中考数学三角函数在实际中的应用(九年级下期复习用带答案)汇总
初三数学《三角函数的实际应用》答案
专题08《三角函数的实际应用》题型一、利用仰角和俯视解决问题【例1】如图为放置在水平桌面上的台灯的平面示意图，灯臂AO长为40cm，与水平面所形成的夹角∠OAM为75°．由光源O射出的边缘光线OC，OB与水平面所形成的夹角∠OCA，∠OBA分别为90°和30°，求该台灯照亮水平面的宽度BC（不考虑其他因素，结果精确到0.1cm．温馨提示：sin75°≈0.97，cos75°≈0.26，）．【详解】解：在直角三角形ACO中，sin75°＝＝≈0.97，解得OC≈38.8，在直角三角形BCO中，tan30°＝＝≈，解得BC≈67.3．答：该台灯照亮水平面的宽度BC大约是67.3cm．小明在楼高AB＝15米的楼顶A处测得一电视塔底部C的俯角为31°，测得塔顶D的仰角为52°，求楼顶A到塔顶D的距离（结果保留整数）．（参考数据：sin31°＝0.52，cos31°＝0.86，tan31°＝0.80，sin52°＝0.79，cos52°＝0.62，tan52°＝1.28）【详解】解：如图，作AE⊥CD于点E．则CE＝AB＝15米．∵在直角△ACE中，tan∠EAC＝，∴AE＝＝＝18.75（米）．∵直角△ADE中，cos∠DAE＝，∴AD＝＝≈30（米）．答：楼顶A到塔顶D的距离约为30米．如图，C地在A地的正东方向，因有大山阻隔，由A地到C地需绕行B地．已知B地位于A地北偏东67°方向，距离A地520km，C地位于B地南偏东30°方向．若打通穿山隧道，建成两地直达高铁，求A地到C地之间高铁线路的长．（结果保留整数）（参考数据：sin67°≈，cos67°≈，tan67°≈，≈1.73）【详解】解：过点B作BD⊥AC于点D，∵B地位于A地北偏东67°方向，距离A地520km，∴∠ABD＝67°，∴AD＝AB•sin67°＝520×＝＝480km，BD＝AB•cos67°＝520×＝＝200km．∵C地位于B地南偏东30°方向，∴∠CBD＝30°，∴CD＝BD•tan30°＝200×＝，∴AC＝AD+CD＝480+≈480+115＝595（km）．答：A地到C地之间高铁线路的长为595km．如图，两幢建筑物AB和CD，AB⊥BD，CD⊥BD，AB＝15m，CD＝20m．AB和CD之间有一景观池，小双在A点测得池中喷泉处E点的俯角为42°，在C点测得E点的俯角为45°，点B、E、D在同一直线上．求两幢建筑物之间的距离BD．（结果精确到0.1m）【参考数据：sin42°＝0.67，cos42°＝0.74，tan42°＝0.90】【详解】解：由题意得：∠AEB＝42°，∠DEC＝45°，∵AB⊥BD，CD⊥BD，∴在Rt△ABE中，∠ABE＝90°，AB＝15，∠AEB＝42°，∵tan∠AEB＝，∴BE＝≈15÷0.90＝，在Rt△DEC中，∠CDE＝90°，∠DEC＝∠DCE＝45°，CD＝20，∴ED＝CD＝20，∴BD＝BE+ED＝+20≈36.7（m）．答：两幢建筑物之间的距离BD约为36.7m．【例2】如图，小明想测山高和索道的长度．他在B处仰望山顶A，测得仰角∠B＝31°，再往山的方向（水平方向）前进80m至索道口C处，沿索道方向仰望山顶，测得仰角∠ACE＝39°．（1）求这座山的高度（小明的身高忽略不计）；（2）求索道AC的长（结果精确到0.1m）．（参考数据：tan31°≈，sin31°≈，tan39°≈，sin39°≈）【详解】解：（1）过点A作AD⊥BE于D，设山AD的高度为（x）m，在Rt△ABD中，∵∠ADB＝90°，tan31°＝，∴BD＝≈＝x，在Rt△ACD中，∵∠ADC＝90°，tan39°＝，∴CD＝≈＝x，∵BC＝BD﹣CD，∴x﹣x＝80，解得：x＝180．即山的高度为180米；（2）在Rt△ACD中，∠ADC＝90°，sin39°＝，∴AC＝＝≈282.9（m）．答：索道AC长约为282.9米．【变式2-1】为了测量竖直旗杆AB的高度，某综合实践小组在地面D处竖直放置标杆CD，并在地面上水平放置一个平面镜E，使得B，E，D在同一水平线上（如图所示）．该小组在标杆的F 处通过平面镜E恰好观测到旗杆顶A（此时∠AEB＝∠FED），在F处测得旗杆顶A的仰角为45°，平面镜E的俯角为67°，测得FD＝2.4米．求旗杆AB的高度约为多少米？（结果保留整数，参考数据：sin67°≈，cos67°≈，tan67°≈）【详解】解：作FG⊥AB于G，设AB为x米，由题意得，四边形FDBG为矩形，∴BG＝DF＝2.4，FG＝BD，∵FG∥BD，∴∠FED＝∠GFE＝67°，在Rt△EDF中，tan∠FED＝，∴DE＝≈2.4÷＝1，在Rt△AFG中，∠AFG＝45°，∴FG＝AG＝x﹣2.4，在Rt△AEB中，tan∠AEB＝，即BE＝≈x，由题意得，x﹣2.4＝1+x解得，x≈6，答：旗杆AB的高度约为6米．如图，为了测量山顶铁塔AE的高，小明在27m高的楼CD底部D测得塔顶A的仰角为45°，在楼顶C测得塔顶A的仰角36°52′．已知山高BE为56m，楼的底部D与山脚在同一水平线上，求该铁塔的高AE．（参考数据：sin36°52′≈0.60，tan36°52′≈0.75）【详解】解：如图，过点C作CF⊥AB于点F．设塔高AE＝x，由题意得，EF＝BE﹣CD＝56﹣27＝29m，AF＝AE+EF＝（x+29）m，在Rt△AFC中，∠ACF＝36°52′，AF＝（x+29）m，则CF＝≈＝x+，在Rt△ABD中，∠ADB＝45°，AB＝x+56，则BD＝AB＝x+56，∵CF＝BD，∴x+56＝x+，解得：x＝52，答：该铁塔的高AE为52米．某公园的人工湖边上有一座假山，假山顶上有一竖起的建筑物CD，高为10米，数学小组为了测量假山的高度DE，在公园找了一水平地面，在A处测得建筑物点D（即山顶）的仰角为35°，沿水平方向前进20米到达B点，测得建筑物顶部C点的仰角为45°，求假山的高度DE．（结果精确到1米，参考数据：sin35°≈，cos35°≈，tan35°≈）【详解】解：过点D作水平线的垂线，即（DE⊥AB），垂足为E，则C、D、E在一条直线上，设DE的长为x米，在Rt△BCE中，∠CBE＝45°，∴CE＝BE＝CD+DE＝（10+x）米，在Rt△ADE中，∠A＝35°，AE＝AB+BE＝20+10+x＝30+x，tanA＝，∴tan35°＝≈，解得：x≈70，答：假山的高度DE约为70米．题型二、方位角的应用【例1】钓鱼岛自古以来就是我国的神圣领土，为维护国家主权和海洋权利，我国海监和渔政部门对钓鱼岛海域实现了常态化巡航管理．如图，某日在我国钓鱼岛附近海域有两艘自西向东航行的海监船A、B，B船在A船的正东方向，且两船保持20海里的距离，某一时刻两海监船同时测得在A的东北方向，B的北偏东15°方向有一我国渔政执法船C，求此时船C与船B的距离是多少．（结果保留根号）【详解】解：过点B作BD⊥AC于D．由题意可知，∠BAC＝45°，∠ABC＝90°+15°＝105°，∴∠ACB＝180°﹣∠BAC﹣∠ABC＝30°，在Rt△ABD中，BD＝AB•sin∠BAD＝20×＝10（海里），在Rt△BCD中，BC＝＝＝20（海里）．答：此时船C与船B的距离是20海里．【变式1-1】如图，某旅游景区为方便游客，修建了一条东西走向的木栈道AB ，栈道AB 与景区道路CD 平行．在C 处测得栈道一端A 位于北偏西42︒方向，在D 处测得栈道另一端B 位于北偏西32︒方向．已知120CD m =，80BD m =，求木栈道AB 的长度（结果保留整数）． （参考数据：17sin 3232︒≈，17cos3220︒≈，5tan 328︒≈，27sin 4240︒≈，3cos 424︒≈，9tan 42)10︒≈【详解】解：过C 作CE AB ⊥于E ，DF AB ⊥交AB 的延长线于F ，则//CE DF ，//AB CD ，∴四边形CDFE 是矩形，120EF CD ∴==，DF CE =，在Rt BDF ∆中，32BDF ∠=︒，80BD =，17cos32806820DF BD ∴=︒=⨯≈，1785sin 3280322BF BD =︒=⨯≈， 1552BE EF BF ∴=-=， 在Rt ACE ∆中，42ACE ∠=︒，68CE DF ==，9306tan 4268105AE CE ∴=︒=⨯=，155********AB AE BE m ∴=+=+≈，答：木栈道AB 的长度约为139m ．【变式1-2】如图，位于A 处的海上救援中心获悉：在其北偏东68︒方向的B 处有一艘渔船遇险，在原地等待营救．该中心立即把消息告知在其北偏东30︒且距离A 点20海里的C 处救生船，此时，遇险船在救生船的正东方向B 处，现救生船沿着航线CB 前往B 处救援，求救生船到达B 处行驶的距离？（参考数据：sin 680.90︒≈，cos680.36︒≈，tan 68 2.50︒≈，1.7)≈【详解】解：如图，延长BC 交AN 于点D ，则BC AN ⊥于D ．在Rt ACD ∆中，90ADC ∠=︒，30DAC ∠=︒，1102CD AC ∴==，AD =．在Rt ABD ∆中，90ADB ∠=︒，68DAB ∠=︒，22B ∴∠=︒，46.81sin ADAB B ∴=≈∠，cos 46.810.9343.53BD AB B =∠≈⨯=，43.531033.53BC BD CD ∴=-=-=，答：救生船到达B 处行驶的距离是33.53km ．【例2】我国北斗导航装备的不断更新，极大方便人们的出行．某中学从A地出发，组织学生利用导航到B、C两个地区进行研学考察活动，出发时，发现C地恰好在A地正北方向，且距离A地15.3千米．但是导航显示路线应沿北偏东45°方同走到B地，再沿北偏西37°方向走一段距离才能到达C地，求B，C两地的距离（精确到1千米）．（参考数据sin37°≈0.6，cos37°≈0.8，tan37°≈0.7）【详解】解：过B作BD⊥AC，在Rt△ABD中，∠A＝∠ABD＝45°，∴AD＝BD＝x千米，∵AC＝15.3千米，∴CD＝AC﹣AD＝（15.3﹣x）千米，在Rt△BCD中，∠C＝37°，∴tan37°＝＝0.7，即x＝（15.3﹣x）×0.7，解得：x＝6.3，即BD＝6.3千米，∵sinC＝＝0.6，即BC＝＝＝10.5≈11千米，则B，C两地的距离为11千米．某区域平面示意图如图，点O在河的一侧，AC和BC表示两条互相垂直的公路．甲勘测员在A处测得点O位于北偏东45°，乙勘测员在B处测得点O位于南偏西73.7°，测得AC＝840m，BC＝500m．请求出点O到BC的距离．参考数据：sin73.7°≈，cos73.7°≈，tan73.7°≈【详解】解：作OM⊥BC于M，ON⊥AC于N，则四边形ONCM为矩形，∴ON＝MC，OM＝NC，设OM＝x，则NC＝x，AN＝840﹣x，在Rt△ANO中，∠OAN＝45°，∴ON＝AN＝840﹣x，则MC＝ON＝840﹣x，在Rt△BOM中，BM＝＝x，由题意得，840﹣x+x＝500，解得，x＝480，答：点O到BC的距离为480m．码头A、B位于东西走向的河岸线l上，一游轮在P处测得码头A在其北偏东70°，游轮向东航行10分钟后到达Q处，此时测得码头B在其北偏东35°．已知游轮的速度为30千米/小时，两码头A、B相距2千米．（1）求点P到河岸线l的距离；（2）若该游轮按原速度从点Q驶向码头B，则它至少需要多长时间才能到达码头B？（参考数据：sin35°≈，cos35°≈，tan35°≈，sin70°≈，cos70°≈，tan70°≈）【详解】解：（1）过点B作BE⊥PQ于E，作BF∥AP交PQ于点F．∵AB∥PQ，BF∥AP，∴四边形APFB是平行四边形，∴PF＝AB＝2千米，∠EFB＝∠EPA＝20°，∴FQ＝PQ﹣PF＝30×﹣2＝3（千米）．在△BFQ中，∵∠BFQ＝20°，∠FQB＝90°+35°＝125°，∴∠FBQ＝180°﹣∠BFQ﹣∠FQB＝35°，设BE＝x，FQ＝FE﹣QE，FE＝x•tan70°，QE＝35×tan35°，可得x•tan70°﹣35×tan35°＝3，解得x＝．答：点P到河岸线l的距离是千米；（2）∵BQ ＝千米，游轮的速度为30千米/小时，∴该游轮按原速度从点Q 驶向码头B 的时间为：÷30＝（小时）． 答：若该游轮按原速度从点Q 驶向码头B ，则它至少需要小时才能到达码头B ．【变式2-3】海岛A 的周围8 n mile 内有暗礁，渔船跟踪鱼群由西向东航行，在点B 处测得海岛A 位于北偏东67︒，航行12n mlie 到达C 点，又测得小岛A 在北偏东45︒方向上．如果渔船不改变航线继续向东航行，那么它有没有触礁的危险？请说明理由．（参考数据：12sin 6713︒≈，5cos 6713︒，12tan 67)5︒≈【详解】解：作AD BC ⊥，交BC 的延长线于D ，设AD 为xnmile ，由题意得，906723B ∠=︒-︒=︒，904545ACD ∠=︒-︒=︒，则tan 45CD AD x =︒=，12tan 675BD AD x =︒≈，BD CD BC -=， 由题意得，12125x x -=， 解得607x =，6087nmile nmile <，∴渔船没有触礁的危险．题型三、综合类【例1】如图，马路的两边CF，DE互相平行，线段CD为人行横道，马路两侧的A，B两点分别表示车站和超市．CD与AB所在直线互相平行，且都与马路的两边垂直，马路宽20米，A，B相距62米，∠A＝67°，∠B＝37°．（1）求CD与AB之间的距离；（2）某人从车站A出发，沿折线A→D→C→B去超市B．求他沿折线A→D→C→B到达超市比直接横穿马路多走多少米．（参考数据：sin67°≈，cos67°≈，tan67°≈，sin37°≈，cos37°≈，tan37°≈）【详解】解：（1）CD与AB之间的距离为x，则在Rt△BCF和Rt△ADE中，∵＝tan37°，＝tan67°，∴BF＝≈x，AE＝≈x，又∵AB＝62，CD＝20，∴x+x+20＝62，解得：x ＝24，答：CD 与AB 之间的距离约为24米；（2）在Rt △BCF 和Rt △ADE 中，∵BC ＝≈＝40，AD ＝≈＝26，∴AD+DC+CB ﹣AB ＝40+20+26﹣62＝24（米），答：他沿折线A →D →C →B 到达超市比直接横穿马路多走约24米．【变式1-1】如图，某学校教学楼AB 的后面有一建筑物CD ，在距离CD 正后方28米的观测点P 处，以22︒的仰角测得建筑物的顶端C 恰好挡住教学楼的顶端A ，而在建筑物CD 上距离地面2米高的E 处，测的教学楼的顶端A 的仰角为45︒，求教学楼AB 的高度（结果保留整数，2tan 22)5︒≈．【详解】解：如图，作EF AB ⊥于F ，则四边形EFBD 是矩形．45AEF ∠=︒，90AFE ∠=︒，45AEF EAF ∴∠=∠=︒，EF AF ∴=，设EF AF x ==，则BD EF x ==，在Rt PAB ∆中，2AB x =+，28PB x =+，tan 22ABPB ∴︒=， ∴22528x x +=+， 解得15x ≈，217AB x ∴=+=．答：教学楼AB 的高度约为17m ．【变式1-2】如图，校园内有两幢高度相同的教学楼AB ，CD ，大楼的底部B ，D 在同一平面上，两幢楼之间的距离BD 长为24米，小明在点E （B ，E ，D 在一条直线上）处测得教学楼AB 顶部的仰角为45°，然后沿EB 方向前进8米到达点G 处，测得教学楼CD 顶部的仰角为30°．已知小明的两个观测点F ，H 距离地面的高度均为1.6米，求教学楼AB 的高度AB 长．（精确到0.1米）参考值：≈1.41，≈1.73．【详解】解：延长HF交CD于点N，延长FH交AB于点M，如右图所示，由题意可得，MB＝HG＝FE＝ND＝1.6m，HF＝GE＝8m，MF＝BE，HN＝GD，MN ＝BD＝24m，设AM＝xm，则CN＝xm，在Rt△AFM中，MF＝，在Rt△CNH中，HN＝，∴HF＝MF+HN﹣MN＝x+x﹣24，即8＝x+x﹣24，解得，x≈11.7，∴AB＝11.7+1.6＝13.3m，答：教学楼AB的高度AB长约为13.3m．在一次综合实践课上，同学们为教室窗户设计一个遮阳篷，小明同学绘制的设计图如图所示，其中AB表示窗户，且AB＝2米，BCD表示直角遮阳蓬，已知当地一年中正午时刻太阳光与水平线CD的最小夹角∠PDN＝18.6°，最大夹角∠MDN＝64.5°请你根据以上数据，帮助小明同学计算出遮阳篷中CD的长是多少米？（结果精确到0.1）（参考数据：sin18.6°≈0.32，tan18.6°≈0.34，sin64.5°≈0.90，tan64.5°≈2.1）【详解】解：设CD＝x米，在Rt△BCD中，∠BCD＝90°，∠CDB＝∠PDN＝18.6°，CB＝CD×tan18.6°≈0.34x米，在Rt△ACD中，∠ACD＝90°，∠CDA＝∠MDN＝64.5°，AC＝CD×tan64.5°≈2.1x米，∵AB＝2米，AB＝AC﹣BC，∴2.1x﹣0.34x＝2，解得：x≈1.1，即遮阳篷中CD的长约为1.1米．如图是某斜拉桥引申出的部分平面图，AE，CD是两条拉索，其中拉索CD与水平桥面BE 的夹角为72°，其底端与立柱AB底端的距离BD为4米，两条拉索顶端距离AC为2米，若要使拉索AE与水平桥面的夹角为35°，请计算拉索AE的长．（结果精确到0.1米）（参考数据：sin35°≈，cos35°≈，tan35°≈，sin72°≈，cos72°≈，tan72°≈）【详解】解：由题意可得：tan72°＝＝＝，解得：BC＝，则AB＝BC+AC＝+2＝（m），故sin35°＝＝＝，解得：AE≈26.2，答：拉索AE的长为26.2m．【变式1-5】2018年2月17日上午10点34分，我国自主研制的第二架C919大型客机在上海浦东国际机场进行首次飞行，这意味着C919大型客机逐步拉开全面试验试飞的新征程．这大大激发了同学们对航空科技的兴趣，如图是某校航模兴趣小组获得的一张数据不完整的航模飞机机翼图纸，图中AB∥CD，AM∥BN∥ED，AE⊥DE，请根据图中数据，求出线段BE和CD的长．（sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，结果保留小数点后一位）【详解】解：∵BN∥ED，∴∠NBD＝∠BDE＝37°，∵AE⊥DE，∴∠E＝90°，∴BE＝DE•tan∠BDE≈18.8（cm），如图，过C作AE的垂线，垂足为F，∵∠FCA＝∠CAM＝45°，∴AF＝FC＝25cm，∵CD∥AE，∴四边形CDEF为矩形，∴CD＝EF，∵AE＝AB+EB＝35.8（cm），∴CD＝EF＝AE﹣AF≈10.8（cm），答：线段BE的长约等于18.8cm，线段CD的长约等于10.8cm．【变式1-6】如图，在一条河流的两岸分别有A，B，C，D四棵景观树，已知AB∥CD，某数学活动小组测得∠DAB＝45°，∠CBE＝73°，AB＝10m，CD＝30m，请计算这条河的宽度．（参考数据：sin73°≈，cos73°≈，tan73°≈）【详解】解：分别过C，D作CF⊥AE于F，DG⊥AE于F，∴∠AGD＝∠BFC＝90°，∵AB∥CD，∴∠FCD＝90°，∴四边形CFGD是矩形，∴CD＝FG＝30m，CF＝DG，在直角三角形ADG中，∠DAG＝45°，∴AG＝DG，在直角三角形BCF中，∠FBC＝73°，∴tan∠FBC＝，tan73°＝，即，解得DG＝，∵AG＝AB+BF+FG＝DG，即10+BF+30＝，解得：BF＝m，则DG＝m，答：这条河的宽度为m．【课堂练习】1、如图所示，小河中学九年级数学活动小组选定测量学校前面小河对岸大树BC的高度，他们在斜坡上D处测得大树顶端B的仰角是30°，朝大树方向下坡走6米到达坡底A处，在A处测得大树顶端B的仰角是48°．若斜坡FA的坡比i＝1：，求大树的高度．（结果保留整数，参考数据：sin48°≈0.74，cos48°≈0.67，tan48°≈1.11，≈1.73）【详解】解：过点D作DM⊥BC于点M，DN⊥AC于点N，则四边形DMCN是矩形，∵DA＝6，斜坡FA的坡比i＝1：，∴DN＝AD＝3，AN＝AD•cos30°＝6×＝3，设大树的高度为x，∵在斜坡上A处测得大树顶端B的仰角是48°，∴tan48°＝≈1.11，∴AC＝，∴DM＝CN＝AN+AC＝3+，∵在△ADM中，＝，∴x﹣3＝（3+）•，解得：x≈13．答：树高BC约13米．2、小明家所在居民楼的对面有一座大厦AB，AB＝80米，为测量这座居民楼与大厦之间的距离，小明从自己家的窗户C处测得大厦顶部A的仰角为37°，大厦底部B的俯角为48°．求小明家所在居民楼与大厦的距离CD的长度．（结果保留整数）（参考数据：）【详解】解：设CD＝x米．在Rt△ACD中，，则，∴；在Rt△BCD中，tan48°＝，则，∴．（4分）∵AD+BD＝AB，∴，解得：x≈43．答：小明家所在居民楼与大厦的距离CD大约是43米．（6分）3、若商场为方便消费者购物，准备将原来的阶梯式自动扶梯改造成斜坡式动扶梯，如图所示，已知原阶梯式自动扶梯AB长为10m，扶梯AB的坡度i为1：．改造后的斜坡式动扶梯的坡角∠ACB为15°，请你计算改造后的斜坡式自动扶梯AC的长度．（结果精确到0.1m．参考数据：sin15°≈0.26，cos15°≈0.97，tanl5°≈0.27）【详解】解：∵扶梯AB的坡度i为1：，∴AD：DB＝1：即DB＝AD．在Rt△ADB中，∵AD2+DB2＝AB2，∴AD2+3AD2＝102解得AD＝±5．因为﹣5不合题意，所以AD＝5．在Rt△ACD中，sin∠ACD＝，∴AC＝≈≈19.2（m）答：改造后的自动扶梯AC的长约为19.2m．4、共享单车为人们的生活带来了极大的便利．如图，一辆单车放在水平的地面上，车把头下方A处与坐垫下方B处在平行于地面的水平线上，A，B之间的距离为49cm，现测得AC，BC与AB的夹角分别为45°，68°．若点C到地面的距离CD为28cm，坐垫中轴E处与点B的距离BE为5cm，求点E到地面的距离．（结果保留一位小数，参考数据：sin68°≈0.93，cos68°≈0.37，tan68°≈2.50）【详解】解：过点C作CH⊥AB于点H，过点E作EF垂直于AB延长线于点F，设CH＝x，则AH＝CH＝x，BH＝＝0.4x，由AB＝49知x+0.4x＝49，解得：x＝35，∵BE＝5，∴EF＝BEsin68°＝4.65，则点E到地面的距离为CH+CD+EF＝35+28+4.65≈67.7（cm），答：点E到地面的距离约为67.7cm．。
(完整版)新北师大初三三角函数知识点总结及中考真题汇总有答案
锐角三角函数知识点总结1、勾股定理：直角三角形两直角边a 、b 的平方和等于斜边c 的平方。
2、如下图，在Rt △ABC 中，∠C 为直角，则∠A 的锐角三角函数为(∠A 可换成∠B)：3、任意锐角的正弦值等于它的余角的余弦值；任意锐角的余弦值等于它的余角的正弦值。
4、任意锐角的正切值等于它的余角的余切值；任意锐角的余切值等于它的余角的正切值。
5、0°、30°、45°、60°、90°特殊角的三角函数值(重要)6、正弦、余弦的增减性：当0°≤α≤90°时，sin α随α的增大而增大，cos α随α的增大而减小。
7、正切、余切的增减性：当0°<α<90°时，tan α随α的增大而增大，cot α随α的增大而减小。
A 90B 90∠-︒=∠︒=∠+∠得由B A 对边邻边 C A90B 90∠-︒=∠︒=∠+∠得由B A8、解直角三角形的定义：已知边和角（两个，其中必有一边）→所有未知的边和角。
依据：①边的关系：222c b a =+；②角的关系：A+B=90°；③边角关系：三角函数的定义。
(注意：尽量避免使用中间数据和除法)9、应用举例：(1)仰角：视线在水平线上方的角；俯角：视线在水平线下方的角。
仰角铅垂线水平线视线视线俯角(2)坡面的铅直高度h 和水平宽度l 的比叫做坡度(坡比)。
用字母i 表示，即hi l=。
坡度一般写成1:m 的形式，如1:5i =等。
把坡面与水平面的夹角记作α(叫做坡角)，那么tan hi lα==。
3、从某点的指北方向按顺时针转到目标方向的水平角，叫做方位角。
如图3，OA 、OB 、OC 、OD 的方向角分别是：45°、135°、225°。
4、指北或指南方向线与目标方向 线所成的小于90°的水平角，叫做方向角。
如图4,OA 、OB 、OC 、OD 的方向角分别是：北偏东30°（东北方向） ， 南偏东45°（东南方向）， 南偏西60°（西南方向）， 北偏西60°（西北方向）。
九年级数学三角函数的应用
做一做P26 4
测量物体的高度
活动二:测量底部可以到达的物体的高度. 所谓“底部可以到达”,就是在地面上可以无障碍地 直接测得测点与被测物体底部之间的距离. 如图,要测量物体MN的高度,可以按下列步骤进行: 1.在测点A处安置测倾器,测得M的仰角∠MCE=α. 怎
么解?
