初中不等式知识点总结

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初中数学不等式知识点大全

一元一次不等式知识点1.不等式不等式的概念：用不等号),,,,(≠≤<≥>表示不等关系的式子叫做不等式。

常用的表示不等关系的语言及符号：（1）大于、比……大、超过：>；（2）小于、比……小、低于：<；（3）不大于、不超过、至多：≥；（4）不小于、不低于、至少：≤；（5）正数：0>；（6）负数：0<；（7）非负数：0≥；（8）非正数：0≤【例1】下列式子中：① 21>-；② 13-≥x ；③ 3-x ；④ vt s =；⑤ y x 243<- ⑥ 2253+=-x x ；⑦ 022≥+a ；⑧ 222c b a ≠+.是不等式的有_________________.【例2】下列语句不能用不等式表示的是（）A. 1+m 是负数B. 2a 是正数C.n m +等于xD. 1-m 是非负数【练习1】下列式子：①05>；②043>+b a ；③2=x ；④1-x ；⑤53≠+x ；⑥732≤+a ；⑦812≥+x ，其中，不等式有______________.【练习2】符号“≥”的含义是“大于或等于”，即“不小于”；符号“≤”的含义是“小于或等于”，即“不大于”．请用文字语言翻译下列不等式：（1）02≥x ：____________.（2）0≤-x ：_____________.知识点2.不等式的基本性质不等式性质1 不等式的两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，不等号的方向不变. 即如果b a >，那么c b c a c b c a ->-+>+,不等式的性质2 不等式的两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变.即如果0,>>c b a ，那么cb c a bc ac >>,.不等式的性质3 不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变.即如果0,<>c b a ，那么cb c a bc ac <<,. 不等式的性质4 如果b a >，那么a b <.不等式的性质5 如果c b b a >>,，那么c a >.【例1】由13+<-b a ，可得到的结论（）A. b a <B. 13-<+b aC. 31+<-b aD. 31-<+b a【例2】如果b a >，那么下列变形错误的是（）A. b a 33->-B. b b a 2>+C.b a 2222-<-D.b a +->+-11【例3】下列判断中，正确的是（）A. 若b a <，则c b c a <B. 若b a <，则22bm am <C. 若22bm am <，则b a <D. 若b a <，则22b a <【例4】若0<<b a ，则下列式子：① 21+<+b a ；② 1>ba ；③ ab b a <+；④ba 11<. 其中正确的有_______________. 【例5】已知关于x 的不等式()21>-x a 可化为ax -<12，试化简：21++-a a .【练习1】若b a >，则下列不等式成立的是（）A ． b a 22-<-B ．b m a m 22<C ．21-<-b aD ．21+<+b a 【练习2】已知y x >，则下列不等式不成立的是（）A ．66->-y xB ．y x 33>C ．y x 22-<-D ．6363+->+-y x【练习3】下列叙述正确的是（）A ．若b a =，则b a =B ．若b a >，则b a >C ．若b a <，则b a <D ．若b a =，则b a ±= 【练习4】有理数n m ,在数轴上的位置如图示，则下列关系式中正确的个数（）0<+n m ；0>-m n ；n m 11>；02>-n m ；0>--m n A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个【练习5】如果0>+b a ，且0>b ，那么b a b a --,,,的大小关系为（）A ．b a b a -<-<<B ．b a a b <-<<-C ．b a b a <-<-<D ．a b b a -<<-<知识点3.不等式的解集1.使不等式成立的未知数的值，叫做这个不等式的解。

