“割补法”求解不规则几何体体积
求体积几种求法和割补法
B1
D
A
B
V V C提1 示：利用 D1C1BD =
BC1D1D
求解。
KEY： 3 a 3
C 注意：等体积法求点面距离。
例3、在各棱长均为1的正三棱柱ABC-A1B1C1中，
（1）BC1与侧面 ABB1A1所成的角为__4__5_o _____；
（2）如果M为CC1的中点，则截面AB1M与底面所成
例1、已知三棱锥的两个侧面都是边长为 6 的等边三角 形，另一个侧面是等腰直角三角形。求此三棱锥的体积。
S
A F
B
E C
提示：设三棱锥S-ABC，侧面SAC、SBC为 等边三角形，边长6 为 ，SASB。取SA中 点E，AB中点F，连接AE、BE、EF。可证得 SC 平面ABE。利用：
VS-ABC=VS-ABE+VC-ABE 得三棱锥体积。
解 ∵PA⊥平面 ABCD， ∴PA 是三棱锥 P－CED 的高，PA＝2. ∵ABCD 是正方形，E 是 AC 的中点， ∴△CED 是等腰直角三角形． AB＝1，故 CE＝ED＝ 22， S△CED＝12CE·ED＝12·22·22＝14. 故 VC－PED＝VP－CED＝13·S△CED·PA＝13·14·2＝16.
N
∴ V几何体=V三棱柱+V四棱锥
F
D
M
A
B
C
例2.如图：在棱长为 a 的正方体ABCD--A1B1C1D1中取 点A1、C1、B、D，依次连结成一个多面体，
求：此多面体的体积.
A1 B1
A B
解二：用分割法
D1
V V 4V C1
正四面 正 体 方体 三棱
D C
a3 416a3
“割补法”求解不规则几何体体积
“割补法”求解不规则几何体体积 我们通常把不是棱柱、棱锥、棱台和圆柱、圆锥、圆台等的几何体，称为不规则几何体．而解决不规则几何体的方法，常用割补法，即通过分割或补形，将它变成规则的几何体．我们可以从不规则几何体的来源上，即它是由何种常见的几何体所截得的来分类．一、来自三棱柱的截体例1 如图1，正四面体A BCD -中，E F G H ，，，分别是棱AB AC BD CD ，，，的中点，求证：平面EFHG 把正四面体分割成的两部分几何体的体积相等．分析：显然正四面体被分割成的两部分都是不规则的几何体，因此我们可使用割补法来推导．那么我们应选择割，还是补呢？如果选择补，那么补成什么样子呢？显然只能是正四面体，这就说明我们应该选择割．证明：连结CE CG AG AH ，，，，左右两个不规则几何体都被分割成了一个四棱锥和一个三棱锥，如图1．易证左右的两个四棱锥的体积相等，两个三棱锥的体积也相等，于是两部分体积相等．当然此题还有其他的分割方法，比如分成一个三棱柱和一个三棱锥等，也同样好证．二、来自正方体的截体例2 如图2，已知多面体ABC DEFG -中，AB AC AD ，，两两互相垂直，平面ABC ∥平面DEFG ，平面BEF ∥平面ADGC ，2AB AD DC ===，1AC EF ==，则该多面体的体积为（ ）Ａ．2 Ｂ．4 Ｃ．6 Ｄ．8解法一（割）：如图3，过点C 作CH DG ⊥于H ，连结EH ，这样就把多面体分割成一个直三棱柱DEH ABC -和一个斜三棱柱BEF CHG -．于是所求几何体的体积为：DEH BEF V S AD S DE =⨯+⨯△△11212212422⎛⎫⎛⎫=⨯⨯⨯+⨯⨯⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． 解法二（补）：如图4，将多面体补成棱长为2的正方体，那么显然所求的多面体的体积即为该正方体体积的一半． 于是所求几何体的体积为31242V =⨯=．