专题八带电粒子在非匀强磁场中的运动轨迹问题
带电粒子在非均匀电磁场中的运动
带电粒子在非均匀电磁场中的运动
电磁场是一种物理场，由电荷和电流携带的电荷与磁荷所产生
的力之间的相互作用产生。
当带电粒子放置在电磁场中时，其将受
到非均匀电磁场的力的作用，从而产生相应的运动。
垂直磁场
当带电粒子在一个垂直磁场中受到作用时，它的运动将产生环
状的轨迹。
这是因为磁场中的力垂直于粒子的速度方向，使其沿着
半径运动，产生一个环形轨迹。
带电粒子在磁场中的运动速度将保
持不变，但它将绕着磁场线圈中心以某种频率旋转。
当带电粒子在一个由电场和磁场组成的垂直场中运动时，这将
产生一种称为霍尔效应的现象。
在这种情况下，电子被强制从磁场
一端移动到另一端，在电场的作用下，从而产生电压差。
这一现象
在半导体和其它材料的研究中有着广泛的应用。
非垂直磁场
当带电粒子在沿着磁场方向的均匀磁场中运动时，它将继续沿
着磁场方向前进，但是当它遇到垂直于磁场的电场时，将产生另一
种类型的运动。
在这种情况下，电场将对粒子产生力的作用，使其
沿着电场方向运动。
当磁场成为非均匀时，带电粒子的轨迹将变得复杂。
在一些情
况下，带电粒子的轨迹将变得扭曲和不规则，类似于螺旋形。
这可
以帮助我们研究粒子的性质，并确定它们在不同条件下的运动方式。
总之，带电粒子在非均匀电磁场中的运动是由电场和磁场之间的相互作用所决定的。
不仅仅是在物理学研究中，这些现象对于电子、离子和其他带电粒子的运动研究具有重要意义，而对于工业应用和科技发展方面也有着重要的应用价值。
2024版高考物理一轮复习专题基础练专题八静电场热考题型电场中的力电综合问题作业课件
题型2 带电粒子在组合场中的运动
4. [多选][2023辽宁锦州测试]如图所示,相距2L的AB、CD两直线间的区域存在着两个大小不同、方向相反的有
界匀强电场,其中PS下方电场的电场强度大小为E1,方向竖直向上,PS上方电场的电场强度大小为E2、方向竖直向
下。在电场左边界AB上宽为L的PQ区域内,连续分布着带电荷量为+q(q>0)、质量为m的粒子。从某时刻起由Q到
3
1
金属板边缘飞出,则2 =2×2g·( 3 ) 2 +g·3·3 =
1
2 2
,在电场力和重力作用下,沿电场线方向匀加速运动距离为
9
y1=2g·( 3 ) 2 ,沿电场线方向匀速运动距离为y2=g·3·3,电场力做的功W=q·2E0y1+qE0y2,解得W=mg·2 ,C项正确;微粒飞
故D错误;设PQ上到P点距离为h的粒子射入电场后,经过n个类似于Q到R到M(包括粒子从PS上方的电场穿过PS进
入PS下方的电场的运动)的循环运动后,恰好垂直于CD边水平射出,则粒子相邻两次速度变为水平所用的时间为
2
2
1
2
T= = (n=2,3,4……),由于a1∶a2=1∶2,所以粒子第一次到达PS边的时间为3T,则有h=2a1( 3 ) 2 =
运动,当其水平速度与竖直速度大小相等时,即速度方向与小球所受合力方向垂直时,小球克服合力做的功最大,此
时动能最小,而此时小球仍具有水平向左的分速度,电场力仍对其做负功,其电势能继续增大,A、C项错误;小球在
电场力方向上的加速度大小ax=g,竖直方向加速度大小ay=g,当小球水平速度减为零时,克服电场力做的功最大,小
带电粒子在非匀强电场中的运动PPT共18页
61、奢侈是舒适的，否则就不是奢侈 。——CocoCha nel 62、少而好学，如日出之阳；壮而好学 ，如日 中之光 ；志而 好学， 如炳烛 之光。 ——刘 向 63、三军可夺帅也，匹夫不可夺志也。 ——孔 丘 64、人生就是学校。在那里，与其说好 的教师 是幸福 ，不如 说好的 教师是 不幸。 ——海 贝尔 65、接受挑战，就可以享受胜利的喜悦 。——杰纳勒 尔·乔治·S·巴顿
谢谢！
带电粒子在非匀强电场中的 运动
41、实际上，我们想要的不是针对犯 罪的法 律，而 是针对 疯狂的 法律。 ——马 克·吐温 42、法律的力量应当跟随着公民，就 像影子 跟随着 身体一 样。— —贝卡 利亚 43、法律和制度必须跟上人类思想进 步。— —杰弗 逊—托·富 勒
专题16 带电粒子在非匀强电场中的运动(电磁学部分)(解析版)
专题16 带电粒子在非匀强电场中的运动压轴题一、单选题1．某空间区域有竖直方向的电场（图中只画出了一条电场线）．一个质量为m、电荷量为q的带正电的小球，在电场中从A点由静止开始沿电场线竖直向下运动．不计一切阻力，运动过程中小球的机械能E与小球位移x的关系图象如图所示，由此可以判断（）A．小球所处的电场为非匀强电场，且场强不断减小，场强方向向上B．小球所处的电场为匀强电场，场强方向向下C．小球可能先做加速运动，后做匀速运动D．小球一定先做加速运动，达到最大速度后做减速运动，最后静止【答案】A【解析】AB、物体的机械能不断减小，由功能关系知电场力做负功，故电场强度方向向上，根据功能关系得：△E＝qE△x，知图象的斜率等于电场力，斜率不断减小，故电场强度不断减小，因此电场是非匀强电场．故A正确、B错误；CD、在运动过程中，物体受重力与电场力；物体由静止开始下落，故刚开始时重力大于电场力，下落过程中，电场力越来越小，故加速度越来越大，当电场力减小到0时，加速度达到最大值g，故物体做加速度越来越大的加速运动，最后做匀加速直线运动，故CD错误．2．如图甲所示，两个点电荷Q1、Q2固定在x轴上距离为L的两点，其中Q1带正电位于原点O，a、b是它们连线延长线上的两点，其中b点与O点相距3L现有一带正电的粒子q以一定的初速度沿x轴从a点开始经b点向远处运动(粒子只受电场力作用)，设粒子经过a、b两点时的速度分别为v a、v b，其速度随坐标x 变化的图象如图乙所示，则以下判断正确的是（）A．Q2带负电且电荷量大于Q1B．b点的场强不为零D ．该粒子在a 点的电势能比在b 点的电势能小【答案】D【解析】AB ．由图象分析可知：在b 点前做减速运动，b 点后做加速运动，可见b 点的加速度为0，则在b 点受到两点电荷的电场力平衡，可知b 点的合场强为零，Q 2带负电，且有()()122232kQ kQ L L = 所以，Q 1＞Q 2，故AB 错误．CD ．该电荷从a 点到b 点，做减速运动，且该电荷为正电荷，电场力做负功，所以电势能增大，再据Ep=qφ知，电势升高，所以b 点电势较高，故C 错误，D 正确．故选D ．3．如图所示，Q 1和Q 2是在真空中固定的两个等量同种电荷，A 和B 是Q 1和Q 2连线上关于中点O 对称的两点．一电子从A 点由静止开始运动，运动中仅受电场力作用，此电子就以O 为中心在A 、B 之间来回往复运动．一面说法中正确的是（ ）A ．Q 1和Q 2都带正电B ．电子在O 点的速度最大C ．A 、O 、B 三点中，O 点的电势最低D ．电子在O 点具有的电势能最大【答案】B【解析】电子带负电，仅受电场力作用由静止开始从A 向B 运动，所以Q 1和Q 2都应该带负电，故A 错误；电场力对电子先做正功后做负功，动能先增大后减小，O 点电场力为零，动能最大，所以O 点速度最大，故B 正确；电场力对电子先做正功后做负功，电场力做功等于电势能的减小量，故电势能先减小后增加，故电子在O 点的电势能最小；根据pE q ϕ=，O 点的电势最高；故C D 错误；故选B ．4．如图所示，图中虚线为某静电场中的等差等势线，实线为某带电粒子在该静电场中运动的轨迹，a 、b 、c 为粒子的运动轨迹与等势线的交点，粒子只受电场力作用，下列说法正确的是（ ）B ．粒子在a 点的加速度比在b 点的加速度小C ．粒子在a 点的动能比在b 点的动能大D ．粒子在b 点的电势能比在c 点时的电势能小【答案】D【解析】由于粒子性质和电场方向未知，故不能判断电势高低，A 错误；因a 点处的等势面密集，故a 点的电场强度大，故电荷在a 点受到的电场力大于b 点受到的电场力，结合牛顿第二定律可知，粒子在a 点的加速度比在b 点的加速度大，B 错误；由粒子运动的轨迹弯曲的方向可知，粒子受到的电场力指向右侧，则从a 到b 电场力做正功，粒子动能增大，b 点的动能大于a 点的动能，粒子受到的电场力指向右侧，则从b 到c 电场力做负功，粒子的电势能增大，所以粒子在b 点的电势能比在c 点时的电势能小，C 错误D 正确； 5．如图所示，是一正点电荷仅在电场力作用下，从A 点运动到B 点的速度图象，电荷在A 、B 两点对应的时刻分别为t A 、t B ，下列说法中正确的是（ ）A ．A 点的场强一定小于B 点的场强B ．A 点的电势一定低于B 点的电势C ．正电荷在A 点的电势能一定大于B 点的电势能D ．由A 至B 的过程中，电场力一定对正电荷做正功【答案】B【解析】A 、根据速度图象的斜率等于加速度大小，由数学知识可以看出,从A 点运动到B 点的过程中带电粒子的加速度减小，由F ma =知带电粒子所受的电场力减小，由F qE =可以知道，电场强度E 减小，即有A 处的场强一定大于B 处的场强，故A 错误；B 、因为带电粒子的动能减小，则电势能增大，而正电荷在电势高处电势能大，在电势低处电势能小，则知A 处的电势一定低于B 处的电势，故B 正确；CD 、由图看出,带电粒子的速度减小，动能减小，则由能量守恒定律得知，其电势能增大，电场力对粒子一定做负功，故C D 错误；故选B ．