随机事件的概率课件
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随机事件的概率课件
方差
对于连续型随机变量X，其方差 D(X)表示X取值的离散程度，计算 公式为D(X)=∫(X−E(X))2f(x)dx， 其中f(x)是X的概率密度函数。
07
大数定律与中心极限定理
大数定律
大数定律定义
大数定律是指在大量重复实验中，某一事件发生的频率将 趋近于该事件发生的概率。
大数定律的数学表达
设随机事件A发生的概率为P，则当实验次数n趋于无穷时， 事件A发生的频率f趋近于概率P，即lim(n->∞) f(n)=P。
如果一个事件是完备的，那么它的概 率等于1，即$P(Omega) = 1$。
独立事件的概率乘法规则
如果两个事件是独立的，那么它们的 概率可以相乘，即$P(A cap B) = P(A) times P(B)$。
条件概率
条件概率的定义
在某个条件下，某个事件发生的概率称为条件概率。记作 $P(A|B)$，表示在事件B发生的条件下，事件A发生的概率。
3
离散型随机变量的概率
每个取值的概率通常由实验或经验数据得出，表 示为P(X=x)，其中X是随机变量，x是取值。
几种常见的离散型随机变量的概率分布
二项分布
当一个随机事件只有两种可能的结果，且这两种结果发生的概率是 已知的，那么这个随机事件的概率分布就是二项分布。
泊松分布
当一个随机事件在单位时间内发生的次数是一个离散型随机变量时 ，这个随机变量的概率分布就是泊松分布。
独立事件的概率计算
01
独立事件
两个或多个事件的发生相互独立，一个事件的发生不影响另一个事件的
发生。
02
概率计算公式
对于独立事件 A 和 B，其概率计算公式为 P(A∩B) = P(A) * P(B)，其中
对于连续型随机变量X，其方差 D(X)表示X取值的离散程度，计算 公式为D(X)=∫(X−E(X))2f(x)dx， 其中f(x)是X的概率密度函数。
07
大数定律与中心极限定理
大数定律
大数定律定义
大数定律是指在大量重复实验中，某一事件发生的频率将 趋近于该事件发生的概率。
大数定律的数学表达
设随机事件A发生的概率为P，则当实验次数n趋于无穷时， 事件A发生的频率f趋近于概率P，即lim(n->∞) f(n)=P。
如果一个事件是完备的，那么它的概 率等于1，即$P(Omega) = 1$。
独立事件的概率乘法规则
如果两个事件是独立的，那么它们的 概率可以相乘，即$P(A cap B) = P(A) times P(B)$。
条件概率
条件概率的定义
在某个条件下，某个事件发生的概率称为条件概率。记作 $P(A|B)$，表示在事件B发生的条件下，事件A发生的概率。
3
离散型随机变量的概率
每个取值的概率通常由实验或经验数据得出，表 示为P(X=x)，其中X是随机变量，x是取值。
几种常见的离散型随机变量的概率分布
二项分布
当一个随机事件只有两种可能的结果，且这两种结果发生的概率是 已知的，那么这个随机事件的概率分布就是二项分布。
泊松分布
当一个随机事件在单位时间内发生的次数是一个离散型随机变量时 ，这个随机变量的概率分布就是泊松分布。
独立事件的概率计算
01
独立事件
两个或多个事件的发生相互独立，一个事件的发生不影响另一个事件的
发生。
02
概率计算公式
对于独立事件 A 和 B，其概率计算公式为 P(A∩B) = P(A) * P(B)，其中
3.1 随机事件的概率 课件(北师大必修3)
[研一题] [例1] 下面的表中列出10次抛掷硬币的试验结果．n
为抛掷硬币的次数，m为硬币正面向上的次数．计算每次 试验中“正面向上”这一事件的频率，并考查它的概率.
实验序 抛掷的次 数n 号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 500 500 500 500 500 500 500 500 500 500
200 20 所以， n ≈ ，解得 n≈1 500， 150 所以该自然保护区中天鹅的数量约为 1 500.
[悟一法]
利用频率近似等于概率的关系求未知量 (1)抽出 m 个样本进行标记，设总体容量为 n，则标记概 m 率为 n ； (2)随机抽取 n1 个个体，出现其中 m1 个被标记，则标记 m1 频率为 n ；
提示：如果把治疗一个病人作为一次试验，对于一次试验 来说，其结果是随机的，因此前7个人没有治愈是可能的， 对后3个人来说，其结果仍然是随机的，有可能治愈，也
可能没有治愈．
“治愈的概率是0.3”指随着试验次数的增加，即治疗人数的 增加，大约有30%的人能够治愈，如果患病的有1 000人， 那么我们根据治愈的频率应在治愈的概率附近摆动这一前 提，就可以认为这1 000个人中大约有300人能治愈．
0.524,0.494，这些数字在0.5附近左右摆动，由概率的统 计定义可得，“正面向上”的概率为0.5.
