高等数学极限习题100道

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高等数学极限习题100道

设，求证：．lim ()lim ()x x x x f x A f x A →→==0)sin 1(sin lim n n n -+∞→求数列的极限[]Ax f Au f u x u x x x u u x x =ϕ=≠ϕ=ϕ→→→)(lim )(lim )()(lim 000试证：，又，且设设试确定实数，之值，使得：当时，为无穷小；当时，为无穷大。

f x x xa b x a f x x b f x ()ln ()()=-→→1设，问：当趋于何值时，为无穷小。

f x xx x f x ()tan ()=2．该邻域内　的某去心邻域，使得在证明：存在点，且，若)()()(lim )(lim 00x f x g x AB B x g A x f x x x x >>==→→设，试证明：对任意给定的，必存在正数，使得对适含不等式；的一切、，都有成立。

lim ()()()x x f x A x x x x x x f x f x →=><-<<-<-<000010201221εδδδε．，试用极限定义证明：已知：A x f A x f x x x x =>=→→)(lim0)(lim 0{}{}{}是否也必发散？同发散，试问数列与若数列n n n n y x y x +设　其中、为常数，，求的表达式；确定，之值，使，．f x x x a bx x a b a f x a b f x f f x f n n n x x ()limsincos()()()()()lim ()()lim ()()=+++<<==-→∞-→→-2121121021211ππ求的表达式f x x n n ()lim (ln )=+→∞+11221 的表达式．求n n n n n xx x x x f ---+∞→++=12lim )( ．，求，设)(lim )()()()(1)(33)(22x f x f x x x x f x x x n n n n ∞→=ϕ++ϕ+ϕ+=+-=ϕ 求的表达式．f x x x x x x xx n n ()lim ()()=+++++++⎡⎣⎢⎤⎦⎥→∞-11122221 ．，求，其中设n n k nk k n S k b b kS ∞→=+==∑lim )!1(1求的表达式。

大学高数极限考试题及答案

大学高数极限考试题及答案# 大学高数极限考试题及答案一、选择题1. 下列函数中，极限不存在的是（）A. $ f(x) = \frac{x^2 - 1}{x - 1} $ 当 $ x \to 1 $B. $ g(x) = \sin(x) $ 当 $ x \to \pi $C. $ h(x) = x^2 $ 当 $ x \to 2 $D. $ k(x) = \frac{\sin(x)}{x} $ 当 $ x \to 0 $答案：A2. 计算极限 $ \lim_{x \to \infty} \frac{x^2}{x + 1} $ 的结果是（）A. $ \infty $B. $ 1 $C. $ 0 $D. $ \frac{1}{2} $答案：A二、填空题1. $ \lim_{x \to 0} x \cdot \sin(\frac{1}{x}) = $ ______答案：02. $ \lim_{x \to 1} (x^2 - 1) = $ ______答案：0三、计算题1. 计算极限 $ \lim_{x \to 3} \frac{x^2 - 9}{x - 3} $。

解答：$ \lim_{x \to 3} \frac{x^2 - 9}{x - 3} = \lim_{x \to 3}\frac{(x - 3)(x + 3)}{x - 3} = \lim_{x \to 3} (x + 3) = 3 + 3 = 6 $2. 计算极限 $ \lim_{x \to 0} \frac{\sin(x)}{x} $。

解答：使用洛必达法则（L'Hôpital's Rule）：$ \lim_{x \to 0} \frac{\sin(x)}{x} = \lim_{x \to 0}\frac{\cos(x)}{1} = \cos(0) = 1 $四、证明题1. 证明 $ \lim_{x \to 0} \frac{\sin(x)}{x} = 1 $。

