2.3 生成树

二、 生成树的计数
前面我们介绍了生成树的存在性问题。因此在下面内容中， 我们皆假设 G 是连通图，除非特别指出 G 不连通。 既然我们已经知道了在一个连通图中肯定存在生成树，很 自然地我们就要去考察连通图的生成树的数目——我们把 它称之为生成树的计数问题。
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1、一些概念
T , T 分别是 是一个连通图。 G 的两个生成树，如果 G 的两个不同的生成树。 G 的 T ,T 是 • E (T ) E (T ) ，则认为 (G ) 表示。 • 不同的生成树个数用
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2、求 (G ) 的递推公式
e 是图的一条边，则 定理3.2.4 设G 是无环图，
(G) (G e) (G e)
注： 1. 为了简洁，我们在求解过程中仍 然用图本身来表示该图的生成树个数。 2.由于一个图的环不包含在任何生成 树中，在计算的过程中，如果出现环， 可以不予考虑。
例1
G
T
T'
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下面考虑：若 G 连通，则 G 中是否存在生成树？ 方法一：破圈法。 1。若 G 本身是树，则 G 本身可以看成是 G 的一个生成树。
e E (C ),G e 仍连通， 2。若 G 不是树，则至少有一个回路 C 。
即 G e
是G 的连通生成子图 。
可以继续这一过程，直到从最后一个回路中去掉一条边，所得的 一个连通、无回路生成子图，就是 的生成树。
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证明：用 T 1 表示图 G 的生成树全体 用 T 表示图 G 中不含边 e 的生成树全体 e T 用 表示图 G 中含边 e 的生成树全体 T (G e ) 则易验证 T (G e) ， ，T (G) 1 2 e T T T 和 所以有 (G) (G e) (G e)
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例2
G
G1
T'
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方法二：避圈法。
G 连通，在V (G )中逐次添加 G 的边，要求每次添加边之后所得
子图都不含回路。把上述过程进行到无法进行为止，所得子图 T 是G 的一个无回路的子图，是 G 的连通的生成子图。
定理3.2.1 G 连通当且仅当 G 含有生成树 T 。
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G ①设
如：
v1 v1 v1 v1
v3
v2
v3
v 2 v3
v 2 v3
v2
则： ( K3 ) 3。
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② 收缩运算： e uv 是图 G 的边（不是环），在 G 中删去边 e ， 再在 G e 中重合 e 的两个端点 u , v 为一个新的顶点 w(u, v)。而 G e 中一切与 v 和 u 关联的边都改成与这个新的顶点相关联。这样所得 到的图称为 G 收缩边 e ，记为 G e 。
2
2
e
例
(G )


e


e

e






1 1 2 1 1 2 3 11
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例：
v1 e1
v2
e2 v3 e3
v1
e1
v2
e2 v3 e3
v1
e1
e5 v5
e6 e4
e
v45
e6 e4
e2 v3
w(v4 , v2 ) e3
G
G e
G e
q(G e) q(G) 1, p(G e) p(G); q(G e) q(G) 1, p(G e) p(G) 1
§2.3 生成树 讨论树作为生成子图的情况： 一、生成树 定义2.3.1 给定一个图 G ，若图G 中存在一个生成子图 T 是树， 则称 T 是 G 的一个生成树。 由定义可见下面性质成立： 1.若 T 是 G 的一个生成树，则 V (T ) V (G), q(T ) p(G) 1
2.若 G 有生成树 T ，由于 T 连通，则 G 本身一定连通。