自动化课程设计

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课程设计任务书
学生姓名： 专业班级： 指导教师： 工作单位：
题 目: 单级移动倒立摆建模及串连滞后校正 初始条件：
要求完成的主要任务: （包括课程设计工作量及其技术要求，以及说明书撰写等具体要求）
1、研究该装置的非线性数学模型，并提出合理的线性化方法，建立该装置的
线性数学模型－传递函数（以u 为输入，θ为输出）；
2、用Matlab 对系统进行稳定性分析,并求其阶跃响应. 时间安排：
1.15～16 明确设计任务，建立非线性模型 1.17～19 线性化，设计校正装置
1.23～24 仿真分析，撰写课程设计报告
指导教师签名： 年 月 日
系主任（或责任教师）签名： 年 月 日
图示为一个倒立摆装置，该装置包含一个小车和一个安装在小车上的倒立摆杆。

由于小车在水平方向可适当移动，因此，控制小车的移动可使摆杆维持直立不倒。

21,0.2,0.5,10/M kg m kg l m g m s ====
目录
1 系统介绍
2 单级倒立摆的数学模型
3 系统稳定性分析
4 分析相角裕度和截止频率
5 系统仿真
6 总结与体会
参考文献
单级移动倒立摆建模及串连滞后校正
摘要
倒立摆系统是一个典型的非线性、强耦合、多变量和不稳定系统，作为控制系统的被控对象，通过以单级倒立摆为被控对象，来掌握控制系统的数学模型的建立方法和及控制系统的调试方法，掌握MATLAB仿真软件的使用方法。

本次课程设计包含如下几个内容：
[1]研究该装置的非线性数学模型，并提出合理的线性化方法，建立该装置的线性数学模型－传递函数（以u为输入， 为输出）；
[2]用画根轨迹方法对系统进行稳定性分析,用BODE图求出系统的相角裕度和截止频率.
[3]用Matlab求系统阶跃响应.
1 系统介绍
单级倒立摆系统的结构示意图如图1所示。