二、多选题6．如图所示，半圆槽光滑、绝缘、固定，圆心是O ，最低点是P ，直径MN 水平，a 、b 是两个完全相同的带正电小球（视为点电荷），b 固定在M 点，a 从N 点静止释放，沿半圆槽运动经过P 点到达某点Q （图中未画出）时速度为零．则小球a（）A．从N到Q的过程中，重力与库仑力的合力先增大后减小B．从N到P的过程中，速率先增大后减小C．从N到Q的过程中，电势能一直增加D．从P到Q的过程中，动能减少量小于电势能增加量【答案】BC【解析】A．a球从N点静止释放后，受重力mg、b球的库仑斥力F C和槽的弹力N作用，a球在从N到Q 的过程中，mg与F C的夹角θ由直角逐渐减小，不妨先假设F C的大小不变，随着θ的减小mg与F C的合力F将逐渐增大；由库仑定律和图中几何关系可知，随着θ的减小，F C逐渐增大，因此F一直增加，故选项A错误；B．从N到P的过程中，重力沿曲面切线的分量逐渐减小到零且重力沿曲面切线的分量是动力，库仑斥力沿曲面切线的分量由零逐渐增大且库仑斥力沿曲面切线的分量是阻力，则从N到P的过程中，a球速率必先增大后减小，故选项B正确；C．在a球在从N到Q的过程中，a、b两小球距离逐渐变小，电场力(库仑斥力)一直做负功，a球电势能一直增加，故选项C正确；D．在从P到Q的过程中，根据能的转化与守恒可知，其动能的减少量等于电势能增加量与重力势能增加量之和，故选项D错误．7．如图所示，虚线a、b、c为电场中的一簇等势线，相邻两等势面之间的电势差相等，等势线a上一点A 处，分别射出甲、乙两个粒子，两粒子在电场中的轨道分别交等势线c于B、C点，甲粒子从A到B的动能变化量的绝对值是E，乙粒子从A到C动能变化量绝对值为12E，不计粒子的重力，由此可以判断（）A．甲粒子一定带正电，乙粒子一定带负电B．甲的电量一定为乙电量的2倍C．甲粒子从A到B电场力一定做正功，乙粒子从A到C电场力一定做负功D．甲在B点的电势能的绝对值一定是乙在C点电势能绝对值的2倍【答案】BC【解析】A．根据等势面与电场线的方向垂直的特点，画出两条电场线如图，对比轨迹与电场线的可得，甲偏转的方向大体向下，而乙偏转的方向大体向上，二者偏转的方向沿电场线的两个不同的方向，所以甲与乙一定带不同性质的电荷；由于不知道abc个等势面的电势的高低，所以不能判断出电场线的方向，也不能判断出甲、乙的具体的电性，故A错误；B．由题目可知，电场力对甲做的功是对乙做的功的2倍，根据电场力做功的特点：W=qU，甲的电荷量的绝对值是乙的电荷量的绝对值的2倍，故B正确；C．对比轨迹与电场线的可得，甲的轨迹的方向与受力的方向之间的夹角是锐角，所以电场力对甲做正功；而乙的轨迹方向与电场线的方向之间的夹角是钝角，所以电场力对乙做负功，故C正确；D．电势能的大小与0势能面的选取有关，由于不知道0势能面的位置，所以不能判断出甲、乙电势能绝对值的关系，故D错误。
物理高考- 带电粒子在非匀强电场中的运动(解析版)
专题8.8 带电粒子在非匀强电场中的运动【考纲解读与考频分析】带电粒子在非匀强电场中的运动是高考要求的II级考点，是高考命题考查的重点。
【高频考点定位】：带电粒子在非匀强电场中的运动考点一：带电粒子在非匀强电场中的运动【3年真题链接】1．（2019全国理综II卷14）静电场中，一带电粒子仅在电场力的作用下自M点由静止开始运动，N为粒子运动轨迹上的另外一点，则（）A．运动过程中，粒子的速度大小可能先增大后减小B.在M、N两点间，粒子的轨迹一定与某条电场线重合C.粒子在M点的电势能不低于其在N点的电势能D.粒子在N点所受电场力的方向一定与粒子轨迹在该点的切线平行【参考答案】.AC【命题意图】本题考查带电粒子在静电场中的运动，考查的核心素养是思维的周密性，对各种可能情景的分析，都“可能”、“一定”选项的甄别和分析。
【解题思路】【正确项分析】由于题述没有给出静电场是匀强电场还是非匀强电场，需要考虑选项中的可能性。
若是同种点电荷的电场，一带同种电荷的粒子沿两电荷的连线自M点由静止开始运动，粒子的速度先增大后减小，选项A正确；带电粒子仅在电场力作用下运动，若运动到N点的动能为零，则N、M两点的电势能相等；根据仅在电场力作用下运动，带电粒子动能和电势能保持不变，可知若运动到N点的动能不为零，则N点的电势能小于M点的电势能，即粒子在M点的电势能不低于其在N点的电势能，选项C 正确；【错误项分析】若静电场的电场线不是直线，带电粒子仅在电场力作用下，其运动轨迹不会与电场线重合，选项B错误；若粒子运动轨迹为曲线，根据粒子做曲线运动的条件，则粒子在N点所受电场力的方向一定不与粒子轨迹在该点的切线平行，选项D错误。
【易错剖析】此题选项中“可能”、“一定”，需要考虑各种可能情况认真分析。
只要是题述情景的可能情况中可能发生的，则“可能”选项即为正确；只要是题述情景的可能情况中有可能不发生的，则“一定”选项即为错误。
2．（2019高考江苏卷物理9）如图所示，ABC 为等边三角形，电荷量为+q 的点电荷固定在A 点．先将一电荷量也为+q 的点电荷Q 1从无穷远处（电势为0）移到C 点，此过程中，电场力做功为-W ．再将Q 1从C 点沿CB 移到B 点并固定．最后将一电荷量为-2q 的点电荷Q 2从无穷远处移到C 点．下列说法正确的有（ ）（A ）Q 1移入之前，C 点的电势为W/q（B ）Q 1从C 点移到B 点的过程中，所受电场力做的功为0（C ）Q 2从无穷远处移到C 点的过程中，所受电场力做的功为2W（D ）Q 2在移到C 点后的电势能为-4W【参考答案】ABC【名师解析】根据题述，将一电荷量也为+q 的点电荷Q 1从无穷远处（电势为0）移到C 点，此过程中，电场力做功为-W ．可得C 点与无穷远点的电势差为U=W/q ，所以Q 1移入之前，C 点的电势为W/q ，选项A 正确；根据点电荷电场特征可知，BC 两点处于同一等势面上，所以Q 1从C 点移到B 点的过程中，所受电场力做的功为0，选项B 正确；将一电荷量为-2q 的点电荷Q 2从无穷远处移到C 点，所受电场力做的功为2W ，Q 2在移到C 点后的电势能为-2W ，选项C 正确D 错误。
带电粒子在非均匀电磁场中的运动分析
题目：带电粒子在非均匀电磁场中的运动分析目录1.引言： (1)2.静带电粒子在均匀，恒定磁场中的运动 (1)3.带电粒子在均匀，恒定电磁场中的运动 (2)3.1带电粒子在均匀，恒定电磁场中的运动的分析 (2)3.2带电粒子在均匀电磁场中的运动微分方程 (2)4.带电粒子在非均匀，恒定磁场中的运动 (5)5.带电粒子在非均匀磁场中的几种漂移 (6)5.1梯度漂移 (6)5.2曲率漂移 (8)6．结论 (9)7．叁考文献： (10)8.致谢 (11)带点粒子在非均匀电磁场中的运动摘要：本文中论述带电粒子在均匀电磁场中的运动情况，并对带电粒子在非均匀电磁场中的运动进行较深刻的讨论，及推导带电粒子在非均匀磁场中运动时的漂移速度。
关键词：带电粒子;电场;磁场;漂移速度1.引言：在很多等离子体的应用中, 都涉及到磁场对等离子体的作用. 因此, 研究带电粒子在非均匀磁场中的运动, 对于研究等离子体的应用是很有必要的. 大家知道带电粒子在均匀恒定磁场中的运动由两部分组成：一部分是沿磁感应线的(纵向)匀速直线运动; 另一部分是环绕磁感应线的( 横向)匀速圆周运动. 这两部分合起来就是使带电粒子沿磁感应线作螺旋运动. 在非均匀恒定磁场中,会发生洛伦磁力方向上的漂移，还会发生一种垂直于磁场方向的漂移。
2.静带电粒子在均匀，恒定磁场中的运动带电粒子在磁场中的运动，受lorentz 力的作用，其运动方程： B v q a m ⨯= (1) 在磁场B 均匀，恒定条件下，垂直于B 的速度分量v ⊥受到与B 和v ⊥都垂直的恒力qv B ⊥的作用，使带点粒子在垂直于B 的平面内以v ⊥作匀速圆周运动，圆半径为 L r =mv qB⊥(2) L r 称为回旋半径或Larmor 半径，圆周运动的角速度为L ω=v r ⊥⊥= m qB （3）L ω称为回旋圆频率(Larmor 频率)。
平行于B 的速度分量//υ不受力，使带电粒子沿的方向即沿磁力以υ作匀速直线运动。
带电粒子在非均匀电磁场中的运动解读
带电粒子在非均匀电磁场中的运动带电粒子在非均匀电磁场中的运动摘要：本文在熟知的均匀恒定磁场解的基础上,忽略相对论效应讨论外磁场随空间变化的情形下,单个带电粒子在非均匀磁场作用下的运动形式,并求出0阶、1阶、2阶运动方程,分别得出0阶近似解、1阶近似解、2阶近似解，画出2阶近似下粒子的运动图形。
由于磁场随时空变化10分缓慢且无电场，所以将磁场的非均匀非恒定部分作为均匀、恒定磁场的小扰动来处理。
