柯西不等式的应用技巧
柯西不等式的应用技巧
柯西不等式的应用技巧一、求解极值问题∫[a,b] f(x)g(x)dx ≤ √[∫[a,b] f^2(x)dx] * √[∫[a,b]g^2(x)dx]，其中等号成立来自于两个函数的线性相关性。
利用柯西不等式，我们可以求解函数的最大值和最小值。
以求解函数f(x)=x(1-x)在区间[0,1]上的极值为例，我们可以将f(x)表示为f(x)=x-x^2，进而应用柯西不等式得到：∫[0,1] x(1-x) dx ≤ √[∫[0,1] x^2 dx] * √[∫[0,1] (1-x)^2 dx]=√[1/3]*√[1/3]=1/3所以函数f(x)在区间[0,1]上的最大值为1/3二、求解积分问题以求解积分∫[0,1] (x^2 + 1) dx为例，我们可以构造一个辅助函数g(x) = 1，然后应用柯西不等式得到：∫[0,1] (x^2 + 1) dx ≤ √[∫[0,1] (x^2 + 1)^2 dx] *√[∫[0,1] 1^2 dx]计算得到：∫[0,1] (x^2 + 1) dx ≤ √[∫[0,1] (x^4 + 2x^2 + 1) dx] *√[1]=√[1/5+2/3+1]=√[(5+10+15)/15]=√[2]所以∫[0,1] (x^2 + 1) dx ≤ √2三、求解概率问题以证明概率分布函数的Cauchy-Schwarz不等式为例，假设X和Y是两个随机变量，它们的概率分布函数分别为f(x)和g(x)。
根据柯西不等式，我们有：E(XY)^2≤E(X^2)E(Y^2)，其中E(表示期望。
通过柯西不等式，我们可以证明两个随机变量的相关系数的上限为1、若X和Y的相关系数为ρ，则根据定义有：ρ = Cov(X,Y) / (σ(X)σ(Y))其中Cov(X,Y)表示X和Y的协方差，σ(X)和σ(Y)表示X和Y的标准差。
我们可以利用柯西不等式证明：ρ，≤1四、其他应用总结起来，柯西不等式是一个在线性代数中非常有用的工具。
柯西不等式的应用技巧
柯西不等式的应用技巧
柯西不等式是指对于凸的函数f的任何实数可以进行如下不等式的谓词：f(x) ≤ f(y) + f'(y)*(x-y)，这里f'(y)表示y点处函数f的导数。
柯西不等式可以
用来推断函数f在任何给定点处拥有特定属性，其特性更适用于凸函数。
柯西不等式可以用于求凸函数的极值，其可以把函数的极值分解为一系列的数
学运算，只有当所有的函数值都子满足柯西不等式的限制时，才能够换取到函数的极值。
柯西不等式其极大值点和极小值点也可以由其求出，而不需要考虑函数可能存在的复杂变化。
柯西不等式可以用来求解优化问题，可以把未知数量和变量映射到相应的函数，如果不满足柯西不等式，则可以构建一个优化问题求解未知变量，此时优化问题可以被视为最小化或最大化某一函数。
柯西不等式可以确保求解的可行性，同时可以加快优化的速度，将复杂的多变量求解转变为更简单的一维求解。
柯西不等式广泛应用于概率计算。
在概率论中，可以根据柯西不等式计算出概
率变量以及其相关的定义域范围，这允许概率论家以可视化的方式解决复杂的统计问题。
换句话说，只要满足某种柯西不等式，这些分析问题就可以被解决，比如联合概率分布，条件概率分布等。
总而言之，柯西不等式是一种极其重要的基础工具，其可用于求凸函数的极值，求解优化问题，甚至在概率计算上也有极大的作用。
谈谈柯西不等式的应用技巧
思路探寻思路探寻所以()2a+3b+2æèöø1a+1+2b≥()2+62=8+43，所以1a+1+2b≥3，当且仅当a+1b=时，1a+1+2b的最小值为2+3，故A选项正确；对于B，由柯西不等式可得()a2+b2()22+32≥(2a+3b)2，所以a2+b2≥413，当且仅当3a=2b时，a2+b2的最小值413，故B选项正确；对于C，由柯西不等式得2a+1+3b+2≤()12+12éëêùûú()2a+12+()3b+22=10，当且仅当2a=3b+1时，2a+1+3b+2的最大值为10，故C选项正确；对于D，由柯西不等式可得，éëêùûú()2a+12+()3b+62⋅éëêêùûúúæèçöø÷2a2a+12+æèçöø÷3b3b+62≥æèçöø÷2a+1∙2a2a+1+3b+6∙3b3b+62，所以()2a+3b+7æèçöø÷4a22a+1+3b2b+2≥()2a+3b2，即4a22a+1+3b2b+2≥49，当且仅当b=4a时，4a22a+1+3b2b+2的最小值为49，故D选项错误.因此本题的答案为ABC.本题四个选项中的代数式均较为复杂，且均含有双变量，需运用二维柯西不等式来求解，分别通过分离常数、凑系数、开方、平方等方式，配凑出两式的和与积，进而运用二维柯西不等式求得最值.例5.求函数f()θ=sinθ2+cosθ的最值.解：令sinθ2+cosθ=t，则sinθ-t cosθ=2t，由柯西不等式可得：()sinθ-t cosθ2≤()sin2θ+cos2θ()1+t2，所以4t2≤1+t2，解得≤t≤，所以函数f()θ=sinθ2+cosθ的最大值为，最小值为.我们先令sinθ2+cosθ=t，即可将分式化为整式，要求得t的最值，就需将变量θ消去，于是联想到同角三角函数的平方关系式sin2θ+cos2θ=1，便构造出1+t2，进而运用二维柯西不等式，得到关于t的一元二次不等式，通过解不等式得出t的范围，即为该函数的值域.例6.已知x,y,z满足x+y+z=1，求x2+4y2+9z2的最小值.解：由柯西不等式可得：éëêùûú12+æèöø122+æèöø132∙[x2+()2y2+()3z2]≥()x+y+z2，即4936∙()x2+4y2+9z2≥1，所以x2+4y2+9z2≥3649，当且仅当x=4y=9z时取等号，所以x2+4y2+9z2的最小值为3649.本题中涉及了三个变量，于是结合式子x+y+z=1和x2+4y2+9z2的特点，联想到三维柯西不等式，通过构造因式12+æèöø122+æèöø132，来配凑出三维柯西不等式()a21+a22+a23()b21+b22+b23≥()a1b1+a2b2+a3b32中的式子，进而运用三维柯西不等式解题.例7.已知直线l:ax-by+2=0(a>0,b>0)经过点(-1,2)，求当2a+1b取得最小值时直线l的斜率.解：由题设可知，-a-2b+2=0，即a+2b=2，由柯西不等式可得éëêùûú()a2+()2b2⋅éëêêùûúú2+2≥æèça∙+2b∙2，所以()a+2bæèöø2a+1b≥8，2a+1b≥4，当且仅当a=2b时，2a+1b取得最小值，此时直线l的斜率k=ab=2.对于本题，我们需先根据已知条件求得a+2b=2；然后将式子2a+1b变形为2+2，将其与式子()a2+()2b2中的对应项相乘得到定值，即可运用二维柯西不等式求得2a+1b的最小值；最后根据柯西不等式取等号的条件和直线的斜率公式可得出l的斜率.二、用柯西不等式解方程利用柯西不等式解方程或者解方程组，主要是利用柯西不等式取等号的条件来求得方程或者方程组的解.44思路探寻例8.已知sinα-3cosα=10，求tanα的值.解：由柯西不等式可得()sinα-3cosα2≤()sin2α+cos2α[]12+()-32≤10，即sinα-3cosα≤10，当且仅当-3sinα=cosα，即tanα=-13时等号成立.本题是一道三角方程问题.在解方程时，需利用二维柯西不等式取等号的条件和同角三角函数的商式关系式求得tanα的值.例9.若p，q，m，r，s，t为实数，p2+q2+m2=4，r2+s2+t2=9，pr+qs+mt=6，则p+q+mr+s+t=______.解：由柯西不等式可得：()p2+q2+m2()r2+s2+t2≥()pr+qs+mt2，当且仅当pr=qs=m t时取等号，令pr=k，则p+q+mr+s+t=k，将p=kr，q=ks，m=kt代入pr+qs+mt=6，可得k()r2+s2+t2=6，解得k=23，所以p+q+mr+s+t=23.本题是解方程问题，利用了三维柯西不等式取等号的条件建立方程组，最终通过恒等变换求得p+q+mr+s+t的值.三、利用柯西不等式证明不等式柯西不等式是证明不等式的重要工具.在证明不等式时，首先要明确已知关系式和目标式的结构特征，用柯西不等式来搭建“桥梁”，使已知关系式和目标式建立联系；再合理配凑两式的和或积，运用柯西不等式证明不等式.例10.已知a>0，b>0，a2+b2=8，（1）求证：a+b≤4；（2）≥2.证明：（1）由柯西不等式可得()a+b2≤()12+12()a2+b2，所以()a+b2≤16，所以a+b≤4，当且仅当a=b=2时等号成立；（2）由柯西不等式可得：()a2+b2æèçöø÷1a2+32b2≥æèöøa∙1a+b∙3b2，所以8æèçöø÷1a2+9b2≥16≥2，当且仅当3a b=b a，即a=2，b=6时等号成立.第（1）问的目标式为a+b≤4，需根据二维柯西不等式将其与已知条件a2+b2=8关联，配凑出12+12，使其与a2+b2=8相乘，得出()a+b2≤(12+12)⋅()a2+b2.第（2）问的目标式为≥2，需将该式左边的两式分别与a2、b2相乘，得到常数，即可运用柯西不等式求得1a2+9b2的最小值.例11.已知a，b，c都为正实数，且a+b+c=3，证明：2a+1+2b+1+2c+1≤33.证明：由柯西不等式可得，()2a+1+2b+1+2c+12≤()12+12+12[]()2a+1+()2b+1+()2c+1，所以()2a+1+2b+1+2c+12≤3×9，所以2a+1+2b+1+2c+1≤33，当且仅当12a+1=12b+1=12c+1，即a=b=c=1时等号成立.解答本题主要运用了三维柯西不等式，需先结合已知关系和目标式的结构特点，配凑出12+12+12、()2a+1+()2b+1+()2c+1；再运用三维柯西不等式证明结论.例12.已知a，b，c都是正数，且a+b+c=1.求证：a2b+b2c+c2a≥1.证明：因为a，b，c都是正数，由柯西不等式可得，()a+b+cæèçöø÷a2b+b2c+c2a=éëêùûú()a2+()b2+()c2⋅éëêêùûúúæèçöø÷ca2+æèçöø÷ab2+æèçöø÷bc2≥æèçöø÷a∙ca+b∙ab+c∙bc2=()c+a+b2=1，所以a2b+b2c+c2a≥1，当且仅当a=b=c=13时取等号.先将a2b+b2c+c2a中的单项式改变位置，可化为c2a+a2b+b2c；再将其与因式()a+b+c相乘，即可运用三维柯西不等式证明不等式成立.当遇到此类问题时，为了便于运用柯西不等式，需要重新排列各个单项式的位置，以便得到定值.总之，在运用柯西不等式解题时，要注意将代数式进行合理的变形，常用的变形技巧有拆常数项、添项、补项、更换单项式的位置、开方、平方、凑分母、凑分子等，使两个多项式中的对应项的积为定值，或几个单项式的和为定值，为运用柯西不等式创造条件.（作者单位：福建省厦门市杏南中学）45。