高数极限62道经典例题

高数极限62道经典例题高数极限是数学中的重要概念之一，也是学习数学的学生需要掌握的基本技能之一。

在高数极限的学习过程中，经典例题是帮助学生深入理解和掌握极限概念的重要辅助工具。

以下是62道经典的高数极限例题，通过这些例题的学习和解答，学生可以提高自己的极限运算能力。

1. 求极限lim(x→0)(sinx/x)2. 求极限lim(x→∞)(1/x)3. 求极限lim(x→∞)(x^2/(1+x^2))4. 求极限lim(x→0)(x^3/(1+2x)^2)5. 求极限lim(x→0)(1-cosx/x)6. 求极限lim(x→0)(sqrt(1+x)-1)/x7. 求极限lim(x→0)(e^x-1)/x8. 求极限lim(x→0)(ln(1+x)/x)9. 求极限lim(x→∞)(ln(x+1)/ln(x))10. 求极限lim(x→0)(1-cosx)/(x^2)11. 求极限lim(x→0)(sin2x/2x)12. 求极限lim(x→0)(sin(ax)/bx)，其中a和b为常数13. 求极限lim(x→0)(e^x-x-1)/x^214. 求极限lim(x→∞)(e^x/x)15. 求极限lim(x→0)(ln(1+x)/(x+a))16. 求极限lim(x→0)(e^x-ax-1)/x^2，其中a为常数17. 求极限lim(x→∞)(1+1/x)^x18. 求极限lim(x→∞)(1+1/x)^(kx)，其中k为常数19. 求极限lim(x→0)(sinx+cosx)/x20. 求极限lim(x→0)(sinx-cosx)/x21. 求极限lim(x→0)(e^x+e^-x-2)/x22. 求极限lim(x→∞)(x^a)/(e^x)，其中a为常数23. 求极限lim(x→0)(a^x-1)/x，其中a为常数24. 求极限lim(x→0)(ln(1+x)/(1+sinx))25. 求极限lim(x→∞)(x^a)/(lnx)，其中a为常数26. 求极限lim(n→∞)(1+1/n)^n27. 求极限lim(n→∞)(1+1/n)^n^228. 求极限lim(n→∞)(1+1/n^n)29. 求极限lim(n→∞)(1+1/n^n^2)30. 求极限lim(n→∞)(1+1/n!)^n31. 求极限lim(n→∞)(n^a)/(a^n)，其中a为常数32. 求极限lim(x→0)(sin(ax^2)/tanx^2)，其中a为常数33. 求极限lim(x→0)(tan(ax^2)/sinx^2)，其中a为常数34. 求极限lim(x→∞)(1+1/x)^x^a，其中a为常数35. 求极限lim(x→∞)(1+1/x)^x^(1/x)36. 求极限lim(x→∞)(1+1/x)^x^(1/x)^237. 求极限lim(x→0)(sin(ax)/bx)，其中a和b为常数38. 求极限lim(t→0)(sin(at)/bt)，其中a和b为常数39. 求极限lim(x→0)(a^x-b^x)/(x-c)，其中a、b和c为常数40. 求极限lim(x→0)(sin(ax)-sin(bx))/(x-c)，其中a、b和c为常数41. 求极限lim(x→0)(ln(ax)-ln(bx))/(x-c)，其中a、b和c为常数42. 求极限lim(x→∞)(x^a)/(e^bx)，其中a和b为常数43. 求极限lim(x→∞)(e^ax)/(x^b)，其中a和b为常数44. 求极限lim(x→0)(sinx/x^a)，其中a为常数45. 求极限lim(x→0)(cosx/x^a)，其中a为常数46. 求极限lim(x→0)(tanx/x^a)，其中a为常数47. 求极限lim(x→0)(cotx/x^a)，其中a为常数48. 求极限lim(x→0)(secx/x^a)，其中a为常数49. 求极限lim(x→0)(cscx/x^a)，其中a为常数50. 求极限lim(x→0)(ln(1+ax))/(x^b)，其中a和b为常数51. 求极限lim(x→0)(1-(1-ax)^x)/(x^2)，其中a为常数52. 求极限lim(x→0)(1-(1+ax)^x)/(x^2)，其中a为常数53. 求极限lim(x→0)(1-(1+ax)^x)/(x^3)，其中a为常数54. 求极限lim(x→0)(1-(1+ax)^x)/(x^4)，其中a为常数55. 求极限lim(x→0)(1-(1+ax)^x)/(x^5)，其中a为常数56. 求极限lim(x→0)(1-(1+ax)^x)/(x^6)，其中a为常数57. 求极限lim(x→0)(1-(1+ax)^x)/(x^7)，其中a为常数58. 求极限lim(x→0)(1-(1+ax)^x)/(x^8)，其中a为常数59. 求极限lim(x→0)(1-(1+ax)^x)/(x^9)，其中a为常数60. 求极限lim(x→0)(1-(1+ax)^x)/(x^10)，其中a为常数61. 求极限lim(x→0)(1-(1-ax)^x)/(x^3)，其中a为常数62. 求极限lim(x→0)(1-(1-ax)^x)/(x^4)，其中a为常数以上是62道经典的高数极限例题，每道题目都能帮助学生巩固和拓展自己的极限运算能力。

高等数学极限习题500道汇总

．求证：存在，且，＝时，设当βα=β+βα+αβαβ=βαα→→→→000lim lim lim)()(11110x x x x x x o o x x 答（）．．　．　．　．是等价无穷小，则与时，若当232123211cos )(1)1()(0312--=-=β-+=α→D C B A a x x ax x x（）答阶的是时，下述无穷小中最高当x x D x C x B x A x sin 11cos 1022----→[]之值．求)12ln()12ln(lim --+∞→n n n n ．求极限)2sin()1(lim 2+π-+∞→n n n n ．求极限)11ln()21(lim nn n ++∞→ _____________sin 1lim 3202=--→的值xx x e x x ．及求证：，，设有数列n n n n n n n n n n a a a y a a a a b b a a a ∞→+∞→∞→++-=+=≠==lim )(lim lim 2)( 11221．及，求记：，　．，设n n n n nn n n n n n n x y x x y x x x x x a b b x a x ∞→∞→++++-=+=>>==lim lim 112)0(111221 求极限之值．lim ()cos sin x x x x x→+-0212设，；且试证明：．lim ()lim ()lim ()()x x x x x x v x B u x A A v x B u x A →→→=>==0000[] 答（）．．．．2ln 01)1ln(lim 2)1(11D C B A x x x ∞=+-→ 答（）．．．．21)21(lim 2sin 0D e C e B A x x x x =+→[]的结果．之值，并讨论及求：设1)(1)(lim )(lim 11)(lim )( .1sin1)(0012----=+=→→→x u x u f x u u u f u u f x x x u x x u_____________69lim 223的值等于---→x x x x．不存在．．．D C B A e e e e x x x x x 1231234lim =++--∞→ 答：（）lim ()()()....x x x x A B C D →∞-+-=-⨯2361112335853 不存在答：（）____________)61()31()21(lim 1522010=+++∞→x x x x ____________lim 0的值等于x x x e e x -→- ．求极限123lim 2331+--+-→x x x x x x 求之值．lim ()x x x x x →+--+03416125 已知：，问？为什么？lim ()lim ()()lim ()x x x x x x u x u x v x A v x →→→=∞=≠=0000关于极限结论是：不存在答（）lim x x e A B C D →+015353054答（），则极限式成立的是，设 )(lim .)()(lim .)()(lim .0)()(lim .)(lim )(lim )(000000∞=∞=∞==∞==→→→→→→x g x x x x x x x x x x x x x f D x g x f C x f x g B x g x f A x g A x f是不是无穷大量．时，，问当)(cos )(x f x x e x f x +∞→= 答（）不存在 2.2...0.1arctan tan lim 0π-π=⋅→D C B A xx x答（） 2.1..0.)arctan(lim 2π∞=∞→D C B A xx x 答（）不存在 .2.2.2.312lim 2D C B A x x x ±-=++∞→___________)0(23)(1=-+=f e x f x ，则设答（）不存在 2....0.1cot arc lim 0ππ=→D C B A xx lim cos ln ....x a x xa A B C D →--==0100123，则其中答（）π____________cos 13lim 20的值等于x x e e x x x ----→lim (cos ).....x x xA B C D →-=-0212220 不存在答：（）设，其中、为常数．问：、各取何值时，；、各取何值时，；、各取何值时，．f x px qx x p q p q f x p q f x p q f x x x x ()()lim ()()lim ()()lim ()=++-===→∞→∞→2555112031求极限．lim ()()()()x n n n n x x x x →∞+--++-2222222211 求极限．lim ()()x x x →∞++32232332[]之值．、、试确定已知C B A x x c x B A x x 0)1()1()1(3lim 2241=--+-+-+→之值．，，，试确定常数．，，满足已知d c b a x f x f x x d cx bx ax x f x x 0)(lim )2(1)(lim )1(2)(1223==-++++=→∞→ 之值．，，试确定已知b a x x bx b a x 4313)(lim 1=+-+++→为什么？＂上述说法是否正确？，则＂若∞=α=α→→)(1lim 0)(lim 00x x x x x x当时，是无穷大，且，证明：当时，也为无穷大．x x f x g x A x x f x g x x x →=→+→000()lim ()()()．用无穷大定义证明：+∞=-+→112lim 1x x x ．用无穷大定义证明：-∞=+→x x ln lim 0 +∞=-π→x x tan lim 02用无穷大定义证明：．用无穷大定义证明：+∞=-+→11lim 01x x＂当时，是无穷小＂是＂＂的：充分但非必要条件必要但非充分条件充分必要条件既非充分条件，亦非必要条件答（）x x f x A f x A A B C D x x →-=→00()lim ()()()()()若，，但．证明：的充分必要条件是．lim ()lim ()()lim ()()lim ()()()x x x x x x x x f x g x g x f x g x b f x b g x g x →→→→==≠=-⋅=00000000 ．其中，：用数列极限的定义证明)10(0lim <<=∞→a a n n ．：用数列极限的定义证明)10(1lim 1<<=∞→a a nn ．：用数列极限的定义证明2152)2(lim 2=++∞→n n n n ___________)1ln(2)cos(sin 1lim 20的值等于x x x +-→[]之值．求极限3sin 01)(cos lim x x x x -→设，试证明：对任意给定的，必存在正数，使得对适含不等式；的一切、，都有成立。

