大学物理实验偶然误差理论.

第2节 测量结果不确定度评定 一、不确定度的两类分量 二、直接测量量的不确定度评定步骤 三、间接测量量的不确定度评定步骤
一、不确定度的两类分量
1. 不确定度的定义
对测量值的准确程度给出一个量化的表述
它表示测量值不能确定的一个范围，或者说以测量 结果作为被测量真值的估计值时可能存在误差的范 围，并且在这个范围内以一定的概率包含真值。
E x 100% x0
测量结果的不确定度表示方式 测量结果＝x u
E u 100% x
二、偶然误差理论
1. 偶然误差的统计规律
2. 标准误差 的意义 3. 的最佳估计值——样本的标准偏差
1. 偶然误差的统计规律 偶然误差分布函数：
f（x）

1
2
exp

x
N x
y
z
以微小量替换微元
N ln f x ln f y ln f z
N x
y
z
EN

uN N

ln f x
2
ux




ln y
f
uy 2
ln f z
2
uz


例：
已知质量m=（213.04±0.05）g，的铜圆柱体， 用0~125mm、分度值为0.02mm的游标卡尺测量 其高度h六次；用一级0~25mm千分尺测量其直 径D也是六次，其测值列入下表（仪器零点示值 均为零），求铜的密度。
第1节 偶然误差理论 第2节 测量结果不确定度评定 第3节 有效数字的记录与计算 第4节 实验方案的选择原则 第5节 数据处理常用方法
第1节 偶然误差理论 一、测量与误差的基本概念 二、偶然误差理论
一、测量与误差的基本概念
1. 测量的定义与分类 2. 真值、算术平均值 3. 误差、偏差 4. 误差的分类 5. 测量结果的两种表示
（1）高度h的最佳值及不确定度：
h 80.37mm
uA Sh
1 61
6 i1
(hi

h )2

0.0089mm（计算器计算）
(检查无坏值）
游标卡尺的仪器误差： uB 仪器 0.02mm
因此得：
uh uA2 uB2 0.00892 0.022 0.022mm
次数
高度 h/mm 直径 D/mm
1
2
3
4
5
6
80.38 80.37 80.36 80.38 80.36 80.37
19.465 19.466 19.465 19.464 19.467 19.466
解：铜圆柱体的密度：
4m D2h
可见ρ是间接测量量。由题意，质量m是已知量， 直径D、高度h是直接量。
（中间运算，可以多取一位）
（2）直径D的最佳值及不确定度：
D 19.4655mm
uA
1 6 1
6 i 1
( Di

D)

0.0011mm
(检查无坏值）
千分尺的仪器误差： 仪器 0.005mm
因此得
uD uA2 uB2 0.00112 0.0052 0.0061mm
1. 测量的定义与分类
测量: 就是通过物理实验的方法，把被测量与作为标准 的同类单位量进行比较的过程。
分类
直接测量 间接测量
2. 真值、算术平均值
x 真值: 某物理量客观存在的值称
0
真值是个理想的概念， 一般不可能准确知道。
x
算术平均值
x

1 k
k i 1
xi
多次测量的算术平均值可作为真值的最佳近似值
x1 x1 x2 x2 xn xn n N
注意：均分原则不是绝对的。实验设计时可根据具体 情况，适当调整各直接测量量的所占分额。但均分原 则理论上讲是科学的。
2
2
2

x ：表示测量误差（测量值与真值之差） f（x）：表示测量误差x出现的概率
对应正态分布的图：
f（x）

1
2
ex
p
x2
2
2

有界性 单峰性 对称性 抵偿性
2. 标准误差 的意义
σ小
是正态分布函数的一个参数
σ可以表示测量值偏离真值大小的程度。
3.5450 3.54
3.54501 3.55
第4节 实验方案的选择原则 一、测量仪器的选择 二、测量最佳条件的选择 三、测量环境的选择
一、测量仪器的选择
① 仪器选择：精度、量程、使用方式。 ② 仪器搭配：保证测量时由仪器引入的误差符合
测量要求，同时又经济实惠
仪器搭配原则—误差均分原则
测间接测量量 N f (x1、x2、 xn ) ，若对函数的最 大相对误差给出限制，即要求 N 不大于给定的百分

uN N
100%
1. 间接测量量的最佳值
N f ( x，y, z,) 为间接测量量的最佳值
注意：
N f (x，y, z,) N (N1 N2 N3 )
k
2. 不确定度的传递
设 N f x, y, z,
则 dN f dx f dy f dz x y z
[解]： 1）修正测量数据中可定系统误差（如零点修正，本题不用）
2）计算 l 的最佳估值;
l

1 10
10 i 1
li

53.24(cm)
3) 计算Ａ类不确定度:
k
2
xi x
uA Sl
i 1
k 1
0.03cm
4) Ｂ类不确定度 : uB 仪 0.05cm
N
数值，则各独立变量误差对函数Ｎ的相对误差传递按 等贡献分配。
N f ( x1、x2、 xn ) 最大相对误差传递公式：（仪器误差传递公式）
N N

