八年级数学二次函数练习题及答案

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二次函数测试题及答案

二次函数测试题及答案

二次函数测试题及答案一、选择题(每题3分,共30分)1. 以下哪个选项是二次函数的一般形式?A. y = 2x + 1B. y = x^2 + 3x + 2C. y = 3x^3 - 5D. y = 4/x答案:B2. 二次函数y = ax^2 + bx + c的顶点坐标为(h, k),那么h的值为:A. -b/2aB. -b/aC. b/2aD. b/a答案:C3. 二次函数y = 2x^2 - 4x + 3的对称轴方程是:A. x = 1B. x = -1C. x = 2D. x = -2答案:A4. 如果二次函数y = ax^2 + bx + c的图象开口向上,那么a的值:A. 大于0B. 小于0C. 等于0D. 可以是任意实数答案:A5. 二次函数y = -x^2 + 4x - 3的顶点坐标是:A. (1, 2)B. (2, 1)C. (3, 0)D. (3, 4)答案:C6. 二次函数y = 3x^2 - 6x + 5的图象与x轴的交点个数是:A. 0个B. 1个C. 2个D. 3个答案:C7. 二次函数y = x^2 - 4x + 4的最小值是:A. 0B. 4C. -4D. 1答案:A8. 二次函数y = 2x^2 - 4x + 3的图象开口方向是:A. 向上B. 向下C. 向左D. 向右答案:A9. 二次函数y = -x^2 + 2x + 3的图象与y轴的交点坐标是:A. (0, 3)B. (0, -3)C. (0, 5)D. (0, -5)答案:A10. 二次函数y = 5x^2 - 10x + 8的图象与x轴的交点坐标是:A. (2, 0)B. (-2, 0)C. (1, 0)D. (-1, 0)答案:A二、填空题(每题4分,共20分)1. 二次函数y = ax^2 + bx + c的图象开口向上,且经过点(2, 0),则a的值至少为______。

