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2011—2017年新课标全国卷1理科数学分类汇编 函数及其性质

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2011年—2017年新课标全国1卷理科数学题型分类汇编(含答案)

2011年—2017年新课标全国1卷理科数学题型分类汇编(含答案)

2011 年—2017 年新课标高考全国Ⅰ卷理科数学分类汇编（含答案）说明：2017 年高考中，安徽、湖北、福建、湖南、山西、河北、江西、广东、河南等9 个省份选择使用新课标全国Ⅰ卷．2017 年，除了保留北京、天津、上海、江苏、浙江实行自主命题外（山东省语文、数学卷最后一年使用），大陆其他省区全部使用全国卷．研究发现，新课标全国卷的试卷结构和题型具有一定的稳定性和连续性．每个题型考查的知识点、考查方法、考查角度、思维方法等相对固定．掌握了全国卷的各种题型，就把握住了全国卷命题的灵魂．正所谓知己知彼，才能百战不殆，为了方便老师和同学们备考2018 年高考，本人认真研究近7 年新课标高考全国Ⅰ卷理科数学和高考数学考试说明，将2011 年—2017 年新课标全国Ⅰ卷进行了分类整理．2011 年—2017 年新课标高考全国Ⅰ卷理科数学分类汇编1．集合与常用逻辑用语 (2)2．函数与导数 (3)3．三角函数、解三角形 (7)4．平面向量 (10)5．数列 (11)6．不等式、推理与证明 (13)7．立体几何 (14)8．解析几何 (18)9．统计、概率分布列、计数原理 (23)10．复数及其运算 (30)11．程序框图 (31)12．坐标系与参数方程 (33)13．不等式选讲 (36)1．集合与常用逻辑用语一、选择题【2017，1】已知集合A ={x x <1}，B ={x 3x <1}，则（）A．A B = {x | x <0}B．A B =R C．A B = {x | x >1}D．A B=∅【2016，1】设集合A = {x x2 - 4x + 3 <0}，B = {x 2x - 3 > 0} ，则A B =（）A．(-3,-3)2B．(-3,3)2C．(1,3)2D．(3,3)2【2015，3】设命题p ：∃n∈N，n2 > 2n ，则⌝p 为（）A．∀n ∈N ，n2 >2n B．∃n∈N，n2 ≤2n C．∀n ∈N ，n2 ≤2n D．∃n∈N ，n2 =2n【2014，1】已知集合A={ x | x2 - 2x - 3 ≥ 0 }，B= {x -2 ≤x < 2}，则A ⋂B =( )A ．[-2,-1]B ．[-1,2）C ．[-1,1]D ．[1,2）【2013，1】已知集合A＝{x|x2－2x＞0}，B＝{x|－x＜，则( )A．A∩B＝B．A∪B＝R C．B ⊆A D．A ⊆B【2012，1】已知集合A={1，2，3，4，5}，B={（x ，y ）| x∈A，y ∈A ，x -y ∈A }，则B 中包含元素的个数为（）A．3 B．6 C．8 D．102．函数与导数一、选择题【2017，5】函数f (x) 在(-∞, +∞) 单调递减，且为奇函数．若f (1) =-1 ，则满足-1 ≤f (x - 2) ≤1的x 的取值范围是（）A．[-2, 2]B．[-1,1]C．[0, 4] D．[1, 3]【2017，11】设x, y, z 为正数，且2x = 3y = 5z ，则（）A．2x<3y<5z B．5z<2x<3y C．3y<5z<2x D．3y<2x<5z【2016，7】函数y =2x2 -e x 在[-2,2] 的图像大致为（）A．B．C．D．【2016，8】若a >b >1，0 <c <1，则（）A．a c <b c B．ab c <ba c C．a logb c <b logac D．logac <logbc【2015，12】设函数f (x) = e x (2x -1) -ax +a ,其中a <1，若存在唯一的整数x ，使得f (x ) < 0 ，00则a 的取值范围是（）A．⎡-3,1⎫B．⎡-3,3 ⎫C．⎡3,3 ⎫D．⎡3,1⎫ ⎣⎢2e⎪ ⎢2e 4 ⎪ ⎢2e 4 ⎪ ⎢2e ⎪⎭⎣ ⎭ ⎣⎭⎣ ⎭【2014，3】设函数f (x) ，g(x) 的定义域都为R，且f (x) 是奇函数，g(x) 是偶函数，则下列结论正确的是（）A ．f (x) g(x) 是偶函数B ．| f (x) | g(x) 是奇函数C ．f (x) | g(x) |是奇函数D ．| f (x) g(x) |是奇函数【2014，11】已知函数f (x) = ax3 - 3x2 +1 ，若f (x) 存在唯一的零点x ，且x ＞0，则a 的取值范围为0 0A ．（2，+∞）B ．（-∞，-2）C ．（1，+∞）D ．（-∞，-1）⎧-x2 + 2x，x ≤ 0，【2013，11】已知函数f(x)＝⎨⎩ln( x+1)，x > 0.若|f(x)|≥ax，则a 的取值范围是( ) A．(－∞，0] B．(－∞，1] C．[－2,1] D．[－2,0]【2012，10】已知函数f ( x) =1，则y =f (x) 的图像大致为（）A．B．D．【2012，12】设点P 在曲线y =1e x 上，点Q 在曲线y = ln(2x) 上，则| PQ |的最小值为（）2A．1- ln 2B- ln 2)C．1+ ln 2D+ ln 2)【2011，12】函数y =1x -1的图像与函数y =2s in πx(-2 ≤x ≤ 4) 的图像所有交点的横坐标之和等于（）A．2 B．4 C．6 D．8【2011，2】下列函数中，既是偶函数又在（0，+∞）单调递增的函数是（）A．y =x3B．y = x +1C．y =-x2 +1D．y = 2-x【2011，9】由曲线y =，直线y =x - 2 及y 轴所围成的图形的面积为（）A．103二、填空题B．4 C．163D．6【2017，16】如图，圆形纸片的圆心为O，半径为5 cm，该纸片上的等边三角形ABC 的中心为O．D、E、F 为圆O 上的点，△DBC，△ECA，△F AB 分别是以BC，CA，AB 为底边的等腰三角形．沿虚线剪开后，分别以BC，CA，AB 为折痕折起△DBC，△ECA，△F AB，使得D，E，F 重合，得到三棱锥．当△ABC．的边长变化时，所得三棱锥体积（单位：cm3）的最大值为．【2015，13】若函数f(x)=x ln（x a=【2013，16】若函数f(x)＝(1－x2)(x2＋ax＋b)的图像关于直线x＝－2 对称，则f(x)的最大值为．三、解答题【2017，12】已知函数f (x)=ae2 x +(a -2)e x -x ．（1）讨论f ( x) 的单调性；（2）若f ( x) 有两个零点，求a 的取值范围．【2016，12】已知函数f (x) = (x -2)e x +a(x -1)2 有两个零点．（Ⅰ）求a 的取值范围；（Ⅱ）设x1 , x2 是f (x) 的两个零点，证明：x1 +x2 < 2 ．【2015，12】已知函数f ( x) =x3 +ax +1，g(x) =-l n x ．4（Ⅰ）当a 为何值时，x 轴为曲线y =f (x) 的切线；（Ⅱ）用min{m, n} 表示m, n 中的最小值，设函数h(x) = min{ f (x), g(x)} （x > 0 ），讨论h(x) 零点的个数．【2014，21】设函数f ( x0 =ae x ln x +be x-1，曲线y =f (x) 在点（1，f (1) 处的切线为y =e(x -1) + 2 ．(Ⅰ) x求a,b；（Ⅱ）证明：f (x) >1．【2013，21】设函数f(x)＝x2＋ax＋b，g(x)＝e x(cx＋d)．若曲线y＝f(x)和曲线y＝g(x)都过点P(0,2)，且在点P 处有相同的切线y＝4x＋2．(1)求a，b，c，d 的值；(2)若x≥－2 时，f(x)≤kg(x)，求k 的取值范围．【2012，21】已知函数f (x) 满足f (x) =f '(1)e x-1 -f (0)x+1x2 ．2（1）求f (x) 的解析式及单调区间；（2）若f (x) ≥1x2 +ax +b ，求(a +1)b 的最大值．2【2011，21】已知函数f (x) =a ln x+b，曲线y =f (x) 在点(1, f (1)) 处的切线方程为x +2y- 3 = 0 ．x +1x（Ⅰ）求a 、b 的值；（Ⅱ）如果当x > 0 ，且x ≠1时，f (x) > ln x+k，求k 的取值范围．x -1 x3．三角函数、解三角形一、选择题2π 【2017，9】已知曲线 C 1：y =cos x ，C 2：y =sin (2x +3)，则下面结正确的是（ ）πA ．把 C 1 上各点的横坐标伸长到原来的 2 倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移 6得到曲线C 2 个单位长度，πB ．把C 1 上各点的横坐标伸长到原来的 2 倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移 12得到曲线C 2个单位长度，1 C ．把 C 1 上各点的横坐标缩短到原来的 2得到曲线C 2π 倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移 6个单位长度，1D ．把 C 1 上各点的横坐标缩短到原来的 2π倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移 12个单位长度，得到曲线 C 2【2016，12】已知函数 f ( x ) = sin(ωx + ϕ )(ω > 0, ϕ≤ π ， x = - π为 f ( x ) 的零点， x = π 为244y = f (x ) 图像的对称轴，且 f ( x ) 在 ( π 18 , 5π单调，则ω 的最大值为（）36A ．11B ．9C ．7D ．5【2015，8】函数 f ( x ) = cos(ω x + ϕ) 的部分图象如图所示，则 f ( x ) 的单调递减区间为（）A ． (k π - 1 , k π + 3), k ∈ ZB ． (2k π - 1 , 2k π + 3), k ∈ Z4 4 4 4 C ． (k - 1 , k + 3k ∈ ZD ． (2k - 1 , 2k + 3), k ∈ Z4 4【2015，2】 sin 20 cos10- cos160 sin10 4 4= （ ）A ．BC ． - 12D ． 12【2014，6】如图，圆 O 的半径为 1，A 是圆上的定点，P 是圆上的动点，角 x 的始边为射线OA ，终边为射线 OP ，过点 P 作直线OA 的垂线，垂足为 M ，将点 M 到直线OP 的距离表示为 x 的函数 f ( x ) ，则y= f ( x ) 在[0, π ]上的图像大致为（）【2014，8】设α ∈ (0, π ) ， β ∈ (0, π) ，且 tan α =1 + sin β，则（）2A ． 3α - β = π2 2B ． 2α - β = π2cos βC ． 3α + β = π 2D ． 2α + β = π2【2012，9】已知ω > 0 ，函数 f ( x ) = sin(ω x + π ) 在（ π，π ）上单调递减，则ω 的取值范围是（）4 2A ．[ 1 ， 5 ]B ．[ 1 ， 3 ]C ．（0， 1 ]D ．（0，2]2 4 2 4 2【2011，5】已知角θ 的顶点与原点重合，始边与 x 轴的正半轴重合，终边在直线 y = 2x 上，则 cos 2θ =A ． - 45B ． - 35C ． 35D ． 45【2011，11】设函数 f ( x ) = sin(ω x + ϕ ) + cos(ω x + ϕ)(ω > 0, ϕ且 f (-x ) = f (x ) ，则（ ）< π 的最小正周期为π ， 2A ． f ( x ) 在 ⎛ 0, π ⎫单调递减 B ． f ( x ) 在 ⎛ π ,3π ⎫单调递减2 ⎪ 4 4 ⎪⎝ ⎭⎝ ⎭C ． f ( x ) 在 ⎛ 0, π ⎫单调递增 D ． f ( x ) 在 ⎛ π ,3π ⎫单调递增2 ⎪ 4 4 ⎝ ⎭⎝ ⎭二、填空题【2015，16】在平面四边形 ABCD 中，∠A = ∠B = ∠C = 75 ，BC = 2 ，则 AB 的取值范围是．【2014，16】已知 a , b , c 分别为 ∆ABC 的三个内角 A , B , C 的对边， a =2，且 (2 + b )(sin A - sin B ) = (c - b ) sin C ，则 ∆ABC 面积的最大值为．【2013，15】设当 x ＝θ 时，函数 f (x )＝sin x －2cos x 取得最大值，则 cos θ＝．【2011，16】在 ABC 中， B = 60 , AC =AB + 2BC 的最大值为 ．三、解答题【2017，17】△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为 a ，b ，c ，已知△ABC 的面积为 a 23sin A（1）求 sin B sin C ；（2）若 6cos B cos C =1,a =3,求△ABC 的周长【2016，17】∆ABC 的内角A, B,C的对边分别为a,b, c ，已知2c os C(a cos B +b cos A) =c ．（Ⅰ）求C ；（Ⅱ）若c = 7 ，∆ABC 的面积为3 3，求∆ABC 的周长．2【2013，17】如图，在△ABC 中，∠ABC＝90°，AB＝BC＝1，P 为△ABC 内一点，∠BPC＝90°．(1)若PB＝1，求P A；(2)若∠APB＝150°，求tan∠PBA．2【2012，17】已知a ，b ，c 分别为△ABC 三个内角A，B，C 的对边，a cos C +s in C -b -c = 0 ．（1）求A；（2）若a = 2 ，△ABC 的面积为 b ，c ．⎭⎝ ⎦4．平面向量一、选择题【2015，7】设 D 为 ∆ABC 所在平面内一点 BC = 3CD ，则（）A ． AD = - 1 AB + 4AC3 3 C ． AD =4 AB + 1AC3 3B ． AD = 1 AB - 4AC3 3 D ． AD =4 AB - 1AC3 3【2011，10】已知 a 与 b 均为单位向量，其夹角为θ ，有下列四个命题P : a + b > 1 ⇔ θ ∈ ⎡0, 2π ⎫P : a + b > 1 ⇔ θ ∈ ⎛ 2π ,π ⎤1 ⎢⎣ 3 ⎪⎭ 2 3⎥ ⎝ ⎦⎡ π ⎫⎛ π ⎤P 3 : a - b > 1 ⇔ θ ∈ ⎢⎣0, 3 ⎪P 4 : a - b > 1 ⇔ θ ∈ 3 ,π ⎥其中的真命题是（）A ． P 1 , P 4B ． P 1 , P 3C ． P 2 , P 3D ． P 2 , P 4二、填空题【2017，13】已知向量 a ，b 的夹角为 60°，|a |=2， | b |=1，则| a +2 b |=．【2016，13】设向量 a = (m ,1) ，b = (1,2) ，且| a + b |2= | a |2+ | b |2，则 m =．【2014，15】已知 A ，B ，C 是圆 O 上的三点，若 AO = 1( A B + AC ) ，则 AB 与 AC 的夹角为 ． 2【2013，13】已知两个单位向量 a ，b 的夹角为 60°，c ＝t a ＋(1－t )b ．若 b ·c ＝0，则 t ＝．【2012，13】已知向量 a ， b 夹角为 45°，且| a |= 1，| 2a - b |= 10 ，则| b |=．n 2 15．数列一、选择题【2017，4】记S n 为等差数列{a n } 的前 n 项和．若 a 4 + a 5 = 24 ， S 6 = 48 ，则{a n } 的公差为（ ）A ．1B ．2C ．4D ．8【2017，12】几位大学生响应国家的创业号召，开发了一款应用软件．为激发大家学习数学的兴趣，他们 推出了“解数学题获取软件激活码”的活动．这款软件的激活码为下面数学问题的答案：已知数列1，1，2， 1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16 ，…，其中第一项是 20，接下来的两项是 20，21，再接下来的三项是 20，21，22，依此类推．求满足如下条件的最小整数 N ：N >100 且该数列的前 N 项和为 2 的整数幂．那么该款软件的激活码是（ ）A ．440B ．330C ．220D ．110【2016，3】已知等差数列{a n } 前 9 项的和为 27 ， a 10 = 8 ，则 a 100 = （ ）A ．100B ． 99C ．98D ．97 【2013，7】设等差数列{a n }的前 n 项和为 S n ，若 S m －1＝－2，S m ＝0，S m ＋1＝3，则 m ＝( )．A ．3B ．4C ．5D ．6 【2013，12】设△A n B n C n 的三边长分别为 a n ，b n ，c n ，△A n B n C n 的面积为 S n ，n ＝1,2,3，….c + a b + a 若 b 1＞c 1，b 1＋c 1＝2a 1，a n ＋1＝a n ，b n ＋1＝ nn，c n ＋1＝2nn，则( )．2A ．{S n }为递减数列B ．{S n }为递增数列C ．{S 2n －1}为递增数列，{S 2n }为递减数列D ．{S 2n －1}为递减数列，{S 2n }为递增数列2 1【2013，14】若数列{a n }的前 n 项和 S n =a n 3+ ，则{a n }的通项公式是 a n ＝ ．3 【2012，5】已知{ a n }为等比数列， a4 + a 7 = 2 ， a 5a 6 = -8 ，则 a 1 + a 10 = （）A ．7B ．5C ．－5D ．－7二、填空题【2016，15】设等比数列{a n } 满足 a 1 + a 3 = 10 ， a 2 + a 4 = 5 ，则 a 1a 2a n 的最大值为．【2012，16】数列{ a n }满足 a n +1 + (-1) a n = 2n -1 ，则{ a n }的前 60 项和为 ．三、解答题【2015，17】 S n 为数列{a n } 的前 n 项和．已知 a n ＞0， a+ 2a n = 4S n + 3 ． n（Ⅰ）求{a n } 的通项公式；（Ⅱ）设 b n =，求数列{b n } 的前n 项和． a n a n +12【2014，17】已知数列{ a n }的前 n 项和为 S n ， a 1 =1， a n ≠ 0 ， a n a n +1 = λS n -1，其中 λ 为常数．(Ⅰ)证明： a n +2 - a n = λ ；（Ⅱ）是否存在 λ ，使得{ a n }为等差数列？并说明理由．【2011，17】等比数列{a n } 的各项均为正数，且 2a 1 + 3a 2 = 1, a 3 = 9a 2 a 6 .（Ⅰ)求数列{a n } 的通项公式；（Ⅱ）设 ⎧ 1 ⎫ b n = log 3 a 1 + log 3 a 2 + ...... + log 3 a n , 求数列 ⎨ ⎬ 的前n 项和． ⎩ b n ⎭⎩⎨⎩⎪ ⎨ x ≥ 06．不等式、推理与证明一、选择题⎧ x + y ≥ 1 【2014，9）】不等式组 ⎨⎩ x - 2 y ≤ 4的解集记为D ．有下面四个命题： p 1 ： ∀(x , y ) ∈ D , x + 2 y ≥ -2 ；p 2 ： ∃(x , y ) ∈ D , x + 2 y ≥ 2 ； P 3 ： ∀(x , y ) ∈ D , x + 2 y ≤ 3 ； p 4 ： ∃(x , y ) ∈ D , x + 2 y ≤ -1 ．其中真命题是（）A ． p 2 ， P 3B ． p 1 ， p 4C ． p 1 ， p 2D ． p 1 ， P 3二、填空题⎧ x + 2 y ≤ 1⎪【2017，14】设 x ，y 满足约束条件 ⎨2x + y ≥ -1，则z = 3x - 2 y 的最小值为 ．⎪ x - y ≤ 0 【2016，16】某高科技企业生产产品 A 和产品 B 需要甲、乙两种新型材料．生产一件产品 A 需要甲材料 1．5kg ， 乙材料 1kg ，用 5 个工时；生产一件产品 B 需要甲材料 0．5kg ，乙材料 0．3kg ，用 3 个工时．生产一件 产品 A 的利润为 2100 元，生产一件产品 B 的利润为 900 元．该企业现有甲材料 150kg ，乙材料 90kg ，则 在不超过 600 个工时的条件下，生产产品 A 、产品 B 的利润之和的最大值为 元．⎧ x -1 ≥ 0【2015，15】若 x ,y 满足约束条件 ⎪x - y ≤ 0 ⎪ x + y - 4 ≤ 0，则 y 的最大值为 ．x【2014，14】甲、乙、丙三位同学被问到是否去过 A ，B ，C 三个城市时，甲说：我去过的城市比乙多，但没去过 B 城市； 乙说：我没去过 C 城市； 丙说：我们三人去过同一个城市．由此可判断乙去过的城市为．⎧ x - y ≥ -1⎪x + y ≤ 3【2012，14】设 x ， y 满足约束条件 ⎪ ⎪⎩ y ≥ 0，则 z = x - 2 y 的取值范围为 ．⎧3 ≤ 2x + y ≤ 9,【2011，13】若变量 x , y 满足约束条件 ⎨⎩6 ≤ x - y ≤ 9,则 z = x + 2 y 的最小值为 ．7．立体几何一、选择题【2017，7】某多面体的三视图如图所示，其中正视图和左视图都由正方形和等腰直角三角形组成，正方形的边长为 2，俯视图为等腰直角三角形，该多面体的各个面中有若 干个是梯形，这些梯形的面积之和为（ ） A ．10B ．12C ．14D ．16【2016，11】平面α 过正方体 ABCD - A 1 B 1C 1 D 1 的顶点 A ，α // 平面CB 1 D 1 ，α 平面 ABCD= m ，α 平面 ABB 1 A 1 = n ，则 m , n 所成角的正弦值为3A ．B ．2 3 1 C ．D ．2233【2016，6】如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条相互垂直 的半径．若该几何体的体积是28π，则它的表面积是（ ）3A ．17πB ．18πC ． 20πD ． 28π【2015，6】《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下 问题：“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺．问：积及为米几何？”其意思 为：“在屋内墙角处堆放米（如图，米堆为一个圆锥的四分之一），米堆底部的 弧长为 8 尺，米堆的高为 5 尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少？”已知 1 斛米的体积约为 1．62 立方尺，圆周率约为 3，估算出堆放的米约有（ ）A ．14 斛B ．22 斛C ．36 斛D ．66 斛【2015，11】圆柱被一个平面截去一部分后与半球(半径为 r )组成一个几何体，该几何体三视图中的正视 图和俯视图如图所示． 若该几何体的表面积为16 + 20π ，则 r =（）A ．1B ．2C ．4D ．8【2015 年，11 题】【2014 年，12 题】 【2013 年，6 题】【2014，12】如图，网格纸上小正方形的边长为 1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的个 条棱中，最长的棱的长度为（）A ． 6 2B ． 4 2C ．6D ．4【2013，6】如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高 8 cm ，将一个球放在容器口，再向 容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为 6 cm ，如果不计容器的厚度，则球的体积为( )A ．500π cm 3B ．866π cm 3C ．1372π cm 3D ．2048π cm 33333【2013，8】某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )．A ．16＋8πB ．8＋8πC ．16＋16πD ．8＋16π【2013 年，8】【2012 年，7】【2011 年，6】【2012，7】如图，网格纸上小正方形的边长为 1，粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的体积为 （ ）A ．6B ．9C ．12D ．15 【2012，11】已知三棱锥 S －ABC 的所有顶点都在球 O 的球面上，△ABC 是边长为 1 的正三角形，SC 为球O 的直径，且 SC =2，则此棱锥的体积为（ ）A6B C ．3D ．2【2011，6】在一个几何体的三视图中，正视图和俯视图如右图所示，则相应的侧视图可以为（）二、填空题【2011，15】已知矩形 ABCD 的顶点都在半径为 4 的球 O 的球面上，且 AB = 6, BC =则棱锥O - ABCD 的体积为．三、解答题【2017，18】如图，在四棱锥 P-ABCD 中，AB//CD ，且 ∠BAP = ∠CDP = 90（1）证明：平面P AB ⊥平面 P AD ；（2）若P A =PD =AB =DC , ∠APD = 90 ,求二面角 A -PB -C 的余弦值．o 【2016，18】如图，在以 A , B , C , D , E , F 为顶点的五面体中，面 ABEF 为正方形，AF = 2FD , ∠AFD = 90︒ ，C且二面角 D - AF - E 与二面角 C - BE - F 都是 60︒ ．DEB（Ⅰ）证明：平面 ABEF ⊥ 平面 EFDC ； （Ⅱ）求二面角 E - BC - A 的余弦值．【2015，18】如图，四边形 ABCD 为菱形，∠ABC = 120A，E , F是平面 ABCD 同一侧的两点，BE ⊥平面 ABCD ，DF ⊥平面ABCD ， BE = 2DF ， AE ⊥ EC ．（I ）证明：平面 AEC ⊥平面 AFC ；（II ）求直线 AE 与直线 CF 所成角的余弦值．【2014，19】如图三棱柱 ABC - A 1B 1C 1 中，侧面 BB 1C 1C 为菱形， AB ⊥ B 1C ．(Ⅰ) 证明： AC = AB 1 ；（Ⅱ）若 AC ⊥ AB 1 ， ∠CBB 1 = 60 ，AB=BC ，求二面角A - A 1B 1 -C 1 的余弦值．【2013，18】如图，三棱柱ABC－A1B1C1 中，CA＝CB，AB＝AA1，∠BAA1＝60°．(1)证明：AB⊥A1C；(2)若平面ABC⊥平面AA1B1B，AB＝CB，求直线A1C 与平面BB1C1C 所成角的正弦值．1AA1，D 是棱AA1 的中点，DC1⊥BD．【2012，19】如图，直三棱柱ABC－A1B1C1 中，AC=BC=2（1）证明：DC1⊥BC；（2）求二面角A1－BD－C1 的大小．B1AB【2011，18】如图，四棱锥P-ABCD 中，底面ABCD 为平行四边形，∠DAB=60°,AB=2AD,PD⊥底面ABCD．(Ⅰ)证明：P A⊥BD；(Ⅱ)若PD=AD，求二面角A-PB-C 的余弦值．C2 2 2 2 2 22 28．解析几何一、选择题【2017，10】已知F 为抛物线 C ：y 2=4x 的焦点，过 F 作两条互相垂直的直线 l 1，l 2，直线 l 1 与 C 交于 A 、B 两点，直线 l 2 与C 交于D 、E 两点，则|AB |+|DE |的最小值为（）A ．16B ．14C ．12D ．10【2016，10】以抛物线 C 的顶点为圆心的圆交 C 于 A , B 两点，交 C 的准线于 D , E 两点，已知 AB = 4 2 ,DE = 2 5 ，则C 的焦点到准线的距离为（ ）A ．2B ．4C ．6D ．8【2016，5】已知方程x 2 m 2+ ny 2- 3m 2 - n= 1 表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为 4 ，则 n 的 取值范围是（ ）A ． (-1,3)B ． (-1, 3)C ． (0,3)D ． (0, 3)x 2 【2015，5】已知 M ( x 0 , y 0 ) 是双曲线 C ： 2- y 2= 1上的一点，F 1 , F 2 是 C 的两个焦点，若 MF 1 ⋅ MF 2 < 0 ，则 y 0 的取值范围是（）A ． (- , )B ． (-, )C ． (-,D ． (-,3 36 63 33 3【2014，4】已知 F 是双曲线 C ：x 2 - my 2 = 3m (m > 0) 的一个焦点，则点 F 到 C 的一条渐近线的距离为A B ．3C ．D ． 3m【2014，10】已知抛物线 C ： y 2= 8x 的焦点为 F ，准线为 l ， P 是l 上一点，Q 是直线 PF 与C 的一个 交点，若 FP = 4FQ ，则| QF | =（）A ． 72B ． 5222C ．3D ．2x y 【2013，4】已知双曲线 C ： - a 2 b 2 =1 (a ＞0，b ＞0)的离心率为 ，则 C 的渐近线方程为( )．2A ．y ＝ ± 1 x 4B ．y ＝ ± 1 x 3 2 2C ．y ＝ ± 1 x 2D ．y ＝±x x y 【2013，10】已知椭圆E ： + a 2 b 2=1 (a ＞b ＞0)的右焦点为 F (3,0)，过点 F 的直线交 E 于 A ，B 两点．若 AB 的中点坐标为(1，－1)，则 E 的方程为()A ． x + y =1B ． x + y =1C ． x + y =1D ． x + y =145 3636 2727 1818 9x 2 y 2 3a【2012，4】设 F 1 、 F 2 是椭圆 E ： a 2 + b 2 （ a > b > 0 ）的左、右焦点，P 为直线 x = 上一点，2∆F 2 PF 1 是底角为 30°的等腰三角形，则 E 的离心率为（）A ． 12B ． 23C ． 34D ． 45【2012，8】等轴双曲线 C 的中心在原点，焦点在 x 轴上，C 与抛物线 y 2= 16x 的准线交于 A ，B 两点，| AB |=，则 C 的实轴长为（ ）A B ．C ．4 D ．8【2011，7】设直线 L 过双曲线 C 的一个焦点，且与 C 的一条对称轴垂直，L 与 C 交于 A ,B 两点， AB 为C 的实轴长的 2 倍，则 C 的离心率为（ ）A B C ．2 D ．3二、填空题【2017，15】已知双曲线 C ： x 2y 2-= 1 （a >0，b >0）的右顶点为 A ，以 A 为圆心，b 为半径作圆 A ，圆 A a 2 b 2与双曲线 C 的一条渐近线交于 M 、N 两点．若∠MAN =60°，则 C 的离心率为 ．x 2 【2015，14】一个圆经过椭圆 y 2+ = 1的三个顶点，且圆心在 x 轴的正半轴上，则该圆的标准方程为 ．16 4【2011，14】在平面直角坐标系 xOy 中，椭圆 C 的中心为原点，焦点 F 1 , F 2 在 x 轴上，离心率为 ．过2F 1 的直线 L 交 C 于 A , B 两点，且 ABF 2 的周长为 16，那么 C 的方程为．三、解答题【2017，20】已知椭圆 C ： x 2 y 2 + =1（a >b >0），四点 P （1,1），P （0,1），P （–1 ），P （1， ） a 2 b 2 1 2 3 42 2中恰有三点在椭圆C 上．（1）求 C 的方程；（2）设直线 l 不经过 P 2 点且与 C 相交于 A ，B 两点．若直线 P 2A 与直线 P 2B 的斜率 的和为–1，证明：l 过定点．【2016，20】设圆x2 +y2 + 2x -15 = 0 的圆心为A ，直线l 过点B(1,0) 且与x 轴不重合，l 交圆A 于C, D 两点，过B 作AC 的平行线交AD 于点E ．（Ⅰ）证明EA +EB 为定值，并写出点E 的轨迹方程；（Ⅱ）设点E 的轨迹为曲线C1 ，直线l 交C1 于M , N 两点，过B 且与l 垂直的直线与圆A 交于P,Q两点，求四边形MPNQ 面积的取值范围．x2【2015，20】在直角坐标系xOy 中，曲线C ：y =与直线l ：y =kx +a （a > 0 ）交于M , N 两点．4（Ⅰ）当k = 0 时，分别求C 在点M 和N 处的切线方程；（Ⅱ）在y 轴上是否存在点P ，使得当k 变动时，总有∠OPM =∠OPN ？说明理由．x 2 y 2 【2014，20】已知点 A （0，-2），椭圆 E ： + a 2 b 2直线 AF 的斜率为， O 为坐标原点．3= 1(a > b > 0) 的离心率为， F 是椭圆的焦点，(Ⅰ)求 E 的方程；（Ⅱ）设过点 A 的直线l 与 E 相交于 P , Q 两点，当 ∆OPQ 的面积最大时，求l 的方程．【2013，20】已知圆 M ：(x ＋1)2＋y 2＝1，圆 N ：(x －1)2＋y 2＝9，动圆 P 与圆 M 外切并且与圆 N 内切，圆 心 P 的轨迹为曲线 C ．(1)求 C 的方程；(2)l 是与圆 P ，圆 M 都相切的一条直线，l 与曲线 C 交于 A ，B 两点，当圆 P 的半径 最长时，求|AB |．【2012，20】设抛物线C：x2 =2py（p > 0 ）的焦点为F，准线为l ，A 为C 上一点，已知以F 为圆心，F A 为半径的圆F 交l 于B，D 两点．（1）若∠BFD=90°，△ABD 的面积为4 2 ，求p 的值及圆F 的方程；（2）若A，B，F 三点在同一直线m 上，直线n 与m 平行，且n 与C 只有一个公共点，求坐标原点到m ，n 距离的比值．【2011，20】在平面直角坐标系xOy 中，已知点A(0,-1)，B 点在直线y = -3 上，M 点满足MB / /OA ，MA⋅AB =MB ⋅BA ，M 点的轨迹为曲线C．（Ⅰ）求C 的方程；（Ⅱ）P 为C 上的动点，l 为C 在P 点处得切线，求O 点到l 距离的最小值．59．统计、概率分布列、计数原理一、选择题【2017，2】如图，正方形 ABCD 内的图形来自中国古代的太极图，正方形内切圆中的黑色部分和白色部 分关于正方形的中心成中心对称．在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是（）1 π 1 π A ．B ．C ．D ．4824【2017，6】(1 + 1+ x )6 展开式中 x 2 的系数为（ ） x 2A ．15B ．20C ．30D ．35【2016，4】某公司的班车在 7 : 30 ，8 : 00 ，8 : 30 发车，小明在 7 : 50 至8 : 30 之间到达发车站乘坐班车，且到达发车丫的时候是随机的，则他等车时间不超过 10 分钟的概率是（ ）A ．1 B ．1C ．2 D ．3 3234【2015，10】 (x 2 + x + y )5 的展开式中， x 5 y 2 的系数为（）A ．10B ．20C ．30D ．60【2015，4】投篮测试中，每人投 3 次，至少投中 2 次才能通过测试．已知某同学每次投篮投中的概率为 0．6， 且各次投篮是否投中相互独立，则该同学通过测试的概率为（ ）A ．0．648B ．0．432C ．0．36D ．0．312 【2014，5】4 位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动，则周六、周日都有同学参加公益活 动的概率（ ）A ． 18 B ． 38 C ． 58 D ． 78【2013，3】为了解某地区的中小学生的视力情况，拟从该地区的中小学生中抽取部分学生进行调查，事 先已了解到该地区小学、初中、高中三个学段学生的视力情况有较大差异，而男女生视力情况差异不大．在 下面的抽样方法中，最合理的抽样方法是( )A ．简单随机抽样B ．按性别分层抽样C ．按学段分层抽样D ．系统抽样 【2013，9】设 m 为正整数， ( x + y )2m 展开式的二项式系数的最大值为 a ， (x + y )2m +1展开式的二项式系 数的最大值为 b ．若 13a ＝7b ，则 m ＝( )A ．5B ．6C ．7D ．8 【2012，2】将 2 名教师，4 名学生分成 2 个小组，分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动，每个小组由 1 名教师和 2 名学生组成，不同的安排方案共有（ ）A ．12 种B ．10 种C ．9 种D ．8 种【2011，8】 ⎛ x + a ⎫ ⎛2x - 1 ⎫的展开式中各项系数的和为 2，则该展开式中常数项为（ ） x ⎪ x ⎪ ⎝ ⎭ ⎝⎭ A ． -40B ． -20C ．20D ．40【2011，4】有 3 个兴趣小组，甲、乙两位同学各自参加其中一个小组，每位同学参加各个小组的可能性相同，则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为（）A ． 13二、填空题B ． 12C ． 23D ． 34【2016，14】 (2x +x )5 的展开式中， x 3 的系数是 ．（用数字填写答案）【2014，13】 (x - y )(x + y )8 的展开式中 x 2 y 7 的系数为 ．(用数字填写答案)【2012，15】某一部件由三个电子元件按下图方式连接而成，元件 1 或元件 2 正常工作，且元件 3 正常工作，则部件正常工作．设三个 电子元件的使用寿命（单位：小时）均服从正态分布 N （1000，502），且各个元件元件1元件2元件3 能否正常工作相互独立，那么该部件的使用寿命超过 1000 小时的概率为 ． 三、解答题【2017，19】为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每天从该生产线上随机抽取16 个零件， 并测量其尺寸（单位：cm ）．根据长期生产经验，可以认为这条生产线正常状态下生产的零件的尺寸服从 正态分布N (μ,σ2)． （1）假设生产状态正常，记X 表示一天内抽取的 16 个零件中其尺寸在(μ–3σ,μ+3σ)之外的零件数，求P (X ≥1)及 X 的数学期望；（2）一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在(μ–3σ,μ+3σ)之外的零件，就认为这条生产线在这一天的 生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查．（ⅰ）试说明上述监控生产过程方法的合理性；（ⅱ）下面是检验员在一天内抽取的16 个零件的尺寸：1 16经计算得 x = ∑ x i = 9.97 ，s ==≈ 0.212 ，其中 x i 为抽取 16 i =1的第i 个零件的尺寸，i =1,2, (16)用样本平均数x 作为 μ 的估计值 μˆ ，用样本标准差 s 作为 σ 的估计值σˆ ，利用估计值判断是否需对当 天的生产过程进行检查？剔除(μˆ - 3σˆ , μˆ + 3σˆ ) 之外的数据，用剩下的数据估计 μ 和 σ（精确到 0．01）． 附：若随机变量Z 服从正态分布 N (μ,σ2)，则 P (μ–3σ<Z <μ+3σ)=0．9974，0．997416≈0．9592≈ 0.09 ．【2016，19】某公司计划购买2 台机器，该种机器使用三年后即被淘汰．机器有一易损零件，在购进机器时，可以额外购买这种零件作为备件，每个200 元．在机器使用期间，如果备件不足再购买，则每个500 元．现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件，为此搜集并整理了100 台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数，得下面柱状图：以这100 台机器更换的易损零件数的频率代替1 台机器更换的易损零件数发生的概率，记X 表示2 台机器三年内共需更换的易损零件数，n 表示购买2 台机器的同时购买的易损零件数．（Ⅰ）求X 的分布列；（Ⅱ）若要求P( X ≤n) ≥ 0.5 ，确定n 的最小值；（Ⅲ）以购买易损零件所需费用的期望值为决策依据，在n = 19 与n = 20 之中选其一，应选用哪个？8【2015，19】某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费 x （单位：千元）对年销售 量 y （单位：t ）和年利润 z （单位：千元）的影响，对近 8 年的年宣传费 x i 和年销售量 y i （i = 1, 2, , 8 ）数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值．1 8表中 w i =， w =∑ wii =1（Ⅰ）根据散点图判断， y = a + bx 与 y = c + y 关于年宣传费 x 的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）（Ⅱ）根据（Ⅰ）的判断结果及数据，建立 y 关于 x 的回归方程；（III ）已知这种产品的年利润 z 与 x ， y 的关系为 z = 0.2 y - x ，根据（Ⅱ）的结果回答下列问题：（i ）年宣传费 x =49 时，年销售量及年利润的预报值是多少？（ii ）年宣传费 x 为何值时，年利润的预报值最大？附：对于一组数据 (u 1 , v 1 ), (u 2 , v 2 ), , (u n , v n ) ，其回归直线 v = α + β u 的斜率和截距的最小二乘估计n∑ (ui- u )(v i - v )分别为 β = i =1n，α = v - β u ．∑i =1(u i- u )2【2014，18）】从某企业的某种产品中抽取500 件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下频率分布直方图：(Ⅰ)求这500 件产品质量指标值的样本平均数x 和样本方差s 2 （同一组数据用该区间的中点值作代表）；（Ⅱ）由频率分布直方图可以认为，这种产品的质量指标值Z 服从正态分布N(μ,δ2 ) ，其中μ近似为样本平均数x ，δ2 近似为样本方差s 2 ．(i)利用该正态分布，求P(187.8 <Z < 212.2) ；（ii）某用户从该企业购买了100 件这种产品，记X 表示这100 件产品中质量指标值为于区间（187．8,212．2）的产品件数，利用（i）的结果，求EX ．12．2．若Z ～N(μ,δ2 ) ，则P(μ-δ<Z <μ+δ) =0．6826，P(μ- 2δ<Z <μ+ 2δ) =0．9544．【2013，19】一批产品需要进行质量检验，检验方案是：先从这批产品中任取4 件作检验，这4 件产品中优质品的件数记为n．如果n＝3，再从这批产品中任取4 件作检验，若都为优质品，则这批产品通过检验；如果n＝4，再从这批产品中任取1 件作检验，若为优质品，则这批产品通过检验；其他情况下，这批产品都不能通过检验．假设这批产品的优质品率为50%，即取出的每件产品是优质品的概率都为1，且各件产品是否为优质2品相互独立．(1)求这批产品通过检验的概率；(2)已知每件产品的检验费用为100 元，且抽取的每件产品都需要检验，对这批产品作质量检验所需的费用记为X(单位：元)，求X 的分布列及数学期望．【2012，18】某花店每天以每枝5 元的价格从农场购进若干枝玫瑰花，然后以每枝10 元的价格出售，如果当天卖不完，剩下的玫瑰花作垃圾处理．（1）若花店一天购进16 枝玫瑰花，求当天的利润y（单位：元）关于当天需求量n（单位：枝，n N ）的函数解析式；（2）花店记录了100 天玫瑰花的日需求量（单位：枝），整理得下表：以100 天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率．①若花店一天购进16 枝玫瑰花，X 表示当天的利润（单位：元），求X 的分布列、数学期望及方差；②若花店计划一天购进16 枝或17 枝玫瑰花，你认为应购进16 枝还是17 枝？请说明理由．⎨ ⎩ 【2011，19】某种产品的质量以其质量指标值衡量，质量指标值越大表明质量越好，且质量指标值大于或 等于 102 的产品为优质品，现用两种新配方（分别称为 A 配方和 B 配方）做试验，各生产了 100 件这种产 品，并测量了每件产品的质量指标值，得到下面试验结果： A 配方的频数分布表B 配方的频数分布表（Ⅰ）分别估计用 A 配方，B 配方生产的产品的优质品率；⎧-2, t < 94（Ⅱ）已知用 B 配方生成的一件产品的利润 y(单位：元)与其质量指标值 t 的关系式为y = ⎪2, 94 ≤ t < 102 ⎪4, t ≥ 102从用 B 配方生产的产品中任取一件，其利润记为 X （单位：元），求 X 的分布列及数学期望．（以试验结果中质量指标值落入各组的频率作为一件产品的质量指标值落入相应组的概率）10．复数及其运算一、选择题【2017，3】设有下面四个命题1p 1 : 若复数 z 满足 ∈ R ，则 z ∈ R ； p 2 : 若复数 z 满足 z 2 ∈ R ，则z ∈ R ； z p 3 : 若复数 z 1 , z 2 满足 z 1 z 2 ∈ R ，则 z 1 = z 2 ； p 4 : 若复数 z ∈ R ，则 z ∈R ． 其中的真命题为（ ）A ． p 1 , p 3B ． p 1 , p 4C ． p 2 , p 3D ． p 2 , p 4【2016，2】设 (1 + i )x = 1 + yi ，其中 x , y 是实数，则 x + yi = （ ）A ．1B ． 2C ． 3D ． 2【2015，1】设复数 z 满足1 + z= i ，则| z | =（ ） 1 - zA ．1B C ．D ．2(1 + i )3【2014，2】(1 - i )2=（ ）A ．1 + iB ．1 - iC ． -1+ iD ．-1- i 【2013，2】若复数 z 满足(3－4i)z ＝|4＋3i|，则 z 的虚部为()．A ．－4B ． - 45C ．4D ． 45【2012，3】下面是关于复数 z = 22 -1 + i的四个命题：p 1 ：| z |= 2 ； p 2 ： z = 2i ； p 3 ： z 的共轭复数为1 + i ； p 4 ： z 的虚部为 -1．其中的真命题为（ ）A ． p 2 ， p 3B ． p 1 ， p 2C ． p 2 ， p 4D ． p 3 ， p 4【2011，1】复数2 + i的共轭复数是（ ） 1 - 2iA ． - 3 i5B ． 3 iC ． -i5D ．i11．程序框图一、选择题【2017，8】右面程序框图是为了求出满足3n - 2n >1000 的最小偶数n，那么在两个空白框中，可以分别填入A．A+1 B．A>1000 和n=n+2C．A ≤1000 和n=n+1 D．A ≤1000 和n=n+2【2017，8】【2016，9】【2015，9】【2016，9】执行右面的程序框图，如果输入的x = 0 ，y =1，n =1，则输出x, y 的值满足（）A．y =2x B．y =3x C．y =4x D．y =5x【2015，9】执行右面的程序框图，如果输入的t =0.01，则输出的n =（）A．5 B．6 C．7 D．8【2014，7】执行下图的程序框图，若输入的a,b, k 分别为1,2,3，则输出的M =（）A ．203B ．165C ．72D ．158【2013，5】执行下面的程序框图，如果输入的t∈[－1,3]，则输出的s 属于( )．A．[－3,4] B．[－5,2] C．[－4,3] D．[－2,5]【2012，6】如果执行右边和程序框图，输入正整数N （N ≥ 2 ）和实数a1 ，a2 ，…，a N ，输出A，B，则（）A．A +B 为a1 ，a2 ，…，a N 的和B．A +B为a ，a ，…，a 的算术平均数2 1 2 NC．A 和B 分别是a1 ，a2 ，…，a N 中最大的数和最小的数D．A 和B 分别是a1 ，a2 ，…，a N 中最小的数和最大的数【2013，5】【2012，6】【2011，3】【2011,3】执行右面的程序框图，如果输入的N 是6，那么输出的p 是（）A．120 B．720 C．1440 D．5040⎩12．坐标系与参数方程一、解答题⎧ x = 3cos θ ,【2017，22】（选修 4-4，坐标系与参数方程）在直角坐标系 xOy 中，曲线 C 的参数方程为 ⎨（θ ⎩ y = sin θ ,⎧ x = a + 4t ,为参数），直线 l 的参数方程为 ⎨ y = 1 - t , （ t 为参数）．（1）若 a = -1 ，求 C 与 l 的交点坐标；（2）若 C 上的点到 l 的距离的最大值为a ．⎧x = a cos t ,【2016，23】（选修 4－4：坐标系与参数方程）在直角坐标系 xOy 中，曲线 C 1 的参数方程为 ⎨⎩ y = 1 + a sin t ,(t 为参数， a > 0) ．在以坐标原点为极点， x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 2 : ρ = 4 c os θ ．（Ⅰ）说明 C 1 是哪一种曲线，并将 C 1 的方程化为极坐标方程；（Ⅱ）直线 C 3 的极坐标方程为θ = α 0 ，其中α 0 满足 tan α 0 = 2 ，若曲线 C 1 与 C 2 的公共点都在C 3 上， 求 a ．。

