第二章非惯性系中的质点动力学

)
δWF
δWIe
质点相对运动动能定理的微分形式： 质点在非惯性系中相对动能的增量等于作用于质点
上的力与牵连惯性力在相对运动中所作的元功之和。
积分上式得
1 2
mvr2
1 2
mvr20
WF
WIe
质点相对运动动能定理的积分形式： 质点在非惯性参考系中相对动能的变化等于作用在质
点上的力与牵连惯性力在相对路程上所作的功之和。
是
r对 时间t
的二阶相对导数
几种特殊情况
（1）aC动参0考系FI相C 对 0于定 参考相系对作运平动移动力学基本方程为 mar F FIe
（2）动参考系相对于定参考系作匀速直线平移
aC 0
ae 0 FIe FIC 0
mar F
所有相对于惯性参考系作匀速直线平移的参考系 都是惯性参考系
x
(
1 3
gt
3
v0t
2
)
cos
，y
0
，z
v0t
1 2
gt
2
当质点M 回落到原上抛点高度时 z 0
可得质点经历的时间为
t 2v0 g
（f） （g） （h）
x
(1 3
g
8v03 g3
v0
4v02 g2
) cos
4 3
v03 g2
cos
x 为负值， 表明上抛质点落地时，其落点偏西。
如果质点在高h 处无初速度自由落下 其相对运动微分方程为
FIC 2m 0 cos sin
x y' z
2m[( y
sin
z
cos
)i
x s in
j
x
cos
k ]
（a）
质点相对于地球的运动微分方程
mar F FIe FIC mg 2m vr
引用式（a） 上式沿x，y轴，的z投影式为
x 2 ysin 2 zcos
y 2 xsin
t 2h g
（i）
x 2h cos 2h
3
g
此时 x为 正值， 偏移向东。
这就是地球上的落体偏东现象。
§ 2－2 非惯性系中质点的动能定理
质点的相对运动动力学基本方程为
m dvr dt
F
FIe
FIC
式中 FIe mae ，FIC maC 2m vr
dvr dt
是
vr对时间t 的相对导数
在杆OA上有一质量为m=0.1kg的套筒B。设开始运
动时，套筒在杆的中点处于相对静止，忽略摩擦。
求：套筒运动到端点A所需的时间及此时对杆的水平压力。
z'
y'
O
B
A x'
解： 研究套筒B相对于OA的运动 选取和杆OA一起转动的坐标系 Oxyz 为动参考系
FIe m2 x FIC 2m x
建立相对运动微分方程
上式两端点乘相对位移dr
m
dvr dt
dr
F
dr来自百度文库
FIe
科氏惯性力FIC垂直于相对速度
dr
vr
FIC
有
dr
FIC
dr
0
mvr dvr F dr FIe dr
δWF －表示力 F在质点的相对位移上的元功。
δWIe －表示牵连惯性力 FI在e 质点的相对位移上的元功。
d(
1 2
mvr2
牵连惯性力 科氏惯性力
x'
y
O
x
非惯性系中的质点动力学基本方程
mar F FIe FIC 或质点相对运动动力学基本方程
在非惯性系内，上式写成微分方程形式
m
d
2
r
dt 2
F
FIe
FIC
非惯性系中的质点运动微分方程
质点相对运动微分方程
其中 r表 示质点M在非惯性系中的矢径
d 2r dt 2
ar 0
F FIe FIC 0
质点相对平衡方程
地球自转的影响
地球总是在自转，固结在地面上的参考系实质上是非惯性 系。由于地球自转角速度较小，每24小时转2π弧度，因此一 般工程上可以将其看为惯性系。但地球自转的影响是真实存 在的，在许多情况下不可忽略。在地面上物体的重量是地球 引力与离心惯性力的合力，称之为表观重力。地面上铅垂线 的方向也是表观重力的方向。自由落体甚至不沿表观重力方 向下落，这是由于有科氏惯性力的存在。在北半球，河流的 右岸受较大的冲刷，铁路的右轨易磨损也是由于科氏惯性力 的作用。