答案:02. 二次函数y = 2x^2 - 4x + 3的顶点坐标是(______, ______)。

《二次函数》练习题及答案

《二次函数》练习题及答案

《二次函数》练习一.选择题(共8小题)1.已知函数y=ax2﹣2ax﹣1(a是常数,a≠0),下列结论正确的是()A.当a=1时,函数图象过点(﹣1,1)B.当a=﹣2时,函数图象与x轴没有交点C.若a>0,则当x≥1时,y随x的增大而减小D.若a<0,则当x≤1时,y随x的增大而增大2.对于二次函数y=﹣+x﹣4,下列说法正确的是()A.当x>0时,y随x的增大而增大B.当x=2时,y有最大值﹣3C.图象的顶点坐标为(﹣2,﹣7) D.图象与x轴有两个交点 3 43.如图,已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与x轴交于点A(﹣1,0),与y轴的交点B在(0,﹣2)和(0,﹣1)之间(不包括这两点),对称轴为直线x=1.下列结论:①abc>0 ②4a+2b+c>0 ③4ac﹣b2<8a ④<a<⑤b>c.其中含所有正确结论的选项是()A.①③B.①③④ C.②④⑤ D.①③④⑤4.如图是抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的部分图象,其顶点坐标为(1,n),且与x轴的一个交点在点(3,0)和(4,0)之间.则下列结论:①a﹣b+c>0;②3a+b=0;③b2=4a(c﹣n);④一元二次方程ax2+bx+c=n﹣1有两个不相等的实数根.其中正确结论的个数是()A.1 B.2 C.3 D.45.已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示,并且关于x的一元二次方程ax2+bx+c﹣m=0有两个不相等的实数根,下列结论:①b2﹣4ac<0;②abc>0;③a﹣b+c<0;④m>﹣2,其中,正确的个数有()A.1 B.2 C.3 D.46.二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示,对称轴是直线x=﹣1,有以下结论:①abc>0;②4ac<b2;③2a+b=0;④a﹣b+c>2.其中正确的结论的个数是()A.1 B.2 C.3 D.47.如图是二次函数y=ax2+bx+c的图象,其对称轴为x=1,下列结论:①abc>0;②2a+b=0;③4a+2b+c<0;④若(﹣),()是抛物线上两点,则y1<y2其中结论正确的是()A.①②B.②③C.②④D.①③④8.如图是二次函数y=ax2+bx+c图象的一部分,图象过点A(﹣3,0),对称轴为直线x=﹣1,给出四个结论:①b2>4ac;②2a+b=0;③a+b+c>0;④若点B(﹣,y1)、C(﹣,y2)为函数图象上的两点,则y1<y2,其中正确结论是()A.②④B.①④C.①③D.②③5 6 7 8二.填空题(共4小题)9.若二次函数y=x2+2x+m的图象与x轴没有公共点,则m的取值范围是.10.若二次函数y=2x2﹣4x﹣1的图象与x轴交于A(x1,0)、B(x2,0)两点,则+的值为.11.二次函数y=x2+mx+n的图象经过点(1,﹣2),则代数式(m+n﹣1)(1﹣m﹣n)的值为.12.若二次函数y=mx2+(m﹣2)x+的图象与x轴有交点,那么m的取值范围为.三.解答题(共8小题)13.2016年3月国际风筝节在铜仁市万山区举办,王大伯决定销售一批风筝,经市场调研:蝙蝠型风筝进价每个为10元,当售价每个为12元时,销售量为180个,若售价每提高1元,销售量就会减少10个,请回答以下问题:(1)用表达式表示蝙蝠型风筝销售量y(个)与售价x(元)之间的函数关系(12≤x≤30);(2)王大伯为了让利给顾客,并同时获得840元利润,售价应定为多少?(3)当售价定为多少时,王大伯获得利润最大,最大利润是多少?14.天水市某企业接到一批粽子生产任务,按要求在19天内完成,约定这批粽子的出厂价为每只4元,为按时完成任务,该企业招收了新工人,设新工人李红第x天生产的粽子数量为y只,y与x满足如下关系:y=(1)李红第几天生产的粽子数量为260只?(2)如图,设第x天生产的每只粽子的成本是p元,p与x之间的关系可用图中的函数图象来刻画,若李红第x天创造的利润为w元,求w与x之间的函数表达式,并求出第几天的利润最大?最大利润是多少元?(利润=出厂价﹣成本)15.某片果园有果树80棵,现准备多种一些果树提高果园产量,但是如果多种树,那么树之间的距离和每棵树所受光照就会减少,单棵树的产量随之降低.若该果园每棵果树产果y(千克),增种果树x(棵),它们之间的函数关系如图所示.(1)求y与x之间的函数关系式;(2)在投入成本最低的情况下,增种果树多少棵时,果园可以收获果实6750千克?(3)当增种果树多少棵时,果园的总产量w(千克)最大?最大产量是多少?16.如图,抛物线y=ax2+2ax+1与x轴仅有一个公共点A,经过点A的直线交该抛物线于点B,交y轴于点C,且点C 是线段AB的中点.(1)求这条抛物线对应的函数解析式;(2)求直线AB对应的函数解析式.17.如图,抛物线y=ax2+bx+c的图象经过点A(﹣2,0),点B(4,0),点D(2,4),与y轴交于点C,作直线BC,连接AC,CD.(1)求抛物线的函数表达式;(2)E是抛物线上的点,求满足∠ECD=∠ACO的点E的坐标;(3)点M在y轴上且位于点C上方,点N在直线BC上,点P为第一象限内抛物线上一点,若以点C,M,N,P为顶点的四边形是菱形,求菱形的边长.18.如图,直线y=﹣x+3与x轴、y轴分别相交于点B、C,经过B、C两点的抛物线y=ax2+bx+c与x轴的另一个交点为A,顶点为P,且对称轴为直线x=2.(1)求该抛物线的解析式;(2)连接PB、PC,求△PBC的面积;(3)连接AC,在x轴上是否存在一点Q,使得以点P,B,Q为顶点的三角形与△ABC相似?若存在,求出点Q的坐标;若不存在,请说明理由.19.如图,抛物线y=ax2+bx﹣5(a≠0)与x轴交于点A(﹣5,0)和点B(3,0),与y轴交于点C.(1)求该抛物线的解析式;(2)若点E为x轴下方抛物线上的一动点,当S△ABE=S△ABC时,求点E的坐标;(3)在(2)的条件下,抛物线上是否存在点P,使∠BAP=∠CAE?若存在,求出点P的横坐标;若不存在,请说明理由.20.在平面直角坐标系中,抛物线y=﹣x2﹣2x+3与x轴交于A,B两点(A在B的左侧),与y轴交于点C,顶点为D.(1)请直接写出点A,C,D的坐标;(2)如图(1),在x轴上找一点E,使得△CDE的周长最小,求点E的坐标;(3)如图(2),F为直线AC上的动点,在抛物线上是否存在点P,使得△AFP为等腰直角三角形?若存在,求出点P的坐标,若不存在,请说明理由.初中数学组卷参考答案与试题解析一.选择题(共8小题)1.(2016•宁波)已知函数y=ax2﹣2ax﹣1(a是常数,a≠0),下列结论正确的是()A.当a=1时,函数图象过点(﹣1,1)B.当a=﹣2时,函数图象与x轴没有交点C.若a>0,则当x≥1时,y随x的增大而减小D.若a<0,则当x≤1时,y随x的增大而增大【解答】解:A、∵当a=1,x=﹣1时,y=1+2﹣1=2,∴函数图象不经过点(﹣1,1),故错误;B、当a=﹣2时,∵△=42﹣4×(﹣2)×(﹣1)=8>0,∴函数图象与x轴有两个交点,故错误;C、∵抛物线的对称轴为直线x=﹣=1,∴若a>0,则当x≥1时,y随x的增大而增大,故错误;D、∵抛物线的对称轴为直线x=﹣=1,∴若a<0,则当x≤1时,y随x的增大而增大,故正确;故选D.2.(2016•广州)对于二次函数y=﹣+x﹣4,下列说法正确的是()A.当x>0时,y随x的增大而增大B.当x=2时,y有最大值﹣3C.图象的顶点坐标为(﹣2,﹣7) D.图象与x轴有两个交点【解答】解:∵二次函数y=﹣+x﹣4可化为y=﹣(x﹣2)2﹣3,又∵a=﹣<0∴当x=2时,二次函数y=﹣x2+x﹣4的最大值为﹣3.故选B.3.(2016•达州)如图,已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与x轴交于点A(﹣1,0),与y轴的交点B在(0,﹣2)和(0,﹣1)之间(不包括这两点),对称轴为直线x=1.下列结论:①abc>0②4a+2b+c>0③4ac﹣b2<8a④<a<⑤b>c.其中含所有正确结论的选项是()A.①③B.①③④ C.②④⑤ D.①③④⑤【解答】解:①∵函数开口方向向上,∴a>0;∵对称轴在y轴右侧∴ab异号,∵抛物线与y轴交点在y轴负半轴,∴c<0,∴abc>0,故①正确;②∵图象与x轴交于点A(﹣1,0),对称轴为直线x=1,∴图象与x轴的另一个交点为(3,0),∴当x=2时,y<0,∴4a+2b+c<0,故②错误;③∵图象与x轴交于点A(﹣1,0),∴当x=﹣1时,y=(﹣1)2a+b×(﹣1)+c=0,∴a﹣b+c=0,即a=b﹣c,c=b﹣a,∵对称轴为直线x=1∴=1,即b=﹣2a,∴c=b﹣a=(﹣2a)﹣a=﹣3a,∴4ac﹣b2=4•a•(﹣3a)﹣(﹣2a)2=﹣16a2<0∵8a>0∴4ac﹣b2<8a故③正确④∵图象与y轴的交点B在(0,﹣2)和(0,﹣1)之间,∴﹣2<c<﹣1∴﹣2<﹣3a<﹣1,∴>a>;故④正确⑤∵a>0,∴b﹣c>0,即b>c;故⑤正确;故选:D.4.(2016•孝感)如图是抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的部分图象,其顶点坐标为(1,n),且与x轴的一个交点在点(3,0)和(4,0)之间.则下列结论:①a﹣b+c>0;②3a+b=0;③b2=4a(c﹣n);④一元二次方程ax2+bx+c=n﹣1有两个不相等的实数根.其中正确结论的个数是()A.1 B.2 C.3 D.4【解答】解:∵抛物线与x轴的一个交点在点(3,0)和(4,0)之间,而抛物线的对称轴为直线x=1,∴抛物线与x轴的另一个交点在点(﹣2,0)和(﹣1,0)之间.∴当x=﹣1时,y>0,即a﹣b+c>0,所以①正确;∵抛物线的对称轴为直线x=﹣=1,即b=﹣2a,∴3a+b=3a﹣2a=a,所以②错误;∵抛物线的顶点坐标为(1,n),∴=n,∴b2=4ac﹣4an=4a(c﹣n),所以③正确;∵抛物线与直线y=n有一个公共点,∴抛物线与直线y=n﹣1有2个公共点,∴一元二次方程ax2+bx+c=n﹣1有两个不相等的实数根,所以④正确.故选C.5.(2016•广安)已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示,并且关于x的一元二次方程ax2+bx+c﹣m=0有两个不相等的实数根,下列结论:①b2﹣4ac<0;②abc>0;③a﹣b+c<0;④m>﹣2,其中,正确的个数有()A.1 B.2 C.3 D.4【解答】解:如图所示:图象与x轴有两个交点,则b2﹣4ac>0,故①错误;∵图象开口向上,∴a>0,∵对称轴在y轴右侧,∴a,b异号,∴b<0,∵图象与y轴交于x轴下方,∴c<0,∴abc>0,故②正确;当x=﹣1时,a﹣b+c>0,故此选项错误;∵二次函数y=ax2+bx+c的顶点坐标纵坐标为:﹣2,∴关于x的一元二次方程ax2+bx+c﹣m=0有两个不相等的实数根,则m>﹣2,故④正确.故选:B.6.(2016•兰州)二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示,对称轴是直线x=﹣1,有以下结论:①abc>0;②4ac<b2;③2a+b=0;④a﹣b+c>2.其中正确的结论的个数是()A.1 B.2 C.3 D.4【解答】解:∵抛物线开口向下,∴a<0,∵抛物线的对称轴为直线x=﹣=﹣1,∴b=2a<0,∵抛物线与y轴的交点在x轴上方,∴c>0,∴abc>0,所以①正确;∵抛物线与x轴有2个交点,∴△=b2﹣4ac>0,所以②正确;∵b=2a,∴2a﹣b=0,所以③错误;∵抛物线开口向下,x=﹣1是对称轴,所以x=﹣1对应的y值是最大值,∴a﹣b+c>2,所以④正确.故选C.7.(2016•日照)如图是二次函数y=ax2+bx+c的图象,其对称轴为x=1,下列结论:①abc>0;②2a+b=0;③4a+2b+c <0;④若(﹣),()是抛物线上两点,则y1<y2其中结论正确的是()A.①②B.②③C.②④D.①③④【解答】解:∵抛物线开口向下,∴a<0,∵抛物线的对称轴为直线x=﹣=1,∴b=﹣2a>0,∵抛物线与y轴的交点在x轴上方,∴c>0,∴abc<0,所以①错误;∵b=﹣2a,∴2a+b=0,所以②正确;∵抛物线与x轴的一个交点为(﹣1,0),抛物线的对称轴为直线x=1,∴抛物线与x轴的另一个交点为(3,0),∴当x=2时,y>0,∴4a+2b+c>0,所以③错误;∵点(﹣)到对称轴的距离比点()对称轴的距离远,∴y1<y2,所以④正确.故选C.8.(2015•恩施州)如图是二次函数y=ax2+bx+c图象的一部分,图象过点A(﹣3,0),对称轴为直线x=﹣1,给出四个结论:①b2>4ac;②2a+b=0;③a+b+c>0;④若点B(﹣,y1)、C(﹣,y2)为函数图象上的两点,则y1<y2,其中正确结论是()A.②④B.①④C.①③D.②③【解答】解:∵抛物线的开口方向向下,∴a<0;∵抛物线与x轴有两个交点,∴b2﹣4ac>0,即b2>4ac,故①正确由图象可知:对称轴x=﹣=﹣1,∴2a﹣b=0,故②错误;∵抛物线与y轴的交点在y轴的正半轴上,∴c>0由图象可知:当x=1时y=0,∴a+b+c=0;故③错误;由图象可知:若点B(﹣,y1)、C(﹣,y2)为函数图象上的两点,则y1<y2,故④正确.故选B二.填空题(共4小题)9.(2016•徐州)若二次函数y=x2+2x+m的图象与x轴没有公共点,则m的取值范围是m>1.【解答】解:∵二次函数y=x2+2x+m的图象与x轴没有公共点,∴方程x2+2x+m=0没有实数根,∴判别式△=22﹣4×1×m<0,解得:m>1;故答案为:m>1.10.(2016•泸州)若二次函数y=2x2﹣4x﹣1的图象与x轴交于A(x1,0)、B(x2,0)两点,则+的值为﹣4.【解答】解:设y=0,则2x2﹣4x﹣1=0,∴一元二次方程的解分别是点A和点B的横坐标,即x1,x2,∴x1+x2=﹣=2,x1,•x2=﹣,∴+==﹣4,故答案为:﹣4.11.(2016•无锡二模)二次函数y=x2+mx+n的图象经过点(1,﹣2),则代数式(m+n﹣1)(1﹣m﹣n)的值为﹣16.【解答】解:∵二次函数y=x2+mx+n的图象经过点(1,﹣2),∴1+m+n=﹣2,∴m+n=﹣3,∴(m+n﹣1)(1﹣m﹣n)=(﹣3﹣1)(1+3)=﹣16.故答案为:﹣16.12.(2016•微山县一模)若二次函数y=mx2+(m﹣2)x+的图象与x轴有交点,那么m的取值范围为m且m≠0.【解答】解:由题意知:,解得m且m≠0,故答案为m且m≠0.三.解答题(共8小题)13.(2016•铜仁市)2016年3月国际风筝节在铜仁市万山区举办,王大伯决定销售一批风筝,经市场调研:蝙蝠型风筝进价每个为10元,当售价每个为12元时,销售量为180个,若售价每提高1元,销售量就会减少10个,请回答以下问题:(1)用表达式表示蝙蝠型风筝销售量y(个)与售价x(元)之间的函数关系(12≤x≤30);(2)王大伯为了让利给顾客,并同时获得840元利润,售价应定为多少?(3)当售价定为多少时,王大伯获得利润最大,最大利润是多少?【解答】解:(1)设蝙蝠型风筝售价为x元时,销售量为y个,根据题意可知:y=180﹣10(x﹣12)=﹣10x+300(12≤x≤30).(2)设王大伯获得的利润为W,则W=(x﹣10)y=﹣10x2+400x﹣3000,令W=840,则﹣10x2+400x﹣3000=840,解得:x1=16,x2=24,答:王大伯为了让利给顾客,并同时获得840元利润,售价应定为16元.(3)∵W=﹣10x2+400x﹣3000=﹣10(x﹣20)2+1000,∵a=﹣10<0,∴当x=20时,W取最大值,最大值为1000.答:当售价定为20元时,王大伯获得利润最大,最大利润是1000元.14.(2016•天水)天水市某企业接到一批粽子生产任务,按要求在19天内完成,约定这批粽子的出厂价为每只4元,为按时完成任务,该企业招收了新工人,设新工人李红第x天生产的粽子数量为y只,y与x满足如下关系:y=(1)李红第几天生产的粽子数量为260只?(2)如图,设第x天生产的每只粽子的成本是p元,p与x之间的关系可用图中的函数图象来刻画,若李红第x天创造的利润为w元,求w与x之间的函数表达式,并求出第几天的利润最大?最大利润是多少元?(利润=出厂价﹣成本)【解答】解:(1)设李红第x天生产的粽子数量为260只,根据题意得20x+60=260,解得x=10,答:李红第10天生产的粽子数量为260只;(2)根据图象得当0≤x≤9时,p=2;当9<x≤19时,设解析式为y=kx+b,把(9,2),(19,3)代入得,解得,所以p=x+,①当0≤x≤5时,w=(4﹣2)•32x=64x,x=5时,此时w的最大值为320(元);②当5<x≤9时,w=(4﹣2)•(20x+60)=40x+120,x=9时,此时w的最大值为480(元);③当9<x≤19时,w=[4﹣(x+)]•(20x+60)=﹣2x2+52x+174=﹣2(x﹣13)2+512,x=13时,此时w的最大值为512(元);综上所述,第13天的利润最大,最大利润是512元.15.(2016•丹东)某片果园有果树80棵,现准备多种一些果树提高果园产量,但是如果多种树,那么树之间的距离和每棵树所受光照就会减少,单棵树的产量随之降低.若该果园每棵果树产果y(千克),增种果树x(棵),它们之间的函数关系如图所示.(1)求y与x之间的函数关系式;(2)在投入成本最低的情况下,增种果树多少棵时,果园可以收获果实6750千克?(3)当增种果树多少棵时,果园的总产量w(千克)最大?最大产量是多少?【解答】解:(1)设函数的表达式为y=kx+b,该一次函数过点(12,74),(28,66),得,解得,∴该函数的表达式为y=﹣0.5x+80,(2)根据题意,得,(﹣0.5x+80)(80+x)=6750,解得,x1=10,x2=70∵投入成本最低.∴x2=70不满足题意,舍去.∴增种果树10棵时,果园可以收获果实6750千克.(3)根据题意,得w=(﹣0.5x+80)(80+x)=﹣0.5 x2+40 x+6400=﹣0.5(x﹣40)2+7200∵a=﹣0.5<0,则抛物线开口向下,函数有最大值∴当x=40时,w最大值为7200千克.∴当增种果树40棵时果园的最大产量是7200千克.16.(2016•淄博)如图,抛物线y=ax2+2ax+1与x轴仅有一个公共点A,经过点A的直线交该抛物线于点B,交y轴于点C,且点C是线段AB的中点.(1)求这条抛物线对应的函数解析式;(2)求直线AB对应的函数解析式.【解答】解:(1)∵抛物线y=ax2+2ax+1与x轴仅有一个公共点A,∴△=4a2﹣4a=0,解得a1=0(舍去),a2=1,∴抛物线解析式为y=x2+2x+1;(2)∵y=(x+1)2,∴顶点A的坐标为(﹣1,0),∵点C是线段AB的中点,即点A与点B关于C点对称,∴B点的横坐标为1,当x=1时,y=x2+2x+1=1+2+1=4,则B(1,4),设直线AB的解析式为y=kx+b,把A(﹣1,0),B(1,4)代入得,解得,∴直线AB的解析式为y=2x+2.17.(2016•威海)如图,抛物线y=ax2+bx+c的图象经过点A(﹣2,0),点B(4,0),点D(2,4),与y轴交于点C,作直线BC,连接AC,CD.(1)求抛物线的函数表达式;(2)E是抛物线上的点,求满足∠ECD=∠ACO的点E的坐标;(3)点M在y轴上且位于点C上方,点N在直线BC上,点P为第一象限内抛物线上一点,若以点C,M,N,P为顶点的四边形是菱形,求菱形的边长.【解答】解:(1)∵抛物线y=ax2+bx+c的图象经过点A(﹣2,0),点B(4,0),点D(2,4),∴设抛物线解析式为y=a(x+2)(x﹣4),∴﹣8a=4,∴a=﹣,∴抛物线解析式为y=﹣(x+2)(x﹣4)=﹣x2+x+4;(2)如图1,①点E在直线CD上方的抛物线上,记E′,连接CE′,过E′作E′F′⊥CD,垂足为F′,由(1)知,OC=4,∵∠ACO=∠E′CF′,∴tan∠ACO=tan∠E′CF′,∴=,设线段E′F′=h,则CF′=2h,∴点E′(2h,h+4)∵点E′在抛物线上,∴﹣(2h)2+2h+4=h+4,∴h=0(舍)h=∴E′(1,),②点E在直线CD下方的抛物线上,记E,同①的方法得,E(3,),点E的坐标为(1,),(3,)(3)①CM为菱形的边,如图2,在第一象限内取点P′,过点P′作P′N′∥y轴,交BC于N′,过点P′作P′M′∥BC,交y轴于M′,∴四边形CM′P′N′是平行四边形,∵四边形CM′P′N′是菱形,∴P′M′=P′N′,过点P′作P′Q′⊥y轴,垂足为Q′,∵OC=OB,∠BOC=90°,∴∠OCB=45°,∴∠P′M′C=45°,设点P′(m,﹣m2+m+4),在Rt△P′M′Q′中,P′Q′=m,P′M′=m,∵B(4,0),C(0,4),∴直线BC的解析式为y=﹣x+4,∵P′N′∥y轴,∴N′(m,﹣m+4),∴P′N′=﹣m2+m+4﹣(﹣m+4)=﹣m2+2m,∴m=﹣m2+2m,∴m=0(舍)或m=4﹣2,菱形CM′P′N′的边长为(4﹣2)=4﹣4.②CM为菱形的对角线,如图3,在第一象限内抛物线上取点P,过点P作PM∥BC,交y轴于点M,连接CP,过点M作MN∥CP,交BC于N,∴四边形CPMN是平行四边形,连接PN交CM于点Q,∵四边形CPMN是菱形,∴PQ⊥CM,∠PCQ=∠NCQ,∵∠OCB=45°,∴∠NCQ=45°,∴∠PCQ=45°,∴∠CPQ=∠PCQ=45°,∴PQ=CQ,设点P(n,﹣n2+n+4),∴CQ=n,OQ=n+2,∴n+4=﹣n2+n+4,∴n=0(舍),∴此种情况不存在.∴菱形的边长为4﹣4.18.(2016•黔东南州)如图,直线y=﹣x+3与x轴、y轴分别相交于点B、C,经过B、C两点的抛物线y=ax2+bx+c与x轴的另一个交点为A,顶点为P,且对称轴为直线x=2.(1)求该抛物线的解析式;(2)连接PB、PC,求△PBC的面积;(3)连接AC,在x轴上是否存在一点Q,使得以点P,B,Q为顶点的三角形与△ABC相似?若存在,求出点Q的坐标;若不存在,请说明理由.【解答】解:(1)∵直线y=﹣x+3与x轴相交于点B,∴当y=0时,x=3,∴点B的坐标为(3,0),∵y=﹣x+3过点C,易知C(0,3),∴c=3.又∵抛物线过x轴上的A,B两点,且对称轴为x=2,根据抛物线的对称性,∴点A的坐标为(1,0).又∵抛物线y=ax2+bx+c过点A(1,0),B(3,0),∴解得:∴该抛物线的解析式为:y=x2﹣4x+3;(2)如图1,∵y=x2﹣4x+3=(x﹣2)2﹣1,又∵B(3,0),C(0,3),∴PC===2,PB==,∴BC===3,又∵PB2+BC2=2+18=20,PC2=20,∴PB2+BC2=PC2,∴△PBC是直角三角形,∠PBC=90°,∴S△PBC=PB•BC=××3=3;(3)如图2,由y=x2﹣4x+3=(x﹣2)2﹣1,得P(2,﹣1),设抛物线的对称轴交x轴于点M,∵在Rt△PBM中,PM=MB=1,∴∠PBM=45°,PB=.由点B(3,0),C(0,3)易得OB=OC=3,在等腰直角三角形OBC中,∠ABC=45°,由勾股定理,得BC=3.假设在x轴上存在点Q,使得以点P,B,Q为顶点的三角形与△ABC相似.①当=,∠PBQ=∠ABC=45°时,△PBQ∽△ABC.即=,解得:BQ=3,又∵BO=3,∴点Q与点O重合,∴Q1的坐标是(0,0).②当=,∠QBP=∠ABC=45°时,△QBP∽△ABC.即=,解得:QB=.∵OB=3,∴OQ=OB﹣QB=3﹣,∴Q2的坐标是(,0).③当Q在B点右侧,则∠PBQ=180°﹣45°=135°,∠BAC<135°,故∠PBQ≠∠BAC.则点Q不可能在B点右侧的x轴上,综上所述,在x轴上存在两点Q1(0,0),Q2(,0),能使得以点P,B,Q为顶点的三角形与△ABC相似.19.(2016•贵港)如图,抛物线y=ax2+bx﹣5(a≠0)与x轴交于点A(﹣5,0)和点B(3,0),与y轴交于点C.(1)求该抛物线的解析式;(2)若点E为x轴下方抛物线上的一动点,当S△ABE=S△ABC时,求点E的坐标;(3)在(2)的条件下,抛物线上是否存在点P,使∠BAP=∠CAE?若存在,求出点P的横坐标;若不存在,请说明理由.【解答】解:(1)把A、B两点坐标代入解析式可得,解得,∴抛物线解析式为y=x2+x﹣5;(2)在y=x2+x﹣5中,令x=0可得y=﹣5,∴C(0,﹣5),∵S△ABE=S△ABC,且E点在x轴下方,∴E点纵坐标和C点纵坐标相同,当y=﹣5时,代入可得x2+x=﹣5,解得x=﹣2或x=0(舍去),∴E点坐标为(﹣2,﹣5);(3)假设存在满足条件的P点,其坐标为(m,m2+m﹣5),如图,连接AP、CE、AE,过E作ED⊥AC于点D,过P作PQ⊥x轴于点Q,则AQ=AO+OQ=5+m,PQ=|m2+m﹣5|,在Rt△AOC中,OA=OC=5,则AC=5,∠ACO=∠DCE=45°,由(2)可得EC=2,在Rt△EDC中,可得DE=DC=,∴AD=AC﹣DC=5﹣=4,当∠BAP=∠CAE时,则△EDA∽△PQA,∴=,即=,∴m2+m﹣5=(5+m)或m2+m﹣5=﹣(5+m),当m2+m﹣5=(5+m)时,整理可得4m2+5m﹣75=0,解得m=或m=﹣5(与A点重合,舍去),当m2+m﹣5=﹣(5+m)时,整理可得4m2+11m﹣45=0,解得m=或m=﹣5(与A点重合,舍去),∴存在满足条件的点P,其横坐标为或.20.(2016•河池)在平面直角坐标系中,抛物线y=﹣x2﹣2x+3与x轴交于A,B两点(A在B的左侧),与y轴交于点C,顶点为D.(1)请直接写出点A,C,D的坐标;(2)如图(1),在x轴上找一点E,使得△CDE的周长最小,求点E的坐标;(3)如图(2),F为直线AC上的动点,在抛物线上是否存在点P,使得△AFP为等腰直角三角形?若存在,求出点P的坐标,若不存在,请说明理由.【解答】解:(1)当y=﹣x2﹣2x+3中y=0时,有﹣x2﹣2x+3=0,解得:x1=﹣3,x2=1,∵A在B的左侧,∴A(﹣3,0),B(1,0).当y=﹣x2﹣2x+3中x=0时,则y=3,∴C(0,3).∵y=﹣x2﹣2x+3=﹣(x+1)2+4,∴顶点D(﹣1,4).(2)作点C关于x轴对称的点C′,连接C′D交x轴于点E,此时△CDE的周长最小,如图1所示.∵C(0,3),∴C′(0,﹣3).设直线C′D的解析式为y=kx+b,则有,解得:,∴直线C′D的解析式为y=﹣7x﹣3,当y=﹣7x﹣3中y=0时,x=﹣,∴当△CDE的周长最小,点E的坐标为(﹣,0).(3)设直线AC的解析式为y=ax+c,则有,解得:,∴直线AC的解析式为y=x+3.假设存在,设点F(m,m+3),△AFP为等腰直角三角形分三种情况(如图2所示):①当∠PAF=90°时,P(m,﹣m﹣3),∵点P在抛物线y=﹣x2﹣2x+3上,∴﹣m﹣3=﹣m2﹣2m+3,解得:m1=﹣3(舍去),m2=2,此时点P的坐标为(2,﹣5);②当∠AFP=90°时,P(2m+3,0)∵点P在抛物线y=﹣x2﹣2x+3上,∴0=﹣(2m+3)2﹣2×(2m+3)+3,解得:m3=﹣3(舍去),m4=﹣1,此时点P的坐标为(1,0);③当∠APF=90°时,P(m,0),∵点P在抛物线y=﹣x2﹣2x+3上,∴0=﹣m2﹣2m+3,解得:m5=﹣3(舍去),m6=1,此时点P的坐标为(1,0).综上可知:在抛物线上存在点P,使得△AFP为等腰直角三角形,点P的坐标为(2,﹣5)或(1,0).。

