专题讲座8-电子在磁场中的运动

电子在磁场中的运动在经典理论中,电磁场中带电粒子的哈密顿为()212H q q ϕ=-+P A其中P 是正则(广义)动量, A 是矢势, ϕ是标势,, tϕ∂=--∇=∇⨯∂AE B A 过渡到量子力学,我们把正则动量改为算苻i =-∇P所以哈密顿算苻为212H q q ϕ∧∧⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭P A规范不变性电磁场具有规范不变性。

当做规范变换''f f t→=+∇∂φ→φ=φ-∂A A A 电场、磁场保持不变。

那么量子理论是否具有规范不变性？ 可以证明波函数只需做如下变换/'iqf eψ→ψ=ψ则薛定谔方程保持形式不变，()2'1'''2i q q t m ∂ψ⎡⎤=-+φψ⎢⎥∂⎣⎦P A 即量子力学具有规范不变性。

（波函数仅改变一个相因子，这不改变任何物理）证明：把',','ψφA 代入薛定谔方程，有()2//1'2iqf iqf f f ei qe i q q f q q t t m t ∂ψ∂∂⎡⎤-ψ=-∇--∇+φ-ψ⎢⎥∂∂∂⎣⎦A()2//12iqf iqf e i i q q f q e t m ∂ψ⎡⎤→=-∇--∇+φψ⎢⎥∂⎣⎦A()2//12iqf iqf ei e i q q t m ∂ψ⎡⎤→=-∇-+φψ⎢⎥∂⎣⎦A()212i i q q t m ∂ψ⎡⎤→=-∇-+φψ⎢⎥∂⎣⎦A对电子, 若考虑自旋212H e e μϕ∧∧→⎛⎫=+-⋅+ ⎪⎝⎭P A B其中自旋磁矩e mμ→=-S2221()222e e H U m m m μ∧∧→⎛⎫=+⋅+⋅+-⋅+ ⎪⎝⎭P A P P A A B 注意一般情况下, A 与P 不对易,它们的对易关系为 [],i =-∇⋅P A A所以只有当∇⋅=A 0时, 它们才对易. 对均匀场矢势可以表示为12=⨯0A B r =∇⨯0B AA 与P 是对易的()()()2222222222222221()22112221()2221()2221(2)()228e e H Um m m e e U m m m e e U m m m e e e U m m m m e e U m m m μμμ∧∧→∧→∧→∧∧⎛⎫=+⋅+-⋅+ ⎪⎝⎭⎛⎫⎛⎫=+⨯⋅+-⋅+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎛⎫=+⨯⋅+-⋅+ ⎪⎝⎭⎛⎫=+⋅++⋅+ ⎪⎝⎭⎛⎫=++⋅+⨯+ ⎪⎝⎭P A P A B P B r P A B P r P B A B P L B A S B P L S B B r例题-1 设电子在均匀磁场中的运动，求能量本征值和波函数。

解：设磁场沿z 轴方向，可取 , 0x y z A B y A A =-==定态薛定鄂方程为222111222y z x z e P eBy P P S B E m m m m ψψ∧∧∧⎡⎤⎛⎫-+++=⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦这个哈密顿不显含坐标x 和z, 可以取 ()()x z i p x p z ey ψχ+=()2222211222x z z e p eBy p S B E m m m y m χχ⎡⎤∂-+-+=⎢⎥∂⎣⎦整理 ''22202211()022z z m e E S B p m y y m m χω⎡⎤⎛⎫+----= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦其中0//x y p e Be B mω=-=可以看出方程是一个谐振子方程,所以()211/222z e E n p B m mω=++±第一项给出的是分立能级, 对应垂直于磁场的平面内的运动,这些能级称为郎道能级, 第二项对应的是沿磁场方向的自由运动能量, 第三项是电子自旋与磁场的相互作用能. 波函数200()()2n n y y y y y H χαα⎡⎤--⎛⎫=-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦其中α=n H 是厄密多项式.讨论在经典力学中, 电子在垂直与磁场的平面内(xy 平面)中作圆周运动(园心固定). 量子力学中守恒的0y 相当于经典的圆心坐标. 0y x p eB x =+也是一个守恒量(它与哈密顿对易), 它相当于经典的圆心坐标, 但是算苻0x ∧与0y ∧算苻是不对易的, 圆心坐标不能同时取确定值.,z n p 给定能级的简倂度由于能级表示式中不含x p ,假定它可以取连续值,能级是连续兼并的. 如果xy 平面内的运动是局限在一个很大的但是有限的面积x y S L L =内, 兼并度就成为有限的. x p ∆区间内x p 的可能值(现在是分立的)的数目为2xx L p π∆当0y 在S 内时, 所有这些x p 都是允许的. 从条件00y y L << 得到x y p eBL ∆=所以简倂度 (对应同样的,z n p 的态数)为 ,2zn p eBS D π=另外,由于自旋,还有附加的简倂度; 1,2z n S = 同11,2z n S +=- 的能量相同.例题 1 Larmor 进动: 假定一个自旋1/2的粒子静止在一个方向沿z 方向的均匀磁场中:0.B B k= 矩阵形式的哈密顿是0010.012H S z B B γγ⎛⎫=-=- ⎪-⎝⎭H 的本征矢同S z 的一样:00,()/2,,()/2. E B E B χγχγ++--=-⎧⎨=+⎩ 能量能量 显然当偶极矩平行磁场时能量最低−如同它的经典情况一样。

