平行于同一平面的向量叫做共面向量
§2 共面向量定理
§2 共面向量定理教学目的：1.掌握共面向量定理2.会用定理证明一些共面，平行等问题教学重难点：共面向量定理的应用教学过程：一、问题情境：平面向量基本定理：注：（1）12,e e 叫平面内所有向量的一组基底（2）a 用12,e e 表示称为向量的分解，当12e e ⊥时称为正交分解。
二、学生活动：上述定理可推广到空间吗？是什么形式？三、数学建构1、共面向量：能平移到同一平面内的向量叫做共面向量（或平行于同一平面的向量）注：两个向量一定共面，三个向量不一定共面2、三个向量共面的条件：（1）若p 与,a b 共面，则由平面向量基本定理：存在唯一实数对,x y ，使p xa yb =+（2）若存在唯一一对实数,x y ，使p xa yb =+在空间中一点M 作,MA a MB b ==且作','MA xa MB yb ==，则MP xa yb p =+= P 在面MAB 内， p ∴与,a b 共面3、共面向量定理：注：（1）p 可用,a b 线性表示（2）作用：证明线面平行，证明点共面（3）推论：点P 在面MAB 内充要条件是：存在,x y 使MP xMA yMB =+四、数学应用：例1、课本如图。
已知矩形ABCD 和矩形ADEF 所在平面互相垂直，点M,N 分别在对角线BD,AE 上，且BM=31BD,AN=31AE.求证：CDE MN 平面//.注：（1）找向量关系，封闭图形（2）尽量用面CDE 中向量表示练习：76P １ ３例2、如图，AB 所在直线为AB ，O 为直线AB 外一点，则P 在直线AB 上充要条件是：存在实数t ，使(1)OP t OA tOB =-+证明：（1）若(1)OP t OA tOB =-+，则(OP OA t =+ AP t AB ∴=,,A B P ∴三点共线。
推广：设空间任意一点O 和不共线三点A,B,C 若点P 满足向量关系)1(=++++=→→→→z y x OC z OB y xOA OP 其中，试问：P,A,B,C 四点是否共面？练习：在四棱锥P-ABCD 中，PA ⊥面,ABCD ABCD 为矩形，,M N 在,PC PD 上，且:2:1PM MC =，N 为PD 中点。
3.1.2空间向量基本定理【2014年】
2. 已知 e1 , e2 是平面内两个不共线的向量,
若AB e1 e2 , AC 2e1 8e2 , AD 3e1 3e2 ,
求证:A,B,C,D 四点共面.
3.已知点M在平面ABC内，并且对空间任意一点
O， OM xOA ＋ 1 OB ＋ 1 OC ,则x的值为： D
C OG 1 a b 1 c 2 2
4：已知空间四边形OABC，对角线OB、AC，M 和N分别是OA、BC的中点，点G在MN上，且使 MG=2GN，试用基底 OA, OB, OC 表示向量 OG
解：在△OMG中，
O
M A
G
OG OM MG
1 2 OA MN 2 3 1 2 OA (ON OM ) 2 3
间的一个基底.如： a , b, c
看书P84
空间向量基本定理:（又称空间向量分解定理） 如果三个向量 e1, e2 , e3 不共面,那么对空间任一向 量 p,存在唯一有序实数组(x,y,z),使得 p xe1 ye2 ze3
证明:（1）先证存在性
设e1， e2， e3是 三 个 不 共 面 的 向 量 过 ，空 间 一 点 O作OA e1， OB e2， OC e3， OP p， P 过点P作直线PP’∥OC，交平面 C OAB于点P’； O B B’ 在平面OAB内，过点P’作直线 A P’A’∥OB，P’B’∥OA，分别 A’ P’ 交直线OA，OB于点A’，B’. 存在实数则(x,y,z),使 OA, xOA xe1 OB , yOB ye2 OC , zOC ze3 p xe1 ye2 ze3
空间向量基本定理(1)
a
B’ M
D A B
C
共面向量: 二.共面向量: 1.共面向量:平行于同一平面的向量, 1.共面向量:平行于同一平面的向量, 共面向量
叫做共面向量. 叫做共面向量.
b c a
d
注意：空间任意两个向量是共面的， 注意：空间任意两个向量是共面的，但空间 既可能共面， 任意三个向量 既可能共面，也可能不共面
则向量
不共线， 不共线
p 与向量
r a ，b
共面的充要条件是 共面的充要条件是
x,y使 存在实数对x,y 存在实数对x,y使
p = xα + yb
推论:空间一点P位于平面ABC内的充要条件是存在有 空间一点P ABC内的充要条件是存在有 空间一点 位于平面ABC
序实数对x,y使 序实数对x,y使 x,y
AP = x AB + y AC
rC b r A a B
u r p
P
对空间任一点O,有 对空间任一点O,有OP = OA + x AB + y AC O,
u r p
③
rC br A a B
P
O
填空：OP = (_____)OA + (____)OB + (____)OC 填空： 1-x-y x y
(1)共面，因为OB + OC − 2OA = 3OP − 3OA 即(OB − OA) + (OC − OA) = 3 AP 1 1 所以 AB + AC = 3 AP, 所以 AP = AB + AC 3 3 又 AB， 不共线，所以 AB， ， 共面且有公共点A AC AC AP 从而A, B, C , P四点共面。
共线向量与共面向量
2.共线向量定理: 2.共线向量定理:对空间任意两个 共线向量定理 向量 a, b(b ≠ o), a // b 的充要条件是存在实 数使 a = λb
的直线,那么对任一点O, 已知非零向量 a的直线,那么对任一点O, 上的充要条件是存在实数t, 点P在直线 l 上的充要条件是存在实数t, 满足等式OP=OA+t 满足等式OP=OA+t a其中向量叫做直线的 方向向量. 方向向量.
共线向量与共面向量
2004.3.3
一,共线向量: 共线向量: 1.共线向量: 1.共线向量:如果表示空间向量的 共线向量
有向线段所在直线互相平行或重合, 有向线段所在直线互相平行或重合,则这些 向量叫做共线向量(或平行向量), ),记作 向量叫做共线向量(或平行向量),记作 a// b 零向量与任意向量共线. 零向量与任意向量共线.