初二数学二次函数与一元二次方程练习题及答案20题

初二数学二次函数与一元二次方程练习题及答案20题

初二数学二次函数与一元二次方程练习题及答案20题1. 解一元二次方程:2x^2 - 5x - 3 = 0解答:首先,我们可以使用求根公式来解一元二次方程。

假设方程为ax^2 + bx + c = 0,求根公式可以表示为: x = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / (2a)。

对于这个方程,系数为 a = 2, b = -5, c = -3。

代入求根公式,我们可以计算出两个解:x = (-(-5) ± √((-5)^2 - 4*2*(-3))) / (2*2)= (5 ± √(25 + 24)) / 4= (5 ± √49) / 4所以,方程的解为 x = (5 + 7) / 4 或 x = (5 - 7) / 4,即 x = 3 或 x = -1/2。

2. 求二次函数的顶点坐标和对称轴:y = 3x^2 + 6x + 2解答:二次函数的标准形式为 y = ax^2 + bx + c。

其中,顶点坐标可以使用公式 (-b/2a, c - b^2/4a) 求得。

对称轴为 x = -b/2a。

对于给定的函数 y = 3x^2 + 6x + 2,我们可以计算出顶点坐标和对称轴:顶点坐标:x = -6 / (2*3) = -1y = 3*(-1)^2 + 6*(-1) + 2 = -1所以,该二次函数的顶点坐标为 (-1, -1)。

对称轴:x = -6 / (2*3) = -1所以,该二次函数的对称轴为 x = -1。

3. 求二次函数的图像与 x 轴的交点:y = x^2 - 4x + 3解答:要求二次函数的图像与 x 轴的交点,我们需要解方程 y = 0。

对于给定的函数 y = x^2 - 4x + 3,我们有:x^2 - 4x + 3 = 0这里我们可以使用因式分解或求根公式来解方程。

通过因式分解,我们可以将方程化简为 (x - 3)(x - 1) = 0。

二次函数练习题及答案

二次函数练习题及答案

二次函数练习题及答案1. 已知二次函数的顶点为(2, 3),且经过点(1, 5),求该二次函数的解析式。

2. 抛物线y=ax^2+bx+c与x轴交于点A(-1, 0)和B(3, 0),求抛物线的对称轴方程。

3. 函数f(x)=2x^2-4x+m在区间[0, 2]上的最大值为8,求m的值。

4. 已知二次函数y=ax^2+bx+c的图象经过点(-1, 2)和(2, 2),且在x=1处取得最小值,求a、b、c的值。

5. 抛物线y=ax^2+bx+c的图象开口向上,且经过点(0, 1)和(2, 5),求a的取值范围。

6. 函数y=x^2-2x+3的图象与x轴的交点坐标为多少?7. 抛物线y=-2x^2+4x+1的顶点坐标是什么?8. 已知二次函数y=ax^2+bx+c的图象与y轴交于点(0, 2),且在x=-1处取得最大值,求a、b、c的值。

9. 函数f(x)=x^2-6x+8在区间[1, 4]上的最大值和最小值分别是多少?10. 抛物线y=3x^2-6x+2与x轴的交点坐标是什么?11. 已知二次函数y=ax^2+bx+c的图象经过点(1, 0)和(-2, 0),且在x=0处取得最小值,求a、b、c的值。

12. 函数y=2x^2-4x+1在区间[0, 3]上的最大值和最小值分别是多少?13. 抛物线y=-x^2+2x+3的图象开口向下,求抛物线的顶点坐标。

14. 已知二次函数y=ax^2+bx+c的图象经过点(-3, -2)和(1, -2),求a、b、c的值。

15. 函数y=x^2-4x+5的图象与x轴的交点坐标为多少?16. 抛物线y=4x^2-12x+9的顶点坐标是什么?17. 已知二次函数y=ax^2+bx+c的图象与y轴交于点(0, -1),且在x=2处取得最大值,求a、b、c的值。

