第五章--波动

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第5章振动和波动习题解答

第5章振动和波动5-1 一个弹簧振子 m=：0.5kg , k=50N ；'m ，振幅 A = 0.04m ，求 (1) 振动的角频率、最大速度和最大加速度；(2) 振子对平衡位置的位移为 x = 0.02m 时的瞬时速度、加速度和回复力; (3) 以速度具有正的最大值的时刻为计时起点，写出振动方程。

频率、周期和初相。

A=0.04(m) 二 0.7(rad/s) 二-0.3(rad)⑷10.11(Hz) T 8.98(s)2 n、5-3证明：如图所示的振动系统的振动频率为1 R +k 2式中k 1,k 2分别为两个弹簧的劲度系数，m 为物体的质量V max 二 A =10 0.04 = 0.4(m/s) a max 二 2A =102 0.04 =4(m/s 2) ⑵设 x =Acos(，t ：；；■『)，贝Ud x vA sin(，t 「)dtd 2xa一 dt 2--2Acos(「t 亠 ^ ) - - 2x当 x=0.02m 时，COS (；：, t :忙)=1/ 2, sin( t 「)= _、一3/2，所以 v ==0.2、.3 ==0.346(m/s) 2a = -2(m/s )F 二 ma = -1(N)n(3)作旋转矢量图，可知：2x =0. 0 4 c o st(1 0)25-2弹簧振子的运动方程为 x =0.04cos(0.7t -0.3)(SI)，写出此简谐振动的振幅、角频率、严...U ・」|1岛解：以平衡位置为坐标原点，水平向右为 x 轴正方向。

设物体处在平衡位置时，弹簧 1的伸长量为Xg ,弹簧2的伸长量为x 20，则应有_ k ] X ]0 ■木2乂20 = 0当物体运动到平衡位置的位移为 X 处时，弹簧1的伸长量就为x 10 X ，弹簧2的伸长量就为X 20 -X ，所以物体所受的合外力为F - -k i (X io X )k 2(X 20 -x)- -(匕 k 2)x2d x (k i k 2)dt 2 m上式表明此振动系统的振动为简谐振动，且振动的圆频率为5-4如图所示，U 形管直径为d ,管内水银质量为 m ,密度为p 现使水银面作无阻尼自由振动，求振动周期。

第5章波动的不稳定理论

2
《动力气象学》电子教案－编著、主讲：成都信息工程学院大气科学系李国平教授制作：林蟒、李国平
图 5.1 大气扰动与动力不稳定的关系
§2 惯性稳定度
1．定义地转平衡大气中，基本气流上作南北运动的空气质点形成的扰动其振幅是否随时间增长的问题。表示惯性振荡或快波的不稳定发展现象。
3
《动力气象学》电子教案－编著、主讲：成都信息工程学院大气科学系李国平教授制作：林蟒、李国平
2
uc
u c

2
y2 y1
f y dy 0 ，此积分式的几何意义：（面积和）
s1 s2 0 ，
因此 f y 必经过 f ( y ) 0 处，即 f y 在 y1 , y2 内必定至少改变一次符号。所以，正压不稳定的必要条件为：在 y1 , y2 内至少存在一点 yc ，使得:
又 * ，
2ici 1 1 ，则有： 2 * uc uc u c
2 u 2 y2 y 2 ci dy 0 2 y1 uc
对于正压不稳定， ci 0
2 2
（5.25）
所以

( 0 ，令 f y
2 u ) y 2
§1 波动稳定度的概念
1.波动稳定度的定义定常的基本气流 u 上有小扰动产生，若扰动继续保持为小扰动或随时间衰减,则称波动是中性的或波动是稳定的；若扰动随时间增强，则称波动不稳定。
2.稳定度的表达方式设有波动 q Qe
ik ( x ct )
Qei ( kx t )
(5.1)
6
《动力气象学》电子教案－编著、主讲：成都信息工程学院大气科学系李国平教授制作：林蟒、李国平