2017年新课标全国理数高考试题汇编：函数—学生专用

2017年新课标全国理数高考试题汇编：函数—学生专用

2017年新课标全国理数高考试题汇编：函数1．【2017全国高考新课标I 卷理数·5T 】函数()f x 在(,)-∞+∞单调递减，且为奇函数．若(11)f =-，则满足21()1x f --≤≤的x 的取值范围是 （ ） A ．[2,2]-B ．[1,1]-C ．[0,4]D ．[1,3]2. 【2017全国高考山东卷理数·1T 】设函数A ，函数y=ln(1-x)的定义域为B,则A B =（A ）（1,2）（B ）⎤⎦(1,2（C ）（-2,1）（D ）[-2,1) 3．【2017全国高考新课标I 卷理数·11T 】设x 、y 、z 为正数，且235x y z ==，则（）A ．2x <3y <5zB ．5z <2x <3yC ．3y <5z <2xD ．3y <2x <5z4.【2017全国高考北京卷理数·5T 】已知函数，则（）（A ）是奇函数，且在R 上是增函数 （B ）是偶函数，且在R 上是增函数（C ）是奇函数，且在R 上是减函数（D ）是偶函数，且在R 上是减函数5．【2017全国高考浙江卷理数·5T 】若函数f (x )=x 2+ ax +b 在区间[0，1]上的最大值是M ，最小值是m ，则M – m （ ）A ．与a 有关，且与b 有关B ．与a 有关，但与b 无关C ．与a 无关，且与b 无关D ．与a 无关，但与b 有关6.【2017全国高考天津卷理数·6T 】已知奇函数()f x 在R 上是增函数，()()g x xf x =.若2(log 5.1)a g =-，0.8(2)b g =，(3)c g =，则a ，b ，c 的大小关系为（）（A ）a b c <<（B ）c b a <<（C ）b a c <<（D ）b c a <<7．【2017全国高考浙江卷理数·7T 】函数y=f (x )的导函数的图象如图所示，则函数y=f (x )的图象可能是（）1()3()3x xf x =-()f x ()y f x '=8.【2017全国高考天津卷理数·8T 】已知函数23,1,()2, 1.x x x f x x x x ⎧-+≤⎪=⎨+>⎪⎩设a ∈R ，若关于x 的不等式()||2xf x a ≥+在R 上恒成立，则a 的取值范围是（） （A ）47[,2]16-（B ）4739[,]1616-（C）[- （D）39[]16-9．【2017全国高考新课标III 卷理数·11T 】已知函数211()2()x x f x x x a ee --+=-++有唯一零点，则a =A ．12-B ．13C ．12D ．110.【2017全国高考山东卷理数·10T 】已知当[]0,1x ∈时，函数()21y mx =-的图象与y m 的图象有且只有一个交点，则正实数m 的取值范围是 （ ）（A ）(])0,1⎡+∞⎣（B ）(][)0,13,+∞ （C）()⎡+∞⎣（D）([)3,+∞11.【2017全国高考山东卷理数·15T 】若函数()x e f x （ 2.71828e = 是自然对数的底数）在()f x 的定义域上单调递增，则称函数()f x 具有M 性质.下列函数中所有具有M 性质的函数的序号为.①()2x f x -=②()3x f x -=③()3f x x =④()22f x x =+12．【2017全国高考新课标III 卷理数·15T 】设函数10()20x x x f x x +≤⎧=⎨>⎩，，，，则满足1()()12f x f x +->的x 的取值范围是_________。

2011年—2017年新课标全国卷(1卷、2卷、3卷)理科数学试题分类汇编——10.数列

2011年—2017年新课标全国卷(1卷、2卷、3卷)理科数学试题分类汇编——10.数列

2011年—2017年新课标全国卷理科数学试题分类汇编10．数列一、选择题（2017·新课标Ⅰ，4）记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和．若4524a a +=，648S =，则{}n a 的公差为（ ）A ．1B ．2C ．4D ．8（2017·新课标Ⅰ，12）几位大学生响应国家的创业号召，开发了一款应用软件．为激发大家学习数学的兴趣，他们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动．这款软件的激活码为下面数学问题的答案：已知数列1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16 ，…，其中第一项是20，接下来的两项是20，21，再接下来的三项是20，21，22，依此类推．求满足如下条件的最小整数N ：N >100且该数列的前N 项和为2的整数幂．那么该款软件的激活码是（ ）A ．440B ．330C ．220D ．110（2017·新课标Ⅱ，3）我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯（ ）A ．1盏B ．3盏C ．5盏D ．9盏 （2017·新课标Ⅲ，9）等差数列{}n a 的首项为1，公差不为0．若2a ，3a ，6a 成等比数列，则{}n a 前6项的和为（ ）A ．24-B ．3-C ．3D ．8（2016·新课标Ⅰ，3）已知等差数列}{n a 前9项的和为27，810=a ，则=100a （ ）A ．100B ．99C ．98D ．97（2016·新课标Ⅲ，12）定义“规范01数列”{a n }如下：{a n }共有2m 项，其中m 项为0，m 项为1，且对任意k ≤2m ，a 1，a 2，…，a k 中0的个数不少于1的个数，若m =4，则不同的“规范01数列”共有（ ）A ．18个B ．16个C ．14个D ．12个（2015·新课标Ⅱ，4）已知等比数列{a n }满足a 1=3，a 1+ a 3+ a 5=21，则a 3+ a 5+ a 7 =（ ）A ．21B ．42C ．63D ．84（2013·新课标Ⅰ，7）设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S m －1＝－2，S m ＝0，S m ＋1＝3，则m ＝( )．A ．3B ．4C ．5D ．6 （2013·新课标Ⅰ，12）设△A n B n C n 的三边长分别为a n ，b n ，c n ，△A n B n C n 的面积为S n ，n ＝1,2,3，…若b 1＞c 1，b 1＋c 1＝2a 1，a n ＋1＝a n ，b n ＋1＝2n n c a +，c n ＋1＝2n nb a +，则( )． A ．{S n }为递减数列 B ．{S n }为递增数列C ．{S 2n －1}为递增数列，{S 2n }为递减数列D ．{S 2n －1}为递减数列，{S 2n }为递增数列 （2013·新课标Ⅱ，3）等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知32110S a a =+，59a =，则1a =（ ）A .13B .13-C .19D .19-（2012·新课标Ⅰ，5）已知{n a }为等比数列，472a a +=，568a a =-，则110a a +=（ ）A ．7B ．5C ．－5D ．－7（2012·新课标Ⅱ，5）已知{a n }为等比数列，a 4 + a 7 = 2，a 5 a 6 = 8，则a 1 + a 10 =（ ）A. 7B. 5C. -5D. -7二、填空题（2017·新课标Ⅱ，15）等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，33a =，410S =，则11nk kS ==∑ ． （2017·新课标Ⅲ，14）设等比数列{}n a 满足12–1a a +=， 13––3a a =，则4a = ___________． （2016·新课标Ⅰ，15）设等比数列}{n a 满足1031=+a a ，542=+a a ，则12n a a a L 的最大值为 ． （2015·新课标Ⅱ，16）设S n 是数列{a n }的前项和，且11a =-，11n n n a S S ++=，则S n =________________． （2013·新课标Ⅰ，14）若数列{a n }的前n 项和2133n n S a =+，则{a n }的通项公式是a n ＝__________. （2013·新课标Ⅱ，16）等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知100S =，1525S =，则n nS 的最小值为____. （2012·新课标Ⅰ、Ⅱ，16）数列{n a }满足1(1)21n n n a a n ++-=-，则{n a }的前60项和为______． 三、解答题（2016·新课标Ⅱ，17）（满分12分）S n 为等差数列{a n }的前n 项和，且a 1=1，S 7=28. 记b n =[lg a n ]，其中[x ]表示不超过x 的最大整数，如[0.9]=0，[lg99]=1. （Ⅰ）求b 1，b 11，b 101；（Ⅱ）求数列{b n }的前1 000项和.（2016·新课标Ⅲ，17）(本小题满分12分)已知数列{}n a 的前n 项和S n =1+λa n ，其中λ≠0．(1) 证明{}n a 是等比数列，并求其通项公式；(2) 若53132S =，求λ．（2015·新课标Ⅰ，17）n S 为数列{}n a 的前n 项和.已知n a ＞0，2243nn n a a S +=+.（Ⅰ）求{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设11n n n b a a +=，求数列{}n b 的前n 项和.（2014·新课标Ⅰ，17）已知数列{n a }的前n 项和为n S ，1a =1，0n a ≠，11n n n a a S λ+=-，其中λ为常数.(Ⅰ)证明：2n n a a λ+-=；（Ⅱ）是否存在λ，使得{n a }为等差数列？并说明理由.（2014·新课标Ⅱ，17）已知数列{a n }满足a 1 =1，a n +1 =3 a n +1.（Ⅰ）证明1{}2n a +是等比数列，并求{a n }的通项公式；（Ⅱ）证明：123111…2n a a a +++<.（2011·新课标Ⅰ、Ⅱ，17）等比数列{}n a 的各项均为正数，且212326231,9.a a a a a +==（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设31323log log log n n b a a a =+++L L ，求数列1{}nb 的前n 项和.2011年—2017年新课标全国卷理科数学试题分类汇编10．数列（解析版）一、选择题（2017·新课标Ⅰ，4）记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和．若4524a a +=，648S =，则{}n a 的公差为（ ）A ．1B ．2C ．4D ．8【答案】C 解析：45113424a a a d a d +=+++=，61656482S a d ⨯=+=，联立求得11272461548a d a d +=⎧⎪⎨+=⎪⎩①② 3⨯-①②得()211524-=d ，624d =，4d =∴，选C ；（2017·新课标Ⅰ，12）几位大学生响应国家的创业号召，开发了一款应用软件．为激发大家学习数学的兴趣，他们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动．这款软件的激活码为下面数学问题的答案：已知数列1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16 ，…，其中第一项是20，接下来的两项是20，21，再接下来的三项是20，21，22，依此类推．求满足如下条件的最小整数N ：N >100且该数列的前N 项和为2的整数幂．那么该款软件的激活码是（ ）A ．440B ．330C ．220D ．110【答案】A 解析：设首项为第1组，接下来两项为第2组，再接下来三项为第3组，以此类推．设第n 组的项数为n ，则n 组的项数和为()12n n +，由题，100N >，令()11002n n +>→14n ≥且*n ∈N ，即N 出现在第13组之后，第n 组的和为122112nn-=--，n 组总共的和为()2122212n n n n --=---，若要使前N 项和为2的整数幂，则()12n n N +-项的和21k -应与2n --互为相反数，即()*21214k n k n -=+∈N ，≥，()2log 3k n =+，→295n k ==，，则()2912954402N ⨯+=+=，故选A ；（2017·新课标Ⅱ，3）我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯（ ）A ．1盏B ．3盏C ．5盏D ．9盏 【答案】B 解析：一座7层塔共挂了381盏灯，即7381S =；相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，即2q =，塔的顶层为1a ；由等比前n 项和()()1111n n a q S q q-=≠-可知：()171238112n a S -==-，解得13a =.（2017·新课标Ⅲ，9）等差数列{}n a 的首项为1，公差不为0．若2a ，3a ，6a 成等比数列，则{}n a 前6项的和为（ ）A ．24-B ．3-C ．3D ．8【答案】A 解析：因为{}n a 为等差数列，且236,,a a a 成等比数列，设公差为d .则2326a a a =⋅，即()()()211125a d a d a d +=++， 又因为11a =，代入上式可得220d d +=又0d ≠，则2d =-， 所以()61656561622422S a d ⨯⨯=+=⨯+⨯-=-.故选A. （2016·新课标Ⅰ，3）已知等差数列}{n a 前9项的和为27，810=a ，则=100a （ ）A ．100B ．99C ．98D ．97 【答案】C 解析：由等差数列性质可知：()1959599292722a a a S a +⨯====，故53a =，而108a =，因此公差1051105a a d -==-∴100109098a a d =+=．故选C ． （2016·新课标Ⅲ，12）定义“规范01数列”{a n }如下：{a n }共有2m 项，其中m 项为0，m 项为1，且对任意k ≤2m ，a 1，a 2，…，a k 中0的个数不少于1的个数，若m =4，则不同的“规范01数列”共有（ ）A ．18个B ．16个C ．14个D ．12个 【答案】C 解析：011110111010111101001110011110110011101010111001111011001110101⎧⎧→⎧⎪⎪⎪→⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪→⎧⎨⎪⎪⎪⎨⎪⎪→⎪⎪⎩⎩⎩⎪⎪⎧→⎪⎨⎧⎪⎪⎪⎪→⎧⎨⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪→⎨⎩⎪⎩⎪⎨⎪→⎪⎧⎪⎪→⎨⎪⎪⎪→⎩⎩⎩⎪⎪⎧→⎧⎪⎪⎪→⎪⎧⎨⎪⎨⎪⎪⎪→→⎨⎩⎩⎪⎪⎪→⎧⎪⎪→⎨⎪→⎪⎩⎩⎩，共14个，故选C. （2015·新课标Ⅱ，4）已知等比数列{a n }满足a 1=3，a 1+ a 3+ a 5=21，则a 3+ a 5+ a 7 =（ ）A ．21B ．42C ．63D ．84【答案】B 解析：设等比数列公比为q ，则a 1+a 1q 2+a 1q 4=21，又因为a 1=3，所以q 4+q 2-6=0，解得q 2=2，所以a 3+a 5+a 7=(a 1+a 3+a 5)q 2=42，故选B.（2013·新课标Ⅰ，7）设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S m －1＝－2，S m ＝0，S m ＋1＝3，则m ＝( )．A ．3B ．4C ．5D ．6【答案】C 解析：∵S m －1＝－2，S m ＝0，S m ＋1＝3，∴a m ＝S m －S m －1＝0－(－2)＝2，a m ＋1＝S m ＋1－S m ＝3－0＝3. ∴d ＝a m ＋1－a m ＝3－2＝1. ∵S m ＝ma 1＋12m m (-)×1＝0，∴112m a -=-.又∵a m ＋1＝a 1＋m ×1＝3，∴132m m --+=. ∴m ＝5.故选C.（2013·新课标Ⅰ，12）设△A n B n C n 的三边长分别为a n ，b n ，c n ，△A n B n C n 的面积为S n ，n ＝1,2,3，….若b 1＞c 1，b 1＋c 1＝2a 1，a n ＋1＝a n ，b n ＋1＝2n n c a +，c n ＋1＝2n nb a +，则( )． A ．{S n }为递减数列 B ．{S n }为递增数列C ．{S 2n －1}为递增数列，{S 2n }为递减数列D ．{S 2n －1}为递减数列，{S 2n }为递增数列 【答案】B 解析：略.（2013·新课标Ⅱ，3）等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知32110S a a =+，59a =，则1a =（ ）A .13B .13-C .19D .19-【答案】C 解析：解析：由S 3=a 2+10a 1，得，a 1+a 2+a 3=a 2+10a 1即，a 3=9a 1，亦即a 1q 2=9a 1，解得q 2=9. ∵a 5=a 1·q 4=9，即81a 1=9，∴a 1=19.（2012·新课标Ⅰ，5）已知{n a }为等比数列，472a a +=，568a a =-，则110a a +=（ ）A ．7B ．5C ．－5D ．－7【答案】D 解析：因为{n a }为等比数列，所以由已知得47475628a a a a a a +=⎧⎨==-⎩，解得4724a a =-⎧⎨=⎩或4742a a =⎧⎨=-⎩，所以1312a q =⎧⎨=-⎩或13812a q =-⎧⎪⎨=-⎪⎩，因此110a a +=91(1)7a q +=-，故选择D ．（2012·新课标Ⅱ，5）已知{a n }为等比数列，a 4 + a 7 = 2，a 5 a 6 = 8，则a 1 + a 10 =（ ）A. 7B. 5C. -5D. -7【答案】D 解析：472∵a a +=，56478a a a a ==-，4742a a ∴==-，或4724a a =-=，，14710∵，，，a a a a 成等比数列，1107a a ∴+=-.【答案】 解析： 二、填空题（2017·新课标Ⅱ，15）等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，33a =，410S =，则11nk kS ==∑ ． 【答案】2,1nn N n *∈+解析：∵ 410S =，2314a a a a +=+ ，∴ 235a a +=，∵ 33a =，∴ 22a = ∴ n a n =，∵ ()12n n n a a S +=∴ ()21n S n n =+ ∴ ()1211211n S n n n n ⎛⎫==- ⎪++⎝⎭∴ 11122111ni nn S n n =⎛⎫=-=⎪++⎝⎭∑，∴ 112,1ni nn n N S n *==∈+∑（2017·新课标Ⅲ，14）设等比数列{}n a 满足12–1a a +=， 13––3a a =，则4a = ___________． 【答案】8- 解析：因为{}n a 为等比数列，设公比为q ．121313a a a a +=-⎧⎨-=-⎩，即1121113a a q a a q +=-⎧⎪⎨-=-⎪⎩①②，显然1q ≠，10a ≠，②①得13q -=，即2q =-，代入①式可得11a =， 所以()3341128a a q ==⨯-=-．（2016·新课标Ⅰ，15）设等比数列}{n a 满足1031=+a a ，542=+a a ，则12n a a a L 的最大值为 ． 【答案】64 解析：由于{}n a 是等比数列，设11n n a a q -=，其中1a 是首项，q 是公比．∴2131132411101055a a a a q a a a q a q ⎧+=+=⎧⎪⇔⎨⎨+=+=⎪⎩⎩，解得：1812a q =⎧⎪⎨=⎪⎩．故412n n a -⎛⎫= ⎪⎝⎭，∴()()()32...4121...2n n a a a -+-++-⎛⎫⋅⋅⋅= ⎪⎝⎭ ()211749722241122n n n ⎡⎤⎛⎫---⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，当3n =或4时，21749224n ⎡⎤⎛⎫--⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦取到最小值6-，此时2174922412n ⎡⎤⎛⎫--⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦⎛⎫ ⎪⎝⎭取到最大值62．所以12...n a a a ⋅⋅⋅的最大值为64．（2015·新课标Ⅱ，16）设S n 是数列{a n }的前项和，且11a =-，11n n n a S S ++=，则S n =________________． 【答案】1n -解析：由已知得111n n n n n a S S S S +++=-=⋅，两边同时除以1n n S S +⋅，得1111n nS S +=--，故数列1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以1-为首项，1-为公差的等差数列，则11(1)nS n n =---=-，所以1nS n =-． （2013·新课标Ⅰ，14）若数列{a n }的前n 项和2133n n S a =+，则{a n }的通项公式是a n ＝__________. 【答案】1(2)n -- 解析：∵2133n n S a =+，① ∴当n ≥2时，112133n n S a --=+.②①－②，得12233n n n a a a -=-，即1n n aa -＝－2，∵a 1＝S 1＝12133a +，∴a 1＝1.∴{a n }是以1为首项，－2为公比的等比数列，a n ＝(－2)n －1.（2013·新课标Ⅱ，16）等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知100S =，1525S =，则n nS 的最小值为____. 【答案】-49 解析：设数列{a n }的首项为a 1，公差为d ，则S 10＝1109102a d ⨯＋＝10a 1＋45d ＝0①，S 15＝11514152a d ⨯+＝15a 1＋105d ＝25②，联立①②，得a 1＝-3，23d =，所以S n 2(1)211032333n n n n n -=-+⨯=-. 令f (n )＝nS n ，则32110()33f n n n =-，220()3f n n n '=-. 令f ′(n )＝0，得n ＝0或203n =. 当203n >时，f ′(n )＞0,200<<3n 时，f ′(n )＜0，所以当203n =时，f (n )取最小值，而n ∈N ＋，则f (6)＝-48，f (7)＝-49，所以当n ＝7时，f (n )取最小值-49.（2012·新课标Ⅰ、Ⅱ，16）数列{n a }满足1(1)21n n n a a n ++-=-，则{n a }的前60项和为______．【答案】1830 解析：因为1(1)21n n n a a n ++-=-，所以211a a -=，323a a +=，435a a -=，547a a +=，659a a -=，7611a a +=，……，5857113a a -=，5958115a a +=，6059117a a -=．由211a a -=，323a a +=可得132a a +=； 由659a a -=，7611a a +=可得572a a +=；…… 由5857113a a -=，5958115a a +=可得57592a a +=；从而1357575913575759()()()21530a a a a a a a a a a a a ++++++=++++++=⨯= ． 又211a a -=，435a a -=，659a a -=，…，5857113a a -=，6059117a a -=， 所以2466013559()()a a a a a a a a ++++-++++2143656059()()()()a a a a a a a a =-+-+-++-= 159117++++ 3011817702⨯==． 从而24660a a a a ++++ 135591770a a a a =+++++ 3017701800=+=． 因此6012345960S a a a a a a =++++++ 13592460()()a a a a a a =+++++++3018001830=+=．方法2：由1(1)21n n n a a n ++-=-得2212124341①②k k k k a a k a a k -+-=-⎧⎪⎨+=-⎪⎩L L ，由②-①得，21212k k a a +-+=③由①得，2143656059()()()()奇偶S S a a a a a a a a -=-+-+-++-L (1117)30159********+⨯=++++==L . 由③得，3175119()()()奇S a a a a a a =++++++5957()21530a a ++=⨯=L ， 所以60()217702301830奇奇奇偶偶S S S S S S =+=-+=+⨯=. 三、解答题（2016·新课标Ⅱ，17）（满分12分）S n 为等差数列{a n }的前n 项和，且a 1=1，S 7=28. 记b n =[lg a n ]，其中[x ]表示不超过x 的最大整数，如[0.9]=0，[lg99]=1. （Ⅰ）求b 1，b 11，b 101；（Ⅱ）求数列{b n }的前1 000项和. 解析：⑴设数列{}n a 的公差为d ，74728S a ==，∴44a =，∴4113a a d -==， ∴1(1)n a a n d n =+-=．∴[][]11lg lg10b a ===，[][]1111lg lg111b a ===， [][]101101lg lg1012b a ===．⑵记{}n b 的前n 项和为n T ，则1000121000T b b b =++⋅⋅⋅+[][][]121000lg lg lg a a a =++⋅⋅⋅+． 当0lg 1n a <≤时，129n =⋅⋅⋅，，，；当1lg 2n a <≤时，101199n =⋅⋅⋅，，，； 当2lg 3n a <≤时，100101999n =⋅⋅⋅，，，；当lg 3n a =时，1000n =． ∴1000091902900311893T =⨯+⨯+⨯+⨯=．（2016·新课标Ⅲ，17）(本小题满分12分)已知数列{}n a 的前n 项和S n =1+λa n ，其中λ≠0．(1) 证明{}n a 是等比数列，并求其通项公式； (2) 若53132S =，求λ． 解析：(1) 1,0n n S a λλ=+≠ ，0n a ∴≠当2n ≥时，11111n n n n n n n a S S a a a a λλλλ---=-=+--=-，即()11n n a a λλ--=， 0,0,10,n a λλ≠≠∴-≠ 即1λ≠，即()1,21n n a n a λλ-=≥-，∴{}n a 是等比数列，公比1q λλ=-， 当n =1时，1111S a a λ=+=，即111a λ=-，1111n n a λλλ-⎛⎫∴=⋅ ⎪--⎝⎭.（2）若53132S =， 则5551131113211S λλλλλλλ⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎛⎫⎣⎦==-= ⎪-⎝⎭--， 1λ∴=- （2015·新课标Ⅰ，17）n S 为数列{}n a 的前n 项和.已知n a ＞0，2243nn n a a S +=+.（Ⅰ）求{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设11n n n b a a +=，求数列{}n b 的前n 项和. 解析：（Ⅰ）当1n =时，211112434+3a a S a +=+=，因为0n a >，所以1a =3，当2n ≥时，2211n n n n a a a a --+--=14343n n S S -+--=4n a ，即111()()2()n n n n n n a a a a a a ---+-=+，因为0n a >，所以12n n a a --=，所以数列{n a }是首项为3，公差为2的等差数列，且n a =21n +. （Ⅱ）由（Ⅰ）知，n b =1111()(21)(23)22123n n n n =-++++，则数列{n b }前n 项和为12n b b b +++ =1111111[()()()]235572123n n -+-++-++ =11646n -+.（2014·新课标Ⅰ，17）已知数列{n a }的前n 项和为n S ，1a =1，0n a ≠，11n n n a a S λ+=-，其中λ为常数.(Ⅰ)证明：2n n a a λ+-=；（Ⅱ）是否存在λ，使得{n a }为等差数列？并说明理由. 解析：(Ⅰ)由题设11n n n a a S λ+=-，1211n n n a a S λ+++=-，两式相减()121n n n n a a a a λ+++-=，由于0n a ≠，所以2n n a a λ+-= …………6分（Ⅱ）由题设1a =1，1211a a S λ=-，可得211a λ=-，由(Ⅰ)知31a λ=+ 假设{n a }为等差数列，则123,,a a a 成等差数列，∴1322a a a +=，解得4λ=； 证明4λ=时，{n a }为等差数列：由24n n a a +-=知数列奇数项构成的数列{}21m a -是首项为1，公差为4的等差数列2143m a m -=- 令21,n m =-则12n m +=，∴21n a n =-(21)n m =- 数列偶数项构成的数列{}2m a 是首项为3，公差为4的等差数列241m a m =- 令2,n m =则2nm =，∴21n a n =-(2)n m = ∴21n a n =-（*n N ∈），12n n a a +-=因此，存在存在4λ=，使得{n a }为等差数列. ………12分（2014·新课标Ⅱ，17）已知数列{a n }满足a 1 =1，a n +1 =3 a n +1.（Ⅰ）证明1{}2n a +是等比数列，并求{a n }的通项公式；（Ⅱ）证明：123111 (2)n a a a +++<.（2014·17）．解析：（Ⅰ）证明：∵131n n a a +=+，∴1113()22n n a a ++=+，即：112312n n a a ++=+，又11322a +=，∴1{}2n a +是以32为首项，3为公比的等比数列．∴113322n n a -+=⋅，即312n n a -=.（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）知312n n a -=，∴11231()3133n n n n n a -=≤=∈-N*，∴21211()11111131331[1()]133323213nn n n a a a -++⋅⋅⋅+≤+++⋅⋅⋅+==-<- 故：1211132n a a a ++⋅⋅⋅+<（2011·新课标Ⅰ、Ⅱ，17）等比数列{}n a 的各项均为正数，且212326231,9.a a a a a +==（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设31323log log log n n b a a a =+++L L ，求数列1{}nb 的前n 项和.解析：（Ⅰ）设数列{a n }的公比为q ，由23269a a a =得32349a a =所以219q =. 由条件可知a >0，故13q =. 由12231a a +=得12231a a q +=，所以113a =. 故数列{a n }的通项式为13n n a =.（Ⅱ ）31323(1)log log log =(12)2n n n n b a a a n +=+++-+++=- ， 故12112()(1)1n b n n n n =-=--++，121111111122((1)()())22311n nb b b n n n +++=--+-++-=-++ ， 所以数列1{}nb 的前n 项和为21nn -+.。

10.函数、导数及应用(定积分)——2011—2017年新课标全国卷理科数学分类真题解析(含答案)

10.函数、导数及应用(定积分)——2011—2017年新课标全国卷理科数学分类真题解析(含答案)

3y-5z=3log3k-5log5k= -
<0,∴3y<5z;
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2017 课标Ⅱ卷(全国甲卷)
◎ 第 2页 共 30页
……○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○……… ※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※
A.-1
B.-2e-3
C.5e-3
D.1
【答案】A
由 f '(x0)=0 得 ln x0=2(x0-1),故 f(x0)=x0(1-x0). 由 x0∈(0, )得 f(x0)< . 因为 x=x0 是 f(x)在(0,1)的最大值点,由 e-1∈(0,1),f '(e-1)≠0 得 f(x0)>f(e-1)=e-2.
……○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………
10-2
新课标卷理科数学近八年高考分类考点真题分析 函数、导数及应用(定积分)
11．若 x=-2 是函数 f(x)=(x2+ax-1)ex-1 的极值点,则 f(x)的极小值为
因为 f '(x)=h(x),所以 x=x0 是 f(x)的唯一极大值点.
【解析】本题主要考查导数的运算以及利用导数判断函数的单调性、求函数的极值, 所以 e-2<f(x0)<2-2.
意在考查考生的运算求解能力及方程思想.
【解析】本题主要考查导数的运算,利用导数判断函数的单调性,求极值点、最值点,
因为 f(x)=(x2+ax-1)ex-1,所以 f '(x)=(2x+a)ex-1+(x2+ax-1)ex-1=[x2+(a+2)x+a-1]ex-1.因为 零点存在性定理,意在考查考生的运算求解能力、推理论证能力、函数与方程思想