[悟一法] 频数、频率和概率三者之间的关系
(1)频数是指在n次重复试验中事件A出现的次数，频
率是频数与试验总次数的比值，而概率是随机事件发生的 可能性的规律体现； (2)随机事件的频率在每次试验中都可能会有不同的 结果，但它具有一定的稳定性；概率是频率的稳定值，不 会随试验次数的变化而变化．
某些随机事件的概率往往难以确切得到，常常通过做大
人教a版必修3数学教学课件第3章概率第1节随机事件的概率
品,2个次品”.
反思判断随机事件、必然事件、不可能事件时要注意看清条件,
在给定的条件下判断是一定发生(必然事件),还是不一定发生(随机
事件),还是一定不发生(不可能事件).
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题型一
题型二
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D典例透析
IANLITOUXI
题型难聚焦
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D典例透析
IANLITOUXI
题型三
反思利用频率估计概率的步骤:
(1)依次计算各个频率值;(2)观察各个频率值的稳定值即为概率
的估计值,有时也可用各个频率的中位数来作为概率的估计值.
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【做一做1】 下列事件中,是随机事件的有(
)
①在一条公路上,交警记录某一小时通过的汽车超过300辆;
②若a为整数,则a+1为整数;
③买一张彩票中奖;
④检查流水线上一件产品是合格品还是次品.
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
题型三
反思1.把握住随机试验的实质,要明确一次试验就是将试验的条
件实现一次.
2.准确理解随机试验的条件、结果等有关定义,并能使用它们判
断一些事件,指出试验结果,这是求概率的基础.在写试验结果时,一
般采用列举法.根据日常生活经验,按一定次序列举,才能保证所列
结果没有重复,也没有遗漏.
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反思判断随机事件、必然事件、不可能事件时要注意看清条件,
在给定的条件下判断是一定发生(必然事件),还是不一定发生(随机
事件),还是一定不发生(不可能事件).
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题型三
反思利用频率估计概率的步骤:
(1)依次计算各个频率值;(2)观察各个频率值的稳定值即为概率
的估计值,有时也可用各个频率的中位数来作为概率的估计值.
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【做一做1】 下列事件中,是随机事件的有(
)
①在一条公路上,交警记录某一小时通过的汽车超过300辆;
②若a为整数,则a+1为整数;
③买一张彩票中奖;
④检查流水线上一件产品是合格品还是次品.
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
题型三
反思1.把握住随机试验的实质,要明确一次试验就是将试验的条
件实现一次.
2.准确理解随机试验的条件、结果等有关定义,并能使用它们判
断一些事件,指出试验结果,这是求概率的基础.在写试验结果时,一
般采用列举法.根据日常生活经验,按一定次序列举,才能保证所列
结果没有重复,也没有遗漏.
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随机事件的概率(1)(共27张PPT)
0≤ ≤1.
(2)概率及其记法:对于给定的随机事件 A,如果随着试验次数的增
加,事件 A 发生的频率 fn(A)稳定在某个常数上,把这个常数记作 P(A),称
为事件 A 的概率,简称为 A 的概率.
一般来说,随机事件 A 在每次试验中是否发生是不能预知的,但是
在大量的重复试验后,随着试验次数的增加,事件 A 发生的频率会逐渐
录如下:
射击次数
100
120
150
100
150
160
150
击中飞碟数
81
95
123
82
119
127
121
击中飞碟的频率
(1)计算各次记录击中飞碟的频率;
(2)这个运动员击中飞碟的概率约为多少?
解:(1)射击次数 100,击中飞碟数是 81,故击中飞碟的频率是
81
=0.810,同理可求得题表中的频率依次是
(5)从分别标有号码 1,2,3,4,5 的 5 个号签中任取一个,得到 4 号签;
(6)导体通电后,发热;
(7)三角形的内角和为 360°;
(8)某电话机在 1 分钟内收到 4 次呼叫.
解:(1)(6)是必然事件;(3)(7)是不可能事件;(2)(4)(5)(8)是随机事件.
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4.某人射击 10 次,击中靶心 8 次,则击中靶心的概率为 0.8.这种说法
件的是(
)
A.③
B.①
C.①④
D.④
解析:①是不可能事件,②是不可能事件,③是随机事件,④是必然事
件.
