。
条件概率教案
条件概率教案一、引言条件概率是概率论中一个重要的概念,用于描述在某个条件成立的情况下,另一个事件发生的概率。
在实际应用中,条件概率有着广泛的应用,例如医学诊断、市场调研、风险评估等等。
本教案将介绍条件概率的概念、计算方法以及相关实际应用。
二、基本概念1. 事件的概率在介绍条件概率前,首先需要了解事件的概念。
事件是指某个结果或者一组结果的集合,可以用来描述一个随机试验的可能结果。
事件的概率是指该事件发生的可能性大小,通常用一个介于0和1之间的数值表示。
2. 条件概率的概念条件概率是指在某个条件下,另一个事件发生的概率。
用数学符号表示为P(A|B),读作“在B发生的条件下,A发生的概率”。
条件概率的计算公式为:P(A|B) = P(A∩B) / P(B)3. 相互独立事件的条件概率如果两个事件A和B是相互独立的,即一个事件的发生不会影响另一个事件的发生,则有以下公式成立:P(A|B) = P(A)三、条件概率的计算方法1. 经典概型法经典概型法适用于所有可能结果数目有限且相同的试验。
计算条件概率的步骤如下:a. 确定样本空间Ω。
b. 计算条件事件A∩B的可能结果数目n(A∩B)。
c. 计算事件B的概率P(B)。
d. 使用条件概率公式进行计算。
2. 频率法频率法适用于大量重复试验的情况下,通过实际观察频率来估计概率值。
计算条件概率的步骤如下:a. 进行一系列相同试验,记录事件A和事件B同时发生的次数n(A∩B)。
b. 统计事件B发生的次数n(B)。
c. 使用条件概率公式进行计算。
四、实际应用条件概率在现实生活中有着广泛的应用,以下列举几个例子:1. 医学诊断在医学诊断中,医生通常会根据患者的症状和检查结果来判断是否患有某种疾病。
条件概率可以帮助医生计算出在某些特定症状或检查结果出现的情况下,患病的概率,从而辅助诊断。
2. 市场调研在市场调研中,研究人员需要了解不同客户群体的消费偏好和购买行为。
通过计算条件概率,可以分析在某些特定条件下,例如年龄、性别、收入水平等,客户购买某个产品的概率,从而指导企业的市场定位和销售策略。
《条件概率》教案3
《条件概率》教案3一、教学目标:1、知识与技能:通过具体情景的分析,了解条件概率的定义。
2、过程与方法:掌握一些简单的条件概率的计算。
3、情感、态度与价值观:通过对实例的分析,会进行简单的应用。
二、重点,难点:1、重点:条件概率定义的理解。
2、难点:条件概率计算公式的应用。
三、教学过程:(一)复习引入:探究:三张奖券中只有一张能中奖,现分别由3名同学无放回地抽取,问最后一名同学抽到中奖奖券的概率是否比前两位小?若抽到中奖奖券用:“Y”表示,没抽到中奖奖券用:“Y”表示,那么三名同学的抽奖结果共有三种可能:Y Y Y,Y Y Y,Y Y Y。
用B表示事件“最后一名同学抽到”,则B仅包含一个基本事件Y Y Y,由古典概率计算公式可知,最后一名同学抽到中奖奖券的概率是P(B)=13。
思考?如果已经知道第一名同学没抽到中奖奖券,那么最后一名同学抽到中奖奖券的概率又是多少?因为已知第一名同学没有抽到中奖奖券,所以可能出现的基本事件只有Y Y Y和Y Y Y,而“最后一名同学抽到中奖奖券”包含的基本事件仍是Y Y Y,由古典概率计算公式可知,最后一名同学抽到中奖奖券的概率是12,不妨记为P(B|A),其中A表示事件“第一名同学没抽到中奖奖券”已知第一名同学的抽奖结果为什么会影响最后一名同学抽到中奖奖券的概率呢?在这个问题中,第一名同学没有抽到中奖奖券,等价于知道事件A一定会发生,导致可能出现的基本事件必然在事件A中,从而影响事件B发生的概率,使得P(B|A)≠P(B)。
思考?对于上面的事件A和事件B,P(B|A)与它们的概率有什关系呢?用Ω表示三名同学可能抽取的结果全体,则它由三个基本事件组成,即Ω={ Y Y Y,Y Y Y,Y Y Y}。
既然已知事件A必然发生,那么只需在A={Y Y Y,Y Y Y}的范围内考虑问题,即只有两个基本事件Y Y Y,Y Y Y,在事件A发生的情况下B 发生,等价于事件A 和事件B 同时发生。
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8.2.2 条件概率一、教学目标(一)知识目标在具体情境中,了解条件概率的概念,掌握条件概率的计算公式,并能运用条件概率公式解决有关的简单概率问题.(二)情感目标 创设教学情境,培养学生学习数学的良好思维习惯和兴趣,加深学生对从特殊到一般的思想认知规律的认识,树立学生善于创新的思维品质.(三)能力目标在知识的教学过程中,培养学生从特殊到一般的探索归纳能力及运算能力和应用新知的能力,渗透归纳、转化的数学思想方法.二、教学重点条件概率的概念,条件概率公式的简单应用.三、教学难点正确理解条件概率公式,并能灵活运用条件概率公式解决简单实际问题.