小波分类
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() 2 c2e2 / 2
该小波是由一高斯函数的二阶导数所得到的,其波形
和其频谱如图所示。
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2.常用的基本小波
Mexican hat wavelet: Psi 1
The FT of Psi 20
18 0.8
16
0.6
14
12 0.4
10 0.2
0.2
10
0
8
-0.2
6
-0.4 4
-0.6
-0.8
2
-1
0
-4 -2
0
2
4
0
0.5
1
Morlet小波， (a)时域波形， (b)频谱
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2.常用的基本小波
Mexican hat小波
该小波的中文名字为“墨西哥草帽”小波，又称
Marr小波。它定义为:
(t) c(1 t2 )et2 / 2
的支撑范围在
， 的支撑范围在
。小波
(t) 具有N阶消失矩t ，0 ~在(2N 1) (t)
处具(有1NN阶) ~零N点。但db(t小) 波是非对称的，(其)相应的 0滤
波器组属共轭正交镜像滤波器组（CQMFB）。
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3.正交小波
1
1
0
－1 01
0 －1 230
db 2
1
0
－1
(t), (2 j t) 0 • Haar波是对称的。系统的单位冲击响应若具有对称性，
则该系统具有线性相位，这对于去除相位失真是非常有 利的。Haar小波是目前唯一一个既具有对称性又是有限 支撑的正交小波；
小波神经网络原理及其应用
幅度 A
sin(t)---a=1 1
morlet---a=1 1
0
0
-1
-1
0
2
4
6
8
-10 -5
0
5 10
sin(2t)---a=1/2 1
morlet---a=1/2 1
0
0
-1
-1
0
2
4
6
8
-10 -5
0
5 10
sin(4t)---a=1/4
morlet---a=1/4
1
1
0
0
-1
-1
0
2
4
6
为ω0，窗口宽度为△ ω，则相应的连续小波的傅立叶
变换为： a,()a12ej(a)
➢ 其频域窗口中心为： a,
1 a
0
➢ 窗口宽度为： 1
a
➢ 信号在频域窗内：[1 a0 . 2 1 a ,1 a02 1 a ]13
➢ 从上面的时频域的讨论可见，连续小波的时频域窗口
➢ 中心及其宽度都随a的变化而伸缩，如果我们称△t·△
事实上小波分析的应用领域十分广 泛，它包括：数学领域的许多学科；信 号分析、图象处理；量子力学、理论物 理；军事电子对抗与武器的智能化；计 算机分类与识别，音乐与语言的人工合 成；医学成像与诊断；地震勘探数据处 理；大型机械的故障诊断等方面。
.
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6.小波分析应用前景
（1） 瞬态信号或图像的突变点常包含有很重要的 故障信息，例如，机械故障、电力系统故障、脑电图、 心电图中的异常、地下目标的位置及形状等，都对应 于测试信号的突变点。因此，小波分析在故障检测和 信号的多尺度边缘特征提取方面的应用具有广泛的应 用前景。
小波系数树状结构
小波系数树状结构导言小波变换是一种非平稳信号分析的有效方法，它在信号处理、图像处理、数据压缩等领域得到了广泛的应用。
小波系数树状结构是一种用于表示小波变换结果的数据结构，它能够以树的形式将小波信号的时频特性进行可视化和分析。
在本文中，我们将介绍小波系数树状结构的原理、构建方法以及应用实例。
一、小波变换简介小波变换是一种时频分析方法，可以将信号分解成不同尺度和频率的小波基函数。
与傅里叶变换相比，小波变换适用于非平稳信号的分析，能够提供更详细的时域和频域信息。
小波变换的基本过程是将信号与小波基函数进行卷积，然后通过尺度和平移参数对卷积结果进行分析。
具体来说，小波变换可以表示为以下公式：WT(a,b)=∫f(t)ψa,b(t)dt其中，f(t)是输入信号，ψa,b(t)是小波基函数，a和b分别表示尺度因子和平移因子。
通过选择不同的小波基函数，我们可以对信号在不同尺度和频率上的特征进行分析。
二、小波系数树状结构的原理小波系数树状结构是一种用于可视化和分析小波变换结果的数据结构。
在小波变换中，我们通过不断地将信号进行分解和重构，可以得到信号的多个尺度和频率的小波系数。
小波系数树状结构将这些小波系数以树的形式进行组织，使得我们可以直观地观察信号在不同尺度和频率上的能量分布情况。
具体来说，小波系数树状结构的构建过程如下：1.对输入信号进行小波变换，得到多个尺度和频率的小波系数。
2.将小波系数按照尺度和频率进行分组，形成不同层次的节点。
3.构建树状结构，将各个节点连接起来，形成树的形状。
通过小波系数树状结构，我们可以直观地观察信号在不同尺度和频率上的特征。
树的顶层代表原始信号，树的底层代表最细节的尺度和频率。
通过展开树的节点，我们可以逐层观察信号的分解情况，从而对信号的时频特征有更深入的了解。
三、小波系数树状结构的构建方法小波系数树状结构的构建方法主要包括以下几个步骤：1. 计算小波系数对输入信号进行小波变换，得到多个尺度和频率的小波系数。
经验小波变换原理
经验小波变换原理
嘿，朋友们！今天咱来唠唠经验小波变换原理。
这玩意儿啊，就像是一把神奇的钥匙，能打开好多复杂信号的秘密大门呢！
你想想看，我们生活中的各种信号，就像一锅乱炖的大杂烩。
而经验小波变换呢，就是那个能把里面的食材一样样挑出来的巧匠。
它能把信号分成不同的部分，就像把肉啊、菜啊、土豆啊分得清清楚楚。
比如说声音信号吧，通过经验小波变换，就能把不同频率的声音给区分开来。
高音就像是小鸟叽叽喳喳，低音呢就像老牛闷闷哼哼。
这样一来，我们就能更好地理解和处理这些声音啦。
这和我们整理房间是不是有点像？把乱七八糟的东西分类整理好，找东西的时候就方便多啦。
经验小波变换也是这样，把复杂的信号整理得井井有条。
它的厉害之处还在于能捕捉到信号中的细节。
就好像我们看一幅画，普通人可能就看看大概，但是经验小波变换能看到那些细微的笔触、色彩的渐变。
这多牛啊！
而且啊，它还特别灵活。
不管是什么样的信号，它都能想办法搞定。
就像一个万能工匠，不管是修桌子还是修椅子，都不在话下。
你说这经验小波变换是不是很神奇？它就像隐藏在信号世界里的超级英雄，默默地发挥着自己的作用。
有了它，我们才能更好地理解和利用那些复杂的信号。
咱再想想，要是没有经验小波变换，那得有多麻烦啊。
就好比我们在黑暗中摸索，啥也看不清。
但有了它，就像是点亮了一盏明灯，让我们能看清前方的路。
总之呢，经验小波变换原理可真是个宝贝。
它让我们能在信号的海洋中畅游无阻，发现那些隐藏的奥秘。
你难道不想深入了解一下它吗？
原创不易，请尊重原创，谢谢!。
多尺度小波分解
多尺度小波分解多尺度小波分解是一种分析信号及图像的方法，它可以将信号分解成多个尺度上的频率分量，并且保留原始信号的细节和整体特征。
这种方法在信号处理、图像处理、数据压缩等领域得到了广泛应用。
下面详细介绍多尺度小波分解的原理、方法和应用。
一、多尺度小波分解的原理多尺度小波分解基于小波变换和尺度变换的组合。
小波变换通过对信号进行多级高通和低通滤波，将信号分解成一系列子带信号。
尺度变换则将信号缩小或放大，从而实现信号在不同尺度上的分析。
通过将小波变换和尺度变换组合使用，可以得到多尺度小波分解的结果，即将信号分解成多个尺度上的频率分量。
多尺度小波分解的优点在于它可以同时分析信号的时域和频域特性。
通过不同的小波基函数，可以对信号的不同特性进行分析，比如对于具有瞬时变化的信号，可以使用高斯小波进行分析，而对于具有节拍特征的信号，则可以使用Mexican hat小波进行分析。
二、多尺度小波分解的方法多尺度小波分解的具体方法包括以下几个步骤：1. 对原始信号进行小波变换，得到其一级高通和低通分量。
2. 对低通分量进行进一步的小波变换，得到其二级高通和低通分量。
3. 将低通分量缩小至原始信号的一半大小，得到新的尺度，称为一级尺度。
4. 对二级低通分量进行进一步的小波变换，得到其三级高通和低通分量。
5. 将二级低通分量缩小至一级低通分量的一半大小，得到二级尺度。
6. 重复以上步骤，得到更多的尺度和频率分量。