初中数学不等式知识点

初中数学不等式知识点初中数学中，不等式是一个重要的知识点。

学好不等式的知识，对于理解和解决数学问题是非常有帮助的。

下面是关于不等式的一些重要知识点。

一、不等式的定义：不等式是指将未知数与实数用不等号进行比较的数学式子。

不等式中的不等号可以是“小于”(<)、”小于等于“(≤)、”大于“(>)、”大于等于“(≥)。

例如：x+3<7，2x≥10等都是不等式。

二、不等式的性质：1.两边加(减)一个相同的正数或负数，不等号不变，不等式仍然成立。

2.两边乘(除)一个相同的正数，不等号不变，不等式仍然成立；两边乘(除)一个相同的负数，不等号反向，不等式仍然成立。

3.如果两个不等量互为相反数，则它们的大小关系恰好相反。

4.如果不等式的两边同时加(或减)一个相同的数，不等号方向不变。

5.交换不等式的两边，不等号方向改变。

三、一元一次不等式：一元一次不等式是指只含有一个未知数的一次不等式。

例如：2x+3<7，5x-4≥8等。

解一元一次不等式的步骤：1.把含有未知数的项移到不等式的一边，把常数移到不等式的另一边。

2.对于不等式前面的系数，如果是正数，则保持不变；如果是负数，则改变不等号方向。

3.化简不等式，得到一个最简的解。

4.将解集用符号表示。

四、绝对值不等式：绝对值不等式是指一个未知数的绝对值与实数之间的不等关系。

例如：，x+2，<5，3x-4，≥2等。

解绝对值不等式的方法：1.若，x，<a，则-x<a<x。

2.若，x，>a，则x<-a或x>a。

3. 若，ax+b，<c，其中a>0且c>0，则是不等式等价于 -c < ax+b< c。

五、一元二次不等式：一元二次不等式是指一个未知数的二次多项式与实数之间的不等关系。

例如：x^2-4x<3，x^2+5x+6>0等。

解一元二次不等式的步骤：1.将二次项移项，化为一元二次不等式。

(完整版)不等式知识结构及知识点

o 不等式知识结构及知识点总结一．知识结构二．知识点1、不等式的基本性质①（对称性）②（传递性）③（可加性）a b b a >⇔>,a b b c a c >>⇒>a b a c b c>⇔+>+（同向可加性）（异向可减性）d b c a d c b a +>+⇒>>,db c a d c b a ->-⇒<>,④（可积性） bc ac c b a >⇒>>0,bc ac c b a <⇒<>0,⑤（同向正数可乘性）（异向正数可除性）0,0a b c d ac bd >>>>⇒>0,0a b a b c d c d>><<⇒>⑥（平方法则） ⑦（开方法则）0(,1)n n a b a b n N n >>⇒>∈>且0,1)a b n N n >>⇒>∈>且⑧（倒数法则）ba b a b a b a 110;110>⇒<<<⇒>>2、几个重要不等式①,（当且仅当时取号）.变形公式：()222a b ab a b R +≥∈，a b =""=o 22.2a b ab +≤②（基本不等式）,（当且仅当时取到等号）.2a b+≥()a b R +∈，a b =变形公式：用基本不等式求最值时（积定和最小，和定a b +≥2.2a b ab +⎛⎫≤ ⎪⎝⎭积最大），要注意满足三个条件“一正、二定、三相等”.③（三个正数的算术—几何平均不等式）（当且仅当3a b c ++()a b c R +∈、、时取到等号）.a b c ==④（当且仅当时取到等号）.()222a b c ab bc ca a b R ++≥++∈，a b c ==⑤（当且仅当时取到等号）.3333(0,0,0)a b c abc a b c ++≥>>>a b c ==⑥（当仅当a=b 时取等号）（当仅当a=b 0,2b aab a b>+≥若则0,2b aab a b<+-若则时取等号）⑦其中规律：小于1同加则变大，大于ban b n a m a m b a b <++<<++<1(000)a b m n >>>>，，1同加则变小.⑧ 220;a x a x a x a x a >>⇔>⇔<->当时，或22.x a x a a x a <⇔<⇔-<<⑨绝对值三角不等式.a b a b a b -≤±≤+3、几个著名不等式①平均不等式：,（当且1122a b a b --+≤≤+()a b R +∈，仅当时取号）.（即调和平均几何平均算术平均平方平均）.a b =""=≤≤≤ 变形公式： 222;22a b a b ab ++⎛⎫≤≤⎪⎝⎭222().2a b a b ++≥②幂平均不等式：222212121...(...).n n a a a a a a n+++≥++++≥1122(,,,).x y x y R ∈④二维形式的柯西不等式当且仅当22222()()()(,,,).a b c d ac bd a b c d R ++≥+∈时，等号成立.ad bc =⑤三维形式的柯西不等式：2222222123123112233()()().a a a b b b a b a b a b ++++≥++⑥一般形式的柯西不等式：2222221212(...)(...)n n a a a b b b ++++++o r21122(...).n n a b a b a b ≥+++⑦向量形式的柯西不等式：设是两个向量，则当且仅当是零向量，或存在实数，使,αβ ,αβαβ⋅≤ βk 时，等号成立.k αβ=⑧排序不等式（排序原理）：设为两组实数.是的任一排列，1212...,...n n a a a b b b ≤≤≤≤≤≤12,,...,n c c c 12,,...,n b b b 则（反序和乱序和12111122......n n n n n a b a b a b a c a c a c -+++≤+++1122....n n a b a b a b ≤+++≤顺序和）≤当且仅当或时，反序和等于顺序和.12...n a a a ===12...n b b b ===⑨琴生不等式:（特例:凸函数、凹函数）若定义在某区间上的函数,对于定义域中任()f x 意两点有则称f(x)为凸（或1212,(),x x x x ≠12121212()()()()()().2222x x f x f x x x f x f x f f ++++≤≥或凹）函数.4、不等式证明的几种常用方法常用方法有：比较法（作差，作商法）、综合法、分析法；其它方法有：换元法、反证法、放缩法、构造法，函数单调性法，数学归纳法等.常见不等式的放缩方法：①舍去或加上一些项，如22131((;242a a ++>+②将分子或分母放大（缩小），如211,(1)k k k <-211,(1)k k k >+==<等.*,1)k N k >∈>5、一元二次不等式的解法求一元二次不等式解集的步骤：20(0)ax bx c ++><或2(0,40)a b ac ≠∆=->一化：化二次项前的系数为正数.二判：判断对应方程的根.三求：求对应方程的根.四画：画出对应函数的图象.五解集：根据图象写出不等式的解集.规律：当二次项系数为正时，小于取中间，大于取两边.6、高次不等式的解法：穿根法.分解因式，把根标在数轴上，从右上方依次往下穿（奇穿偶切），结合原式不等号的方向，写出不等式的解集.7、分式不等式的解法：先移项通分标准化，则()0()()0()()()0()0()0()f x f x g x g x f x g x f x g x g x >⇔⋅>⋅≥⎧≥⇔⎨≠⎩（时同理）<≤“或”规律：把分式不等式等价转化为整式不等式求解.8、无理不等式的解法：转化为有理不等式求解2()0(0)()f x a a f x a ≥⎧>>⇔⎨>⎩2()0(0)()f x a a f x a≥⎧<>⇔⎨<⎩2()0()0()()0()0()[()]f x f x g x g x g x f x g x >⎧≥⎧⎪>⇔≥⎨⎨<⎩⎪>⎩或2()0()()0()[()]f x g x g x f x g x ≥⎧⎪⇔>⎨⎪<⎩()0()0()()f x g x f x g x ≥⎧⎪⇔≥⎨⎪>⎩规律：把无理不等式等价转化为有理不等式，诀窍在于从“小”的一边分析求解.9、指数不等式的解法：⑴当时,⑵当时,1a >()()()()f x g x aa f x g x >⇔>01a <<()()()()f xg x a a f x g x >⇔<规律：根据指数函数的性质转化.10、对数不等式的解法⑴当时, ⑵当时,1a >()0log ()log ()()0()()a af x f xg x g x f x g x >⎧⎪>⇔>⎨⎪>⎩01a <<()0log ()log ()()0.()()a a f x f x g x g x f x g x >⎧⎪>⇔>⎨⎪<⎩规律：根据对数函数的性质转化.11、含绝对值不等式的解法：⑴定义法：⑵平方法：(0).(0)a a a a a ≥⎧=⎨-<⎩22()()()().f xg x f x g x ≤⇔≤⑶同解变形法，其同解定理有：①②(0);x a a x a a ≤⇔-≤≤≥(0);x a x a x a a ≥⇔≥≤-≥或③④()()()()()(()0)f x g x g x f x g x g x ≤⇔-≤≤≥()()()()()()(()0)f xg x f x g x f x g x g x ≥⇔≥≤-≥或规律：关键是去掉绝对值的符号.12、含有两个（或两个以上）绝对值的不等式的解法：规律：找零点、划区间、分段讨论去绝对值、每段中取交集，最后取各段的并集.13、含参数的不等式的解法解形如且含参数的不等式时，要对参数进行分类讨论，分类讨论的标20ax bx c ++>准有：⑴讨论与0的大小；⑵讨论与0的大小；⑶讨论两根的大小.a ∆14、恒成立问题⑴不等式的解集是全体实数（或恒成立）的条件是：①当时20ax bx c ++>0a =②当时 ⑵不等式的解集是全0,0;b c ⇒=>0a ≠00.a >⎧⇒⎨∆<⎩20ax bx c ++<体实数（或恒成立）的条件是：①当时②当时0a =0,0;b c ⇒=<0a ≠00.a <⎧⇒⎨∆<⎩⑶恒成立恒成立()f x a <max ();f x a ⇔<()f x a ≤max ();f x a ⇔≤⑷恒成立恒成立()f x a >min ();f x a ⇔>()f x a ≥min ().f x a ⇔≥15、线性规划问题⑴二元一次不等式所表示的平面区域的判断：法一：取点定域法：由于直线的同一侧的所有点的坐标代入0Ax By C ++=后所得的实数的符号相同.所以，在实际判断时，往往只需在直线某一侧任取Ax By C ++一特殊点（如原点），由的正负即可判断出或00(,)x y 00Ax By C ++0Ax By C ++>(表示直线哪一侧的平面区域.0)<即：直线定边界，分清虚实；选点定区域，常选原点.法二：根据或，观察的符号与不等式开口的符号，若同号，0Ax By C ++>(0)<B 或表示直线上方的区域；若异号，则表示直线上方的区域.即：同0Ax By C ++>(0)<号上方，异号下方.⑵二元一次不等式组所表示的平面区域：不等式组表示的平面区域是各个不等式所表示的平面区域的公共部分.⑶利用线性规划求目标函数为常数）的最值：z Ax By =+(,A B 法一：角点法：如果目标函数（即为公共区域中点的横坐标和纵坐标）的最值存在，z Ax By =+x y 、则这些最值都在该公共区域的边界角点处取得，将这些角点的坐标代入目标函数，得到一组对应值，最大的那个数为目标函数的最大值，最小的那个数为目标函数的最小值z z z 法二：画——移——定——求：第一步，在平面直角坐标系中画出可行域；第二步，作直线，平移直0:0l Ax By +=线（据可行域，将直线平行移动）确定最优解；第三步，求出最优解；第四步，0l 0l (,)x y 将最优解代入目标函数即可求出最大值或最小值 .(,)x y z Ax By =+第二步中最优解的确定方法：利用的几何意义：,为直线的纵截距.z A z y x B B =-+zB①若则使目标函数所表示直线的纵截距最大的角点处，取得最0,B >z Ax By =+z 大值，使直线的纵截距最小的角点处，取得最小值；z ②若则使目标函数所表示直线的纵截距最大的角点处，取得最0,B <z Ax By =+z 小值，使直线的纵截距最小的角点处，取得最大值.z ⑷常见的目标函数的类型：①“截距”型： ②“斜率”型：或;z Ax By =+yz x =;y b z x a-=-③“距离”型：或或22z x y =+z =22()()z x a y b =-+-z =在求该“三型”的目标函数的最值时，可结合线性规划与代数式的几何意义求解，从而使问题简单化.16. 利用均值不等式：()a b ab a b R a b ab ab a b 222222+≥∈+≥≤+⎛⎝ ⎫⎭⎪+，；；求最值时，你是否注值？（一正、意到“，”且“等号成立”时的条件，积或和其中之一为定a b R ab a b ∈++()()二定、三相等）注意如下结论：()a b a b ab aba ba b R 22222+≥+≥≥+∈+，当且仅当时等号成立。

