割补法在立体几何中的运用[论文]

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备战2024高考数学二轮复习讲义第3讲-割补思想在立体几何中的应用

第3讲割补思想在立体几何中的应用割补法是数学中最重要的思想方法之一，主要分为割形与补行，是将复杂的，不规则的不易认识的几何体或几何图形，分割或补充成简单的、规则的、易于认识的几何体或图形，从而达到解决问题的目的。

割补法重在割与补，巧妙对几何体过几何图形实割与补，变整体的为局部，化不规则为规则，化陌生为熟悉，化抽象为直观。

割补法在立体几何中体现的主要的题型就是几何体的切等问题。

【应用一】割的思想在多面体的体积及几何体的内切球中的运用割的思想主要体现两种题型：一是求复杂几何体的体积、表面积等问题，此类问题通过割把复杂的几何体割成几个简单的几何体。

二是求几何体内切球的半径、体积等问题。

此类问题主要是通过球心与几何体的各点割成锥，然后运用等积法求半径。

【例1.1】已知一个三棱锥的所有棱长均为2，则该三棱锥的内切球的体积为________．【例1.2】【2020年新课标3卷理科】已知圆锥的底面半径为1，母线长为3，则该圆锥内半径最大的球的体积为_________．【思维提升】以三棱锥P －ABC 为例，求其内切球的半径．方法：等体积法，三棱锥P －ABC 体积等于内切球球心与四个面构成的四个三棱锥的体积之和；第一步：先求出四个表面的面积和整个锥体体积；第二步：设内切球的半径为r ，球心为O ，建立等式：V P －ABC ＝V O －ABC ＋V O －PAB ＋V O －PAC ＋V O －PBC ⇒V P －ABC ＝13△ABC ·r ＋13S△PAB·r ＋13S △PAC ·r ＋13S △PBC ·r ＝13(S △ABC ＋S △PAB ＋S △PAC ＋S △PBC )·r ；第三步：解出r ＝3V P －ABC S O －ABC ＋S O －PAB ＋S O －PAC ＋S O －PBC ＝3VS 表．秒杀公式(万能公式)：r ＝3V S 表【例1.3】（2023·河北唐山·统考三模）（多选）《九章算术》是我国古代的数学名著，书中提到底面为长方形的屋状的楔体（图示的五面体)EF ABCD -．底面长方形ABCD 中3BC =，4AB =，上棱长2EF =，且EF 平面ABCD ，高（即EF 到平面ABCD 的距离）为1，O 是底面的中心，则（）A ．EO 平面BCF【变式1.1】（2023·辽宁·辽宁实验中学校考模拟预测）如图①，在平行四边形ABCD中，AB ===ABD △沿BD 折起，使得点A 到达点P 处（如图②），=PC P BCD -的内切球半径为______.【变式1.2】（2023·辽宁沈阳·东北育才学校校考模拟预测）已知一正四面体棱长为4，其内部放置有一正方体，且正方体可以在正四面体内部绕一点任意转动，则正方体在转动过程中占据的空间体积最大为__________．【变式1.3】（2022·江苏通州·高三期末）将正方形ABCD 沿对角线BD 折成直二面角A ′－BD －C ，设三棱锥A ′－BDC 的外接球和内切球的半径分别为r 1，r 2，球心分别为O 1，O 2.若正方形ABCD 的边长为1，则21r r =________；O 1O 2＝__________.【应用二】补的思想在立体几何中几何体外接球中的应用解决球与其他几何体的切、接问题，关键在于仔细观察、分析，弄清相关元素的关系和数量关系，选准最佳角度作出截面(要使这个截面尽可能多地包含球、几何体的各种元素以及体现这些元素之间的关系)，达到空间问题平面化的目的．2．记住几个常用的结论：（1）正方体的棱长为a，球的半径为R.①对于正方体的外接球，2R；②对于正方体的内切球，2R＝a；③对于球与正方体的各棱相切，2R.（2）在长方体的同一顶点的三条棱长分别为a，b，c，球的半径为R，则2R=.（3）正四面体的外接球与内切球的半径之比为3∶1.3．构造法在定几何体外接球球心中的应用（1）正四面体、三条侧棱两两垂直的正三棱锥、四个面都是直角三角形的三棱锥，可将三棱锥补形成长方体或正方体；（2）同一个顶点上的三条棱两两垂直的四面体、相对的棱相等的三棱锥，可将三棱锥补形成长方体或正方体；（3）若已知棱锥含有线面垂直关系，则可将棱锥补形成长方体或正方体；（4）若三棱锥的三个侧面两两垂直，则可将三棱锥补形成长方体或正方体【例2.1】（2022·广东潮州·高三期末）在《九章算术》中，将四个面都是直角三角形的四面体称为鳖臑，在鳖臑A-BCD中，AB⊥平面BCD，CD⊥AD，AB=BD，已知动点E从C点出发，沿外表面经过棱AD上一点到点B，则该棱锥的外接球的表面积为_________．