考研高数总复习Fourier积分讲解
ZGP-积分变换第一讲 Fourier积分 (1)
求 f (t) 的积分表达式的步骤：
（） 1 F () F [ f (t )]
（） 2 f (t ) F 1[ F ( )]
26
Fourier 变换的概念
0, 例 求函数 f (t ) t e ,
t 0 的 Fourier 变换及其 t 0
指数衰减函数
积分表达式，其中 0.
信号
Fourier变换
频谱函数
1
第一章 Fourier 变换
§1.1 §1.2 §1.3 §1.4 §1.5 Fourier 积分 Fourier 变换 Fourier 变换的性质 卷积与相关函数 Fourier 变换的应用
2
§1.1 Fourier 积分
• 函数的 Fourier 级数展开 • Fourier 积分公式
成立，而左端的 f(t) 在间断点 t 处的值用
f (t 0) f (t 0) 2
来替代.
Fourier积分公式的 指数形式
15
Fourier 积分定理及应用
若 f(t)为奇函数，则
若 f(t)为偶函数，则
f (t )dt 0
f (t )dt 2 f (t )dt
其中
2 , T
2 T2 a0 T fT (t ) dt , T 2
2 T2 an T fT (t ) cos ntdt (n 1, 2,) T 2 2 T2 bn T fT (t ) sin ntdt (n 1, 2,) T 2 1, x [ , 0) f ( x) 0, x [0, 6)
f ( )e i d eit d
详细解读《Fourier 分析》
2 Fourier 分析Fourier分析这门学科是数学分析中最古老的学科之一，它对数学家和工程师都是相当重要的。
从实用的观点来看，当人们考虑Fourier分析的时候，通常是指（积分）Fourier变换和Fourier级数。
Fourier变换是在实直线IR上定义的某个函数f的Fourier积分。
当f看作是一个模拟信号时，它的定义域IR就称为连续时域。
在此情况下，f的Fourier变换fˆ描述信号f的谱特性。
因为谱信息用频率给出，所以Fourier变换fˆ的定义域还是IR，它称为频域。
另一方面，一个Fourier级数是双无限序列到周期函数的一种变换。
因此，当一个双无限序列看作是一个数学信号时，它的定义域是整数集合ZZ，称为离散时域。
这时，它的Fourier级数再次描述数学信号的谱特性，一个Fourier级数的定义域还是实直线IR，它是频域。
然而，因为Fourier级数是π2周期的，在此情况下，频域IR常用单位圆等同。
对于一个数学家来说，这种表示是更令人满意的，因为ZZ的“对偶群”是“圆群”。
Fourier变换和Fourier级数的重要性不仅由于它们的物理解释的重要性。
如信号的时间—频率分析，而且还由于Fourier分析技术是极其有力的。
例如，在小波分析研究中，Poisson求和公式、级数与积分的Parseval恒等式、Gaussion 的Fourier变换、函数的卷积以及δ分布等等都是经常遇到的。
因为这本专著打算是自我包容的，本章讨论Fourier分析的基本知识方面的预备材料，如上述提及的内容。
2.1 Fourier 变换和Fourier 逆变换全书中，所有定义在实直线IR 上的函数假定是可测的。
对于不熟悉Lebesgue基本理论的读者，而乐意相信一些标准的定理，在假定f 是分段连续的情况下，损失是很小的。
所谓Lebesgue 基本理论是指，在IR 中存在非有限聚点{}j x ，使对于所有j 有1+<j j x x ，并且f 在每个开区间以及无界区间))min(,(j x -∞、)),(min(∞j x （如果)min(j x ，)max (j x 存在）是连续的。
1.1 Fourier积分解析
21
§1.1 Fourier 积分
三、Fourier积分定理
第 2. Fourier 积分公式的三角形式 一 上述(D)式也可以转化为三角形式 章
定义 称 (B) 式为 Fourier 级数的复指数形式。 14
§1.1 Fourier 积分
一、周期函数的 Fourier 级数
第 3. Fourier 级数的复指数形式 一 注意 (1) 分解式是唯一的。 章 (2) 计算系数 cn 时, 其中的积分可以在任意 一个长度为 T 的区间上进行。 (3) 采用周期延拓技术，可以将结论应用到 仅仅定义在某个有限区间上的函数。 Fourier
定义的任意函数都可以表示为单纯的正弦与余弦之和”，但
是没有给出严格的证明。 1829年，Dirichlet 证明了Fourier积分定理，为Fourier 级数奠定了理论基础。
变 换
4
§1.1 Fourier 积分
附：人物介绍 —— 傅立叶
第 一 章 Fourier
傅立叶
Fourier，Jean Baptiste Joseph (1768～1830)
三、Fourier积分定理
第 1. Fourier 积分定理 一 定理 设函数 f (t ) 满足 章 P7 (1) 在 (, )上的任一有限区间内满足 Dirichlet 条件； (2) 绝对可积，即 | f ( t ) | dt . 则在 f (t ) 的连续点处，有
(A)
Fourier
a0 2 2 令 A0 bn , ， An an 2
变 换
a b cos n n , sin n n , An An
则 (A) 式变为
fT ( t ) A0 An cos(nω0 t θn )
fourier级数 逐项积分
fourier级数逐项积分
在数学中，傅里叶级数是一种将周期函数表示为无穷级数的方法。
逐项积分是逐个计算级数中每一项的积分值。
在处理傅里叶级数时，逐项积分是一种常见的技术，可以用于计算傅里叶级数的积分值。
具体来说，如果有一个周期函数f(x)，我们可以将其表示为傅里叶级数：
f(x) = a0 + ∑[an * cos(nx) + bn * sin(nx)]
其中，an 和 bn 是傅里叶系数，可以通过将 f(x) 与cos(nx) 和 sin(nx) 分别做内积来计算。
如果我们想要计算 f(x) 在某个区间 [a, b] 上的积分，我们可以使用逐项积分的方法。
首先，我们将傅里叶级数展开：f(x) = Σ[an * cos(nx) + bn * sin(nx)]
然后，我们逐个计算每一项的积分：
∫[a, b] (an * cos(nx) + bn * sin(nx)) dx
最后，将所有项的积分值相加，得到 f(x) 在 [a, b] 上的积分值。
需要注意的是，逐项积分需要小心处理，因为级数中的每一项都是周期函数，它们的积分可能会很复杂。
此外，逐项积分也可能导致数值不稳定性，因此在实际应用中需要谨慎使用。
除了逐项积分，傅里叶级数还有其他的应用。
例如，在信号处理中，傅里叶级数可以用于将信号分解成不同的频率分量，从
而方便地分析和处理信号。
此外，傅里叶变换也是一种常见的工具，可以用于计算傅里叶级数的系数，从而将时域函数转换为频域函数，或者将频域函数转换为时域函数。
6.1 傅里叶积分定理
]
上连续或只有有限个第一类间断点;
2)
在
[
T 2
,
T 2
]
上只有有限个极值点,
则函数 f T(x)在
[
T 2
,
T2上] 可以展开成傅里叶级数.