均匀、恒定解作为0阶解代入1阶近似运动方程，使之线性化，求出1阶近似解，同理将1阶解代入2阶近似运动方程，使其线性化，求出2阶近似解。
本文着重引入漂移这个概念借以说明带电粒子在非均匀磁场的基本特征及研究方法。
通过分析比较1阶近似解与0阶近似解；2阶近似解与1阶近似解，得出由于1阶近似而引起粒子在与磁场方向以及磁场横向梯度方向垂直的方向发生漂移；由于2阶近似使得粒子在xy平面内做1２W、３W、４W、５W、６W叠加的匀速圆周运动。
关键词：带电粒子；2阶近似；弱非均匀磁场；漂移The motion of charged particle in inhomogeneous electroma-gnetic field Abstract: The article, neglecting relative effect, discuss the motion of a charged particle’s form of movementin inhomogeneous magnetic field which varies with the spatial coordinate as the solution of even constant magnetic field is well known. The motion equation of zero, first, second order is found to obtain approximate solution and to draw the l graph of motion. As the magnetic field varies extremely slowly with the space and time changing and it is discussed without electric field, the inhomogeneous non-constant part of the magnetic field is processed as small perturbation in even constant magnetic field. The solution of zero order is taken into the first order approximate of equation of motion. Then we make the equation linearization to get the solutionof first order. So is way to obtain the solution of second order. The article emphatically introduces the concept of drifting to interpret the elementary characteristic and research technique of the charged particle in the inhomogeneous magnetic field. The conclusion is drawn through analyze and comparison between the solutions of zero andfirst order, second and first order that the particle drifts in the vertical direction of the magnetic field and its crosswise gradientin the approximation of first order. While the particle makes superimposed circle movement of uniform velocity in the approximation of second order.Key words：Charged particle; Second order approximate; Weak inhomogeneous magnetic field; Drifting目录中文摘要……………………………………………………………………………………………………1前言…………………………………………………………………………………………………………11电力系统谐波………………………………………………………………………………………… 11.1 电力系统谐波的基本概念………………………………………………………………………11.2 电力系统谐波的危害………………………………………………………………………… 21.3 电力系统谐波的管理和监测………………………………………………………………… 22非正弦条件下功率的基本要求和分类………………………………………………………………33传统正弦条件下功率的基本定义及其特点…………………………………………………………44 非正弦条件下现有的各种功率定义…………………………………………………………………54.1 C.Budeanu提出的功率定义……………………………………………………………………64.2 S.Fryze提出的功率定义………………………………………………………………………64.3N.L.Kusters和J.M.Moore提出的功率定义…………………………………………………74.4 W.Shepherd 和P.Zakihani提出的功率定义…………………………………………………94.5 Sharon提出的功率定义…………………………………………………………… …………104.6L.S.Czarnecki提出的功率定义………………………………………………………………114.7 IEEE谐波工作小组对无功功率定义的建议………………………………………………… 124.8 国家标准…………………………………………………………………………………………135现有功率理论的分析比较……………………………………………………………………………135.1 C.Budeanu 功率定义中的不足……………………………………………………………… 135.2 现有功率理论的共同特点——正交分解……………………………………………………146 适用于非正弦条件下功率计量理论…………………………………………………………………157功率测量………………………………………………………………………………………………178谐波造成的功率测量误差分析………………………………………………………………………188.1 视在功率测量误差分析……………………………………………………………………… 188.2 有功功率测量误差分析…………………………………………………………………………188.3 无功功率测量误差分析…………………………………………………………………………19９非正弦条件下测量需要解决的问题........................................................................ 219.1 如何反映负荷特性..........................................................................................219.2 怎样进行责任划分....................................................................................... 219.3 谐波损耗如何评估..........................................................................................229.4 测量精度如何保证....................................................................................... 22结论........................................................................................................................23参考文献............................................................................................................... 23英文摘要..................................................................................................................24致谢 (25)。