初三不等式必考知识点

初三不等式必考知识点不等式是初中数学中的一种重要的数学概念，也是初三数学的必考知识点之一。

通过学习不等式，可以帮助学生提高数学推理能力和问题解决能力。

本文将介绍初三不等式的基本概念、性质以及解题方法，帮助同学们系统地掌握这一知识点。

一、不等式的基本概念不等式是用不等号（>、<、≥、≤）连接的两个数或者两个代数式。

其中，大于（>）和小于（<）表示严格不等关系，大于等于（≥）和小于等于（≤）表示不严格不等关系。

例如，2x + 3 > 5是一个不等式。

二、不等式的性质 1. 两个不等式的加法性质：如果a > b，那么a + c > b + c，其中c是任意实数。

2. 两个不等式的减法性质：如果a > b，那么a - c > b - c，其中c是任意实数。

3. 两个不等式的乘法性质：如果a > b，且c > 0，那么ac > bc；如果a > b，且c < 0，那么ac < bc。

4. 两个不等式的除法性质：如果a > b，且c > 0，那么a/c > b/c；如果a > b，且c < 0，那么a/c < b/c。

5. 不等式的对称性：如果a > b，则b < a；如果a ≥ b，则b ≤ a。

6. 不等式的传递性：如果a > b，且b > c，则a > c。

三、不等式的解题方法 1. 代数法代数法是解不等式的一种常用方法。

通过运用不等式的性质和运算法则，将不等式转化为简单的形式，从而求得不等式的解集。

常用的代数法有以下几种： - 加减消元法：根据不等式的加法性质和减法性质，通过加或减相同的数使不等式两端的系数相等，从而得到简单的不等式。

- 乘除消元法：根据不等式的乘法性质和除法性质，通过乘或除相同的数使不等式两端的系数相等，从而得到简单的不等式。

初中数学知识点：不等式

初中数学知识点：不等式（经典版）编制人：__________________审核人：__________________审批人：__________________编制单位：__________________编制时间：____年____月____日序言下载提示：该文档是本店铺精心编制而成的，希望大家下载后，能够帮助大家解决实际问题。

