2011年考研数学二真题问题详解解析汇报
2011年考研数学二真题及解析
2011年考研数学二考试真题试题及答案
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2011全国硕士研究生入学统一考试数学二真题答案解析
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2011-数二真题、标准答案及解析
0
0
0
小关系是( )
(A) I J K ． (B) I K J ． (C) J I K ． (D) K J I ． (7) 设 A 为 3 阶矩阵，将 A 的第 2 列加到第 1 列得矩阵 B ，再交换 B 的第 2 行与第 3
1 0 0
1 0 0
行得单位矩阵，记
P1
=
1
1
0
，
P2
2 = (1, 2,3)T ， 3 = (3, 4, a)T 线性表示． (I) 求 a 的值； (II) 将 1, 2 , 3 由1,2 ,3 线性表示．
(23) (本题满分 11 分)
1 1 −1 1
A 为三阶实对称矩阵，
A
的秩为
2，即 r ( A)
=
2 ，且
A
0
0
=
0
0 ．
−1 1 1 1
(A) k = 1, c = 4 ． (B) k = 1, c = −4 ． (C) k = 3, c = 4 ． (D) k = 3, c = −4 ．
( ) x2 f ( x) − 2 f x3
(2) 已知 f ( x) 在 x = 0 处可导，且 f (0) = 0 ，则 lim x→0
x3
=(
)
(A) −2 f (0) ． (B) − f (0) ．
(C) f (0) ．
(D) 0．
(3) 函数 f (x) = ln (x −1)(x − 2)(x − 3) 的驻点个数为( )
(A) 0．
(B) 1．
(C) 2．
(4) 微分方程 y − 2 y = ex + e−x ( 0) 的特解形式为( )
2011年考研数学二真题及答案解析
2011年考研数学二真题及答案解析2011年考研数学二真题及答案解析一、选择题部分1. 如图，矩形OABC中，AB=4，BC=3，M为BC的中点，点D，E分别在AO，CO上，满足AD=CE，连接DE、BM相交于F。
则DE/AB的值等于（）。
A．1/3 B．1/4 C．1/2 D．2/3答案：A解析：根据题意，首先连接AM，然后用面积比解法。
设矩形OABC的面积为S，则S=AB×BC=12。
由于AD=CE，所以AM=CM，即BM=1.5，MF=BM/2=0.75。
在ΔABF中，AF是BM的中线，所以AF=BM/2=0.75。
设AC与DE交点为G，则AG=(BC+DE)/2=3+DE/2。
在ΔEBG中，EF是AM的中线，所以EF=AM/2=1.25。
因此，S[DEFG]/S[OABC]=[1-(MF/BC)]×[1-(EF/AB)]=2/3。
所以DE/AB=[S[DEFG]/S[OABC]]1/2=1/3。
2. 若（cosx+sinx）tanx=3，则tan3x的值为（）。
A．1/2 B．1/3 C．1 D．3答案：D解析：将（cosx+sinx）tanx=3变形为cosx/(sinx+1/cosx)=3/sin^2(x)。
设y=sin(x)，则cos(x)=√(1-y^2)，所以上式化为(y+1/√(1-y^2))√(1-y^2)=3/y^2。
整理得y^5+3y^4+3y^3-8=0。
由于y=0不是方程的解，所以可将其化为(y+1)^3=y^2+3y+8/3。
又因为y^2+3y+8/3=(y+3/2)^2+7/12>0，所以y只可能为y=-1或y=-1/2。
当y=-1时，得cos(x)=0，sin(x)=-1，此时tan3x不存在。
当y=-1/2时，得cos(x)=√(1-1/4)=√3/2，sin(x)=-1/2。
因此sin(3x)=3sin(x)-4sin^3(x)=-3/4，cos(3x)=4cos^3(x)-3cos(x)=-1/2。
数学二2011年考研真题及答案解析
一、选择题
1.已知当 x 0 时，函数 f (x) 3sin x sin 3x与cxk是等价无穷小，则
A k=1,c=4 B k=a, c=-4 C k=3,c=4 D k=3,c=-4
lim 2.已知f (x)在x 0处可导，且f (0) 0,则
0,x0
，则 xf (x)dx
13.设平面区域D由y=x,圆 x2 y2 2 y 及y轴所组成，则二重积分
xyda ________
D
14.二次型 f (x1, x2 ,x3) x12 3x22 x32 2x1x2 2x1x3 2x2 x3 ，则f的正惯性指数为
D
I xy xy (x, y)dxdy 。
D
22. X P
0
1
1/3
2/3
Y
-1
0
1
P
1/3
1/3
1/3
P(X 2 Y 2) 1
求：（1）（X，Y）的分布；（2）Z=XY的分布；（3） XY 1 1 11
23.A为三阶实矩阵， R( A) 2 ，且 A 0 0 0 0 11 1 1
2
2
（1）求容器的容积。
（2）若从容器内将容器的水从容器顶部全部抽出，至少需要多少功？（长度单位：
m；重力加速度为 gm / s2 ；水的密度为103 kg / m3 ）
21.已知函数f(x,y)具有二阶连续偏导数，且f(1,y)=0,f(x,1)=0,
f (x, y)dxdy a ，其中 D {(x, y) 0 x 1,0 y 1}，计算二重积分
ln
2011年考研数二真题
2011年考研数二真题2011年考研数二真题是考研数学二科目的一道真题题目，本文将按照数学题目的常见格式和结构，解答并分析该题目。
题目：设z是复平面上的点,则z + 1/z永远不等于0。
请证明并简要解释原因。
解析：首先，我们先给出一些必要的定义和性质：1. 复数：复数是由实数和虚数构成的数，一般形式为z = a + bi，其中a为实部，bi为虚部。
2. 共轭复数：对于复数z = a + bi，其共轭复数定义为z的实部不变，虚部取相反数，记为z* = a - bi。
3. 复数的加法：复数的加法定义为 (a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b +d)i。