多尺度小波分解的结果就是各个尺度上的频率分量和细节分量。
其中，高尺度分量反映了信号的高频信息，低尺度分量反映了信号的低频信息。
三、多尺度小波分解的应用多尺度小波分解在信号处理、图像处理和数据压缩等领域得到了广泛应用。
在信号处理中，多尺度小波分解常常用于信号去噪、特征提取和信号分类等任务。
在图像处理中，多尺度小波分解被广泛用于图像压缩、边缘检测、纹理分析等方面。
此外，多尺度小波分解还可以用于数据的多尺度表示和多尺度分析。
数字信号处理中的小波变换
数字信号处理中的小波变换数字信号处理是一种数字化处理技术，主要用于对连续信号进行采样和转换，以便在数值计算设备上进行处理。
在数字信号处理中，小波变换是一种重要的技术，可以用来分析和处理信号。
一、小波变换的定义和基本原理小波变换（Wavelet Transform）是一种数学变换方法，它将原始信号分解为不同尺度和频率的小波成分。
与傅里叶变换相比，小波变换具有更好的时域和频域分辨率，并且能够捕捉信号的瞬态特性。
小波变换的数学定义如下：∫f(t)ψ*(t-k)dt其中，f(t)表示原始信号，ψ(t)是小波函数，*表示复共轭，k表示平移参数。
小波变换通过在时域内对小波函数进行平移和缩放来分析信号的不同频率成分。
二、小波变换的应用领域小波变换在数字信号处理中有广泛的应用，下面是一些常见领域：1. 信号处理：小波变换可以用于信号去噪、信号压缩和谱分析等方面。
通过对信号进行小波分解和重构，可以提取信号的主要特征信息，去除噪声干扰，实现信号的有效处理和分析。
2. 图像处理：小波变换可以应用于图像压缩、图像去噪和图像分析等方面。
通过对图像进行小波分解和重构，可以实现图像的压缩存储、去除图像中的噪声，并提取图像的局部特征。
3. 视频处理：小波变换可以用于视频压缩、视频去噪和视频分析等方面。
通过对视频信号进行小波分解和重构，可以实现视频的高效压缩和去除视频中的噪声，提取视频的运动特征。
4. 生物医学工程：小波变换可以应用于生物信号处理和医学图像分析等方面。
通过对生物信号和医学图像进行小波分解和重构，可以实现生物信号的识别和分类，以及医学图像的分割和特征提取。
三、小波变换与傅里叶变换的比较小波变换和傅里叶变换都是信号分析的重要工具，它们之间存在一些区别和联系。
1. 分辨率：小波变换具有局部分辨率，可以捕捉信号的瞬态特性，而傅里叶变换具有全局分辨率，适用于分析信号的频率成分。
2. 多尺度性：小波变换可以分解信号为不同尺度的小波成分，可以提取信号的多尺度信息，而傅里叶变换只能提取信号在不同频率上的分量。
基于小波系数聚类的特征提取分类方法
第 8卷第8期2001年8月计算机研究与发展JOURNAL OF COMPUTER RESEARC~8DEVELOPMENT VOl 89NO 8Aug 2001原稿收到日期:2000-07-05;修改稿收到日期:2001-0 -19基于小波系数聚类的特征提取分类方法周维忠D冯心海D孙国基@D <佛山科学技术学院电子工程系佛山528000)@<西安交通大学系统工程研究所西安710049)<fszWz @21cn cOm )摘要神经网络是一种普遍采用的模式分类方法9当对样本的抽样数目较大时9神经网络结构复杂9训练时间激增9分类性能下降9针对这一问题9提出一种基于快速小波变换特征提取的分类方法 首先对小波系数矩阵的每行进行聚类9表达重要频率范围内小波系数矩阵的行有较多的聚类数9从而大大减少了神经网络的输入数9而同时保留了有用的信息 特征提取后9采用小波系数的能量值作为特征量9应用径向基函数网络识别肺发出的各种不同的声音9实验证明:该方法有较高的识别率 关键词特征提取9快速小波变换9径向基函数神经网络中图法分类号TP91;TP 18CLASSIFICATION BASED ON FEATURE EXTRACTION FROMCLUSTER OF AVELET COEFFICIENTSZ~OU Wei -ZhOng D 9FENG Xin -~ai D 9and SUN GuO -Ji@D<Depattment of E ecttonzc Engzneetzng 9Foshan 1nstzt U te of S czence an c T echnoog y 9Foshan 528000)@<S y stem Engzneetzng 1nstzt U te 9X z an J zaotong U nz U etszt y 9X z an 710049)A bstract Neu r al ne t WO rk is p O p ula r l y used fO r p a tt e r n r ecOgni t iOn The tr aining t ime Of neu r alne t WO rk inc r eases r a p idl y Wi t h inc r easing la r ge num b e r Of sam p les It leads t O a de t e r iO r a t iOn in p e r fO r mance Of neu r al ne t WO rk A classifica t iOn a ppr Oach b ased On fas t Wa V ele t tr ansfO r m fO r fea-t u r e e xtr ac t iOn is pr esen t ed The me t hOd di V ides t he ma tr i x Of cOm p u t ed Wa V ele t cOefficien t s in t O clus t e r s in e V e ry r OWs The r OWs t ha t r e pr esen t im p O rt an t f r e g uenc y r ange ha V e a la r ge r num b e r s Of clus t e r s t han r OWs t ha t r e pr esen t less im p O rt an t f r e g uenc y r anges The in p u t num b e r s Of neu-r al ne t WO rk a r e dec r eased 9While r e t aining much infO r ma t iOn a b Ou t classified signal Af t e r fea t u r e e xtr ac t iOn 9ene r g y V alues Of Wa V ele t cOefficien t s a r e chOsen as signal fea t u r es A r adial b asic func t iOn neu r al ne t WO rk is de V elO p ed fO r classifica t iOn Of diffe r en t lung sOund signals The effec-t i V eness Of t his neW me t hOd has b een V e r ified On e xp e r imen t s a b Ou t r ecOgnizing lung sOunds Key wordsfea t u r e e xtr ac t iOn 9fas t Wa V ele t tr ansfO r m 9r adial b asis func t iOn neu r al ne t WO rk1引言在医学领域里9需要监测许多参数9例如9人的呼吸声~脑电图等9在监测过程中9需要采集大量数据9然后进行识别分类 图1为在诊断肺病过程中9监测肺发出的不同声音的分类识别系统为了准确地表达各样本的特征9尽可能多抽取采样点9若采样点过多9神经网络结构大9且训练费时9而抽样数目太小时9不能反映各样本信息9从而导致分类性能下降 而小波变换具有良好的局域化性质[1]9利用小波变换对样本采样得到的离散数字信号进行特征提取9将原来采样所得到的高维数据矢量P 映射成P /维矢量<P /<P )9从而减少了分类神经网络复杂性,而同时又保留各采样数据的主要信息.人的背部区传感器肺声采样预处理(特征提取 D模式识别分类图1肺声的识别系统所谓模式分类,其主要目的就是研究所观察到的不同模式类别之间的关系,然后再划分到各预设的类别中,本文首先对人体呼吸所产生的5类肺声进行采样,经小波变换提取各自的特征参数后,用来训练模式分类神经网络,在实际应用时,将5类肺声的抽样信号作为5种模式送入分类神经网络进行模式分类.