第五章 刚体的转动

§5-3 转动动能 力矩的功
一.转动动能 刚体的转动动能等于刚体中各质点的动能之和 质量为 ∆mi 的质点动能为 1 ∆mvi2 i 2 刚体转动动能等于所有 质点动能相加
vi
ri
转轴
∆mi
ω
1 1 2 1 2 2 2 Ek = ∑ ∆mivi = ∑ ∆mi ri ⋅ ω = Jω 2 2 i i 2 vi = riω
i
M = Jα 转动定律
三.转动惯量 转动惯量是物体的转动惯性大小的量度。 转动惯量是物体的转动惯性大小的量度。转 动惯量越大，欲改变其转动状态越困难；反之， 动惯量越大，欲改变其转动状态越困难；反之， 转动状态容易改变。 转动状态容易改变。 根据转动惯量的定义 J = ∑ ∆ m i ri
i 2
2 L
dm = σdS
J = ∫ r 2σdS
S
σ
面元 面密度
J = ∫ r 2ρdV
V
质量均匀分布的几种刚体的转动惯量
转轴 转轴
J = mR
转轴
2
1 J = mL2 12
1 J = mR2 2
转轴
转轴
1 2 J = mL 3
2 J = mR2 5
例题5-2 求质量为 m、长为 l 的均匀细棒对于 例题 、 通过棒的中点而与棒垂直的轴的转动惯量。 通过棒的中点而与棒垂直的轴的转动惯量。 在棒上取与轴OO 距离为x、长为dx的一小 解 在棒上取与轴 ’距离为 、长为 的一小 根据转动惯量定义， 段，质量为 dm = λ dx 。根据转动惯量定义，棒对轴 OO’的转动惯量为 1 1 3 2 2 2 J = ∫ x dm = ∫ 1 λ x d x = λ l − 12 2
1 2 θ = ω 0 t + at = 600 π rad 2 600π θ N= = = 300 2π 2π
（2）t = 10s 时飞轮的角速度为 ）
ω = ω 0 + α t = 30π rad/s
（3）t = 10s 时，飞轮边缘上一点的线速度为 ） v = rω = 4.71 m/s 相应的切向加速度及法向加速度为
第五章
刚体的转动
刚体的平动、 §5-1 刚体的平动、转动和定轴转动 §5-2 力矩 转动定律 转动惯量
§5-3 转动的动能 力矩的功 §5-4 绕定轴转动的刚体的角动量 和角动量守恒定律
1. 了解描述刚体定轴转动的基本物理量； 了解描述刚体定轴转动的基本物理量； 2. 理解转动惯量、力矩和转动动能的物理意义； 理解转动惯量、力矩和转动动能的物理意义； 3. 掌握定轴转动刚体的转动定律和角动量定理； 掌握定轴转动刚体的转动定律和角动量定理； 4. 掌握定轴转动刚体的角动量守恒定律及其适用 条件。 条件。
ω
刚体中各质点的速度和加速度， 刚体中各质点的速度和加速度，因其位置和 到转轴的距离不同而不同。线量与角量的关系为 到转轴的距离不同而不同。线量与角量的关系为
v = rω,
an = rω2 ,
at = rα
例题5-1 飞轮转速为 飞轮转速为1800r/min，因制动而均匀 例题 ， 地减速， 停止转动。 求角加速度和从制动开 地减速，经20s停止转动。(1)求角加速度和从制动开 停止转动 始到停止转动飞轮转过的转数；(2)求制动开始后 = 始到停止转动飞轮转过的转数； 求制动开始后t 求制动开始后 10s时飞轮的角速度；(3)设飞轮半径为 时飞轮的角速度； 设飞轮半径为 设飞轮半径为0.5m，求在 = 时飞轮的角速度 ，求在t 10s时飞轮边缘上一点的线速度和切向与法向加速度。 时飞轮边缘上一点的线速度和切向与法向加速度。 时飞轮边缘上一点的线速度和切向与法向加速度 解 (1) 设ω 0 为初角速度，由题意得 为初角速度，
对于定轴转动的刚体： 对于定轴转动的刚体： 与转轴垂直但通过转轴的力对转轴的力矩为零； 与转轴垂直但通过转轴的力对转轴的力矩为零； 与转轴平行的力对转轴的力矩为零； 与转轴平行的力对转轴的力矩为零； 刚体内各质点间内力对转轴的合力矩为零。 刚体内各质点间内力对转轴的合力矩为零。
二. 转动定律 刚体可看成无数质点组成， 刚体可看成无数质点组成，每个质点绕定轴 作半径不同的圆周运动。 作半径不同的圆周运动。 外力 质点P 质点 i的切向运动为
二. 刚体的平动和转动 刚体运动时， 平动 刚体运动时，其中任一直线的方位始终 保持不变
质心运 动轨迹
刚体作平动，其中各点的速度、加速度相等， 刚体作平动，其中各点的速度、加速度相等， 运动轨迹都相同，整个刚体可当作质点来处理， 运动轨迹都相同，整个刚体可当作质点来处理， 满足牛顿定律。 满足牛顿定律。
转动 刚体中所有质点都绕着一直线作圆周运动
转轴 转 轴 放 大 转轴 转 轴