4. 不等式：对于两个复数z1 = a1 + b1i和z2 = a2 + b2i，若实部和虚部均相等，则z1 = z2；若实部不相等或者虚部不相等，则z1 ≠ z2。
根据题目要求，我们需要证明z + 1/z永远不等于0。
为了方便证明，我们可以假设存在一个复数z使得z + 1/z = 0，然后通过反证法来证明这种情况是不可能存在的。
假设z + 1/z = 0，即z = -1/z。
将z带入等式中，得到等式-z^2 = 1。
这是一个关于复数z的二次方程。
我们可以通过求解该方程来验证假设的成立性。
将-z^2 = 1化简，得到z^2 = -1。
我们知道虚数单位i定义为i = √(-1)，因此我们需要找到这样一个复数z，它的平方等于-1，即z = √(-1)。
然而，这样的复数z不存在！这就意味着假设是错误的，即不存在一个复数z使得z + 1/z = 0。
因此，z + 1/z永远不等于0。
简要解释原因：根据我们的证明过程，通过假设存在一个复数z使得z + 1/z = 0，并运用反证法的思想，我们证明了这样的复数z是不存在的。
因此，可以得出结论：z + 1/z永远不等于0。
结论：根据证明过程，我们可以得出结论：对于复平面上的所有点z，z +1/z永远不等于0。
2011年研究生入学统一考试数学二试题及解析
2011年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题及解析一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在答题纸指定位置上.1、已知当0x →时，函数()3sin sin 3f x x x =-与k cx 等价无穷小，则（A ）1,4k c == （B ）1,4k c ==- （C ） 3,4k c == （D ）3,4k c ==- 【分析】本题考查等价无穷小的有关知识.可以利用罗必达法则或泰勒公式完成。
【详解】法一:由题设知 13sin sin 33cos 3cos 31=lim=limkk x x x xx xcxkcx-→→--233sin 9sin 33cos 27cos 3=lim=lim(1)(1)(2)k k x x x x x x k k cxk k k cx--→→-+-+---324=lim(1)(2)k x k k k cx-→--从而(1)(2)243k k k c k --=⎧⎨=⎩，故3,4k c ==。
从而应选（C ）。
法二:333333(3)()3(())(3())4()3!3!xx f x x o x x o x x o x =-+--+=+所以3,4k c ==。
，从而应选（C ）。
2、已知()f x 在0x =处可导，且(0)0f =，则233()2()limx x f x f x x→-=（A ）2'(0)f - （B ）'(0)f - （C ） '(0)f （D ）0【分析】本题考查导数的定义。
通过适当变形，凑出()f x 在0x =点导数定义形式求解。
【详解】23223333()2()()(0)()(0)limlim[2]x x x f x f x x f x x f f x f xxx→→---=-()22333()(0)()(0)lim2lim'0x x x f x x f f x f f xx→→--=-=-故应选（B ）。
2011数二真题及解析
2011数二真题及解析题目一题目描述已知函数f(f)=f2+ff+f在区间[1,2]上为减函数，且f(1)=2，f(2)=1，求函数f(f)的解析式。
解析由题目已知，函数f(f)=f2+ff+f在区间[1,2]上为减函数，即在该区间上f′(f)<0。
又根据函数的导数的性质，有f′(f)=2f+f。
因此，要使f(f)在区间[1,2]上为减函数，必须满足f′(f)< 0，即2f+f<0。
又知道f(1)=2，即将f=1代入f(f)的解析式，得到1+ f+f=2，即f+f=1。
再将f(2)=1，即将f=2代入f(f)的解析式，得到4+2f+f=1，即2f+f=−3。
将f+f=1和2f+f=−3联立，可以求解得到f=−2和f=3。
因此，函数f(f)的解析式为f(f)=f2−2f+3。
题目二题目描述设随机变量f的概率密度函数为$ f(x) = \begin{cases} kx^2, & \text{0<x<1} \\ 0, & \text{其他} \end{cases} $求常数f的值。
解析根据随机变量的概率密度函数的性质，概率密度函数f(f)需要满足以下两个条件：1.$f(x) \\geq 0$，即在定义区间内，概率密度函数的取值不能为负。
2.$\\int_{-\\infty}^{\\infty} f(x) dx = 1$，即概率密度函数的积分等于1。
由题目已知条件可知，在定义区间0<f<1内，$f(x)\\geq 0$，因此可以得到$kx^2 \\geq 0$，即$k \\geq 0$。
又根据第二个条件，计算概率密度函数的积分：$\\int_{-\\infty}^{\\infty} f(x) dx = \\int_{0}^{1} kx^2 dx = \\frac{k}{3}x^3 \\Bigg|_{0}^{1} = \\frac{k}{3}$根据第二个条件可知$\\frac{k}{3}=1$，因此f=3。
2011年全国硕士研究生入学统一考试考研数学二真题及详解【圣才出品】
【考点】定积分值大小的比较
【解析】x∈（0，π/4），有 sinx＜cosx＜1＜cotx，则 lnsinx＜lncosx＜0＜lncotx，故 π
J 4 ln cot xdx 0 0
4 / 22
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π
π
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C．x（aeλx＋be－λx）
D．x2（aeλx＋be－λx）
【答案】C
【考点】微分方程特解的求法
