函数零点的应用
三角函数的零点及其应用
三角函数的零点及其应用三角函数是数学中重要的基础概念，它们的零点是其性质研究中的重要内容。
本文将探讨三角函数的零点以及在实际问题中的应用。
一、正弦函数的零点及应用正弦函数的零点是指满足sin(x) = 0的所有x值。
由于正弦函数的周期为2π，因此它的零点可以表示为x = kπ，其中k为整数。
比如，当k = 0时，x = 0，这就是正弦函数的一个零点。
当k = 1时，x = π，这也是一个零点。
同样地，当k取负的整数时，也可以得到其他的零点。
正弦函数的零点在物理学和工程学中有广泛的应用。
例如，当一个弹簧振子处于平衡位置时，它的偏离量可以用正弦函数来描述。
当振子偏离平衡位置时，正弦函数的零点就代表振子回到平衡位置的时间点。
二、余弦函数的零点及应用余弦函数的零点是指满足cos(x) = 0的所有x值。
与正弦函数类似，余弦函数的周期也是2π。
因此，余弦函数的零点可以表示为x = (k + 0.5)π，其中k为整数。
余弦函数的零点在物理学和工程学中也有广泛的应用。
例如，当一个物体沿直线做简谐振动时，其位置随时间变化的函数可以用余弦函数表示。
当物体位于极端位置时，即余弦函数的零点处，可以得知物体的最大位移和运动周期。
三、正切函数的零点及应用正切函数的零点是指满足tan(x) = 0的所有x值。
正切函数的周期是π，因此它的零点可以表示为x = kπ，其中k为整数。
正切函数的零点在工程学和物理学中也有一些应用。
例如，在电路中，电流和电阻之间的关系可以用正切函数来表示。
当电流为零时，即正切函数的零点处，可以得知电路中的某些特定情况。
四、三角函数零点在实际问题中的应用除了上述具体的应用场景，三角函数的零点在实际问题中还具有广泛的应用。
例如，在信号处理中，通过分析信号的周期性，并寻找信号的零点，可以实现信号的去噪和分析。
此外，在物理学中，三角函数的零点也经常出现。
例如，在波动现象中，可以利用三角函数的零点来计算波的频率和波长。
二次函数零点的有趣性质及其应用
二次函数零点的有趣性质及其应用二次函数是高中数学中经常研究的内容之一，它是一类常见的二元二次方程。
二次函数的一般形式为f(x) = ax^2 + bx + c，其中a、b、c 为实数且a≠0。
二次函数的零点是指函数图像与x轴相交的点，也就是使函数取值为零的x值。
二次函数的零点有以下几个有趣的性质：1. 零点的判别法：由于二次函数是一个二元二次方程，可以应用求根公式得到它的零点。
判别式Δ = b^2 - 4ac可以揭示零点的性质。
当Δ > 0时，函数有两个不相等的实根；当Δ = 0时，函数有两个相等的实根；当Δ < 0时，函数没有实根，但可能有两个虚根。
2.零点与系数之间的关系：对于一个给定的二次函数，它的零点与系数之间有一定的关系。
零点的和为-x轴对称的顶点横坐标的两倍的相反数，即x1+x2=-b/a；零点的乘积等于常数项与系数a的商的负数，即x1*x2=c/a。
除了基本的性质之外，二次函数的零点还具有一些应用价值：1.解决实际问题：二次函数可以用来描述很多实际问题，例如炮弹的抛射轨迹、物体的自由落体运动等。
这些问题中，零点代表了一些事件发生的时间或位置。
通过求解二次函数的零点，我们可以得到这些问题的解决方法。
2.优化问题的求解：在很多优化问题中，需要找出函数取得最大值或最小值的点。
二次函数在特定的条件下可以很方便地用来描述这类问题。
通过求解二次函数的零点，我们可以找到函数的顶点，从而确定函数的极值点。
3.统计学中的应用：二次函数在统计学中具有广泛的应用。
例如，通过拟合二次函数可以对一组数据进行回归分析，从而预测未来的趋势或估计缺失的数据。
4.工程中的应用：工程领域中，二次函数常常用来描述其中一种物理量与时间或空间的关系。
例如，用来描述电路中的电流、电压变化等。
通过求解二次函数的零点，我们可以得到这些物理量的变化趋势。
总之，二次函数的零点具有很多有趣的性质和应用。
它不仅有助于理解二次函数的性质，还可以解决实际问题和优化问题，应用到统计学和工程领域中。
函数零点的应用
函数零点的应用大家知道，如果函数)(x f y =在a x =处的函数值等于零，即0)(=a f ，则称a 为函数)(x f y =的零点，因此函数)(x f y =的零点就是方程0)(=x f 的根。
这样函数的零点把函数和方程紧密地联系在一起，它在很多问题中都有着极其重要的应用。
举例说明。
1、利用函数零点解不等式二次函数的图象是连续的，当它通过零点（不是二重零点）时，函数值变号，并且在任意两个相邻的变号零点之间函数值保持同号，根据二次函数变号零点的这一性质，可以求解二次不等式。
例1二次函数c bx ax y ++=2的部分对应值如下表：则不等式02>++c bx ax 的解集是_______。
解：由表中数据可知函数的两个零点分别为2-和3，这两个零点将其余实数分为三个区间：),3(),3,2(),2,(+∞---∞。
在区间)2,(--∞中取特殊值3-，由于06)3(>=-f ，因此根据二次函数变号零点的性质可得：当)2,(--∞∈x 时，都有0)(>x f ；当)3,2(-∈x 时，都有0)(<x f ;当),3(+∞∈x 时，都有0)(>x f 。
∴不等式的解集为),3()2,(+∞--∞Y 。
2、利用函数零点研究方程的根由于函数)(x f y =的零点就是方程0)(=x f 的根，所以在研究方程的有关问题，如：比较方程根的大小、确定方程根的分布、证明根的存在性等时，都可以将方程问题转化为函数问题，借助函数的零点，结合函数的图象加以解决。
例2已知函数)(2))(()(b a b x a x x f <+--=，若)(βαβα<、是方程0)(=x f 的两个根，则实数βα,,,b a 之间的大小关系是 （ ）A.βα<<<b aB.b a <<<βαC.βα<<<b aD.b a <<<βα 解：令))(()(b x a x x g --=，则函数)(x g 的两个零点是b a ,。
函数的零点与性质解析几何的应用技巧
函数的零点与性质解析几何的应用技巧函数的零点与性质：解析几何的应用技巧函数是数学中一个非常重要的概念，它在解析几何中有着广泛的应用。
本文将探讨函数零点的性质以及解析几何中的应用技巧。
一、函数的零点函数的零点也被称为函数的根或方程的解。
对于函数y=f(x)，当f(x)=0时，x被称为函数的零点。
例如，对于函数y=x^2-4，当x=2或x=-2时，函数的值为0，因此x等于2和-2是该函数的零点。
函数的零点可以通过求解函数的方程来得到。
对于一次函数，例如y=ax+b，其中a和b为实数，方程f(x)=0可以通过解ax+b=0来得到。
对于高次函数，例如二次函数，可能需要利用因式分解、配方法或求根公式等方法来解方程。
二、函数的性质函数的零点不仅仅是数值的问题，它还与函数的性质密切相关。
下面列举了一些函数的性质：1. 函数与坐标轴的交点：函数的零点也是函数与x轴的交点。
当函数在零点附近变号时，可以推断函数在该区间内有一个零点。
比如，如果函数在x=2左侧为负，在x=2右侧为正，那么可以推断函数在x=2附近有一个零点。
2. 函数的对称性：某些函数具有奇偶性对称，例如奇函数和偶函数。
奇函数满足f(-x)=-f(x)，对于奇函数来说，如果x是函数的零点，那么-x也是函数的零点。
偶函数满足f(-x)=f(x)，对于偶函数来说，如果x是函数的零点，那么-x也是函数的零点。
3. 函数的单调性：函数的单调性与函数的零点也有关系。
如果函数在某个区间内单调递增或单调递减，那么函数在该区间内最多只有一个零点。
这可以通过函数的导数来进行判断。
4. 函数的图像：函数的零点可以帮助我们了解函数的图像。
