北师大版八年级上册数学第一章勾股定理全章知识点及习题(经典)

c

b

a

D C

A

B

第一章 勾股定理

知识点一：勾股定理定义

画一个直角边为3cm 和4cm 的直角△ABC ，量AB 的长；一个直角边为5和12的直角△ABC ，量AB 的长 发现32

+42

与52

的关系，52

+122

和132

的关系，对于任意的直角三角形也有这个性质吗？ 直角三角形两直角边a 、b 的平方和等于斜边c 的平方。（即：a 2

+b 2

＝c 2

） 1．如图，直角△ABC 的主要性质是：∠C=90°，（用几何语言表示）

⑴两锐角之间的关系： ； ⑵若D 为斜边中点，则斜边中线 ；

⑶若∠B=30°，则∠B 的对边和斜边： ；（给出证明） ⑷三边之间的关系： 。 知识点二：验证勾股定理

知识点三：勾股定理证明（等面积法）

例1。已知：在△ABC 中，∠C=90°，∠A 、∠B 、∠C 的对边为a 、b 、c 。 求证：a 2

＋b 2

=c 2

。 证明：

例2。已知：在△ABC 中，∠C=90°，∠A 、∠B 、∠C 的对边为a 、b 、c 。 求证：a 2

＋b 2

=c 2

。 证明：

知识点四：勾股定理简单应用 在Rt △ABC 中，∠C=90°

(1) 已知：a=6, b=8，求c b

b

b

b

c

c

c

c

a

a

a

a

b

b

b b

a a

c

c

a

a

A

C

B

D

A

B

如果三角形的三边长为c b a ,,，满足2

22c b a =+，那么，这个三角形是直角三角形． 利用勾股定理的逆定理判别直角三角形的一般步骤： ①先找出最大边（如c ）

②计算2c 与22

a b +，并验证是否相等。 若2c =22

a b +，则△ABC 是直角三角形。

若2

c ≠22

a b +，则△ABC 不是直角三角形。

1.下列各组数中，以a ，b ，c 为边的三角形不是Rt △的是（ ） A.a=7,b=24,c=25 B.a=7,b=24,c=24

C.a=6,b=8,c=10

D.a=3,b=4,c=5

2.三角形的三边长为ab c b a 2)(2

2

+=+,则这个三角形是( )

A. 等边三角形

B. 钝角三角形

C. 直角三角形

D. 锐角三角形

3.已知0)10(862=-+-+-z y x ,则由此z y x ,,为三边的三角形是 三角形. 知识点六：勾股数

（1）满足2

2

2

c b a =+的三个正整数，称为勾股数．

（2）勾股数中各数的相同的整数倍，仍是勾股数，如3、4、5是勾股数，6、8、10也是勾股数． （3）常见的勾股数有：①3、4、5②5、12、13；③8、15、17；④7、24、25； ⑤11、60、61；⑥9、40、41．

1.设a 、b 、c 是直角三角形的三边,则a 、b 、c 不可能的是（ ）.

A.3,5,4

B. 5,12,13

C.2,3,4

D.8,17,15 1. 若线段a ，b ，c 组成Rt △，则它们的比可以是（ ）

A.2∶3∶4

B.3∶4∶6

C.5∶12∶13

D.4∶6∶7

知识点七：确定最短路线

1.一只长方体木箱如图所示，长、宽、高分别为5cm 、4cm 、3cm, 有一只甲虫从A 出发，沿表面爬到C '，最近距离是多少？

2.如图,一圆柱高8cm,底面半径2cm,一只蚂蚁从点A 爬到点B 处吃食,要爬行的最短路程（π 取3）是 .

知识点八：逆定理判断垂直

1．在△ABC 中，已知AB 2

－BC 2

＝CA 2

，则△ABC 的形状是( )

A ．锐角三角形；

B ．直角三角形；

C ．钝角三角形；

D ．无法确定． 2．如图，正方形网格中的△ABC ，若小方格边长为1，则△ABC 是( )

A

B

C

D A '

B '

C '

D 'B

C

5米3米

1.在我国古代数学著作《九章算术》中记载了一道有趣的问题，这个问题的意思是：有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形，在水池正中央有一根新生的芦苇，它高出水面1尺，如果把这根芦苇垂直拉向岸边，它的顶端恰好到达岸边的水面，请问这个水池的深度和这根芦苇的长度各是多少？

2.如图为某楼梯,测得楼梯的长为5米,高3米,计划在楼梯表面铺地毯,地毯的长度至少需要________米.