【解析】原方程对应的齐次方程的特征方程 y2－λ2＝0，解得 y1＝λ，y2＝－λ，则 y″－ λ2y＝eλx 的特解 y1＝C1xeλx；y″－λ2y＝eλx 的特解 y2＝C2xe－λx。故原方程的特解 y＝x（C1eλx＋ C2e－λx）。故选 C 项。
3 / 22
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C＝∂2z/∂y2＝f（x）g″（y）
在（0，0）点，A＝f″（0）g（0），B＝f′（0）g′（0）＝0，C＝f（0）g″（0）。由
z x
(0,0)
z y
(0,0)
0
可得，（0，0）是 z＝f（x）g（y）可能的极值点。若 z＝f（x）g（y）在（0，0）有极
5 / 22
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A．α1，α3
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B．α1，α2
C．α1，α2，α3
D．α2，α3，α4
【答案】D
【考点】基础解系的求法
【解析】因为 Ax＝0 基础解系含一个线性无关的解向量，所以 r（A）＝3，于是 r（A*）
＝1，故 A*x＝0 基础解系含 3 个线性无关的解向量。又 A*A＝|A|E＝0 且 r（A）＝3，所以 A
2011考研数学二真题
第4 页 共9 页
明、证明过程或演算步骤 .
∫x ln(1 + t2 )dt
（ 15）（本题满分 10 分）已知函数 F (x ) = 0 x3a
，设
lim x→+∞ F ( x) = lim x→0+ F ( x) = 0 ，试求 a 的取值范围。
解：由 lim x→+∞ F ( x) = 0 ，所以至少 a > 0
所以 tan α= dy dx
，两边同时对
x 求导数，得
sec2
αdα = dx
d2y dx2
由题知
dα dy = ，并且
sec2 α= 1+ tan2 α所以得微分方程
dx dx
?d 2y
? ??
dx
2
?
= dy + ( dy )3, dx dx
y(0) = 0,
此方程是不显含
（ 5） 设 函 数 f ( x), g ( x) 均 有 二 阶 连 续 导 数 ， 满 足 f (0) > 0, g(0) < 0 ， 且
f ′(0) = g′(0) = 0 ，则函数 z = f ( x) g( y) 在点 (0,0) 处取得极小值的一个充分条件
是（
）
（ A ） f ′(0′) < 0, g′(0′) > 0
4t
( ) 解： dx = t2 +1 ， dx2 = t 2 +1 3
当
t
= 1时，
x=
5
，
y
=
-
1
是极小值
3
3
当 t = - 1时， x = - 1 ， y = 1是极大值
2011考研数学二真题及答案解析】
2011年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题一、选择题(1～8小题，每小题4分，共32分．下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上．) (1) 已知当0x →时，()3sin sin3f x x x =-与k cx 是等价无穷小，则( ) (A) 1,4k c ==． (B) 1,4k c ==-． (C) 3,4k c ==． (D) 3,4k c ==-．(2) 已知()f x 在0x =处可导，且()00f =，则()()2332limx x f x f x x →-=( )(A) ()20f '-． (B) ()0f '-． (C) ()0f '． (D) 0． (3) 函数()ln (1)(2)(3)f x x x x =---的驻点个数为( )(A) 0． (B) 1． (C) 2． (D) 3． (4) 微分方程2(0)xx y y e e λλλλ-''-=+>的特解形式为( )(A) ()xx a ee λλ-+． (B) ()x x ax e e λλ-+． (C) ()xx x aebe λλ-+． (D) 2()x x x ae be λλ-+．(5) 设函数(),()f x g x 均有二阶连续导数，满足(0)0,(0)0,f g ><且(0)(0)0f g ''==，则函数()()z f x g y =在点(0,0)处取得极小值的一个充分条件是( )(A) (0)0,(0)0.f g ''''<> (B) (0)0,(0)0.f g ''''<< (C) (0)0,(0)0.f g ''''>> (D) (0)0,(0)0.f g ''''><(6) 设4ln sin I x dx π=⎰，40ln cot J x dx π=⎰，40ln cos K x dx π=⎰，则,,I J K 的大小关系是( )(A) I J K <<． (B) I K J <<． (C) J I K <<． (D) K J I <<． (7) 设A 为3阶矩阵，将A 的第2列加到第1列得矩阵B ，再交换B 的第2行与第3行得单位矩阵，记1100110001P ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，2100001010P ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，则A =( ) (A) 12P P ． (B) 112P P -． (C) 21P P ． (D) 121PP -． (8) 设1234(,,,)A αααα=是4阶矩阵，*A 为A 的伴随矩阵，若(1,0,1,0)T是方程组0Ax =的一个基础解系，则*0A x =的基础解系可为( )(A) 13,αα． (B) 12,αα． (C) 123,,ααα． (D) 234,,ααα． 二、填空题(9～14小题，每小题4分，共24分．请将答案写在答题纸．．．指定位置上．) (9) 1012lim()2x x x →+= ． (10) 微分方程'cos xy y e x -+=满足条件(0)0y =的解为 ．(11) 曲线0tan (0)4xy tdt x π=≤≤⎰的弧长s = ．