在 fT (t) 的连续点处，
其中
，且
傅里叶级数的三角形式
an
2 T
T
2 T
fT (t) cos nt d t
(n 0,1, 2,)
2
bn
2 T
T
(t
)d
d
因 f ( )sin(t )d是的奇函数,
f (t) 1
2
f
( )cos(t
)
d
d
又由于 f ( )cos(t )d是 的偶函数,
从 f (t) 1
2
f
(
)
cos(t
)d
d
可得 f (t) 1
0
f
(
) cos (t
)d
d
利用三角函数公式
2 2
fT
(t)cos
nt
i sin
nt dt
1
T
T2 T 2
fT
(t )e int dt
dn
1 T
T T
2 2
fT
(t)cos
nt
i sin
nt dt
1
T
T2 T 2
fT
(t)eintdt cn
上述两个系数可以合并为一个
cn
1 T
T2 T 2
fT
(t )e int dt
n 0,1, 2,
推导过程如下
1.2 Fourier变换解析
f ( 0) .
变 换
一般地，若 f (t ) 在 t t 0 点连续，则
d (t t0 ) f (t ) d t
P24
(2) 对称性质
d 函数为偶函数，即 d (t ) d (t ) .
19
§1.2 Fourier 变换
二、单位脉冲函数及其Fourier变换
0
[ f ( t )] e t e j t d t
0
f (t )
变 换
e ( j ) t d t
1
1 e( j ) t ( j ) 0
1 j 2 . 2 j
O
t
9
§1.2 Fourier 变换 解 (2) 振幅谱为 | F ( ) | 第 一 章 Fourier
f (t )
1
1
2 sgn t . j
t
12
§1.2 Fourier 变换
二、单位脉冲函数及其Fourier变换
第 1. 为什么要引入单位脉冲函数 一 理由 (1) 在数学、物理学以及工程技术中，一些常用的重要 章 函数，如常数函数、线性函数、符号函数以及单位 阶跃函数等等，都不能进行 Fourier 变换。 (2) 周期函数的 Fourier 级数与非周期函数的 Fourier 变 换都是用来对信号进行频谱分析的，它们之间能否 统一起来。 (3) 在工程实际问题中，有许多瞬时物理量不能用通常 的函数形式来描述，如冲击力、脉冲电压、质点的 质量等等。 13
§1.2 Fourier 变换
第 一 解 章 Fourier
f (t )
1
1 2 j t [ F ( )] e d 2π j
傅立叶(Fourier)级数的展开方法PPT幻灯片课件
k
ck
1 2l
l l
i kx
f ( x)e l dx
例5 把锯齿波f（x）在（0，T）这个周期上可表示
为f（x）=Hx/T，试把它展为复数形式的傅立叶 级数。
f (x)
解 函数曲线如图 x
T
27
周期为 2l T , l T
2
ck
1 2l
l l
i 2kx
f ( x)e T dx
1
T
H
i
xe
方法
将函数 f（x）解析延拓到[-l，l]区间，再将[-l，l] 区间的函数再延拓到[－∞∞]区间上，构成周期函数 g（x），其周期为2l
例4 定义在（0，l）上的函数f（x）=a（1-x/l），将
该函数展开为傅立叶级数。
解 函数曲线如图
f (x)
a x
l
21
延拓到（- l，l）后再周期延拓，如图做偶延拓：
16
三、定义在有限区间上的函数的傅里叶展开
工程以及物理上用到的函数一般是定义在有限区间上的. 1、定义在 [-l, l] 上的函数 f(x)展开；
方法 将函数 f（x）解析延拓到[-∞，∞]区间， 构成的周期函数g（x），其周期为2l
f (x)
l
l
f (x)
l
l
x x
17
f (x)
l
l
x
f (x)
x
l
l
仅在 [-l，l]上，g(x)≡f(x).
例3 在（-1，1）上定义了函数f（x）为：
x
f
(
x)
1
1
(1,0)
(0, 1 ) 2
( 1 ,1) 2
《高等数学教学资料》fourier变换的性质复习
03
Fourier变换的应用
信号处理
80%
信号的频谱分析
通过Fourier变换，可以将信号分 解成不同频率的成分，从而更好 地理解信号的特性。
100%
信号去噪
在信号处理中，Fourier变换可以 帮助我们识别和去除噪声，提高 信号的清晰度。
80%
信号压缩
通过识别信号中的冗余成分， Fourier变换可以实现信号压缩， 减少存储和传输所需的资源。
卷积的逆Fourier变换
总结词
卷积的逆Fourier变换是将两个函数在频 域中的乘积转换为时域表示的过程。
VS
详细描述
卷积的逆Fourier变换是将两个函数在频 域中的乘积转换为时域表示的过程。这个 过程可以通过将两个函数的Fourier变换 相乘，然后进行逆Fourier变换来实现。 在时域中，两个函数的乘积可以通过卷积 来表示，因此卷积的逆Fourier变换可以 用来计算两个函数的乘积在时域中的表示 。
02
Fourier变换的卷积性质
卷积定理
总结词
卷积定理是Fourier变换中的一个重要性质，它表明两个函数的卷 积的Fourier变换等于这两个函数Fourier变换的乘积。
详细描述
卷积定理是Fourier分析中的一个基本定理，它表明两个函数的卷 积的Fourier变换等于这两个函数Fourier变换的乘积。这个定理在 信号处理、图像处理、量子力学等领域有广泛的应用。
叠和计算量大。
习题答案与解析
01
进阶习题3解析
02
进阶习题4答案
03
进阶习题4解析
全面分析了Fourier变换在图像处 理中的优缺点和应用时的注意事 项。
Fourier变换在数值分析中主要用 于求解微分方程、积分方程等数 学问题，提高计算效率和精度。
积分变换第四讲 卷积 Fourier变换的应用的性质
f1 (t ) f 2 (t ) e
0
t
( t )
d e
t
t
0
e d e e
t
t
0
1 e t
10
•卷积定理
假定 f1 (t ) 与 f 2 (t ) 都满足Fourier积分定理中的条件， 且 F [ f1 (t )] F1 ( )，F [ f 2 (t )] F2 (). 则
16
利用卷积定理求解以下方程.