柯西不等式的使用
柯西不等式的使用
柯西不等式用在二维形式、向量形式、三角形式、概率论形式、积分形式与一般形式中。
柯西不等式在解决不等式证明的有关问题中十分广泛的应用，在高等数学提升中与研究中非常重要。
1、分式中，分子分母同除以最高次，化无穷大为无穷小计算，无穷小直接以0代入。
2、无穷大根式减去无穷大根式时，分子有理化，然后运用分式中的方法。
3、运用两个特别极限。
4、运用洛必达法则，但是洛必达法则的运用条件是化成无穷大比无穷大，或无穷小比无穷小，分子分母还必须是连续可导函数。
5、用Mclaurin(麦克劳琳)级数展开，而国内普遍误译为Taylor(泰勒)展开。
6、等阶无穷小代换。
7、夹挤法。
这不是普遍方法，因为不可能放大、缩小后的结果都一样。
8、特殊情况下，化为积分计算。
9、其他极为特殊而不能普遍使用的方法。
由柯西不等式的几种证法所挖掘出的解题技巧
由柯西不等式的几种证法所挖掘出的解题技巧邓军民（广州市育才中学数学科）柯西不等式：设n n b b b a a a ,......,,;,......,,2121为两组实数，则()()()222212222122211.n n n n b b b a a a b a b a b a ++++++≤+++当且仅当时取等号，，，，约定)210(2211n i a a b a b a b i nn =≠===。
柯西不等式证法一：构造二次函数（n i a i ，，， 21,0=≠）()()()()2222122112222212n n n n b b b x b a b a b a x a a a x f +++++++-+++=()()()()()()()()()()时取等号。
即，，当且仅当nn n n nn n n n n n n n n a b a b a b b x a b x a b x a b b b a a a b a b a b a b b b a a a b a b a b a b x a b x a b x a x f ====-=-=-++++++≤+++∴≤++++++-+++=∆∴≥-++-+-= 2211221122221222212221122221222212221122222110000440这种证法则是利用了二次函数()()∑=-=ni i i b x a x f 12的两个特点：（1）、二次项系数大于0 ；（2）、函数值 ()0,0≤∆≥则可得出结论：x f 。
有些不等式题则可根据已知条件和条件的特点，巧妙地构造二次函数()()∑=-=ni i i b x a x f 12，从而利用()0≥x f 恒成立，0≤∆来求解。
例1、 设()n i x i ,2,10=>，求证：n n x x x x x x xx x +++≥+++ 2112322221()()()()⎪⎪⎭⎫⎝⎛+++++++-++++=∴=>123222212121322,2,10x x x x x x x x x x x x x x x x f n i x n n n i 可构造函数证明：21123232212⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=x x x x x x x x x x x x n()()()()()nn n nn nn n x x x x x x x xx x x x x xx x x x x x x x x xx x x x x x x x x x x x x f ++++≥+++∴+++≥⎪⎪⎭⎫⎝⎛+++++++∴≤⎪⎪⎭⎫⎝⎛+++++++-+++=∆∴≥ 3211232222122112322221132123222211322210440恒成立例2、已知实数a 、b 、c 、d 满足a+b+c+d=3,56322222=+++d c b a ,试求a 的最大值和最小值。
柯西不等式各种形式的证明及其应用
柯西不等式各种方式的证实及其利用之杨若古兰创作柯西不等式是由大数学家柯西(Cauchy)在研讨数学分析中的“流数”成绩时得到的.但从历史的角度讲，该不等式该当称为Cauchy-Buniakowsky-Schwarz 不等式，由于，恰是后两位数学家彼此独立地在积分学中推而广之，才将这一不等式利用到近乎完美的地步. 柯西不等式非常主要，灵活巧妙地利用它，可以使一些较为困难的成绩水到渠成. 柯西不等式在证实不等式、解三角形、求函数最值、解方程等成绩的方面得到利用.一、柯西不等式的各种方式及其证实 二维方式在普通方式中，12122,,,,n a a a b b c b d =====令，得二维形式 等号成立条件：()d c b a bc ad //== 扩展：()()()222222222123123112233n n n n aa a ab b b b a b a b a b a b +++⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅+≥+++⋅⋅⋅+等号成立条件：1122000::::,1,2,3,,i i i i n n i i a b a b a b a b a b a b i n ==⎛⎫==⋅⋅⋅= ⎪=⋅⋅⋅⎝⎭当或时，和都等于，不考虑二维方式的证实： 三角方式222111nnn k k k k k k k a b a b ===⎛⎫≥ ⎪⎝⎭∑∑∑三角方式的证实： 向量方式向量方式的证实： 普通方式普通方式的证实： 证实：推广方式(卡尔松不等式)：卡尔松不等式表述为：在m*n 矩阵中，各行元素之和的几何平均数不小于各列元素 之积的几何平均之和. 或者： 或者推广方式的证实： 推广方式证法一： 或者推广方式证法二：事实上涉及平均值不等式都可以用均值不等式来证， 这个不等式其实不难，可以简单证实如下： 付：柯西（Cauchy ）不等式相干证实方法：等号当且仅当021====n a a a 或i i ka b =时成立（k 为常数，n i 2,1=）现将它的证实介绍如下：证实1：构造二次函数 ()()()2222211)(n n b x a b x a b x a x f ++++++==()()()22222121122122n nn n n n a a a x a b a b a b x b b b +++++++++++()0f x ∴≥恒成立即()()()2222211221212nnn n n n a b a b a b a a a b b b +++≤++++++当且仅当()01,2i i a x b x i n +== 即1212n na a ab b b ===时等号成立证实（2）数学归纳法（1）当1n =时 左式=()211a b 右式=()211a b 明显 左式=右式 当2n =时， 右式()()()()2222222222121211222112a a b b a b a b a b a b =++=+++()()()2221122121212222a b a b a a b b a b a b ≥++=+=右式仅当即 2112a b a b = 即1212a ab b =时等号成立故1,2n =时 不等式成立（2）假设n k =(),2k k ∈N ≥时，不等式成立 即 ()()()2222211221212kk k k k k a b a b a b a a a b b b +++≤++++++当 i i ka b =，k 为常数，1,2i n = 或120k a a a ====时等号成立设22212k a a a A ====22212k b b b B ====则()()2222211111k k k k k a b b a b +++++A +B +=AB +A + 当 i i ka b =，k 为常数，1,2i n = 或120k a a a ====时等号成立即 1n k =+时不等式成立综合（1）（2）可知不等式成立 二、柯西不等式的利用1、巧拆常数证不等式例1：设a 、b 、c 为负数且互不相等.求证：2222a b b c a ca b c++++++. a b c 、、均为负数()()()()()111292=a b c a b b c a c a b c a b b c a c ∴⎛⎫++++ ⎪+++⎝⎭+++++++为证结论正确，只需证:而为证结论准确，只需证：又29(111)=++∴只需证:又a b c 、、互不相等，所以不克不及取等∴原不等式成立，证毕.2、求某些特殊函数最值 例2：y =求函数 函数的定义域为[5，9],0y3、用柯西不等式推导点到直线的距离公式. 已知点()00,x y P 及直线:l 0x y C A +B +=()220A +B ≠ 设点p 是直线l 上的任意一点， 则0x x C A +B += （1）12p p =（2）点12p p 两点间的距离12p p 就是点p 到直线l 的距离，求（2）式有最小值，有 由（1）（2）得：21200p p x y C≥A +B + 即12p p ≥（3）当且仅当 ()()0101:y y x x B --=A12p p l ⊥ （3）式取等号 即点到直线的距离公式即4、 证实不等式例 3已知负数,,a b c 满足1a b c ++= 证实 2223333a b c a b c ++++≥证实：利用柯西不等式又由于 222a b c ab bc ca ++≥++ 在此不等式两边同乘以2，再加上222a b c ++得：()()2223a b c a b c ++≤++故2223333a b c a b c ++++≥5、 解三角形的相干成绩例 4设p 是ABC 内的一点，,,x y z 是p 到三边,,a b c 的距离，R 是ABC 证实：由柯西不等式得， 记S 为ABC 的面积，则故不等式成立.6、 求最值例5已知实数,,a b c ,d 满足3a b c d +++=， 22222365a b c d +++=试求a 的最值解：由柯西不等式得，有即()2222236b c d b c d ++≥++ 由条件可得， ()2253a a -≥- 解得，12a ≤≤== 时等号成立，代入111,,36b c d ===时， max 2a =211,,33b c d ===时 min 1a =7、利用柯西不等式解方程 例6在实数集内解方程 解：由柯西不等式，得()()()()222222286248624x y z x y y ⎡⎤++-++-≥-+-⎣⎦① 又()22862439x y y -+-=即不等式①中只要等号成立从而由柯西不等式中等号成立的条件，得 它与862439x y y -+-=联立，可得8、用柯西不等式解释样本线性相干系数 在线性回归中，有样底细关系数()()niix x y y --∑出1r≤且r越接近于1，相干程度越大，r 越接近于0，则相干程度越小.