3.一根直立的桅杆原长25m，折断后，桅杆的顶部落在离底部的5m处，则桅杆断后两部分各是多长？

4.某中学八年级学生想知道学校操场上旗杆的高度，他们发现旗杆上的绳子垂到地面还多1米，当他们把绳子的下端拉开5米后，发现下端刚好触地面，你能帮他们把旗杆的高度和绳子的长度计算出来吗？

综合练习一

一、选择题

1、下面几组数:①7,8,9;②12,9,15;③m 2

+ n 2

, m 2

– n 2

, 2mn(m,n 均为正整数,m >n);④2a ,12+a ,22

+a .其中能组成直角三角形的三边长的是( )

A.①②;

B.①③;

C.②③;

D.③④

2已知一个Rt △的两边长分别为3和4，则第三边长的平方是（ ）

A.25

B.14

C.7

D.7或25

3.三角形的三边长为ab c b a 2)(2

2

+=+,则这个三角形是( )

A. 等边三角形;

B. 钝角三角形;

C. 直角三角形;

D. 锐角三角形. 4.△ABC 的三边为a 、b 、c 且(a+b)(a-b)=c 2

，则( )

A.a 边的对角是直角

B.b 边的对角是直角

C.c 边的对角是直角

D.是斜三角形

5.以下列各组中的三个数为边长的三角形是直角三角形的个数有（ ）

①6、7、8，②8、15、17，③7、24、25，④12、35、37，⑤9、40、41 A 、1个 B 、2个 C 、3个 D 、4个

6.将直角三角形的三边扩大相同的倍数后，得到的三角形是 ( ) A.直角三角形 B.锐角三角形 C.钝角三角形 D.不是直角三角形

7.若△ABC 的三边a 、b 、c 满足(a-b)(a 2+b 2-c 2)=0，则△ABC 是 ( ) A.等腰三角形 B.直角三角形

C.等腰直角三角形

D.等腰三角形或直角三角形

8.如图，∠C =∠B =90°，AB =5，BC =8，CD =11，则AD 的长为 （ ）

A 、10

B 、11

C 、12

D 、13

9.如图、山坡AB 的高BC =5m ，水平距离AC =12m ，若在山坡上每隔0.65m 栽一棵茶树,则从上到下共 ( )

A 、19棵

B 、20棵

C 、21棵

D 、22棵

10.Rt △ABC 中，∠C =90°，∠A 、∠B 、∠C 所对的边分别是a 、b 、c ，若c =2，则2

a +2

b +2

c 的值是 （ ）

A 、6

B 、8

C 、10

D 、4 11.下列各组数据中，不能构成直角三角形的一组数是（ ）

Ａ、9，12，15 B 、

45，1，4

3

C 、0.2，0.3，0.4

D 、40，41，9 12.已知，一轮船以16海里/时的速度从港口A 出发向东北方向航行，另一轮船以12海里/时的速度同时从港口A 出发向东南方向航行，离开港口2小时后，则两船相距（ ）

A.25海里

B.30海里

C.35海里

D.40海里

二、填空题

1.在Rt △ABC 中，∠C=90°，①若a=5，b=12，则c=___________；②若a=15，c=25，则b=___________；③若c=61，b=60，则a=__________；④若a ∶b=3∶4，c=10则S Rt △ABC =________

2.现有长度分别为2cm 、3cm 、4cm 、5cm 的木棒，从中任取三根，能组成直角三角形，则其周长为 cm ．

3.勾股定理的作用是在直角三角形中，已知两边求 ；勾股定理的逆定理的作用是用来证明 ．

4.如图中字母所代表的正方形的面积：A = B = ． A

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