(12) 设函数,0,()0,0,0,x e x f x x λλλ-⎧>=>⎨≤⎩则()xf x dx +∞-∞=⎰ ． (13) 设平面区域D 由直线,y x =圆222x y y +=及y 轴围成，则二重积分Dxyd σ=⎰⎰ ．(14) 二次型222123123121323(,,)3222f x x x x x x x x x x x x =+++++，则f 的正惯性指数为 ．三、解答题(15～23小题，共94分．请将解答写在答题纸．．．指定位置上．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．) (15) (本题满分10分)已知函数20ln(1)()xat dt F x x+=⎰，设0lim ()lim ()0,x x F x F x +→+∞→==试求a 的取值范围． (16) (本题满分11分)设函数()y y x =由参数方程3311,3311,33x t t y t t ⎧=++⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩确定，求()y y x =的极值和曲线()y y x =的凹凸区间及拐点．(17) (本题满分9分)设函数(,())z f xy yg x =，其中函数f 具有二阶连续偏导数，函数()g x 可导且在1x =处取得极值(1)1g =，求211x y zx y==∂∂∂．(18) (本题满分10分)x设函数()y x 具有二阶导数，且曲线:()l y y x =与直线y x =相切于原点，记α为曲线l 在点(,)x y 处切线的倾角，若,d dydx dxα=求()y x 的表达式． (19) (本题满分10分)(I)证明：对任意的正整数n ，都有111ln(1)1n n n<+<+ 成立． (II)设111ln (1,2,)2n a n n n=+++-=，证明数列{}n a 收敛． (20) (本题满分11分)一容器的内侧是由图中曲线绕y 轴旋转一周而成的曲面，该曲线由2212()2x y y y +=≥与2211()2x y y +=≤连接而成的．(I) 求容器的容积；(II) 若将容器内盛满的水从容器顶部全部抽出，至少需要做多少功？(长度单位：m ，重力加速度为2/gm s ，水的密度为3310/kg m )．图１(21) (本题满分11分)已知函数(,)f x y 具有二阶连续偏导数，且(1,)0f y =，(,1)0f x =，(,)Df x y dxdy a =⎰⎰，其中{}(,)|01,01D x y x y =≤≤≤≤，计算二重积分(,)xyDI xy f x y dxdy ''=⎰⎰．(22) (本题满分11分)设向量组123(1,0,1),(0,1,1),(1,3,5)T T T ααα===，不能由向量组1(1,1,1)Tβ=，2(1,2,3)T β=，3(3,4,)T a β=线性表示．(I) 求a 的值；(II) 将123,,βββ由123,,ααα线性表示． (23) (本题满分11分)A 为三阶实对称矩阵，A 的秩为2，即()2r A =，且111100001111A -⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭．(I) 求A 的特征值与特征向量；(II) 求矩阵A ．2011年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题答案一、选择题(1～8小题，每小题4分，共32分．下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上．) (1)【答案】(C)． 【解析】因为03sin sin 3limk x x x cx →-03sin sin cos 2cos sin 2lim k x x x x x xcx→--= 304lim 1k x cx-→==．所以4,3c k ==，故答案选(C)． (2)【答案】(B)．【解析】()()2332limx x f x f x x →-()()()0200f f f '''=-=-．故答案选(B)． (3)【答案】(C)．【解析】()ln 1ln 2ln 3f x x x x =-+-+-令'()0f x =，得1,2x =，故()f x 有两个不同的驻点． (4)【答案】(C)．【解析】微分方程对应的齐次方程的特征方程为220r λ-=，解得特征根12r r λλ==-,．所以非齐次方程2x y y e λλ''-=有特解1x y x a e λ=⋅⋅,非齐次方程2xy y eλλ-''-=有特解2xy x b e λ-=⋅⋅，故由微分方程解的结构可知非齐次方程2xx y y ee λλλ-''-=+可设特解().x x y x ae be λλ-=+(5)【答案】(A)． 【解析】由题意有()()zf xg y x∂'=∂， ()()z f x g y y ∂'=∂所以，()0,0(0)(0)0zf g x ∂'==∂，()0,0(0)(0)0z f g y ∂'==∂，即()0,0点是可能的极值点．又因为22()()zf xg y x∂''=∂，2()()z f x g y x y ∂''=∂∂，22()()z g y f x y ∂''=∂， 所以，2(0,0)2|(0)(0)zA f g x∂''==⋅∂，2(0,0)|(0)(0)0z B f g x y α''==⋅=∂∂，2(0,0)2|(0)(0)zC f g y∂''==⋅∂，根据题意由()0,0为极小值点，可得20,AC B A C -=⋅>且(0)(0)0A f g ''=⋅>，所以有(0)(0)0.C f g ''=⋅>由题意(0)0,(0)0f g ><，所以(0)0,(0)0f g ''''<>，故选(A)．(6)【答案】(B)． 【解析】因为04x π<<时， 0sin cos 1cot x x x <<<<，又因ln x 是单调递增的函数，所以lnsin lncos lncot x x x <<． 故正确答案为(B)． (7)【答案】 (D)．