此刻可用柯西不等式解释样本线性相干系数.现记i i a x x =-，i i b y y =-，则，ni ia b∑1r≤当1r=时，()222111n nni i iii i i a b ab====∑∑∑此时，()()i ii iy yb k x x a -==-，k 为常数.点(),i i x y n i 2,1=均在直线()y y k x x -=-上，r当1r→时，()222111n nni i iii i i a b ab===→∑∑∑即()2221110nnni i ii i i i a b a b ===-→∑∑∑而()()22221111n n ni i ii i j j i i i i i j na b a b a b a b ===≤≤≤-=--∑∑∑∑⇒,iib k k a →为常数. 此时，此时，()()i ii iy yb k x x a -==-，k 为常数点(),i i x y 均在直线()y y k x x -=-附近，所以r 越接近于1，相干程度越大 当0r→时，(),i i a b 不具备上述特征，从而，找不到合适的常数k ，使得点(),i i x y 都在直线()y y k x x -=-附近.所以，r 越接近于0，则相干程度越小.9、关于不等式22222)())((bd ac d c b a +≥++的几何布景 几何布景：如图，在三θ=∠QOP d c Q b a P ),,(),,(，则 ,,2222d c OQ b a OP+=+=.)()(22d b c a PQ -+-=将以上三式代入余弦定理θcos 2222⋅⋅-+=OQ OP OQ OP PQ ，并化简，可得2222cos dc b a bdac +⋅++=θ或.))(()(cos 222222d c b a bd ac +++=θ 由于1cos 02≤≤θ，所以，1))(()(22222≤+++d c b a bd ac ，因而22222)())((bd ac d c b a +≥++.柯西不等式的相干内容简介（1）赫尔德(Holder)不等式当2==q p 时，即为柯西不等式.是以，赫尔德不等式是柯西不等式更为普通的方式，在分析学中有着较为广泛的利用.（2）平面三角不等式（柯西不等式的等价方式）22222112222122221)()()(n n n n b a b a b a b b b a a a ++++++≥+++++++ 可以借助其二维方式22221122212221)()(b a b a b b a a +++≥+++来理解，根据三角形的两边之和大于第三边，很容易验证这一不等式的准确性.该不等式的普通方式pp n n p p ppn ppppn ppb a b a b a b b b a a a 12211121121])()()[()()(++++++≥+++++++ 称为闵可夫斯基（Minkowski ）不等式.它是由闵可夫斯基在对n 维空间中的对称凸几何体定义了一种“距离”的基础上得到的，即对于点),,,(),,,,(2121n n y y y y x x x x ==，定义其距离为pnipi i y x y x 1)(),(∑-=ρ.闵可夫斯基立足于这一不等式确立了响应的几何，建立了一品种似于古代度量空间的理论，即实变函数中的赋范空间基础.这从另一个正面体现了柯西不等式的丰富数学布景.。
柯西不等式的应用(整理篇).doc
柯西不等式的证明及相关应用摘要 ：柯西不等式是高中数学新课程的一个新增容，也是高中数学的一个重要知识点， 它不仅历史悠久， 形式优美，结构巧妙，也是证明命题、研究最值问题的一个强有力的工具。
关键词 ：柯西不等式柯西不等式变形式 最值一、柯西（ Cauchy ）不等式：a 1b 1 a 2 b 2 a n b n2a 12 a 22a n 2b 12 b 22 b n 2 a i ,b i R, i 1,2 n等号当且仅当 a 1 a 2 a n0 或 b ika i 时成立（ k 为常数， i 1,2n ）现将它的证明介绍如下：方法 1 证明：构造二次函数f ( x) a x b 2a x b2a x b21122nn= a 12 a 22a n 2 x 2 2 a 1b 1 a 2 b 2a nb n x b 12 b 22b n 2由构造知f x0 恒成立又 Q a 12 a 22 L a n n4 a 1b 1 a 2 b 2a nb n 2 4 a 12 a 22 a n 2 b 12 b 22b n 2即 a 1b 1a 2b 2a nb n2a 12 a 22a n 2b 12 b 22b n 2当且仅当 a i xb i 0 i 1,2n即a1a 2 L a n 时等号成立b 1b 2 b n方法 2证明 :数学归纳法（ 1） 当 n 1 时左式 = a 1b 1 22右式 =a 1b 1显然左式 =右式当 n2 时a 12 a 22b 12 b 22a 1b 1 2 a 2 b 22a 12b 22右式a 22b 12222a a bb2 左式a ba b2a b a b1 12 212 1 1 222故 n 1,2时 不等式成立（ 2）假设 n k k, k 2 时，不等式成立即 a 1b 1 a 2 b 2 a k b k2a 12 a 22a k 2b 12 b 22b k 2当 b i ma i ， m 为常数， i 1,2 k 或 a 1a 2 L a k0 时等号成立设 A= a 12 a 22a k 2B= b 12 b 22b k 2C a 1b 1 a 2b 2 L a k b kAB C 2则 A a k21 B b k21 AB Ab k21 Ba k21 a k21b k21C 2 2Ca k 1b k 1 a k2 1b k2 1C 2ak 1bk 1a12 a22 L a k2 a k2 b12 b22 L b k2 b k21 a1b1 21 a2b2Lakbkak 1bk 1当b i ma i，m为常数， i 1,2 k 1 或 a1 a2 a k 1时等号成立即n k 1时不等式成立综合（ 1）（2）可知不等式成立二、柯西不等式的简单应用柯西不等式是一个非常重要的不等式，学习柯西不等式可以提高学生的数学探究能力、创新能力等，能进一步开阔学生的数学视野，培养学生的创新能力，提高学生的数学素质。
柯西不等式的应用技巧
柯西不等式的应用技巧柯西不等式是高等数学中一种重要的不等式，广泛应用于数学分析、线性代数、概率论等领域。
它由法国数学家奥古斯丁·路易·柯西于1821年提出，被认为是不等式理论的巅峰之作。
柯西不等式的应用技巧有很多，下面主要介绍其中的几种常见应用。
一、向量长度的柯西不等式推导给定n维实向量x=(x1,x2,...,xn)和y=(y1,y2,...,yn)，那么它们的内积满足如下不等式：(x,y)，≤√((x,x)·(y,y))其中(x,y)表示x和y的内积，(x,x)为x的长度平方，(y,y)为y的长度平方。
这个不等式可以通过Cauchy-Schwarz求平方法来证明。
应用技巧：1.在证明向量长度之间的不等式时，可以使用柯西不等式进行推导。
2.可以利用柯西不等式来估计向量长度之间的关系。
二、几何中的柯西不等式给定平面上的两个向量a=(a1,a2)和b=(b1,b2)，那么它们的内积满足如下不等式：a·b，≤，a，·，b其中a·b表示a和b的内积，a，和，b，分别表示向量a和b的长度。
应用技巧：1.可以使用柯西不等式来推导平面上向量的夹角关系。
2.可以利用柯西不等式来证明平面上的几何定理。
三、数列的柯西不等式给定两个数列a=(a1,a2,...,an)和b=(b1,b2,...,bn)，那么它们的内积满足如下不等式：∑(ak·bk)，≤ √(∑(ak^2)·∑(bk^2))其中ak·bk表示ak和bk的乘积，∑(ak·bk)表示乘积的和，ak^2表示ak的平方，∑(ak^2)表示平方的和。
应用技巧：1.可以利用柯西不等式来证明数列的性质，例如数列的单调性、有界性等。
2.可以将柯西不等式应用于数学问题的解法中，寻找合适的数列。
四、概率论中的柯西不等式给定两个随机变量X和Y，它们之间的相关系数满足如下不等式：E(XY)，≤√(E(X^2)·E(Y^2))其中E(XY)表示X和Y的期望值，E(X^2)和E(Y^2)分别表示X和Y的平方的期望值。
聚焦柯西不等式在竞赛中四大运用
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２
(
ｘ －５ ＋
２
２４ － ３ｘ ) ＝ (
１
３ｘ － １５ ＋ １ ２４ － ３ｘ ) ２
３
(
ｘ －５ ＋
≤(
１
＋ １) [ (３ｘ － １５) ＋ (２４ － ３ｘ) ] ＝ １２ꎬ
３
当且仅当 ３ ３ｘ － １５ ＝
２４ － ３ｘ 即 ｘ ＝
故答案选 Ｃ.
２３
取等号.
４
例 ７ ( 数学通讯问题 ３０６) 已知实数 ａꎬｂ > ０ꎬ求证:
≤(
１
１
＋ ) [ ( ａ２ － ３ｂ２ ) ｘ ＋ ２４ｂ２ － ５ａ２ ]
ａ２ ｂ２
＝(
１
ａ
２４ － ３ｘ )
ａ２ ｘ － ５ａ２ ＋
１
ｂ
２４ｂ２ － ３ｂ２ ｘ ) ２
⇒ａ２ － ３ｂ２ ＝ ０ꎬ令 ｂ ＝ １ꎬ则 ａ ＝ ３ .
于是ꎬ
作者简介:朱小扣 (１９８６ － ) ꎬ男ꎬ安徽省无为人ꎬ本科ꎬ中学一级教师ꎬ从事高中数学教学研究.