三、来自圆柱的截体 例3 如图5，如图5，一圆柱被一平面所截，已知被截后几何体的最长侧面母线长为4，最短侧面母线长为1，且圆柱底面半径长为2，则该几何体的体积等于_______．解法一（割）：如图6，该几何体的体积等于下面的圆柱的体积与上面的圆柱体积的一半之和．下面的圆柱的高就是该几何体的最短侧面母线长1，而上面的圆柱的高为3． 于是所求几何体的体积为221π212310π2V =⨯⨯+⨯⨯⨯=． 解法二（补）：如图7，将一个与已知的几何体完全相同的几何体，与已知的几何体拼在一起组成一个高为5的完整圆柱，那么所求几何体的体积就是这个大圆柱体积的一半．于是21π2510π2V =⨯⨯⨯=．例1、已知三棱锥的两个侧面都是边长为 的等边三角形，另一个侧面是等腰直角三角形。
九章算术割补法
九章算术割补法
《九章算术》是中国古代的数学著作，其中“割补法”是一种解决几何问题的技巧。
割补法的基本思想是通过切割和补充图形，将复杂的几何问题转化为简单的几何问题，从而更容易找到解决方案。
在《九章算术》中，割补法常用于解决面积和体积的问题。
例如，在计算矩形、平行四边形、梯形等图形的面积时，可以使用割补法将它们转化为更简单的图形，如三角形或正方形，从而更容易计算面积。
同样，在计算球体、圆柱体等图形的体积时，也可以使用割补法将它们转化为更简单的几何形状，如长方体或圆柱体，从而更容易计算体积。
总的来说，割补法是一种非常实用的几何问题解决方法，它通过切割和补充图形，将复杂的几何问题转化为简单的几何问题，从而更容易找到解决方案。
立体几何大题中有关体积、面积和距离的求法(教师版)
立体几何大题中有关体积、面积和距离的求法(教师版)立体几何大题中有关体积、面积和距离的求法知识点梳理1.柱、锥、台和球的侧面积和体积圆柱：侧面积为$S_\text{侧}=2\pi rh$，体积为$V=\pir^2h$圆锥：侧面积为$S_\text{侧}=\pi rl$，体积为$V=\frac{1}{3}\pi r^2h$圆台：侧面积为$S_\text{侧}=\pi(r_1+r_2)l$，体积为$V=\frac{1}{3}\pi h(r_1^2+r_2^2+r_1r_2)$直棱柱、正棱锥、正棱台、球的表面积和体积公式不再赘述。
2.几何体的表面积直棱柱、棱锥、棱台的表面积就是各面面积之和。
圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图分别是矩形、扇形、扇环形；它们的表面积等于侧面积与底面面积之和。
一公式法例1.正三棱柱的侧面展开图是边长分别为2和4的矩形，则它的体积为。
解：因为正三棱柱的侧面展开图是边长分别为2和4的矩形，所以有以下两种情况：①：2是下底面的周长，4是三棱柱的高，此时下底面的边长为$\frac{2}{\sqrt{3}}$，所以体积为$V=\frac{4}{3}\sqrt{3}$，面积为$S=2\sqrt{3}$。
②：4是下底面的周长，2是三棱柱的高，此时下底面的边长为$\sqrt{3}$，所以体积为$V=\frac{4}{3}\sqrt{3}$，面积为$S=2\sqrt{3}$。
所以正三棱柱的体积为$\frac{4}{3}\sqrt{3}$。
例2.如图，某几何体的正视图（主视图），侧视图（左视图）和俯视图分别是等边三角形，等腰三角形和菱形，则该几何体的体积为（）。
解：由题意可知此几何体是一个四棱锥，由图可知底面两条对角线的长分别为2和3，底面边长为2，所以底面菱形的面积为$S=\frac{3}{2}$，侧棱为$\sqrt{2^2+3^2}= \sqrt{13}$，则棱锥的高$h=\sqrt{3^2-(\frac{\sqrt{13}}{2})^2}=\frac{\sqrt{35}}{2}$。