四、教学过程(一)引入课题[教师] (配合多媒体演示)问题1:掷一个骰子,求掷出的点数为3的概率. [学生] (回答)61 [教师] (引导学生一起分析)本次试验的全集Ω={1,2,3,4,5,6},设B ={掷出点数为3},则B 的基本事件数为1. 61)(=中的元素数中的元素数Ω=∴B B P[教师] (配合多媒体演示)问题2:掷一个骰子,已知掷出了奇数,求这个奇数是3的概率. [学生] (回答)31 [教师] (引导学生一起分析)已知掷出了奇数后,试验的可能结果只有3个,它们是1,3,5. 本次试验的全集改变为A ={1,3,5},这时相对于问题1,试验的条件已经改变. 设B ={掷出的点数为3},则B ={3},这时全集A 所含基本事件数为3,B 所含基本事件数为1,则P (已知掷出奇数的条件下,掷出3)=31A =中的元素数中的元素数B .[教师] (针对问题2再次设问)问题2与问题1都是求掷出奇数3的概率,为什么结果不一样?[学生] 这两个问题的提法是不一样的,问题1是在原有条件(即掷出点数1,2,3,4,5,6的一切可能情形)下求得的;而问题2是一种新的提法,即在原有条件下还另外增加了一个附加条件(已知掷出点数为奇数)下求得的,显然这种带附加条件的概率不同于P(A)也不同P(A ∩B).[教师] (归纳小结,引出条件概率的概念)问题2虽然也是讨论事件B (掷出点数3)的概率,但是却以已知事件A (掷出奇数为前提的,这样的概率称为A 发生条件下的事件B 发生的条件概率.(板书课题——条件概率) (二)传授新知 1.形成概念[教师] 在引入课题的基础上引出下列概念:(多媒体演示)设A 、B 是事件,用P(B|A)表示已知A 发生的条件下B 发生的条件概率,简称为条件概率.2.归纳公式 引例1:(多媒体演示)某校高中三个年段各派一名男生和一名女生参加市里的中学生运动会,每人参加一个不同的项目,已知一名女生获得冠军,求高一的女生获得冠军的概率.[学生] (口答)设A ={只有一名女生获得冠军},B ={高一女生获得冠军}依题意知 已知A 发生的条件下,A 成为试验的全集,B 是A 的子集,A 所含元素数为3,B 所含元素数为1,则31A )|(=中元素数中元素数B A B P =[教师] (问)P(A)为多少?P(A ∩B)为多少?P(A),P(A ∩B),P(B|A)之间有何关系?[学生] (口答)61)(,2163)(===B A P A P I Θ )()()|(A P B A P A B P I =∴[教师] 这个式子的含义是明确的. 由此,便将P(B|A)表示成P(A ∩B)与P(A)之比,这为我们在原样本空间Ω下完成条件概率P(B|A)的计算提供了方便. 那么是否其它情况下条件概率仍有上述的计算公式呢?我们再看一个例子:(多媒体演示)引例2:在一副扑克的52张(去掉两张王牌后)中任取1张,已知抽到草花的条件下,求抽到的是草花5的概率.[学生] (口答)设A ={抽到草花},B ={抽到草花5},依题意知 已知A 发生的条件下A 成为试验的全集,A 中的元素发生的可能性相同,B 是A 的子集.∵一副扑克中草花有13张 ∴A 所含元素数为13,B 所含元素数为1.则131A )|(=中元素数中元素数B A B P =.[教师] 本例中P(A)为多少?P(A ∩B)为多少?P(B|A)与P(A)、P(A ∩B)是否仍有上例的关系?[学生] 由于5213)(=A P ,521)(=B A P I 所以也有)()()|(A P B A P A B P I =.[教师] 综合引例1与引例2我们可由特殊到一般地归纳出下列的条件概率的计算公式: (多媒体演示)条件概率公式:若P(A)>0则)()()|(A P B A P A B P I =.注:(1)其中P(A)>0是在概率的非负性的基础上,要求P(A)≠0,以保证)()(A P B A P I 有意义;(2)类似地,若P(B)>0则)()()|(A P B A P A B P I =;(3)公式的变形可得(概率的乘法公式):若P(A)>0,则P(A ∩B)=P(A) P(B|A). (三)讲解例题1.条件概率计算公式的应用例1.由人口统计资料发现,某城市居民从出生算起活到70岁以上的概率为0.7,活到80岁以上的概率是0.4,若已知某人现在70岁,试问他能活到80岁的概率是多少?解析:设A ={活到70岁以上},B ={活到80岁以上},则P(A)=0.7 P(B)=0.4又∵B ⊂A ∴P(A ∩B)= P(B)=0.4 ∴)()()|(A P B A P A B P I =57.07.04.0≈=.[教师] 在求条件概率时,要求知道两事件之积(A ∩B)的概率,这概率或者题设已经给出,或者隐含在其他条件中,需要对所给条件进行分析才能得到.2.上述例题是通过条件概率公式来计算条件概率,但有时候根据问题的特点可以直接得到结果.如下面的例2就是这样一个典型例子.例2.(课本P54/例3) 把一副扑克的52张随机均分给赵、钱、孙、李四家,A =赵家分得的13张牌中有6张草花,B =孙家分得的13张牌中有3张草花.