≤ ( ｃｏｓ２ β ＋ ｓｉｎ２ β ) [ ( ｃｏｓα － １ )２ ＋ ｓｉｎ２ α ]
二、命题规律揭示
１. 柯西不等式的直接运用
评析 由柯西不等式可以直接求出上面这一类题的
例 １ (２０１８ 年河北初赛题) 已知实数 ｘꎬｙꎬｚ 满足 ｘ２
＋ ｙ２ ＋ ｚ２ ＝ ３ꎬｘ ＋ ２ｙ － ２ｚ ＝ ４ꎬ则 ｚ ｍａｘ ＋ ｚ ｍｉｎ ＝
聚焦柯西不等式在竞赛中四大运用
朱小扣１ 樊惟媛２
(１. 安徽省无为第三中学城北校区 ２３８３００ꎻ２. 上海市嘉定区第一中学 ２０１８０８)
(完整版)柯西不等式各种形式的证明及其应用
柯西不等式各种形式的证明及其应用柯西不等式是由大数学家柯西(Cauchy)在研究数学分析中的“流数”问题时得到的。
但从历史的角度讲，该不等式应当称为Cauchy-Buniakowsky-Schwarz 不等式，因为，正是后两位数学家彼此独立地在积分学中推而广之，才将这一不等式应用到近乎完善的地步。
柯西不等式非常重要，灵活巧妙地应用它，可以使一些较为困难的问题迎刃而解。
柯西不等式在证明不等式、解三角形、求函数最值、解方程等问题的方面得到应用。
一、柯西不等式的各种形式及其证明 二维形式在一般形式中，12122,,,,n a a a b b c b d =====令，得二维形式()()()22222bd ac d c b a+≥++等号成立条件：()d c b a bc ad //== 扩展：()()()222222222123123112233nn n n a a a a b b b b a b a b a b a b +++⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅+≥+++⋅⋅⋅+等号成立条件：1122000::::,1,2,3,,i i i i n n i i a b a b a b a b a b a b i n ==⎛⎫==⋅⋅⋅= ⎪=⋅⋅⋅⎝⎭当或时，和都等于，不考虑二维形式的证明：()()()()()()22222222222222222222222,,,220=ab c d a b c d R a c b d a d b c a c abcd b d a d abcd b c ac bd ad bc ac bd ad bc ad bc ++∈=+++=+++-+=++-≥+-=等号在且仅在即时成立三角形式ad bc=等号成立条件：三角形式的证明：222111nn n k k k k k k k a b a b ===⎛⎫≥ ⎪⎝⎭∑∑∑()()22222222222222222-2a b c d a b c d ac bd a ac c b bd d a c b d =++++≥+++++≥-+++=-+-≥注：表示绝对值向量形式()()()()123123=,,,,,,,,2=n n a a a a b b b b n N n R αβαβαββαλβλ≥⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅∈≥∈，等号成立条件：为零向量，或向量形式的证明：()()123123112233222222312322222222112233123123=,,,,,,,,,cos ,cos ,cos ,1n n n n n n n n n nm a a a a n b b b b m n a b a b a b a b m n m na a ab b b b m nm n a b a b a b a b a a a a b b b b =⋅=++++==++++++++≤∴++++≤++++++++令一般形式211212⎪⎭⎫ ⎝⎛≥∑∑∑===n k k k nk k nk k b a b a 1122:::n n i i a b a b a b a b ==⋅⋅⋅=等号成立条件：，或 、均为零。
柯西不等式、反柯西不等式与权方和不等式(十一大题型)(解析版)
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~不等式柯西不等式、反柯西不等式与权方和不等式目录1方法技巧与总结 12题型归纳与总结 2题型一:柯西不等式之直接套公式型 2题型二:柯西不等式之根式下有正负型 3题型三:柯西不等式之高次定求低次型 4题型四:柯西不等式之低次定求高次型 5题型五:柯西不等式之整式与分式型 6题型六:柯西不等式之多变量型 7题型七:柯西不等式之三角函数型 8题型八:Aczel 不等式 9题型九:权方和不等式之整式与分式综合型 10题型十:权方和不等式之三角函数型 11题型十一:权方和不等式之杂合型 123过关测试 131方法技巧与总结1、柯西不等式(Cauchy 不等式)(1)二元柯西不等式：对于任意的a ,b ,c ,d ∈R ，都有(ac +bd )2≤(a 2+b 2)(c 2+d 2)．(2)n 元柯西不等式：(a 21+a 22+⋯+a 2n )(b 21+b 22+⋯+b 2n )≥(a 1b 1+a 2b 2+⋯+a n b n )2，取等条件：a i =λb i 或b i =λa i (i =1,2,⋯,n )．2、Aczel 不等式(反柯西不等式)设a 1,a 2,⋯,a n ；b 1,b 2,⋯,b n 均为实数，a 21-a 22-⋯-a 2n >0或b 21-b 22-⋯-b 2n >0，则有(a 21-a 22-⋯-a 2n )(b 21-b 22-⋯-b 2n )≤(a 1b 1-a 2b 2-⋯-a n b n )2．当且仅当a k ，b k 成比例时取等．3、权方和不等式(1)二维形式的权方和不等式对于任意的a ,b ,x ,y >0，都有a 2x +b 2y ≥(a +b )2x +y ．当且仅当a x =by时，等号成立．(2)一般形式的权方和不等式若a i >0，b i >0，m >0，则a m +11b m 1+a m +12b m 2+⋯+a m +1nb m n ≥(a 1+a 2+⋯a n )m +1(b 1+b 2+⋯b n )m，当a i =λb i 时等号成立．2题型归纳与总结题型一:柯西不等式之直接套公式型1已知x ,y ,z ∈R +且x +y +z =1则x 2+y 2+z 2的最小值是()A.1B.13C.23D.2【答案】B【解析】由柯西不等式可得：x 2+y 2+z 2 ×12+12+12 ≥x +y +z 2=1，即3x 2+y 2+z 2 ≥1所以x 2+y 2+z 2≥13，当且仅当x =y =z x +y +z =1 即x =y =z =13时取等号，故x 2+y 2+z 2的最小值为13，故选：B ．2若a 21+a 22+⋯+a 2n =8，则a 1a 2+a 2a 3+a 3a 4+⋯+a n -1a n +a n a 1的最小值为()A.25B.8C.-8D.-25【答案】C【解析】由柯西不等式，得(a 21+a 22+⋯+a 2n -1+a 2n )(a 22+a 23+⋯+a 2n +a 21)≥(a 1a 2+a 2a 3+⋯+a n -1a n +a n a 1)2，∴(a 1a 2+a 2a 3+⋯+a n -1a n +a n a 1)2≤8×8，∴-8≤a 1a 2+a 2a 3+a 3a 4+⋯+a n -1a n +a n a 1≤8，当a 1a 2=a 2a 3=a 3a 4=⋯=a n -1a n =a n a 1=-1且a 21+a 22+⋯+a 2n =8时，即a 1 =a 2 =a 3 =⋯=a n -1 =a n =22nn，且a 1,a 3,a 5,⋯与a 2,a 4,a 6,⋯异号时，a 1a 2+a 2a 3+a 3a 4+⋯+a n -1a n +a n a 1=-8，则a 1a 2+a 2a 3+a 3a 4+⋯+a n -1a n +a n a 1的最小值为-8.选：C .3已知a ，b ，c ∈R ，满足a +2 2+b 2+c +1 2=12，则a +b +c 的最大值为()A.2B.3C.4D.6【答案】B【解析】设a +2=w ，b =v ，c +1=u ，可得w 2+v 2+u 2=12，所以a +b +c =w +v +u -3．因为w +v +u 2≤12+12+12 w 2+v 2+u 2 =36，所以-6≤w +v +u ≤6，当且仅当w =v =u =2，w +v +u 取得最大值6，此时a +2=b =c +1=2，所以a +b +c 的最大值为6-3=3．故选：B4(2024·高三·山东青岛·期中)柯西不等式(Caulhy -Schwarz Lnequality )是法国数学家柯西与德国数学家施瓦茨分别独立发现的，它在数学分析中有广泛的应用.现给出一个二维柯西不等式：a 2+b 2c 2+d 2≥ac +bd 2，当且仅当a c =b d时等号成立.根据柯西不等式可以得知函数f x =34-3x +3x -2的最大值为()A.25 B.23 C.12 D.20【答案】A 【解析】由4-3x ≥03x -2≥0，解得23≤x ≤43，所以函数f x 的定义域为23,43，由柯西不等式得，f x =34-3x +3x -2≤32+12 4-3x +3x -2=25，当且仅当34-3x=13x -2，即x =1115时等号成立，所以f x 的最大值为25.故选：A .5柯西不等式是数学家柯西(Cauchy )在研究数学分析中的“流数”问题时得到的一个重要不等式,而柯西不等式的二维形式是同学们可以利用向量工具得到的:已知向量a =x 1,y 1 ,b =x 2,y 2 ,由a ⋅b≤a b 得到(x 1x 2+y 1y 2)2≤(x 21+y 21)(x 22+y 22),当且仅当x 1y 2=x 2y 1时取等号.现已知a ≥0,b ≥0,a +b =5,则2a +2+b +3的最大值为()A.18B.9C.23D.33【答案】D【解析】因为(x 1x 2+y 1y 2)2≤(x 21+y 21)(x 22+y 22),令x 1=2,y 1=1,x 2=a +1,y 2=b +3,又a ≥0,b ≥0,a +b =5,所以2a +2+b +3 2=2⋅a +1+1⋅b +3 2≤2 2+12 ⋅a +1+b +3 =27,当且仅当2⋅b +3=1⋅a +1即a =5,b =0时等号成立,即2a +2+b +3≤33,故选:D .6(2024·浙江·模拟预测)已知x >0，y ∈R ，且x 2+xy -x +5y =30，则2-x +30-3y 的最大值为()A.3 B.6C.26D.32【答案】C【解析】由x 2+xy -x +5y =30可得x 2-x -30+xy +5y =0，即x +5 x +y -6 =0.由x >0可知x +y =6，所以2-x +30-3y =2-x +12+3x =2-x +3⋅4+x .由x >0，2-x ≥0可得0<x ≤2，由柯西不等式得2-x +3⋅4+x 2≤12+3 2⋅2-x 2+4+x 2=24，所以2-x +3⋅4+x ≤26，当4+x3=2-x 1即x =12时，取等号.所以2-x +30-3y 的最大值为26.故选：C .7设a ，b ，c 为正数，且a 2+b 2+c 2=1，则a (a +b +c )的最大值为()A.3+12B.2+12C.32D.22【答案】A【解析】解法一根据题意，有a (a +b +c )≤a 2+λa 2+1λb 22+μa 2+1μc 22=1+λ2+μ2 a 2+12λb 2+12μc 2，其中λ,μ>0，令1+λ2+μ2=12λ=12μ，解得λ=μ=3-12，于是a (a +b +c )≤12λa 2+b 2+c 2 =3+12，等号当a :b :c =(3+1):2:2时取得，因此所求最大值为3+12．解法二令a =cos φ,b =sin φsin θ,c =sin φcos θ，其中0≤φ≤π,0≤θ<2π，则a (a +b +c )=cos 2φ+sin φcos φ(sin θ+cos θ)≤cos 2φ+2sin φcos φ=22sin2φ+12cos2φ+12≤3+12，等号当a :b :c =(3+1):2:2时取得，因此所求最大值为3+12．