vr x
l2 l2 4
2
3l
（a）
z'
O
y' F1
F2
B
mg
FIC
FIeA x'
F2 32lm 3(2π rad/s)2 0.5m0.1kg 3.419N
例2－3
已知：在地球表面北纬角处，以初速度 v铅0 直上抛一
质量为m 的质点M。
求：由于地球自转的影响质点M回到地表面的落点与上 抛点的偏离。
z g 2 xcos
（b）
对此微分方程组， 可以采用逐次的方法求解。
由于地球自转角速度ω很小， 最初级的近似计算中
可取ω=0 则式（b）的零次近似方程为 x 0，y 0，z g
（c）
运动初始条件为 t＝0时
x x
0，y 0，y
0，z 0，z
v0 0
（d）
在此条件下式（c）积分一次，得质点零次近似的速度为
m
d
2
r
dt 2
mg
F1
F2
FIe
FIC
（a）
将上式投影到 x轴 上得 mx mx 2
令 vr x
dvr dvr dx 2x
dt dx dt
z'
O
y' F1
F2
B
mg
FIC
FIeA x'
注意
dx dt
vr
上式分离变量并积分
即
vr 0
vrdvr
x 1
2
xdx
2
得
1 2
vr2
例2－ 4 已知：一平板与水平面成θ角，板上有一质量为m 的小球，
如图所示，若不计摩擦等阻力。
求：平板以多大加速度向右平移时，小球能保持相对静止。 若平板又以这个加速度的两倍向右平移时，小球应沿 板向上运动。球沿板走了l 距离后，小球的相对速度是 多少？
a
解： （1）在平板上固结一动参考系 Oxy
dt 2
m(g
a0 )
令
02
g
a0 l
则上式可写成自由振动微分方程的标准形式
d 2
dt 2
02
0
其解的形式为 Asin(0t ) 而振动周期为
2π 2π l
0
g a0
例2－2
已知：一直杆OA，长l=0.5m，可绕过端点O的 z轴在水 平面内作匀速转动，其转动角速度 2π rad/s
发生在惯性参考系中的任何力学现象都无助于发 觉该参考系本身的运动情况----相对性原理
（3）a质r 点 0相，对于r 动0参考F系IC静止0 F FIe 0
质点相对静止的平衡方程
即当质点在非惯性参考系中保持相对静止时， 作用在质点上的力与质点的牵连惯性力相互平衡。
（4）质点相对于动参考系作等速直线运动
第二章 非惯性系中的质点动力学
§ 2－1 非惯性系中质点动力学的基本方程
惯性参考系：Oxyz 非惯性参 考系： O' x' y' z'
在惯性参 考系内：m aa
F
aa ar ae aC
F z
M
牵连加速度
科氏加 速度
z'
mar
mae
maC
F
O'
y'
令
mar F
FIe mae
FIC
maC
mae maC
2π sin
－－地球自转角速度；
－－所在地的纬度。
在北半球某地上空大气压强的等压线如图所示。其中心 部分是低压，外部是高压，则空气将由高压向低压处运动。 气体运动时将受到科氏惯性力作用。在北半球科氏惯性力指 向运动方向的右侧，因此气体不会作直线运动，而是向右偏 斜。这就导致在低压处附近形成逆时针方向的气旋。
1
对应于小球在最低处的情况
另一解为
cos max
g ( 2 R g) 2R
2g 1
2R
max arccos(22gR 1)
FIe mg
x 2 ysin 2 zcos
y 2 xsin
z g 2 xcos
（b）
注意此时 v0 0
其零次近似的速度式改为 x 0，y 0，z gt
以始落点为原点，一次近似的质点运动方程式为
x 1 gt3 cos ，y 0，z 1 gt 2
3
2
当落下高度h 时，z h 经历时间为
1 2 (x2
2
l2 4
)
或
vr
dx dt