【思维提升】墙角模型是三棱锥有一条侧棱垂直于底面且底面是直角三角形模型，用构造法(构造长方体)解决．外接球的直径等于长方体的体对角线长(在长方体的同一顶点的三条棱长分别为a，b，c，外接球的半径为R，则2R ＝a 2＋b 2＋c 2．)，秒杀公式：R 2＝a 2＋b 2＋c 24．可求出球的半径从而解决问题．有以下四种类型：【例2.2】（2022·广东·铁一中学高三期末）已知四面体A BCD -中，5AB CD ==，10AC BD ==，13BC AD ==，则其外接球的体积为______.【思维提升】棱相等模型是三棱锥的三组对棱长分别相等模型，用构造法(构造长方体)解决．外接球的直径等于长方体的体对角线长，即2222R a b c =++(长方体的长、宽、高分别为a、b、c)．秒杀公式：R2＝x2＋y2＋z28(三棱锥的三组对棱长分别为x、y、z)．可求出球的半径从而解决问题．【变式2.1】（2023·湖南邵阳·统考三模）三棱锥-P ABC 中，PA ⊥平面ABC ，4,223,PA AC AB AC AB ===⊥，则三棱锥-P ABC 外接球的表面积为__________.【变式2.2】已知三棱锥A BCD -，三组对棱两两相等，且1AB CD ==，3AD BC ==，若三棱锥A BCD -的外接球表面积为92π．则AC =________．【变式2.3】已知三棱锥A －BCD 的四个顶点A ，B ，C ，D 都在球O 的表面上，AC ⊥平面BCD ，BC ⊥CD ，且AC ＝3，BC ＝2，CD ＝5，则球O 的表面积为()A ．12πB ．7πC ．9πD ．8π【变式2.4】(2019全国Ⅰ)已知三棱锥P －ABC 的四个顶点在球O 的球面上，PA ＝PB ＝PC ，△ABC 是边长为2的正三角形，E，F分别是PA，AB的中点，∠CEF=90°，则球O的体积为()．A．62πD．6π8πB．64πC．6巩固练习1、【2019年新课标2卷理科】中国有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一．印信的形状多为长方体、正方体或圆柱体，但南北朝时期的官员独孤信的印信形状是“半正多面体”（图1）.半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体.半正多面体体现了数学的对称美．图2是一个棱数为48的半正多面体，它的所有顶点都在同一个正方体的表面上，且此正方体的棱长为1．则该半正多面体共有________个面，其棱长为_________．2、（2022·湖北江岸·高三期末）如图，该几何体是由正方体截去八个一样的四面体得到的，若被截的正方体棱长为2，则该几何体的表面积为（）A．1233++D．63+C．633+B．12433、（2023·山西临汾·统考一模）《九章算术·商功》提及一种称之为“羡除”的几何体，刘徽对此几何体作注：“羡除，隧道也其所穿地，上平下邪.似两鳖臑夹一堑堵，即羡除之形.”羡除即为：三个面为梯形或平行四边形（至多一个侧面是平行四边形），其余两个面为三角形的五面几何体.现有羡除ABCDEF如图所示，底面ABCD为正方形，4EF=，其余棱长为2，则羡除外接球体积与羡除体积之比为（）A．22πB．42πC．82πD．2π3A ．18B ．275、正四面体的各条棱长都为．6、在三棱锥A －BCD 中，AB ＝CD ＝2，AD ＝BC ＝3，AC ＝BD ＝4，则三棱锥BCD A -外接球的表面积为________．7、在三棱锥A －BCD 中，AB ＝CD ＝6，AC ＝BD ＝AD ＝BC ＝5，则该三棱锥的外接球的体积为____．8、（2023·湖南郴州·统考三模）已知三棱锥-P ABC 的棱长均为4，先在三棱锥-P ABC 内放入一个内切球1O ，然后再放入一个球2O ，使得球2O 与球1O 及三棱锥-P ABC 的三个侧面都相切，则球2O 的表面积为__________.第3讲割补思想在立体几何中的应用割补法是数学中最重要的思想方法之一，主要分为割形与补行，是将复杂的，不规则的不易认识的几何体或几何图形，分割或补充成简单的、规则的、易于认识的几何体或图形，从而达到解决问题的目的。