2011年—2017年新课标全国卷(1卷、2卷、3卷)理科数学试题分类汇编——12.解析几何

2011年—2017年新课标全国卷(1卷、2卷、3卷)理科数学试题分类汇编——12.解析几何

2011年—2017年新课标全国卷Ⅱ理科数学试题分类汇编12．解析几何一、选择题（2017·新课标Ⅰ，10）已知F 为抛物线C ：y 2=4x 的焦点，过F 作两条互相垂直的直线l 1，l 2，直线l 1与C交于A 、B 两点，直线l 2与C 交于D 、E 两点，则|AB |+|DE |的最小值为（ ）A ．16B ．14C ．12D ．10（2017·新课标Ⅱ，9）若双曲线C :22221x y a b-=（0a >，0b >）的一条渐近线被圆()2224x y -+=所截得的弦长为2，则C 的离心率为（ ）A ．2BC D（2017·新课标Ⅲ，5）已知双曲线C ：()2222:10,0x y C a b a b -=>>的一条渐近线方程为y x =，且与椭圆221123x y +=有公共焦点，则C 的方程为（ ）. A ．221810x y -= B ．22145x y -= C ．22154x y -= D ．22143x y -= （2017·新课标Ⅲ，10）已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左、右顶点分别为1A ，2A ，且以线段12A A 为直径的圆与直线20bx ay ab -+=相切，则C 的离心率为（ ）.A ．3B ．3C ．3D ．13（2016·新课标Ⅰ，5）已知方程132222=--+nm y n m x 表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，则n 的取值范围是（ ）（A ）)3,1(-（B ）)3,1(-（C ）)3,0(（D ）)3,0(（2016·新课标Ⅰ，10）以抛物线C 的顶点为圆心的圆交C 于B A ,两点，交C 的准线于E D ,两点，已知24=AB ,52=DE ，则C 的焦点到准线的距离为（A ）2（B ）4（C ）6（D ）8（2016·新课标Ⅱ，4）圆2228130x y x y +--+=的圆心到直线10ax y +-=的距离为1，则a =（ ）A ．43-B ．34-C D ．2（2016·新课标Ⅱ，11）已知F 1，F 2是双曲线E ：22221x y a b-=的左，右焦点，点M 在E 上，M F 1与x 轴垂直，211sin 3MF F ∠=，则E 的离心率为（ ）A B ．32 C D ．2（2016·新课标Ⅲ，11）已知O 为坐标原点，F 是椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的左焦点，A ，B 分别为C的左，右顶点.P 为C 上一点，且PF ⊥x 轴.过点A 的直线l 与线段PF 交于点M ，与y 轴交于点E . 若直线BM 经过OE 的中点，则C 的离心率为A.13B. 12C. 23D. 34（2015·新课标Ⅰ，5）已知00(,)M x y 是双曲线C ：2212x y -=上的一点，12,F F 是C 的两个焦点，若120MF MF ⋅<，则0y 的取值范围是（ ）（A ）(33-（B ）(,)66- （C ）(33- （D ）(33- （2015·新课标Ⅱ，7）过三点A (1, 3)，B (4, 2)，C (1, -7)的圆交于y 轴于M 、N 两点，则MN =（ ）A ．B ．8C ．D ．10（2015·新课标Ⅱ，11）已知A ，B 为双曲线E 的左，右顶点，点M 在E 上，∆ABM 为等腰三角形，且顶角为120°，则E 的离心率为（ ）AB ．2CD （2014·新课标Ⅰ，4）已知F 是双曲线C ：223(0)x my m m -=>的一个焦点，则点F 到C 的一条渐近线的距离为（ ）A B .3 C D .3m（2014·新课标Ⅰ，10）已知抛物线C ：28y x =的焦点为F ，准线为l ，P 是l 上一点，Q 是直线PF 与C 的一个交点，若4FP FQ =，则||QF =A .72B .52C .3D .2 （2014·新课标Ⅱ，10）设F 为抛物线C :23y x =的焦点，过F 且倾斜角为30º的直线交C 于A , B 两点，O 为坐标原点，则△OAB 的面积为（ ）A BC ．6332D ．94（2013·新课标Ⅰ，4)已知双曲线C ：2222=1x y a b-(a ＞0，b ＞0)，则C 的渐近线方程为( )A ．y ＝14x ±B ．y ＝13x ±C ．y ＝12x ± D ．y ＝±x（2013·新课标Ⅰ，10)已知椭圆E ：2222=1x y a b+(a ＞b ＞0)的右焦点为F (3,0)，过点F 的直线交E 于A ，B两点．若AB 的中点坐标为(1，－1)，则E 的方程为( )．A ．22=14536x y + B ．22=13627x y + C ．22=12718x y + D ．22=1189x y + （2013·新课标Ⅱ，11）设抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F ，点M 在C 上，||5MF =，若以MF 为直径的园过点(0,2)，则C 的方程为（ ）A.24y x =或28y x =B.22y x =或28y x =C.24y x =或216y x =D.22y x =或216y x = （2013·新课标Ⅱ，12）已知点(1,0)A -，(1,0)B ，(0,1)C ，直线(0)y ax b a =+>将ABC △分割为面积相等的两部分，则b 的取值范围是（ ）A.(0,1)B.1(1)2-C.1(1]3D.11[,)32（2012·新课标Ⅰ，4）设1F 、2F 是椭圆E ：2222x y a b +（0a b >>）的左、右焦点，P 为直线32a x =上一点，21F PF ∆是底角为30°的等腰三角形，则E 的离心率为（ ） A ．12 B ．23 C ．34D ．45（2012·新课标Ⅰ，8）等轴双曲线C 的中心在原点，焦点在x 轴上，C 与抛物线216y x =的准线交于A ，B 两点，||AB =C 的实轴长为（ ）AB ．C ．4D ．8（2012·新课标Ⅱ，4）设F 1，F 2是椭圆E : 12222=+by a x )0(>>b a 的左右焦点，P 为直线23a x =上的一点，12PF F △是底角为30º的等腰三角形，则E 的离心率为（ ）A.21B.32 C.43 D.54 （2012·新课标Ⅱ，8）等轴双曲线C 的中心在原点，焦点在x 轴上，C 与抛物线y 2=16x 的准线交于A ，B 两点，|AB |=34，则C 的实轴长为（ ） A.2 B. 22 C. 4 D. 8 （2011·新课标Ⅰ，7）设直线L 过双曲线C 的一个焦点，且与C 的一条对称轴垂直，L 与C 交于A ,B 两点，AB 为C 的实轴长的2倍，则C 的离心率为（ ）（A （B （C ）2 （D ）3（2011·新课标Ⅱ，7）设直线l 过双曲线C 的一个焦点，且与C 的一条对称轴垂直，l 与C 交于A , B 两点，|AB |为C 的实轴长的2倍，则C 的离心率为（ ）ABC ．2D ．3二、填空题（2017·新课标Ⅰ，15）已知双曲线C ：22221x y a b -=（a >0，b >0）的右顶点为A ，以A 为圆心，b 为半径作圆A ，圆A 与双曲线C 的一条渐近线交于M 、N 两点．若∠MAN =60°，则C 的离心率为________． （2017·新课标Ⅱ，16）已知F 是抛物线C :28y x =的焦点，M 是C 上一点，F M 的延长线交y 轴于点N ．若M 为F N 的中点，则F N = ．（2016·新课标Ⅲ，16）已知直线l ：30mx y m ++与圆2212x y +=交于,A B 两点，过,A B 分别作l 的垂线与x 轴交于,C D 两点，若AB =||CD =__________.（2015·新课标Ⅰ，14）一个圆经过椭圆221164x y +=的三个顶点，且圆心在x 轴的正半轴上，则该圆的标准方程为 .（2014·新课标Ⅱ，6）设点M (0x ,1)，若在圆O :221x y +=上存在点N ，使得∠OMN =45º，则0x 的取值范围是________.（2011·新课标Ⅰ、Ⅱ，14）在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C 的中心为原点，焦点12,F F 在x 轴上，离1F 的直线L 交C 于,A B 两点，且2ABF V 的周长为16，那么C 的方程为 ． 三、解答题（2017·新课标Ⅰ，20）已知椭圆C ：2222=1x y a b +（a >b >0），四点P 1（1,1），P 2（0,1），P 3（–1，2），P 4（1C 上． （1）求C 的方程；（2）设直线l 不经过P 2点且与C 相交于A ，B 两点．若直线P 2A 与直线P 2B 的斜率的和为–1，证明：l 过定点．（2017·新课标Ⅱ，20）设O 为坐标原点，动点M 在椭圆C ：2212x y +=上，过M 做x 轴的垂线，垂足为N ，点P 满足NP =.（1）求点P 的轨迹方程；（2）设点Q 在直线x =-3上，且1OP PQ ⋅=.证明：过点P 且垂直于OQ 的直线l 过C 的左焦点F .（2016·新课标Ⅰ，20）设圆015222=-++x y x 的圆心为A ，直线l 过点)0,1(B 且与x 轴不重合，l 交圆A 于D C ,两点，过B 作AC 的平行线交AD 于点E ． （Ⅰ）证明EB EA +为定值，并写出点E 的轨迹方程；（Ⅱ）设点E 的轨迹为曲线1C ，直线l 交1C 于N M ,两点，过B 且与l 垂直的直线与圆A 交于Q P ,两点，求四边形MPNQ 面积的取值范围．（2016·新课标Ⅱ，20）已知椭圆E:2213x yt+=的焦点在x轴上，A是E的左顶点，斜率为k (k>0)的直线交E于A，M两点，点N在E上，MA⊥NA.（Ⅰ）当t=4，|AM|=|AN|时，求△AMN的面积；（Ⅱ）当2|AM|=|AN|时，求k的取值范围.（2016·新课标Ⅲ，20）已知抛物线C：y2=2x的焦点为F，平行于x轴的两条直线l1，l2分别交C于A，B 两点，交C的准线于P，Q两点.(1)若F在线段AB上，R是PQ的中点，证明AR∥FQ；(2)若△PQF的面积是△ABF的面积的两倍，求AB中点的轨迹方程.（2015·新课标Ⅰ，20）在直角坐标系xOy 中，曲线C ：24x y =与直线l ：y kx a =+（0a >）交于,M N两点.（Ⅰ）当0k =时，分别求C 在点M 和N 处的切线方程；（Ⅱ）在y 轴上是否存在点P ，使得当k 变动时，总有OPM OPN ∠=∠？说明理由.（2015·新课标Ⅱ，20）已知椭圆C ：2229x y m +=(m ＞0)，直线l 不过原点O 且不平行于坐标轴，l 与C 有两个交点A ，B ，线段AB 的中点为M .（Ⅰ）证明：直线OM 的斜率与l 的斜率的乘积为定值； （Ⅱ）若l 过点(,)3mm ，延长线段OM 与C 交于点P ，四边形OAPB 能否平行四边形？若能，求此时l 的斜率；若不能，说明理由．（2014·新课标Ⅰ，20）已知点A （0，-2），椭圆E ：22221(0)x y a b a b +=>>的离心率为2，F 是椭圆的焦点，直线AF 的斜率为3，O 为坐标原点. (Ⅰ)求E 的方程；（Ⅱ）设过点A 的直线l 与E 相交于,P Q 两点，当OPQ ∆的面积最大时，求l 的方程.（2014·新课标Ⅱ，20）设F 1，F 2分别是椭圆()222210y x a b a b+=>>的左右焦点，M 是C 上一点且MF 2与x 轴垂直，直线MF 1与C 的另一个交点为N . （Ⅰ）若直线MN 的斜率为34，求C 的离心率；（Ⅱ）若直线MN 在y 轴上的截距为2，且15MN F N =，求a, b . .（2013·新课标Ⅰ，20）已知圆M：(x＋1)2＋y2＝1，圆N：(x－1)2＋y2＝9，动圆P与圆M外切并且与圆N 内切，圆心P的轨迹为曲线C.(1)求C的方程；(2)l是与圆P，圆M都相切的一条直线，l与曲线C交于A，B两点，当圆P的半径最长时，求|AB|.（2013·新课标Ⅱ，20）平面直角坐标系xOy中，过椭圆2222:1(0)x yM a ba b+=>>右焦点F的直线x y+交M于,A B两点，P为AB的中点，且OP的斜率为1 2 .（Ⅰ）求M的方程；（Ⅱ）,C D为M上的两点，若四边形ACBD的对角线CD AB⊥，求四边形ACBD面积的最大值.（2012·新课标Ⅰ、Ⅱ，20）设抛物线C ：py x 22=（0>p ）的焦点为F ，准线为l ，A 为C 上一点，已知以F 为圆心，F A 为半径的圆F 交l 于B ，D 两点．（1）若∠BFD =90°，△ABD 的面积为24，求p 的值及圆F 的方程；（2）若A ，B ，F 三点在同一直线m 上，直线n 与m 平行，且n 与C 只有一个公共点，求坐标原点到m ，n 距离的比值．（2011·新课标Ⅰ、Ⅱ，20）在平面直角坐标系xOy 中，已知点A(0,-1)，B 点在直线y = -3上，M 点满足//MB OA uuu r uu r， MA AB MB BA ⋅=⋅uuu r uu u r uuu r uu r ，M 点的轨迹为曲线C ．（Ⅰ）求C 的方程；（Ⅱ）P 为C 上的动点，l 为C 在P 点处得切线，求O 点到l 距离的最小值．2011年—2017年新课标全国卷Ⅱ理科数学试题分类汇编12．解析几何一、选择题（2017·新课标Ⅰ，10）已知F 为抛物线C ：y 2=4x 的焦点，过F 作两条互相垂直的直线l 1，l 2，直线l 1与C交于A 、B 两点，直线l 2与C 交于D 、E 两点，则|AB |+|DE |的最小值为（ ）A ．16B ．14C ．12D ．10 【答案】A 解析：设AB 倾斜角为θ．作1AK 垂直准线，2AK 垂直x 轴， 易知11cos 22⎧⎪⋅+=⎪⎪=⎨⎪⎛⎫⎪=--= ⎪⎪⎝⎭⎩AF GF AK AK AF P P GP Pθ（几何关系）（抛物线特性），cos AF P AF θ⋅+=∴，同理1cos P AF θ=-，1cos P BF θ=+，∴22221cos sin P PAB θθ==-，又DE 与AB 垂直，即DE 的倾斜角为π2θ+， 2222πcos sin 2P PDE θθ==⎛⎫+ ⎪⎝⎭，而24y x =，即2P =． ∴22112sin cos AB DE P θθ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭2222sin cos 4sin cos θθθθ+=224sin cos θθ=241sin 24=θ 21616sin 2θ=≥，当且仅当π4θ=取等号，即AB DE +最小值为16，故选A ； 【法二】依题意知：22sin PAB θ=，2222πcos sin 2P PDE θθ==⎛⎫+ ⎪⎝⎭，由柯西不等式知： 2222211(11)22816sin cos sin cos AB DE P P P θθθθ+⎛⎫+=+≥⋅== ⎪+⎝⎭，当且仅当π4θ=取等号，故选A ； （2017·新课标Ⅱ，9）若双曲线C :22221x y a b-=（0a >，0b >）的一条渐近线被圆()2224x y -+=所截得的弦长为2，则C 的离心率为（ ）A ．2 BCD【答案】A 解析：解法一：根据双曲线的标准方程可求得渐近线方程为by x a=±，根据直线与圆的位置关系可=2e=. 解法二：设渐进线的方程为y kx=∴=23k=；由于渐近线的斜率与离心率关系为221k e=-，解得2e=.（2017·新课标Ⅲ，5）已知双曲线C：()2222:10,0x yC a ba b-=>>的一条渐近线方程为2y x=，且与椭圆221123x y+=有公共焦点，则C的方程为（）.A．221810x y-=B．22145x y-=C．22154x y-=D．22143x y-=【答案】B 解析：因为双曲线的一条渐近线方程为y x=，则ba=又因为椭圆221123x y+=与双曲线有公共焦点，易知3c=，则2229a b c+==②由①②解得2,a b==C的方程为22145x y-=.故选B.（2017·新课标Ⅲ，10）已知椭圆()2222:10x yC a ba b+=>>的左、右顶点分别为1A，2A，且以线段12A A 为直径的圆与直线20bx ay ab-+=相切，则C的离心率为（）.ABCD．13【答案】A 解析：因为以12A A为直径为圆与直线20bx ay ab-+=相切，所以圆心到直线距离d等于半径，所以d a==，又因为0,0a b>>，则上式可化简为223a b=因为222b a c=-，可得()2223a a c=-，即2223ca=，所以cea==故选A.（2016·新课标Ⅰ，5）已知方程132222=--+nm y n m x 表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，则n 的取值范围是（ ）（A ）)3,1(-（B ）)3,1(-（C ）)3,0(（D ）)3,0(【答案】A 解析：222213x y m n m n-=+-表示双曲线，则()()2230m n m n +->，∴223m n m -<<由双曲线性质知：()()222234c m n m n m =++-=，其中c 是半焦距，∴焦距2224c m =⋅=，解得1m = ∴13n -<<，故选A ．（2016·新课标Ⅰ，10）以抛物线C 的顶点为圆心的圆交C 于B A ,两点，交C 的准线于E D ,两点，已知24=AB ,52=DE ，则C 的焦点到准线的距离为（A ）2（B ）4（C ）6（D ）8【答案】B 解析：以开口向右的抛物线为例来解答，其他开口同理 设抛物线为22y px =()0p >，设圆的方程为222x y r +=，如图：设(0,A x，2p D ⎛- ⎝，点(0,A x 在抛物线22y px =上，∴082px =……①；点2p D ⎛- ⎝在圆222x y r +=上，∴2252p r ⎛⎫+= ⎪⎝⎭……②；点(0A x 在圆222x y r +=上，∴2208x r +=……③；联立①②③解得：4p =， 焦点到准线的距离为4p =．故选B ．（2016·新课标Ⅱ，4）圆2228130x y x y +--+=的圆心到直线10ax y +-=的距离为1，则a =（ ）A ．43-B ．34-CD ．2【答案】A 解析：圆2228130x y x y +--+=化为标准方程为：()()22144x y -+-=，故圆心为()14，，1d ==，解得43a =-，故选A ．（2016·新课标Ⅱ，11）已知F 1，F 2是双曲线E ：22221x y a b-=的左，右焦点，点M 在E 上，M F 1与x 轴垂直，211sin 3MF F ∠=，则E 的离心率为（ ）AB ．32CD ．2【答案】A 解析：离心率1221F F e MF MF =-，由正弦定理得122112sin 3sin sin 13F F Me MF MF F F ====---． 故选A ．F（2016·新课标Ⅲ，11）已知O 为坐标原点，F 是椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的左焦点，A ，B 分别为C的左，右顶点.P 为C 上一点，且PF ⊥x 轴.过点A 的直线l 与线段PF 交于点M ，与y 轴交于点E . 若直线BM 经过OE 的中点，则C 的离心率为A. 13B. 12C. 23D. 34【答案】A 解析：易得,2ON OB a MF MF AF a cMF BF a c OE ON AO a-=====+ 12a a c a c a c a a c --∴=⋅=++， 13c e a ∴==（2015·新课标Ⅰ，5）已知00(,)M x y 是双曲线C ：2212x y -=上的一点，12,F F 是C 的两个焦点，若120MF MF ⋅<，则0y 的取值范围是（A）(33-（B）(,)66- （C）(33- （D）(33- 【答案】A 解析：从120MF MF ⋅< 入手考虑，120MF MF ⋅=可得到以12FF 为直径的圆与C 的交点1234,,,M M M M （不妨设12,M M 在左支上，34,M M 在右支上），此时1112M F M F ⊥，1112M F M F -=-12F F =112111201211||22M F F S M F M F y F F ∆=⋅=⋅解得0||y =，则M 在双曲线的 12M M 或 34M M 上运动，0y∈(33-，故选（A ）.（2015·新课标Ⅱ，7）过三点A (1, 3)，B (4, 2)，C (1, -7)的圆交于y 轴于M 、N 两点，则MN =（ ）A．B ．8C．D ．10【答案】C 解析：由已知得，，所以k AB k CB =-1，所以AB ⊥CB ，即△ABC 为直角三角形，其外接圆圆心为(1, -2)，半径为5，所以外接圆方程为(x -1)2+(y +2)2=25，令x =0，得，所以，故选C.（2015·新课标Ⅱ，11）已知A ，B 为双曲线E 的左，右顶点，点M 在E 上，∆ABM 为等腰三角形，且顶角为120°，则E 的离心率为（ ） AB ．2CD【答案】D 解析：设双曲线方程为22221(0,0)x y a b a b-=>>，如图所示，|AB |=|BM |，∠ABM =120º，过点M 作MN ⊥x 轴，垂足为N ，在Rt △BMN 中，|BN |=a，||MN =，故点M的坐标为(2)M a ，代入双曲线方程得a 2 = b 2 = c 2 -a 2，即c 2 = 2a 2，所以e = D.（2014·新课标Ⅰ，4）已知F 是双曲线C ：223(0)x my m m -=>的一个焦点，则点F 到C 的一条渐近线的距离为（ ）AB .3 CD .3m【答案】A 解析：由C ：223(0)x my m m -=>，得22133x y m -=，233,c m c =+=设)F，一条渐近线y x =，即0x =，则点F 到C的一条渐近线的距离d =A. .（2014·新课标Ⅰ，10）已知抛物线C ：28y x =的焦点为F ，准线为l ，P 是l 上一点，Q 是直线PF 与C 的一个交点，若4FP FQ =，则||QF =A .72B .52C .3D .2 【答案】C 解析：过Q 作QM ⊥直线L 于M ，∵4FP FQ =∴34PQPF =，又344QM PQ PF ==，∴3QM =，由抛物线定义知3QF QM ==.（2014·新课标Ⅱ，10）设F 为抛物线C :23y x =的焦点，过F 且倾斜角为30º的直线交C 于A , B 两点，O 为坐标原点，则△OAB 的面积为（ ） ABC ．6332D ．94【答案】D 解析：∵3(,0)4F ，∴设直线AB 的方程为3)4y x =-，代入抛物线方程得：22190216x x -+=，设11(,)A x y 、22(,)B x y ，∴12212x x +=，12916x x ⋅=，由弦长公式得||12AB ==，由点到直线的距离公式得：O 到直线AB 的距离00|38d -==，∴13912284OABS ∆=⨯⨯=.【另解】直线AB的方程3)4y x =-代入抛物线方程得：2490y --=，∴12y y +=1294y y ⋅=-，∴139244OAB S ∆=⨯=.（2013·新课标Ⅰ，4)已知双曲线C ：2222=1x y a b -(a ＞0，b ＞0)则C 的渐近线方程为( )．A ．y ＝14x ±B ．y ＝13x ±C ．y ＝12x ± D ．y ＝±x【答案】C 解析：∵c e a ==，∴22222254c a b e a a +===，∴a 2＝4b 2，1=2b a ±. ∴渐近线方程为12b y x x a =±±.（2013·新课标Ⅰ，10)已知椭圆E ：2222=1x y a b+(a ＞b ＞0)的右焦点为F (3,0)，过点F 的直线交E 于A ，B两点．若AB 的中点坐标为(1，－1)，则E 的方程为( )．A ．22=14536x y + B ．22=13627x y + C ．22=12718x y + D ．22=1189x y + 【答案】D 解析：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，∵A ，B 在椭圆上，∴2211222222221,1,x y a b x y a b ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩①②①－②，得1212121222=0x x x x y y y y a b (+)(-)(+)(-)+，即2121221212=y y y y b a x x x x (+)(-)-(+)(-)， ∵AB 的中点为(1，－1)，∴y 1＋y 2＝－2，x 1＋x 2＝2，而1212y y x x --＝k AB ＝011=312-(-)-，∴221=2b a . 又∵a 2－b 2＝9，∴a 2＝18，b 2＝9.∴椭圆E 的方程为22=1189x y +.故选D.（2013·新课标Ⅱ，11）设抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F ，点M 在C 上，||5MF =，若以MF 为直径的园过点(0,2)，则C 的方程为（ ）A.24y x =或28y x =B.22y x =或28y x =C.24y x =或216y x =D.22y x =或216y x = 【答案】C 解析：设点M 的坐标为(x 0，y 0)，由抛物线的定义，得|MF |＝x 0＋2p ＝5，则x 0＝5－2p.又点F 的坐标为(,0)2p ，所以以MF 为直径的圆的方程为220525()()224y x y -+-=.将x ＝0，y ＝2代入得2002404y y -+=，所以y 0＝4.由20y ＝2px 0，得162(5)2pp =-，解之得p ＝2，或p ＝8.所以C 的方程为y 2＝4x 或y 2＝16x . 故选C.（2013·新课标Ⅱ，12）已知点(1,0)A -，(1,0)B ，(0,1)C ，直线(0)y ax b a =+>将ABC △分割为面积相等的两部分，则b 的取值范围是（ ）A.(0,1)B.1(1)2-C.1(1]3D.11[,)32【答案】B 解析：由题意知b ∈(0, 1)，当直线过点(-1, 0)时，要将△ABC 分割为面积相等的两部分，直线必须过点11(,)22，此时有-a +b =0且1122a b +=，解得13b =；当a =1时，直线y =ax +b 平行于直线AC ，要将△ABC 分割为面积相等的两部分，可求此时的1b =.（2012·新课标Ⅰ，4）设1F 、2F 是椭圆E ：2222x y a b+（0a b >>）的左、右焦点，P 为直线32a x =上一点，21F PF ∆是底角为30°的等腰三角形，则E 的离心率为（ ）A ．12 B ．23 C ．34 D ．45【答案】C 解析：如图所示，21F PF ∆是等腰三角形，212130F F P F PF ∠=∠=︒，212||||2F P F F c ==， 260PF Q ∠=︒，230F PQ ∠=︒，2||F Q c =，又23||2aF Q c =-， 所以32a c c -=，解得34c a =，因此34c e a ==，故选择C ．（2012·新课标Ⅰ，8）等轴双曲线C 的中心在原点，焦点在x 轴上，C 与抛物线216y x =的准线交于A ，B 两点，||AB =C 的实轴长为（ ）AB ．C ．4D ．8【答案】C 解析：设等轴双曲线C 的方程为22221x y a a-=，即222x y a -=（0a >），抛物线216y x =的准线方程为4x =-，联立方程2224x y a x ⎧-=⎨=-⎩，解得2216y a =-，因为||AB =所以222||(2||)448AB y y ===，从而212y =，所以21612a -=，24a =，2a =，因此C 的实轴长为24a =，故选择C ．（2012·新课标Ⅱ，4）设F 1，F 2是椭圆E : 12222=+by a x )0(>>b a 的左右焦点，P 为直线23a x =上的一点，12PF F △是底角为30º的等腰三角形，则E 的离心率为（ ）A.21B.32 C.43 D.54 【答案】C 解析：由题意可得，21F PF △是底角为30º的等腰三角形可得212PF F F =，即32()22ac c -=，所以34c e a ==. （2012·新课标Ⅱ，8）等轴双曲线C 的中心在原点，焦点在x 轴上，C 与抛物线y 2=16x 的准线交于A ，B 两点，|AB |=34，则C 的实轴长为（ ） A.2 B. 22C. 4D. 8【答案】C 解析：抛物线的准线方程是x =4，所以点A (-在222x y a -=上，将点A 代入得24a =，所以实轴长为24a =.（2011·新课标Ⅰ，7）设直线L 过双曲线C 的一个焦点，且与C 的一条对称轴垂直，L 与C 交于A ,B 两点，AB 为C 的实轴长的2倍，则C 的离心率为（ ）（A （B （C ）2 （D ）3【答案】B 解析：通径|AB|=222b a a=得2222222b a a c a =⇒-=，选B （2011·新课标Ⅱ，7）设直线l 过双曲线C 的一个焦点，且与C 的一条对称轴垂直，l 与C 交于A , B 两点，|AB |为C 的实轴长的2倍，则C 的离心率为（ ）ABC ．2D ．3【答案】B 解析：通径|AB |=222b a a=得2222222b a a c a =⇒-=，故选B.二、填空题（2017·新课标Ⅰ，15）已知双曲线C ：22221x y a b -=（a >0，b >0）的右顶点为A ，以A 为圆心，b 为半径作圆A ，圆A 与双曲线C 的一条渐近线交于M 、N 两点．若∠MAN =60°，则C 的离心率为________．解析：如图，OA a =，AN AM b ==，∵60MAN ∠=︒，∴AP =，OP =，（法二）如上图可知(,0)A a到渐进线0bx ay -=的距离为abd AP c===，1,60,cos cos302ab AP AMN a c AN AM b AMN AN b c e∠==∠=∴=====又，3e ∴=； （法三）如图在等边三角形AMN ∆中,,AP FH b == 由OAP OFH ∆∆知23aa e cb c =⇒==； （法四）如图，由等面积法可得，在三角形OAN 中，122ab c c e a =⇒==； （法五）因为,AM b OA a ==且渐进线bxy a=可得三角形OAN 为 双曲线三角线（即三边分别为,,a b c ），有几何意义易得30MAP MOA ∠=∠=tan b MOA e a ∴∠====；（2017·新课标Ⅱ，16）已知F 是抛物线C :28y x =的焦点，M 是C 上一点，F M 的延长线交y 轴于点N ．若M 为F N 的中点，则F N = ．【答案】6 解析：∵ 点M 为线段NF 的中点，∴ 1M x =，∴ 23M MF x =+=，∴ 26NF MF ==．（2016·新课标Ⅲ，16）已知直线l：30mx y m ++与圆2212x y +=交于,A B 两点，过,A B 分别作l 的垂线与x 轴交于,C D两点，若AB =||CD =__________. 【答案】3 解析：如图所示，作AE BD ⊥于E ，作OF A B ⊥于F，3AB OA OF ==∴= ，3=，m ∴= ∴直线l 的倾斜角为30°，3CD AE ∴=== （2015·新课标Ⅰ，14）一个圆经过椭圆221164x y +=的三个顶点，且圆心在x 轴的正半轴上，则该圆的标准方程为 . 【答案】22325()24x y -+=解析：由椭圆的性质可知，圆只能经过短轴顶点和右顶点三个点(0,2),(0,2),(4,0)-；（方法一）设圆的半径为r ，则有222(4)2r r -+=，可得52r =，故所求圆的标准方程为22325()24x y -+=.（方法二）设圆的标准方程为222()(0)x a y r a -+=>，代入点(0,2),(4,0)，解方程组可得35,22a r ==半径为r ，故所求圆的标准方程为22325()24x y -+=. （方法三）设圆的一般方程为220x y Dx Ey F ++++=，代入点(0,2),(0,2),(4,0)-，解方程组可得3,0,4D E F =-==-,化为标准方程为22325()24x y -+=. （2014·新课标Ⅱ，6）设点M (0x ,1)，若在圆O :221x y +=上存在点N ，使得∠OMN =45º，则0x 的取值范围是________.【答案】[1,1]- 解析：由图可知点M 所在直线1y =与圆O 相切，又1ON =，由正弦定理得sin sin ON OM OMN ONM =∠∠sin OMONM =∠，即OM ONM =∠，∵0ONM π≤∠≤，∴OM ≤，即≤011x -≤≤.【另解】过OA ⊥MN ，垂足为A ，因为在Rt △OMA 中，|OA|≤1，∠OMN =45º，所以||||s i n4O A O M =o=||12OM ≤，解得||OM M (x 0, 1)，所以||OM =解得011x -≤≤，故0x 的取值范围是[1,1]-.（2011·新课标Ⅰ、Ⅱ，14）在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C 的中心为原点，焦点12,F F 在x 轴上，离1F 的直线L 交C 于,A B 两点，且2ABF V 的周长为16，那么C 的方程为 ． 【答案】221168x y ∴+= 解析：由2416c a a ⎧=⎪⎨⎪=⎩得a=4.c=从而b=8,221168x y ∴+=为所求． 三、解答题（2017·新课标Ⅰ，20）已知椭圆C ：2222=1x y a b +（a >b >0），四点P 1（1,1），P 2（0,1），P 3（–1，2），P 4（1，2）中恰有三点在椭圆C 上． （1）求C 的方程；（2）设直线l 不经过P 2点且与C 相交于A ，B 两点．若直线P 2A 与直线P 2B 的斜率的和为–1，证明：l 过定点．解析：（1）根据椭圆对称性，必过3P 、4P ，又4P 横坐标为1，椭圆必不过1P ，所以过234P P P ，，三点，将()23011P P ⎛- ⎝⎭，，代入椭圆方程得：222113141b ab ⎧=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，解得24a =，21b =， ∴椭圆C 的方程为：2214x y +=．（2）①当斜率不存在时，设()():A A l x m A m y B m y =-，，，，， 221121A A P A P B y y k k m m m----+=+==-，得2m =，此时l 过椭圆右顶点，不存在两个交点，故不满足． ②当斜率存在时，设()1l y kx b b =+≠∶，()()1122A x y B x y ，，，， 联立22440y kx b x y =+⎧⎨+-=⎩，整理得()222148440k x kbx b +++-=， 122814kb x x k -+=+，21224414b x x k -⋅=+，则22121211P A P B y y k k x x --+=+()()21212112x kx b x x kx b x x x +-++-= 222228888144414kb k kb kbk b k --++=-+()()()811411k b b b -==-+-，又1b ≠，21b k ⇒=--，此时64k ∆=-， 存在k 使得0∆>成立．∴直线l 的方程为21y kx k =--，当2x =时，1y =-，所以l 过定点()21-，．（2017·新课标Ⅱ，20）设O 为坐标原点，动点M 在椭圆C ：2212x y +=上，过M 做x 轴的垂线，垂足为N ，点P 满足NP =.（1）求点P 的轨迹方程；（2）设点Q 在直线x =-3上，且1OP PQ ⋅=.证明：过点P 且垂直于OQ 的直线l 过C 的左焦点F .解析：（1）解法一：相关点法求轨迹：设()00,M x y ，()0,0N x ,(),P x y ，则：()0,N P xx y=-,()00,NM y = .又NP =,所以：())00,0,x x y y -=，则：00,x x y ==.又()00,M x y 在椭圆C 上，所以：220012x y +=，所以：222x y +=.解法二： 椭圆C 的参数方程为：sin x y θθ⎧=⎪⎨=⎪⎩（θ为参数）.设),sin Mθθ，),0Nθ,(),P x y ，则：(),NP x y θ=,()0,sin NM θ= .又NP =,所以：()),0,sin x y θθ=，则：,x y θθ==.则：222x y +=.（Ⅱ）解法一：设)Pθθ，()13,Q y -,()1,0F -,则)OP θθ=，()13,OQ y =- ,()13,y PQ θθ=- ，()1,PF θθ=-.又1OP PQ ⋅=,所以：)()22113,y 2cos sin 2sin 1θθθθθθθθ⋅-=---=即：1sin 3θθ=-.那么：()()11,3,y 3sin 0PF OQ θθθθ⋅=-⋅-=+-=.所以：PF OQ ⊥. 即过P 垂直于OQ 的直线l 过椭圆C 的左焦点F ．解法二：设()11,P x y ，()23,Q y -,()1,0F -,则()11,OP x y = ，()23,OQ y =- ,()1213,PQ x y y =---，()111,PF x y =---.又1OP PQ ⋅= ,所以：()()221112111121,3,31x y x y y x x y y y ⋅---=--+-=.又()11,P x y 在222x y +=上，所以：11233x y y -=-.||MMN y y=-又()()1121121,3,330PF OQ x y y x y y⋅=---⋅-=+-=.所以：PF OQ⊥，即过P垂直于OQ的直线l过椭圆C的左焦点F．（2016·新课标Ⅰ，20）设圆015222=-++xyx的圆心为A，直线l过点)0,1(B且与x轴不重合，l交圆A于DC,两点，过B作AC的平行线交AD于点E．（Ⅰ）证明EBEA+为定值，并写出点E的轨迹方程；（Ⅱ）设点E点，求四边形MPNQ解析：⑴圆A整理为(xBE ACQ∥，则C=∠EBD D∴=∠∠，则⑵221:143x yC+=；设l联立1l C与椭圆：221143x myx y=+⎧⎪⎨+=⎪⎩(23m圆心A到PQ距离d=所以||PQ==()2212111||||2234MPNQmS MN PQm+⎡∴=⋅=⋅==⎣+（2016·新课标Ⅱ，20）已知椭圆E:2213x yt+=的焦点在x轴上，A是E的左顶点，斜率为k (k>0)的直线交E于A，M两点，点N在E上，MA⊥NA.（Ⅰ）当t=4，|AM|=|AN|时，求△AMN的面积；（Ⅱ）当2|AM|=|AN|时，求k的取值范围.解析：⑴当4t=时，椭圆E的方程为22143x y+=，A点坐标为()20-，，则直线AM的方程为()2y k x=+．联立()221432x yy k x⎧+=⎪⎨⎪=+⎩并整理得，()2222341616120k x k x k+++-=，解得2x=-或228634kxk-=-+，则222861223434k AM k k -=+=++，因为AM AN ⊥，所以2121341AN k =⎛⎫+⋅- ⎪⎝⎭1243k k =+，因为AM AN =，0k >，所以212124343k k k++，整理得()()21440k k k --+=，2440k k -+=无实根，所以1k =．所以AMN △的面积为2211122234AM ⎫=⎪+⎭14449=． ⑵直线AM的方程为(y k x =+，联立(2213x y t y k x ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩并整理得，()222223230tk x x t k t +++-=，解得x =或x =，所以AM ==，所以3A N k k=+，因为2A M A N =，所以23k k =+，整理得23632k k t k -=-．因为椭圆E 的焦点在x 轴，所以3t >，即236332k k k ->-，整理得()()231202k k k +-<-，2k <．（2016·新课标Ⅲ，20）已知抛物线C ：y 2=2x 的焦点为F ，平行于x 轴的两条直线l 1，l 2分别交C 于A ，B 两点，交C 的准线于P ，Q 两点.(1)若F 在线段AB 上，R 是PQ 的中点，证明AR ∥FQ ；(2)若△PQF 的面积是△ABF 的面积的两倍，求AB 中点的轨迹方程. 解析：(1)法一：由题设1(,0)2F .设12:,:l y a l y b ==，则0ab ≠，且22111(,),(,),(,),(,),(,)a b a b A a B b P a Q b R +---. 记过,A B 两点的直线为l ，则l 的方程为2()0x a b y ab -++=. .....3分 由于F 在线段AB 上，故10ab +=. 记AR 的斜率为1k ，FQ 的斜率为2k ，则122211a b a b abk b k aa a a ab ---=====-=+-.所以FQ AR ∥. ......5分法二：证明：连接RF ，PF ，由AP =AF ，BQ =BF 及AP ∥BQ ，得∠AFP +∠BFQ =90°，∴∠PFQ =90°，∵R 是PQ 的中点，∴RF =RP =RQ ，∴△P AR ≌△F AR ，∴∠P AR =∠F AR ，∠PRA =∠FRA ， ∵∠BQF +∠BFQ =180°﹣∠QBF =∠P AF =2∠P AR ，∴∠FQB =∠P AR ，∴∠PRA =∠PQF ，∴AR ∥FQ ．(2)设l 与x 轴的交点为1(,0)D x ，则1111,2222ABF PQF a b S b a FD b a x S ∆∆-=-=--=. 由题设可得111222a b b a x ---=，所以10x =(舍去)，11x =. 设满足条件的AB 的中点为(,)E x y . 当AB 与x 轴不垂直时，由AB DE k k =可得2(1)1yx a b x =≠+-. 而a by +=，所以21(1)y x x =-≠. 当AB 与x 轴垂直时，E 与D 重合.所以，所求轨迹方程为21y x =-. ....12分（2015·新课标Ⅰ，20）在直角坐标系xOy 中，曲线C ：24x y =与直线l ：y kx a =+（0a >）交于,M N两点.（Ⅰ）当0k =时，分别求C 在点M 和N 处的切线方程；（Ⅱ）在y 轴上是否存在点P ，使得当k 变动时，总有OPM OPN ∠=∠？说明理由. 解析：（Ⅰ）当0k =时，点)M a和()N a -，2xy '=，故x =方程为y a x -=-0y a --=；同理，x =-y a x -=+0y a ++=.（Ⅱ）在y 轴上存在点P ，使得当k 变动时，总有OPM OPN ∠=∠.证明如下： 设(0,)P b 为符合题意的点，1122(,),(,)M x y N x y ，直线,PM PN 的斜率分别为12,k k . 直线l 与曲线C 的方程联立可得2440x kx a --=，则12124,4x x k x x a +==-.1212121212122()()()y b y b kx x a b x x k a b k k x x x x a--+-+++=+==，当b a =-时，120k k +=，则直线,PM PN 的倾斜角互补，故OPM OPN ∠=∠，即(0,)P a -符合题意.（2015·新课标Ⅱ，20）已知椭圆C ：2229x y m +=(m ＞0)，直线l 不过原点O 且不平行于坐标轴，l 与C 有两个交点A ，B ，线段AB 的中点为M .（Ⅰ）证明：直线OM 的斜率与l 的斜率的乘积为定值； （Ⅱ）若l 过点(,)3mm ，延长线段OM 与C 交于点P ，四边形OAPB 能否平行四边形？若能，求此时l 的斜率；若不能，说明理由．解析：（Ⅰ）设直线1122:(0,0),(,),(,),(,)M M l y kx b k b A x y B x y M x y =+≠≠,将y kx b =+代入2229x y m +=得2222(9)20k x kbx b m +++-=，故12229M x x kb x k +-==+，299M M by kx b k =+=+. 于是直线OM 的斜率9M OM M y k x k==-，即9OM k k ⋅=-，所以直线OM 的斜率与l 的斜率的乘积为定值. （Ⅱ）四边形OAPB 能为平行四边形，因为直线l 过点(,)3mm ，所以l 不过原点且与C 有两个交点的充要条件是0,3k k >≠，由（Ⅰ）得OM 的方程为9y x k=-.设点P 的横坐标为P x ，由22299y x k x y m ⎧=-⎪⎨⎪+=⎩，得2222981P k m x k =+，即P x =(,)3m m 的坐标代入l 的方程得(3)3m k b -=，因此2(3)3(9)M k k m x k -=+. 四边形OAPB 为平行四边形当且仅当线段AB 与线段OP 互相平分，即2P M x x =，于是2(3)23(9)k k m k -=⨯+，解得1244k k ==，因为0,3,1,2i i k k i >≠=，所以当l的斜率为44+OAPB 为平行四边形.（2014·新课标Ⅰ，20）已知点A （0，-2），椭圆E ：22221(0)x y a b a b +=>>F 是椭圆的焦点，直线AF，O 为坐标原点. (Ⅰ)求E 的方程；（Ⅱ）设过点A 的直线l 与E 相交于,P Q 两点，当OPQ ∆的面积最大时，求l 的方程.解析：(Ⅰ) 设(),0F c，由条件知2c =，得c =又c a =，所以a=2 ，2221b a c =-= ,故E 的方程2214x y +=. ……….6分（Ⅱ）依题意当l x ⊥轴不合题意，故设直线l ：2y kx =-，设()()1122,,,P x y Q x y将2y kx =-代入2214x y +=，得()221416120k x kx +-+=， 当216(43)0k ∆=->，即234k >时，1,22814k x k±=+，从而12PQ x =-=，又点O 到直线PQ的距离d =，所以∆OPQ的面积21214OPQS d PQ k ∆==+ ，t =，则0t >，244144OPQ t S t t t∆==≤++， 当且仅当2t =，2k =±等号成立，且满足0∆>，所以当∆OPQ 的面积最大时，l的方程为：22y x =-或22y x =--. …………………………12分 （2014·新课标Ⅱ，20）设F 1，F 2分别是椭圆()222210y x a b a b+=>>的左右焦点，M 是C 上一点且MF 2与x 轴垂直，直线MF 1与C 的另一个交点为N . （Ⅰ）若直线MN 的斜率为34，求C 的离心率；（Ⅱ）若直线MN 在y 轴上的截距为2，且15MN F N =，求a, b .解析：（Ⅰ）由题意得：1(,0)F c -，2(,)b M c a ，∵MN 的斜率为34，∴2324b ac =，又222a b c =+，解得12c e a ==或2-（舍），故直线MN 的斜率为34时，C 的离心率为12.（Ⅱ）由题意知，点M 在第一象限，1(,0)F c -，2(,)b M c a ，∴直线MN 的斜率为：22b ac ，则MN ：222b y x ac =+；∵1(,0)F c -在直线MN 上，∴20()22b c ac=⨯-+，得24b a =…①，∵15MN F N =，∴114MF F N =，且21(2,)b MF c a=-- ， ∴21(,)24c b F N a =-- ，∴23(,)24c b N a --，又∵23(,)24c b N a--在椭圆C 上， ∴4222291641b c a a b+=……②，联立①、②解得：7a =，b =（2013·新课标Ⅰ，20）已知圆M ：(x ＋1)2＋y 2＝1，圆N ：(x －1)2＋y 2＝9，动圆P 与圆M 外切并且与圆N 内切，圆心P 的轨迹为曲线C .(1)求C 的方程；(2)l 是与圆P ，圆M 都相切的一条直线，l 与曲线C 交于A ，B 两点，当圆P 的半径最长时，求|AB |. 解析：由已知得圆M 的圆心为M (－1,0)，半径r 1＝1；圆N 的圆心为N (1,0)，半径r 2＝3.设圆P 的圆心为P (x ，y )，半径为R .(1)因为圆P 与圆M 外切并且与圆N 内切， 所以|PM |＋|PN |＝(R ＋r 1)＋(r 2－R )＝r 1＋r 2＝4.由椭圆的定义可知，曲线C 是以M ，N 为左、右焦点，长半轴长为2(左顶点除外)，其方程为22=143x y +(x ≠－2)． (2)对于曲线C 上任意一点P (x ，y )，由于|PM |－|PN |＝2R －2≤2，所以R ≤2，当且仅当圆P 的圆心为(2,0)时，R ＝2. 所以当圆P 的半径最长时，其方程为(x －2)2＋y 2＝4. 若l 的倾斜角为90°，则l 与y 轴重合，可得|AB |＝若l 的倾斜角不为90°，由r 1≠R 知l 不平行于x 轴，设l 与x 轴的交点为Q ，则1||||QP RQM r =，可求得Q (－4,0)，所以可设l ：y ＝k (x ＋4)．由l 与圆M=1，解得k＝4±当ky =代入22=143x y +，并整理得7x 2＋8x －8＝0，解得x 1,2. 所以|AB |2118|7x x -=.当4k =-时，由图形的对称性可知|AB |＝187.综上，|AB |＝|AB |＝187.（2013·新课标Ⅱ，20）平面直角坐标系xOy 中，过椭圆2222:1(0)x y M a b a b+=>>右焦点F 的直线0x y +交M 于,A B 两点，P 为AB 的中点，且OP 的斜率为12. （Ⅰ）求M 的方程；（Ⅱ）,C D 为M 上的两点，若四边形ACBD 的对角线CD AB ⊥，求四边形ACBD 面积的最大值.解析：（Ⅰ）设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，P (x 0，y 0)，则221122=1x y a b +，222222=1x y a b +，2121=1y y x x ---，由此可得2212122121=1b x x y y a y y x x (+)-=-(+)-.因为x 1＋x 2＝2x 0，y 1＋y 2＝2y 0，0012y x =，所以a 2＝2b 2. 又由题意知，M 的右焦点为0)，故a 2－b 2＝3. 因此a 2＝6，b 2＝3. 所以M 的方程为22=163x y +. （Ⅱ）由220,1,63x y x y ⎧+-=⎪⎨+=⎪⎩解析得3x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或0,x y =⎧⎪⎨=⎪⎩因此|AB |.由题意可设直线CD 的方程为(y x n n =+<<，设C (x 3，y 3)，D (x 4，y 4)．由22,163y x n x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得3x 2＋4nx ＋2n 2－6＝0.于是x 3,4.因为直线CD 的斜率为1，所以|CD |43|x x -=由已知，四边形ACBD的面积1||||2S CD AB =⋅=当n ＝0时，S.所以四边形ACBD（2012·新课标Ⅰ、Ⅱ，20）设抛物线C ：py x 22=（0>p ）的焦点为F ，准线为l ，A 为C 上一点，已知以F 为圆心，F A 为半径的圆F 交l 于B ，D 两点．（1）若∠BFD =90°，△ABD 的面积为24，求p 的值及圆F 的方程；（2）若A ，B ，F 三点在同一直线m 上，直线n 与m 平行，且n 与C 只有一个公共点，求坐标原点到m ，n 距离的比值．解析：（Ⅰ） 由对称性可知，BFD △为等腰直角三角形，斜边上的高为p ，斜边长2BD p =. 点A 到准线l的距离d FB FD ===.由ABD S =△得，11222BD d p ⨯⨯=⨯=， 2p ∴=. 圆F 的方程为22(1)8x y +-=.（Ⅱ） 由对称性，不妨设点(,)A A A x y 在第一象限，由已知得线段AB 是圆F 的在直径，90oADB ∠=，2BD p ∴=，32A y p ∴=，代入抛物线:C py x 22=得A x .直线m的斜率为AF k ==.直线m 的方程为02x -+=. 由py x 22= 得22x y p =,x y p '=.由3x y p '==得, 3x p =.故直线n 与抛物线C的切点坐标为(,)36p ，直线n的方程为06x -=. 所以坐标原点到m ，n的距离的比值为3412：=. （2011·新课标Ⅰ、Ⅱ，20）在平面直角坐标系xOy 中，已知点A(0,-1)，B 点在直线y = -3上，M 点满足//MB OA uuu r uu r， MA AB MB BA ⋅=⋅uuu r uu u r uuu r uu r ，M 点的轨迹为曲线C ．（Ⅰ）求C 的方程；（Ⅱ）P 为C 上的动点，l 为C 在P 点处得切线，求O 点到l 距离的最小值．解析：（Ⅰ）设M (x , y )，由已知得B (x , -3)，A (0, -1). 所以,1)(MA x y -=--u u u r ， (03)MB y =--，u u u r，(,2)B x A =-u u u r .再由题意可知()0MA MB MB AB ++⋅=u u u r u u u r u u u r u u u r，即(,42)(,2)0x y x ---⋅-=.所以曲线C 的方程式为2124y x =-.。