第5章种群的数量波动与调节

5000 2500 50% 4900 98% 4900 98% 10 0.2%
10000 5000 非密度制约 50% 9800 非密度制约 98% 9950 密度制约 99.3% 10 逆密度制约 0.1%
24
上屏下屏
各类动物具密度制约的种群记录例证及其在各自生活史阶段的比例
出生或死幼体早期幼体晚成体记录例证
土壤日照
强度周期
高度等等
2 种群结构因素出生率/死亡率迁入/迁出
密度性比年龄结构种群行为特征种间关系
3 人为因素引种环境改变过度猎取砍伐过度利用过度人口增长
3
下屏
第二节种群调节
返回
1 种群调节的现象和概念
㈠种群调节的现象
⑴种群数量变化的模式：①长期稳定在低水平，偶尔大爆发；②长期稳定在一个水平上；③周期性数量波动。
27
上屏返回
危害棉花的盲蝽象种群季节性变化
年度旱涝情况干旱涝先涝后旱先旱后涝
盲蝽象种群季节消长型
中峰期双峰期前峰期后峰期
棉花蕾/铃两期受害情况
蕾/铃两期轻蕾/铃严重蕾/— 严重 —/铃严重
28
下屏返回
B 生物因素说
㈠代表人物尼科森A. J. Nicholson 1933 ㈡主要内容： ⑴认为气候学派混淆了调节与消灭（或破坏）两个过程的概念（略）。其基本含义设种群增长100倍，气候消灭了98%，仍属增长种群，只有因物种间关系如寄生减少种群1%才起到调节作用。 ⑵生物因素起调节作用，生物因素包括：竞争（食物、空间）、捕食（寄生）等。 ⑶区别密度制约与非密度制约因素。
—hare —lynx

第五章波动资料

1 2
dVA2 2
sin2 (t
-
x) u
体积元的总机械能
dE

dEk
dEp

dVA2 2
sin2
(t
-
x) u
第五章波动
体积元的总机械能
dE

dEk

dEp

dVA2 2
sin2
(t
-
x) u
讨论
1）在波动传播的媒质中，任一体积元的动
能、势能、总机械能均随 t 作周期性变化。
某一刻，媒质中任一点的压强P’与无声波通过时的压强P0 之差（ P=P’－P0 ）称为该点的瞬时声压即声压。
2. 声阻抗(Z ,acoustic impedance)
描述媒质声学特性的重要物理量,煤质的声阻抗越大, 传播声音的能力越强。
单位为：Kg·m-2·S-1
下表是几种媒质的声速和声阻抗：
振动方程、波动方程的区别
y=A cos（ωt＋）
y
0
T
2T
3T
t
振动图
y
0
λ
2λ
3λ
X
波形图
例题5-1
一波源以s=0.04 cos 2.5πt（m）的形式作简谐振动，并以 100m·s-1的速度在某种介质中传播。试求：①波动方程；② 在波源起振后1.0s，距波源20m处质点的位移及速度。
S
w=
E总 V
=ρA2ω2 sin 2ω( t－
ux)
平均能量密度：能量密度在一个周期内的平均值.
w=
1 2
ρA2 ω 2
二、波的强度 intensity of wave

第五章：光的波动性(含解析)