解法三根据题意，有a (a +b +c )≤a a +2b 2+c 2 =a 2+2a 21-a 2 =a 2-12 2+2⋅14-a 2-12 2+12≤3+12，等号当b 2=c 2，且14a 2-12 2=2a 2-12 2即a :b :c =(3+1):2:2时取得，因此所求最大值为3+12．故选：A .8(2024·全国·模拟预测)柯西不等式最初是由大数学家柯西(Cauchy )在研究数学分析中的“流数”问题时得到的.而后来有两位数学家Buniakowsky 和Schwarz 彼此独立地在积分学中推而广之，才能将这一不等式应用到近乎完善的地步.该不等式的三元形式如下：对实数 a 1,a 2,a 3 和 b 1,b 2,b 3 ，有a 21+a 22+a 23 b 21+b 22+b 23 ≥a 1b 1+a 2b 2+a 3b 3 2等号成立当且仅当a 1b 1=a 2b 2=a 3b 3已知 x 2+y 2+z 2=14 ，请你用柯西不等式，求出 x +2y +3z 的最大值是()A.14B.12C.10D.8【答案】A【解析】由题干中柯西不等式可得x +2y +3z 2≤x 2+y 2+z 2 12+22+32 =14×14=196，所以x +2y +3z 的最大值为14，当且仅当x =1,y =2,z =3时取等号.故选：A9已知实数a i i =1,2,3,4,5 满足(a 1-a 2)2+(a 2-a 3)2+(a 3-a 4)2+(a 4-a 5)2=1，则a 1-2a 2-a 3+2a 5的最大值是()A.22B.25C.5D.10【答案】D【解析】设c =a 1-a 2,b =a 2-a 3,c =a 3-a 4,d =a 4-a 5，则条件为a 2+b 2+c 2+d 2=1，所以a 1-2a 2-a 3+2a 5=a -b -2c -2d ≤12+-1 2+-2 2+-2 2⋅a 2+b 2+c 2+d 2=10，等号当a 1=b -1=c-2=d -2且a >0时取得，因此所求代数式的最大值为10．故选：D10若实数a ，b ，c ，d 满足ab +bc +cd +da =1，则a 2+2b 2+3c 2+4d 2的最小值为()A.1B.2C.3D.以上答案都不对【答案】B【解析】根据题意，有ab +bc +cd +da =1⇒(a +c )(b +d )=1，而a 2+3c 2 1+13 ≥a +c 2，当且仅从a =3c 时等号成立.同理2b 2+4d 2 12+14≥b +d 2，当且仅当2b =4d 式等号成立，记题中代数式为M ，于是M =a 2+3c 2 +2b 2+4d 2≥(a +c )21+13+(b +d )212+14=34(a +c )2+43(b +d )2≥2(a +c )(b +d )=2，等号当a c =3,b d =2,a +c b +d =43,⇒a :b :c :d =3:2:1:1时取得，因此所求代数式的最小值为2．故选：B .11已知空间向量OA =1,12,0 ,OB =1,2,0 ,OC =0,1,12，OP =xOA +yOB +zOC ，且x +2y +z =2，则OP的最小值为()A.2B.3C.2D.4【答案】B【解析】因为OP =xOA +yOB +zOC =x 1,12,0 +y 1,2,0 +z 0,1,12=x +y ,12x +2y +z ,12z ，所以OP 2=x +y 2+12x +2y +z 2+12z 2=13x +y 2+12x +2y +z 2+12z 2 1+1+1 ≥13x +y +12x +2y +z +12z 2=1332x +3y +32z 2=34x +2y +z 2=3，当且仅当x +y =12x +2y +z =12z 时等号成立，即x =2,y =-1,z =2时等号成立.所以OP ≥3，所以OP 的最小值为3.故选：B12已知a ，b ，c 为实数，且a +b +c =5，则a 2+2b 2+c 2的最小值为()A.5B.1C.2D.52【答案】C【解析】由三维柯西不等式：a 12+a 22+a 32b 12+b 22+b 32 ≥a 1b 1+a 2b 2+a 2b 2 2当且仅当a 1b 1=a 2b 2=a 3b 3时取等,所以12+222+12 a 2+2b 2+c 2 ≥1×a +22×2b +c ×1 2=a +b +c 2=5所以a 2+2b 2+c 2≥552=2，当且仅当a 1=2b 22=c1时取等,所以a 2+2b 2+c 2的最小值为：2故选：C题型五:柯西不等式之整式与分式型13(2024·高三·浙江台州·期末)已知正实数a ,b 满足a +2b =1，则a 4b+32b 4a 的最小值为．【答案】12/0.5【解析】由柯西不等式a 4b +32b 4a =a 4b+32b 4a (2b +a )≥(2a 2+42b 2)2=2(a 2+4b 2)2而a 2+4b 2=12(a 2+4b 2)(1+1)≥12(a +2b )2=12，所以a 4b+32b 4a ≥2a 2+4b 2 2≥12，a =12,b =14时等号成立，故答案为：12.14已知a 、b 、c ∈R +，且满足a +2b +3c =1，则1a +12b+13c 的最小值为.【答案】9【解析】因为a 、b 、c ∈R +，且满足a +2b +3c =1，所以，1a +12b+13c =a +2b +3c 1a +12b +13c ≥a a +2b 2b +3c 3c 2=9，当且仅当a =2b =3c =13时，等号成立，故1a +12b+13c 的最小值为9.故答案为：9.15已知a ,b ,c ∈(0,1)，且ab +bc +ac =1，则11-a +11-b+11-c 的最小值为()A.3-32B.9-32C.6-32D.9+332【答案】D【解析】因为a ,b ,c ∈(0,1)且ab +bc +ac =1，∴(a +b +c )2≥3(ab +bc +ca )=3，∴a +b +c ≥3，因为11-a +11-b +11-c(1-a +1-b +1-c )≥1+1+1 2所以11-a +11-b +11-c ≥9(1-a +1-b +1-c )≥93-3=9+332，当且仅当a =b =c =33时，11-a +11-b+11-c 的最小值为9+332.故选：D .题型六:柯西不等式之多变量型16已知x ,y ,z >0且x +y +z =1，a ，b ，c 为常数，则a 2x +b 2y +c 2z的最小值为()A.a 2+b 2+c 2B.3a 2+b 2+c 2C.(a +b +c )3D.前三个答案都不对【答案】D【解析】根据柯西不等式，有a 2x +b 2y +c 2z ≥(a +b +c )2x +y +z=(a +b +c )2，等号当a x =b y =cz >0时取得，因此所求最小值为(a +b +c )2．故选：D .17已知实数a ，b ，c ，d ，e 满足a +b +c +d +e =8,a 2+b 2+c 2+d 2+e 2=16, 则e 的取值范围是()A.[-2,2]B.[0,1]C.[0,2)D.以上答案都不对【答案】D【解析】根据柯西不等式，有-4⋅a 2+b 2+c 2+d 2≤a +b +c +d ≤4⋅a 2+b 2+c 2+d 2，从而|8-e |≤216-e 2⇒0≤e ≤165，因此e 的取值范围是0,165．故选：D .18已知a ,b ,c ∈R +，且(a +b -c )1a +1b-1c =3，则a 4+b 4+c 4 1a 4+1b 4+1c4 的最小值是()A.417+2403B.417-2403C.417D.以上答案都不对【答案】A【解析】由(a +b -c )1a +1b-1c=3可得a 2+b 2ab ×1a +b =c ×1ab+1c ，由对称性可设ab =1，则条件即(a +b -c )a +b -1c =3即c +1c =a 2+b 2a +b，从而a 2+b 2a +b≥2⇒a +b ≥1+3，根据柯西不等式a 4+b 4+c 4 a 4+b 4+1c4 ≥a 4+b 4+1 2=(a +b )4-4(a +b )2+32≥417+2403，等号当c =1,a +b =1+3时取得．因此所求最小值为417+2403．故选：A .题型七:柯西不等式之三角函数型19函数3+23cosθ+cos2θ+5-23cosθ+cos2θ+4sin2θ的最大值为()A.2+3B.22+3C.2+23D.前三个答案都不对【答案】D【解析】题中代数式为3+cosθ+10-(3cos+1)2=3cosθ+13+10-(3cosθ+1)2+23≤13+1×10+23=210+23，等号当10-(3cosθ+1)23cosθ+1=3⇒cosθ=10-223时可以取得，因此所求最大值为210+23．故选：D.20(2024·浙江·一模)若sin x+cos y+sin x+y=2，则sin x的最小值是() A.0 B.2-3 C.3-7 D.12【答案】C【解析】由已知sin x+cos y+sin x cos y+cos x sin y=2整理得2-sin x=sin x+1cos y+cos x sin y，由柯西不等式得sin x+1cos y+cos x sin y≤1+sin x2+cos2x⋅cos2y+sin2y=2+2sin x，当sin x+1sin y=cos y cos x时取等号，所以2-sin x2≤2+2sin x，即sin2x-6sin x+2≤0，解得3-7≤sin x≤1，所以sin x的最小值为3-7.故选：C．21函数y=2cos x+31-cos2x的最大值为()A.22B.5C.4D.13【答案】A【解析】利用柯西不等式进行求最值.y=2cos x+31-cos2x=2cos x+32sin2x ≤cos2x+sin2x22+(32)2=22当且仅当cos xsin2x=232，即tan x=±322时，函数有最大值22.故选：A.题型八:Aczel 不等式22f (x )=5x -4-x -4的最小值为．【答案】855【解析】f (x )=5x -4-x -4=5⋅x -45-1⋅x -4≥(5-1)x -45 -(x -4)=4×165=85当且仅当x -45x -4=51即x =245时取等号，故f (x )=5x -4-x -4的最小值为855．23为提高学生的数学核心素养和学习数学的兴趣，学校在高一年级开设了《数学探究与发现》选修课．在某次主题是“向量与不等式”的课上，学生甲运用平面向量的数量积知识证明了著名的柯西不等式(二维)；当向量a =x 1,y 1 ,b =x 2,y 2 时，有a ⋅b 2≤a 2b 2，即x 1x 2+y 1y 2 2≤x 21+y 21 x 22+y 22 ，当且仅当x 1y 2=x 2y 1时等号成立；学生乙从这个结论出发．作一个代数变换，得到了一个新不等式：x 1x 2-y 1y 2 2≥x 21-y 21 x 22-y 22 ，当且仅当x 1y 2=x 2y 1时等号成立，并取名为“类柯西不等式”．根据前面的结论可知：当x ∈R 时，12x 2+1-2x 2+1的最小值是．【答案】-1【解析】由题意得12x 2+1-2x 2+1=12x 2+1-42x 2+2，则12x 2+1-42x 2+22x 2+1 -2x 2+2 =12x 2+1 2-22x 2+222x 2+1 2-2x 2+2 2 ≤12x 2+1⋅2x 2+1-22x 2+2⋅2x 2+22=1，当且仅当12x 2+1⋅2x 2+2=22x 2+2⋅2x 2+1，即x =0时，等号成立，即12x 2+1-42x 2+22x 2+1 -2x 2+2 ≤1，则-12x 2+1-42x 2+2 ≤1，所以12x 2+1-2x 2+1=12x 2+1-42x 2+2≥-1，最小值为-1，此时x =0．故答案为：-1.