在利用小波变换进行特征提取时,大多选择某一尺度上的小波系数代替原始信号进行识别处理[Z ,3],而不同尺度下的小波系数代表信号不同频率区域分量的大小,若其它尺度上的小波系数被丢弃,就会造成这些尺度下所代表的信号信息的遗失,使得分类率下降.本文首先对样本数据进行快速小波变换,由各尺度下的小波系数组成一小波系数矩阵,对各尺度下的小波系数,即矩阵的每一行进行聚类,提取出含有较大信号信息的小波系数作为特征矢量,将含有较小信号信息的小波系数进行合并.在聚类后,以小波系数的能量作为特征值,并作为分类径向基函数神经网络的输入量.本文以诊断肺病中各种肺的呼吸声作为识别对象,实验结果表明;所提出的方法具有较高的识别率.2离散抽样信号的小波变换由于DanbechieS 小波基具有良好的逼近性与稳定性[1],因而得到广泛的应用,本文中采用Dan-bechieS 小波基,设由图1中传感器所得到的肺声的电信号抽样后的离散数据为c O =(c On D (n =O,1,~,L -1D ,L 为抽样的数目,那么其按小波基展开得到;c (m+1D n =E Z n+Nk=Z nk-Z nc mk ,(1D其中;n =1-N Z ,1-N Z +1,~,LZ -1,对偶数L;n =1-N Z ,1-N Z +1,~,L -1Z,对奇数< L.c (m+1D n =EZ n+1k=Z n-N(-1D k Z n+1-k c mk ,(Z D其中;n =O,1,~,L +N -3Z,对偶数L;n =O,1,~,L +N -Z Z,对奇数<L.N 为DanbechieS 小波基的阶数,为奇数, O ~ N 为滤波器序列值,m 称为小波变换的尺度.c O 可由下式重构得到;c On =E+Ok=-On-Z k c 1k [+(-1D n Z k+1-n c ]1k ,对任意n Z,(3D 即序列c O 可由c 1,c 1重构,且序列c O 的能量也被分配到c 1,c 1中.c mn ,c mn 分别称为c O 的逼近分量与细节分量,c 1表示最高频率区域的分量,c Z 次之.用c O 表示的采样信号的信息可完全用其各尺度上的分量来代替,整个小波系数可用一个如图Z 所示的矩阵表示,图Z 中W 表示的部分用O 代替.图Z 序列c O 的快速小波变换在识别的过程中,识别准确率的高低主要由特征提取以及RBF 神经网络来决定.由于对肺声信号抽样而得到的离散数字信号c O 进行离散小波变换后,其输出的矩阵维数也相当大.那么要进一步减小其维数,必须从这个小波系数矩阵中进一步进行特征提取,具体步骤如图3所示.图中原始信号为肺声信号的抽样值.由于小波系数对于数字信号序列没有位置不变性,即对一个定3898期周维忠等;基于小波系数聚类的特征提取分类方法长的数字信号9若对它进行循环移位9那么它的小波变换系数也会改变9为了克服小波系数的位置可变性9选择各尺度小波系数的能量值作为基本的信号特征9且由以下定义给出.图3信号的特征提取流程定义1.一个序列a =(a )n 的能量定义为a2=+n=-G n 29把序列a 作为一矢量9则欧几里德范数 a2定义为a 2=+n=-G n (D21/2.定理1.对于序列a O 9a 19d 1的能量满足 a O2= a 1 2+ d 1 2.这个定理由式(1)~(2)可得出9由式(1)~(2)递推9可将序列a O 分解为序列d 19d 29 9d M 9a M (如图4所示)9那么序列a O 与d 19d 29 9d M 9a M 包含有同样的信息.且 a O2= a M2+Mm=1d m 2.图4有限正交小波分解从以上推导的分析可知9对定长L 的数字信号a O进行M 尺度的分解得到d 19d 29 9d M 9a M 9而d 19d 29 9d M 9a M 完全可以代替a O 9即其包含了a O 所有信息9那么这样得到的小波系数矩阵大小为L+N-1(D2>(M +1)(当L 为偶数时)9或L+N(D2>(M +1)(L为奇数)9N 为DanbechieS 小波基的阶数(为奇数).当L 较大时9这样的矩阵较庞大9会造成分类神经网络的结构复杂9那么提取的特征应包含较大的输入信号a O 的特征信息9对包含较少输入信号a O 的特征的小波系数进行合并.本文提出一种对每个尺度下的小波系数进行聚类的方法9从而减少分类神经网络输入矢量的维数.3小波系数矩阵的聚类在对小波系数矩阵聚类之前9先介绍下面两个定理,定理2[4].(中心极限定理)P z 是一个互相独立的随机变量9对任意一个z E N 和一个闭区间[a 9B ]都有P {P z E [a 9B ]}=19且令,P n = nz=1VP ~z9Z n =nz=1Pz-nz=1EPzP n<9n E N.(4)EP z 9VP z 分别为随机变量P z 的均值与方差9当且仅当n - 时P n - 9那么对Z n 服从标准正态分布N (O91).定理3[4].P z 为相互独立且服从N (O91)分布的随机序列9且72e 2为一常数9那么对任意一个小的正数E 9存在一个自然数N (E )9使得Z N =P z 9P z 22ln N ~7< >9z=1929 9N 的期望值EZ n 对任意一自然数N 2N (E )9满足下列不等式7~2TlnN <EZ n <(1+E)7~2TlnN.从定理3中可知9当N 足够大时9由于E 为任意小的正数9那么对互相独立的随机变量可定义如下[4],Z ~k =19当7k 22ln N ~7;O9当7k <2lnN ~7<.(5)即Z ~k 服从二项分布9那么对Z N = Nk=1Z~k也服从二项分布.取K 个肺声信号进行抽样9对每个抽样信号进行离散小波变换9从而分别得到其小波系数矩阵,B k =(b zJ )k 9其中,z =1929 9M +19{J =1929 9(L +N -1)/2)9L 为偶数时;z =1929 9M +19{J =1929 9(L +N)/2)9L 为奇数时94S G 计算机研究与发展2OO1年k=1,2, ,K,那么在不同的小波系数矩阵中B k,同一位置的元素可认为是相互独立的随机变量,这是由于它们是由不同的样本抽样而得到的,而各样本之间是相互独立的.那么小波系数矩阵Bk(Z zj)中同一位置的元素构成一个随机变量序列(Zzj)1,(Z zj)2, ,(Z zj)K,根据定理2,那么该随机变量序列(Z zj)1, (Z zj)2, ,(Z zj)K按式(4)进行转换得到新的随机变量Zzj:Z zj=Kk=1(Z zj)k-Kk=1E(Z zj)k0K,(6)式中E(Zzj)k 是随机变量(Zzj)k的均值,且Zzj服从正态分布N(O,1),这样得到一个新的矩阵:Z=(Z zj),(7)这个矩阵由K个小波系数矩阵进行统计合成而来的,那么它具有K个肺声抽样信号小波系数矩阵的统计特性.由于小波系数矩阵的每一行代表抽样信号在不同尺度下,即不同频率区域内的分量的大小.那么可定性地讲,在矩阵Z中,某一行的元素Zzj的值较大,意味着包含有该尺度下信号较大的信息,而Z zj较小,则含有较小的信号信息.对包含较大信息的小波系数应作为特征值予以采用.而包含较小信息的小波系数合并到其它小波系数中,即进行聚类,减少神经网络的输入量.本文中以数理统计的方式,对小波系数矩阵的每一行进行聚类.由于小波系数的大小决定它所含信号信息的多少,而与小波系数的符号无关,因而,在聚类时,小波系数都以绝对值的形式出现.在实际中,式(6)中的数学期望E(Zzj)k 得不到,这里采用均值估计的方法代替数学期望,那么可用式(8)的矩阵来代替式(6),(7)的矩阵.G=(g zj)=16RKk=1B()k Kk=1B k-Kk=1u RKk=1B()k()1,(8)式中小波系数矩阵组Bk=(Z zj)k(k=1,2, ,K).式中R为一算子,表示对所作用的矩阵的维数进行缩减,将矩阵中的所有元素排成一行,6(A), u(A)分别表示行数据A的方差与均值,I为与B k 一样大小的矩阵,其元素全为1.则根据定理2,G中的元素gzj也服从标准正态分布N(O,1),那么,根据定理3以及由其推出的结论式(5),现取一阈值T ~=2ln(L/7)(72e2,L为小波系数的数目),对式(8)进行阈值化处理,那么得到一个二进制矩阵:G Z=(6(g zj-T)),(9)对于6(I),当I2O时,6(I)=1;当I<O时,6(I)=O,这样在矩阵G Z中,元素1所对应的小波系数值较大,包含有较多的样本信号信息,它与其同一行附近且GZ中元素为O的小波系数聚为一类,GZ同一行中两个1之间的小波系数按中点分在两类中,GZ 中不同行,即不同尺度上的小波系数聚类互相不覆盖.