光的波动性一. 双缝干涉 1．双缝干涉实验(1)实验：如图，让一束平行的单色光投射到一个有两条狭缝的挡板上，两狭缝相距很近，两狭缝就成了两个波源，它们的振动情况总是相同的，两个波源发出的光在挡板后面的空间互相叠加．(2)现象：屏上得到了明暗相间的条纹． (3)结论：证明光是一种波． 2．出现明、暗条纹的条件(1)当光从两狭缝到屏上某点的路程差为波长λ的整数倍时，这些点出现明条纹；当路程差为半波长12λ的奇数倍时，这些点出现暗条纹．(2)和一般波的干涉一样，光干涉的条件是两列光的频率相同，能发生干涉的两束光称为相干光． 3．计算波长的公式设两缝间距为d ，两缝到屏的距离为l ，当d 和l 一定时，计算表明：当l ≫d 时，相邻两条明条纹(或暗条纹)的间距为Δx ＝ldλ.利用此式，测出条纹间距离Δx ，即可求出光的波长．（1）.双缝干涉示意图（2）．单、双缝的作用平行光照射到单缝S 上后，又照到双缝S 1、S 2上，这样一束光被分成两束频率相同和振动情况完全一致的相干光．（3）．明、暗条纹产生的条件亮条纹：屏上某点P 到两缝S 1和S 2的路程差正好是波长的整数倍或半个波长的偶数倍．即|PS 1－PS 2|＝k λ＝2k ·λ2(k ＝0,1,2,3…)时出现亮条纹．暗条纹：屏上某点到两缝S 1和S 2的路程差正好是半波长的奇数倍．即：|PS 1－PS 2|＝(2k ＋1)λ2(k ＝0,1,2,3…)时出现暗条纹．（4）．干涉图样的特点(1)单色光：干涉条纹是间距相等、明暗相间的条纹，且中央为亮纹．红光的条纹间距最大，紫光的条纹间距最小．(2)白光：干涉条纹是彩色条纹，且中央条纹是白色的．原因是各种色光都在中央条纹处形成亮条纹，从而复合成白色条纹，除中央条纹以外的其他条纹不能完全重合，便形成了两侧的彩色条纹．(3)条纹间距：条纹间距与波长成正比，Δx ＝ld·λ(其中d 为两逢间距，l 为两缝到屏的距离，λ为光的波长)．分析双缝干涉中明暗条纹问题的步骤：1．由题设情况依λ真＝n λ介，求得光在真空(或空气)中的波长． 2．由屏上出现明暗条纹的条件判断光屏上出现的是明条纹还是暗条纹． 3．根据明条纹的判断式Δr ＝k λ(k ＝0,1,2…)或暗条纹的判断式Δr ＝(2k ＋1)λ2(k ＝0,1,2…)，判断出k 的取值，从而判断条纹数．二. 薄膜干涉 1．定义由薄膜两个面反射的光波相遇而产生的干涉现象． 2．应用(1)检查平面的平整程度． (2)光学镜头上的增透膜． (3)太阳镜片上的反射膜． 3．薄膜干涉原理光照在厚度不同的薄膜上时，在薄膜的不同位置，前后两个面的反射光的路程差不同，在某些位置两列波叠加后相互加强，于是出现亮条纹；在另一些位置，两列波相遇后被相互削弱，于是出现暗条纹． 4．薄膜干涉的应用(1)用干涉法检查平面①原理：如图所示，在被测平面上放一个透明的样板，在样板的一端垫一个薄片，使样板的标准平面与被测平面之间形成一个楔形空气薄层．用单色光照射时，空气层的上、下两个表面反射的两列光波发生干涉．空气厚度相同的地方，两列波的路程差相同，两列波叠加时相互加强或减弱的情况相同，因此若被测面是平的，干涉条纹就是一组平行的直线，如果干涉条纹是弯曲的，就表明被测表面不平．②判断法——矮人行走法，即把干涉条纹看成“矮人”的行走轨迹．让一个小矮人在两板间沿着一条条纹直立行走，始终保持脚踏被检板，头顶样板，在行走过程中：a ．若遇一凹下，他必向薄膜的尖端去绕，方可按上述要求过去，即条纹某处弯向薄膜尖端，该处为一凹下．(如图中P 点)b ．若某处有一凸起，他要想过去，必向薄膜底部去绕，即条纹某处弯向薄膜底部方向时，该处必为一凸起．(如图中Q 点)(2)增透膜①增透膜的厚度：膜厚为入射光在薄膜中波长的14.②增透膜增透的原理：因增透膜的厚度为入射光在薄膜中波长的14，从介质膜前后两个面反射的光的路程差为λ2，所以两列光波相互削弱，使反射光的强度大大降低，透射光的强度得到加强．③对“增透”的理解：如果用宏观的思维方式来理解，两束反射光相互抵消，并没有增加透射光的强度，因此，此过程只是“消反”，却不能“增透”．总的能量是守恒的，反射光的能量被削弱了，透射光的能量就必然得到增强．增透膜是通过“消反”来确保“增透”的．薄膜干涉中的规律1．用单色光照射薄膜时，两个表面反射的光是相干的，形成明暗相间的条纹． 2．用不同的单色光照射，看到亮纹的位置不同．3．用白光照射时，不同颜色的光在不同位置形成不同的条纹，看起来就是彩色的．三. 光的衍射1．单缝衍射现象(1)当单缝较宽时，光沿着直线方向通过单缝，在光屏上可以看到一条跟单缝(或圆孔)宽度相当的亮线．