例 2 求积分方程 g (t ) h(t ) Fourier 变换都存在.
f ( ) g (t )d
其中 h(t )，f (t ) 为已知函数，且 g (t )，h(t ) 和 f (t )的
解： 假设 F [ g (t )] G( )，F [h(t )] H () 及 F [ f (t )] F ( ). 由卷积的定义可知，
Fourier 逆变换式：
1 f (t ) 2
F ( )eit d
1
例：若 F ( ) F [ f (t )] ，且 a 0，证明：
1 F [ f (at )] F ( ). a a
证：F [ f (at )]
f (at )e
it
s at
f ( ) g (t )d f (t ) g (t )
17
利用卷积定理求解以下方程.
例 2 求积分方程 g (t ) h(t ) Fourier 变换都存在.
f ( ) g (t )d
其中 h(t )，f (t ) 为已知函数，且 g (t )，h(t ) 和 f (t )的
积分变换第1讲----傅里叶(Fourier)级数展开
1
傅里叶(Fourier)级 数展开
2
在工程计算中, 无论是电学还是力学, 经常要和随
时间而变的周期函数fT(t)打交道. 例如:
t
具有性质fT(t+T)=fT(t), 其中T称作周期, 而1/T代表单 位时间振动的次数, 单位时间通常取秒, 即每秒重复 多少次, 单位是赫兹(Herz, 或Hz).
w
=
2p
T
=
2p
4
=
p
2
,
wn
= nw
=
np
2
f4(t)
-1 1 3
t
T=4
24
则
cn
=
1 T
T
2 -T
fT (t)e- jwnt dt
2
= 1
4
2 -2
f4 (t)e- jwnt dt
=
1 4
1 e- jwnt dt
-1
1
=
1
e- jwnt
= 1 e jwn - e- jwn
- 4 jwn
8
在区间[-T/2,T/2]上满足狄氏条件的函数的全体也构成
一个集合, 这个集合在通常的函数加法和数乘运算上也
构成一个线性空间V, 此空间的向量就是函数, 线性空间
的一切理论在此空间上仍然成立. 更进一步地也可以在
此线性空间V上定义内积运算, 这样就可以建立元素(即
函数)的长度(范数), 及函数间角度, 及正交的概念. 两个
所对应的点便均匀分
n
布在整个数轴上, 两个相邻的点的距离为
w n
cn
=
1 8
sinc( wn )
(n
考研高数总复习Fourier变换性质(讲解)
F1
2E
e
j
2
sin
2
2E sin
且 F F1
2
.
F1
E
2π
4π
6π
三、微分性质
上连续或只有 如果f t 满足： 在 ，
有限个可去间断点, 且当 t 时, f t 0 则
1
j0t
（
）
它表明频谱函数 F
沿 轴向左或向右位移
j t0
0的 Fourier 逆变换等于原来的函数（ f t）乘以 e
.
E，0 t 求矩形单脉冲 f (t ) 的频谱函数. 0，其他
根据Fourier变换的定义，有
F
f (t )e
2
Parseval等式
六、能量积分
证明： 由乘积定理，有
1 f1 ( t ) f 2 ( t )dt F1 ( )F2 ( )d 2π
1 F1 ( )F2 ( )d 2π
六、能量积分
令 f1 (t ) f 2 (t ) f (t )，则
1 f1 ( t ) f 2 ( t )dt F1 ( )F2 ( )d 2π 1 f1 ( t ) f 2 ( t )dt F1 ( )F2 ( )d 2π
其中 f1 ( t ), f 2 ( t ), F1 ( )及 F2 ( ) 是 f1 ( t ), f 2 ( t ), F1 ( )及F2 ( )的共 轭函数.
它表明时间函数 f t
考研高数总复习Fourier变换
二、单位脉冲函数及其Fourier变换
如果我们形式地计算这个导数, 则得
i(0)
lim
t 0
q(0
t ) t
q(0)
lim
t 0
1 t
这表明在通常意义下的函数类中找不到一个
函数能够表示上述电路的电流强度、 为了确
定这种电路上的电流强度, 必须引进一个新的
函数,这个函数称为 Dirac函数, 简单地记成d-
Fourier正弦逆变换
即 f (t) Fs1 Fs ().
一、 Fourier变换的概念
当 f (t) 为偶函数时 ,
f
(t
)
2 π
0
0
f
(
) cos
d
cos t
d
Fc ( )
f (t ) cos tdt
0
Fourier余弦变换
一、 Fourier变换的概念
即 Fc () Fc f t .