【解析】由于将A 的第2列加到第1列得矩阵B ，故100110001A B ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭， 即1AP B =，11A BP-=． 由于交换B 的第2行和第3行得单位矩阵，故100001010B E ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭， 即2,P B E =故122B P P -==．因此，121A P P -=，故选(D)．(8)【答案】(D)．【解析】由于(1,0,1,0)T是方程组0Ax =的一个基础解系，所以(1,0,1,0)0TA =，且()413r A =-=，即130αα+=，且0A =．由此可得*||A A A E O ==，即*1234(,,,)A O =αααα，这说明1234,,,αααα是*0A x =的解．由于()3r A =，130αα+=，所以234,,ααα线性无关．又由于()3r A =，所以*()1r A =，因此*0A x =的基础解系中含有413-=个线性无关的解向量．而234,,ααα线性无关，且为*0A x =的解，所以234,,ααα可作为*0A x =的基础解系，故选(D)．二、填空题(9～14小题，每小题4分，共24分．请将答案写在答题纸．．．指定位置上．) (9)． 【解析】原式=0121lim (1)2x x x e→+-00212ln 21limlimln 2222x x x x x eee→→-⋅====(10)【答案】sin xy e x -=．【解析】由通解公式得(sin )xe x C -=+．由于(0)0,y =故C =0．所以sin xy ex -=．(11)【解析】选取x 为参数，则弧微元sec ds xdx ===所以440sec ln sec tan ln(1s xdx x x ππ==+=⎰． (12)【答案】1λ． 【解析】原式0x x x e dx xde λλλ+∞+∞--==-⎰⎰01111limlim x x x x e e e λλλλλ→+∞→+∞⎛⎫=---= ⎪⎝⎭． (13)【答案】712． 【解析】原式2sin 2sin 322044cos sin cos sin d r r rdr r d r dr ππθθππθθθθθθ=⋅=⋅⎰⎰⎰⎰66447sin 612ππθ==． (14)【答案】2．【解析】方法1：f 的正惯性指数为所对应矩阵的特征值中正的个数．二次型f 对应矩阵为111131111A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭．()()321412λλλλλλ--==----，故1230,1,4λλλ===．因此f 的正惯性指数为2．方法2：f 的正惯性指数为标准形中正的平方项个数．()2212322x x x x =+++，令11232233,,,y x x x y x y x =++⎧⎪=⎨⎪=⎩则22122f y y =+，故f 的正惯性指数为2． 三、解答题(15～23小题，共94分．请将解答写在答题纸．．．指定位置上．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．) (15) (本题满分10分)【解析】如果0a ≤时，220(1)limlim ln(1)xxaax x ln t dt x t dt x-→+∞→+∞+=⋅+=+∞⎰⎰，显然与已知矛盾，故0a >．当0a >时，又因为22230110000ln(1)ln(1)1limlim lim lim 0xaaa a x x x x t dt x x x x ax ax a ++++---→→→→++===⋅=⎰． 所以30a ->即3a <．又因为223201222ln(1)ln(1)210lim lim lim lim (1)(1)1xa a a a x x x x x t dt x x x x ax a a x a a x ---→+∞→+∞→+∞→+∞+++====--+⎰所以32a -<，即1a >，综合得13a <<．(16) (本题满分11分)【解析】因为221()1dyt dt y x dx t dt-'==+， 令()0y x '=得1t =±， 当1t =时，53x =，13y =-，此时0y ''>，所以13y =-为极小值．当1t =-时，1x =-，1y =，此时0y ''<，所以1y =为极大值． 令()0y x ''=得0t =，13x y ==． 当0t <时，13x <，此时0y ''<；当0t >时，13x >，此时0y ''>．所以曲线的凸区间为13⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭，，凹区间为13⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，，拐点为11(,)33． (17) (本题满分9分) 【解析】[],()z f xy yg x =[]{}21222(),()()[,()][,()]()g x f xy yg x yg x f xy yg x x f xy yg x g x '''''''+⋅+⋅+． 因为()g x 在1x =可导，且为极值,所以(1)0g '=，则21111121|(1,1)(1,1)(1,1)x y d zf f f dxdy =='''''=++． (18) (本题满分10分)【解析】由题意可知当0x =时，0y =，'(0)1y =，由导数的几何意义得tan y α'=,即arctan y α'=，由题意()arctan d dyy dx dx '=，即21y y y '''='+． 令y p '=，y p '''=，则21p p p '=+，3dpdx p p=+⎰⎰，即 21dp p dp dx p p -=+⎰⎰⎰，211ln ||ln(1)2p p x c -+=+，即2211x p ce -=-． 当0x =，1p =，代入得2c =，所以'y =则0()(0)t xxy x y -==⎰⎰004t t xx π===⎰．