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初中不等式知识点公式总结

初中不等式知识点公式总结初中不等式知识点公式总结初中阶段是学习不等式的重要阶段。

不等式作为数学中的重要概念和工具，在解决实际问题和进行数学推理推导时起着重要的作用。

下面将对初中不等式的知识点和相关公式进行综合总结。

一、不等式的概念与性质1. 不等式的定义：不等式是用“<”、“>”、“≤”、“≥”等符号表示的数之间的大小关系。

2. 不等式的性质：(1) 等价不等式：对于同一不等式，若在两边同时加（或减、乘、除）相同的非负数，则不等号的方向不变。

(2) 字母互换不等号改变：若将一个不等式中的两个数的位置调换，不等式的符号必须改变。

(3) 不等式两边乘以同号数：若不等式两边乘以同号数，则不变不等式的符号。

(4) 小于0整体取反：若不等式两边乘以同号数时，若乘积小于0，则不变不等式的符号。

(5) 加减不等式：若两个不等式都成立，则其代数和（或代数差）也成立。

(6) 乘除不等式：若两个不等式都成立，其代数积（或代数商）也成立。

二、常见的不等式及其性质1. 平均值不等式(1) 算数平均数和几何平均数不等式：对于正数a1，a2，...，an，有2/(1/a1+1/a2+...+1/an) ≤ (a1+a2+...+an)/n ≤√(a1*a2*...*an)(2) 算术平均不等式：对于非负数a1，a2，...，an，有(a1+a2+...+an)/n ≥ √(a1*a2*...*an)(3) 加权平均不等式：对于正数a1，a2，...，an和权重w1，w2，...，wn，有(w1*a1+w2*a2+...+wn*an)/(w1+w2+...+wn) ≥√(w1*a1*w2*a2*...*wn*an)2. 差积等式(1) 平方差等式：对于任意实数a和b，有(a-b)² = a²-2ab+b²(2) 立方差等式：对于任意实数a和b，有(a-b)³ = a³-3a²b+3ab²-b³3. 等差数列与等差不等式(1) 等差数列的通项公式：对于等差数列an，其通项公式为an = a1 + (n-1)d其中，a1为首项，d为公差。

初二不等式基本知识点总结

初二不等式基本知识点总结一、一元一次不等式1. 不等式的定义不等式是使用大于号(>)、小于号(<)、大于等于号(≥)、小于等于号(≤)等符号来表示两个数量的大小关系。

例如：a < b、c > d。

2. 不等式的解法对于一元一次不等式ax + b > c，其中a、b、c为已知数，x为未知数，解不等式的步骤如下：(1) 将不等式化为等价不等式，即去掉绝对值号，并根据a的正负情况变号；(2) 通过化简和移项找出不等式的解集。

3. 不等式组的解法对于一元一次不等式组{ax + b > c, dx + e < f}，其中a、b、c、d、e、f为已知数，x为未知数，解不等式组的步骤如下：(1) 分别解出每个不等式的解集；(2) 将每个不等式解集进行交并运算，得到不等式组的解集。

4. 不等式的图像表示使用数轴可以方便地表示一元一次不等式的解集。

对于不等式ax + b > c，首先画出表示常数c的点，然后根据a的正负情况，确定画出的区域是大于还是小于c的区域。

二、一元二次不等式1. 不等式的定义一元二次不等式是形如ax² + bx + c > 0的不等式，其中a、b、c为已知数，x为未知数。

2. 不等式的解法对于一元二次不等式ax² + bx + c > 0，其中a、b、c为已知数，x为未知数，解不等式的步骤如下：(1) 求出二次函数的零点，即ax² + bx + c = 0的解；(2) 根据二次函数的图像，确定不等式的解集。

3. 不等式的图像表示一元二次不等式和二次函数的图像表示是相互联系的。

通过画出二次函数的图像，并确定大于0的区域，可以得到不等式的解集。

三、一元一次不等式组1. 不等式组的定义一元一次不等式组是多个一元一次不等式的组合，其中每个不等式都是以相同的未知数为变量。

2. 不等式组的解法对于一元一次不等式组{ax + b > c, dx + e < f}，其中a、b、c、d、e、f为已知数，x为未知数，解不等式组的步骤如下：(1) 分别解出每个不等式的解集；(2) 将每个不等式解集进行交并运算，得到不等式组的解集。

初中不等式知识点总结

初中不等式知识点总结初中不等式知识点总结通常不等式中的数是实数，不等式既可以表达一个命题，也可以表示一个问题。

以下是小编收集的不等式知识点总结，欢迎查看！初中不等式知识点总结1一、不等式的概念1、不等式用不等号表示不等关系的式子，叫做不等式。

2、不等式的解集对于一个含有未知数的不等式，任何一个适合这个不等式的未知数的值，都叫做这个不等式的解。

对于一个含有未知数的不等式，它的所有解的集合叫做这个不等式的解的集合，简称这个不等式的解集。

求不等式的解集的过程，叫做解不等式。

二、不等式基本性质1、不等式两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，不等号的方向不变。

2、不等式两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变。

3、不等式两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变。

三、一元一次不等式1、一元一次不等式的概念一般地，不等式中只含有一个未知数，未知数的次数是1，且不等式的两边都是整式，这样的不等式叫做一元一次不等式。

2、一元一次不等式的解法一般步骤：（1）去分母；（2）去括号；（3）移项；（4）合并同类项；（5）将 x 项的系数化为 1。

四、一元一次不等式组1、一元一次不等式组的概念几个一元一次不等式合在一起，就组成了一个一元一次不等式组。

几个一元一次不等式的解集的公共部分，叫做它们所组成的一元一次不等式组的解集。

求不等式组的解集的过程，叫做解不等式组。

当任何数x 都不能使不等式同时成立，我们就说这个不等式组无解或其解为空集。

2、一元一次不等式组的解法（1）分别求出不等式组中各个不等式的解集。

（2）利用数轴求出这些不等式的解集的公共部分，即这个不等式组的解集。

第九章不等式与不等式组一、目标与要求1.感受生活中存在着大量的不等关系，了解不等式和一元一次不等式的意义，通过解决简单的实际问题，使学生自发地寻找不等式的解，会把不等式的解集正确地表示到数轴上;2.经历由具体实例建立不等模型的过程，经历探究不等式解与解集的不同意义的过程，渗透数形结合思想;3.通过对不等式、不等式解与解集的探究，引导学生在独立思考的基础上积极参与对数学问题的讨论，培养他们的合作交流意识;让学生充分体会到生活中处处有数学，并能将它们应用到生活的各个领域。