的振幅为
An an2 bn2
三、非周期函数的频谱
在复指数形式中，第 n 次谐波
cnejnt cn e jnt ,
其中
cn
an
jbn 2
, cn
an
jbn 2
且
cn
c n
1 2
an2 bn2
三、非周期函数的频谱
对于以 T 为周期的非正弦函数 fT t，它的第 n
次谐波的振幅为 An cn n 0,1, 2 描述了
即
e s2 ds 0,
lBC
e s2 ds 0. lDA
lim e s2 ds
R lCD
π
lim
R
lCD
e
积分变换复习重点
（2）象函数的积分性质 若 ℒ f (t ) F (s), 且积分
s
F (s)ds 收敛
则
或
f (t ) ] F ( s )ds ℒ [ s t
1 f (t ) ℒ t
1
F ( s )ds s
一般地
f (t ) ℒ [ t n ] s ds s ds s ds F ( s) n 次
二.拉普拉斯变换存在定 理 若函数 f (t ) 满足下列条件 Ⅰ 在 t 0 的任一有限区间上连续或分段连续, Ⅱ 当 t 时, f (t ) 的增长速度不超过某一指数函 数,亦即存在常数 M 0, 及 C 0 ,使得
f t Me c t 0 t
1
F1()F2 () f1(t) f2 (t)
F2 () =ℱ f 2 (t )
F1 () =ℱ f1 (t )
1 F1 ( ) F2 ( ) ℱ f1 (t ) f 2 (t ) 2
第2章 拉普拉斯变换
一. 定义式
f (t ) F (s) f (t ) e st dt ℒ 0
第1章 傅立叶变换
一 . Fourier积分定理
若函数 f (t ) 在任何有限区间上满足狄氏 条件（即函数在任何有限区间上满足：(1) 连续或只有有限个第一类间断点,(2)至多有 有限个极值点）,并且在 , 上绝对可 积则有： 1 f ( )e i d ei t d 2
(n)
(t ) i F ( )
n
象函数的微分性质:
F ( ) iF [tf (t )]
数学《Fourier级数》讲义
第十五章 Fourier 级数1 Fourier 级数上一章讨论的幂级数实质上是一种“解析”函数(即其存在任意阶导数), 这种函数类组成了一个无穷维线性空间, 21,,,n x x x ⋅⋅⋅⋅⋅⋅ 是它的一个线性无关的 无穷子集, 而幂级数就是这个集元素的线性组合, 但是这种函数太少(条件太强), 下面我们讨论的是种更广泛的函数项级数,它是由三角函数列所产生的三角级数.一、三角级数1、背景与三角级数形式在某些实验和应用中，常碰到一类周期运动，简谐振动，它可用正弦函数 sin()y A x ωϕ=+表示，A —振幅，ϕ—初相角，ω—角频率，周期T απω= 较复杂的周期运动则是由几个简谐振动叠加sin()k k k y A k x ωϕ=+ 1,2,k n =⋅⋅⋅11sin()n nk k k k k y y A k x ωϕ====+∑∑易见, k y 的周期为T k，1,2,k n =⋅⋅⋅，y 的周期仍为T , 对无穷多个简谐振动叠加就 可得到函数项级数01sin()n n n A A n x ωϕ∞=++∑ (1)若上述级数收敛, 则它所描述的运动是更一般的周期运动. 下面仅对1ω= 讨论, 由于sin()sin cos cos sin n n n nx nx nx ϕϕϕ+=+,01sin()n n n A A nx ϕ∞=++∑01(sin cos cos sin )n n n n n A A nx A nx ϕϕ∞==++∑ 记002a A = sin n n n A a ϕ= cos n n n Ab ϕ= 1,2,n =⋅⋅⋅ 故级数(1)可写成01(cos sin )2n n n a a nx b nx ∞=++∑ (2) 它是由三角函数列1,cos ,sin ,cos 2,sin 2,cos ,sin x x x x nx nx ⋅⋅⋅⋅⋅⋅所产生的一般形式的三角级数. 易见, 若级数(2)收敛, 则其和函数一定是以2π为周期的周期函数.我们下面主要讨论两个问题:1) 什么样的函数可用三角级数表示?2) 如果可表示, 系数0,,n n a a b 如何确定?2、 三角级数的收敛性定理1 若级数01||(||||)2n n n a a b ∞=++∑收敛，则级数(2)在整个R 上绝对且一致收敛.二、三角函数正交系统1、内积与正交如3R 中， 123(,,)x x x x =， 123(,,)y y y y =，112233,x y x y x y x y =++， ,0x y x y ⊥⇔=区间[,]a b 上所有Riemann 可积函数按通常的加法与数乘运算构成线性空间, 记作[,]R a b ，定义[,]R a b 中的内积为,()()ba f g f x g x dx 〈〉=⎰，,[,]f g R ab ∈ 若函数,f g 满足,0f g 〈〉=，则称,f g 在[,]a b 上正交, 简称f 与g 正交.2、正交函数系若函数列{}[,]n f R a b ⊂, 0, ,,,0, .i j i j f f i j ≠⎧〈〉=⎨≠=⎩ 则称{}n f 为[,]R a b 中的正交系. 进一步, 如果还有,1i i f f 〈〉=, 1,2i n =⋅⋅⋅⋅⋅⋅成立, 那么称{}n f 为[,]R a b 中的标准正交系.3、 三角函数正交系三角函数系{1,cos ,sin ,cos 2,sin 2}x x x x ⋅⋅⋅为区间[,]ππ-上的正交系, 事实上1,cos cos 0kx kxdx ππ-==⎰; 1,sin sin 0kx kxdx ππ-==⎰; sin ,cos sin cos 0kx hx kx hxdx ππ-==⎰ ,1,2k h =⋅⋅⋅对,1,2k h =⋅⋅⋅且k h ≠有sin ,sin sin sin 0kx hx kx hxdx ππ-==⎰ cos ,cos cos cos 0kx hx kx hxdx ππ-==⎰ 1([cos()cos()])2k h x k h x dx ππ-=++-⎰ 同时 1,12π=，22sin cos kxdx kxdx πππππ--==⎰⎰.但上述系统不是标准正交系, 而,,}x x nx nx ⋅⋅⋅ 为一标准正交系.三、以2π为周期的函数的Fourier 级数1、三角级数的系数与其和函数的关系定理 2 若在整个R 上, 01()(cos sin )2n n n a f x a nx b nx ∞==++∑，且等式右边级数 一致收敛，则有如下关系式成立:1()cos n a f x nxdx πππ-=⎰ 0,1,2n =⋅⋅⋅1()sin n b f x nxdx πππ-=⎰ 1,2n =⋅⋅⋅》2、 F ourier 系数与Fourier 级数设函数f 在[,]ππ-上可积且以2π为周期，称公式1()cos n a f x nxdx πππ-=⎰ 0,1,2n =⋅⋅⋅1()sin n b f x nxdx πππ-=⎰ 1,2n =⋅⋅⋅为Euler Fourier -公式，并称由此得到的,n n a b 为f 的Fourier 系数，同时称以Fourier 系数,n n a b 为系数的三角级数01cos sin 2n n n a a nx b nx ∞=++∑ 为函数f 的Fourier 级数，记为01()~cos sin 2n n n a f x a nx b nx ∞=++∑ 记号“~”表示上式右边是左边函数的Fourier 级数.