北邮数字信号处理第四章附加习题答案

sk Ts
e
cTs j
N 1 2 k
2N
k 1, 2,
, N 1
，数字
H z Ha s
s
z 1 z 1
故
z 1 s j z 1
z e j
cos e j 1 2 j cot j j e 1 2 sin 2

5
即
cot 2

原模拟低通滤波器以 0 为通带中心，由上式可知， 0 时，对应于 。 ，故答案为（2） 方法 2 找出对应于 0 的数字频率 的对应值即可。 令 z 1 ，对应于 e j 1 ，应有 0 ，则 H 1 H a s 不是模拟低通滤波器； 令 z 1 ， 对应 e j 1 ， 应有 ， 则 H 1 H a 0 ， 即 0 对应 ， 将模拟低通中心频率 0 映射到 处，所以答案为（2） 。 方法 3 直接根据双线性变换法设计公式及模拟域低通到高通频率变换公式 求解。 双线性变换设计公式为
T
1 e aT z 1 cos(bT ) 1 2e aT z 1 cos(bT ) e2 aT z 2
，可得：
（2） 先引用拉氏变换的结论
ha (t )
按 Z 变换 a u (k )
k
Aes0t t n 1 u (k ) (n 1)!
1 dX ( z ) ，且 kx(k ) z 1 1 az dz
h(n) Tha (nT )
T ( a jb ) nT [e e ( a jb ) nT ]u (n) 2
H ( z ) h(n)z n
n 0

T 1 1 [ ] aT jbT 1 aT jbT 1 2 1 e e z 1 e e z
通。 如果将 H a s 变换为高通滤波器
1 H ah s H a s
则可将 H ah s 用双线性变换法变成数字高通
H h z H ah s
z 1 s z 1
1 Ha s
z 1 s z 1
z 1 Ha z 1
5. 假设某模拟滤波器 H a s 是一个低通滤波器，又知 H z H a s 滤波器 H z 的通带中心位于下面哪种情况？并说明原因。 （1） （2） （3） 解： 方法 1 按题意可写出 。 0 （低通） 。 （高通） 除 0 或 以外的某一频率（带通） 。
所以阶跃响应的 z 变换为
1
S z
a 1 a jb 1 2 1 2 2 a jb Ts 1 a b 1 z 2a b 1 e z
2

a jb 1 2 2 a jb Ts 1 s a b 1 e z
T n 1 n1 1 s0T k AT n d 1 TA k (z e ) ( z ) ( ) (n 1)! k 1 (n 1)! dz 1 e s0T z 1
n 1
可得
H ( z ) h(k ) z
k 0

k
可以递推求得
AT ,n 1 S T 1 1 e 0 z H ( z) n S0T 1 AT e z , n 2,3,... S0T 1 n (1 e z )
4
H ( z ) 与 H a ( s) 的关系，并与脉冲不变法比较。
解：阶跃不变法就是使 s(n) sa (nT ) 因为 sa (t )

1 ha ( )d Sa ( s) H a ( s) ; s
t
阶跃响应的 变换为
1 S ( z ) F L1 H a ( s) s
3.用冲激响应不变法将以下 （1） （2） 分析 （1）冲激响应不变法满足 须让 先用部分分式展开。 ，T 为抽样间隔。这种变换法必 变换为 ,抽样周期为 T。 。 ，n 为任意正整数。
（2）第（2）小题要使用拉普拉斯变换公式 ，
3
可求出 解 （1） 由
又
,则可递推求解。
推出 由冲激响应不变法可得：
aT 1 a 1 z 1 a a cos bTs b sin bTs e s z 2 a b2 a 2 b2 1 2 cos bTs e aTs z 1 e 2 aTs z 2
（2）用冲激响应不变法，先对 H a s 作部分分式展开，
因为 (n) u(n) u(n 1) 所以 h(n) s(n) s(n 1) 对应的 z 变换为
t nT