带电粒子在非均匀磁场中的运动分析
带电粒子在非均匀磁场中的运动分析张莉【摘要】本文用经典电动力学的理论以及经典力学的原理探讨了带电粒子在非均匀磁场中的运动规律，得出了带电粒子在非均匀磁场中将做螺旋线运动与漂移运动的合运动，并由此解释了磁约束原理。
【关键词】：带电粒子非均匀磁场运动带电粒子在非均匀磁场中的运动规律具有广泛的运用，例如，等离子体问题的探究都涉及到了磁场对等离子体的作用，研究带电粒子在非均匀磁场中的运动以及等离子体的约束问题，在现代科学技术中具有重要的意义。
在普通物理电磁学中主要探讨了带电粒子在均匀磁场中的定量运动规律，知道了带电粒子在均匀磁场中的运动主要由两部分构成：一部分是沿着磁感线的匀速直线运动（纵向）；另一部分是环绕磁感线的匀速圆周运动（横向）。
这两部分合起来就是带电粒子在均匀磁场中将沿着磁感线做螺旋线运动。
那么，带电粒子在非均匀磁场中的运动又是怎样的一种情况呢？目前，一些有关电子在非均匀磁场中运动的文献已经运用高等数学的研究方法得出了带电粒子在非均匀磁场中的一些运动规律。
本文将从电动力学的理论以及经典力学的原理和带电粒子在非均匀磁场中动能不变的条件出发，探讨带电粒子在非均匀磁场中的运动规律，得出带电粒子在非均匀磁场中将做螺旋线运动与漂移运动的合运动，并且用此结论解释了磁约束原理。
1带电粒子在非均匀磁场中的运动常见的非均匀磁场是如图1所示的喇叭形磁场，它是一种关于Z轴对称的空间缓变磁场，我们用下式来表示这种磁场【1】:1 [(1)]2zB B a z arr =+-z r B z B r =- （1）其中a 是一个微小的参数，它表示磁场B 随z 和r 的变化是缓慢的。
带电粒子在这种磁场的运动是比较复杂的，如果采用一般的方法，列出运动方程后再去精确求解，将陷入繁琐的数学计算中，所以我们将从带电粒子在稳定的喇叭形磁场中运动的动能不变出发，采用近似求解的方法，得到带电粒子在这种磁场中的运动特点。
当带电粒子q 以一恒定速度Vˆ（假设远小于真空中的光速）进入如图1所示的磁场时，我们对它进行受力分析，带电粒子在进入磁场后只受到洛仑兹力的作用。
恒磁场之带电粒子在非匀强磁场中的运动(动画)
利用计算机图形学技术，如OpenGL 或DirectX，来绘制粒子运动轨迹和动 态效果。
物理定律应用
应用牛顿第二定律和运动学原理，结 合磁场分布，计算粒子的加速度和速 度。
动画制作过程与步骤
01
02
03
04
设定初始条件
确定粒子的初始位置、速度和 电荷状态，以及非匀强磁场的 分布和强度。
计算粒子运动轨迹
带电粒子在非匀强磁场中的运动轨迹
螺旋线轨迹
在非匀强磁场中，带电粒子可 能沿着螺旋线轨迹运动，其轨 迹形状取决于磁场梯度和粒子 速度。
摆线轨迹
当带电粒子在磁场中做圆周运 动时，其轨迹可能呈现摆线形 状。
弯曲轨迹
在非匀强磁场中，带电粒子的 轨迹可能因磁场梯度而发生弯 曲。
非匀强磁场中带电粒子的旋转与进动
在特定条件下，粒子可能会发生聚焦、 扩散或螺旋运动等行为，这些行为对 粒子束控制、磁场成像和等离子体物 理等领域具有重要意义。
通过模拟实验和数学模型分析，我们 发现粒子的运动轨迹与磁场强度、粒 子质量和电荷量等因素密切相关。
对未来研究的展望
进一步研究不同初始条件和磁场参数对粒子运动的影响，以揭示更多有趣的物理现 象和机制。
探索粒子在更复杂磁场结构中的运动行为，例如动态磁场、非线性磁场和非对称磁 场等。
将研究成果应用于实际问题，如粒子加速器设计、磁场传感器和磁流体动力学等领 域。
对实际应用的建议
在粒子束控制和磁场成像方面，应充分考虑磁 场的不均匀性和复杂性对粒子运动的影响，以 提高实验精度和控制效果。
在设计和优化粒子加速器和磁流体动力学系统 时，应充分研究和利用粒子在非匀强磁场中的 运动特性，以提高系统的性能和稳定性。
比较不同初始条件
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热点重点难点专题透析· 物理(安徽)
专题八
【解析】由公式 f＝ 可得 f＝50 Hz，在变压器 2π
ω
U1 n1 中，由 ＝ 可知副线圈两端电压的有效值为 6 V，则 U2 n2 U 电压表的示数为 6 V， 由 I＝ 可知电流表的示数 I＝1 A， R P 入＝P 出＝UI＝6 W，D 选项正确．
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专题八
A．电流频率为 100 Hz B. 的读数为 24 V C. 的读数为 0.5 A D．变压器输入功率为 6 W 【疑惑】正弦交变电流的有效值和最大值有怎样 的关系？在交流电路里仪表的读数是瞬时值还是有效 值？变压器原、副线圈电压、电流与匝数关系是怎样 的？变压器原、副线圈功率关系是怎样的？
【答案】D
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专题八
9．(2013 年高考·全国理综卷) 纸面内两个半径 均为 R 的圆相切于 O 点，两圆形区域内分别存在垂直 于纸面的匀强磁场， 磁感应强度大小相等、 方向相反， 且不随时间变化．一长为 2R 的导体杆 OA 绕过 O 点且 垂直于纸面的轴顺时针匀速旋转， 角速度为ω.t＝0 时， OA 恰好位于两圆的公切线上，如图所示．若选取从 O 指向 A 的电动势为正，下列描述导体杆中感应电动势 随时间变化的图象可能正确的是( )．
2
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专题八
【知能诊断】 1．(2013 年高考·广东理综卷)某航母跑道长 200 2 m．飞机在航母上滑行的最大加速度为 6 m/s ，起飞需 要的最低速度为 50 m/s.那么，飞机在滑行前，需要借 助弹射系统获得的最小初速度为( )． A．10 m/s B．5 m/s C．15 m/s D．20 m/s 【疑惑】匀变速直线运动的位移公式是什么？题 目中哪些量是公式中的已知量？哪些量是公式中的未 知量？
二轮物理复习解题技巧 专题八：处理带电粒子在磁场中运动的临界极值思维方法
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磁场时的速度方向垂直于磁场且与x轴正方向成120°角，若粒子穿过y轴正 半轴后在磁场中到x轴的最大距离为a，则该粒子的比荷和所带电荷的正负 分别是( )
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解析：粒子穿过y轴正半轴，由左手定则可判断粒子带负电．根据带电粒子在有 界磁场中运动的对称性作出粒子在磁场中运动轨迹如右图所示，由图中几何关 系可得：r＋rsin 30°＝a，
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高考物理二轮专题复习精品课件（八）
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处理带电粒子在磁场中运动的临界极值思维方法 物理系统由于某些原因而要发生突变时所处的状态，叫做临界状态．突变过程 是从量变到质变的过程，在临界状态的前后，系统服从不同的物理规律，按不 同的规律变化．如光学中的“临界角”、超导现象中的“临界温度”、核反应
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解析：用放缩法作出带电粒子运动的轨迹如题图所示，当其运动轨迹与NN′ 边界线相切于P点时，这就是具有最大入射速率vmax的粒子的轨迹．由题图 可知： R(1－cos 45°)＝d，又Bqvmax＝ 联立可得：vmax＝ 答案：
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三、平移法
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一、对称思想 带电粒子垂直射入磁场后，将做匀速圆周运动．分析粒子运动， 会发现它们具有对称的特点，即：粒子的运动轨迹关于入射点 P 与出射点 Q的中垂线对称，轨迹圆心 O位于对称线上，入射速度、 出射速度与 PQ线间的夹角 ( 也称为弦切角 ) 相等，并有 φ ＝ α＝ 2θ
由此我们可得到一种确定临界条件的方法：在确定这类粒子运动的临界条件 时，可以以入射点P为定点，圆心位于PP′直线上，将半径放缩作轨迹，从而
带电粒子在磁场中运动解题方法及经典例题