割补法在高中立体几何解题中的应用

将通过教学过程中的常见实例来谈谈割补法在
正方体棱长为１，从而外接球半径Ｒ一，得Ｓ球
一
３．故选Ａ．变式１三棱锥Ｐ～ＡＢＣ满足ＰＡ—ＰＢ —
ＰＣ＝＝＝２， △ ＡＢＣ为正三角形，其边长为２ √ ２，四个
仙 ∞ ＥＦ — 棱柱～棱锥一．
ＡＥＦ的面积为丢ｓ．
由于ＶＡＥｎｃ：专・＾・（鲁＋ｓ＋导）一
Ｓｈ，则剩余不规则几何体的体积为Ｖ一Ｖ —
Ｖ — Ｓｈ一７Ｓｈ
变式３过正方形ＡＢＣＤ的顶点Ａ作ＰＡＪ Ⅲ 平面ＡＢＣＤ，设ＰＡ —ＡＢ，求平面ＰＡＢ和平面
关键词割补法；立体几何；解题
割补法就是通过几何体的分割或补形进而发现未知几何体和已知几何体内在联系的一种方法．这种方法蕴含了一种构造思想，同时也反应了对立统一的辩证思想．掌握这种方法对培养学生的数学素养及创新意识都有重要意义．本文
体积．
一
ＡＰＢ＝
ＡＰｃ
ＢＰＣ一６０。求：
国
图３图４
三棱锥Ｐ— ＡＢＣ的
体
４分析１作ＢＣＮ６口
的中点Ｄ，连接ＰＤ、ＡＤ，过Ｐ作ＰＨｊＩＡＤ，易证

“割和补”在立体几何中的应用

“割和补”在立体几何中的应用作者：张文平来源：《课程教育研究》 2020年第43期张文平（甘肃省武威第十八中学甘肃武威 733000）【摘要】几何是高中数学中非常重要的一部分内容,在初中时期，学生就开始接触到几何知识，但只是平面几何的学习。

高中教育阶段的数学几何知识，已发展成为立体几何，与初中阶段的平面几何相比，难度也大大提高，因此，高中数学教师必须要对立体几何的教学进行深入的研究，使学生能够切实掌握立体几何的知识。

基于此,本文就对高中数学立体几何的教学进行了简单的探析。

【关键词】“割和补” 立体几何应用【中图分类号】G633.6 【文献标识码】A 【文章编号】2095-3089（2020）43-0050-02立体几何是高中数学的难点之一，也是历年高考的重点和必考内容。

在高中立体几何的学习中，学生最大的困难在于缺乏空间想象能力，不能对空间形式进行观察、识别、抽象思考。

表现在不能准确地识别和分析出点线面之间的关系以及图形的正确形状。

如何巧妙地将复杂图形进行分割和补充为比较简单的图形或特殊的图形，就可以把复杂问题转化为较简单化，从而可以简化解题的思想方法，大大简化解题的运算及论证过程，拓展学生的思维，培养和提高学生的空间想象能力。

本文通过例子说明“割补法”在立体几何中的重要应用。

所谓“割补法”，即补体法和分割法的合称，是实现几何体之间相互转化的一条有效途径。

补法就是把几何体通过补充或延伸成一个简单的或者我们熟悉的几何体，使我们解决的问题通过几何体之间相互转化变得更加简单明了的一种方法。

割法就是把复杂的或不熟悉的几何体，分割成简单的或熟悉的几何体，使解决的问题变得简单的一种方法。

近日在高三的模拟考试中有一道题引起了我对“割和补”在立体几何中的应用的反思。

在平面上，正三角形的内切圆与外接圆的半径之比为1:2；类似的，在空间，正四面体的内切球与外接球半径之比为多少？题目中的正四面体的内切球与外接球的半径之比是多少？从而联想到如何求正四面体的内切球与外接球的半径。

割补法在立体几何解题中的应用

例
.
2
〔19 93 年理工农医类高考题 ( 26 )〕
IA BI C I 一 A B C 是直三梭柱 , 过点 A , 、 B 、 C l 的平面和平面 A B C 的交线记为 L 。 ( 1) 判定直线 IA C I 和 L 的
BC 位里关系 , 并加以证明 ; (2 ) 若 A A : = 1 , A B ~ 4 ,
. 中学理科教学
割补法在立体几何解题中的应用
白银公司一中赵保铎
几何体彼此之间有着密切的联系 , 解题时只要
细心观察 , 广泛联想 , 不难发现其转化契机 . 所谓割
补法 , 即补体法和分割法的合称 , 就是实现几何体之
~ 3 , 匕 A B C ~ 90 。 , 求顶点 A l 到直线 L 的距离。
分析 : 解此题 , 作出平
面 A I EC ; 和平面 A B C 的交线 L 是关键 . 如图 (3 ) , 补作一个直三棱柱人B r 卜一 A I B , D , , 使其成为一个直四棱柱 A C B I) 一
粤公垂线 E D 一 h , 求证三棱锥的体积 v 一 LZ h 。
一一 ~ 一一
一一 -
~ ` 一
~ 一, J ”
’、
’
6 一一’
分析 : 与现行立几教
材分割三棱柱的情况相
反 , 也可以把一个三棱锥补成一个体积是其三倍的三棱柱。如图 ( 4 ) ,连 B E 、