极限练习题含答案

极限练习题含答案极限是数学分析中的一个重要概念，它描述了当自变量趋近于某个值时，函数值的行为。

下面是一些极限练习题及其答案，供同学们学习和练习。

练习题1：求极限\[ \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} \]答案1：根据洛必达法则或者直接使用三角函数的性质，我们可以知道：\[ \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1 \]练习题2：求极限\[ \lim_{x \to \infty} \frac{3x^2 + 2x + 1}{x^2 - 3x + 2} \]答案2：分子和分母同时除以$ x^2 $，得到：\[ \lim_{x \to \infty} \frac{3 + \frac{2}{x} +\frac{1}{x^2}}{1 - \frac{3}{x} + \frac{2}{x^2}} = 3 \]练习题3：求极限\[ \lim_{x \to 0} (1 + x)^{1/x} \]答案3：这是e的极限定义，即：\[ \lim_{x \to 0} (1 + x)^{1/x} = e \]练习题4：求极限\[ \lim_{x \to 1} \frac{1}{x - 1} \]答案4：这是一个无穷小量的倒数，当$ x $趋近于1时，$ x - 1 $趋近于0，所以：\[ \lim_{x \to 1} \frac{1}{x - 1} \text{ 不存在} \]练习题5：求极限\[ \lim_{x \to 0} \frac{\sin 2x}{\sin 3x} \]答案5：分子分母同时除以$ \sin x $，得到：\[ \lim_{x \to 0} \frac{2}{3} \cdot \frac{\sin x}{x} \cdot\frac{\sin 2x}{\sin 3x} = \frac{2}{3} \cdot 1 \cdot 1 =\frac{2}{3} \]练习题6：求极限\[ \lim_{x \to 0} x \cdot \tan x \]答案6：使用洛必达法则或者直接利用三角函数的性质，我们可以得到：\[ \lim_{x \to 0} x \cdot \tan x = \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{\cos x} = 0 \]练习题7：求极限\[ \lim_{x \to \infty} \frac{\sin x}{x} \]答案7：当$ x $趋近于无穷大时，$ \sin x $的值在-1和1之间波动，但相对于$ x $来说，它趋近于0，所以：\[ \lim_{x \to \infty} \frac{\sin x}{x} = 0 \]练习题8：求极限\[ \lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1}{x} \]答案8：这是e的导数的极限定义，即：\[ \lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1}{x} = 1 \]以上练习题和答案可以帮助同学们更好地理解和掌握极限的概念和求解方法。

