信号相位重构的两种方法

实验结果：迭代1000次 实验结果：迭代1000次
实验结果：迭代10000次 实验结果：迭代10000次
结论：二、迭代算法下，相位恢复收敛较快，幅度恢复（相位反演）没有 明显效果
实验结果：采取较暗的初值，迭代100次， 实验结果：采取较暗的初值，迭代100次， FFT长度=256*256，原图为256*256 FFT长度=256*256，原图为256*256
x[n]。如果这个条件不满足，后面我们可以看到 则难以精确恢复出 x[n]，或者收敛速度会非常慢
从一维信号序列开始分析
第一步，随意假设非零 X 0 ( K ) （K=0,…,M-1） 作为缺失的频谱幅度，并构造 X 1 ( K ) = X 0 ( K ) e jθ ( K ) 第二步：生成 x [n], y [n]
第四步： X 2 (ω ,η ) = Y1 (ω ,η ) e jθ 第五步：返回第二步
x ( ω ,η )
实验结果：迭代1 实验结果：迭代1次
X相位+Y幅度=>
X幅度+Y相位=>
结论：一、相位信息包含了原图象认知上的绝大部分信息
实验结果：迭代20次 实验结果：迭代20次
实验结果：迭代100次 实验结果：迭代100次
HX = 0
二维图像相位恢复的闭式解法
第二步：求线性方程组的最优解
◦ 方法很多不再赘述
实验结果：采取较亮的初值，迭代100次， 实验结果：采取较亮的初值，迭代100次， FFT长度=512*512 FFT长度=512*512
结论：四、迭代算法初值影响到收敛速度，在零点不是很多情况下对恢复 效果影响不大
方法二
闭式解法（Closed Form Solution）
二维图像相位恢复的闭式解法
信号相位重构的两种方法
问题
仅知道信号频谱的相位信息，如何恢复出原来的 信号 迭代法和闭式解法（线性方程组最优解）
方法一
迭代法, 已作实现 参考课本及下面这篇文献
Monson H. Hayes, Jae S. Lim, Alan V. Oppenheim,
Signal Reconstruction from Phase or Magnitude,
结论：一、算法收敛，迭代次数越多越精确；二、FFT长度越长， 收敛越快
二维图像的相位恢复
跟一维原理相同
◦ 图像x[i,j] i=0,…,N-1; j=0,…,M-1的DFT为
X (ω ,η ) = X (ω ,η ) e jθ x (ω ,η )
ω = 0,..., 2 N − 1 η = 0,..., 2 M − 1
二维图像的相位恢复
第一步：假设任意 X 0 (ω ,η ) 作为缺失的频谱幅度， 可由已知图像产生，构造 X 1 (ω ,η ) = X 0 (ω ,η ) e jθ (ω ,η ) 第二步：生成 x [i, j ], y [i, j ]
x
1 1
x1 = ifft 2( X 1 , 2 N , 2 M ) y1[i, j ] = real ( x1[i, j ] ) i = 0,..., N ; j = 0,..., M 第三步： Y1 = fft 2( y1 , 2 N , 2 M )
x
1 1
x1 = ifft ( X 1 , M ) y1[n] = x1[n] n = 0,..., N − 1
Βιβλιοθήκη Baidu
第三步： Y1 = fft ( y1 , M ) 第四步： X 2 ( K ) = Y1 ( K ) e jθ ( K ) 第五步：返回第二步，最后取 yi [n] 作为原信号恢 复值
x
算法效果
IEEE Transaction on Acoustics, Speed, and Signal Processing, vol. ASSP-28, No. 6, pp. 672-680, Dec. 1980
迭代法
一维信号序列x[n]（n=0,…N-1）的离散傅里叶 变换(DFT)可表示成
X ( K ) = X ( K ) e jθ x ( K ) K = 0,..., M − 1 假设M>=2N，则我们可以由 θ x ( K ) 精确恢复出
第一步：构造线性方程组 ∑∑x(m, n)sin(ωm+ηn) X
M −1 N−1
tanθx (ω,η) =
I
XR
m 0n 0 = − M=1 N=1 − − m=0 n=0
∑∑x(m, n)cos(ωm+ηn)
X为1*MN的向量：x(0,0), x(0,1), …. , x(M-1,N-1) (ω ,η ) 每取一个采样值，便可得到X的一个方程 注意 θ x (ω ,η ) ≠ π / 2
实验结果：采取较暗的初值，迭代100次， 实验结果：采取较暗的初值，迭代100次， FFT长度=512*512 FFT长度=512*512
结论：三、FFT长度影响到恢复效果和收敛速度
实验结果：采取较亮的初值，迭代100次， 实验结果：采取较亮的初值，迭代100次， FFT长度=256*256 FFT长度=256*256