用割补法求几何体的体积

用割补法求几何体的体积――培养学生的空间想象能力内容提要：本文用图形割补的方法来求一些不规则的几何体体积，通过求几何体体积的过程，来培养和提高学生对空间图形的想象能力，进而得出培养和提高学生空间想象能力的途径。

关键字：割补法空间想象能力在高中立体几何的学习中，学生最大的困难在于缺乏良好的空间想象能力，由于目前我们只能在二维平面上通过空间图形的平面直观图来研究空间元素的位置关系和数量关系，这就造成学生难以摆脱在平面几何学习中培养起来的对平面图形的认知经验，具体表现在遇到立几问题时，不会识图，有些学生甚至看不出空间元素的前后位置关系，也不会合理作图。

特别是求几何体体积问题，对于不同的几何体或不规则的几何体，我们可联想熟悉的几何体去计算其体积，这就对学生的空间想象能力有很高的要求。

那么什么是空间想象能力呢？中学数学中的空间想象能力主要是指，学生对客观事物的空间形式进行观察、分析、抽象思考和创新的能力。

空间想象能力的提高必定AB要经过实际的训练，途径也有很多种。

本文就借助于求几何体的体积来提高学生的空间想象能力。

由于几何体的形状多种多样，所以体积的求法也各不相同。

针对一些不规则的几何体，直接运用体积公式可能比较困难，我们常对原几何体进行割补，转化为几个我们熟悉的几何体，其解法也会呈现一定的规律性:① 几何体的“分割”几何体的分割即将已给的几何体，按照结论的要求，分割成若干个易求体积的几何体，进而求之。

② 几何体的“补形”与分割一样，有时为了计算方便，可将已给的几何体补成易求体积的几何体，如长方体，正方体等等。

一、用割补法求锥体的体积例题一：已知三棱锥ABC P -，其中4=PA ,2==PC PB ,ο60=∠=∠=∠BPC APC APB 求：三棱锥ABC P -的体积。

【思路一】作BC 的中点D ，连接PD 、过P 作AD PH ⊥，垂足H易证PH 即为三棱锥ABC P -的高，由棱锥体积公式 PH S V ABC ABC P ⋅=∆-31即得三棱锥ABC P -的体积。

割补法在高中立体几何解题中的应用_方清

锥．故只要求出其中一个三棱锥的体积即可．由
图可知，ＶＡ′－ＢＥＤ′ ＝ＶＤ′－Ａ′ＢＥ＝１３·ＳΔＡ′ＢＥ·Ａ′Ｄ′＝
１３
·１２·ａ２·ａ·ａ＝１１２ａ３
．故ＶＡ′－ＥＢＦＤ′
＝２ＶＡ′－ＢＥＤ′
＝
１ａ３．６
以上各例说明，在解决某些几何问题时，若
利用部分与整体的关系来解题．
例６已知三棱锥Ｐ－ＡＢＣ，其中ＰＡ＝４，ＰＢ＝ＰＣ＝２，
∠ＡＰＢ＝ ∠ＡＰＣ＝ ∠ＢＰＣ＝６０°求：
三棱锥Ｐ－ＡＢＣ的
体积．
分析１作ＢＣ
分析如图４，将一个完全相同的几何体与已知的几何体拼在一起组成一个高为５的圆柱，
那么所求几何体的体积就是这个圆柱体积的
例８如图１０，已
知正方体ＡＢＣＤ－Ａ′Ｂ′Ｃ′Ｄ′ 的棱长为ａ，
Ｅ、Ｆ分别是棱ＡＡ′ 和
ＣＣ′ 的中点，求四棱锥
Ａ′－ＥＢＦＤ′ 的体积．
分析本题要想直接求出四棱锥的高还是比较困难的．但是四棱锥的底面是菱形，所以连
结对角线把四棱Leabharlann 分割成体积相等的两个三棱Ａ．３π Ｂ．４π Ｃ．３槡３π Ｄ．６π
分析１设ΔＡＣＤ的重心为Ｅ，则球心在线段ＢＥ上，可在直角三角形中求解，但计算较麻烦．
分析２将正四面体ＡＢＣＤ补成正方体，则正四面体、正方体的外接
球为同一个球．因为正四面体的棱长为槡２，所以
（收稿日期：２０１３－０８－１６）