(2)把单缝调窄些，可以看到屏上亮线也随之减小．(3)当单缝调到很窄时，光通过单缝后就明显地偏离了直线传播方向，到达屏上以后，不再是一条很窄的亮线，而是照到了相当宽的地方，并且出现了明暗相间的条纹；再调小单缝，条纹也随之变得清晰、细小．2．光的衍射光在传播过程中遇到障碍物或小孔(狭缝)时，绕过障碍物或通过小孔、狭缝传播到阴影区域的现象．3．衍射图像衍射时产生的明暗条纹或光环． 4．三种衍射图样的比较(1)单缝衍射图样(如图所示) 单色光衍射白光衍射①中央条纹最亮，越向两边越暗；条纹间距不等，越靠外，条纹间距越小．②缝变窄通过的光变少，而光分布的范围更宽，所以亮纹的亮度降低．③中央亮条纹的宽度及条纹间距跟入射光的波长及单缝宽度有关，入射光波长越大，单缝越窄，中央亮条纹的宽度及条纹间距就越大．④用白光做单缝衍射时，中央亮条纹仍然是最宽最亮的白条纹．(2)圆孔衍射图样①中央是大且亮的圆形亮斑，周围分布着明暗相间的同心圆环，且越靠外，圆形亮条纹的亮度越弱，宽度越小．如图所示：②圆孔越小，中央亮斑的直径越大，同时亮度越弱．③用不同色光照射圆孔时，得到的衍射图样的大小和位置不同，波长越大，中央圆形亮斑的直径越大．④白光的圆孔衍射图样中，中央是大且亮的白色光斑，周围是彩色同心圆环．⑤只有圆孔足够小时才能得到明显的衍射图样．在圆孔由较大直径逐渐减小的过程中，光屏上依次得到几种不同的现象——圆形亮斑(光的直线传播)、光源的像(小孔成像)、明暗相间的圆环(衍射图样)．(3)不透明的小圆板衍射图样(泊松亮斑)(如图所示)①中央是亮斑．②周围的亮环或暗环间距随半径增大而减小．5．单缝衍射与双缝干涉的异同点单缝衍射双缝干涉不同点产生条件只要狭缝足够小，任何光都能发生频率相同的两列光相遇叠加条纹宽度条纹宽度不等，中央最宽条纹宽度相等条纹间距各相邻条纹间距不等各相邻条纹等间距亮度中央条纹最亮，两边变暗清晰条纹，亮度基本相等相同点干涉、衍射都是波特有的现象，属于波的叠加；干涉、衍射都有明暗相间的条纹四. 光的偏振1．光的干涉和衍射现象说明光具有波动性．2．偏振片：由特定的材料制成，每个偏振片都有一个特定的方向，只有沿这个方向振动的光波才能通过偏振片，这个方向叫作透光方向．3．线偏振光：光的振动方向限在一个平面内的光．4．自然光：通常光源发出的光是由大量的振动方向不同而互不相干的线偏振光组成．5．光的偏振现象证明光是横波．1．几个概念(1)自然光——沿各个方向均匀分布振动的光．(2)偏振光——沿着特定方向振动的光．(3)起偏器——自然光通过后变为偏振光的偏振片．(4)检偏器——检测投射光是否为偏振光的偏振片．2．偏振原因光是横波，是电磁波，电场强度E和磁感应强度B的振动方向均与波传播的方向垂直，所以光有偏振现象．(1)自然光经过反射或折射后会变成偏振光，如自然光射到两介质分界面时同时发生反射和折射(反射角和折射角之和为90°时)，反射光线和折射光线是光振动方向互相垂直的偏振光．(2)光波的感光作用主要是由电场强度E引起的，因此常将E的振动称为光振动．在与光传播方向垂直的平面内，光振动的方向可以沿任意的方向，光振动沿各个方向均匀分布的光就是自然光，光振动沿着特定方向的光就是偏振光．3．偏振光的两种产生方式(1)让自然光通过偏振片．(2)自然光射到两种介质的交界面上，使反射光和折射光之间的夹角恰好是90°，反射光和折射光都是偏振光，且偏振方向相互垂直．对偏振的理解：1．偏振片是由特定的材料制成的，每个偏振片都有一个特定的方向，这个方向叫作“透振方向”，只有沿透振方向振动的光才能通过偏振片．2．偏振片上的“狭缝”表示透振方向，而不是真实狭缝．3．光的偏振现象说明光是一种横波．4．自然光透过偏振片可以变成偏振光．5．当偏振片的偏振方向与光的偏振方向的夹角不同时，透过偏振片的光的强度不同．五. 激光的特性及其应用1．激光的特性体现在以下几个方面：强度大、方向性好、单色性好、相干性好、覆盖波段宽而且可调谐．2．激光的应用：根据激光的特性，在工、农、科技及社会各方面有广泛应用，体现在以下几方面：激光加工、激光全息照相、激光检测、激光通信、激光医学、激光照排、光盘等方面．激光的应用与对应的特性激光的特点1．激光首先是光，激光遵循光的一切规律，如折射、反射、衍射、干涉等．2．激光是一种新型光源，具有一般光源所不具备的特点，如单色性好、方向性强、亮度高等．3．针对激光的每一个特点，都有很多方面的应用．六. 练习1．（2013高考上海物理第1题）电磁波与机械波具有的共同性质是(A)都是横波(B)都能传输能量(C)都能在真空中传播(D)都具有恒定的波速答案：B解析：电磁波与机械波具有的共同性质是都能传输能量，选项B正确。

