第六章-3(力法)详解
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结构力学第六章 力法
34
四、n次超静定结构的力法典型方程
i1X1 i2 X 2 in X n iP 0(i 1、2、、n)
符号意义同前。 求解内力(作内力图)的公式：
M M1X1 M2X2 Mn Xn M P
FQ FQ1X1 FQ2 X2 FQn Xn FQP
FN FN1 X1 FN 2 X 2 FNn X n FNP 作内力图可以延用第三章的作法：由M→FQ→FN。
通常做法：拆除原结构的所有多余约束，代之 以多余力X，而得到静定结构。
规则： 1）去掉或切断一根链杆，相当于去掉一个约束； 2）去掉一个简单铰，相当于去掉两个约束； 3）去掉一个固定支座或切断一根梁式杆，相当于去 掉三个约束； 4）在梁式杆上加一个简单铰，相当于去掉一个约束。
10
例： a)
X1
X2
37
2、列 力法方程
1211XX11
12 X 2 22 X 2
1P 2P
0 0
（B 0） （C 0）
讨论方程和系数的物理意义。
q
A
D
Δ1P B
C
A
X1=1
δ11 δ21
D
B
C
A
δ12
X2=1 δ22
D
B C
38
位移方程(力法方程)
ΔφB=0 ——B左右截面相对转角等于零。 ΔφC=0 —— C左右截面相对转角等于零。
d)
原结构
X2
X1
X1
X2
n=2
13
e)
原结构
X1 X1 n=1
f)
原结构
n=3
X1
X3
X2
特别注意：不要把原结
构拆成几何可变体系。此
四、n次超静定结构的力法典型方程
i1X1 i2 X 2 in X n iP 0(i 1、2、、n)
符号意义同前。 求解内力(作内力图)的公式：
M M1X1 M2X2 Mn Xn M P
FQ FQ1X1 FQ2 X2 FQn Xn FQP
FN FN1 X1 FN 2 X 2 FNn X n FNP 作内力图可以延用第三章的作法：由M→FQ→FN。
通常做法：拆除原结构的所有多余约束，代之 以多余力X，而得到静定结构。
规则： 1）去掉或切断一根链杆，相当于去掉一个约束； 2）去掉一个简单铰，相当于去掉两个约束； 3）去掉一个固定支座或切断一根梁式杆，相当于去 掉三个约束； 4）在梁式杆上加一个简单铰，相当于去掉一个约束。
10
例： a)
X1
X2
37
2、列 力法方程
1211XX11
12 X 2 22 X 2
1P 2P
0 0
（B 0） （C 0）
讨论方程和系数的物理意义。
q
A
D
Δ1P B
C
A
X1=1
δ11 δ21
D
B
C
A
δ12
X2=1 δ22
D
B C
38
位移方程(力法方程)
ΔφB=0 ——B左右截面相对转角等于零。 ΔφC=0 —— C左右截面相对转角等于零。
d)
原结构
X2
X1
X1
X2
n=2
13
e)
原结构
X1 X1 n=1
f)
原结构
n=3
X1
X3
X2
特别注意：不要把原结
构拆成几何可变体系。此
结构力学- 力法
0
X1 4X2
0
解方程得：
X1
1 15
ql 2
(
)
X2
1 60
ql2 (
)
3. 作内力图 1) 根据下式求各截面M值，然后画M图。
M M1X1 M2X2 MP
23
ql2 15
A
C
B
ql2 60
11ql 2 120
D M图
2) 根据M图求各杆剪力并画FQ图。
AB杆： MB 0
FQAB
26
2. 方程求解
q
B
C
ql 2 8
A
MP图
1P
1 E1I1
2 3
l
1 ql 2 8
1 2
ql3 ql3 24E1I1 24E2I2k
2P 0
X1=1 1 E1I1 l
1B
C
E2I2 l
A
M1图
B
E1I1 l C
E2I2 l
X2=1
A
M 2图
1
27
X1=1 1 E1I1 l
1B
C
E2I2 l
A
M1图
B
E1I1 l C
E2I2 l
X2=1
A
1 M2图
11
1 E1I1
1 2
1 l
2 3
1
1 E2 I 2
1 2
1
l
2 3
1
l l l E1I1 E2I2 l k 1 3E1I1 3E2I2 3 E1I1E2I2 3E2I 2 k
( E1I1 k) E2 I2
12
21
1 E2 I2
