柯西不等式的应用技巧

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柯西不等式的应用技巧及练习 柯西不等式的一般形式是:设1212,,,R n n a a a b b b ∈L L ,则 当且仅当1212n n

a a a

b b b ===L 或120n b b b ====L 时等号成立. 其结构对称,形式优美,应用极为广泛,特别在证明不等式和求函数的最值中作用极大.应用时往往需要适当的变形:添、拆、分解、组合、配凑、变量代换等,方法灵活,技巧性强.

一、巧配数组

观察柯西不等式,可以发现其特点是:不等式左边是两个因式的积,其中每一个因式都是项的平方和,右边是左边中对立的两项乘积之和的平方,因此,构造两组数:1212,,n n a a a b b b L L 和,便是应用柯西不等式的一个主要技巧.

例1 已知,,225x y z x y z ∈-+=R,,且求222(5)(1)(3)x y z ++-++的最小值. 例2 设,,R x y z ∈

,求证:≤≤ 二、巧拆常数

运用柯西不等式的关键是找出相应的两组数,当这两组数不太容易找到时,常常需要变形,拆项就是一个变形技巧.

例3 设a 、b 、c 为正数且各不相等, 求证:c

b a a

c c b b a ++>+++++9222 .

有些问题本身不具备运用柯西不等式的条件,但是只要我们改变一下式子的形式结构,认清其内在的结构特征,就可达到运用柯西不等式的目的. 例6 a 、b 为非负数,a +b =1,+∈R x x 21,

求证:212121))((x x ax bx bx ax ≥++

例7 设,1

21+>>>>n n a a a a K 求证:

练习题

1. (2009年浙江省高考自选模块数学试题)已知实数z y x ,,满足,12=++z y x 设.2222z y x t ++=

(1) 求t 的最小值;

(2) 当21

=t 时,求z 的取值范围

2 (2010年浙江省第二次五校联考)已知,,a b c R +∈,1a b c ++=。

(1) 求()222149a b c +++的最小值;

(2)

2≥

3 (2010年杭二中高三年级第三次月考)已知正数,,a b c 满足:1=++ca bc ab ,求

的最大值.

4 (浙江省镇海中学高考模拟试题) 已知,,x y z 是正数,且12

1,x y += 求221

2

2x x y y +++的最小值;

5 (金华十校2009年高考模拟考试)若+∈R c b a ,, , 求证:1222≥+++++b a c

a c b

c b a

6 (2010年宁波市高三模拟测试卷)已知,,a b c 为正实数,且3a b c ++=. 证明:222

2()()()4

()3a c b a c b a c a b c ---++≥-,并求等号成立时,,a b c 的值.

7 (浙江省镇海中学高考模拟试题)

若0,,1,x y z <<且1xy yz zx ++=

8(2010年金华十校高考模拟考试) 设正数x ,y ,z 满足1543=++z y x 求x z z y y x +++++1

1

1

值.

9 (2008年陕西高考理科数学压轴题)已知数列{}n a 的首项135

a =

, 13,1,2,.21n n n a a n a +==⋅⋅⋅+(1) 求{}n a 的通项公式; (2) 证明:对任意的()21120,,1,2,;131n n x a x n x x ⎛⎫>≥--=⋅⋅⋅ ⎪+⎝⎭

+

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