数学老师的三项基本功

（1）什么是“适当的例子”？
标准之一Hale Waihona Puke Baidu相对于学生的可接受性； 标准之二：典型性，即是能为相应 的数学抽象提供必要的基础。 这方面的一个基本事实：举例并非 一件易事。
[例1] “范例教学法”（R. Davis)
为了帮助学生掌握负数的概念，特别是有理数的 运算（如4 - 10 = ?），教师采用了一个装有豆 子的口袋，再在桌上摆上一些豆子。 教师先在口袋中装入4 棵豆子，同时在黑板上记 下“4”这样一个数字；然后从口袋中拿出10棵 豆子，这时黑板上就出现了“4 - 10”这样一个 算式。 教师接着提问：（1） 现在口袋里的豆子与一开 始相比是变多还是变少了？（2） 少了多少？ …
数学教师的“三项基本功”
郑毓信
（2012，4）
简介
1965年毕业于江苏师范学院（现苏州大学） 数学系；曾在中学长期任教；现为南京大 学哲学系教授、博士生导师。1992年起享 受政府特殊津贴。 主要研究领域：数学哲学；科学哲学；数 学教育与科学教育。 已出版著作28部，发表论文300多篇。
背景
课改十年的总结与反思：“立足专 业成长，关注基本问题。” （2010） 进一步的思考：一线教师如何实现 自己的专业成长？
一个相关的问题
数学教师是否应当具有自己特殊的 基本功？ 数学教师的三项基本功： （1）善于举例； （2）善于提问； （3）善于比较与优化。
这方面的具体工作
进一步的分析
数学基本特性：抽象性。 “善于举例”的两个具体涵义： （1）如何能为抽象的数学概念举出 适当的实例？ （2）如何能够帮助学生由具体实例 抽象出相应的数学概念？
学习心理学研究的相关结论
“概念定义”与“概念意象”的必 要区分。 概念意象的多元性：它“由所有的 相关实例、反例、事实和关系组 成。”（维纳与赫什科威兹，1980）
（2）“概念变式”与 “非概念变 式”： “非概念变式”大致地就相当于 “反例”，这也就是指，除去“正 例”以外，我们在教学中还应给出 若干“反例”，这样通过对照就可 帮助学生更好掌握概念的本质。
[例] “认识分数”
引入：“分蛋糕”。教师并通过简 短讨论引出了这样一个结论：“将 一个蛋糕平均分成两份，每份是它 的1/2。” 问题：如何以“变式理论”（概念 变式）为指导设计教学从而帮助学 生较好掌握分数的本质？
（1） 分割的对象显然未必一定要是蛋糕， 也可以是纸片或别的什么东西；对于分割 对象的外形我们也不应作任何限制：它们 既可以是圆形，也可是方形或任何其它形 状。 （2）对分割方法也可作出一定变化。如就长 方形纸片的分割而言，可以横着折，也可 以竖着折，还可钭着折；另外，除去各个 “正例”以外，我们也应引入一定的“反 例”，如按照中位线分割的梯形等
基本认识
“三项基本功”集中反映了数学与数学 教学（教育）的特殊性。 “三项基本功”不应被理解成单纯的 技能；恰恰相反，只有联系深层次的 教学思想和教育思想我们才能真正理 解它们的内涵和意义。 我们并应联系自己的个性特征创造性 地对此加以应用。
一、“善于举例”与数学教学
从“什么是数学”谈起？ 一个基本论点：“数学：模式的科 学”（mathematics：the science of patterns） 数学所反映的不是某一特定事物或 现象的量性特征，而是一类事物或 现象在量的方面的共同性质。
新的重要发展：由“变式理论”到 “多元表征理论” 传统的研究：主要集中于如何能够 通过适当的举例帮助学生较好掌握 概念的本质（单一表征）。 新的认识：更加强调概念内在表征 （概念意象）的多元性，以及各方 面的必要互补与思维的灵活性
[例2] “植树问题”的教学
我们应当如何看待“植树问题”的教 学：这一问题所发挥的究竟是案例的 作用、还是应当集中于“三种情况” 的区分以及相关规律的发现与应用？ “模式的建构”比“三种情况”的区 分”更加重要，这也就是指，我们在 教学中应当更加关注如何能以“植树 问题”为背景抽象出普遍的数学模式： “分隔问题”。
郑毓信，“数学教师的三项基本 功”，《人民教育》，2008年第18、 19、20期连载，并已被收入“《人 民教育》创刊60周年系列丛书”。 郑毓信，《数学教师的三项基本 功》，江苏教育出版社，2011
必要的提醒
面对任一新的主张或时髦潮流，我们 都应冷静地思考： 什么是这一主张或口号的主要内涵？ 这一主张或口号能为我们提供什么新 的启示和教益，特别是，具有怎样的 现实意义？ 什么是其固有的局限性或可能的消极 后果？
相关的分析
这些实物和动作对于学生来说都是十分熟 悉的。 好的“认知基础”并应具有这样的性质： 它能“自动地”指明相关概念的基本性质 或相关的运算法则。这就是指，借助于这 一实例学生可以顺利地作出相应的发现。 如学生在此显然就可借助所说的实例顺利 地实行 4 - 10、5 – 8等运算，而无须依赖 于对相应法则的机械记忆。
（2）如何帮助学生由实例抽象出相应
的数学概念？
关键之一：去情境； 一个辩证的关系：范例的作用与必 要的抽象； 相关理论：“变式理论”（“概念 变式”）。 核心思想：如何通过适当的变化帮 助学生掌握相关概念的本质。
“概念变式”的主要内容：
（1）“标准变式”与“非标准变 式”： 教学中不应局限于平时经常用到的 一些实例，而应有意识地引入一些 “非标准变式”，从而就可防止学 生将相关实例的一些非本质特性误 认为概念的本质特性。
（3）作为进一步的抽象，我们又应由 1/2逐步扩展到1/3，1/4，……乃至2/3， 3/4，……。从而，如果仍然集中于 “将一个蛋糕平均分成两份，每份是 它的1/2”这一论述，我们就可以说， 除去分割的对象与方法以外，我们也 应对“平均分成两份”中的“两份” 以及所说的“每份”作出适当变化。
（4）这事实上也可被看成“非标准变式”的 一个实例，即分配的对象也可以是2个蛋糕、 3个蛋糕，而未必一定要是1个蛋糕——容 易看出，这一变化事实上也就意味着我们 已经将分析的着眼点由“（平均）分配” 这一实际活动转移到了部分与整体之间的 关系，后者并就意味着对于分数本质更为 深入的认识。