高数极限习题及答案

练习题1. 极限xx x x x x x x xx x x x x x 1lim)4(11lim)3(15865lim )2(31lim )1(2312232---+-+-+++-∞→→→∞→(5) 已知011lim 2=⎪⎪⎭⎫⎝⎛--++∞→b ax x x x , 求常数a , b .(6) x x x x sin 1sin lim 20→ (7) 211lim 22x x x x ⎪⎪⎭⎫⎝⎛+-∞→(8) xx x21lim 0-→ (9)x x x sin )31ln(lim 0-→(10)⎪⎪⎭⎫⎝⎛-∞→1lim 1xx e x2. 函数的连续性(1) 确定b 的值, 使函数⎩⎨⎧<≥+==-002)(1x e x b x x f y x 在x =0点连续.(2) 确定a , b 的值, 使函数1lim)(2212+-+==-∞→nn n x bxax xx f y 在整个实数轴上连续.(3) 讨论下列函数的连续性, 并判断其间断点的类型.①x xx f sin )(=② ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=≠+-=0001212)(11x x x f xx3. 连续函数的性质 (1) 设1)(1-+++=-x xx x f n n ,证明：)(x f 有一个不大于1的正根.(2) 若),()(∞+-∞∈C x f , 且A x f x =∞→)(lim , 证明: ),()(∞+-∞在x f 内有界.提高1º),()(∞+-∞在x f 内至少有一个最值存在. 2º 对于最值与A 间的任意值C , 存在21,ξξ, 使得C f f ==)()(21ξξ.2. 函数的连续性(1) 确定b 的值, 使函数⎩⎨⎧<≥+==-002)(1x ex b x x f y x在x =0点连续.解:1)(lim )(lim )0(-→→====-+e x f b x f f x x(2) 确定a , b 的值, 使函数1lim)(2212+-+==-∞→nn n x bxax xx f y 在整个实数轴上连续.解:⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧-=++-=-+<->==121121111)(2x b a x ba x bx ax x x x f yb a x f x f b a f x x -====-+=-+→→)(lim 1)(lim 21)1(11 b a x f x f b a f x x +==-==++-=--→-→-)(lim 1)(lim 21)1(_111,0-==b a(3) 讨论下列函数的连续性, 并判断其间断点的类型.①x x x f sin )(=解: x =0为可去间断点.②⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=≠+-=0001212)(11x x x f xx解:1)(lim 1)(lim 0-=≠=-+→→x f x f x x , x =0为跳跃间断点.3. 连续函数的性质 (1) 设1)(1-+++=-x xx x f n n ,证明：)(x f 有一个不大于1的正根.解: 若n=1, 则显然有解x =1. 若n>1, 则01)1(,01)0(>-=<-=n f f , 由零点定理可知在(0, 1)内至少有一个根..(2) 若),()(∞+-∞∈C x f , 且A x f x =∞→)(lim , 证明: ),()(∞+-∞在x f 内有界.解: 由A x f x =∞→)(lim 可知: 0>∃X , 当X x >时, 1)(<-A x f , 故1)(+<A x f由),()(∞+-∞∈C x f 可知]1,1[)(+--∈X X C x f , 故01>∃M ,当1+<X x 时, 1)(M x f <取}1,max{1+=A M M 即可.提高1º),()(∞+-∞在x f 内至少有一个最值存在. 2º 对于最值与A 间的任意值C , 存在21,ξξ, 使得C f f ==)()(21ξξ.证明: 若A x f ≡)(, 则显然结论成立.设存在A x f >)(0, 则存在X >0, 当X x ≥时, 有2)()(0Ax f A x f -<- 于是: )(2)()(00x f A x f x f <+< 由],[)(X X C x f -∈, 可知存在],[X X -∈ξ{})(],[:)(max )(0x f X X x x f f ≥-∈=ξ从而),()(∞+-∞在x f 内有最大值)(ξf .对于任意的C , )(ξf C A <<, 存在X 1>0, 当1X x ≥时, 有 C AC x f <+<2)( 于是有CAC X f <+<±2)(1. 分别在闭区间],[],,[11X X ξξ-上使用介值定理即可得结论2º.。