2.量出测点A到物体底部N的水平距离AN=l. 3.量出测倾器的高度AC=a(即顶线PQ 水平位置时它与地面的距离). 根据测量数据,你能求出物体MN的 高度吗?说说你的理由.
议一议P27 6
知识在于积累
驶向胜利 的彼岸
(1)到目前为止,你有哪些测量物体高度的方法?
说一说
?
(2)如果一个物体的高度已知或容易测量,那 么如何测量某测点到该物体的水平距离.
独立 作业
知识的升华
P28 习题1.7 1,2,3题;
祝你成功！
驶向胜利 的彼岸
P28 习题1.7 1,2,3题
做一做P16 5
测量物体的高度
活动三:测量底部不可以到达的物体的高度.
所谓“底部不可以到达”,就是在地面上不能直接测 得测点与被测物体底部之间的距离. 如图,要测量物体MN的高度,可以按下列步骤进行: 1.在测点A处安置测倾器,测得M的仰角∠MCE=α. 咋 2.在测点A与物体之间的B处安置测倾(A,B与N在一 办 条直线上),测得M的仰角∠MCE=β. 3.量出测倾器的高度AC=BD=a,以及测点 A,B之间的距离AB=b. 根据测量数据,你能求出物体MN的高 度吗?说说你的理由.
1 分组制作简单的测倾器.
独立 作业
2选择一个底部可以到达的物体,测量它的高度,并撰写 一份活动报告,阐明活动课题,测量示意图,测得数据和 计算过程等.
2024中考数学专题5.9三角函数在实际生活中的应用 (全国通用)
考向5.9 三角函数在实际生活中的应用【知识要点】1、在直角三角形中，除直角外，一共有五个元素，即三条边和二个锐角。
由直角三角形中除直角外的已知元素，求出所有未知元素的过程，叫做解直角三角形。
2、如图1，当从低处观测高处的目标时，视线与水平线所成的锐角称为仰角当从高处观测低处的目标时，视线与水平线所成的锐角称为俯角3、 如图2，坡面与水平面的夹角叫做仰角 (或叫做坡比)。
用字母i 表示，即tan h i A l==4、从某点的指北方向按顺时针转到目标方向的水平角，叫做方位角。
如图3，OA 、OB 、OC 的方位角分别为45°、135°、225°。
5、指北或指南方向线与目标方向线所成的小于90°的水平角，叫做方位角。
如图4，OA 、OB 、OC 、OD 的方向角分别是：北偏东30°，南偏东45°(东南方向)、南偏西为60°，北偏西60°。
7.测量物体高度的方法：（1）.利用全等三角形的知识 ；（2）利用相似三角形的对应边成比例 ；（3）.利用三角函数的知识例1、如图，某无人机爱好者在一小区外放飞无人机，当无人机飞行到一定高度D 点处时，无人机测得操控者A 的俯角为75︒，测得小区楼房BC 顶端点C 处的俯角为45︒．已知操控者A 和小区楼房BC 之间的距离为45米，小区楼房BC的高度为（1）求此时无人机的高度；（2）在（1）条件下，若无人机保持现有高度沿平行于AB 的方向，并以5米/秒的速度继续向前匀速飞行．问：经过多少秒时，无人机刚好离开了操控者的视线？（假定点A ，B ，C ，D 都在同一平面内．参考数据：tan 752︒=tan152︒=．计算结果保留根号）图1图2hA图3 图4解：如图1，过D 点作DH ⊥AB ，垂足为点H ，过C 点作CE ⊥DH ，垂足为点E ，可知四边形EHBC 为矩形，∴EH =CB ，CE =HB ，∵无人机测得小区楼房BC 顶端点C 处的俯角为45︒，测得操控者A 的俯角为75︒，DM ∥AB ，∴∠ECD =45°，∠DAB =75°，∴∠CDE =∠ECD =45°，∴CE =DE ，设CE =DE =HB =x ，∴AH =45-x ，DH =DE +EH =x +在Rt △DAH 中，DH =tan75°×AH =(()245x -，即(()245x x +=-，解得：x =30，∴DH = 30+∴此时无人机的高度为()30米；（2）如图2所示，当无人机飞行到图中F 点处时，操控者开始看不见无人机，此时AF 刚好经过点C ，过A 点作AG ⊥DF ，垂足为点G ，此时，由（1）知，AG =30（米），∴°=tan 75AG DG ；∵tan =BC CAB AB ∠=∴°=30CAB ∠∵DF ∥AB ，∴∠DFA =∠CAB =30°，∴°45tan 30GA GF ==,∴=30DF GF DG -=+,因为无人机速度为5米/秒，6+（秒）；所以经过()6秒时，无人机刚好离开了操控者的视线．一、单选题1．（2021·广东深圳·二模）“儿童放学归来早，忙趁东风放纸鸢”，小明周末在龙潭公园草坪上放风筝，已知风筝拉线长100米且拉线与地面夹角为65︒（如图所示，假设拉线是直的，小明身高忽略不计），则风筝离地面的高度可以表示为（）A．100sin65︒B．100cos65︒C．100tan65︒D．100 sin65︒2．（2021·浙江温州·一模）如图，小慧的眼睛离地面的距离为1.6m，她用三角尺测量广场上的旗杆高度，仰角恰与三角板60︒角的边重合，量得小慧与旗杆之间的距离BC为5m，则旗杆AD的高度（单位：m）为（）A．6.6B．11.6C．1.6D．1.6+3．（2021·河北唐山·二模）如图，某停车场入口的栏杆AB，从水平位置绕点O旋转到A′B′的位置，已知AO 的长为4米．若栏杆的旋转角∠AOA′＝α，则栏杆A端升高的高度为（）A ．4sin α米B ．4sin α米C ．4cos α米D ．4cos α米4．（2021·广东云浮·一模）如图，是一水库大坝横断面的一部分，坝高60m h =，迎水斜坡100m AB =，斜坡的坡角为a ，则tan a 的值为（ ）A ．43B ．34C ．35D ．455．（2021·重庆市永川区教育科学研究所一模）鹅岭公园是重庆最早的私家园林，前身为礼园，是国家级AAA 旅游景区，园内有一瞰胜楼，登上高楼能欣赏到重庆的优美景色．周末，李明同学游览鹅岭公园，如图，在点A 观察到瞰胜楼楼底点C 的仰角为12°，楼顶点D 的仰角为13°，测得斜坡BC 的坡面距离BC =510米，斜坡BC 的坡度8:15i =．则瞰胜楼的高度CD 是（ ）米．（参考数据：tan12°≈0.2，tan13°≈0.23）A ．30B ．32C ．34D ．366．（2021·山东·济宁学院附属中学二模）如图，在某监测点B 处望见一艘正在作业的渔船在南偏西15°方向的A 处，若渔船沿北偏西75°方向以60海里/小时的速度航行，航行半小时后到达C 处，在C 处观测到B 在C 的北偏东60°方向上，则B 、C 之间的距离为（ ）A ．30海里B ．C ．20海里D ．7．（2021·河北唐山·一模）如图，电线杆的高度为CD ＝m ，两根拉线AC 与BC 互相垂直（A ，D ，B在同一条直线上），若∠CBA ＝α，则拉线AC 的长度可以表示为（ ）A ．sin mαB ．cos mαC ．m cosαD ．tan mα8．（2021·江苏无锡·一模）如图，胡同左右两侧是竖直的墙，一架BC 斜靠在右侧墙壁上，测得梯子与地面的夹角为45°，此时梯子顶端B 恰巧与墙壁顶端重合．因梯子阻碍交通，故将梯子底端向右移动一段距离到达D 处，此时测得梯子AD 与地面的夹角为60°，则胡同左侧的通道拓宽了（ ）AB ．3米C ．(3米D ．(3米9．（2021·重庆一中三模）如图，小欢同学为了测量建筑物AB 的高度，从建筑物底端点B 出发，经过一段坡度1:2.4i =的斜坡，到达C 点，测得坡面BC 的长度为15.6米，再沿水平方向行走30米到达点D （A ，B ，C ，D 均在同一平面内）．在点D 处测得建筑物顶端A 的仰角为37︒，则建筑物AB 的高度约为（参考数据：sin 370.60︒≈，cos370.80︒≈，tan 370.75︒≈）（ ）A ．27.3米B ．28.4米C ．33.3米D ．38.4米10．（2021·江苏南通·二模）如图，某大楼DE 楼顶挂着“众志成城，抗击疫情”的大型宣传牌，为了测量宣传牌的高度CD ，小江从楼底点E 向前行走30米到达点A ，在A 处测得宣传牌下端D 的仰角为60°．小江再沿斜坡AB 行走26米到达点B ，在点B 测得宣传牌的上端C 的仰角为43°，已知斜坡AB 的坡度i＝1：2.4，点A 、B 、C 、D 、E 在同一平面内，CD ⊥AE ，宣传牌CD 的高度约为（ ）（参考数据：sin43°≈0.68，cos43°≈0.73，tan43°≈0.93）A ．8.3米B ．8.5米C ．8.7米D ．8.9米11．（2021·重庆八中二模）如图，一棵松树AB 挺立在斜坡CB 的顶端，斜坡CB 长为52米，坡度为i ＝12：5，小张从与点C 相距60米的点D 处向上爬12米到达观景台DE 的顶端点E ，在此测得松树顶端点A 的仰角为39°，则松树的高度AB 约为（ ）（参考数据：sin39°≈0.63，cos39°≈0.78，tan39°≈0.81）A ．16.8米B ．28.8米C ．40.8米D ．64.2米12．（2021·重庆·字水中学三模）白沙镇有一望夫塔，小明在与塔底中心的D 同一水平线的A 处，测得24AD =米，沿坡度0.75:1i =的斜坡AB 走到B 点，测得塔顶E 仰角为37°，再沿水平方向走22米到C 处，测得塔顶E 的仰角为22°，则塔高DE 为（ ）米．（结果精确到十分位）（sin 370.60︒≈，cos370.80︒≈，tan 370.75︒≈，sin 220.37︒≈，cos 220.93︒≈，tan 220.40︒≈，）A ．18.3米B ．19.7米C ．20.7米D ．22.3米二、填空题13．（2021·广东·深圳市南山区太子湾学校二模）如图，一楼房AB 后有一假山，其斜面坡度为i ＝1（斜面坡度是指坡面的铅直高度与水平宽度的比），山坡坡面上点E 处有一休息亭，测得假山坡脚C 与楼房水平距离BC ＝25米，与亭子距离CE ＝20米，小丽从楼房顶测得E 点的俯角为45°，则楼房AB的高为_____米．14．（2021·广东·广州市第六十五中学一模）小颖家住在甲楼，她所居住的楼房前面有一座乙楼．冬天，阳光入射角是30°，两楼距离20米，小颖家的阳台距地面7米，乙楼高18米，那么影子的顶端距她家阳台还有_________米.（精确到0.1米）15．（2021·山东·郓城县教学研究室一模）如图，在一笔直的海岸线l上有相距2km的A、B两个观测站，B站在A站的正东方向上，从A站测得船C在北偏东60°的方向上，从B站测得船C在北偏东30°的方向上，则船C到海岸线l的距离是__km．16．（2021·吉林长春·二模）如图，在A处看建筑物CD的顶端C的仰角为α，且tanα＝0.8，向前行进3米到达B处，从B处看顶端C的仰角为45°（图中各点均在同一平面内，A、B、D三点在同一条直线上，CD⊥AD，则建筑物CD的高度为_____米．17．（2021·广东·佛山市华英学校一模）如图，直立于地面上的电线杆AB，在阳光下落在水平地面和坡面上的影子分别是BC，CD．测得BC＝9m，CD＝6m，斜坡CD的坡度i＝1D处测得电线杆顶端A 的仰角为30°，则电线杆AB的高度为_____．18．（2021·湖南·长沙市开福区青竹湖湘一外国语学校二模）如图，某同学在楼房的A处测得荷塘的一端B 处的俯角为30°，荷塘另一端点D与点C，B在同一直线上，已知楼房AC＝32米，CD＝16米，则荷塘的宽BD为________米．19．（2021·山东·庆云县渤海中学一模）如图，在大楼AB的正前方有一斜坡CD，CD＝4米，坡角∠DCE＝30°，小红在斜坡下的点C处测得楼顶B的仰角为60°，在斜坡上的点D处测得楼顶B的仰角为45°，其中点A、C、E在同一直线上．则大楼AB的高度_____．（结果保留根号）20．（2021·湖北咸宁·模拟预测）如图，建筑物BC上有一高为8m的旗杆AB，从D处观测旗杆顶部A的仰角为53︒，观测旗杆底部B 的仰角为45︒，则建筑物BC 的高约为_____m （结果保留小数点后一位）．（参考数据sin 530.80︒≈，cos530.60︒≈，tan 53 1.33︒≈）三、解答题21．（2021·贵州六盘水·模拟预测）位于我市的北盘江大桥是世界第一高桥，大桥采用低塔斜拉桥桥型（如图1），桥长1341.4米，桥面至江面垂直距离565.4米．图2是从图1中抽象出的平面图，测得拉索AB 与水平桥面的夹角是30°，拉索DE 与水平桥面的夹角是60°，两拉索顶端的距离BE 为55米，两拉索底端距离AD 为240米．(1)求DC EC的值；（结果保留根号）(2)求立柱BC 的长．（结果精确到0.1≈1.732）22．（2021·贵州·仁怀市教育研究室一模）如图，两座建筑物AD 与BC ，其地面距离CD 为60m ，从AD 的顶点A 测得BC 顶部B 的仰角30α=︒，测得其底部C 的俯角45β=︒，求建筑物BC 的高（结果保留根号）．23．（2021·河南商丘·三模）在一次实弹演习中，我国参演红军需轰炸蓝军的一个桥梁，如图，红军飞行员驾驶战机飞到A 处时发现桥梁BC 并测得B 、C 两点的俯角分别为45°、35°．已知飞机、桥梁BC 与地面在同一水平面上，其桥梁BC 长度为800m ．请求出此时飞机离地面的高度．（结果保留整数．参考数据：sin35°≈712，cos35°≈56，tan35°≈710）一、单选题1．（2021·吉林长春·中考真题）如图是净月潭国家森林公园一段索道的示意图．已知A 、B 两点间的距离为30米，A α∠=，则缆车从A 点到达B 点，上升的高度（BC 的长）为（ ）A ．30sin α米B ．30sin α米C ．30cos α米D ．30cos α米2．（2021·福建·中考真题）如图，某研究性学习小组为测量学校A 与河对岸工厂B 之间的距离，在学校附近选一点C ，利用测量仪器测得60,90,2km A C AC ∠=︒∠=︒=．据此，可求得学校与工厂之间的距离AB 等于（ ）A ．2kmB ．3kmC ．D ．4km3．（2021·湖南衡阳·中考真题）如图是某商场营业大厅自动扶梯的示意图．自动扶梯AB 的倾斜角为37︒，大厅两层之间的距离BC 为6米，则自动扶梯AB 的长约为（sin 370.6,cos370.8,tan 370.75︒≈︒≈︒≈）（ ）．A ．7.5米B ．8米C ．9米D ．10米4．（2021·山东济南·中考真题）无人机低空遥感技术已广泛应用于农作物监测．如图，某农业特色品牌示范基地用无人机对一块试验田进行监测作业时，在距地面高度为135m 的A 处测得试验田右侧出界N 处俯角为43︒，无人机垂直下降40m 至B 处，又测得试验田左侧边界M 处俯角为35︒，则M ，N 之间的距离为（参考数据：tan 430.9︒≈，sin 430.7︒≈，cos 350.8︒≈，tan 350.7︒≈，结果保留整数）（ ）A ．188mB ．269mC ．286mD ．312m5．（2021·浙江金华·中考真题）如图是一架人字梯，已知2AB AC ==米，AC 与地面BC 的夹角为α，则两梯脚之间的距离BC 为（ ）A ．4cos α米B ．4sin α米C ．4tan α米D ．4cos α米6．（2021·广东深圳·中考真题）如图，在点F 处，看建筑物顶端D 的仰角为32°，向前走了15米到达点E 即15EF =米，在点E 处看点D 的仰角为64°，则CD 的长用三角函数表示为（ ）A ．15sin 32︒B ．15tan 64︒C ．15sin 64︒D ．15tan 32︒7．（2021·山东日照·中考真题）如图，在一次数学实践活动中，小明同学要测量一座与地面垂直的古塔AB 的高度，他从古塔底部点B 处前行30m 到达斜坡CE 的底部点C 处，然后沿斜坡CE 前行20m 到达最佳测量点D 处，在点D 处测得塔顶A 的仰角为30 ，已知斜坡的斜面坡度i =A ，B ，C ，D ，E 在同一平面内，小明同学测得古塔AB 的高度是（ ）A ．()20m +B ．()10mC ．D ．40m8．（2021·贵州毕节·中考真题）如图，拦水坝的横断面为梯形ABCD ．其中//AD BC ，45ABC ∠=︒，30DCB ∠=︒，斜坡AB 长8m ．则斜坡CD 的长为（ ）A ．B ．C ．D 9．（2021·湖北十堰·中考真题）如图，小明利用一个锐角是30 的三角板测量操场旗杆的高度，已知他与旗杆之间的水平距离BC 为15m ，AB 为1.5m （即小明的眼睛与地面的距离），那么旗杆的高度是（ ）A ．3m 2⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．C ．D ．3m 2⎛⎫+ ⎪⎝⎭10．（2021·湖北随州·中考真题）如图，某梯子长10米，斜靠在竖直的墙面上，当梯子与水平地面所成角为α时，梯子顶端靠在墙面上的点A 处，底端落在水平地面的点B 处，现将梯子底端向墙面靠近，使梯子与地面所成角为β，已知3sin cos 5αβ==，则梯子顶端上升了（ ）A ．1米B ．1.5米C ．2米D ．2.5米11．（2021·重庆·中考真题）如图，在建筑物AB 左侧距楼底B 点水平距离150米的C 处有一山坡，斜坡CD 的坡度（或坡比）为1:2.4i =，坡顶D 到BC 的垂直距离50DE =米（点A ，B ，C ，D ，E 在同一平面内），在点D 处测得建筑物顶A 点的仰角为50°，则建筑物AB 的高度约为（参考数据：sin 500.77︒≈；cos500.64︒≈；tan 50 1.19︒≈）A．69.2米B．73.1米C．80.0米D．85.7米12．（2021·山东泰安·中考真题）如图，为了测量某建筑物BC的高度，小颖采用了如下的方法：先从与建筑物底端B在同一水平线上的A点出发，沿斜坡AD行走130米至坡顶D处，再从D处沿水平方向继续前行若干米后至点E处，在E点测得该建筑物顶端C的仰角为60°，建筑物底端B的俯角为45°，点A、B、i=．根据小颖的测量数据，计算出建筑物BC的高度约为C、D、E在同一平面内，斜坡AD的坡度1:2.4（ 1.732≈）A．136.6米B．86.7米C．186.7米D．86.6米二、填空题13．（2021·广西百色·中考真题）数学活动小组为测量山顶电视塔的高度，在塔的椭圆平台遥控无人机．当无人机飞到点P处时，与平台中心O点的水平距离为15米，测得塔顶A点的仰角为30°，塔底B点的俯角为60°，则电视塔的高度为_________米．14．（2021·广西梧州·中考真题）某市跨江大桥即将竣工，某学生做了一个平面示意图（如图），点A到桥的距离是40米，测得∠A＝83°，则大桥BC的长度是___米．（结果精确到1米）（参考数据：sin83°≈0.99，cos83°≈0.12，tan83°≈8.14）15．（2021·江苏无锡·中考真题）一条上山直道的坡度为1：7，沿这条直道上山，则前进100米所上升的高度为________米．16．（2021·四川乐山·中考真题）如图，为了测量“四川大渡河峡谷”石碑的高度，佳佳在点C处测得石碑顶A点的仰角为30 ，她朝石碑前行5米到达点D处，又测得石顶A点的仰角为60︒，那么石碑的高度AB的长=________米．（结果保留根号）17．（2021·贵州遵义·中考真题）小明用一块含有60°（∠DAE＝60°）的直角三角尺测量校园内某棵树的高度，示意图如图所示，若小明的眼睛与地面之间的垂直高度AB为1.62m，小明与树之间的水平距离BC为4m，则这棵树的高度约为___m．（结果精确到0.1m≈1.73）18．（2021·内蒙古赤峰·中考真题）某滑雪场用无人机测量雪道长度．