若GZ的一行中都无1存在,则对应该行的小波系数聚为一类.4特征提取从上述聚类的分析中可知,聚类的数目U1,U2, ,U C是由采样(C为聚类的数目)信号所决定,本文把信号特征定义为小波系数能量的平方根,信号特征的数目等于所聚类的数目,将每一类作为一个特征来训练分类神经网络,具体特征提取的步骤如下:步骤1.将肺声信号抽样得到一个离散的数字信号S;步骤2.对S进行快速小波变换得到其小波系数矩阵B;步骤3.对小波系数矩阵按式(9)的矩阵模型进行同样的聚类,用U1,U2, ,U C表达所聚的类别,求出每类特征的能量Uz=UE U zU~2,U表示属于第z类对应的小波系数矩阵B中的元素.从上可看出,每个特征都代表了一组小波系数,也就是说它表达了离散信号S的时域与频域信息,而在不同尺度m下的小波系数还描述了一定的频域范围上的特征,从特征提取的过程来看有aO2=Cz=1U2z,表明这样的结构的特征矢量是具有鲁棒性的.5分类识别的神经网络由于径向基函数神经网络(radial basis function neural network)的结构简单,物理概念明确,训练速度快而被人们关注.神经网络由3层组成,结构如图5所示,输入层节点只是传递输入信号到隐层,隐层节点由像高斯核函数那样的辐射状作用函数构成,而输出节点是简单的线性函数.采用高斯核函数,如下式所式:U j=exp-(X-C j)T(X-C j)262j,5898期周维忠等:基于小波系数聚类的特征提取分类方法(j =1,2, ,N h ),其中,U j 是第j 个隐层节点的输出,X =(U 1,U 2, ,U 6)T是输入样本,C j 是高斯函数的中心值,o j 是标准化常数,N h 为隐层节点数.网络的输出y z =N hj=1tzjU j ,t zj 为连接权值.图5RBF 神经网络结构RBF 网络的学习过程分为两个阶段,第1阶段根据所有样本决定隐层各点高斯核函数的中心值C j 和标准化常数o j ,第2阶段,在决定好隐层的参数后,根据样本,利用最小二乘原则,求出输出层的权值t zj .本文采用K ~均值聚类的学习方法来确定隐层节点的个数及隐层节点的中心[5].6实验结果及分析人体的肺声主要有5类,D 正常呼气G @正常吸气G 慢呼吸G G 喘气G @咳嗽.对每个样本信号,采样速率为500次/秒,共采样750个样点,对5种肺声各取15个样本,取N =7的Danbechles 小波基,其滤波器值h 0, ,h 7分别为0.32580, 1.01095,0.89220,-0.39575,-0.26451,0.043616,0.04650,-0.01498.按式(1)~(2)对抽样值进行快速小波变换,取小波变换尺度M =6,按本文提出的方法对小波系数进行聚类,在二值化式(8)的矩阵时,当阈值T 取值较小时,得到的聚类数较多,分类神经网络结构复杂,但得到较多的特征值,使分类准确率提高G 当阈值T 取值较大时,得到的聚类数较少,简化了分类神经网络的结构,但得到的特征值少,分类识别率将下降.这样需在神经网络的复杂性与识别率之间作取舍,本文根据多次实验,取阈值T =1.5,聚类结果如表1所示,共聚为26类,分别用U 1,U 2, ,U 26表示,从表中可知,在第5尺度上聚为5类,而第4尺度上聚为4类,这意味着在第5尺度上信号频率比第4尺度上包含更多有用的信息.这样有5>15=75个学习样本特征矢量,每个样本特征矢量的维数是26,即有75组聚类的小波系数U z =(U 1(z),U 2(z), ,U 26(z)),(z =1,2, ,75)用来训练RBF 神经网络,RBF 神经网络的5个输出分别为(10000)~(01000)~(00100)~(00010)~(00001),分别代表5种肺声,采用最小均方差准则动态聚类算法对样本进行聚类[5],求出网络的中心值C z 和标准化常数o z ,再利用最小二乘法原则求出输出层的权值t zj ,从而建立一个输入层节点数为26,隐层节点数为18,输出节点为5的RBF 网络.该网络对样本的识别率为98.7%,选择了100个非学习样本,识别的准确率达97%.而采用文献[2]的方法,取第5尺度上的小波系数作为对原始信号的特征提取,同样采用RBF 网络进行分类识别,识别的准确率为92%,这种方法所采用的RBF 网络的结构和学习时间与本文相当,但识别的准确率偏低,而采用第6尺度上的小波系数作为对原始信号的特征提取,识别的准确率仅为89%.表1小波系数及其聚类尺度m 采样信号的小波系数1{c 1(0),c 1(1), ,c 1(376)}2{c 2(0),c 2(1), ,c 2(190)}3{c 3(0),c 3(1), ,c 3(46)}{c 3(47),c 3(48), ,c 3(97)}4{c 4(0), ,c 4(5)}{c 4(6), ,c 4(17)}{c 4(18), ,c 4(39)}{c 4(40), ,c 4(50)}5{c 5(0), ,c 5(4)}{c 5(5), ,c 5(6)}{c 5(7), ,c 5(15)}{c 5(16), ,c 5(23)}{c 5(24), ,c 5(27)}6{c 6(0), ,c 6(3)}{c 6(4), ,c 6(5)}{c 6(6), ,c 6(7)}{c 6(8), ,c 6(10)}{c 6(11), ,c 6(12)}{c 6(13), ,c 6(15)}6{66(0), ,66(5)}{66(6),66(7)}{66(8)}{66(9)}{66(10),66(11)}{66(12),66(13)}{66(14),66(15)}689计算机研究与发展2001年7小结本文以识别肺的各种声音为例,对样本信号进行小波变换,得到一小波系数矩阵,通过概率统计聚类方法,将系列小波系数矩阵中含有较多样本信息的小波系数提取出来,对矩阵中含有较小样本信息的小波系数进行合并,并以小波系数的能量值作为RBF 网络的输入特征矢量,每个特征矢量都代表了一组小波系数,也就是说它表达了肺声抽样离散信号S 的时域与频域信息,从提取的过程来看有a 0Z=E 6z=1~Z z ,表明这样的结构的特征矢量是具有鲁棒性的.并且大大减小了用来识别肺声的RBF 网络的输入矢量的维数,减小了网络结构的复杂性,提高了分选速度.参考文献1Daubechies I .The Wavelets transform ,time -freguency local-ization and signal analysis .IEEE Trans on Information Theo-ry ,1990,IT -36(5):961~1005Z Kalayci T ,Ozdamar O ,Erdol n .The use of Wavelet trans-form as preprocessor for the neural netWork detection of EEG spike .In :Proc IEEE Southeast Conference .Singapore ,1994.1~33Telfer B A ,Szu .Adaptive Wavelet classification of acous-tic and back scatter and imagery .Optical Engineering ,1994,33(1Z ):Z 19Z ~Z Z 034何声武.概率论与数理统计.北京:经济科学出版社,199Z ( e ShengWu .Probability Theory and mathematical Statistics (in Chinese ).Beijing :Economic Science Press ,199Z )5赵振宇,徐用懋.模糊理论和神经网络的基础与应用.北京:清华大学出版社,1996(Zhao Zhenyu ,Xu Yongmao .Basis and Application of Fuzzy Theory and neural netWork (in Chinese ).Beijing :Tsinghua University Press ,1996)周维忠男,1966年生,讲师,主要从事数字信号处理~图像处理研究与应用,在国内外杂志上发表论文10余篇.