ln f x1
x1

ln f x2
x2
误差均分：

ln f xn
xn
ln f ln f
ln f 1 N
随机误差
在消除或修正系统误差之后，测量结果仍会 出现一些无规律的起伏。这种绝对值和符号 随机变化的误差，称为随机误差
4. 误差的分类
系统误差
在同一条件下多次测 量同一物理量时，其 来源 结果的符号和大小按 一定规律变化的误差
偶然误差
对于数学期望值为零
的随机误差通常称它
来源
为偶然误差。
仪器误差 方法误差 环境误差 人为误差
因此得：
u E 8.907 0.072% 0.0064g / cm3
（5）密度测量的最后结果为：
(8.907 0.006)g / cm3
E 0.072%
第3节 有效数字的记录与计算 一、直接测量量的有效数字之运算 二、间接测量量的有效数字之运算 三、有效数字的舍入法则
uB 仪
3.合成不确定度
ux uA2 uB2
Sx2 仪2
二、直接测量量的不确定度评定步骤
（1）修正测量数据中的可定系统误差；
（2）计算测量列的算术平均值 x 作为测量结果的最佳值；
（3）计算测量列的样本标准偏差 Sx ；
（4）样本标准偏差作为不确定度Ａ类分量 uA Sx ；
3. 误差、偏差
误差：被测物理量的测量值与真值之差
xi xi x0
偏差：被测物理量的测量值与算术平均值之差
vi xi x
4. 误差的分类
系统误差
在同一条件下多次测
仪器误差
量同一物理量时，其 结果的符号和大小按
来源
方法误差 环境误差
一定规律变化的误差
人为误差
偶然误差
对于数学期望值为零 的随机误差通常称它 为偶然误差。
（5）一般说来，函数运算的有效数字，应按间接量测量误差 （不确定度）传递公式进行计算后决定。 (中间运算过程中可 以多取几位)
三、有效数字的舍入法则 “小于五舍去，大于五进位，等于五凑偶”
将下列数据保留三位有效数字：
3.54499 3.54
3.5425 3.54
3.5466 3.55
3.5350 3.54
测量结果＝ｘu （P= ）
其中u值可以通过一定的方法进行估算，称为不确定度。
2.不确定度的两类分量
Ａ类 统计不确定度 uA
是指可以采用统计方法计算的不确定度。 （即具 有随机误差性质） 这类不确定度被认为是服从正态分布规律的
uA Sx
k
(xi x)2
i 1
k 1
Ｂ类 非统计不确定度 是指用非统计方法求出或评定的不确定度 对Ｂ类不确定度的估计作简化处理，只讨论因 仪器不准对应的不确定度。仪器不准确的程度 主要用仪器误差来表示 ，即：
一、直接测量量的有效数字之运算
1. 一般读数应读到最小分度以下再估一位; 2. 有时读数的估计位，就取在最小分度位；
3. 游标类量具只读到游标分度值，一般不估读；
4. 数字式仪表及步进读数仪器不需要进行估读，仪器所 显示的未位就是欠准数字； 5. 在读取数据时，如果测值恰好为整数，则必须补 “０”，一直补到可疑位 。
（5）计算不确定度的Ｂ类分量 uB 仪 ；
（6）求合成不确定度 ux u A2 uB 2 S x 2 仪2
（7）写出最终结果表示：
x
x ux
E x

ux x
100%
例：用毫米刻度的米尺，测量物体长度十次，其测量值分别 是：l=53.27；53.25；53.23；53.29；53.24；53.28；53.26； 53.20；53.24 ；53.21 (单位cm） 。 试计算合成不确定度，并写出测量结果。
此时，被称为标准误差
σ大
测量误差在（－σ，+σ）内的概率为68.3%；
测量误差在（－3σ，+3σ）内的概率为99.73%；
3. 的最佳估计值——样本的标准偏差
k
(xi x)2
Sx
i1
k 1
k
(xi x)2
Sx
i1
k(k 1)
利用计算器的统计功能可以直接计算样本的标准偏差
主观方面 测量仪器方面 环境方面
一、判别下列几种情况产生的误差属于何种误差？ 1. 米尺的分度不准； 2. 视差； 3. 水银温度计毛细管不均匀； 4. 游标卡尺或外径千分尺零点不准； 5. 电表接入被测电路所引起的误差； 6. 天平横梁不等臂；
5. 测量结果的两种表示
测量结果的误差表示方式 测量结果＝ x ±Δx
（中间运算，可以多取一位）
（3）密度的算术平均值：


4m
D2h

8.907g
/ cm3
（4）密度的不确定度：
ln ln 4 ln m ln 2ln D ln h
E

u



1 m
um
2


2
1 D
uD
2



1 h
uh
2

( 0.05 )2 (2 0.0061)2 (0.022)2 0.072% 213.04 19.466 80.37
5）合成不确定度：ul
u2 A
uB 2

0.032 0.052 0.06cm
6）测量结果： l 53.24 0.06(cm)
El

ul l
100%

0.11%
三、间接测量量的不确定度评定步骤
设 N f x, y, z,
间接测量量
直接测量量
N

N

uN
E N
读数举例：
2.02cm
0.919 KΩ
0~500mA 129mA
二、间接测量量的有效数字之运算
（1）加减运算 时，“尾数取齐”。例如：278.2+12.451=290.7。
（2）乘除运算时， “位数取齐”。例如： （5.433）8×乘2方0.5、=开111方运算，其结果的有效数字位数与被乘方、 开方数的有效数字位数相同。例如： 200 14.1 （4）对数运算，小数点后的后面的位数取成与真数的位数相 同；例如：ln56.7=4.038 指数函数运算结果的有效数字中，小数点后的位数取成与指 数中小数点后的位数相同； 例如：e9.14=1.03×104
当x，y，z相互独立时，有 cov( x, y) 0,
uN

f x
ux
2



f y
uy
2



f z
uz
2

Baidu Nhomakorabea

对于以乘、除运算为主的函数
取对数 ln N ln f x, y, z,
再微分 dN ln f dx ln f dy ln f dz
以微小量代替微元 ，得：
N f x f y f z x y z
不确定度与微小量之间的关系：
uN N ux x u y y uz z ,
N2 (f x)2 (f y)2 (f z)2
x
y
z
2 f f cov( x, y) x y