作 用 力
转 轴 转轴
动
刚体的一般运动可以当作由一平动和一绕瞬 时轴的转动组合而成。 时轴的转动组合而成。
绕轴转动
车轮绕 轴转动 转轴平动 转轴 轮轴平动
平动和转动（转轴位置变） 平动和转动（转轴位置变）
三. 定轴转动 转轴固定的转动 特点 刚体中任一点都在垂直于轴的平面内 作半径不同的圆周运动；在同一时间间隔内， 作半径不同的圆周运动；在同一时间间隔内，各 质点的角位移相等；同一时刻， 质点的角位移相等；同一时刻，各质点的角速度 和角加速度相等。 和角加速度相等。
FN
α
′ ′ FT1 = FT1 , FT2 = FT2
假设滑轮沿顺时针 方向转动
m2 m1
FT2 ′ FT2
m2
m2 g
FT1
′ FT1
a2
m1
a1
m1 g
选取物体运动方向为坐标轴正向， 选取物体运动方向为坐标轴正向，根据牛顿第 二定律和转动定律可得
m 1 g − F T1 = m 1 a 1 F T2 − m 2 g = m 2 a 2 F T1 R1 − F T2 R 2 = J α
§5-1 刚体的平动、转动和定轴转动 刚体的平动、
一. 刚体 刚体 在外力作用下形状和大小都不变化的物体 刚体是一种理想模型， 刚体是一种理想模型，在外力作用下任意两 点间的距离保持不变。 点间的距离保持不变。
形状大小不变 可视为刚体
形状改变， 形状改变，不能视为刚体
有许多物体在外力不甚大时， 有许多物体在外力不甚大时，形状和大小改 变不显著，可视为刚体。 变不显著，可视为刚体。
转轴 转轴
转轴
用角位移 ∆θ 、角速度ω 和 作为描写刚体绕定轴 角加速度α 作为描写刚体绕定轴 转动的物理量。匀角加速运动有 转动的物理量。匀角加速运动有 关系式 1 2 θ = θ0 + ω0t + αt ω = ω0 +αt 2 θ = θ0 + ωt 匀角速运动有 匀角速运动有
转轴 ∆θ r P
内力成对出现，内力产生的力矩和等于零， 内力成对出现，内力产生的力矩和等于零，即
∑ F ′r
i
it i
=0
外力产生的力矩的代数和为
M = ∑Fi t ri
对一定的转轴，刚体的转动惯量表示为 对一定的转轴，刚体的转动惯量表示为 转动惯量
J = ∑∆mi ri2
i
得刚体的角加速度与它所受的合外力矩成正比， 得刚体的角加速度与它所受的合外力矩成正比， 与刚体的转动惯量成反比， 与刚体的转动惯量成反比，即
决定刚体的转动惯量大小的因素为 决定刚体的转动惯量大小的因素为 刚体的总质量； 刚体的总质量； 刚体的质量分布； 刚体的质量分布； 刚体的转轴的位置。 刚体的转轴的位置。
转轴I 转轴
转轴II 转轴
总质量 m ri′ ri ∆mi
1. 转动惯量的计算 质点组成的系统的转动惯量 质点组成的系统的转动惯量
1800 rad/s = 60π rad/s ω0 = 2πn = 2π × 60 t = 20 s ω = 0,
飞轮均匀减速，为匀变速转动， 飞轮均匀减速，为匀变速转动，角加速度为
α= ω − ω0
t 60π rad/s = −3π rad/s2 =− 20
及转数N 从开始制动到停止转动飞轮的角位移 θ 及转数 为
J = ∑m r = m r + m r + m r +⋯
2 i i 2 11 2 2 2 2 3 3 i
质量连续分布的物体的转动惯量 质量连续分布的物体的转动惯量 转轴
转轴 L
λ 线密度
r
J = ∫ r 2dm
转轴 r S
dm = λdl
线元
V
dm = ρdV r 体元
ρ 体密度
J = ∫ r λdl
m 圆盘的质量面密度σ = 2 ， πr
dx O r
代入上式得
1 J = mr 2 2
2. 转动定律的应用 基本步骤： 基本步骤： 隔离法选择研究对象； 隔离法选择研究对象； 质点受力分析和刚体受力矩分析； 质点受力分析和刚体受力矩分析； 对质点运用牛顿定律，对刚体运用转动定律； 对质点运用牛顿定律，对刚体运用转动定律； 建立角量与线量的关系，求解方程； 建立角量与线量的关系，求解方程； 结果分析及讨论。 结果分析及讨论。
M = Fd
作用力 方向
转轴
1.力位于垂直于转轴的平面内 1.力位于垂直于转轴的平面内 力臂为
d = rsinϕ
转轴
r
F
M = Fr sinϕ = F⊥r
ϕ
d
如果力的作用线通过转轴， 如果力的作用线通过转轴， 垂直于转轴的平面 力臂为零，力矩等于零。 力臂为零，力矩等于零。 2.力不在垂直于转轴的平面内 2.力不在垂直于转轴的平面内 将作用力分解为与转轴垂 直和与转轴平行的二个分力
转轴 F2
F
F 1
M = F r sinϕ 1
r