当函数在某个区间由正数变为负数时，可以推断函数图像在该区间内下凹，并且有一个零点。
同样，当函数在某个区间由负数变为正数时，可以推断函数图像在该区间内上凹，并且有一个零点。
三、解析几何的应用技巧函数的零点与性质在解析几何中有着广泛的应用，它们可以帮助我们更好地理解几何图形，下面介绍一些应用技巧：1. 直线与曲线的交点：通过函数的零点，我们可以确定直线与曲线的交点。
高等数学中的零点定理及其应用
高等数学中的零点定理及其应用数学是一门基础学科，应用广泛，与各领域有着密不可分的联系。
其中，高等数学是各个领域中不可或缺的一门学科。
而零点定理是高等数学中非常重要和基础的一个部分，涉及到多个学科的交叉应用。
本文将主要介绍零点定理的概念、分类和应用。
一、零点定理的概念和分类零点定理是指在某些函数中，存在某些特殊值(称为零点)，使得函数在这些点处取值为零。
具体地说，若函数$f(x)$在点$x_0$处为零，则称$x_0$是$f(x)$的一个零点。
零点定理就是研究函数的零点及其性质的理论。
根据不同的函数类型和性质，零点定理可分为常微分方程的零点定理、复变函数的零点定理、二次型的零点定理、拓扑定理的零点定理等等。
这里重点介绍前三种。
1、常微分方程的零点定理设$y'=f(x,y)$是一个初值问题的解，其中$f$在闭区间$D=\{(x,y)\in R^2|a\leq x\leq b,\alpha\leq y\leq \beta\}$上连续，如果有一连续函数$G(x)$，使得$f$在$D$上满足$f(x,y)G(x)\leq0(\alpha\leq y\leq \beta)$，则$y'=f(x,y)$在区间$[a,b]$上必然有解，并且至少有一个零解。
2、复变函数的零点定理对于一函数$f(z)$，如果它在圆$|z|=R$内是连续的，假定$f(z)$在圆周上连续并且$f(z)$在圆内没有零点，则$f(z)$在圆周上至少有一个零点。
3、二次型的零点定理设$n$元二次型为$Q(x_1,x_2,\cdots,x_n)=\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{n}a_{ij}x_ix_j $，其中$a_{ij}$为常数，且$Q(x_1,x_2,\cdots,x_n)$中不含常数项。
则它的正惯性等于零点距的个数，负惯性等于负的零点距的个数。
二、零点定理的应用零点定理在诸多领域中都有广泛的应用。
下面就以实例的形式逐一介绍：1、求函数零点先将原函数化简成$f(x)=0$的形式，就可以利用零点定理来计算零点了。
函数的单调性与零点的求解的应用
函数的单调性与零点的求解的应用函数是数学中重要的概念之一，它描述了一种映射关系，将一个输入值映射到一个输出值。
函数的单调性与零点的求解是函数研究与应用中的重要内容。
本文将探讨函数的单调性以及零点的求解在不同领域的应用。
一、函数的单调性函数的单调性是指函数在定义域内是否单调递增或单调递减的性质。
单调递增表示函数的值随着自变量的增大而增大，单调递减则表示函数的值随着自变量的增大而减小。
通过对函数的导数进行研究，可以确定函数在不同区间上的单调性。
对于一个可导函数，如果导数大于零，则函数在该区间上是单调递增的；如果导数小于零，则函数在该区间上是单调递减的。
函数的单调性在实际问题中有着广泛的应用。
例如在经济学中，通过研究消费函数的单调性，可以得到对于不同收入水平下消费量变化的预测；在生态学中，研究物种数量与环境因素的关系时，通过函数的单调性可以推断出物种数量的增减规律。
二、零点的求解函数的零点指的是函数取零值的点，即函数对应的方程的解。
求解函数的零点在数学和工程等领域中有着广泛的应用。
常用的求解方法包括数值解法和解析解法。
数值解法是通过迭代计算的方式逼近函数的零点。
其中，二分法是最基本的数值解法之一，通过不断二分区间缩小零点的范围；牛顿法则通过切线逼近零点的位置，通过迭代计算逐步逼近准确解。
解析解法则是通过数学变换和求解技巧来得到函数零点的解析表达式。
例如，对于一次函数，可以直接通过求解一元一次方程来得到零点的解析表达式。
零点的求解在科学研究和工程实践中具有重要作用。
在物理学中，通过求解运动方程的零点可以得到物体的位置和时间等信息；在金融学中，通过求解期权定价模型的零点可以得到期权的价格。
三、函数单调性与零点求解的应用函数的单调性和零点的求解在各个学科和领域都有着广泛的应用。
下面分别介绍几个具体的应用案例。
1. 经济学中的应用在经济学中，通过研究供求函数的单调性和零点的求解，可以确定市场的均衡价格和数量。
函数零点的应用
D．5
即|4x－x2|＋a＝0有四个根，
f (c) 0 f ( x) 0 使得 ,这个 c 也就是方程 即|4x－x2|＋a＝0有四个根，
2、能根据零点个数或位置确定参数的范围。
的根。
即|4x－x2|＝－a有四个根．
解：若F(x)＝|4x－x2|＋a有4个零点，
y 2、能根据零点个数或位置确定参数的范围。
函数零点的应用
1、能利用函数零点与方程根的关系
学 习
确定函数零点的个数。
目 标
2、能根据零点个数或位置确定参数
的范围。
概念巩固
函数的零点定义： 对于函数y=f(x), 使f(x)=0的实数x 叫做函数 y=f(x)的零点。
等价关系
函数y=f(x)有零点
方程f(x)=0有实数根
函数y=f(x)的图象 与x轴有交点
解:由题意得:f(2)<0
即6m+5<0
解得:
m5 6
问题4：若函数F(x)＝|4x－x2|＋a有4个零点， 求实数a的取值范围．
解：若F(x)＝|4x－x2|＋a有4个零点， 即|4x－x2|＋a＝0有四个根， 即|4x－x2|＝－a有四个根． 令g(x)＝|4x－x2|，h(x)＝－a. 则作出g(x)的图象， 由图象可知要使|4x－x2|＝－a有四个根， 则需g(x)的图象与h(x)的图象有四个交点， ∴0＜－a＜4，即－4＜a＜0.
解就有几个零点。 2、零 点存 在性 定 理： 利用 定理 需 要满 足 （ 1） 若函 数
y f (x) 在闭区间 a,b上的图象是连续不间断的，（2）
在区间端点的函数值符号相反，即 f (a) f (b) 0 ，还必
须结合函数 的图像与性质（如奇偶性 、单调性 、周期性等） 才能确定函数有多少个 零点。
函数与方程之零点定理应用
.
解析： 因为函数f ( x )＝ax－b(b ≠ 0)的零点是3， 将它代入函数g ( x )＝bx 2＋3ax中，
则此零点所在区间是 ( C． 2 ) (1, A． 4 ) ( 3,
2.已知函数f ( x )＝x3－x－1仅有一个正零点， B． ) ( 2,3 D． ) ( 0,1
因为 |1.375－1.3125 | ＝0.0625 < 0.1，所以函数的 故函数零点的近似值为1.3125.
零点落在区间长度小于0.1的区间[1.3125,1.375]内，
评析：1.求函数零点的近似值的关键是判断二 分法求值过程中，区间长度是否小于精确度ξ， 当区间长度小于精确度ξ时，运算结束，而此 时取的中点值即为所求，当然也可取区间端点 的另一个值． 2．“精确度”与“精确到”是两个不同的概念， 精确度最后的结果不能四舍五入，而精确到只 需区间两个端点的函数值满足条件，即取近似 值之后相同，则此时四舍五入的值即为零点的 近似解．
f(1.5)＝0.625 f(1.4375)＝0.162
f(1.40625)＝－0.054
解析： 由于f (1.4375 )＝0.162 > 0， f (1.40625 )＝－0.054 < 0， 且 |1.40625－1.4375 | ＝0.03125 < 0.1， 所以由二分法可知 其根在区间(1.40625,1.4375 ) 上，故选C.
