三角形中位线定理及逆定理的证明教学教材
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定理
三角形的中位线平行于第三边(不与中位线接触),并且等于第三边的一半。[1]
三角形的中位线
证明
如图,已知△ABC中,D,E分别是AB,AC两边中点。
求证DE平行于BC且等于BC/2
方法一:过C作AB的平行线交DE的延长线于G点。
∵CG∥AD
∴∠A=∠ACG
∵∠AED=∠CEG、AE=CE、∠A=∠ACG(用大括号)
∴△ADE≌△CGE (A.S.A)
∴AD=CG(全等三角形对应边相等)
∵D为AB中点
∴AD=BD
∴BD=CG
又∵BD∥CG
∴BCGD是平行四边形(一组对边平行且相等的四边形是平行四边形)
∴DG∥BC且DG=BC
∴DE=DG/2=BC/2
∴三角形的中位线定理成立.
方法二:相似法:
∵D是AB中点
∴AD:AB=1:2
∵E是AC中点
∴AE:AC=1:2
又∵∠A=∠A
∴△ADE∽△ABC
∴AD:AB=AE:AC=DE:BC=1:2
∠ADE=∠B,∠AED=∠C
∴BC=2DE,BC∥DE
方法三:坐标法:
设三角形三点分别为(x1,y1),(x2,y2),(x3,y3)
则一条边长为:根号(x2-x1)^2+(y2-y1)^2
另两边中点为((x1+x3)/2,(y1+y3)/2),和((x2+x3)/2,(y2+y3)/2)
这两中点距离为:根号((x2+x3)/2-(x1+x3)/2)^2+((y2+y3)/2-(y1+y3)/2)^2 最后化简时将x3,y3消掉正好中位线长为其对应边长的一半
方法四:
延长DE到点G,使EG=DE,连接CG
∵点E是AC中点
∴AE=CE
∵AE=CE、∠AED=∠CEF、DE=GE
∴△ADE≌△CGE (S.A.S)
∴AD=CG、∠G=∠ADE
∵D为AB中点
∴AD=BD
∴BD=CG
∵点D在边AB上
∴DB∥CG
∴BCGD是平行四边形
∴DE=DG/2=BC/2
∴三角形的中位线定理成立[2]
方法五:向量DE=DA+AE=(BA+AC)/2=BC/2[3]
∴DE//BC且DE=BC/2
逆定理
逆定理一:在三角形内,与三角形的两边相交,平行且等于三角形第三边一半的线段是三角形的中位线。
如图DE//BC,DE=BC/2,则D是AB的中点,E是AC的中点。
逆定理二:在三角形内,经过三角形一边的中点,且与另一边平行的线段,是三角形的中位线。
如图D是AB的中点,DE//BC,则E是AC的中点,DE=BC/2
三角形的中位线
证明:取AC中点E',连接DE',则有
AD=BD,AE'=CE'
∴DE'是三角形ABC的中位线
∴DE'∥BC
又∵DE∥BC
∴DE和DE'重合(过直线外一点,有且只有一条直线与已知直线平行)∴E是中点,DE=BC/2