试验一斐波那契数列

试验一 斐波那契数列

一、 实验目的与要求

1．认识Fibonacci 数列，体验发现其通项公式的过程；

2．了解matlab 软件中进行数据显示与数据拟合的方式；

3．掌握matlab 软件中plot, polyfit 等函数的基本用法；

4．提高对数据进行分析与处理的能力。

二、 问题描述

某人养了一对兔，一个月后生育了一对小兔。假设小兔一个月后就可以长大成熟，而每对成熟的兔每月都将生育一对小兔，且兔子不会死亡。问：一年后共有多少对兔子？

三、 问题分析

这个问题，最早由意大利数学家斐波那契(Fibonacci)，于1202年在其著作《珠算原理》中提出。根据问题的假设，兔子的总数目是如下数列： 1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，233，…

问题的答案就是此数列的第12项，即一年后共有144对兔子。

这个数列通常被称为斐波那契(Fibonacci)数列，研究这个问题就是研究Fibonacci 数列。把这个问题作更深入的研究，我们会问：第n 个月后，总共有多少对兔子？即Fibonacci 数列的第n 项是多少？这就需要我们探素Fibonacci 数列的通项公式。根据问题的描述，我们知道第n+2个月后兔子的对数，等于第n+1个月后兔子的对数（表示原来就有的老兔子对数），加上第n 个月后兔子的对数（表示生育出来的新兔子对数）。这样就得到关于Fibonacci 数列的一个递推公式：

21n n n F F F ++=+

利用matlab 软件的数据可视化功能将这些数据显示成平面曲线的形式后，我们可以观察到Fibonacci 数列的变化规律；通过matlab 软件的数据拟合功能，我们可以大概知道Fibonacci 数列的函数关系式，结合上面的递推公式，就可以推导出来Fibonacci 数列的通项公式。

四、 背景知识介绍

1． 数据的可视化。

将离散的数据：1234,,,,,,n F F F F F ，

看成平面坐标系里的点：1234(1,),(2,),(3,),(4,),,(,),n F F F F n F ，

利用matlab 软件的plot 函数在平面坐标系里划出一个点列，就可以实现离散数据的可视化。plot 函数的基本使用格式为：plot(y)，其中参数y 表示竖坐标，即需要显示的数据。

例1 y=1:20;y=y.^3;plot(y)

2． 数据的拟合。

数据拟合就是寻找一个目标函数，作为被拟合数据的近似函数关系。目标函数的类型，可以是多项式、指数函数等。作数据拟合，首先需要估计目标函数的类型，这一点可以通过数据可视化来观察得到，而一阶多项式是最常见的目标函数，此时称为线性回归。确定拟合系数的原则是最小二乘法，即所有误差的平方和取最小值。在matlab 软件中以多项式为目标函数作数据拟合的函数是polyfit ，它的基本使用格式为：polyfit (x,y,n)。

其中(x,y)是被拟合的数据，即平面上的一个点列，而n 是事先确定的多项式的阶数。

例2 x=[1,3,4,5,6,7,8,9,10];y=[10,5,4,2,1,1,2,3,4]; polyfit (x,y,2)

结果：20.2676t - 3.6053t + 13.4597

3． 数列的通项公式。

寻找一个整标函数，使得它在n 处的函数值，等于数列的第n 项的值，这个函数就是数列的通项公式。

4． 黄金分割。

把一条线段分割为两部分，使其中一部分与全长之比等于另一部分与这部分之比（如下图）

。其比值是一个无理数1)2-÷，取其前三位数字的近似值是0.618。由于按此比例设计的造型十分协调美观，因此称之为黄金分割。

五、 实验过程

本试验将Fibonacci 数列的有限项，看成是待处理的数据。首先利用matlab 软件的可视化功能，将这些数据显示在平面坐标系中，观察其图形类似什么曲线，结论是：指数函数的曲线。进一步，利用指数函数与对数函数的互逆关系，将原有数据取对数，再观察其曲线形状是否类似直线，以验证原来的观察是否正确。通过观察到的目标函数，然后利用matlab 软件的数据拟合功能，得到Fibonacci 数列通项公式的近似关系。最后，从近似关系出发，推导出来Fibonacci 数列的通项公式。

1． 观察数据的大概函数关系。

为了研究Fibonacci 数列的变化规律，我们取此数列的前30项来观察。利用Matlab 软件的数据可视化功能，将这些数据显示在平面坐标系中，观察其中蕴涵的函数关系。具体的实现流程为：（1）定义数组fn ；（2）显示数组fn 。具体的代码如下：

function plotfibo(n) %定义函数显示Fibonacci 数列前n 项

fn=[1,1]; %将数列的前两项放到数组fn 中

for i=3:n %fn 的第3项到第n 项

AM:AB=MB:AM

fn=[fn,fn(i-2)+fn(i-1)]; %将第i项添加到数组fn中

end %循环结束

plot(fn) %将装有数列前n项的数组显示出来

这个函数的调用方式是：plotfibo(30)，显示出来的图像为图1，经观察，觉得曲线的形状象指数函数的曲线，其数据无限增大。可以改变参数n的值，反复观察。

图1 n=30 图2 n=50

图3 n=500 图4 n=1000

2．进一步验证上一步得到的结论。

经过上一步的观察，觉得这些数据应该是指数函数的形式。为了进一步验证这个结论是否正确，可以利用指数函数与对数函数的互逆关系。如果这些数据确实是指数函数的形式，则经过取对数后应该是一个线性关系，即一阶多项式，从图形上看应该象一条直线。因此，再利用Matlab软件的数据可视化功能，将这些数据取对数后显示在平面坐标系中，观察它是否象一条直线。具体的实现流程为：（1）定义数组fn；（2）数组fn取对数；（3）显示数组fn。具体的代码如下：

function plotlnfibo(n) %显示取对数后的前n项

fn=[1,1]; %将数列的前两项放到数组fn中

for i=3:n %fn的第3项到第n项

fn=[fn,fn(i-2)+fn(i-1)]; %将第i项添加到数组fn中