如图，通过无人机的镜头C测一段水平雪道一端A处的俯角为50°，另一端B处的俯角为45°，若无人机镜头C处的高度CD为238米，点A，︒≈，D，B在同一直线上，则通道AB的长度为_________米．(结果保留整数，参考数据sin500.77︒≈)cos500.64︒≈，tan50 1.1919．（2021·广西来宾·中考真题）如图，从楼顶A 处看楼下荷塘C 处的俯角为45︒，看楼下荷塘D 处的俯角为60︒，已知楼高AB 为30米，则荷塘的宽CD 为__________米．（结果保留根号）20．（2021·湖北黄石·中考真题）如图，直立于地面上的电线杆AB ，在阳光下落在水平地面和坡面上的影子分别是BC 、CD ，测得5BC =米，4CD =米，150BCD ∠=︒，在D 处测得电线杆顶端A 的仰角为45︒，则电线杆AB 的高度约为______米．（参考数据： 1.414≈ 1.732≈，结果按四舍五入保留一位小数）21．（2021·湖北荆州·中考真题）如图1是一台手机支架，图2是其侧面示意图，AB ，BC 可分别绕点A ，B 转动，测量知8cm BC =，16cm AB =．当AB ，BC 转动到60=︒∠BAE ，50ABC ∠=︒时，点C 到AE 的距离为_____________cm ．（结果保留小数点后一位，参考数据：sin 700.94︒≈ 1.73≈）22．（2021·湖北武汉·中考真题）如图，海中有一个小岛A ，一艘轮船由西向东航行，在B 点测得小岛A 在北偏东60︒方向上；航行12n mile 到达C 点，这时测得小岛A 在北偏东30︒方向上．小岛A 到航线BC 的距离是__________n mile 1.73≈，结果用四舍五入法精确到0.1）．三、解答题23．（2021·山东青岛·中考真题）某校数学社团开展“探索生活中的数学”研学活动，准备测量一栋大楼BC 的高度．如图所示，其中观景平台斜坡DE 的长是20米，坡角为37︒，斜坡DE 底部D 与大楼底端C 的距离CD 为74米，与地面CD 垂直的路灯AE 的高度是3米，从楼顶B 测得路灯AE 项端A 处的俯角是42.6︒．试求大楼BC 的高度．（参考数据：3sin 375︒≈，4cos375≈︒，3tan 374︒≈，17sin 42.625︒≈，34cos 42.645︒≈，9tan 42.610︒≈）24．（2021·广西河池·中考真题）如图，小明同学在民族广场A 处放风筝，风筝位于B 处，风筝线AB 长为100m ，从A 处看风筝的仰角为30︒，小明的父母从C 处看风筝的仰角为50︒．（1）风筝离地面多少m ？（2）AC 相距多少m ？（结果保留小数点后一位，参考数据：sin300.5︒=，cos300.8660︒＝，tan300.5774︒＝，sin500.7760︒＝，cos500.6428︒＝，tan50 1.1918︒＝）25．（2021·四川巴中·中考真题）学校运动场的四角各有一盏探照灯，其中一盏探照灯B的位置如图所示，已知坡长AC＝12m，坡角α为30°，灯光受灯罩的影响，最远端的光线与地面的夹角β为27°，最近端的光线恰好与地面交于坡面的底端C处，且与地面的夹角为60°，A、B、C、D在同一平面上．（结果精确到0.1m.参考数据：sin27°≈0.45，cos27°≈0.89，tan27°≈0.50 1.73．）（1）求灯杆AB的高度；（2）求CD的长度．1．A【解析】【分析】过点A 作AC ⊥BC 于C ，根据正弦的定义解答即可．【详解】解：如图，过点A 作AC ⊥BC 于C ，在Rt △ABC 中，sin B =AC AB，则AC =AB •sin B =100sin65°（米），故选：A ．【点拨】本题考查的是解直角三角形的应用—坡度坡角问题，掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．2．D【解析】【分析】根据题意可知 1.6BE CD ==米，60ABC ∠=︒．再利用特殊角的三角函数解直角三角形即可求出AC 长，从而求出AD 长．【详解】根据题意可知 1.6BE CD ==米，60ABC ∠=︒．∵60ABC ∠=︒，∴在Rt ABC 中，tan 60AC BC =︒= 米．∴ 1.6)AD AC CD =+=米．故选D ．【点拨】本题考查解直角三角形的实际应用．掌握特殊角的三角函数值是解答本题的关键．3．B【解析】【分析】过点A′作A′C ⊥AB 于点C ，根据锐角三角函数的定义即可求出答案．【详解】解：如答图，过点A′作A′C ⊥AB 于点C ．在Rt △OCA′，sinα＝A C A O''，所以A′C ＝A′O·sinα．由题意得A′O ＝AO ＝4，所以A′C ＝4sinα，因此本题选B ．【点拨】本题考查解直角三角形，解题的关键是熟练运用锐角三角函数的定义，本题属于基础题型．4．B【解析】【分析】直接利用勾股定理得出BC ，再利用锐角三角函数关系得出答案．【详解】解：过点A 作AC ⊥BD ，垂足为C ，∵坝高h =60m ，迎水斜坡AB =100m ，∴BC ==80（m ），则tanα=603804= ．故选：B ．【点拨】此题主要考查了解直角三角形的应用，正确掌握边角关系是解题关键．5．D【解析】【分析】由斜坡BC 的坡度8:15i =，设8CE x =、15BE x =，由勾股定理可知17BC x =，BC =510，求得30x =，据此可知AE 、DE 的长，再根据DC DE CE =-可得答案．【详解】由斜坡BC 的坡度8:15i =，设8CE x =、15BE x =，在Rt BCE 中，17BC x ===，由17510BC x ==求得30x =，∴240CE =米、450BE =米，在Rt ACE △中，2401200tan tan12CE AE CAE ===∠︒（米），在Rt ADE △中，tan 1200tan13276DE AE DAE =∠=⨯︒=（米），则27624036DC DE CE =-=-=（米）．故选：D ．【点拨】本题主要考查解直角三角形的应用能力，注意能借助仰角和俯角构造直角三角形并解直角三角形是解决本题的关键．6．D【解析】【分析】根据时间、速度、距离之间的关系求出AC ，根据等腰直角三角形的性质解答即可．【详解】解：如图：由题意得，AC ＝60×0.5＝30海里，∵CD ∥BF ，∴∠CBF ＝∠DCB ＝60°，又∠ABF ＝15°，∴∠ABC ＝45°，∵AE ∥BF ，∴∠EAB ＝∠FBA ＝15°，又∠EAC ＝75°，∴∠CAB ＝90°，∴sin 45AC BC ︒=∴BC ＝海里，故选：D ．【点拨】本题考查的是解直角三角形的应用−方向角问题，正确标注方向角、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．7．B【解析】【分析】根据同角的余角相等得∠ACD ＝∠CBD ，由cos ∠ACD ＝CD AC ，即可求出AC 的长度．【详解】解：∵∠ACD +∠BCD ＝90°，∠CBD +∠BCD ＝90°，∴∠ACD ＝∠CBD ，在Rt △ACD 中，∵cos ∠ACD ＝CD AC，∴AC ＝cos cos CD m ACD α=∠．故选：B ．【点拨】本题主要考查解直角三角形的应用，熟练掌握同角的余角相等和三角函数的定义是解题的关键．8．D【解析】【分析】根据等腰直角三角形的性质分别求出E C 、EB ，根据正切的定义求出DE ，结合图形计算得到答案．【详解】解：在Rt EBC 中，45BCE ∠=︒，3EC EB ∴====（米)，在Rt BDE △中，tan BE BDE DE ∠=，tan BE DE BDE ∴==∠（米)，(3CD EC DE ∴=-=米，故选：D ．【点拨】本题考查的是解直角三角形的应用—坡度坡角问题，掌握坡度的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．9．A【解析】【分析】延长AB 与DC 相交与点E ，由题意和三角函数可求得EC 的长度，根据37°角的三角函数求得AE 的长度，进而可求出建筑物AB 的高度．【详解】如图，延长AB 与DC 相交于点E ，∵15.6BC =，斜坡BC 的坡度i =1：2.4=512，∴12cos 13BCE =∠，5sin 13BCE =∠，∴12cos 15.6=14.413EC BC BCE =∙=⨯∠，5sin 15.6613BE BC BCE =∙=⨯=∠，∴==14.430=44.4ED EC CD ++，又∵D ∠=37°，∴=tan 37=44.40.75=33.3AE ED ∙︒⨯，∴33.3627.3AB AE BE =-=-=，故选：A ．【点拨】此题考查了三角函数应用题，仰角和坡度的概念，做出辅助线是解答本题的关键．10．A【解析】【分析】过B 分别作AE 、DE 的垂线，设垂足为F 、G ．分别在Rt △ABF 和Rt △ADE 中，通过解直角三角形求出BF 、AF 、DE 的长，再求出EF 即BG 的长；在Rt △CBG 中求出CG 的长，根据CD =CG +GE -DE 即可求出宣传牌的高度．【详解】解：过B 作BF ⊥AE ，交EA 的延长线于F ，作BG ⊥DE 于G ．Rt △ABF 中，i =tan ∠BAF =BF AF ＝12.4，AB =26米，∴BF =10（米），AF =24（米），∴BG =AF +AE =54（米），Rt △BGC 中，∠CBG =43°，∴CG =BG •tan43°≈54×0.93=50.22（米），Rt △ADE 中，∠DAE =60°，AE =30米，∴∴CD =CG +GE -DE（米）．故选：A ．【点拨】此题考查了仰角、坡度的定义，能够正确地构建出直角三角形，将实际问题化归为解直角三角形的问题是解答此类题的关键．11．B【解析】【分析】延长AB交DC的延长线于H，作EF⊥AH于F，根据矩形的性质得到FH＝DE＝12，EF＝DH，根据坡度的概念分别求出CH、BH，根据正切的定义求出AF，结合图形计算即可．【详解】解：延长AB交DC的延长线于H，作EF⊥AH于F，则四边形EDHF为矩形，∴FH＝DE＝12米，EF＝DH，∵斜坡CB的坡度为t＝12：5，∴设BH＝12x，CH＝5x，由勾股定理得，（5x）2+（12x）2＝522，解得，x＝4，则BH＝12x＝48米，CH＝5x＝20米，则EF＝DH＝DC+CH＝60+20＝80（米），在Rt△AEF中，tan∠AEF＝AF EF，则AF＝EF•tan∠AEF≈80×0.81＝64.8（米），∴AB＝AF+HF﹣BH＝64.8+12﹣48＝28.8（米），故选：B．【点拨】本题考查的是解直角三角形的应用-仰角俯角问题、坡度坡角问题，掌握仰角俯角、坡度坡角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．12．B【解析】【分析】连接DE，作BF⊥DE于F，BG⊥DA于G，设BG=3x m，则AG=4x m，BF=DG=24+4x（m），CF=BF+BC=46+4x（m），由三角函数定义得出EF=tan37°（24+4x），EF=tan22°（46+4x），得出0.75（24+4x）=0.40（46+4x ），解得27x =，求出DF 、EF ，即可得出答案．【详解】解：连接DE ，作BF ⊥DE 于F ，BG ⊥DA 于G ，如图：则DF =BG ，BF =DG =AD +AG ，∵AB =斜坡AB 的坡度0.75BG i AG==，∴设BG =3x m ，则AG =4x m ，BF =DG =24+4x （m ），CF =BF +BC =24+4x +22=46+4x （m ），由题意得：∠EBF =37°，∠ECF =22°，∵tan ∠BEF =244EF EF BF x =+，tan ∠ECF =464EF EF CF x=+，∴EF =tan 37°（24+4x ），EF =tan 22°（46+4x ），∴0.75（24+4x ）=0.40（46+4x ），解得：27x =，∴DF =BG =3x =67（m ），EF =0.40（46+4x ）=1327（m ），∴DE =DF +EF =613213819.7777+=≈；故选：B ．【点拨】本题考查的是解直角三角形的应用-仰角俯角问题、坡度坡角问题，掌握仰角俯角的概念、坡度坡角分概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．13．（）．【解析】【分析】过点E 作EF ⊥BC 的延长线于F ，EH ⊥AB 于点H ，解直角三角形即可求解．【详解】解：过点E 作EF ⊥BC 的延长线于F ，EH ⊥AB 于点H ，在Rt △CEF 中，∵i ＝EF CF tan ∠ECF ，∴∠ECF ＝30°，∴EF ＝12CE ＝10米，CF ＝∴BH ＝EF ＝10米，HE ＝BF ＝BC +CF ＝（在Rt △AHE 中，∵∠HAE ＝45°，∴AH＝HE ＝（∴AB ＝AH +HB ＝（答：楼房AB 的高为（故答案为：（【点拨】本题考查了解直角三角形的应用，涉及俯角及坡度的知识，构造直角三角形是解题的关键．14．0.6【解析】【分析】如图，解直角三角形ABC 可以求得AB 的长，求出乙楼的影子在甲楼上的高度CD ，再求影子的顶端距她家阳台的距离.【详解】解：如图，△ABC 中，∠ABC=90°，∠ACB=30°，BC=20米，所以AB=BC•tan ∠ACB ＝20•tan30°＝（米），CD=18-11.55=6.45（米），∴影子的顶端距她家阳台还有7-6.45≈0.6（米）．故答案为0.6.【点拨】本题考查特殊角的三角函数值，解直角三角形，根据BC 求出AB 的值是解题的关键．15【解析】【分析】根据题意可证得△ABC 为等腰三角形，即可求出BC 的长，然后再解直角三角形CBD 即可求得．【详解】解：如图，过点C 作CD ⊥AB 于点D ，根据题意得：∠CAD =90°−60°=30°，∠CBD =90°−30°=60°，∴∠ACB =∠CBD −∠CAD =60°-30°=30°，∴∠CAB =∠ACB ，∴BC =AB =2km ，在Rt △CBD 中，sin 602CD BC =⋅︒==，【点拨】本题考查了等腰三角形的判定与性质及解直角三角形的应用，解决本题的关键是证出△ABC 是等腰三角形．16．12【解析】【分析】根据∠DBC =45°可得BD CD =，根据tan α＝0.8，可得3810CD CD =+，进而即可求得CD 的长．【详解】∵∠DBC =45°，∴BD =CD tan 45⨯︒=CD ，tanα=，3AD AB BD CD =+=+,则3810CD CD =+，解得CD =12．经检验：符合题意故答案为12．【点拨】本题考查了解直角三角形的应用，掌握正切的意义是解题的关键．17．(6m+【解析】【分析】延长AD 交BC 的延长线于F ，作DG ⊥BF 于G ，根据直角三角形的性质和勾股定理求出DC 、CG 的长，根据正切的定义解答即可．【详解】解：如图，延长AD 交BC 的延长线于F ，作DG ⊥BF 于G ，∵∠ADE ＝30°，∴∠AFB ＝30°，∵CD ＝6m ，斜坡CD 的坡度i ＝1∴tan ∠DCG ＝DG CG ∴∠DCG ＝30°，∴DG ＝3m ，CG ＝，∴∠DFC ＝∠DCF ＝30°，∴DF ＝DC ，∵DG ⊥BF ，∴FG ＝CG ＝，∴FC＝，∴FB ＝FC +BC ＝（）m ，∴AB ＝BF ×tan ∠AFB ＝（）m ．故答案为：（m ．【点拨】本题主要考查了勾股定理，坡比和解直角三角形，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解．18．16【解析】【分析】根据已知条件转化为直角三角形ABC 中的有关量，由锐角三角函数的定义可求出BC ，根据BD =BC -CD 可得出答案．【详解】解：由题意知，∠ABC =30°，∠ACB =90°，AC =32米，tan tan 30,AC ABC BC ︒∠==tan 30AC BC ︒∴===（米）∵CD =16米，∴BD =BC -CD=16米．故答案为：16．【点拨】本题考查了解直角三角形的应用，解题的关键是利用仰俯角的定义将题目中的相关量转化为直角三角形ABC 中的有关元素．19．（【解析】【分析】在直角三角形DCE 中，利用锐角三角函数定义求出DE 的长，过D 作DF 垂直于AB ，交AB 于点F ，可得出三角形BDF 为等腰直角三角形，设BF =DF =x (米)，表示出BC ，BD ，DC ，由题意得到三角形BCD 为直角三角形，利用勾股定理列出关于x 的方程，求出方程的解得到x 的值，即可确定出AB 的长．【详解】解：在Rt △DCE 中，DC ＝4米，∠DCE ＝30°，∠DEC ＝90°，∴DE 12=DC ＝2(米)，过D 作DF ⊥AB ，交AB 于点F，∵∠BFD ＝90°，∠BDF ＝45°，∴∠FBD ＝45°，即△BFD 为等腰直角三角形，设BF ＝DF ＝x 米，∵四边形DEAF 为矩形，∴AF ＝DE ＝2米，即AB ＝（x +2）米，在Rt △ABC 中，∠ABC ＝30°，∴cos30B AB C ===︒BD =米，DC ＝4米，∵∠DCE ＝30°，∠ACB ＝60°，∴∠DCB ＝90°，在Rt △BCD 中，根据勾股定理得：22(24)2163x x +=+ ，解得：x ＝则AB ＝（故答案为：（【点拨】此题考查了解直角三角形的实际应用--仰角俯角问题，坡度坡角问题，熟练掌握解直角三角形的方法是解本题的关键．20．24.2【解析】【分析】先根据等腰直角三角形的判定与性质可得BC CD =，设m BC CD x ==，从而可得(8)m AC x =+，再在Rt ACD △中，利用正切三角函数解直角三角形即可得．【详解】解：由题意得：,8m,53,45AC CD AB ADC BDC ⊥=∠=︒∠=︒，Rt BCD ∴ 是等腰直角三角形，BC CD ∴=，设m BC CD x ==，则(8)m AC x =+，在Rt ACD △中，tan AC ADC CD∠=，即8tan 53 1.33x x +=︒≈，解得24.2(m)x ≈，经检验，是所列分式方程的解，且符合题意，即建筑物BC 的高约为24.2m ，故答案为：24.2．【点拨】本题考查了等腰直角三角形的判定与性质、解直角三角形的应用，熟练掌握解直角三角形的方法是解题关键．21．(2)180.3米【解析】【分析】对于（1），由特殊角三角函数值得出答案；对于（2），设DC ＝x 米，再根据特殊角三角函数值得CE =（米），AC ＝（3x ）（米），再由AC ＝AD +DC ，得关于x 的方程，求出x 的值，即可解决问题．(1)∵∠ECD ＝90°，∠EDC ＝60°，∴∠DEC ＝90°﹣∠EDC ＝30°，∴tan tan 30∠==︒=DC DEC EC ，即DC EC (2)设DC ＝x 米，∵∠EDC ＝60°，∠ECD ＝90°，∴tan 60CE DC =⋅︒=（米），∴(55)=+=BC BE CE （米）.∵∠A ＝30°，∴3)==AC x （米）.∵AC ＝AD +DC ，∴3240=+x x ，。
【北师大版教材适用】九年级数学下册《1.5.1解直角三角形在实际中的一般应用》习题课件(附答案演示)
∴AB＝BC•tan 75°≈0.60×3.732≈2.239(m)．
∴GM＝AB≈2.239 m.