2011-2017新课标全国卷1理科数学分类汇编

2011-2017新课标全国卷1理科数学分类汇编

目录1、 集合与常用逻辑用语2、 函数及其性质3、 导函数及其应用4、 三角函数、解三角形5、 平面向量6、 数列7、 不等式、推理与证明 8、 立体几何 9、 解析几何10、 统计、概率分布列、计数原理 11、 复数及其运算 12、 程序框图13、 坐标系及参数方程 14、 不等式选讲2011—2017年新课标高考全国Ⅰ卷理科数学分类汇编1．集合与常用逻辑用语（含解析）一、选择题【2017，1】已知集合{}1A x x =<，{}31xB x =<，则（ ）A ．{|0}AB x x =< B ．A B =RC ．{|1}A B x x =>D ．A B =∅【2016，1】设集合}034{2<+-=x x x A ，}032{>-=x x B ，则A B =I （ ）A ．)23,3(--B ．)23,3(-C ．)23,1(D ．)3,23(【2015，3】设命题p ：n ∃∈N ，22n n >，则p ⌝为（ ）A ．n ∀∈N ，22n n >B ．n ∃∈N ，22n n ≤C ．n ∀∈N ，22n n ≤D ．n ∃∈N ，22n n = 【2014，1】已知集合A={x |2230x x --≥}，B={}22x x -≤<，则A B ⋂=( )A ．[-2,-1]B ．[-1,2）C ．[-1,1]D ．[1,2）【2013，1】已知集合A ＝{x |x 2－2x ＞0}，B ＝{x |x ，则( )A ．A ∩B ＝B ．A ∪B ＝RC ．B ⊆AD ．A ⊆B【2012，1】已知集合A={1，2，3，4，5}，B={（x ，y ）|x A ∈，y A ∈，x y A -∈}，则B 中包含元素的个数为（ ） A ．3 B ．6 C ．8 D ．101．集合与常用逻辑用语（解析版）一、选择题【2017，1】已知集合{}1A x x =<，{}31xB x =<，则（ ）A ．{|0}AB x x =< B ．A B =RC ．{|1}A B x x =>D ．A B =∅【解析】{}1A x x =<，{}{}310xB x x x =<=<，∴{}0A B x x =<，{}1A B x x =<，故选A【2016，1】设集合}034{2<+-=x x x A ，}032{>-=x x B ，则A B =I （ ）A ．)23,3(--B ．)23,3(-C ．)23,1(D ．)3,23(【解析】{}13A x x =<<，{}32302B x x x x ⎧⎫=->=>⎨⎬⎩⎭．故332A B x x ⎧⎫=<<⎨⎬⎩⎭I ．故选D ． 【2015，3】设命题p ：n ∃∈N ，22nn >，则p ⌝为（ ）A ．n ∀∈N ，22n n >B ．n ∃∈N ，22n n ≤C ．n ∀∈N ，22n n ≤D ．n ∃∈N ，22n n = 解析：命题p 含有存在性量词（特称命题），是真命题（如3n =时），则其否定（p ⌝）含有全称量词（全称命题），是假命题，故选C ．.【2014，1】已知集合A={x |2230x x --≥}，B={}22x x -≤<，则A B ⋂=( )A .[-2,-1]B .[-1,2）C .[-1,1]D .[1,2）【解析】∵{|13}A x x x =≤-≥或，B={}22x x -≤<，∴A B ⋂={}21x x -≤≤，选A.【2013，1】已知集合A ＝{x |x 2－2x ＞0}，B ＝{x |x ，则( )A ．A ∩B ＝B ．A ∪B ＝RC ．B ⊆AD ．A ⊆B解析：∵x (x －2)＞0，∴x ＜0或x ＞2，∴集合A 与B 可用图象表示为：由图象可以看出A ∪B ＝R ，故选B.【2012，1】已知集合A={1，2，3，4，5}，B={（x ，y ）|x A ∈，y A ∈，x y A -∈}，则B 中包含元素的个数为（ ）A ．3B ．6C ．8D ．10 【解析】由集合B 可知，x y >，因此B={（2，1），（3，2），（4，3），（5，4），（3，1），（4，2），（5，3），（4，1），（5，2），（5，1）}，B 的元素10个，所以选择D ．2．函数及其性质（含解析）一、选择题【2017，5】函数()f x 在(,)-∞+∞单调递减，且为奇函数．若(11)f =-，则满足21()1x f --≤≤的x 的取值范围是（ ）A ．[2,2]-B ． [1,1]-C ． [0,4]D ． [1,3]【2017，11】设,,x y z 为正数，且235x y z ==，则（ ）A ．2x <3y <5zB ．5z <2x <3yC ．3y <5z <2xD ．3y <2x <5z 【2016，7】函数xe x y -=22在]2,2[-的图像大致为（ ）A ．B ．C ．D ．【2016，8】若1>>b a ，10<<c ，则（ ）A ．c c b a <B ．c c ba ab <C ．c b c a a b log log <D ．c c b a log log <【2014，3】设函数()f x ，()g x 的定义域都为R ，且()f x 是奇函数，()g x 是偶函数，则下列结论正确的是（ ）A ．()f x ()g x 是偶函数B ．|()f x |()g x 是奇函数C ．()f x |()g x |是奇函数D ．|()f x ()g x |是奇函数【2013，11】已知函数f (x )＝220ln(1)0.x x x x x ⎧-+≤⎨+>⎩，，，若|f (x )|≥ax ，则a 的取值范围是( )A ．(－∞，0]B ．(－∞，1]C ．[－2,1]D ．[－2,0] 【2012，10】已知函数1()f x =，则()y f x =的图像大致为（ ）A ．B ．D ．【2011，12】函数11y x =-的图像与函数2sin (24)y x x π=-≤≤的图像所有交点的横坐标之和等于（ ）A ．2 B ．4 C ．6 D ．8【2011，2】下列函数中，既是偶函数又在+∞（0，）单调递增的函数是（ ）A ．3y x =B ．1y x =+C ．21y x =-+D ．2xy -=二、填空题【2015，13】若函数f (x )=x ln （x a =2．函数与导数（解析版）一、选择题【2017，5】函数()f x 在(,)-∞+∞单调递减，且为奇函数．若(11)f =-，则满足21()1x f --≤≤的x 的取值范围是（ ）A ．[2,2]-B ． [1,1]-C ． [0,4]D ． [1,3]【解析】因为()f x 为奇函数，所以()()111f f -=-=，于是()121f x --≤≤，等价于()()()121f f x f --≤≤，又()f x 在()-∞+∞，单调递减，121x ∴--≤≤，3x ∴1≤≤，故选D ． 【2017，11】设,,x y z 为正数，且235x y z ==，则（ ）A ．2x <3y <5zB ．5z <2x <3yC ．3y <5z <2xD ．3y <2x <5z【解析】取对数：ln 2ln3ln5x y ==．ln 33ln 22x y =>，∴23x y >，ln 2ln 5x z =，则ln55ln 22x z =<，∴25x z <∴325y x z <<，故选D ．【法二】取对数：5ln 3ln 2ln z y x ==，y x y x y x 3212ln 3ln 2ln 33ln 2323ln 2ln 32>⇒>==⇒=， z x z x z x 5212ln 5ln 2ln 55ln 2525ln 2ln 52<⇒<==⇒=，z x y 523<<∴，故选D ； 【2016，7】函数xe x y -=22在]2,2[-的图像大致为（ ）【解析】()22288 2.80f e =->->，排除A ；()22288 2.71f e =-<-<，排除B ；0x >时，()22xf x x e =-，()4x f x x e '=-，当10,4x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()01404f x e '<⨯-= 因此()f x 在10,4⎛⎫⎪⎝⎭单调递减，排除C ；故选D ．【2016，8】若1>>b a ，10<<c ，则（ ）A ．c c b a <B ．c c ba ab <C ．c b c a a b log log <D ．c c b a log log <【解析】由于01c <<，∴函数c y x =在R 上单调递增，因此1c c a b a b >>⇔>，A 错误；由于110c -<-<，∴函数1c y x -=在()1,+∞上单调递减，∴111c c c c a b a b ba ab -->>⇔<⇔<，B 错误； 要比较log b a c 和log a b c ，只需比较ln ln a c b和ln ln b c a ，只需比较ln ln c b b 和ln ln ca a ，只需lnb b 和ln a a ， 构造函数()()ln 1f x x x x =>，则()'ln 110f x x =+>>，()f x 在()1,+∞上单调递增，因此()()110ln ln 0ln ln f a f b a a b b a a b b >>⇔>>⇔<，又由01c <<得ln 0c <， ∴ln ln log log ln ln a b c cb c a c a a b b<⇔<，C 正确； 要比较l o g a c 和log b c ，只需比较ln ln c a 和ln ln cb ，而函数ln y x =在()1,+∞上单调递增，故111ln ln 0ln ln a b a b a b >>⇔>>⇔<，又由01c <<得ln 0c <，∴ln ln log log ln ln a b c c c c a b>⇔>，D 错误；故选C ．【2014，3】设函数()f x ，()g x 的定义域都为R ，且()f x 是奇函数，()g x 是偶函数，则下列结论正确的是（ ）A .()f x ()g x 是偶函数B .|()f x |()g x 是奇函数C .()f x |()g x |是奇函数D .|()f x ()g x |是奇函数【解析】设()()()F x f x g x =，则()()()F x f x g x -=--，∵()f x 是奇函数，()g x 是偶函数，∴()()()()F x f x g x F x -=-=-，()F x 为奇函数，选C.【2013，11】已知函数f (x )＝220ln(1)0.x x x x x ⎧-+≤⎨+>⎩，，，若|f (x )|≥ax ，则a 的取值范围是( )．A ．(－∞，0]B ．(－∞，1]C ．[－2,1]D ．[－2,0] 解析：选D ，由y ＝|f (x )|的图象知：①当x ＞0时，y ＝ax 只有a ≤0时，才能满足|f (x )|≥ax ，可排除B ，C. ②当x ≤0时，y ＝|f (x )|＝|－x 2＋2x |＝x 2－2x . 故由|f (x )|≥ax 得x 2－2x ≥ax . 当x ＝0时，不等式为0≥0成立．当x ＜0时，不等式等价于x －2≤a ，∵x －2＜－2，∴a ≥－2. 综上可知：a ∈[－2,0]．【2012，10】已知函数1()ln(1)f xx x=+-，则()y f x=的图像大致为（）【解析】()y f x=的定义域为{|1x x>-且0}x≠，排除D；因为221(1)1'()[ln(1)](1)[ln(1)]xxf xx x x x x--+==+-++-，所以当(1,0)x∈-时，'()0f x<，()y f x=在（－1，0）上是减函数；当(0,)x∈+∞时，'()0f x>，()y f x=在(0,)+∞上是增函数．排除A、C，故选择B．【2011】(12)函数11yx=-的图像与函数2sin(24)y x xπ=-≤≤的图像所有交点的横坐标之和等于A．2 B．4 C．6 D．8解析：图像法求解．11yx=-的对称中心是（1,0）也是2sin(24)y x xπ=-≤≤的中心，24x-≤≤他们的图像在x=1的左侧有4个交点，则x=1右侧必有4个交点．不妨把他们的横坐标由小到大设为1,2345678,,,,,,x x x x x x x x，则182736452x x x x x x x x+=+=+=+=，所以选D【2011，2】下列函数中，既是偶函数又在+∞（0，）单调递增的函数是（）A．3y x=(B) 1y x=+C．21y x=-+(D) 2xy-=解析：由图像知选B二、填空题【2015，13】若函数f(x)=x ln（x a=解析：由函数f(x)=x ln（x()ln(g x x=为奇函数（(0)0g==）；由ln(ln(0x x++-+=（()()0g x g x+-=），得ln0a=，1a=，故填1.A．B．D．3．导数及其应用（含解析）一、选择题【2014，11】已知函数()f x =3231ax x -+，若()f x 存在唯一的零点0x ，且0x ＞0，则a 的取值范围为A ．（2，+∞） B ．（-∞，-2） C ．（1，+∞） D ．（-∞，-1） 【2012，12】设点P 在曲线12xy e =上，点Q 在曲线ln(2)y x =上，则||PQ 的最小值为（ ）A ．1ln 2-B ln 2)-C ．1ln 2+D ln 2)+【2011，9】由曲线y 2y x =-及y 轴所围成的图形的面积为（ ）A ．103 B ．4 C ．163D ．6 二、填空题【2017，16】如图，圆形纸片的圆心为O ，半径为5 cm ，该纸片上的等边三角形ABC 的中心为O ．D 、E 、F 为圆O 上的点，△DBC ，△ECA ，△F AB 分别是以BC ，CA ，AB 为底边的等腰三角形．沿虚线剪开后，分别以BC ， CA ，AB 为折痕折起△DBC ，△ECA ，△F AB ，使得D ，E ，F 重合，得到三棱锥．当△ABC ．的边长变化时，所得三棱锥体积（单位：cm 3）的最大值为_______．【2013，16】若函数f (x )＝(1－x 2)(x 2＋ax ＋b )的图像关于直线x ＝－2对称，则f (x )的最大值为__________． 三、解答题【2017，12】已知函数()()22xx f x aea e x =+--．（1）讨论()f x 的单调性；（2）若()f x 有两个零点，求a 的取值范围．【2016，12】已知函数2)1()2()(-+-=x a e x x f x 有两个零点． （Ⅰ）求a 的取值范围；（Ⅱ）设21,x x 是)(x f 的两个零点，证明：221<+x x ．【2015，12】已知函数31()4f x x ax =++，()ln g x x =-． （Ⅰ）当a 为何值时，x 轴为曲线()y f x =的切线；（Ⅱ）用min{,}m n 表示,m n 中的最小值，设函数min{),()(}()h x f x g x =（0x >），讨论()h x 零点的个数．【2014，21】设函数1(0ln x xbe f x ae x x-=+，曲线()y f x =在点（1，(1)f 处的切线为(1)2y e x =-+． (Ⅰ)求,a b ； （Ⅱ）证明：()1f x >．【2013，21】设函数f (x )＝x 2＋ax ＋b ，g (x )＝e x (cx ＋d )．若曲线y ＝f (x )和曲线y ＝g (x )都过点P (0,2)，且在点P 处有相同的切线y ＝4x ＋2．(1)求a ，b ，c ，d 的值；(2)若x ≥－2时，f (x )≤kg (x )，求k 的取值范围．【2012，21】已知函数)(x f 满足2121)0()1(')(x x f e f x f x +-=-． （1）求)(x f 的解析式及单调区间；（2）若b ax x x f ++≥221)(，求b a )1(+的最大值．【2011，21】已知函数ln ()1a x bf x x x=++，曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程为230x y +-=． （Ⅰ）求a 、b 的值；（Ⅱ）如果当0x >，且1x ≠时，ln ()1x kf x x x>+-，求k 的取值范围．2．导数及其应用（解析版）一、选择题【2015，12】设函数()f x =(21)x e x ax a --+,其中1a <，若存在唯一的整数0x ，使得0()0f x <，则a 的取值范围是（ ）A ．3,12e ⎡⎫-⎪⎢⎣⎭ B ． 33,2e 4⎡⎫-⎪⎢⎣⎭ C ． 33,2e 4⎡⎫⎪⎢⎣⎭ D ． 3,12e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭解析：设()g x =(21)x e x -，y ax a =-，由题知存在唯一的整数0x ，使得0()g x 在直线y ax a =-的下方.因为()(21)x g x e x '=+，所以当12x <-时，()g x '＜0，当12x >-时，()g x '＞0，所以当12x =-时，min [()]g x =122e --，当0x =时，(0)1g =-，(1)30g e =>，直线y ax a =-恒过（1,0）斜率且a ，故(0)1a g ->=-，且1(1)3g e a a --=-≥--，解得32e≤a ＜1，故选D ．. 作为选择题，该题也可先找到满足0()0f x <的整数0x ，由0x 的唯一性列不等式组求解.由(0)10f a =-+<得00x =.又0x 是唯一使()0f x <的整数，所以(1)0(1)0f f -≥⎧⎨≥⎩，解得32a e ≥，又1a <，且34a =时符合题意.故选D ．. 【2014，11】已知函数()f x =3231ax x -+，若()f x 存在唯一的零点0x ，且0x ＞0，则a 的取值范围为A .（2，+∞）B .（-∞，-2）C .（1，+∞）D .（-∞，-1）【解析1】：由已知0a ≠，2()36f x ax x '=-，令()0f x '=，得0x =或2x a=， 当0a >时，()22,0,()0;0,,()0;,,()0x f x x f x x f x a a ⎛⎫⎛⎫'''∈-∞>∈<∈+∞> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭； 且(0)10f =>，()f x 有小于零的零点，不符合题意．当0a <时，()22,,()0;,0,()0;0,,()0x f x x f x x f x a a ⎛⎫⎛⎫'''∈-∞<∈>∈+∞< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭要使()f x 有唯一的零点0x 且0x ＞0，只需2()0f a>，即24a >，2a <-．选B 【解析2】：由已知0a ≠，()f x =3231ax x -+有唯一的正零点，等价于3113a x x =- 有唯一的正零根，令1t x=，则问题又等价于33a t t =-+有唯一的正零根，即y a =与33y t t =-+有唯一的交点且交点在在y 轴右侧记3()3f t t t =-+，2()33f t t '=-+，由()0f t '=，1t =±，()(),1,()0;1,1,()0;t f t t f t ''∈-∞-<∈->，()1,,()0t f t '∈+∞<，要使33a t t =-+有唯一的正零根，只需(1)2a f <-=-，选B【2012，10】已知函数1()ln(1)f x x x=+-，则()y f x =的图像大致为（ ）【解析】()y f x =的定义域为{|1x x >-且0}x ≠，排除D ；因为221(1)1'()[ln(1)](1)[ln(1)]x x f x x x x x x --+==+-++-，所以当(1,0)x ∈-时，'()0f x <，()y f x =在（－1，0）上是减函数；当(0,)x ∈+∞时，'()0f x >，()y f x =在(0,)+∞上是增函数．排除A 、C ，故选择B ． 【2012，12】设点P 在曲线12xy e =上，点Q 在曲线ln(2)y x =上，则||PQ 的最小值为（ ） A ．1ln 2-B ln 2)-C ．1ln 2+D ln 2)+【解析】函数12xy e =与函数ln(2)y x =互为反函数，图象关于直线y x =对称． 问题转化为求曲线12xy e =上点P 到直线y x =的距离的最小值d ，则||PQ 的最小值为2d ．（用切线法）：设直线y x b =+与曲线12x y e =相切于点1(,)2t P t e ， 因为1'2x y e =，所以根据导数的几何意义，得112te =，ln 2t =，所以切点(ln 2,1)P ，从而1ln 2b =-，所以1ln 2y x =+- 因此曲线12xy e =上点P 到直线y x =的距离的最小值d 为直线 1ln 2y x =+-与直线y x =的距离，从而d =，所以min ||2ln2)PQ d =-，故选择B ． 【2011，9】由曲线y 2y x =-及y 轴所围成的图形的面积为（ ）A ．B ．D ．A ．103 B ．4 C ．163D ．6解析：用定积分求解432420021162)(2)|323s x dx x x x =+=-+=⎰，选C二、填空题【2017，16】如图，圆形纸片的圆心为O ，半径为5 cm ，该纸片上的等边三角形ABC 的中心为O ．D 、E 、F 为圆O 上的点，△DBC ，△ECA ，△F AB 分别是以BC ，CA ，AB 为底边的等腰三角形．沿虚线剪开后，分别以BC ， CA ，AB 为折痕折起△DBC ，△ECA ，△F AB ，使得D ，E ，F 重合，得到三棱锥．当△ABC 的边长变化时，所得三棱锥体积（单位：cm 3）的最大值为_______．【解析】由题，连接OD ，交BC 与点G ，由题，OD BC ⊥，OG =， 即OG 的长度与BC 的长度或成正比，设OG x =，则BC =，5DG x =-，三棱锥的高h =2132ABC S x =⋅=△，则213ABC V S h =⋅△令()452510f x x x =-，5(0,)2x ∈，()3410050f x x x '=-，令()0f x '>，即4320x x -<，2x <，则()()280f x f =≤，则45V =，∴体积最大值为3． 【2013，16】若函数f (x )＝(1－x 2)(x 2＋ax ＋b )的图像关于直线x ＝－2对称，则f (x )的最大值为__________． 解析：∵函数f (x )的图像关于直线x ＝－2对称，∴f (x )满足f (0)＝f (－4)，f (－1)＝f (－3)，即15164,0893,b a b a b =-(-+)⎧⎨=-(-+)⎩解得8,15.a b =⎧⎨=⎩∴f (x )＝－x 4－8x 3－14x 2＋8x ＋15. 由f ′(x )＝－4x 3－24x 2－28x ＋8＝0，得x 1＝－2x 2＝－2，x 3＝－2易知，f (x )在(－∞，－2上为增函数，在(－22)上为减函数，在(－2，－2上为增函数，在(－2∞)上为减函数．∴f (－2－＝[1－(－2－2][(－22＋8(－2＋15]＝(－8－－＝80－64＝16.f (－2)＝[1－(－2)2][(－2)2＋8×(－2)＋15]＝－3(4－16＋15)＝－9.f (－2＝[1－(－22][(－22＋8(－2＋15] ＝(－8＋＋＝80－64＝16. 故f (x )的最大值为16.三、解答题【2017，12】已知函数()()22xx f x aea e x =+--．（1）讨论()f x 的单调性；（2）若()f x 有两个零点，求a 的取值范围．【解析】（1）由于()()2e 2e x x f x a a x =+--，故()()()()22e 2e 1e 12e 1x x x xf x a a a '=+--=-+，①当0a ≤时，e 10x a -<，2e 10x +>．从而()0f x '<恒成立．()f x 在R 上单调递减； ②当0a >时，令()0f x '=，从而e 10x a -=，得ln x a =-．综上，当0a ≤ 当0a >时，()f x 在(,ln )a -∞-上单调递减，在(ln ,)a -+∞上单调递增（2）由（1）知，当0a ≤时，()f x 在R 上单调减，故()f x 在R 上至多一个零点，不满足条件． 当0a >时，()min 1ln 1ln f f a a a =-=-+．令()11ln g a a a=-+． 令()()11ln 0g a a a a =-+>，则()211'0g a a a=+>．从而()g a 在()0+∞，上单调增，而()10g =．故当01a <<时，()0g a <．当1a =时()0g a =．当1a >时()0g a >， 若1a >，则()min 11ln 0f a g a a=-+=>，故()0f x >恒成立，从而()f x 无零点，不满足条件． 若1a =，则min 11ln 0f a a=-+=，故()0f x =仅有一个实根ln 0x a =-=，不满足条件． 若01a <<，则min 11ln 0f a a =-+<，注意到ln 0a ->．()22110e e ea a f -=++->． 故()f x 在()1ln a --，上有一个实根，而又31ln 1ln ln a a a ⎛⎫->=- ⎪⎝⎭．且33ln 1ln 133ln(1)e e2ln 1a a f a a a a ⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=⋅+--- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭()3333132ln 11ln 10a a a a a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-⋅-+---=---> ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭． 故()f x 在3ln ln 1a a ⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，上有一个实根． 又()f x 在()ln a -∞-，上单调减，在()ln a -+∞，单调增，故()f x 在R 上至多两个实根．又()f x 在()1ln a --，及3ln ln 1a a ⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，上均至少有一个实数根，故()f x 在R 上恰有两个实根．综上，01a <<．【法二】令()0f x =，则22x x xe x a e e +=+．再令0xt e =>，则22ln t t a t t +=+， 而()f x 有两个零点，则22ln t t a t t +=+有两解，即直线y a =与曲线22ln t t y t t+=+有两个交点； 令()22ln (0)t t g t t t t +=>+，则()()()()()2222211ln 2ln t t t t t g t t t t t +--+'==++， 令()1ln h t t t =--，则()110h t t'=--<，注意到()10h =，所以()g t 在()0,1上单调递增，在()1,+∞上单调递减，即()()max 11g t g ==；而0lim (),lim ()0t t g t g t →→+∞→-∞→，所以当()0,1t ∈时，()(),1g t ∈-∞；当()0,1t ∈时，()()0,1g t ∈， 所以，当22ln t ta t t+=+有两解时，a 的取值范围为()0,1．【2016，12】已知函数2)1()2()(-+-=x a e x x f x有两个零点．（Ⅰ）求a 的取值范围；（Ⅱ）设21,x x 是)(x f 的两个零点，证明：221<+x x ．【解析】：⑴ 由已知得：()()()()()'12112x x f x x e a x x e a =-+-=-+① 若0a =，那么()()0202x f x x e x =⇔-=⇔=，()f x 只有唯一的零点2x =，不合题意； ② 若0a >，那么20x x e a e +>>，所以当1x >时，()'0f x >，()f x 单调递增;当1x <时，()'0f x <，()f x 单调递减; 即：由于()20f a =>，()10f e =-<，则()()210f f <， 根据零点存在性定理，()f x 在()1,2上有且仅有一个零点． 而当1x <时，x e e <，210x -<-<，故()()()()()()()222212111x f x x e a x e x a x a x e x e =-+->-+-=-+--则()0f x =的两根11t +，21t =+， 12t t <，因为0a >，故当1x t <或2x t >时，()()2110a x e x e -+--> 因此，当1x <且1x t <时，()0f x >又()10f e =-<，根据零点存在性定理，()f x 在(),1-∞有且只有一个零点． 此时，()f x 在R 上有且只有两个零点，满足题意．③ 若02ea -<<，则()ln 2ln 1a e -<=，当()ln 2x a <-时，()1ln 210x a -<--<，()ln 2220a x e a e a -+<+=，即()()()'120x f x x e a =-+>，()f x 单调递增；当()ln 21a x -<<时，10x -<，()ln 2220ax e a e a -+>+=，即()()()'120x f x x e a =-+<，()f x 单调递减；当1x >时，10x ->，()ln 2220a x e a e a -+>+=，即()'0f x >，()f x 单调递增．即：()()()(){}22ln 22ln 22ln 21ln 2210f a a a a a a a -=---+--=--+<⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦故当1x ≤时，()f x 在()ln 2x a =-处取到最大值()ln 2f a -⎡⎤⎣⎦，那么()()ln 20f x f a -<⎡⎤⎣⎦≤恒成立，即()0f x =无解而当1x >时，()f x 单调递增，至多一个零点 此时()f x 在R 上至多一个零点，不合题意．④ 若2ea =-，那么()ln 21a -=当()1ln 2x a <=-时，10x -<，()ln 2220a x e a ea -+<+=，即()'0f x >，()f x 单调递增 当()1ln 2x a >=-时，10x ->，()ln 2220a x e a ea -+>+=，即()'0f x >，()f x 单调递增又()f x 在1x =处有意义，故()f x 在R 上单调递增，此时至多一个零点，不合题意．⑤ 若2ea <-，则()ln 21a ->当1x <时，10x -<，()ln 212220a x e a e a ea -+<+<+=，即()'0f x >，()f x 单调递增当()1ln 2x a <<-时，10x ->，()ln 2220a x e a ea -+<+=，即()'0f x <，()f x 单调递减当()ln 2x a >-时，()1ln 210x a ->-->，()ln 2220a x e a ea -+>+=，即()'0f x >，()f x 单调递增 即：0e -<恒成立，即()0f x =无解当()ln 2x a >-时，()f x 单调递增，至多一个零点,此时()f x 在R 上至多一个零点，不合题意． 综上所述，当且仅当0a >时符合题意，即a 的取值范围为()0,+∞． ⑵ 由已知得：()()120f x f x ==，不难发现11x ≠，21x ≠，故可整理得：()()()()121222122211x x x e x e a x x ---==--,()()()221xx e g x x -=-，则()()12g x g x = ()()()2321'1x x g x e x -+=-，当1x <时，()'0g x <，()g x 单调递减；当1x >时，()'0g x >，()g x 单调递增．设0m >，构造代数式： ()()111222*********m m m m m m m m g m g m e e e e m m m m +-----+-⎛⎫+--=-=+ ⎪+⎝⎭设()2111m m h m e m -=++，0m >,则()()2222'01m m h m e m =>+，故()h m 单调递增，有()()00h m h >=． 因此，对于任意的0m >，()()11g m g m +>-．由()()12g x g x =可知1x 、2x 不可能在()g x 的同一个单调区间上，不妨设12x x <，则必有121x x << 令110m x =->，则有()()()()()1111211112g x g x g x g x g x +->--⇔->=⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦ 而121x ->，21x >，()g x 在()1,+∞上单调递增，因此：()()121222g x g x x x ->⇔-> 整理得：122x x +<．【2015，12】已知函数31()4f x x ax =++，()ln g x x =-. （Ⅰ）当a 为何值时，x 轴为曲线()y f x =的切线；（Ⅱ）用min{,}m n 表示,m n 中的最小值，设函数min{),()(}()h x f x g x =（0x >），讨论()h x 零点的个数.解：（Ⅰ）2()3f x x a '=+，若x 轴为曲线()y f x =的切线，则切点0(,0)x 满足00()0,()0f x f x '==，也就是2030x a +=且300104x ax ++=，解得012x =，34a =-，因此，当34a =-时，x 轴为曲线()y f x =的切线；（Ⅱ）当1x >时，()ln 0g x x =-<，函数()()()(min{}),h x f x g x g x ≤=没有零点； 当1x =时，若54a ≥-，则5(1)04f a =+≥，min{,(1)(1)(1)}(1)0h fg g ===，故1x =是()h x 的零点；当01x <<时，()ln 0g x x =->，以下讨论()y f x =在区间(0,1)上的零点的个数. 对于2()3f x x a '=+，因为2033x <<，所以令()0f x '=可得23a x =-，那么（i ）当3a ≤-或0a ≥时，()f x '没有零点（()0f x '<或()0f x '>），()y f x =在区间(0,1)上是单调函数，且15(0),(1)44f f a ==+，所以当3a ≤-时，()y f x =在区间(0,1)上有一个零点；当0a ≥时，()y f x =在区间(0,1)上没有零点；（ii ）当30a -<<时，()0f x '<（0x <<且()0f x '>1x <），所以x =最小值点，且14f =.显然，若0f >，即304a -<<时，()y f x =在区间(0,1)上没有零点；若0f =，即34a =-时，()y f x =在区间(0,1)上有1个零点；若0f <，即334a-<<-时，因为15(0),(1)44f f a ==+，所以若5344a -<<-，()y f x =在区间(0,1)上有2个零点；若534a -<≤-，()y f x =在区间(0,1)上有1个零点. 综上，当34a >-或54a <-时，()h x 有1个零点；当34a =-或54a =-时，()h x 有2个零点；当5344a -<<-时，()h x 有3个零点. 【2014，21】设函数1(0ln x xbe f x ae x x-=+，曲线()y f x =在点（1，(1)f 处的切线为(1)2y e x =-+.(Ⅰ)求,a b ； （Ⅱ）证明：()1f x >.【解析】(Ⅰ) 函数()f x 的定义域为()0,+∞，112()ln xx x x a b b f x ae x e e e x x x--'=+-+ 由题意可得(1)2,(1)f f e '==，故1,2a b == ……………6分（Ⅱ）由(Ⅰ)知，12()ln x xe f x e x x-=+，从而()1f x >等价于2ln xx x xe e ->-设函数()ln g x x x =，则()l n g x x x'=+，所以当10,x e ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0g x '<，当1,x e ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭时，()0g x '>，故()g x 在10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递减，在1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭单调递增，从而()g x 在()0,+∞的最小值为11()g e e =-. 设函数2()xh x xe e-=-，则()()1xh x e x -'=-，所以当()0,1x ∈时，()0h x '>，当()1,x ∈+∞时，()0h x '<，故()h x 在()0,1单调递增，在()1,+∞单调递减，从而()h x ()g x 在()0,+∞的最小值1(1)h e=-. 综上：当0x >时，()()g x h x >，即()1f x >. ……………12分【2013，理21】设函数f (x )＝x 2＋ax ＋b ，g (x )＝e x (cx ＋d )．若曲线y ＝f (x )和曲线y ＝g (x )都过点P (0,2)，且在点P 处有相同的切线y ＝4x ＋2.(1)求a ，b ，c ，d 的值；(2)若x ≥－2时，f (x )≤kg (x )，求k 的取值范围． 解：(1)由已知得f (0)＝2，g (0)＝2，f ′(0)＝4，g ′(0)＝4.而f ′(x )＝2x ＋a ，g ′(x )＝e x (cx ＋d ＋c )，故b ＝2，d ＝2，a ＝4，d ＋c ＝4. 从而a ＝4，b ＝2，c ＝2，d ＝2.(2)由(1)知，f (x )＝x 2＋4x ＋2，g (x )＝2e x (x ＋1)．设函数F (x )＝kg (x )－f (x )＝2k e x (x ＋1)－x 2－4x －2，则F ′(x )＝2k e x (x ＋2)－2x －4＝2(x ＋2)(k e x －1)． 由题设可得F (0)≥0，即k ≥1. 令F ′(x )＝0得x 1＝－ln k ，x 2＝－2.①若1≤k ＜e 2，则－2＜x 1≤0.从而当x ∈(－2，x 1)时，F ′(x )＜0；当x ∈(x 1，＋∞)时，F ′(x )＞0.即F (x )在(－2，x 1)单调递减，在(x 1，＋∞)单调递增．故F (x )在[－2，＋∞)的最小值为F (x 1)．而F (x 1)＝2x 1＋2－21x －4x 1－2＝－x 1(x 1＋2)≥0. 故当x ≥－2时，F (x )≥0，即f (x )≤kg (x )恒成立． ②若k ＝e 2，则F ′(x )＝2e 2(x ＋2)(e x －e －2)．从而当x ＞－2时，F ′(x )＞0，即F (x )在(－2，＋∞)单调递增． 而F (－2)＝0，故当x ≥－2时，F (x )≥0，即f (x )≤kg (x )恒成立． ③若k ＞e 2，则F (－2)＝－2k e －2＋2＝－2e －2(k －e 2)＜0. 从而当x ≥－2时，f (x )≤kg (x )不可能恒成立． 综上，k 的取值范围是[1，e 2]． 【2012】21．（本小题满分12分）已知函数)(x f 满足2121)0()1(')(x x f e f x f x +-=-． （1）求)(x f 的解析式及单调区间；（2）若b ax x x f ++≥221)(，求b a )1(+的最大值．【解析】（1）因为2121)0()1(')(x x f e f x f x +-=-，所以1'()'(1)(0)x f x f e f x -=-+，所以1(0)'(1)'(1)'(1)(0)1f f ef f f ⎧=⋅⎪⎨⎪=-+⎩，解得(0)1f =，'(1)f e =． 所以)(x f 的解析式为21()2xf x e x x =-+，由此得'()1x f x e x =-+． 而'()1xf x e x =-+是R 上的增函数，且'(0)0f =，因此，当(0,)x ∈+∞时，'()'(0)0f x f >=，)(x f 在(0,)+∞上是增函数； 当(,0)x ∈-∞时，'()'(0)0f x f <=，)(x f 在(,0)-∞上是减函数． 综上所述，函数)(x f 的增区间为(0,)+∞，减区间为(,0)-∞．（2）由已知条件得(1)x e a x b -+≥． ①（i ）若10a +<，则对任意常数b ，当0x <，且11bx a -<+， 可得(1)x e a x b -+<，因此①式不成立． （ii ）若10a +=，则(1)0a b +=．（iii ）若10a +>，设()(1)x g x e a x =-+，则'()(1)x g x e a =-+．当(,ln(1))x a ∈-∞+，'()0g x <；当(ln(1),)x a ∈++∞，'()0g x > 从而()g x 在(,ln(1))a -∞+单调递减，在(ln(1),)a ++∞单调递增． 所以b ax x x f ++≥221)(等价于1(1)ln(1)b a a a ≤+-++． ② 因此22(1)(1)(1)ln(1)a b a a a +≤+-++．设22()(1)(1)ln(1)h a a a a =+-++，则'()(1)(12ln(1))h a a a =+-+． 所以()h a 在12(1,1)e --单调递增，在12(1,)e -+∞单调递减， 故()h a 在121a e =-在处取得最大值，从而()2e h a ≤，即(1)2e a b +≤． 当121a e =-，122e b =时，②式成立，故b ax x x f ++≥221)(．综合得，b a )1(+的最大值为2e．【2011，21】已知函数ln ()1a x bf x x x=++，曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程为230x y +-=． （Ⅰ）求a 、b 的值；（Ⅱ）如果当0x >，且1x ≠时，ln ()1x kf x x x>+-，求k 的取值范围． （21）解：（I ）()()221ln 1x a x b x f x x x +⎛⎫- ⎪⎝⎭'=-+ 由于直线230x y +-=的斜率为12-，且过点()1,1，故()()11112f f =⎧⎪⎨'=-⎪⎩，即1122b ab =⎧⎪⎨-=-⎪⎩，解得1a =，1b =.（II ）由（I ）知()ln 11x f x x x =++，所以()()()2211ln 12ln 11k x x k f x x x x x x ⎛⎫--⎛⎫ ⎪-+=+ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭考虑函数()()()()2112ln 0k x h x x x x--=+>，则()()()22112k x xh x x -++'=（i ）设0k ≤，由()()()22211k x x h x x+--'=知，当1x ≠时，()0h x '<. 而()10h =，故当()0,1x ∈时，()0h x <，可得()2101h x x >-； 当()1,x ∈+∞时，()0h x <，可得()2101h x x >- 从而当0x >，且1x ≠时，()ln 01x k f x x x ⎛⎫-+> ⎪-⎝⎭，即()ln 1x k f x x x ⎛⎫>+ ⎪-⎝⎭.（ii ）设01k <<，由于当11,1x k ⎛⎫∈ ⎪-⎝⎭时，()()21120k x x -++>，故()0h x '>，而()10h =，故当11,1x k ⎛⎫∈ ⎪-⎝⎭时，()0h x >，可得()2101h x x <-，与题设矛盾. （iii ）设1k ≥，此时()0h x '>，而()10h =，故当()1,x ∈+∞时，()0h x >，得()2101h x x <-，与题设矛盾.综合得，k 的取值范围为(],0-∞.4．三角函数、解三角形一、选择题【2017，9】已知曲线C 1：y =cos x ，C 2：y =sin (2x +2π3)，则下面结正确的是（ ） A ．把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线C 2B ．把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到曲线C 2C ．把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线C 2D ．把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到曲线C 2【2016，12】已知函数)2,0)(sin()(πϕωϕω≤>+=x x f ，4π-=x 为)(x f 的零点，4π=x 为)(x f y =图像的对称轴，且)(x f 在)365,18(ππ单调，则ω的最大值为（ ）A ．11B ．9C ．7D ．5【2015，8】函数()f x =cos()x ωϕ+的部分图象如图所示，则()f x 的单调递减区间为（ ）A ．13(,),44k k k ππ-+∈Z B ．13(2,2),44k k k ππ-+∈Z C ．13(,),44k k k -+∈Z D ．13(2,2),44k k k -+∈Z【2015，2】sin 20cos10cos160sin10-=（ ）A ．BC ．12-D ．12【2014，6】如图，圆O 的半径为1，A 是圆上的定点，P 是圆上的动点，角x 的始边为射线OA ，终边为射线OP ，过点P 作直线OA 的垂线，垂足为M ，将点M 到直线OP 的距离表示为x 的函数()f x ，则y =()f x 在[0,π]上的图像大致为（ ）【2014，8】设(0,)2πα∈，(0,)2πβ∈，且1sin tan cos βαβ+=，则（ ） A ．32παβ-=B ．22παβ-=C ．32παβ+=D ．22παβ+=【2012，9】已知0ω>，函数()sin()4f x x πω=+在（2π，π）上单调递减，则ω的取值范围是（ ） A ．[12，54] B ．[12，34] C ．（0，12] D ．（0，2]【2011，5】已知角θ的顶点与原点重合，始边与x 轴的正半轴重合，终边在直线2y x =上，则cos 2θ=A ．45-B ．35-C ．35D ．45【2011，11】设函数()sin()cos()(0,)2f x x x πωϕωϕωϕ=+++><的最小正周期为π，且()()f x f x -=，则（ ）A ．()f x 在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭单调递减 B ．()f x 在3,44ππ⎛⎫⎪⎝⎭单调递减 C ．()f x 在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭单调递增 D ．()f x 在3,44ππ⎛⎫⎪⎝⎭单调递增 二、填空题【2015，16】在平面四边形ABCD 中，75A B C ∠=∠=∠=，2BC =，则AB 的取值范围是 ． 【2014，16】已知,,a b c 分别为ABC ∆的三个内角,,A B C 的对边，a =2，且(2)(sin sin )()sin b A B c b C +-=-，则ABC ∆面积的最大值为 ． 【2013，15】设当x ＝θ时，函数f (x )＝sin x －2cos x 取得最大值，则cos θ＝__________．【2011，16】在ABC V 中，60,B AC ==2AB BC +的最大值为 ． 三、解答题【2017，17】△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知△ABC 的面积为23sin a A（1）求sin B sin C ；（2）若6cos B cos C =1,a =3,求△ABC 的周长【2016，17】ABC ∆的内角C B A ,,的对边分别为c b a ,,，已知c A b B a C =+)cos cos (cos 2． （Ⅰ）求C ；（Ⅱ）若7=c ，ABC ∆的面积为233，求ABC ∆的周长．【2013，17】如图，在△ABC 中，∠ABC ＝90°，AB BC ＝1，P 为△ABC 内一点，∠BPC ＝90°．(1)若PB ＝12，求P A ；(2)若∠APB ＝150°，求tan ∠PBA ．【2012，17】已知a ，b ，c 分别为△ABC 三个内角A ，B ，C 的对边，cos sin 0a C C b c --=．（1）求A ；（2）若2a =，△ABC b ，c ．3．三角函数、解三角形（解析版）一、选择题【2017，9】已知曲线C 1：y =cos x ，C 2：y =sin (2x +2π3)，则下面结正确的是（ ） A ．把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线C 2B ．把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到曲线C 2C ．把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线C 2D ．把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到曲线C 2【解析】1:cos C y x =，22π:sin 23⎛⎫=+ ⎪⎝⎭C y x ，首先曲线1C 、2C 统一为一三角函数名，可将1:cos C y x =用诱导公式处理．πππcos cos sin 222⎛⎫⎛⎫==+-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭y x x x ．横坐标变换需将1=ω变成2=ω，即112πππsin sin 2sin 2224⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+→=+=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭C 上各坐短它原y x y x x 点横标缩来2ππsin 2sin 233⎛⎫⎛⎫−−→=+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭y x x ． 注意ω的系数，在右平移需将2=ω提到括号外面，这时π4+x 平移至π3+x ， 根据“左加右减”原则，“π4+x ”到“π3+x ”需加上π12，即再向左平移π12．故选D ； 【2016，12】已知函数)2,0)(sin()(πϕωϕω≤>+=x x f ，4π-=x 为)(x f 的零点，4π=x 为)(x f y =图像的对称轴，且)(x f 在)365,18(ππ单调，则ω的最大值为（ ）A ．11B ．9C ．7D ．5【解析】：由题意知：12π+π 4ππ+π+42k k ωϕωϕ⎧-=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩则21k ω=+，其中k ∈Z ，()f x 在π5π,1836⎛⎫⎪⎝⎭单调，5π,123618122T ππω∴-=≤≤，接下来用排除法：若π11,4ωϕ==-，此时π()sin 114f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，()f x 在π3π,1844⎛⎫ ⎪⎝⎭递增，在3π5π,4436⎛⎫ ⎪⎝⎭递减，不满足()f x 在π5π,1836⎛⎫⎪⎝⎭单调；若π9,4ωϕ==，此时π()sin 94f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，满足()f x 在π5π,1836⎛⎫⎪⎝⎭单调递减．故选B ．【2015，8】函数()f x =cos()x ωϕ+的部分图象如图所示，则()f x 的单调递减区间为（ ）A ．13(,),44k k k ππ-+∈Z B ．13(2,2),44k k k ππ-+∈ZC ．13(,),44k k k -+∈ZD ．13(2,2),44k k k -+∈Z解析：由五点作图知，1+4253+42πωϕπωϕ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，解得=ωπ，=4πϕ，所以()cos()4f x x ππ=+，令22,4k x k k πππππ<+<+∈Z ，解得124k -＜x ＜324k +，k ∈Z ，故单调减区间为（124k -，324k +），k ∈Z ，故选D ． 【2015，2】sin 20cos10cos160sin10-=（ ）A．2-B．2C ．12-D ．12解析：sin 20cos10cos160sin10sin 20cos10cos 20sin10sin30-=+=，选D ．. 【2014，6】如图，圆O 的半径为1，A 是圆上的定点，P 是圆上的动点，角x的始边为射线OA ，终边为射线OP ，过点P 作直线OA 的垂线，垂足为M ，将点M 到直线OP 的距离表示为x 的函数()f x ，则y =()f x 在[0,π]上的图像大致为（ ）【解析】：如图：过M 作MD ⊥OP 于Ｄ，则 PM=sin x ，OM=cos x ,在Rt OMP ∆中，MD=cos sin 1x x OM PM OP =cos sin x x =1sin 22x =，∴()f x 1sin 2(0)2x x π=≤≤，选B. 【2014，8】设(0,)2πα∈，(0,)2πβ∈，且1sin tan cos βαβ+=，则A .32παβ-=B .22παβ-=C .32παβ+=D .22παβ+=【解析】∵sin 1sin tan cos cos αβααβ+==，∴sin cos cos cos sin αβααβ=+ ()sin cos sin 2παβαα⎛⎫-==- ⎪⎝⎭，,02222ππππαβα-<-<<-<∴2παβα-=-，即22παβ-=，选B【2012，9】已知0ω>，函数()sin()4f x x πω=+在（2π，π）上单调递减，则ω的取值范围是（ ） A ．[12，54] B ．[12，34] C ．（0，12] D ．（0，2]【解析】因为0ω>，2x ππ<<，所以2444x ππππωωωπ⋅+<+<⋅+，因为函数()sin()4f x x πω=+在（2π，π）上单调递减，所以242342πππωππωπ⎧⋅+≥⎪⎪⎨⎪⋅+≤⎪⎩，解得1524ω≤≤，故选择A. 【2011，11】设函数()sin()cos()(0,)2f x x x πωϕωϕωϕ=+++><的最小正周期为π，且()()f x f x -=，则（ ） A ．()f x 在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭单调递减 B ．()f x 在3,44ππ⎛⎫⎪⎝⎭单调递减 C ．()f x 在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭单调递增 D ．()f x 在3,44ππ⎛⎫⎪⎝⎭单调递增 解析：())4f x x πωϕ=++，所以2ω=，又f(x)为偶函数，,424k k k z πππϕπϕπ∴+=+⇒=+∈，())2f x x x π∴=+=，选A.。