由定理2知, 若右边三角级数在R 上一致收敛于和函数f , 则此三角级数就是f 的Fourier 级数，此时“~” 应该就是“=”，但从f 本身出发由Euler Fourier -公式得到f 的Fourier 系数及Fourier 级数是否就是f ?注 由积分值唯一，f 只能有一种形式的Fourier 级数，而同一Fourier 级数可以 表示不同的函数，也就是说g f ≠，但g 与f 可能有完全相同的Fourier 级数.下面我们需要讨论f 的Fourier 级数是否收敛? 若收敛, 又收敛于什么函数? 其与f 又有什么关系? 这就是收敛性问题.四、收敛定理1、按段光滑函数若f 的导函数f '在[,]a b 上连续，则称f 为[,]a b 上光滑函数; 若f 在[,]a b 上至多有有限个第一类间断点, 且f '在[,]a b 上仅有有限个点不连续且为第一类间断点, 则称f 在[,]a b 上按段光滑.若f 在[,]a b 上按段光滑, 则1) f 在[,]a b 上可积;2) [,]x a b ∀∈, (0)f x ±存在, 且0()(0)lim (0)t f x t f x f x t+→+-+'=+ 0()(0)lim (0)t f x t f x f x t -→+--'=- 3) f '在[,]a b 上可积.2、收敛定理定理 3 设函数f 是以2π为周期的周期函数, 且在[,]ππ-上按段光滑, 则 [,]x ππ∀∈-，f 的Fourier 级数01cos sin 2n n n a a nx b nx ∞=++∑ 收敛于f 在点x 处的左右极限的算术平均值，即(0)(0)2f x f x ++-=01cos sin 2n n n a a nx b nx ∞=++∑， 其中,n n a b 为函数f 的Fourier 系数.推论 若f 是以2π为周期的连续函数，且在[,]ππ-上按段光滑，则f 的Fourier 级数在R 上收敛于f .3、 函数的周期延拓在讨论函数的Fourier 展式时，常常只给出函数f 在(,]ππ-(或[,)ππ-)上的解析表达式，此时我们可以理解为它是定义在整个数轴上以2π为周期的函数，即在(,]ππ-以外的部分可按f 在(,]ππ-上的关系式作周期延拓，即作(), (,], ˆ()(2), ((21),(21)],f x x f x f x k x k k πππππ∈-⎧=⎨-∈-+⎩ 1,2,k =±±⋅⋅⋅.五、一些例子例 1 设, 0,()0,0,x xf xxππ≤≤⎧=⎨-<<⎩求f的Fourier展式.例 2 将函数()||f x x=，[,]xππ∈-展成Fourier级数.注设f是以2π为周期的可积函数.1) 若f为奇函数，则其Fourier级数中仅含正弦函数sin的项，而若f为偶函数，其Fourier级数仅含常数及余弦函数cos的项,2)1()cosna f x nxdxπππ-=⎰21()cosccf x nxdxππ+=⎰0,1,2n=⋅⋅⋅1()sinnb f x nxdxπππ-=⎰21()sinccf x nxdxππ+=⎰1,2n=⋅⋅⋅例 3 将函数22, 0,()0, ,, 2,x x f x x x x ππππ⎧<<⎪==⎨⎪-<≤⎩展成Fourier 级数.例 4 设函数f 满足：()()f x f x π+=-，问此函数在(,)ππ-内的Fourier 级数 具有什么性质.六、Fourier 级数的一致收敛性定理 4 设函数f 在[,]ππ-上连续，以2π为周期，且其导函数可积，则f 的Fourier 级数一致收敛于f .推论 若f 在[,]ππ-上可积，以2π为周期，则f 的Fourier 级数总可逐项积分，且所得到的级数一致收敛 (不论f 的Fourier 级数是否收敛). 例 5 将展开式11sin 2(1)n n nx x n∞+==-∑ ()x ππ-<<逐项积分.2 以2l 为周期的函数展开式一、以2l 为周期的函数的Fourier 级数上一节讨论的函数f 是以2π为周期的或者是定义在(,]ππ-上, 作以2π为周期的周期延拓函数, 本节主要讨论以2l 为周期的函数的Fourier 展式以及奇偶函数的Fourier 展开式.设函数()f x 以2l 为周期,在[,]l l -上可积,作代换l x t π=, 则函数()()lt F t f π=以2π为周期, 在[,]ππ-上可积(l x t π=为线性函数,可通过可积充要条件证明).函数()F t 的Fourier 系数为 1()cos n a F t ntdt πππ-=⎰ 0,1,2n =⋅⋅⋅ 1()sin n b F t ntdt πππ-=⎰ 1,2n =⋅⋅⋅ 01()~cos sin 2n n n a F t a nt b nt ∞=++∑ (还原成自变量x ) 注意到()()()l F t f t f x π==，t x lπ=, 则 01()()cos sin 2n n n a n n f x F t a x b x l l ππ∞==++∑ 其中 1()cos n a F t ntdt πππ-=⎰1()cos l l n f x xdx l lπ-=⎰， 0,1,2n =⋅⋅⋅ 1()sin n b F t ntdt πππ-=⎰1()sin l l n f x xdx l l π-=⎰， 1,2n =⋅⋅⋅ 若()f x 在[,]l l -上按段光滑，则f 可展成Fourier 级数, 且由收敛性定理知(0)(0)2f x f x ++-=01cos sin 2n n n a n n a x b x l l ππ∞=++∑ 注 可以验证三角函数系22{1,cos ,sin ,cos ,sin cos ,sin }n n x x x x x x l l l l l lππππππ⋅⋅⋅⋅⋅⋅ 是[,]l l -上的正交函数系.例 1 将函数0, 50, ()3, 05x f x x -<<⎧=⎨≤<⎩展成Fourier 级数.注2 我们可将任一有限区间上定义的按段光滑函数展成Fourier 级数 (可首先 进行周期延拓) 此条件比幂级数展开条件弱得多.二、正弦级数与余弦级数1、正弦级数与余弦级数设f 是以2l 为周期的偶函数或是定义在[,]l l -上的偶函数，则在[,]l l -上，()cos n f x x l π为偶函数，()sin n f x x lπ为奇函数，因而f 的Fourier 系数为 02()cos l n n a f x xdx l lπ=⎰ 0,1,2n =⋅⋅⋅ 0n b = 1,2n =⋅⋅⋅因而f 的Fourier 级数仅有余弦函数的项，即01()~cos 2n n a n f x a x lπ∞=+∑ 此级数称为余弦级数. 类似地, 若f 为[,]l l -上的奇函数(以2l 为周期), 则可得1()~sinn n n f x b x lπ∞=∑ 其中 02()sin l n n b f x xdx l lπ=⎰，1,2n =⋅⋅⋅ 称之为正弦级数.例 2 将()|sin |f x x =，x ππ-≤<, 展成余弦级数.2、奇展开与偶展开若f 仅在[0,]π([0,]l )上定义, 此时我们可将f 偶延拓(或奇延拓)到[,]ππ- (或[,]l l -)上，然后再根据前面的方法求其余(正)弦级数 例3 将()sin f x x =，[0,]x π∈分别展成正余弦级数. .例 4 将[0,]π上的函数 1 0 1() 20x h f x x h h x π<<⎧⎪⎪==⎨⎪<≤⎪⎩(0)h π<<展成正弦级数.