一元三次方程的解法

一元三次方程：只含有一个未知数，且未知数的最高次数为3的整式方程叫做一元三次方程，一元三次方程的一般形式是ax 3+bx 2+cx+d=0（a ，b ，c ，d∈R 且a ≠0），下面来讨论一下一元三次方程求解的问题。

已知一元三次方程ax 3+bx 2+cx+d=0，求方程的根。

解：令3b x y a =-，得2323

23

329270327ac b b abc a d y y a a --+++=①

令23223

329273,2327ac b b abc a d m n a a

--+==，得3

320y my n ++=② 经过换元，将原方程化为一元三次方程的特殊形式（3

0x px q ++=），现在求方程②

的根，

令y=u+v ，两边立方得=+=+++=++333333

y (u v)u v 3uv (u v)u v 3uvy

333y 3uvy (u )③v 0∴--+=

由②③式可得，⎧=-⎨+=-⎩33333

u v m u v 2n ④

⑤

由④⑤式可知u 3和v 3为方程μ+μ-=232n m 0的两根，

3

32n 2n u ,v 22

-+--∴==

y u v ∴=+=

+

令a =

=

则12223y a b

y a b y a b

⎧=+⎪⎪=α+α⎨⎪=α+α⎪⎩，2,αα为1

的立方根，221cos

i sin i 3322ππα=+=-+

，ππα=+=--2441cos i sin i 3322

则2323

23

329270327ac b b abc a d

y y a a

--+++=的根表示为

⎧

=+⎪⎪

+-⎪

=++=+⎨⎪

⎪+-=++=-⎪⎩12

3y a b 11a b a b y （-i ）a （--i ）b -22222211a b a b

y （--i ）a （-i ）b -222222

⑥ 由⑥可知，

① 当+>23n m 0时，方程有1个实根和2个共轭复根；

② 当+=23n m 0时，a ，b 是相等的两个实数，方程有3个实根，其中有1个二重实根； ③ 当+<23n m 0时，方程有3个不相等实根。

以上解法为在卡尔丹公式基础上进一步研究得出，常用的一元三次方程解法除卡尔丹公式法外，还有盛金公式法。

下面通过几个例题具体的使用卡尔丹公式进行解题。

例题1：解方程x 3-6x 2+10x-8=0 解：令3b

x y a

=-

=y+2，得y 3-2y-4=0 23100

027

n m +=>

a b ∴=

=

⎧=+=⎪⎪

∴=α+α=-+⎨⎪=α+α=--⎪⎩12223y a b 2y a b 1i y a b 1i

∴原方程的解为⎧=+=⎪

=+=+⎨⎪

=+=-⎩112233x y 24

x y 21i x y 21i

例题2：解方程x 3-12x+16=0 解：23=6464=0n m +-

22

∴=-=-a b

⎧=+=-⎪⎪

∴=α+α=⎨⎪=α+α=⎪⎩12223

y a b 4y a b 2y a b 2 ∴原方程的解为⎧==-⎪

==⎨⎪

==⎩112233x y 4

x y 2

x y 2

例题3：解方程x 3-6x-4=0

解：234840n m +=-=-<

∴方程有3个不相等实根

∴=+=

+

=

+

y u v 令=

=θv

r ,

tan u

θ+πθ+π

θ+πθ+π

∴=

+=2k 2k 2k 2k y +isin )-isin ),k 0,1,23333

θ+π

∴==2k y ,k 0,1,23

⎧θ=⎪⎪

θ+π

⎪

∴=⎨⎪⎪θ+π=⎪⎩

1

23y 32y 34y 3

+=2n n 2i

π∴=

+

=θ=θy 1即=

4

∴

原方程的解为⎧θ==+⎪⎪

θ+π

⎪

==-⎨⎪⎪θ+π

==-⎪⎩

1

23x 132x 234x 13

以上三个例题分别为方程根的三种情况，解一元三次方程的通法即先将方程化为特殊形式，再判断23n m +的值属于哪一种情况，根据公式求解即可。