答案:D
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2.某市统计近几年新生儿出生数及其中男婴数(单位:人)如下:
随机事件的概率课件
计算概率的方法
古典概率
古典概率是根据事件发生的 基本原理来计算概率的方法， 适用于可列举的样本空间和 等可能的事件。
几何概率
几何概率是通过几何形状和 空间来计算概率的方法，适 用于连续随机变量和连续样 本空间。
统计概率
统计概率是基于实验数据和 频率来计算概率的方法，适 用于无法列举样本空间和复 杂事件。
工程学
概率在工程学中帮助评估系统可靠性、风险分 析和决策制定，以确保工程项目的成功。
总结和复习
本课程将回顾重点内容，帮助学生巩固所学知识，并对随机事件和概率进行 总结。
附加信息
参考文献
提供相关领域的书籍、论文和期刊等参考文 献，以供深入学习和进一步研究。
推荐书籍和网站
推荐学习概率和随机事件的相关书籍和网站， 以拓宽学习资源。
计算概率的工具
计算器
计算器是计算概率的常用工具，可以帮助我 们快速计算复杂概率问题的答案。
直观图形
直观图形如概率分布曲线、直方图和饼图等 可以帮助我们更好地理解和计算概率。
概率的应用
1
条件概率
2
条件概率是在已知一些条件的情况下，
计算事件发生概率的方法。
3
事件的互斥与Байду номын сангаас立
了解事件的互斥与独立性对计算概率 和预测结果至关重要。
贝叶斯公式
贝叶斯公式是基于条件概率计算后验 概率的常用方法，应用于估计未知事 件发生的可能性。
随机事件和概率的实际应用
统计学
概率在统计学中广泛应用，帮助分析数据、推 断结论和做出预测。
金融学
概率在金融学中被用于评估风险、制定投资策 略和做出金融决策。
生物学
概率在遗传学和生物统计学中被用于研究基因、 种群和生态系统等复杂生物现象。
随机事件的概率课件
m ) n
估计移植成活率
0.9 左右摆动， 由下表可以发现，幼树移植成活的频率在＿＿＿＿ 并且随着移植棵数越来越大，这种规律愈加明显. 0.9 所以估计幼树移植成活的概率为＿＿＿＿＿ ．
移植总数（n） 10 50 270 400 750 1500 3500 7000 9000 14000 成活数（m） 8 47 235 369 662 1335 3203 6335 8073 12628 成活的频率 ( 0.8 0.94 0.870 0.923 0.883 0.890 0.915 0.905 0.897 0.902
2.频率的取值范围是什么？
n
0 f n (A) 1
试验1：历史上曾有人作过抛掷硬币的大量重复实 验，结果如下表所示
抛掷次数（n) 2048 正面朝上数(m) 1061 0.518 频率(m/n)
频率m/n
1
4040
12000
30000
24000
2048
0.506
6019
0.501
14984
• 1.在有一个20万人的 • 解: 小镇,随机调查了 • 根据概率的意义,可以 1000人,其中有250人 认为其概率大约等于 看重庆电视台的早间 250/1000=0.25. 新闻.在该镇随便问 • 该镇约有 一个人,他看早间新 200000×0.25=50000 闻的概率大约是多少? 人看重庆电视台的早 该镇看重庆电视台早 间新闻. 间新闻的大约是多少 人?
例1、判断下列事件是必然事件、不可能事件，还是随机 事件. （1）在地球上抛一石块,石块会下落； 必然事件 （2）某电话机在十分钟之内，
收到三次呼叫；
随机事件
（3）买一张福利彩票，会中奖； 随机事件 （4）掷一枚硬币，正面向上； （5）没有水分，种子会发芽. 随机事件 不可能事件
估计移植成活率
0.9 左右摆动， 由下表可以发现，幼树移植成活的频率在＿＿＿＿ 并且随着移植棵数越来越大，这种规律愈加明显. 0.9 所以估计幼树移植成活的概率为＿＿＿＿＿ ．
移植总数（n） 10 50 270 400 750 1500 3500 7000 9000 14000 成活数（m） 8 47 235 369 662 1335 3203 6335 8073 12628 成活的频率 ( 0.8 0.94 0.870 0.923 0.883 0.890 0.915 0.905 0.897 0.902
2.频率的取值范围是什么？
n
0 f n (A) 1
试验1：历史上曾有人作过抛掷硬币的大量重复实 验，结果如下表所示
抛掷次数（n) 2048 正面朝上数(m) 1061 0.518 频率(m/n)
频率m/n
1
4040
12000
30000
24000
2048
0.506
6019
0.501
14984
• 1.在有一个20万人的 • 解: 小镇,随机调查了 • 根据概率的意义,可以 1000人,其中有250人 认为其概率大约等于 看重庆电视台的早间 250/1000=0.25. 新闻.在该镇随便问 • 该镇约有 一个人,他看早间新 200000×0.25=50000 闻的概率大约是多少? 人看重庆电视台的早 该镇看重庆电视台早 间新闻. 间新闻的大约是多少 人?
例1、判断下列事件是必然事件、不可能事件，还是随机 事件. （1）在地球上抛一石块,石块会下落； 必然事件 （2）某电话机在十分钟之内，
收到三次呼叫；
随机事件
（3）买一张福利彩票，会中奖； 随机事件 （4）掷一枚硬币，正面向上； （5）没有水分，种子会发芽. 随机事件 不可能事件
课件3：3.1.1 随机事件的概率
频率
频数
4.概率 （1）定义：对于给定的随机事件 A，如果随着试验次数 的增加，事件 A 发生的频率 fn(A)会稳定在某个常数上， 把这个常数记为 P(A)，称它为事件 A 的概__率__. （2）由概率的定义可知，事件 A 的概率可以通过大量 的重复试验后，用频率值估计概率. （3）必然事件的概率为_1_，不可能事件的概率为_0_， 因此概率的取值范围是[_0_,_1_] .