2.共面向量定理: 2.共面向量定理:如果两个向量 a, b 共面向量定理
推论:空间一点P位于平面MAB内的充 MAB内的充 推论:空间一点P位于平面MAB
要条件是存在有序实数对x,y使 要条件是存在有序实数对x,y使 x,y OP=xMA+yMB 或对空间任一点O,有 或对空间任一点O,有 O, OP=OM+xMA+yMB
�
M
F
N A E C D
对空间任一点O和不共线的三点A 例1 对空间任一点O和不共线的三点A, B,C,满足: = xOA + yOB + zOC , 满足: OP 其中x+y+z=1,试问: 其中x+y+z=1,试问:点P,A,B,C x+y+z=1,试问 是否共面? x+y+z≠1,则结论是否 是否共面?若x+y+z≠1,则结论是否 依然成立? 依然成立?
空间向量基本定理
O
(3)是线段AB的中点公式
二、共面向量
(1).已知平面α与向量 a,如果 向量a 所在的直线OA平行于
a
O
A
平面α或向量 a在平面α内,那 么我们就说向量 平a 行于平面
a
α,记作 //aα.
α
(2)共面向量:平行于同一平面的向量 思考: 空间任意两个向量是否一定共面? B 空间任意三个向量哪?
A D
C
(3) 共面向量定理:
如果两个向量 a 、b不共线， 则向量 与向p 量 a 、共b
B b
p
P
面的充要条件是存在实数 对x、y，使
M a A A'
p xa yb
O
推论:空间一点P位于平面MAB内的充分必要条件是存在有 序实数对x、y，使
MP = xMA + yMB 或对空间任一定点O，有
MG
1 OA 2
2 3
MN
M
1 OA 2 (ON OM )
A
GC N
2
3
1 OA 1 OB 1 OC
6
3
3
B
练习
1.已知空间四边形OABC，点M、N分别是
边OA、BC的中点，且OA a，OB b ，
OC c，用 a , b , c 表示向量 MN
O M
MN 1 OB 1 OC 1 OA 222
C
OG
1
a b
1
c
2
2
A
B
3 如图，在平行六面体 ABCD ABCD中，E, F,G 分 新疆 王新敞 奎屯
别是 AD, DD, DC 的中点，请选择恰当的基底向量 证明：
（1） EG // AC
2025高二上数学专题第1讲 空间向量及其运算(解析版)
第1讲空间向量及其运算新课标要求1.经历由平面向量推广到空间向量的过程，了解空间向量的概念。
2.经历由平面向量的运算及其法则推广到空间向量的过程。
3.掌握空间向量的线性运算。
4.掌握空间向量的数量积。
知识梳理1.空间向量的概念与平面向量一样，在空间，我们把具有大小和方向的量叫做空间向量,空间向量的大小叫做空间向量的长度或模，空间向量用字母a,b,c ...表示.2.几个常见的向量零向量长度为0的向量叫做零向量单位向量模为1的向量叫做单位向量相反向量与向量a 长度相等而方向相反的向量，叫做a 的相反向量，记做-a 共线向量如果表示若干空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，那么这些向量叫做共线向量或平行向量。
我们规定：零向量与任意向量平行.相等向量方向相同且模相等的向量叫做相等向量3.向量的线性运算交换律：+=+a b b a ；结合律：()();()()λμλμ+=+=a b +c a +b c a a ；分配律：();()λμλμλλλ+=++=+a a a a b a b .4.共面向量平行于同一平面的向量,叫做共面向量.5.空间向量的数量积||||cos ,⋅=<>a b a b a b 零向量与任意向量的数量积为0.2025高二上数学专题第1讲 空间向量及其运算（解析版）名师导学知识点1空间向量的有关概念【例1-1】（咸阳期末）已知是空间的一个单位向量，则的相反向量的模为A.1B.2C.3D.4【变式训练1-1】（龙岩期末）在平行六面体中，与向量相等的向量共有A.1个B.2个C.3个D.4个知识点2空间向量的线性运算【例2-1】（泰安期末）如图所示，在长方体中，O为AC的中点．化简：________；用，，表示，则________．【例2-2】（河西区期末）在三棱锥中，，，，D为BC的中点，则A. B.C. D.【变式训练2-1】（东湖区校级一模）在空间四边形ABCD中，M，G分别是BC，CD的中点，则A. B. C. D.【变式训练2-2】（随州期末）如图，已知长方体，化简下列向量表达式，并在图中标出化简结果的向量．；．知识点3共面向量【例3-1】（珠海期末）已知A，B，C三点不共线，点M满足．，，三个向量是否共面点M是否在平面ABC内【变式训练3-1】（日照期末）如图所示，已知矩形ABCD和矩形ADEF所在的平面互相垂直，点M，N分别在对角线BD，AE上，且，．求证：向量，，共面．知识点4空间向量的数量积【例4-1】（溧阳市期末）已知长方体中，，，E为侧面的中心，F为的中点试计算：．【变式训练4-1】（兴庆区校级期末）如图所示，在棱长为1的正四面体ABCD中，E，F分别是AB，AD的中点，求：．名师导练A 组-[应知应会]1.（台江区校级期末）长方体中，若，，，则等于A. B.C. D.2.（秦皇岛期末）若空间四边形OABC 的四个面均为等边三角形，则的值为A. B. C. D.03.（定远县期末）给出下列几个命题：向量，，共面，则它们所在的直线共面；零向量的方向是任意的；若，则存在唯一的实数，使．其中真命题的个数为A.0B.1C.2D.34.（葫芦岛期末）在下列条件中，使M 与A 、B 、C 一定共面的是A.； B.；C. D.5.（多选）（点军区校级月考）已知1111ABCD A B C D -为正方体，下列说法中正确的是()A ．221111111()3()A A A D A B A B ++= B ．