18. 函数f(x)=-2x^2+8x-8在区间[0, 4]上的最大值和最小值分别是多少?19. 抛物线y=x^2-4x+5的图象开口向上,求抛物线的对称轴方程。

八年级数学二次函数练习题及答案

八年级数学二次函数练习题及答案

二次函数一、单选题1.下列函数中,属于二次函数的是()A. y=x2−(x+4)(x+2)B. y=2(x+1)(x−3)C. y=ax2+bx+cD. y=x 4x22.二次函数y=ax2与一次函数y=ax+a在同一坐标系中的大致图象可能是()A. B.C. D.3.已知二次函数的图象的顶点是(1,−2),且经过点(0,−5),则二次函数的解析式是().A. y=−3(x+1)2−2B. y=3(x+1)2−2C. y=−3(x−1)2−2D. y=3(x−1)2−24.若二次函数y=ax2的图象经过点( 1,-2 ),则它也经过()A. (-1,-2)B. (-1,2)C. (1,2)D. (2,1)5.若点A(﹣1,y1),B(2,y2),C(3,y3)在二次函数y=(x﹣2)2+3的图象上,则y1、y2、y3的大小关系是()A. y3<y2<y1B. y2<y3<y1C. y1<y3<y2D. y1<y2<y36.已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)图象上部分点的坐标(x,y)的对应值如表所示:则方程ax2+bx+1.37=0的根是()A. 0或4B. √5或4−√5C. 1或5D. 无实根7.已知抛物线y=ax2+bx+c(a>0),且a+b+c=−12,a−b+c=−32.判断下列结论:① abc<0;② 2a+2b+c>0;③抛物线与x轴正半轴必有一个交点;④当2⩽x⩽3时,y最小=3a;⑤该抛物线与直线y=x−c有两个交点,其中正确结论的个数()A. 2B. 3C. 4D. 58.二次函数y=−x2+2x+1,当−1≤x≤2时,下列说法正确的是()A. 有最大值1,有最小值-2B. 有最大值2,有最小值-2C. 有最大值1,有最小值-1D. 有最大值2,有最小值19.如图,已知二次函数y1=(x+1)2−3向右平移2个单位得到抛物线y2的图象,则阴影部分的面积为()A. 3B. 4C. 5D. 6题9图题10图10.如图,已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与x轴交于点A(3,0),与y轴的交点B在(0,1)和(0,2)之间(不包括这两点),对称轴为直线x=1.下列结论:①abc<0;②4a+2b+c>0;③5a+b+c=0;④ 23<b<1.其中正确结论的个数是()A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个11.抛物线y=2(x﹣5)2+3的顶点坐标是()A. (5,3)B. (﹣5,3)C. (5,﹣3)D. (﹣5,﹣3)12.函数y=−15x2−25x−515的最大值是()A. −15 B. 515 C. −5 D. −51513.下表中列出的是一个二次函数的自变量x与函数y的几组对应值:下列各选项中,正确的是()A. 这个函数的图象开口向下B. 这个函数的图象与x轴无交点C. 这个函数的最小值小于﹣6D. 当x>1时,y的值随x值的增大而增大14.如图,已知抛物线l:y= 12(x-2)2-2与x轴分别交于0、A两点,将抛物线l1向上平移得到l2,过点A作AB⊥x轴交抛物线l2于点B,如果山抛物线l1、l2、直线AB及y轴所围成的阴影部分的面积为16,则抛物线l2的函数表达式为()A. y= 12(x-2)2+4 B. y=12(x-2)2+3 C. y=12(x-2)2+2 D. y=12(x-2)2+1题14图题15图15.如图,抛物线y=ax2+bx+c与x轴的一个交点E在点(-3,0)和(-2,0)之间(包括这两点),顶点P是矩形ABCD上(包括边界和内部)的一个动点,则a的取值范围是()A. −225≤a≤−316 B. −112≤a≤−325 C. −118≤a≤−225 D. −13≤a≤−118二、填空题16.二次函数y=2x2+5x−3与y轴的交点是,与x轴的交点是.17.如图,拱桥的形状是抛物线,其函数关系式为y=−13x2,当水面离桥顶的高度为253米时,水面的宽度为米.题17图题18图18.如图所示为抛物线y=ax2+2ax﹣3的图象,则一元二次方程ax2+2ax﹣3=0的两根为 .19.已知二次项系数等于1的一个二次函数,其图象与x轴交于两点(m,0),(n,0),且过A(0,b),B(3,a)两点(b,a是实数),若0<m<n<2,则ab的取值范围是.20.如图,抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与y轴交于点C,与x轴交于点A(3,0)、B(﹣1,0),则下列结论:①abc>0,②b﹣2a>0,③8a+c>0,④a+b>n(an+b)(n≠1).其中正确的有.三、解答题21.已知点(k,1)是二次函数y=3x2−2x图象上一点,求代数式(k−1)2+2(k+ 1)(k−1)+8的值.22.如图的一座拱桥,当水面宽AB为12 m时,桥洞顶部离水面4 m,已知桥洞的拱形是抛物线,以水平方向为x轴,建立平面直角坐标系,若选取点A为坐标原点时的抛物线解析式是t=−2x+80,求选取点B为坐标原点时的抛物线解析式.23.抛物线y=﹣x2+bx+c(b,c为常数)与x轴交于点(x1,0)和(x2,0),与y 轴交于点A,点E为抛物线顶点.(Ⅰ)当x1=﹣1,x2=3时,求点E,点A的坐标;(Ⅱ)①若顶点E在直线y=x上时,用含有b的代数式表示c;②在①的前提下,当点A的位置最高时,求抛物线的解析式;(Ⅲ)若x1=﹣1,b>0,当P(1,0)满足PA+PE值最小时,求b的值.答案部分一、单选题1.B2.D3.C4.A5. B6.B7.D8.B9.D 10.C11. A 12.C 13.C 14.C 15.D二、填空题16.(0,−3);(12,0)或(−3,0) 17.1018.x 1=1,x 2=﹣3 19.0<ab <8116 20.②④三、解答题21.解:∵点 (k,1) 是二次函数 y =3x 2−2x 图象上一点,∴3k 2−2k =1 ,(k −1)2+2(k +1)(k −1)+8=k 2−2k +1+2k 2−2+8=3k 2−2k +7=8 .22.解:如图:由题意可得出:y=a (x+6)2+4,将(-12,0)代入得出,0=a (-12+6)2+4,解得: a =−19 ,∴选取点B 为坐标原点时的抛物线解析式是: y =−19(x +6)2+4 .故答案为: y =−19(x +6)2+4 .23. 解:(Ⅰ)∵抛物线y =﹣x 2+bx +c (b ,c 为常数)与x 轴交于点(x 1, 0)和(x 2 ,0),与y 轴交于点A ,点E 为抛物线顶点,x 1=﹣1,x 2=3,∴点(﹣1,0),(3,0)在抛物线y =﹣x 2+bx +c 的图象上,∴ {1−b +c =0−9+3b +c =0 ,解得 {b =2c =3 ,∴y =﹣x 2+2x +3=﹣(x ﹣1)2+4,∴点A 的坐标为(0,3),点E 的坐标为(1,4);(Ⅱ)①∵y =﹣x 2+bx +c = −(x −b 2)2+b 2+4c 4 ,∴点E 的坐标为( b 2 , b 2+4c 4 ),∵顶点E 在直线y =x 上,∴ b 2 = b 2+4c 4 ,∴c = 2b−b 24 ;②由①知, c =2b−b 24=−14b 2+12b =−14(b −1)2+14 ,则点A 的坐标为(0, −14(b −1)2+14 ),∴当b =1时,此时点A 的位置最高,函数y =﹣x 2+x + 14 ,即在①的前提下,当点A 的位置最高时,抛物线的解析式是 y =−x 2+x +14 ; (Ⅲ)∵x 1=﹣1,抛物线y =﹣x 2+bx +c 过点(x 1 , 0),∴﹣1﹣b +c =0,∴c =1+b ,∵点E 的坐标为( b 2 ,b 2+4c 4 ),点A 的坐标为(0,c ), ∴E ( b 2 , (b+2)24 ),A (0,b +1),∴点E 关于x 轴的对称点E′( b 2 ,﹣ (b+2)24 ),设过点A (0,b +1)、P (1,0)的直线解析式为y =kx +t ,{t =b +1k +t =0 ,得 {k =−b −1t =b +1, ∴直线AP 的解析式为y =(﹣b ﹣1)x +(b +1)=﹣(b +1)x +(b +1)=(b +1)(﹣x +1),∵当直线AP 过点E′时,PA +PE 值最小,∴﹣ (b+2)24 =(b +1)(﹣ b 2 +1), 化简得:b 2﹣6b ﹣8=0,解得:b 1= 3+√17 ,b 2= 3−√17∵b >0,∴b = 3+√17 ,即b 的值是3+ √17解析部分一、单选题1.B【解析】解:A. y=x2−(x+4)(x+2)=−6x−8,是一次函数,不合题意;B. y=2(x+1)(x−3)=2x2−4x−6,是二次函数,符合题意;C. y=ax2+bx+c,没有说明a≠0,不一定是二次函数,不合题意;D. y=x 4x2,等号右边不是整式,不是二次函数,不合题意.2.D【解析】解:由一次函数y=ax+a可知,一次函数的图象与x轴交于点(−1,0),排除A、B;当a>0时,二次函数开口向上,一次函数经过一、三、四象限,当a<0时,二次函数开口向下,一次函数经过二、三、四象限,排除C;3.C【解析】解:设该抛物线解析式是:y=a(x-1)2﹣2(a≠0).把点(0,-5)代入,得a(0-1)2﹣2=-5,解得a=-3.故该抛物线解析式是y=−3(x−1)2−2.4.A【解析】解:∵图象经过点(1,-2),∴a=-2,∴y=-2x2,AB、当x=-1时,y=-2×(-1)2=-2,∴A正确,B错误;C、当x=1时,y=-2×12=-2,错误;D、当x=2时,y=-2×22=-4,错误.5. B【解析】解:抛物线的对称轴x=2,∵|-1-2|=3,|2-2|=0,|3-2|=1,∵0<1<3,∵a=1>0,∴离对称轴越远,值越大,∴y2<y3<y1 .6.B【解析】解:当y=ax2+bx+c(a≠0),当x=0,y=c=0.37 ,∴y=ax 2+bx+0.37,∴y= ax 2+bx+1.37的图象是由y=ax 2+bx+0.37的图象向上移动一个单位得到的, ∴当x=√5时,y=0,∵对称轴x=0+42=2, 设另一根为m ,则m+√52=2 , 解得m=4-√5 ,综上,方程的根为:√5 , 4-√5.7.D【解析】解: ∵a +b +c =−12 , a −b +c =−32 , ∴ 两式相减得 b =12,两式相加得 c =−1−a ,∴c <0 ,∵a >0 , b >0 , c <0 , ∴abc <0 ,故①正确;∴2a +2b +c =2a +2×12−1−a =a >0 ,故②正确;∵ 当 x =1 时,则 y =a +b +c =−12,当 x =−1 时,则有 y =a −b +c =−32 ,∴ 当 y =0 时,则方程 ax 2+bx +c =0 的两个根一个小于 −1 ,一个根大于1, ∴ 抛物线与 x 轴正半轴必有一个交点,故③正确;由题意知抛物线的对称轴为直线 x =−b 2a =−14a<0 , ∴ 当 2⩽x ⩽3 时, y 随 x 的增大而增大,∴ 当 x =2 时,有最小值,即为 y =4a +2b +c =4a +1−1−a =3a ,故④正确;联立抛物线 y =ax 2+bx +c 及直线 y =x −c 可得: x −c =ax 2+bx +c ,整理得: ax 2−12x +2c =0 , ∴ △ =14−8ac >0 , ∴ 该抛物线与直线 y =x −c 有两个交点,故⑤正确; ∴ 正确的个数有5个;8.B【解析】解:y=-(x 2-2x+1-1)+1=-(x-1)2+2,a=-1<0,抛物线的开口向下,当x=1时y 最大值=2;当-1≤x <1时y 随x 的增大而增大,∴当x=-1时y 最小值=-4+2=-2;当1<x≤2时y 随x 的增大而减小,∴当x=2时y最小值=-4+2=1;∵-2<1,∴最小值为-2.9.D【解析】解:设点M为抛物线y1的顶点,点N为抛物线y2的顶点,连接MA、NB,则四边形AMNB的面积和阴影部分的面积相等,∵AB∥MN,AB=MN=2,∴四边形AMNB是平行四边形,∵二次函数y1=(x+1)2-3,∴该函数的顶点M的坐标为(-1,-3),∴点M到x轴的距离为3,∴四边形AMNB的面积是2×3=6,∴阴影部分的面积是6,10.C【解析】解:∵抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的对称轴为直线x=1,开口向下,与y轴的交点在y轴正半轴,∴a<0,c>0,−b2a=1,∴b=−2a>0,∴abc<0,故①符合题意;∵抛物线与x轴的一个交点为(3,0),∴当x=2时,y=4a+2b+c>0,抛物线与x轴的另一个交点为(-1,0),故②符合题意;∴{9a+3b+c=0⑤a−b+c=0⑥,∴⑤+⑥得10a+2b+2c=0,即5a+b+c=0,故③符合题意;∴−52b+b+c=0,即c=32b,∵与y轴的交点B在(0,1)和(0,2)之间,∴1<c<2,∴1<32b<2,∴ 23<b <43,故④不符合题意, 11. A【解析】y=(x-5)2+3是抛物线的顶点式,根据顶点式的坐标特点可知,顶点坐标为(5,3),12.C【解析】解:∵ y =−15x 2−25x −515=−15(x 2+2x)−515=−15(x +1)2−5 , 即:函数 y =−15x 2−25x −515 可化为: y =−15(x +1)2−5 ∴当 x =−1 时,函数 y =−15x 2−25x −515的最大值是 −5 , 13.C【解析】解:设y=ax 2+bx+c ,∴{a +b +c =−63a +9b +c =−4c =−4),解得{a =1b =−3c =−4) ,∴y=x 2-3x-4=(x-32)2-254, A 、∵a=1>0,∴图象的张口向上,错误;B 、∵△=b 2-4ac=(-3)2-4×1×(-4)=25>0,∴ 这个函数的图象与x 轴有两个交点,错误;-254<-6,正确; D 、当x>32时, y 的值随x 值的增大而增大,错误. 14.C【解析】解:如图,连接BC ,∵l 2是由抛物线l 1向上平移得到的,∴由抛物线l 1、l 2、直线AB 及y 轴所围成的阴影部分的面积就是矩形ABCO 的面积, ∵抛物线l 1的解析式是y=12(x-2) 2-2, ∴抛物线l 1与x 轴分别交于O (0,0)、A (4,0)两点,∴OA=4,∴OA•AB=16,∴AB=4,∴l 2是由抛物线l 1向上平移4个单位得到的,∴l 2的解析式为y=12(x-2)2-2+4,即y=12(x-2)2+2. 15.D【解析】解: ∵ 顶点P 是矩形ABCD 上(包括边界和内部)的一个动点,∴ 当抛物线的顶点 P 与 D 点重合时,顶点坐标为 (1,3) ,则抛物线的解析式为 y =a(x −1)2+3∵ y =a(x −1)2+3 与 x 轴的交点E 在点(-3,0)和(-2,0)之间(包括这两点), 根据图象可知,当 x =−3 时,函数值不大于0,当 x =−2 时,函数值不小于0,即 {a(−3−1)2+3≤0a(−2−1)2+3≥0解得 −13≤a ≤−316当抛物线的顶点 P 与 B 点重合时,顶点坐标为 (3,2) ,则抛物线的解析式为 y =a(x −3)2+2 ,同理可得,{a(−3−3)2+2≤0a(−2−3)2+2≥0解得 −225≤a ≤−118 ∵ P 可以在矩形内部∴ −13≤a ≤−118二、填空题16.(0,−3);(12,0)或(−3,0) 【解析】解:令x =0, 则y =−3,所以抛物线与y 轴的交点为(0,−3),令y =0, 则2x 2+5x −3=0,∴(2x −1)(x +3)=0,∴2x −1=0或x +3=0,解得:x 1=12,x 2=−3, 所以抛物线与x 轴的交点坐标为:(12,0),(−3,0). 17.10【解析】解:根据题意,令y =−253, −253=−13x 2 解得:x =±5故水面的宽度为2×5=10米.答:水面的宽度为10米.18.x 1=1,x 2=﹣3【解析】解:抛物线的对称轴为:x =−2a 2a=﹣1, 由图象可知,抛物线与x 轴的一个交点坐标为(﹣3,0),∴抛物线与x 轴的另一个交点坐标为(1,0),∴一元二次方程ax 2+2ax ﹣3=0的两根为x 1=1,x 2=﹣3,19.0<ab <8116【解析】∵函数是一个二次项系数为1的二次函数,∴此函数的开口向上,开口大小一定,∵抛物线与x 轴交于两点(m ,0),(n ,0),且0<m <n <2,∴a >0,b >0,∴ab >0,∵(a−b )2=a 2+b 2−2ab≥0(a =b 时取等号),即a 2+b 2≥2ab (当a =b 时取等号),∴当a =b 时,ab 才有可能最大,∵二次函数过A (0,b ),B (3,a )两点,∴当a =b 时,点A ,B 关于抛物线的对称轴对称,即抛物线的对称轴为直线x = 32 , ∵抛物线与x 轴交于两点(m ,0),(n ,0),且0<m <n <2,∴抛物线的顶点越接近x 轴,ab 的值越大,即当抛物线与x 轴只有一个交点时,是ab 最大值的分界点,当抛物线与x 轴只有一个交点时,此时m =n = 32, ∴抛物线的解析式为y =(x− 32 )2=x 2−3x + 94,∴a=b=94,∴ab<(94)2=81 16,∴0<ab<8116,20.②④【解析】∵抛物线开口向下,∴a<0,∵抛物线与x轴交于点A(3,0)、B(﹣1,0),∴对称轴为直线x=−1+32=1,∴﹣b2a=1,∴b=﹣2a>0,∵与y轴的交点在正半轴上,∴c>0,∴abc<0,故①不符合题意;∵﹣b2a=1,∴b+2a=0,得b=﹣2a,所以b﹣2a=﹣2a﹣2a=﹣4a,∵a<0,∴﹣4a>0,故②符合题意;∵点A(3,0),∴9a+3b+c=0,∵b=﹣2a,∴3a+c=0,∴c=−3a∵a<0,8a+c=5a<0,故③不符合题意;∵顶点的横坐标为1,∴当x=1时,函数有最大值a+b+c,当n≠1时,a+b+c>an2+bn+c,∴a+b>an2+bn=n(an+b),故④符合题意,综上所述,结论正确的是②④.三、解答题21.解:∵点(k,1)是二次函数y=3x2−2x图象上一点,∴3k2−2k=1,(k −1)2+2(k +1)(k −1)+8=k 2−2k +1+2k 2−2+8=3k 2−2k +7=8 .【解析】先将(k,1)代入二次函数y =3x 2−2x , 可得3k 2−2k =1 , 再利用整式的混合运算化简(k −1)2+2(k +1)(k −1)+8可得3k 2−2k +7 , 再将3k 2−2k =1代入计算即可。