H ( z ) (1 z 1 ) S ( z )
z 1 1 1 F L H a (s) z s
t nT
H e j H a j
Ts

1
若没有混叠，所需的滤波器阶数为
1 lg
p
2
N

2 s
2 lg
其中
1 p s
p s

p Ts p 。 s Ts s
很显然，所需的滤波器阶数与 Ts 无关。 将巴特沃斯滤波器的系统函数进行部分分式展开，就有

由此得到已知 H a ( s) 以及 ua (t ) 用阶跃不变法求 H ( z ) 的步骤为： (1) (2) 先将 Sa ( s) H a (s) / s 部分分式展开； 展开的分式 z 变换之和为 Sa ( z ) ；
H ( z)
z 1 Sa ( z ) 。 z
s z 1 z 1
Ha s
极点 sk 为
sk c e
j
Ak k 1 s sk
N
N 1 2 k
2N
k 0,1,
N
, N 1
对于冲激响应不变法，离散时间滤波器的系统函数变成
H z Ak sk Ts 1 z k 1 1 e
这样 H z 的极点位于
ze
第四章附加题
1. 在冲激响应不变法中，数字滤波器的单位采样相应由对连续时间滤波器的冲 激响应采样组成
h n ha nTs
另一种方法是用阶跃响应不变法， 数字滤波器的阶跃响应由对连续时间滤波器阶 跃响应的采样组成。 （1）利用连续时间滤波器原型，用阶跃响应不变法设计一个数字滤波器。
a a cos bTs b sin bTs e aTs z 1 a 1 1 2 a b 2 1 z 1 a 2 b 2 1 2 cos bTs e aTs z 1 e 2 aTs z 2
数字滤波器的系统函数为 H z 1 z 1 S z
1 e
a jb Ts
1 2
z 1

a jb T
1 2
虽然 H z 的极点与用阶跃响应不变法设计的滤波器的极点相同，但系统函 数不同，所以两种方法不等价。 2.设 ha t 表示一模拟滤波器的单位冲激响应，
e0.9t , t 0 ha t 0, t 0
Ha s
其中
sBaidu Nhomakorabeaa
s a
2
b
2

A1 A2 s a jb s a jb
1 2
A1 A2
所以系统函数为
H z
s 1 1 e z aTs 1 1 e cos bTs z 1 2 cos bTs e aTs z 1 e 2 aTs z 2
1 Sa s H a s s
这样
1 sa Sa s s s a 2 b 2
用阶跃响应不变法设计数字滤波器时， 我们要先对 H a s 进行部分分式展开
Sa s
其中
A0 A1 A2 s s a jb s a jb
A0
对 sa t 采样，即
a a jb a jb , A1 , A2 2 2 2 a b 2a b 2 a 2 b2
2
s n sa nTs
我们发现 s n 的 z 变换满足
1 1 s a 1 eaTs z 1
4.若 ua (t ) 是模拟网络 H a ( s) 的阶跃响应，即输入 xa (t ) u(t ) ，则响应 ya (t ) sa (t ) ；s(n)
是数字网络 H ( z ) 的阶跃响应，即输入 x(n) u (n) ，则响应 y(n) s(n) 。如果已知 H a ( s) 以及 s (t ) ，令 s( n) sa ( nT ) 这样来设计 H ( z ) 就称为阶跃不变法。试用阶跃不变法确定
H z 满足稳定条件。 所以， 对 T 1 和 T 0.5 ， 画出 H e j T 0 时，z1 1 ，
曲线如题 6 解图实线和虚线所示。
题 2 解图 由图可见，该数字滤波器近似为低通滤波器。且 T 越小，滤波器频率混叠越 小，滤波特性越好（即选择性越好） 。反之， T 越大，极点 z1 e0.9T 离单位圆越 远， 附近衰减越小，而且频率混叠越严重，使数字滤波器频响特性不能模 拟原模拟滤波器的频响特性。
z 1 这正是题中所给变换关系，所以数字滤波器 H a 通带中心位于 ， z 1
故答案（2）正确。 6. 用冲激响应不变法设计一个离散时间低通滤波器，连续时间巴特沃斯滤波器 的幅度平方函数为
H a j
2
1 1 j / j c
2N
滤波器的技术指标为
s z 1 z 1
H a 对应的
H z Ha s
2 1 z 1 2 z 1 s T 1 z 1 T z 1
z 1 当 T 2 时， H z H a ，这时，如果 H a s 为低通，则 H z 亦为低 z 1
用冲激响应不变法，将此模拟滤波器转化成数字滤波器（ h n 表示单位取 样响应，即 h n ha nT ） 。确定系统函数 H z ，并把 T 作为参数，T 为任何值 时， 数字滤波器是稳定的， 并说明数字滤波器近似为低通滤波器还是高通滤波器。 解：模拟滤波器系统函数为
2
H a s e0.9t e st dt
0

1 s 0.9
H a s 的极点 s1 0.9 ，数字滤波器系统函数应为
H z 1 1 s1T 1 0.9T 1 1 e z 1 e z
H z 的极点为
z1 e0.9T ， z1 e0.9T
Ha s
sa
s a
2
b2
（2）确定设计出来的滤波器是否与用冲激响应不变法设计出来的相同。 解： （1）如果连续时间滤波器的脉冲响应是 ha t ，它的阶跃响应为
sa t ha d

t
阶跃响应的拉普拉斯变换与系统函数 H a s 的关系为
6
1 p H e j 1
0 p
H e j s
s
假设没有混叠， 问冲激响应不变法中所用的采样周期值对设计结果是否有影 响，并说明理由。 解： 冲激响应不变法是在 内由 H a j 到 H e j 的线性映射，该映射 为