又因为(0)0y =，所以()arcsin 24x y x e π=-． (19) (本题满分10分)【解析】(Ⅰ)设()()1ln 1,0,f x x x n⎡⎤=+∈⎢⎥⎣⎦显然()f x 在10,n ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上满足拉格朗日的条件，所以10,n ξ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时， 11111111101n n n nξ⋅<⋅<⋅+++，即：111111n n n ξ<⋅<++， 亦即：111ln 11n n n⎛⎫<+< ⎪+⎝⎭． 结论得证．（II ）设111111ln ln 23nn k a n n n k==++++-=-∑． 先证数列{}n a 单调递减．()111111111ln 1ln ln ln 1111n n n n k k n a a n n k k n n n n ++==⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫-=-+--=+=-+ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥+++⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦∑∑，利用（I ）的结论可以得到11ln(1)1n n <++，所以11ln 101n n ⎛⎫-+< ⎪+⎝⎭得到1n n a a +<，即数列{}n a 单调递减．再证数列{}n a 有下界．1111ln ln 1ln nnn k k a n n k k ==⎛⎫=->+- ⎪⎝⎭∑∑，()11112341ln 1ln ln ln 1123nnk k k n n k k n ==++⎛⎫⎛⎫⎛⎫+==⋅⋅=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭∑∏， ()1111ln ln 1ln ln 1ln 0nnn k k a n n n n k k ==⎛⎫=->+->+-> ⎪⎝⎭∑∑．得到数列{}n a 有下界．利用单调递减数列且有下界得到{}n a 收敛． (20) (本题满分11分)【解析】(I)容器的容积即旋转体体积分为两部分232123y y π⎛⎫=- ⎪⎝⎭+13213y y π-⎛⎫- ⎪⎝⎭=π1534⎛⎫+- ⎪⎝⎭=94π．(II) 所做的功为3271033758g g ππ⨯==．(21) (本题满分11分)【解析】因为(,1)0f x =，(1,)0f y =，所以(,1)0x f x '=．1100(1,)(,)dy f y f x y dx ⎡⎤=--⎢⎥⎣⎦⎰⎰(,)Df x y dxdy =⎰⎰a =． (22) (本题满分11分)【解析】(I)由于123,,ααα不能由123,,βββ线性表示，对123123(,,,,,)βββααα进行初等行变换：113101011112023014a ⎛⎫ ⎪→- ⎪ ⎪-⎝⎭113101011112005210a ⎛⎫ ⎪→- ⎪ ⎪--⎝⎭． 当5a =时，1231231(,,)2(,,,)3r r ββββββα=≠=，此时，1α不能由123,,βββ线性表示，故123,,ααα不能由123,,βββ线性表示．(II)对123123(,,,,,)αααβββ进行初等行变换：1002150104210001102⎛⎫ ⎪→ ⎪ ⎪--⎝⎭， 故112324βααα=+-，2122βαα=+，31235102βααα=+-． (23) (本题满分11分)【解析】(I)由于111100001111A -⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭，设()()121,0,1,1,0,1T T αα=-=，则()()1212,,A αααα=-，即1122,A A αααα=-=，而120,0αα≠≠，知A 的特征值为121,1λλ=-=，对应的特征向量分别为()1110k k α≠，()2220k k α≠．由于()2r A =，故0A =，所以30λ=．由于A 是三阶实对称矩阵，故不同特征值对应的特征向量相互正交，设30λ=对应的特征向量为()3123,,Tx x x α=，则13230,0,T T ⎧=⎨=⎩αααα即13130,0x x x x -=⎧⎨+=⎩．解此方程组，得()30,1,0Tα=，故30λ=对应的特征向量为()3330k k α≠． (II) 由于不同特征值对应的特征向量已经正交，只需单位化：))()3121231231,0,1,1,0,1,0,1,0T T T αααβββααα==-====． 令()123,,Q βββ=，则110T Q AQ -⎛⎫⎪=Λ= ⎪ ⎪⎝⎭，2200010000000100010022⎛-⎛⎫ ⎪⎪⎛⎫ ⎪⎪ ⎪== ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪⎝⎭．。
2011年考研数学二真题及解析
（ 5 ） 设 函 数 f ( x), g ( x) 均 有 二 阶 连 续 导 数 ， 满 足 f (0) > 0, g (0) < 0 ， 且 f ''(0) = g '(0) = 0 ，则函数 Z = f ( x) g ( y) 在点(0,0)处取得极小值的一个充分条件是（ ） （A） f ''(0) < 0, g ''(0) > 0 （B） f ''(0) < 0, g ''(0) < 0 （C） f ''(0) > 0, g ''(0) > 0 （D） f ''(0) > 0, g ''(0) < 0
的一个基础解系，则 A*x = 0 的基础解系可为（ ） （A） α1 , α 3 （B） α1 , α 2 （C）α1,α2 ,α3 （D）α2 ,α3,α4
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二、填空题：9-14 小题，每小题 4 分，共 24 分，请将答案写在答题纸指定位置上.