割补法在立体几何中的应用

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三、注意事项在使用WS自动填充功能时，需要注意以下几点：1. 填充方块大小的调整：在拖动填充方块之前，可以根据需要调整其大小。

只需将鼠标放置在填充方块的右下角，鼠标指针会变成双向箭头，然后按住鼠标左键拖动即可调整填充方块的大小。

2. 自动填充的规律：WS自动填充功能会根据已有的数据规律进行填充。

对于数字序列和日期序列，可以根据需要选择自增、自减或是使用特定的间隔。

文科立体几何中的割补法教学 2019年精选文档

文科立体几何中的“割补法”教学立体几何是高中数学知识体系的重要知识模块之一，它也是历年高考必考的重点内容，且题型、难度与分值比例长期保持相对稳定，主要是集中考查空间位置关系的形化和量化，尤其是文科的教学中更关注空间中平行与垂直的关系。

但在教学实践中，我发现文科学生对垂直的证明，如线线垂直、线面垂直的证明或一些相关的计算题，如一类三棱锥的外接球的表面积、体积的计算往往不尽如人意，常常在这方面失分。

那么，如何更好掌握相关知识呢？结合教学实际，我提倡使用“割补法”，即以正方体或长方体为载体，在其中“裁剪”，找出合适的线线、线面、面面位置关系加以研究。

一、从“形”上割补1.割。

正方体是空间各种位置关系的“集合体”，通常可以通过将不规则或者特殊图形切割，构造为正方体关系，由此将题目难度降低。

例1（2010安徽）一个几何体的三视图如图，该几何体的表面积是（B）（A）372（B）360（C）292（D）280分析：由三视图可知该几何体是两个叠加的长方体，只需割成两个长方体即可，要注意其长宽高。

．例2（2010福建）如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，E，H分别是棱A1B1,D1C1上的点（点E与B1不重合），且EH//A1D1。

过EH的平面与棱BB1，CC1相交，交点分别为F，G。

（2）设AB=2AA1=2a。

在长方体ABCD-A1B1C1D1内随机选取一点，记该点取自于几何体A1ABFE-D1DCGH内的概率为p。

当点E，F分别在棱A1B1, B1B上运动且满足EF=a时，求p的最小值。

分析：第（2）问是借考几何概形来考察几何体的体积，也即P=，而A1ABFE-D1DCGH=VABCD-A1B1C1D1-VBEF-C1HG，即把所求几何体的体积看成长方体的体积割去三棱柱的体积，而该三棱柱是倒放的。

当且仅当时等号成立所以，p的最小值等于2.补。

高考试卷中考查的立体几何图形，大多可以还原为立体几何图形，通过辅助方法，将不熟悉的图形还原为正方体关系，可找出相应题型要求。

浅谈小学数学中的图形割补法

浅谈小学数学中的图形割补法
图形割补法是小学数学教学中一个重要的方法之一，它主要通过将一个几何图形分割
成几个简单的几何图形，然后再将这些简单的几何图形拼接在一起，从而构成原先的几何
图形。

这种方法可以帮助学生更好地理解和认识几何图形的组成和性质。

图形割补法在小学数学教学中的应用非常广泛，可以用于解决各种几何图形的问题。

它既可以用于求几何图形的面积和周长，也可以用于解决一些关于几何图形的位置关系和
分类的问题。

其中最常见的应用是求解几何图形的面积。

图形割补法可以将一个复杂的几何图形割
成若干个简单的几何图形，然后分别求出这些简单图形的面积，最后将它们加起来得到整
个图形的面积。

对于一个复杂的多边形，可以将它割成若干个三角形，并分别求出每个三
角形的面积，然后将这些面积相加，就可以得到整个多边形的面积。

图形割补法在教学中的应用并不仅限于上述情况，还可以根据具体情况进行灵活运用。

在教学实践中，教师可以根据学生的实际情况和不同的教学目标，选择合适的割补方法和
策略，让学生通过割补来解决问题，从而提高他们的几何思维能力和解决问题的能力。

割补法在立体几何中的运用

割补法在立体几何中的运用通过将某一图形分割或补充为比较简单的图形或特殊的图形来研究的方法称为割补法。

在高中立体几何的棱柱的侧面积公式的证明，棱锥的体积公式的推证中，已经接触过这—解题的思想方法，它是解决空间问题常用的方法。

对于某些较复杂的问题或拟柱体问题，如果割补法运用得当，可以把复杂问题转化为较简单的问题，从而可以简化运算及论证过程。

下面结合例子谈谈割补法在解题中的应用。

一、利用割补法求两异面直线所成的角例1，已知直线L上有两定点A、B，AC L，BD L，若AB=AC=BD= ，且AC、BD所成的角为120°，求AB、CD所成的角。