1、结合二次函数的图象，了解函数的零点与方程 的根的联系，判断一元二次方程根的存在性及根 的个数． 2、结合具体函数的图象，能用二分法求近似解．
1.若函数f ( x )＝ax－b(b ≠ 0)有一个零点3， 那么函数g ( x )＝bx 2＋3ax的零点是
数学思想在解答函数零点个数问题中的应用
考点透视函数零点的个数问题比较常见，常见的命题形式有两种：（1）求函数零点的个数；（2）已知函数零点的个数，求参数的取值范围.下面结合实例，谈一谈如何巧妙运用数学思想解答函数零点的个数问题.一、利用方程思想函数f (x )的零点即为函数f (x )=0时x 的取值.因此，在解答函数零点的个数问题时，可利用方程思想，令函数f (x )=0，将问题转化为求函数f (x )所对应的方程f (x )=0的解的个数.解该方程，便可确定函数的零点的个数.例1.求函数f (x )=ìíîïïx 2-2,-π<x ≤0,cos(3x +π6),0<x <π.零点的个数.解：当-π<x ≤0时，解方程x 2-2=0，得x =-2；当0<x <π时，解方程cos(3x +π3)=0,得3x +π6=π2+k π，即x =π9+k π3(k ∈Z)，当k =0,1,2时，x =π9，4π9，7π9，满足题意，所以函数f (x )有4个零点.该函数为分段函数，需分-π<x ≤0和0<x <π两种情况讨论f (x )=0的解的个数.运用方程思想求解函数零点的个数问题的思路较为简单，解方程即可求得问题的答案.二、利用数形结合思想函数的图象是解答函数问题的重要工具.由于函数f (x )的零点即为函数f (x )与x 轴交点的横坐标，所以可利用数形结合思想，根据函数的解析式画出函数的图象，通过研究函数的图象与x 轴交点的个数，来求得函数零点的个数.例2.求函数f (x )=ln x +2x -4零点的个数.解：由题意可知函数的定义域是{x |x >0}，令f (x )=ln x +2x -4=0，可得ln x =4-2x ，设g (x )=ln x ,h (x )=4-2x ,分别画出两个函数的图象，如图1所示，由图可知两个函数的图象交于第一象限，而g (x )=ln x 在第一象限单调递增，h (x )=4-2x 在第一象限单调递减，所以两个函数的图象只有1个交点，所以函数f (x )=ln x +2x -4只有1个零点.该函数由两个简单初等函数g (x )、h (x )构成，于是令f (x )=0，将方程变为g (x )=h (x )的形式，构造出两个新函数，然后在同一坐标系中分别画出g (x )和h (x )的图象，利用数形结合思想来解题.通过观察两个函数的图象，即可明确其交点的个数.两个函数的图象有几个交点，方程g (x )=h (x )就有几个解，函数f (x )=0就有几个解，函数f (x )就有几个零点.例3.已知函数f (x )=ax -2ln x (a ∈R)有2个零点，求a 的取值范围.解：令f (x )=0，可得ax -2ln x =0，即a =2ln x x(x >0).设g (x )=2ln x x(x >0),y =a，对g (x )求导可得g ′(x )=2(1-ln x )x 2,则当0<x <e 时，1-ln x >0，g ′(x )>0；当x >e 时，1-ln x <0，g ′(x )<0，所以g (x )在（0,e ）上单调递增，在（e ,+∞）上单调递减，故g (x )在x =e 处取得最大值g (e )=2e.画出函数g (x )=2ln xx的图象，如图2所示，要使直线y =a 与g (x )图象有2个交点，则需使直线y =a 必须在x 轴和直线y =2e 之间，因此，0<a <2e.解答本题的关键在于将f (x )=0进行适当的变形，通过分离参数，构造出两个函数，利用数形结合思想来研究两个函数图象的交点.在画函数的图象时，可利用导数法来判断函数的单调性，求函数的最值，以便确定函数图象的变化情况.总之，解答函数零点的个数问题，可以从方程和图象两个方面入手，利用方程思想和数形结合思想来解答.一般地，若易于求得方程f (x )=0的解，则可利用方程思想，通过解方程来解题；若不易求得方程f (x )=0的解，则需利用数形结合思想，借助函数图象来讨论函数零点的个数.（作者单位：陕西省神木职业技术教育中心）邱香云图2图139Copyright ©博看网. All Rights Reserved.。
高中数学零点存在的原理和应用
高中数学零点存在的原理和应用高中数学中，函数的零点是一个重要的概念。
零点即函数图像与x轴的交点，也就是函数取值为0的点。
零点存在的原理和应用有以下几个方面。
一、零点存在的原理1.介值定理：如果函数在闭区间[a,b]上连续，且函数在区间端点处的值异号（即函数在区间的两个端点处取正值和负值），那么在(a,b)内至少有一个点x0，使得函数取零值。
这个定理也可以叫做柯西中值定理。
2.辛钦定理：如果函数在区间[a,b]上连续，且函数在区间的两个端点处取正值和负值，那么函数至少有一个零点存在于(a,b)内。
二、零点存在的应用1.方程求解：通过函数的零点，我们可以很方便地求解一些方程。
例如，给定一个函数f(x)，要求解f(x)=0的解，可以通过找到f(x)的零点来解方程。
这在高中数学的方程求解中经常用到。
通过对函数图像进行观察和分析，我们可以推测方程可能的解的范围，并使用适当的方法来进一步求解方程。
2.函数性质分析：函数的零点可以揭示函数的性质。
例如，我们可以通过求解函数的零点来确定函数的增减区间，凸凹区间等。
通过求解零点，我们可以得到更多的信息，进一步深入地了解函数的性质和特点。
3.物理问题求解：零点的概念在物理问题的求解中也有应用。
例如，对于一些物理模型，我们可以通过建立正确的函数模型，并求解函数的零点，来解决相应的物理问题。
例如，抛物线运动问题中，可以通过建立物体的位移函数模型来求得物体的最高点和落地点等信息。
4.优化问题：在一些优化问题中，我们也可以应用零点的概念。
例如，通过建立其中一种函数模型来描述一个具体的优化问题，然后求解这个函数的零点，就可以找到最优解所对应的参数值。
这在实际生活中的一些决策问题中经常使用。
综上所述，高中数学中函数的零点存在的原理是基于介值定理和辛钦定理，其应用非常广泛。
除了方程求解、函数性质分析、物理问题求解和优化问题，零点的概念还有很多其他的应用，例如图像处理、金融领域的风险评估等。
题型：函数零点存在定理的应用
题型：函数零点存在定理的应用
函数零点存在定理的应用
函数零点存在定理是数学中一个重要的定理，它指出了函数在某一区间内一定存在零点。
它的应用非常广泛，在很多领域都有重要的作用。
首先，函数零点存在定理可以用来解决微积分中的问题。
函数零点存在定理可以用来证明函数在某一区间内一定存在零点，这样就可以用来解决微积分中的问题，比如求极限、求积分等。
其次，函数零点存在定理也可以用来解决几何学中的问题。
函数零点存在定理可以用来证明函数在某一区间内一定存在零点，这样就可以用来解决几何学中的问题，比如求曲线的交点、求曲线的切线等。
此外，函数零点存在定理还可以用来解决物理学中的问题。
函数零点存在定理可以用来证明函数在某一区间内一定存在零点，这样就可以用来解决物理学中的问题，比如求力学系统的平衡点、求动力学系统的稳定点等。
最后，函数零点存在定理还可以用来解决经济学中的问题。
函数零点存在定理可以用来证明函数在某一区间内一定存在零点，这样就可以用来解决经济学中的问题，比如求供求平衡点、求最优解等。
总之，函数零点存在定理是一个重要的定理，它的应用非常广泛，可以用来解决微积分、几何学、物理学和经济学中的问题。
数学中的零点问题及其应用
数学中的零点问题及其应用数学中的零点问题是指寻找函数的根或解的过程，即求解方程f(x)=0的问题。
解决零点问题在数学和实际应用中具有重要的意义。
本文将介绍数学中的零点问题及其应用，并且给出一些实际例子来说明这些应用。
一、零点问题的定义在数学中，零点问题是指寻找一个函数在定义域内使函数值等于零的解，或者说求解方程f(x)=0的过程。
根据函数的不同类型，零点问题可以分为代数方程的零点问题和连续函数的零点问题。
对于代数方程的零点问题，我们通常使用代数方法进行求解，例如二次方程可以使用求根公式，三次方程可以使用卡丹公式等。
而对于高次方程，一般需要借助数值方法进行求解，如二分法、牛顿迭代法等。
对于连续函数的零点问题，我们通常使用数值方法进行求解，如二分法、牛顿迭代法、割线法等。
这些方法可以通过逼近的方式来寻找函数的零点。