在Rt△AGF中，∵∠FAG＝∠FHE＝60°， FG 3 FG ＝ ， ， sin∠FAG＝ 即sin 60°＝ 2.50 2 AF ∴FG≈2.165 m.
∴EF＝66 cm.
∵∠FGK＝80°，
∴FN＝100•sin 80°≈98(cm)．
∵∠EFG＝125°， ∴∠EFM＝180°－125°－10°＝45°. ∴FM＝66•cos 45°＝33
2 ≈46.53(cm)．
∴MN＝FN＋FM≈98＋46.53≈144.5(cm)．
∴此时小强头部E点与地面DK大约相距144.5 cm.
解： (1)如图，作AD⊥BC于D，则AD＝10 m. 在Rt△ACD中，∵∠C＝45°，
∴AD＝CD＝10 m.
在Rt△ABD中，∵∠B＝30°， AD . ∴tan 30°＝ BD ∴BD＝ 3 AD＝10 3 m. ∴BC＝BD＋DC＝(10＋10 3 ) m，即B，C之间的 距离为(10＋10
(1)求办公楼AB的高度； (2)若要在A，E之间挂一些彩旗，请你求出A，E之间的距 3 15 离(参考数据：sin 22°≈ ，cos 22°≈ ， 8 16 2 tan22°≈ )． 5
(1)如图．过点E作EM⊥AB，垂足为M. 解： 设AB为x m.在Rt△ABF中，∠AFB＝45°，
∴BF＝AB＝x m.
(2)如图，过点E作EP⊥AB于点P，延长OB交MN于点H. ∵AB＝48 cm，O为AB中点，
∴AO＝BO＝24 cm.
∵EM＝66•sin 45°＝33 2 ≈46.53(cm)，
2020中考数学 九年级下册锐角三角函数在实际问题中的应用(含答案)
2020中考数学 锐角三角函数在实际问题中的应用（含答案）1.如图，小军和小兵要去测量一座古塔的高度，他们在离古塔60米的A 处用测角仪测得塔顶的仰角为30°，已知测角仪AD=1.5米，则塔CB 的高为多少米？参考答案:解：过A 作AE ∥DC 交BC 于点E 则AE=CD=60米，则∠AEB=90°，EC=AD=1.5 在Rt △ABE 中， 即tan 3060BE=∴360tan 3060303BE === 所以，古塔高度为：203 1.5CB BE EC =+=米2.如图，小强在家里的楼顶上的点A 处，测量建在与小明家楼房同水平线上相邻的电梯楼的高，在点A 处看电梯楼顶点B 处的仰角为60°，看楼底点C 的俯角为45°，两栋楼之间的距离为30米，则电梯楼的高BC 为多少米？参考答案:解：过A 作AD ∥地面，交BC 于D 则在Rt △ABD 中，tan 60BD AD ∠=，即tan 6030BD∠=，∴303BD =在Rt △ACD 中，tan 45DC AD ∠=，即tan 6030DC ∠=，∴30DC = ∴楼高BC 为：30303BD DC +=+AD BC 60°45°AC3.小明在热气球A上看到正前方横跨河流两岸的大桥BC，并测得B，C两点的俯角分别为45°，35°。
已知大桥BC与地面在同一水平面上，其长度为100米，请求出热气球离地面的高度。
（结果保留整数，参考数据：7sin3512≈，5cos356≈，7tan3510≈）参考答案:解：过A作AD⊥BC于点D则AD即为热气球的高度，且∠1=∠2=45°∴可设AD=BD=x则CD=x+100在Rt△ADC中tanADCDC=，即tan35100xx=+得：7003x=即热气球的高度为7003AD=米4.如图，某建筑物BC顶部有一旗杆AB，且点A，B，C在同一直线上．小红在D处观测旗杆顶部A的仰角为47°，观测旗杆底部B的仰角为42°．已知点D到地面的距离DE为1.56m，EC=21m，求旗杆AB的高度和建筑物BC的高度（结果保留小数点后一位，参考数据：tan47°≈1.07，tan42°≈0.90）．参考答案:解：根据题意，DE=1.56,EC=21,∠ACE=90°,∠DEC=90°．过点D作DF⊥AC,垂足为F．则∠DFC=90°,∠ADF=47°,∠BFD=42°．45°35°AE45°35°AB可得四边形DECF 为矩形． ∴DF=EC=21,FC=DE=1．56． 在Rt △DFA 中，tan AFADF DF∠=∴AF=DF ·tan47°≈21×107=22.47． 在Rt △DFB 中，tan BF BDF DF∠=∴BF=DF ·tan42°≈21×0.90=18.90．于是，AB=AF-BF=22.47-18.90=3.57≈3.6,BC=BF+FC=18.90+1.56=20.46≈20.5．5.如图所示，探测出某建筑物废墟下方点C 处有生命迹象．在废墟一侧面上选两探测点A 、B ，AB 相距2米，探测线与该面的夹角分别是30°和45°（如图）．试确定生命所在点C 与探测面的距离．（参考数据2 1.41≈,3 1.73≈）参考答案:解：过C 作CD ⊥AB 于点D ， 则∠DBC=45°=∠BCD ∴可设BD=CD=x在Rt △ACD 中可得：tan DCDAC AD∠=即：tan 302x x =+ 得31 2.73x =+≈即，点C 与探测面的 距离大约为2.73米。
九年级数学下册基础知识专项讲练(北师大版)专题 三角函数的应用
专题1.8 三角函数的应用（知识讲解）【学习目标】会运用有关解直角三角形的知识解决实际生活中存在的解直角三角形问题．【要点梳理】要点一、锐角三角函数之间的关系如图所示，在Rt△ABC 中，△C ＝90°．（1）互余关系：sin cos A B =，0c sin(9)s n os i A A B ︒=-∠=；（2）平方关系：22sin cos 1A A +=；（3）倒数关系：tan(90)1tan A A ︒⋅-∠=或1t n an a t A B=；（4）商数关系：i t n an s cos A A A=． 要点诠释：锐角三角函数之间的关系式可由锐角三角函数的意义推导得出，常应用在三角函数的计算中，计算时巧用这些关系式可使运算简便．【典型例题】类型一、利用同角三角函数关系求值1．计算：（1）2tan452sin30cos 30-+； （2）22tan1tan89sin 1sin 89⋅++．举一反三：【变式1】2．已知△A 为锐角且sinA=12，则4sin 2A －4sinAcosA ＋cos 2A 的值是多少。
【变式2】3．如图，在ABCD 中，E ，F 是对角线BD 上的两点（点E 在点F 左侧），且90AEB CFD ∠=∠=︒．（1）求证：四边形AECF 是平行四边形．（2）当5AB =，3tan 4ABE ∠=，CBE EAF ∠=∠时，求BD 的长．【变式3】4．求值：(1)260453456cos sin tan tan +-⋅； ()2已知2tanA =，求245sinA cosA sinA cosA-+的值． 类型二、求证同角三角函数关系式5．已知：1sin15cos15sin302⋅=，1sin20cos20sin402⋅=，1sin30cos30sin602⋅=，请你根据上式写出你发现的规律________．举一反三：【变式1】6．已知：实常数a b c d 、、、同时满足下列两个等式：△sin cos 0a b c θθ+-=；△cos sin 0a b d θθ-+=（其中θ为任意锐角），则a b c d 、、、之间的关系式是：___________【变式2】7．△sin 2A+cos 2A=________，△tanA•cotA=________．类型三、互余两角的三角函数的关系8．在Rt△ABC 中，已知△C ＝90°，sin A ＝35，求cos A 、tan A 以及△B 的三个三角函数值． 举一反三：【变式1】9．在Rt △ABC 中，△C ＝90°，sin B ＝35，求cos A 的值．10．在Rt△ABC中，△C=90°，sinA=34，求cosA，sinB，cosB，tanA，tanB的值．【变式3】11．在Rt△ABC中，△C＝90°，cosB＝35，求tanA的值．类型四、三角函数综合12．如图，在△ABC中，△ACB＝90°，sin A＝45，BC＝8，D是AB中点，过点B作直线CD的垂线，垂足为点E.(1)求线段CD的长；(2)求cos △ABE的值．举一反三：【变式1】13．如图，海中一渔船在A处且与小岛C相距70nmile，若该渔船由西向东航行30nmile 到达B处，此时测得小岛C位于B的北偏东30°方向上；求该渔船此时与小岛C之间的距离．14．如图，已知四边形ABCD 中，△ABC=90°，△ADC=90°，AB=6，CD=4，BC 的延长线与AD 的延长线交于点E ．（1）若△A=60°，求BC 的长；（2）若sinA=45，求AD 的长． （注意：本题中的计算过程和结果均保留根号）【变式3】15．如图，在Rt ABC 中，90,30,B A AC ∠=︒∠=︒=（1）利用尺规作线段AC 的垂直平分线DE ，垂足为E ，交AB 于点D ；（保留作图痕迹，不写作法）（2）若ADE 的周长为a ，先化简()()211T a a a =+--，再求T 的值．参考答案：1．（1）34；（2）2. 【分析】(1)根据特殊角的三角函数值计算即可；(2)根据直角三角形中tanA=1tanB，sin 2A+cos 2A=1，sinA=cosB 计算.【详解】()1原式21331211244=-⨯+=-+=； ()2原式()221tan1sin 1cos 1tan1=⨯++ 11=+2=.故答案为（1）34；（2）2. 【点睛】本题考查了三角函数值的计算.2．74【分析】先求出A ∠的度数，再求出cos A 的值，最后代入计算即可.【详解】A ∠为锐角，且1sin 2A = 30A ∴∠=︒cos cos30A ∴=︒=22224117 44()4224sin A sinAcos A A cos ∴-+⨯-⨯== 【点睛】本题考查了锐角三角函数值，熟记特殊角的三角函数值是解题关键.3．（1）见解析；（2）【分析】（1）由平行四边形的性质得到AB =CD ，ABE CDF ∠=∠，和已知条件一起，用于证明三角形全等，再根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形判定定理得出结论； （2）根据平行四边形的性质得到一组对角相等，通过等量代换，得到CBE ECF ∠=∠，则相等的角正切值也相等，根据比值算出结果．【详解】（1）证明=90AEB CFD ， △//AE CF ，在ABCD 中，//AB CD ，=AB CD ，△ABE CDF ∠=∠，△ABE ≌CDF ()AAS ，△AE CF =，△四边形AECF 是平行四边形．（2）解：△ABE ≌CDF ，△BE =DF ，△四边形AECF 是平行四边形，△EAF FCE ，在Rt ABE 中5AB =，3tan 4ABE ∠=，△AE =3，BE =4．△BE =DF ，AE =CF ，△BE =DF =4，AE =CF =3，EAF FCE ，CBE EAF ∠=∠，△CBE ECF ∠=∠，△tan△CBF =34CF BE EF EF =++，tan△ECF =3EF EF CF =，△343EF EF =+，得到EF 2，或EF =2（舍去），△BD 2=6，即BD =6．【点睛】本题考查了平行四边形的性质与判定以及相等的角的正切值也相等．解决本题的关键在于等量代换出角相等，应用相等的角的正切值也相等来解题．4．（1）0；（2）313. 【分析】（1）根据特殊角的三角函数值及互余两角三角函数值相互间的关系计算．（2）根据同角三角函数值相互间的关系计算．【详解】（1）原式12=+）2﹣11122=+-1=0； （2）△tan A =2，△sin cos A A =2，△sin A =2cos A ，△原式=22cos 42cos 5A cosA A cosA ⨯-⨯+=3cos 13cos A A =313． 【点睛】本题考查了特殊角三角函数值的计算，特殊角三角函数值计算在中考中经常出现，题型以选择题、填空题为主．5．1sin cos sin22ααα⋅= 【分析】从角度的倍数关系方面考虑并总结写出结论．【详解】根据题意发现：同一个角正弦与余弦的积等于这个角的2倍的正弦的一半， 规律为：1sin cos sin22ααα⋅=. 故答案为1sin cos sin22ααα⋅=. 【点睛】本题考点：同角三角函数的关系.6．a 2+b 2=c 2+d 2【分析】把两个式子移项后，两边平方，再相加，利用sin 2θ+cos 2θ=1，即可找到这四个数的关系．【详解】由△得asinθ+bcosθ=c ，两边平方，a 2sin 2θ+b 2cos 2θ+2absinθcosθ=c 2△，由△得acosθ-bsinθ=-d ，两边平方，a 2cos 2θ+b 2sin 2θ-2absinθcosθ=d 2△，△+△得a 2（sin 2θ+cos 2θ）+b 2（sin 2θ+cos 2θ）=c 2+d 2，△a 2+b 2=c 2+d 2．【点睛】本题主要考查了同角三角函数基本关系式的应用，sin 2θ+bcos 2θ=1的应用是解题的关键，属于基础题．7． 1 1【详解】如图，设Rt△ABC 中，△C=90°，△A 、△B 、△C 所对的边分别为a b c 、、，则sinA=a c，cosA=b c ，tanA=a b ，cotA=b a ，222+=a b c ， △（1）sin 2A+cos 2A=2222222()()1a b a b c c c c c++===； （2）tanA•cotA=1a b b a ⋅=.点睛：解答本题的要点是：画出符合要求的图形，结合锐角三角形函数的定义和勾股定理进行推理计算即可得到答案.8．见解析．【分析】根据已知角A 的正弦设()30BC k k =>，得出5AB k =，由勾股定理求出4AC k =，根据锐角三角函数的定义求出即可．【详解】△sin A ＝35＝BC AB ， △设()30BC k k =>，5AB k =，由勾股定理得：4AC k =，则cos A ＝4554AC k AB k ==， tan A ＝3344BC k AC k ==， sin B ＝45AC AB =， cos B ＝35BC AB =， tan B ＝43AC BC =．【点睛】本题考查了锐角三角函数的定义的应用，熟练掌握定义是关键．9．cos A ＝35. 【分析】先根据三角形内角和定理得出△A+△B=90°，再根据互余两角的三角函数的关系求解．【详解】解：在△ABC 中，△△C ＝90°，△△A ＋△B ＝90°，△cos A ＝sin B ＝35. 故答案为：35. 【点睛】本题考查直角三角形中互为余角的两角的三角函数的关系及三角形内角和定理．解题关键是一个角的正弦值等于它的余角的余弦值，一个角的余弦值等于它的余角的正弦值；三角形内角和是180°．1034【分析】已知直角三角形中一个锐角的某个三角函数值，求这个锐角的其他三角函数值和它的余角的各三角函数值，可以先画出直角三角形，结合图形和已知条件，利用设“k”法，将直角三角形的各边长用含“k”的代数式表示出来，其中k ＞0，然后根据锐角三角函数的定义，求得锐角的各三角函数值．【详解】解:如图因为Rt △ABC 中，△C=90°，3sin 4A =， 所以34BC AB =， 设BC ＝3k(k ＞0)，则AB ＝4k ．在Rt△ABC 中，由勾股定理得AC ．所以cos AC A AB ===，sin AC B AB== 33cos 44BC k B AB k ===，tanBC A AC ==，tan AC B BC === 11．34【分析】在Rt △ABC 中，△C ＝90°，根据，cosB ＝BC AB ＝35，设BC ＝3x ，AB ＝5x ，再根据勾股定理，可得AC 的长 再根据正切等于对边比邻边，可得答案．【详解】解 由在Rt △ABC 中，△C ＝90°，cosB ＝35，得 cosB ＝BC AB ＝35， 设BC ＝3x ，AB ＝5x ，勾股定理得AC 4x ，由正切等于对边比邻边，得tanA ＝BC AB =3x 4x =34. 【点睛】本题考查了余弦函数的定义，勾股定理，正切函数的定义．熟练掌握相关知识是解题的关键．12．（1）5；（2）2425. 【详解】试题分析：（1）利用正弦定义很容易求得AB =10，然后由已知D 为斜边AB 上的中点，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求解.（2）cos△ABE =BE BD，则求余弦值即求BE ，BD 的长，易求得BD =5.再利用等面积法求BE 的长.试题解析：(1)在△ABC 中，△△ACB ＝90°，sin A ＝45BC AB =，而BC ＝8，△AB ＝10.△D 是AB 的中点，△CD ＝12AB ＝5.(2)在Rt△ABC 中，△AB ＝10，BC ＝8，△AC ＝6.△D 是AB 中点，△BD ＝5，S △BDC ＝S △ADC ，△S △BDC ＝12S △ABC ，即12CD ·BE ＝12·12AC ·BC ，△BE ＝6824255⨯=⨯. 在Rt△BDE 中，cos△DBE ＝BE BD ＝ 2455＝2425，即cos△ABE 的值为2425. 点睛：在直角三角形中求长度，一般可通过勾股定理或全等三角形来求；若已知角度则可用锐角三角函数来求；若这些方法均不可行，又是求高或已知高的长度则可利用等面积法来求.13．渔船此时与C 岛之间的距离为50海里．【分析】过点C 作CD△AB 于点D ，由题意得：△BCD=30°，设BC=x ，解直角三角形即可得到结论．【详解】过点C 作CD△AB 于点D ，由题意得：△BCD=30°，设BC=x ，则：在Rt △BCD 中，BD=BC•sin30°=12x ，；△AD=30+12 x，△AD2+CD2=AC2，即：（30+12x）2+）2=702，解得：x=50（负值舍去），【点睛】注意能借助于方向角构造直角三角形，并利用解直角三角形的知识求解是解此题的关键．14．（1）8；（2）143．【分析】（1）根据锐角三角函数求得BE和CE的长，根据BC=BE﹣CE即可求得BC的长；（2）根据题意求得AE和DE的长，由AD=AE﹣DE即可求得AD的长．【详解】（1）△△A=60°，△ABE=90°，AB=6，tanA=，△△E=30°，BE=tan60°•6=6，又△△CDE=90°，CD=4，sinE=，△E=30°，△CE==8，△BC=BE﹣8；（2））△△ABE=90°，AB=6，sinA==，△设BE=4x，则AE=5x，得AB=3x，△3x=6，得x=2，△BE=8，AE=10，△tanE====，解得，DE=，△AD=AE﹣DE=10﹣=，即AD的长是．考点：解直角三角形．15．（1）作图见解析；（2）10.【分析】（1）尺规作图——作线段的垂直平分线；（2）化简求值，利用三角函数求其余两边的长度．【详解】解：（1）如图所示：（2）2(1)(1)31T a a a a =+--=+，△1122AE AC ==⨯△2cos cos30AE AE AD A ====︒， △1sin sin 30=212DE AD A AD ==︒⨯=，△123a =+=3110T a ∴=+=．。
北师大版初三数学9年级下册 第1章 1.5三角函数的应用 解答题专题训练 (含答案)
