万有引力与航天专题复习

万有引力与航天

一、行星的运动

1、 开普勒行星运动三大定律

①第一定律（轨道定律）：所有行星绕太阳运动的轨道都是椭圆，太阳处在椭圆的一个焦点上。 ②第二定律（面积定律）：对任意一个行星来说，它与太阳的连线在相等的时间内扫过相等的面积。 推论：近日点速度比较快，远日点速度比较慢。

③第三定律（周期定律）：所有行星的轨道的半长轴的三次方跟它的公转周期的二次方的比值都相等。

即： 其中k 是只与中心天体的质量有关，与做圆周运动的天体的质量无关。 推广：对围绕同一中心天体运动的行星或卫星，上式均成立。K 取决于中心天体的质量

例1. 据报道，美国计划从2021年开始每年送15 000名游客上太空旅游．如图所示，当航天器围绕地球沿椭圆轨道运行时，在近地点A 的速率 (填“大于”“小于”或“等于”)在远地点B 的速率。 例2、宇宙飞船进入一个围绕太阳运动的近乎圆形的轨道上运动，如果轨道半径是地球轨道半径的9倍，那么宇宙飞船绕太阳运行的周期是（ ）

A.3年

B.9年

C.27年

D.81年 二、万有引力定律

1、万有引力定律的建立 ①太阳与行星间引力公式 ②卡文迪许的扭秤实验——测定引力常量G

2、万有引力定律

①内容：自然界中任何两个物体都相互吸引，引力的大小与物体的质量1m 和2m 的乘积成正比，与它们之间的距离r 的二次方成反比。即： ②适用条件

（Ⅰ）可看成质点的两物体间，r 为两个物体质心间的距离。

（Ⅱ）质量分布均匀的两球体间，r 为两个球体球心间的距离。

③运用

（1）万有引力与重力的关系：

重力是万有引力的一个分力，一般情况下，可认为重力和万有引力相等。

忽略地球自转可得： 例3.设地球的质量为M ，赤道半径R ，自转周期T ，则地球赤道上质量为m 的物体所受重力的大小为（式中G 为万有引力恒量）

（2）计算重力加速度 地球表面附近（h 《R ） 方法：万有引力≈重力 地球上空距离地心r=R+h 处 方法：

在质量为M ’，半径为R ’的任意天体表面的重力加速度''g

方法：

（3）计算天体的质量和密度 利用自身表面的重力加速度： 利用环绕天体的公转： 等等 （注：结合 得到中心天体的密度） 例4.宇航员站在一星球表面上的某高处，以初速度V 0沿水平方向抛出一个小球，经过时间t ，球落到星球表

面，小球落地时的速度大小为V . 已知该星球的半径为R ，引力常量为G ，求该星球的质量M 。

例5. 2017年1月23日，我国首颗1米分辨率C 频段多极化合成孔径雷达(SAS)卫星“高分三号”正式投入使用，某天文爱好者观测卫星绕地球做匀速圆周运动时，发现该卫星每经过时间t 扫过的弧长为L ，该弧长对应的圆心角为θ弧度，已知引力常量为G ，则下列说法正确的是（ ） A. 卫星绕地球做匀速圆周运动的线速度大小为 B. 卫星绕地球做匀速圆周运动的角速度为 3

2a k T =2Mm F G r =1122

6.6710/G N m kg -=⨯⋅1

22m m F G r =2R Mm G mg =2''''''R m M G mg =mg R Mm G =2334R M πρ⋅=2R Mm G mg =

C. 地球的质量为

D. 卫星的质量为

经验总结———“天上”：万有引力提供向心力 2M ma=m m F G r πω⎛⎫= ⎪⎝⎭

222v 2一条龙：＝=mr =mr r T “地上”：万有引力近似等于重力 2

GM gR 黄金代换：＝

（4）双星：两者质量分别为m 1、m 2，两者相距L

特点：距离不变，向心力相等，角速度相等，周期相等。

双星轨道半径之比： 双星的线速度之比： 例6经长期观测，人们在宇宙中已经发现了“双星系统”，“双星系统”由两颗相距较近的恒星组成，每个

恒星的线度远小于两个星体之间的距离，而且双星系统一般远离其他天体.如图所示，两颗星球组成的双星，在相互之间的万有引力作用下，绕连线上的O 点做周期相同的匀速圆周运动.现测得两颗星之间的距离为L ，质量之比为m 1∶m 2=3∶2.则可知

A ．m 1、m 2做圆周运动的角速度之比为3∶2

B ．m 1、m 2做圆周运动的线速度之比为2∶3

C ．m 2做圆周运动的半径为

25

L D ．m 1做圆周运动的半径为25

L 三、宇宙航行 1、人造卫星的运行规律

例7. 已知地球半径为R ，质量为M ，自转角速度为?，地球表面重力加速度为g ，万有引力常量为G ，地球同步卫星与地心间的距离为r ，则以下说法中正确的是

A ．地面赤道上物体随地球自转运动的线速度为?R

B ．地球近地卫星做匀速圆周运动的线速度为?R

C ．地球近地卫星做匀速圆周运动的线速度为

R

GM D ．地球同步卫星的运行速度为gr

2、宇宙速度

第一宇宙速度：V 1=7.9km/s 第二宇宙速度：V 2=11.2km/s 第三宇宙速度：V 3=16.7km/s

注：（1）宇宙速度均指发射速度

（2）第一宇宙速度为在地面发射卫星的最小速度，也是环绕地球运行的最大速度

3、地球同步卫星（通讯卫星）

（1）运动周期与地球自转周期相同，且T=24h ；

（2）运转角速度等于地球自转的角速度，周期等于地球自转的周期；

（3）同步卫星高度不变，运行速率不变（因为T 不变）；

（4）同步卫星的轨道平面必须与赤道平面平行，在赤道正上方。

对同步卫星：运动规律：

例8由于同步卫星的运动周期确定（为T=24h ），故而 其 r 、 v 、ω、T 、a 等均为定值。

如图所示，福州位于北纬26°05′，P 是位于福州的物体。一颗地球卫星Q 的轨道半径小于地球同步卫星的轨道半径，下列说法正确的是（ ）

A. 地球同步卫星可能经过福州上空

B. P 的周期比Q 的周期小 122121m m v v R R ==