△iP—荷载产生的沿Xi方向的位移
第六章节 力法
11
（4）解方程，求多余未知力
4 100 32 X X 3EI 1 EI 2 EI 0 4 8 40 X1 X2 0 3EI EI EI
X 1 8.57 X 2 2.14
（5）根据叠加原理，绘制内力图。
M M 1 X 1 M 2 X 2 MP
10KN/m B C 2m A 2m A B 10KN/m C
X2
X1
基本结构
解: （1）选择基本结构 （2）建立力法典型方程
11 X 1 12 X 2 1P 0 21 X 1 22 X 2 2 P 0
（3）求解系数项和自由项
20.0 B
10KN/m C B 2.0 2.0
系数项 ij 是由单位力 X j 1 产生的沿 X i 方向的位移。 自由项 iP 是由真实荷载产生的沿 X i 方向的位移。 注意： 根据位移互等定理有 ij ji 主系数 ii 0，副系数 ij (i j可正、可负、也可为零。 )
（3）求解系数项和自由项 MiM j ds ij EI
M 1图
B
（4）解方程，求多余未知力
l ql 3 11 X 1 1P X1 0 3EI 24 EI
（5）根据叠加原理，绘制内力图。
ql 2 X1 8
M M 1 X 1 MP
1 2 ql 8
A
1 2 ql 16
B
=
A
1 2 ql 8
B
+
A
B
1
M图
M P图
M 1图
【例7.2】作图示结构的弯矩图。EI为常数
M M 1 X 1 MP
结构力学第6章力法3ppt课件
X1
1P
11
2 2 FP
-FP
FN
X1 F N1 FNP
2 2
FP
FN1
FNP
FP FNP FP
习惯上列表计算
杆件 l
FN1 FNP
01 a -1/√2 0 13 a -1/√2 -FP 23 a -1/√2 -FP 20 a -1/√2 0 03 √2a +1 √2FP 12 √2a +1 0
• （3）超静定结构内力分布与横梁和桁架 的相对刚度有关。下部链杆截面小，弯 矩图就趋向于简支梁的弯矩图；下部链 杆截面大，弯矩图就趋向于连续梁的弯 矩图。
作业：
• P268 6-5 (a)、6-6
2、超静定组合结构
•计算特点：
•梁式杆：
2
2
ii
F Nil EA
M i dx EI
ik
F Ni F Nkl EA
M i M k dx EI
iP
F Nii FNPl EA
M i M P dx EI
•二力杆：只考虑轴向变形对位移的影响
例:
图示加劲式吊车梁， 1.5m FP=74.2kN
FN12l
1/2×a 1/2×a 1/2×a 1/2×a
√2a √2a
FN1FNPl
FN
0 FP·a /√2 FP·a /√2
0 2FP·a
0
+FP /2 - FP /2 - FP /2 +FP /2 √2FP/2 -√2FP/2
∑
2(1+√2)a (√2+2)
讨论：
• 1、桁架中的杆件(EA=常数)不是去掉
例：用力法计算图示桁架，各杆EA=常数
结构力学——6力法ppt课件
的位移条件，首先求出多余未知力，然后再由平
衡条件计算其余反力、内力的方法，称为力法。 力法整个计算过程自始至终都是在基本结构 上进行的，这就把超静定结构的计算问题，转化
为已经熟悉的静定结构的内力和位移的计算问题。 11
§6—4 力法的典型方程 用力法计算超静定结构的关键，是根据位移条件建立力法方 程以求解多余未知力，下面首先以三次超静定结构为例进行推导。 P P 1. 三次超静定问题的力法方程 ↓ ↓ 首先选取基本结构（见图b） 基本结构的位移条件为： 原结构 基本结构 △1=0 △2=0 A B X1 A X2 △3=0 → （b） B ↑ （a） X 3 设当X 1 、 X 1 、 X 1 和荷载 P 1 2 3 分别作用在结构上时， 沿X 方向： 、 、 和△ ； 1 11 12 1P 13 A点的位移 沿X2方向：21、22、23和△2P ； 沿X3方向：31、32、33和△3P 。 据叠加原理，上述位移条件可写成 △1=11X1 +12X2+13X3 +△1P=0 △2=21X1+22X2+23X3+△2P=0 （8—2） 12 △3=31X1+32X2+33X3+△3P=0
多余未知力： 多余联系中产生的力称为多余未 知力（也称赘余力）。 多余联系与多余未知力的选择。