题型九:权方和不等式之整式与分式综合型24已知正数x ，y ，z 满足x +y +z =1，则x 2y +2z +y 2z +2x +z 2x +2y的最小值为【答案】13【解析】因为正数x ，y 满足x +y +z =1，所以x 2y +2z +y 2z +2x +z 2x +2y ≥x +y +z 2y +2z +z +2x +x +2y =13，当且仅当x y +2z =y z +2x =z x +2y 即x =y =z =13时取等号.故答案为：13.25权方和不等式作为基本不等式的一个变化，在求二元变量最值时有很广泛的应用，其表述如下：设a ，b ，x ，y >0，则a 2x +b 2y ≥a +b 2x +y ，当且仅当a x =b y 时等号成立．根据权方和不等式，函数f (x )=2x+91-2x 0<x <12的最小值为()A.16 B.25 C.36 D.49【答案】B【解析】因a ，b ，x ，y >0，则a 2x +b 2y ≥a +b 2x +y ，当且仅当a x =by时等号成立，又0<x <12，即1-2x >0，于是得f (x )=222x +321-2x ≥(2+3)22x +(1-2x )=25，当且仅当22x =31-2x ，即x =15时取“=”，所以函数f (x )=2x +91-2x 0<x <12的最小值为25.故选：B26已知a ，b ，c 为正实数，且满足a +4b +9c =4，则1a +1+1b +1+1c +1的最小值为.【答案】2【解析】由权方和不等式，可知1a +1+1b +1+1c +1=1a +1+44b +4+99c +9≥1+2+3 2a +1 +4+4b +9c +9=3618=2，当且仅当a =2,b =12,c =0时等号成立，所以1a +1+1b +1+1c +1的最小值为2.故答案为：2.27已知正实数x 、y 且满足x +y =1，求1x 2+8y2的最小值.【答案】27【解析】设x =cos 2α，y =sin 2α，α∈0,π2，由权方和不等式，可知1x 2+8y 2=13cos 2α 2+23sin 2α 2≥1+2 3cos 2α+sin 2α2=27，当且仅当1cos 2α=2sin 2α，即x =13，y =23时取等号，所以1x 2+8y2的最小值为27.故答案为：2728已知θ为锐角，则1sin θ+8cos θ的最小值为.【答案】55【解析】1sin θ+8cos θ=132sin2θ12+432cos2θ12≥1+4 32sin2θ+cos 2θ12=532=55当且仅当1sin 2θ=4cos 2θ即sin θ=55，cos θ=255时取“=”.故答案为：5529(2024·四川·模拟预测)“权方和不等式”是由湖南理工大学杨克昌教授于上世纪80年代初命名的．其具体内容为：设a n >0,b n >0,n ∈N *,m >0，则a m +11b m 1+a m +12b m 2+a m +13b m3+⋯+a m +1n b m n ≥a 1+a 2+a 3+⋯+a nm +1b 1+b 2+b 3+⋯+b n m，当且仅当a 1b 1=a 2b 2=a 3b 3=⋯=a n b n 时，等号成立．根据权方和不等式，若x ∈0,π2 ，当33sin x +1cos x取得最小值时，x 的值为()A.π12 B.π6 C.π3D.5π12【答案】C【解析】由题意得，sin x >0,cos x >0，则33sin x +1cos x=332sin 2x 12+132cos 2x 12≥(3+1)32sin 2x +cos 2x 12=432=8，当且仅当3sin 2x =1cos 2x ，即cos x =12时等号成立，所以x =π3．故选：C ．30已知x ,y >0,1x +22y=1，则x 2+y 2的最小值是．【答案】33【解析】由题意得，1=1x +22y =132x 2 12+232y 2 12≥1+2 32x 2+y 212=33x 2+y 2．(权方和的一般形式为：a m +11b m 1+a m +12b m 2+a m +13b m 3+⋯+a m +1nb m n ≥a 1+a 2+a 3+⋯+a n m +1b 1+b 2+b 3+⋯+b n m ,a i >0,b i >0,当且仅当a i =λb i 时等号成立)当1x 2=2y 21x +22y =1 ，即x =3,y =32时，x 2+y 2取得最小值33．故答案为：3331已知x +2y +3z +4u +5v =30，求x 2+2y 2+3z 2+4u 2+5v 2的最小值为【答案】60【解析】x 2+2y 2+3z 2+4u 2+5v 2=x 21+2y 22+3z 23+4u 24+5v 25≥x +2y +3z +4u +5v 21+2+3+4+5=30215=60当且仅当x =y =z =u =v 时取等号故答案为：6032求f x =x 2-3x +2+2+3x -x 2的最大值为【答案】22【解析】f (x )=x 2-3x +2+2+3x -x 2=x 2-3x +2 121-12+2+3x -x 2 121-12≤x 2-3x +2+2+3x -x 2 121+1-12=22当且仅当x 2-3x +2=2+3x -x 2，即x =0或x =3时取等号故答案为：2 2.3过关测试33(2024·吉林白山·一模)权方和不等式作为基本不等式的一个变化，在求二元变量最值时有很广泛的应用，其表述如下：设正数a ，b ，x ，y ，满足a 2x +b 2y ≥a +b 2x +y ，当且仅当a x =by时，等号成立．则函数f x =3x +161-3x 0<x <13的最小值为()A.16 B.25 C.36 D.49【答案】D【解析】因为a ，b ，x ，y ，则a 2x +b 2y ≥a +b 2x +y ，当且仅当a x =by时等号成立，又0<x <13，即1-3x >0，于是得f x =323x +421-3x ≥3+4 23x +1-3x =49，当且仅当1x =41-3x ，即x =17时取“=”，所以函数的f x =3x +161-3x 0<x <13最小值为49．故选：D34已知a ，b ，c 均大于1，log a 3+log b 9+log c 27=12，则ab 2c 3的最小值为()A.243B.27C.81D.9【答案】B【解析】由log a 3+log b 9+log c 27=12得log a 3+2log b 3+3log c 3=12，所以log 3ab 2c 3 =log 3a +log 3b 2+log 3c 3=log 3a +2log 3b +3log 3c =112log 3a +2log 3b +3log 3c log a 3+2log b 3+3log c 3 ≥112log 3a ⋅log a 3+2log 3b ⋅2log b 3+3log 3c ⋅3log c 3 2=1121+2+3 2=3，当且仅当log 3a log a 3=log 3b log b 3=log 3clog c 3时取等，所以log 3ab 2c 3 ≥3=log 327，所以ab 2c 3≥27，即ab 2c 3的最小值为27，故选：B35(2024·福建·模拟预测)设p 、q ∈R +，x ∈0,π2，则psin x+qcos x的最小值是()A.p 35+q 3553B.p 45+q4554C.p 12+q 122 D.p 14+q144【答案】B 【解析】设f =psin x+q cos x，因为x ∈0,π2 ，则0<sin x <1且0<cos x <1，因为sin 2x +cos 2x =1，构造数字式5=1+4=1+4p f sin x +qf cos x=4p f sin x +sin 2x +4q f cos x+cos 2x≥55p f sin x4⋅sin 2x +55q f cos x4⋅cos 2x =5⋅5p 4+5q 45f4，所以，5f 4≥5p 4+5q 4=p 45+q 45，故f ≥p 45+q 4554，当且仅当p f sin x =sin 2x q f cos x =cos 2x ，即当tan x =pq25时，等号成立，因此，psin x+q cos x的最小值是p 45+q 45 54.故选：B .36由柯西不等式，当x +2y +z =4时，求x +y +z 的最大值为()A.10 B.4C.2D.10【答案】D【解析】由柯西不等式，得(x +2y +z )(4+2+4)≥(2x +2y +2z )2，当且仅当x 4=2y 2=z 4，即x =z =82,y =25时，等号成立.因为x +2y +z =4，所以(x +y +z )2≤10，则x +y +z ≤10，故x +y +z 的最大值为10.故选：D37已知3x +2y +z =3，则x 2+y 2+2z 2的取最小值时，xyz 为()A.7B.83C.3D.73【答案】B【解析】由柯西不等式得：3=3x +2y +z ≤32+22+122⋅x 2+y 2+2z 2则x 2+y 2+2z 2≥23．则根据等号成立条件知3x +2y +z =33x =2y =12z⇒x =23，y =49，z =19，所以xy z =23×4919=83故选：B38已知：a 2+b 2=1，x 2+y 2=1，则ax +by 的取值范围是()A.0,2B.-1,1C.-2,2D.0,1【答案】B【解析】利用柯西不等式，可得1≥ax +by 2,解不等式即可.解:利用柯西不等式，得a 2+b 2=1,1=a 2+b 2 x 2+y 2 ≥ax +by 2，解得-1≤ax +by ≤1.故选:B39实数x 、y 满足3x 2+4y 2=12，则z =2x +3y 的最小值是()A.-5B.-6C.3D.4【答案】A【解析】∵实数x 、y 满足3x 2+4y 2=12，∴x 24+y 23=1，∴x 24+y 2316+9 ≥2x +3y 2，-5≤2x +3y ≤5，当且仅当33x =8y 时取等号，∴z =2x +3y 的最小值是-5.故选：A .40已知a ，b >0，a +b =5，则a +1+b +3的最大值为()A.18B.9C.32D.23【答案】C【解析】由题意，a +1+b +3 2≤1+1 a +1+b +3 =18，当且仅当a +1=b +3时等号成立，∴当a =72，b =32时，故a +1+b +3的最大值为3 2.故选：C .41若实数x +2y +3z =1，则x 2+y 2+z 2的最小值为()A.14B.114C.29D.129【答案】B【解析】根据柯西不等式：x 2+y 2+z 2 1+4+9 ≥2+2y +3z =1，即x 2+y 2+z 2≥114，当且仅当x =114，y =17，z =314时等号成立.故选：B .42函数y =x 2-2x +3+x 2-6x +14的最小值是A.10B.10+1C.11+210D.210【答案】B【解析】y =x 2-2x +3+x 2-6x +14=(x -1)2+2+(3-x )2+5根据柯西不等式，得y 2=(x -1)2+2+(3-x )2+5+2(x -1)2+2 (3-x )2+5 ≥(x -1)2+2+(3-x )2+5+2[(x -1)(3-x )+10]=[(x -1)+(3-x )]2+2+5+210=11+210当且仅当x -13-x =25，即x =210-13时等号成立.此时，y min =11+210=10+1 2=10+1，故选：B .43若x 2+4y 2+9z 2=4，则x +y +3z 的最大值()A.3 B.6C.9D.27【答案】A【解析】根据柯西不等式可得：(x +2y +3z )2≤(x 2+4y 2+9z 2)12+122+12 =4×94=9∴x +y +3z ≤3，当且仅当x =4y =3z ，即x =43,y =13,z =49时，等号成立.故选:A .44函数y =x -5+26-x 的最大值是()A.3B.5C.3D.5【答案】B【解析】利用柯西不等式求解.因为y =x -5+26-x ≤x -5 2+6-x 212+22 =5当且仅当x -5=6-x 2，即x =265时，取等号.