带电粒子在磁场中运动一、不计重力的带电粒子在匀强磁场中的运动1．匀速直线运动：若带电粒子的速度方向与匀强磁场的方向平行，则粒子做匀速直线运动．2．匀速圆周运动：若带电粒子的速度方向与匀强磁场的方向垂直，则粒子做匀速圆周运动．质量为m、电荷量为q的带电粒子以初速度v垂直进入匀强磁场B中做匀速圆周运动，其角速度为ω，轨道半径为R，运动的周期为T，推导半径和周期公式：推导过程：运动时间t=3．对于带电粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动的问题，应注意把握以下几点．(1)粒子圆轨迹的圆心的确定的常规方法①若已知粒子在圆周运动中的两个具体位置与通过某一位置时的速度方向，可在已知的速度方向的位置作速度的垂线，同时作两位置连线的中垂线，两垂线的交点为圆轨迹的圆心，如图4－2 所示．②若已知做圆周运动的粒子通过某两个具体位置的速度方向，可在两位置上分别作两速度的垂线，两垂线的交点为圆轨迹的圆心，如图4－3所示．③若已知做圆周运动的粒子通过某一具体位置的速度方向与圆轨迹的半径R，可在该位置上作速度的垂线，垂线上距该位置R处的点为圆轨迹的圆心(利用左手定则判断圆心在已知位置的哪一侧)，如图4－4所示．图4－2图4－3图4－4例1 、一个质量为m电荷量为q的带电粒子从x轴上的P〔a，0〕点以速度v，沿与x正方向成60°的方向射入第一象限内的匀强磁场中，并恰好垂直于y轴射出第一象限。
求3〕〕匀强磁场的磁感应强度B和射出点的坐标。
〔坐标为〔0，a例2、电子自静止开始经M、N板间〔两板间的电压为U〕的电场加速后从A点垂直于磁场边界射入宽度为d的匀强磁场中，电子离开磁场时的位置P偏离入射方向的距离为L，如图2所示，求：〔1〕正确画出电子由静止开始直至离开磁场时的轨迹图； 〔2〕匀强磁场的磁感应强度.〔已知电子的质量为m ，电量为e 〕emUd L L 2222(2)利用速度的垂线与角的平分线的交点找圆心当带电粒子通过圆形磁场区后又通过无场区，如果只知道射入和射出时的速度的方向和射入时的位置，而不知道射出点的位置，应当利用角的平分线和半径的交点确定圆心。
专题25 带电粒子在非匀强磁场中的运动-2021高考物理一轮复习压轴题剖析(电学部分)(解析版)
专题25 带电粒子在非匀强磁场中的运动一、选择题（1-9题只有一个选项正确，10-12题有多个选项符合条件）1．下列说法正确的是（）A．带电粒子只在电场力的作用下一定作匀变速直线运动B．带电粒子在磁场中只受磁场力作用，一定作匀速圆周运动C．带电粒子在重力、电场力、磁场力作用下不可能作匀速圆周运动D．带电粒子在重力、电场力、磁场力作用下可以作匀速直线运动【答案】D【解析】A．若带电粒子初速度与电场力不在一条直线上，只在电场力的作用下，做曲线运动，故A错误；B．带电粒子在磁场中只受磁场力作用，如果磁场力不恒定，则不一定作匀速圆周运动，故B错误；C．带电粒子在重力、电场力、磁场力作用下时，若磁场力恒定，且重力与电场力平衡，带电粒子可能作匀速圆周运动，故C错误；D．带电粒子在重力、电场力、磁场力作用下，若这三个力平衡，合力为0，则带电粒子可以作匀速直线运动，故D正确；故选D。
2．如图所示，AB是固定在竖直平面内的光滑绝缘细杆，A、B两点恰好位于圆周上，杆上套有质量为m、电荷量为+q的小球(可看成点电荷)，第一次在圆心O处放一点电荷+Q，让小球从A点沿杆由静止开始下落，通过B点时的速度为，加速度为a1；第二次去掉点电荷，在圆周平面加上磁感应强度大小为B、方向垂直纸面向里的匀强磁场，让小球仍从A点沿杆由静止开始下落，经过B点时速度为，加速度为a2，则（）A．＜B．＞C．a1＜ a2D．a1＞ a2【答案】D【解析】AB．A点和B点在同一个等势面上，第一次小球从A点由静止运动到B点的过程中，库仑力对小球做功的代数和为零，根据动能定理，得第二次小球从A点由静止运动到B点的过程中，洛伦兹力不做功，根据动能定理，得所以，故AB错误；CD．小球第一次经过B点时，库仑力有竖直向下的分量，小球受的竖直方向的合力F1>mg ，由牛顿第二定律可知，小球经过B点时的加速度a1>g，小球第二次经过B点时，由左手定则可知，洛伦兹力始终与杆垂直向右，同时杆对小球产生水平向左的弹力，水平方向受力平衡。
2022届高考物理一轮复习 专题八 带电粒子在磁场中运动的临界和多解问题学案 新人教版
专题八带电粒子在磁场中运动的临界和多解问题考点一带电粒子在磁场中运动的临界极值问题多维探究解决带电粒子在磁场中的临界极值问题的关键(1)以题目中的“恰好”“最大”“最高”“至少”等词语为突破口，运用动态思维，寻找临界点，确定临界状态，由磁场边界和题设条件画好轨迹、定好圆心，建立几何关系．(2)寻找临界点常用的结论：①刚好穿出磁场边界的条件是带电粒子在磁场中运动的轨迹与边界相切．②当速度v一定时，弧长(或弦长)越长，圆心角越大，则带电粒子在有界磁场中运动的时间越长．③当速度v变化时，圆心角越大，运动时间越长．题型1|求运动时间的极值例1 [2020·全国卷Ⅰ，18]一匀强磁场的磁感应强度大小为B，方向垂直于纸面向外，其边界如图中虚线所示，ab̂为半圆，ac、bd与直径ab共线，ac间的距离等于半圆的半径．一束质量为m、电荷量为q(q>0)的粒子，在纸面内从c点垂直于ac射入磁场，这些粒子具有各种速率．不计粒子之间的相互作用．在磁场中运动时间最长的粒子，其运动时间为( )A.7πm6qB B.5πm4qBC.4πm3qBD.3πm2qB题型2|求磁感应强度的极值例2 [2020·全国卷Ⅲ，18]真空中有一匀强磁场，磁场边界为两个半径分别为a和3a的同轴圆柱面，磁场的方向与圆柱轴线平行，其横截面如图所示．一速率为v的电子从圆心沿半径方向进入磁场．已知电子质量为m，电荷量为e，忽略重力．为使该电子的运动被限制在图中实线圆围成的区域内，磁场的磁感应强度最小为( )A.3mv2ae B.mvaeC.3mv4ae D.3mv5ae题型3 |求运动速度的极值例3 如图所示，在直角三角形abc区域(含边界)内存在垂直于纸面向外的匀强磁场，磁感应强度大小为B，∠a＝60°，∠b＝90°，边长ac＝L.一个粒子源在a点将质量为m、电荷量为q的带正电粒子以大小和方向不同的速度射入磁场，在磁场中运动时间最长的粒子中，速度的最大值是( )A.qBL2m B.√3qBL6mC.√3qBL4mD.qBL6m题型4|带电粒子通过磁场时的最大偏角例4 如图所示，半径R＝10 cm的圆形区域内有匀强磁场，其边界跟y轴在坐标原点O处相切，磁感强度B＝0.33 T，方向垂直纸面向里．在O处有一放射源S，可沿纸面向各方向射出速率均为v＝3.2×106m/s的α粒子，已知α粒子的质量m＝6.6×10－27 kg，电荷量q＝3.2×10－19 C，则该α粒子通过磁场空间的最大偏转角为( ) A．30° B．45°C．60° D．90°题型5|求区域的长度范围例5 如图所示，在荧光屏MN上方分布了水平方向的匀强磁场，磁感应强度的大小B＝0.1 T、方向与纸面垂直．距离荧光屏h＝16 cm处有一粒子源S，以速度v＝1×106＝1×108C/kg的带正电粒子，不计粒子的重m/s不断地在纸面内向各个方向发射比荷qm力．则粒子打在荧光屏范围的长度为( )A．12 cm B．16 cmC．20 cm D．24 cm练1 [最小边界]如图所示，一带电质点质量为m，电荷量为q，以平行于x轴的速度v从y轴上的a 点射入图中第一象限所示的区域．为了使该质点能从x轴上的b点以垂直于x轴的速度v射出，可在适当的地方加一个垂直于xOy平面、磁感应强度为B的匀强磁场．若此磁场仅分布在一个圆形区域内，试求这圆形磁场区域的最小半径．(重力忽略不计)练2 [2020·全国卷Ⅱ，24] 如图，在0≤x≤h，－∞<y<＋∞区域中存在方向垂直于纸面的匀强磁场，磁感应强度B的大小可调，方向不变．一质量为m、电荷量为q(q>0)的粒子以速度v0从磁场区域左侧沿x轴进入磁场，不计重力．(1)若粒子经磁场偏转后穿过y轴正半轴离开磁场，分析说明磁场的方向，并求在这种情况下磁感应强度的最小值B m；，粒子将通过虚线所示边界上的一点离开磁场．求粒子(2)如果磁感应强度大小为B m2在该点的运动方向与x轴正方向的夹角及该点到x轴的距离．题后反思解决临界极值问题的方法技巧(1)数学方法和物理方法的结合：如利用“矢量图”“边界条件”等求临界值，利用“三角函数”“不等式的性质”“二次方程的判别式”等求极值．(2)一个“解题流程”突破临界问题考点二带电粒子在匀强磁场中的运动的多解问题多维探究题型1|带电性质不确定例6 如图所示，宽度为d 的有界匀强磁场，磁感应强度为B ，MM ′和NN ′是它的两条边界．现有质量为m 、电荷量为q 的带电粒子沿图示方向垂直磁场射入．要使粒子不能从边界NN ′射出，则粒子入射速率v 的最大值可能是多少？题型2|磁场方向不确定例7 (多选)一质量为m ，电荷量为q 的负电荷在磁感应强度为B 的匀强磁场中绕固定的正电荷沿固定的光滑轨道做匀速圆周运动，若磁场方向垂直于它的运动平面，且作用在负电荷的电场力恰好是磁场力的三倍，则负电荷做圆周运动的角速度可能是( )A. 4qB mB. 3qB mC. 2qB mD. qBm题型3|临界状态不唯一例8 匀强磁场区域由一个半径为R的半圆和一个长为2R、宽为R的矩形组成，磁场2的方向如图所示．