第一章习题答案

随机信号分析第一章答案

1. 2. 3. 4. 5. 6. 7.

8. 设随机试验X 的分布律为

求X 的概率密度和分布函数，并给出图形。

解：()()()())0.210.520.33i i i

f x p x x x x x δ

δδδ=-=-+-+-∑（ ()()()())0.210.520.33i i i

F x p u x x u x u x u x =-=-+-+-∑（

9.

10. 设随机变量X 的概率密度函数为()x

f x ae

-=，

求:(1)系数a ；（2）其分布函数。

解：（1）由

()1f x dx ∞

-∞

=⎰

()

()2x

x

x f x dx ae dx a

e dx e dx a ∞

∞

∞

---∞

-∞

-∞

==+=⎰

⎰⎰

⎰

所以12a =

（2）()1()2

x

x

t

F x f t dt e dt --∞

-∞=

=⎰

⎰

所以X 的分布函数为

()1,02

11,02

x

x e x F x e x -⎧<⎪⎪=⎨

⎪-≥⎪⎩ 11. 12.

13. 若随机变量X 与Y 的联合分布律为

求：（1）X 与Y 的联合分布函数与密度函数；（2）X 与Y 的边缘分布律；（3）Z XY =的分布律；（4）X 与Y 的相关系数。 解：（1）

()()

()()()()()()

,,0.07,10.18,0.15,10.081,10.321,0.201,1ij i j i

j

F x y p u x x y y u x y u x y u x y u x y u x y u x y =--=+++-+-++-+--∑∑

()()

()()()()()(),,0.07,10.18,0.15,10.081,10.321,0.201,1ij i j i

j

f x y p x x y y x y x y x y x y x y x y δδδδδδδ=--=+++-+-++-+--∑∑

（2）X 的分布律为（i ij j

P P ⋅=∑）

()()00.070.180.150.4010.080.320.200.60P X P X ==++===++=

Y 的分布律为

()()()10.070.080.1500.180.320.5010.150.200.35

P Y P Y P Y =-=+===+===+=

（3）Z XY =的分布律为

()()()()()

()()()()()111,10.080001,00.400.320.72111,10.20

P Z P XY P X Y P Z P XY P X P X Y P Z P XY P X Y =-==-===-======+===+======== （4）因为

()()()00.4010.600.60

10.1500.5010.350.20E X E Y =⨯+⨯==-⨯+⨯+⨯=

()()10.0800.7210.200.12E XY =-⨯+⨯+⨯=

则

()()()()

ov ,0.120.600.200

C X Y E XY E X E Y =-=-⨯=

X 与Y 的相关系数0XY ρ=，可见它们无关。

14.

15. 设随机变量()~0,1X N ，()~0,1Y N 且相互独立，

U X Y V X Y =+⎧⎨=-⎩

。 （1） 随机变量(),U V 的联合概率密度(),UV f u v ； （2） 随机变量U 与V 是否相互独立？ 解：（1）随机变量(),X Y 的联合概率密度为

()()222

2

1,,,2x y XY f x y e

x y R

π

+-

=∈

由反函数 22u v x u v y +⎧=⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩， 1112211222

J ==-

-

， ()()()222

4

1

,,,,4u v UV XY f u v f x y J e

u v R π

+-

=⋅=∈

由于,

（3）

22224

4

4

1114u v u v e

e e π

+-

--⎛⎫⎛⎫=⨯ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝

⎭⎝⎭

()()()

()2

,,UV U V f u v f u f v u v R =∈

所以随机变量U 与V 相互独立。 16. 17. 18. 19.

20. 已知对随机变量X 与Y ，有1EX =，3EY =，

()4D X =，()16D Y =，0.5XY ρ=，又设 3U X Y =+，

2V X Y =-，试求EU ，EV ，()D U ，()D V 和

(,)Cov U V 。

（22

()()D U EU EU =-）