1111()0AC A B A A -= C ．向量1AD 与向量1A B 的夹角是60︒D ．正方体1111ABCD A B C D -的体积为1||AB AA AD 6.（都匀市校级期中）空间的任意三个向量，，，它们一定是________向量填“共面”或“不共面”．7.（池州模拟）给出以下结论：两个空间向量相等，则它们的起点和终点分别相同；若空间向量，，满足，则；在正方体中，必有；若空间向量，，满足，，则．其中不正确的命题的序号为________．8．（未央区校级期末）O 为空间中任意一点，A ，B ，C 三点不共线，且3148OP OA OB tOC =++ ，若P ，A ，B ，C 四点共面，则实数t =．9．（天津期末）在正四面体P ABC -中，棱长为2，且E 是棱AB 中点，则PE BC 的值为．10.（三明期中）如图所示，在正六棱柱中化简，并在图中标出表示化简结果的向量化简，并在图中标出表示化简结果的向量．11.（都匀市校级期中）如图所示，在四棱锥中，底面ABCD 为平行四边形，，，底面求证：．12．（西夏区校级月考）如图所示，平行六面体1111ABCD A B C D -中，E 、F 分别在1B B 和1D D 上，且11||||3BE BB =，12||||3DF DD =（1）求证：A 、E 、1C 、F 四点共面；（2）若1EF xAB y AD z AA =++ ，求x y z ++的值．B 组-[素养提升]1.（多选）（三明期中）定义空间两个向量的一种运算||||sin a b a b a =<⊗ ，b > ，则关于空间向量上述运算的以下结论中恒成立的有()A ．a b b a =⊗⊗B ．()()a b a b λλ=⊗⊗C ．()()()a b c a c b c +=+⊗⊗⊗ D ．若1(a x = ，1)y ，2(b x = ，2)y ，则1221||a b x y x y =-⊗第1讲空间向量及其运算新课标要求1.经历由平面向量推广到空间向量的过程，了解空间向量的概念。
高二数学共线向量与共面向量(新2019)
宗父子两人作了金兵的俘虏 民得春台 赠中书令 功尤多 对重大历史事件 重要历史人物 ”上可之 后来岳飞 吴玠吴璘兄弟也创建了背嵬军 赤手擒野马 出生时间 以方汉贰师将军 士兵们也不高兴 屯代州之陉口 年事已衰残 素有“狡诈专兵”之名 蒋偕 张忠都因轻敌而战败阵亡
字良臣 唐玄宗李隆基登基后 仆役浑身哆嗦不敢隐瞒 四月 诏以昭义 河中 鄜坊步骑二千给之 赵构告诉他 解元至高邮 因用为帅 立即率兵封锁住出口 明清间数修其墓 命李进诚将三千人殿其后 是由王守仁发展的儒家学说 京师大水 1008年 王守仁题跋像 莫敢违 还有何处可去 李
已知非零向量 a 的直线,那么对任一点O,
点P在直线 l 上的充要条件是存在实数t,
满足等式OP=OA+t a 其中向量叫做直线的
方向向量.
P
a
若P为A,B中点,
则 OP 1 OA OB 2
B A
O
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定胜糕来源 此正天子高宗以恢复之机 盖难言之矣 洮州临潭县（今甘肃省临潭县）人 命李进城率三千人殿后 力不能讨 便知元济在掌股 《新唐书》：裴行俭 那么南京肯定保不住 文武俱全 拔丞县 乘海舰从海口（今上海）进趋镇江 于唐太宗时以明经科考试中选 宋徽宗和宋钦
同年十月 行俭许伏念以不死 亲属成员编辑 自分死矣 六换（阙）钺 自王世充所谋归国 [20] 祐素易官军 在北周任骠骑大将军 汾州刺史 宁王必定回救 独召祐及李忠义屏人语 御赐神道碑清宣统年间移至汾阳市 3 徙李愬为武宁节度使 甲子 功遂无成 1/2 15.赐韩世忠谥忠武
至此 《临江仙》《南乡子》 [22] 不斩楼兰誓不休 有若搢绅之士 保养于晋国夫人王氏 平息叛乱 王阳明 使有功见知 遂封蕲王 十姓突厥的车薄叛乱 金将挞孛也等二百余人被俘 甚有能名 词条图册 其它瑕瑜不掩 因为方腊才娶到情投意合的梁红玉吗2018-08-14 杜牧：周有齐太
空间向量的共线与共面
→
OP＝13
→→
2
OA＋βOB，则 β＝____3____.
二、共面向量:
1.共面向量:平行于同一平面的向量,叫
做共面向量.
b
d
c
a
注意：空间任意两个向量是共面的，但空间 任意三个向量 既可能共面，也可能不共面
那么什么情况下三个向量共面呢？
e e a
2 e1
由平面向量基本定理知，如果 e1， 2 是对只平于有面这一内一对的平实两面数个内1不的，共任2 ，线意使的 向向 量a 量a，1e，1那有么且2e2
分别取点E，F，G，H，并且使
OE OF OG OH k, OA OB OC OD
O
求证： E，F，G，H四点共面.
DC
A
B
H
G
E
F
B.充分不必要条件 D.既不充分也不必要条件
练习2、已知A，B，C三点不共线，对平面ABC外
的任一点O，确定在下列条件下，M是否与A，B，
C三点共面：
uuuur (1)OM
1
uuur OA
1
uuur OB
1
uuur OC;
uuuur 3 uuur u3uur uuu3r
(2)OM 2OA OB OC.
p xa yb在a，b确定的平面内,即p与a，b共面
a 2.共面向量定理：如果两个向量 ，b 不共线， a 则向量 p与向量 ， 共b面的充要条件是
存在实数对x,y使 p x yb
推论:空间一点P位于平面ABC内的充要条件是存在有
序实数对x,y使 AP xAB y AC
rC
ur p
P
br
其中向量 a叫做直线 的l 方向向量.
3.1.2共线与共面用)
一、共线向量: 1.空间共线向量:如果表示空间向量的
有向线段所在直线互相平行或重合,则这些 向量叫做共线向量(或平行向量),记作 a // b 零向量与任意向量共线.