【变式与拓展】 3.某篮球运动员在同一条件下进行投篮练习，结果如下表：
投篮次数 n/次 8 10 15 20 30 40 50 进球次数 m/次 6 8 12 17 25 32 38
(1)填写表中的进球频率； (2)这位运动员投篮一次，进球的概率大约是多少？ 解：(1)从左到右依次填：0.75，0.8，0.8，0.85，0.83，0.8，0.76. (2)由于进球频率都在 0.8 左右摆动，故这位运动员投篮一次，进球 的概率约是 0.8.
第三章 概率
3.1 随机事件的概率
3.1.1 随机事件的概率
1.事件的分类 (1)确定事件： ①必然事件：在条件 S 下，_一__定__会__发__生_的事件； ②不可能事件：在条件 S 下，_一__定__不__会__发__生_的事件. 必然事件与不可能事件统称为相对于条件 S 的确定事件. (2)随机事件： 在条件 S 下，_可__能__发__生__也__可__能__不_发__生__的事件. 确定事件和随机事件统称为事件，一般用大写字母 A，B， C…表示.
(B ) A.3 个都是男生
B.至少有 1 个男生
C.3 个都是女生
D.至少有 1 个女生
2.抛掷一枚骰子两次，请就这个试验写出一个随机事件： 两__次__的__点__数__都__是__奇__数__，一个必然事件：_两__次__点__数__之__和__不__小__于__2_， 一个不可能事件：_两__次__点__数__之__差__的__绝__对__值__等__于___6__.
《随机事件的概率》PPT
因绿色为最佳感受色， 可使睫状体放松，图案从里 到外大小不等，不断变化图 案可不断改变眼睛晶状体的 焦距，使调节他们的睫状体 放松而保护视力。
远眺图使用说明
1、远眺距离为1米-2.5米(远眺图电脑版比纸质 版小，距离相应缩短)，每日眺望5次以上，每次 3—15分钟。
2、要思想集中，认真排除干扰，精神专注，高 度标准为使远眺图的中心成为使用者水平视线的 中心点。
击中靶心的频率 0.90 0.95 0.90 0.92 0.89 0.91
〔1〕填写表中击中靶心的频率； 〔2〕这个射手射击一次，击中靶心的概率约是什么？
由于频率稳定在常数0.90，所以这个射手射击一次， 击中靶心的概率约是0.90。
1、①了解必然事件，不可能事件，随机事件的概念； ② 理解频数、频率的意义。
愿知识与您相伴 让我们共同成长 感谢您的阅读与支持
n 成 fn( A).
2. 概率的定义
在大量重复进行同一试验时，事件 A 发生
的频率 fn (A) 总是接近于某个常数，在它附近摆
动，这时就把这个常数叫做事件A 的概率．
频率与概率的关系
(1)联系随: 着试验次数的增加, 频率会在概率的 附近摆动,并趋于稳定. 在实际问题中,假设事件的概率未知,常 用频率作为它的估计值.
〔1〕“地球不停地转动〞
必必然然事发件生
〔2〕“木柴燃烧，产生能量〞必必然然发事生件
〔3〕“在常温下，石头风化〞不可能事发件生
〔4〕“某人射击一次，中靶〞 可随能机发事生件也可能不发生
〔5〕“掷一枚硬币，出现正面〞可随能机发事生件也可能不发生
〔6〕“在标准大气压下且温度低于0℃时，雪融化
〞
不不可可能能发事生件
〔2〕概率的定义及其理解
远眺图使用说明
1、远眺距离为1米-2.5米(远眺图电脑版比纸质 版小，距离相应缩短)，每日眺望5次以上，每次 3—15分钟。
2、要思想集中，认真排除干扰，精神专注，高 度标准为使远眺图的中心成为使用者水平视线的 中心点。
击中靶心的频率 0.90 0.95 0.90 0.92 0.89 0.91
〔1〕填写表中击中靶心的频率； 〔2〕这个射手射击一次，击中靶心的概率约是什么？
由于频率稳定在常数0.90，所以这个射手射击一次， 击中靶心的概率约是0.90。
1、①了解必然事件，不可能事件，随机事件的概念； ② 理解频数、频率的意义。
愿知识与您相伴 让我们共同成长 感谢您的阅读与支持
n 成 fn( A).
2. 概率的定义
在大量重复进行同一试验时，事件 A 发生
的频率 fn (A) 总是接近于某个常数，在它附近摆
动，这时就把这个常数叫做事件A 的概率．
频率与概率的关系
(1)联系随: 着试验次数的增加, 频率会在概率的 附近摆动,并趋于稳定. 在实际问题中,假设事件的概率未知,常 用频率作为它的估计值.