二次函数测试题及答案

二次函数测试题及答案

二次函数测试题及答案一、选择题1. 下列哪个选项不是二次函数的一般形式?A. y = ax^2 + bx + cB. y = 3x^2 - 2x + 1C. y = 5x^2 + 3D. y = 2x答案:D2. 二次函数y = ax^2 + bx + c的顶点坐标是:A. (-b, c)B. (-b/2a, c)C. (-b/2a, 4ac - b^2 / 4a)D. (-b/a, 4ac - b^2 / 4a)答案:C3. 若二次函数y = ax^2 + bx + c的图象开口向上,则a的取值范围是:A. a > 0B. a < 0C. a = 0D. a ≠ 0答案:A二、填空题4. 二次函数y = x^2 - 2x + 1的顶点坐标是_________。

答案:(1, 0)5. 当a > 0时,二次函数y = ax^2 + bx + c的图象与x轴的交点个数最多为_______。

答案:2三、解答题6. 已知二次函数y = 2x^2 - 4x + 3,求其顶点坐标。

解:首先,我们可以将二次函数写成顶点形式:y = 2(x - 1)^2 + 1。

因此,顶点坐标为(1, 1)。

7. 某二次函数的图象经过点(1, 1)和(2, 4),且对称轴为直线x = 2。

求该二次函数的解析式。

解:设二次函数的解析式为y = a(x - 2)^2 + k。

将点(1, 1)代入得:1 = a(1 - 2)^2 + k1 = a + k将点(2, 4)代入得:4 = a(2 - 2)^2 + k4 = k由上述两个方程组可得a = -3,k = 4。