由于哈密顿是不依赖时间的，含时薛定鄂方程H i tχχ∂=∂的一般解可以表示成定态的迭加：00/2///2().i B t iE t iE t i B t ae t a e b e be γγχχχ+---+--⎛⎫=+= ⎪⎝⎭常数a 和b 由初始条件决定：(0),a bχ⎛⎫= ⎪⎝⎭（当然，221a b +=）不失一般性，令cos(/2)a α=，sin(/2)b α=，其中α是一个固定的角度，其物理意义随后说明。

这样00/2/2cos(/2)().sin(/2)i B t i B t e t e γγαχα-⎛⎫= ⎪⎝⎭为了对这样的态有一个感性认识，让我们计算S 期待值对时间的依赖关系：()00/2/2†/2/2()()cos(/2)sin(/2)10cos(/2)012sin(/2)sin cos().2S i B t i B tx xi B ti B tS t t e eeeB tγγγγχχαααααγ--==⎛⎫⎛⎫⨯ ⎪⎪-⎝⎭⎝⎭=类似有，†()()sin sin(),2Sy yS t t B tχχαγ==†()()cos.2Sz zS t tχχα==显然S与z-轴有一个常数倾斜角α,并且绕磁场方向以Larmor频率,Bωγ=进动，如同在经典情况中一样。

这里无需惊讶−Ehrenfest定理保证了S是按照经典规律演化的。

例题 2 斯特恩-革拉赫(Stern-Gerlach)实验：在一个非均匀磁场中，除了力矩，还有另外一个力作用在磁偶极子上：().F B=∇⋅μ这个力可以用来分离具有特定自旋指向的粒子。

假设一束较重的中性原子沿y 方向通过一个非均匀磁场区域−比如说(,,)(),B x y z xi B z k αα=-++ 其中0B 是一个较强的均匀场，而α描述对均匀性的一个小的偏离。

（实际上我们只需要z 方向上的小的偏离，但不幸的是这是做不到的−这将违背电磁规律0B ∇⋅=，不管喜欢不喜欢，必须有x 分量出现。

）作用在原子上的力为().F x z S i S k γα=-+但是由于绕0B 的拉莫尔进动，x S 快速振荡，且平均值为零；净力是沿z 轴方向：,z z F S γα=与自旋角动量的z 分量成正，原子束向上或向下偏转。

经典上，（由于z S 没有量子化）我们预期的是一个模糊带，但事实上原子束分成了21s +个分立的束，这完美地展示了角动量的量子化。

（例如，如果你用银原子，原子内层的所有的电子都是配对的，所以它们的轨道和自旋角动量都相互抵消。

净自旋就是最外层一个−非配对−电子的自旋，所以 1/2s =，因而原子束经过磁场后分为两束。

） 在最后一步之前，上述论述完全是经典的；在完全的量子计算中，没有“力”的位置，因此你们也许更喜欢下面对这个同样问题的探讨。

我们在随着原子束一同运动的参照系中来研究这个过程。

在这个参照系中，哈密顿的初值为零，当粒子经过磁场的一段时间T 内不为零，然后再归于零：00,0,()(),0,0,.z t H t B z S t T t T γα<⎧⎪=-+≤≤⎨⎪>⎩（我们忽略了B 讨厌的x 分量−由前面所述原因−x 分量与这个问题无关。