北师大版九年级数学下册《1.5三角函数的应用》解答题专题训练（附答案）1．如图是矗立在公路边水平地面上的交通警示牌，经测量得到如下数据AM＝4米，AB＝8米，∠MBC＝30°，∠MAD＝45°，则警示牌的高CD为多少米？（结果精确到米，参考数据：≈1.41，≈1.73）2．如图是一座人行天桥的示意图，天桥的高度是10米，CB⊥DB，坡面AC的倾斜角为45°．为了方便行人推车过天桥，市政部门决定降低坡度，使新坡面DC的坡度为i＝：2．若新坡角下留3米宽的人行道，问离原坡角（A点处）10米的建筑物是否需要拆除？（参考数据：≈1.414，≈1.732）3．我国南水北调中线工程的起点是丹江水库，按照工程计划，需对原水库大坝进行混凝土培厚加高，使坝高由原来的162米增加到176.6米，以抬高蓄水位．如图是某一段坝体加高工程的截面示意图，其中原坝体的高为BE，背水坡坡角∠BAE＝68°，新坝体的高为DE，背水坡CD的坡度为：1．求工程完工后背水坡底端水平方向增加的宽度AC．（结果精确到0.1米．参考数据：sin68°≈0.93，cos68°≈0.37，tan68°≈2.50，≈1.73）．4．图1是一辆吊车的实物图，图2是其工作示意图，AC是可以伸缩的起重臂，其转动点A 离地面BD的高度AH为3.5米．当起重臂AC长度为8米，张角∠HAC为118°时，求操作平台C离地面的高度（结果保留小数点后一位）【参考数据：sin28°≈0.47，cos28°≈0.88，tan28°≈0.53】5．某小区为了安全起见，决定将小区内的滑滑板的倾斜角由45°调为30°，如图，已知原滑滑板AB的长为4米，点D，B，C在同一水平地面上，调整后滑滑板会加长多少米？（结果精确到0.01米，参考数据：≈1.414，≈1.732，≈2.449）6．如图，1号楼在2号楼的南侧，两楼高度均为90m，楼间距为AB．冬至日正午，太阳光线与水平面所成的角为32.3°，1号楼在2号楼墙面上的影高为CA；春分日正午，太阳光线与水平面所成的角为55.7°，1号楼在2号楼墙面上的影高为DA．已知CD＝42m．（1）求楼间距AB；（2）若2号楼共30层，层高均为3m，则点C位于第几层？（参考数据：sin32.3°≈0.53，cos32.3°≈0.85，tan32.3°≈0.63，sin55.7°≈0.83，cos55.7°≈0.56，tan55.7°≈1.47）7．如图，宿豫区某校教学楼AB的后面有一建筑物CD，当光线与地面的夹角是22°时，教学楼在建筑物的墙上留下高3米的影子CE，而当光线与地面夹角是45°时，教学楼顶A在地面上的影子F与墙角C有30米的距离（B、F、C在一条直线上）．（1）求教学楼AB的高度；（2）若要在A、E之间挂一些彩旗，请你求出A、E之间的距离．（结果精确到1m）（参考数据：sin22°，cos22°≈，tan22°≈）8．如图，某市为方便行人过马路，打算修建一座高为4x（m）的过街天桥．已知天桥的斜面坡度i＝1：0.75是指坡面的铅直高度DE（CF）与水平宽度AE（BF）的比，其中DC∥AB，CD＝8x（m）．（1）请求出天桥总长和马路宽度AB的比；（2）若某人从A地出发，横过马路直行（A→E→F→B）到达B地，平均速度是2.5m/s；返回时从天桥由BC→CD→DA到达A地，平均速度是1.5m/s，结果比去时多用了12.8s，请求出马路宽度AB的长．9．缆车，不仅提高了景点接待游客的能力，而且解决了登山困难者的难题．如图，当缆车经过点A到达点B时，它走过了700米．由B到达山顶D时，它又走过了700米．已知线路AB与水平线的夹角α为16°，线路BD与水平线的夹角β为20°，点A的海拔是126米．求山顶D的海拔高度（画出设计图，写出解题思路即可）．10．如图所示是小强洗漱时的侧面示意图，洗漱台（矩形ABCD）靠墙摆放，宽AB＝48cm，小强身高166cm，下半身FG＝100cm，洗漱时下半身与地面成80°（∠FGK＝80°），身体前倾成125°（∠EFG＝125°），脚与洗漱台距离GC＝15cm（点D、C、G、K在同一直线上）．小强希望他的头部E恰好在洗漱盆AB的中点O的正上方，他应当前进或后退多少？（sin80°≈0.98，cos80°≈0.17，≈1.41，结果精确到0.1）11．一扇窗户如图1所示，窗框和窗扇用“滑块铰链”连接，如图2是图1中“滑块铰链”的平面示意图，滑轨MN安装在窗框上，托悬臂DE安装在窗扇上，支点A处装有滑块，滑块可以左右滑动，支点B，C，D在一条直线上，延长DE交MN于点F．已知AC＝DE ＝20cm，AE＝CD＝10cm，BD＝40cm．（1）当∠CAB＝35°时，求窗扇与窗框的夹角∠DFB的度数．（2）当窗扇关闭时，图中点E，A，D，C，B都在滑轨MN上，求此时点A与点B之间的距离．（3）在（2）的前提下，将窗户推开至四边形ACDE为矩形时，求点A处的滑块移动的距离．12．如图1，2分别是某款篮球架的实物图与示意图，已知底座BC的长为0.60米，底座BC 与支架AC所成的角∠ACB＝75°，点A、H、F在同一条直线上，支架AH段的长为1米，HF段的长为1.50米，篮板底部支架HE的长为0.75米．（1）求篮板底部支架HE与支架AF所成的角∠FHE的度数．（2）求篮板顶端F到地面的距离．（结果精确到0.1米；参考数据：cos75°≈0.2588，sin75°≈0.9659，tan75°≈3.732，≈1.732，≈1.414）13．为做好防汛工作，防汛指挥部决定对某水库的水坝进行加高加固，专家提供的方案是：水坝加高2米（即CD＝2米），背水坡DE的坡度i＝1：1（即DB：EB＝1：1，如图所示，已知AE＝4米，∠EAC＝130°，求水坝原来的高度BC．（参考数据：sin50°≈0.77，cos50°≈0.64，tan50°≈1.2）14．如图，一辆摩托单车放在水平的地面上，车把头下方A处与坐垫下方B处在平行于底面的水平线上，A、B之间的距离约为49cm，现测得AC、BC与AB的夹角分别为45°与68°，若点C到地面的距离CD为28cm，坐垫中轴E处与点B的距离BE为4cm，求点E到地面的距离（结果保留一位小数）．（参考数据：sin68°≈0.93，cos68°≈0.37，cot68°≈0.40）15．停车难已成为合肥城市病之一，主要表现在居住停车位不足，停车资源结构性失衡，中心城区供需差距大等等．如图是张老师的车与墙平行停放的平面示意图，汽车靠墙一侧OB与墙MN平行且距离为0.8米，已知小汽车车门宽AO为1.2米，当车门打开角度∠AOB为40°时，车门是否会碰到墙？请说明理由．（参考数据：sin40°≈0.64，cos40°≈0.77，tan40°≈0.84）16．自行车因其便捷环保深受人们喜爱，成为日常短途代步与健身运动首选．如图1是某品牌自行车的实物图，图2是它的简化示意图．经测量，车轮的直径为66cm，车座B到地面的距离BE为90cm，中轴轴心C到地面的距离CF为33cm，车架中立管BC的长为60cm，后轮切地面L于点D．（参考数据：sin72≈0.95，cos18°≈0.95，tan43.5°≈0.9 5）（1）求∠ACB的大小（精确到1°）（2）如果希望车座B到地面的距离B'E′为96.8cm，车架中立管BC拉长的长度BB′应是多少？（结果取整数）17．为营造“安全出行”的良好交通氛围，实时监控道路交通，某市交管部门在路口安装的高清摄像头如图所示，立杆MA与地面AB垂直，斜拉杆CD与AM交于点C，横杆DE∥AB，摄像头EF⊥DE于点E，AC＝5.5米，CD＝3米，EF＝0.4米，∠CDE＝162°．（1）求∠MCD的度数；（2）求摄像头下端点F到地面AB的距离．（精确到百分位）（参考数据；sin72°＝0.95，cos72°≈0.31，tan72°＝3.08，sin18°≈0.31，cos18°≈0.95，tan18°≈0.32）18．如图（1）是一种简易台灯，在其结构图（2）中灯座为△ABC（BC伸出部分不计），A、C、D在同一直线上．量得∠ACB＝90°，∠A＝60°，AB＝16cm，∠ADE＝135°，灯杆CD长为40cm，灯管DE长为15cm．（1）求DE与水平桌面（AB所在直线）所成的角；（2）求台灯的高（点E到桌面的距离，结果精确到0.1cm）．（参考数据：sin15°＝0.26，cos15°＝0.97，tan15°＝0.27，sin30°＝0.5，cos30°＝0.87，tan30°＝0.58．）19．图1是安装在倾斜屋顶上的热水器，图2是安装热水器的侧面示意图．已知屋面AE的倾斜角∠EAD为22°，长为2米的真空管AB与水平线AD的夹角为37°，安装热水器的铁架竖直管CE的长度为0.5米．（1）真空管上端B到水平线AD的距离．（2）求安装热水器的铁架水平横管BC的长度（结果精确到0.1米）参考数据：sin37°≈，cos37°≈，tan37°≈，sin22°≈，cos22°≈，tan22°≈20．如图，BC是路边坡角为30°，长为10米的一道斜坡，在坡顶灯杆CD的顶端D处有一探射灯，射出的边缘光线DA和DB与水平路面AB所成的夹角∠DAN和∠DBN分别是37°和60°（图中的点A、B、C、D、M、N均在同一平面内，CM∥AN）．（1）求灯杆CD的高度；（2）求AB的长度（结果精确到0.1米）．（参考数据：＝1.73．sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）21．如图，在某校图书馆门前一段笔直的内部道路AB上，过往车辆限速3米/秒在点B的正上方距其7米高的C处有一个探测仪．一辆轿车从点A匀速向点B行驶5秒后此轿车到达D点，探测仪测得∠CAB＝18°，∠CDB＝45°，求AD之间的距离，并判断此轿车是否超速，（结果精确到0.01米）【参考数据：sin l8°＝0.309，cos l8°＝0.951，tan l8°＝0.325】22．如图1是儿童写字支架示意图，由一面黑板，一面白板和一块固定支架的托盘组成，图2是它的一个左侧截面图，该支架是个轴对称图形，∠BAC是可以转动的角，B，C、D，E和F，G是支架腰上的三对对称点，是用来卡住托盘以固定支架的．已知AB＝AC＝60cm，BD＝CE＝DF＝EG＝10cm．（1）当托盘固定在BC处时，∠BAC＝32°，求托盘BC的长；（精确到0.1）（2）当托盘固定在DE处时，这是儿童看支架的最佳角度，求此时∠BAC的度数．（参考数据：sin32°＝0.53，cos32°＝0.85，sin16°＝0.28，sin20°＝0.34，sin25°＝0.42．）23．如图是在写字台上放置一本摊开的数学书和一个折叠式台灯时的截面示意图，已知摊开的数学书AB长20cm，台灯上半节DE长40cm，下半节DC长50cm．当台灯灯泡E恰好在数学书AB的中点O的正上方时，台灯上、下半节的夹角即∠EDC＝120°，下半节DC与写字台FG的夹角即∠DCG＝75°，求BC的长．（书的厚度和台灯底座的宽度、高度都忽略不计，F、A、O、B、C、G在同一条直线上．参考数据：sin75°≈0.97，cos75°≈0.26，≈1.41，结果精确到0.1）24．如图，一架梯子底端放在一处斜坡上，顶端靠在墙上，已知梯子与坡面的夹角α＝75°，斜坡CD与地面的夹角β＝30°，BC＝1米，CD＝2米，求梯子顶端到地面的距离AB．25．据城市速递报道，我市一辆高为2.5米的客车，卡在快速路引桥上高为2.55米的限高杆的上端，已知引桥的坡角∠ABC为14°，请结合示意图，用你学过的知识通过数据说明客车不能通过的原因．【参考数据：sin14°＝0.24，cos14°＝0.97，tan14°＝0.25】26．如图是菏泽银座地下停车场入口的设计图，请根据图中数据计算CE的长度．（结果精确到0.01m，参考数据：sin22°≈0.3746，cos22°≈0.9272，tan22°≈0.4040）27．如图是小红在一次放风筝活动中某时段的示意图，她在A处时的风筝线（整个过程中风筝线近似地看作直线）与水平线构成30°角，线段AA1表示小红身高1.5米．（1）当风筝的水平距离AC＝18米时，求此时风筝线AD的长度；（2）当她从点A跑动9米到达点B处时，风筝线与水平线构成45°角，此时风筝到达点E处，风筝的水平移动距离CF＝10米，这一过程中风筝线的长度保持不变，求风筝原来的高度C1D．参考答案1．解：在Rt△AMD中，∠MAD＝45°，∴DM＝AM⋅tan45°＝4（m），在Rt△BMC中，∠MBC＝30°，∴CM＝BM⋅tan30°，∵BM＝AM+AB＝4+8＝12（m），∴CM＝12×≈6.92（m），∴CD＝CM﹣DM＝6.92﹣4≈3（米），答：警示牌的高CD为3米．2．解：在Rt△ABC中，∵∠CAB＝45°，∴AB＝BC＝10，∵坡面DC的坡度为i＝：2，∴tan∠CDB＝，在Rt△BCD中，＝，∴BD＝×10＝14.14，∵10+10﹣14.14＝5.86＞3，∴离原坡角（A点处）10米的建筑物不需要拆除．3．解：在Rt△BAE中，tan∠BAE＝，即＝2.5，解得，AE＝64.8，在Rt△DCE中，tan∠DCE＝，即＝，解得，CE＝102.08，AC＝CE﹣AE＝102.08﹣64.8≈37.3（米），答：工程完工后背水坡底端水平方向增加的宽度AC约为37.3米．4．解：作CE⊥BD于E，AF⊥CE于F，如图2，易得四边形AHEF为矩形，∴EF＝AH＝3.5m，∠HAF＝90°，∴∠CAF＝∠CAH﹣∠HAF＝118°﹣90°＝28°，在Rt△ACF中，∵sin∠CAF＝，∴CF＝8sin28°＝8×0.47＝3.76，∴CE＝CF+EF＝3.76+3.5≈7.3（m），答：操作平台C离地面的高度为7.3m．5．解答：在Rt△ABC中，AC＝AB•sin45°＝4×＝2，∵∠ABC＝45°，∴AC＝BC＝2，在Rt△ADC中，AD＝2AC＝4，AD﹣AB＝4﹣4≈1.66．答：改善后滑板会加长1.66米．6．解：（1）过点C作CE⊥PB，垂足为E，过点D作DF⊥PB，垂足为F，则∠CEP＝∠PFD＝90°，由题意可知：设AB＝x，在Rt△PCE中，tan32.3°＝，∴PE＝x•tan32.3°，同理可得：在Rt△PDF中，tan55.7°＝，∴PF＝x•tan55.7°，由PF﹣PE＝EF＝CD＝42，可得x•tan55.7°﹣x•tan32.3°＝42，解得：x＝50∴楼间距AB＝50m，（2）由（1）可得：PE＝50•tan32.3°＝31.5m，∴CA＝EB＝90﹣31.5＝58.5m由于2号楼每层3米，可知点C位于20层．7．解：（1）过点EE作EM⊥AB于点M，设AB＝x，在Rt△ABF中，∵∠AFB＝45°，∴BF＝AB＝x，∴BC＝BF+FC＝x+30，在Rt△AEM中，∵∠AEM＝22°，AM＝AB﹣CE＝x﹣3，，∴，解得x＝25，∴办公楼AB的高度为25m．（2）在Rt△AEM中，∵，∴＝≈59m，答：A，E之间的距离约为59m．8．解：（1）∵DE⊥AB，CF⊥AB，∴∠DEF＝∠CFE＝90°，∴DE∥CF，∵DC∥AB，∴四边形CDEF是矩形，∴EF＝DC＝8x，∵＝＝，∴EA＝BF＝3x，∴AD＝BC＝5x，∴AB＝AE+EF+BF＝14x，∴天桥总长和马路宽度AB的比＝18x：14x＝9：7．（2）由（1）可知，AB＝14x，AD+CD+BC＝18x，由题意：＝﹣12.8，解得x＝2，∴14x＝28，答：马路宽度AB的长为28m，9．解：如图，作DH⊥水平线于H，AG⊥水平线于G，BE⊥DH于E，AC⊥DH于F．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠α＝16°，AB＝700，由sinα＝，可求BC的长．即BC＝AB•sinα＝700sin16°，在Rt△BDE中，∠DBE＝90°，∠β＝16°，BD＝AB＝700，由sinβ，可求DE的长．即DE＝BD•sinβ＝700sin20°，由矩形性质，可知EF＝BC＝700sin16°，FH＝AG＝126．从而，可求得DH的长．即DH＝DE+EF+FH＝700sin20°+700sin16°+126．10．解：过点F作FH⊥DK于H，过点E作EL⊥FH于L，在Rt△FGH中，cos∠FGH＝．∴GH＝GF•cos∠FGH＝100×0.17＝17，在Rt△EFL中，∠EFL＝180°﹣125°﹣10°＝45°，EF＝166﹣100＝66cm，∴EL＝≈46.5cm，DH＝DC+CG+GH＝48+15+17＝80，∴小强的头距墙：80﹣46.5＝33.5，而洗漱盆的中心距墙48÷2＝24，小强应该向前移动：33.5﹣24≈9.5（cm）．11．解：（1）∵AC＝DE＝20cm，AE＝CD＝10cm，∴四边形DEAC是平行四边形，∴DF∥AC，∴∠DFB＝∠CAB＝35°．（2）由题意AB＝AC+BC＝20+30＝50（cm），（3）当四边形DEAC是矩形时，AB＝＝10（cm），∴点A处的滑块移动的距离＝（50﹣10）cm．12．解：（1）由题意可得：cos∠FHE＝＝，则∠FHE＝60°；（2）延长FE交CB的延长线于M，过A作AG⊥FM于G，在Rt△ABC中，tan∠ACB＝，∴AB＝BC•tan75°＝0.60×3.732＝2.2392，∴GM＝AB＝2.2392，在Rt△AGF中，∵∠FAG＝∠FHE＝60°，sin∠FAG＝，∴sin60°＝＝，∴FG≈2.17（m），∴FM＝FG+GM≈4.4（米），答：篮板顶端F到地面的距离是4.4米．13．解：设BC＝x米，在Rt△ABC中，∠CAB＝180°﹣∠EAC＝50°，AB＝≈＝＝x，在Rt△EBD中，∵i＝DB：EB＝1：1，∴BD＝BE，∴CD+BC＝AE+AB，即2+x＝4+x，解得x＝12，即BC＝12，答：水坝原来的高度为12米．14．解：过点C作CH⊥AB于点H，过点E作EF垂直于AB延长线于点F，设CH＝x，则AH＝CH＝x，BH＝CH cot68°＝0.4x，由AB＝49 知x+0.4x＝49，解得：x＝35，∵BE＝4，∴EF＝BE sin68°＝3.72，则点E到地面的距离为CH+CD+EF＝35+28+3.72≈66.7（cm），答：点E到地面的距离约为66.7cm．15．过点A作OB的垂线AC，垂足是C，在Rt△ACO，AO＝1.2，∠AOC＝40°∵sin40°＝，∴AE＝OA sin40°≈0.64×1.2＝0.768＜0.8，∵汽车靠墙一侧OB与墙MN平行且距离为0.8米，∴车门不会碰到墙．16．解：（1）∵AD⊥l，CF⊥l，HE⊥l∴AD∥CF∥HE，∵AD＝33cm，CF＝33cm，∴AD＝CF，∴四边形ADFC是平行四边形，∵∠ADF＝90°，∴四边形ADFC是矩形，∴HE＝AD＝33cm，∵BE＝90cm，∴BH＝57cm，在Rt△HCB中，sin∠BCH＝＝＝＝0.95，∴∠ACB＝72°．（2）如图所示，B'E'＝96.8cm，设B'E'与AC交于点H'，则有B'H'∥BH，∴△B'H'C∽△BHC，得＝．即＝，∴B'C＝67cm．故BB'＝B'C﹣BC＝67﹣60＝7（cm）．∴车架中立管BC拉长的长度BB'应是7cm．17．（1）如图，延长ED，AM交于点P，∵DE∥AB，MA⊥AB∴EP⊥MA，即∠MPD＝90°∵∠CDE＝162°∴∠MCD＝162°﹣90°＝72°；（2）如图，在Rt△PCD中，CD＝3米，∠MCD＝72°，∴PC＝CD•cos∠MCD＝3×cos72°≈3×0.31＝﹣0.93米∵AC＝5.5米，EF＝0.4米，∴PC+AC﹣EF＝0.93+5.5﹣0.4＝6.03米答：摄像头下端点F到地面AB的距离为6.03米．18．