2011年—2017年新课标全国卷(1卷、2卷、3卷)理科数学试题分类汇编——12.解析几何

2011年—2017年新课标全国卷(1卷、2卷、3卷)理科数学试题分类汇编——12.解析几何

2011年—2017年新课标全国卷理科数学试题分类汇编12．解析几何一、选择题（2017·新课标Ⅰ，10）已知F 为抛物线C ：y 2=4x 的焦点，过F 作两条互相垂直的直线l 1，l 2，直线l 1与C交于A 、B 两点，直线l 2与C 交于D 、E 两点，则|AB |+|DE |的最小值为（ ）A ．16B ．14C ．12D ．10（2017·新课标Ⅱ，9）若双曲线C :22221x y a b-=（0a >，0b >）的一条渐近线被圆()2224x y -+=所截得的弦长为2，则C 的离心率为（ ）A ．2BC D（2017·新课标Ⅲ，5）已知双曲线C ：()2222:10,0x y C a b a b -=>>的一条渐近线方程为y x =，且与椭圆221123x y +=有公共焦点，则C 的方程为（ ）. A ．221810x y -= B ．22145x y -= C ．22154x y -= D ．22143x y -= （2017·新课标Ⅲ，10）已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左、右顶点分别为1A ，2A ，且以线段12A A 为直径的圆与直线20bx ay ab -+=相切，则C 的离心率为（ ）.A ．3B ．3C ．3D ．13（2016·新课标Ⅰ，5）已知方程132222=--+nm y n m x 表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，则n 的取值范围是（ ）（A ）)3,1(-（B ）)3,1(-（C ）)3,0(（D ）)3,0(（2016·新课标Ⅰ，10）以抛物线C 的顶点为圆心的圆交C 于B A ,两点，交C 的准线于E D ,两点，已知24=AB ,52=DE ，则C 的焦点到准线的距离为（A ）2（B ）4（C ）6（D ）8（2016·新课标Ⅱ，4）圆2228130x y x y +--+=的圆心到直线10ax y +-=的距离为1，则a =（ ）A ．43-B ．34-C D ．2（2016·新课标Ⅱ，11）已知F 1，F 2是双曲线E ：22221x y a b-=的左，右焦点，点M 在E 上，M F 1与x 轴垂直，211sin 3MF F ∠=，则E 的离心率为（ ）AB ．32CD ．2（2016·新课标Ⅲ，11）已知O 为坐标原点，F 是椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的左焦点，A ，B 分别为C的左，右顶点.P 为C 上一点，且PF ⊥x 轴.过点A 的直线l 与线段PF 交于点M ，与y 轴交于点E . 若直线BM 经过OE 的中点，则C 的离心率为A.13B. 12C. 23D. 34（2015·新课标Ⅰ，5）已知00(,)M x y 是双曲线C ：2212x y -=上的一点，12,F F 是C 的两个焦点，若120MF MF ⋅<，则0y 的取值范围是（ ）（A ）( （B ）( （C ）( （D ）( （2015·新课标Ⅱ，7）过三点A (1, 3)，B (4, 2)，C (1, -7)的圆交于y 轴于M 、N 两点，则MN =（ ）A ．B ．8C ．D ．10（2015·新课标Ⅱ，11）已知A ，B 为双曲线E 的左，右顶点，点M 在E 上，∆ABM 为等腰三角形，且顶角为120°，则E 的离心率为（ ）AB ．2CD （2014·新课标Ⅰ，4）已知F 是双曲线C ：223(0)x my m m -=>的一个焦点，则点F 到C 的一条渐近线的距离为（ ）A B .3 C D .3m（2014·新课标Ⅰ，10）已知抛物线C ：28y x =的焦点为F ，准线为l ，P 是l 上一点，Q 是直线PF 与C 的一个交点，若4FP FQ =，则||QF =A .72B .52C .3D .2 （2014·新课标Ⅱ，10）设F 为抛物线C :23y x =的焦点，过F 且倾斜角为30º的直线交C 于A , B 两点，O 为坐标原点，则△OAB 的面积为（ ）A BC ．6332D ．94（2013·新课标Ⅰ，4)已知双曲线C ：2222=1x y a b-(a ＞0，b ＞0)，则C 的渐近线方程为( )A ．y ＝14x ±B ．y ＝13x ±C ．y ＝12x ± D ．y ＝±x（2013·新课标Ⅰ，10)已知椭圆E ：2222=1x y a b+(a ＞b ＞0)的右焦点为F (3,0)，过点F 的直线交E 于A ，B两点．若AB 的中点坐标为(1，－1)，则E 的方程为( )．A ．22=14536x y + B ．22=13627x y + C ．22=12718x y + D ．22=1189x y + （2013·新课标Ⅱ，11）设抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F ，点M 在C 上，||5MF =，若以MF 为直径的园过点(0,2)，则C 的方程为（ ）A.24y x =或28y x =B.22y x =或28y x =C.24y x =或216y x =D.22y x =或216y x = （2013·新课标Ⅱ，12）已知点(1,0)A -，(1,0)B ，(0,1)C ，直线(0)y ax b a =+>将ABC △分割为面积相等的两部分，则b 的取值范围是（ ）A.(0,1)B.1(1)2-C.1(1]3D.11[,)32（2012·新课标Ⅰ，4）设1F 、2F 是椭圆E ：2222x y a b +（0a b >>）的左、右焦点，P 为直线32a x =上一点，21F PF ∆是底角为30°的等腰三角形，则E 的离心率为（ ） A ．12 B ．23 C ．34D ．45（2012·新课标Ⅰ，8）等轴双曲线C 的中心在原点，焦点在x 轴上，C 与抛物线216y x =的准线交于A ，B 两点，||AB =C 的实轴长为（ ）AB ．C ．4D ．8（2012·新课标Ⅱ，4）设F 1，F 2是椭圆E : 12222=+by a x )0(>>b a 的左右焦点，P 为直线23a x =上的一点，12PF F △是底角为30º的等腰三角形，则E 的离心率为（ ）A.21B.32 C.43 D.54 （2012·新课标Ⅱ，8）等轴双曲线C 的中心在原点，焦点在x 轴上，C 与抛物线y 2=16x 的准线交于A ，B 两点，|AB |=34，则C 的实轴长为（ ）A.2B. 22C. 4D. 8 （2011·新课标Ⅰ，7）设直线L 过双曲线C 的一个焦点，且与C 的一条对称轴垂直，L 与C 交于A ,B 两点，AB 为C 的实轴长的2倍，则C 的离心率为（ ）（A （B （C ）2 （D ）3（2011·新课标Ⅱ，7）设直线l 过双曲线C 的一个焦点，且与C 的一条对称轴垂直，l 与C 交于A , B 两点，|AB |为C 的实轴长的2倍，则C 的离心率为（ ）二、填空题（2017·新课标Ⅰ，15）已知双曲线C ：22221x y a b -=（a >0，b >0）的右顶点为A ，以A 为圆心，b 为半径作圆A ，圆A 与双曲线C 的一条渐近线交于M 、N 两点．若∠MAN =60°，则C 的离心率为________． （2017·新课标Ⅱ，16）已知F 是抛物线C :28y x =的焦点，M 是C 上一点，F M 的延长线交y 轴于点N ．若M 为F N 的中点，则F N = ．（2016·新课标Ⅲ，16）已知直线l ：30mx y m ++与圆2212x y +=交于,A B 两点，过,A B 分别作l 的垂线与x 轴交于,C D 两点，若AB =||CD =__________.（2015·新课标Ⅰ，14）一个圆经过椭圆221164x y +=的三个顶点，且圆心在x 轴的正半轴上，则该圆的标准方程为 .（2014·新课标Ⅱ，6）设点M (0x ,1)，若在圆O :221x y +=上存在点N ，使得∠OMN =45º，则0x 的取值范围是________.（2011·新课标Ⅰ、Ⅱ，14）在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C 的中心为原点，焦点12,F F 在x 轴上，离1F 的直线L 交C 于,A B 两点，且2ABF V 的周长为16，那么C 的方程为 ． 三、解答题（2017·新课标Ⅰ，20）已知椭圆C ：2222=1x y a b +（a >b >0），四点P 1（1,1），P 2（0,1），P 3（–1，2），P 4（1C 上． （1）求C 的方程；（2）设直线l 不经过P 2点且与C 相交于A ，B 两点．若直线P 2A 与直线P 2B 的斜率的和为–1，证明：l 过定点．（2017·新课标Ⅱ，20）设O 为坐标原点，动点M 在椭圆C ：2212x y +=上，过M 做x 轴的垂线，垂足为N ，点P 满足2NP NM =.（1）求点P 的轨迹方程；（2）设点Q 在直线x =-3上，且1OP PQ ⋅=.证明：过点P 且垂直于OQ 的直线l 过C 的左焦点F .（2016·新课标Ⅰ，20）设圆015222=-++x y x 的圆心为A ，直线l 过点)0,1(B 且与x 轴不重合，l 交圆A 于D C ,两点，过B 作AC 的平行线交AD 于点E ． （Ⅰ）证明EB EA +为定值，并写出点E 的轨迹方程；（Ⅱ）设点E 的轨迹为曲线1C ，直线l 交1C 于N M ,两点，过B 且与l 垂直的直线与圆A 交于Q P ,两点，求四边形MPNQ 面积的取值范围．（2016·新课标Ⅱ，20）已知椭圆E:2213x yt+=的焦点在x轴上，A是E的左顶点，斜率为k (k>0)的直线交E于A，M两点，点N在E上，MA⊥NA.（Ⅰ）当t=4，|AM|=|AN|时，求△AMN的面积；（Ⅱ）当2|AM|=|AN|时，求k的取值范围.（2016·新课标Ⅲ，20）已知抛物线C：y2=2x的焦点为F，平行于x轴的两条直线l1，l2分别交C于A，B 两点，交C的准线于P，Q两点.(1)若F在线段AB上，R是PQ的中点，证明AR∥FQ；(2)若△PQF的面积是△ABF的面积的两倍，求AB中点的轨迹方程.（2015·新课标Ⅰ，20）在直角坐标系xOy 中，曲线C ：24x y =与直线l ：y kx a =+（0a >）交于,M N两点.（Ⅰ）当0k =时，分别求C 在点M 和N 处的切线方程；（Ⅱ）在y 轴上是否存在点P ，使得当k 变动时，总有OPM OPN ∠=∠？说明理由.（2015·新课标Ⅱ，20）已知椭圆C ：2229x y m +=(m ＞0)，直线l 不过原点O 且不平行于坐标轴，l 与C 有两个交点A ，B ，线段AB 的中点为M .（Ⅰ）证明：直线OM 的斜率与l 的斜率的乘积为定值； （Ⅱ）若l 过点(,)3mm ，延长线段OM 与C 交于点P ，四边形OAPB 能否平行四边形？若能，求此时l 的斜率；若不能，说明理由．（2014·新课标Ⅰ，20）已知点A （0，-2），椭圆E ：22221(0)x y a b a b +=>>的离心率为2，F 是椭圆的焦点，直线AF 的斜率为3，O 为坐标原点. (Ⅰ)求E 的方程；（Ⅱ）设过点A 的直线l 与E 相交于,P Q 两点，当OPQ ∆的面积最大时，求l 的方程.（2014·新课标Ⅱ，20）设F 1，F 2分别是椭圆()222210y x a b +=>>的左右焦点，M 是C 上一点且MF 2与x 轴垂直，直线MF 1与C 的另一个交点为N . （Ⅰ）若直线MN 的斜率为34，求C 的离心率；（Ⅱ）若直线MN 在y 轴上的截距为2，且15MN F N =，求a, b . .（2013·新课标Ⅰ，20）已知圆M：(x＋1)2＋y2＝1，圆N：(x－1)2＋y2＝9，动圆P与圆M外切并且与圆N 内切，圆心P的轨迹为曲线C.(1)求C的方程；(2)l是与圆P，圆M都相切的一条直线，l与曲线C交于A，B两点，当圆P的半径最长时，求|AB|.（2013·新课标Ⅱ，20）平面直角坐标系xOy中，过椭圆2222:1(0)x yM a ba b+=>>右焦点F的直线x y+交M于,A B两点，P为AB的中点，且OP的斜率为1 2 .（Ⅰ）求M的方程；（Ⅱ）,C D为M上的两点，若四边形ACBD的对角线CD AB⊥，求四边形ACBD面积的最大值.（2012·新课标Ⅰ、Ⅱ，20）设抛物线C ：py x 22=（0>p ）的焦点为F ，准线为l ，A 为C 上一点，已知以F 为圆心，F A 为半径的圆F 交l 于B ，D 两点．（1）若∠BFD =90°，△ABD 的面积为24，求p 的值及圆F 的方程；（2）若A ，B ，F 三点在同一直线m 上，直线n 与m 平行，且n 与C 只有一个公共点，求坐标原点到m ，n 距离的比值．（2011·新课标Ⅰ、Ⅱ，20）在平面直角坐标系xOy 中，已知点A(0,-1)，B 点在直线y = -3上，M 点满足//MB OA uuu r uu r， MA AB MB BA ⋅=⋅uuu r uu u r uuu r uu r ，M 点的轨迹为曲线C ．（Ⅰ）求C 的方程；（Ⅱ）P 为C 上的动点，l 为C 在P 点处得切线，求O 点到l 距离的最小值．2011年—2017年新课标全国卷理科数学试题分类汇编12．解析几何一、选择题（2017·新课标Ⅰ，10）已知F 为抛物线C ：y 2=4x 的焦点，过F 作两条互相垂直的直线l 1，l 2，直线l 1与C交于A 、B 两点，直线l 2与C 交于D 、E 两点，则|AB |+|DE |的最小值为（ ）A ．16B ．14C ．12D ．10 【答案】A 解析：设AB 倾斜角为θ．作1AK 垂直准线，2AK 垂直x 轴， 易知11cos 22⎧⎪⋅+=⎪⎪=⎨⎪⎛⎫⎪=--= ⎪⎪⎝⎭⎩AF GF AK AK AF P P GP Pθ（几何关系）（抛物线特性），cos AF P AF θ⋅+=∴，同理1cos P AF θ=-，1cos P BF θ=+，∴22221cos sin P PAB θθ==-，又DE 与AB 垂直，即DE 的倾斜角为π2θ+， 2222πcos sin 2P PDE θθ==⎛⎫+ ⎪⎝⎭，而24y x =，即2P =． ∴22112sin cos AB DE P θθ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭2222sin cos 4sin cos θθθθ+=224sin cos θθ=241sin 24=θ 21616sin 2θ=≥，当且仅当π4θ=取等号，即AB DE +最小值为16，故选A ； 【法二】依题意知：22sin PAB θ=，2222πcos sin 2P PDE θθ==⎛⎫+ ⎪⎝⎭，由柯西不等式知： 2222211(11)22816sin cos sin cos AB DE P P P θθθθ+⎛⎫+=+≥⋅== ⎪+⎝⎭，当且仅当π4θ=取等号，故选A ； （2017·新课标Ⅱ，9）若双曲线C :22221x y a b-=（0a >，0b >）的一条渐近线被圆()2224x y -+=所截得的弦长为2，则C 的离心率为（ ）A ．2 BCD【答案】A 解析：解法一：根据双曲线的标准方程可求得渐近线方程为by x a=±，根据直线与圆的位置关系可=2e=. 解法二：设渐进线的方程为y kx=∴=23k=；由于渐近线的斜率与离心率关系为221k e=-，解得2e=.（2017·新课标Ⅲ，5）已知双曲线C：()2222:10,0x yC a ba b-=>>的一条渐近线方程为2y x=，且与椭圆221123x y+=有公共焦点，则C的方程为（）.A．221810x y-=B．22145x y-=C．22154x y-=D．22143x y-=【答案】B 解析：因为双曲线的一条渐近线方程为y x=，则ba=又因为椭圆221123x y+=与双曲线有公共焦点，易知3c=，则2229a b c+==②由①②解得2,a b==C的方程为22145x y-=.故选B.（2017·新课标Ⅲ，10）已知椭圆()2222:10x yC a ba b+=>>的左、右顶点分别为1A，2A，且以线段12A A 为直径的圆与直线20bx ay ab-+=相切，则C的离心率为（）.ABCD．13【答案】A 解析：因为以12A A为直径为圆与直线20bx ay ab-+=相切，所以圆心到直线距离d等于半径，所以d a==，又因为0,0a b>>，则上式可化简为223a b=因为222b a c=-，可得()2223a a c=-，即2223ca=，所以cea==故选A.（2016·新课标Ⅰ，5）已知方程132222=--+nm y n m x 表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，则n 的取值范围是（ ）（A ）)3,1(-（B ）)3,1(-（C ）)3,0(（D ）)3,0(【答案】A 解析：222213x y m n m n-=+-表示双曲线，则()()2230m n m n +->，∴223m n m -<<由双曲线性质知：()()222234c m n m n m =++-=，其中c 是半焦距，∴焦距2224c m =⋅=，解得1m = ∴13n -<<，故选A ．（2016·新课标Ⅰ，10）以抛物线C 的顶点为圆心的圆交C 于B A ,两点，交C 的准线于E D ,两点，已知24=AB ,52=DE ，则C 的焦点到准线的距离为（A ）2（B ）4（C ）6（D ）8【答案】B 解析：以开口向右的抛物线为例来解答，其他开口同理 设抛物线为22y px =()0p >，设圆的方程为222x y r +=，如图：设(0,A x，2p D ⎛- ⎝，点(0,A x 在抛物线22y px =上，∴082px =……①；点2p D ⎛- ⎝在圆222x y r +=上，∴2252p r ⎛⎫+= ⎪⎝⎭……②；点(0A x 在圆222x y r +=上，∴2208x r +=……③；联立①②③解得：4p =， 焦点到准线的距离为4p =．故选B ．（2016·新课标Ⅱ，4）圆2228130x y x y +--+=的圆心到直线10ax y +-=的距离为1，则a =（ ）A ．43-B ．34-CD ．2【答案】A 解析：圆2228130x y x y +--+=化为标准方程为：()()22144x y -+-=，故圆心为()14，，1d ==，解得43a =-，故选A ．（2016·新课标Ⅱ，11）已知F 1，F 2是双曲线E ：22221x y a b-=的左，右焦点，点M 在E 上，M F 1与x 轴垂直，211sin 3MF F ∠=，则E 的离心率为（ ） AB ．32CD ．2【答案】A 解析：离心率1221F F e MF MF =-，由正弦定理得122112sin 31sin sin 13F F Me MF MF F F ====---． 故选A ．F（2016·新课标Ⅲ，11）已知O 为坐标原点，F 是椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的左焦点，A ，B 分别为C的左，右顶点.P 为C 上一点，且PF ⊥x 轴.过点A 的直线l 与线段PF 交于点M ，与y 轴交于点E . 若直线BM 经过OE 的中点，则C 的离心率为A. 13B. 12C. 23D. 34【答案】A 解析：易得,2ON OB a MF MF AF a cMF BF a c OE ON AO a-=====+ 12a a c a c a c a a c --∴=⋅=++， 13c e a ∴==（2015·新课标Ⅰ，5）已知00(,)M x y 是双曲线C ：2212x y -=上的一点，12,F F 是C 的两个焦点，若120MF MF ⋅<，则0y 的取值范围是（A）(33-（B）(,)66- （C）(33- （D）(33- 【答案】A 解析：从120MF MF ⋅<入手考虑，120MF MF ⋅=可得到以12FF 为直径的圆与C 的交点1234,,,M M M M （不妨设12,M M 在左支上，34,M M 在右支上），此时1112M F M F ⊥，1112M F M F -=-12F F =112111201211||22M F F S M F M F y F F ∆=⋅=⋅解得0||y =，则M 在双曲线的12M M 或34M M 上运动，0y∈(33-，故选（A ）.（2015·新课标Ⅱ，7）过三点A (1, 3)，B (4, 2)，C (1, -7)的圆交于y 轴于M 、N 两点，则MN =（ ）A．B ．8C．D ．10【答案】C 解析：由已知得，，所以k AB k CB =-1，所以AB ⊥CB ，即△ABC 为直角三角形，其外接圆圆心为(1, -2)，半径为5，所以外接圆方程为(x -1)2+(y +2)2=25，令x =0，得，所以，故选C.（2015·新课标Ⅱ，11）已知A ，B 为双曲线E 的左，右顶点，点M 在E 上，∆ABM 为等腰三角形，且顶角为120°，则E 的离心率为（ ） AB ．2CD【答案】D 解析：设双曲线方程为22221(0,0)x y a b a b-=>>，如图所示，|AB |=|BM |，∠ABM =120º，过点M 作MN ⊥x 轴，垂足为N ，在Rt △BMN 中，|BN |=a，||MN =，故点M的坐标为(2)M a ，代入双曲线方程得a 2 = b 2 = c 2 -a 2，即c 2 = 2a 2，所以e = D.（2014·新课标Ⅰ，4）已知F 是双曲线C ：223(0)x my m m -=>的一个焦点，则点F 到C 的一条渐近线的距离为（ ）AB .3 CD .3m【答案】A 解析：由C ：223(0)x my m m -=>，得22133x y m -=，233,c m c =+=设)F，一条渐近线y x =，即0x =，则点F 到C的一条渐近线的距离d =A. .（2014·新课标Ⅰ，10）已知抛物线C ：28y x =的焦点为F ，准线为l ，P 是l 上一点，Q 是直线PF 与C 的一个交点，若4FP FQ =，则||QF =A .72B .52C .3D .2 【答案】C 解析：过Q 作QM ⊥直线L 于M ，∵4FP FQ = ∴34PQPF =，又344QM PQ PF ==，∴3QM =，由抛物线定义知3QF QM ==.（2014·新课标Ⅱ，10）设F 为抛物线C :23y x =的焦点，过F 且倾斜角为30º的直线交C 于A , B 两点，O 为坐标原点，则△OAB 的面积为（ ） ABC ．6332D ．94【答案】D 解析：∵3(,0)4F ，∴设直线AB 的方程为3)34y x =-，代入抛物线方程得：22190216x x -+=，设11(,)A x y 、22(,)B x y ，∴12212x x +=，12916x x ⋅=，由弦长公式得||12AB ==，由点到直线的距离公式得：O 到直线AB 的距离00|38d -==，∴13912284OABS ∆=⨯⨯=.【另解】直线AB的方程3)4y x =-代入抛物线方程得：2490y --=，∴12y y +=1294y y ⋅=-，∴139244OAB S ∆=⨯=.（2013·新课标Ⅰ，4)已知双曲线C ：2222=1x y a b -(a ＞0，b ＞0)则C 的渐近线方程为( )．A ．y ＝14x ±B ．y ＝13x ±C ．y ＝12x ± D ．y ＝±x【答案】C 解析：∵c e a ==，∴22222254c a b e a a +===，∴a 2＝4b 2，1=2b a ±. ∴渐近线方程为12b y x x a =±±.（2013·新课标Ⅰ，10)已知椭圆E ：2222=1x y a b+(a ＞b ＞0)的右焦点为F (3,0)，过点F 的直线交E 于A ，B两点．若AB 的中点坐标为(1，－1)，则E 的方程为( )．A ．22=14536x y + B ．22=13627x y + C ．22=12718x y + D ．22=1189x y + 【答案】D 解析：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，∵A ，B 在椭圆上，∴2211222222221,1,x y a b x y a b ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩①②①－②，得1212121222=0x x x x y y y y a b (+)(-)(+)(-)+，即2121221212=y y y y b a x x x x (+)(-)-(+)(-)， ∵AB 的中点为(1，－1)，∴y 1＋y 2＝－2，x 1＋x 2＝2，而1212y y x x --＝k AB ＝011=312-(-)-，∴221=2b a . 又∵a 2－b 2＝9，∴a 2＝18，b 2＝9.∴椭圆E 的方程为22=1189x y +.故选D.（2013·新课标Ⅱ，11）设抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F ，点M 在C 上，||5MF =，若以MF 为直径的园过点(0,2)，则C 的方程为（ ）A.24y x =或28y x =B.22y x =或28y x =C.24y x =或216y x =D.22y x =或216y x = 【答案】C 解析：设点M 的坐标为(x 0，y 0)，由抛物线的定义，得|MF |＝x 0＋2p ＝5，则x 0＝5－2p.又点F 的坐标为(,0)2p ，所以以MF 为直径的圆的方程为220525()()224y x y -+-=.将x ＝0，y ＝2代入得2002404y y -+=，所以y 0＝4.由20y ＝2px 0，得162(5)2pp =-，解之得p ＝2，或p ＝8.所以C 的方程为y 2＝4x 或y 2＝16x . 故选C.（2013·新课标Ⅱ，12）已知点(1,0)A -，(1,0)B ，(0,1)C ，直线(0)y ax b a =+>将ABC △分割为面积相等的两部分，则b 的取值范围是（ ）A.(0,1)B.1(1)2-C.1(1]3D.11[,)32【答案】B 解析：由题意知b ∈(0, 1)，当直线过点(-1, 0)时，要将△ABC 分割为面积相等的两部分，直线必须过点11(,)22，此时有-a +b =0且1122a b +=，解得13b =；当a =1时，直线y =ax +b 平行于直线AC ，要将△ABC 分割为面积相等的两部分，可求此时的1b =.（2012·新课标Ⅰ，4）设1F 、2F 是椭圆E ：2222x y a b+（0a b >>）的左、右焦点，P 为直线32a x =上一点，21F PF ∆是底角为30°的等腰三角形，则E 的离心率为（ ）A ．12 B ．23 C ．34 D ．45【答案】C 解析：如图所示，21F PF ∆是等腰三角形，212130F F P F PF ∠=∠=︒，212||||2F P F F c ==， 260PF Q ∠=︒，230F PQ ∠=︒，2||F Q c =，又23||2aF Q c =-， 所以32a c c -=，解得34c a =，因此34c e a ==，故选择C ．（2012·新课标Ⅰ，8）等轴双曲线C 的中心在原点，焦点在x 轴上，C 与抛物线216y x =的准线交于A ，B 两点，||AB =C 的实轴长为（ ）AB ．C ．4D ．8【答案】C 解析：设等轴双曲线C 的方程为22221x y a a-=，即222x y a -=（0a >），抛物线216y x =的准线方程为4x =-，联立方程2224x y a x ⎧-=⎨=-⎩，解得2216y a =-，因为||AB =所以222||(2||)448AB y y ===，从而212y =，所以21612a -=，24a =，2a =，因此C 的实轴长为24a =，故选择C ．（2012·新课标Ⅱ，4）设F 1，F 2是椭圆E : 12222=+by a x )0(>>b a 的左右焦点，P 为直线23a x =上的一点，12PF F △是底角为30º的等腰三角形，则E 的离心率为（ ）A.21B.32 C.43 D.54 【答案】C 解析：由题意可得，21F PF △是底角为30º的等腰三角形可得212PF F F =，即32()22ac c -=，所以34c e a ==. （2012·新课标Ⅱ，8）等轴双曲线C 的中心在原点，焦点在x 轴上，C 与抛物线y 2=16x 的准线交于A ，B 两点，|AB |=34，则C 的实轴长为（ ）A.2B. 22C. 4D. 8【答案】C 解析：抛物线的准线方程是x =4，所以点A (-在222x y a -=上，将点A 代入得24a =，所以实轴长为24a =.