因此,该二次函数的解析式为y = -3(x - 2)^2 + 4。

四、应用题8. 某工厂生产一种产品,其成本函数为C(x) = 0.5x^2 - 10x + 100,其中x表示产品数量。

求该工厂生产多少件产品时,平均成本最低。

解:平均成本为C(x)/x = 0.5x - 10 + 100/x。

八年级二次函数练习题及答案

八年级二次函数练习题及答案

八年级二次函数练习题及答案一、选择题:1. 抛物线y?2?3的对称轴是A. 直线x??3B. 直线x?3C. 直线x??2ca)D. 直线x?22. 二次函数y?ax2?bx?c的图象如右图,则点Mx?c与一次函数y?ax?c的大致图象,有且只有一个是正确的,正确的是1A BC D7. 抛物线y?x2?2x?3的对称轴是直线A. x??2B. x?2C. x??1D. x?18. 二次函数y?2?2的最小值是A. ?2B.C. ?1D. 19. 二次函数y?ax2?bx?c的图象如图所示,若M?4a?2b?cN?a?b?c,P?4a?b,则.求这个函数的解析式;当x?0时,求使y≥2的x的取值范围.2. 如右图,抛物线y??x2?5x?n经过点A1,0),与y 轴交于点B.求抛物线的解析式;P是y轴正半轴上一点,且△PAB是以AB为腰的等腰三角形,试求点P的坐标.3. 某公司推出了一种高效环保型洗涤用品,年初3上市后,公司经历了从亏损到赢利的过程,下面的二次函数图象刻画了该公司年初以来累积利润s与销售时间t 之间的关系.由已知图象上的三点坐标,求累积利润s与销售时间t之间的函数关系式;求截止到几月累积利润可达到30万元;求第8个月公司所获利润是多少万元?提高题1. 如图,有一座抛物线形拱桥,在正常水位时水面AB的宽为20m,如果水位上升3m时,水面CD的宽是10m.求此抛物线的解析式;现有一辆载有救援物资的货车从甲地出发需经过此桥开往乙地,已知甲地距此桥280km. 货车正以每小时40km的速度开往乙地,当行驶1小时时,忽然接到紧急通知:前方连降暴雨,造成水位以每小时0.25m的速度持续上涨. 试问:如果货车按原来速度行驶,能否安全通过此桥?若能,请说明理由;若不能,要使货车安全通过此桥,速度应超过每小时多少千米?42. 某机械租赁公司有同一型号的机械设备40套. 经过一段时间的经营发现:当每套机械设备的月租金为270元时,恰好全部租出. 在此基础上,当每套设备的月租金提高10元时,这种设备就少租出一套,且未租出的一套设备每月需要支出费用20元,设每套设备的月租金为x,租赁公司出租该型号设备的月收益为y.用含x的代数式表示未租出的设备数以及所有未租出设备的支出费用;求y与x之间的二次函数关系式;当月租金分别为4300元和350元时,租赁公司的月收益分别是多少元?此时应该租出多少套机械设备?请你简要说明理由;请把中所求的二次函数配方成y?2?4ac?b4a2的形式,并据此说明:当x为何值时,租赁公司出租该型号设备的月收益最大?最大月收益是多少?参考答案一、选择题:二、填空题: 1. y??222. 有两个不相等的实数根 . 14. 图象都是抛物线;开口向上;都有最低点. y?15x2?85x?3或y??15x2?85x?3或y?17x2?87x?1或y??17x2?87x?16. y??x7.8. x?3,1?x?5,1,45九年级数学《二次函数》综合练习题及答案一、基础练习1.把抛物线y=2x向上平移1个单位,得到抛物线_______,把抛物线y=-2x?向下平移个单位,得到抛物线________..抛物线y=3x-1的对称轴是_____,顶点坐标为________,它是由抛物线y=3x?向_______平移______个单位得到的..把抛物线向左平移1个单位,得到抛物线_________,把抛物线 ?向右平移3个单位,得到抛物线________.24.抛物线y=x-1)的开口向________,对称轴为______,顶点坐标为_________,222222?它是由抛物线x2向______平移______个单位得到的..把抛物线y=-13132向_____平移______个单位,就得到抛物线y=-13x2.6.把抛物线y=42向______平移_______个单位,就得到函数y=42的图象..函数y=-的最大值为________,函数y=-x-22213的最大值为________.8.若抛物线y=a的对称轴为x=-3,且它与抛物线y=-2x2的形状相同,?开口方向相同,则点关于原点的对称点为________..已知抛物线y=a2过点,则该函数y=a2当x=________?时,?有最____值______.10.若二次函数y=ax2+b,当x取x1,x2时,函数值相等,则x取x1+x2时,函数的值为________.11.一台机器原价50万元.如果每年的折旧率是x,两年后这台机器的价格为y?万元,则y与x的函数关系式为A.y=50B.y=50C.y=50-x2D.y=5012.下列命题中,错误的是 A.抛物线221212x2-1不与x轴相交;B.抛物线x2-1与121222形状相同,位置不同;12C.抛物线y= D.抛物线y=2的顶点坐标为;12)的对称轴是直线x=13.顶点为且开口方向、形状与函数y=- A.y=-13 1313x的图象相同的抛物线是 D.y=1222B.y=-13x2-5C.y=-13214.已知a x-2的图象上,则A.y1 2kx在同一坐标系中的图象大致为二、整合练习 1.已知反比例函数y=kx的图象经过点A,若二次函数y=12x2-x?的图象平移后经过该反比例函数图象上的点B,C,求平移后的二次函数图象的顶点坐标.2.如图,在正方形ABCD中,AB=2,E是AD边上一点.BE?的垂直平分线交AB于M,交DC于N.设AE=x,四边形ADNM的面积为S,写出S关于x的函数关系式;当AE为何值时,四边形ADNM的面积最大?最大值是多少?3.将二次函数y=-2x2+8x-5的图象开口反向,并向上、下平移得一新抛物线,新抛物线与直线y=kx+1有一个交点为.求:这条新抛物线的函数解析式;这条新抛物线和直线y=kx+1的另一个交点.答案: 一、1.y=2x2+1 y=-2x2-2.y轴下 1.x+1)2x-3)2.上直线x=1 右 1.右,126.左.0138..大 0 10.11.A 12.D 13.C 14.C15.B+k过原点,所以0=1+k,k=-1,双曲线y=-1x )二、1.由反比例函数y=kx的图象过点A,所以1k2=4,k=2,?所以反比例函数的解析式为y=2x.又因为点B,C在y=2x的图象上,所以m=2,n=221222=1,设二次函数y=12x-x的图象平移后的解析式为y=2+k,它过点B,C,所以平移后的二次函数图象的顶点为.2.连接ME,设MN交BE交于P,根据题意得MB=ME,MN⊥BE.过N作NG⊥AB于F,在Rt△MBP和Rt△MNE中,∠MBP+∠BMN=90°,∠FNM+∠BMN=90°,∠MBP=∠MNF,又AB=FN,Rt△EBA≌Rt△MNE,MF=AE=x.在Rt△AME中,由勾股定理得 ME2=AE2+AM2,所以MB2=x2+AM2,即2=x2+AM2,解得AM=1- 所以四边形ADNM的面积S=AM?DN2?AD?12AM?AF214x2.×2=AM+AM+MF=2AM+AE=2+x=-12x2+x+2.即所求关系式为S=-S=-12x2+x+2.52x2+x+2=-12+=-122+52.52当AE=x=1时,四边形ADNM的面积S的值最大,此时最大值是.3.y=-2x2+8x-5=-22+3,将抛物线开口反向,且向上、?下平移后得新抛物线方程为y=22+m.因为它过点,所以4=22+m,m=2,这条新抛物线方程为y=22+2,即y=2x2-8x+10.直线y=kx+1过点,4=3k+1,k=1,求得直线方程为y=x+1.另一个交点坐标为。

二次函数的练习题及答案

二次函数的练习题及答案

二次函数的练习题及答案一、选择题:1. 若二次函数y=ax^2+bx+c的图像开口向上,且与x轴有交点,则a 和b应满足的条件是()。

A. a>0, b>0B. a<0, b<0C. a>0, b^2>4acD. a<0, b^2>4ac2. 二次函数y=-x^2+4x-1的顶点坐标是()。

A. (1,4)B. (2,3)C. (-2,3)D. (2,-3)3. 对于二次函数y=ax^2+bx+c,当x=-1时,函数值最大,那么a的取值范围是()。

A. a>0B. a<0C. a=0D. 无法确定二、填空题:1. 已知二次函数y=2x^2-8x+3,当x=______时,函数值最小。

2. 若二次函数y=-3x^2-6x+5的图像与x轴的交点坐标为(x1,0),(x2,0),则x1+x2=______。

三、解答题:1. 已知二次函数y=-2x^2+4x+1,求出当x取何值时,函数值y最大,并求出最大值。

2. 已知二次函数y=3x^2-6x+2,求出函数与x轴的交点坐标。

四、应用题:1. 某工厂生产一种产品,其生产成本与产品数量的关系可以近似为二次函数:C(x)=0.5x^2-100x+3000,其中x代表产品数量,C(x)代表成本。

求出当生产多少件产品时,成本最低,并求出最低成本。

2. 某公司计划在一块长为60米的空地上建一个矩形花园,花园的长和宽之和为30米。

设花园的长为x米,求出花园的面积最大时的长和宽,并求出最大面积。

答案:一、选择题:1. C2. B3. B二、填空题:1. 22. -2三、解答题:1. 当x=1时,函数值y最大,最大值为3。

2. 函数与x轴的交点坐标为(1,0)和(2,0)。

四、应用题:1. 当生产200件产品时,成本最低,最低成本为2000元。

2. 花园的长为15米,宽为15米时,面积最大,最大面积为225平方米。

初中二次函数试题及答案

初中二次函数试题及答案

初中二次函数试题及答案一、选择题1. 函数y=ax^2+bx+c(a≠0)的图像是一个开口向上的抛物线,则a 的取值范围是()。

A. a>0B. a<0C. a=0D. a≠0答案:A2. 抛物线y=x^2-2x+1的顶点坐标是()。

A. (1, 0)B. (1, 2)C. (0, 1)D. (-1, 2)答案:A3. 函数y=-2x^2+4x-1的对称轴是()。

A. x=2B. x=-2C. x=1D. x=-1答案:A二、填空题4. 已知二次函数y=ax^2+bx+c(a≠0)的图像经过点(1,2),则4a+2b+c=_______。

答案:25. 抛物线y=x^2-6x+9的顶点坐标是( 0,)。

答案:9三、解答题6. 已知二次函数y=ax^2+bx+c(a≠0)的图像与x轴交于点A(-1,0)和点B(3,0),求该二次函数的对称轴。

答案:对称轴为直线x=1。

7. 抛物线y=-3x^2+6x+2与y轴交于点C,求点C的坐标。

答案:C(0,2)8. 已知抛物线y=ax^2+bx+c(a≠0)的图像经过点(2,5)和(-1,10),求该抛物线的顶点坐标。

答案:顶点坐标为(1,6)。

四、综合题9. 抛物线y=2x^2-4x+3与直线y=x+1相交于点D和点E,求D和E的坐标。

答案:D(1,2),E(2,3)10. 已知二次函数y=ax^2+bx+c(a≠0)的图像经过点(-2,-3)和(1,6),且对称轴为直线x=-1,求该二次函数的解析式。

答案:y=-x^2-2x+5。

初中数学:二次函数测试题(含答案)

初中数学:二次函数测试题(含答案)