高等数学习题_第1章_函数与极限 - 副本

高等数学一、选择题（共 191 小题，100 分）22、为时，，则当设函数)(01sin )(x f x xx x f →=）答（．无穷小量．　．有界，但非无穷小量．无穷大量．无界变量D C B A ;; ; 24、是时，，则当设函数)(1cos)(x f x xx x f ∞→= ）答（．无穷大量．．无穷小量；；．无界，但非无穷大量．有界变量； D C B A33、的是时，当3)cos 1(sin 0x x x x -→答（）．低阶无穷小．．高阶无穷小；．等价无穷小；等价无穷小；．冈阶无穷小，但不是 D C B A34、比较是（　）与时，当2)cos 1(sin 20x x x x -→ 答（）．低阶无穷小．．高阶无穷小；．等价无穷小；；．冈阶但不等价无穷小 D C B A36、是下列极限中，不正确的答（）．．；．；．；．0)1sin(lim 0)21(lim 0lim 4)1(lim 11013=-===+→→→→--x x D C e B x A x x x xx x 37、的值为存在，则，且，，设k x f x x x xkx x f x )(lim 030tan )(0→⎪⎩⎪⎨⎧≤+>= 答（）．．；　．；　．；　．4321D C B A38、，则，，设⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<++>-=0110cos 1)(1x e x x x x x f x 答（）存在．不存在，．不存在；存在，．；．；．)(lim )(lim )(lim )(lim )(lim )(lim 0)(lim 000x f x f D x f x f C x f x f B x f A x x x x x x x -+-+-+→→→→→→→≠=39、　）答（．不存在．；　．；　．；　．，则，，，设函数D C B A x f x x x x x e x f x x 011)(lim 0cos 0 10 2)(0-=⎪⎩⎪⎨⎧<-=>-=→40、答（）．．；　．　．；　．的值为，则已知2277516lim 21--=-++→D C B A a x ax x x41、已知，则的值为．；　．；　．；　．．答（）lim x x x c x C A B C D →-+-=--12311112344、下列极限计算正确的是．；　．；．；　．．答（）A x xB x xx xC x x xD n e n n n x x n nlim lim sin sin lim sin lim()→∞→→∞→→∞+=+-=-=+=22032111011245极限的值为．；　．；　．；　．．答（）lim x x x x x A B C D →-+-+2226881201122 48、已知，则的值为．；　．；　．；　．．答（）limsin ()x kxx x k A B C D →+=----0233326650、极限．；　．；　．；　．．答（）limsin x xx A B C D →-=-∞ππ10151、极限的值为．；．　．　．．答（）limtan sin x x xxA B b C D →-∞03011253、极限的值是．；　．；　．；　．．答（）lim x x x x A B e C e D e →∞----+⎛⎝ ⎫⎭⎪212112112254、极限的值为（　）．；　．；　．；　．．答（）lim()x x x x A e B e C e D e →∞+---+114224455、答（）．．；　．；　．；　．极限22101)21(lim e D e C eB e A x xx -→=-56、下列等式成立的是．；　．；．；．．答（）A x eB x eC x eD xe x x x x x x x x lim()lim()lim()lim()→∞→∞→∞+→∞++=+=+=+=121111112222221257、极限的值为．；　．；　．；　．答（）lim()x xxA eB eC eD e→∞---1122141458、已知，则的值为．；　．；　．；　．．答（）lim()x xkx e k A B C D →+=-01111122 60、）答（．低阶无穷小量．．高阶无穷小量；量；．同阶但非等价无穷小．等价无穷小量；的是无穷小量－时，无穷小量当D C B A x xxx 12111-+→61、答（）．．；．；．；　．为等价无穷小量的是时，与当 )sin ( 11)1ln( 2sin 0x x x D x x C x B x A x x +--+-→62、极限．；　．；　．；　．．答（）lim(cos )x xx A B e C D e →-=112120164、下列极限中不正确的是．；　．；．；．．答（）A x xB xx C x x D xx x x x x lim tan sin lim coslim sin()lim arctan →→-→→∞=+=---==011232322121120ππ65、答（）．．；　．；　．；　．的值为（）极限23326103sin 3cos 1lim0D C B A xx xx -→66、极限的值为（）．；　．；　．；　．．答（）lim ()x x xe e x x A B C D →--+021012367、极限．；　．．；　．．答（）lim(cos )x x x A B C D e →-=1120170、答（），　，，　，，则必有设.104)( ; 64)(; 104)( ; 52)(14lim 231=-=-==-=====-+--→A a D A a C A a B A a A A x x ax x x71、（）答高阶的无穷小是比高阶的无穷小是比是等价无穷小与等价无穷小是同阶无穷小，但不是与时（），则当，设.)()()(; )()()(; )()()(; )()()(133)(11)(3x x D x x C x x B x x A x x x xxx αββαβαβα→-=β+-=α72、答（）不存在，但不是无穷大为无穷大　等于　等于之值.)( ; )(;0)( ; 1)(11sin limD C B A xx x →73、答（）不存在，但不是无穷大为无穷大　等于　等于 .)( ;)(;2)( ; 0)(2coslim 2D C B A x x x +→75、若，当时为无穷小，则，　，，　，答（）f x x x ax b x A a b B a b C a b D a b ()()()()()=+--→∞==-===-=-=-=211111111176、f x x xx A x B x C x f x D x f x ()sin ()()()()()()()()=⋅<<+∞→+∞→+∈+∞→+110000　当时为无穷小当时为无穷大当，时有界当时不是无穷大，但无界．答（）77、设，，则当时　与是同阶无穷小，但不是等价无穷小是比高阶的无穷小与不全是无穷小αβαβαβαβαβ=+=→+∞ln()~()()()x xarcctgx x A B C D 1答：（）78、答（）小量的是时，下列变量中为无穷当1)1)((ln 1)()1ln()(1sin 1)(0122-+-+→x D x C x B x x A x79、　）答（穷大的是时，下列变量中，为无当x D x C x B xx A x 1cotarc )(1arctan )(ln )(sin )(0+→ 80、当时，下列无穷小量中，最高阶的无穷小是答（）x A x x B x C x x D e exx→++---+--0111222()ln()()()tan sin ()81、当时，在下列无穷小中与不等价的是答（）x x A x B x C x x D e exx→-++--+--01211122222()cos ()ln ()()82、设　当当　且，则，，，可取任意实数，可取任意实数答（）f x bx x x a x f x A b a B b a C b a D b a x ()lim ()()()()()=+-≠=⎧⎨⎪⎩⎪=======→11003336336083、设，当，当　适合则以下结果正确的是仅当，，仅当，，可取任意实数，，可取任意实数，，都可能取任意实数答（）f x x x bx x a x f x AA a b AB a A bC b A aD a b A x ()lim ()()()()()=++-≠=⎧⎨⎪⎩⎪===-====-=→212111434443484、答（）可取任意实数可取任意实数可取任意实数，可取任意实数，间正确的关系是，，则，且当，，当设2)(2)(2)(2)()(lim 0 0cos 1)(222a Ab a D aA b a C a A b aB aA b a A A b a A x f x b x x ax x f x =======⎪⎩⎪⎨⎧=≠-=→85、aA A b a D Ab a a C b A b a B a A b a A A b a A x f x b x xax d x f x ln )()()()()(lim 0 0)1ln()(0======⎪⎩⎪⎨⎧=≠+=→仅取可取任意实数，而，可取任意实数且可取任意实数，，可取任意实数，，之间的关系为，，则，，且当，　，当设答：（）86、ab A a D a A b a C b A b a B A b a A A b a Ax f x b x x e x f x ax ======⎪⎩⎪⎨⎧=≠-=→可取任意实数且可取任意实数，，可取任意实数，，可取任意实数，，之间的关系为，，则，且，当，当设)()()(1)()(lim 001)(0答：()88、以下极限式正确的是答（）()lim()()lim()()lim()()lim()A x e B x e C x e D xx x x x x x x x →+→+-→∞-→∞-+=-=-=+=00111111111191、lim sin ()()()()x x xA B C D →∞===∞110之值不存在但不是无穷大答（）99、lim(cos ).....x x xA B C D →-=-0212220 不存在答：（）102、答（）不存在 .2.2.2.312lim2D C B A x x x ±-=++∞→ 答（）．．．．21)21(lim 2sin 0D e C e B A x xx =+→111、（）答阶的是时，下述无穷小中最高当xx D x C x B x A x sin 11cos 1022----→112、答（）．．　．　．　．是等价无穷小，则与时，若当232123211cos )(1)1()(0312--=-=β-+=α→D C B A a x x ax x x 114、lim ()lim ()()x x x x f x f x a f x x x A B C D →→--===0000，是函数在处连续的（）．