初中数学不等式知识点大全

初中数学不等式知识点大全一、不等式的基本概念1.不等式的定义：不等式是数学中表示两个数的大小关系的一种数学符号表示法。

2.不等式符号的意义："<"表示小于、">"表示大于、"<="表示小于等于、">="表示大于等于。

3.一元一次不等式、二元一次不等式和多变量不等式的定义和性质。

4.不等式的解集：表示满足不等式的全部解的集合，可以用数轴表示。

二、不等式的性质1.不等式的传递性：如果a<b，b<c，则a<c。

2.不等式两边加减同一个数，不影响不等关系的大小。

3.不等式两边乘除同一个正数，不影响不等关系的大小。

4.不等式两边乘除同一个负数，不等关系会发生改变。

5.不等式两边取倒数时，要注意变号问题。

6.乘以不等式时，要考虑所乘以的数的正负情况。

三、不等式的解法1.第一类不等式（一元一次不等式）的解法：根据不等式的性质，将不等式中的未知数移到一边，得到关于未知数的集合表示的解，进而求解交集、并集或全集。

2.第二类不等式（一元二次不等式）的解法：将不等式变形为一元二次函数的图像问题，通过观察函数图像，确定不等式的解集。

3.系统不等式的解法：将多个不等式作为一个整体进行考虑，得到多个不等式的交集或并集形式，再求解。

四、一些常见的数学不等式1.加减法不等式：例如2x+3>7，根据性质将未知数移到一边，得到解集x>22.乘除法不等式：例如3x/5>=6，根据性质将未知数移到一边，得到解集x>=10。

3.绝对值不等式：例如，3x+5，<7，根据绝对值的性质进行分段讨论，得到解集-4<x<24.开方不等式：例如√(x-1)>3，根据开方的定义和性质进行讨论，得到解集x>10。

5.取整不等式：例如[x]>2，根据整数函数的定义和性质进行讨论，得到解集x>3五、不等式的应用1.不等式在图像问题中的应用：例如求一元一次不等式的解集时，可以将不等式表示的区间在数轴上进行标注，直观地表示解集。

初中数学知识点——不等式

初中数学知识点——不等式引言：在初中数学中，不等式是一个非常重要的知识点，它是解决一元一次方程组和二元一次方程组的基础。

在本文中，我们将详细介绍不等式的相关知识点，并提供大量的练习题和参考答案，以帮助学生们深入了解和掌握这一知识点。

一、概念和性质1.1 不等式的类型不等式有三种类型：严格不等式、非严格不等式和混合不等式。

① 严格不等式：用“<”或“>”表示，例如：x > 5。

② 非严格不等式：用“≤”或“≥”表示，例如：x ≤ 5。

③ 混合不等式：既包括严格不等式，又包括非严格不等式，例如：3 < x ≤ 5。

1.2 不等式的解集不等式的解集是指所有满足不等式的数的集合。

例如：x + 2 > 5 的解集是{x | x > 3}。

1.3 不等式的性质不等式的性质包括：① 两个不等式相加或相减仍是不等式；② 不等式两边同时乘或除以一个正数，不等式方向不变；③ 不等式两边同时乘或除以一个负数，不等式方向反转。

二、解不等式2.1 解一元一次不等式解一元一次不等式的步骤如下：① 移项：将所有项移到一边；② 合并同类项：将同类项合并；③ 系数化为正数：如果某一项系数为负数，则将不等式两边同时乘上-1，使此项系数变为正数；④ 除以系数：将所有项的系数化为1。

例如：2x - 5 > 7步骤①：2x > 12；步骤②：2x - 12 > 0；步骤③：-2x + 12 > 0；步骤④：x > 6。

2.2 解一元一次不等式组解一元一次不等式组的方法和解一元一次方程组的方法类似，但是要注意不等式方向的改变，即如果某个不等式的符号反转了，则对应的不等式方向也要反转。

例如：{2x + y > 5; x - y ≤ 3}解法如下：① 将不等式组化为标准形式：{2x + y - 5 > 0; x - y - 3 ≤ 0}② 解方程x - y - 3 ≤ 0，得到x ≤ y + 3；③ 将x ≤ y + 3 代入2x + y - 5 > 0 中，得到3y > -1；④ 解不等式3y > -1，得到y > -1/3；⑤ 将y > -1/3 代入x ≤ y + 3 中，得到x ≤ 8/3。