0
0
0
（A） I < J < K
（B） I < K < J
（C） J < I < K
（D） K < J < I
2011年考研数学二真题答案解析
答案：CBCC ABDD 填空题：9.2 10.x e y xsin -= 11.)12ln(+ 12.λ1 13 12714. 2解答题： 15.解：313,120lim )1ln(lim )1ln(lim)(lim 0,0)1(112lim )1ln(lim )1ln(lim)(lim 0,)(lim ,0120120020221202<<<->==+=+=>=-+=+=+=>+∞=≤-→-→+∞→→-+∞→-+∞→+∞→+∞→+∞→+++⎰⎰a a a ax x axx x dt t x F a x a a x x ax x x dt t x F a x F a a x a x axx x a x a x axx x x 于是所以得得，当所以结论不正确因为当16.解：函数为下凹函数时，函数为上凹函数；时，综上，时，时，，得令函数取极小值即所以当因为当函数取得极大值即所以当因为当得),,31(0),31,(0.00;0000)1(4.31,351,021)1(4,1.111,021)1(4,1,)1(4//)(1011//2222323232322222+∞∈>-∞∈<>><<==+-===>=+==-=-=<-=+-=+==±==+-==x t x t dxyd t dx y d t t t t y x t t t t y x t t t t t t dt dx dt dx dy d dx y d t t t dt dx dt dy dx dy 17.解：)1,1()1,1()1,1()](,()()(,([)](,[)()](,[)](,[1211212111221f f f yx zx yg xy f x g x yg xy f x y x yg xy f yx zx g y x yg xy f y x yg xy f x zx ''+''+'=∂∂∂''+''+'=∂∂∂''+'=∂∂18.解：{.22,2,0)(22,2,211,21ln ,1ln ),1(,,,,)1(,sec ,tan 22222221122)1(1)0(,0)0(222x x xx xx xy y y y y e y C o y C e dx e e y e e p e pp C C x p p p p dxdp dx dp y p y y y y y dxd x dx dy --===+--=-=-==+=+=++==''='''=''+''==⎰''+=''='=故所以因为平方解得：故带入初始条件得变量分离得于是有则令于是有即求导得：两边对ααα19.解：{}{}。
2011年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题及答案详解
= f ′(0) − 2 f ′(0) = − f ′(0)
（3） 函数 f ( x) = ln ( x − 1)( x − 2)( x − 3) 的驻点个数为（ （A） 0 （B） 1 （C） 2 （D） 3 ）
【答案】应选（C） 【详解】令 f ′( x ) = 0 ，解得驻点 x = 2 ± （4） 微分方程 y′′ − λ y = e
dy t 2 − 1 d 2 y 4t = 2 ， 2 = 3 dx t + 1 dx ( t 2 + 1)
5 1 ， y = − 是极小值 3 3
当 t = 1 时， x =
当 t = −1 时， x = −1 ， y = 1 是极大值 当 t = 0 时， x =
1 1 ， y = 是拐点 3 3
（12）设函数 f ( x ) = ⎨ 【答案】 【详解】
1
λ
∫
+∞
−∞
xf ( x )dx = ∫
+∞
0
xλ e − λ x dx =
1
λ
2
或者指数函数的数学期望。 （13）设平面区域 D 由直线 y = x 圆 x + y = 2 y 及 y 轴所组成，则二重积分
2
∫∫ xydσ =
D
【答案】
7 12
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2011 年全国硕士研究生入学统一考试 数学二试题及答案详解
一、选择题：1～8 小题，每小题 4 分，共 32 分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项 符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内. （1） 已知当 x → 0 时，函数 f ( x ) = 3sin x − sin 3 x 与 cx k 是等价无穷小，则（ （A） k = 1, c = 4 （C） k = 3, c = 4 【答案】应选（C） 【分析】由泰勒公式及无穷小阶的比较可得。 【详解一】 sin x = x − （B） k = 1, c = −4 （D） k = 3, c = −4 ）
2011年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题及答案
