全等三角形中的基本模型

全等中的基本模型

把一个图形经过平移、翻折、旋转后，它们的位置虽然变化了，但是形状、大小都没有改变，即平移、翻折、旋转前后的图形全等. 我们把平移、翻折（轴对称）、旋转称为几何变换. 这一讲我们就来学习基本变换下的全等三角形. 常见平移模型

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题型一：平移型全等

【引例】 如图，A E F B 、、、四点在一条直线上，

AC CE ⊥，BD DF ⊥，AE BF =，AC BD =． 求证：CF DE =

【例1】 如图1，A 、B 、C 、D 在同一直线上，AB CD =，DE AF ∥，且.DE AF =

求证：AFC DEB △≌△

如果将BD 沿着AC 边的方向平行移动，图2，B 点与C 点重合时；图3，B 点在C 点右侧时，其余条件不变，结论是否成立，如果成立，请选择一种情况请予证明；如果不成立，请说明理由．

常见轴对称模型

图1

F E

D

C B

A

图2

F

E D

(C )

B A

图3

F

E

D

C

B A

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题型二：对称型全等

F

E

D

C B

A

【例2】 如图，ABE △和ADC △是ABC △分别沿着AB ，AC 翻折到同一

平面内形成的．若1:2:315:2:1∠∠∠=，则4∠=________．

【例3】 如图，AB AC =，D 、E 分别是AB 、AC 的中点，AM CD ⊥于M ，

AN BE ⊥于N ．求证：AM AN =．

常见旋转模型：

【引例】 如图，在ABC △中，::3:5:10A B ACB ∠∠∠=，若将ACB △绕点C

逆时针旋转，使旋转后的A B C ''△中的顶点B '在原三角形的边AC 的延长线上时，求BCA '∠的度数．

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题型三：旋转型全等

E D N M C

B

A

43

2

1

E

D

C

B

A

A'

B'

C

B

A

【例4】 如图，四边形ABCD 、DEFG 都是正方形，连接AE 、CG ．

求证：⑴AE CG =；⑵AE CG ⊥.

【例5】 如图，点C 为线段AB 上一点，ACM △、CBN △是等边三角形．

请你证明：

⑴AN BM =； ⑵60MFA ∠=； ⑶DEC △为等边三角形； ⑷DE AB ∥.

辅助线：在几何学中用来帮助解答疑难几何图形问题,在原图基础之上另外所作的具有极大价值的直线或者线段.

添辅助线的作用：凸显和集散

1. 揭示图形中隐含的性质：当条件与结论间的逻辑关系不明朗时，通过添加适当的辅助线，将条件中隐含的有关图形的性质充分揭示出来，以便取得过渡性的推论，达到推导出结论的目的.

2. 聚拢集中原则：通过添置适当的辅助线，将图形中分散、远离的元素，通过变换和转化，使他们相对集中，聚拢到有关图形上来，使题设条件与结论建立逻辑关系，从而推导出要求的结论.

3. 化繁为简原则：对一类几何命题，其题设条件与结论之间在已知条件所给的图形中，其逻辑关系不明朗，通过添置适当辅助线，把复杂图形分解成简单图形，从而达到化繁为简、化

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题型四：辅助线添加初步

O

G

F

E

D

C

B A

M M D N

E

C B

F

A

难为易的目的.

4. 发挥特殊点、线的作用：在题设条件所给的图形中，对尚未直接显现出来的各元素，通过添置适当辅助线，将那些特殊点、特殊线、特殊图形性质恰当揭示出来，并充分发挥这些特殊点、线的作用，达到化难为易、导出结论的目的.

5. 构造图形的作用：对一类几何证明题，常须用到某种图形，这种图形在题设条件所给的图形中却没有发现，必须添置这些图形，才能导出结论，常用方法有构造出线段和角的和差倍分、新的三角形、直角三角形、等腰三角形等.

【例6】 如图1，已知ABC △中，1AB BC ==，90ABC =︒∠，把一块含30︒角的直角三角板DEF 的

直角顶点D 放在AC 的中点上(直角三角板的短直角边为DE ，长直角边为DF )，将直角三角板DEF 绕D 点按逆时针方向旋转．直线DE 交直线AB 于M ，直线DF 交直线BC 于N ． ⑴ 在图1中， ①证明DM DN =；

②在这一旋转过程中，直角三角板DEF 与ABC △的重叠部分为四边形DMBN ，请说明四边形DMBN 的面积是否发生变化？若发生变化，请说明是如何变化的？若不发生变化，求出其面积；

⑵ 继续旋转至如图2的位置，DM DN =是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由；

⑶ 继续旋转至如图3的位置，DM DN =是否仍然成立？请写出结论，不用证明．

（海淀区期末考试）

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【例7】 在四边形ABCD 中，AB CD =，AB CD ∥，求证：AD BC =．

【例8】 如图所示：AF CD =，BC EF =，AB DE =，A D ∠=∠．

求证：BC EF ∥．

题型一 平移型全等 巩固练习 【练习1】 ⑴ 如图⑴，若AB CD =，A E F C 、、、在一条直线上，AE CF =，过E F 、分别作DE AC ⊥，

BF AC ⊥．求证：BD 平分EF ．

⑵ 若将DEC △的边EC 沿AC 方向移动到图⑵的位置时，其他条件不变，上述结论是否成立？请说明理由．

(2)

(1)

A

B

C

D

E F G

G

F

E

D

C B

A

复习巩固

D C

B

A