分析：根据条件所得的图形不够直观，难以得出交角，故把它补成—个直三棱柱，如图1：由CF||AB可得：DCF就是两异面直线AB、CD所成的角。

通过解三角形即可求得AB、CD 所成的角。

注：此题通过把原图补成—个直三棱柱，相当于把AB平移到CF，则两异面直线所成的角就明显了。

例2，已知长方体ABCD-A1B1C1D1的长、宽、高分别是非a、b、c、d（a>b），求AC与BD所成的角的余弦。

分析：在长方体ABCD-A1B1C1D1的相邻处补上一个全等的长方体，如图2：连结C1B2，AB2，则B2C1//BD，可得：AClB2就是ACl与BD所成的角。

在AB2C1中AB2= C1B2=Cl A=cos AClB2=注：在原幾何体中亭吐一只类似的几何体，就能起到线段的平移作用。

二、利用割补法求体积例3，如图3 在多面体ABCDEF中，已知面ABCD是边长3的正方形，EF//AB，EF= ，EF与平面AC的距离为2，则该多面体的体积为（）（A）（B）5 （C）6 （D）法一，分析：多面体ABCDEF是属于拟柱体类的几何体，把它补成—个三棱柱，则V多面体ABCDEF=VBCF-AGD-VE-AG= ×3×2×3- × ×3×2× =正确答案为D法二，分析：如图4，连结BE，CE，则平面BEC把这一多面体分割为四棱锥E-ABCD和三棱锥E-BCF，V多面体ABCDEF=VE-ABCD+VE-BCF由于VE-ABCD= ×9×2=6V多面体ABCDEF>6从而确定正确答案为D。

浅析高中立体几何教学中割补法的运用

浅析高中立体几何教学中割补法的运用作者：刘颖欣来源：《中学课程辅导·教育科研》2019年第02期【摘要】 ;割补法是高中立体几何教学中较为常见的方法，可以有效地将抽象的立体几何进行“割补”，辅助学生解决特殊立体几何问题，降低知识的难度，提升解题效率。

本文从割补法在高中立体几何中的应用意义入手，深入进行分析，并通过实际的案例进行探讨，以供参考。

【关键词】 ;高中立体几何教学割补法【中图分类号】 ;G633.6 ; ; ; ; ; ; 【文獻标识码】 ;A ; 【文章编号】 ;1992-7711（2019）02-146-01引言割补法的实质是对几何体进行合理的分割或者补形，进而发现其与已知几何之间存在的关系，呈现出一种全新的构造思想，并利用对立统一的辩证思维帮助学生思考问题，提升其创新意识，形成立体思维，提高学生的数学综合素养水平。

一、割补法在高中立体几何教学中应用的意义受高中立体几何自身的性质影响，具有较强的抽象性，学生在学习相关知识过程中，经常出现难以理解的内容，难以直观的感受知识内涵，影响自身的学习效果，逐渐对立体几何知识失去兴趣。

灵活利用割补法进行教学，可以促使学生形成良好的数学思维，通过割补将抽象的立体几何转换为学生熟悉的知识内容，达到“归化”思想的目的，有效的解决立体几何问题。

与此同时，通过割补法进行分割与补充可以从整体上提升学生的学习兴趣，促使其积极主动进行学习，养成良好的学习习惯，提升自身的数学综合素养，全面发展。

二、高中立体几何教学中割补法的应用分析（一）分割法分割法的实质是将立体几何进行合理的分割，将抽象的几何体分割为学生熟悉的几何体，通过分析各部分之间的关系明确其整体的性质，以达到解题的目的，降低习题的难度。

例如，以习题为例，已知三棱锥P-ABC，其中PA长为4，PB=PC长为2，∠APB=∠APC=∠BPC均为60°求：三棱锥P-ABC的体积，如图1所示。

怎样利用割补法解立体几何中的问题.