冯心海男,1939年生,教授,博士生导师,主要研究方向为振动控制与图像识别,曾获国家级及航空部科技进步奖7项,在国内外杂志上发表论文80余篇.孙国基男,1936年生,教授,博士生导师,主要研究方向为计算机仿真与应用,在国内外杂志上发表论文30余篇 .(上接第938页)(10)参考文献文后参考文献是现代科技论文的重要组成部分,但如果撰写论文时未参考文献也可以不写.它是反映文稿的科学依据和著者尊重他人研究成果而向读者提供文中引用有关资料的出处,或为了节约篇幅和叙述方便,提供在论文中提及而没有展开的有关内容的详尽文本.任何不重视参考文献,甚至于使用 文后参考文献从略 的编辑处理方法都是错误的.被列入的参考文献应该只限于那些著者亲自阅读过和论文中引用过,而且正式发表的出版物,或其他有关档案资料,包括专利等文献.私人通信~内部讲义及未发表的著作,一般不宜作为参考文献著录,但可用脚注或文内注的方式,以说明引用依据.国内外,对文后参考文献的著录方法历来很多,但自从ISO 制订国际标准以来已有渐趋一致的动向,目前,我国文献工作标准化技术委员会已经根据国际标准化工作发展趋势,制订出自己的国家标准 GB 7714-87<文后参考文献著录规则>,明确规定我国的科技期刊采用国际上通行的 顺序编码制 和 著者-出版年制 .前者根据正文中引用参考文献的先后,按著者~题名~出版事项的顺序逐项著录;后者首先根据文种(按中文~日文~英文~俄文~其他文种的顺序)集中,然后按参考文献著的姓氏笔画或姓氏首字母的顺序排列,同一著者有多篇文献被参考引用时,再按文献出版年份的先后依次给出.文后参考文献的著录形式还是比较复杂的,具体执行时请随时查阅GB 7714-87的规定.(11)附录附录是论文的附件,不是必要组成部分.它在不增加文献正文部分的篇幅和不影响正文主体内容叙述连贯性的前提下,向读者提供论文中部分内容的详尽推导~演算~证明~仪器~装备或解释~说明,以及提供有关数据~曲线~照片或其他辅助资料,如计算机的框图和程序软件等.附录与正文一样,编入连续页码.(全文完)7898期周维忠等:基于小波系数聚类的特征提取分类方法基于小波系数聚类的特征提取分类方法作者：周维忠， 冯心海， 孙国基作者单位：周维忠,冯心海(佛山科学技术学院 电子工程系)， 孙国基(西安交通大学系 统工程研究所)刊名：计算机研究与发展英文刊名：JOURNAL OF COMPUTER RESEARCH AND DEVELOPMENT年，卷(期)：2001,38(8)被引用次数：8次1.Daubechies I The wavelets transform, time-frequency localization and signal analysis 1990(05)2.Kalayci T;Ozdamar O;Erdol N The use of wavelet transform as preprocessor for the neural network detection of EEG spike 19943.Telfer B A;Szu H H Adaptive wavelet classification of acoustic and back scatter and imagery 1994(12)4.何声武概率论与数理统计 19925.赵振宇;徐用懋模糊理论和神经网络的基础与应用 19966.HeShengwu Probability Theory and Mathematical Statistics(in Chinese) 19927.Zhao Zhenyu;Xu Yongmao Basis and Application of Fuzzy Theory and Neural Network 19961.杨晓花.万建平.黄光辉.Yang Xiaohua.Wan Jianping.Huang Guanghui基于有序抽样样本参数的置信区间[期刊论文]-华中科技大学学报（自然科学版）2005,33(3)2.杨春成.陈双军.何列松.谢鹏.周校东.YANG Chun-cheng.CHEN Shuang-jun.HE Lie-song.XIE Peng.ZHOUXiao-dong基于小波变换的栅格数据聚类[期刊论文]-地理与地理信息科学2008,24(4)3.金峰.叶天麒基于快速小波变换的结构枯频压缩估计[会议论文]-19994.侯正信.刘建忠.宋占杰.杨爱萍.HOU Zheng-xin.LIU Jian-zhong.SONG Zhan-jie.YANG Ai-ping全相位多维多抽样率数字滤波器设计[期刊论文]-天津大学学报2011,44(4)5.张宗平.刘贵忠.杨一文嵌入分层聚类的小波零树图像编码[期刊论文]-计算机学报2002,25(11)6.石慧.曾三友.陈光.SHI Hui.ZENG San-you.CHEN Guang基于正交设计求解动态鲁棒问题的新算法[期刊论文]-计算机应用研究2008,25(3)7.王丽娟基于智能天线的OFDM自适应多业务传输系统的研究[学位论文]20048.邓勇刚.徐波.黄泰翼.DENG Yong-Gang.XU Bo.HUANG Tai-Yi Palm PC 语音识别算法及实现[期刊论文]-计算机研究与发展2000,37(8)9.樊新海.安钢.邱绵浩.FAN Xin-hai.AN Gang.QIU Mian-hao基于 Welch 法的一种目标识别方法[期刊论文]-华北工学院测试技术学报2001,15(1)10.李开灿.黄学维.LI KAICAN.HUANG XUEWEI有缺失数据的正态母体参数的后验分布及其抽样算法[期刊论文]-应用数学学报2009,32(2)1.范蕤.潘永惠基于小波变换的车牌定位算法研究[期刊论文]-通化师范学院学报 2008(10)2.刘毅.张彩明.赵玉华.董亮基于多尺度小波包分析的肺音特征提取与分类[期刊论文]-计算机学报 2006(5)3.何智勇.章孝灿.黄智才.蒋亨显一种高分辨率遥感影像水体提取技术[期刊论文]-浙江大学学报(理学版)。
《小波与分形理论》课件
分形在小波分析中的应用
分形理论可以用于理解和描述小波变换 的性质和行为，例如小波变换的分形维
数和小波变换的局部性等。
分形结构可以作为小波基函数，用于构 造具有特定性质的小波，例如具有特定 分形维数的小波或具有特定局部性特征
的小波。
分形理论还可以用于分析和理解小波变 换在处理复杂信号和图像时的性能和特 点，例如小波变换在处理具有分形特征
信号处理与分析
信号降噪
小波变换能够将信号分解成不同频率 的子信号，从而实现对信号的降噪处 理。通过对低频子信号进行阈值处理 ，可以去除信号中的噪声，提高信号 的信噪比。
信号特征提取
分形理论在信号特征提取方面也有应 用。通过计算信号的分形维数，可以 提取出信号中的特征信息，从而用于 信号分类、识别和预测等任务。
小波变换与量子计算
量子计算技术的发展为小波变换提供了新的计算平台，有望加速小波变 换的计算速度，提高算法的实时性。
当前研究的热点问题
小波变换在医学影像处理中的应用
医学影像数据具有高维度和复杂的空间结构，小波变换在医学影像处理中具有广泛的应用 前景，如图像压缩、特征提取和疾病诊断等。
分形理论在金融市场中的应用
计算机图形学与艺术
计算机动画
小波变换可以用于计算机动画的制 作。通过小波变换，可以将复杂的动 画场景分解成简单的子场景，从而实 现动画的分层制作和细节控制。
数字艺术创作
分形理论在数字艺术创作方面也有应 用。通过分形算法，可以生成具有自 相似性的艺术图案，从而用于数字艺 术作品的创作和设计。
05
未来展望与研究方向
的信号和图像时的优势和局限性。
04
小波与分形理论的实际应用
图像压缩与处理
多尺度小波
报告内容
1. 小波变换 2. 图像分类问题现状 3. 小波多尺度统计特征抽取及图像分类 4. 实验比较 5. 下一步工作 6. 参考文献
1. 小波变换
➢ 小波变换是强有力的时频分析(处理)工具，是在 克服傅立叶变换缺点的基础上发展而来的。已成 功应用于很多领域，如信号处理、图像处理、模 式识别等。
cn0
x
n
ckJ
kJ
x
d
kj
J k
x
nZ
k
j1 k
ckj
称为尺度系
数，d
j k
称为
小波系数，它们的计算：
ckj
d
j k
nZ nZ
ckj
1l
n
2k
d
j k
1hn
2k
一维MALLAT算法
1.2 二维小波变换（二维多尺度分析）