解：（1）如图所示：过点D作DF∥AB，过点D作DN⊥AB于点N，EF⊥AB于点M，由题意可得，四边形DNMF是矩形，则∠NDF＝90°，∵∠A＝60°，∠AND＝90°，∴∠ADN＝30°，∴∠EDF＝135°﹣90°﹣30°＝15°，即DE与水平桌面（AB所在直线）所成的角为15°；（2）如图所示：∵∠ACB＝90°，∠A＝60°，AB＝16cm，∴∠ABC＝30°，则AC＝AB＝8cm，∵灯杆CD长为40cm，∴AD＝48cm，∴DN＝AD•cos30°≈41.76cm，则FM＝41.76cm，∵灯管DE长为15cm，∴sin15°＝＝＝0.26，解得：EF＝3.9，故台灯的高为：3.9+41.76≈45.7（cm）．19．解：（1）过B作BF⊥AD于F．在Rt△ABF中，∵sin∠BAF＝，∴BF＝AB sin∠BAF＝2sin37°≈＝1.2．∴真空管上端B到AD的距离约为1.2米．（2）在Rt△ABF中，∵cos∠BAF＝，∴AF＝AB cos∠BAF＝2cos37°≈1.6，∵BF⊥AD，CD⊥AD，又BC∥FD，∴四边形BFDC是矩形．∴BF＝CD，BC＝FD，∵EC＝0.5米，∴DE＝CD﹣CE＝0.7米，在Rt△EAD中，∵tan∠EAD＝，∴＝，∴AD＝1.75米，∴BC＝DF＝AD﹣AF＝1.75﹣1.6＝0.15≈0.2∴安装热水器的铁架水平横管BC的长度约为0.2米．20．解：（1）延长DC交AN于H．∵∠DBH＝60°，∠DHB＝90°，∴∠BDH＝30°，∵∠CBH＝30°，∴∠CBD＝∠BDC＝30°，∴BC＝CD＝10（米）．（2）在Rt△BCH中，CH＝BC＝5米，BH＝5≈8.65（米），∴DH＝15（米），在Rt△ADH中，AH＝≈＝20（米），∴AB＝AH﹣BH＝20﹣8.65≈11.4（米）．答：AB的长度约为11.4米．21．解：由题意可得：在Rt△BCD中，∠CBD＝90°，∠CDB＝45°，∴∠DCB＝∠CDB＝45°，∴BC＝BD＝7，在Rt△ABC中，∠BAC＝18°，BC＝7，tan∠BAC＝，∴，∴AD＝21.538﹣7＝14.538≈14.54，14.54÷5≈2.91＜3，答：AD之间的距离约为14.54米，此轿车没有超速．22．解：（1）如图，过A作AH⊥BC于H，∵AB＝AC＝60cm，∴∠CAH＝∠BAC＝16°，∴Rt△ACH中，CH＝sin16°×AC，∴BC＝2CH＝2×sin16°×60≈33.6cm；（2）如图，连接DE，过A作AP⊥DE于P，∵AD＝AE＝60﹣10＝50，∴PE＝DE＝×33.6＝16.8，∠BAC＝2∠CAP，∴Rt△APE中，sin∠PAG＝＝≈0.34，又∵sin20°＝0.34，∴∠PAE＝20°，∴∠BAC＝40°．23．解：如图作DM⊥OE于M，DN⊥FG于N．则四边形DMON是矩形．∴DM∥ON，∴∠DCN＝∠CDM＝75°，∴∠EDM＝120°﹣75°＝45°，∵DE＝40cm，∴EM＝DM＝ON＝20≈28.2（cm），在Rt△DCN中，CN＝CD•cos75°≈13（cm），∵OB＝10，∴BC＝ON﹣OB﹣CN＝28.2﹣10﹣13＝5.2（cm）．24．解：作DE⊥AB于E，DF⊥BC于F．则四边形DEBF是矩形．在Rt△DCF中，DF＝EB＝CD•sin30°＝1，CF＝CD•cos30°＝，∴DE＝BF＝1+，在Rt△ADE中，∠ADE＝75°﹣30°＝45°，∴AE＝DE＝1+，∴AB＝AE+EB＝2+．25．解：∵DE⊥BC，DF⊥AB，∴∠EDF＝∠ABC＝14°．在Rt△EDF中，∠DFE＝90°，∵cos∠EDF＝，∴DF＝DE•cos∠EDF＝2.55×cos14°≈2.55×0.97≈2.47．∵限高杆顶端到桥面的距离DF为2.47米，小于客车高2.5米，∴客车不能通过限高杆．26．解：由已知有：∠BAE＝22°，∠ABC＝90°，∠CED＝∠AEC＝90°∴∠BCE＝158°，∴∠DCE＝22°，又∵tan∠BAE＝，∴BD＝AB•tan∠BAE，又∵cos∠BAE＝cos∠DCE＝，∴CE＝CD•cos∠BAE＝（BD﹣BC）•cos∠BAE＝（AB•tan∠BAE﹣BC）•cos∠BAE＝（10×0.4040﹣0.5）×0.9272≈3.28（m），答：CE的长度为3.28m．27．解：（1）∵在Rt△ACD中，cos∠CAD＝，AC＝18、∠CAD＝30°，∴AD＝＝＝＝12（米），答：此时风筝线AD的长度为12米；（2）设AF＝x米，则BF＝AB+AF＝9+x（米），在Rt△BEF中，BE＝＝＝18+x（米），由题意知AD＝BE＝18+x（米），∵CF＝10，∴AC＝AF+CF＝10+x，由cos∠CAD＝可得＝，解得：x＝3+2，则AD＝18+（3+2）＝24+2，∴CD＝AD sin∠CAD＝（24+2）×＝12+，则C1D＝CD+C1C＝12++＝+；方法二：设CD＝x，∵∠CAD＝30°，∴BE＝AD＝2CD＝2x，AC＝＝＝x，∵CF＝10，∴AF＝AC﹣CF＝x﹣10，∵AB＝9，∴BF＝AB+AF＝9+x﹣10，∵∠EBF＝45°，∴由cos∠EBF＝可得＝，解得：x＝12+，即CD＝12+，则C1D＝CD+C1C＝12++＝+．答：风筝原来的高度C1D为（+）米。
初中三角函数知识点总结及典型习题含答案)
初中三角函数知识点总结及典型习题含答案)初三下学期锐角三角函数知识点总结及典型题1.勾股定理：直角三角形两直角边a、b的平方和等于斜边c的平方，即a^2+b^2=c^2.2.在直角三角形ABC中，若∠C为直角，则∠A的三角函数为：正弦函数sinA=对边a/斜边c，取值范围为[0,1]。
余弦函数cosA=邻边b/斜边c，取值范围为[0,1]。
正切函数tanA=对边a/邻边b，取值范围为R（实数集）。
3.任意锐角的正弦值等于其余角的余弦值，余弦值等于其余角的正弦值，即sinA=cosB，cosA=sinB，其中A+B=90°。
4.特殊角的三角函数值：30°：sin30°=1/2，cos30°=√3/2，tan30°=1/√3.45°：sin45°=cos45°=√2/2，tan45°=1.60°：sin60°=√3/2，cos60°=1/2，tan60°=√3.6.正弦、余弦的增减性：当0°≤A≤90°时，XXX随A的增大而增大，cosA随A的增大而减小。
7.正切的增减性：当0°<A<90°时，XXX随A的增大而增大。
8.解直角三角形的方法：已知边和角（其中必有一边）→求所有未知的边和角。
依据：①边的关系：a^2+b^2=c^2；②角的关系：A+B=90°；③三角函数的定义。
9.应用举例：仰角：视线在水平线上方的角；俯角：视线在水平线下方的角。
坡度：坡面的铅直高度h和水平宽度l的比，用i=h/l表示。
方位角：从某点的指北方向按顺时针转到目标方向的水平角。
方向角：指北或指南方向线与目标方向线所成的小于90°的水平角。
例1：在直角三角形ABC中，已知∠C=90°，sinA=3/5，求XXX的值。
九年级数学下册综合算式专项练习题三角函数的高级运用
九年级数学下册综合算式专项练习题三角函数的高级运用数学是一门抽象且具有广泛应用的学科。
在九年级数学下册中，有一些综合算式专项练习题需要运用三角函数的高级运算来解决。
本文将就这方面的题目进行详细讨论和解答。
练习题1：已知一个三角形的两边长分别为a=5cm，b=7cm，夹角的正弦值为sinA=0.6，求夹角A的度数。
解答：根据正弦函数的定义，sinA = a / c，其中a和c分别表示三角形中的两条边，A表示夹角。
根据题目已知条件，可以得到以下方程：0.6 = 5 / c解方程得c = 5 / 0.6 ≈ 8.333由三角函数的基本性质可知，三角形的两边之和必须大于第三边，即a + b > c。
带入题目的已知数据，得：5 + 7 > 8.33312 > 8.333因此，根据三角形的两边之和大于第三边的条件，题目中所给的数据符合三角形的要求。
根据前述方程可求出sinA的值，即sinA = 0.6。
通过查表或使用计算器，可以得到夹角A的度数为约36.87度。
练习题2：已知一个直角三角形的斜边长为10cm，角度A的正弦值为sinA=0.8，求角度A的度数。
解答：根据正弦函数的定义，sinA = a / c，其中a和c分别表示直角三角形中的两条边，A表示夹角。
且根据直角三角形的性质，斜边c是斜边的，直角所在的边即为斜边。
根据题目已知条件，可以得到以下方程：0.8 = a / 10解方程得a = 0.8 * 10 = 8根据勾股定理，直角三角形的两个直角边的平方和等于斜边的平方，即a^2 + b^2 = c^2。
带入题目的已知数据，得：8^2 + b^2 = 10^264 + b^2 = 100b^2 = 100 - 64 = 36b = √36 = 6因此，根据三角函数的定义和勾股定理的条件，可以求得角度A的正弦值sinA = 0.8和两个直角边的长度分别为a = 8cm、b = 6cm。
中考数学复习《锐角三角函数及其实际应用》经典题型及测试题(含答案)
中考数学复习《锐角三角函数及其实际应用》经典题型及测试题（含答案）命题点分类集训命题点1 特殊角的三角函数值【命题规律】1.考查内容：主要考查 30°，45°，60°角的正弦，余弦，正切值的识记、正余弦的转换及由三角函数值求出角度. 2.考查形式：①三类特殊角的三角函数值识记；②与非负性结合，通过三角函数值求角度；③正弦余弦、正切余切之间的相互转化，判断关系式是否成立；④在实数运算中涉及三类特殊角的三角函数值运算(具体试题见实数的运算部分)．【命题预测】特殊角的三角函数值作为识记内容在实数运算中考查的可能性比较大，而单独考查也会出现．1. sin 60°的值等于( ) A . 12B .22 C . 32D . 3 1. C2. 下列式子错误．．的是( ) A . cos 40°＝sin 50° B . tan 15°·tan 75°＝1 C . sin 225°＋cos 225°＝1 D . sin 60°＝2sin 30°2. D 【解析】逐项分析如下：选项 逐项分析正误 A cos40°＝sin(90°－40°)＝sin50° √ B tan15°·tan75°＝1tan75°×tan75°＝1√ C sin 2A ＋cos 2A ＝1√ D∵sin60°＝32，2sin30°＝2×12＝1，∴sin60°≠2sin30° ×3. 已知α，β均为锐角，且满足|sin α－12|＋（tan β－1）2＝0，则α＋β＝________．3. 75° 【解析】由于绝对值和算术平方根都是非负数，而这两个数的和又为零，于是它们都为零．根据题意，得|sin α－12|＝0，（tan β－1）2＝0，则sin α ＝12，tan β ＝1，又因为α、β均为锐角，则α＝30°，β＝45°，所以α＋β＝30°＋45°＝75°. 命题点2 直角三角形的边角关系【命题规律】1.考查内容：在直角三角形中，三边与两个锐角之间关系的互化.2.考查形式：已知一边及某锐角的三角函数值，求其他量，或结合直角坐标系求锐角三角函数值．【命题预测】直角三角形的边角关系是解直角三角形实际应用问题的基础，值得关注．4. 如图，在平面直角坐标系中，点A 的坐标为(4，3)，那么cos α的值是( ) A . 34B . 43C . 35D . 454. D 【解析】如解图，过点A 作AB ⊥x 轴于点B ，∵A (4，3)，∴OB ＝4，AB ＝3，∴OA ＝32＋42＝5，∴cos α＝OB OA ＝45.5. 在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，sin A ＝45，AC ＝6 cm .则BC 的长度为( )A . 6 cmB . 7 cmC . 8 cmD . 9 cm5. C 【解析】∵sin A ＝BC AB ＝45，∴设BC ＝4a ，则AB ＝5a ，AC ＝（5a ）2－（4a ）2＝3a ，∴3a ＝6，即a ＝2，故BC ＝4a ＝8 cm.6. 已知：如图，在锐角△ABC 中，AB ＝c ，BC ＝a ，AC ＝b ，AD ⊥BC 于D. 在Rt △ABD 中，sin ∠B ＝ADc ，则AD ＝c sin ∠B ；在Rt △ACD 中，sin ∠C ＝________，则AD ＝________． 所以c sin ∠B ＝b sin ∠C ，即bsin B ＝csin C ， 进一步即得正弦定理：asin A ＝b sin B ＝c sin C.(此定理适合任意锐角三角形) 参照利用正弦定理解答下题：在△ABC 中，∠B ＝75°，∠C ＝45°，BC ＝2，求AB 的长．6. 解：∵sin C ＝AD AC ＝ADb ，∴AD ＝b sin C ，由正弦定理得：BC sin A ＝ABsin C ，∵∠B ＝75°， ∠C ＝45°， ∴∠A ＝60°， ∴2sin 60°＝ABsin 45°，∴AB ＝2×22÷32＝263.命题点3 锐角三角函数的实际应用【命题规律】1.考查内容：主要考查利用几何建模思想，将实际问题抽象为几何中的直角三角形的有关问题，并根据直角三角形的边角关系解决实际问题.2.考查形式：①仰角、俯角问题；②方位角问题；③坡度、坡角问题；④测量问题等．【命题预测】锐角三角函数的实际应用是将实际问题转化为几何问题并加以解决的数学建模题型，是全国命题的趋势．7. 小明利用测角仪和旗杆的拉绳测量学校旗杆的高度．如图，旗杆PA 的高度与拉绳PB 的长度相等，小明将PB 拉到PB′的位置，测得∠PB′C＝α(B′C 为水平线)，测角仪B′D 的高度为1米，则旗杆PA 的高度为( )A .11－sin α B . 11＋sin α C . 11－cos α D . 11＋cos α7. A 【解析】在Rt △PCB ′中，sin α＝PCPB ′，∴PC ＝PB ′·sin α，又∵B ′D ＝AC ＝1，则PB ′·sin α＋1＝P A ，而PB ′＝P A ，∴P A ＝11－sin α.8. 如图①是小志同学书桌上的一个电子相框，将其侧面抽象为如图②所示的几何图形，已知BC ＝BD ＝15 cm ，∠CBD ＝40°，则点B 到CD 的距离为________cm (参考数据：sin 20°≈0.342，cos 20°≈0.940，sin 40°≈0.643，cos 40°≈0.766.结果精确到0.1 cm ，可用科学计算器)．8. 14.1 【解析】如解图 ，过点B 作BE ⊥CD 于点E ，∵BC ＝BD ＝15 cm ，∠CBD ＝40°，∴∠CBE ＝20°，在Rt △CBE 中，BE ＝BC ·cos ∠CBE ≈15×0.940＝14.1(cm)．第8题图 第9题图 第10题图9. 如图，一艘渔船位于灯塔P 的北偏东30°方向，距离灯塔18海里的A 处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P 的南偏东55°方向上的B 处，此时渔船与灯塔P 的距离约为________海里．(结果取整数．参考数据：sin 55°≈0.8，cos 55°≈0.6，tan 55°≈1.4)9. 11 【解析】∵∠A ＝30°，∴PM ＝12PA ＝9海里．∵∠B ＝55°， sin B ＝PM PB ，∴0.8＝9PB ，∴PB ≈11海里．10. 如图，在一次数学课外实践活动中，小聪在距离旗杆10 m 的A 处测得旗杆顶端B 的仰角为60°，测角仪高AD 为1 m ，则旗杆高BC 为__________m ．(结果保留根号)10. 103＋1 【解析】如解图，过点A 作AE ⊥BC ，垂足为点E ，则AE ＝CD ＝10 m ，在Rt △AEB 中，BE ＝AE·tan 60°＝10×3＝10 3 m ，∴BC ＝BE ＋EC ＝BE ＋AD ＝(103＋1)m . 11. 如图，大楼AB 右侧有一障碍物，在障碍物的旁边有一幢小楼DE ，在小楼的顶端D 处测得障碍物边缘点C 的俯角为30°，测得大楼顶端A 的仰角为45°(点B 、C 、E 在同一水平直线上)，已知AB ＝80 m ，DE ＝10 m ，求障碍物B 、C 两点间的距离．(结果精确到0.1 m ，参考数据：2≈1.414，3≈1.732)11. 解：如解图，过点D 作DF ⊥AB ，垂足为点F ，则四边形FBED 为矩形，∴FD ＝BE ，BF ＝DE ＝10，FD ∥BE ，由题意得：∠FDC ＝30°，∠ADF ＝45°，∵FD ∥BE ， ∴∠DCE ＝∠FDC ＝30°， 在Rt △DEC 中，∠DEC ＝90°，DE ＝10，∠DCE ＝30°， ∵tan ∠DCE ＝DE CE ，∴CE ＝10tan 30°＝103，在Rt △AFD 中，∠AFD ＝90°，∠ADF ＝∠FAD ＝45°， ∴FD ＝AF ，又∵AB ＝80，BF ＝10，∴FD ＝AF ＝AB －BF ＝80－10＝70，∴BC ＝BE －CE ＝FD －CE ＝70－103≈52.7(m )． 答：障碍物B 、C 两点间的距离约为52.7 m ．12.某地的一座人行天桥如图所示，天桥高为6米，坡面BC 的坡度为1∶1，为了方便行人推车过天桥，有关部门决定降低坡度，使新坡面AC 的坡度为1∶ 3. (1)求新坡面的坡角α；(2)天桥底部的正前方8米处(PB 的长)的文化墙PM 是否需要拆除？请说明理由．12. 解：(1)∵新坡面AC 的坡度为1∶3，∴tan α＝13＝33， ∴α＝30°.答：新坡面的坡角α的度数为30°.(2)原天桥底部正前方8米处的文化墙PM 不需要拆除． 理由如下：如解图所示，过点C 作CD ⊥AB ，垂足为点D ， ∵坡面BC 的坡度为1∶1， ∴BD ＝CD ＝6米，∵新坡面AC 的坡度为1∶3， ∴CD ∶AD ＝1∶3， ∴AD ＝63米，∴AB ＝AD －BD ＝(63－6)米＜8米，故正前方的文化墙PM 不需拆除． 答：原天桥底部正前方8米处的文化墙PM 不需要拆除．13.如图，某无人机于空中A 处探测到目标B ，D ，从无人机A 上看目标B ，D 的俯角分别为30°，60°，此时无人机的飞行高度AC 为 60 m ，随后无人机从A 处继续水平飞行30 3 m 到达A′处． (1)求A ，B 之间的距离；(2)求从无人机A′上看目标D 的俯角的正切值．13. 解：(1)如解图，过点D 作DE ⊥AA′于点E ，由题意得，AA ′∥BC ，∴∠B ＝∠FAB ＝30°， 又∵AC ＝60 m ，在Rt △ABC 中，sin B ＝AC AB ，即12＝60AB，∴AB ＝120 m .答：A ，B 之间的距离为120 m ．(2)如解图，连接A′D ，作A′E ⊥BC 交BC 延长线于E ， ∵AA ′∥BC ，∠ACB ＝90°， ∴∠A ′AC ＝90°，∴四边形AA′EC 为矩形， ∴A ′E ＝AC ＝60 m ， 又∵∠ADC ＝∠FAD ＝60°， 在Rt △ADC 中，tan ∠ADC ＝AC CD ，即5＝60CD，∴CD ＝20 3 m ，∴DE ＝DC ＋CE ＝AA′＋DC ＝303＋203＝50 3 m ， ∴tan ∠AA ′D ＝tan ∠A ′DE ＝A′E DE ＝60503＝235，答：从无人机A′上看目标D 的俯角的正切值为235.中考冲刺集训一、选择题1.一个公共房门前的台阶高出地面1.2米，台阶拆除后，换成供轮椅行走的斜坡，数据如图所示，则下列关系或说法正确的是( )A . 斜坡AB 的坡度是10° B . 