一、选择题1.若将抛物线y=5x2先向右平移2个单位,再向上平移1个单位,得到的新抛物线的表达式为()=5(x-2)2+1 =5(x+2)2+1 =5(x-2)2-1 =5(x+2)2-12.函数y=﹣2x2﹣8x+m的图象上有两点A(x1,y1),B(x2,y2),若x1<x2<﹣2,则()<y2>y2 =y2、y2的大小不确定3.二次函数y=ax2+bx+c的部分图象如图所示,则下列结论中正确的是()>0 B.不等式ax2+bx+c>0的解集是﹣1<x<5﹣b+c>0 D.当x>2时,y随x的增大而增大4.一次函数y=ax+b与二次函数y=ax2+bx+c在同一坐标系中的图象可能是()5.一次函数y=ax+b(a≠0)与二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)在同一平面直角坐标系中的图象可能是()6.二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示,对称轴是直线x=-1,有以下结论:①abc>0;②4ac<b2;③2a+b=0;④a-b+c>2.其中正确的结论的个数是()个个个个7.某种正方形合金板材的成本y(元)与它的面积成正比,设边长为xcm.当x=3时,y=18,那么当成本为72元时,边长为()8.在平面直角坐标系中,二次函数y=x2+2x﹣3的图象如图所示,点A(x1,y1),B(x2,y2)是该二次函数图象上的两点,其中﹣3≤x1<x2≤0,则下列结论正确的是()<y2 >y2 的最小值是﹣3 的最小值是﹣49.河北省赵县的赵州桥的桥拱是近似的抛物线形,建立如图所示的平面直角坐标系,其函数的关系式为,当水面离桥拱顶的高度DO是4m时,这时水面宽度AB为()A.﹣20m D.﹣10m10.如图,在正方形ABCD中,AB=3cm,动点M自A点出发沿AB方向以每秒1cm的速度向B点运动,同时动点N自A点出发沿折线AD﹣DC﹣CB以每秒3cm的速度运动,到达B点时运动同时停止.设△AMN的面积为y(cm2),运动时间为x(秒),则下列图象中能大致反映y与x之间的函数关系的是()11.如图所示,向一个半径为R、容积为V的球形容器内注水,则能够反映容器内水的体积y 与容器内水深x间的函数关系的图象可能是()A.B.C.D.12.如图,正方形ABCD中,AB=8 cm,对角线AC,BD相交于点O,点E,F分别从B,C两点同时出发,以1 cm/s的速度沿BC,CD运动,到点C,D时停止运动,设运动时间为t(s),△OEF的面积S(cm2),则S(cm2)与t(s)的函数关系可用图象表示为( B )二、填空题13.在直角坐标平面中,将抛物线y=2x2先向上平移1个单位,再向右平移1个单位,那么平移后的抛物线解析式是14.二次函数y=(a﹣1)x2﹣x+a2﹣1 的图象经过原点,则a的值为.15.若将二次函数y=x2﹣2x+3配方为y=(x﹣h)2+k的形式,则y=.16.已知函数y=ax2+bx+c的图象如图所示,则下列结论中:①abc>0;②b=2a;③a+b+c<0;④a-b+c>0.正确的是.17.如图,在平面直角坐标系中,点A在第二象限,以A为顶点的抛物线经过原点,与x轴负半轴交于点B,对称轴为直线x=﹣2,点C在抛物线上,且位于点A、B之间(C不与A、B重合).若△ABC的周长为a,则四边形AOBC的周长为(用含a的式子表示).18.如图,光源P在横杆AB的正上方,AB在灯光下的影子为CD,AB245=-+化成y=a (x-h) 2 +k的形式;y x xy x x=-+(1)将245(2)指出该二次函数图象的对称轴和顶点坐标;(3)当x取何值时,y随x的增大而增大19.如图,已知二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交于A、B两点,其中A点坐标为(﹣1,0),点C(0,5),另抛物线经过点(1,8),M为它的顶点.(1)求抛物线的解析式;(2)求△MCB的面积S.△MCB20.如图所示,抛物线y=ax2+bx+c与直线y=﹣x+6分别交于x轴和y轴上同一点,交点分别是点B和点C,且抛物线的对称轴为直线x=4.(1)求出抛物线与x轴的两个交点A,B的坐标.(2)试确定抛物线的解析式.21.如图,有一个长为24米的篱笆,一面利用墙(墙的最大长度a为10米)围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃.设花圃的宽AB为x米,面积为S平方米.(1)求S与x的函数关系式;(2)如果要围成面积为45平方米的花圃,AB的长为多少米22.已知抛物线y=ax2+bx+3的对称轴是直线x=1.(1)求证:2a+b=0;(2)若关于x的方程ax2+bx﹣8=0的一个根为4,求方程的另一个根.23.大学生自主创业,集资5万元开品牌专卖店,已知该品牌商品成本为每件a元,市场调查发现日销售量y(件)与销售价x(元/件)之间存在一次函数关系,如下表所示:若该店某天的销售价定为110元/件,雇有3名员工,则当天正好收支平衡(即支出=商品成本+员工工资+应支付的其他费用).已知员工的工资为每人每天100元,每天还应支付其他费用200元(不包括集资款).(1)求日销售量y(件)与销售价x(元/件)之间的函数关系式;(2)该店现有2名员工,试求每件服装的销售价定为多少元时,该服装店每天的毛利润最大(毛利润=销售收入-商品成本-员工工资-应支付的其他费用);(3)在(2)的条件下,若每天毛利润全部积累用于一次性还款,而集资款每天应按其万分之二的利率支付利息,则该店最少需要多少天(取整数)才能还清集资款24.如图,已知抛物线经过点A(-1,0),B(3,0),C(0,3)三点.(1)求抛物线的解析式;(2)点M是线段BC上的点(不与B,C重合),过M作NM∥y轴交抛物线于N,若点M的横坐标为m,请用含m的代数式表示MN的长;(3)在(2)的条件下,连接NB,NC,是否存在点m,使△BNC的面积最大若存在,求m的值;若不存在,说明理由.参考答案1.A;2.A.3.B.4.B.5.C6.C.7.A8.D9.C10.A11.B12.B.13.答案为:y=2(x-1)2+114.答案为:﹣1.15.答案为:y=(x﹣1)2+2.16.答案为:①③④.17.答案为:a+4;18.答案为:;19.20.解:(1)依题意:,解得∴抛物线的解析式为y=﹣x2+4x+5(2)令y=0,得(x ﹣5)(x+1)=0,x 1=5,x 2=﹣1,∴B (5,0).由y=﹣x 2+4x+5=﹣(x ﹣2)2+9,得M (2,9)作ME ⊥y 轴于点E ,可得S △MCB =S 梯形MEOB ﹣S △MCE ﹣S △OBC =(2+5)×9﹣×4×2﹣×5×5=15.21.解:(1)∵抛物线y=ax2+bx+c 与直线y=﹣x+6分别交于x 轴和y 轴上同一点,交点分别是点B 和点C ,∴将x=0代入y=﹣x+6得,y=6;将y=0代入y=﹣x+6,得x=6.∴点B 的坐标是(6,0),点C 的坐标是(0,6).∵抛物线y=ax2+bx+c 与x 轴交于点A 、B 两点,对称轴为直线x=4,∴点A 的坐标为(2,0).即抛物线与x 轴的两个交点A ,B 的坐标分别是(2,0),(6,0).(2)∵抛物线y=ax2+bx+c 过点A (2,0),B (6,0),C (0,6),∴4a+2b+c=0,36a+6b+c=0,c=6,解得a=,b=﹣4,c=6.∴抛物线的解析式为:y=+6.22. (1)S=x(24-3x),即S=-3x 2+24x.(2)当S=45时,-3x 2+24x=45.解得x 1=3,x 2=5.又∵当x=3时,BC >10(舍去),∴x=5.答:AB 的长为5米.23.(1)见解析;(2)x=-224.解:(1)由表可知,y 是关于x 的一次函数,设y=kx +b ,将x=110,y=50;x=115,y=45分别代入,得110k+b=50,115k+b=45,解得k=-1,b=160.∴y=-x +160(0<x ≤160);(2)由已知可得50×110=50a +3×100+200,解得a=100.设每天的毛利润为W 元,则W=(x -100)(-x +160)-2×100-200=-x 2+260x -16 400=-(x -130)2+500,∴当x=130时,W 取最大值500.答:每件服装的销售价定为130元时,该服装店每天的毛利润最大,最大毛利润为500元;(3)设需t天才能还清集资款,则500t≥50 000+2×50 000t,解得t≥102.∵t为整数,∴t的最小值为103天.答:该店最少需要103天才能还清集资款.25.解:(1)y=-x2+2x+3(2)易求直线BC的解析式为y=-x+3,∴M(m,-m+3),又∵MN⊥x轴,∴N(m,-m2+2m+3),∴MN=(-m2+2m+3)-(-m+3)=-m2+3m(0<m<3)(3)S△BNC=S△CMN+S△MNB=|MN|·|OB|,∴当|MN|最大时,△BNC的面积最大,MN=-m2+3m=-2+,所以当m=时,△BNC的面积最大为.{。

初二数学二次函数试题答案及解析

初二数学二次函数试题答案及解析

初二数学二次函数试题答案及解析1.发射一枚炮弹,经过x秒后炮弹的高度为y米,x,y满足y=ax2+bx,其中a,b是常数,且a≠0.若此炮弹在第6秒与第14秒时的高度相等,则炮弹达到最大高度的时刻是()A.第8秒B.第10秒C.第12秒D.第15秒【答案】B【解析】由于炮弹在第6s与第14s时的高度相等,即x取6和14时y的值相等,根据抛物线的对称性可得到抛物线y=ax2+bx的对称轴为直线x="6+" =10,然后根据二次函数的最大值问题求解.∵x取6和14时y的值相等,∴抛物线y=ax2+bx的对称轴为直线x=6+=10,即炮弹达到最大高度的时间是10s.故选:B.【考点】二次函数的应用.2.已知直线y=b(b为实数)与函数 y=的图像至少有三个公共点,则实数b的取值范围 .【答案】0<b≤1.【解析】先作函数图象,只要把图像在x轴下方的部分沿x轴向上翻折即可得到的图像,如图所示,因为函数顶点(2,-1)关于X轴对称的点(2,1),结合图像可看出实数b的取值范围是0<b≤1.【考点】二次函数的图像.3.已知抛物线上有一点M(x,)位于轴下方.(1)求证:此抛物线与x轴交于两点;(2)设此抛物线与轴的交点为A(,0),B(,0),且<,求证:<<.【答案】见试题解析.,)代入函数关系式,根据<0,就【解析】(1)本小题只需证明,即△>0.将M(x可以得到.(2)根据根与系数的关系可得,,∴,∴,故.试题解析:(1)∵上有一点M位于x轴下方,∴∴,∴,∴△>0,∴此抛物线与x轴交于两点;(2)∵,,∴,∴,故.【考点】①二次函数与x轴的交点;②根与系数的关系;③配方法.4.如图,在△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC=6,D为BC的中点.(1)若E 、F 分别是AB 、AC 上的点,且AE =CF ,求证:△AED ≌△CFD ;(2)当点F 、E 分别从C 、A 两点同时出发,以每秒1个单位长度的速度沿CA 、AB 运动,到点A 、B 时停止;设△DEF 的面积为y ,F 点运动的时间为x ,求y 与x 的函数关系式;(3)在(2)的条件下,点F 、E 分别沿CA 、AB 的延长线继续运动,求此时y 与x 的函数关系式.【答案】(1)利用等腰直角三角形的性质得到∠BAD=∠DAC=∠B=∠C=45°,进而得到AD=BD=DC ,为证明△AED ≌△CFD 提供了重要的条件;(2);(3)【解析】(1)利用等腰直角三角形的性质得到∠BAD=∠DAC=∠B=∠C=45°,进而得到AD=BD=DC ,为证明△AED ≌△CFD 提供了重要的条件;(2)利用S 四边形AEDF =S △AED +S △ADF =S △CFD +S △ADF =S △ADC ="9" 即可得到y 与x 之间的函数关系式;(3)依题意有:AF=BE=x-6,AD=DB ,∠ABD=∠DAC=45°得到∠DAF=∠DBE=135°,从而得到△ADF ≌△BDE ,利用全等三角形面积相等得到S △ADF =S △BDE 从而得到S △EDF =S △EAF +S △ADB 即可确定两个变量之间的函数关系式. (1)∵∠BAC=90° AB=AC=6,D 为BC 中点 ∴∠BAD=∠DAC=∠B=∠C=45° ∴AD=BD=DC ∵AE=CF∴△AED ≌△CFD (SAS ) (2)依题意有:FC=AE=x , ∵△AED ≌△CFD∴S 四边形AEDF =S △AED +S △ADF =S △CFD +S △ADF =S △ADC =9 ∴S △EDF =S 四边形AEDF -S △AEF =9-(6-x)x=x 2-3x+9 ∴;(3)依题意有:AF=BE=x-6,AD=DB ,∠ABD=∠DAC=45° ∴∠DAF=∠DBE=135° ∴△ADF ≌△BDE ∴S △ADF =S △BDE∴S △EDF =S △EAF +S △ADB =(x-6)x+9=x 2-3x+9 ∴.【考点】动点问题的综合题点评:此类问题难度较大,在中考中比较常见,一般在压轴题中出现,需特别注意.5. 某市场销售一批名牌衬衫,平均每天可销售20件,每件盈利40元。

二次函数题目及答案

二次函数题目及答案

二次函数题目及答案一、 选择题:1.抛物线y=(x-2)²+3的对称轴是( )A. 直线x=-3B. 直线x=3C. 直线x=-2D.直线x=23.已知二次函数y=ax ²+bx+c, 且a<0, a-b+c>0, 则一定有 ( )A. b ²-4ac>0B. b ²-4ac=0C. b ²-4ac<0D. b ²-4ac ≤04.把抛物线y=x ²+bx+c 向右平移3个单位,再向下平移2个单位,所得图象的解析式是 y=x ²-3x+5.则有( )A. b=3. c= 7B. b=-9, c=-15C. b=3, c=3D. b=-9, c=216. 抛物线 y=x ²-2x+3| 的对称轴是直线( )A. x=-2B. x=2C. x=- 1D. x=12.二次函数y=ax ²+bx+c 的图象如右图,则点M (b ,c a)在( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限5. 下面所示各图是在同一直角坐标系内, 二次函数y=ax²+(a+c)x+c与一次函数 y=ax+c 的大致图象,有且只有一个是正确的,正确的是( )7. 二次函数 y=(x-1)²+2的最小值是( )A. - 2B.2C. - 1D.18. 二次函数 y=ax²+bx+c的图象如图所示,若 M=4a+2b+cN=a-b+c, P=4a-b, 则 ( )A. M>0, N>0, P>0B. M<0, N>0, P>0C. M>0, N<0, P>0D. M<0, N>0, P<0二、填空题:9. 将二次函数y=x²-2x+3配方成y=(x-h)²+k的形式,则y= .10. 已知抛物线y=ax²+bx+c 与x轴有两个交点,那么一元二次方程ax²+bx+c= 0 的根的情况是 .11. 已知抛物线y=ax²+x+c 与x 轴交点的横坐标为-1, 则a+c= .12.请你写出函数 y=(x+1)².与y=x²+1 具有的一个共同性质: .13.已知二次函数的图象开口向上,且与y轴的正半轴相交,请你写出一个满足条件的二次函数的解析式: .14. 如图,抛物线的对称轴是x=1,与x轴交于A、 B两点,若B点坐标是(√3,0),则A点的坐标是 .三、解答题:1. 已知函数y=x²+bx-1的图象经过点(3,2).(1) 求这个函数的解析式.(2)当x>0时,求使y≥2的x的取值范围.2、如右图,抛物线y =-x²+5x+n 经过点A(1,0),与y轴交于点 B.(1) 求抛物线的解析式:(2)P是y轴正半轴上一点,且△PAB是以AB为腰的等腰三角形,试求点P的坐标.参考答案一、选择题:二、填空题:9. y=(x-1)²+2 10.有两个不相等的实数根 11.112.(1)图象都是抛物线:(2)开口向上:(3)都有最低点(或最小值)13. y=-x²+2x+1 等(只须a<0, c>0)14.(2−√3,0)三、解答题:1.解: (1) ∵函数 y=x²+bx-1 的图象经过点(3, 2), ∴9+3b-1=2.解得b=-2.∴函数解析式为y=x²-2x-1.(2) 当x=3时, y=2.根据图象知当x≥3时, y≥2∴当x>0时,使y≥2的x的取值范围是x≥3.2.解:(1)由题意得-1+5+n=0.∴n=-4.∴抛物线的解析式为 y=-x²+5x-4.(2) ∵点A的坐标为(1,0),点B的坐标为(0,-4).∴OA=1, OB=4.在 Rt△OAB中, AB=√OA2+OB2=√17,且点P在y轴正半轴上。