初中数学知识点归纳不等式

初中数学知识点归纳不等式初中数学中的不等式是一个非常重要的知识点，它存在于各个章节中，如函数、代数方程组、数列等。

不等式是用不等号连接的含有未知数的数学式，在数学问题中经常用来表示一些量的大小关系。

下面将对初中数学中常见的不等式进行归纳。

一、基本性质：1.不等式变形：对不等式两边同时加上或减去一个相同的数，不等号的方向不变。

2. 相乘型：若a > b，c > 0，则ac > bc；若a < b，c < 0，则ac > bc。

3.相除型：若a>b，c>0，则a/c>b/c；若a<b，c<0，则a/c>b/c。

二、一元一次不等式：1.加减法解不等式：对不等式两边同时加上或减去一个相同的数，不等号的方向不变。

2.乘除法解不等式：对不等式两边同时乘以或除以一个正数，不等号的方向不变；对不等式两边同时乘以或除以一个负数，不等号的方向改变。

3.绝对值不等式：当，x-a，>b时，有x<a-b或x>a+b。

4.复合不等式：可以将不等式分解为两个简单的不等式，再求解。

三、一元二次不等式：1.求解一元二次不等式，可以先将其转化成一元二次方程，求出解的区间。

2.解一元二次不等式的关键是求出与解有关的a值，即把不等式转化为方程，得到轮廓图，再确定解的范围。

3.解一元二次不等式时，当a>0时，不等式的解集为开口向上的抛物线所在的区间；当a<0时，不等式的解集为开口向下的抛物线所在的区间。

四、绝对值不等式：1.解绝对值不等式时可以根据绝对值的定义，将不等式划分成正数和负数的情况进行求解。

2.若，x-a，<b，则-a<x-a<b，从而x-a<b，a-x<b。

3.若，x-a，>b，则x-a>b或x-a<-b。

五、函数与不等式：1.根据函数的性质，可以求解函数不等式。

2.若f(x)>g(x)，则将f(x)-g(x)>0，根据函数图像的上下关系求解。

初中数学不等式知识点大全

初中数学不等式知识点大全知识点1：不等式不等式是用不等号（。

≥、<、≤、≠）表示不等关系的式子。

常用的表示不等关系的语言及符号有：1.大于、比……大、超过。

2.小于、比……小、低于。

<；3.不大于、不超过、至多：≥；4.不小于、不低于、至少。

≤；5.正数。

6.负数：<；7.非负数：≥；8.非正数：≤。

例1中是不等式的有-1>2，3x≥-1，3x-4<2y，3x-5=2x+2，a^2+2≥0，a^2+b^2≠c^2.例2中不能用不等式表示的是m+n等于。

练1中是不等式的有5>x，3a+4b>y，2a+3≤7，x^2+1≥8.练2中(1)的含义是x^2大于等于0，(2)的含义是-x小于等于0.知识点2：不等式的基本性质不等式有以下基本性质：1.不等式的两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，不等号的方向不变。

即如果a>b，那么a+c>b+c，a-c>b-c。

2.不等式的两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变。

即如果a>b，c>0，那么ac>bc，a/b>b/b。

3.不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变。

即如果a>b，c<0，那么ac<bc，a/b<b/a。

4.如果a>b，那么b<a。

5.如果a>b，b>c，那么a>c。

例1中由a-3<b+1可得到的结论是a<b+4.例2中如果a>b，那么下列变形错误的是2-2a>2-2b。

例3中正确的判断是若a<b，则a^2<b^2.例4中若a1，a+b<ab。

例1】解下列不等式组，结果正确的是（）B．不等式组x7的解集是x 1解析：用数轴法解不等式组，先求出每一个不等式的解集，再找出它们的公共部分。

对于不等式组x7的解集是x 1x 1其解集为x7，x1，即x7.结果正确的是B.练1】嘉年华小区计划新建50个停车位，已知新建1个地上停车位和1个地下停车位需0.7万元，新建3个地上停车位和2个地下停车位需1.6万元。

初中数学不等式知识点

初中数学不等式知识点一、不等式的定义与性质1.不等关系：对于任意两个实数a和b，只有以下三种情况之一成立：a>b，a=b，a<b。

2.不等式：由不等关系得到的表达式称为不等式。

3.不等式的解：使得不等式成立的数字的范围。

4.不等式的性质：a)若a>b且b>c，则a>c。

b)若a>b，则a+c>b+c。

c) 若a>b且c>0，则ac>bc。

d) 若a>b且c<0，则ac<bc。

二、一元一次不等式1.解一元一次不等式的方法：a)变形法：根据不等式性质对不等式进行变形，以求得解的范围。

b)试值法：取不等式两边的中心值，带入不等式进行判断。

c)图解法：将不等式转化为数轴上的表示，并用图形确定解的范围。

2.一元一次不等式的特殊情况：a)严格不等式：不等号中的大于或小于号是有实际意义的，例如x>3b)非严格不等式：不等号中的大于等于或小于等于号是有实际意义的，例如x≥33.一元一次不等式的解集表示方法：a)区间表示法：解集用区间表示，如(3,+∞)表示大于3的所有实数。

b)不等式表示法：通过不等式的形式表示解集，如x>3三、一元二次不等式1.解一元二次不等式的方法：a)求解开头为正负的二次不等式：将二次不等式化为二次方程，再通过求解二次方程得到解的范围。

b)求解开头为非负的二次不等式：直接观察二次不等式的开头，确定解的范围。

2.一元二次不等式的特殊情况：a)严格不等式：不等号中的大于或小于号是有实际意义的，例如x^2>4b)非严格不等式：不等号中的大于等于或小于等于号是有实际意义的，例如x^2≥43.一元二次不等式的解集表示方法：a)区间表示法：解集用区间表示，如(-∞,-2)∪(2,+∞)表示不在(-2,2)范围内的所有实数。

b)不等式表示法：通过不等式的形式表示解集，如x<-2或x>2四、两个不等式的关系1. 不等式的加减乘除运算：若a>b且c>0，则有a+c>b+c、ac>bc （或ac<bc）、a/c>b/c（或a/c<b/c）。

不等式知识点总结

不等式1、不等式的性质是证明不等式和解不等式的基础。

不等式的基本性质有： 1对称性：a>b ⇔b<a ；2传递性：若a>b ，b>c ，则a>c ； 3可加性：a>b ⇒a+c>b+c ；4可乘性：a>b ，当c>0时，ac>bc ；当c<0时，ac<bc 。

5同向相加：若a>b ，c>d ，则a+c>b+d ； 6异向相减：b a >，d c <d b c a ->-⇒. 7正数同向相乘：若a>b>0，c>d>0，则ac>bd 。

8乘方法则：若a>b>0，n ∈N+，则n nb a >；9开方法则：若a>b>0，n ∈N+，则n n b a >；10倒数法则：若ab>0，a>b ，则b1a 1<。

2、绝对值不等式（1）｜x ｜＜a （a ＞0）的解集为：{x ｜－a ＜x ＜a}；｜x ｜＞a （a ＞0）的解集为：{x ｜x ＞a 或x ＜－a}。

（2）|b ||a ||b a |||b ||a ||+≤±≤-3、不等式的证明：(1) 常用方法：比较法，公式法，分析法，反证法，换元法，放缩法； (2) 在不等式证明过程中，应注重与不等式的运算性质联合使用； (3) 证明不等式的过程中，放大或缩小应适度。