斜坡AB 的坡度是tan 10°C . AC ＝1.2tan 10° 米D . AB ＝ 1.2cos 10°米第1题图 第2题图 第3题图2.如图，以O 为圆心，半径为1的弧交坐标轴于A ，B 两点，P 是AB ︵上一点(不与A ，B 重合)，连接OP ，设∠POB＝α，则点P 的坐标是( )A . (sin α，sin α)B . (cos α，cos α)C . (cos α，sin α)D . (sin α，cos α)3.一座楼梯的示意图如图所示，BC 是铅垂线，CA 是水平线，BA 与CA 的夹角为θ.现要在楼梯上铺一条地毯，已知CA ＝4米，楼梯宽度1米，则地毯的面积至少需要( )A . 4sin θ 米2B . 4cos θ 米2C . (4＋4tan θ) 米2 D . (4＋4tan θ) 米24.如图是由边长相同的小正方形组成的网格，A ，B ，P ，Q 四点均在正方形网格的格点上，线段AB ，PQ 相交于点M ，则图中∠QMB 的正切值是( )A . 12B . 1C . 3D . 2第4题图 第5题图 第6题图5.如图所示，某办公大楼正前方有一根高度是15米的旗杆ED ，从办公大楼顶端A 测得旗杆顶端E 的俯角α是45°，旗杆底端D 到大楼前梯坎底边的距离DC 是20米，梯坎坡长BC 是12米，梯坎坡度i ＝1∶3，则大楼AB 的高度约为(精确到0.1米，参考数据：2≈1.41，3≈1.73，6≈2.45)( )A . 30.6B . 32.1C . 37.9D . 39.46. 如图，钓鱼竿AC 长6 m ，露在水面上的鱼线BC 长3 2 m ，某钓鱼者想看看鱼钩上的情况，把鱼竿AC 转到AC′的位置，此时露在水面上的鱼线B ′C ′为3 3 m ，则鱼竿转过的角度是( )A . 60°B . 45°C . 15°D . 90°二、填空题7. 如图，点A(3，t)在第一象限，射线OA 与x 轴所夹的锐角为α，tan α＝32，则t 的值是________．第7题图 第8题图 第9题图8. 如图是矗立在高速公路边水平地面上的交通警示牌，经测量得到如下数据：AM＝4米，AB＝8米，∠MAD ＝45°，∠MBC＝30°，则警示牌的高CD为______米．(结果精确到0.1米，参考数据：2≈1.41，3≈1.73) 9. 如图，航拍无人机从A处测得一幢建筑物顶部B的仰角为30°，测得底部C的俯角为60°，此时航拍无人机与该建筑物的水平距离AD为90米，那么该建筑物的高度BC约为________米．(精确到1米，参考数据：3≈1.73)三、解答题10. 如图，在数学活动课中，小敏为了测量校园内旗杆CD的高度，先在教学楼的底端A点处，观测到旗杆顶端C的仰角∠CAD＝60°，然后爬到教学楼上的B处，观测到旗杆底端D的俯角是30°. 已知教学楼AB高4米．(1)求教学楼与旗杆的水平距离AD；(结果保留根号．．．．．．)(2)求旗杆CD的高度．11. 图为放置在水平桌面上的台灯的平面示意图，灯臂AO长为40 cm，与水平面所形成的夹角∠OAM为75°，由光源O射出的边缘光线OC，OB与水平面所形成的夹角∠OCA，∠OBA分别为90°和30°，求该台灯照亮水平面的宽度BC(不考虑其他因素，结果精确到0.1 cm.温馨提示：sin75°≈0.97，cos75°≈0.26，3≈1.73)．12. 阅读材料：关于三角函数还有如下的公式：sin (α±β)＝sin αcos β±cos αsin β tan (α±β)＝tan α±tan β1∓tan α tan β利用这些公式可以将一些不是特殊角的三角函数转化为特殊角的三角函数来求值，例如：tan 75°＝tan (45°＋30°)＝tan 45°＋tan 30°1－tan 45°tan 30°＝1＋331－1×33＝2＋ 3 根据以上阅读材料，请选择适当的公式计算下列问题： (1)计算sin 15°；(2)某校在开展爱国主义教育活动中，来到烈士纪念碑前缅怀和纪念为国捐躯的红军战士．李三同学想用所学知识来测量如图纪念碑的高度，已知李三站在离纪念碑底7米的C 处，在D 点测得纪念碑碑顶的仰角为75°，DC 为 3 米，请你帮助李三求出纪念碑的高度．答案与解析：1. B第2题解图2. C 【解析】如解图，过点P 作PC ⊥OB 于点C ，则在Rt △OPC 中，OC ＝OP ·cos ∠POB ＝1×cos α＝cos α，PC ＝OP ·sin ∠POB ＝1×sin α＝sin α，即点P 的坐标为(cos α，sin α)．3. D 【解析】在Rt △ABC 中，∠BAC ＝θ，CA ＝4米，∴BC ＝CA ·tan θ＝4tan θ.地毯长为(4＋4tan θ)米，宽为1米，其面积为(4＋4tan θ)×1＝(4＋4tan θ)米2.4. D 【解析】如解图，将AB 平移到PE 位置，连接QE, 则PQ ＝210，PE ＝22，QE ＝42，∵△PEQ 中，PE 2＋QE 2＝PQ 2，则∠PEQ ＝90°，∴tan ∠QMB ＝tan ∠P ＝QEPE＝2.第4题解图第5题解图5. D 【解析】如解图，设AB 与DC 的延长线交于点G ，过点E 作EF ⊥AB 于点F ，过点B 作BH ⊥ED 于点H ，则可得四边形GDEF 为矩形．在Rt △BCG 中，∵BC ＝12，i BC ＝BG CG ＝33，∴∠BCG ＝30°，∴BG ＝6，CG ＝63，∴BF ＝FG －BG ＝DE －BG ＝15－6＝9，∵∠AEF ＝α＝45°，∴AF ＝EF ＝DG ＝CG ＋CD ＝63＋20，∴AB ＝BF ＋AF ＝9＋20＋63≈39.4(米)．6. C 【解析】∵sin ∠CAB ＝BC AC ＝326＝22，∴∠CAB ′＝45°，∵sin ∠C ′AB ′＝B ′C ′AC ′＝336＝32，∴∠C ′AB ′＝60°，∴∠CAC ′＝60°－45°＝15°，即鱼竿转过的角度是15°.第7题解图7. 92【解析】如解图，过点A 作AB ⊥x 轴于点B.∵点A(3，t)在第一象限，∴OB ＝3，AB ＝t ，在11 Rt △ABO 中，tan α＝AB OB ＝t 3＝32，解得t ＝92. 8. 2.9 【解析】在Rt △AMD 中，DM ＝tan ∠DAM ×AM ＝tan 45°×4＝4米，在Rt △BMC 中，CM ＝tan ∠MBC ×BM ＝tan 30°×12＝4 3 米，故CD ＝CM －DM ＝43－4≈2.9米．9. 208 【解析】在Rt △ABD 中，BD ＝AD·tan ∠BAD ＝90×tan 30°＝303，在Rt △ACD 中，CD ＝AD·tan ∠CAD ＝90×tan 60°＝903，BC ＝BD ＋CD ＝303＋903＝1203≈208(米)．10. 解：(1)∵在教学楼B 点处观测旗杆底端D 处的俯角是30°，∴∠ADB ＝30°，在Rt △ABD 中，∠BAD ＝90°，∠ADB ＝30°，AB ＝4(米)，∴AD ＝AB tan ∠ADB ＝4tan 30°＝43(米)． 答：教学楼与旗杆的水平距离是4 3 米．(也可先求∠ABD ＝60°，利用tan 60°去计算得到结论)(2)∵在Rt △ACD 中，∠ADC ＝90°，∠CAD ＝60°，AD ＝4 3 米，∴CD ＝AD·tan 60°＝43×3＝12(米)．答：旗杆CD 的高度是12米．11. 解：∵tan ∠OBC ＝tan 30°＝OC BC ＝33， ∴OC ＝33BC ， ∵sin ∠OAC ＝sin 75°＝OC OA≈0.97， ∴33BC 40≈0.97， ∴BC ≈67.1(cm )．12. 解：(1)sin 15°＝sin (45°－30°)＝sin 45°cos 30°－cos 45°sin 30° ＝22×32－22×12 ＝6－24. (2)在Rt △BDE 中，∠BDE ＝75°，DE ＝CA ＝7，tan ∠BDE ＝BE DE ，即tan 75°＝BE 7＝2＋3， ∴ BE ＝14＋73，又∵AE ＝DC ＝3，∴AB ＝BE ＋AE ＝14＋73＋3＝14＋83(米)，答：纪念碑的高度是(14＋83)米．。
中考数学三角函数在实际中的应用(九年级下期复习用带答案)汇总
精品文档3 三角函数在实际中的应用专题.1某数学兴趣小组在活动课上测量学校旗杆的高度•已知小亮站着测量，眼睛与自我诊断AB1.7E30 °小敏蹲着测量，眼睛与地面的米，看旗杆顶部）是地面的距离（的仰角为CD0.7E455B°）是米且位于旗杆同侧（点距离（米，看旗杆顶部•两人相距的仰角为DF .、在同一直线上）1DF （结果保留根号））求小敏到旗杆的距离.（2EF1.41.7 ' :'（（结果保留整数，参考数据：）求旗杆，的高度.A.A2上方有一些管道，如图所示，某古代文物被探明埋于地下的自我诊断处, 由于点BCB处挖掘时，最短路线考古人员不能垂直向下挖掘，他们被允许从处或处挖掘，从30CBA56CA且与地面所成的锐角是处挖掘时，最短路线，从与地面所成的锐角是=0.83Bsin56BC=20m°，若考古人员最终从处挖掘，求挖掘的最短距离.（参考数据：1.48tan561.73.「，结果保留整数），地面 3 C跟踪训练11•年4月20日，四川雅安发生里氏7.0级地震，救援队救援时，利用生命探测仪在某建筑物废墟下方探测到点C处有生命迹象，已知废墟一侧地面上两探测点A、B相距4米，探测线与地面的夹角分别为30°和60°如图所示，试确定生命所在点C的深度（结果精确到0.1米，参考数据'：■：2.6m45APQA。
向前走立在山坡上，从地面的点测得杆顶端点看，，的仰角为一电线杆60PQB0和，又测得杆顶端点的仰角分别为到达点和杆底端点30° BPQ1 的度数；（）求/ PQ21m））求该电线杆（的高度.（结果精确到p3. AB的距离，飞机以距海、如图，为了开发利用海洋资源，某勘测飞机测量岛屿两端CA60AB。
的方向的俯角为平面垂直同一高度飞行，在点，然后沿着平行于处测得端点500DB45AB541.91。
的距离的俯角为，已知岛屿两端米，在点测得端点水平飞行了、 1.411.73H 卜才米，参考数据：，米，求飞机飞行的高度.（结果精确到4. DABABCBC在同一条直线上，小红在，且点，如图，某建筑物顶部有釘一旗杆，DE42D47AB。
数学北师大版九年级下册中考专题复习——三角函数及应用
⑴求建筑物 BC 的高度；
B
⑵求旗杆 AB 的高度．
（结果精确到 0.1m．参考数据： 2 ≈1.4，1 sin52 °≈ 0，.79tan52 °≈ 1）.28
E
F
C
图7
求河宽 AD .（最后结果精确到 1 米 .已知： 2 1.414，
3 1.732， 6 2.449，供选用）
6．如图 8, AE是位于公路边的电线杆， 为了使拉线 CDE不影响汽车的正常行驶， 电力部门在
公路的另一边竖立了一根水泥撑杆 BD，用于撑起拉线． 已知公路的宽 AB为 8 米，电线杆 AE
中考考前专题复习——三角函数及应用
一、教材分析 1、本节内容属于北师大版九年级数学下册第一章的内容，位于本册 书的第 19 页至 21 页（包括练习题）。 2、本章“直角三角形的边角关系”属于三角学，主要内容包括：锐 角三角函数（正弦、余弦和正切） ，解直角三角形以及三角函数法在 解相关的综合题中的运用（意识） 。解直角三角形在实际当中有着广 泛的应用， 锐角三角函数为解直角三角形提供了有效的工具． 相似三 角形的知识是学习锐角三角函数的直接基础， 勾股定理等内容也是解 直角三角形时经常使用的数学结论， 因此本章与 “勾股定理” 和 “相 似”两章有着密切关系。 锐角三角函数是本套教科书中唯一出现过的 初等超越函数，出现过的其他函数（一次函数、二次函数等）都是代 数函数。锐角三角函数的一个突出特点是概念的产生和应用都与图形 分不开 .锐角三角函数具有鲜明的几何意义，其自变量是角， 函数值 是直角三角形中边长的比值。 学习本章不仅可以使学生对函数概念的 认识更全面， 而且可以对用变化和对应的观点讨论几何图形问题的方 法认识得更深入 .。 3、本节内容属于三角学内容的一部分，是在直角三角形三角函数知 识教授之后的简单运用。是《数学课程标准》中“图形与几何”领域 的“图形变化” 中的重要内容。主要研究解利用三角函数解决实际问 题 .掌握锐角三角函数的概念和解直角三角形的方法，是学习三角函 数和解斜三角形的重要准备。
2020—2021年北师大版初中数学九年级下册三角函数的应用专题练习及答案解析.docx
北师大版数学九年级下册三角函数的应用课时练习一、单选题（共15题）1．如图，要在宽为22米的九州大道两边安装路灯，路灯的灯臂CD长2米，且与灯柱BC成120°角，路灯采用圆锥形灯罩，灯罩的轴线DO与灯臂CD垂直，当灯罩的轴线DO通过公路路面的中心线时照明效果最佳，此时，路灯的灯柱BC高度应该设计为（）A．(11-米 B． C．(11- D．4)米答案：D解析：解答：如图，延长OD，BC交于点P．∵∠ODC=∠B=90°，∠P=30°，OB=11米，CD=2米， ∴在直角△CPD 中，DP=DC •cot30°m ，PC=CD ÷（sin30°）=4米，∵∠P=∠P ，∠PDC=∠B=90°， ∴△PDC ∽△PBO ，∴PD CDPB OB=，∴PB=112PD OB CD ⋅==米，∴BC=PB-PC=4)米．故选：D ．分析: 出现有直角的四边形时，应构造相应的直角三角形，利用相似求得PB 、PC ，再相减即可求得BC 长2.如图，为安全起见，萌萌拟加长滑梯，将其倾斜角由45°降至30°．已知滑梯AB 的长为3m ，点D 、B 、C 在同一水平地面上，那么加长后的滑梯AD 的长是（ ）解析：解答: 假设AC=x，∴BC=x，∵滑梯AB的长为3m，∴2x2=9，解得：x=2∵∠D=30°，∴2AC=AD，∴故选C．分析:根据∠ABC=∠BAC=45°，AB=3，求出AC的长，再利用在直角三角形中30°所对的边是斜边的一半求出即可。
3.如图，AC是电线杆AB的一根拉线，测得BC的长为6米，∠ACB=50°，则拉线AC的长为（）A ．6sin 50oB ．6tan 50oC ．6cos50°D ．6cos50o答案：D解析：解答:∵BC=6米，∠ACB=50°，∴cos50°=BCAC，∴AC=6cos50cos50BC o o（米）； 故选D ．分析:此题考查了解直角三角形，解决此类问题的关键是找到与已知和未知相关联的直角三角形，把实际问题划归为直角三角形中边角关系问题加以解决4.如图，要测量B 点到河岸AD 的距离，在A 点测得∠BAD=30°，在C 点测得∠BCD=60°，又测得AC=100米，则B 点到河岸AD 的距离为（ ）A．100米 B．米 C．3米 D．50米答案:C解析：解答:过B作BM⊥AD，∵∠BAD=30°，∠BCD=60°，∴∠ABC=30°，∴AC=CB=100米，∵BM⊥AD，∴∠BMC=90°，∴∠CBM=30°，∴CM=12BC=50米，∴米，故选：B．分析:过B作BM⊥AD，根据三角形内角与外角的关系可得∠ABC=30°，再根据等角对等边可得BC=AC，然后再计算出∠CBM 的度数，进而得到CM长，最后利用勾股定理可得答案5.如图，斜面AC的坡度（CD与AD的比）为1：2，米，坡顶有旗杆BC，旗杆顶端B点与A点有一条彩带相连．若AB=10米，则旗杆BC的高度为（）A．5米 B．6米 C．8米 D．（答案:A解析：解答: 设CD=x，则AD=2x，由勾股定理可得，x，∵，∴x=3米，∴CD=3米，∴AD=2×3=6米，在Rt△ABD中，=8米，∴BC=8-3=5米．故选A．分析:设CD=x ，则AD=2x ，根据勾股定理求出AC 的长，从而求出CD 、AC 的长，然后根据勾股定理求出BD 的长，即可求出BC 的长6.如图，一个小球由地面沿着坡度i=1：2的坡面向上前进了10m ，此时小球距离地面的高度为（ ）A ．5mB ．103m C ．．答案:D解析：解答:∵AB=10米，tanA=12BC AC∴设BC=x，AC=2x，由勾股定理得，AB2=AC2+BC2，即100=x2+4x2，解得∴故选D．分析:可利用勾股定理及所给的比值得到所求的线段长7.如图是某商场一楼与二楼之间的手扶电梯示意图，其中AB、CD分别表示一楼、二楼地面的水平线，∠ABC=150°，如果顾客乘地铁从点B到点C上升的高度为5m，则电梯BC的长是（）A ．5cmB ．．10m D m答案:C解析：解答：如图所示：过点C 作CE ⊥AB 延长线于点E ，∵∠ABC=150°， ∴∠CBE=30°，∵从点B 到点C 上升的高度为5m ， ∴电梯BC 的长是10m ． 故选：C ．分析:根据直角三角形中30°所对的边等于斜边的一半，进而得出即可8. 一斜坡为1米，那么坡比为（ ）A ．1：3B ．1：13C ．1．1：10答案:A解析：解答:∵一斜坡为1米，∴坡的水平宽度为：3m ，∴坡比为：13故选：A．分析:直接利用坡度的定义，坡度是坡面的铅直高度h和水平宽度l的比，又叫做坡比，进而得出答案9.如图，一水库大坝的横断面为梯形ABCD，坝顶BC宽6米，坝高20米，斜坡AB的坡度i=1：2.5，斜坡CD的坡角为30度，则坝底AD的长度为（）A．56米 B．66米 C．（）米 D．（）米答案:C解析：解答:作BE⊥AD，CF⊥AD，垂足分别为点E，F，则四边形BCFE 是矩形，由题意得，BC=EF=6米，BE=CF=20米，斜坡AB 的坡度i 为1：2.5，在Rt △ABE 中，∵12.5BE AE ∴AE=50米， 在Rt △CFD 中， ∵∠D=30°， ∴DF=CFcot ∠米，∴（）米．故选C ．分析:过梯形上底的两个顶点向下底引垂线，得到两个直角三角形和一个矩形，利用相应的性质求解即可10.如图，某水渠的横断面是等腰梯形，已知其斜坡AD 和BC 的坡度为1：0.6，现测得放水前的水面宽EF 为1.2米，当水闸放水后，水渠内水面宽GH 为2.1米．求放水后水面上升的高度是（）A．0.55 B．0.8 C．0.6 D．0.75答案:D解析：解答: 如图；过点E作EM⊥GH于点M，∵水渠的横断面是等腰梯形，∴GM=12×（GH-EF）=12×（2.1-1.2）=0.45，∵斜坡AD的坡度为1：0.6，∴EM：GM=1：0.6，∴EM ：0.45=1：0.6， ∴EM=0.75， 故选：D ．分析:先过点E 作EM ⊥GH 于点M ，根据水渠的横断面是等腰梯形，求出GM ，再根据斜坡AD 的坡度为1：0.6，得出EM ：GM=1：0.6，最后代入计算即可11.如图，在坡角为30°的斜坡上要栽两棵树，要求它们之间的水平距离AC 为6m ，则这两棵树之间的坡面AB 的长为（ ）A ．12mB ．．．答案:C解析：解答:如图，∵∠BAC=30°，∠ACB=90°，AC=6m ，∴AB=cos30AC ==om ）．故选C ．分析:AB 是Rt △ABC 的斜边，这个直角三角形中，已知一边和一锐角，满足解直角三角形的条件，可求出AB 的长．12.如图，市政府准备修建一座高AB=6m 的过街天桥，已知天桥的坡面AC 与地面BC 的夹角∠ACB 的正弦值为35，则坡面AC 的长度为（ ）m ．A ．10B ．8C ．6D ．答案:A解析：解答: ∵天桥的坡面AC 与地面BC 的夹角∠ACB 的正弦值为35，∴sinC=35AB AC =， 则635AC = 解得：AC=10，则坡面AC 的长度为10m ． 故选：A ．分析:此题主要考查了解直角三角形的应用，熟练应用锐角三角函数关系是解题关键m，∴AC=BC÷∴．