用割补法求几何体的体积
用割补法求几何体的体积――培养学生的空间想象能力内容提要：本文用图形割补的方法来求一些不规则的几何体体积，通过求几何体体积的过程，来培养和提高学生对空间图形的想象能力，进而得出培养和提高学生空间想象能力的途径。
关键字：割补法空间想象能力在高中立体几何的学习中，学生最大的困难在于缺乏良好的空间想象能力，由于目前我们只能在二维平面上通过空间图形的平面直观图来研究空间元素的位置关系和数量关系，这就造成学生难以摆脱在平面几何学习中培养起来的对平面图形的认知经验，具体表现在遇到立几问题时，不会识图，有些学生甚至看不出空间元素的前后位置关系，也不会合理作图。
特别是求几何体体积问题，对于不同的几何体或不规则的几何体，我们可联想熟悉的几何体去计算其体积，这就对学生的空间想象能力有很高的要求。
那么什么是空间想象能力呢？中学数学中的空间想象能力主要是指，学生对客观事物的空间形式进行观察、分析、抽象思考和创新的能力。
空间想象能力的提高必定AB要经过实际的训练，途径也有很多种。
本文就借助于求几何体的体积来提高学生的空间想象能力。
由于几何体的形状多种多样，所以体积的求法也各不相同。
针对一些不规则的几何体，直接运用体积公式可能比较困难，我们常对原几何体进行割补，转化为几个我们熟悉的几何体，其解法也会呈现一定的规律性:① 几何体的“分割”几何体的分割即将已给的几何体，按照结论的要求，分割成若干个易求体积的几何体，进而求之。
② 几何体的“补形”与分割一样，有时为了计算方便，可将已给的几何体补成易求体积的几何体，如长方体，正方体等等。
一、用割补法求锥体的体积例题一：已知三棱锥ABC P -，其中4=PA ,2==PC PB ,ο60=∠=∠=∠BPC APC APB 求：三棱锥ABC P -的体积。
【思路一】作BC 的中点D ，连接PD 、过P 作AD PH ⊥，垂足H易证PH 即为三棱锥ABC P -的高， 由棱锥体积公式 PH S V ABC ABC P ⋅=∆-31即得 三棱锥ABC P -的体积。
求体积的几种常用方
求体积的几种常用方法体积的求解与计算是高考考查的重点和热点，其方法灵活多样，而分割、补性和等体积法转化是中学常见的几种求体积的方法，其中分割、补形也称为割补法。
1、分割法对于给出的一个不规则的几何体，不能直接套用公式,常常需要运用分割法,按照结论的要求，将原几何体分割成若干个可求体积的几何体，然后再求和．例1：如图1，在多面体ABCDEF 中，已知ABCD 是边长为3的正方形，EF ∥AB ，3EF=2，EF 与面AC 的距离为2，,则该多面体的体积为 （ ） .图19A 2、 B 、5 C 、6 D 、152解析：方法一：图2如图2，连接EB 、EC 、AC 。
则四棱锥E-ABCD 的体积2E -A B C D 1V =32=63⨯⨯。
EAB BEF AB=2EF EF ABS =2S ∆∆∴ ，F -E B C -E F B -A B E E -A B C E -A B C D11113V =V =V =V =V=22222∴⨯⨯ＣＣ E-ABCD F-EBC 315V=V +V =622∴=－ 方法二：图3如图3，设G 、H 分别为AB 、DC 的中点，则EG ∥FB ，GH ∥BC ，得棱柱EGH-FBC.由题意，得E-AGHD AGHD 111V =S 2=332=3332∴⨯⨯⨯⨯⨯EGH-FBC B-EGH E-BGH E-GBCH E-AGHD 11339V =V =3V =3V =V =3=.32222∴⨯⨯⨯E-AGHD EGH-FBC 915V=V +V =3+=.22方法三：有方法一知，E-ABCD V =6∴，故多面体的体积大于6，四个选项只有D 适合。