3. 超静定结构的类型 （1）超静定梁; （2）超静定桁架； ⑶ （3）超静定拱； （4）超静定刚架； （5）超静定组合结构。 4. 超静定结构的解法 ⑷
求解超静定结构，必须 综合考虑三个方面的条件: （1）平衡条件； ⑸ （2）几何条件； （3）物理条件。 5 具体求解时，有两种基本(经典)方法—力法和位移法。
↑
X1
力法知识讲解PPT89页
↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓B
Δ1P
Δ1=δ11X1 + Δ1P=0
= X1=－Δ1P / δ11 3ql/8
↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓ M图
3ql/8
17
d X D 0
11 1
1P
D1P
512 EI1
d11
288 k 144 k EI1
X1
-
D1P
d11
-
320k
92k 1
X1
k1 2
- 80 kN 9
由上述，力法计算步骤可归纳如下： 影响。
1）确定超静定次数，选取力法基本体系；
2）按照位移条件，列出力法典型方程；
3）画单位弯矩图、荷载弯矩图，用（A）式求系数和自由项；
4）解方程，求多余未知力；
5）叠加最后弯矩图。M M i X i M P
25
§6.4 超静定梁、刚架和排架
FP
例 . 求解图示两端固支梁。
d12 X 2 d 22 X 2
D1P D2P
0 0
图乘求得位移系数为
d 11
d 22
2d 12
l 3EI
D1P
-
FPab(l b) 6EIl
D2 P
-
FPab(l a) 6EIl
X 1
FPab2 l2
X
2
FP a 2b l2
可代 得入
并 求 解
FPab2 l2
FPab l
FPa2b l2
11
EI
X1=1
求l X1方 E向1I 的 l位22 移23l 虚 拟3的lE3I力状P=态1
ql2/2 ↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓
MP
结构力学课件--6力法3
2
内容回顾
对称荷载:
反对称荷载:
EI
P EI
EI P P
EI
P EI
EI P P
B.有中柱对称结构（偶数跨结构） 对称荷载:
反对称荷载:
EI EI
P EI
EI P P
EI EI
P EI EI EI P P
EI/2
2019/7/14
课件
3
用力法计算下图所示结构，并作结构M图。
1 kN/m EI
EI
EI 2m
可能使： 21 = 12 = 0
即得：
课件
11X1 1P = 0 22 X 2 2P = 0 33 X 3 3P = 0
y y´
12
X2
X2 y
X1 X1 a
y
O
x
x'
1
y
x
X1 = 1
y
X2 =1
M1 =1 N1 = 0 Q1 = 0
12 =
15
4m
a
y
2EI
EI
EI
x
8m
X1 X1
X2 X2 X3
a
=
y
1 EI
ds
1 EI
ds
=
1 2EI
8 4
2( 1 EI
4 2)
=
8
=
2.667m
1 8 2( 1 4)
3
2019/7/14
2EI
EI 课件
§6-7 支座移动和温度改变时的内力计算
16
一、支座移动时的计算
(a 11
1 2
结构力学(龙驭球)第6章_力法
5
二、超静定次数
从几何构造看
超静定次数 = 多余约束的个数
从静力分析看
超静定次数 = 多余约束力的个数
= 未知力个数 – 平衡方程的个数
2次超静定
6
4次超静定
3次超静定
6次超静定
7
判断超静定次数时，应注意: （1）撤去一根支杆或切断一根链杆，等于拆掉一个约束。 （2）撤去一铰支座或撤去一个单铰，等于拆掉两个约束。 （3）撤去一固定端或切断一个梁式杆，等于拆掉三个约束。 （4）在连续杆中加入一个单铰，等于拆掉一个约束。 不要把原结构拆成一个几何可变体系。即不能去掉必要约束 要把全部多余约束都拆除
FN P 图（kN）
33
（4）解方程
X 1 12.1kN
（5）作FN图
FN FN1 X1 FNP
34
例6-4 求图示超静定组合结构的内力图。 AD杆：EI=1.40×104kN.m2； 解 （1）选取基本体系 EA=1.99×106kN； AC、CD杆：EA=2.56×105kN； BC杆：EA=2.02×105kN