充分条件　．必要条件．充分必要条件　．既非充分又非必要条件答（）115、函数，，，在点的连续性是（）．连续；．左连续，右不连续；．右连续，左不连续；．左右都不连续．答（）f x e x x x A B C D x ()=-≠=⎧⎨⎪⎩⎪=-101001116、）答（．．．．（）．处连续，则　，在，，设函数2420111132)(2D C B A a x x a x x x x x f --=-=⎪⎩⎪⎨⎧-=-≠+--= 117、）答（．．．．的值等于（）处连续，则在若，　，设函数2121120)(020cos )( 2-=⎪⎩⎪⎨⎧≥+<+=D C B A a x x f x x a x x e x f x118、　）答（．．．．（）点连续，则　，在，，设eD e C e B e A k x x ke x xxx f x 21222000cos 1)(1==⎪⎩⎪⎨⎧≤>-=-119、）答（．．．．的最大的取值范围是点连续，则　，在，　，若函数100100001sin )(>>≥≥=⎪⎩⎪⎨⎧=≠=K D k C k B k A k x x x x x x f k 120、答（）．．．．（）处连续，则在　，如果，，设函数43210)(020cos 3)(D C B A b x x f x b x x x x f ==⎩⎨⎧≥+<= 123、答（）．．．．的值是（）处连续，则在　，则，，设21210)(020tan )(--=⎪⎩⎪⎨⎧≤+>=D C B A k x x f x x x x kxx f 124、（）答，，．　，，．，，．，　，．处不连续的是（）下列函数在⎪⎩⎪⎨⎧<-+≥--=⎩⎨⎧<-≥+=⎪⎩⎪⎨⎧=≠=⎪⎩⎪⎨⎧====-01)1(2012)(00)1ln()(0001sin )(000)(0221x x x x x x f D x x x x x f C x x xx x f B x x e x f A x x设，　，，　，则在处（）．连续；．右连续，但左不连续；．右不连续，而左连续；．左、右都不连续；答（）f x x x x x e x x f x x A B C D ()sin ()=>=+<⎧⎨⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪=0101110126、设，，，　，则在处（）．连续；．右连续，但左不连续；．右不连续，而左连续；．左、右都不连续．答（）f x xxx x x e x f x x A B C D x ()cos ()=->=--<⎧⎨⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪=1012011200 127、[]下列函数在点连续的是（）．；．，，　．，，　．．答（）x A f x x x B f x xxx x C f x x xx x D f x x x ==≠=⎧⎨⎪⎩⎪=≠=⎧⎨⎪⎩⎪=001010001()()()sin ()sin128、下列函数在处不连续的为（）．．，，．，，．，，答（）x A f x x B f x xxx x C f x x x x x D f x xxx x x ===≠=⎧⎨⎪⎩⎪=≠=⎧⎨⎪⎩⎪=><⎧⎨⎪⎩⎪001001000()()sin ()sin ()sin cos函数的不连续点（）．仅有一点；．仅有一点；．仅有一点；　．有两点和．答（）f x x x A x B x C x D x x ()()ln()=-+===-==111101012130、　答（）是第一类．是第二类，．是第一类；是第二类，．都是第二类；，．都是第一类；，．型为（），则此函数间断点的题、的间断点为函数212121212123122=======+--=x x D x x C x B x A x x x x y131、　答（）．，，．有三点；，．只有两点；，．只有两点；　，．只有两点的间断点是（）函数11011101011111-=-=-==-+-=x D x C x B x A xx x y132、答（）处连续．处间断，在在．处间断；处连续，在在．处都连续；，在．处都间断；，在．则有（），，，设函数21)(21)(21)(21)(22221132)(2========⎪⎩⎪⎨⎧>-≤<≤-+=x x x f D x x x f C x x x f B x x x f A x x x x x x x x f133、（）答都是第二类间断点．，．为第一类间断点；为第二类间断点，．为第二类间断点；为第一类间断点，．都是第一类间断点；，．点的类型为（）的二个间断点，则间断为，，且设10101010)(10)1(2cos)(-=====-==-π=x x D x x C x x B x x A x f x x x x x f141、）答（．．．．点连续，则　，在，，设422141)(0120)1ln(1sin 1)(2D C B A k x x x kx x x x f ==⎪⎩⎪⎨⎧=≠+-+=142、极限的值为（）．．．．答（）limsin x x x x eA B C D →+--0111012122144、）答（．．．．的值是（）极限619131313cos ln cos ln lim0D C B A x xx -→ 145、极限的值为（）．．．．答（）limln x e x x eA B e C e D →---1101147、极限的值是．．．．答（）lim ln()ln()x x x A B C D →+---02212132132349设函数，，在，上连续，则，的值，用数组，可表示为．，．，．，．，答（）f x x x x ax b x x x a b a b A B C D (),()()()()()()()=+-<+≤≤+>⎧⎨⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪-∞+∞1100111123232121120 155、答（）任意，．，．，．，．表示为（），用数组，连续，则常数上，　，在，，，设函数)1()01()10()11()()(11102cos 210sin )(b D C B A b a b a x x bx x x x x x axx f ∞+-∞⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧>--≤≤+<=π164、答（）振荡间断点．　无穷间断点；　可去间断点；　连续点；的是，则点设)()()()()(02cos)(2C C B A x f x x xx x f =+=f x x x xf x A x B x C x x D x x x ()ln ()()=++==-==-==-=2210101011，则的可去间断点为．仅有一点．仅有一点．有两点及．有三点，及答（）　）答（．．为任意实数，．，，．处连续则有（）　在，当，当2)(2)(0)(20)(002sin 0)(2bb a D b a C b a B b a A x x xbx x bx a x f =+=====⎪⎩⎪⎨⎧>≤+= 180、f x eex f x A B C D x x()()()()()()=-+=11011，点是的．可去间断点．跳跃间断点．无穷间断点．连续点答（）181、答（）．连续．仅是右连续．仅是左连续．有可去间断点处，则在设)()()()()(1)11()(D C B A x f x x x x f =-+=182、f x x x xx x xx f x A x B x C x x D ()sin ()=-+-≤>⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪====44202002022，当，当则关于的连续性的正确结论是（）．仅有一个间断点．仅有一个间断点．有两个间断点及．处处连续答（）187、要使在处连续，应补充定义的值为．．．．答（）f x x x f A B e C e D ex ()()()()()()()=+=----2000222412188、答（）的取值应为：处连续，在，要使　设1)(21)(0)(1)()0(0)()0(sin sin )(-=≠+-=D C B A f x x f x xx xx x f189、设，当，　当　则．处处连续．有一个间断点．有一个间断点．有及两个间断点答（）f x x x x x f x A B x C x D x x ()ln ()()()()()()=-<≥⎧⎨⎪⎩⎪====13113003、二、填空题（共 39 小题，100 分）21、．____________)31(lim sin 20=+→xx x22、．，则设____________8)2(lim ==-+∞→a ax a x xx 24、__________1)sin 1(lim 0=-+→xx x x25、_____________1)21(lim 230=-+→xx x x 27、___________)1ln(2)cos(sin 1lim20的值等于x x x +-→30、____________lim的值等于xx x e e x-→-32、_____________69lim 223的值等于---→x x x x34、_____________000)(sin 2sin ==⎪⎩⎪⎨⎧=≠-=a x x a x xe e xf xx 处连续则　在，，设 35、. ___________0 , 001sin )(2==⎪⎩⎪⎨⎧=≠-+=a x x a x xe x xf ax 处连续，则在，当，当 37、_________)0(0)()0(2cot )(==≠=f x x f x x x x f 点处连续，则在，要使设三、计算题（共 200 小题，100 分）1)63(lim -∞→++x x xx 求 132、研究极限．lim x x x x →∞++-2231计算极限lim x x x x x x →-+---23223322154、计算极限limx x x x →+-++-021111155、求极限　，为非零常数limtan sin ()x mxnx m n →0171、求极限．limln cos x xx →02179、求极限．lim()x xx x →∞+-21213 180、求极限lim()x xx →-0112188、求极限．limx x e x →-051189、求极限．limx x x e e x →-+-022191、求极限　，．lim()x x a xa a →->≠03101。