图1 单级倒立摆系统示意图
图示为一个倒立摆装置，该装置包含一个小车和一个安装在小车上的倒立摆杆。

由于小车在水平方向可适当移动，因此，控制小车的移动可使摆杆维持直立不倒。

21,0.2,0.5,10/M kg m kg l m g m s ====
系统组成的框图如图2所示。

图2 单级倒立摆系统组成框图
系统通过给小车施加外力，使摆杆与小车相互作用，达到平衡，维持不倒。

2 单级倒立摆的数学模型
对系统建立数学模型是系统分析、设计的前提，为了简化分析，忽略空气阻力，仅考虑小车与倒立摆之间的摩擦力。

将倒立摆系统看成简单的小车与单级摆组成的系统。

在水平方向施加控制力u ，相对参考坐标系产生位移x 。

建立系统的线性数学模型－传递函数（以u 为输入，θ为输出）。

设小车瞬时位置为 ，
摆心瞬时位置为
在水平方向，由牛顿第二定律
施加外力
运动状态
摆角θ
x
(sin )
x l θ+22
22(sin )d x d M m x l u dt dt
θ++=
即：
在垂直方向：惯性力矩与重力矩平衡
即:
2sin 0,cos 1,θθθθθ≈≈
很小时，忽略项 则有：
联立求解并进行拉氏变换：
则传递函数为
u(s)
θ(s)
3 系统稳定性分析
代入参数,M =1kg,m =0.5kg,l =0.5m,用如下程序将传递函数在MATLAB 中表示出来: num=[-1]
den=[0.5,0,-7.5] sys=tf(num,den)
用MATLAB 显示为:
用如下程序将传递函数的根轨迹图在MATLAB 中表示出来: num=[-1]
den=[0.5,0,-7.5] rlocus(num,den)
2()cos sin M m x ml ml u
θθθθ++-=
22(sin )cos sin d m x l l mgl dt θθθ⎡⎤+=⎢⎥⎣⎦22cos cos sin cos sin x l l g θθθθθθθ+-=
)M m x ml u θ++=（
x l g θθ
+= 2)(1
)()(Mls g M m s u s -+=θg
M m Mls )(1
2+--
用MATLAB做出的根轨迹如图3所示:
图3 校正前系统根轨迹
由于系统在右半平面有极点,因此为非稳定系统.
4 分析相角裕度和截止频率
利用下列程序MATLAB中画出BODE图,并算出相角裕度和截止频率: num=[-1]
den=[0.5,0,-7.5]
sys=tf(num,den)
[mag,phase,w]=bode(num,den)
[gm,pm,wcg,wcp]=margin(mag,phase,w)
margin(sys)
用MATLAB做出BODE图如图4所示:
图4 校正前系统BODE图
gm = Inf ,pm = Inf, wcg = NaN ,wcp = NaN
其中gm为幅值裕度, pm为相角裕度,wcg为相角交界频率,wcp为截止频率.
所画的BODE图没有穿过频率轴,使的没有截止频率和相角裕度.
4系统阶跃响应
因为求单位阶跃响应要求在闭环条件下,求出闭环传递函数为:
利用如下程序在MATLAB中对系统绘制单位阶跃响应:
num=[2]
den=[-1,0,17]
step(num,den)
系统单位阶跃响应如图5所示:
图5 系统单位阶跃响应
因为系统为不稳定系统,所以当它时间趋于无穷时,它的幅值并不趋于输入信号,即不会趋近于1.
5系统仿真
在MATLAB命令窗口中输入SIMULINK,然后点File→New→Model,在SOURCE中选择STEP 模块,在SINKS中选择SCOP模块,在CONTINUOUS中选择传递函数,双击更改极点和零点,用直线将模块连接后,点击START,双击示波器,即可看到仿真图形.
系统MATLAB仿真图形如图6所示;
图6 系统MATLAB仿真图形
6总结与体会
控制系统设计是让我们学会一些概念相对比较抽象，如系统的稳定性、可控性、收敛速度和抗干扰能力等。

倒立摆系统是一个典型的非线性、强耦合、多变量和不稳定系统，作为控制系统的被控对象，通过本课程设计我以一阶倒立摆为被控对象，掌握MATLAB仿真软件的使用方法及控制系统的调试方法.
此次课程设计首先我明确了设计任务,详细的分析了设计情况,然后制定了设计的具体方案.
我先对此物理系统进行了受力分析,然后通过列牛顿第二定律运动方程建立起了数学模型,在受力分析时,曾对小车对杆的支持力的方向确定不下,之后通过网上查阅资料,了解到可以用整体受力分析方法,问题得到解决.然后就是将 替换正弦和用1替换余弦达到线性化的目的,进行拉氏变换,得到最后的传递函数.
然后利用MATLAB将传递函数的根轨迹图画出,分析其稳定性,我所建立的模型为非稳定系统;画出BODE图求出截止频率和相角裕度.然后绘制其时域下单位阶跃响应,因为是非稳定系统,当时间趋于无穷时,它的幅值并不趋于输入信号,即 1.最后利用MATLAB的SIMULINK工具进行了系统仿真.
课程设计是一个重要的实践锻炼的环节,在课程设计期间,虽然没有设计成功,但是我提高了分析问题和解决问题的能力,使的我能够正确运用学过的理论知识,并且在调试程序的过程中,我基本的能够运用MATLAB仿真软件;通过课程设计掌握系统的调试方法,提高工程设计能力;而且因为是分组合作,培养了我们的团队,为进一步接触实验,走向社会打下坚实的基础
参考文献
[1]薛强，梁冰，刘建军，刘晓丽.矸石山渗滤液在地下水系统中运移的仿真分析[J]. 系统仿真学报，
2004,16(2):356-359.
[2] 金忠青。

N-S方程的数值解和紊流模型[M]。

南京：河海大学出版社，1989
[3]
[4]。