11 X1 12 X 2 1P 0 21 X1 22 X 2 2P 0
19
力法的基本体系不是唯一的
√
√
×
!! 瞬变体系不能 作为力法的基本 体系
20
力法基本方程？
21
n 次超静定结构的力法典型方程：
11 X 1 12 X 2 21 X 1 22 X 2 n1 X 1 n 2 X 2
2
§6-1 超静定结构和超静定次数
一、超静定结构的组成
超静定结构与静定结构的区别：
几何特征: 超静定结构是有多余约束的几何不变体系 静定结构是无多余约束的几何不变体系 静力特征: 仅由静力平衡条件无法全部求解超静定结构 的内力和反力 静定结构的内力和反力可以全部求解 超静定结构的内力计算—— 不能单从静力平衡条件求出，而必须同时考虑 变形协调条件
二、超静定次数
从几何构造看
超静定次数 = 多余约束的个数
从静力分析看
超静定次数 = 多余约束力的个数
= 未知力个数 – 平衡方程的个数
2次超静定
6
4次超静定
3次超静定
6次超静定
7
判断超静定次数时，应注意: （1）撤去一根支杆或切断一根链杆，等于拆掉一个约束。 （2）撤去一铰支座或撤去一个单铰，等于拆掉两个约束。 （3）撤去一固定端或切断一个梁式杆，等于拆掉三个约束。 （4）在连续杆中加入一个单铰，等于拆掉一个约束。 不要把原结构拆成一个几何可变体系。即不能去掉必要约束 要把全部多余约束都拆除
FN P 图（kN）
33
（4）解方程
X 1 12.1kN
（5）作FN图
FN FN1 X1 FNP
34
例6-4 求图示超静定组合结构的内力图。 AD杆：EI=1.40×104kN.m2； 解 （1）选取基本体系 EA=1.99×106kN； AC、CD杆：EA=2.56×105kN； BC杆：EA=2.02×105kN
11 X1 12 X 2 1P 0 21 X1 22 X 2 2P 0
19
力法的基本体系不是唯一的
√
√
×
!! 瞬变体系不能 作为力法的基本 体系
20
力法基本方程？
21
n 次超静定结构的力法典型方程：
11 X 1 12 X 2 21 X 1 22 X 2 n1 X 1 n 2 X 2
2
§6-1 超静定结构和超静定次数
一、超静定结构的组成
超静定结构与静定结构的区别：
几何特征: 超静定结构是有多余约束的几何不变体系 静定结构是无多余约束的几何不变体系 静力特征: 仅由静力平衡条件无法全部求解超静定结构 的内力和反力 静定结构的内力和反力可以全部求解 超静定结构的内力计算—— 不能单从静力平衡条件求出，而必须同时考虑 变形协调条件
力法 PPT课件
F
6、叠加法内力并作内力图
M M 1 X1 M F FQ F Q1 X 1 FQ F
X 1 =1
M1
Fl 2
FN F N1 X1 FN F
11 16 F
MF
3 l 16 Fl M Fl 4
FQ 5 16 F
M AB FNAB A FQ AB
F B X1
作FQ、 FN图
杆端弯矩 作M图 M AB M 1AB X1 M FAB 5 Fl 3 Fl Fl （上拉） 16 2 16 M BA M 1BA X1 M FBA 0
3次超静定
6次超静定
4次超静定
15次超静定
10次超静定
7次超静定
§6-2 力法基本原理 一、力法基本思路 根据已掌握的静定结构的内力和位移计算知识，将静定结构转 化为静定结构来求解，先求出多余未知力。 二、力法基本原理
F A EI C l B
F
F
A
C
B X1
A
B X1
静定结构
原超定结构
基本体系（基本结构）
基本体系 （基本结构）
F
变形协调条件 X1
1 11 1F 0
11：X1引起X1方向的位移 1F：F引起X1方向的位移 11：X1 =1引起X1方向的位移
X 1 =1
M1
Fl 2
MF
l
3、典型方程
基本未知量
11 X1 1F 0
X1
1F
11＝11 X1
自由项
（4）超静定拱； （5）超静定组合结构等。
三、超静定次数 超静定次数＝多余约束的个数 超静定次数确定方法：解除约束法 解除超静定结构中的多余约束，使之成为静定结构。解除约束 的个数即为超静定的次数 截断一根连杆＝解除1个约束；（支座连杆） 解除一个单铰＝解除2个约束；（固定铰支座） 截断一受弯杆＝解除3个约束；（刚结点、固定端） 单刚变为单铰＝解除1个约束。