大学物理练习册习题及答案波动学基础

习题及参考答案第五章波动学基础参考答案思考题5-1把一根十分长的绳子拉成水平，用手握其一端，维持拉力恒定，使绳端在垂直于绳子的方向上作简谐振动，则（A ）振动频率越高，波长越长；（B ）振动频率越低，波长越长；（C ）振动频率越高，波速越大；（D ）振动频率越低，波速越大。

5-2在下面几种说法中，正确的说法是（A ）波源不动时，波源的振动周期与波动的周期在数值上是不同的；（B ）波源振动的速度与波速相同；（C ）在波传播方向上的任二质点振动位相总是比波源的位相滞后；（D ）在波传播方向上的任一质点的振动位相总是比波源的位相超前 5-3一平面简谐波沿ox 正方向传播，波动方程为010cos 2242t x y ππ⎡⎤⎛⎫=-+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦. (SI)该波在t =0.5s 时刻的波形图是（）5-4图示为一沿x 轴正向传播的平面简谐波在t =0时刻的波形，若振动以余弦函数表示，且此题各点振动初相取-π到π之间的值，则（）（A ）1点的初位相为φ1=0（B ）0点的初位相为φ0=-π/2(m)(A )(m)(m)(B )(C )(D )思考题5-3图思考题5-4图（C ）2点的初位相为φ2=0 （D ）3点的初位相为φ3=05-5一平面简谐波沿x 轴负方向传播。

已知x=b 处质点的振动方程为[]0cos y A t ωφ=+，波速为u ，则振动方程为（）(A)()0cos y A t b x ωφ⎡⎤=+++⎣⎦(B)(){}0cos y A t b x ωφ⎡⎤=-++⎣⎦(C)(){}0cos y A t x b ωφ⎡⎤=+-+⎣⎦ (D)(){}0cos y A t b x u ωφ⎡⎤=+-+⎣⎦ 5-6一平面简谐波，波速u =5m·s -1，t =3s 时刻的波形曲线如图所示，则0x =处的振动方程为（）（A ）211210cos 22y t ππ-⎛⎫=⨯- ⎪⎝⎭ (SI) （B ）()2210cos y t ππ-=⨯+ (SI) （C ）211210cos 22y t ππ-⎛⎫=⨯+ ⎪⎝⎭ (SI) （D ）23210cos 2y t ππ-⎛⎫=⨯- ⎪⎝⎭ (SI) 5-7一平面简谐波沿x 轴正方向传播，t =0的波形曲线如图所示，则P 处质点的振动在t =0时刻的旋转矢量图是（）5-8当一平面简谐机械波在弹性媒质中传播时，下述各结论一哪个是正确的？（A ）媒质质元的振动动能增大时，其弹性势能减少，总机械能守恒；（B ）媒质质元的振动动能和弹性势能都作周期变化，但两者的位相不相同；（C ）媒质质元的振动动能和弹性势能的位相在任一时刻都相同，但两者的数值不相等；（D ）媒质质元在其平衡位置处弹性势能最大。

医学物理第五章波动

机械波传播特征
几何描述
波面波前
振动相位相同的点连成的面。最前面的波面。
波前波面波线
平面波（波面为平面的波）球面波（波面为球面的波）
波线（波射线）波的传播方向。在各向同性媒质中，波线恒与波面垂直。
波长周期波速
波传播方向
波速
波长周期频率波速
振动状态完全相同的相邻两质点之间的距离。
幅 A1.0m，T2.0s，2.0m。在 t 0 时坐标
原点处的质点位于平衡位置沿 O y 轴正方向运动。求
波函数
解写出波函数的标准式
yAco2π s([T t x)]
O
y
A
t0 x0
y0,vy0
π 2
t
y(1.0m )cos[2π( t x)π] 2.0s 2.0m2
例
第三节
行波的能量
机械波
本章内容
机械波的产生
波源带动弹性媒质中与其相邻的质点发生振动，振动相继传播到后面各相邻质点，其振动时间和相位依次落后。
波动现象是媒质中各质点运动状态的集体表现，各质点仍在其各自平衡位置附近作振动。
横波
质点的振动方向与波的传播方向垂直
抖动一下，产生一个脉冲横波
质点振动方向波的传播方向
波数
单位长度上波的相位变化。
k 2π
➢ 质点的振动速度，加速度
v y A si n (t [x)]
t
u
a 2 t2 y 2A co (ts[u x) ]
负向波
一般形式
物理意义
若给定某点 P 的
，波动表达式变为 P 点处质点的
P点的
距原点为处质点振动的初相
若给定