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八年级数学二次函数练习题及答案班级:姓名总分:一、选择题1.下列方程是关于x的一元二次方程的是.12?0 B.ax?bx?c?0 x2C.4x2?2x?1D.3x2?2xy?5y2?0 A.x2?2.用配方法解方程 x?2x?1?0,变形后的结果正确的是.2?.2?0 ?.2?0C.2? D.2?2.抛物线 y?2?的顶点坐标是.A.B.C.D.4.下列所给方程中,没有实数根的是.A.x2?x?0B.5x2?4x?1?0C.3x2?4x?1?0D.4x2?5x?2?025.已知三角形两边的长分别是3和6,第三边的长是x?6x?8?0 的根,则这个三角形的周长是.A.11B.13C.11或13D.12或156.一件商品的原价是100元,经过两次提价后的价格为121元,如果每次提价的百分率都是x,根据题意,下面列出的方程正确的是.A.100?121B.100?121C.1002?121D.1002?1217.要得到抛物线 y?22?1 ,可以将抛物线 y?2x.A. 向左平移4个单位长度,在向下平移1个单位长度B. 向右平移4个单位长度,在向下平移1个单位长度C. 向左平移4个单位长度,在向上平移1个单位长度D. 向右平移4个单位长度,在向上平移1个单位长度8.如图,在长为100米,宽为80米的矩形场地上修建两条宽度相等且互相垂直的道路,剩余部分进行绿化,要使绿化面积为7644米2,则道路的宽应为多少米?设道路的宽为x米,则可列方程为.A.100?80?100x?80x?7644B.?x2?7644C.?7644D.100x?80x?764429.如图,函数y?ax?a和y?ax?2x?的图象可能是.10.二次函数 y?ax2?bx?c的图像大致如图,关于该二次函数,下列说法错误..的是.A.函数有最小值1B.对称轴是直线x?21C.当x?,y随x的增大而减小2D.当?1?x?2时,y?0第10题图第16题图二、填空题11.写出解为x?3的一个一元二次方程: .12.已知x?1是关于x的一元二次方程ax?bx?c?0的一个根,则代数式a?b?c?13.有一人患了流感,经过两轮传染后共有100人患了流感,设每轮传染中,平均一个人传染的人数为x,可列方程为: .14.二次函数y?x?2x?6的最小值是: .15.正方形的边长是3,若边长增加x,则面积y与x 之间的关系是:.22216.抛物线y?ax?bx?c的部分图象如图所示,则当y?0时,x的取值范围是三、解答题 17.解方程:x?3x?2?018.已知关于x的一元二次方程x?6x?2m?1?0有两个相等的实数根,求m的值及方程的根.2219.已知抛物线的顶点为,且经过点,求这条抛物线的解析式.四、解答题20. 惠州市体育局要组织一次篮球赛,赛制为单循环形式,计划安排28场比赛,应邀请多少支球队参加比赛?21.如图所示,某幼儿园有一道长为16米的墙,计划用32米长的围栏靠墙围成一个面积为120平方米的矩形草坪ABCD.求该矩形草坪BC边的长.22.如图,在△ABC中,∠B=90°,AB=12mm,BC=24mm,动点P从点A开始,沿边AB向点B以2mm/s?的速度移动,动点Q从点B开始,沿边BC向点C以4mm/s的速度移动,如果?P、Q都从A,B点同时出发,那么△PBQ的面积S随出发时间t如何变化?写出S关于t的函数解析式及t的取值范围.APBQC五、解答题23. 李师傅去年开了一家商店,今年1月份开始盈利,2月份盈利2400元,4月份的盈利达到3456元,且从2月到4月,每月盈利的平均增长率都相同. 求每月盈利的平均增长率.按照这个平均增长率,预计5月份家商店的盈利将达到多少元?24. 石坝特产专卖店销售莲子,其进价为每千克40元,按每千克60元出售,平均每天可售出100千克.后来经过市场调查发现,单价每降低2元,则平均每天的销售量可增加20千克.若该专卖店销售这种莲子想要平均每天获利2240元,请回答:⑴每千克莲子应降价多少元?⑵在平均每天获利不变的情况下,为尽可能让利于顾客,赢得市场,该店应按原售价的几折出售?25.如图,隧道的截面由抛物线和长方形构成,长方形的长是8m,宽是2m,抛物线可以用y=-12x+4表示.一辆货运卡车高4m,宽2m,它能通过该隧道吗?如果该隧道内设双行道,那么这辆货运卡车是否可以通过?答案一. 选择题1----- C.D.C.D.B ----10 C.B.C.B.D 二. 填空题11. x2?12.0 13. x?1?x?121或2?121 14.515. y? 16. ?1 17.解:因式分解得:?0于是得x?2?0或x?1?0x?2,x2?1 118.解:?关于x的方程x2?6x?2m?1? 0有两个相等的实数根b2?4ac?62?4?1??36?8m?4=0?m?5把m?5代入x2?6x?2m?1?0得x?6x?2?5?1?0x2?6x?9?02?0?x1?x2?3219.解:设抛物线的解析式为y?a2?k?顶点 ?h?1,k??4?y?a2?4把代入得0?a?4?a?1?抛物线的解析式为y?2?420.解:设应邀请x支球队参加比赛,依题意得=282解得:x1=8,x2=?7答:应邀请8支球队参加比赛.221.解:设BC的长为x米,则AB的长为米,得2?20>16 ?x2?20答:该矩形草坪BC边的长12米.《二次函数》检测题姓名班级一、填空题:1、函数y?xm?1?2mx?1是抛物线,则m=。

2、抛物线y??x2?2x?3与x轴交点为,与y轴交点为。

y5xA、B、C、D、7、抛物线y?3x2向右平移1个单位,再向下平移2个单位,所得到的抛物A、y?32?2B、y?32?2教师助手学生帮手家长朋友C、y?32?2D、y?32?28、已知h关于t的函数关系式h?图象为12gt如图,则函数211、根据所给条件求抛物线的解析式:、抛物线过点、、、抛物线的顶点为,且过点、抛物线关于y轴对称,且过点和教师助手学生帮手家长朋友12、先配方,再指出下列函数图象的开口方向、顶点和对称轴:、y??x2?4x?5、y?x2?3x?四、应用题:13、某广告公司设计一幅周长为12米的矩形广告牌,广告设计费为每平方米1000元,设矩形一边长为x米,面积为S平方米。

的教师助手学生帮手家长朋友九年级数学《二次函数》综合练习题及答案一、基础练习1.把抛物线y=2x向上平移1个单位,得到抛物线_______,把抛物线y=-2x?向下平移个单位,得到抛物线________..抛物线y=3x-1的对称轴是_____,顶点坐标为________,它是由抛物线y=3x?向_______平移______个单位得到的..把抛物线向左平移1个单位,得到抛物线_________,把抛物线 ?向右平移3个单位,得到抛物线________.24.抛物线y=x-1)的开口向________,对称轴为______,顶点坐标为_________,222222?它是由抛物线x2向______平移______个单位得到的..把抛物线y=-13132向_____平移______个单位,就得到抛物线y=-13x2.6.把抛物线y=42向______平移_______个单位,就得到函数y=42的图象..函数y=-的最大值为________,函数y=-x-22213的最大值为________.8.若抛物线y=a的对称轴为x=-3,且它与抛物线y=-2x2的形状相同,?开口方向相同,则点关于原点的对称点为________..已知抛物线y=a2过点,则该函数y=a2当x=________?时,?有最____值______.10.若二次函数y=ax2+b,当x取x1,x2时,函数值相等,则x取x1+x2时,函数的值为________.11.一台机器原价50万元.如果每年的折旧率是x,两年后这台机器的价格为y?万元,则y与x的函数关系式为A.y=50B.y=50C.y=50-x2D.y=5012.下列命题中,错误的是 A.抛物线221212x2-1不与x轴相交;B.抛物线x2-1与121222形状相同,位置不同;12C.抛物线y= D.抛物线y=2的顶点坐标为;12)的对称轴是直线x=13.顶点为且开口方向、形状与函数y=- A.y=-13 1313x的图象相同的抛物线是 D.y=1222B.y=-13x2-5C.y=-13214.已知a x-2的图象上,则A.y1 2kx在同一坐标系中的图象大致为二、整合练习 1.已知反比例函数y=kx的图象经过点A,若二次函数y=12x2-x?的图象平移后经过该反比例函数图象上的点B,C,求平移后的二次函数图象的顶点坐标.2.如图,在正方形ABCD中,AB=2,E是AD边上一点.BE?的垂直平分线交AB于M,交DC于N.设AE=x,四边形ADNM的面积为S,写出S关于x的函数关系式;当AE为何值时,四边形ADNM的面积最大?最大值是多少?3.将二次函数y=-2x2+8x-5的图象开口反向,并向上、下平移得一新抛物线,新抛物线与直线y=kx+1有一个交点为.求:这条新抛物线的函数解析式;这条新抛物线和直线y=kx+1的另一个交点.答案: 一、1.y=2x2+1 y=-2x2-2.y轴下 1.x+1)2x-3)2.上直线x=1 右 1.右,126.左.0138..大 0 10.11.A 12.D 13.C 14.C15.B+k过原点,所以0=1+k,k=-1,双曲线y=-1x )二、1.由反比例函数y=kx的图象过点A,所以1k2=4,k=2,?所以反比例函数的解析式为y=2x.又因为点B,C在y=2x的图象上,所以m=2,n=221222=1,设二次函数y=12x-x的图象平移后的解析式为y=2+k,它过点B,C,所以平移后的二次函数图象的顶点为.2.连接ME,设MN交BE交于P,根据题意得MB=ME,MN⊥BE.过N作NG⊥AB于F,在Rt△MBP和Rt△MNE中,∠MBP+∠BMN=90°,∠FNM+∠BMN=90°,∠MBP=∠MNF,又AB=FN,Rt△EBA≌Rt△MNE,MF=AE=x.在Rt△AME中,由勾股定理得 ME2=AE2+AM2,所以MB2=x2+AM2,即2=x2+AM2,解得AM=1- 所以四边形ADNM的面积AM?DN2?AD?12AM?AF214x2.×2=AM+AM+MF=2AM+AE=2+x=- 12x2+x+2.即所求关系式为S=-S=-12x2+x+2.52x2+x+2=-12+=-122+5252当AE=x=1时,四边形ADNM的面积S的值最大,此时最大值是.3.y=-2x2+8x-5=-22+3,将抛物线开口反向,且向上、?下平移后得新抛物线方程为y=22+m.因为它过点,所以4=22+m,m=2,这条新抛物线方程为y=22+2,即y=2x2-8x+10.直线y=kx+1过点,4=3k+1,k=1,求得直线方程为y=x+1.另一个交点坐标为。

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