高数上习题及答案极限

x +1
⎞ ⎟ ⎟ ⎟
⎝ 2x ⎠
3
=
lim
x→∞
⎛⎜1 ⎝ ⎛⎜⎝1
+ +
3 2x 1 2x
x +1
⎞ ⎟ ⎠
x +1
⎞ ⎟⎠
3
⎡
⎤ 2x 2
=
lim
⎢⎢⎢⎣⎛⎜⎝ 1 +
3 2x
⎞ ⎟ ⎠
3
⎥
⎥ ⎥⎦
⎛⎜ 1 + ⎝
3 2x
⎞ ⎟ ⎠
x→∞
1
⎡⎢⎢⎣⎛⎜⎝1
+
1 2x
2
⎞ ⎟ ⎠
x
⎤ ⎥ ⎥⎦
ln lim y = ln e0 , lim y = 1
x→π
x→π
2
2
5
解： lim sin xln x
lim xsin x = lim esin xln x = ex→0+
x→0+
x→0+
ln x
lim sin xln x = lim
x→0+
1 x→0+
sin x
1
= lim
x→0+
x⋅
−cos x sin2 x
⎛⎜1
+
⎠⎝
3 n
⎞ ⎟ ⎠
=1
（18） lim sin 5x = （）
x→π sin 3x
（a） − 4 （b）-1 （c）1
3 分析：lim sin 5x = lim 5cos5x = 5
x→π sin 3x x→π 3cos 3x 3
（d） 5
3
（22） lim x2 +1 − 3x = （）

高数极限基础练习题

高数极限基础练习题一、数列极限1. 计算下列数列的极限：(1) $\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n}$(2) $\lim_{n \to \infty} \frac{n+1}{2n+3}$(3) $\lim_{n \to \infty} \frac{n^2 1}{n^2 + 1}$(4) $\lim_{n \to \infty} \frac{\sqrt{n^2 + n}}{n + 1}$ 2. 判断下列数列极限是否存在，若存在，求出其极限值：(1) $\lim_{n \to \infty} (1)^n$(2) $\lim_{n \to \infty} \sin(n\pi)$(3) $\lim_{n \to \infty} \frac{n!}{n^n}$二、函数极限1. 计算下列函数的极限：(1) $\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x}$(2) $\lim_{x \to 1} \frac{x^2 1}{x 1}$(3) $\lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}$(4) $\lim_{x \to 0} \frac{e^x 1}{x}$2. 判断下列函数极限是否存在，若存在，求出其极限值：(1) $\lim_{x \to 0} \frac{\sin 3x}{x}$(2) $\lim_{x \to \infty} \frac{\ln x}{x}$(3) $\lim_{x \to \infty} (1 + \frac{1}{x})^x$三、无穷小与无穷大1. 判断下列表达式是否为无穷小：(1) $\frac{1}{x^2}$ 当 $x \to \infty$(2) $\sin \frac{1}{x}$ 当 $x \to \infty$(3) $e^{x}$ 当 $x \to \infty$2. 判断下列表达式是否为无穷大：(1) $x^3$ 当 $x \to \infty$(2) $\ln x$ 当 $x \to \infty$(3) $\frac{1}{\sqrt{x}}$ 当 $x \to 0^+$四、极限运算法则1. 利用极限运算法则计算下列极限：(1) $\lim_{x \to 0} (3x^2 + 2x 1)$(2) $\lim_{x \to 1} \frac{x^3 3x^2 + 2x}{x^2 2x + 1}$(3) $\lim_{x \to \infty} (x^3 2x^2 + 3)$2. 利用极限的性质，计算下列极限：(1) $\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} \cdot\frac{1}{\cos x}$(2) $\lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{x^2 + 1}}{x + 1}$(3) $\lim_{x \to 0} \frac{e^x e^{x}}{2x}$五、复合函数极限1. 计算下列复合函数的极限：(1) $\lim_{x \to 0} \frac{\sin(\sqrt{x^2 + 1})}{x}$(2) $\lim_{x \to \infty} \frac{\ln(x^2 + 1)}{x}$(3) $\lim_{x \to 0} \frac{e^{x^2} 1}{x^2}$2. 判断下列复合函数极限是否存在，若存在，求出其极限值：(1) $\lim_{x \to 0} \frac{\sin(\tan x)}{x}$(2) $\lim_{x \to \infty} \frac{\ln(e^x + 1)}{x}$(3) $\lim_{x \to 0} \frac{1 \cos(\sqrt{x})}{x}$六、极限的应用1. 计算下列极限问题：(1) 设 $f(x)2. 已知函数 $f(x) = \frac{x^2 1}{x 1}$，求 $\lim_{x \to 1} f(x)$。