6、叠加法内力并作内力图
M M 1 X1 M F FQ F Q1 X 1 FQ F
X 1 =1
M1
Fl 2
FN F N1 X1 FN F
11 16 F
MF
3 l 16 Fl M Fl 4
FQ 5 16 F
M AB FNAB A FQ AB
F B X1
作FQ、 FN图
杆端弯矩 作M图 M AB M 1AB X1 M FAB 5 Fl 3 Fl Fl （上拉） 16 2 16 M BA M 1BA X1 M FBA 0
3次超静定
6次超静定
4次超静定
15次超静定
10次超静定
7次超静定
§6-2 力法基本原理 一、力法基本思路 根据已掌握的静定结构的内力和位移计算知识，将静定结构转 化为静定结构来求解，先求出多余未知力。 二、力法基本原理
F A EI C l B
F
F
A
C
B X1
A
B X1
静定结构
原超定结构
基本体系（基本结构）
基本体系 （基本结构）
F
变形协调条件 X1
1 11 1F 0
11：X1引起X1方向的位移 1F：F引起X1方向的位移 11：X1 =1引起X1方向的位移
X 1 =1
M1
Fl 2
MF
l
3、典型方程
基本未知量
11 X1 1F 0
X1
1F
11＝11 X1
自由项
（4）超静定拱； （5）超静定组合结构等。
三、超静定次数 超静定次数＝多余约束的个数 超静定次数确定方法：解除约束法 解除超静定结构中的多余约束，使之成为静定结构。解除约束 的个数即为超静定的次数 截断一根连杆＝解除1个约束；（支座连杆） 解除一个单铰＝解除2个约束；（固定铰支座） 截断一受弯杆＝解除3个约束；（刚结点、固定端） 单刚变为单铰＝解除1个约束。
力法——多次超静定结构
(3) 作基本结构在单位未知力和荷载（如果 有）作
用下的弯矩（内力）图 Mi , MP
(4) 求基本结构的位移系数 ij
图乘来求
(5) 求基本结构的广义荷载位移 D iP
注意： 用图乘法求 ij 和 D iP 时应注意图乘条件
(6) 解方程求未知力 X i
小结：力法的解题步骤
(7)根据叠加原理作超静定结构的弯矩图
5 16
ql 2
3 16
ql
2
M(kN.m)
基本结构 基本未知量 基本体系
例3: 用力法计算图示刚架。
q
l
EI EI
l
基本方程:
11
D1P
x1
M M1 MP M1X1 MP
基本结构 基本未知量 基本体系
小结:
1. 与静定结构相比,超静定结构使截面最大弯矩降低, 整个结构内力分布趋于均匀;
q
D11
D21 +x1
真实变形
ij (i j) 主系数>0 ij (i j) 付系数 ij ji 位移互等
DiP 荷载系数
11x1 12 x2 D1P 0
21x1 22 x2 D2P 0
D12x2 D22
+
q
D1P D2P
用矩阵表示方程: [ ]{X } {DP} {0}
(8)按单根杆件作剪力图
(9)根据结点平衡作轴力图 （10）对计算结果进行校核
{ 平衡条件 位移条件
弯矩图有第六章 力法
§什6么-4变荷化载？作用下超静定结构计算
FP
例 1: 用力法计算图示连续梁
A EI 3a
B a
FP
C
D
2EIEI
结构力学第6章力法
结构力学第6章力法力法（也叫统一力法）是一种简化结构分析和计算的方法，通过将结构的内力和力的作用点集中在一些特定的位置，从而简化结构计算的复杂性。
力法在结构力学中有很广泛的应用，特别是在求解复杂结构的内力分布和变形方程时非常有用。
力法的基本原理是将结构的内力分布看作是由一系列基本力的叠加形成的。
这些基本力包括拉力、压力、剪力和弯矩等。
通过对这些基本力的作用点和大小进行合理的选取，可以将结构的内力分布近似为一个简单的形式，从而方便地进行计算。
力法的具体步骤如下：1.选择合适的基本力系统：根据结构的受力情况，选择适合的基本力系统，一般包括平行力、共点力、算术力和等效力等。
2.确定基本力的作用点和大小：通过结构的受力平衡条件和变形方程，确定基本力的作用点和大小，一般可以通过静力平衡方程或者变形方程进行计算。
3.将基本力作用在结构上：将确定的基本力作用在结构上，这些基本力可以是集中力也可以是分布力，根据具体情况进行选择。