一束质量为m、电荷量为＋q的粒子(粒子间的相互作用和重力均不计)以速度v从边界AN的中点P垂直于AN和磁场方向射入磁场中．(1)当磁感应强度为多大时，粒子恰好从A点射出？(2)对应于粒子可能射出的各段磁场边界，磁感应强度应满足什么条件？题型4|带电粒子的周期性运动形成多解解决带电粒子在磁场中的周期性运动与多解问题，关键是对运动过程进行准确分析，找出周期性运动的规律，并用数学通式表达多解性．分析运动过程要注意两点：(1)注意磁场大小或方向的变化引起粒子运动轨迹的变化．(2)注意粒子的运动方向改变而使粒子的运动具有周期性和对称性．例9 [2021·广东韶关调研]如图所示，在无限长的竖直边界AC和DE间，上、下方分别充满方向垂直于平面ADEC向外的匀强磁场，上方磁场区域的磁感应强度大小为B0，OF为上、下方磁场的水平分界线．质量为m、所带电荷量为＋q的粒子从AC边界上与O 点相距为a 的P 点垂直于AC 边界射入上方磁场区域，经OF 上的Q 点第一次进入下方磁场区域，Q 点与O 点的距离为3a .不考虑粒子重力．(1)求粒子射入时的速度大小；(2)若下方区域的磁感应强度B ＝3B 0，粒子最终垂直于DE 边界飞出，求边界DE 与AC 间距离的可能值．练3 (多选)如图所示，两方向相反、磁感应强度大小均为B 的匀强磁场被边长为L 的等边三角形ABC 理想分开，三角形内磁场垂直纸面向里，三角形顶点A 处有一质子源，能沿∠BAC 的角平分线发射速度不同的质子(质子重力不计)，所有质子均能通过C点，质子比荷q m ＝k ，则质子的速度可能为( )A.2BkLB. BkL 2C. 3BkL 2D. BkL8练4 如图所示，在平面直角坐标系xOy 的第一象限y ≤a 范围内，存在垂直纸面向里磁感应强度为B 的匀强磁场．一质量为m 、电荷量为q 且带负电的粒子从坐标原点O 以速度大小为v 0＝2qBa m沿不同方向射入磁场，不计粒子的重力，下列说法正确的是( )A ．若粒子初速度沿y 轴正方向，则粒子在磁场中的运动时间为πm 3qBB ．若粒子初速度沿y 轴正方向，则粒子在磁场中的运动时间为2πm 3qBC．粒子在磁场中运动的最长时间为πm3qBD．粒子在磁场中运动的最长时间为2πm3qB思维拓展“几何圆”模型在磁场临界极值问题中的应用模型1 “放缩圆”模型的应用如图所示(图中只画出粒子带正电的情景)，速度v越大，运动半径也越大．可以发现这些带电粒子射入磁场后，它们运动轨迹的圆心在垂直初速度方向的直线PP′上为定点，圆心位于PP′直线上，将半径放缩作轨迹例1 (多选)如图所示，正方形abcd区域内有垂直于纸面向里的匀强磁场，O点是cd边的中点．若一个带正电的粒子(重力忽略不计)从O点沿纸面以垂直于cd边的速度射入正方形内，经过时间t0刚好从c点射出磁场．现设法使该带电粒子从O点沿纸面以与Od成30°的方向(如图中虚线所示)，以各种不同的速率射入正方形内，那么下列说法正确的是( )A．该带电粒子不可能刚好从正方形的某个顶点射出磁场B．若该带电粒子从ab边射出磁场，它在磁场中经历的时间可能是t0t0 C．若该带电粒子从bc边射出磁场，它在磁场中经历的时间可能是32t0 D．若该带电粒子从cd边射出磁场，它在磁场中经历的时间一定是53模型2 “旋转圆”模型的应用粒子源发射速度大小一定、方向不同的带电粒子进入匀强磁场时，它们在磁场中做匀速圆周运动的半径相同，若射入初速度为v0，则轨迹半径为R＝mv0.如图所qB示带电粒子在磁场中做匀速圆周运动的圆心在以入射点、速度例2 如图所示，匀强磁场垂直于纸面，磁感应强度大小为B，一群比荷为qm大小为v的离子以一定发散角α由原点O出射，y轴正好平分该发散角，离子束偏转为( )后打在x轴上长度为L的区域MN内，则cosα2A ．1－BqL 4mvB ．12－BqL 4mvC ．1－BqL 2mvD ．1－BqLmv专题八 带电粒子在磁场中运动的临界和多解问题考点突破例1 解析：如图所示，设某一粒子从磁场圆弧ab̂上的e 点射出磁场，粒子在磁场中转过的圆心角为π＋θ＝π＋2α，由于所有粒子在磁场中运动周期相同，粒子在磁场中做匀速圆周运动时，运动轨迹对应的圆心角越大，则运动时间越长．由几何关系可知，α最大时，ce 恰好与圆弧ab ̂相切，此时sin α＝eO cO ＝12，可得α＝π6，θ＝2α＝π3，设粒子在磁场中做匀速圆周运动的周期为T ，粒子在磁场中运动的最长时间t ＝T 2+T 6，又T ＝2πm qB ，解得t ＝4πm 3qB，故选C.答案：C例2 解析：为使该电子的运动被限制在图中实线圆围成的区域内，且磁感应强度最小，由qvB ＝mv 2r可知，电子在匀强磁场中的轨迹半径r ＝mv eB，当r 最大时，B 最小，故临界情况为电子轨迹与有界磁场外边界相切，如图所示，由几何关系知a 2＋r 2＝(3a－r )2，解得r ＝43a ，联立可得最小的磁感应强度B ＝3mv4ae，选项C 正确．答案：C例3 解析：由分析知，粒子沿着ab 边入射且运动轨迹与bc 边相切时满足题意，粒子运动轨迹如图所示．由几何关系知，粒子运动轨迹半径r ＝ab ＝12L ，则粒子速度的最大值v ＝2πr T ＝qBL 2m，A 正确． 答案：A例4 解析：放射源发射的α粒子的速率一定，则它在匀强磁场中的轨道半径为定值，即r ＝mv qB ＝6.6×10−27×3.2×1063.2×10−19×0.33m ＝0.2 m ＝20 cmα粒子在圆形磁场区的圆弧长度越大，其偏转角度也越大，而最长圆弧是两端点在圆形磁场区的直径上，又r ＝2R ，则此圆弧所对的圆心角为60°，也就是α粒子在此圆形磁场区的最大偏转角为60°.轨迹如图所示．选项C 正确．答案：C例5 解析：如图所示，粒子在磁场中做圆周运动的半径为R ＝mv qB ＝10 cm ，若粒子打在荧光屏的左侧，当弦长等于直径时，打在荧光屏的最左侧，由几何关系有x 1＝√(2R )2−h 2＝12 cm ；粒子的运动轨迹与荧光屏右侧相切时，打在荧光屏的最右侧，由几何关系有x 2＝√R 2−(h −R )2＝8 cm.根据数学知识可知打在荧光屏上的范围长度为x ＝x 1＋x 2＝12 cm ＋8 cm ＝20 cm ，选项C 正确．答案：C 练1解析：由于已知初速度与末速度的方向，可得偏向角φ＝π2.设粒子由M 点进入磁场，由于φ＝2β，可沿粒子偏转方向β＝π4来补弦MN ，如图所示．由“切线、弦”可得圆心O 1，从而画轨迹弧MN .显然M 、N 为磁场边界上两点，而磁场又仅分布在一圆形区域内．欲使磁场面积最小，则弦MN 应为磁场边界所在圆的直径(图中虚线图)，即得2r ＝MN .由几何知识，在Rt△MO 1O 2中可知R ＝√2r ，又因为R ＝mv qB，所以，这圆形磁场区域的最小半径 ＝√22R ＝√2mv 2qB . 答案：√2mv 2qB练2 解析：(1)由题意，粒子刚进入磁场时应受到方向向上的洛伦兹力，因此磁场方向垂直于纸面向里．设粒子进入磁场中做圆周运动的半径为R ，根据洛伦兹力公式和圆周运动规律，有qv 0B ＝m v 02 R ①由此可得R ＝mv 0qB② 粒子穿过y 轴正半轴离开磁场，其在磁场中做圆周运动的圆心在y 轴正半轴上，半径应满足R ≤h ③由题意，当磁感应强度大小为B m 时，粒子的运动半径最大，由此得B m ＝mv 0qh④(2)若磁感应强度大小为B m 2，粒子做圆周运动的圆心仍在y 轴正半轴上，由②④式可得，此时圆弧半径为R ′＝2h ⑤粒子会穿过图中P 点离开磁场，运动轨迹如图所示．设粒子在P 点的运动方向与x 轴正方向的夹角为α，由几何关系sin α＝h 2h ＝12⑥则α＝π6⑦由几何关系可得，P 点与x 轴的距离为y ＝2h (1－cos α)⑧联立⑦⑧式得y ＝(2－√3)h ⑨答案：见解析 例6解析：题目中只给出粒子“电荷量为q ”，未说明是带哪种电荷，所以分情况讨论．若带电粒子带正电荷，则轨迹是图中与NN ′相切的14圆弧，轨迹半径R ＝mv Bq又d ＝R －R ·sin 45°解得v ＝(2+√2)Bqd m若带电粒子带负电荷，则轨迹是图中与NN ′相切的34圆弧，轨迹半径R ′＝mv ′Bq 又d ＝R ′＋R ′sin 45°解得v ′＝(2−√2)Bqd m答案：(2＋√2)Bqd m (q 为正电荷) 或(2－√2)Bqd m(q 为负电荷) 例7 解析：依题中条件“磁场方向垂直于它的运动平面”，磁场方向有两种可能，且这两种方向相反．在方向相反的两个匀强磁场中，由左手定则可知负电荷所受的洛伦兹力的方向也是相反的．当负电荷所受的洛伦兹力与电场力方向相同时，根据牛顿第二定律可知4Bqv ＝m v 2R ，得v ＝4BqR m .