例2：如图4，已知直三棱柱ABC-A B C '''的体积为V ，点Ｐ、Ｑ分别是侧棱AA CC ''，上的点，且AP=C Q '，求四棱锥B-APQC 的体积。
图４分析：由于所求四棱柱的高及底面APQC 的面积都不易求得，因此考虑将四棱锥B-APQC 分割后求解。
定积分割补法求体积
定积分割补法是求旋转体体积的一种方法。
首先，我们需要理解旋转体的形成。
考虑一个平面曲线 y = f(x) (0 ≤ x ≤ a) 和直线 x = a 在第一象限的交点为 A(a, f(a))。
当这个平面曲线绕x轴旋转时，它形成一个旋转体。
旋转体的体积 V 可以用下面的定积分表示：
V = π∫(0, a) [f(x)]^2 dx
这就是旋转体的体积公式。
现在，我们可以用定积分割补法来求这个体积。
定积分割补法的基本思想是：将区间[0, a] 分成若干个子区间，在每个子区间上取一个点，计算该点处的函数值与该区间长度乘积的一半，然后将这些值加起来，最后乘以π并除以2，得到旋转体的体积。
具体步骤如下：
将区间 [0, a] 分成 n 个子区间，每个子区间的长度为Δx = a/n。
在每个子区间上取一个点 x_i (i = 1, 2, ..., n)，计算该点处的函数值 y_i = f(x_i)。
计算每个子区间的体积ΔV_i = π * (y_i)^2 * Δx / 2。
将所有子区间的体积加起来，得到 V = ΣΔV_i。
最后乘以π并除以2，得到最终的旋转体体积 V = π/2 * ΣΔV_i。
体积割补法
1 体积割补法
把一个不规则的几何体通过割或补的办法，转化为一个或几个规则几何体的体积运算是常见的体积求解手段．
例1 将3个边长为12cm 的正方形沿邻边中点剪开分成两部分，将这6
个部分接在一个边长为的正六边形上，若拼接后的图形是一个多面体的表面展开图，则该多面体的体积为 .
（2005,上海交大自招）
解 如图2所示，所得的多面体相当于将三条侧棱两两垂直的正三棱锥V ABC -截去三个
角123V ADI V BEF V CGH ---、、，这三个小三棱锥都与棱锥V ABC -相似，相似比为13
，
又18.VA VB VC === 所以多面体体积3
33111813864.63V cm ⎡⎤⎛⎫=⋅⋅-⨯=⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣
⎦
【评注】 本题通过把不规则几何体补成正三棱锥来解决的，如果像图3所示那样补成正方体，解法更为简单快捷，所得多面体体积正好是边长为12cm 的正方体体积的一半．
1
图 A
C
2图K
H
A
1
A 1
C 3
图。
割补法求体积的灵活运用
龙源期刊网
割补法求体积的灵活运用
作者：梁爽
来源：《成才之路》2013年第13期
体积在立体几何教学中占有一定的地位。
对于不规则的几何体，我们如何去求呢？其实，不规则的几何体，皆可以采用割补法，分割成一些简单的规则的几何体，然后再用熟悉的方法去解决。
割补思想，是高中数学立体几何中重要的解题思想方法。
通过割补，可以将一些复杂的问题简单化。
解题时，要让学生注重一题多解，注重方法的灵活运用。
割补法，在求几何体的体积的题型中非常常见。
一般来说，“割”是把柱体割成锥体，“补”是把锥体补成柱体。
比如多面体可以割成柱体和锥体，锥体可以补成柱体。
三棱锥和平行六面体，则可以用转换底面积法求体积。
解题时，要让学生注意已知条件的灵活运用。
