平行于同一平面的向量叫做共面向量

共 57 页
9
4．两个向量的数量积 (1)向量a、b的数量积a· b＝ |a||b |cos〈a，b〉． (2)向量的数量积的性质： ①a· e＝ |a|cos〈a，e〉(e是单位向量)； ②a⊥b⇔a· b＝0； ③|a |2＝a· a. (3)向量的数量积满足如下运算律 ①(λ· a)· b＝λ(a· b )； ②a· b＝b· a(交换律)； ③a· (b＋c)＝a· b＋a· c(分配律)．
共 57 页 10
考点陪练 1.下列命题是真命题的是( )
A．分别表示空间向量的有向线段所在的直线是异面直线， 则这两个向量不是共面向量 B．若 |a |＝ |b|，则a，b的长度相等而方向相同或相反 → → → → → → → C．若向量 AB ， CD 满足| AB |>| CD |，且 AB 与 CD 同向，则 AB → >CD → → → → → → D．若两个非零向量 AB与CD 满足 AB＋CD ＝0，则 AB∥CD

答案：D
共 57 页 12
2．已知A、B、 C三点不共线，点O 是平面ABC外一点，则在 下列各条件中，能得到点M与A、B、 C一定共面的条件为( → 1→ 1→ 1→ A.OM＝ OA＋ OB＋ OC 2 2 2 → 1→ 1→ → B.OM＝ OA－ OB＋OC 3 3 → → → → C.OM＝OA＋ OB＋OC → → → → D.OM＝2OA－OB＋OC
→ → → 解析：由共面向量定理的推论知 OA 、 OB 、 OC 的系数之和为
)
1 1 1，选项B中 ＋－ ＋ 1＝ 1符合． 3 3

答案：B
共 57 页
13
3．已知正方体ABCD －A′B′ C′D ′中，点 F是侧面 → → → → CDD′ C′的中心，若 AF＝AD＋xAB＋yAA′，则x－y 等于( A．0 C. 1 2 B．1 D．－ 1 2 )
共 57 页 11
解析： A错．因为空间任两向量平移之后可共面，所以空间 任两向量均共面． B错．因为 |a|＝ |b|仅表示 a与 b的模相等，与方向无关． → → C错．空间任两向量不研究大小关系，因此也就没有 AB > CD 这种写法． → → → → D对，∵AB＋ CD ＝ 0，∴AB＝－CD ， → → → → ∴AB与 CD 共线，故AB∥CD 正确．
源自文库
共 57 页
8
3．空间向量基本定理 如果三个向量a、b、c 不共面，那么对空间任一向量p存在一 个唯一的有序实数组x ，y，z，使p＝xa＋yb＋ zc.其中{ a，b，c}叫 做空间的一个基底，a，b，c 都叫做基向量． 推论：设 O、A、B、 C是不共面的四点，则对空间任一点 P， → → 都存在唯一的三个有序实数x 、y、z，使 OP＝xOA＋ → → yOB＋zOC.
第九章(B)
直线、平面、简单几 何体
共 57 页
1
2012高考调研 考纲要求 理解空间向量的概念，掌握空间向量的加法、 减法和数乘． 1．了解空间向量的基本定理；理解空间向量坐 标的概念；掌握空间向量的坐标运算． 2．掌握空间向量的数量积的定义及其性质；掌 握用直角坐标计算空间向量数量积的公式；掌 握空间两点间距离公式． 3．理解直线的方向向量、平面的法向量、向量 2 共 57 页 在平面内的射影等概念．
→ → → 解析：如图所示.AF＝AD＋DF，
共 57 页
14
→ → → ∴DF＝ xAB＋ yAA′， → → 1 → ∴ DC′ ＝ xAB＋ yAA′， 2 → → → 1 → → ∴ AB′＝ xAB＋ yAA′＝ xAB＋ yBB′， 2 → → 1→ 1 → ∴ AB＋ BB′＝ xAB＋ yBB′， 2 2 1 ∴ x＝ y＝ ， x－ y＝ 0. 2

2．共线向量与共面向量 (1) 如果表示向量的有向线段所在的直线互相平 行或重合，则这些向量叫共线向量或 平行向 量． (2) 平行于同一平面的向量叫做共面向量．空间 任意两个向量总是共面的． (3) 共 线 向 量 定 理 ： 对 空 间 任 意 两 个 向 量 a ， b(b≠0) ， a∥b的充要条件是存在实数 λ，使 a ＝ λb.

第四十七讲 (第四十八讲(文))空间向量及其运 算

共 57 页
4
共 57 页
5
回归课本 1.空间向量及其加减与数乘运算 (1) 在空间，具有大小和方向的量叫做向量．同 向且等长的有向线段表示同一向量或相等的向 量． (2) 空间向量的加法、减法与向量数乘运算是平 面向量对应运算的推广． (3) 空间向量的加减与数乘运算满足如下运算 律． 加法交换律：a＋b＝b＋a 6 共 57 页 加法结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)

共 57 页 7
推论：如果l为经过已知点A且平行于已知非零向量a 的直 线，那么对任一点O，点 P在直线l上的充要条件是存在实数t 满足 → → 等式OP＝OA＋ta.其向量a叫做直线l的方向向量．
(4)共面向量定理：如果两个向量a、b不共线，则向量p与向 量a、b共面的充要条件是存在实数对x、y，使p＝xa＋yb. 推论：空间一点 P位于平面MAB内的充要条件是存在有序实 → → → → → 数x，y，使 MP ＝x MA ＋y MB 或对空间任一定点O ，有 OP ＝ OM ＋ → → xMA＋yMB.

考情分析 空间向量为处理立体几何问题提供了新的视角， 在高考中占有重要位置．在建立了空间直角坐 标系后，用坐标表示向量，进行向量的有关运 算．运用向量工具解决立体几何中的平行、垂 直、夹角、距离等问题，是立体几何考查的新 方向，因此必将在高考中重点体现和重点考 查． 从近几年高考试卷来看，涉及空间角(空间向量) 和存在性(开放性)问题的试题，难度多为中档或 高档． 3 共 57 页 立体几何试题一般有大、小3道题，分值约22分，

答案：A
共 57 页 15
→ → → → → → 4 ．已知空间四边形 ABCD ，则 AB · CD ＋ BC · AD ＋CA · BD ＝ __________.