(完整word版)高等数学极限习题100道

设，求证：．lim ()lim ()x x x x f x A f x A →→==00 求极限lim sinsin x x x x →021[]求极限lim cosln()cosln x x x →+∞+-1 求极限．lim sin x x x→+011求极限．limarctan x xxx →∞+2112 求极限lim ()x x x e →∞+11 求极限limarctan arcsin x x x →∞⋅1 求极限．lim x x x →-+012122 )sin 1(sin lim n n n -+∞→求数列的极限[]Ax f Au f u x u x x x u u x x =ϕ=≠ϕ=ϕ→→→)(lim )(lim )()(lim 000试证：，又，且设设试确定实数，之值，使得：当时，为无穷小；当时，为无穷大。

f x x xa b x a f x x b f x ()ln ()()=-→→1设，问：当趋于何值时，为无穷小。

lim ()()()x x f x A x x x x x x f x f x →=><-<<-<-<000010201221εδδδε．，试用极限定义证明：已知：A x f A x f x x x x =>=→→)(lim0)(lim 0{}{}{}是否也必发散？同发散，试问数列与若数列n n n n y x y x +求的表达式f x x x x n n n ()lim =-+→∞+2121设　其中、为常数，，求的表达式；确定，之值，使，．f x x x a bx x a b a f x a b f x f f x f n n n x x ()lim sincos()()()()()lim ()()lim ()()=+++<<==-→∞-→→-2121121021211ππ求的表达式f x x n n ()lim(ln )=+→∞+11221 的表达式．求n n n n n xx x x x f ---+∞→++=12lim )( ．，求，设)(lim )()()()(1)(33)(22x f x f x x x x f x x x n n n n ∞→=ϕ++ϕ+ϕ+=+-=ϕ 求的表达式．f x x x xx x xx n n ()lim ()()=+++++++⎡⎣⎢⎤⎦⎥→∞-11122221 求的表达式．f x x x n nn ()lim =+→∞1 ．，求，其中设n n k nk k n S k b b k S ∞→=+==∑lim )!1(1求的表达式。

高等数学极限练习题

高等数学极限练习题高等数学极限练习题高等数学是大学数学中的一门重要课程，其中极限是一个基础概念。

极限是数学分析中的一个重要概念，它描述了函数在某个点附近的行为。

通过极限的概念，我们可以研究函数的连续性、导数和积分等重要性质。

为了更好地理解和掌握极限的概念，我们需要进行大量的练习。

下面我将给大家介绍一些高等数学极限练习题，希望能够对大家的学习有所帮助。

1. 计算极限：(a) $\lim_{x \to 0} \frac{\sin(x)}{x}$(b) $\lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac{1}{x}\right)^x$(c) $\lim_{x \to \infty} \frac{x^2 + 3x + 2}{2x^2 - x + 1}$这些练习题涉及了常见的极限计算方法。

对于第一个问题，我们可以利用泰勒展开式来近似计算。

对于第二个问题，我们可以利用指数函数的性质来计算。

对于第三个问题，我们可以进行分子分母同时除以$x^2$，然后利用极限的性质进行计算。

2. 计算导数：(a) $f(x) = \ln(x^2 + 1)$，求$f'(x)$(b) $f(x) = \arcsin(\sqrt{x})$，求$f'(x)$(c) $f(x) = \frac{1}{x^3}$，求$f'(x)$这些练习题要求我们计算函数的导数。

对于第一个问题，我们可以利用链式法则和对数函数的导数性质来计算。

对于第二个问题，我们可以利用反三角函数的导数性质来计算。

对于第三个问题，我们可以利用幂函数的导数性质来计算。

3. 计算定积分：(a) $\int_0^1 x^2 dx$(b) $\int_0^{\pi/2} \sin(x) dx$(c) $\int_1^e \frac{1}{x} dx$这些练习题要求我们计算函数的定积分。

对于第一个问题，我们可以利用定积分的性质和幂函数的积分公式来计算。

专升本极限练习题基础

专升本极限练习题基础一、选择题1. 极限lim(x→0) (sin(x)/x) 的值是：A. 0B. 1C. -1D. ∞2. 函数 f(x) = x^2 - 1 在 x = 1 处的左极限是：A. 0B. 1C. -1D. 23. 函数 f(x) = x^3 - 6x^2 + 11x - 6 在 x = 2 处的极限是：A. 0B. 1C. 2D. 3二、填空题4. 计算极限lim(x→1) (x^2 - 1)/(x - 1) = ____。

5. 函数 f(x) = sin(1/x) 在 x = 0 处的极限是 ____。

6. 函数 f(x) = x^2 + 3x - 2 在 x = -1 处的右极限是 ____。

三、简答题7. 解释什么是函数的左极限和右极限，并给出一个例子。

8. 说明函数在某一点连续的定义，并举例说明一个函数在某一点不连续的情况。

四、计算题9. 计算极限lim(x→∞) (3x^2 + 5x - 2)/(x^2 + 3x + 1)。

10. 计算极限lim(x→0) [(1 - cos(x))/x^2]。

五、证明题11. 证明极限lim(x→0) (1 - cos(x))/x^2 = 1/2。

12. 证明函数 f(x) = x^3 在 x = 0 处连续。

六、应用题13. 某物体从静止开始下落，下落距离 s 与时间 t 的关系为 s(t) = 1/2 * g * t^2，其中 g 是重力加速度。

求物体在 t = 0 时刻的下落速度。

14. 某工厂生产的产品数量 Q 与生产时间 t 的关系为 Q(t) = 100 * t - 1/2 * t^2，求工厂在 t = 10 时的生产速度。

七、讨论题15. 讨论函数 f(x) = x^2 在 x = 2 处的连续性，并说明理由。

16. 讨论函数 f(x) = |x| 在 x = 0 处的连续性，并说明理由。

八、附加题17. 假设你有一个函数 f(x) = x^2 - 4x + 3，求其在 x = 2 处的极限，并解释其几何意义。

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高等数学极限习题100道