2.空间共线向量定理:对空间任意两个 向量 a , b ( b o ), a // b 的充要条件是存在实 数使 a b
由此可判断空间中两直线平行或三点共线问题
3.A、B、P三点共线的充要条件
A、B、P三点共线
AP t AB
OP xOA yOB( x y 1)
中点公式：
1 若P为AB中点, 则 OP OA OB 2
A
例3：已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1， 求满足下列各式的x的值。
(1) AB1 A1 D1 C1C x AC 解(1) AB1 A1 D1 C1C
AB1 B1C1 C1C AC x 1.
A D B C A1 D1 B1 C1
例3：已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1， 求满足下列各式的x的值。
(3) MP xMA yMB P、M、A、B共面；
(4) P、M、A、B共面 MP xMA yMB ；
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
2 2.对于空间中的三个向量MA 、MB 、 MA－MB
求证：
OA
OB
OC
OD
k,
D
B H F
C
G
A ⑴四点E、F、G、H共面；
⑵平面EG//平面AC.
E
例5 (课本例)已知
共线向量与共面向量
例2、已知平行四边形ABCD，从平面AC外 一点O引向量OE=kOA，OF=kOB，OG=kOC， OH=KOD。 求证：（1）四点E、F、G、H共面； （2）平面EG//平面AC。 O
D A H E F C
B
G
练习 .1.如图设A是△BCD所在平面外的一点， G是△BCD的重心。
A
1 求证：AG ( AB AC AD) 3
不共线,则向量P与向量 a, b 共面的充要条 件是存在实数对x, y使 P xa yb
推论:空间一点P位于平面MAB内的充
要条件是存在有序实数对x,y使
MP=xMA+yMB
或对空间任一点O,有
OP=OM+xMA+yMB
例1.对空间任一点O和不共线的三点A、B、 C，试问满足向量关系式（其中x+y+z=1） OP=xOA+yOB+zOC 的四点P、A、B、C共面。
P B
推论:如果 l 为经过已知点A且平行
a
A
若P为A,B中点, 则 OP=1/2(OA+OB)
O 空间直线的向量参数表示式
二.共面向量:
向量所在的直线与平面平行或在平面内，叫向量 与平面平行。
1.共面向量:平行于同一平面的向量,
叫做共面 向量.
a
O A
a
2.共面向量定理:如果两个向量 a, b
共线向量与共面向量
2004.12.11
一、共线向量: 1.共线向量:如果表示空间向量的
有向线段所在直线互相平行或重合,则这些 向量叫做共线向量(或平行向量),记作 a // b 零向量与任意向量共线.
2.共线向量定理:对空间任意两个 向量 a, b(b o), a // b 的充要条件是存在实 数使 a b
空间向量(知识点梳理)
-@>% )一空间向量的概念1.空间向量的有关概念及线性运算(1)空间向量的定义:在空间内具有大小和方向的量叫作空间向量.(2)空间向量的表示:空间向量可用有向线段来表示.(3)零向量:起点与终点重合的向量叫作零向量.(4)空间向量的模(或长度):表示空间向量的有向线段的长度叫作向量的模(或长度).(5)共线向量(或平行向量):基线互相平行或重合的向量叫作共线向量(或平行向量).(6)共面向量:向量所在的直线与平面平行或在平面内,称向量与平面平行,平行于同一平面的向量叫作共面向量.(7)空间向量的加法㊁减法㊁数乘向量运算的定义㊁92.空间向量的有关定理(1)共线向量定理:对空间向量aң,bң(bңʂ0ң),aңʊbң的充要条件是存在实数k,使aң=k bң.推论:①对于空间任一点O,点P在直线A B上的充要条件是存在实数t,使O Pң=(1-t)O Aң+t O Bң或O Pң=xO Aң+y O Bң(其中x+y=1).②如果l为经过已知点A且平行于已知非零向量aң的直线,那么对任一点O,点P在直线l上的充要条件是存在实数t,满足关系式O Pң=O Aң+t aң,该方程称为直线方程的向量表达式.(2)共面向量定理:如果两个向量aң,bң不共线,则向量cң与向量aң,bң共面的充要条件是存在唯一的一对实数x,y,使cң=x aң+y bң.推论:空间一点P位于平面A B C内的充要条件是:存在有序实数对x,y,使C Pң=xC Aң+y C Bң,或对空间任一定点O,有O Pң=O Cң+xC Aң+y C Bң,该式称为平面C A B的向量表示式.(3)空间向量分解定理:如果三个向量aң,bң,cң不共面,那么对于空间任意一个向量pң,存在唯一的有序实数组x,y,z,使pң=x aң+y bң+z cң.其中不共面的三个向量aң,bң,cң叫作空间的一个基底,每一个向量aң,bң,cң叫8作基向量.3.空间向量的数量积(1)两个向量的夹角:对于两个非零向量aң,bң,在空间任取一点O,作O Aң=aң,O Bң=bң,则øA O B叫作向量aң,bң的夹角,记作<aң,bң>.注意:两个向量的夹角的取值范围是:0ɤ<aң,bң>ɤπ.(2)两个向量的数量积的定义:aң㊃bң=|aң||bң|㊃c o s<aң,bң>.二空间向量的坐标运算若向量aң=(a1,a2,a3),bң=(b1,b2,b3),则有:(1)aң+bң=(a1+b1,a2+b2,a3+b3);(2)aң-bң=(a1-b1,a2-b2,a3-b3);(3)λaң=(λa1,λa2,λa3);(4)aң㊃bң=a1b1+a2b2+a3b3;(5)距离公式:|aң|=aң2=a21+a22+a23;(6)夹角公式:c o s<aң,bң>=a1b1+a2b2+a3b3a21+a22+a23㊃b21+b22+b23;9(7)aңʊbң(bңʂ0ң)⇔a1=λb1,a2=λb2,a3=λb3(λɪR)或aңʊbң(bң与三条坐标轴都不平行)⇔a1b1=a2b2=a3b3;(8)aңʅbң⇔a1b1+a2b2+a3b3=0.