第五章思考题

图5-100 问题5.11用图 G 问题5.8 什么是波动？波动与振动有何区别与联系？答：振动在空间的传播过程叫波动。

振动是指一个质点的运动，波动是指介质内大量质点参与的集体振动的运动形式。

波动是振动状态的传播，或者说是振动相位的传播。

5.9 横波与纵波有什么区别？答：质点的振动方向与波的传播方向相垂直的波称为横波，质点的振动方向与波的传播方向相互平行的波称为纵波。

横波的波形图可看到波峰和波谷，纵波的波形图可看到疏密区域。

横波的形成是由于介质元的切应力而产生的相互切应力，纵波的形成是由于质元的压缩和拉伸的线应变而产生的相互正应力。

横波可以在固体中传播，纵波可以在固体、液体和气体中传播。

5.10 沿简谐波的传播方向相隔x ∆的两质点在同一时刻的相位差是多少？分别以波长λ和波数k 来表示。

答：两质点同一时刻的相位差为：2x k x πϕλ∆=∆=∆。

5.11 设某时刻横波波形曲线如图5-100所示，试分别用箭头表示出图中A 、B 、C 、D 、E 、F 、G 、H 、I 等质点在该时刻的运动方向，并画出经过1/4周期后的波形曲线。

答：由于是横波，所以该时刻各质点的运动方向均发生在y 轴方向。

考虑经过t ∆时间后的波形，其中C 、G 质点已到达最大位移，瞬间静止，A 、B 、H 、I 质点沿y 轴向下运动，D 、E 、F 质点沿y 轴向上运动。

经1/4周期波形向前走了1/4个波长的距离。

5.12 波形曲线与振动曲线有什么不同？答：波形曲线是描述空间任意某点处质元在任意时刻的位移，即位移为空间位置和时间的函数形式。

振动曲线是描述确定质点的位移随时间变化的曲线。

5.13 机械波的波长、频率、周期和波速四个量中（1）在同一介质中，哪些量是不变的？（2）当波从一种介质进入另一种介质时，哪些量是不变的？答：1）在同一介质中，波速是不变的，频率不变，周期不变，波长也不变。

2）当波从一种介质进入另一种介质时，频率不变，周期不变；但波速改变，波长改变。

2012-2013学年第1学期大气科学专业流体力学第5章(流体波动)

h h u u h 0 t x x
du 1 p dt x
采用线性化方法，导出描写流体波动的方程组；求重力表面波的相速度。 z 自由表面 U
h x, t
H
x
35
二、上轻下重流体间的界面波
上面所讨论的水面重力波，确切地将，它是空气和水之间的流体界面波，只是在讨论问题的时候经常不考虑空气而已。
38
在下层流体中，压力梯度力项为：
1 p 1 1 lim ( pB p ) A 2 x 2 x0 x
1 1 lim ( pB p ) A x 0 x 2
h pA ( x) 1 g pA x h pB pB ( x) 2 g x
而x，y，z方向上的移速： C x , C y , C z ？
C x (dx / dt ) y , z , const / k x C y (dy / dt) x , z , const / k y C z (dz / dt) x , y , const / k z
问题：波动的研究对象是物理变量的扰动部分；方程是非线性的。
（方程的线性化问题－－－小扰动线性化方法）
28
小（微）扰动线性化方法： ①任何物理量可以表示为：
A A A
扰动量
基本量（平均量） ②基本量（平均量）A 满足原来的方程 ③扰动量 A为一小量，其二阶以上项为高阶小量，可以略去。
29
方程的线性化：
u u u h u w g t x z x
h h u u h 0 t x x
这里考虑最简单的情形，假设基本态为静止的。
u u u u
w w w w
h H h

第5章波动

2

定振动的超前与落后
第二类：
已知波线上一点的振动方程，求波动方程。法一：位相法
法二：标准方程法根据已知点的振动方程，分别定出 A、、u、 0 ，再将其逐一“填”入标准波动方程。法三： t t 法在波线上任取一点P(距离原点为x)，判断P点与已知点在振动上的超前与落后关系，并求出超前或落后的时间 t ，然后用 ( t t ) 去代替已知点振动方程中的 t ，P点超前用+ ；落后用-
x
(波源)
x P点比o点时间落后： t (这里：u是波速) u P点比o点位相落后： t x (注意 : 2 ) u T
二. 波的几何描述
1. 波线(波射线) ——代表波传播方向的有向射线。 2. 波面（波阵面） ——波动过程中，振动位相相同的点连成的面。最前面的那个波面称为波前。球面波—波面为球面的波动。
B
5cm
x
法三： t t 法已知A点的振动方程为 yA=0.4cos4t(cm)
y u A
o
B P
P(x)点比已知点A时间超前：
x x t u 20
波动方程： y=0.4cos4(t +t )
5cm x
u=20cm/s
x
x =0.4cos4(t )cm 20
P(x)点比已知点A 超前用“+”；落后用“”。
o
B P
5cm x
u=20cm/s
x
P点的位相= [4t +4x/20] x 波动方程为：y=0.4cos4(t )cm 20
已知A点的振动方程为 yA=0.4cos4t(cm) 法二：标准方程法 y u=20cm/s A