此种情况下，负电荷运动的角速度为ω＝v R ＝4Bq m ；当负电荷所受的洛伦兹力与电场力方向相反时，有2Bqv ＝m v 2R ，v ＝2BqR m ，此种情况下，负电荷运动的角速度为ω＝v R ＝2Bq m.故AC 正确．答案：AC例8 解析：(1)由左手定则判定，粒子向左偏转，只能从PA 、AC 和CD 三段边界射出，如图所示．当粒子从A 点射出时，运动半径r 1＝R 2.由qvB 1＝mv 2r 1 得B 1＝2mv qR. (2)当粒子从C 点射出时，由勾股定理得：(R －r 2)2＋(R 2)2＝r 22，解得r 2＝58R 由qvB 2＝mv 2r 2，得B 2＝8mv 5qR据粒子在磁场中运动半径随磁场减弱而增大，可以判断：当B >2mv qR 时，粒子从PA 段射出；当8mv 5qR <B <2mv qR时，粒子从AC 段射出； 当B <8mv 5qR 时，粒子从CD 段射出．答案：(1)2mv qR(2)见解析例9 解析：(1)粒子在OF 上方的运动轨迹如图甲所示， 设粒子做圆周运动的半径为R ，由几何关系得R 2－(R －a )2＝(3a )2，解得R ＝5a由牛顿第二定律得qvB 0＝m v 2R解得v ＝5aqB 0m.(2)当B ＝3B 0时，粒子的运动轨迹如图乙所示，粒子在OF 下方的运动半径为r ＝53a .设粒子的速度方向再次与射入磁场时的速度方向一致时的位置为P 1，则P 与P 1的连线一定与OF 平行，根据几何关系知PP 1＝4a若粒子最终垂直于DE 边界飞出，则边界DE 与AC 间的距离为L ＝nPP 1＝4na (n ＝1，2，3，…)．答案：(1)5aqB 0m(2)4na (n ＝1，2，3，…)练3 解析：因质子带正电，且经过C 点，其可能的轨迹如图所示，所有圆弧所对圆心角均为60°，所以质子运行半径r ＝L n (n ＝1，2，3…)，由洛伦兹力提供向心力得Bqv ＝m v 2r ，即v ＝Bqr m ＝Bk ·L n(n ＝1，2，3…)，选项B 、D 正确． 答案：BD 练4解析：本题考查带电粒子在平行边界磁场中运动的临界问题．粒子运动的速度为v 0＝2qBa m ，则粒子运动的轨迹半径为r ＝mv 0qB ＝2a ，若粒子初速度沿y 轴正方向，由几何关系知粒子在磁场中运动偏转的角度为30°，则运动时间为t 1＝30°360°T ＝112×2πr v 0＝πm 6qB ，选项A 、B 错误；当轨迹与磁场上边界相切时，粒子在磁场中运动的时间最长，由几何关系可知，此时粒子在磁场中偏转的角度为120°，时间为t m ＝120°360°T ＝2πm 3qB，故选D. 答案：D 思维拓展 典例1解析：由题意可知带电粒子以垂直于cd 边的速度射入正方形内，经过时间t 0刚好从c 点射出磁场，则知带电粒子的运动周期为T ＝2t 0.随粒子速度逐渐增大，轨迹由①→②→③→④依次渐变，由图可以知道粒子在四个边射出时，射出范围分别为OG 、FE 、DC 、BA 之间，不可能从四个顶点射出，所以A 项正确；当粒子从O 点沿纸面垂直于cd 边射入正方形内，轨迹恰好为半个圆周，即时间t 0刚好为半周期，从ab 边射出的粒子所用时间小于半周期t 0，从bc 边射出的粒子所用时间小于23T ＝4t 03，所有从cd 边射出的粒子圆心角都是300°，所用时间为5T 6＝5t 03，故B 、C 项错误，A 、D 项正确．答案：AD典例2 解析：根据洛伦兹力提供向心力，有qvB ＝m v 2R ，得R ＝mvqB，离子通过M 、N 点的轨迹如图所示，由几何关系知MN ＝ON －OM ，过M 点两圆圆心与原点连线与x 轴夹角为α2，圆心在x 轴上的圆在O 点时的速度沿y 轴正方向，由几何关系可知L ＝2R －2R cos α2，解得cos α2＝1－BqL 2mv，故选项C 正确．答案：C。
第八章 磁场8-专题(新课标复习资料)
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②动态圆法找磁场区域 例6 如图所示，ABCD是边长为a 的正方形．质量为m、电荷量为e的电子 以大小为v0的初速度沿纸面垂直于BC边 射入正方形区域．在正方形内适当区域 中有匀强磁场．电子从BC边上的任意点入射，都只能从 A点射出磁场．不计重力，求： (1)此匀强磁场区域中磁感应强度的方向和大小． (2)此匀强磁场区域的最小面积．
选修3-1
第八章 磁场
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为了决定该磁场区域的另一 边界，我们来考察射中A点的电子 的速度方向与BA的延长线交角为 π θ(不妨设0≤θ≤ )的情形．该电子 2 的运动轨迹qpA如图所示．
选修3-1
第八章 磁场
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︵ 图中， 圆AP的圆心为 O， 垂直于 BC 边， pq 由③式知， ︵ 圆弧AP的半径仍为 a，在 D 为原点、DC 为 x 轴，AD 为 y 轴的坐标系中，P 点的坐标(x，y)为 x＝asinθ y＝－acosθ ④ ⑤
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[解析]
(1)由圆周运动的特点可知， C 点入射的电 从
子，只有立即进入磁场，才能由 A 点离开磁场． ︵ 设匀强磁场的磁感应强度的大小为 B.令圆弧AEC是自 C 点垂直于 BC 入射的电子在磁场中的运行轨道．电子所 受到的磁场的作用力 F 洛＝ev0B ① 应指向圆弧的圆心， 因而磁场的方向应垂直于纸面向 ︵ 外．圆弧AEC的圆心在 CB 边或其延长线上．依题意，圆 心在 A、C 连线的中垂线上，故 B 点即为圆心，圆半径为 v2 0 a 按照牛顿定律有 F 洛＝F 向＝m a
选修3-1
第八章 磁场
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r＋rsin30° ＝a
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专题八带电粒子在非匀强磁场中的运动轨迹问题
1．一个带电粒子，沿垂直于磁场的方向射入一匀强磁场，粒子的一段径迹如图所示，径迹上的每一小段可近似看成圆弧．由于带电粒子使沿途的空气电离，粒子的能量逐渐减小（带电量不变）．从图中可以确定（）
A．粒子从a到b，带正电B．粒子从b到a，带正电
C．粒子从a到b，带负电D．粒子从b到a，带负电
2极光是由来自宇宙空间的高能带电粒子流进入地极附近的大气层后，由于地
磁场的作用而产生的．如图所示，科学家发现并证实，这些高能带电粒子流向两极做螺旋运
动，旋转半径不断减小．此运动形成的原因是：（）
A．可能是洛伦兹力对粒子做负功，使其动能减小
B．可能是介质阻力对粒子做负功，使其动能减小
C．南北两极的磁感应强度较强 D．可能是粒子的带电量减小
3．如图所示，水平导线中通有稳恒电流I，导线正下方的电子e的初速度方向与电
流方向相同，其后电子将：（）
A．沿路径a运动，轨迹是圆 B．沿路径a运动，曲率半径变小
C．沿路径a运动，曲率半径变大 D．沿路径b运动，曲率半径变小
专题九带电粒子在磁场中的匀速圆周运动的简单情况
1.质量为m、带电荷量为q的粒子(忽略重力)在磁感应强度为B的匀强磁场中做匀速圆周运动，形成空间环形电流．已知粒子的运动速率为v、半径为R、周期为T，环形电流的大小为I.则下面说法中正确的是()
2.如图所示，在第Ⅰ象限内有垂直纸面向里的匀强磁场，一对正、负电子分别以相同速率沿
与X轴成300角的方向从原点射入磁场，则正、负电子在磁场中运动的时间
之比为( )
:1 D．1:1
A、1:2
B、2:1 C．3
3.如图所示，带异种电荷的粒子a、b以相同的动能同时从O点射入宽度为d的
有界匀强磁场，两粒子的入射方向与磁场边界的夹角分别为30°和60°，且同
时到达P点。
a、b两粒子的质量之比为（）
A．1：2 B．2：1 C．3：4 D．4：3
专题十带电粒子在有界磁场中的运动及临界问题
1.如图所示，一个理想边界为PQ、MN的匀强磁场区域，磁场宽度为d，方向垂直纸面向里．一
电子从O点沿纸面垂直PQ以速度v0进入磁场．若电子在磁场中运动
的轨道半径为2d．O′ 在MN上，且OO′ 与MN垂直．下列判断正确
的是（ ）
A ．电子将向右偏转
B ．电子打在MN 上的点与O′点的距离为d
C ．电子打在MN 上的点与O′点的距离为d 3
D ．电子在磁场中运动的时间为03v d
π
2.半径为R 的圆形空间内，存在着垂直于纸面向里的匀强磁场，一个带电粒子(不计重力)从A 点以速度v0垂直于磁场方向射入磁场中，并从B 点射出．∠AOB ＝120°，如图所示，则该带电粒子在磁场中运动的时间为( ) A.032v R π B.0332v R
π C.03v R π D.