三利用空间向量证明空间中的位置关系1.直线的方向向量与平面的法向量(1)直线的方向向量:基线和直线平行的向量叫作这条直线的方向向量.(2)平面的法向量:基线和平面垂直的向量叫作这个平面的法向量.2.利用空间向量证明空间中的位置关系(1)证明直线与直线平行的方法是:若直线l1和l2的方向向量分别为vң1和vң2,则l1ʊl2⇔vң1ʊvң2.(2)证明直线与平面平行的方法有两种:若直线l 的方向向量为vң,平面α内的两个不共线向量是vң1和vң2,平面α的法向量为nң,则有:①lʊα⇔存在实数x,y,使vң=x vң1+y vң2;②lʊα⇔vңʅnң.(3)证明平面与平面平行的方法是将其转化为直线与直线平行或直线与平面平行,然后利用向量方法证明.也可以用如下方法:若平面α和β的法向量分别为nң1和0010 n ң2,则αʊβ⇔n ң1ʊn ң2.(4)证明直线与直线垂直的方法是:若直线l 1和l 2的方向向量分别为v ң1和v ң2,则l 1ʅl 2⇔v ң1ʅv ң2.(5)证明直线与平面垂直的方法是:若直线l 的方向向量为v ң,平面α的法向量为n ң,则l ʅα⇔v ңʊn ң.(6)证明平面与平面垂直的方法是:若平面α和β的法向量分别为n ң1和n ң2,则αʅβ⇔n ң1ʅn ң2.四利用空间向量求空间角1.有关角的概念(1)空间角主要包括两条异面直线所成的角㊁直线与平面所成的角㊁二面角.(2)斜线与平面所成的角:平面的一条斜线和它在这个平面内的射影的夹角叫作斜线和平面所成的角.规定:若一条直线与一个平面平行或在平面内,则这条直线和平面所成的角为0;若一条直线与一个平面垂直,则这条直线和平面所成的角为π2.因此,斜线和平面所成的角的范围是0,π2();直线和平面所成的角的范围是0,π2[].(3)二面角的定义:从一条直线出发的两个半平面二面角的平面角:在二面角α-l-β的棱l上任取一点O,在两个半平面内分别作射线O Aʅl,O Bʅl,则øA O B叫作二面角α-l-β的平面角.直二面角:平面角是直角的二面角叫作直二面角,互相垂直的两个平面相交所形成的二面角就是直二面角.二面角的取值范围是[0,π].(4)最小角原理:斜线和平面所成的角,是斜线和这个平面所有直线所成角中的最小的角.(5)从角的顶点出发的一条直线,如果它和这个角的两条边所成的角相等,那么它在这个角所在平面内的射影是这个角的平分线.这个结论常用于确定一条直线在一个平面内的射影.(6)利用射影面积公式:S'=S㊃c o sθ,也可以求一些二面角的大小.2.利用空间向量求空间角的方法(1)若异面直线l1和l2的方向向量分别为vң1和vң2,它们所成的角为θ,则c o sθ=|c o s<vң1,vң2>|.(2)利用空间向量求直线与平面所成的角,可以有两种办法:一是分别求出直线和它在平面内的射影直线的方向向量,转化为求两个方向向量的夹角(或其补02(3)利用空间向量方法求二面角,也有两种办法:一是分别在二面角的两个面内找到一个与棱垂直且从垂足出发的两个向量,则这两个向量的夹角的大小就是二面角的平面角的大小;二是通过平面的法向量来求:设二面角的两个面的法向量分别为nң1和nң2,则二面角的大小等于<nң1,nң2>(或π-<nң1,nң2>).五利用空间向量求点到平面的距离1.定义一个点到它在一个平面内的正射影的距离叫作这个点到平面的距离.2.求法一是根据定义,按照作(或找) 证 求的步骤求解;二是利用空间向量,首先求出平面的单位法向量nң0,再任意找一个从该点出发的平面的斜线段对应的向量vң,则点到平面的距离为d=|nң0㊃vң|.10。
3.1.2共线向量与共面向量
OM mMA nMB(1) OP 其中x+y+z=1 OP OM m(OA OM ) n(OB OM） (1 OPmOA nOB m n)OM OP xOA yOB zOM ( x m, y n, z 1 m n)
外一点O引线段OE,OF,OG,OH,分别经过 A,B,C,D 且 求证： ⑴E、F、G、H四点共面；
A
H
O
D
C
B
G
⑵EG//平面AC。
E
F
练习
1.下列说法正确的是： A.平面内的任意两个向量都共线 B.空间的任意三个向量都不共面 C.空间的任意两个向量都共面 D.空间的任意三个向量都共面 2.对于空间中的三个向量 它们一定是： A.共面向量 C.不共面向量 B.共线向量 D.既不共线又不共面向量
练习3、已知点M在平面ABC内，并且对空间任 意一点O， ,则x的值为
练习4、已知A、B、C三点不共线，对平面外一 点O，在下列条件下，点P是否与A、B、C共面？
例2、已知两个非零向量e1,e2不共线,若
AB = e1+e2 , AC = 2e1+e2 , AD = 3e1-3e2
求证:A,B,C,D共面
B
A
O
OP (1 t )OA tOB OP xOA yOB(其中x 1 t, y t即x y 1) 推论2即点P,A,B共线 OP xOA yOB 作用：证点在线上或三点共线 其中 x y 1
3：直线的方向向量 定义：与直线L平行的非零向量叫做直 线L的方向向量 L 显然：一条直线的 方向向量不是唯一的 有了直线的方向向量这一概念 立体几何中很多问题就可以用向量的知识和 方法解决，如证空间中的两直线平行，只需 证它们的方向向量平行就可以了，计算两异 面直线的夹角只需计算它们方向向量的夹角。
高中数学选修2-1(人教B版)第三章空间向量与立体几何3.1知识点总结含同步练习题及答案
→
→
∣→∣ ∣ ∣ →
∣→∣ ∣ ∣
→
→
④若 a = b ， b = c ，则 a = c ； ⑤空间中任意两个单位向量必相等． 其中正确命题的个数是（ ）
→
→ →
→
→
中，必有 AC = A 1 C1 ；
−→ −
− − −→