例 5 将()f x x =在(0,2)内展成 1) 余弦级数; 2) 正弦级数; 3) 一般级数.注 同一函数在同一区间上可用正弦级数、余弦级数与一般级数分别表示.例 6 将2()f x x =(0)x π<<分别展成正弦和余弦级数.例 7 如何将定义在[0,]2π上的可积函数f 延拓到(,)ππ-上，使得其Fourier 级数剧院形式211cos(21)n n a n x ∞-=-∑小 结1、将[,]a b 上可积函数f 展为Fourier 级数最基本方法是 i) 按系数公式计算系数1()cos b n a n a f x xdx l l π=⎰ 0,1,2n =⋅⋅⋅1()sin b n a n b f x xdx l lπ=⎰ 1,2n =⋅⋅⋅ 其中2b al -=; ii) 将系数代入级数 01()~cossin 2n n n a n n f x a x b x l lππ∞=++∑; iii) 根据收敛性定理判定可改为等号的范围. 若f 在[,]a b 上分段光滑，则其Fourier 级数的和函数为() (,)(0)(0) (,) 2()(0)(0) 2f x f x a b f x f x x a b f S x f a f b x a b ∈⎧⎪++-⎪∈⎪=⎨++-⎪=⎪⎪⎩的连续点为的间断点或 呈周期状 其它 特别地，若f 为[,]l l -上的奇函数，则0n a =, 0,1,2n =⋅⋅⋅; 若f 为[,]l l -上的偶函数，则0n b =，1,2n =⋅⋅⋅; 若f 仅在[0,]l 上有定义, 则可将f 作奇偶延拓, 得到相应的正弦或余弦级数.注 可积函数在指定区间上的Fourier 展式是唯一的，而三角级数是无限多 (其系数不要求是此区间上的Fourier 系数).2、由Fourier 级数的定义和积分性质知Fourier 级数具有可加性.3、由Fourier 级数的定义及正余弦函数的正交性，三角多项式01cos sin 2nk k k a a kx b kx =++∑ 在[,]ππ-上的Fourier 级数就是其本身. 4、若f 在[,]ππ-上可积，则f 有Fourier 级数01()~cos sin 2n n n a f x a nx b nx ∞=++∑则不论此级数是否收敛(或收敛,也不论是否收敛于f ), 都可以逐项积分01()(cos sin )2xx n n n a f t dt a nt b nt dt ∞=-=+∑⎰⎰, [,]x ππ∈-.并且上式就是0()()2xa x f t dt ϕ=-⎰在[,]ππ-上的Fourier 展式. 5、若f 在[,]ππ-上连续, 按段光滑, ()()f f ππ=-，则01()(cos sin )2n n n a f x a nx b nx ∞==++∑. [,]x ππ∈-.而逐项求导之后，可得到f '的Fourier 级数()~(cos sin )n n n f x a nx b nx ∞=''+∑若f '仍分段光滑，则f '的Fourier 级数收敛于(0)(0)2f x f x ''++-，(,)x ππ∈-.若f '还是连续的，则1()(cos sin )n n n f x a nx b nx ∞=''=+∑ (,)x ππ∈-.3* 收敛定理的证明定理 (收敛定理) 设f 以2π为周期且在[,]ππ-上按段光滑，则在[,]x ππ∈-处，f 的Fourier 级数收敛于f 在点x 处的左右极限的平均值, 即(0)(0)2f x f x ++-01(cos sin )2n n n a a nx b nx ∞==++∑ 其中,n n a b 为f 的Fourier 系数.预备定理1 (Bessel 不等式) 若f 在[,]ππ-上可积，则2222011()2n n n a a b f x dx πππ∞-=++≤∑⎰.推论1 (Riemann Lebesgue -定理) 若f 为可积函数, 则lim ()cos 0nf x nxdx ππ-=⎰; lim ()sin 0nf x nxdx ππ-=⎰.注 由预备定理1 知220nn a b +→, 进而0,0n n a b →→. 推论2 若f 为可积函数, 则01lim ()sin()02n f x n xdx π+=⎰, 01lim ()sin()02n f x n xdx π-+=⎰.预备定理2 若f 是以2π为周期的函数, 在[,]ππ-上可积, 则其Fourier 级数的 部分和()n S x 写成1sin()12()()2sin2n n tS x f x t dt t πππ-+=+⎰当0t =时，被积函数中的不定式由极限01sin()12lim22sin2t n tn t →+=+确定.例 1 直接证明Riemann Lebesgue -定理. 若f 在[,]a b 上可积，则lim ()sin lim ()cos 0b baaf x xdx f x xdx λλλλ→∞→∞==⎰⎰.例2 证明：若,f g 在[,]ππ-上可积，且它们的Fourier 级数在[,]ππ-上分别 一致收敛于f 和g ，则0111()()2n n n n n a f x g x dx a b ππααβπ∞-==++∑⎰，其中,n n a b 为f 的Fourier 系数，,n n αβ为g 的Fourier 系数.注 若g f =, 则有若f 的Fourier 级数在[,]ππ-上一致收敛于f ，则Parseval 等式成立2222011()2n n n a f x dx a b πππ∞-==++∑⎰(Bessel 不等式中等号成立)例 3 证明：若三角级数01cos sin 2n n n a a nx b nx ∞=++∑中系数,n n a b 满足33sup{||,||}n n nn a n b M ≤,则上述三角级数收敛且其和函数具有连续导数.例 4 设周期为2π的可积函数(),()x x ϕψ满足()()x x ϕψ=-，则,ϕψ的Fourier 系数,,,n n n n a b αβ有何关系?例5 设()f x 是以2π为周期的可积函数，在[,]ππ-上的Fourier 级数为01()~(cos sin )2n n n a f x a nx b nx ∞=++∑证明：平移后的函数()f x h +的Fourier 级数为01()~cos sin 2n n n a f x h nx nx αβ∞=+++∑其中 cos sin n n n a nh b nh α=+，0,1,2n =⋅⋅⋅cos sin n n n b nh a nh β=-，1,2n =⋅⋅⋅例 6 将下列函数展为Fourier 级数. 1. ()x f x e = x ππ-≤<;2. 0() 0bx x f x ax x ππ-≤<⎧=⎨≤<⎩.例 7 将下列函数展为指定的Fourier 级数. 1) ()2xf x π-=，[0,]x π∈ 正弦级数;2) ()f x x =，0x l ≤≤ 别展为正弦余弦级数.例 8 证明：在[0,]π上, 2221cos 1(362)12n nx x x n ππ∞==-+∑.。
积分变换(Fourier)课件与习题
的工程中使用的周期函数都可以用一系列的三角函数的
线性组合来逼近.---- Fourier级数
方波
4个正弦波的逼近
100个正弦波的逼近
4
研究周期函数实际上只须研究其中的一个周 期内的情况即可, 通常研究在闭区间[T/2,T/2]内 函数变化的情况.