4.分析结构的受力和变形：应用力学的基本原理和公式，分析结构的受力和变形情况，求解结构的内力和位移等参数。
5.进行计算和分析：根据步骤4中得到的结果，进行计算和分析，比较计算结果与实际情况的差异，进行调整和修正。
力法的优点是计算简单、直观，尤其适用于计算结构的内力和变形情况；缺点是只能得到局部的内力情况，无法得到整体的受力情况。
在结构力学中，力法的应用非常广泛。
例如，可以利用力法求解悬臂梁的内力分布和变形情况，以及桁架和刚架的受力情况等。
同时，力法还可以用于计算复杂结构的等效荷载，简化结构的计算过程。
总结起来，力法是一种通过将结构的内力和力的作用点集中在一些特定的位置，从而简化结构计算的方法。
通过选择合适的基本力系统，确定基本力的作用点和大小，将基本力作用在结构上，进行受力和变形分析，最终得到结构的内力和变形情况。
力法在结构力学中有很广泛的应用，对于求解复杂结构的内力分布和变形方程非常有用。
结构力学课件--6力法3
15 4m
11
MkN m
M
M 1 d = 1 x 4 2 0 4 0 1 3 6 0 4 0 1 3 1 0 4 5 EI1 2 2 2 1 2
2019/10/9
=4 0 3 0 3= 0 40 课件
25
M
1
M
M
1
M 2019/10/9
y ds EI
M2 =y N2 =cos Q2 =sin
另选座标 xoy 则 y=ya
2019/10/9
12 = yE ad I= 课s件 E yd I s aE 1dIs
y y´
令 12=0 则
13
X2
X1
X2 y
X1 a
y
O
x
x'
a
=
y 1 EI
列方程
N1 =cos
11=
y2 ds EI
co2s
ds EA
2019当/10/9f /l<1/4 时，可取ds=dx 课件
X1
= 1P
11
=H
y与的计算
8
X1
X1=1
在竖向荷载作用下
9
MP=M° M1 = y N1 =cos
M =M M 1X 1=M Hy
M 课件
M
ds=
1P
l N12dx= l 12 dx= l
0E1A1
0E1A1 E1A1
1 1 =M E 1 2d I sN E 1 2d A sE 1 lA 1=1 1E 1 lA 1
两类拱的比较： 无拉杆 H = 1P
11
E1A1 H H 相当于无拉杆
6力法
M M 1 X1 MP
6 6 6 6
53.33 D 53.33
106.7
160
2）作剪力图 以杆件为隔离体，利用已知的杆端弯矩，由平衡条件求出 杆端剪力。 53.33 C D 53.33
FQCD
FQDC
MC 0
FQDC 8 20 8 4 53.33 53.33 FQDC 80 KN
M 1 MP 1 2 5120 D1P ds 3 8 160 6 = EI EI EI1 1
青岛工学院
第6章 力法
6 6 1
6 6
160
（4）求基本未知量
576 5120 X1 0 EI1 EI1
X1 = 80 kN 9
（5）作内力图 1）作弯矩图 53.33 53.33 C 160
q B l
=
q B
A
X1
q
A B
D1P
δ1111 D
B
式中δ11 、Δ1P被称为系数 A 和自由项，可用求解静定结构位移的方法求出。
X1=1
青岛工学院
② 求系数δ11 、自由项Δ1P δ11 Δ1P——均为静定结构在已 知力作用下的位移，故可由积分 法或图乘法求得。 做法：作 MP 、M1图， 由图乘法，得：
B X1＝1
X1＝1作用
A A
X2＝1作用
荷载作用
（4）求系数、自由项
C
B X1＝1 C
qL2/2 L
B
X2＝1
qL2/2
q
B
C
L
A
L M1
A
L M2
A
qL2/2
M 2 M 2ds EI
6 6 6 6
53.33 D 53.33
106.7
160
2）作剪力图 以杆件为隔离体，利用已知的杆端弯矩，由平衡条件求出 杆端剪力。 53.33 C D 53.33
FQCD
FQDC
MC 0
FQDC 8 20 8 4 53.33 53.33 FQDC 80 KN
M 1 MP 1 2 5120 D1P ds 3 8 160 6 = EI EI EI1 1
青岛工学院
第6章 力法
6 6 1
6 6
160
（4）求基本未知量