〔1〕“地球不停地转动〞
必必然然事发件生
〔2〕“木柴燃烧，产生能量〞必必然然发事生件
〔3〕“在常温下，石头风化〞不可能事发件生
〔4〕“某人射击一次，中靶〞 可随能机发事生件也可能不发生
〔5〕“掷一枚硬币，出现正面〞可随能机发事生件也可能不发生
〔6〕“在标准大气压下且温度低于0℃时，雪融化
〞
不不可可能能发事生件
〔2〕概率的定义及其理解
随机事件的概率(共48张PPT)
死于车祸：危险概率是1／5000 染上爱滋病：危险概率是1／5700 被谋杀：危险概率是1／1110 死于怀孕或生产(女性)：危险概率是1／4000 自杀：危险概率分别是1／20000(女性)和1／5000 因坠落摔死：危险率是1／20000
死于工伤：危险概率是1／26000 走路时被汽车撞死：危险概率是1／40000
问题1. 你是彩民吗？你买的彩票一定能中奖吗？
在现实生活中，有很多问题我们很难给予准确无误的回答,因为在客
观世界中，有些事情的发生是偶然的，有些事情的发展是必然的, 而且偶然和必然之间往往存在某种内在联系.
①从一个只装有红球的盒子里摸出一个红球
②人总有一天会死去
③投一枚骰子（点数为1—6）投出7点 ④人可以一生都不喝水
1.概率的正确理解
事实上，我们在连续投掷两次硬币时，可能出现3种结果：
1
（25％）
2
（50％）
且每中情况都是随机出现的
3
（25％）
Ex1.如果某种彩票的中奖概率为 1 ，那
1000
么买1000张这种彩票一定能中奖吗？请说 明理由.（假设该彩票有足够多的张数）
不一定，每张彩票是否中奖是随机的, 1000张 彩票中有几张中奖当然也是随机的.买1000 张这种彩票的中奖概率约为：1000，即有 63.2%的可能性中奖，但不能肯定中奖.
2. 游戏的公平性
在一场乒乓球比赛前，必须要决定由 谁先发球，并保证具有公平性，你知道裁 判员常用什么方法确定发球权吗？其公平 性是如何体现出来的？请你举出几个公平 游戏的实例.
裁判员拿出一个抽签器，它是－个像大硬币似的 均匀塑料圆板，一面是红圈，一面是绿圈，然后 随意指定一名运动员，要他猜上抛的抽签器落到 球台上时，是红圈那面朝上还是绿圈那面朝上。 如果他猜对了，就由他先发球，否则，由另一方
死于工伤：危险概率是1／26000 走路时被汽车撞死：危险概率是1／40000
问题1. 你是彩民吗？你买的彩票一定能中奖吗？
在现实生活中，有很多问题我们很难给予准确无误的回答,因为在客
观世界中，有些事情的发生是偶然的，有些事情的发展是必然的, 而且偶然和必然之间往往存在某种内在联系.
①从一个只装有红球的盒子里摸出一个红球
②人总有一天会死去
③投一枚骰子（点数为1—6）投出7点 ④人可以一生都不喝水
1.概率的正确理解
事实上，我们在连续投掷两次硬币时，可能出现3种结果：
1
（25％）
2
（50％）
且每中情况都是随机出现的
3
（25％）
Ex1.如果某种彩票的中奖概率为 1 ，那
1000
么买1000张这种彩票一定能中奖吗？请说 明理由.（假设该彩票有足够多的张数）
不一定，每张彩票是否中奖是随机的, 1000张 彩票中有几张中奖当然也是随机的.买1000 张这种彩票的中奖概率约为：1000，即有 63.2%的可能性中奖，但不能肯定中奖.
2. 游戏的公平性
在一场乒乓球比赛前，必须要决定由 谁先发球，并保证具有公平性，你知道裁 判员常用什么方法确定发球权吗？其公平 性是如何体现出来的？请你举出几个公平 游戏的实例.
裁判员拿出一个抽签器，它是－个像大硬币似的 均匀塑料圆板，一面是红圈，一面是绿圈，然后 随意指定一名运动员，要他猜上抛的抽签器落到 球台上时，是红圈那面朝上还是绿圈那面朝上。 如果他猜对了，就由他先发球，否则，由另一方
人教版高中数学必修三第三章第1节 3.1.1 随机事件的概率 课件(共25张PPT)
3.抛掷一枚硬币出现正面朝上的概率是 0.5， 所以将一枚硬币投掷10000次，出现正面 朝上的次数很有可能接近于5000次。
事件“甲乙两人进行‘石头剪刀布’的 游戏，结果甲获胜”是哪一类事件？
为了估计上述随机事件发生的概率，我 们可以采用何种方法？
知识小结
1．随机事件的概念
在一定条件下可能发生也可能不发生的 事件，叫做随机事件． 2．随机事件的概率的统计定义
1 0.9 0.8 0.7 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1
0
25
10 70 130 310 700 1500 2000 3000 试验次数
结论：当试验的油菜籽的粒数很多时，油菜籽发 芽的频率 m 接近于常数0.9，在它附近摆动。
n
思考：
1.事件A发生的频率 fn(A) 是不是不变的？ 2.事件A的概率P(A)是不是不变的？ 3.它们之间有什么区别与联系？
优等品的频率 1
0.9
0.8
0.7
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0 50
100
200
500
1000 2000 试验次数
结频论率：m 当接抽近查于的常球数数0.很95多，时在，它抽附到近优摆等动品。的
