材料力学 第十四章 静不定问题分析

Page12
第十三章
静不定问题分析
(2)求 BH
R
讨论：选取哪种 单位载荷系统?

O FB (a)
M0 B
A
R A O (c)

B
R 1
A O

FB'
1
B
(d)
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第十三章 方法1
2M0 M R 1 cos M 0 3R 1 2cos M0 3
B
MB
R
A
M R sin
o
1
B D 2 B 1 sin R sin FR Rd 2 3 FR 3 FR 2 8 0.149 4 EI EI 2 EI
2 0

B
R
A
o
讨论：求 A C，哪种方法简单？
变形协调条件：
B 0, f B 0
第十三章
静不定问题分析
例：图示桁架，各杆EA相同，求各杆轴力。
a 4 a 5 7 6 8 3 a 2 1
解： 判断静不定度：
P
外力静定 内力静不定度： 8 - 25 + 3 = 1
1、 去除多余约束，建立相当系统
4
m N7 N7 8 5 3 m’
2 1
静不定度 = m - ( 2n – 3 )
m : 杆数；n ：节点数
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第十三章 内力静不定 (刚架)
q
静不定问题分析
q
FS
M
FN
内 3度
F
F
单闭口的平面 刚架或曲杆， 3度内静不定
内6度（外3自由度）
Page 5
第十三章
静不定问题分析
F
F
6度内力静不定,外3自由度
F
F
5度内力静不定,加一中间铰减 少一度静不定

第十三章
静不定问题分析
思考：计算 BH ，下图相当系统选取是否正确？
M0 3R M0 3R
R A
M0
o
B
对应的单位载荷系统：
R A
o
B
1
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第十三章 例：求B 端反力
q A
l l
静不定问题分析
q A B
FBx
A B 1 B FBy
单位载荷系统 1
相当系统
A B 1
单位载荷系统 2
Page17
1 1 8 3 6
Page20
思考：若求加载点的水平位移，如何选择单位载荷状态
4 5
6 8 3
2 1
4 5
2 1
第十三章 思考：求BD杆的转角，正确 的单位载荷系统是_____ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ_ 答：C、D
D
1 a
静不定问题分析
D
1 a
A
C
1 B a
A
A
2 2a
D
A
2 2a 2 B 2a
D
A
C
B
1 a
C
C
内力静不定结构
混合型静不定结构
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第十三章 外力静不定
F q
静不定问题分析
F q
外 1度 外3度（平面） 外6度（空间）
约束力分量个数： 平面固定铰 2 平面活动铰 1 空间球形铰 3
平面固定端
3
空间固定端
6
Page 3
第十三章 内力静不定 (桁架)
F
静不定问题分析
F
内 1度 内 2度
(a)
(b) (a): 内2度
(b): 1度
(c) (c): 2度
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第十三章
静不定问题分析
§13-2
几个概念：
用力法分析静不定问题
基本系统： 解除多余约束后的静定结构（静定基）
相当系统： 作用有载荷和多余反力的基本系统。 基本系统和相当系统不唯一 分析要点：
1、 去除多余约束，建立相当系统
第十三章
静不定问题分析
第十三章
§13-1 §13-2 §13-3 §13-4
静不定问题分析
引言 用力法分析静不定问题 对称与反对称静不定问题分析 平面刚架空间受力分析
Page 1
第十三章
静不定问题分析
§13-1
引言
q
q
q
FAx A
B FBx
FBy
A
B
FAx
A
FAy
B
FBx
FBy
FAy
外力静不定结构
2、 建立补充方程（找变形协调条件） 3、 确定多余未知力(多余内力和多余外力)
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第十三章 一、 外力静不定结构分析
静不定问题分析
解除多余的外部约束，代之以支反力
相当系统 建立补充方程
M
在解除约束处，建立变形协调条件
A
l
B
l C
A
l
B l
l
B
l
A RC
HC
C
RC
C 0 fC 0
F
F
4度内力静不定,加一根二力杆增加一 度静不定
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第十三章 混合静不定
F
静不定问题分析
F
1（内）＋1（外）＝ 2 度
3（内）＋3（外）＝ 6 度
F
圆环
梁：外3 环：内3 梁环接触：1 3+3+1=7 度
圆环在水平方向有一自由度
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第十三章
静不定问题分析
混合静不定（梁杆结构）
静不定问题分析
R

A O (c) B
M R sin
1
B端的水平位移为 1 1 2cos BH M 0 R sin Rd EI 0 3
M 0 R2 sin sin 2 Rd 0 3 EI 2 M 0 R2 3 EI
F 2FN cos45 FN FN F ( 2 1)F 1 2
F F
静不定问题分析
F
D O 1 3 A
C
B
2
FN
F
FN FN
F
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第十三章
静不定问题分析
改错 ： 求C点支反力与铅垂位移 cv
F
C
a 2 a 2
F 2
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第十三章
静不定问题分析
方法2
' 解静不定问题，求单位载荷系统的 FB 4 ' FB 3
' ' B
R
A O

FB'
1
B
(d) 4 M F R 1 cos R sin R 1 cos R sin 3 1 2cos 2M0 M R 1 cos M 0 M0 3R 3
BH
1 EI
1 2cos 4 M R 1 cos R sin Rd 0 0 3 3 2 M 0 R2 4 M 0 R2 cos cos 2 d 3 EI 9EI 0 2 M 0 R2 3 EI Page15
Page28
第十三章
静不定问题分析
例：小曲率圆环，已知R,EI.求A截面内力.
F
A R
F 2
A
F 2
R
B
2FR
F 2
F
F B 2 2FR
F 2
A
FS
F S
B FR
F 2
反对称轴AB 内力特征
M A 0, FNA 0,
A/ B 0
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未知力 FS
变形特征
第十三章
F 2
静不定问题分析
M R 1 cos
A
静不定问题分析
R O

