极坐标系的概念

二、极坐标系的概念

教学目标：

知识与技能：理解极坐标的概念,掌握极坐标和直角坐标的互化关系式

过程与方法：能在极坐标系中用极坐标刻画点的位置，体会在极坐标系和平面直角坐标系中刻画点的位置的区别.

情感、态度与价值观：通过观察、探索、发现的创造性过程，培养创新意识。

教学重点难点：

教学重点：理解极坐标的意义,对极坐标和直角坐标的互化关系式的理解

教学难点：能够在极坐标系中用极坐标确定点位置,互化关系式的掌握

教学过程：

一、复习引入：

情境1：如图为某校园的平面示意图，假设某同学在教学楼处。

（1）他向东偏60°方向走120M后到达什么位置？该位置惟一确定吗？

（2）如果有人打听体育馆和办公楼的位置，他应如何描述？

问题1：为了简便地表示上述问题中点的位置，应创建怎样的坐标系呢？

问题2：如何刻画这些点的位置？

这一思考，能让学生结合自己熟悉的背景，体会在某些情况下用距离

与角度来刻画点的位置的方便性，为引入极坐标提供思维基础．

二、讲解新课：

从情镜2中探索出：在生活中人们经常用方向和距离来表示一点的位置。

这种用方向和距离表示平面上一点的位置的思想，就是极坐标的基本思想。

1、极坐标系的建立：

在平面上取一个定点O，自点O引一条射线OX，同时确定一个单位长度和

计算角度的正方向（通常取逆时针方向为正方向），这样就建立了一个极坐标

系。（其中O称为极点，射线OX称为极轴。）

强调:极点、极轴、长度单位、角度单位和它的方向构成极坐标系的四要素，缺一不可。极坐标系就是用长度和角度来确定平面内点的位置

2、极坐标系内一点的极坐标的规定

对于平面上任意一点M，用ρ表示线段OM的长度，用θ表示从Ox到OM

ρθ就叫做M的的角度，ρ叫做点M的，θ叫做点M的，有序数对(,)

.

强调:一般地，不作特殊说明时，我们认为ρ≥0，θ可取任意实数．特别地，当点M在极

点时，它的极坐标为(0，θ)，θ可以取任意实数．

三．典型例题

例1 写出下图中各点的极坐标

A（）B（）C（）

D（）E（）F（）G（）

【反思感悟】(1)写点的极坐标要注意顺序：极径ρ在前，

极角θ在后，不能把顺序搞错了．

①平面上一点的极坐标是否唯一？若不唯一，那有多少种

表示方法？

③坐标不唯一是由谁引起的？不同的极坐标是否可以写出统一表达式

强调：点与极坐标的关系：一般地，极坐标(ρ，θ)与____________________表示同一个点．特别地，极点O 的坐标为(0，θ)(θ∈R)．和点的直角坐标的唯一性不同，平面内一个 点的极坐标有无数种表示．

思考： 极坐标系所在平面内的点与极坐标是否能建立一一对应关系？

提示 建立极坐标系后，给定(ρ，θ)，就可以在平面内唯一确定一点M ；反过来，给定平面内一点M ，它的极坐标却不是唯一的．所以极坐标系所在平面内的点与极坐标不能建立一一对应关系，这是极坐标系与平面直角坐标系的主要区别．

变式训练

在极坐标系里描出下列各点

A （3，0）

B （6，2π）

C （3，

2π）D （5，34π）E （3，65π）F （4，π）G （6，3

5π 例2 在极坐标系中，已知M 的极坐标为（ρ，θ）且θ=3π，ρR ∈，说明满足上述条件的点M 的位置。

三、巩固与练习

1、若ABC ∆的的三个顶点为.),6

7,3(),65,8(),25,5(判断三角形的形状πππC B A 2、若A 、B 两点的极坐标为),(),,(2211θρθρ求AB 的长以及AOB ∆的面积。（O 为极点） 例3 已知Q （ρ，θ），分别按下列条件求出点P 的极坐标。

（1） P 是点Q 关于极点O 的对称点；

（2） P 是点Q 关于直线2π

θ=的对称点；

（3） P 是点Q 关于极轴的对称点。

四、小 结：

1． 极坐标系和点的极坐标

极点、极轴、长度单位、角度单位和它的方向构成极坐标系的四要素，缺一不可。规定：当点M 在极点时，它的极坐标θρ,0=可以取任意值。

2． 平面直角坐标与极坐标的区别

在平面直角坐标系内，点与有序实数对（x ，y ）是一一对应的，可是在极坐标系中，虽然一个有序实数对),(θρ只能与一个点P 对应，但一个点P 却可以与无数多个有序实数对对应),(θρ，极坐标系中的点与有序实数对极坐标),(θρ不是一一对应的。

3． 极坐标系中，点M ),(θρ的极坐标统一表达式Z k k ∈+),2,(θπρ。

4． 如果规定πθρ20,0<≤>，那么除极点外，平面内的点可用唯一的极坐标),(θρ表示，

同时，极坐标),(θρ表示的点也是唯一确定的。

五、课后作业：