二维小波变换是由一维小波变换扩展而来的，二维尺度 函数和二维小波函数可由一维尺度函数和小波函数张量 积得到，即：
分类器
Support vector machine classifier Bayesian network classifier
Multiple neural network classifiers Support vector machine classifier
特征空间的分类方法可降低数据维数，降低计算复 杂性，但问题相关性较强，与特征提取的方法和效 果有很大关系。
文献[5]对常见的纹理分类进行了综述，如下表：
文献 文献[6]
特征 Gabor filters
文献[7] 文献[8]
Gabor filters and Statistical features Gabor filters
小波分析的理解
小波变换是克服其他信号处理技术缺陷的一种分析信号的方法。
小波由一族小波基函数构成，它可以描述信号时间（空间）和频率（尺度）域的局部特性。
采用小波分析最大优点是可对信号进行实施局部分析，可在任意的时间或空间域中分析信号。
小波分析具有发现其他信号分析方法所不能识别的、隐藏于数据之中的表现结构特性的信息，而这些特性对机械故障和材料的损伤等识别是尤为重要的。
如何选择小波基函数目前还没有一个理论标准，常用的小波函数有Haar、Daubechies(dbN)、Morlet、Meryer、Symlet、Coiflet、Biorthogonal 小波等15种。
但是小波变换的小波系数为如何选择小波基函数提供了依据。
小波变换后的系数比较大，就表明了小波和信号的波形相似程度较大；反之则比较小。
另外还要根据信号处理的目的来决定尺度的大小。
如果小波变换仅仅反映信号整体的近似特征，往往选用较大的尺度；反映信号细节的变换则选用尺度不大的小波。
由于小波函数家族成员较多，进行小波变换目的各异，目前没有一个通用的标准。
根据实际运用的经验，Morlet小波应用领域较广，可以用于信号表示和分类、图像识别特征提取；墨西哥草帽小波用于系统识别；样条小波用于材料探伤；Shannon正交基用于差分方程求解。
现在对小波分解层数与尺度的关系作如下解释：是不是小波以一个尺度分解一次就是小波进行一层的分解？比如：[C,L]=wavedec(X,N,'wname')中，N为尺度，若为1，就是进行单尺度分解，也就是分解一层。
但是W=CWT(X,[2:2:128],'wname','plot')的分解尺度又是从2～128以2为步进的，这里的“分解尺度”跟上面那个“尺度”的意思一样吗？[C,L]=wavedec(X,N,'wname')中的N为分解层数, 不是尺度,'以wname'是DB小波为例, 如DB4, 4为消失矩,则一般滤波器长度为8, 阶数为7.wavedec针对于离散,CWT是连续的。
常用小波的分类
2.常用的基本小波
Mexican hat小波
该小波的中文名字为“墨西哥草帽”小波，又称 Marr小波。
2
t 2 / 2
2 1/ 4 ，其傅里叶变换为 式中 c 3 2 2 / 2 () 2 c e
该小波是由一高斯函数的二阶导数所得到的,其波形 和其频谱如图所示。
db小波的特点外，主要是 (t ) 是接近对称的，因此，
所用的滤波器可接近于线性相位。下图中是N＝4时
的对称小波。
2016/3/2
21
3.正交小波
Sym4: Phi 1.2 1.5 Sym4: Psi 1 1 0.8 0.5 0.6 0 0.4 -0.5 0.2 -1
0
-0.2
0
2
4
6
8
-1.5
1 0 －1 0 1 2 1 0 －1 3 0 1 0 2 4 －1 0 2 4 1 0 1 0 5 10
d b2
1 0 －1 0 5 10
－1 －1 6 0 2 4 6 8 0
d b3
1 0 －1 0 5 10 15
d b4
1 0 －1 0 5
d b5
1 0 －1 0 10 15 5
d b6
10 15
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2.常用的基本小波
Gaussian wavelet: Psi 1.2 1 0.8 0.6 0.4 0.2 0 -0.2 -0.4 -0.6 -0.8 -10 0 5 15 The FT of Psi 10
-5
0
5
10
0
0.5
1
高斯小波，取k=4,(a)时域波形，(b)频谱
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常用小波的分类剖析
0
6
4
-0.2 2
-0.4
0
-4 -2
0
2
4
0
0.5
1
墨西哥草帽小波，(a)时域波形，(b)频谱
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2.常用的基本小波
Mexican hat小波不是紧支撑的，不是
正交的，也不是双正交的，但它是对称 的，可用于连续小波变换。由于该小波 在 处0 有二阶零点，因此它满足容许 条件，且该小波比较接近人眼视觉的空 间响应特征
Haar小波是不连续小波，由于 t (t)dt 0 ， 因此处() 只有一阶零点 0 ，这就使 得Haar小波在实际的信号分析与处理中 受到了限制。
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2.常用的基本小波
Morlet小波
Morlet小波定义为
(t) et2 / 2e jt
其傅里叶变换
() 2 e(0 )2 / 2
(t), (2 j t) 0 • Haar波是对称的。系统的单位冲击响应若具有对称性，
则该系统具有线性相位，这对于去除相位失真是非常有 利的。Haar小波是目前唯一一个既具有对称性又是有限 支撑的正交小波；
• Haar小波仅取＋1和－1，计算简单。
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2.常用的基本小波
➢ Haar小波缺点
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2.常用的基本小波
Haar小波
Haar小波来自于数学家Haar于1910年提出的 Haar正交函数集，其定义是：
1
(t) 1
0
0 t 1/ 2
1/
2
t
1
其它
其波形如图所示。 (t的) 傅里叶变换是：
小波简介
小波简介摘要小波是数学函数，它把数据分割成不同的频率成分，然后用与其规模相匹配的解决方案来研究每个频率成分，小波在物理情况下比传统的傅立叶方法有诸多的优点，即在信号包含不连续点和尖峰值的时候。
小波在数学，量子物理，电器工程和地质学方面都有独立的发展。
在过去的十年间这些独立的领域之间的交流导致了许多新的小波应用。
比如图象压缩，湍流，人的视觉，雷达，地震预测等。
本卷把小波介绍给那些数字信号处理领域之外的有兴趣的技术人员，我从傅立叶方法开始对小波的发展史做了描述，比较了小波变换和傅立叶变换，以及其他的特殊小波方面。
以一些有趣的例子作为结束，如图象压缩，音乐音调和去噪数据。
1：波回顾小波分析的基本方法是按照规模来分析，的确，一些小波领域的研究人员感觉通过使用小波你其实是在处理数据时候采用了一种全新的思维模式，或者说观点。
小波是可以满足特定数学要求的函数，被广泛用于数据重现和其他用途。
其实这种方法并不是一种新的方法，自从19世纪早期，当傅立叶发现他可以叠加正弦和余弦函数来重现其他的函数或应用时，这种利用叠加的近似已经存在了。
然而在小波分析的过程当中，我们用于观察数据的规模扮演了特殊的角色，小波分析方法以不同的规模和解决方案来处理数据，如果我们用一个小窗来观察信号，我们可以注意到一些微小的特征，小波分析的结果是我们既可以看到森林又可以看到树木。
这一切使得小波方法有趣而且有用。
数十年来，科学家希望找到比正弦和余弦（包括傅立叶分析法）更好更合适的函数来近似信号（1），经过这些科学家的定义，这些函数都是非本地的，是无限延拓的，他们因此也做了许多尖峰近似的工作，但随着小波分析的出现，我们可以用一些包含有限应用的近似函数，小波分析法特别适合于有尖峰成分的近似数据。
小波分析过程采用了一种小波原形函数，即所谓的分析小波或叫做母小波。
状态分析是和合同的，高频率，的原型小波一起起作用的，但是频率分析是与不合同的低频率的同小波一起起作用的，因为原始信号或函数可以以小波拓展的形式得到重现（即使用小波函数的线形组合的系数），数据操作可以只用相应的小波系数来完成。