这样，可以培养学生空间想象能力，提高学生综合素质。
例谈割补法求空间几何体的体积
例谈"割补法"求空间几何体的体积作者：蓝诚来源：《读写算》2012年第21期【摘要】高中教材所学到的几何体，大多都是比较特殊的几何体，比如棱柱、棱锥等体积的求法，主要利用公式法或等体积换底面积法就可以直接解决，但是在我们在平常做练习或高考当中，又经常遇到一些难于直接计算的或是直接求，但过程非常复杂。
如果能利用"割"与"补"的方法来解决，就可以把一些不易直接计算的几何体"分割"成几个几何体或是补形变成我们熟悉的几何体，化难为易，化繁为简，使思路清晰简单，这样就可以达到事半功倍的效果。
本文就通过具体的实例来谈谈如何利用"割补法"解决此类难题。
【关键词】分割法等体积变换底面法补形法高中教材所学到的几何体，大多都是比较特殊的几何体，比如棱柱、棱锥等体积的求法，主要利用公式法或等体积换底面积法，就可以直接解决，但是在我们在平常做练习或高考当中，又经常遇到一些难于直接计算的或是直接求，但过程非常复杂的几何体。
如果能利用"割补法"来解决，把一些不易直接计算的几何体分解成几个几何体或是补形变成我们熟悉的几何体，化难为易，使复杂多变的问题变得思路清晰简单，这样就可以达到事半功倍的效果。
下面就谈谈"割补法"解决难题具体做法。
一、分割法：就是将一个难于直接计算的几何体分割成几个易于计算的几何体，分别求出它们的体积，再将加，便得所求几何体的体积。
例1 如图，在三棱锥A-BCD中，若相对棱AB⊥CD，且AB=4，CD=3，EF是这两条异面直线AB、CD的公垂线，且EF=6，求该三棱锥A-BCD的体积.分析：本题所给的条件，如果直接从正面利用公式直接去求是没有办法的，但是从EF是这两条异面直线AB、CD的公垂线出发，易知AB⊥EF，AB⊥CD，EF∩CD=F，所以知道AB⊥面ECD，这样我们就以⊿DCE为底面，高分别是AE、BE的两个小的三棱锥A-DCE和三棱锥B-DCE来计算就行，于是得下面的解答。
求体积几种求法及割补法
E1
F
D
C
解:
如图，补一个正方体，取 C1F 的中点 E1，则 BE∥CE1 ∴∠A1CE1（或其补角）为 A1C与 BE 所成的角. 13 a A1C 3a CE1 5 a A1E1 2 可得： 2 在△A1CE1中，有余弦定理得： 2 2 2 CE 1 A1C A1E1 cosA1CE1 15 0 2 CE1 A1C 15 15 ∴ A1C和 BE 所成的角即为∠A1CE1，其值为 arccos 15
B1
C1
A D B
C
例4. 过正方形 ABCD 的顶点 A 作线段 PA⊥平面ABCD， 如果AB=PA。 求：平面 ABP 与平面 CDP 所成的二面角的大小.
P B1
P
A D B C B
A C
D
解：
如图所示、将左图补成一个正方体. ∴平面 ABP 即为平面 ABB1P 所在平面 ∴平面 PDC 即为平面 PDCB1 所在平面
例1、已知三棱锥的两个侧面都是边长为 6 的等边三角 形，另一个侧面是等腰直角三角形。求此三棱锥的体积。
S E
A F B
提示：设三棱锥S-ABC，侧面SAC、SBC为 等边三角形，边长为 6 ，SASB。取SA中 点E，AB中点F，连接AE、BE、EF。可证得： SC 平面ABE。利用： VS-ABC=VS-ABE+VC-ABE C 得三棱锥体积。
（KEY： ） 3 注意：分割法求体积。
如图：△ABC中，AB=8、BC=10、AC=6，DB⊥平面ABC， 且AE∥FC∥BD，BD=3，FC=4，AE=5。 求：此几何体的体积？
分析：
如图：取 CM=AN=BD , 连结 DM , MN , DN.