x2 l2 4
（b）
上式再分离变量并积分 即
t 1 ln l
l2 l2 4
1 ln(2
1
l dx
1
2 x2 l 2 4
3) 0.209 s
t
0 dt
2
m
d
2
r
dt 2
mg
F1
F2
FIe
FIC
将式（a）投影到 y轴 上得
F2 FIC 2m x 当套筒到达端点A时 x l
分析小球受力如图所示。
FIe ma0
因动参考系作平移，所以科氏惯性力
FIC
0y'
mar F P FIe
Ft
P FIe
将上式投影到轨迹的切向轴t上 得
d2s m
dt 2
(P
FIe ) sin
m(g
a0 ) sin
当摆作微振动时 角很小 有sin 且 s l
上式成为
ml
d 2
解：
以上抛点为坐标原点，选取固定于地球的非惯 性参考系为 Oxyz
其中 z轴 铅直向上， 近似通过地球中心。
x轴水平向东， y轴水平向北。
表现重力
P F FIe mg
其中 F为地球引力
科氏惯性力
FIC maC 2m vr
vr xi yj zk
FIC
的矢量积可展开为
i j k
在北半球，用球铰链悬挂一支摆，摆锤运动时，由于 其科氏惯性力向右，因此它不会象单摆一样在一个固定平 面内摆动，摆锤将会向右方偏斜，其运动轨迹如图所示。 这种摆是傅科于1851年表明的，称之为傅科摆，它证明了 地球的自转。摆（含摆杆）运动的平面缓慢地顺时针转动。 理论计算表明，该平面旋转一周的周期为
x 0，y 0，z gt v0
（e）
将上式代入式（b）， 得一次近似的微分方程
x 2(gt v0 ) cos ，y 0 ，z g
在式（d）的初始条件下，上式积分一次 得一次近似的速度
x (gt2 2v0t) cos ，y 0，z gt v0
再积分一次，得一次近似的上抛质点运动方程
2
max
0
因 sin 2 max 1 cos2 max
mgR(c os max
1)
1 2
m
2
R
2
(1
cos2
max
)
0
或 2Rcos2 max 2g cosmax 2g 2R 0
FIe mg
cos max
g ( 2 R g) 2R
其中
cos max
g ( 2 R g) 2R
FIe mae
FIC 0
y'
小球相对静止，方程为
Fx 0，FN mg cos FIe sin 0 Fy 0， mg sin FIe cos 0
mg sin FIe cos mae cos
FN
FIe
mg a
ae g tan
x' O'
（2）当加速度 ae 2g 时tan
FIe 2mg tan
应用相对运动动能定理，有
m 2
vr2
0
(FIe
cos
)l
(mg
sin
)l
m 2
vr2
(mg
sin )l
vr 2gl sin
例2－5
已知：半径为R 的环形管，绕铅垂轴z 以匀角速度ω 转动。 如图所示，管内有一质量为m的小球，原在最低 处平衡，小球受微小扰动时可能会沿圆管上升。 忽略管壁摩擦。
求：小球能达到的最大偏角 ma。x
思考：如果中心是高压，四周是 低压，是否会形成顺时针方向的 气旋？
例2－1
已知：如图所示单摆，摆长为l，小球质量为m。 其悬挂点O以加速度 a0向上运动。
求：此时单摆作微振动的周期。
a0
O
x'
y'
解： 在悬挂点O上固结一平移参考系 Oxy
a0
O
小球相对于此动参考系的运动
x'
相当于悬挂点固定的单摆振动
解： 以环形管为动参考系 FIe m2Rsin
经过微小角度d时 此惯性力作功为 δW1 FIeRd cos m2R2 sin cosd
相对运动的动能定理
0 0 mgR(1 cosmax )
max m 2 R 2 sin cosd
0
mgR(c os max
1)
1 2
m
2
R2
sin