信号的小波系数
信号的小波系数信号的小波系数是指在小波分析中，对信号进行小波变换后所得到的各个尺度和位置的系数。
小波变换是一种时频分析方法，可以将信号从时域转换到频域，同时还可以提供信号的时域和频域信息。
小波系数是小波变换的结果，它可以用来描述信号的时频特性，对信号的局部特征进行分析。
小波系数可以用于多个领域的应用，例如信号处理、图像处理、通信等。
在信号处理中，小波系数可以用来分析信号的频率变化和时域特征，从而提取信号的相关信息。
在图像处理中，小波系数可以用来进行图像压缩和去噪，从而提高图像的质量和减少数据量。
在通信中，小波系数可以用来进行信号调制和解调，从而提高信号传输的效率和可靠性。
小波系数的计算是通过一系列小波函数与信号进行内积运算得到的。
小波函数是一组基函数，可以用来表示不同尺度和位置的信号。
通过对信号进行小波变换，可以得到小波系数矩阵，其中每个元素表示不同尺度和位置的小波系数。
小波系数矩阵可以用来描述信号的时频特性，可以通过对小波系数矩阵进行分析来提取信号的相关信息。
小波系数的特点是具有多分辨率特性，即可以对信号的不同频率成分进行分析。
通过调整小波函数的尺度和位置，可以对不同频率的信号进行分解和重构。
小波系数可以提供信号的时域和频域信息，可以捕捉到信号的瞬时特性和周期性特征。
小波系数的计算是通过离散小波变换或连续小波变换来实现的，可以根据具体的应用需求选择合适的小波函数和变换方式。
在实际应用中，小波系数可以通过小波分析软件或编程语言来计算和分析。
通过对小波系数的分析，可以得到信号的频谱图、时频图和功率谱等信息。
小波系数分析可以用于信号的特征提取、信号的分类和识别、信号的降噪和去除干扰等方面。
小波系数的应用范围广泛，可以用于多个领域的信号分析和处理。
信号的小波系数是一种描述信号时频特性的重要工具，可以用于信号的分析和处理。
通过对小波系数的计算和分析，可以获取信号的时域和频域信息，提取信号的相关特征，从而实现对信号的有效处理和利用。
小波变换的基本原理与理论解析
小波变换的基本原理与理论解析小波变换（Wavelet Transform）是一种在信号处理和图像处理领域中广泛应用的数学工具。
它通过将信号分解成不同频率和时间的小波分量，可以有效地捕捉信号的局部特征和时频特性。
本文将介绍小波变换的基本原理和理论解析。
一、小波变换的基本原理小波变换的基本原理可以概括为两个步骤：分解和重构。
1. 分解：将原始信号分解为不同尺度和频率的小波分量。
这个过程类似于频谱分析，但是小波变换具有更好的时频局部化特性。
小波分解可以通过连续小波变换（Continuous Wavelet Transform，CWT）或离散小波变换（Discrete Wavelet Transform，DWT）来实现。
在连续小波变换中，原始信号与一组母小波进行卷积，得到不同尺度和频率的小波系数。
母小波是一个用于分解的基本函数，通常是一个具有有限能量和零平均的函数。
通过在时间和尺度上的平移和缩放，可以得到不同频率和时间的小波分量。
在离散小波变换中，原始信号经过一系列低通滤波器和高通滤波器的处理，得到不同尺度和频率的小波系数。
这种方法更适合于数字信号处理，可以通过快速算法（如快速小波变换）高效地计算。
2. 重构：将小波分量按照一定的权重进行线性组合，恢复原始信号。
重构过程是分解的逆过程，可以通过逆小波变换来实现。
二、小波变换的理论解析小波变换的理论解析主要包括小波函数的选择和小波系数的计算。
1. 小波函数的选择：小波函数是小波变换的核心，它决定了小波变换的性质和应用范围。
常用的小波函数有Morlet小波、Haar小波、Daubechies小波等。
不同的小波函数具有不同的时频局部化特性和频谱性质。
例如，Morlet小波适用于分析具有明显频率的信号，而Haar小波适用于分析信号的边缘特征。
选择合适的小波函数可以提高小波变换的分辨率和抗噪性能。
2. 小波系数的计算：小波系数表示了信号在不同尺度和频率上的能量分布。
小波基本理论及应用PPT课件
小波变换的应用领域
信号处理
小波变换在信号处理领域应用广泛，可 以用于信号的降噪、压缩、识别和分类
等。
模式识别
小波变换可以用于模式识别中的特征 提取和分类器设计，如人脸识别、语
小波基本理论及应用ppt课 件
目录
• 小波理论概述 • 小波变换的数学基础 • 小波变换的算法实现 • 小波变换在信号处理中的应用 • 小波变换在图像处理中的应用 • 小波变换在其他领域的应用
01
小波理论概述
小波的定义与特性
小波的定义
小波是一种特殊的函数，其时间窗和频率窗都可以改变，且在时间域和频率域 都具有很好的局部化特性。
在信号处理中，通过调整小波变换的尺度和平移参数，可 以得到信号在不同时间和频率下的局部信息，从而更好地 理解信号的特征和性质。
03
小波变换的算法实现
一维小波变换算法
一维小波变换算法是实现小波变换的基本方法之一，它通过对一维信号进行多尺度分析，将信号分解 成不同频率和不同时间分辨率的成分。
一维小波变换算法可以分为连续小波变换和离散小波变换两种，其中离散小波变换在实际应用中更为广 泛。
量子纠缠的检测
小波变换可以用于检测量子纠缠，有 助于理解和应用量子纠缠的性质。
量子计算中的优化问题
小波变换可以用于优化量子计算中的 某些问题，提高量子计算的效率。
量子模拟中的近似方法
小波变换可以用于近似求解某些量子 模拟问题，提供一种有效的近似方法。
在金融领域的应用
金融数据分析
小波变换可以用于金融数据分析，如股票价 格、外汇汇率和商品价格等的分析。
小波分析原理
小波分析原理小波分析是一种用于信号处理和数据分析的重要工具，它能够将信号分解成不同频率的成分，从而更好地理解信号的特性。
小波分析原理涉及到信号的时频特性，以及小波函数的选择和小波变换的计算方法。
本文将对小波分析的原理进行介绍，帮助读者更好地理解这一重要的信号处理工具。
小波分析是一种时频分析方法，它能够在时间和频率上对信号进行局部分析。
与傅里叶变换不同，小波分析可以同时提供信号的时域和频域信息，因此在处理非平稳信号和非线性系统时具有更大的优势。
小波分析的基本原理是利用小波函数对信号进行分解，得到不同尺度和频率的成分，从而揭示信号的时频特性。
在小波分析中，选择合适的小波函数是十分重要的。
不同的小波函数具有不同的时频特性，因此在实际应用中需要根据信号的特点来选择合适的小波函数。
常用的小波函数包括Haar小波、Daubechies小波、Morlet小波等，它们分别适用于不同类型的信号分析。
在选择小波函数时，需要考虑信号的频率范围、时间分辨率和频率分辨率等因素，以及小波函数的正交性和紧支撑性等性质。
小波变换是实现小波分析的数学工具，它通过对信号进行连续或离散的小波变换，得到信号在不同尺度和频率上的分量。
小波变换的计算方法包括连续小波变换（CWT）和离散小波变换（DWT），它们分别适用于连续信号和离散信号的分析。
在实际应用中，离散小波变换由于计算效率高和实现简便而得到广泛应用，尤其是在信号压缩、特征提取和模式识别等领域。
总之，小波分析是一种重要的信号处理工具，它能够在时频领域对信号进行局部分析，揭示信号的特性和结构。
小波分析原理涉及到信号的时频特性、小波函数的选择和小波变换的计算方法，需要综合考虑信号的特点和分析的要求。
希望本文能够帮助读者更好地理解小波分析的原理和应用，为实际工程和科学问题的解决提供参考和帮助。
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2014-7-25
13
2.常用的基本小波
Gaussian小波
高斯小波是由一基本高斯函数分别求导而得到 的，定义为： d k t 2 / 2 (t ) c k e k 1,2, ,8 dt ， 式中定标常数是保证 (t ) 2 1。 该小波不是正交的，也不是双正交的，也不是紧 (t ) 支撑的。当k取偶数时 (t ) 正对称，当k取奇数时， 反对称。下图中给出了k=4时的 (t ) 的时域波形及对 应的频谱。
该小波是由一高斯函数的二阶导数所得到的,其波形 和其频谱如图所示。
2014-7-25 11
2.常用的基本小波
Mexican hat wavelet: Psi 1 20 18 0.8 16 0.6 14 12 10 0.2 8 6 4 -0.2 2 -0.4 -4 0 The FT of Psi
0.4
d b7
d b8
d b9
d b1 0
dbN小波