n
某种油菜籽在相同条件下的发芽试验结果表：
某种油菜籽在相同条件下的发芽试验结果表：
发芽的频率
随机事件的概率
1. 引言
在一些人看来，总觉得数学都是研究现实世界中确定性 现象的数量规律，其实不然。大家知道，任何事物的发展 是既有偶然性又有必然性，为了研究一些无法确定的现象 的规律，早在十七世纪数学的重要分支概率统计便应运而 生，最初是欧洲保险业的发展促成这门学科的诞生，经过 几百年的发展和应用概率统计已遍布所有的领域，你比如 利用概率统计，二战中美军破译日军的电报密码，;利用概 率统计我国数学家得出《红楼梦》的前八十回与后四十回 出自两位作家的手笔,解决了红学家长期争论不休的问题； 还是利用概率统计使我们对变化莫测的天气的预报越来越 准……,总之，概率统计这门古老又十分有用的学科，如今 它已经渗透到生活的方方面面。
事件“甲乙两人进行‘石头剪刀布’的 游戏，结果甲获胜”是哪一类事件？
为了估计上述随机事件发生的概率，我 们可以采用何种方法？
知识小结
1．随机事件的概念
在一定条件下可能发生也可能不发生的 事件，叫做随机事件． 2．随机事件的概率的统计定义
1 0.9 0.8 0.7 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1
0
25
10 70 130 310 700 1500 2000 3000 试验次数
结论：当试验的油菜籽的粒数很多时，油菜籽发 芽的频率 m 接近于常数0.9，在它附近摆动。
n
思考：
1.事件A发生的频率 fn(A) 是不是不变的？ 2.事件A的概率P(A)是不是不变的？ 3.它们之间有什么区别与联系？
优等品的频率 1
0.9
0.8
0.7
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0 50
100
200
500
1000 2000 试验次数
结频论率：m 当接抽近查于的常球数数0.很95多，时在，它抽附到近优摆等动品。的
n
某种油菜籽在相同条件下的发芽试验结果表：
某种油菜籽在相同条件下的发芽试验结果表：
发芽的频率
随机事件的概率
1. 引言
在一些人看来，总觉得数学都是研究现实世界中确定性 现象的数量规律，其实不然。大家知道，任何事物的发展 是既有偶然性又有必然性，为了研究一些无法确定的现象 的规律，早在十七世纪数学的重要分支概率统计便应运而 生，最初是欧洲保险业的发展促成这门学科的诞生，经过 几百年的发展和应用概率统计已遍布所有的领域，你比如 利用概率统计，二战中美军破译日军的电报密码，;利用概 率统计我国数学家得出《红楼梦》的前八十回与后四十回 出自两位作家的手笔,解决了红学家长期争论不休的问题； 还是利用概率统计使我们对变化莫测的天气的预报越来越 准……,总之，概率统计这门古老又十分有用的学科，如今 它已经渗透到生活的方方面面。
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成 fn( A).
2. 概率的定义
在大量重复进行同一试验时，事件 A 发生
n
的频率 A 总是接近于某个常数，在它附近摆
n
动，这时就把这个常数叫做事件A 的概率．
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15
注意以下几点：
（1）求一个事件的概率的基本方法是通 过大量的重复试验；
（2）只有当频率在某个常数附近摆动时，
这个常数才叫做事件 的概A率；
美国海军接受了数学家的建议，命令舰队在指定海域 集合，再集体通过危险海域，然后各自驶向预定港口．结 果奇迹出现了：盟军舰队遭袭被击沉的概率由原来的25％ 降为1％，大大减少了损失，保证了物资的及时供应．
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2
1名数学家＝10个师
• 在自然界和实际生活中，我们会遇到各种各样 的现象．
如果从结果能否预知的角度来看，可以分为两 大类：
比如“（2）李强射击一次，不中靶”， “（5）掷一枚硬币，出现反面”都是随 机事件．
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7
随机事件及其概率
（1）必然事件、不可能事件、随机事件
随机事件注意：要搞清楚什么是随机 事件的条件和结果。
事件的结果是相应于“一定条件”而 言的。因此，要弄清某一随机事件，必须 明确何为事件发生的条件，何为在此条件 下产生的结果。
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8
随机事件及其概率
（2）概率的定义及其理解
随机事件在一次试验中是否发生虽然 不能事先确定，但是在大量重复试验的情 况下，它的发生呈现出一定的规律性．
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9
实例 将一枚硬币抛掷 5 次、50 次、500 次, 各做
7 遍, 观察正面出现的次数及频率.
