六年级奥数-第一讲1分数的速算与巧算学生版-5页精选文档

第一讲:分数的速算与巧算

教学目标

本讲知识点属于计算大板块内容，分为三个方面系统复习和学习小升初常考计算题型.

1、 裂项：是计算中需要发现规律、利用公式的过程，裂项与通项归纳是密不可分的，本讲要求学生掌握裂项技巧及寻找通项进行解题的能力

2、 换元：让学生能够掌握等量代换的概念，通过等量代换讲复杂算式变成简单算式。

3、 循环小数与分数拆分：掌握循环小数与分数的互化，循环小数之间简单的加、减运算，涉及循环小数与分数的主要利用运算定律进行简算的问题．

4、通项归纳法

通项归纳法也要借助于代数，将算式化简，但换元法只是将“形同”的算式用字母代替并参与计算，使计算过程更加简便，而通项归纳法能将“形似”的复杂算式，用字母表示后化简为常见的一般形式．

知识点拨

一、裂项综合

（一）、“裂差”型运算

(1)对于分母可以写作两个因数乘积的分数，即1a b

⨯形式的，这里我们把较小的数写在前面，即a b <，那么有1111()a b b a a b

=-⨯- (2)对于分母上为3个或4个连续自然数乘积形式的分数，即：

1(1)(2)n n n ⨯+⨯+，1(1)(2)(3)

n n n n ⨯+⨯+⨯+形式的，我们有： 裂差型裂项的三大关键特征：

（1）分子全部相同，最简单形式为都是1的，复杂形式可为都是x(x 为任意自然数)的，但是只要将x 提取出来即可转化为分子都是1的运算。

（2）分母上均为几个自然数的乘积形式，并且满足相邻2个分母上的因数“首尾相接”

（3）分母上几个因数间的差是一个定值。

（二）、“裂和”型运算：

常见的裂和型运算主要有以下两种形式：

（1）11a b a b a b a b a b b a

+=+=+⨯⨯⨯ （2）2222a b a b a b a b a b a b b a +=+=+⨯⨯⨯ 裂和型运算与裂差型运算的对比：

裂差型运算的核心环节是“两两抵消达到简化的目的”，裂和型运算的题目不仅有“两两抵消”型的，同时还有转化为“分数凑整”型的，以达到简化目的。

三、整数裂项

(1) 122334...(1)n n ⨯+⨯+⨯++-⨯1(1)(1)3

n n n =-⨯⨯+ (2) 1123234345...(2)(1)(2)(1)(1)4

n n n n n n n ⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯++-⨯-⨯=--+

二、换元

解数学题时，把某个式子看成一个整体，用另一个量去代替它，从而使问题得到简化，这叫换元法．换元的实质是转化，将复杂的式子化繁为简．

三、循环小数化分数

例：110=112020+=()()11+=()()11+=()()11+=()()11+

分析：分数单位的拆分，主要方法是：

从分母N 的约数中任意找出两个m 和n,有：

本题10的约数有:1,10,2,5.。

例如：选1和2，有：

本题具体的解有：

例题精讲

模块一、分数裂项

【例 1】 计算：

57191232348910+++=⨯⨯⨯⨯⨯⨯L ． 【解析】 如果式子中每一项的分子都相同，那么就是一道很常见的分数裂项的题目．但是本题中分子不相同，而是成等差数列，且等差数列的公差为2．相比较于2，4，6，……这一公差为2的等差数列(该数列的第n 个数恰好为n 的2倍)，原式中分子所成的等差数列每一项都比其大3，所以可以先把原式中每一项的分子都分成3与另一个的和再进行计算．也可以直接进行通项归纳．根据等差数列的性质，可知分子的通项公式为23n +，所以

()()()()()()2323121212n n n n n n n n n +=+⨯+⨯++⨯+⨯+⨯+，再将每一项的()()2

12n n +⨯+与()()

312n n n ⨯+⨯+分别加在一起进行裂项．后面的过程与前面的方法相同． 【巩固】 计算：5717191155234345891091011

⨯++++⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯L （

） 【巩固】 计算：3451212452356346710111314

++++⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯L 【解析】 本题为典型的“隐藏在等差数列求和公式背后的分数裂差型裂项”问题。此类问题需要从最简单的项开始入手，通过公式的运算寻找规律。从第一项开始，对分母进行等差数列求和运算公式的代入有

112(11)11122==+⨯⨯，

112(12)21223

2==+⨯+⨯，……， 【解析】 这题是利用平方差公式进行裂项：22()()a b a b a b -=-⨯+，

【解析】 找通项(1)(1)2(1)(1)212

n n n

n n a n n n n +⨯⨯+==+⨯⨯+--

【例 2】 计算：222

22223992131991

⨯⨯⨯=---L 【解析】 通项公式：()()()()()

221111112n n n a n n n n ++==+++-+， 【巩固】 计算：222222129911005000220050009999005000

+++=-+-+-+L 【解析】 本题的通项公式为221005000

n n n -+，没办法进行裂项之类的处理．注意到分母()()()2100500050001005000100100100n n n n n n -+=--=----⎡⎤⎣⎦，可以看出如果把n 换成100n -的话分母的值不变，所以可以把原式子中的分数两两组合起来，最后单独剩下一个22505050005000

-+．将项数和为100的两项相加，得 所以原式249199=⨯+=．（或者，可得原式中99项的平均数为1，所以原式19999=⨯=）

【解析】 虽然很容易看出321⨯＝3121-，541⨯＝5

141-……可是再仔细一看，并没有什么效果，因为这不象分数裂项那样能消去很多项．我们再来看后面的式子，每一项的分母容易让我们想到公式 ，于是我们又有

)12()1(632112222+⨯+⨯++++n n n n

＝Λ．．减号前面括号里的式子有10项，减号后面括号里的式子也恰好有10项，是不是“一个对一个”呢？

模块二、换元与公式应用

【例 3】 计算：3333333313579111315+++++++

【例 4】 计算：2345611

11111333333

++++++ 【解析】 法一：利用等比数列求和公式。 原式71113113

⎡⎤⎛⎫⨯-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦=- 法二：错位相减法． 设234561111111333333

S =++++++ 则234511

11133133333S =++++++，61333S S -=-，整理可得3641729

S =． 法三：本题与例3相比，式子中各项都是成等比数列，但是例3中的分子为3，与公比4差1， 所以可以采用“借来还去”的方法，本题如果也要采用“借来还去”的方法，需要将每一项的分子变得也都与公比差1．由于公比为3，要把分子变为2，可以先将每一项都乘以2进行算，最后再将所得的结果除以2即得到原式的值．由题设，23456

222222223

33333S =++++++，则运用“借来还去”的方法可得到61

233S +=，整理得到3641729

S =． 【例 5】 计算：22222222(246100)(13599)12391098321

+++⋅⋅⋅+-+++⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅+++++⋅⋅⋅+++ 【例 6】 计算：2222222222

12233445200020011223344520002001+++++++++⋅⋅⋅+⨯⨯⨯⨯⨯