第五章波动率的估计(GARCH模型)

求garch12的向前一步和向前两步预测公式vararmagarch性质白噪声armagarcharmagarch条件均值条件方差条件分布边际均值和方差边际分布常数常数非常数常数非常数非常数实际例子52实际例子53arch与garch模型一些共同的缺点约束强要求系数非负如果要求高阶矩存在还有更多的约束不能解释为什么存在异方差只是描述了条件异方差的行为gjr模型1是虚拟变量如果t11取值为1如果t11取值为0
令 wt = ε t2 − ht 合并同类项有
j > q 时α j
=0
l > p 时 βl = 0
而
wt = ε t2 − ht 满足：
E ( wt ) = 0
cov( wt , wt − j ) = 0,
j ≥1
但 wt 一般不是独立同分布的
GARCH(1,1)过程的峰度公式
GARCH(1,1)过程的峰度刻画波动率的厚尾性峰度=4阶原点矩/标准差的四次方 4 正态分布的峰度=3意味着 E (v t ) = 3
反映波动率的非对称性 ε t = htν t
S-1是虚拟变量，如果εt-1<0，则S-1取值为1，如果εt-1≥0则S-1取值为0。通过画出响应曲线，看到市场利空和利好消息对波动率的不同影响
GJR模型
响应曲线
20
15
SIG2
10
5
0 -10
-5
0 Z
5
EGARCH 指数广义条件异方差模型
ln ht = k 0 + β 1 ln ht −1 + L + β r ln ht − r +
EGARCH模型
1）重要特征是引入不对称性 2）参数没有大于0的约束，因为对求对数后的条件方差建模，，可以保证方差为对数。 3）可以假设νt~广义误差分布 4）假设vt是正态分布时E(|vt|)= (2/π)1/2

大学物理-波动方程的定解问题

律，解出某个物理量 u 在给定的区域里随着地点 (x, y, z) 和时刻 t 怎样变化，即求 u (x, y, z, t)。
另外，数理方程理论还有三个主要问题：
(1) 解的存在性问题 (2) 解的唯一性问题
唯一性问题：讨论在什么定解条件下，对于哪一函数类，方程的解是唯一的。通过唯一性问题的研究，可以明确：对于一定的方程，需要多少个以及哪些定解条件才能唯一确定一个解。
y
vx = 0 x=0
vy = v0−gt y = v0t −gt2/2
o
x
(抛出点为坐标原点)
(2) 对斜向上抛，有
结论：不同的初始条件 (个性) 不同的运动状态，但都服从牛顿第二定律 (共性)。
注：以上例子是大家熟悉的常微分方程的求解，实际上后面要求解的是偏微分方程。
定解问题的完整提法：在给定的边界条件和初始条件下，根据已知的物理规
F(x,t)
简化假设： (1) 弦是柔软的，即不抵抗弯曲，弦上的任意一点的张力
沿弦的切线方向；
(2) 振幅极小，则张力与水平方向的夹角 1 和 2 很小，仅考虑 1 和 2 的一阶小量，略去二阶小量，有
(线性化)
并且由此导出弦的长度近似不变： (3) 弦的重量与张力相比很小，可以忽略。
由牛顿第二定律，得到
三、自由空间中电磁场的波动方程自由空间：无电荷与电流分布的空间自由空间中麦克斯韦方程组的微分形式为
将以上方程组中的第三式两边取旋度，并利用第四式，有
再利用矢量分析公式，得到因此，可得到自由空间中电场的波动方程同理，可得到自由空间中磁场的波动方程
四、波动方程的定解条件
1. 初始条件——描述系统的初始状态振动方程含有对时间的二阶偏导数

