三角形中位线定理的几种证明方法及教学中需要说明的地方

三角形中位线定理的证明及其教学说明

以下内容作者为：青岛第四中学杨瀚书老师

一、 三角形中位线定理的几种证明方法 法1： 如图所示，延长中位线DE 至F ，使

，连结CF ，则

，有AD

FC ，所以FC

BD ，则四边形BCFD 是平行四边

形，DF BC 。因为 ，所以DE

BC 2

1

．

法2：如图所示，过C 作 交DE 的延长线于F ，则

，有FC

AD ，那么FC

BD ，则四边形BCFD 为平行四边形，DF

BC 。

因为 ，所以DE

BC 2

1

．

法3：如图所示，延长DE 至F ，使 ，连接CF 、DC 、AF ，则四边形

ADCF 为平行四边形，有AD

CF ，所以FC

BD ，那么四边形BCFD 为平

行四边形，DF BC 。因为 ，所以DE

BC 2

1

．

法4：如图所示，过点E 作MN ∥AB ，过点A 作AM ∥BC ，则四边形ABNM 为平行四边形，易证CEN AEM ∆≅∆，从而点E 是MN 的中点，易证四边形ADEM 和BDEN 都为平行四边形，所以DE=AM=NC=BN ，DE ∥BC ，即DE

BC 2

1

。

法5：如图所示，过三个顶点分别向中位线作垂线．

二、教学说明

1、三角形中位线定理的另外一种猜想过程：“二维”转化为“一维”

在引导学生探索三角形中位线定理时，由于学生画出中位线后，就不难直观地发现平行关系，难的是发现数量关系，我联想到在此之前认识线段中点时的一道典型例题，挖掘它与原有知识的内在联系，从而作如下探索引导。

⑴如图，A为线段BC(或线段BC的延长线)上的任意一点，D、E分别是AB、AC 的中点，线段DE与BC有什么关系？

A

B C

图⑴：

⑵如果点A不在直线BC上，图形如何变化？上述结论仍然成立吗?

C

图⑵：

说明：学生观察（几何画板制作的）课件演示：当△ABC的顶点A运动到直线B C上时,中位线DE也运动到BC上，这样由“二维”转化为“一维”，学生就不难猜想性质的两方面，特别是数量关系，而想到去度量、验证和猜想，水到渠成.如果教师直接叫学生去度量角度和长度，是强扭的瓜不甜.

2、教学重点：本课重点是掌握和运用三角形中位线定理。

第一，要知道中位线定理的作用：可以证明两条直线平行及线段的倍分关系，计算边长或中位线的长。

第二，要知道中位线定理的使用形式，如：

∵ DE 是△ABC 的中位线

∴ DE ∥BC ，BC DE 2

1

第三，让学生通过部分题目进行训练，进而掌握和运用三角形中位线定理。 题1 如图4.11-7，Rt△ABC，∠BAC＝90°，D 、E 分别为AB ，BC 的中点，点F 在CA 延长线上，∠FDA＝∠B.

(1)求证：AF ＝DE ；(2)若AC ＝6，BC ＝10，求四边形AEDF 的周长.

分析 本题是考查知识点较多的综合题，它不但考查应用三角形中位线定理的能力，而且还考查应用直角三角形和平行四边形有关性质的能力。

(1)要证AF ＝DE ，因为它们刚好是四边形的一组对边，这就启发我们设法证明AEDF 是平行四边形.因为DE 是三角形的中位线，所以DE∥AC.又题给条件∠FDA＝∠B，而在Rt△ABC 中，因AE 是斜边上的中线，故AE ＝EB.从而∠EAB＝∠B.于是∠EAB＝∠FDA.故得到AE∥DF.所以四边形AEDF 为平行四边形.

E

D A

B C

(2)要求四边形AEDF 的周长，关键在于求AE 和DE ，AE ＝21BC ＝5，DE ＝21

AC

＝3.

证明：(1)∵D、E 分别为AB 、BC 的中点， ∴DE∥AC，即DE∥AF

∵Rt△ABC 中，∠BAC＝90°，BE ＝EC

∴EA＝EB ＝21

BC ，∠EAB＝∠B

又∵∠FDA＝∠B， ∴∠EAB＝∠FDA

∴EA∥DF，AEDF 为平行四边形 ∴AF＝DE

(2)∵AC＝6，BC ＝10，

∴DE＝21AC ＝3，AE ＝21

BC ＝5

∴四边形AEDF 的周长＝2(AE+DE)＝2(3+5)＝16

题2 如图，在四边形ABCD 中，AB ＝CD ，E 、F 分别是BC 、AD 的中点，延长BA 和CD 分别与EF 的延长线交于K 、H 。求证：∠BKE＝∠CHE.

分析 本题考查三角形中位线的构造方法及应用、平行线的性质.由中点想到中位线，又要把结论联系起来，既要使中位线的另一端点处一理想的位置，又使需证明的角转移过来，可考虑，连BD ，找BD 中点G ，则EG 、FG 分别为△BCD、△DBA 的中位线，于是得到了解题方法.考虑到结论辅助线不要乱作，取中点比作平行线好.

证明：连BD 并取BD 的中点G ，连FG 、GE 在△DAB 和△BCD 中

∵F 是AD 的中点，E 是BC 的中点

∴FG∥AB 且FG ＝21AB ，EG∥DC 且EG ＝21

DC

∴∠BKE＝∠GFE，∠CHE＝∠GEF ∵AB＝CD ∴FG＝EG

∴∠GFE＝∠GEF ∴∠BKE＝∠CHE

题3 如图， ABCD 为等腰梯形，AB∥CD，O 为AC 、BD 的交点，P 、R 、Q 分别为AO 、DO 、BC 的中点，∠AOB＝60°。求证：△PQR 为等边三角形.

分析 本题考查三角形中位线定理、等边三角形判定方法、直角三角形斜边

中线定理。利用条件可知PR ＝21

AD ，能否把PQ 、RQ 与AD(BC)联系起来成为解题