函数零点的应用

须结合函数 的图像与性质（如奇偶性 、单调性 、周期性等） 才能确定函数有多少个 零点。
函数零点个数的判定方法
3、利用图象交点的个数：画出两个函数的图象，看其交点 的个数，其中交点的横坐标有几个不同的值，函数就有几 个零点。
【考点一】 零点所在的区间
【问题 1】 函数 f(x)＝ log3 x x 3的零点所在的 区间为( ) A．(0,1) B．(1,2) C．(2,3) D．(3,4)
f (0) 2m 1 0,
m
1 2
.
பைடு நூலகம்
∴
f f f
(1) 2 0, (1) 4m 2 (2) 6m 5
0, 0
m m m
R, 1
2 5
6
,
5m1
6
2
变式：已知关于x的二次方程
x2+2mx+2m+1=0. 若方程有一个根比2大,另一个根比2小,求m范围.
解:由题意得:f(2)<0
即6m+5<0
解得:
m5 6
问题4：若函数F(x)＝|4x－x2|＋a有4个零点， 求实数a的取值范围．
解：若F(x)＝|4x－x2|＋a有4个零点， 即|4x－x2|＋a＝0有四个根， 即|4x－x2|＝－a有四个根． 令g(x)＝|4x－x2|，h(x)＝－a. 则作出g(x)的图象， 由图象可知要使|4x－x2|＝－a有四个根， 则需g(x)的图象与h(x)的图象有四个交点， ∴0＜－a＜4，即－4＜a＜0.
44 4 4
【考点三】 由函数零点的存在情况求参数的取值范围
问题3：已知关于x的二次方程
x2+2mx+2m+1=0. 有两根，其中一根在区间(－1,0)内，另一根
在区间(1，2)内，求m的范围.
解：由题设可知抛物线f(x)=x2+2mx+2m+1与 x轴的交点分别在区间(－1，0)和(1，2)内， 画出示意图，得
数缺形时少直观，形少数时难入微，莫分离。 高陵区第一中学 周春玲
1、能利用函数零点与方程根的关系
学 习
确定函数零点的个数。
目 标
2、能根据零点个数或位置确定参数
的范围。
概念巩固
函数的零点定义： 对于函数y=f(x), 使f(x)=0的实数x 叫做函数 y=f(x)的零点。
等价关系
函数y=f(x)有零点
y
y
0a
bx
0a
bx
误区警示！！！
思考：函数 y f (x) 在闭区间 a,b上的图象是连续不间
断的，若函数 y f (x) 在区间 a,b有零点，那么必须有
f (a) f (b) 0 吗？
满足零点存在性定理的条件一定有零点，不满足这些条件 也不能说没有零点，如图，
y
0a
bx
f (a) f (b) 0,函数f (x)在区间（a,b）上照样存在零点。
方程f(x)=0有实数根
函数y=f(x)的图象 与x轴有交点
零点存在性定理
如果函数 y f (x) 在区间[a,b]上的图象是连续不断的一
条曲线，并且有 f (a) f (b) 0 ,那么，函数 y f (x) 在
区 间 (a,b) 内 有 零 点 ， 即 存 在 c (a,b)
使得 f (c) 0 ,这个 c 也就是方程 f (x) 0 的根。
解题关键
1、函数零点存在区间及函数零点个数的判断 （1）直接解方程； （2）根据零点存在性定理并结合函数单调性、奇 偶性、周期性等性质考虑。 （3）转化成两个函数交点个数问题。 2、利用零点个数求参数范围时，通常利用数形结 合的思想求解。
函数零点个数的判定方法
1、直接求零点：令 f (x) 0 ，如果能求出解，则有几个
解就有几个零点。 2、零 点存 在性 定 理： 利用 定理 需 要满 足 （ 1） 若函 数
y f (x) 在闭区间 a,b上的图象是连续不间断的，（2）
在区间端点的函数值符号相反，即 f (a) f (b) 0 ，还必
方程 log3 x x 3 0 可转化为 log3 x 3 x .
在同一坐标系中作出函数 y log3 x 和 y 3 x 的图象，
如图所示
y
o1 2 3
x
【考点二】 零点个数
问题2：函数f(x)＝xcos 2x在区间[0,2π]上的
零点个数为（ ）
A．2
B．3 C．4 D．5
对于问题2，可直接解方程f(x)=0,得 到方程的根为 0, , 3 , 5 , 7 ，选D
解法（一）由于函数 f (x) 是 0,上连续函数，且 f (2) f (3) 0 ，满足零点存在性定理的条件，选 C。
【考点一】 零点所在区间
【问题 1】 函数 f(x)＝ log3 x x 3的零点所在的 区间为( )
A．(0,1) B．(1,2) C．(2,3) D．(3,4)
解法（二）将函数零点转化成对应方程的根。