04章平面任意力系

y
q
q
力这是平面同向平行力系的合成问题。 解：
显然其合力 Fq的方向与均布载荷的方向相同， 即 Fq ql
A
B
x
x
dx
xC
l
现来确定合力 Fq 的作用位置：取梁的 A 端为坐标原点，建立如图坐标系。 在 x 处取微段 dx ，则均布载荷在 dx上的合力
dFq qdx
此微力对点 A 的矩为
M A (dFq ) xqdx
22
解:（1）选取曲柄 OA 为研究对象。
因为杆 AB 为二力杆(图b)，所以其受力图如图a 。
M 0
得
M FA r 0
FA
图a 图b
M r （2）选取杆BC 与滑块 C 组成的分系统为研究对 象，其受力图如图c所示。
以未知力 FC 、 D 的交点 H 为矩心，列平衡方程： F
F1
A
F2
B
A
F 1
F2
M
P
C
B
图a
当系统中未知量的数目多于独立平衡方程的数目，未知量就 不能全部由平衡方程求出，这样的问题称为静不定问题或超静 定问题。而总未知量数目与总独立平衡方程数目之差称为静不 定次数。如图b 所示均为静不定问题。
F1
A
F2
B
A
F 1
F2
M
P
C
B
图b
21
[例 4-8]压榨机如图所示，已知曲柄 OA 上作用一矩 M 500 N m的力偶， r 0.1m ， 30 ， OA BD DC ED a 0.3m，机构在图示位置处于平衡 状态。若不计构件自重，试求此时的水平压榨力 F 。
q
Fq
y
M
F
q
Fq
M
F
FAx
A
B
l/2
MA
l
图a
A
B
x
l/2
FAy
l
图b
（1）选取悬臂梁 AB为研究对象 解： （2）画受力图,如图b所示
（3）列平衡方程
选取坐标系 Axy ，并以点 A 为矩心，建立平衡方程：
Fix 0 Fiy 0
M A (Fi ) 0
FAx 0
FAy ql F 0 l M A ql Fl M 0 2
即平面任意力系平衡的解析条件为： 力系中所有力在作用面内任意两个坐标轴上投影的代数和等于零，并且 各力对于平面内任意一点的矩的代数和等于零。
◆显然,由以上方程仅可以求解三个未知量
11
[例 4-3] 如图a所示，悬臂梁 AB上作用有矩为M的力偶 和集度为 q 的均布载荷，在梁的自由端还受一集中力F 的作用，梁长为 l。试求固定端 A 处的约束力。
y
F2
30
(2,3)
y
F1
O
(3, 3)
60
45

(5, 2)
x

FR
O
MO
x
F4
F3
图a
图b
解： 力系主矢 FR 在 x 、y 轴上的投影为
FRx Fx F1 F2 cos30 F3 cos60 F4 cos 45 3.304 N
FRy Fy F2 sin30 F3 sin 60 F4 sin 45 20.20 N
G (e b ) W≤ a
（3）确定满载时平衡物的重量
当满载时，为使起重机不绕点 B 翻倒，必须满足 FNA≥ 0 。
M B (F ) 0
FNA b W (a b)ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ G e P l 0
解得
1 FNA G e P l W a b b
A
C