故选：B45已知a 21+a 22+⋯+a 2n =1，x 21+x 22+⋯+x 2n =1，则a 1x 1+a 2x 2+⋯+a n x n 的最大值是()A.1B.2C.3D.4【答案】A【解析】利用柯西不等式求解.a 1x 1+a 2x 2+⋯+a n x n 2≤a 21+a 22+⋯+a 2n x 21+x 22+⋯+x 2n =1×1=1，当且仅当x 1a 1=x 2a 2=⋯=xn a n=1时取等号.∴a 1x 1+a 2x 2+⋯+a n x n 的最大值是1故选：A46函数f x =1-cos2x +cos x ，则f x 的最大值是()A.3B.2C.1D.2【答案】A【解析】将f x 化为f x =2sin 2x +cos x ，利用柯西不等式即可得出答案.因为f x =1-cos2x +cos x所以f x =2sin 2x +cos x ≤2+1 sin 2x +cos 2x=3当且仅当cos x =33时取等号.故选：A47(2024·高三·河北衡水·期末)已知a ，b ，c >0，且a +b +c =1，则3a +1+3b +1+3c +1的最大值为()A.3B.32C.18D.9【答案】B【解析】由柯西不等式得：3a +1+3b +1+3c +1 2≤12+12+12 3a +1 2+3b +1 2+3c +1 2=3×3a +b +c +3 =18，所以3a +1+3b +1+3c +1≤32，当且仅当a =b =c =13时，等号成立，故选B .48已知x ，y 均为正数，且x +y =2，则x +4xy +4y 的最大值是()A.8 B.9C.10D.11【答案】C【解析】x +4xy +4y =x +2y 2≤x +2y 2+2x -y 2=5x +y =10当且仅当2x =y ，即x =25,y =85时，等式成立.故选：C49(2024·广西南宁·二模)设实数a ,b ,c ,d ,e 满足关系：a +b +c +d +e =8，a 2+b 2+c 2+d 2+e 2=16，则实数e 的最大值为A.2 B.165C.3D.25【答案】B【解析】根据柯西不等式知：4(a 2+b 2+c 2+d 2)=(1+1+1+1)(a 2+b 2+c 2+d 2)≥(a +b +c +d )2，当且仅当a =b =c =d 时等号成立，所以4(16-e 2)≥(8-e )2，即64-4e 2≥64-16e +e 2，所以5e 2-16e ≤0，解得0≤e ≤165，即实数e 的最大值为165.故选：B .50(2024·山西·二模)柯西不等式是数学家柯西(Cauchy )在研究数学分析中的“流数”问题时得到的一个重要不等式，而柯西不等式的二维形式是同学们可以利用向量工具得到的：已知向量a=x 1,y 1 ，b =x 2,y 2 ，由a ⋅b ≤a b 得到x 1x 2+y 1y 2 2≤x 21+y 21 x 22+y 22 ，当且仅当x 1y 2=x 2y 1时取等号.现已知a ≥0，b ≥0，a +b =9，则2a +4+b +1的最大值为.【答案】6【解析】令x 1=2,y 1=1,x 2=a +2,y 2=b +1，又a ≥0，b ≥0，a +b =9，所以2a +4+b +1 2≤2+1 a +2+b +1 =3×12=36，所以2a +4+b +1≤6，当且仅当2⋅b +1=a +2，即a =6,b =3时取等号，所以2a +4+b +1的最大值为6.故答案为：651若不等式x +y ≤k 5x +y 对任意正实数x ，y 都成立，则实数k 的最小值为.【答案】305/1530【解析】由柯西不等式的变形可知5x +y =x215+y21≥x +y15+1，整理得x +y5x +y≤305，当且仅当x15=y1，即y=25x时等号成立，则k的最小值为30 5.故答案为：30 552已知x，y，z>0，且x+y+z=9，则x2+4y2+z2的最小值为．【答案】36【解析】由柯西不等式可得x2+4y2+z212+122+12≥(x+y+z)2，所以94x2+4y2+z2≥81，即x2+4y2+z2≥36，当且仅当x1=2y12=z1即x=4y=z也即x=4,y=1,z=4时取得等号，故答案为:36.53(2024·高三·江苏苏州·开学考试)设角α、β均为锐角，则sinα+sinβ+cosα+β的范围是．【答案】1,3 2【解析】因为角α、β均为锐角，所以sinα,cosα,sinβ,cosβ的范围均为0,1，所以sinα+β=sinαcosβ+cosαsinβ<sinα+sinβ，所以sinα+sinβ+cosα+β>sinα+β+cosα+β=2sinα+β+π4因为0<α<π2,0<β<π2,π4<α+β+π4<3π4，所以2sinα+β+π4>2×22=1，sinα+sinβ+cosα+β=sinα+sinβ+cosαcosβ-sinαsinβ=1-sinβsinα+cosαcosβ+sinβ≤1-sinβ2+cos2β+sinβ=21-sinβ+sinβ，当且仅当1-sinβcosα=sinαcosβ时取等，令1-sinβ=t，t∈0,1，sinβ=1-t2，所以=21-sinβ+sinβ=2t+1-t2=-t-2 22+32≤32.则sinα+sinβ+cosα+β的范围是：1,3 2.故答案为：1,3 254在锐角△ABC中，tan A tan B+2tan B tan C+3tan C tan A的最小值是．【答案】6+22+23+26【解析】记题中代数式为M，我们熟知三角形中的三角恒等式：cot A cot B+cot B cot C+cot C cot A= 1，于是M=tan A tan B+2tan B tan C+3tan C tan A≥(1+2+3)2cot A cot B+cot B cot C+cot C cot A=(1+2+3)2=6+22+23+26，等号当tan A tan B =2tan B tan C =3tan C tan A ⇒tan A :tan B :tan C =2:3:1时取得，因此所求最小值为6+22+23+26故答案为：6+22+23+2655函数f (x )=2020-x +x -2010的最大值与最小值之积为．【答案】102【解析】函数f (x )的定义域为[2010,2020]，一方面，2020-x +x -2010≥(2020-x )+(x -2010)=10，等号当x =2010,2020时取得；另一方面，2020-x +x -2010≤2⋅(2020-x )+(x -2010)=20，当且仅当x =2015时等号成立，于是最大值为20，最小值为10，所求乘积为102．故答案为：10 2.56(2024·高三·天津南开·期中)已知正实数a ，b 满足a +b =1，则1a +2a b +1的最小值为.【答案】52/2.5【解析】由题设，a =1-b ，则1a +2a b +1=1a +2-2b b +1=1a +4b +1-2，又(a +b +1)1a +4b +1 =a ⋅1a +b +1⋅2b +12=9，∴1a +4b +1≥92，当且仅当a =b +12时等号成立，∴1a +2a b +1≥92-2=52，当且仅当a =b +12=23时等号成立.∴1a +2a b +1的最小值为52.故答案为：52.57已知a >1,b >1，则a 2b -1+b 2a -1的最小值是．【答案】8【解析】令a +b -2=t >0，则a 2b -1+b 2a -1≥a +b 2a +b -2=t +2 2t =t +4t +4≥24+4=8，当a +b -2=2a b -1=b a -1时，即a =2,b =2时，两个等号同时成立，原式取得最小值8．故答案为：858已知x >0，y >0，且12x +y +1y +1=1，则x +2y 的最小值为.【答案】3+12【解析】解法一：设x +2y =λ1(2x +y )+λ2(y +1)+t ，可解得λ1=12,λ2=32,t =-32，从而x +2y =12(2x +y )+32(y +1)-32=12(2x +y )+32(y +1)12x +y +1y +1 -32≥3+12，当且仅当x =12+33,y =33时取等号.故答案为：3+12．解法二：考虑直接使用柯西不等式的特殊形式，即权方和不等式：a 2x +b 2y ≥(a +b )2x +y，1=12x +y +33y +3≥(1+3)22x +4y +3⇒2x +4y +3≥4+23，所以x +2y ≥3+12，当且仅当x =12+33,y =33时取等号.故答案为：3+12．。
柯西不等式及其应用
柯西不等式及其应用柯西不等式是初等数学中的一种重要的不等式，它可以用于求解向量、积分等问题。
柯西不等式的形式如下：对于任意的实数a1、a2、......、an 和b1、b2、......、bn，有(a1^2 + a2^2 + ...... + an^2)(b1^2 + b2^2 + ...... + bn^2) ≥(a1b1 + a2b2 + ...... + anbn)^2其中，等号成立的条件是两个向量之间存在线性关系，即存在实数k1、k2、......、kn，使得b1 = k1a1、b2 = k2a2、......、bn = knan。
柯西不等式可以用于求解向量内积、求解二次函数的最小值等问题。
例如，对于两个向量A = (a1, a2, ......, an) 和B = (b1, b2, ......, bn)，它们的内积可以表示为：A·B = a1b1 + a2b2 + ...... + anbn根据柯西不等式，有：A·B ≤√(a1^2 + a2^2 + ...... + an^2)√(b1^2 + b2^2 + ...... + bn^2)这个不等式告诉我们，两个向量的内积不会大于它们的长度之积，当且仅当它们之间存在线性关系时取到最大值。
另外，柯西不等式还可以用于求解积分不等式。
例如，对于两个非负可积函数f(x) 和g(x)，它们的积分可以表示为：∫f(x)g(x)dx根据柯西不等式，有：(∫f(x)g(x)dx)^2 ≤(∫f(x)^2dx)(∫g(x)^2dx)这个不等式可以用于证明一些数学定理，如证明二维傅里叶级数的正交性。
总之，柯西不等式是一种十分重要的数学工具，它在向量、积分、函数等方面有着广泛的应用。
掌握柯西不等式可以帮助我们更好地理解数学问题，提高数学解题的效率。
柯西不等式的巧妙应用
柯西不等式的巧妙应用作者：崔怀胜来源：《高中生·高考指导》2016年第01期一、结构分析法例1 已知x，y，a，b均为正数，且+=1，求x+y的最小值.解由于x，y，a，b均为正数，且+=1，所以根据柯西不等式得x+y=[（）2+（）2]·[（）2+（）2]≥（+）2，当且仅当·=·，即=时取等号.所以，x+y的最小值为（+）2.小结柯西不等式很重要，灵活巧妙地运用它，可以使一些较复杂的问题迎刃而解.中学阶段我们常用柯西不等式来证明不等式或求解最值.二、减元法例2 已知实数x，y，z满足x+y+2z=1，x2+y2+2z2=，则z的取值范围是_____.解由x+y+2z=1，得x+y=1-2z.由x2+y2+2z2=，得x2+y2=-2z2.由于x+y≤，所以（1-2z）2≤1-4z2，解得0≤z≤.小结解本题的关键在于对已知条件进行变形后，利用柯西不等式的变式，得到关于z的不等式.三、换元法例3 非负实数x，y，z满足x2+y2+z2+x+2y+3z=，那么x+y+z的最大值为_____.解由x2+y2+z2+x+2y+3z=，可得（x+）2+（y+1）2+（z+）2=.设x+=w，y+1=v，z+=u，可得w2+v2+u2=，x+y+z=w+v+u-3.由（w+v+u）2≤（12+12+12）（w2+v2+u2）=，可得-≤w+v+u≤，当且仅当w=v=u=时，w+v+u的最大值为，此时x+= y+1= z+.于是可得 -≤x+y+z≤.所以，x+y+z的最大值为.小结解本题的关键是换元后，再利用柯西不等式进行计算.四、构造法例4 若x，y，z为实数，且x2+y2+z2=1，求证： -≤xy+yz+xz≤1.证明由（x2+y2+z2）2=（x2+y2+z2）（y2+z2+x2）≥（xy+yz+xz）2，x2+y2+z2=1，可知xy+yz+xz≤1.由（x+y+z）2=x2+y2+z2+2（xy+yz+xz）≥0，可得2（xy+yz+xz）≥-（x2+y2+z2）=-1，即xy+yz+xz≥-.所以，-≤xy+yz+xz≤1.小结我们通常需要对代数式进行适当变形，拼凑出与柯西不等式的一般形式相似的结构，再运用柯西不等式.在运用柯西不等式的过程中，要注意数字或字母的顺序.（责任编校冯琪）。