①计算P(B|A) ②计算P(A ∩B)解析:①四家各有13张牌,已知A 发生后,A 的13张牌已固定.余下的39张牌中恰有7张草花,在另三家中的分派是等可能的.问题已经转变成:39张牌中有7张草花,将这39张牌随机分给钱、孙、李三家,求孙家得到3张草花的概率.于是 .278.0/)|(13391073937≈=-C C C A B P②在52张牌中任选13张牌有1352C 种不同的等可能的结果.于是Ω中元素数=1352C ,A中元素数=.739613C C 利用条件概率公式得到 P(A ∩B)=P(A) P(B|A)=278.01352739613⨯C C C ≈0.012.[教师] 综上各例所述我们看到:(Ⅰ)条件概率公式提供了P(A ∩B)、P(A)、 P(B|A)三者之间的关系,三者中知二求三,关键在于分析实际问题中已知什么,要求什么.(Ⅱ)我们也可以把条件概率问题转化为古典概型的概率问题,从而将条件概率的计算转化为古典概型的概率的计算(如例2中)=中元素数中元素数-13391073937C C C )|(Ω=B A B P . (四)技能训练课本第54页练习(1)(2)(3)[学生] 设题中试验的全集Ω={(i,j)|i,j=1,2,3,4,5,6}(1)A ={投掷一枚骰子是偶数点}={(i,j)|i=2,4,6 ,j=1,2,3,4,5,6} B ={投掷另一枚骰子也是偶数点}={(i,j)|i=1,2,…6 ,j=2,4,6} ∴A ∩B={(i,j)|i=2,4,6, j=2,4,6}A ={投掷两枚骰子都是奇数点}={(i,j)|i=1,3,5, j=1,3,5}434111)(1)(16161313=-=-=-=∴C C C C A P A P 41)(16161313==CC C C B A P I 314341)()()|(===∴A P B A P A B P I 因此已知一枚是偶数点,另一枚也是偶数点的概率为.31(2)A ={(1,1),(2,2),(3,3),(4,4)(5,5),(6,6)} B={(3,3)}则A ∩B ={(3,3)} P(A)=61366= 361)(=B A P I 6161361)|(==∴A B P因此已知两枚点数相同条件下,点数都是3的概率为.61(3)A ={(3,3),(1,5),(5,1),(2,4),(4,2)} B ={(1,1),(2,2),(3,3),(4,4),(5,5),(6,6)}则A ∩B ={(3,3)} 361)(=B A P I 365)(=A P 51365361)|(==∴A B P .因此已知点数和中6 条件下两枚骰子点数相同的概率为.51[教师](引导学生得到(2)(3)题的另一种解法)我们也可以用另一种观点来求 P(B|A) 即通过转化样本空间Ω,将A 看着试验的全集(样本空间),在A 中考虑满足B 的元素数,则有解法2:(2).61A )|(=中元素数中元素数B A B P =(3).51A )|(=中元素数中元素数B A B P =(五)课堂小结1.条件概率是指在已知事件A 发生的条件下,事件B 发生的概率. 2.求条件概率的方法有两种:一是利用条件概率公式即先分别求P(A)和P(A ∩B),再用公式)()()|(A P B A P A B P I =来计算.二是转化为概率,即(1)把A 看着试验的全集(样本空间),从而把P(B|A)转化为新样本空间A 下的概率,再用公式中元素数中元素数A )|(B A B P =直接得到结果.(如练习(2)(3)的解法)3.把条件概率问题直接转化为古典概型的问题求解.(如例2(课本P54/例3)的第①题)(六)思维与拓展:1车床加工的},求P(A|B)和)|(A B P .解析:10085)(=A P Θ 10040)(=B P 10035)(=B A P I 10015)(=A P 1005)(=B A P I875.04035)()()|(===∴B P B A P B A P I 333.0155)()()|(≈==A PB A P A B P I 2.P(A)>P(A|B)对吗?解析:一般说来,P(A)与P(A|B)之间并没有什么必然的关系.事实上,“事件B 已经发生”这一条件可能使P(A|B)比P(A)大,也可能使P(A|B)比P(A)小,还可能P(A|B)=P(A).但是如果A,B之间存在一些特殊的关系,这时P(A|B)与P(A)谁大谁小将可以有进一步的结论.(1)A,B之间有包含关系,则P(A|B)≥P(A).(2)若A∩B=Φ,则P(A|B)≤P(A).五、布置作业课本第55页习题3(1)(2)(3)(4)补充题1.某动物活到20岁的概率为0.8,活到25岁的概率是0.4,问现龄20岁的动物活到25岁的概率是多少?2.投掷两枚骰子,已知点数和为10,求两枚骰子中第一次投掷的点数大于第二次投掷点数的概率.。