试验 序号
1 2 3 4 5 6 7
（2）没有空气，动物也能生存下去；
（3）在标准大气压下，水在温度90c时沸腾；
（4）直线ykx1过定点 1,0；
（5）某一天内电话收到的呼叫次数为0；
（6）一个袋内装有性状大小相同的一个白球和 一个黑球，从中任意摸出1个球则为白球．
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17
例题分析
2
0.4 18 0.36 波26动2 最0小.524
4
0.8 27 0.54 258 0.516
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10
随机事件及其概率
例如，历史上曾有人做过抛掷硬币的大量重复 试验，结果如下表 ：
抛掷次数（ ） 正面向上次数
m
（频数n）
2048
1061
频率（m ） n
0.5181
4040
2048
0.5069
某种油菜籽在相同条件下的发芽试验结果表：
当试验的油菜籽的粒数很多时，油菜籽
发芽的频率m 接近于常数0.9，在它附近摆
动。
n
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14
1. 频率的定义
在相同的条件下 , 进行了 n 次试验 ,在这 n
次试验中, 事件 A 发生的次数 nA 称为事件 A 发
生的频数.比值 nA 称为事件 A 发生的频率,并记 n
（3）概率是频率的稳定值，而频率是概率 的近似值；
（4）概率反映了随机事件发生的可能性 的大小；
（5）必然事件的概率为1，不可能事件的
概率为0．因此 0PA1
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16
例题分析
例1 指出下列事件中，哪些是不可能事 件？哪些是必然事件？哪些是随机事件？
（1）若 a、b、c都是实数，则 abcab c；
12000
6019
0.5016
24000
12012
05005
30000
14984
0.4996
72088
36124
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0.5011 11
随机事件及其概率
当抛掷硬币的次数很多时，出现正面 的频率值是稳定的，接近于常数0.5，在它 左右摆动．
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12
随机事件及其概率
某批乒乓球产品质量检查结果表：
抽取球数 m
优等品数 n
优等品频率 m n
50 100 200 500 1000 2000 45 92 194 470 954 1902
0.9 0.92 0.97 0.94 0.954 0.951
当抽查的球数很多时，抽到优等品的频 率m 接近于常数0.95，在它附近摆动。
n
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13
随机事件及其概率
随机事件的概率
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1
在第二次世界大战中，美国曾经宣布：一名优秀数学 家的作用超过10个师的兵力．这句话有一个非同寻常的来 历．
1943年以前，在大西洋上英美运输船队常常受到德国 潜艇的袭击，当时，英美两国限于实力，无力增派更多的 护航舰，一时间，德军的“潜艇战”搞得盟军焦头烂额．
为此，有位美国海军将领专门去请教了几位数学家， 数学家们运用概率论分析后分析，舰队与敌潜艇相遇是一 个随机事件，从数学角度来看这一问题，它具有一定的规 律性．一定数量的船（为100艘）编队规模越小，编次就越 多（为每次20艘，就要有5个编次），编次越多，与敌人相 遇的概率就越大．
一类现象的结果总是确定的，即在一定的条 件下，它所出现的结果是可以预知的，这类现象 称为确定性现象；
另一类现象的结果是无法预知的，即在一定的 条件下，出现那种结果是无法预先确定的，这类现 象称为随机现象．
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3
随机事件及其概率
下面各事件的发生与否，各有什么特点？
• （1）导体通电时发热；
（2）李强射击一次，中靶； （3）抛一石块，下落； （4）在常温下，钢铁熔化； （5）抛一枚硬币，正面朝上； （6）在标准大气压下且温度低于0℃时， 冰融化．
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4
随机事件及其概率
（1）必然事件、不可能事件、随机事件
必然事件：在一定条件下必然要发生的事件．
比如：“（1）导体通电时发热”， “（3）抛一石块，下落”都是必然事件．
n5
n50 n500
nH
f
nH
f
nH f
2
0.4
22 0.44 251 0.502
3
0.6
在 251处波0.动 50 较大249
2
0.498
1
0.2 21 0.42 256 0.512
1
在随11n处 .0的波 增动 大25,较 频小 率0.f5呈0 现出24稳7 定0性.494 20.2 24 0.48 251 0.502
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5
随机事件及其概率
（1）必然事件、不可能事件、随机事件
不可能事件：在一定条件下不可能发生 的事件．
比如：“（4）在常温下，铁能熔化”， “（6）在标准大气压下且温度低于0℃时， 冰融化”，都是不可能事件．
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6
随机事件及其概率
（1）必然事件、不可能事件、随机事件
随机事件：在一定条件下可能发生也可 能不发生的事件．
2. 概率的定义
在大量重复进行同一试验时，事件 A 发生
n
的频率 A 总是接近于某个常数，在它附近摆
n
动，这时就把这个常数叫做事件A 的概率．
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15
注意以下几点：
（1）求一个事件的概率的基本方法是通 过大量的重复试验；
（2）只有当频率在某个常数附近摆动时，
这个常数才叫做事件 的概A率；
美国海军接受了数学家的建议，命令舰队在指定海域 集合，再集体通过危险海域，然后各自驶向预定港口．结 果奇迹出现了：盟军舰队遭袭被击沉的概率由原来的25％ 降为1％，大大减少了损失，保证了物资的及时供应．
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2
1名数学家＝10个师
• 在自然界和实际生活中，我们会遇到各种各样 的现象．
如果从结果能否预知的角度来看，可以分为两 大类：
比如“（2）李强射击一次，不中靶”， “（5）掷一枚硬币，出现反面”都是随 机事件．
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7
随机事件及其概率
（1）必然事件、不可能事件、随机事件
随机事件注意：要搞清楚什么是随机 事件的条件和结果。
事件的结果是相应于“一定条件”而 言的。因此，要弄清某一随机事件，必须 明确何为事件发生的条件，何为在此条件 下产生的结果。
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8
随机事件及其概率
（2）概率的定义及其理解
随机事件在一次试验中是否发生虽然 不能事先确定，但是在大量重复试验的情 况下，它的发生呈现出一定的规律性．
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9
实例 将一枚硬币抛掷 5 次、50 次、500 次, 各做
7 遍, 观察正面出现的次数及频率.