大气中的基本波动

u常数 p， 0 , x
3）略去二阶小量
得到
u t
u
u x
fv
1 ρ
p x
3.标准波型法在研究大气中基本波动时 1）先将方程组线性化，得到相应的扰动方程组;
2)将扰动方程组的形式解代入；
3)根据齐次边界条件确定频率方程，从而确定相速方程。
数学上是线性偏微分方程的边值问题，即本征值问题。
1.频率方程
自然界中常有一些物体在它们的平衡位置附近往返运动，即为振动。最简单、最基本的振动形式是简谐振动(周期性) ,简谐振动在空间的传播即为简谐波。
现以在弹性绳索上传播的一维简谐横波为例，分析波动传播过程的物理实质。
t0
tT 4
tT 2
t 3T 4
tT
t 5T 4
L
1 2 34 567 89
横波
重力内波
3)产生机制
B
A
C
4)滤去重力内波的物理条件
a)限定运动仅在水平面内; b)水平无辐散的或准地转近似; c)中性层结。
§6 惯性振荡与惯性波
• 所谓惯性波就是原先处于静止状态的空气扰动、偏离
平衡位置后，在科氏力的作用下形成的波动，因为它发生在大气内部且不受外界条件的影响，所以又称为惯性内波。
§3 微扰法与方程组的线性化
1.基本假定微扰法是将非线性方程进行线性化的一种有效方法。特别适合于用来定性分析大气运动的某些基本性质。
1）将各种因变量分成两部分，一部分为运动的基本状态，通常与时间t 和经度（x）无关；另一部分是扰动部分，它表示各变量相对与基本状态的偏差。
2）基本量也要满足原来的方程组和边界条件。
2)性质
∵c>>u 快速，高频率;双向（传播）波; 垂直横波;非频散波。 ∵天气变化属于低频率变化，除个别特殊情况，一般情况下对天气变化无重大影响。

医用物理习题集(第五章波动)

第五章波动一．目的要求：掌握波的传播规律，理解波函数的物理意义；掌握波的干涉现象和规律；了解声学的基本概念，了解声强级和响度级，了解超声的性质及其医学应用。

二．要点：1．振动在介质中的传播过程称为波动或波，它是一个能量传递的过程。

了解横波，纵波，简谐波，机械波，波线，波前，波阵面，平面波，球面波等概念。

波速u 是波在介质中传播的速度，机械波的速度决定于介质的弹性模量，密度等因素。

波长λ是同一波线上两个相（位）差为2π的点之间的距离（即波线上两个相邻的同相点之间的距离）。

一个完整波通过波线上某点所需的时间称为波的周期T ，周期的倒数称为波的频率ν。

T u λνλ==2．波函数给出了任一质点振动的位移y 、质点的位置x 和时间t 之间的关系。

若处于坐标原点的质点的振动方程为： )t co s (A y ϕω+=0 则沿X 轴正向传播的波，其波函数为：⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-=ϕω)u x t (cos A y 当x 一定时，波函数变为距原点为x 的质点的振动方程；当t 一定时，波函数是t 时刻波线上各质点位移分布图像。

波函数除了上面的表达形式外，还常用以下几种表达形式：⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-=ϕλπ)x T t (cos A y 2 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-=ϕλνπ)x t (cos A y 2 []ϕω+-=)kx t (cos A y ，其中λπ2=k ，称为波数。

可以根据需要选用不同的形式。

注意：当波动沿x 轴负方向传播时，含x 的项前面取正号。

3．在波传播方向上x 处体积元V ∆中t 时刻所具有的动能和势能之和为：⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-∆=ϕωωρ)u x t (sin VA E 222 其中动能和势能相等：⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-∆==ϕωωρ)u x t (sin VA E E P K 22221 能量密度： ⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-=∆=ϕωωρ)u x t (sin A V E w 222 平均能量密度w 是w 在一个周期内的平均值，2221ωρA w = 4．波的强度I 定义为单位时间内通过与波线垂直的单位面积的平均能量，可导出： 2221ωρuA u w I == 单位：W/m 2 I 实际上是垂直于波线方向上的单位面积内波传播的功率。

大学物理第五章波动

y
u
o
Px
x
O点简谐运动方程：y0 Acos(t 0)
由P 点的振动得到波动表示式：
y( x,
t)
Acos[(t
x u
)
0
]
y
( x, t )
Acos[2 ( t
T
x
)
0
]
沿 x轴正向，波线上
各质点的振动时间和相位依次超前。
17
2. 波动方程
y Acost x u 0
求 x 、t 的二阶偏导数
移。即表示振动状态的传播，给出波形随时间而变化的
情况。
y
u
A
t 时刻波形
0 t+t 时刻波形
行
x x x x 波
x=u t
23
请指出你认为是对的答案以波速 u 沿 x 轴逆向传播的简谐波 t 时刻的波形如下图
A B
A B
C
D
C
D
(1) A点的速度大于零；
v 振动速度
y t
(2) B点静止不动；
4
u
S
P
x x0
x
x
解： 2
xSP
2
(x
x0
)
S
(t
)
t
3
p (t) S (t)
t
3
2
(x x0)
y( x, t )
Acos[
t
3
2
(x
x0 )]
b点比a点的相位落后：
2 x
重要结论！
19
例:已知
ys
(t
)
A
cos(
t