8-压杆的稳定计算 PPT课件

≤
cr
cr
cr
ncr
cr
cr 强度计算时的许用应力 稳定安全系数
ncr
cr ncr
称为折减系数, 其值小于1
应当明白, [σcr]与[σ]虽然都是“许用应力”, 但两者
却有很大的不同。[σ]只与材料有关, 当材料一定时, 其值为
定值；而[σcr]除了与材料有关外, 还与压杆的长细比有关。 所以，相同材料制成的不同(长细比)的压杆，其[σcr]值是不 同的。
解: 两端铰支时长度系数：μ=1
圆形截面的惯性矩：i
d 4
40 4
10mm
0.01m
⑶当l=0.5m时:
柔度： l 10.5 50
i 0.01
查表11-2得 : S 62
S 62 属粗短杆
Fcr
cr
A
235
d 4
2
235 0.042
4
295.3kN
子情境8.3 压杆的稳定计算
【例8-1】试计算图示压杆(截面面 积相同的矩形、正方形和圆形)的 临界力。
矩形 : Fcr 3.7kN
解：⑴计算截面的惯性矩
I max
Iy
hb3 12
45 203 12
3.0 104 mm4
⑵计算临界力
Fcr
2EI (l)2
2 200109 3108
(2 2)2
3701N 3.7kN
直线平衡状态
的平衡；
不稳定的平衡：
不能保持原有的
直线平衡状态的
平衡。
压杆的失稳现象是在纵向力的作用下，使杆发
生突然弯曲，所以称为纵弯曲。这种丧失稳定的现 象也称为屈曲。
子情境8.1 压杆的概念
压杆由直线形状的稳定的平衡过渡到不稳定的平衡 时所对应的轴向压力，称为压杆的临界压力或临界力， 用Fcr表示
学习情境8
压杆的稳定计算
学习要点：压杆稳定的概念、临界压力和欧 拉公式等。
教学目标：了解压杆稳定的概念；会计算细 长杆、中长杆和短粗杆的临界力；会对各种压杆 进行稳定校核。了解提高压杆稳定性的措施。
引例
一个实验：
松木板条：截面尺寸5×30，抗压极 限应力40MPa。
短木条失效时：
c
6000 30 5
当压杆所受的轴向压力F小于临界力Fcr时，杆件就 能够保持稳定的平衡，这种性能称为压杆具有稳定 性；而当压杆所受的轴向压力F等于或者大于Fcr时, 杆件就不能保持稳定的平衡而失稳。
子情境8.2 各种压杆的临界力和临界应力计算
8.2.1 细长压杆的临界力和临界应力计算 ⒈ 细长压杆的临界力计算
⑴两端铰支细长杆的临界力计算公式—欧拉公式
矩形 : Fcr 3.7kN
从以上三种情况的分析，其 截面面积相等、支承条件也相同, 但是，计算得到的临界力却不一 样。可见在材料用量相同的条件 下，选择恰当的截面形式可以提 高细长压杆的临界力。
Fcr 7.95kN
D y
z
30mm
30mm
⒉ 细长压杆的临界应力计算
⑴细长压杆临界应力的计算公式 — 欧拉公式
10mm
0.01m
⑵当l=0.8m时:
柔度： l 10.8 80
i 0.01
查表11-2得 : S 62
S P 属中长杆
Fcr
cr A
a
b
d 4
2
304 106
1.12 106
80
0.042 4
269kN
【例8-2】求图示压杆在下面三种情况下的 临界力：
⑴杆长l=1.2m; Fcr 172kN ⑵杆长l=0.8m; Fcr 269kN ⑶杆长l=0.5m。 Fcr 295.3kN
cr
Fcr A
cr
1 A
2EI
l 2
I i2A 或 i2 I A
cr
1 A
2EI
l 2
2Ei2
l 2
2E l 2
令
l
i
,则有：
cr
2E 2
i
cr
2E 2
⒉ 细长压杆的临界应力计算
⑵欧拉公式的适用范围 欧拉公式是根据挠曲线近似微分方程导出的，而应用此
微分方程时，材料必须服从胡克定理。因此，欧拉公式的适 用范围应当是压杆的临界应力不超过材料的比例极限，即：
P S
8.2.3 粗短压杆的临界力和临界应力计算
柔度小于λS的压杆称为粗短杆或小柔度杆。 对于柔度小于λS的粗短杆或小柔度杆，其破坏 则是因为材料的抗压强度不足而造成的，如果 将这类杆也按照稳定问题进行处理,则对塑性 材料制成的压杆来说，可取临界应力σcr = σS
粗短压杆的临界力为：Fcr cr A S A
Fcr
2EI
l2
⑵其他约束情况下细长压杆的临界力计算公式—欧拉公式
Fcr
2EI
l 2
μ称为长度系数。
两端铰支时： 1； 一端固定，另一端铰支时： 0.7 两端固定时： 0.5； 一端固定，另一端自由时： 2
两端铰支时： 1； 一端固定，另一端铰支时： 0.7 两端固定时： 0.5； 一端固定，另一端自由时： 2
4
b