4、一元二次不等式ax 2+box>0(a>0)解法.：一元二次不等式的解集其实就和二次项系数、二次方程的根以及不等号有关,因而可以总结解一元二次不等式的一般步骤:先把二次项系数化成正数,再解对应二次方程,最后根据方程的根的情况,结合不等号的方向写出解集(可称为“三步曲”法).一元二次方程的解的讨论0>∆0=∆ 0<∆二次函数c bx ax y ++=2（0>a）的图象一元二次方程()的根002>=++a c bx ax有两相异实根)(,2121x x x x <有两相等实根abx x 221-==无实根的解集)0(02>>++a c bx ax {}21x x x x x ><或⎭⎬⎫⎩⎨⎧-≠a b x x 2R 的解集)0(02><++a c bx ax {}21x x x x <<∅∅5、整式不等式的解法根轴法（零点分段法）①将不等式化为a 0(x-x 1)(x-x 2)…(x-x m )>0(<0)形式，并将各因式x 的系数化“+”；(为了统一方便) ②求根，并在数轴上表示出来；③由右上方穿线，经过数轴上表示各根的点（为什么？）；④若不等式（x 的系数化“+”后）是“>0”,则找“线”在x 轴上方的区间；若不等式是“<0”,则找“线”在x 轴下方的区间.+-+-x 1x 2x 3x m-3x m-2xm-1x mx（自右向左正负相间） 6、分式不等式的解法（1）标准化：移项通分化为)()(x g x f >0(或)()(x g x f <0)；)()(x g x f ≥0(或)()(x g x f ≤0)的形式，（2）转化为整式不等式（组）⎩⎨⎧≠≥⇔≥>⇔>0)(0)()(0)()(;0)()(0)()(x g x g x f x g x f x g x f x g x f7、含绝对值不等式的解法（1）公式法：c b ax <+,与)0(>>+c c b ax 型的不等式的解法.（2）定义法：用“零点分区间法”分类讨论.（3）几何法：根据绝对值的几何意义用数形结合思想方法解题. （1）ax a a a x <<-⇔><)0(；（2）ax a x a a x >-<⇔>>或)0(；（3）ax f a a a x f <<-⇔><)()0()(；（4）a x f a x f a a x f >-<⇔>>)()()0()(或；（5）)()()()()(x g x f x g x g x f <<-⇔<；（6）)()()()()()(x g x f x g x f x g x f >-<⇔>或；（7）ax b b x a a b b x a -≤≤-≤≤⇔>>≤≤或)0(；（8）⎪⎩⎪⎨⎧≠<⇔⎩⎨⎧≠<⇔><0)(])([)(0)()()()0()()(22x g x g a x f x g x g a x f a a x g x f 。

初中不等式重要知识点总结

初中不等式重要知识点总结一、不等式的基本概念1. 不等式的定义不等式是指两个不同实数之间的大小关系，用不等号表示的式子称为不等式。

例如：a ＞b，a、b为实数。

不等式包括开区间不等式和闭区间不等式。

开区间不等式：a ＞ b（>表示大于，不包括a）；闭区间不等式：a ≥ b（≥表示大于等于，包括a）。

2. 不等式的解集不等式的解集是所有满足不等式条件的实数构成的集合。

例如：不等式2x ＞ 6的解集为{x | x ＞ 3}。

3. 不等式的性质不等式与等式一样，具有传递性、对称性和反对称性。

传递性：若a ＞ b，b ＞ c，则a ＞c；对称性：若a ＞ b，则-b ＜ -a；反对称性：若a ＞ b，且b ＞ a，则a = b。

另外，对于不等式，还有加减法原理和乘除法原理。

加减法原理：不等式两边都加（减）同一个实数，不等式号的方向不变；乘除法原理：不等式两边都乘（除）同一个正数，不等式号的方向不变，都乘（除）同一个负数，不等式号的方向改变。

二、一元一次不等式1. 一元一次不等式的书写一元一次不等式是指形如ax + b ＞ 0或ax + b ＜ 0的不等式，其中a和b是常数，x是未知数。

一元一次不等式中，a不等于0。

2. 一元一次不等式的解法解一元一次不等式，主要有以下几种方法：（1）图解法：将不等式转化为方程，利用函数的图像找出满足不等式条件的实数解。

（2）试数法：通过代入试数的方式，找出满足不等式条件的实数解。

（3）分析法：通过移项整理和求解，找出满足不等式条件的实数解。

三、一元一次不等式组1. 一元一次不等式组的定义一元一次不等式组是由若干个一元一次不等式构成的集合。

2. 一元一次不等式组的解法解一元一次不等式组，主要有以下几种方法：（1）图解法：将不等式转化为方程，找出满足所有不等式条件的实数解，画出其图像，并找出图像的交集部分。

（2）试数法：通过代入试数的方式，找出满足所有不等式条件的实数解。

不等式概念及性质知识点详解与练习

不等式的概念及性质知识点详解及练习一、不等式的概念及列不等式不等式⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧→→≤≥≠→→表示出不等关系列出代数式设未知数步骤列不等式””、“”、“”、“”、““不等号概念πφ 1、不等式的概念及其分类（1）定义：用“＞”、“﹤”、“≠”、“≥”及“≤”等不等号把代数式连接起来，表示不等关系的式子。

a-b>0a>b, a-b=0a=b, a-b<0a<b 。

（2）分类：①矛盾不等式：不等式只是表示了某种不等关系，它表示的关系可能在任何条件下都不成立，这样的不等式叫矛盾不等式；如2＞3，x 2﹤0②绝对不等式：它表示的关系可能在任何条件下都成立，这样的不等式叫绝对不等式； ③条件不等式：在一定条件下才能成立的不等式叫条件不等式。

（3）不等号的类型：①“≠”读作“不等于”，它说明两个量之间关系是不等的，但不能明确两个量谁大谁小； ②“＞”读作“大于”，它表示左边的数比右边的数大；③“﹤”读作“小于”，它表示左边的数比右边的数小；④“≥”读作“大于或等于”，它表示左边的数不小于右边的数；⑤“≤”读作“小于或等于”，它表示左边的数不大于右边的数；注意：要正确理解“非负数”、“非正数”、“不大于”、“不小于”等数学术语的含义。

（4）常见不等式基本语言的含义：①若x ＞0，则x 是正数；②若x ﹤0，则x 是负数；③若x ≥0，则x 是非负数；④若x ≤0，则x 是非正数；⑤若x-y ＞0，则x 大于y ；⑥若x-y ﹤0，则x 小于y ；⑦若x-y ≥0，则x 不小于y ；⑧若x-y ≤0，则x 不大于y ；⑨若xy ＞0（或yx ＞0），则x ，y 同号；⑩若xy ﹤0（或yx ﹤0），则x ，y 异号；（5）等式与不等式的关系：等式与不等式都用来表示现实中的数量关系，等式表示相等关系，不等式表示不等关系，但不论是等式还是不等式，都是同类量比较所得的关系，不是同类量不能比较。