例5. 如图：在直三棱柱 ABC－A1B1C1中，∠ACB=90。， BC=5，AC=9，CC1=12
求：CB1与 AC1所成的角的大小
A
B
C
如图,补一个相同的直三棱柱, 连结C1B2，AB2，则CB1∥C1B2
∴ ∠AC1B2（或其补角）就是
A1 C1
A2 C2
AC1和 CB1所成的角。 B1 可得：AC1=15，C1B2=13，AB2=√682
注意！
复杂的几何体都是由简单几何体
组成，在求体积时，注意利用分割的思想。另外，应注意改变对几何体的观察角度，以得到最佳求积法。
例3. 如图：已知在正方体 ABCD－A1B1C1D1 中,棱长为 a , M、N 分别为 AA1、CC1 的中点,
求：四棱锥 A－MB1ND 的体积
A
D
A
D
B
C
B
C
(
3 3

2a)2

2 3
3a
V正四面体

1 3

S

h
A1

1 3

3 4

(
2a)2

2 3
3a

1 3
a3
B C1
0
E
D
例2.如图：在棱长为 a 的正方体ABCD--A1B1C1D1中取点A1、C1、B、D，依次连结成一个多面体，
求：此多面体的体积。
A1 B1
A B
解二：用分割法
D1
求：四面体 ABCD 的体积。
A
D E
B
取 BC 的中点 E，
则 AE⊥BC，DE⊥BC。
V V V C

割补法在高中立体几何解题中的应用分析

积是多少？
图４
对于这道题目，学生绘制图４的图像，分析这几种情况：
（１）取ＢＣ的中点为Ｄ，连接ＤＡ和ＤＰ，过Ｐ作ＨＰ ⊥ ＤＡ，易证 △ＡＢＣ的垂足为Ｈ，则三棱锥ＰＡＢＣ的高为
ＨＰ，由棱锥体积公式Ｖ
＝
图１学生可以这样分析：这道题目可以将图形补充成一个正
方体，设这个正方体为ＡＢＣＤＰＱＲＳ，如图１所示那么求二面角就是求正方体的侧面ＡＢＱＰ与对面角ＰＱＣＤ所成的角，这个角为４５°，因此，我们所求的二面角大小就是４５°。
再将这个特殊的几何体分割为若干部分。
（一）从 “形上割补 ”
例５设ｍ、ｌ为两条直线，α 为一个平面，那么以下命题
正确的选项为
（）
Ａ．若ｌ ⊥ ｍ，ｍａ，则ｌ ⊥α
Ｂ．若ｌ ⊥α，ｌ ∥ ｍ，则ｍ ⊥α
Ｃ．若ｌ ∥α，ｍａ，则１∥ ｍＤ．若ｌ ∥α，ｍ ∥ａ，则ｌ ∥ ｍ
周刊
割补法在高中立体几何解题中的应用分析
高博扬
摘要：高中数学中的立体几何是一门逻辑性和实用性都很强的科目，对于高中生而言，学习起来是比较吃力的，因此，高中生要懂得灵活运用数学中的各种方法来研究题目并使问题最终得到解决。割补法就是立体几何中一种非常实用的解题方法，学生可以利用割补几何体的方法来找出已知的几何体和未知几何体之间的内在联系。割补法是解决空间问题最常用的方法之一，掌握好这种几何方法对于学生的学习来说有着非常重要的帮助。本文分析探究了学生在高中立体几何学习中割补法的应用，希望对高中生立体几何解题能力的提升提供一定的参考和建议。

立体几何割补法

立体几何割补法立体几何中的割补法解题技巧邹启文※ 高考提示立体几何中常用割补法解题.特别是高考中的立体几何题很多可用割补法解,有时解起来还比较容易.※ 解题钥匙例1 (2005湖南高考，理5)如图，正方体ABCD—ABCD的棱长为1，O是底面ABCD11111111的中心，则O到平面ACD的距离为( ) 112231A、 B、 C、 D、 4222分析:求点到面的距离通常是过点做面的垂线，而由于该图的局限性显然不太好做垂线，考虑O为AC的中点，故将要求的距离 11与A到面ACD的距离挂钩，从而与棱锥知识挂钩，所以可在该 111图中割出一个三棱锥A—ACD而进行解题。

111解:连AC，可得到三棱锥A—ACD，我们把这个正方体的其 1111它部分都割去就只剩下这个三棱锥，可以知道所求的距离正好为这个三棱锥的高的一半。

这个三棱锥底面为直角边为1与的直 2角三角形。

这个三棱维又可视为三棱锥C—AAC，后者高为1，底为腰是1的等腰直角三角111 2形，利用体积相等，立即可求得原三棱锥的高为，故应选B。

2例2 (2007湖南高考，理8)棱长为1的正方体ABCD—ABCD1111 的8个顶点都在球O的表面上，E，F分别是棱AA、DD的中点， 11则直线EF被球O截得的线段长为( )22A、 B、1 C、1+ D、 222分析:在该题中我们若再在正方体上加上一个球，则该图形变得复杂而烦琐，而又考虑到面AADD截得的球的截面为圆，且EF 11在截面内，故可连接球心抽出一个圆锥来。