T T fT (t )为T 周期函数，在 , 上满足 2 2 Dirichlet条件： fT (t )连续或仅有有限个第一类间断点； fT (t )仅有有限个极值点 则fT (t )可展开为Fourier级数，且在连续点t处成立： a0 fT (t ) an cos nt bn sin nt 2 n1
18
一般地, 对于周期T
1 T2 j n t cn T fT (t )e dt T 2 1 1 j n t e dt T 1 1 1 1 j n t j n j n e e e Tj n Tj n 1 2 sin n 2 sinc( n ) (n 0,1,2, ) T n T
cos nt
e
int
e 2
int
, sin nt
e
int
e 2i
int
6
级数化为： a0 e int e int e int e int an bn 2 n 1 2 2i a0 a n ibn int a n ibn int e e 2 n 1 2 2
1 从 而f (t ) f ( )cos (t )d d 2 1 可得 f (t ) f ( )cos (t )d d ， 0 这就是f (t )的Fourier积分公式的三角形式。
欧阳光中《数学分析》笔记和考研真题详解(Fourier级数)【圣才出品】
欧阳光中《数学分析》笔记和考研真题详解第15章Fourier级数15.1复习笔记一、Fourier级数1．相关概念（1）三角级数的定义形如一类的函数项级数，称为三角级数．（2）三角多项式上述三角级数前n项和称为（n次）三角多项式．（3）Fourier级数假定周期为2π的函数f（x）能展开成上一致收敛的三角级数：其中称系数由上式所确定的三角级数为f（x）的Fourier级数，系数称为f（x）的Fourier系数，并记2．正弦级数和余弦级数（1）设周期为2π的函数f（x）于上绝对可积，如果f（x）是奇函数，则从而这就是正弦级数．（2）当f（x）为偶函数时，必有，这时可得余弦级数3．一般周期函数的Fourier级数设f（x）是周期为T且在[0，T]上绝对可积的函数，f（x）在[0，T]上的Fourier级数：其中4．复数形式下的Fourier级数f（x）在复数形式下的Fourier级数复的Fourier系数二、Fourier级数的收敛性1．Riemann引理（1）Riemann引理设f（x）在（有界或无界）区间〈a，b〉上绝对可积，则（2）推论在[0，T]上绝对可积函数的Fourier系数2．Fourier级数收敛的充要条件（局部性定理）周期为2π的局部绝对可积函数f（x）的Fourier级数在点x的敛散情况及收敛时的极限值仅与f在该点任意指定小的邻域上的值有关，与此邻域外的值无关．3．Dini判别法（1）Dini判别法若于上绝对可积，则，即f的Fourier级数在点x收敛到S：（2）推论f是2π周期的局部绝对可积函数，若于x点存在左右极限f（x±）及所示的有限单侧导数，则Fourier级数于x点成立4．Jordan判别法设f在上单调（或有界变差），（1）若，则（2）若则三、Fourier级数的性质1．逐项积分定理设周期为2π的函数f（x）局部绝对可积且则收敛，且逐项积分公式成立：．2．Fourier级数逐项求导问题假定f（x）是周期为2π的连续可微函数，且的Fourier级数：其中表示的Fourier系数．由此可得故周期为2π的连续可微函数f的Fourier级数必可逐项求导，求导后得的Fourier级数．3．最佳平方逼近（1）定理设为f的Fourier系数，并设是f的Fourier级数前n项和，当且仅当时，平方误差最小，且最小值为（2）Besse1不等式（3）Parseva1等式四、用多项式逼近连续函数1．引理为2π周期、分段线性的连续函数，则的Fourier级数必一致收敛到2．Weierstrass定理（a，b有限）多项式p（x），使得15.2名校考研真题详解。
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0，
t 1 t 1 t 1
例1
由上可以看出，利用f t 的Fourier积分表达式，
可以推证一些广义积分.
当t 0时，有
sin d π
0
2
Dirichlet积分
三、小结
本节学习了
本节从周期函数的 Fourier级数展开出发, 讨论了非周期函数的 Fourier积分公式及收 敛定理.
接下来学习
P. G. L. Dirichlet
1. Fourier级数展开
• 一个以T 为周期的函数fT(t),如果在
T 2
,
T 2
• 上满足Dirichlet条件, 即在区间 T上2 , T2满 足:
1) 连续或只有有限个第一类间断点;
2) 只有有限个极值点.
则在区间
T2可, T2以 展开成Fourier级数.