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19
3.正交小波
表 7-1 Daubechies小波滤波器系数（低通滤波器）
h
k
22014-7-25203.正交小波
对称小波
对称小波简记为symN，N=2,3,…,8，它是db小波的
改进，也是由Daubechies提出并构造的。它除了有
1 0 －1 0 1 2 3 1 0 －1 1 0 0 2 4 －1 0 2 4 6 1 0 －1 0 2 4 6 8 1 0 －1 0 5 10
d b2
1 0 －1 0 5 10
d b3
1 0 －1 0 5 10 15
d b4
1 0 －1 0 5
d b5
1 0 －1 0 10 15 5
d b6
10 15
2.常用的基本小波
Haar小波的优点
•
•
Haar小波在时域是紧支撑的，即其非零区间为（0，1）
Haar小波属正交小波。若取 a 2 j , j Z , b Z ，那么
(t ), (2 j t ) 0 Haar波是对称的。系统的单位冲击响应若具有对称性，
•
则该系统具有线性相位，这对于去除相位失真是非常有
3.正交小波
目前提出的正交小波大致可分为四种， 即Daubechies小波，对称小波， Coiflets小波和Meyer小波。这些正交小 波和前面所讨论的“经典小波”不同， (t ) 它们一般不能由一个简洁的表达式给出 ， 而是通过一个叫做“尺度函数”的 (t ) 的 加权组合来产生的。
2014-7-25
2014-7-25 10
2.常用的基本小波
Mexican hat小波
该小波的中文名字为“墨西哥草帽”小波，又称 Marr小波。它定义为:
(t ) c(1 t )e
2
t 2 / 2
2 1/ 4 ，其傅里叶变换为 式中 c 3 2 2 / 2 () 2 c e
3
2014-7-25
2.常用的基本小波
Haar小波
Haar小波来自于数学家Haar于1910年提出的 Haar正交函数集，其定义是：
1 (t ) 1 0
0 t 1 / 2 1/ 2 t 1 其它
(t ) 的傅里叶变换是： 其波形如图所示。
2014-7-25 14
2.常用的基本小波
Gaussian wavelet: Psi 1.2 1 0.8 0.6 0.4 0.2 0 -0.2 -0.4 -0.6 -0.8 -10 0 5 15 The FT of Psi 10
-5
0
5
10
0
0.5
1
高斯小波，取k=4,(a)时域波形，(b)频谱
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-0.2
0
10
20
30
-1
0
10
20
30
Coiflets小波，(a) (t )，(b) (t )
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3.正交小波
Meyer小波
Meyer小波简记为meyr，它是由Meyer于1986年提
出的。该小波无时域表达式，它是由一对共轭正交镜
像滤波器组的频谱来定义的。
Meyer小波是正交、双正交的，但不是有限支撑
Dec. scalling function:Phi 4 2 0 -2 -4
Dec. wavelet function:Psi
15
0
5
10
15
Rec. scalling function:Phi 0.8 0.6 0.4 0.2 0 1 0.5 0 -0.5 -1
Rec. wavelet function:Psi
小波分析及其matlab工具箱
小波分类
基本内容
1.小波的分类 2.常用的基本小波
3.正交小波 4.双正交小波
2014-7-25
2
1.小波的分类
第一类:是所谓地“经典小波”，在 MATLAB中又称作“原始小波”。 第二类：是Daubecheis构造的正交 小波 第三类：是由Cohen，Daubechies构 造的双正交小波
2
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9
2.常用的基本小波
Morlet wavelet: Psi 1 0.8 0.6 12 0.4 0.2 0 -0.2 -0.4 4 -0.6 -0.8 -1 -4 2 0 10 8 6 16 14 The FT of Psi
-2
0
2
4
0
0.5
1
Morlet小波， (a)时域波形， (b)频谱
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3.正交小波
N 2 ~ 10 N 1。当时，db1即 dbN中的表示db小波的阶次， ，
是Haar小波。因此，前述的Haar小波应归于“正交小 N 2 ~ 10 时的 (t ),h0 , h1, g0 波”类。Daubechies计算出了 及 g1 。
db小波是正交小波，也是双正交小波，并是紧支撑的。
0
5
10
15
0
5
10
15
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双正交小波bior3.7 (a) 分解尺度函数 (t ) ，(b) 分解小波 (t ) ， (c) 重建尺度函数 (t ) ，(d) 重建小波 (t )
30
16
3.正交小波
Daubechies小波
Daubechies小波简称db小波。它是由法国女学者
Ingrid Dauechies于90年代初提出并构造。
Daubechies对小波变换的理论做出了突出的贡献，
特别是在尺度a取2的整数次幂时的小波理论及正交 小波的构造方面进行了深入的研究，其代表作 《Ten Lectures on Wavelet （小波十讲）》
0
-2
0
2
4
0
0.5
1
墨西哥草帽小波，(a)时域波形，(b)频谱
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2.常用的基本小波
Mexican hat小波不是紧支撑的，不是
正交的，也不是双正交的，但它是对称 的，可用于连续小波变换。由于该小波 在 0 处有二阶零点，因此它满足容 许条件，且该小波比较接近人眼视觉的 空间响应特征
利的。Haar小波是目前唯一一个既具有对称性又是有限
支撑的正交小波；
•
2014-7-25
Haar小波仅取＋1和－1，计算简单。
6
2.常用的基本小波
Haar小波缺点
Haar小波是不连续小波，由
于 点
( )
t (t )dt 0
，因此处
0 只有一阶零
，这就使得Haar小波在实际的信
0
2
4
6
8
N＝4时的对称小波，(a) (t ) ，(b) (t )
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3.正交小波
Coiflets小波
该小波简记为coifN，N=1,2,…,5。在db小波中，
Daubechies小波仅考虑了使小波函数 (t ) 具有消失
矩（N阶），而没考虑尺度函数 (t )。
2014-7-25 8
2.常用的基本小波
MATLAB中将Morlet小波定义改造为： (t ) et / 2 cos0t 并取 0 5 该小波不是紧支撑的，理论上讲t可取 ~ () 和 (t ) 在时域和 但是当 0 5 ，或再取更大的值时， 频域都具有很好的集中，如图所示。
coifN是紧支撑正交、双正交小波，支撑范围
(t ) 的消失矩是2N， 为 6 N 1 ，也是接近对称的。
(t ) 的消失矩是2N－1。
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3.正交小波
Coif4: Phi 1.2 1.5 Coif4: Psi 1 1 0.8 0.5
0.6
0.4
0
0.2 -0.5 0
db小波的特点外，主要是 (t ) 是接近对称的，因此，
所用的滤波器可接近于线性相位。下图中是N＝4时
的对称小波。
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3.正交小波
Sym4: Phi 1.2 1.5 Sym4: Psi 1 1 0.8 0.5 0.6 0 0.4 -0.5 0.2 -1
0
-0.2
0
2
4
6
8
-1.5
(t ) 的支撑范围在 t 0 ~ (2 N 1) ， (t ) 的支撑范围
在 (1 N ) ~ N。小波 (t )具有N阶消失矩， ( ) 在 0