576 5120 X1 0 EI1 EI1
X1 = 80 kN 9
（5）作内力图 1）作弯矩图 53.33 53.33 C 160
q B l
=
q B
A
X1
q
A B
D1P
δ1111 D
B
式中δ11 、Δ1P被称为系数 A 和自由项，可用求解静定结构位移的方法求出。
X1=1
青岛工学院
② 求系数δ11 、自由项Δ1P δ11 Δ1P——均为静定结构在已 知力作用下的位移，故可由积分 法或图乘法求得。 做法：作 MP 、M1图， 由图乘法，得：
B X1＝1
X1＝1作用
A A
X2＝1作用
荷载作用
（4）求系数、自由项
C
B X1＝1 C
qL2/2 L
B
X2＝1
qL2/2
q
B
C
L
A
L M1
A
L M2
A
qL2/2
M 2 M 2ds EI
结构力学 力法讲解
第六章 力 法
§6-1 超静定结构的组成和超静定次数 §6-2 力法基本原理 §6-3 超静定刚架和排架 §6-4 超静定桁架和组合结构 §6-5 对称结构的利用 §6-8 支座移动温度变化时超静定结构的计算 §6-9 超静定结构的位移计算 §6-10 超静定结构计算的校核
1
§6-1 超静定结构的组成和超静定次数
B Δ1P
Δ2P
11
§6-2 力法基本原理
说明: ii 0 主系数， ij ji 副系数，可正、可负、可零。
iP 自由项，可正、可负、可零。
ii
s
M
2
i ds,
EI
ij
ji
s
MiM EI
j
ds, iP
原结构
n=2
X2 X1
基本结构
X2
基本结构
X1
4
§6-1 超静定结构的组成和超静定次数
X2 X1
X1 X2
n=2
原结构
基本结构
方法:③去掉一个固定支座或切开一个单刚结点，相当于去掉三个约束或联系；
X3
原结构
n=3
X3
X1
基本结构(1) X2
X1
X1
X2
基本结构(2)
5
§6-1 超静定结构的组成和超静定次数
方法:④将单刚结点改成单铰联接，相当于去掉一个转动约束或联系；
原结构
原结构 n=3
X1
X3
X2
X3
X1
X2
基本结构(3)
不要把原结构拆成几何 可变体系。此外，要把 超静定结构的多余约束 全部拆除。
说明:⑴同一超静定结构去掉多余约束的方法很多,相 应的得到的静定基本结构的形式很多,但必须是几何 不变结构。 ⑵力法求解超静定结构的顺序 ①先用变形连续或位移边界条件建立补充方程求解 多余力。②再用平衡方程求其它反力、内力。
§6-1 超静定结构的组成和超静定次数 §6-2 力法基本原理 §6-3 超静定刚架和排架 §6-4 超静定桁架和组合结构 §6-5 对称结构的利用 §6-8 支座移动温度变化时超静定结构的计算 §6-9 超静定结构的位移计算 §6-10 超静定结构计算的校核
1
§6-1 超静定结构的组成和超静定次数
B Δ1P
Δ2P
11
§6-2 力法基本原理
说明: ii 0 主系数， ij ji 副系数，可正、可负、可零。
iP 自由项，可正、可负、可零。
ii
s
M
2
i ds,
EI
ij
ji
s
MiM EI
j
ds, iP
原结构
n=2
X2 X1
基本结构
X2
基本结构
X1
4
§6-1 超静定结构的组成和超静定次数
X2 X1
X1 X2
n=2
原结构
基本结构
方法:③去掉一个固定支座或切开一个单刚结点，相当于去掉三个约束或联系；
X3
原结构
n=3
X3
X1
基本结构(1) X2
X1
X1
X2
基本结构(2)
5
§6-1 超静定结构的组成和超静定次数
方法:④将单刚结点改成单铰联接，相当于去掉一个转动约束或联系；
原结构
原结构 n=3
X1
X3
X2
X3
X1
X2
基本结构(3)
不要把原结构拆成几何 可变体系。此外，要把 超静定结构的多余约束 全部拆除。
说明:⑴同一超静定结构去掉多余约束的方法很多,相 应的得到的静定基本结构的形式很多,但必须是几何 不变结构。 ⑵力法求解超静定结构的顺序 ①先用变形连续或位移边界条件建立补充方程求解 多余力。②再用平衡方程求其它反力、内力。
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MP
1
FP
R(
sin
2
)
例 1. 试用对称性对结构进行简化。EI为常数。
FP 方法 1