二、零点问题的应用数学中的零点问题在实际应用中有许多重要的应用。
下面我们分别介绍一些常见的应用。
1. 物理学中的零点问题物理学中的许多问题可以转化为数学中的零点问题来求解。
例如，质点在重力作用下的运动可以通过求解质点的运动方程来得到。
而质点的运动方程通常可以表示为一个函数，通过求解这个函数的零点，我们可以得到质点的运动过程中的关键时刻和位置。
2. 经济学中的零点问题经济学中的许多问题也可以转化为数学中的零点问题来求解。
例如，经济学家常常使用需求曲线和供给曲线来描述市场的供需关系。
通过求解供需曲线的交点，我们可以得到市场均衡时的价格和数量。
3. 工程学中的零点问题工程学中的许多问题也需要求解函数的零点来得到解。
例如，电路工程中常常需要求解电路中电流和电压的关系。
通过求解电路方程的零点，我们可以得到电路中的稳定工作状态。
4. 计算机科学中的零点问题在计算机科学中，零点问题也有广泛的应用。
例如，图像处理中的图像分割问题可以转化为求解某种特定函数的零点来实现。
另一个例子是机器学习中的参数估计问题，通过求解似然函数的零点，我们可以得到模型的最优参数。
零点定理与不动点定理的应用
零点定理与不动点定理的应用数学是自然科学中一门极具理论性的学科，也是运用极广泛的一门学科。
在数学中，有两个非常重要的定理，它们分别是零点定理和不动点定理。
这两个定理在数学中的应用十分广泛，本文将主要从实际问题的角度出发，介绍它们的应用。
一、零点定理零点定理，顾名思义，就是寻找函数的零点。
一个函数f(x)的零点就是方程f(x)=0的根。
在应用中，我们通常会遇到这样一种情况：已知函数f(x)，求它的零点。
这时，我们通常会通过函数图像来找到函数的零点。
在工程应用领域中，经常会需要求解复杂的方程组。
这时，我们可以将方程组转化为非线性方程f(x)=0的形式，然后利用零点定理来求解。
例如，在石化行业中，我们经常需要求解化学反应动力学方程，以预测反应过程中的各种参数。
而这些方程通常是非线性的，无法通过简单的代数方法来求解。
这时，我们可以通过建立反应动力学模型，然后通过计算机仿真来求解方程的零点，在工业上广泛应用。
另外一个实际应用是在机器人控制领域中。
在机器人的运动学分析中，往往需要解一些复杂的非线性方程，例如机械臂运动的角度计算问题。
这时，我们同样可以使用零点定理来寻找方程的零点，从而得到机器臂的所需运动角度。
二、不动点定理不动点定理是另一种重要的定理，它在数学中的应用远比零点定理广泛。
不动点定理的意思是寻找一个函数的不动点。
一个函数f(x)的不动点就是满足方程f(x)=x的点x。
在应用中，不动点定理通常用于解决优化问题。
例如，在经济学和金融学中，经常需要求解各类优化问题，例如成本最小化、利润最大化等。
而这些问题通常可以描述为一个函数的最优解，该函数的不动点就是最优解。
这时，我们可以利用不动点定理来找到函数的不动点，从而得到最优解。
再例如，在人工智能领域中，深度学习模型通常也可以被视为一个函数，模型的训练过程就是寻找这个函数的不动点。
在深度学习中，不动点定理被广泛应用于优化算法的设计和改进。
此外，不动点定理在随机过程中的应用也非常广泛。
函数零点的性质及应用
函数零点的性质及应用函数的零点指的是函数的图像与x轴（或称为横轴）相交的点，在数学中也被称为函数的根、解或交点。
零点的性质及其应用广泛存在于数学、物理、工程等各个领域，下面将从数学的角度来探讨函数零点的性质及应用。
一、函数零点的性质：1. 零点的存在性：函数存在零点的条件是函数的图像与x轴相交，即f(x) = 0。
对于连续函数而言，根据介值定理，如果函数在闭区间[a, b]上有不同的符号，即f(a)f(b) < 0，则在[a, b]上一定存在一个实数c，使得f(c) = 0，即函数在[a, b]上一定存在一个零点。
2. 零点的唯一性：对于单调函数而言，如果函数在某个区间上是单调递增（递减）的，那么这个函数在该区间上的零点是唯一的。
特别地，对于严格单调递增（递减）的函数，其零点一定只有一个。
3. 零点的重数：零点的重数指的是函数在该零点处连续的次数，也叫做该零点的重子数。
常见的有一重零点、二重零点等。
如果一个函数在某个点x=a处的导数为0，且导数的导数在该点不为0，则称x=a是函数的二重零点。
4. 零点的性质：函数的零点是函数图像与x轴的交点，因此在零点处，函数的取值为0。
而在零点附近，函数的取值可能会从负数变成正数或从正数变成负数，因此可以利用函数的零点来确定函数表达式的变号区间。
此外，零点还可以用来求解函数的方程，即通过求解f(x)=0来确定x的值。
二、函数零点的应用：1. 方程的求解：函数的零点在求解方程中有很重要的作用。
通过求解f(x)=0，可以将一个方程转化为一个函数的零点问题，从而可以利用函数零点的性质来解决方程。
例如，求解一元二次方程ax^2+bx+c=0可以转化为求解函数f(x)=ax^2+bx+c的零点问题。
2. 函数图像的描绘：函数的零点是函数图像与x轴相交的点，因此可以通过求解函数的零点来确定函数图像的交点。
通过绘制函数的零点，可以更加清晰地了解函数的增减性、拐点、极值等信息。
高一数学函数的零点存在定理及其应用分析总结
零点存在定理：如果函数f(x)在区间[a, b]上连续，且f(a)·f(b)<0，则f(x)在区间(a, b)内有零点。
单调性判断：根据零点存在定理，如果函数f(x)在区间[a, b]上有零点，则f(x)在区间(a, b)上至少有一个单调区间。
应用实例：例如，判断函数f(x)=x^3-x在区间[-1, 1]上的单调性，可以通过零点存在定理来判断。
结合实际应用：结合实际例子，理解定理的应用方法和技巧
注意定理的局限性：了解定理的局限性和适用条件
掌握定理的应用范围：了解定理的应用条件和适用范围
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注意事项：在使用零点存在定理判断函数单调性时，需要注意函数的连续性和零点的存在性。
在研究函数图像中的应用
求解函数方程：通过零点存在定理，可以求解函数方程，得到函数的解析式
确定函数图像的零点：通过零点存在定理，可以确定函数图像的零点位置
判断函数图像的性质：通过零点存在定理，可以判断函数图像的连续性、单调性等性质
研究函数图像的极限：通过零点存在定理，可以研究函数图像的极限，得到函数的极限值
在解决实际问题中的应用
零点存在定理在解决实际问题中的应用广泛，如求解方程、优化问题等
零点存在定理在解决实际问题时，需要注意定理的适用条件和范围，避免错误应用
零点存在定理在解决实际问题时，需要结合实际问题的具体情况，灵活运用
零点存在定理的数学表达
零点存在定理：如果函数f(x)在区间[a, b]上连续，且f(a)·f(b)<0，则函数f(x)在区间(a, b)内至少有一个零点。
零点：函数f(x)的零点是指使得f(x)=0的x值。
பைடு நூலகம்
连续函数：如果函数f(x)在区间[a, b]上每一点x都有定义，且对于任意的ε>0，存在δ>0，使得当|x-x0|<δ时，|f(x)-f(x0)|<ε，则称f(x)在区间[a, b]上是连续的。
函数零点的综合性的应用
高中数学 函数零点的综合应用 编稿老师 王东一校 张小雯 二校 黄楠 审核 孙溢【考点精讲】二次函数零点分布：设)0(,)(2≠++=a c bx ax x f（a ）二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的两个根21,x x 满足21x r x <<⇔函数)0(,)(2≠++=a c bx ax x f 两个零点为21,x x 满足21x r x <<0)(<⇔r af（b ）方程)0a (,0c bx ax 2≠=++的两个根21,x x 满足r x x >>12⇔二次函数)0(,)(2≠++=a c bx ax x f 两个零点21,x x 满足r x x >>12⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>>->-=∆⇔0)(2042r af ra bac b（c ）（d ）二次方程)0a (0c bx ax 2≠=++的两个根满足q x p x <<<21⇔函数)0a (c bx ax )x (f 2≠++=的零点满足q x p x <<<21⎩⎨⎧><⇔0)(0)(q af p af（e ）二次方程)0a (0c bx ax 2≠=++的两个根有且只有一个根在（p ，q ）内⇔函数)0a (c bx ax )x (f 2≠++=的两个零点有且只有一个在区间（p ，q ）内0)()(<⇔q f p f 或检验f （p ）=0，f （q ）=0并检验另一根在（p ，q ）内。