试验 序号
1 2 3 4 5 6 7
（2）没有空气，动物也能生存下去；
（3）在标准大气压下，水在温度90c时沸腾；
（4）直线ykx1过定点 1,0；
（5）某一天内电话收到的呼叫次数为0；
（6）一个袋内装有性状大小相同的一个白球和 一个黑球，从中任意摸出1个球则为白球．
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例题分析
2
0.4 18 0.36 波26动2 最0小.524
4
0.8 27 0.54 258 0.516
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随机事件及其概率
例如，历史上曾有人做过抛掷硬币的大量重复 试验，结果如下表 ：
抛掷次数（ ） 正面向上次数
m
（频数n）
2048
1061
频率（m ） n
0.5181
4040
2048
0.5069
某种油菜籽在相同条件下的发芽试验结果表：
当试验的油菜籽的粒数很多时，油菜籽
发芽的频率m 接近于常数0.9，在它附近摆
动。
n
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1. 频率的定义
在相同的条件下 , 进行了 n 次试验 ,在这 n
次试验中, 事件 A 发生的次数 nA 称为事件 A 发
生的频数.比值 nA 称为事件 A 发生的频率,并记 n
（3）概率是频率的稳定值，而频率是概率 的近似值；
（4）概率反映了随机事件发生的可能性 的大小；
（5）必然事件的概率为1，不可能事件的
概率为0．因此 0PA1
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例题分析
例1 指出下列事件中，哪些是不可能事 件？哪些是必然事件？哪些是随机事件？
（1）若 a、b、c都是实数，则 abcab c；
12000
6019
0.5016
24000
12012
05005
30000
14984
0.4996
72088
36124
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0.5011 11
随机事件及其概率
当抛掷硬币的次数很多时，出现正面 的频率值是稳定的，接近于常数0.5，在它 左右摆动．
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随机事件及其概率
某批乒乓球产品质量检查结果表：
抽取球数 m
优等品数 n
优等品频率 m n
50 100 200 500 1000 2000 45 92 194 470 954 1902
0.9 0.92 0.97 0.94 0.954 0.951
当抽查的球数很多时，抽到优等品的频 率m 接近于常数0.95，在它附近摆动。
n
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随机事件及其概率
随机事件的概率
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1
在第二次世界大战中，美国曾经宣布：一名优秀数学 家的作用超过10个师的兵力．这句话有一个非同寻常的来 历．
1943年以前，在大西洋上英美运输船队常常受到德国 潜艇的袭击，当时，英美两国限于实力，无力增派更多的 护航舰，一时间，德军的“潜艇战”搞得盟军焦头烂额．
为此，有位美国海军将领专门去请教了几位数学家， 数学家们运用概率论分析后分析，舰队与敌潜艇相遇是一 个随机事件，从数学角度来看这一问题，它具有一定的规 律性．一定数量的船（为100艘）编队规模越小，编次就越 多（为每次20艘，就要有5个编次），编次越多，与敌人相 遇的概率就越大．
一类现象的结果总是确定的，即在一定的条 件下，它所出现的结果是可以预知的，这类现象 称为确定性现象；
另一类现象的结果是无法预知的，即在一定的 条件下，出现那种结果是无法预先确定的，这类现 象称为随机现象．
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3
随机事件及其概率
下面各事件的发生与否，各有什么特点？
• （1）导体通电时发热；
（2）李强射击一次，中靶； （3）抛一石块，下落； （4）在常温下，钢铁熔化； （5）抛一枚硬币，正面朝上； （6）在标准大气压下且温度低于0℃时， 冰融化．
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4
随机事件及其概率
（1）必然事件、不可能事件、随机事件
必然事件：在一定条件下必然要发生的事件．
比如：“（1）导体通电时发热”， “（3）抛一石块，下落”都是必然事件．
n5
n50 n500
nH
f
nH
f
nH f
2
0.4
22 0.44 251 0.502
3
0.6
在 251处波0.动 50 较大249
2
0.498
1
0.2 21 0.42 256 0.512
1
在随11n处 .0的波 增动 大25,较 频小 率0.f5呈0 现出24稳7 定0性.494 20.2 24 0.48 251 0.502
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5
随机事件及其概率
（1）必然事件、不可能事件、随机事件
不可能事件：在一定条件下不可能发生 的事件．
比如：“（4）在常温下，铁能熔化”， “（6）在标准大气压下且温度低于0℃时， 冰融化”，都是不可能事件．
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6
随机事件及其概率
（1）必然事件、不可能事件、随机事件
随机事件：在一定条件下可能发生也可 能不发生的事件．