立体几何习题课(分割法、补形法求体积等举例)
Ө
C P1
2
D
m
A
A
m
（乙）
B
2
m
D
P2
C n E n P3
课本P81第8题 如图，有一轴截面为正三角形的圆锥形容器，内部盛水高度 为h，放入一个小球后，水面恰好与球相切，求球的半径。
V1
h V2=V1+V球
2R
R
V2
小结： 1、分割法求体积； 2、利用射影面积法求二面角； 3、补形法求体积； 4、几何体展开问题。
A
D B
例2、在棱长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1中， 求D1到截面C1BD的距离。
D1 A1 B1
C1
提示：利用 V D C B D =V B C D D 求解。
1 1
1
1
D
A B
C
KEY： 3 a
3
注意：等体积法求点面距离。
例3、在各棱长均为1的正三棱柱ABC-A1B1C1中， 15 arctan （1）BC1与侧面 ABB1A1所成的角为__________ ； 5 （2）如果M为CC1的中点，则截面AB1M与底面所成 45o 的角的大小为__________ 。
（KEY： 3 ） 注意：分割法求体积。
例1、已知三棱锥的两个侧面都是边长为 6 的等边三角 形，另一个侧面是等腰直角三角形。求此三棱锥的体积。 （解法2） S
法二：取AB中点D，连接SD，CD。易得△ABC 为等腰直角三角形，ACB=90o。则有SD⊥AB， CD⊥AB。又SA=SB=SC，∴S在底面的射影为底 面的外心，即点D，∴SD⊥平面ABC。 C ∴由VS-ABC= 1 S •SD得三棱锥体积。 3 △ABC
立 体 几 何
立体几何巧思妙解之割补法
立体几何巧思妙解之割补法在立体几何解题中，对于一些不规则几何体，若能采用割补法，往往能起到化繁为简、一目了然的作用。
一 、求异面直线所成的角例1、如图1，正三棱锥S-ABC 的侧棱与底面边长相等，如果E 、F 分别为SC 、AB的中点，那么异面直线EF 与SA 所成的角等于（ ）000090604530A B C D分析：平移直线法是求解异面直线所成角最基本的方法。
如图1，只要AC 的中点G ，连EG ，FG ，解△EFG 即可.应该是情理之中的事。
若把三棱锥巧妙补形特殊的正方体，定会叫人惊喜不已。
巧思妙解：如图2，把正三棱锥S-ABC 补成一个正方体11AGBH ACB S -，1//,EF AA ∴异面直线EF 与SA 所成的角为0145A AS ∠=。
故选C 。
二、体积问题例2、如图3，已知三棱锥子P —ABC，10,PA BC PB AC PC AB ======锥子P —ABC 的体积为（ ）。
4080160240A B C D分析：若按常规方法利用体积公式求解，底面积可用海伦公式求出，但顶点到底面的高无法作出，自然无法求出。
若能换个角度来思考，注意到三棱锥的有三对边两两相等，若能把它放在一个特定的长方体中，则问题不难解决。
巧思妙解：如图4所示，把三棱锥P —ABC 补成一个长方体AEBG —FPDC ，易知三棱锥P —ABC 的各边分别是长方体的面对角线。
PE=x,EB=y,EA=z 不妨令，则由已知有：2222221001366,8,10164x y x z x y z y z ⎧+=⎪+=⇒===⎨⎪+=⎩，从而知 416810468101606P ABC AEBG FPDC P AEB C ABG B PDC A FPC AEBG FPDC P AEBV V V V V V V V --------=----=-=⨯⨯-⨯⨯⨯⨯= 例3、如图5，在多面体ABCDEF 中，已知ABCD 是边长为1的正方形，且BCF ADE ∆∆、均为正三角形，EF ∥AB ，EF=2，则该多面体的体积为（ ）（A ）32 （B ）33 （C ）34 （D ）23分析：要直接求解组合几何体的体积显然较困难，变换角度思考将这个组合几何体分割成特殊的几个几何体求解，则问题可迎刃而解。
割·补·换——求体积的三种方法
割补换——求体积的三种方法
胡如松
【期刊名称】《数理化解题研究：高中版》
【年(卷),期】2002(000)006
【摘要】1．割—将多面体分割成几个容易求体积的柱、锥等基本的几何体．【总页数】2页(P21-22)
【作者】胡如松
【作者单位】湖南省湘乡市第一中学，411400