【典例精析】例题1 已知关于x 的二次方程x 2＋2mx ＋2m ＋1＝0。
（1）若方程有两根，其中一根在区间（－1，0）内，另一根在区间（1，2）内，求m 的范围；（2）若方程两根均在区间（0，1）内，求m 的范围。
思路导航：设出二次方程对应的函数，可画出相应的示意图，然后用函数性质加以限制。
答案：（1）由条件，抛物线f （x ）＝x 2＋2mx ＋2m ＋1与x 轴的交点分别在区间（－1，0）和（1，2）内，如图（1）所示，得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=<+=>=-<+=56)2(,024)1(02)1(012)0(m f m f f m f ，，⇒⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧->-<∈-<.65,21m ,,21m R m m 即－56＜m ＜－12。
第09讲：函数的零点和函数的应用期末高频考点突破
第09讲:函数的零点和函数的应用期末高频考点突破高频考点梳理1．函数的零点 (1)函数零点的定义对于函数y ＝f (x )(x ∈D )，把使f (x )＝0的实数x 叫做函数y ＝f (x )(x ∈D )的零点． (2)几个等价关系方程f (x )＝0有实数根⇔函数y ＝f (x )的图象与x 轴有交点⇔函数y ＝f (x )有零点． (3)函数零点的判定(零点存在性定理)如果函数y ＝f (x )在区间[a ，b ]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f (a )·f (b )<0，那么，函数y ＝f (x )在区间(a ，b )内有零点，即存在c ∈(a ，b )，使得f (c )＝0，这个__c __也就是方程f (x )＝0的根． 2．二分法对于在区间[a ，b ]上连续不断且f (a )·f (b )<0的函数y ＝f (x )，通过不断地把函数f (x )的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法． 3．二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a >0)的图象与零点的关系(x ,0)，(x ,0)(x ,0) 无交点 题型一：函数零点存在定理1．（2022·黑龙江·佳木斯一中高一期末）函数3ln y x x=-的零点所在区间是（ ） A ．()3,4B ．()2,3C ．()1,2D ．()0,12．（2021·河南·安阳市第三十九中学高一期末）关于函数2()311x f x x =+-的零点，下列判断正确的是（ ）A ．()f x 只有一个零点，且这个零点在区间12（,）内B ．()f x 有两个零点，且其中一个零点在区间12（,）内C ．()f x 只有一个零点，且这个零点在区间2,3（）内D ．()f x 有两个零点，且其中一个零点在区间2,3（）内3．（2022·河南安阳·高一期末）已知函数()f x 是定义在R 上的减函数，实数a ，b ，c 满足a b c <<，且()()()0f a f b f c ⋅⋅<，若0x 是函数()f x 的一个零点，则下列结论中一定不正确的是（ ）A ．0x a <B ．0a x b <<C ．0b x c <<D ．0x b <题型二：函数的零点个数分布问题（参数）4．（2021·河南·安阳一中高一期末）已知定义在R 上的奇函数，满足()()20f x f x -+=，当(]0,1x ∈时，()2log f x x =-，若函数()()()sin πF x f x x =-，在区间[]1,m -上有10个零点，则m 的取值范围是（ ）A ．[)3.5,4B ．(]3.5,4C ．(]5,5.5D ．[)5,5.55．（2022·全国·益阳平高学校高一期末）已知函数()22,02,0x x f x x x x -<⎧=⎨-+≥⎩若关于x 的方程()12f x x m =+恰有三个不相等的实数解，则m 的取值范围是（ ） A ．30,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．30,4⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．90,16⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．90,16⎛⎫ ⎪⎝⎭6．（2022·内蒙古·赤峰二中高一期末（文））已知()()2ln ,045,1x x f x x x x ⎧-<⎪=⎨-+≥⎪⎩，若方程()()f x m m =∈R 有四个不同的实数根1x ，2x ，3x ，4x ，则1234x x x x ⋅⋅⋅的取值范围是（ ） A ．（3，4）B ．（2，4）C ．[0，4）D ．[3，4）题型三：用二分法求函数f (x )零点近似值7．（2022·江西新余·高一期末）若函数()31f x x x =--在区间[1，1.5]内的一个零点附近函数值用二分法逐次计算，列表如下：那么方程310x x --=的一个近似根（精确度为0.1）可以为（ ） A ．1.3B ．1.32C ．1.4375D ．1.258．（2022·内蒙古·呼和浩特市教育教学研究中心高一期末）用二分法求方程的近似解，求得函数()329f x x x =+-的部分函数值数据如下：()16f =-，()23f =，()1.5 2.625f =-，()1.750.6406f =-，则方程3290x x +-=的一个近似根x 所在区间为（ ） A ．()0.6406,0-B ．()1.75,2C ．()1.5,1.75D ．()1,1.59．（2021·安徽宿州·高一期末）已知函数3()2xf x x=-在区间(1,2)上有一个零点0x ，如果用二分法求0x 的近似值(精确度为0.01)，则应将区间(1,2)至少等分的次数为（ ） A ．5B ．6C ．7D ．8题型四：函数与方程的综合问题10．（2021·天津·高一期末）已知函数4(),01af x x a x=+<≤ (1)用定义法证明函数()f x 在[2,)+∞单调递增；(2)设()()22x xg x f a ⎡⎤=-⎣⎦，求()g x 在[1,0]-上的最大值(3)设2+1,<2()=5(),22x x x f x x ϕ≥-⎧⎪⎨-⎪⎩，若方程()20x a ϕ-=有两个不等实根，求实数a 的取值范围．11．（2022·安徽池州·高一期末）已知函数()214()log 21x f x +=+.(1)求函数()n x(2)若关于x 的方程2()14f x x m =+-在[2,3]-上有两个实数根，求实数m 的取值范围.12．（2022·江西抚州·高一期末）已知函数()ln 11ax f x x ⎛⎫=- ⎪+⎝⎭（其中a R ∈且0a ≠）的图象关于原点对称. (1)求a 的值；(2)①判断()xy f e =在区间()0,∞+上的单调性（只写出结论即可）；①关于x 的方程()ln 0xf e x k -+=在区间(]0,ln 4上有两个不同的解，求实数k 的取值范围.题型五：函数模型的应用13．（2022·湖北武汉·高一期末）《湿地公约》第十四届缔约方大会部级高级别会议11月6日在湖北武汉闭幕，会议正式通过“武汉宣言”，呼吁各方采取行动，遏制和扭转全球湿地退化引发的系统性风险.武汉市某企业生产某种环保型产品的年固定成本为2000万元，每生产x 千件，需另投入成本()C x （万元）.经计算若年产量x 千件低于100千件，则这x 千件产品成本21()1011002C x x x =++；若年产量x 千件不低于100千件时，则这x 千件产品成本4500()120540090C x x x =+--.每千件产品售价为100万元，设该企业生产的产品能全部售完.(1)写出年利润L （万元）关于年产量x （千件）的函数解析式；(2)当年产量为多少千件时，企业所获得利润最大？最大利润是多少？ 14．（2022·贵州六盘水·高一期末）2005年8月，时任浙江省省委书记的习近平同志就提出了“绿水青山就是金山银山”的科学论断.