FP /2 FP/2
FP
FP /2
FP /2
I/2 I/2
FP /2 FP /2 FP /2
FP /2
FP /2
I/2
FP /2
无弯矩， 不需求解
FP /4 FP /4
I/2
FP /4
FP /4
FP /2
I/2
11 X1＋1P＝0
＝144
11
EI
1
＝1800
P
EI
X 1＝－12.5 M＝M1 X1＋M
P
例： FP
FP
由于 0 ，问题无法化简 12
（2）未知力分组和荷载分组
FP
X1 Y1 Y2 , X2 Y1 Y2 , 12 0
力法典型方程成为：
Y 11 1 Y 22 2
1P 2P
0 0
对称结构承受一般非对称荷载时，可将荷载分组，如：
FP
FP 2
FP 2
FP
2
（3）取半结构计算：
FP
FP
FP 2
FP
对称轴
（c）
FP FP
（d）
FP
问题：偶数跨对称刚架如何处理？
FP
FP
FP
FP
FP
FP FP
FP
FP FP
FP FQC FQC
FP
进
一
步
说
明
例：求作图示圆环的弯矩图。 （a) FP
支承不对称
对称结构
几何对称 支承对称 刚度对称
非对称结构 刚度不对称
注意：结构的几何形状、支承情况以及杆件的刚 度三者之一有任何一个不满足对称条件时，就不 能称超静定结构是对称结构。
对称结构的求解： （1）选取对称的基本结构
力法典型方程为：
11 X1 12 X 2 13 X 3 1P 0 21 X1 22 X 2 23 X 3 2P 0 31 X1 32 X 2 33 X 3 3P 0
3p 0
X
3
0
M M1 X1 M2 X2 MP
如果作用于结构的荷载是反对称的，如:
1p 2p 0
X
1
X2
0
M
M3X3
MP
结论：对称结构在正对称荷载作用下，其内力 和位移都是正对称的；在反对称荷载作用下， 其内力和位移都是反对称的。
例，求图示结构的弯矩图。EI=常数。
解：根据以上分析，力法方程为：
C
C
FP 2EI
FP FP
2EI
FP
EI EI
FP EI
等代结构
FQC FQC
FP
FP
EI EI
由于荷载是反对称的，故C截面只有剪力FQC 当不考虑轴向变形时，FQC对原结构的内力和变 形都无影响。可将其略去，取半边计算，然后
再利用对称关系作出另半边结构的内力图。 返 回
FP /4 FP /2 FP /4
FP /4 FP /2 FP /4 FP /4 FP /2 FP /4
FP /4 FP /4
FP /4
I/2
FP /4
FP /4
又看到您了！ FP /4 FP /4
FP /4
I/2
I/2Leabharlann 对称结构按跨数可分为(d)偶数跨对称结构在反对称荷载作用下，其等代结构的选法
FP /2 FP /4
FP /4
FP /4
I/2
FP /4
FP /4
FP /4
I/2
FP /4
FP /4
FP /4
FP/4
I/2
FP /4
FP /4
I/2
方法 2
无弯矩， 不需求解
FP /4 FP /2 FP /4
FP
FP /4 FP /2 FP /4
FP /2
FP /2 FP /4
FP /2 FP /4
11 13
, 22 , 33 31 0 ,
0
,
12 0 23 32
0
典型方程简化为：
11 X1 12 X 2 1P 0 21 X1 22 X 2 2P 0 33 X 3 3P 0
FP
FP
正对称与反 对称荷载：
正对称部分
反对称部分
FP
FP
如果作用于结构的荷载是对称的，如:
3. 力法计算的简化
无弯矩状态的判别 前提条件：结点荷载； 不计轴向变形。 刚结点变成铰结点后，体系仍然几何不变的情况
刚结点变成铰结点后，体系几何可变，但是，添 链杆的不变体系在给定荷载下无内力的情况
利用上述结论，结合对称结构的对称性，可使手 算分析得到简化。
一、 对称性 (Symmetry) 的利用
EI=常数。
解：取结构的1/4分析
(b)
FP
2
FP
2
FP
单位弯矩（图）和荷载弯矩（图）为：
FP R
FP 2
FP R
FP
FP R
FP
M1 1
MP
FP R 2
sin
若只考虑弯矩对位移的影响，有：
11
M12ds EI
R
2EI
,
1 P
M1M Pds EI
FP R2 2EI
,
X1
FP R
弯矩为：
M
M1 X1