30

F
B
45
x
F3
F1
M
F2
D
图b
选取坐标系 Axy ，并以 F1与 F2作用线的交点 C 为矩心，建立平衡 方程：
M C (F ) 0
F3 7m F sin30 2m F cos30 5m M 0
Fx 0
Fy 0
F2 cos 45 F sin30 0
将上式代入空载条件 FNB≥ 0 ，可得空载时平衡物的重量
1 G e P l W≥ ab
综合考虑到上述两种情况，平衡物的重量应满足不等式
G (e b ) 1 G e P l ≤ W ≤ ab a
20
第三节
物体系的平衡问题
当系统中未知量的数目等于其独立平衡方程的数目时，所有 的未知量都能由平衡方程求出，这样的问题称为静定问题。 如图a所示均为静定问题。
第四章
平面任意力系
本章内容: 1 平面任意力系的简化 2 平面任意力系的平衡 3 物体系统的平衡
1
第一节 平面任意力系向一点的简化
各力的作用线在同一平面内任意分布的力系称为平 面任意力系。例如：
2
一、力的平移定理 作用于刚体上的力可以等效地平行移动至刚体上任一 指定点，但必须在该力与指定点所决定的平面内附加 一力偶，该附加力偶的矩等于原力对指定点的矩。此 结论称为力的平移定理。该过程可逆。
主矢 主矩
◆主矢与简化中心无关，而主矩一般与简化中心有关。
5
固定端支座的约束力
=
=
三、平面任意力系简化结果的讨论
1、 FR 0 且
MO 0
原力系平衡 原力系合成为一个合力偶 原力系合成为一个作用线通过简化中心O的合力 原力系合成为一个作用线不通过简化中心O的合力， M 其到简化中心的距离为 d O FR
F1 F2 sin 45 F cos30 F3 0
（4）求解未知量 三杆所受的力分别为
F1 5.33kN(压)
F2 7.07kN (拉) F3 8.33kN (压)
(可利用平衡方程 M D (F ) 0 校核上述计算结果 )
16
二、平面平行力系的平衡方程
6
2、 FR 0 且 MO 0 3、 FR 0 且
MO 0
4、 FR 0 且 MO 0
[例 4-1]平面任意力系如图a所示，已知 F 10 N 、 2 20 N、 F 1
F3 25 N 、F4 12 N ，各力作用点的坐标如图所示，单位
为 cm。试向坐标原点 O 简化此力系并求其合成结果。
一、平面任意力系的平衡方程
1. 平面任意力系平衡方程的基本形式
平面任意力系平衡的必要与充分条件是：力系的主矢和对于任一点的主 矩都等于零，即
FR 0 M O 0
Fiy 0 平面任意力系的平衡方程 M O ( Fi ) 0 Fix 0
或
由于主矢 F 0且主矩 M 0 ，故力系合成为一个合力，合力矢 FR FR ， R O
其作用线离坐标原点 O的距离为
y
M O 75.02 d 3.667 cm FR 20.46
合力作用线的位置如图c所示。
d
O
x
FR
图c
8
[例 4-2] 如图所示，水平梁 AB受均布载荷的作用，其载 荷集度（单位长度上的载荷）为 q，梁长 l 。试求均布 载荷合力的大小及其作用线位置。 F
B A
FR
x
B 其中，A 、 为力系作用面内的任意两点，但其连线不能垂直于 x 轴。
（2）三力矩式
M A ( Fi ) 0 M B ( Fi ) 0 M C ( Fi ) 0
13
B C 其中，力系作用面内的任意三点 A 、 、 三点不共线。
[例 4-4]一重力为 P 的物块悬挂在图a所示构架上。已 知 P 1.8 kN ， 45。若不计构架自重，试求支座 A 处的约束力以及 BC 杆所受的力。
M B (F ) 0
FAy 6m P 3m FT 1m 0
FAx FT FB cos 45 0
FAy 1.2kN
FB 0.85kN
Fx 0
（4）求解未知量
FAx 2.4 kN
0.85kN ，是拉力。
BC 杆所受的力与 FB 是作用力与反作用力的关系，即杆 BC所受的力为
主矢 FR 的大小以及与 x 轴所夹的锐角分别为
7
FR FR2x FR2y 20.46 N
FRy arctan arctan 6.113 80.8 FRx
力系对原点 O 的主矩为
M O M O ( F ) F2 cos30 3 F2 sin 30 2 F3 cos 60 3 F3 sin 60 3 F4 cos 45 2 F4 sin 45 5 75.02 N cm
M Fd M B F
3
证明：
4
二、平面任意力系向作用面内一点的简化
在一般情形下，平面任意力系向作用面内任一点 O 简化，可得一个力和一 个力偶。这个力等于该力系的主矢，作用线通过简化 O 中心；这个力偶的
矩等于该力系对于简化中心 O 的主矩。
FR Fi
MO Mi MO (Fi )
[例 4-5]横梁 AB 用三根杆支撑，并受载荷如图a所示。 已知 F 10kN，M 5kN m ，试求三杆所受的力。
30
2m 3m


F
3m
2m
A
45
B
1
2
3
M
图a 15
y
解:（1）选取横梁 AB为研究对象。
（2）画受力图,如图b所示三根杆均 为二力杆，假设各杆均受拉。 （3）列平衡方程