为了改善农村卫生环境，振兴乡村，加快新农村建设，某地政府出台了一系列惠民政策和措施某村民为了响应政府号召，变废为宝，准备建造一个长方体形状的沼气池，利用秸秆、人畜肥等做沼气原料，用沼气解决日常生活中的燃料问题.若沼气池的体积为18立方米，深度为3米，池底的造价为每平方米180元，池壁的造价为每平方米150元，池盖的总造价为2000元.设沼气池底面长方形的一边长为x 米，但由于受场地的限制，x 不能超过2米.(1)求沼气池总造价y 关于x 的函数解析式，并指出函数的定义域； (2)怎样设计沼气池的尺寸，可以使沼气池的总造价最低？并求出最低造价.15．（2022·江苏省灌云高级中学高一期末）我国某企业自主研发了一款具有自主知识产权的平板电脑，并从2021年起全面发售.经测算，生产该平板电脑每年需投入固定成本1350万元，每生产x （千台）电脑需要另投成本()T x 万元，且2+100+1000,0<<40,()=10000601+-7450,40,ax x x T x x x x ≥⎧⎪⎨⎪⎩另外每台平板电脑售价为0.6万元，假设每年生产的平板电脑能够全部售出.已知2021年共售出10000台平板电脑，企业获得年利润为1650万元.(1)求该企业获得年利润()W x （万元）关于年产量x （千台）的函数关系式; (2)当年产量为多少千台时，该企业所获年利润最大?并求最大年利润.参考答案：1．B【分析】根据解析式判断函数单调性，再应用零点存在性定理确定所在区间即可.【详解】由3,ln y y x x==-在(0,)+∞上递减，所以3ln y x x=-在(0,)+∞上递减，又3(2)ln 202f =-=>，e (3)1ln 3ln 03f =-=<，所以零点所在区间为()2,3. 故选：B 2．B【分析】根据零点存在性定理，特殊值检验解决即可. 【详解】由题知，2()311x f x x =+-，当2()3110x f x x =+-=时，2311x x =-+，令2123,11x y y x ==-+，如图有图知()f x 有两个零点； 因为(1)311170f =+-=-<， (2)941120f =+-=>， (3)27911250f =+-=>，1(1)11103f -=+-<，1(2)41109f -=+-<，1(3)911027f -=+-<，1(4)1611081f -=+->，说明()f x 有两个零点位于12（,）和3,4--（）， 故选：B 3．B【分析】根据函数的单调性可得()()()f a f b f c >>，再分()0f a <和()0f a >两种情况讨论，结合零点的存在性定理即可得出结论.【详解】解：①()f x 是定义在R 上的减函数，a b c <<，①()()()f a f b f c >>， ①()()()0f a f b f c ⋅⋅<，①()()()0,0,0,f a f b f c <<<或()0f a >，()0f b >，()0f c <， 当()0f a <时，0x a <，0x b <；当()0f a >，()0f b >，()0f c <时，0b x c <<； ①0a x b <<是不可能的. 故选：B ． 4．A【分析】根据题意可知()f x 和()sin πx 都是周期为2的周期函数，因此可将()()()sin πF x f x x =-的零点问题转换为()f x 和()sin πx 的交点问题，画出函数图形，找到交点规律即可找出第10个零点坐标，而m 的取值范围就在第10个零点和第11个零点之间.【详解】由()()()()()2022f x f x f x f x f x -+=⇒=--=-得()f x 是一个周期为2的奇函数，当(]0,1x ∈时，()2log f x x =-，因此211log 122f ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，()10f =因为()f x 是奇函数，所以()00f = ，112⎛⎫-=- ⎪⎝⎭f ，()10f -=且()()sin πg x x =的周期为2π2πT ==，且()10g -=，112g ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，()00g =，112g ⎛⎫= ⎪⎝⎭，()10g = 求()()()sin πF x f x x =-的零点，即是()f x 与()g x 的交点，如图：为()f x 与()g x 在[]1,1-区间的交点图形，因为()f x 与()g x 均为周期为2的周期函数，因此交点也呈周期出现，由图可知()F x 的零点周期为12，若在区间[]1,m -上有10个零点，则第10个零点坐标为()3.5,0，第11个零点坐标为()4,0，因此3.54m ≤< 故选：A 5．D【分析】根据题意，作出函数()22,0,2,0x x f x x x x -<⎧=⎨-+≥⎩与12y x m =+的图像，然后通过数形结合求出答案.【详解】函数()22,0,2,0x x f x x x x -<⎧=⎨-+≥⎩的图像如下图所示：若关于x 的方程()12f x x m =+恰有三个不相等的实数解， 则函数()f x 的图像与直线12y x m =+有三个交点，若直线12y x m =+经过原点时，m ＝0，若直线12y x m =+与函数()12f x x m =+的图像相切，令22123022x x x m x x m -+=⇒++-=，令9940416m m ∆=-=⇒=.故90,16m ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭.故选：D ． 6．D【分析】利用数形结合可得12m <≤，结合条件可得121=x x ，312x ≤<，423x <≤，且344x x +=，再利用二次函数的性质即得.【详解】由方程()()f x m m =∈R 有四个不同的实数根，得函数()y f x =的图象与直线y m =有四个不同的交点，分别作出函数()y f x =的图象与直线y m =．由函数()f x 的图象可知，当两图象有四个不同的交点时，12m <≤．设y m =与|ln()|(0)y x x =-<交点的横坐标为1x ，2x ，设12x x <，则11x <-，210x -<<， 由()()12ln ln x x -=-得()()12ln ln x x -=--， 所以()()121x x --=，即121=x x ．设y m =与245(1)y x x x =-+≥的交点的横坐标为3x ，4x ，设34x x <，则312x ≤<，423x <≤，且344x x +=， 所以()()234333424[3,4)x x x x x =-=--+∈， 则1234[3,4)x x x x ∈． 故选：D. 7．B【分析】由零点存在性定理和二分法求解近似根.【详解】由()1.31250f <，()1.3750f >，且()f x 为连续函数，由零点存在性定理知：区间()1.3125,1.375内存在零点，故方程310x x --=的一个近似根可以为1.32，B 选项正确，其他选项均不可. 故选：B 8．B【分析】根据零点存在性定理可判断出函数零点所在的区间，从而可得到方程近似根x 所在的区间. 【详解】由题意，知()()()()()()120, 1.520, 1.7520f f f f f f ⋅<⋅<⋅<，所以函数的零点在区间()1.75,2内，即方程3290x x +-=的一个近似根x 所在区间为()1.75,2. 故选：B. 9．C【解析】根据二分法的定义可得10.012n<，解得6n >即得. 【详解】由于每等分一次，零点所在区间的长度变为原来的12，则等分n 次后的区间长度变为原来的12n， 则由题可得10.012n <，即621002n >>，6n ∴>， 则至少等分的次数为7.故选：C.10．(1)证明见解析 (2)31a + (3)518a <≤【分析】（1）先设12,[2,)x x ∀∈+∞，12x x <，再根据作差法只需证明()()12f x f x <即可； （2）根据换元法求21()4,,12h t t at a t ⎡⎤=-+∈⎢⎥⎣⎦的最大值即可；（3）根据函数在(,2)-∞和[2,)+∞上的单调性，即可求得实数a 的取值范围.