完整版)不等式知识点归纳大全

完整版)不等式知识点归纳大全不等式》知识点总结一、解不等式1.解不等式时，最终需要用集合的形式表示解集。

不等式解集的端点值通常是不等式对应方程的根或不等式有意义范围的端点值。

2.解分式不等式f(x)。

a（a≠0）的一般思路是移项通分，分子分母分解因式，使x的系数变为正值，标根及奇穿过偶弹回。

3.含有两个绝对值的不等式需要分类讨论、平方转化或换元转化去绝对值。

4.解含参不等式时，常常需要分类等价转化。

按参数讨论时，最后需按参数取值分别说明其解集；按未知数讨论时，最后需要求并集。

二、利用重要不等式求函数的最值1.在利用重要不等式a+b≥2ab以及变式ab≤(a+b)²求函数的最值时，需要注意a、b∈R⁺（或a、b非负），且“等号成立”时的条件是积ab或和a+b其中之一应是定值（一正二定三等四同时）。

2.常用的不等式有：a、2(a²+b²+c²)≥ab+bc+ca（当且仅当a=b=c时，取等号）；b、a+b+c≥√(3(ab+bc+ca))（当且仅当a=b=c时，取等号）。

三、含立方的几个重要不等式1.对于正数a、b、c，有a³+b³+c³≥3abc（当且仅当a=b=c 时，取等号）。

2.对于正数a、b、c，有(a+b+c)³≥27abc（当且仅当a=b=c 时，取等号）。

四、最值定理1.积定和最小：当x、y>0，且x+y≥2xy时，若积xy=P （定值），则当x=y时和x+y有最小值2P。

2.和定积最大：当x、y>0，且x+y≥2xy时，若和x+y=S （定值），则当x=y时积xy有最大值S²/4.3.已知a、b、x、y∈R，且ax+by=1，有x/y+y/x的最小值为(a+b+√(a²+b²))/2.4.对于已知x>0、y>0、x+2y+2xy=8的等式，x+2y的最小值为4，最大值为8.注：删除了一些明显有问题的段落，并对每段话进行了小幅度的改写。

初中不等式的知识点归纳

初中不等式的知识点归纳一、不等式的概念。

1. 不等式的定义。

- 用不等号（＞、≥、＜、≤或≠）表示不等关系的式子叫做不等式。

例如：3x + 5>2，a - 1≤0等。

2. 不等式的解。

- 使不等式成立的未知数的值叫做不等式的解。

例如，对于不等式x + 1>0，x = 1就是它的一个解，因为当x = 1时，1+1 = 2>0。

3. 不等式的解集。

- 一个含有未知数的不等式的所有解，组成这个不等式的解集。

例如，不等式x - 3>0的解集是x>3，这表示所有大于3的数都是这个不等式的解。

4. 解不等式。

- 求不等式解集的过程叫做解不等式。

二、不等式的基本性质。

1. 性质1（不等式的传递性）- 如果a>b，b>c，那么a>c。

例如：若5>3，3>1，则5>1。

2. 性质2（不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变）- 如果a>b，那么a±c>b±c。

例如：若x>2，那么x+1>2 + 1，即x+1>3；x-3>2-3，即x - 3>-1。

3. 性质3（不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变）- 如果a>b，c>0，那么ac>bc（或(a)/(c)>(b)/(c)）。

例如：若2x>4，两边同时除以2（2是正数），得到x>2。

4. 性质4（不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变）- 如果a>b，c<0，那么ac（或(a)/(c)<(b)/(c)）。

例如：若-3x>6，两边同时除以 - 3（-3是负数），得到x<-2。

三、一元一次不等式。

1. 一元一次不等式的定义。

- 含有一个未知数，未知数的次数是1的不等式，叫做一元一次不等式。

其一般形式是ax + b>0或ax + b<0（a≠0），例如2x - 1>0，3 - x<0等。

不等式的基本性质知识点总结

4.1 不等式的应用场景不等式在数学、物理、经济等多个领域都有广泛的应用。例如在解决实际问题时，常常需要利用不等式的性质来找出最优解
4.2 实例分析以一道具体的不等式问题为例，详细分析其解题过程和思路，展示如何运用不等式的性质进行解题。通过实例分析，加深对不等式基本性质的理解和掌握
不等式的常见题型与解题技巧
如何激发对不等式学习的兴趣
A
学习不等式需要耐心和
毅力
B
当我们遇到困难时，不要轻易放弃，而是要坚持下去，相信自己能够
解决问题
C
通过不断练习和反思，我们可以逐渐提高自己的解决问
题的能力
总结与展望未来
12.1 总结
01
本文总结了不等式的基本性质、解法与变形、常见题型与解题技巧等方面的知识点，并探讨了如何进一步提高不等式问题的解决能力以及学习不等式的重要性和意义。同时，也提出了一些激发对不等式学习兴趣的方法
不等式在实际生活中的应用
7.1 经济学中的应用：在经济学中，不等式常被用来描述和解决资源分配、市场供需、成本与收益等问题。例如，通过比较不同投资方案的收益与成本，利用不等式来选择最优的投资方案
7.2 物理学中的应用：在物理学中，不等式被广泛应用于力学、热学、电磁学等领域。例如，牛顿第二定律中的力与加速度的关系就可以用不等式来描述
10.4 提高综合素质
学习不等式不仅可以提高我们的数学能力，还可以培养我们的耐心、毅力和创新精神
通过解决复杂的问题，我们可以锻炼自己的意志品质，提高自己的综合素质
如何激发对不等式学习的兴趣
了解不等式在实际生活中的应用，可以激发我们对不等式学习的兴趣。当我们知道所学知识能够解决实际问题时，自然会产生学习的动力参加数学竞赛和活动，可以让我们更好地了解数学的魅力，提高解决数学问题的能力。在竞赛和活动中，我们可以结交志同道合的朋友，共同探讨数学问题，分享解决问题的乐趣寻找合适的学习资源，如教材、网络课程、学习 app 等，可以帮助我们更好地学习不等式。同时，也可以通过参加学习小组或找老师请教等方式，获取更多的学习帮助和支持