（2011·新课标Ⅰ，7）设直线L 过双曲线C 的一个焦点，且与C 的一条对称轴垂直，L 与C 交于A ,B 两点，AB 为C 的实轴长的2倍，则C 的离心率为（ ）（A （B （C ）2 （D ）3【答案】B 解析：通径|AB|=222b a a=得2222222b a a c a =⇒-=，选B （2011·新课标Ⅱ，7）设直线l 过双曲线C 的一个焦点，且与C 的一条对称轴垂直，l 与C 交于A , B 两点，|AB |为C 的实轴长的2倍，则C 的离心率为（ ）ABC ．2D ．3【答案】B 解析：通径|AB |=222b a a=得2222222b a a c a =⇒-=，故选B.二、填空题（2017·新课标Ⅰ，15）已知双曲线C ：22221x y a b -=（a >0，b >0）的右顶点为A ，以A 为圆心，b 为半径作圆A ，圆A 与双曲线C 的一条渐近线交于M 、N 两点．若∠MAN =60°，则C 的离心率为________．【答案】3解析：如图，OA a =，AN AM b ==，∵60MAN ∠=︒，∴AP =，OP =，（法二）如上图可知(,0)A a到渐进线0bx ay -=的距离为abd AP c===，1,60,cos cos302ab AP AMN a c AN AM b AMN AN b c e∠==∠=∴=====又，3e ∴=； （法三）如图在等边三角形AMN ∆中,,AP FH b == 由OAPOFH ∆∆知23a a e c bc =⇒==；（法四）如图，由等面积法可得，在三角形OAN 中，1322ab c c b e a =⇒==； （法五）因为,AM b OA a ==且渐进线bxy a=可得三角形OAN 为 双曲线三角线（即三边分别为,,a b c ），有几何意义易得30MAP MOA ∠=∠=tan b MOA e a ∴∠====；（2017·新课标Ⅱ，16）已知F 是抛物线C :28y x =的焦点，M 是C 上一点，F M 的延长线交y 轴于点N ．若M 为F N 的中点，则F N = ．【答案】6 解析：∵ 点M 为线段NF 的中点，∴ 1M x =，∴ 23M MF x =+=，∴ 26NF MF ==．（2016·新课标Ⅲ，16）已知直线l：30mx y m ++与圆2212x y +=交于,A B 两点，过,A B 分别作l 的垂线与x 轴交于,C D两点，若AB =||CD =__________. 【答案】3 解析：如图所示，作AE BD ⊥于E ，作OF A B ⊥于F，3AB OA OF ==∴=，3=，m ∴= ∴直线l 的倾斜角为30°，3CD AE ∴=== （2015·新课标Ⅰ，14）一个圆经过椭圆221164x y +=的三个顶点，且圆心在x 轴的正半轴上，则该圆的标准方程为 . 【答案】22325()24x y -+=解析：由椭圆的性质可知，圆只能经过短轴顶点和右顶点三个点(0,2),(0,2),(4,0)-；（方法一）设圆的半径为r ，则有222(4)2r r -+=，可得52r =，故所求圆的标准方程为22325()24x y -+=.（方法二）设圆的标准方程为222()(0)x a y r a -+=>，代入点(0,2),(4,0)，解方程组可得35,22a r ==半径为r ，故所求圆的标准方程为22325()24x y -+=. （方法三）设圆的一般方程为220x y Dx Ey F ++++=，代入点(0,2),(0,2),(4,0)-，解方程组可得3,0,4D E F =-==-,化为标准方程为22325()24x y -+=. （2014·新课标Ⅱ，6）设点M (0x ,1)，若在圆O :221x y +=上存在点N ，使得∠OMN =45º，则0x 的取值范围是________.【答案】[1,1]- 解析：由图可知点M 所在直线1y =与圆O 相切，又1ON =，由正弦定理得sin sin ON OM OMN ONM =∠∠sin OMONM=∠， 即OM ONM =∠，∵0ONM π≤∠≤，∴OM ≤，即≤011x -≤≤.【另解】过OA ⊥MN ，垂足为A ，因为在Rt △OMA 中，|OA|≤1，∠OMN =45º，所以||||s i nO A O M =o|1OM ≤，解得||OM M (x 0, 1)，所以||OM =解得011x -≤≤，故0x 的取值范围是[1,1]-.（2011·新课标Ⅰ、Ⅱ，14）在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C 的中心为原点，焦点12,F F 在x 轴上，离1F 的直线L 交C 于,A B 两点，且2ABF V 的周长为16，那么C 的方程为 ． 【答案】221168x y ∴+= 解析：由2416c a a ⎧=⎪⎨⎪=⎩得a=4.c=从而b=8,221168x y ∴+=为所求． 三、解答题（2017·新课标Ⅰ，20）已知椭圆C ：2222=1x y a b +（a >b >0），四点P 1（1,1），P 2（0,1），P 3（–1，2），P 4（1，2）中恰有三点在椭圆C 上． （1）求C 的方程；（2）设直线l 不经过P 2点且与C 相交于A ，B 两点．若直线P 2A 与直线P 2B 的斜率的和为–1，证明：l 过定点．解析：（1）根据椭圆对称性，必过3P 、4P ，又4P 横坐标为1，椭圆必不过1P ，所以过234P P P ，，三点，将()23011P P ⎛- ⎝⎭，，代入椭圆方程得：222113141b ab ⎧=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，解得24a =，21b =， ∴椭圆C 的方程为：2214x y +=．（2）①当斜率不存在时，设()():A A l x m A m y B m y =-，，，，， 221121A A P A P B y y k k m m m----+=+==-，得2m =，此时l 过椭圆右顶点，不存在两个交点，故不满足． ②当斜率存在时，设()1l y kx b b =+≠∶，()()1122A x y B x y ，，，， 联立22440y kx b x y =+⎧⎨+-=⎩，整理得()222148440k x kbx b +++-=， 122814kb x x k -+=+，21224414b x x k -⋅=+，则22121211P A P B y y k k x x --+=+()()21212112x kx b x x kx b x x x +-++-= 222228888144414kb k kb kbk b k --++=-+()()()811411k b b b -==-+-，又1b ≠，21b k ⇒=--，此时64k ∆=-， 存在k 使得0∆>成立．∴直线l 的方程为21y kx k =--，当2x =时，1y =-，所以l 过定点()21-，．（2017·新课标Ⅱ，20）设O 为坐标原点，动点M 在椭圆C ：2212x y +=上，过M 做x 轴的垂线，垂足为N ，点P 满足2NP NM =.（1）求点P 的轨迹方程；（2）设点Q 在直线x =-3上，且1OP PQ ⋅=.证明：过点P 且垂直于OQ 的直线l 过C 的左焦点F . 解析：（1）解法一：相关点法求轨迹：设()00,M x y ，()0,0N x ,(),P x y ，则：(),N P xx y =-,()00,NM y =.又2NP NM =,所以：())00,0,x x y y -=，则：00,x x y ==.又()00,M x y 在椭圆C 上，所以：220012x y +=，所以：222x y +=.解法二： 椭圆C 的参数方程为：sin x y θθ⎧=⎪⎨=⎪⎩（θ为参数）.设),sin Mθθ，),0Nθ,(),P x y ，则：(),NP x y θ=,()0,sin NM θ=.又2NP NM =,所以：()),0,sin x y θθ=，则：,x y θθ==.则：222x y +=.（Ⅱ）解法一：设)Pθθ，()13,Q y -,()1,0F -,则()2OP θθ=，()13,OQ y =-,()13,y PQ θθ=-，()1,PF θθ=-.又1OP PQ ⋅=,所以：)()22113,y 2cos sin 2sin 1θθθθθθθθ⋅-=---=即：1sin 3θθ=-.那么：()()11,3,y 3sin 0PF OQ θθθθ⋅=-⋅-=+-=. 所以：PF OQ ⊥. 即过P 垂直于OQ 的直线l 过椭圆C 的左焦点F ．解法二：设()11,P x y ，()23,Q y -,()1,0F -,则()11,OP x y =，()23,OQ y =-,()1213,PQ x y y =---，()111,PF x y =---.又1OP PQ ⋅=,所以：()()221112111121,3,31x y x y y x x y y y ⋅---=--+-=.又()11,P x y 在222x y +=上，所以：11233x y y -=-.||MMN y y=-又()()1121121,3,330PF OQ x y y x y y⋅=---⋅-=+-=.所以：PF OQ⊥，即过P垂直于OQ的直线l过椭圆C的左焦点F．（2016·新课标Ⅰ，20）设圆015222=-++xyx的圆心为A，直线l过点)0,1(B且与x轴不重合，l交圆A于DC,两点，过B作AC的平行线交AD于点E．（Ⅰ）证明EBEA+为定值，并写出点E的轨迹方程；（Ⅱ）设点E点，求四边形MPNQ解析：⑴圆A整理为(xBE ACQ∥，则C=∠EBD D∴=∠∠，则⑵221:143x yC+=；设l联立1l C与椭圆：221143x myx y=+⎧⎪⎨+=⎪⎩(23m圆心A到PQ距离d=所以||PQ==()2212111||||2234MPNQmS MN PQm+⎡∴=⋅=⋅==⎣+（2016·新课标Ⅱ，20）已知椭圆E:2213x yt+=的焦点在x轴上，A是E的左顶点，斜率为k (k>0)的直线交E于A，M两点，点N在E上，MA⊥NA.（Ⅰ）当t=4，|AM|=|AN|时，求△AMN的面积；（Ⅱ）当2|AM|=|AN|时，求k的取值范围.解析：⑴当4t=时，椭圆E的方程为22143x y+=，A点坐标为()20-，，则直线AM的方程为()2y k x=+．联立()221432x yy k x⎧+=⎪⎨⎪=+⎩并整理得，()2222341616120k x k x k+++-=，解得2x=-或228634kxk-=-+，则222861223434k AM k k -=+=++，因为AM AN ⊥，所以2121341AN k =⎛⎫+⋅- ⎪⎝⎭1243k k =+，因为AM AN =，0k >，所以212124343k k k++，整理得()()21440k k k --+=，2440k k -+=无实根，所以1k =．所以AMN △的面积为2211122234AM ⎫=⎪+⎭14449=． ⑵直线AM的方程为(y k x =+，联立(2213x y t y k x ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩并整理得，()222223230tk x x t k t +++-=，解得x =或x =，所以AM ==，所以3A N k k=+，因为2A M A N =，所以23k k =+，整理得23632k k t k -=-．因为椭圆E 的焦点在x 轴，所以3t >，即236332k k k ->-，整理得()()231202k k k +-<-，2k <．（2016·新课标Ⅲ，20）已知抛物线C ：y 2=2x 的焦点为F ，平行于x 轴的两条直线l 1，l 2分别交C 于A ，B 两点，交C 的准线于P ，Q 两点.(1)若F 在线段AB 上，R 是PQ 的中点，证明AR ∥FQ ；(2)若△PQF 的面积是△ABF 的面积的两倍，求AB 中点的轨迹方程. 解析：(1)法一：由题设1(,0)2F .设12:,:l y a l y b ==，则0ab ≠，且22111(,),(,),(,),(,),(,)222222a b a b A a B b P a Q b R +---. 记过,A B 两点的直线为l ，则l 的方程为2()0x a b y ab -++=. .....3分 由于F 在线段AB 上，故10ab +=. 记AR 的斜率为1k ，FQ 的斜率为2k ，则122211a b a b abk b k aa a a ab ---=====-=+-.所以FQ AR ∥. ......5分法二：证明：连接RF ，PF ，由AP =AF ，BQ =BF 及AP ∥BQ ，得∠AFP +∠BFQ =90°，∴∠PFQ =90°，∵R 是PQ 的中点，∴RF =RP =RQ ，∴△P AR ≌△F AR ，∴∠P AR =∠F AR ，∠PRA =∠FRA ， ∵∠BQF +∠BFQ =180°﹣∠QBF =∠P AF =2∠P AR ，∴∠FQB =∠P AR ，∴∠PRA =∠PQF ，∴AR ∥FQ ．(2)设l 与x 轴的交点为1(,0)D x ，则1111,2222ABF PQF a b S b a FD b a x S ∆∆-=-=--=. 由题设可得111222a b b a x ---=，所以10x =(舍去)，11x =. 设满足条件的AB 的中点为(,)E x y . 当AB 与x 轴不垂直时，由AB DE k k =可得2(1)1yx a b x =≠+-. 而a by +=，所以21(1)y x x =-≠. 当AB 与x 轴垂直时，E 与D 重合.所以，所求轨迹方程为21y x =-. ....12分（2015·新课标Ⅰ，20）在直角坐标系xOy 中，曲线C ：24x y =与直线l ：y kx a =+（0a >）交于,M N两点.（Ⅰ）当0k =时，分别求C 在点M 和N 处的切线方程；（Ⅱ）在y 轴上是否存在点P ，使得当k 变动时，总有OPM OPN ∠=∠？说明理由. 解析：（Ⅰ）当0k =时，点)M a和()N a -，2xy '=，故x =方程为y a x -=-0y a --=；同理，x =-y a x -=+0y a ++=.（Ⅱ）在y 轴上存在点P ，使得当k 变动时，总有OPM OPN ∠=∠.证明如下： 设(0,)P b 为符合题意的点，1122(,),(,)M x y N x y ，直线,PM PN 的斜率分别为12,k k . 直线l 与曲线C 的方程联立可得2440x kx a --=，则12124,4x x k x x a +==-.1212121212122()()()y b y b kx x a b x x k a b k k x x x x a--+-+++=+==，当b a =-时，120k k +=，则直线,PM PN 的倾斜角互补，故OPM OPN ∠=∠，即(0,)P a -符合题意.（2015·新课标Ⅱ，20）已知椭圆C ：2229x y m +=(m ＞0)，直线l 不过原点O 且不平行于坐标轴，l 与C 有两个交点A ，B ，线段AB 的中点为M .（Ⅰ）证明：直线OM 的斜率与l 的斜率的乘积为定值； （Ⅱ）若l 过点(,)3mm ，延长线段OM 与C 交于点P ，四边形OAPB 能否平行四边形？若能，求此时l 的斜率；若不能，说明理由．解析：（Ⅰ）设直线1122:(0,0),(,),(,),(,)M M l y kx b k b A x y B x y M x y =+≠≠,将y kx b =+代入2229x y m +=得2222(9)20k x kbx b m +++-=，故12229M x x kb x k +-==+，299M M by kx b k =+=+. 于是直线OM 的斜率9M OM M y k x k==-，即9OM k k ⋅=-，所以直线OM 的斜率与l 的斜率的乘积为定值. （Ⅱ）四边形OAPB 能为平行四边形，因为直线l 过点(,)3mm ，所以l 不过原点且与C 有两个交点的充要条件是0,3k k >≠，由（Ⅰ）得OM 的方程为9y x k=-.设点P 的横坐标为P x ，由22299y x k x y m ⎧=-⎪⎨⎪+=⎩，得2222981P k m x k =+，即P x =(,)3m m 的坐标代入l 的方程得(3)3m k b -=，因此2(3)3(9)M k k m x k -=+. 四边形OAPB 为平行四边形当且仅当线段AB 与线段OP 互相平分，即2P M x x =，于是2(3)23(9)k k m k -=⨯+，解得1244k k ==，因为0,3,1,2i i k k i >≠=，所以当l的斜率为44+OAPB 为平行四边形.（2014·新课标Ⅰ，20）已知点A （0，-2），椭圆E ：22221(0)x y a b a b +=>>F 是椭圆的焦点，直线AF，O 为坐标原点. (Ⅰ)求E 的方程；（Ⅱ）设过点A 的直线l 与E 相交于,P Q 两点，当OPQ ∆的面积最大时，求l 的方程.解析：(Ⅰ) 设(),0F c，由条件知2c =，得c =又c a =， 所以，2221b a c =-= ,故E 的方程2214x y +=. ……….6分（Ⅱ）依题意当l x ⊥轴不合题意，故设直线l ：2y kx =-，设()()1122,,,P x y Q x y将2y kx =-代入2214x y +=，得()221416120k x kx +-+=， 当216(43)0k ∆=->，即234k >时，1,22814k x k±=+，从而212143kPQ x -=-=，又点O 到直线PQ 的距离d =，所以∆OPQ 的面积21214OPQS d PQ k ∆==+ ， t =，则0t >，244144OPQ t S t t t∆==≤++， 当且仅当2t=，2k =±等号成立，且满足0∆>，所以当∆OPQ 的面积最大时，l 的方程为：22y x =- 或22y x =--. …………………………12分 （2014·新课标Ⅱ，20）设F 1，F 2分别是椭圆()222210y x a b a b+=>>的左右焦点，M 是C 上一点且MF 2与x 轴垂直，直线MF 1与C 的另一个交点为N . （Ⅰ）若直线MN 的斜率为34，求C 的离心率；（Ⅱ）若直线MN 在y 轴上的截距为2，且15MN F N =，求a, b .解析：（Ⅰ）由题意得：1(,0)F c -，2(,)b M c a ，∵MN 的斜率为34，∴2324b ac =，又222a b c =+，解得12c e a ==或2-（舍），故直线MN 的斜率为34时，C 的离心率为12.（Ⅱ）由题意知，点M 在第一象限，1(,0)F c -，2(,)b M c a ，∴直线MN 的斜率为：22b ac ，则MN ：222b y x ac =+；∵1(,0)F c -在直线MN 上，∴20()22b c ac=⨯-+，得24b a =…①，∵15MN F N =，∴114MF F N =，且21(2,)b MF c a=--， ∴21(,)24c b F N a =--，∴23(,)24c b N a --，又∵23(,)24c b N a --在椭圆C 上，∴4222291641b c a a b+=……②，联立①、②解得：7a =，b =（2013·新课标Ⅰ，20）已知圆M ：(x ＋1)2＋y 2＝1，圆N ：(x －1)2＋y 2＝9，动圆P 与圆M 外切并且与圆N 内切，圆心P 的轨迹为曲线C .(1)求C 的方程；(2)l 是与圆P ，圆M 都相切的一条直线，l 与曲线C 交于A ，B 两点，当圆P 的半径最长时，求|AB |. 解析：由已知得圆M 的圆心为M (－1,0)，半径r 1＝1；圆N 的圆心为N (1,0)，半径r 2＝3.设圆P 的圆心为P (x ，y )，半径为R . (1)因为圆P 与圆M 外切并且与圆N 内切， 所以|PM |＋|PN |＝(R ＋r 1)＋(r 2－R )＝r 1＋r 2＝4.由椭圆的定义可知，曲线C 是以M ，N 为左、右焦点，长半轴长为2(左顶点除外)，其方程为22=143x y +(x ≠－2)． (2)对于曲线C 上任意一点P (x ，y )，由于|PM |－|PN |＝2R －2≤2， 所以R ≤2，当且仅当圆P 的圆心为(2,0)时，R ＝2. 所以当圆P 的半径最长时，其方程为(x －2)2＋y 2＝4. 若l 的倾斜角为90°，则l 与y 轴重合，可得|AB |＝若l 的倾斜角不为90°，由r 1≠R 知l 不平行于x 轴，设l 与x 轴的交点为Q ，则1||||QP RQM r =，可求得Q (－4,0)，所以可设l ：y ＝k (x ＋4)．由l 与圆M=1，解得k＝4±当k＝4时，将4y x =代入22=143x y +，并整理得7x 2＋8x －8＝0，解得x 1,2＝47-±. 所以|AB |2118|7x x -=.当4k =-时，由图形的对称性可知|AB |＝187.综上，|AB |＝|AB |＝187.（2013·新课标Ⅱ，20）平面直角坐标系xOy 中，过椭圆2222:1(0)x y M a b a b+=>>右焦点F 的直线0x y +交M 于,A B 两点，P 为AB 的中点，且OP 的斜率为12. （Ⅰ）求M 的方程；（Ⅱ）,C D 为M 上的两点，若四边形ACBD 的对角线CD AB ⊥，求四边形ACBD 面积的最大值.解析：（Ⅰ）设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，P (x 0，y 0)，则221122=1x y a b +，222222=1x y a b +，2121=1y y x x ---，由此可得2212122121=1b x x y y a y y x x (+)-=-(+)-.因为x 1＋x 2＝2x 0，y 1＋y 2＝2y 0，0012y x =，所以a 2＝2b 2. 又由题意知，M 的右焦点为0)，故a 2－b 2＝3. 因此a 2＝6，b 2＝3. 所以M 的方程为22=163x y +.（Ⅱ）由220,1,63x y x y ⎧+-=⎪⎨+=⎪⎩解析得x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或0,x y =⎧⎪⎨=⎪⎩因此|AB |＝3.由题意可设直线CD 的方程为(y x n n =+<<，设C (x 3，y 3)，D (x 4，y 4)．由22,163y x n x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得3x 2＋4nx ＋2n 2－6＝0.于是x 3,4.因为直线CD 的斜率为1，所以|CD |43|x x -=由已知，四边形ACBD的面积1||||2S CD AB =⋅=当n ＝0时，S.所以四边形ACBD（2012·新课标Ⅰ、Ⅱ，20）设抛物线C ：py x 22=（0>p ）的焦点为F ，准线为l ，A 为C 上一点，已知以F 为圆心，F A 为半径的圆F 交l 于B ，D 两点．（1）若∠BFD =90°，△ABD 的面积为24，求p 的值及圆F 的方程；（2）若A ，B ，F 三点在同一直线m 上，直线n 与m 平行，且n 与C 只有一个公共点，求坐标原点到m ，n 距离的比值．解析：（Ⅰ） 由对称性可知，BFD △为等腰直角三角形，斜边上的高为p ，斜边长2BD p =. 点A 到准线l的距离d FB FD ===.由ABD S =△得，11222BD d p ⨯⨯=⨯=， 2p ∴=. 圆F 的方程为22(1)8x y +-=.（Ⅱ） 由对称性，不妨设点(,)A A A x y 在第一象限，由已知得线段AB 是圆F 的在直径，90oADB ∠=，2BD p ∴=，32A y p ∴=，代入抛物线:C py x 22=得A x .直线m的斜率为AF k ==.直线m 的方程为0x -=. 由py x 22= 得22x y p =,x y p '=.由x y p '==得, x p =.故直线n 与抛物线C的切点坐标为)6p ，直线n的方程为0x -=. 所以坐标原点到m ，n3=. （2011·新课标Ⅰ、Ⅱ，20）在平面直角坐标系xOy 中，已知点A(0,-1)，B 点在直线y = -3上，M 点满足//MB OA uuu r uu r， MA AB MB BA ⋅=⋅uuu r uu u r uuu r uu r ，M 点的轨迹为曲线C ．（Ⅰ）求C 的方程；（Ⅱ）P 为C 上的动点，l 为C 在P 点处得切线，求O 点到l 距离的最小值．解析：（Ⅰ）设M (x , y )，由已知得B (x , -3)，A (0, -1). 所以,1)(MA x y -=--u u u r ， (03)MB y =--，u u u r，(,2)B x A =-u u u r .。

(含详解)2011年-2017年新课标高考数学三角函数与解三角分类汇编(理)附答案

(含详解)2011年-2017年新课标高考数学三角函数与解三角分类汇编(理)附答案

2011-2017新课标三角函数分类汇编一、选择题【2011新课标】5. 已知角θ的顶点与原点重合，始边与x 轴的正半轴重合，终边在直线2y x =上，则cos2θ=（ B ）（A ）45-（B ）35-（C ）35 （D ）45【2011新课标】11. 设函数()sin()cos()(0,)2f x x x πωϕωϕωϕ=+++><的最小正周期为π，且()()f x f x -=，则( A )（A ）()f x 在0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递减 （B ）()f x 在3,44ππ⎛⎫⎪⎝⎭单调递减（C ）()f x 在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭单调递增（D ）()f x 在3,44ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递增【2011新课标】12. 函数11y x =-的图像与函数2sin (24)y x x π=-≤≤的图像所有焦点的横坐标之和等于( D )（A ）2 (B) 4 (C) 6 (D)8【2012新课标】9. 已知0ω>，函数()sin()4f x x πω=+在(,)2ππ上单调递减。

则ω的取值范围是（ A ）()A 15[,]24 ()B 13[,]24 ()C 1(0,]2 ()D (0,2]【解析】592()[,]444x πππωω=⇒+∈ 不合题意 排除()D351()[,]444x πππωω=⇒+∈合题意 排除()()B C【2013新课标1】12、设△A n B n C n 的三边长分别为a n ,b n ,c n ，△A n B n C n 的面积为S n ，n=1,2,3,…若b 1＞c 1，b 1＋c 1＝2a 1，a n ＋1＝a n ，b n ＋1＝cn ＋an 2，c n ＋1＝bn ＋an2，则( B ) A 、{S n }为递减数列B 、{S n }为递增数列C 、{S 2n －1}为递增数列，{S 2n }为递减数列D 、{S 2n －1}为递减数列，{S 2n }为递增数列【答案】1111111111202b a c c a c c a c =->>∴->∴>且b 111111111120b a a c a a c b a c ∴-=--=->∴>>11111111111222a b c a a c c a c a c -<∴--<∴>∴>又111111112(2)22n n n n n n n n b c c a b c a b c a ++++++=+∴+-=+-由题意，b1120222n n n n n n n n b c a b c a a b c a ∴+-=∴+==∴+=11111112(2)22n n n n n n n n n c b a b bb c b a b a b ++++----=∴--==-又由题意，111111111()()()22n n n n b a a b b a b a -+∴-=-∴-=--11111111111()(),2()()22n n n n n b a b a c a b a b a --∴=+--=-=---21111111111111333311()()()()()222222n n n a a aa S a ab a a b a --⎡⎤⎡⎤∴=------+--⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦ 222122*********()()()0)4444n a a a b a b a -⎡⎤⎡⎤=---->⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦单调递增（可证当n=1时【2014新课标1】8．设α∈（0，），β∈（0，），且tanα=，则（ C ） A. 3α﹣β=B. 3α+β=C. 2α﹣β=D. 2α+β=【答案】由tanα=，得：，即sinαcosβ=cosαsinβ+cosα， sin （α﹣β）=cosα．由等式右边为单角α，左边为角α与β的差，可知β与2α有关．排除选项A ，B 后验证C ， 当时，sin （α﹣β）=sin （）=cosα成立。