柯西不等式的应用 篇
柯西不等式的证明及相关应用摘要：柯西不等式是高中数学新课程的一个新增内容，也是高中数学的一个重要知识点，它不仅历史悠久，形式优美，结构巧妙，也是证明命题、研究最值问题的一个强有力的工具。
关键词：柯西不等式 柯西不等式变形式 最值 一、柯西（Cauchy ）不等式：等号当且仅当021====n a a a Λ或i i ka b =时成立（k 为常数，n i Λ2,1=） 现将它的证明介绍如下： 方法1 证明：构造二次函数=()()()2222122112222212n n n n b b b x b a b a b a x a a a +++++++++++ΛΛΛ由构造知 ()0≥x f 恒成立又22120nn a a a +++≥Q L即()()()222212222122211nn n n b b b a a a b a b a b a ++++++≤+++ΛΛΛ 当且仅当()n i b x a i i Λ2,10==+ 即1212n na a ab b b ===L 时等号成立 方法2 证明:数学归纳法（1） 当1n =时 左式=()211a b 右式=()211a b 显然 左式=右式 当2=n 时 右式 ()()()()2222222222121211222112a a b b a b a b a b a b =++=+++()()()2221122121212222a b a b a a b b a b a b ≥++=+=左式 故1,2n =时 不等式成立（2）假设n k =(),2k k ∈N ≥时，不等式成立即 ()()()222212222122211k k k k b b b a a a b a b a b a ++++++≤+++ΛΛΛ当 i i ma b =，m 为常数，k i Λ2,1= 或120k a a a ====L 时等号成立设A=22221k a a a +++Λ B=22221k b b b +++Λ 1122k k C a b a b a b =+++L则()()212121212121+++++++++=++k k k k k k b a Ba Ab AB b B a A当 i i ma b =，m 为常数，12,1+=k i Λ 或121+===k a a a Λ时等号成立 即 1n k =+时不等式成立 综合（1）（2）可知不等式成立二、柯西不等式的简单应用柯西不等式是一个非常重要的不等式，学习柯西不等式可以提高学生的数学探究能力、创新能力等，能进一步开阔学生的数学视野，培养学生的创新能力，提高学生的数学素质。
浅析述柯西不等式在高考中的应用及解题技巧
浅析述柯西不等式在高考中的应用及解题技巧摘要：柯西不等式是高中数学新课程中的新增内容，其在解决数学问题中是非常重要并且高效的解题方法。
在解决证明命题问题或者最值等问题时，柯西不等式是较优的选择，同时，在培养学生的综合运用能力、分析能力以及转换能力方面都具有一定辅助作用，并且有利于帮助学生形成多方面思考的解题习惯，有利于创新思想的形成。
关键词：柯西不等式；高中数学；高考应用柯西不等式在其构造形式以及表现形式上，具有非常高的灵活性，学生可以运用数学归纳法、构造函数法、线性相关法、配方法、比较法、参数法或者均值不等式或向量内积等方法来证明柯西不等式。
同样的，柯西不等式也可以在多中不同的情况下，灵活巧妙的应用。
例如：解决数学中的不等式证明问题、最值求解问题、推到空间点导致先的距离公式等问题上都可以借助柯西不等式进行求解。
在高中阶段，较为常用的是利用柯西不等式解决最值问题、不等式的证明问题以及利用其变形公式进行求解的问题。
在本文中，将针对上述三种问题，具体论述柯西不等式在高考数学中的应用。
1.利用柯西不等式解决最值问题在利用柯西不等式解决最值问题时，有些可直接套用，有些可能需要对题目中所给的式子进行适当的配凑，再进行公式的套用。
在解决不等式问题时，可以应用到的方法很多，但是利用柯西不等式解决此类问题最大的特点便是效率，过程不再有那么繁琐，简单精简，显得干净利落。
并且，最值问题这类题目的难度系数不高，出现在高考中的可能性较大，如果能够掌握好柯西不等式的应用，对于解决此类问题十分重要。
下面以两个例子，具体阐述柯西不等式的应用：例1：已知实数a、b、c、d满足a+b+c+d=3，a2+2b2+3c2+6d2=5试求a的最值：解：通过柯西不等式可知：（2b2+3c2+6d2）（1/2+1/3+1/6）≥（b+c）2a由条件可以得出：5—a2≥（3—a）解得：1≤a≤2 当且仅当时等等号成立代入：b=1,c=1/3,d=1/6时，可得a最大值为2b=1,c=2/3,d=1/3时，可得a最小值为1例2：求解函数的最大值解：根据题意可知：y>0，并且x的范围为1到5闭区间所以由柯西不等式可知：当且仅当：即当x=61/25时取等号所以函数的最大值为101.利用柯西不等式解决不等式证明问题柯西不等式是在证明一些不等式问题时的经常会使用的理论根据，通过利用柯西不等式以及对给出证明式的拆分变形，可以减少在证明不等式过程中会遇到的许多问题，有利于题目的求解。
柯西不等式各种形式的证明及其应用
柯西不等式各样形式的证明及其应用柯西不等式是由大数学家柯西(Cauchy) 在研究数学分nnn2析中的“流数”问题时获得的。
但从历史的角度讲，该不等 a k 2 b k2a kb k式应该称为 Cauchy-Buniakowsky-Schwarz不等式，由于，k 1k 1 k1正是后两位数学家相互独立地在积分学中推而广之，才将这一不等式应用到近乎完美的地步。
柯西不等式特别重要，灵巧奇妙地应用它，能够使一些较为困难的问题水到渠成。
柯西不等式在证明不等式、解三角形、求函数最值、解方程等问题的方面获得应用。
一、柯西不等式的各样形式及其证明二维形式在一般形式中， 令 n 2, a 1 a, a 2 b,b 1 c,b 2d ，得二维形式a 2b 2c 2d 2ac bd 2等号成立条件： ad bc a / b c / d扩展： a 12a 22 a 32a n 2b 12b 22b 32 b n 2a 1b 1 a 2b 2 a 3b 3a nb n 2当 a i或时， a i 和 b i 都等于 ， 等号成立条件：0 ba 1 :b 1 a 2 : b 2a n: b n不考虑 a i : b i ,i1,2,3, , n二维形式的证明：a 2b 2c 2d 2a, b, c, d Ra 2 c 2b 2 d 2 a 2 d 2 b 2c 2a 2 c 22abcdb 2 d 2 a 2d 2 2abcdb 2c 2acbd 2ad2bcac bd 2等号在且仅在 ad bc 0即 ad =bc 时成立三角形式a 2b 2c 2d 22 2a cb d等号成立条件： ad bc三角形式的证明 ：a 2b 2c 2 2a 2b 2c 2d 2 2 a 2 b 2 c 2 d 2d 2a 2b 2c 2d 2 2 acbd注： 表示绝对值a 2 2ac c 2b 2 -2bd d 2a 2b d 2c两边开根号，得a 2b 2c 2d 2a 22c b d向量形式， = a 1, a 2 , a 3 ,a n ,b 1, b 2 ,b 3 , b nn N , n 2等号成立条件：为零向量，或=R向量形式的证明 ：r ur令 m= a 1, a 2 , a 3 ,L , a n , n b 1, b 2 ,b 3,L , b nur r ur r L ur rm n a 1b 1 a 2b 2 a 3b 3 a n b n m n cos m, na 12 a 22a 32 L a n 2b 12 b 22 b 32 Lb n 2 ur rcos m , nur r 1 Q cos m, nab a b a b L a ba 2 a 2a 2 L a 2b 2b 2 b 2 L b 21 12 23 3n n123n123n一般形式nnn222a kb ka kb kk 1k 1k 1等号成立条件： a 1 : b 1 a 2 : b 2a n :b n ，或 a i 、 b i 均为零。
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柯西不等式的应用技巧及练习 柯西不等式的一般形式是：设1212,,,R n n a a a b b b ∈L L ，则 当且仅当1212n n
a a a
b b b ===L 或120n b b b ====L 时等号成立． 其结构对称，形式优美，应用极为广泛，特别在证明不等式和求函数的最值中作用极大．应用时往往需要适当的变形：添、拆、分解、组合、配凑、变量代换等，方法灵活，技巧性强．
一、巧配数组
观察柯西不等式，可以发现其特点是：不等式左边是两个因式的积，其中每一个因式都是项的平方和，右边是左边中对立的两项乘积之和的平方，因此，构造两组数：1212,,n n a a a b b b L L 和，便是应用柯西不等式的一个主要技巧．
例1 已知,,225x y z x y z ∈-+=R,,且求222(5)(1)(3)x y z ++-++的最小值． 例２ 设,,R x y z ∈
，求证：≤≤ 二、巧拆常数
运用柯西不等式的关键是找出相应的两组数，当这两组数不太容易找到时，常常需要变形，拆项就是一个变形技巧．
例３ 设a 、b 、c 为正数且各不相等， 求证：c
b a a
c c b b a ++>+++++9222 .
有些问题本身不具备运用柯西不等式的条件，但是只要我们改变一下式子的形式结构，认清其内在的结构特征，就可达到运用柯西不等式的目的． 例６ a 、b 为非负数，a +b =1，+∈R x x 21,
求证：212121))((x x ax bx bx ax ≥++
例７ 设,1
21+>>>>n n a a a a K 求证：
练习题
1. (2009年浙江省高考自选模块数学试题)已知实数z y x ,,满足,12=++z y x 设.2222z y x t ++=
(1) 求t 的最小值；
(2) 当21
=t 时，求z 的取值范围
2 (2010年浙江省第二次五校联考)已知,,a b c R +∈，1a b c ++=。
(1) 求()222149a b c +++的最小值；
(2)
2≥
3 (2010年杭二中高三年级第三次月考)已知正数,,a b c 满足：1=++ca bc ab ，求
的最大值．
4 (浙江省镇海中学高考模拟试题) 已知,,x y z 是正数，且12
1,x y += 求221
2
2x x y y +++的最小值；
5 (金华十校2009年高考模拟考试)若+∈R c b a ,, ， 求证：1222≥+++++b a c
a c b
c b a
6 (2010年宁波市高三模拟测试卷)已知,,a b c 为正实数，且3a b c ++=． 证明：222
2()()()4
()3a c b a c b a c a b c ---++≥-，并求等号成立时,,a b c 的值．
7 (浙江省镇海中学高考模拟试题)
若0,,1,x y z <<且1xy yz zx ++=
≥
8(2010年金华十校高考模拟考试) 设正数x ，y ，z 满足1543=++z y x 求x z z y y x +++++1
1
1
值．
9 (2008年陕西高考理科数学压轴题)已知数列{}n a 的首项135
a =
， 13,1,2,.21n n n a a n a +==⋅⋅⋅+(1) 求{}n a 的通项公式； (2) 证明：对任意的()21120,,1,2,;131n n x a x n x x ⎛⎫>≥--=⋅⋅⋅ ⎪+⎝⎭
+。