三角形中位线定理的几种证明方法及教学中需要说明的地方

三角形中位线定理的证明及其教学说明以下内容作者为：青岛第四中学杨瀚书老师一、 三角形中位线定理的几种证明方法 法1： 如图所示，延长中位线DE 至F ，使，连结CF ，则，有ADFC ，所以FCBD ，则四边形BCFD 是平行四边形，DF BC 。

因为 ，所以DEBC 21．法2：如图所示，过C 作 交DE 的延长线于F ，则，有FCAD ，那么FCBD ，则四边形BCFD 为平行四边形，DFBC 。

因为 ，所以DEBC 21．法3：如图所示，延长DE 至F ，使 ，连接CF 、DC 、AF ，则四边形ADCF 为平行四边形，有ADCF ，所以FCBD ，那么四边形BCFD 为平行四边形，DF BC 。

因为 ，所以DEBC 21．法4：如图所示，过点E 作MN ∥AB ，过点A 作AM ∥BC ，则四边形ABNM 为平行四边形，易证CEN AEM ∆≅∆，从而点E 是MN 的中点，易证四边形ADEM 和BDEN 都为平行四边形，所以DE=AM=NC=BN ，DE ∥BC ，即DEBC 21。

法5：如图所示，过三个顶点分别向中位线作垂线．二、教学说明1、三角形中位线定理的另外一种猜想过程：“二维”转化为“一维”在引导学生探索三角形中位线定理时，由于学生画出中位线后，就不难直观地发现平行关系，难的是发现数量关系，我联想到在此之前认识线段中点时的一道典型例题，挖掘它与原有知识的内在联系，从而作如下探索引导。

⑴如图，A为线段BC(或线段BC的延长线)上的任意一点，D、E分别是AB、AC 的中点，线段DE与BC有什么关系？AB C图⑴：⑵如果点A不在直线BC上，图形如何变化？上述结论仍然成立吗?C图⑵：说明：学生观察（几何画板制作的）课件演示：当△ABC的顶点A运动到直线B C上时,中位线DE也运动到BC上，这样由“二维”转化为“一维”，学生就不难猜想性质的两方面，特别是数量关系，而想到去度量、验证和猜想，水到渠成.如果教师直接叫学生去度量角度和长度，是强扭的瓜不甜.2、教学重点：本课重点是掌握和运用三角形中位线定理。

第一，要知道中位线定理的作用：可以证明两条直线平行及线段的倍分关系，计算边长或中位线的长。

第二，要知道中位线定理的使用形式，如：∵ DE 是△ABC 的中位线∴ DE ∥BC ，BC DE 21第三，让学生通过部分题目进行训练，进而掌握和运用三角形中位线定理。

题1 如图4.11-7，Rt△ABC，∠BAC＝90°，D 、E 分别为AB ，BC 的中点，点F 在CA 延长线上，∠FDA＝∠B.(1)求证：AF ＝DE ；(2)若AC ＝6，BC ＝10，求四边形AEDF 的周长.分析 本题是考查知识点较多的综合题，它不但考查应用三角形中位线定理的能力，而且还考查应用直角三角形和平行四边形有关性质的能力。

(1)要证AF ＝DE ，因为它们刚好是四边形的一组对边，这就启发我们设法证明AEDF 是平行四边形.因为DE 是三角形的中位线，所以DE∥AC.又题给条件∠FDA＝∠B，而在Rt△ABC 中，因AE 是斜边上的中线，故AE ＝EB.从而∠EAB＝∠B.于是∠EAB＝∠FDA.故得到AE∥DF.所以四边形AEDF 为平行四边形.ED AB C(2)要求四边形AEDF 的周长，关键在于求AE 和DE ，AE ＝21BC ＝5，DE ＝21AC＝3.证明：(1)∵D、E 分别为AB 、BC 的中点， ∴DE∥AC，即DE∥AF∵Rt△ABC 中，∠BAC＝90°，BE ＝EC∴EA＝EB ＝21BC ，∠EAB＝∠B又∵∠FDA＝∠B， ∴∠EAB＝∠FDA∴EA∥DF，AEDF 为平行四边形 ∴AF＝DE(2)∵AC＝6，BC ＝10，∴DE＝21AC ＝3，AE ＝21BC ＝5∴四边形AEDF 的周长＝2(AE+DE)＝2(3+5)＝16题2 如图，在四边形ABCD 中，AB ＝CD ，E 、F 分别是BC 、AD 的中点，延长BA 和CD 分别与EF 的延长线交于K 、H 。

求证：∠BKE＝∠CHE.分析 本题考查三角形中位线的构造方法及应用、平行线的性质.由中点想到中位线，又要把结论联系起来，既要使中位线的另一端点处一理想的位置，又使需证明的角转移过来，可考虑，连BD ，找BD 中点G ，则EG 、FG 分别为△BCD、△DBA 的中位线，于是得到了解题方法.考虑到结论辅助线不要乱作，取中点比作平行线好.证明：连BD 并取BD 的中点G ，连FG 、GE 在△DAB 和△BCD 中∵F 是AD 的中点，E 是BC 的中点∴FG∥AB 且FG ＝21AB ，EG∥DC 且EG ＝21DC∴∠BKE＝∠GFE，∠CHE＝∠GEF ∵AB＝CD ∴FG＝EG∴∠GFE＝∠GEF ∴∠BKE＝∠CHE题3 如图， ABCD 为等腰梯形，AB∥CD，O 为AC 、BD 的交点，P 、R 、Q 分别为AO 、DO 、BC 的中点，∠AOB＝60°。