（1）12,[2,)x x ∀∈+∞，且12x x <， ()()()12121212124444a a a a f x f x x x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫-=+-+=-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ()()()1212121212441x x x x a a x x x x x x --⎛⎫=--= ⎪⎝⎭ ①122x x ≤<，①21120,4x x x x >->①01a <≤，①044a <≤，①124x x a >，①1240x x a -> 所以()()120f x f x -<，即()()12f x f x <，①()f x 在[2,)+∞上单调递增， （2）设()24()222242x x x xx a g x a a a ⎛⎫=+-=-+ ⎪⎝⎭，令2x t =，①1[1,0],,12x t ⎡⎤∈-∴∈⎢⎥⎣⎦，21()4,,12h t t at a t ⎡⎤=-+∈⎢⎥⎣⎦①()h t 的对称轴为10,22a t ⎛⎤=∈ ⎥⎝⎦， ①()h t 在1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，①max max ()()(1)31g x h t h a ===+． （3））2+1,<2()=45+,22x x x a x x x ϕ≥-⎧⎪⎨-⎪⎩，①()x ϕ在(,2)-∞上单调递减，①5(),4x ϕ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭，由（1）可知()x ϕ在[2,)+∞上单调递增，①1()2,2x a ϕ⎡⎫∈-+∞⎪⎢⎣⎭，方程()20x a ϕ-=有两个不等实根，等价于函数()y x ϕ=与2y a =有两个不同的交点①1222a a >-，①(x ϕ在[2,)+∞上与2y a =必有一个交点，故只需①524a >，即58a >，又①01a <≤，①518a <≤． 11．(1)2115log ,22⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭(2)411log 3,28⎡⎫--⎪⎢⎣⎭【分析】（1）根据被开方数非负列出一个关于对数函数的不等式，然后解不等式即可求出其定义域；（2）构造一个新函数()2141()log 212x x g x ++=+-，转化成求新函数在[2,3]-上的值域，最后解不等式即可.(1)依题意，()n x =()214log 2120x ++-≥，则212116x ++≥，则21215x +≥，则221log 15x +≥，故2115log 22x ≥，即函数()n x 的定义域为2115log ,22⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭； (2)依题意，2()14f x x m =+-，故()2141log 2122x x m +++-=-； 令()()212114444111()log 21log 21log 2log 222x x x x x x g x +++++⎛⎫=+-=+-=+ ⎪⎝⎭； 令2x t =，因为[2,3]x ∈-，故1,84t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，故1112()22x x t h t t ++=+=，因为12t t +≥12t t =，即t =而19129,(8)4416h h ⎛⎫== ⎪⎝⎭，故49log 2log 4m -≤，即412log 914m <-≤-，即411log 328m -≤<-， 即实数m 的取值范围为411log 3,28⎡⎫--⎪⎢⎣⎭. 12．(1)2a =(2)①()x y f e =在区间()0,∞+上单调递增；①2033k <≤ 【分析】（1）由图象关于原点对称知：()()0f x f x -+=，结合函数解析式可得()211a -=，即可求参数.（2）由已知得()1ln 1x f x x -=+，①()x y f e =为211x t e =-+，()ln g t t =的构成的复合函数，由它们在()0,∞+上均单调递增，即知()x y f e =的单调性；①由①整理方程得()11x x x e e k e +=-在区间(]0,ln 4上有两个不同的解，令1x u e =-，(]0,3u ∈有23k u u =++，结合基本不等式求其最值，进而确定k 的取值范围.(1)由题意知()()0f x f x -+=，整理得()()1111ln 011a x a x x x -+--⎡⎤⨯=⎢⎥-+⎣⎦， 即()222111a x x --=-，对于定义域内任意x 都成立，则有()211a -=，解得2a =或0a =，又0a ≠，所以2a =，当2a =时，()1ln 1x f x x -=+，定义域为(1)(1)-∞-+∞，，，关于原点对称，符合题意， 故2a =.(2)由（1）可知，2a =，故()21ln 1ln 11x x x x f x -⎛⎫=-= ⎪++⎝⎭. ①()22ln 1ln 111x xx x e y f e e e ⎛⎫⎛⎫==-=- ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭， 由211x t e =-+，()ln g t t =在()0,∞+上均单调递增， 得()x y f e =在区间()0,∞+上单调递增.①由①知1ln ln 01x x e x k e --+=+，可得1ln ln ln 01x x x e e k e --+=+， 即()11x x x e e k e +=-在区间(]0,ln 4上有两个不同的解. 令1x u e =-，(]0,3u ∈，所以()()()112231x x x e e u u k u e u u +++===++-， 因为23k u u =++在(上单调递减，在⎤⎦上单调递增，所以min 33k =+=， 且3u =时，2203333k =++=，从而2033k <≤. 13．(1)21903100,010024500203400,10090x x x L x x x ⎧-+-<<⎪⎪=⎨⎪--+≥⎪-⎩； (2)年产量为105千件，最大利润是1000万元.【分析】（1）年利润L 为销售收入减去生产成本，分情况讨论计算即可.（2）当0100x <<时，根据二次函数单调性求L 最大值；当100x ≥时，根据基本不等式求最大值，继而求出L 最大值.【详解】（1）当0100x <<时，2211100101100200090310022L x x x x x =----=-+-； 当100x ≥时，45004500100(1205400)20002034009090L x x x x x =-+--=--+--， 所以21903100,010024500203400,10090x x x L x x x ⎧-+-<<⎪⎪=⎨⎪--+≥⎪-⎩. （2）当0100x <<时，2211903100(90)95022L x x x =-+-=--+，当90x =时，L 取得最大值950， 当100x ≥时，22520(90)16001600100090L x x =--++≤-+=-， 当且仅当2259090x x -=-，即105x =时取等号，而1000950>， 所以当该企业年产量为105千件时，所获得利润最大，最大利润是1000万元.14．(1)()6308090002y x x x ⎛⎫=+⨯+<≤ ⎪⎝⎭ (2)当长2x =米，宽632=米时总造价最低，最低造价为7580元【分析】（1）池底、池壁、池盖的造价求得y 关于x 的解析式，并写出定义域.（2）利用函数的单调性求得设计方案并求得最低造价.【详解】（1）沼气池的宽为1863x x=， 依题意612180231502000y x x x x ⎛⎫=⨯⨯++⨯⨯+ ⎪⎝⎭ ()6661809002000308090002x x x x x ⎛⎫⎛⎫=⨯++⨯+=+⨯+<≤ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ （2）由（1）得()6308090002y x x x ⎛⎫=+⨯+<≤ ⎪⎝⎭， 对于函数()()602f x x x x=+<≤， 任取()()121212126602,x x f x f x x x x x <<≤-=+--()()1212126x x x x x x --=， 其中1212120,0,60x x x x x x -<>-<，所以()()()()12120,f x f x f x f x ->>，所以()f x 在(]0,2上递减，所以当长2x =米，宽632=米时，()f x 最小，也即总造价最小， 最小值为63080900275802⎛⎫+⨯+= ⎪⎝⎭元. 15．