033v R π
3.（多选）如图所示，直角三角形ABC 中存在一匀强磁场，两个相同的带电
粒子先后沿AB 方向从A 点射入磁场，分别从AC 边上的P 、Q 两点射出，则
A.从P 点射出的粒子速度大
B.从Q 点射出的粒子速度大
C.从P 点射出的粒子，在磁场中运动的时间长
D.两粒子在磁场中运动时间一样长
4.如图所示，OP 、OQ 为匀强磁场的边界，磁场分布足够广，磁感应
强度为B ，方向垂直纸面向里。
一质量为m 、电量为q 的电荷（重力
不计）以平行于OQ 边的速度从M 点垂直磁场射入，并从N 点垂直
OQ 离开，已知θ=30°，OM=l ，则（ ）
A ．该电荷在磁场中运动的轨道半径等于l
B ．该电荷在磁场中运动的轨道半径等于l 2
C ．该电荷在磁场中运动的时间为πm 2qB
D ．该电荷在磁场中运动的时间为πm 6qB
5.如图所示为圆柱形区域的横截面，在该区域加沿圆柱轴线方向的匀强磁场．带电粒子(不计重力)第一次以速度v1沿截面直径入射，粒子飞出磁场区域时，速度方向偏转60°角；该带电粒子第二次以速度v2从同一点沿同一方向入射，粒子飞出磁场区域
时，速度方向偏转90°角．则带电粒子第一次和第二次在磁场中运动的
A ．半径之比为3∶1
B ．速度之比为1∶ 3
C ．时间之比为2∶3
D ．时间之比为3∶2
6.（单选）圆形区域内有垂直于纸面的匀强磁场，三个质量和电荷量都相同的带电粒子a 、b 、
c ，以不同的速率沿着AO 方向对准圆心O 射入磁场，其运动轨迹如图2
所示．若带电粒子只受磁场力的作用，则下列说法正确的是（ ）
A ．a 粒子速率最大
B ．a 粒子在磁场中所受洛伦兹力最大
C．它们做圆周运动的周期Ta<Tb<Tc D．a粒子在磁场中运动的时间最长
7.如图1所示，匀强磁场的边界为平行四边形ABCD，其中AC边与对角线BC垂直，一束电子以大小不同的速度沿BC从B点射入磁场，不计电子的重力和电子之间的相互作用，关于电子在磁场中运动的情况，下列说法中正确的是()
A．入射速度越大的电子，其运动时间越长
B．入射速度越大的电子，其运动轨迹越长
C．从AB边射出的电子的运动时间都相等
D．从AC边射出的电子的运动时间都相等
8..如图所示，在竖直平面内有一边界半径为R的圆形匀强磁场区域，磁感应强度为B，方向垂直纸面向里．一质量为m、电量为q的负点电荷从圆边缘的P点沿直径方向进入匀强磁场中，射出磁场时速度方向偏转了60°．不计点电荷的重力．
(1)求点电荷速度υ的大小?
(2)如果点电荷速度大小不变，以不同方向从P点进入圆形匀强磁场区
域，点电荷在磁场中运动时间不同，求点电荷在磁场中运动的最长时间?
9.一足够长的矩形区域abcd内充满磁感应强度为B，方向垂直纸面向里
的匀强磁场，矩形区域的左边界ad宽为L，现从ad中点O垂直于磁场
射入一带电粒子，速度大小为v0方向与ad边夹角为30°，如图所示。
已知粒子的电荷量为q，质量为m（重力不计）。
（1）若粒子带负电，且恰能从d点射出磁场，求v0的大小；
（2）若粒子带正电，使粒子能从ab边射出磁场，求v0的取值范围以及引范围内粒子在磁场中运动时间t的范围。
10.在以坐标原点O为圆心、半径为r的圆形区域内，存在磁感应强度大小为B、方向垂直于纸面向里的匀强磁场，如图所示。
一个不计重力的带电粒子从磁场边界与x轴的交点A 处以速度v沿负x方向射入磁场，它恰好从磁场边界与y轴的交点C处沿正y方向飞出。
（1）请判断该粒子带何种电荷，并求出其比荷q/m ；
（2）若磁场的方向和所在空间范围不变，而磁感应强度的大小变为'B，该粒
子仍从A处以相同的速度射入磁场，但飞出磁场时的速度方向相对于入射方向
改变了60°角，求磁感应强度'B多大？此次粒子在磁场中运动所用时间t是多少？
专题十一 带电粒子在交变磁场中的运动
1.如左图所示，x ≥0的区域内有如右图所示大小不变、方向随时间周期性变化的磁场，磁场方向垂直纸面向外时为正方向。
现有一质量为m 、带电量为q 的正电粒子，在t=0时刻从坐标原点O 以速度v 沿着与x 轴正方向成75°角射入。
粒子运动一段时间到达P 点，P 点坐标为(a,a),此时粒子的速度方向与OP 延长线的夹角为30°.粒子在这过程中只受磁场力的作用。
(1)若B 为已知量,试求粒子在磁场中运动时的轨道半径
R 及周期T 的表达式。
(2)说明在OP 间运动的时间跟所加磁场的变化周期T 之
间应有什么样的关系才能使粒子完成上述运动。
(3)若B 为未知量,那么所加磁场的变化周期T 、磁感强
度B 0的大小各应满足什么条件，才能使粒子完成上述运
动？(写出T 及B 0各应满足条件的表达式)
2．如图甲所示，水平直线MN 下方有竖直向上的匀强电场，场强E ＝
10 ×10 4 N ／C 。
现将一重力不计、比荷q m
＝106 C ／kg 的正电荷从电场中的O 点由静止释放，经过t 0＝1×10－5s 后，通过MN 上的P 点进入其上方的匀强磁场。
磁场方向垂直于纸面向外，以电荷第一次通过MN 时开始计时，磁感应强度按图乙所示规律周期性变化。
（1）求电荷进入磁场时的速度v 0；
（2）求图乙中t ＝2×10－5s 时刻
电荷与P 点的距离；
（3）如果在P 点右方d ＝105 cm
处有一垂直于MN 的足够大的挡
板，求电荷从O 点出发运动到挡板
所需的时间。