解:如图，正方体ABCD—ABCD，依题O亦为此正方体的中心，补侧面 1111 可得圆锥0—AD(如下图)， AD为平面AD，球0截平面A D1111其底面圆心正为线段AD之中点，亦为线段EF之中点，割去正方体和球 1 的其它部分，只看这个圆锥，容易看出球O截直线EF所得线段长就等于这个圆锥底面圆的直径AD之长，故选D。

1例3 (2005全国高考I，理5)如图，在多面体ABCDEF中,已知 ABCD是边长为1的正方形，且?ADE、?BCF均为正三角形。

用割补法巧解一类几何题

用割补法巧解一类几何题大家都知道，几何的研究和解决能力对于学习数学、物理学和其他科学等学科至关重要。

几何是数学的一个重要分支，它的研究可以让我们更熟悉数学的结构和定律，并且可以应用到实际生活中，这也是这门课程之所以受欢迎的原因。

几何有许多种类的题目，考生在解决这些题目时，可以使用不同的方法。

其中最常见的方法之一就是割补法，这种方法可以把一个几何题目分解为两个或多个小问题，相互补充和解决，以达到解决整个问题的目的。

割补法是一种有效的解决几何题目的方法，它可以使用较少的步骤来解决复杂的几何题目，这样可以减少解决题目的时间，提高解题的效率。

割补法是一种有效的几何解答技术，它基本上是一个分解法。

在割补法中，可以先把一个几何题目分解为几个小问题，然后再把小问题按照特定的顺序进行解答，最终形成几何题目的解。

尤其是有些复杂的几何题目，如果用普通的解法分析，可能需要很长时间，而采用割补法可以把复杂的几何问题简单化，可以有效减少解决几何问题的时间。

例如，有一道几何习题：求梯形ABCD的面积，梯形ABCD的两条对角线AB和CD的长度分别为4cm和6cm，边AB和边CD的中点为E 点。

使用割补法，把此梯形分为两个三角形，即三角形ABE和CDE，其中三角形ABE的面积为AE×BE÷2，其中AE和BE分别为AB边上的中线和半径，它们的乘积再除以2，即为三角形ABE的面积。

三角形CDE的面积同理，其面积为CE×DE÷2。

把三角形ABE和CDE的面积和，即为梯形ABCD的面积。

总之，割补法在解决几何题目时拥有很强的灵活性，可以有效的利用简单的步骤解决复杂的几何题目，也可以把一些复杂的问题分解为更容易理解的子问题，以便更好的理解几何题目背后的一切。

因此，割补法为学习几何提供了一种有效、可靠的方法，是解决几何题目的一种重要手段，值得我们深入学习和研究。

割补法求体积的灵活运用

割补法求体积的灵活运用
梁爽
【期刊名称】《成才之路》
【年(卷),期】2013(000)013
【摘要】体积在立体几何教学中占有一定的地位。

对于不规则的几何体，我们如何去求呢？其实，不规则的几何体，皆可以采用割补法，分割成一些简单的规则的几何体，然后再用熟悉的方法去解决。

割补思想，是高中数学立体几何中重要的解题思想方法。

通过割补，可以将一些复杂的问题简单化。

解题时，要让学生注重一题多解，注重方法的灵活运用。

【总页数】1页(P48-48)
【作者】梁爽
【作者单位】辽宁省大连市普兰店市第三十八中学
【正文语种】中文
【相关文献】
1.用割补法求面积
2.求体积常用的数学思想——割补法
3.利用“割补法”求几何体体积
4.例谈用割补法求平面几何图形的面积
5.用割补法求多边形面积的探索
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利用“割补”减少立体几何的计算量

利用“割补”减少立体几何的计算量
毛金才;姚汉兵
【期刊名称】《中学生数理化：高二版》
【年(卷),期】2005(000)018
【摘要】<正>“割补”是立体几何解题的重要方法.该方法的理论根据是“将某些直观图割补成另一些直观图,以显露原直观图的一些隐含条件”.下面举例说明“割补”在立体几何解题中的应用. 一、割成锥
【总页数】2页(P27-28)
【作者】毛金才;姚汉兵
【作者单位】江苏;安徽
【正文语种】中文
【中图分类】G634.6
【相关文献】
1.利用必要性减少计算量 [J], 殷畅;李正;
2.利用必要性减少计算量 [J], 殷畅;李正;
3.利用"割补"减少立体几何的计算量 [J], 毛金才;姚汉兵
4.《立体几何》中的"补形"与"切割"-Z+Z智能教育软件在棱锥的体积一节中的应用 [J], 王福荣
5.利用几何画板剖析锥体的割补与变换 [J], 林文柱
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