(1)210+500-2350,0<<40,()=10000+6100,40.x x x W x x x x ---≥⎧⎪⎨⎪⎩(2)100千台，最大年利润为5 900万元.【分析】（1）由已知的条件知道该函数为一个分段函数，所以分两种情况把表达式分别求出来即可（2）由（1）知当040x <<时，为二次函数，利用二次函数的性质求它在该区间上的最大值，当40x ≥时，利用基本不等式性质求最大值.（1）解：10 000台=10千台,则(10)1002000T a =+，根据题意得：0.610000100200013501650a ⨯---=，解得=10a ， 当040x <<时，22()0.610001350101001000105002350W x x x x x x =⨯----=-+-，当40x ≥时，1000010000()0.61000135060174506100W x x x x x x=⨯---+=--+， 综上所述210+5002350,0<<40()=10000+6100,40x x x W x x x x ----≥⎧⎪⎨⎪⎩. （2）当040x <<时，22()10500235010(25)3900W x x x x =-+-=--+当25x =时， ()W x 取得最大值max ()3900W x =；当40x ≥时，1000010000()61006100900W x x x x x=--+≤-+=，当且仅当=100x 时，max ()5900W x =因为59003900>，故当年产量为100千台时,该企业所获年利润最大,最大年利润为5 900万元.。
二次函数中零点与因式分解的关系及应用
二次函数中零点与因式分解的关系及应用二次函数是一种常见的数学函数形式，其表达式为y = ax^2 + bx + c，其中a、b和c是常数，且a不等于零。
在二次函数中，零点和因式分解有着密切的关系，同时二次函数的因式分解也具有一定的应用。
一、二次函数的零点与因式分解在二次函数中，零点指的是使函数值等于零的自变量的取值。
即对于函数y = ax^2 + bx + c，当y等于零时，求解x的值。
零点也可以理解为函数与X轴相交的点。
为了求解二次函数的零点，我们可以使用因式分解的方法。
对于给定的二次函数y = ax^2 + bx + c，我们先将其因式分解成两个一次函数的乘积形式，即y = (mx + p)(nx + q)。
根据分配律，扩展上述式子，我们可以得到y = (mn)x^2 + (mq + np)x + pq。
与原二次函数的表达式比较，我们可以得到如下关系：1.当mn等于a时，即a = mn，说明二次函数的二次项系数等于因式分解中一次项系数的乘积。
2.当mq + np等于b时，即b = mq + np，说明二次函数的一次项系数等于因式分解中混合项系数之和。
3.当pq等于c时，即c = pq，说明二次函数的常数项等于因式分解中常数项的乘积。
由此可见，二次函数的零点与因式分解的关系可以通过比较二次项、一次项和常数项的系数得到。
二、因式分解在二次函数中的应用因式分解在二次函数中的应用十分广泛，以下介绍其中的两个主要应用。
1.求解二次方程的根根据二次函数的性质，当函数值等于零时，求解自变量的值，即可以得到二次方程的根。
而因式分解可以将二次函数表达式转化为两个一次项相乘的形式，从而更便于求解。
例如，对于二次函数y = x^2 + 5x + 6，我们可以通过因式分解得到y = (x + 2)(x + 3)。
由此可得到方程(x + 2)(x + 3) = 0，并求解得到x = -2和x = -3。
这两个值就是二次方程的根。
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函数零点个数的判定方法
1、直接求零点：令 f (x) 0 ，如果能求出解，则有几个
解就有几个零点。 2、零 点存 在性 定 理： 利用 定理 需 要满 足 （ 1） 若函 数
y f (x) 在闭区间 a,b上的图象是连续不间断的，（2）
在区间端点的函数值符号相反，即 f (a) f (b) 0 ，还必
即6m+5<0
解得:
m5 6
问题4：若函数F(x)＝|4x－x2|＋a有4个零点， 求实数a的取值范围．
解：若F(x)＝|4x－x2|＋a有4个零点， 即|4x－x2|＋a＝0有四个根， 即|4x－x2|＝－a有四个根． 令g(x)＝|4x－x2|，h(x)＝－a. 则作出g(x)的图象， 由图象可知要使|4x－x2|＝－a有四个根， 则需g(x)的图象与h(x)的图象有四个交点， ∴0＜－a＜4，即－4＜a＜0.
解法（一）由于函数 f (x) 是 0,上连续函数，且 f (2) f (3) 0 ，满足零点存在性定理的条件，选 C。
【考点一】 零点所在区间
【问题 1】 函数 f(x)＝ log3 x x 3的零点所在的 区间为( )
A．(0,1) B．(1,2) C．(2,3) D．(3,4)
解法（二）将函数零点转化成对应方程的根。
44 4 4
【考点三】 由函数零点的存在情况求参数的取值范围
问题3：已知关于x的二次方程
x2+2mx+2m+1=0. 有两根，其中一根在区间(－1,0)内，另一根
在区间(1，2)内，求m的范围.
解：由题设可知抛物线f(x)=x2+2mx+2m+1与 x轴的交点分别在区间(－1，0)和(1，2)内， 画出示意图，得
y
y
0a
bx
0a
bx
误区警示！！！
思考：函数 y f (x) 在闭区间 a,b上的图象是连续不间
断的，若函数 y f (x) 在区间 a,b有零点，那么必须有
f (a) f (b) 0 吗？
满足零点存在性定理的条件一定有零点，不满足这些条件 也不能说没有零点，如图，
y
0a
bx
f (a) f (b) 0,函数f (x)在区间（a,b）上照样存在零点。
方程f(x)=0有实数根
函数y=f(x)的图象 与x轴有交点
零点存在性定理
如果函数 y f (x) 在区间[a,b]上的图象是连续不断的一
条曲线，并且有 f (a) f (b) 0 ,那么，函数 y f (x) 在
区 间 (a,b) 内 有 零 点 ， 即 存 在 c (a,b)
使得 f (c) 0 ,这个 c 也就是方程 f (x) 0 的根。
须结合函数 的图像与性质（如奇偶性 、单调性 、周期性等） 才能确定函数有多少个 零点。
函数零点个数的判定方法
3、利用图象交点的个数：画出两个函数的图象，看其交点 的个数，其中交点的横坐标有几个不同的值，函数就有几 个零点。
【考点一】 零点所在的区间
【问题 1】 函数 f(x)＝ log3 x x 3的零点所在的 区间为( ) A．(0,1) B．(1,2) C．(2,3) D．(3,4)
方程 log3 x x 3 0 可转化为 log3 x 3 x .
在同一坐标系中作出函数 y log3 x 和 y 3 x 的图象，
如图所示
y
o1 2 3
x
【考点二】 零点个数
问题2：函数f(x)＝xcos 2x在区间[0,2π]上的
零点个数为（ ）
A．2
B．3 C．4 D．5
对于问题2，可直接解方程f(x)=0,得 到方程的根为 0, , 3 , 5 , 7 ，选D
解题关键
1、函数零点存在区间及函数零点个数的判断 （1）直接解方程； （2）根据零点存在性定理并结合函数单调性、奇 偶性、周期性等性质考虑。 （3）转化成两个函数交点个数问题。 2、利用零点个数求参数范围时，通常利用数形结 合的思想求解。
f (0) 2m 1 0,
m
1 2
.
∴
f f f
(1) 2 0, (1) 4m 2 (2) 6m 5
0, 0
m m m
ห้องสมุดไป่ตู้
R, 1
2 5
6
,
5m1
6
2
变式：已知关于x的二次方程
x2+2mx+2m+1=0. 若方程有一个根比2大,另一个根比2小,求m范围.
解:由题意得:f(2)<0
数缺形时少直观，形少数时难入微，莫分离。 高陵区第一中学 周春玲
1、能利用函数零点与方程根的关系
学 习
确定函数零点的个数。
目 标
2、能根据零点个数或位置确定参数
的范围。
概念巩固
函数的零点定义： 对于函数y=f(x), 使f(x)=0的实数x 叫做函数 y=f(x)的零点。
等价关系
函数y=f(x)有零点