2011-2017年全国卷理科高考数学分类汇编

2011-2017年全国卷理科高考数学分类汇编

2011—2017年新课标高考全国Ⅰ卷理科数学分类汇编1．集合与常用逻辑用语一、选择题【2017，1】已知集合{}1A x x =<，{}31xB x =<，则（ ）A ．{|0}AB x x =< B ．A B =RC ．{|1}A B x x =>D ．A B =∅ 【2016，1】设集合}034{2<+-=x x x A ，}032{>-=x x B ，则A B =I （ ）A ．)23,3(--B ．)23,3(-C ．)23,1(D ．)3,23(【2015，3】设命题p ：n ∃∈N ，22n n >，则p ⌝为（ ）A ．n ∀∈N ，22n n > B ．n ∃∈N ，22n n ≤ C ．n ∀∈N ，22n n ≤ D ．n ∃∈N ，22n n =【2014，1】已知集合A ={x |2230x x --≥}，B ={}22x x -≤<，则A B ⋂=( )A ．[-2,-1]B ．[-1,2）C ．[-1,1]D ．[1,2）【2013，1】已知集合A ＝{x |x 2－2x ＞0}，B ＝{x |x ，则( )A ．A ∩B ＝B ．A ∪B ＝RC ．B ⊆AD ．A ⊆B【2012，1】已知集合A ={1，2，3，4，5}，B ={（x ，y ）|x A ∈，y A ∈，x y A -∈}，则B 中包含元素的个数为（ ） A ．3 B ．6C ．8D ．102．函数及其性质（含解析）一、选择题【2017，5】函数()f x 在(,)-∞+∞单调递减，且为奇函数．若(11)f =-，则满足21()1x f --≤≤的x 的取值范围是（ ）A ．[2,2]-B ． [1,1]-C ． [0,4]D ． [1,3]【2017，11】设,,x y z 为正数，且235x y z ==，则（ ）A ．2x <3y <5zB ．5z <2x <3yC ．3y <5z <2xD ．3y <2x <5z 【2016，7】函数xe x y -=22在]2,2[-的图像大致为（ ）A ．B ．C ．D ．【2016，8】若1>>b a ，10<<c ，则（ ） A ．c c b a <B ．c c ba ab <C ．c b c a a b log log <D ．c c b a log log <【2014，3】设函数()f x ，()g x 的定义域都为R ，且()f x 是奇函数，()g x 是偶函数，则下列结论正确的是（ ）A ．()f x ()g x 是偶函数B ．|()f x |()g x 是奇函数C ．()f x |()g x |是奇函数D ．|()f x ()g x |是奇函数【2013，11】已知函数f (x )＝220ln(1)0.x x x x x ⎧-+≤⎨+>⎩，，，若|f (x )|≥ax ，则a 的取值范围是( )A ．(－∞，0]B ．(－∞，1]C ．[－2,1]D ．[－2,0] 【2012，10】已知函数1()f x =，则()y f x =的图像大致为（ ）A ．B ．D ．【2011，12】函数11y x =-的图像与函数2sin (24)y x x π=-≤≤的图像所有交点的横坐标之和等于（ ）A ．2 B ．4 C ．6 D ．8【2011，2】下列函数中，既是偶函数又在+∞（0，）单调递增的函数是（ ）A ．3y x =B ．1y x =+C ．21y x =-+D ．2xy -=二、填空题【2015，13】若函数f (x )=xln （x a =3．导数及其应用一、选择题【2014，11】已知函数()f x =3231ax x -+，若()f x 存在唯一的零点0x ，且0x ＞0，则a 的取值范围为A ．（2，+∞） B ．（-∞，-2） C ．（1，+∞） D ．（-∞，-1） 【2012，12】设点P 在曲线12xy e =上，点Q 在曲线ln(2)y x =上，则||PQ 的最小值为（ ）A ．1ln 2-B ln 2)-C ．1ln 2+D ln 2)+【2011，9】由曲线y ，直线2y x =-及y 轴所围成的图形的面积为（ ）A ．103 B ．4 C ．163D ．6 二、填空题【2017，16】如图，圆形纸片的圆心为O ，半径为5 cm ，该纸片上的等边三角形ABC 的中心为O ．D 、E 、F 为圆O 上的点，△DBC ，△ECA ，△F AB 分别是以BC ，CA ，AB 为底边的等腰三角形．沿虚线剪开后，分别以BC ， CA ，AB 为折痕折起△DBC ，△ECA ，△F AB ，使得D ，E ，F 重合，得到三棱锥．当△ABC ．的边长变化时，所得三棱锥体积（单位：cm 3）的最大值为_______．【2013，16】若函数f (x )＝(1－x 2)(x 2＋ax ＋b )的图像关于直线x ＝－2对称，则f (x )的最大值为__________．三、解答题【2017，12】已知函数()()22xx f x aea e x =+--．（1）讨论()f x 的单调性；（2）若()f x 有两个零点，求a 的取值范围．【2016，12】已知函数2)1()2()(-+-=x a e x x f x 有两个零点． （Ⅰ）求a 的取值范围；（Ⅱ）设21,x x 是)(x f 的两个零点，证明：221<+x x ．【2015，12】已知函数31()4f x x ax =++，()ln g x x =-． （Ⅰ）当a 为何值时，x 轴为曲线()y f x =的切线；（Ⅱ）用min{,}m n 表示,m n 中的最小值，设函数min{),()(}()h x f x g x =（0x >），讨论()h x 零点的个数．【2014，21】设函数1(0ln x xbe f x ae x x-=+，曲线()y f x =在点（1，(1)f 处的切线为(1)2y e x =-+． (Ⅰ)求,a b ； （Ⅱ）证明：()1f x >．【2013，21】设函数f (x )＝x 2＋ax ＋b ，g (x )＝e x (cx ＋d )．若曲线y ＝f (x )和曲线y ＝g (x )都过点P (0,2)，且在点P 处有相同的切线y ＝4x ＋2．(1)求a ，b ，c ，d 的值；(2)若x ≥－2时，f (x )≤kg (x )，求k 的取值范围．【2012，21】已知函数)(x f 满足2121)0()1(')(x x f e f x f x +-=-． （1）求)(x f 的解析式及单调区间；（2）若b ax x x f ++≥221)(，求b a )1(+的最大值．【2011，21】已知函数ln ()1a x bf x x x=++，曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程为230x y +-=．（Ⅰ）求a 、b 的值；（Ⅱ）如果当0x >，且1x ≠时，ln ()1x kf x x x>+-，求k 的取值范围．4．三角函数、解三角形一、选择题【2017，9】已知曲线C 1：y =cos x ，C 2：y =sin (2x +2π3)，则下面结正确的是（ ） A ．把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线C 2B ．把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到曲线C 2C ．把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线C 2D ．把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到曲线C 2【2016，12】已知函数)2,0)(sin()(πϕωϕω≤>+=x x f ，4π-=x 为)(x f 的零点，4π=x 为)(x f y =图像的对称轴，且)(x f 在)365,18(ππ单调，则ω的最大值为（ ）A ．11B ．9C ．7D ．5【2015，8】函数()f x =cos()x ωϕ+的部分图象如图所示，则()f x 的单调递减区间为（ ）A ．13(,),44k k k ππ-+∈Z B ．13(2,2),44k k k ππ-+∈Z C ．13(,),44k k k -+∈Z D ．13(2,2),44k k k -+∈Z【2015，2】sin 20cos10cos160sin10-= （ ）A ．BC ．12-D ．12【2014，6】如图，圆O 的半径为1，A 是圆上的定点，P 是圆上的动点，角x 的始边为射线OA ，终边为射线OP ，过点P 作直线OA 的垂线，垂足为M ，将点M 到直线OP 的距离表示为x 的函数()f x ，则y =()f x 在[0,π]上的图像大致为（ ）【2014，8】设(0,)2πα∈，(0,)2πβ∈，且1sin tan cos βαβ+=，则（ ） A ．32παβ-=B ．22παβ-=C ．32παβ+=D ．22παβ+=【2012，9】已知0ω>，函数()sin()4f x x πω=+在（2π，π）上单调递减，则ω的取值范围是（ ）A ．[12，54] B ．[12，34] C ．（0，12] D ．（0，2]【2011，5】已知角θ的顶点与原点重合，始边与x 轴的正半轴重合，终边在直线2y x =上，则cos 2θ=（ ）A ．45-B ．35-C ．35D ．45【2011，11】设函数()sin()cos()(0,)2f x x x πωϕωϕωϕ=+++><的最小正周期为π，且()()f x f x -=，则（ ） A ．()f x 在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭单调递减 B ．()f x 在3,44ππ⎛⎫⎪⎝⎭单调递减 C ．()f x 在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭单调递增 D ．()f x 在3,44ππ⎛⎫⎪⎝⎭单调递增二、填空题【2015，16】在平面四边形ABCD 中，75A B C ∠=∠=∠= ，2BC =，则AB 的取值范围是 ．【2014，16】已知,,a b c 分别为ABC ∆的三个内角,,A B C 的对边，a =2，且(2)(sin sin )()sin b A B c b C +-=-，则ABC ∆面积的最大值为 ．【2013，15】设当x θ＝时，函数()2f x sinx cosx ＝－取得最大值，则cos θ＝_________.【2011，16】在ABC V 中，60,B AC = 2AB BC +的最大值为 ． 三、解答题【2017，17】△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知△ABC 的面积为23sin a A（1）求sinBsinC ；（2）若6cosBcosC =1,a =3,求△ABC 的周长【2016，17】ABC ∆的内角C B A ,,的对边分别为c b a ,,，已知c A b B a C =+)c o s c o s (c o s 2．（Ⅰ）求C ；（Ⅱ）若7=c ，ABC ∆的面积为233，求ABC ∆的周长．【2013，17】如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB BC＝1，P为△ABC内一点，∠BPC＝90°．(1)若PB＝12，求P A；(2)若∠APB＝150°，求tan∠PBA．【2012，17】已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，cos sin0a C Cb c--=．（1）求A；（2）若2a=，△ABC b，c．5．平面向量一、选择题【2015，7】设D 为ABC ∆所在平面内一点3BC CD = ，则（ ）A ．1433AD AB AC =-+ B ．1433AD AB AC =- C ．4133AD AB AC =+ D ．4133AD AB AC =- 【2011，10】已知a 与b 均为单位向量，其夹角为θ，有下列四个命题12:10,3P a b πθ⎡⎫+>⇔∈⎪⎢⎣⎭ 22:1,3P a b πθπ⎛⎤+>⇔∈ ⎥⎝⎦ 3:10,3P a b πθ⎡⎫->⇔∈⎪⎢⎣⎭ 4:1,3P a b πθπ⎛⎤->⇔∈ ⎥⎝⎦其中的真命题是（ ）A ．14,P PB ．13,P PC ．23,P PD ．24,P P二、填空题【2017，13】已知向量a ，b 的夹角为60°，|a |=2， | b |=1，则| a +2 b |= ．【2016，13】设向量a )1,(m =，b )2,1(=，且|a +b ||2=a ||2+b 2|，则=m ．【2014，15】已知A ，B ，C 是圆O 上的三点，若1()2AO AB AC =+ ，则AB 与AC 的夹角为 ．【2013，13】已知两个单位向量a ，b 的夹角为60°，c ＝t a ＋(1－t )b ．若b ·c ＝0，则t ＝__________．【2012，13】已知向量a ，b 夹角为45°，且||1a = ，|2|a b - ||b = _________．6．数列一、选择题【2017，4】记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和．若4524a a +=，648S =，则{}n a 的公差为（ ）A ．1B ．2C ．4D ．8【2017，12】几位大学生响应国家的创业号召，开发了一款应用软件．为激发大家学习数学的兴趣，他们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动．这款软件的激活码为下面数学问题的答案：已知数列1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16 ，…，其中第一项是20，接下来的两项是20，21，再接下来的三项是20，21，22，依此类推．求满足如下条件的最小整数N ：N >100且该数列的前N 项和为2的整数幂．那么该款软件的激活码是（ ） A ．440 B ．330 C ．220 D ．110【2016，3】已知等差数列}{n a 前9项的和为27，810=a ，则=100a （ ）A ．100B ．99C ．98D ．97【2013，7】设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S m －1＝－2，S m ＝0，S m ＋1＝3，则m ＝( )．A ．3B ．4C ．5D ．6【2013，12】设△A n B n C n 的三边长分别为a n ，b n ，c n ，△A n B n C n 的面积为S n ，n ＝1,2,3，….若b 1＞c 1，b 1＋c 1＝2a 1，a n ＋1＝a n ，b n ＋1＝2n n c a +，c n ＋1＝2n n b a +，则( )． A ．{S n }为递减数列 B ．{S n }为递增数列C ．{S 2n －1}为递增数列，{S 2n }为递减数列D ．{S 2n －1}为递减数列，{S 2n }为递增数列【2013，14】若数列{a n }的前n 项和2133n n S a =+，则{a n }的通项公式是a n ＝__________． 【2012，5】已知{n a }为等比数列，472a a +=，568a a =-，则110a a +=（ ）A ．7B ．5C ．－5D ．－7二、填空题【2016，15】设等比数列}{n a 满足1031=+a a ，542=+a a ，则12n a a a L 的最大值为 ．【2012，16】数列{n a }满足1(1)21n n n a a n ++-=-，则{n a }的前60项和为__________．三、解答题【2015，17】n S 为数列{}n a 的前n 项和．已知n a ＞0，2243nn n a a S +=+． （Ⅰ）求{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设11n n n b a a +=，求数列{}n b 的前n 项和．【2014，17】已知数列{n a }的前n 项和为n S ，1a =1，0n a ≠，11n n n a a S λ+=-，其中λ为常数．(Ⅰ)证明：2n n a a λ+-=；（Ⅱ）是否存在λ，使得{n a }为等差数列？并说明理由．【2011，17】等比数列{}n a 的各项均为正数，且212326231,9.a a a a a +== （Ⅰ)求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设 31323log log ......log ,n n b a a a =+++求数列1n b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和．7．不等式、推理与证明（含解析）一、选择题【2014，9）】不等式组124x y x y +≥⎧⎨-≤⎩的解集记为D ．有下面四个命题：1p ：(,),22x y D x y ∀∈+≥-；2p ：(,),22x y D x y ∃∈+≥；3P ：(,),23x y D x y ∀∈+≤；4p ：(,),21x y D x y ∃∈+≤-．其中真命题是（ ）A ．2p ，3PB ．1p ，4pC ．1p ，2pD ．1p ，3P二、填空题【2017，14】设x ，y 满足约束条件21210x y x y x y +≤⎧⎪+≥-⎨⎪-≤⎩，则32z x y =-的最小值为 ．【2016，16】某高科技企业生产产品A 和产品B 需要甲、乙两种新型材料．生产一件产品A 需要甲材料1．5kg ，乙材料1kg ，用5个工时；生产一件产品B 需要甲材料0．5kg ，乙材料0．3kg ，用3个工时．生产一件产品A 的利润为2100元，生产一件产品B 的利润为900元．该企业现有甲材料150kg ，乙材料90kg ，则在不超过600个工时的条件下，生产产品A 、产品B 的利润之和的最大值为 元．【2015，15】若x ,y 满足约束条件10040x x y x y -≥⎧⎪-≤⎨⎪+-≤⎩，则y x 的最大值为 ． 【2014，14】甲、乙、丙三位同学被问到是否去过A ，B ，C 三个城市时，甲说：我去过的城市比乙多，但没去过B 城市；乙说：我没去过C 城市；丙说：我们三人去过同一个城市．由此可判断乙去过的城市为 ．【2012，14】设x ，y 满足约束条件130x y x y x y -≥-⎧⎪+≤⎪⎨≥⎪⎪≥⎩，则2z x y =-的取值范围为___________．【2011，13】若变量,x y 满足约束条件329,69,x y x y ≤+≤⎧⎨≤-≤⎩则2z x y =+的最小值为 ．1．集合与常用逻辑用语（解析版）一、选择题【2017，1】【解析】{}1A x x =<，{}{}310x B x x x =<=<，∴{}0A B x x =< ，{}1A B x x =< ，故选A【2016，1】【解析】{}13A x x =<<，{}32302B x x x x ⎧⎫=->=>⎨⎬⎩⎭．故332A B x x ⎧⎫=<<⎨⎬⎩⎭I ．故选D ． 【2015，3】解析：命题p 含有存在性量词（特称命题），是真命题（如3n =时），则其否定（p ⌝）含有全称量词（全称命题），是假命题，故选C ．.【2014，1】【解析】∵{|13}A x x x =≤-≥或，B ={}22x x -≤<，∴A B ⋂={}21x x -≤≤，选A .【2013，1】解析：∵x (x －2)＞0，∴x ＜0或x ＞2，∴集合A 与B 可用图象表示为：由图象可以看出A ∪B ＝R ，故选B .【2012，1】【解析】由集合B 可知，x y >，因此B ={（2，1），（3，2），（4，3），（5，4），（3，1），（4，2），（5，3），（4，1），（5，2），（5，1）}，B 的元素10个，所以选择D ． 2．函数与导数（解析版）一、选择题【2017，5】【解析】因为()f x 为奇函数，所以()()111f f -=-=，于是()121f x --≤≤，等价于()()()121f f x f --≤≤，又()f x 在()-∞+∞，单调递减，121x ∴--≤≤，3x ∴1≤≤，故选D ．【2017，11】【解析】取对数：ln 2ln3ln5x y ==．ln 33ln 22x y =>，∴23x y >，ln 2ln 5x z =，则ln55ln 22x z =<，∴25x z <∴325y x z <<，故选D ． 【法二】取对数：5ln 3ln 2ln z y x ==，y x y x y x 3212ln 3ln 2ln 33ln 2323ln 2ln 32>⇒>==⇒=， z x z x z x 5212ln 5ln 2ln 55ln 2525ln 2ln 52<⇒<==⇒=，z x y 523<<∴，故选D ； 【2016，7】【解析】()22288 2.80f e =->->，排除A ；()22288 2.71f e =-<-<，排除B ；0x >时，()22x f x x e =-，()4x f x x e '=-，当10,4x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()01404f x e '<⨯-= 因此()f x 在10,4⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递减，排除C ；故选D ． 【2016，8】【解析】由于01c <<，∴函数c y x =在R 上单调递增，因此1c c a b a b >>⇔>，A 错误；由于110c -<-<，∴函数1c y x -=在()1,+∞上单调递减，∴111c c c c a b a b ba ab -->>⇔<⇔<，B 错误；要比较log b a c 和log a b c ，只需比较ln ln a c b 和ln ln b c a ，只需比较ln ln c b b 和ln ln c a a ，只需ln b b 和ln a a ，构造函数()()ln 1f x x x x =>，则()'l n 110f x x =+>>，()f x 在()1,+∞上单调递增，因此()()110ln ln 0ln ln f a f b a a b b a a b b >>⇔>>⇔<，又由01c <<得ln 0c <， ∴ln ln log log ln ln a b c c b c a c a a b b<⇔<，C 正确； 要比较log a c 和log b c ，只需比较ln ln c a 和ln ln c b ，而函数ln y x =在()1,+∞上单调递增，故111ln ln 0ln ln a b a b a b >>⇔>>⇔<，又由01c <<得ln 0c <，∴ln ln log log ln ln a b c c c c a b>⇔>，D 错误；故选C ． 【2014，3】【解析】设()()()F x f x g x =，则()()()F x f x g x -=--，∵()f x 是奇函数，()g x 是偶函数， ∴()()()()F x f x g x F x -=-=-，()F x 为奇函数，选C .【2013，11】解析：选D ，由y ＝|f (x )|的图象知：①当x ＞0时，y ＝ax 只有a ≤0时，才能满足|f (x )|≥ax ，可排除B ，C .②当x ≤0时，y ＝|f (x )|＝|－x 2＋2x |＝x 2－2x .故由|f (x )|≥ax 得x 2－2x ≥ax .当x ＝0时，不等式为0≥0成立．当x ＜0时，不等式等价于x －2≤a ，∵x －2＜－2，∴a ≥－2.综上可知：a ∈[－2,0]．【2012，10】【解析】()y f x =的定义域为{|1x x >-且0}x ≠，排除D ； 因为221(1)1'()[ln(1)](1)[ln(1)]x x f x x x x x x --+==+-++-， 所以当(1,0)x ∈-时，'()0f x <，()y f x =在（－1，0）上是减函数；当(0,)x ∈+∞时，'()0f x >，()y f x =在(0,)+∞上是增函数．排除A 、C ，故选择B ．【2011】解析：图像法求解．11y x =-的对称中心是（1,0）也是2sin (24)y x x π=-≤≤的中心，24x -≤≤他们的图像在x =1的左侧有4个交点，则x =1右侧必有4个交点．不妨把他们的横坐标由小到大设为1,2345678,,,,,,x x x x x x x x ，则18273642x x x x x x x x +=+=+=+=，所以选D 【2011，2】解析：由图像知选B二、填空题【2015，13】解析：由函数f (x )=xln （x()ln(g x x =为奇函数（(0)0g ==）；由ln(ln(0x x ++-+=（()()0g x g x +-=），得ln 0a =，1a =，故填1.3．导数及其应用一、选择题【2015，12】解析：设()g x =(21)x e x -，y ax a =-，由题知存在唯一的整数0x ，使得0()g x 在直线y ax a =-的下方.因为()(21)x g x e x '=+，所以当12x <-时，()g x '＜0，当12x >-时，()g x '＞0，所以当12x =-时，min [()]g x =122e --，当0x =时，(0)1g =-，(1)30g e =>，直线y ax a =-恒过（1,0）斜率且a ，故(0)1a g ->=-，且1(1)3g e a a --=-≥--，解得32e≤a ＜1，故选D ．.作为选择题，该题也可先找到满足0()0f x <的整数0x ，由0x 的唯 一性列不等式组求解.由(0)10f a =-+<得00x =.又0x 是唯一使()0f x <的整数，所以(1)0(1)0f f -≥⎧⎨≥⎩，解得32a e ≥，又1a <，且34a =时符合题意.故选D ．. 【2014，11】【解析1】：由已知0a ≠，2()36f x ax x '=-，令()0f x '=，得0x =或2x a =， 当0a >时，()22,0,()0;0,,()0;,,()0x f x x f x x f x a a ⎛⎫⎛⎫'''∈-∞>∈<∈+∞> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭； 且(0)10f =>，()f x 有小于零的零点，不符合题意．当0a <时，()22,,()0;,0,()0;0,,()0x f x x f x x f x a a ⎛⎫⎛⎫'''∈-∞<∈>∈+∞< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭要使()f x 有唯一的零点0x 且0x ＞0，只需2()0f a >，即24a >，2a <-．选B【解析2】：由已知0a ≠，()f x =3231ax x -+有唯一的正零点，等价于3113a x x =- 有唯一的正零根，令1t x=，则问题又等价于33a t t =-+有唯一的正零根，即y a =与33y t t =-+有唯一的交点且交点在在y 轴右侧记3()3f t t t =-+，2()33f t t '=-+，由()0f t '=，1t =±，()(),1,()0;1,1,()0;t f t t f t ''∈-∞-<∈->，()1,,()0t f t '∈+∞<，要使33a t t =-+有唯一的正零根，只需(1)2a f <-=-，选B【2012，10】【解析】()y f x =的定义域为{|1x x >-且0}x ≠，排除D ； 因为221(1)1'()[ln(1)](1)[ln(1)]x x f x x x x x x --+==+-++-， 所以当(1,0)x ∈-时，'()0f x <，()y f x =在（－1，0）上是减函数；当(0,)x ∈+∞时，'()0f x >，()y f x =在(0,)+∞上是增函数．排除A 、C ，故选择B ．【2012，12】【解析】函数12x y e =与函数ln(2)y x =互为反函数，图象关于直线y x =称． 问题转化为求曲线12x y e =上点P 到直线y x =的距离的最小值d ，则||PQ 的最小值为2d．（用切线法）：设直线y x b =+与曲线12x y e =相切于点1(,)2t P t e ， 因为1'2x y e =，所以根据导数的几何意义，得112t e =，ln 2t =， 所以切点(ln 2,1)P ，从而1ln 2b =-，所以1ln 2y x =+- 因此曲线12x y e =上点P 到直线y x =的距离的最小值d 为直线 1ln 2y x =+-与直线y x =的距离，从而d =，所以min ||2ln2)PQ d ==- 【2011，9】解析：用定积分求解432420021162)(2)|323s x dx x x x =+=-+=⎰，选C 二、填空题【2017，16】【解析】由题，连接OD ，交BC 与点G ，由题，OD BC ⊥，OG =， 即OG 的长度与BC 的长度或成正比，设OG x =，则BC =，5DG x =-，三棱锥的高h =2132ABC S x =⋅=△，则213ABC V S h =⋅△ 令()452510f x x x =-，5(0,)2x ∈，()3410050f x x x '=-，令()0f x '>， 即4320x x -<，2x <，则()()280f x f =≤，则45V ，∴体积最大值为3．【2013，16】解析：∵函数f (x )的图像关于直线x ＝－2对称，∴f (x )满足f (0)＝f (－4)，f (－1)＝f (－3)，即15164,0893,b a b a b =-(-+)⎧⎨=-(-+)⎩解得8,15.a b =⎧⎨=⎩∴f (x )＝－x 4－8x 3－14x 2＋8x ＋15.由f ′(x )＝－4x 3－24x 2－28x ＋8＝0，得x 1＝－2x 2＝－2，x 3＝－2易知，f (x )在(－∞，－2上为增函数，在(－22)上为减函数，在(－2，－2＋上为增函数，在(－2∞)上为减函数．∴f (－2＝[1－(－22][(－22＋8(－2＋15]＝(－8－－＝80－64＝16.f (－2)＝[1－(－2)2][(－2)2＋8×(－2)＋15]＝－3(4－16＋15)＝－9.f (－2＝[1－(－22][(－22＋8(－2＋15]＝(－8＋＋＝80－64＝16. 故f (x )的最大值为16. 三、解答题【2017，12】【解析】（1）由于()()2e 2e x x f x a a x =+--，故()()()()22e 2e 1e 12e1xx x xf x a a a '=+--=-+， ①当0a ≤时，e 10x a -<，2e 10x +>．从而()0f x '<恒成立．()f x 在R 上单调递减； ②当0a >时，令()0f x '=，从而e 10x a -=，得ln x a =-．综上，当0a ≤当0a >时，()f x 在(,ln )a -∞-上单调递减，在(ln ,)a -+∞上单调递增 （2）由（1）知，当0a ≤时，()f x 在R 上单调减，故()f x 在R 上至多一个零点，不满足条件． 当0a >时，()min 1ln 1ln f f a a a =-=-+．令()11ln g a a a=-+． 令()()11ln 0g a a a a =-+>，则()211'0g a a a=+>．从而()g a 在()0+∞，上单调增，而 ()10g =．故当01a <<时，()0g a <．当1a =时()0g a =．当1a >时()0g a >， 若1a >，则()min 11ln 0f a g a a=-+=>，故()0f x >恒成立，从而()f x 无零点，不满足条件．若1a =，则m i n 11ln 0f a a=-+=，故()0f x =仅有一个实根ln 0x a =-=，不满足条件． 若01a <<，则min 11ln 0f a a =-+<，注意到ln 0a ->．()22110e e ea a f -=++->． 故()f x 在()1ln a --，上有一个实根，而又31ln 1ln ln a a a ⎛⎫->=- ⎪⎝⎭．且33ln 1ln 133ln(1)e e 2ln 1a a f a a a a ⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=⋅+--- ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭()3333132ln 11ln 10a a a a a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-⋅-+---=---> ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭． 故()f x 在3ln ln 1a a ⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，上有一个实根． 又()f x 在()ln a -∞-，上单调减，在()ln a -+∞，单调增，故()f x 在R 上至多两个实根．又()f x 在()1ln a --，及3ln ln 1a a ⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，上均至少有一个实数根，故()f x 在R 上恰有两个实根．综上，01a <<．【法二】令()0f x =，则22x x xe x a e e+=+．再令0xt e =>，则22ln t t a t t +=+， 而()f x 有两个零点，则22ln t t a t t +=+有两解，即直线y a =与曲线22ln t t y t t+=+有两个交点； 令()22ln (0)t t g t t t t +=>+，则()()()()()2222211ln 2ln t t t t t g t t t t t +--+'==++， 令()1ln h t t t =--，则()110h t t'=--<，注意到()10h =，所以()g t 在()0,1上单调递增，在()1,+∞上单调递减，即()()max 11g t g ==；而0lim (),lim ()0t t g t g t →→+∞→-∞→，所以当()0,1t ∈时，()(),1g t ∈-∞；当()0,1t ∈时，()()0,1g t ∈，所以，当22ln t ta t t+=+有两解时，a 的取值范围为()0,1．【2016，12】【解析】：⑴ 由已知得：()()()()()'12112x x f x x e a x x e a =-+-=-+① 若0a =，那么()()0202x f x x e x =⇔-=⇔=，()f x 只有唯一的零点2x =，不合题意；② 若0a >，那么20x x e a e +>>，所以当1x >时，()'0f x >，()f x 单调递增;当1x <时，()'0f x <，()f x 单调递减; 即：由于()20f a =>，()10f e =-<，则()()210f f <， 根据零点存在性定理，()f x 在()1,2上有且仅有一个零点． 而当1x <时，x e e <，210x -<-<，故()()()()()()()222212111x f x x e a x e x a x a x e x e =-+->-+-=-+--则()0f x =的两根11t =，21t =， 12t t <，因为0a >，故当1x t <或2x t >时，()()2110a x e x e -+-->因此，当1x <且1x t <时，()0f x >又()10f e =-<，根据零点存在性定理，()f x 在(),1-∞有且只有一个零点． 此时，()f x 在R 上有且只有两个零点，满足题意．③ 若02ea -<<，则()ln 2ln 1a e -<=，当()ln 2x a <-时，()1ln 210x a -<--<，()ln 2220a x e a e a -+<+=，即()()()'120x f x x e a =-+>，()f x 单调递增； 当()ln 21a x -<<时，10x -<，()ln 2220a x e a ea -+>+=，即()()()'120x f xx ea =-+<，()f x 单调递减； 当1x >时，10x ->，()ln 2220a x e a e a -+>+=，即()'0f x >，()f x 单调递增．即：()()()(){}22ln 22ln 22ln 21ln 2210f a a a a a a a -=---+--=--+<⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦故当1x ≤时，()f x 在()ln 2x a =-处取到最大值()l n 2f a -⎡⎤⎣⎦，那么()()l n 20fx f a -<⎡⎤⎣⎦≤恒成立，即()0f x =无解而当1x >时，()f x 单调递增，至多一个零点 此时()f x 在R 上至多一个零点，不合题意．④ 若2ea =-，那么()ln 21a -=当()1ln 2x a <=-时，10x -<，()ln 2220a x e a e a -+<+=，即()'0f x >，()f x 单调递增当()1ln 2x a >=-时，10x ->，()ln 2220a x e a e a -+>+=，即()'0f x >，()f x 单调递增又()f x 在1x =处有意义，故()f x 在R 上单调递增，此时至多一个零点，不合题意．⑤ 若2ea <-，则()ln 21a ->当1x <时，10x -<，()ln 212220a x e a e a e a -+<+<+=，即()'0f x >，()f x 单调递增当()1ln 2x a <<-时，10x ->，()ln 2220a x e a e a -+<+=，即()'0f x <，()f x 单调递减当()ln 2x a >-时，()1ln 210x a ->-->，()ln 2220a x e a ea -+>+=，即()'0f x >，()f x 单调递增即：0<恒成立，即()0f x =无解当()ln 2x a >-时，()f x 单调递增，至多一个零点,此时()f x 在R 上至多一个零点，不合题意．综上所述，当且仅当0a >时符合题意，即a 的取值范围为()0,+∞． ⑵ 由已知得：()()120f x f x ==，不难发现11x ≠，21x ≠，故可整理得：()()()()121222122211x x x e x e a x x ---==--,()()()221xx e g x x -=-，则()()12g x g x = ()()()2321'1x x g x e x -+=-，当1x <时，()'0g x <，()g x 单调递减；当1x >时，()'0g x >，()g x 单调递增．设0m >，构造代数式：()()111222*********m m m m m m m m g m g m e e e e m m m m +-----+-⎛⎫+--=-=+ ⎪+⎝⎭设()2111m m h m e m -=++，0m >,则()()2222'01m m h m e m =>+，故()h m 单调递增，有()()00h m h >=．因此，对于任意的0m >，()()11g m g m +>-．由()()12g x g x =可知1x 、2x 不可能在()g x 的同一个单调区间上，不妨设12x x <，则必有121x x <<令110m x =->，则有()()()()()1111211112g x g x g x g x g x +->--⇔->=⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦而121x ->，21x >，()g x 在()1,+∞上单调递增，因此：()()121222g x g x x x ->⇔-> 整理得：122x x +<．【2015，12】解：（Ⅰ）2()3f x x a '=+，若x 轴为曲线()y f x =的切线，则切点0(,0)x 满足00()0,()0f x f x '==，也就是2030x a +=且300104x ax ++=，解得012x =，34a =-，因此，当34a =-时，x 轴为曲线()y f x =的切线； （Ⅱ）当1x >时，()ln 0g x x =-<，函数()()()(min{}),h x f x g x g x ≤=没有零点； 当1x =时，若54a ≥-，则5(1)04f a =+≥，min{,(1)(1)(1)}(1)0h fg g ===，故1x =是()h x 的零点；当01x <<时，()ln 0g x x =->，以下讨论()y f x =在区间(0,1)上的零点的个数.对于2()3f x x a '=+，因为2033x <<，所以令()0f x '=可得23a x =-，那么（i ）当3a ≤-或0a ≥时，()f x '没有零点（()0f x '<或()0f x '>），()y f x =在区间(0,1)上是单调函数，且15(0),(1)44f f a ==+，所以当3a ≤-时，()y f x =在区间(0,1)上有一个零点；当0a ≥时，()y f x =在区间(0,1)上没有零点；（ii ）当30a -<<时，()0f x '<（0x <<）且()0f x '>（1x <<），所以x =14f =.显然，若0f >，即304a -<<时，()y f x =在区间(0,1)上没有零点；若0f =，即34a =-时，()y f x =在区间(0,1)上有1个零点；若0f <，即334a -<<-时，因为15(0),(1)44f f a ==+，所以若5344a -<<-，()y f x =在区间(0,1)上有2个零点；若534a -<≤-，()y f x =在区间(0,1)上有1个零点.综上，当34a >-或54a <-时，()h x 有1个零点；当34a =-或54a =-时，()h x 有2个零点；当5344a -<<-时，()h x 有3个零点.【2014，21】【解析】(Ⅰ) 函数()f x 的定义域为()0,+∞，112()ln x x x x a b bf x ae x e e e x x x--'=+-+由题意可得(1)2,(1)f f e '==，故1,2a b == ……………6分（Ⅱ）由(Ⅰ)知， 12()ln x xe f x e x x-=+，从而()1f x >等价于2ln xx x xe e ->-设函数()ln g x x x =，则()l n g x x x'=+，所以当10,x e ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0g x '<，当1,x e ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭时，()0g x '>，故()g x 在 10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递减，在1,e⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭单调递增，从而()g x 在()0,+∞的最小值为11()g e e=-.设函数2()xh x xe e-=-，则()()1xh x e x -'=-，所以当()0,1x ∈时，()0h x '>，当()1,x ∈+∞时，()0h x '<，故()h x 在()0,1单调递增，在()1,+∞单调递减，从而()h x ()g x 在()0,+∞的最小值1(1)h e=-.综上：当0x >时，()()g x h x >，即()1f x >. ……………12分 【2013，理21】解：(1)由已知得f (0)＝2，g (0)＝2，f ′(0)＝4，g ′(0)＝4.而f ′(x )＝2x ＋a ，g ′(x )＝e x (cx ＋d ＋c )，故b ＝2，d ＝2，a ＝4，d ＋c ＝4.从而a ＝4，b ＝2，c＝2，d ＝2.(2)由(1)知，f (x )＝x 2＋4x ＋2，g (x )＝2e x (x ＋1)． 设函数F (x )＝kg (x )－f (x )＝2ke x (x ＋1)－x 2－4x －2，则 F ′(x )＝2ke x (x ＋2)－2x －4＝2(x ＋2)(ke x －1)． 由题设可得F (0)≥0，即k ≥1. 令F ′(x )＝0得x 1＝－ln k ，x 2＝－2.①若1≤k ＜e 2，则－2＜x 1≤0.从而当x ∈(－2，x 1)时，F ′(x )＜0；当x ∈(x 1，＋∞)时，F ′(x )＞0.即F (x )在(－2，x 1)单调递减，在(x 1，＋∞)单调递增．故F (x )在[－2，＋∞)的最小值为F (x 1)． 而F (x 1)＝2x 1＋2－21x －4x 1－2＝－x 1(x 1＋2)≥0.故当x ≥－2时，F (x )≥0，即f (x )≤kg (x )恒成立． ②若k ＝e 2，则F ′(x )＝2e 2(x ＋2)(e x －e －2)．从而当x ＞－2时，F ′(x )＞0，即F (x )在(－2，＋∞)单调递增． 而F (－2)＝0，故当x ≥－2时，F (x )≥0，即f (x )≤kg (x )恒成立． ③若k ＞e 2，则F (－2)＝－2ke －2＋2＝－2e －2(k －e 2)＜0. 从而当x ≥－2时，f (x )≤kg (x )不可能恒成立．综上，k 的取值范围是[1，e 2]．【2012】【解析】（1）因为2121)0()1(')(x x f e f x f x +-=-，所以1'()'(1)(0)x f x f e f x -=-+，所以1(0)'(1)'(1)'(1)(0)1f f ef f f ⎧=⋅⎪⎨⎪=-+⎩，解得(0)1f =，'(1)f e =． 所以)(x f 的解析式为21()2x f x e x x =-+，由此得'()1x f x e x =-+． 而'()1x f x e x =-+是R 上的增函数，且'(0)0f =，因此，当(0,)x ∈+∞时，'()'(0)0f x f >=，)(x f 在(0,)+∞上是增函数； 当(,0)x ∈-∞时，'()'(0)0f x f <=，)(x f 在(,0)-∞上是减函数． 综上所述，函数)(x f 的增区间为(0,)+∞，减区间为(,0)-∞． （2）由已知条件得(1)x e a x b -+≥． ①（i ）若10a +<，则对任意常数b ，当0x <，且11bx a -<+， 可得(1)x e a x b -+<，因此①式不成立． （ii ）若10a +=，则(1)0a b +=．（iii ）若10a +>，设()(1)xg x e a x =-+，则'()(1)xg x e a =-+．当(,ln(1))x a ∈-∞+，'()0g x <；当(ln(1),)x a ∈++∞，'()0g x > 从而()g x 在(,ln(1))a -∞+单调递减，在(ln(1),)a ++∞单调递增． 所以b ax x x f ++≥221)(等价于1(1)ln(1)b a a a ≤+-++． ② 因此22(1)(1)(1)ln(1)a b a a a +≤+-++．设22()(1)(1)ln(1)h a a a a =+-++，则'()(1)(12ln(1))h a a a =+-+． 所以()h a 在12(1,1)e --单调递增，在12(1,)e -+∞单调递减， 故()h a 在121a e =-在处取得最大值，从而()2e h a ≤，即(1)2e a b +≤． 当121a e =-，122e b =时，②式成立，故b ax x x f ++≥221)(．综合得，b a )1(+的最大值为2e ． 【2011，21】（21）解：（I ）()()221ln 1x a x b x f x x x +⎛⎫- ⎪⎝⎭'=-+ 由于直线230x y +-=的斜率为12-，且过点()1,1，故()()11112f f =⎧⎪⎨'=-⎪⎩，即1122b a b =⎧⎪⎨-=-⎪⎩，解得1a =，1b =.（II ）由（I ）知()ln 11x f x x x =++，所以()()()2211ln 12ln 11k x x k f x x x x x x⎛⎫--⎛⎫⎪-+=+ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭考虑函数()()()()2112ln 0k x h x x x x--=+>，则()()()22112k x xh x x -++'=（i ）设0k ≤，由()()()22211k x x h x x +--'=知，当1x ≠时，()0h x '<. 而()10h =，故当()0,1x ∈时，()0h x <，可得()2101h x x >-； 当()1,x ∈+∞时，()0h x <，可得()2101h x x >- 从而当0x >，且1x ≠时，()ln 01x k f x x x ⎛⎫-+> ⎪-⎝⎭，即()ln 1x k f x x x ⎛⎫>+ ⎪-⎝⎭.（ii ）设01k <<，由于当11,1x k ⎛⎫∈ ⎪-⎝⎭时，()()21120k x x -++>，故()0h x '>，而()10h =，故当11,1x k ⎛⎫∈ ⎪-⎝⎭时，()0h x >，可得()2101h x x <-，与题设矛盾. （iii ）设1k ≥，此时()0h x '>，而()10h =，故当()1,x ∈+∞时，()0h x >，得()2101h x x <-，与题设矛盾.综合得，k 的取值范围为(],0-∞.4．三角函数、解三角形（解析版）一、选择题【2017，9】【解析】1:cos C y x =，22π:sin 23⎛⎫=+ ⎪⎝⎭C y x ，首先曲线1C 、2C 统一为一三角函数名，可将1:cos C y x =用诱导公式处理．πππcos cos sin 222⎛⎫⎛⎫==+-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭y x x x ．横坐标变换需将1=ω变成2=ω，即112πππs i ns i n 2s224⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+−−−−−−− ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭C 上各坐短它原y xyxx 点横标缩来2ππs i n 2s i n 233⎛⎫⎛⎫−−→=+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭y x x ．注意ω的系数，在右平移需将2=ω提到括号外面，这时π4+x 平移至π3+x ， 根据“左加右减”原则，“π4+x ”到“π3+x ”需加上π12，即再向左平移π12．故选D ； 【2016，12】【解析】：由题意知：12π+π 4ππ+π+42k k ωϕωϕ⎧-=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩则21k ω=+，其中k ∈Z ，()f x 在π5π,1836⎛⎫⎪⎝⎭单调，5π,123618122T ππω∴-=≤≤，接下来用排除法：若π11,4ωϕ==-，此时π()sin 114f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，()f x 在π3π,1844⎛⎫ ⎪⎝⎭递增，在3π5π,4436⎛⎫ ⎪⎝⎭递减，不满足()f x 在π5π,1836⎛⎫⎪⎝⎭单调；若π9,4ωϕ==，此时π()sin 94f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，满足()f x 在π5π,1836⎛⎫⎪⎝⎭单调递减．故选B ．【2015，8】解析：由五点作图知，1+4253+42πωϕπωϕ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，解得=ωπ，=4πϕ，所以()cos()4f x x ππ=+，令22,4k x k k πππππ<+<+∈Z ，解得124k -＜x ＜324k +，k ∈Z ，故单调减区间为（124k -，324k +），k ∈Z ，故选D ． 【2015，2】解析：sin 20cos10cos160sin10sin 20cos10cos 20sin10sin30-=+= ，选D ．.【2014，6】【解析】：如图：过M 作MD ⊥OP 于Ｄ，则 PM =sin x ，OM =cos x ,在Rt OMP∆中，MD =cos sin 1x x OM PM OP = cos sin x x =1sin 22x =，∴()f x 1sin 2(0)2x x π=≤≤，选B . 【2014，8】【解析】∵sin 1sin tan cos cos αβααβ+==，∴sin cos cos cos sin αβααβ=+ ()sin cos sin 2παβαα⎛⎫-==- ⎪⎝⎭，,02222ππππαβα-<-<<-<∴2παβα-=-，即22παβ-=，选B【2012，9】【解析】因为0ω>，2x ππ<<，所以2444x ππππωωωπ⋅+<+<⋅+，因为函数()sin()4f x x πω=+在（2π，π）上单调递减，所以242342πππωππωπ⎧⋅+≥⎪⎪⎨⎪⋅+≤⎪⎩，解得1524ω≤≤，故选择A .【2011，11】解析：())4f x x πωϕ=++，所以2ω=，又f (x )为偶函数，,424k k k z πππϕπϕπ∴+=+⇒=+∈，())2f x x x π∴=+=，选A .【2011，5】解析：由题知tan 2θ=,222222cos sin 1tan 3cos2cos sin 1tan 5θθθθθθθ--===-++，选B . 二、填空题【2015，16】解析: 如图所示，延长BA ，CD 交于E ，平移AD ，当A 与D 重合于E 点时，AB 最长，在BCE ∆中，75B C ∠=∠= ，30E ∠= ，2BC =，由正弦定理可得o osin 30sin 75BC BE=，解得BEAD ，当D 与C 重合时，AB 最短，此时在BCF ∆中，75B BFC ∠=∠= ，30FCB ∠= ，由正弦定理知o osin 30sin 75BF BC=，解得BF =AB的取值范围为.【2014，16】【解析】：由2a =且 (2)(sin sin )()sin b A B c b C +-=-，即()(sin sin )()sin a b A B c b C +-=-，由及正弦定理得：()()()a b a b c b c +-=-，∴222b c a bc +-=，故2221cos 22b c a A bc +-==，∴060A ∠=，∴224b c bc +-=，224b c bc bc =+-≥，∴1sin 2ABC S bc A ∆=≤【2013，15】解析：f (x )＝sin x －2cos xx x ⎫⎪⎭，令cos αsin α＝则f (x )(α＋x )，当x ＝2kπ＋π2－α(k ∈Z )时，sin (α＋x )有最大值1，f (x ) 即θ＝2kπ＋π2－α(k ∈Z )，所以cos θ＝πcos 2π+2k α⎛⎫- ⎪⎝⎭＝πcos 2α⎛⎫- ⎪⎝⎭＝sin α＝=【2011，16】解析：0120120A C C A +=⇒=-,0(0,120)A ∈,22sin sin sin BC ACBC A A B ==⇒=022sin 2sin(120)sin sin sin AB ACAB C A A A C B==⇒==-=+；2AB BC ∴+=5sin ))A A A A ϕϕ+=+=+，故最大值是三、解答题【2017，17】【解析】（1）∵ABC △面积23sin a S A =．且1s i n 2S b c A =，∴21sin 3sin 2a bc A A =， ∴223sin 2a bc A =，∵由正弦定理得223sin sin sin sin 2A B C A =，由s i n 0A ≠得2sin sin 3B C =． （2）由（1）得2sin sin 3B C =，1cos cos 6B C =，∵πA B C ++=， ∴()()1cos cos πcos sin sinC cos cos 2A B C B C B B C =--=-+=-=，又∵()0πA ∈，，∴60A =︒，sin A =1cos 2A =，由余弦定理得2229a b c bc =+-= ①由正弦定理得sin sin a b B A =⋅，sin sin a c C A =⋅，∴22sin sin 8sin a bc B C A=⋅= ②由①②得b c +=∴3a b c ++=，即ABC △周长为3+【2016，17】【解析】⑴()2cos cos cos C a B b A c+=，由正弦定理得：()2cos sin cos sin cos sin C A B B A C ⋅+⋅=。