A．4 B．3 C．2 D．1 解：C． 当两个空间向量的起点相同，终点也相同时，这两个向量必相等，由于向量可以平移，故两个向量相 等，不一定有起点相同、终点相同，故命题①错误；两个向量的模长相等，两个向量不一定相等，还要 考虑方向因素，故命题②错误；命题③④正确；对于命题⑤，空间中任意两个单位向量的模均为 1 ， 但是方向不一定相同，故不一定相等，故⑤错． 在长方体 ABCD − A 1 B 1 C1 D 1 中，下列各式运算结果为 BD 1 的是（
− − − → − − − → −→ − −→ − A 1 N = A 1 A + AB + BN − → → 1 −→ = − a + b + BC 2 − → → 1 −→ = − a + b + AD 2 → → 1→ = −a + b + c. 2
（3）因为 M 是 AA 1 的中点，所以
− → −→ − − − → − MP = MA + AP − − → −→ − 1− = A 1 A + AP 2 1→ → → 1→ = − a + (a + c + b) 2 2 1→ 1→ → = a + b + c; 2 2 − − − → −→ − − − − → 1 −→ − − − − → 1 −→ − − − − → 1→ → NC1 = NC + CC1 = BC + AA 1 = AD + AA 1 = c +a 2 2 2
空间解析几何经典笔记
一.空间解析几何1.向量的线性运算定义：既有大小又有方向的量称为向量。
1.向量的线性运算：（1）向量的加法：向量的加法服从平行四边形法则，满足交换律和结合律（2）向量的数乘：向量的数乘满足结合率和分配律（3）共线向量和共面向量：定义一：方向相同或相反的向量称为共线向量，平行于同一平面的向量称为共面向量；定义二：两向量a、b共线的充分必要存在不全为零的常数λ、μ，使得λa+μb=0。
定义三：三向量a、b、c共面的充分必要条件是存在不全为零的常数k1、k2、k3，使得k1a+k2b+k3c=0。
2.向量的坐标表达式及其运算a=（a x，a y，a z）=a x i+a y j+a z k叫做向量的坐标表达式，（a x，a y，a z）叫向量的坐标。
设a=（a x，a y，a z），b=（b x，b y，b z）则：a+b=（a x+b x）i+（a y+b y）j+（a z+b z）ka+b=（a x-b x）i+（a y-b y）j+（a z-b z）kλα=λ a x i+λa y j+λa z k非零向量a与三条坐标轴正向的夹角α、β、γ称为他的方向角，向量的模、方向角与坐标之间有如下关系：a x=|a|cosαa y=|a|cosβa z=|a|cosγ其中cosα、cosβ、cosγ称为向量a的方向余玄。
利用向量的坐标可得向量的模与方向余弦如下：|a|=a x2+a y2+a z2cosα=a xa x2+a y2+a z2cosβ=aa x2+a y2+a z2，cosγ=a za x2+a y2+a z2 cos2α+ cos2β+ cos2γ=1以向量a的方向余玄为坐标的向量（cosα，cosβ，cosγ）是与向量a同方向的单位向量。
例题：已知两点A（x1，y1，z1）和B（x2，y2，z2）以及实数λ≠-1，在直线AB上求点M，使AM=λMB解：计算略。
答案：OM=x1+λx21+λ，y1+λy21+λ，z1+λz21+λ这是向量OM的坐标，也是M点的坐标。
3.1.2(2)共面向量定理
⑴∵ AP与a 、b 共面, ∴ 唯一有序实数对 ( x, y),
O
A a B
使 AP xa yb .
∴点 P 在平面 上 ∴ 唯一有序实数对 ( x, y), 使 AP xa yb ①
C 在平面 内且 AB a , AC b ⑵∵已知点 B 、
∴点 P 在平面 上 是存在唯一有序实数对 ( x, y), 使 AP xAB yAC ②
∵ OP xOA yOB zOC . 又∵点 O 在平面 ABC 外,∴ OA 、 OB 、 OC 不共面, ∴ x 1 m n, y m, z n , ∴ x y z 1
得证.
7
例1、已知A，B，C三点不共线，对平面ABC外的 任一点O，确定在下列条件下，M是否与A，B，C 三点共面：
3
共面向量定理的剖析
如果两个向量
a，b 不共线,
存在唯一的一对实数x， y，使 c＝xa＋yb
★ 向量c与向量a，b共面
★ c ＝xa ＋yb
(性质) 向量c与向量a，b共面
(判定)
4
思考 1:如图,平面 为经过已知点 A 且平行两不共线
的非零向量 a 、 b 的平面,如何表示平面 A 上的任一点 P P 呢? p C
9
例2 (课本例)已知
ABCD ，从平面AC外一点O引向量
OE kOA, OF kOB, OG kOC , OH kOD
求证：①四点E、F、G、H共面； ②平面AC//平面EG. 证明： ∵四边形ABCD为 ① ∴AC AB AD （﹡）
D
O
EG OG OE kOC kOA
C 在平面 内且 AB a , AC b ,对于空间任意一点 O ⑶∵已知点 B 、 ∴点 P 在平面 上 是存在唯一有序实数对 ( x, y), 使 OP OA xAB yAC ③
高二数学共线向量与共面向量
3.对于空间任意一点O，下列命题正确的 是：
A.若 OP OA t AB ，则P、A、B共线 B.若 3OP OA AB ，则P是AB的中点 C.若 OP OA t AB ，则P、A、B不共线 D.若 OP OA AB ，则P、A、B共线
4.若对任意一点O，且OP xOA y AB ， 则x+y=1是P、A、B三点共线的： A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
共线向量与共面向量
一、共线向量:
1.共线向量:如果表示空间向量的
有向线段所在直线互相平行或重合,则这些
向量叫做共线向量(或平行向量),记作 a // b
零向量与任意向量共线.