）假定原子的自旋为12，初态为：(),0.t a b tχχχ+-=+≤当当哈密顿算符作用时，()t χ按通常方式演化：//(),0iE t iE t t a e b e tT χχχ+---+-=+≤≤ 当，式中0(),2E B az γ±=+因此（当t T ≥）它出现在态中/2/2(/2)(/2)()()(),TB TB i i T z i i T z t ae e be e γγαγαγχχχ--+-=+这两项含有沿z 轴方向的动量；自旋向上部分的动量为：,2z T p αγ=方向沿z 轴正方向；自旋向下部分的动量恰好相反，方向沿z 轴负方向。

因而，像先前一样，原子束经过磁场后分为两束。

斯特恩－革拉赫实验在量子力学的基本原理中举足轻重，它既是量子态制备的范例，又是一些量子测量的阐明模型。

我们习惯于假定某一系统的初始条件是已知的（薛定谔方程告诉我们它随后的演化）—但是，很自然会疑问，怎样让一个系统在开始时处于一个特定的状态。

可以这样，如果你想制备一束给定自旋态的原子束，可以先让未极化的粒子束通过一个斯特恩－革拉赫磁场，再从出射的粒子束中选择出你感兴趣的（可以通过适当的挡板或者遮光器）。

相反地，如果想测量一个原子自旋的z 分量，只需让该原子通过斯特恩－盖拉赫装置，记录它达到那个接受器上即可。

我并不是说这总是处理这类问题最实际的方法，但是它概念上十分清晰，因此是探讨态制备和测量的非常有用的内容。

习题3一电子静止在一振荡磁场0cos(),B B t kω= 中，其中0B 和ω为常数。

（a ）构造这个体系的哈密顿矩阵。

（b ）这个电子的初始态（0t =时）为处于x -轴方向上的上自旋态（即：()(0)x χχ+=）。

确定以后任意时刻的()t χ。

注意：这是一个与时间有关的哈密顿，所以你不能用通常从定态得到()t χ的方法。

（c ）如果测量x S ，求出得到2- 的几率。

(d) 迫使x S 完全翻转所需要的最小磁场（B 0）是多大？ 解: 我们在z S 的表象中讨论问题 (a)H γ=-⋅B S对于电子 e mγ=-若磁场沿z 轴方向0010cos()cos()012z e e H B t S B t m m γωω⎛⎫=-⋅== ⎪-⎝⎭B S (b) 设波函数为()()()a t t b t χ⎛⎫= ⎪⎝⎭它满足含时薛定鄂方程()()d t i H t dtχχ=即00/10()cos()/01()2()cos()()2da dt a t e i B t db dt b t m a t e B t b t m ωω⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎛⎫= ⎪-⎝⎭ 00/cos()()2/cos()()2eida dt B t a t m eidb dt B t b t mωω==-解出00()exp sin()2eB a t a i t m ωω⎛⎫=- ⎪⎝⎭00()exp sin()2eB b t b i t m ωω⎛⎫= ⎪⎝⎭波函数的初始条件是, x -轴方向上的上自旋态()(0)x χχ+=, 即x S 本征值为/2+ 的本征态. 在z S 表象这个态为111x χ+⎛⎫= ⎪⎝⎭所以00(0)11(0)(0)1a a b b χ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎭⎝⎭00exp sin()21()exp sin()2eB it m t eB it m ωωχωω⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪=⎪⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭(c) 测量x S ，求出得到2- 的几率()()222222011()111sin sin2sin sin()2ixii ie P tee e ieBtmξξξξχχξξωω---⎛⎫==- ⎪⎝⎭=-=-=⎛⎫= ⎪⎝⎭(d) 迫使xS完全翻转所需要的最小磁场（B0）完全翻转测量xS，求出得到2- 的几率1P=所以0sin()22eBtmπωω⎛⎫=⎪⎝⎭最小磁场为0m B eωπ=。