2011年—2017年新课标全国卷(1卷、2卷、3卷)理科数学试题分类汇编——14.坐标系与参数方程

2011年—2017年新课标全国卷(1卷、2卷、3卷)理科数学试题分类汇编——14.坐标系与参数方程

2011年—2017年新课标全国卷Ⅱ理科数学试题分类汇编14．坐标系与参数方程（逐题解析版）（2017·新课标Ⅰ，22）在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为3cos ,sin ,x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数），直线l 的参数方程为4,1,x a t y t =+⎧⎨=-⎩（t 为参数）．（1）若1a =-，求C 与l 的交点坐标；（2）若C 上的点到l a ．（2017·新课标Ⅱ，22）在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线1C 的极坐标方程为cos 4ρθ=．（1）M 为曲线1C 上的动点，点P 在线段OM 上，且满足||||16OM OP ⋅=,求点P 的轨迹2C 的直角坐标方程；（2）设点A 的极坐标为(2,)3π，点B 在曲线2C 上，求OAB ∆面积的最大值．（2017·新课标Ⅲ，）在直角坐标系xOy 中，直线1l 的参数方程为2+x ty kt =⎧⎨=⎩（t 为参数），直线2l 的参数方程为2x mm m y k =-+⎧⎪⎨=⎪⎩（为参数）．设1l 与2l 的交点为P ，当k 变化时，P 的轨迹为曲线C ． （1）写出C 的普通方程；（2）以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，设()3cos sin 0l ρθθ+=：，M 为3l 与C 的交点，求M 的极径．（2016·新课标Ⅰ，23）在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为⎩⎨⎧+==,sin 1,cos t a y t a x t (为参数，)0>a ．在以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线θρcos 4:2=C ． （Ⅰ）说明1C 是哪一种曲线，并将1C 的方程化为极坐标方程；（Ⅱ）直线3C 的极坐标方程为0αθ=，其中0α满足2tan 0=α，若曲线1C 与2C 的公共点都在3C 上，求a ．（2016·新课标Ⅱ，23）在直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为22(+6)+=25x y .（Ⅰ）以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，求C 的极坐标方程；（Ⅱ）直线l 的参数方程是cos sin x t y t αα=⎧⎨=⎩（t 为参数），l 与C 交于A ，B 两点，AB =l 的斜率.（2016·新课标Ⅲ，23）在直线坐标系xoy 中，曲线C 1的参数方程为sin x y αα⎧=⎪⎨=⎪⎩(α为参数)。

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立体几何20177．某多面体的三视图如图所示，其中正视图和左视图都由正方形和等腰直角三角形组成，正方形的边长为2,俯视图为等腰直角三角形。

该多面体的各个面中有若干个是梯形，这些梯形的面积之和为A．10 B．12 C．14 D．1616．如图，圆形纸片的圆心为O，半径为5 cm,该纸片上的等边三角形ABC的中心为O.D、E、F 为圆O上的点，△DBC，△ECA，△FAB分别是以BC,CA，AB为底边的等腰三角形.沿虚线剪开后，分别以BC，CA,AB为折痕折起△DBC，△ECA，△FAB，使得D、E、F重合，得到三棱锥.当△ABC的边长变化时，所得三棱锥体积（单位：cm3)的最大值为_______.18.（12分）如图，在四棱锥P—ABCD中，AB//CD,且90BAP CDP∠=∠=。

（1）证明：平面PAB⊥平面PAD；（2）若PA=PD=AB=DC,90APD∠=，求二面角A-PB-C的余弦值.2016(6)如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条相互垂直的半径.若该几何体的体积是283π，则它的表面积是（A）17π（B)18π（C)20π(D）28π(11）平面a过正方体ABCD—A1B1C1D1的顶点A,a//平面CB1D1,a⋂平面ABCD=m，a⋂平面ABB1A1=n，则m、n所成角的正弦值为（A)32（B)22(C）33(D)13（18）(本题满分为12分）如图，在以A，B,C，D,E，F为顶点的五面体中，面ABEF为正方形,AF=2FD，90AFD∠=，且二面角D-AF—E与二面角C-BE-F都是60．(I）证明：平面ABEF⊥EFDC；（II）求二面角E—BC—A的余弦值．20156、《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题:“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺,问”积及为米几何？"其意思为：“在屋内墙角处堆放米（如图，米堆为一个圆锥的四分之一），米堆底部的弧长为8尺,米堆的高为5尺，米堆的体积和堆放的米各为多少？”已知1斛米的体积约为1。

2011—2017年新课标全国卷1理科数学分类汇编 三角函数、解三角形

2011—2017年新课标全国卷1理科数学分类汇编 三角函数、解三角形

4．三角函数、解三角形一、选择题【2017，9】已知曲线C 1：y =cos x ，C 2：y =sin (2x +2π3)，则下面结正确的是（ ） A ．把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线C 2B ．把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到曲线C 2C ．把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线C 2D ．把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到曲线C 2【2016，12】已知函数)2,0)(sin()(πϕωϕω≤>+=x x f ，4π-=x 为)(x f 的零点，4π=x 为)(x f y =图像的对称轴，且)(x f 在)365,18(ππ单调，则ω的最大值为（ ）A ．11B ．9C ．7D ．5【2015，8】函数()f x =cos()x ωϕ+的部分图象如图所示，则()f x 的单调递减区间为（ ）A ．13(,),44k k k ππ-+∈Z 错误!未找到引用源。

B ．13(2,2),44k k k ππ-+∈Z 错误!未找到引用源。

C ．13(,),44k k k -+∈ZD ．13(2,2),44k k k -+∈Z【2015，2】sin 20cos10cos160sin10-=（ ）A ．32-B ．32C ．12-D ．12【2014，6】如图，圆O 的半径为1，A 是圆上的定点，P 是圆上的动点，角x 的始边为射线OA ，终边为射线OP ，过点P 作直线OA 的垂线，垂足为M ，将点M 到直线OP 的距离表示为x 的函数()f x ，则y =()f x 在[0,π]上的图像大致为（ ）【2014，8】设(0,)2πα∈，(0,)2πβ∈，且1sin tan cos βαβ+=，则（ ） A ．32παβ-=B ．22παβ-=C ．32παβ+=D ．22παβ+=【2012，9】已知0ω>，函数()sin()4f x x πω=+在（2π，π）上单调递减，则ω的取值范围是（ ）A ．[12，54] B ．[12，34] C ．（0，12] D ．（0，2]【2011，5】已知角θ的顶点与原点重合，始边与x 轴的正半轴重合，终边在直线2y x =上，则cos2θ=A ．45-B ．35-C ．35D ．45【2011，11】设函数()sin()cos()(0,)2f x x x πωϕωϕωϕ=+++><的最小正周期为π，且()()f x f x -=，则（ ）A ．()f x 在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭单调递减 B ．()f x 在3,44ππ⎛⎫⎪⎝⎭单调递减 C ．()f x 在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭单调递增 D ．()f x 在3,44ππ⎛⎫⎪⎝⎭单调递增 二、填空题【2015，16】在平面四边形ABCD 中，75A B C ∠=∠=∠=，2BC =，则AB 的取值范围是 ． 【2014，16】已知,,a b c 分别为ABC ∆的三个内角,,A B C 的对边，a =2，且(2)(sin sin )()sin b A B c b C +-=-，则ABC ∆面积的最大值为 ． 【2013，15】设当x ＝θ时，函数f (x )＝sin x －2cos x 取得最大值，则cos θ＝__________． 【2011，16】在ABC 中，60,3B AC ==2AB BC +的最大值为 ． 三、解答题【2017，17】△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知△ABC 的面积为23sin a A（1）求sin B sin C ；（2）若6cos B cos C =1,a =3,求△ABC 的周长【2016，17】ABC ∆的内角C B A ,,的对边分别为c b a ,,，已知c A b B a C =+)cos cos (cos 2． （Ⅰ）求C ；（Ⅱ）若7=c ，ABC ∆的面积为233，求ABC ∆的周长．【2013，17】如图，在△ABC 中，∠ABC ＝90°，AB ，BC ＝1，P 为△ABC 内一点，∠BPC ＝90°．(1)若PB ＝12，求P A ；(2)若∠APB ＝150°，求tan ∠PBA ．【2012，17】已知a ，b ，c 分别为△ABC 三个内角A ，B ，C 的对边，cos sin 0a C C b c --=．（1）求A ；（2）若2a =，△ABC b ，c ．3．三角函数、解三角形（解析版）一、选择题【2017，9】已知曲线C 1：y =cos x ，C 2：y =sin (2x +2π3)，则下面结正确的是（ ） A ．把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线C 2B ．把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到曲线C 2C ．把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线C 2D ．把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到曲线C 2【解析】1:cos C y x =，22π:sin 23⎛⎫=+ ⎪⎝⎭C y x ，首先曲线1C 、2C 统一为一三角函数名，可将1:cos C y x =用诱导公式处理．πππcos cos sin 222⎛⎫⎛⎫==+-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭y x x x ．横坐标变换需将1=ω变成2=ω，即112πππsin sin 2sin 2224⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+−−−−−−−−−→=+=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭C 上各坐短它原y x y x x 点横标缩来2ππsin 2sin 233⎛⎫⎛⎫−−→=+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭y x x ． 注意ω的系数，在右平移需将2=ω提到括号外面，这时π4+x 平移至π3+x ， 根据“左加右减”原则，“π4+x ”到“π3+x ”需加上π12，即再向左平移π12．故选D ； 【2016，12】已知函数)2,0)(sin()(πϕωϕω≤>+=x x f ，4π-=x 为)(x f 的零点，4π=x 为)(x f y =图像的对称轴，且)(x f 在)365,18(ππ单调，则ω的最大值为（ ）A ．11B ．9C ．7D ．5【解析】：由题意知：12π+π 4ππ+π+42k k ωϕωϕ⎧-=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩则21k ω=+，其中k ∈Z ，()f x 在π5π,1836⎛⎫⎪⎝⎭单调，5π,123618122T ππω∴-=≤≤，接下来用排除法：若π11,4ωϕ==-，此时π()sin 114f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，()f x 在π3π,1844⎛⎫ ⎪⎝⎭递增，在3π5π,4436⎛⎫ ⎪⎝⎭递减，不满足()f x 在π5π,1836⎛⎫⎪⎝⎭单调；若π9,4ωϕ==，此时π()sin 94f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，满足()f x 在π5π,1836⎛⎫⎪⎝⎭单调递减．故选B ．【2015，8】函数()f x =cos()x ωϕ+的部分图象如图所示，则()f x 的单调递减区间为（ ）A ．13(,),44k k k ππ-+∈Z 错误!未找到引用源。

2013---2017年全国1卷高考理科数学分类汇编---函数

2013---2017年全国1卷高考理科数学分类汇编---函数

2013---2017年全国1卷高考理科数学分类汇编---函数（2017全国 1.理数.5）函数()f x 在(,)-∞+∞单调递减，且为奇函数．若(11)f =-，则满足21()1x f --≤≤的x 的取值范围是A.[2,2]-B.[1,1]-C.[0,4]D.[1,3]【考点】：函数不等式，函数的单调性。

【思路】：奇函数左右两侧单调性相同，根据奇函数的性质求解()11f -=，利用单调性代入不等式即可。

【解析】:()()()()12112112113f x f f x f x x -≤-≤⇒≤-≤-⇒-≤-≤⇒≤≤故而选D 。

（2017全国1.理数.11）设xyz 为正数，且235x y z ==，则A.2x <3y <5zB.5z <2x <3yC.3y <5z <2xD.3y <2x <5z【考点】：指对运算与不等式，计算量较大。

【思路】：将指数形式化简即可求出三个变量，不妨设2351log log 212351log log 31log log 5m x y z m m x m m y m z m ⎧==⎪⎪⎪⎪===>⇒==⎨⎪⎪==⎪⎪⎩。

将三者代入答案即可解答。

【解析】：分别可求得1112352131512,3,5log 2log 3log 5log 2log 3log 5m m mm m m x y z ======， 分别对分母乘以30可得11151063230log 2log 2,30log 3log 3,30log 5m m m m m ==， 故而可得10156101561log 3log 2log 5325325m m m m y x z >⎧⇒>>⇒<<⎨>>⎩，故而选D 。

（2016全国1.理数.7）函数22xy x e =-在[]2,2-的图像大致为（A（B（C（【答案】考点：函数图像与性质【名师点睛】函数中的识图题多次出现在高考试题中,也可以说是高考的热点问题,这类题目一般比较灵活,对解题能力要求较高,故也是高考中的难点,解决这类问题的方法一般是利用间接法,即由函数性质排除不符合条件的选项.（2016全国1.理数.8）若101a b c >><<，,则 （A ）c c a b < （B ）c c ab ba < （C ）log log b a a c b c < （D ）log log a b c c < 【答案】C【解析】试题分析：用特殊值法,令3a =,2b =,12c =得112232>,选项A 错误,11223223⨯>⨯,选项B 错误,2313log 2log 22<,选项C 正确,3211log log 22>,选项D 错误,故选C ． 考点：指数函数与对数函数的性质【名师点睛】比较幂或对数值的大小,若幂的底数相同或对数的底数相同,通常利用指数函数或对数函数单调性进行比较,若底数不同,可考虑利用中间量进行比较.（2015全国1.理数.13）若函数f (x )＝xln (x 为偶函数，则a ＝考点：函数的奇偶性（2014全国1.理数.3）设函数()f x ,()g x 的定义域为R ，且()f x 是奇函数，()g x 是偶函数，则下列结论中正确的是（ ）A.()()f x g x 是偶函数B. ()()f x g x 是奇函数C.()()f x g x 是奇函数D. ()()f x g x 是奇函数 解析:由题意可知()()f x f x -=-，()()g x g x -=，对于选项A ，()()f x g x -⋅-=()()f x g x --，所以()()f x g x 是奇函数，故A 项错误；对于选项B ，()()()()()()f x g x f x g x f x g x --=-=，所以()()f x g x 是偶函数，故B 项错误；对于选项C ，()()()()f x g x f x g x --=-，所以()()f x g x 是奇函数，故C 项正确；对于选项D ，()()()()()()f x g x f x g x f x g x --=-=，所以()()f x g x 是偶函数，故D 项错误.选C.评注本题考查函数奇偶性的定义及其应用，考查考生的知识应用能力及逻辑推理论证能力，准确理解函数奇偶性的定义是解决本题的关键.（2013全国1.理数. 11）已知函数()f x =22,0ln(1),0x x x x x ⎧-+≤⎨+>⎩，若|()f x |≥ax ，则a 的取值范围是A ．(,0]-∞B ．(,1]-∞C ．[2,1]-D ．[2,0]-【命题意图】本题主要考查函数不等式恒成立求参数范围问题的解法，是难题.（几何法）作出()220()ln 10x x x f x x x ⎧-≤⎪=⎨+>⎪⎩的图像如图：求2()2f x x x =-在()0,0点的切线斜率()202222x x k x x x =='=-=-=-有图知[]2,0a ∈-，故选D.（排除法）∵|()f x |=22,0ln(1),0x x x x x ⎧-≤⎨+>⎩，∴由|()f x |≥ax 得，202x x x ax ≤⎧⎨-≥⎩且0ln(1)x x ax >⎧⎨+≥⎩，由202x x x ax≤⎧⎨-≥⎩可得2a x ≥-，则a ≥-2，排除A ，B ， 当a =1时，易证ln(1)x x +<对0x >恒成立，故a =1不适合，排除C ，故选D.（2013全国1.理数. 16）若函数()f x =22(1)()x x ax b -++的图像关于直线2x =-对称，则()f x 的最大值是______.【命题意图】本题主要考查函数的对称性及利用导数求函数最值，是难题. 【解析】由()f x 图像关于直线x =－2对称，则0=(1)(3)f f -=-=22[1(3)][(3)3]a b ----+，0=(1)(5)f f =-=22[1(5)][(5)5]a b ----+，解得a =8，b =15，∴()f x =22(1)(815)x x x -++，∴()f x '=222(815)(1)(28)x x x x x -+++-+=324(672)x x x -++-=4(2)(22x x x -+++当x ∈(－∞,2-∪(－2, 2-时，()f x '＞0，当x ∈(2-－2)∪(2-∞)时，()f x '＜0，∴()f x 在（－∞，2-2-2）单调递减，在（－2，2-增，在（2-，+∞）单调递减，故当x =2-和x =2-时取极大值，(2f -=(2f -=16.。

2011年—2017年新课标全国卷(1卷、2卷、3卷)理科数学试题分类汇编——15.不等式选讲

2011年—2017年新课标全国卷(1卷、2卷、3卷)理科数学试题分类汇编——15.不等式选讲

2011年—2017年新课标全国卷Ⅱ理科数学试题分类汇编15．不等式选讲（2017·新课标Ⅰ，23）已知函数()24f x x ax =-++，()11g x x x =++-．（1）当1a =时，求不等式()()f x g x ≥的解集；（2）若不等式()()f x g x ≥的解集包含[]1,1-，求a 的取值范围．（2017·新课标Ⅱ，23）已知330,0,2a b a b >>+=，证明：（1）33()()4a b a b ++≥；（2）2a b +≤．（2017·新课标Ⅲ，23）已知函数()12f x x x =+--．（1）求不等式()1f x …的解集；（2）若不等式()2–f x x x m +…的解集非空，求m 的取值范围．（2016·新课标Ⅰ，24）已知函数321)(--+=x x x f ． （Ⅰ）在答题卡第（24）题图中画出)(x f y =的图像；（Ⅱ）求不等式1)(>x f 的解集．（2016·新课标Ⅱ，24）已知函数11()||||22f x x x =-++，M 为不等式()2f x <的解集. （Ⅰ）求M ；（Ⅱ）证明：当a ，b ∈M 时，1a b ab +<+.（2016·新课标Ⅲ，24）已知函数()2f x x a a =-+.(1)当a=2时，求不等式()6f x ≤的解集；(2)设函数()21g x x =-. 当x R ∈时，()()3f x g x +≥，求a 的取值范围。

（2015·新课标Ⅰ，24）已知函数()12,0f x x x a a =+-->.（I ）当1a =时求不等式()1f x >的解集；（II ）若()f x 的图像与x 轴围成的三角形面积大于6，求a 的取值范围.（2015·新课标Ⅱ，24）设a ，b ，c ，d 均为正数，且a b c d +=+，证明：（Ⅰ）若ab >cd >||||a b c d -<-的充要条件.（2014·新课标Ⅰ，24））若0,0a b >>，且11a b+=. (Ⅰ) 求33a b +的最小值；（Ⅱ）是否存在,a b ，使得236a b +=？并说明理由.（2014·新课标Ⅱ，24）设函数1()||||(0)f x x x a a a=++->.（Ⅰ）证明：f (x ) ≥ 2； （Ⅱ）若f (3) < 5，求a 的取值范围.（2013·新课标Ⅰ，24）已知函数f (x )＝|2x －1|＋|2x ＋a |，g (x )＝x ＋3.(1)当a ＝－2时，求不等式f (x )＜g (x )的解集；(2)设a ＞－1，且当x ∈1,22a ⎡⎫-⎪⎢⎣⎭时，f (x )≤g (x )，求a 的取值范围．（2013·新课标Ⅱ，24）设a b c 、、均为正数，且1a b c ++=.证明：（Ⅰ）13ab bc ca ++≤；（Ⅱ）2221a b c b c a++≥.（2012·新课标Ⅰ、Ⅱ，24）已知函数f (x ) = |x + a | + |x -2|.（Ⅰ）当a =-3时，求不等式f (x ) ≥ 3的解集；（Ⅱ）若f (x ) ≤ | x -4 |的解集包含[1, 2]，求a 的取值范围.（2011·新课标Ⅰ、Ⅱ，24）设函数()3f x x a x =-+,其中0a >。

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2．函数及其性质（含解析）一、选择题【2017，5】函数()f x 在(,)-∞+∞单调递减，且为奇函数．若(11)f =-，则满足21()1x f --≤≤的x 的取值范围是（ ）A ．[2,2]-B ． [1,1]-C ． [0,4]D ． [1,3]【2017，11】设,,x y z 为正数，且235x y z ==，则（ ）A ．2x <3y <5zB ．5z <2x <3yC ．3y <5z <2xD ．3y <2x <5z 【2016，7】函数xe x y -=22在]2,2[-的图像大致为（ ）A ．B ．C ．D ．【2016，8】若1>>b a ，10<<c ，则（ ）A ．c c b a <B ．c c ba ab <C ．c b c a a b log log <D ．c c b a log log <【2014，3】设函数()f x ，()g x 的定义域都为R ，且()f x 是奇函数，()g x 是偶函数，则下列结论正确的是（ ）A ．()f x ()g x 是偶函数B ．|()f x |()g x 是奇函数C ．()f x |()g x |是奇函数D ．|()f x ()g x |是奇函数【2013，11】已知函数f (x )＝220ln(1)0.x x x x x ⎧-+≤⎨+>⎩，，，若|f (x )|≥ax ，则a 的取值范围是( )A ．(－∞，0]B ．(－∞，1]C ．[－2,1]D ．[－2,0] 【2012，10】已知函数1()f x =，则()y f x =的图像大致为（ ）A ．B ．D ．【2011，12】函数11y x =-的图像与函数2sin (24)y x x π=-≤≤的图像所有交点的横坐标之和等于（ ）A ．2 B ．4 C ．6 D ．8【2011，2】下列函数中，既是偶函数又在+∞（0，）单调递增的函数是（ ） A ．3y x = B ．1y x =+ C ．21y x =-+ D ．2xy -=二、填空题【2015，13】若函数f (x )=x ln （x a =2．函数与导数（解析版）一、选择题【2017，5】函数()f x 在(,)-∞+∞单调递减，且为奇函数．若(11)f =-，则满足21()1x f --≤≤的x 的取值范围是（ ）A ．[2,2]-B ． [1,1]-C ． [0,4]D ． [1,3]【解析】因为()f x 为奇函数，所以()()111f f -=-=，于是()121f x --≤≤，等价于()()()121f f x f --≤≤，又()f x 在()-∞+∞，单调递减，121x ∴--≤≤，3x ∴1≤≤，故选D ． 【2017，11】设,,x y z 为正数，且235x y z ==，则（ ）A ．2x <3y <5zB ．5z <2x <3yC ．3y <5z <2xD ．3y <2x <5z【解析】取对数：ln 2ln3ln5x y ==．ln33ln 22x y =>，∴23x y >，ln2ln5x z =，则ln55ln 22x z =<，∴25x z <∴325y x z <<，故选D ．【法二】取对数：5ln 3ln 2ln z y x ==，y x y x y x 3212ln 3ln 2ln 33ln 2323ln 2ln 32>⇒>==⇒=， z x z x z x 5212ln 5ln 2ln 55ln 2525ln 2ln 52<⇒<==⇒=，z x y 523<<∴，故选D ； 【2016，7】函数xe x y -=22在]2,2[-的图像大致为（ ）【解析】()22288 2.80f e =->->，排除A ；()22288 2.71f e =-<-<，排除B ；0x >时，()22xf x x e =-，()4x f x x e '=-，当10,4x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()01404f x e '<⨯-= 因此()f x 在10,4⎛⎫⎪⎝⎭单调递减，排除C ；故选D ．【2016，8】若1>>b a ，10<<c ，则（ ）A ．c c b a <B ．c c ba ab <C ．c b c a a b log log <D ．c c b a log log <【解析】由于01c <<，∴函数c y x =在R 上单调递增，因此1c c a b a b >>⇔>，A 错误；由于110c -<-<，∴函数1c y x -=在()1,+∞上单调递减，∴111c c c c a b a b ba ab -->>⇔<⇔<，B 错误； 要比较log b a c 和log a b c ，只需比较ln ln a c b和ln ln b c a ，只需比较ln ln c b b 和ln ln ca a ，只需lnb b 和ln a a ， 构造函数()()ln 1f x x x x =>，则()'ln 110f x x =+>>，()f x 在()1,+∞上单调递增，因此()()110ln ln 0ln ln f a f b a a b b a a b b >>⇔>>⇔<，又由01c <<得ln 0c <， ∴ln ln log log ln ln a b c cb c a c a a b b<⇔<，C 正确； 要比较l o g a c 和log b c ，只需比较ln ln c a 和ln ln cb ，而函数ln y x =在()1,+∞上单调递增，故111ln ln 0ln ln a b a b a b >>⇔>>⇔<，又由01c <<得ln 0c <，∴ln ln log log ln ln a b c c c c a b>⇔>，D 错误；故选C ．【2014，3】设函数()f x ，()g x 的定义域都为R ，且()f x 是奇函数，()g x 是偶函数，则下列结论正确的是（ ）A .()f x ()g x 是偶函数B .|()f x |()g x 是奇函数C .()f x |()g x |是奇函数D .|()f x ()g x |是奇函数【解析】设()()()F x f x g x =，则()()()F x f x g x -=--，∵()f x 是奇函数，()g x 是偶函数，∴()()()()F x f x g x F x -=-=-，()F x 为奇函数，选C.【2013，11】已知函数f (x )＝220ln(1)0.x x x x x ⎧-+≤⎨+>⎩，，，若|f (x )|≥ax ，则a 的取值范围是( )．A ．(－∞，0]B ．(－∞，1]C ．[－2,1]D ．[－2,0] 解析：选D ，由y ＝|f (x )|的图象知：①当x ＞0时，y ＝ax 只有a ≤0时，才能满足|f (x )|≥ax ，可排除B ，C. ②当x ≤0时，y ＝|f (x )|＝|－x 2＋2x |＝x 2－2x . 故由|f (x )|≥ax 得x 2－2x ≥ax .当x ＝0时，不等式为0≥0成立．当x ＜0时，不等式等价于x －2≤a ，∵x －2＜－2，∴a ≥－2. 综上可知：a ∈[－2,0]．【2012，10】已知函数1()ln(1)f xx x=+-，则()y f x=的图像大致为（）【解析】()y f x=的定义域为{|1x x>-且0}x≠，排除D；因为221(1)1'()[ln(1)](1)[ln(1)]xxf xx x x x x--+==+-++-，所以当(1,0)x∈-时，'()0f x<，()y f x=在（－1，0）上是减函数；当(0,)x∈+∞时，'()0f x>，()y f x=在(0,)+∞上是增函数．排除A、C，故选择B．【2011】(12)函数11yx=-的图像与函数2sin(24)y x xπ=-≤≤的图像所有交点的横坐标之和等于A．2 B．4 C．6 D．8解析：图像法求解．11yx=-的对称中心是（1,0）也是2sin(24)y x xπ=-≤≤的中心，24x-≤≤他们的图像在x=1的左侧有4个交点，则x=1右侧必有4个交点．不妨把他们的横坐标由小到大设为1,2345678,,,,,,x x x x x x x x，则182736452x x x x x x x x+=+=+=+=，所以选D【2011，2】下列函数中，既是偶函数又在+∞（0，）单调递增的函数是（）A．3y x=(B) 1y x=+C．21y x=-+(D) 2xy-=解析：由图像知选B二、填空题【2015，13】若函数f(x)=x ln（x a=解析：由函数f(x)=x ln（x()ln(g x x=为奇函数（(0)ln0g==）；由ln(ln(0x x++-=（()()0g x g x+-=），得ln0a=，1a=，故填1.A．B．D．。

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