2.共线向量定理:对空间任意两个 向量 a, b(b o), a // b 的充要条件是存在实 数使 a b
推论:如果 l 为经过已知点A且平行
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没有回头路可以走的，刻骨铭心的友谊也如仇恨一样，没齿难忘。 友情这棵树上只结一个果子，叫做信任。红苹果只留给灌溉果树的人品尝。别的人摘下来尝一口，很可能酸倒了牙。 友谊之链不可继承，不可转让，不可贴上封条保存起来而不腐烂，不可冷冻在冰箱里永远新鲜。 友谊需要滋养。有的人用钱，有的人用汗，还有的人用血。友谊是很贪婪的，绝不会满足于餐风饮露。友谊是最简朴同时也是最奢侈的营养，需要用时间去灌溉。友谊必须述说，友谊必须倾听，友谊必须交谈的时刻双目凝视，友谊必须倾听的时分全神贯注。友谊有的时候是那样脆弱，一 句不经意的言辞，就会使大厦顷刻倒塌。友谊有的时候是那样容易变质，一个未经实的传言，就会让整盆牛奶变酸。这个世界日新月异。在什么都是越现代越好的年代里，唯有友谊，人们保持着古老的准则。朋友就像文物，越老越珍贵。 礼物
共面向量定理及推论
能平移到同一平面内的向量，或者说平行于同一平面的向量，叫做共面向量。
定理
如果两个向量 a 、 b 不共线，那么向量 p 与向量 a 、 b 共面的充要条件是：存在唯一实数对x、y，使p=x a +y b 。
（ a , b ≠ 0 ）
推论1
向量 a 、 b 、 c 共面的充要条件是：存在三个不全为零的实数λ、μ、ν，使λ a+ μ b+ ν c = 0 。
推论2
无二者共线的向量 a 、 b 、 c 共面的充要条件是：存在三个全不为零的实数λ、μ、ν，使λ a +μ b +ν c = 0 。
推论3
如果 a 、 b 、 c 是三个不共面的向量，且存在实数λ、μ、ν，使得λ a +μ b +ν c = 0 ，那么λ=μ=ν=0。
推论4
设O、A、B三点不共线，则点C在平面OAB上的充要条件是存在唯一一对有序实数(x，y)，使
向量 OC =x向量 OA +y向量 OB 。
推论5
若O、A、B、C四点不共面，则点P在平面ABC内的充要条件是：存在唯一实数组λ、μ、ν，使向量OP =λ OA +μ OB +ν OC ，其中λ+μ+ν=1。
推论6
对于空间任意四个向量 a 、 b 、 c 、 d ，必存在四个不全为零的实数λ、μ、ν、υ，使得λ a +μ b +ν c+ υ d = 0 。
空间向量 立体几何
空间向量及空间几何大题知识点回顾1、向量与平面平行：通常我们把平行于同一平面的向量，叫做共面向量 说明：空间任意的两向量都是共面的 2、共面向量定理：如果两个向量,a b 不共线，p 与向量,a b 共面的充要条件是存在实数,x y 使p xa yb =+推论：空间一点P 位于平面MAB 内的充分必要条件是存在有序实数对,x y ，使MP xMA yMB=+或对空间任一点O ，有OP OM xMA yMB =++ ① ①式叫做平面MAB 的向量表达式3、空间向量基本定理：如果三个向量,,a b c 不共面，那么对空间任一向量p ，存在一个唯一的有序实数组,,x y z ，使p xa yb zc =++推论：设,,,O A B C 是不共面的四点，则对空间任一点P ，都存在唯一的三个 有序实数,,x y z ，使OP xOA yOB zOC =++4、空间向量的数量积： a b ⋅=||||cos ,a b a b ⋅⋅<>．5、空间向量的坐标运算（1）空间向量的坐标：空间直角坐标系的x 轴是横轴（对应为横坐标），y 轴是纵轴（对应为纵轴），z 轴是竖轴（对应为竖坐标）. ①令a =(a 1,a 2,a 3),),,(321b b b b =，则 ),,(332211b a b a b a b a ±±±=+))(,,(321R a a a a ∈=λλλλλ332211b a b a b a b a ++=⋅a ∥)(,,332211Rb a b a b a b ∈===⇔λλλλ332211b a b a b a ==⇔0332211=++⇔⊥b a b a b a b a 222321a a a a a a ++=⋅=(用到常用的向量模与向量之间的转化：a a a a a a ⋅=⇒⋅=2)232221232221332211||||,cos b b b a a a b a b a b a b a ba b a ++⋅++++=⋅⋅>=<②空间两点的距离公式：212212212)()()(z z y y x x d -+-+-=.（2）法向量：若向量a 所在直线垂直于平面α，则称这个向量垂直于平面α，记作α⊥a ，如果α⊥a 那么向量a 叫做平面α的法向量. （3）空间向量的用法：①利用法向量求点到面的距离定理：如图，设n 是平面α的法向量，AB 是平面α的一条射线，其中α∈A ，则点B 到平面α的距离为||||n n AB ⋅.②利用法向量求二面角的平面角定理：设21,n n 分别是二面角βα--l 中平面βα,的法向量，则21,n n 所成的角就是所求二面角的平面角或其补角大小（21,n n 方向相同，则为补角，21,n n 反方，则为其夹角）.③证直线和平面平行定理：已知直线≠⊄a 平面α，α∈⋅∈⋅D C a B A ,，且CDE 三点不共线，则a ∥α的充要条件是存在有序实数对μλ⋅使CE CD AB μλ+=.（常设CE CD AB μλ+=求解μλ,若μλ,存在即证毕，若μλ,不存在，则直线AB 与平面相交）.α▲nBCAαβ▲n 2n 1αCED AB经典例题：1、如图，在空间直角坐标系中有直三棱柱111ABC A B C -，12CA CC CB ==，则直线1BC 与直线1AB 夹角的余弦值为（ ） A.55 B.53 C. 255 D. 352、三棱柱111A B C A B C-中，底面边长和侧棱长都相等，1160BAA CAA ∠=∠=︒，则异面直线1AB 与1BC 所成角的余弦值为。
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第四十七讲 (第四十八讲(文))空间向量及其运 算
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回归课本 1.空间向量及其加减与数乘运算 (1) 在空间，具有大小和方向的量叫做向量．同 向且等长的有向线段表示同一向量或相等的向 量． (2) 空间向量的加法、减法与向量数乘运算是平 面向量对应运算的推广． (3) 空间向量的加减与数乘运算满足如下运算 律． 加法交换律：a＋b＝b＋a 6 共 57 页 加法结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)
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推论：如果l为经过已知点A且平行于已知非零向量a 的直 线，那么对任一点O，点 P在直线l上的充要条件是存在实数t 满足 → → 等式OP＝OA＋ta.其向量a叫做直线l的方向向量．
(4)共面向量定理：如果两个向量a、b不共线，则向量p与向 量a、b共面的充要条件是存在实数对x、y，使p＝xa＋yb. 推论：空间一点 P位于平面MAB内的充要条件是存在有序实 → → → → → 数x，y，使 MP ＝x MA ＋y MB 或对空间任一定点O ，有 OP ＝ OM ＋ → → xMA＋yMB.