FB (a)
M0 B
变形协调条件 BV=0 单位载荷法
BV
A R O 1 (b)

B
1 FB R 1 cos M 0 R 1 cos Rd 0 EI 2M0 1 3 3 2 F R M R 0 F B 0 B EI 2 3R
A
FS
F S
B FR
F 2
1 M ( ) FS R sin FR(1 cos ) 2 M ( ) R sin
1 M ( ) M ( ) Rd 0 A B EI 0 1 1 3 3 ( FS R FR 2) 0 EI 2 2 2F FS

4 5
1
1 8
3
2 1
5
6
6
7 8
a
2a 2a
N7
N7 2P
1 1
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第十三章
8
静不定问题分析
a 4 a 5 7 6 8 3
a 2
1
N i N i li m / m EA i 1 a [(2 2) N 7 (2 2) P ] 0 P EA
2 N7 P 2
2
B A R

1 sin d 2 FR 3 2 FR 3 0.149 EI 4 EI 4FR 3 EI
D
1
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第十三章 （3）计算 B D
静不定问题分析
F 2
（ii）利用
1 4
圆环
1 sin M FR 2
F
＝
F 2
F 2
＋
F 2
F 2
结论: 结构对称、载荷不对称的平面结构问题可 分解为一个对称与一个反对称问题。
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第十三章 中心对称问题
m
E
静不定问题分析
M C
C
o
D
m
C
O
m
F B
M
M
A
30
m
C
m
A
关于原点O 中心对称
M
M
3 M m A C 3
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A
第十三章 例：正方形行架杆，各杆EI, O点固结。 （1）几度静不定？ （2）求各杆内力。 解： （1）4度静不定 （2）中心对称 各杆应变相同，FN 相同
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第十三章
静不定问题分析
B A R D
例：已知圆环EI，求B、D相对位移d
解：（1）利用对称性，选取相当系统
F
C
F
F
B
B R
F
R A
C
B
A
MA
o
F 2
A
MA
C
MA
MA
F 2
FN A
FN A
A 0
A 0
1 FN A F 2 A C 0
Page25
第十三章 解：（2）利用单位载荷法，计算MB
A
1
1
B

Page30
第十三章 例：对称还是反对称问题？ 双对称轴问题 双反对称轴问题
F
a 2 a 2
静不定问题分析
F
F
a2
a2
2FS 2F cos45 0 2 FS F 2
F S
F F
F
一类双反对称轴问题可仅用平衡条件求解
F S
Page31
第十三章 结构对称、载荷不对称的问题
静不定问题分析
B
C
D
Page21
2 B 2a
第十三章
静不定问题分析
§13-3
基本概念
对称与反对称静不定问题分析
对称结构： 形状、截面尺寸、材料、支持 方式沿对称面对称。 P M F P P M F F M P M P M F
对称载荷
反对称载荷
Page22
第十三章
静不定问题分析
对称问题的内力与变形特点
F M M B R sin 2
静不定问题分析
F 2
B
MB
M 1

A
o
B
1 B EI


2 0
F M B 2 R sin Rd 0
R 1 M FR 0 B EI 2 2
MB FR 1 sin , M FR 2
A 0
fA 0
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第十三章
静不定问题分析
二、 内力静不定结构分析
切开提供多余内部约束的杆件，代之以截面上的内力
相当系统
利用切开截面的相对广义位移为零，建立变形协调条件 建立补充方程
m / m' 0
m m’
fm / m' 0
m / m' 0
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第十三章 例：已知外力偶 M0 ，求B端约束 反力FB和水平位移 BH 。 解：（1）求支反力 弯矩 M FB R 1 cos M 0
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第十三章
静不定问题分析
反对称问题的内力与变形特点
M
C C
M
M
C
FS C
M
A
B
A
FS C
B
变形特征： f C 0
内力特征： F NC 0 , MC = 0
利用反对称变形条件 f C = 0 ，可以唯一确定反对称内力FSC 在结构对称点C，对称加载情形，可直接确定一个内力， 反对称加载情形，可直接确定两个内力。
P
6
2、 建立补充方程(找变形协调条件)
m / m 0
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第十三章
4
5
N7 N7
静不定问题分析
利用单位载荷法建立补充方程
8 2 1
3
P
li 1 2 3 4
2a
Ni
2P
Ni 0 0
2 2 2 2 2 2 2 2
6
a a a a
P
2 N7 P 2 2 N7 2 2 N7 2 2 N7 P 2
F a a F C
C
F a a F C
FN C
MC MC
A
B
A
FN C
B
变形特征： C 0 , C 0
内力特征： F SC 0
利用对称性，可直接确定某（些）多余未知力，简化计算， 但并不降低静不定度。 利用对称变形条件 C 0,C 0, 可以唯一确定对称内力
FN C , M C .
A
1

o
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第十三章 （3）计算 B D （i）利用整圆环
1 sin M FR 2 1 sin M R 2
静不定问题分析
B A R
F
C

D
F 1
C
B D
4 EI

2 0


2 0
M M Rd