【正文语种】中文
【中图分类】G633
【相关文献】
1.用“割”、“补”法求平面图形的面积 [J], 夏玉来
2.例说换底法求三棱锥的体积 [J], 林明成
3.割补思想在求二面角中的运用 [J], 王俊明
4.《立体几何》中的"补形"与"切割"-Z+Z智能教育软件在棱锥的体积一节中的应用 [J], 王福荣
5.基于不规则三棱柱"割补"模型的料堆体积精准计算 [J], 陈元增;赵立新
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“割补法”求解不规则几何体体积
我们通常把不是棱柱、棱锥、棱台和圆柱、圆锥、圆台等的几何体，称为不规则几何体．而解决不规则几何体的方法，常用割补法，即通过分割或补形，将它变成规则的几何体．我们可以从不规则几何体的来源上，即它是由何种常见的几何体所截得的来分类．
一、来自三棱柱的截体
例1 如图1，正四面体A BC D -中，E F G H ，，，分别是棱
A B A C B D C D ，，，的中点，求证：平面EFH G 把正四面体分割成
的两部分几何体的体积相等．
分析：显然正四面体被分割成的两部分都是不规则的几何体，
因此我们可使用割补法来推导．那么我们应选择割，还是补呢？
如果选择补，那么补成什么样子呢？显然只能是正四面体，这就
说明我们应该选择割．
证明：连结C E C G A G A H ，，，，左右两个不规则几何体都被分割成了一个四棱锥和一个三棱锥，如图1．易证左右的两个四棱锥的体积相等，两个三棱锥的体积也相等，于是两部分体积相等．
当然此题还有其他的分割方法，比如分成一个三棱柱和一个三棱锥等，也同样好证．
二、来自正方体的截体
例2 如图2，已知多面体ABC D EFG -中，A B A C A D ，，两两互相垂
直，平面ABC ∥平面D E F G ，平面BEF ∥平面A D G C ，
2AB AD D C ===，1AC EF ==，则该多面体的体积为（ ）
Ａ．2 Ｂ．4 Ｃ．6 Ｄ．8
解法一（割）：如图3，过点C 作C H D G ⊥于H ，连结EH ，这样就
把多面体分割成一个直三棱柱D EH ABC -和一个斜三棱柱BEF C H G -．
于是所求几何体的体积为：
DEH BEF V S AD S DE =⨯+⨯△△11212212422⎛⎫⎛⎫=⨯⨯⨯+⨯⨯⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． 解法二（补）：如图4，将多面体补成棱长为2的正方体，那么显然
所求的多面体的体积即为该正方体体积的一半． 于是所求几何体的体积为31242V =
⨯=．
三、来自圆柱的截体
例3 如图5，如图5，一圆柱被一平面所截，已知被截后几何体的
最长侧面母线长为4，最短侧面母线长为1，且圆柱底面半径长为2，则
该几何体的体积等于_______．
解法一（割）：如图6，该几何体的体积等于下面的圆柱的体积与上
面的圆柱体积的一半之和．下面的圆柱的高就是该几何体的最短侧面母线长
1，而上面的圆柱的高为3． 于是所求几何体的体积为221
π212310π2V =⨯⨯+⨯⨯⨯=．
解法二（补）：如图7，将一个与已知的几何体完全相同的几何体，与
已知的几何体拼在一起组成一个高为5的完整圆柱，那么
所求几何体的体积就是这个大圆柱体积的一半．于是
21
π2510π2V =⨯⨯⨯=．
例1、
已知三棱锥的两个侧面都是边长为 的等边三角形，另一个侧面是等腰直角三角形。
求此三棱锥的体积
提示：设三棱锥S-ABC ，侧面SAC 、SBC 为等边三角形，边长为 ，SA ⊥SB 。
取SA 中点E ，AB 中点F ，连接AE 、BE 、EF 。
可证得：SC ⊥平面ABE 。
利用：
VS-ABC=VS-ABE+VC-ABE 得三棱锥体积。
法二：取AB 中点D ，连接SD ，CD 。
易得△ABC
为等腰直角三角形，∠ACB=90o 。
则有SD ⊥AB ，
CD ⊥AB 。
又SA=SB=SC ，∴S 在底面的射影为底
面的外心，即点D ，∴SD ⊥平面ABC 。
∴由VS-ABC= S △ABC •SD 得三棱锥体积。
例1．如图，有一轴截面为正三角形的圆锥形容器，内部盛水高度
为h ，放入一个小球后，水面恰好与球相切，求球的半径。
R
2R h V 1 V 2
V 2=V 1+V 球
6。