2 π
0
sin cos
d
t
1
例1
当t 1时，（f t）应以
f (1 0) f (1 0) 1
代替.
2
2
（f t）为偶函数，根据Fourier余弦积分公式，有
2
π
0
sin cos
d
（f t），t 1 1， t 1 2
例1
即 0
sin cos
d
π， 2 π， 4
(t)
1， 0，
t 1的Fourier积分表达式. 其他
解 根据Fourier积分公式的复数形式，有
f
(t)
1 2π
f ( )e j
d
e
j
t
d
1 2π
1 1
cos
t
j
sin
t
d
e
j t
d
例1
1 π
1 0
cos
t
d
e
j t
d
1 π
sin cost jsint d
fT ( )e jnt d e jnt
1 2 fT (t0 0)
fT (t0 0)
fT (t )
2)级数正弦和余弦表示形式
级数正弦表示形式:
fT (t ) Cn sin(nt n ) n1
级数余弦表示形式
fT
(t)
a0 2
Cn
n1
cos( n t
n )
Cn
an2
bn2
,n
arctan
an bn
二、Fourier积分定理
1)Fourier积分公式
任何一个非周期函数f(t)都可以看成是由某
个周期函数fT(t)当T+时转化而来的. 作周期
为 之外T的按函周数期fT2TT(,延Tt2),拓使到其整在个数之轴内上等T2,显, T于2然 f(,t)T,
而在 越
大,fT(t)与f(t)相等的范围也越大, 这就说明当
当n取一切整数时,n所对应的点便均匀
分布在整个数轴上,两个相邻的点的距离为
n
n
n1
2π T
,或T
π
n
1. Fourier积分公式
则当 T ，n 0时，
f
(t)
lim
T
1 T
n
T 2 T 2
fT
(
)e jn
d
e jnt
f
(t)
lim
n 0
1 2π
n
T 2 T 2
fT
故又得
Fourier积分公式的三角形式
f
(t)
1 π
0
f
(
) cos ( t
)d
d
3. Fourier积分公式的三角形式
当 为奇f函数x 时,利用三角函数的和差公式,有
f
(t)
1 π
0
f
( )cos(t
)d
d
f
(t)
1 π
0
f ( )cost cos
sint sin d d
T 2 T 2
fT ( )e jnt d ejnt
1)级数复指数表示形式
在其间断点t0处，
1 2 fT (t0 0) fT (t0 0)
cne jnt
n
1 T
n
1 T
T 2 T 2
fT ( )ejnt d ejnt
1)级数复指数表示形式
即
1 1
T n T
T 2 T 2
1) 级数复指数表示形式:
在其连续点处，利用Euler公式：
cos
e j
e j
, sin
e j j
e j
2
2
fT (t)
a0 2
(an
n1
cos nt
bn
sin nt)
a0 2
an
n1
e jnt
e jnt 2
j bn
e jnt
e jnt 2
1)级数复指 3,
)
2
2.Fourier级数的三角形式
在间断点t处成立：
fT (t 0)
2
fT (t 0) a0 2
n1
an cos nt bn sin nt
即
a0
2
an cos nt
n1
bn sin nt
fT (t 0) 2
fT (t)
fT (t
0)
2.Fourier级数的三角形式
cost
d
Fourier余弦积分公式
注意:
特别地,如果 仅f (在t ) 上(0有，定)
义,且满足Fourier积分公式存在定理的条件,我 们可以采用类似于Fourier级数中奇延拓或者偶
延拓的方法,得到 f (相t )应的Fourier正弦积分
展开式或Fourier余弦积分展开式.
例1
求函数
f
考研高数总复习 Fourier积分讲解
本节内容
一、Fourier级数 二、Fourier积分定理
三、小结
一、 Fourier级数
傅里叶(1768—1830)
法国数学家
J．B．J．Fourier
对自然界的深刻研究是数学最富饶的源泉.
法国数学家Fourier
一、 Fourier级数
• 1804年，法国数学家Fourier提出： • 在有限区间上由任意图形定义的任意函
如果左端的f (t )在它的间断点t处, 应以
f (t 0) f (t 0)来代替. 即
2
f
(t
0) 2
f (t
0)
1 2π
f
( )e j
d
e
j t
d
3. Fourier积分公式的三角形式
利 用 Euler公 式 ， 有
f (t) 1 2π
f
(
)e j
d
即 （f t）= Φ( )d ，
1). Fourier积分公式
得
（f t）= 1 2π
（f ）ej d
e
j
t
d
Fourier积分公式
2. Fourier积分定理
一个非周期函数在什么条件下,可以用 Fourier积分公式来表示,有下面的收敛定理.
定理:
若 f(t) 在(-, +)上满足下列条件:
1) f(t) 在任一有限区间上满足Dirichlet条件;
2)f(t) 在无限区间(-, +)上绝对可积.则有
（在(, )绝对可积即
|
f (t) | d t收敛）
2. Fourier积分定理
f
(t)
1 2π
f
(
)e j
d
e
j
t
d
成立.
Fourier积分公式的复数形式
2. Fourier积分定理
(t)
lim
n 0
1 2π
n
T 2 T 2
fT
(
)e jn
d
e jnt n
f
(t)
lim
n 0
n
ΦT
(n )n
1. Fourier积分公式
当n 0,即T 时,ΦT (n ) Φ(n )
又Φ(n )
1 2π
f
(
)e jn
d
e
jn
t
则
（ f t）=
Φ(n
)dn
，
e jt
d
1 2π
f
(
)e j (t
)
d
d
1
2π
f ( )cos(t )d
j
f
(
) sin ( t
)d
d
3. Fourier积分公式的三角形式
又 f ( )sin(t )d是的奇函数,
故得 f (t)
1
2π
f
(
)
cos
(
t
)
d
d
又 f ( )cos(t )d是的偶函数,
Fourier变换的 定义,单位脉冲函数 的Fourier变换及非 周期函数的频谱.
练习:
将函数
f
t
1,
t a
展开成三角形式的Fourier积分.
0, t a
谢谢观赏
(
)e jn
d
e jnt n
1. Fourier积分公式
当 t 固定时，
1
2π
T 2 T 2
fT
(
)e jn
d
e jnt是参数为n的函数，
记作ΦT (n )，即
ΦT (n )