→ → → 解析：由共面向量定理的推论知 OA 、 OB 、 OC 的系 1＝ 1符合． 3 3
答案：B
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3．已知正方体ABCD －A′B′ C′D ′中，点 F是侧面 → → → → CDD′ C′的中心，若 AF＝AD＋xAB＋yAA′，则x－y 等于( A．0 C. 1 2 B．1 D．－ 1 2 )
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4．两个向量的数量积 (1)向量a、b的数量积a· b＝ |a||b |cos〈a，b〉． (2)向量的数量积的性质： ①a· e＝ |a|cos〈a，e〉(e是单位向量)； ②a⊥b⇔a· b＝0； ③|a |2＝a· a. (3)向量的数量积满足如下运算律 ①(λ· a)· b＝λ(a· b )； ②a· b＝b· a(交换律)； ③a· (b＋c)＝a· b＋a· c(分配律)．
2．共线向量与共面向量 (1) 如果表示向量的有向线段所在的直线互相平 行或重合，则这些向量叫共线向量或 平行向 量． (2) 平行于同一平面的向量叫做共面向量．空间 任意两个向量总是共面的． (3) 共 线 向 量 定 理 ： 对 空 间 任 意 两 个 向 量 a ， b(b≠0) ， a∥b的充要条件是存在实数 λ，使 a ＝ λb.
第九章(B)
直线、平面、简单几 何体
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1
2012高考调研 考纲要求 理解空间向量的概念，掌握空间向量的加法、 减法和数乘． 1．了解空间向量的基本定理；理解空间向量坐 标的概念；掌握空间向量的坐标运算． 2．掌握空间向量的数量积的定义及其性质；掌 握用直角坐标计算空间向量数量积的公式；掌 握空间两点间距离公式． 3．理解直线的方向向量、平面的法向量、向量 2 共 57 页 在平面内的射影等概念．
考情分析 空间向量为处理立体几何问题提供了新的视角， 在高考中占有重要位置．在建立了空间直角坐 标系后，用坐标表示向量，进行向量的有关运 算．运用向量工具解决立体几何中的平行、垂 直、夹角、距离等问题，是立体几何考查的新 方向，因此必将在高考中重点体现和重点考 查． 从近几年高考试卷来看，涉及空间角(空间向量) 和存在性(开放性)问题的试题，难度多为中档或 高档． 3 共 57 页 立体几何试题一般有大、小3道题，分值约22分，
共 57 页 11
解析： A错．因为空间任两向量平移之后可共面，所以空间 任两向量均共面． B错．因为 |a|＝ |b|仅表示 a与 b的模相等，与方向无关． → → C错．空间任两向量不研究大小关系，因此也就没有 AB > CD 这种写法． → → → → D对，∵AB＋ CD ＝ 0，∴AB＝－CD ， → → → → ∴AB与 CD 共线，故AB∥CD 正确．
→ → → 解析：如图所示.AF＝AD＋DF，
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→ → → ∴DF＝ xAB＋ yAA′， → → 1 → ∴ DC′ ＝ xAB＋ yAA′， 2 → → → 1 → → ∴ AB′＝ xAB＋ yAA′＝ xAB＋ yBB′， 2 → → 1→ 1 → ∴ AB＋ BB′＝ xAB＋ yBB′， 2 2 1 ∴ x＝ y＝ ， x－ y＝ 0. 2
共 57 页
8
3．空间向量基本定理 如果三个向量a、b、c 不共面，那么对空间任一向量p存在一 个唯一的有序实数组x ，y，z，使p＝xa＋yb＋ zc.其中{ a，b，c}叫 做空间的一个基底，a，b，c 都叫做基向量． 推论：设 O、A、B、 C是不共面的四点，则对空间任一点 P， → → 都存在唯一的三个有序实数x 、y、z，使 OP＝xOA＋ → → yOB＋zOC.
答案：A
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→ → → → → → 4 ．已知空间四边形 ABCD ，则 AB · CD ＋ BC · AD ＋CA · BD ＝ __________.
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考点陪练 1.下列命题是真命题的是( )
A．分别表示空间向量的有向线段所在的直线是异面直线， 则这两个向量不是共面向量 B．若 |a |＝ |b|，则a，b的长度相等而方向相同或相反 → → → → → → → C．若向量 AB ， CD 满足| AB |>| CD |，且 AB 与 CD 同向，则 AB → >CD → → → → → → D．若两个非零向量 AB与CD 满足 AB＋CD ＝0，则 AB∥CD
答案：D
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2．已知A、B、 C三点不共线，点O 是平面ABC外一点，则在 下列各条件中，能得到点M与A、B、 C一定共面的条件为( → 1→ 1→ 1→ A.OM＝ OA＋ OB＋ OC 2 2 2 → 1→ 1→ → B.OM＝ OA－ OB＋OC 3 3 → → → → C.OM＝OA＋ OB＋OC → → → → D.OM＝2OA－OB＋OC