求证：△PQR 为等边三角形.分析 本题考查三角形中位线定理、等边三角形判定方法、直角三角形斜边中线定理。

利用条件可知PR ＝21AD ，能否把PQ 、RQ 与AD(BC)联系起来成为解题的关键，由于∠AOB＝60°，OD ＝OC ，则△ODC 为等边三角形，再由R 为OD 中点，则∠BRC＝90°，QR 就为斜边BC 的中线.证明：连RC ，∵四边形ABCD 为等腰梯形且AB∥DC ∴AD＝BC ∠ADC＝∠BCD又∵DC 为公共边 ∴△ADC≌△BCD ∴∠ACD＝∠BDC ∴△ODC 为等腰三角形 ∵∠DOC＝∠AOB＝60° ∴△ODC 为等边三角形 ∵R 为OD 的中点∴∠ORC＝90°＝∠DRC(等腰三角形底边上的中线也是底边上的高)∵Q 为BC 的中点 ∴RQ＝21BC ＝21AD 同理PQ ＝21BC ＝21AD在△OAD 中 ∵P、R 分别为AO 、OD 的中点∴PR＝21AD ∴PR＝PQ ＝RQ故△PRQ 为等边三角形3、教学难点：本课难点是三角形中位线定理的证明，证明方法的关键在于如何添加辅助线．教师可以在证明思路上进行引导、启发，避免生硬地将辅助线直接作出来让学生接受。

例如，教师可以启发学生：要证明一条线段的长等于另一条线段的长的一半，可将较短的线段延长一倍，或者截取较长的线段的一半。

上面的这种辅助线的作法可以概括为“短延长、长截短”，这种辅助线的作法还可以用于证明线段和、差、倍、分等方面。

证明线段的和、差、倍、分常用的证明策略：1，长截短：要证明一条线段等于另外两条线段的和与差，可在长线上截取一部分等于另两条线段中的一条，然后再证明另一部分等于剩下的一条线段的长。

（角也亦然）2，短延长：要证明一条线段等于另外两条线段的和与差，可先延长较短的一条线段，得到两条线段的和，然后再证明其与长的线段相等。

（角也这样）3，加倍法：要证明一条线段等于另一条线段的2倍或1/2，可加倍延长线段，延长后使之为其2倍，再证明与另一条线段相等。

（角也这样）4，折半法：要证明一条线段等于另一条线段的2倍或1/2，也可取长线段的中点，再证明其中之一与另一条线段相等。

（角也可用）5，代数运算推理法：这种方法是利用代数运算证明线段或角的和、差、倍、分。

6，相似三角形及比例线段法：利用相似三角形的性质进行推理论证。

题1（短延长）：如图所示，在正方形ABCD中，P、Q分别为BC、CD上的点。

（1）若∠PAQ=45°，求证：PB+DQ=PQ。

（2）若△PCQ的周长等于正方形周长的一半，求证：∠PAQ=45°Q证明：（1）延长CB 至E ，使BE=DQ ，连接AE 。

∵四边形ABCD 是正方形∴∠ABE=∠ABC=∠D=90°，AB=AD 在△ABE 和△ADQ 中∵AB=AD ，∠ABE=∠D ，BE=DQ∴≅∴=∠=∠∠=∴∠+∠=∴∠+∠=∠=∠=∆∆ABE ADQAE AQ BAE QAD PAQ BAP QAD BAP BAE EAP PAQ ，°°°，即°45454545在和中，，即∆∆∆∆AEP AQP AE AQ EAP PAQ AP AP AEP AQP EP PQEP EB BP DQ BP PQPB DQ PQ =∠=∠=∴≅∴=∴=+=+=+=Q（2）延长CB 至E ，使BE=DQ ，连接AE 由（1）可知∆∆ABE ADQ ≅∴=∠=∠∴∠+∠=∠+∠=∴++=+∴=-+-=+=+====∴≅∴∠=∠=AE AQ BAEQADDAQ BAQ BAE BAQ PCQ PC QC QP BC CDPQ BC PC CD QC BP DQ BP EB EP AEP AQP AE AQ EP PQ AP AP AEP AQPEAP PAQ ，°的周长等于正方形周长的一半在和中，，°9045 ∆∆∆∆∆()()题2（长截短）：如图，在△ABC 中，∠B=2∠C ，∠A 的平分线AD 交BC 于D 。

求证：AC=AB+BD证明：在AC上截取OA=AB，连接OD，∵∠3=∠4，AD=AD∴△ABD≌△AOD，∴BD=DO∴∠B=∠1=∠2+∠C= 2∠C∴∠2=∠C∴OD=OC=BD∴AC=OA+OC=AB+BD。