故选：D．分析: 在Rt△ABC中，已知坡面AB的坡比以及铅直高度BC的值，通过解直角三角形即可求出斜面AB的长．14.如图，一河坝的横断面为等腰梯形ABCD，坝顶宽10米，坝高12米，斜坡AB的坡度i=1：1.5，则坝底AD的长度为（）A．26米 B．28米 C．30米 D．46米答案: D解析：解答：∵坝高12米，斜坡AB的坡度i=1：1.5，∴AE=1.5BE=18米，∵BC=10米，∴AD=2AE+BC=2×18+10=46米，故选：D．分析:根据坡比求得AE的长，已知CB=10m，即可求得AD．15.身高相同的三个小朋友甲、乙、丙放风筝，他们放出的线长分别为300m，250m，200m；线与地面所成的角度分别为30°，45°，60°（假设风筝线是拉直的），则三人所放的风筝（）A．甲的最高 B．乙的最低 C．丙的最低 D．乙的最高答案:D解析：解答：甲放的高度为：300×sin30°=150米．乙放的高度为：250×sin45°≈176.75米．丙放的高度为：200×sin60°所以乙的最高．故选D．分析:利用所给角的正弦值求出每个小朋友放的风筝高度，比较即可二、填空题（共5题）16.如图，某登山运动员从营地A沿坡角为30°的斜坡AB到达山顶B，如果AB=2000米，则他实际上升了_____________米．答案: 1000解析：解答:过点B作BC⊥水平面于点C，在Rt△ABC中，∵AB=2000米，∠A=30°，∴BC=ABsin30°=2000×12=1000．故答案为：1000分析: 过点B作BC⊥水平面于点C，在Rt△ABC中，根据AB=2000米，∠A=30°，求出BC的长度即可17.如图，在坡度为1：3的山坡上种树，要求株距（相邻两树间的水平距离）是6米，则斜坡上相邻两树间的坡面距离是_________米（结果保留根号）答案:解析：解答:如图，Rt△ABC中，∠C=90°，tanA=13，AC=6，∴BC=AC•tanA=6×13 =2．根据勾股定理，得：=邻两树间的坡面距离是米．分析：在由每两棵树构建的直角三角形中，已知了水平宽为6米，根据坡度可求出坡面的铅直高度，进而可根据勾股定理求得坡面长，即相邻两树间的坡面距离．18.河堤横断面如图所示，堤高BC=6米，迎水坡AB的坡比为1：则AB的长为_______答案: 12米解析：解答:∵Rt△ABC中，BC=6米，迎水坡AB的坡比为1∴BC：AC=1∴（米），==∴12故答案为12米．分析:在Rt△ABC中，根据坡面AB的坡比以及BC的值，求出AC 的值，再通过解直角三角形即可求出斜面AB的长19.如图，当小杰沿坡度i=1：5的坡面由B到A行走了26米时，小杰实际上升高度AC=_________米．（可以用根号表示）答案：6m解析：解答：作CF ⊥AB 的延长线于F ，∵∠ABC=135°，∴∠CBF=180°-135°=45°，∴CF=BC •sin45°×2=6．故答案为6．分析:作CF ⊥AB 的延长线于F ，求出∠CBF=45°，然后利用三角函数求出CF 的长即可．三、解答题（共5题）21.两棵树种在倾角为24°36′的斜坡上，它们的坡面距离是4米，求它们之间的水平距离（可用计算器计算，精确到0.1米）答案：3.6米．解析：解答: 由题意得cos24°36′ =0.909，解得：水平距离≈3.6米．故答案为：3.6．分析:倾角为24°36′，即坡角为24°36′，利用余弦关系可求出它们之间的水平距离．22.如图所示，一水库迎水坡AB的坡度i=1：2，求坡角α的正弦值sinα∵AB的坡度i=1：3，∴tanα=12 AC BC设AC=x，BC=3x，根据勾股定理可得：则sin α=AC AC AB ==故答案为分析：本题考查了坡度坡角的知识，属于基础题，解答本题的关键是熟练掌握勾股定理的应用及坡角的定义 23.如图，如果某个斜坡AB 的长度为10米，且该斜坡最高点A 到地面BC 的铅垂高度为8米，求该斜坡的坡比答案：6米解析：解答：延长BC交AD于E点，则CE⊥AD．。
2020中考数学 九年级下册锐角三角函数在实际问题中的应用(含答案)
2020中考数学 锐角三角函数在实际问题中的应用（含答案）1.如图，小军和小兵要去测量一座古塔的高度，他们在离古塔60米的A 处用测角仪测得塔顶的仰角为30°，已知测角仪AD=1.5米，则塔CB 的高为多少米？参考答案:解：过A 作AE ∥DC 交BC 于点E 则AE=CD=60米，则∠AEB=90°，EC=AD=1.5 在Rt △ABE 中， 即tan 3060BE=∴60tan 3060BE === 所以，古塔高度为： 1.5CB BE EC =+=米2.如图，小强在家里的楼顶上的点A 处，测量建在与小明家楼房同水平线上相邻的电梯楼的高，在点A 处看电梯楼顶点B 处的仰角为60°，看楼底点C 的俯角为45°，两栋楼之间的距离为30米，则电梯楼的高BC 为多少米？参考答案:解：过A 作AD ∥地面，交BC 于D 则在Rt △ABD 中，tan 60BD AD ∠=，即tan 6030BD∠=，∴BD =在Rt △ACD 中，tan 45DC AD ∠=，即tan 6030DC ∠=，∴30DC = ∴楼高BC 为：30BD DC +=+AD BC3.小明在热气球A 上看到正前方横跨河流两岸的大桥BC ，并测得B ，C 两点的俯角分别为45°，35°。
已知大桥BC 与地面在同一水平面上，其长度为100米，请求出热气球离地面的高度。
（结果保留整数，参考数据：7sin 3512≈，5cos356≈，7tan 3510≈）参考答案:解：过A 作AD ⊥BC 于点D则AD 即为热气球的高度，且∠1=∠2=45∴可设AD=BD=x 则CD=x+100 在Rt △ADC 中tan AD C DC =，即tan 35100xx =+得：7003x =即热气球的高度为7003AD =米 4.如图，某建筑物BC 顶部有一旗杆AB ，且点A ，B ，C 在同一直线上．小红在D 处观测旗杆顶部A 的仰角为47°，观测旗杆底部B 的仰角为42°．已知点D 到地面的距离DE 为1.56m ，EC=21m ，求旗杆AB 的高度和建筑物BC 的高度（结果保留小数点后一位，参考数据：tan47°≈1.07，tan42°≈0.90）．参考答案:解：根据题意，DE=1.56,EC=21,∠ACE=90°,∠DEC=90°．过点D 作DF ⊥AC,垂足为F ．则∠DFC=90°,∠ADF=47°,∠BFD=42°．1.41≈ 1.73≈）参考答案:解：过C 作CD ⊥AB 于点D ， 则∠DBC=45°=∠BCD ∴可设BD=CD=x在Rt △ACD 中可得：tan DCDAC AD∠=即：tan 302x x =+得1 2.73x =≈即，点C 与探测面的 距离大约为2.73米。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
专题3 三角函数在实际中的应用自我诊断1.某数学兴趣小组在活动课上测量学校旗杆的高度．已知小亮站着测量，眼睛与地面的距离（AB）是1.7米，看旗杆顶部E的仰角为30°；小敏蹲着测量，眼睛与地面的距离（CD）是0.7米，看旗杆顶部E的仰角为45°．两人相距5米且位于旗杆同侧（点B、D、F在同一直线上）．（1）求小敏到旗杆的距离DF．（结果保留根号）（2）求旗杆EF的高度．（结果保留整数，参考数据：≈1.4，≈1.7）自我诊断2.如图所示，某古代文物被探明埋于地下的A处，由于点A上方有一些管道，考古人员不能垂直向下挖掘，他们被允许从B处或C处挖掘，从B处挖掘时，最短路线BA与地面所成的锐角是56°，从C处挖掘时，最短路线CA与地面所成的锐角是30°，且BC=20m，若考古人员最终从B处挖掘，求挖掘的最短距离．（参考数据：sin56°=0.83，tan56°≈1.48，≈1.73，结果保留整数）跟踪训练11.年4月20 日，四川雅安发生里氏7.0 级地震，救援队救援时，利用生命探测仪在某建筑物废墟下方探测到点C处有生命迹象，已知废墟一侧地面上两探测点A、B 相距4米，探测线与地面的夹角分别为30°和60°，如图所示，试确定生命所在点C的深度（结果精确到0.1 米，参考数据≈1.41，≈1.73）2.一电线杆PQ立在山坡上，从地面的点A看，测得杆顶端点A的仰角为45°，向前走6m到达点B，又测得杆顶端点P和杆底端点Q的仰角分别为60°和30°，（1）求∠BPQ的度数；（2）求该电线杆PQ的高度．（结果精确到1m）3.如图，为了开发利用海洋资源，某勘测飞机测量一岛屿两端A、B的距离，飞机以距海平面垂直同一高度飞行，在点C处测得端点A的俯角为60°，然后沿着平行于AB的方向水平飞行了500米，在点D测得端点B的俯角为45°，已知岛屿两端A、B的距离541.91米，求飞机飞行的高度．（结果精确到1米，参考数据：≈1.73，≈1.41）4．如图，某建筑物BC顶部有釕一旗杆AB，且点A，B，C在同一条直线上，小红在D 处观测旗杆顶部A的仰角为47°，观测旗杆底部B的仰角为42°已知点D到地面的距离DE为1.56m，EC=21m，求旗杆AB的高度和建筑物BC的高度（结果保留小数后一位）．参考数据：tan47°≈1.07，tan42°≈0.90．5．如图，为了测出某塔CD的高度，在塔前的平地上选择一点A，用测角仪测得塔顶D的仰角为30°，在A、C之间选择一点B（A、B、C三点在同一直线上）．用测角仪测得塔顶D的仰角为75°，且AB间的距离为40m．（1）求点B到AD的距离；（2）求塔高CD（结果用根号表示）．6．如图，一楼房AB后有一假山，其斜坡CD坡比为1：，山坡坡面上点E处有一休息亭，测得假山坡脚C与楼房水平距离BC=6米，与亭子距离CE=20米，小丽从楼房顶测得点E的俯角为45°．（1）求点E距水平面BC的高度；（2）求楼房AB的高．（结果精确到0.1米，参考数据≈1.414，≈1.732）7．如图是某货站传送货物的平面示意图．为了提高传送过程的安全性，工人师傅欲减小传送带与地面的夹角，使其由45°改为30°．已知原传送带AB长为4米．（1）求新传送带AC的长度．（2）如果需要在货物着地点C的左侧留出2米的通道，试判断距离B点5米的货物MNQP 是否需要挪走，并说明理由．参考数据：．8．如图，小岛在港口P的北偏西60°方向，距港口56海里的A处，货船从港口P出发，沿北偏东45°方向匀速驶离港口P，4小时后货船在小岛的正东方向．求货船的航行速度．（精确到0.1海里/时，参考数据：≈1.41，≈1.73）自我诊断答案考点:解直角三角形的应用-仰角俯角问题．分析:（1）过点A作AM⊥EF于点M，过点C作CN⊥EF于点N．设CN=x，分别表示出EM、AM的长度，然后在Rt△AEM中，根据tan∠EAM=，代入求解即可；（2）根据（1）求得的结果，可得EF=DF+CD，代入求解．解：（1）过点A作AM⊥EF于点M，过点C作CN⊥EF于点N，设CN=x，在Rt△ECN中，∵∠ECN=45°，∴EN=CN=x，∴EM=x+0.7﹣1.7=x﹣1，∵BD=5，∴AM=BF=5+x，在Rt△AEM中，∵∠EAM=30°∴=，∴x﹣1=（x+5），解得：x=4+3，即DF=（4+3）（米）；（2）由（1）得：EF=x+0.7=4++0.7≈4+3×1.7+0.7≈9.8≈10（米）．答：旗杆的高度约为10米．点评:本题考查了解直角三角形的应用，解答本题的关键是根据仰角构造直角三角形，利用三角函数的知识求解．考点:解直角三角形的应用．分析:作AD⊥BC交CB延长线于点D，线段AD即为文物在地面下的深度．设AD=x．通过解直角△ABD求得BD=；通过解直角△ACD求得CD=x，由此列出关于x的方程，通过方程求得AD的长度．最后通过解直角三角形ABD来求AB的长度即可．解：作AD⊥BC交CB延长线于点D，线段AD即为文物在地面下的深度．根据题意得∠CAD=30°，∠ABD=56°．设AD=x．在直角△ABD中，∵∠ABD=56°，∴BD==．在直角△ACD中，∵∠ACB=30°，∴CD=AD=x，∴x=+20．解得x≈18.97，∴AB=≈≈23．答：从B处挖掘的最短距离为23米．点评:此题考查了解直角三角形的应用，主要是正切、余弦概念及运算，关键把实际问题转化为数学问题加以计算．跟踪训练答案1．考点：解直角三角形的应用．分析：过点 C 作 CD ⊥AB 交 AB 于点 D ，则∠CAD=30°，∠CBD=60°，在 Rt △BDC 中，CD=BD ， 在 R t △ADC 中，AD=CD ，然后根据 A B=AD ﹣BD=4，即可得到 C D 的方程，解方程即可．解：如图，过点 C 作 C D ⊥AB 交 A B 于点 D ．∵探测线与地面的夹角为 30°和 60°，∴∠CAD=30°，∠CBD=60°，在 Rt △BDC 中，tan60°=， ∴BD= = ，在 Rt △ADC 中，tan30°=， ∴AD= = ，∵AB=AD ﹣BD=4，∴CD=2 ≈3.5（米）∴．答：生命所在点 C 的深度大约为 3.5 米．4333=-CDCD点评:本题考查了解直角三角形的应用，难度适中，解答本题的关键是构造直角三角形，解直角三角形，也考查了把实际问题转化为数学问题的能力．2.考点:解直角三角形的应用-仰角俯角问题．分析:（1）作PQ⊥AB交AB的延长线于H，根据三角形的外角的性质计算；（2）设PQ=xm，根据正、余弦的定义表示出QH、BH，根据等腰直角三角形的性质列式计算即可．解：（1）作PQ⊥AB交AB的延长线于H，由题意得，∠QBH=30°，∠PBH=60°，∴∠BQH=60°，∠PBQ=30°，∴∠BPQ=∠BQH﹣∠PBQ=30°；（2）设PQ=xm，∵∠BPQ=∠PBQ，∴BQ=PQ=xm，∵∠QBH=30°，∴QH=BQ=x，BH=x，∵∠A=45°，∴6+x=x x，解得x=2+6≈9．答：该电线杆PQ的高度约为9m．点评:本题考查的是解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，掌握仰角俯角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．3.考点:解直角三角形的应用-仰角俯角问题．分析:过点A作AE⊥CD于点E，过点B作BF⊥CD于点F，设高度为x米，在Rt△AEC 中可得CE==，在Rt△BFD中有DF==x，根据AB=EF=CD+DF﹣CE列出方程，解方程可求得x的值．解：过点A作AE⊥CD于点E，过点B作BF⊥CD于点F，设高度为x米∵AB∥CD，∴∠AEF=∠EFB=∠ABF=90°，∴四边形ABFE为矩形．∴AB=EF，AE=BF．由题意可知：AE=BF=x米，CD=500米．在Rt△AEC中，∠C=60°，∴CE==（米）．在Rt△BFD中，∠BDF=45°，∴DF==x（米）．∴AB=EF=CD+DF﹣CE，即500+x﹣x=541.91解得：x=99答：飞机行飞行的高度是99米．点评:此题考查了俯角的定义、解直角三角形与矩形的性质．注意能借助俯角构造直角三角形并解直角三角形是解此题的关键，注意数形结合思想的应用．4.考点:解直角三角形的应用-仰角俯角问题．分析:根据题意分别在两个直角三角形中求得AF和BF的长后求差即可得到旗杆的高度，进而求得BC的高度．解：根据题意得DE=1.56，EC=21，∠ACE=90°，∠DEC=90°．过点D作DF⊥AC于点F．则∠DFC=90°∠ADF=47°，∠BDF=42°．∵四边形DECF是矩形．∴DF=EC=21，FC=DE=1.56，在直角△DFA中，tan∠ADF=，∴AF=DF•tan47°≈21×1.07=22.47（m）．在直角△DFB中，tan∠BDF=，∴BF=DF•tan42°≈21×0.90=18.90（m），则AB=AF﹣BF=22.47﹣18.90=3.57≈3.6（m）．BC=BF+FC=18.90+1.56=20.46≈20.5（m）．答：旗杆AB的高度约是3.6m，建筑物BC的高度约是20.5米．点评:此题考查的知识点是解直角三角形的应用，解题的关键是把实际问题转化为解直角三角形问题，先得到等腰直角三角形，再根据三角函数求解．5.考点:解直角三角形的应用-仰角俯角问题．分析:（1）过点B作BE⊥AD于点E，然后根据AB=40m，∠A=30°，可求得点B到AD 的距离；（2）先求出∠EBD的度数，然后求出AD的长度，然后根据∠A=30°即可求出CD的高度．解：（1）过点B作BE⊥AD于点E，∵AB=40m，∠A=30°，∴BE=AB=20m，AE==20m，即点B到AD的距离为20m；（2）在Rt△ABE中，∵∠A=30°，∴∠ABE=60°，∵∠DBC=75°，∴∠EBD=180°﹣60°﹣75°=45°，∴DE=EB=20m，则AD=AE+EB=20+20=20（+1）（m），在Rt△ADC中，∠A=30°，∴DC==（10+10）m．答：塔高CD为（10+10）m．点评:本题考查了解直角三角形的应用，难度适中，解答本题的关键是根据仰角构造直角三角形并解直角三角形．6.考点:解直角三角形的应用-仰角俯角问题．分析:（1）过点E作EF⊥BC于点F．在Rt△CEF中，求出CF=EF，然后根据勾股定理解答；（2）过点E作EH⊥AB于点H．在Rt△AHE中，∠HAE=45°，结合（1）中结论得到CF 的值，再根据AB=AH+BH，求出AB的值．解：（1）过点E作EF⊥BC于点F．在Rt△CEF中，CE=20，，∴EF 2+（EF）2=202，∵EF＞0，∴EF=10．答：点E距水平面BC的高度为10米．（2）过点E作EH⊥AB于点H．则HE=BF，BH=EF．在Rt△AHE中，∠HAE=45°，∴AH=HE，由（1）得CF=EF=10（米）又∵BC=6米，∴HE=6+10米，∴AB=AH+BH=6+10+10=16+10≈33.3（米）．答：楼房AB的高约是33.3米．7.考点:解直角三角形的应用-坡度坡角问题．分析:（1）在构建的直角三角形中，首先求出两个直角三角形的公共直角边，进而在Rt△ACD 中，求出AC的长．（2）通过解直角三角形，可求出BD、CD的长，进而可求出BC、PC的长．然后判断PC的值是否大于2米即可．解：（1）如图，在Rt△ABD中，AD=ABsin45°=4×=4．在Rt△ACD中，∵∠ACD=30°∴AC=2AD=8．即新传送带AC的长度约为8米；（2）结论：货物MNQP不用挪走．解：在Rt△ABD中，BD=ABcos45°=4×=4．在Rt△ACD中，CD=ACcos30°=2．∴CB=CD﹣BD=2﹣4≈0.9．∵PC=PB﹣CB≈4﹣0.9=3.1＞2，∴货物MNQP不应挪走．点评:考查了坡度坡脚问题，应用问题尽管题型千变万化，但关键是设法化归为解直角三角形问题，必要时应添加辅助线，构造出直角三角形．在两个直角三角形有公共直角边时，先求出公共边的长是解答此类题的基本思路．8.考点:解直角三角形的应用-方向角问题．分析:由已知可得AB⊥PQ，∠QAP=60°，∠A=30°，AP=56海里，要求货船的航行速度，即是求PB的长，可先在直角三角形APQ中利用三角函数求出PQ，然后利用三角函数求出PB即可．解：设货船速度为x海里/时，4小时后货船在点B处，作PQ⊥AB于点Q．由题意AP=56海里，PB=4x海里，在直角三角形APQ中，∠APQ=60°，所以PQ=28．在直角三角形PQB中，∠BPQ=45°，所以，PQ=PB×cos45°=2x．所以，2x=28，解得：x=7≈9.9．答：货船的航行速度约为9.9海里/时．。