24 304
64
6.45104 mm4
Fcr
2EI (l)2
2 200109 6.45108
(2 2)2
Fcr 7.95kN
D y
z
30mm
30mm
7950N 7.95kN
【例8-1】试计算图示压杆(截面面 积相同的矩形、正方形和圆形)的
正方形 : Fcr 8.33kN
临界力。
【例8-1】试计算图示压杆(截面面 积相同的矩形、正方形和圆形)的
正方形 : Fcr 8.33kN
临界力。
矩形 : Fcr 3.7kN
⑶当截面改为边长为30mm的 正方形时，其惯性矩：
Iy
Iz
hb3 12
303 12
6.75104 mm4
Fcr
2EI (l)2
2 200109 6.75108
F30N
F 6000N
1000
30
轴心受压杆件从直线状态突然变为曲线状态的现
象，在结构上称为“失稳”。这种情况对结构安全是
极为不利的。也是必须避免的。
F30N
截面形状也是轴心受压直杆 稳定性的又一个重要因素。
F 6000N
1000
30
子情境8.1 压杆的概念
Fcr 称为临界荷载
稳定的平衡：
能保持原有的
(2 2)2
y z
30mm
8330N 8.33kN
30mm
【例8-1】试计算图示压杆(截面面 积相同的矩形、正方形和圆形)的 临界力。
⑷当截面改为面积相等的圆
正方形 : Fcr 8.33kN 矩形 : Fcr 3.7kN
形时，其惯性矩：
D2 b2 D
Iy
Iz
4
D4
64
42
2
b4
64
Fcr
cr
A
2
E
2
d 4
2
3
200109 4 1202
0.042
172kN
【例8-2】求图示压杆在下面三种情况下的 临界力：
⑴杆长l=1.2m; Fcr 172kN ⑵杆长l=0.8m; Fcr 269kN ⑶杆长l=0.5m。
解: 两端铰支时长度系数：μ=1
圆形截面的惯性矩：i
d 4
40 4
8.3.1 压杆稳定的实用计算方法
当压杆中的应力达到(或超过)其临界应力时，压杆会
丧失稳定。所以，正常工作的压杆，其横截面上的应力
应小于临界应力。在工程中，为了保证压杆具有足够的
稳定性，还必须考虑一定的安全储备，这就要求横截面
上的应力不能超过压杆的临界应力的许用值，即：
为计算方便写成：
cr
Fcr A
40MPa
长木条失效时：
c
30 30 5
0.2MPa
两者失效原因存在本质区别：
短木条: 强度失效，由强度不足引起
长木条: 非强度失效(丧失稳定)，由 稳定性不足引起
F30N
F 6000N
1000ห้องสมุดไป่ตู้
30
从谚语“直木顶千斤”谈轴心受压杆的稳定
这个试验告诉我们，同一材料、 同一截面尺寸和形状，当长度不同 时，其能承受的轴心压力值是不同 的。在结构计算中，构件有一个重 要特征，就是计算长度的影响。长 度越大，构件的计算长度也越大， 其能承受的轴心压力值越小，这就 是直木承受轴心压力的一个重要特 征。因此，笼统地说“直木顶千斤” 并不符合实际情况。
8.2.2 中长压杆的临界力和临界应力计算
我国常用的临界应力经验计算公式为直线公式：
cr a b 公式的适用范围： cr a b ≤ s
屈服应力
或： ≥ a s
b
令：s
a s
b
≥ s
当临界应力等于材料的屈 服点应力时压杆的柔度值
与λP一样, λS也是一个与材料的性质有关的常数,
因此, 直线经验公式的适用范围为：
将8 11式
cr
cr
ncr
代入8-9式
cr
Fcr A
≤ cr
可得:
F A
≤
或
A ≤
应用压杆稳定条件, 可以对以下三个方面的问题进行计算：
⒈ 稳定校核
⒉ 计算稳定时的许用荷载
⒊ 进行截面设计
8.3.2 提高压杆稳定的措施 ⒈ 合理选择材料 ⒉ 选择合理的截面形状 ⒊ 改善约束条件、减小压杆长度
【例8-2】求图示压杆在下面三种情况下的 临界力：
⑴杆长l=1.2m; Fcr 172kN ⑵杆长l=0.8m; ⑶杆长l=0.5m。
解: 两端铰支时长度系数：μ=1
圆形截面的惯性矩：i
d 4
40 4
10mm
0.01m
⑴当l=1.2m时:
柔度： l 11.2 120 100
i 0.01
属大柔度杆
F A
≤
或
A ≤
cr
2E 2
≤P
≥
E
P
设λP为压杆临界应力达到材料的比例极限时的柔度值，即：
则欧拉公式的适用范围为： ≥ P
P =
E
P
cr
2E 2
8.2.2 中长压杆的临界力和临界应力计算 我国常用的临界应力经验计算公式为直线公式：
cr a b
临界力计算公式为： Fcr cr A a b A