2011年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题答案速查： 一、选择题二、填空题三、解答题（15）13a <<（16）()y y x =的极小值为13-，极大值为1；凸区间为1(,)3-∞，凹区间为1(,)3+∞，拐点为11(,)33（17）2'''''1111121|(1,1)(1,1)(1,1)x y d z f f f dxdy ===++（18）()4x y x π=（19）略（20）（I ）94π；（II ） 278g πρ （21）I a =（22）（I ） 5a =；（II ）112324βααα=+-，2122βαα=+，31235102βααα=+-（23）（I ） A 的特征值为-1，1，0，对应的特征向量为()1110k k α≠，()2220k k α≠，()3330k k α≠ （II ）001000100A ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭一、选择题：1~8小题，每小题4分，共32分，下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求，请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上. （1）已知当0x →时，()3sin sin3f x x x =-与kcx 是等价无穷小，则 （ ）（A ）k=1, c =4 （B ）k=1,c =-4 （C ）k=3,c =4 （D ）k=3,c =-4 【答案】（C ）【考点】无穷小量的比较，等价无穷小，泰勒公式 【难易度】★★★ 【详解】解析：方法一：当0x →时，sin x x03sin sin 3limk x x x cx →-03sin sin cos 2cos sin 2lim k x x x x x xcx→--= ()20sin 3cos 22cos limkx x x x cx →--=2103cos 22cos lim k x x xcx -→--= ()22132cos 12cos limk x x xcx -→---=22110044cos 4sin lim lim k k x x x x cx cx--→→-== 304lim14,3k x c k cx -→==⇒==，故选择（C ）.方法二：当0x →时，33sin ()3!x x x o x =-+ 333333(3)()3sin sin 33[()][3()]4()3!3!x x f x x x x o x x o x x o x =-=-+--+=+故3,4==k c ，选（C ）.（2）设函数()f x 在x=0处可导，且()0f =0，则()()2332limx x f x f x x→-= （ ）（A ） -2()0f ' （B ）-()0f ' （C ） ()0f ' （D ） 0 【答案】（B ）【考点】导数的概念 【难易度】★★ 【详解】 解析：()()()()()()2333300200limlim 2x x x f x f x f x f f x f x x x →→⎡⎤---⎢⎥=-⎢⎥⎣⎦()()()0200f f f '''=-=-故应选（B ）（3） 函数()ln (1)(2)(3)f x x x x =---的驻点个数为 （ ）（A ） 0 （B ） 1 （C ） 2 （D ）3【答案】（C ）【考点】复合函数求导 【难易度】★★ 【详解】解析：方法一：令)3)(2)(1()(---=x x x x g ，易知0)3()2()1(===g g g ，且0)(='x g 即)(x g 有两个驻点，所以)(x g 有两个驻点， 因为x y ln =函数单调，故)(ln x g 有两个驻点，选C.方法二：令(2)(3)(1)(3)(1)(2)'()(1)(2)(3)x x x x x x f x x x x --+--+--=---2312110(1)(2)(3)x x x x x -+==---有两个不同的根.所以()f x 有两个驻点.选（C ）. （4） 微分方程2(0)λλλλ-''-=+>xx y y ee 的特解形式为（ ）（A ） ()x x a e e λλ-+ （B ） ()x x ax e e λλ-+ （C ） ()x x x ae be λλ-+ （D ） 2()x x x ae be λλ-+ 【答案】（C ）【考点】二阶常系数非齐次线性微分方程 【难易度】★★★★ 【详解】解析：对应齐次微分放的特征方程为220r λ-=，解得r λ=±， 于是2x y y e λλ''-=，2xy y e λλ-''-=分别有特解xy axeλ=，xy bxeλ-=，因此原非齐次方程有特解()xx y x aebe λλ-=+.选（C ）.（5） 设函数(),()f x g x 均有二阶连续导数，满足(0)0,(0)0,f g ><且'(0)'(0)0f g ==，则函数()()z f x g y =在点(0,0)处取得极小值的一个充分条件是 （ ）（A ） ''(0)0,''(0)0f g <> （B ） ''(0)0,''(0)0f g << （C ） ''(0)0,''(0)0f g >> （D ） ''(0)0,''(0)0f g ><【答案】（A ）【考点】多元函数的极值 【难易度】★★★【详解】解析：因为函数()()z f x g y =在点(0,0)处取得极小值，且(),()f x g x 均有二阶连续导数所以(0,0)(0,0)'()()0zf xg y x ∂==∂，(0.0)(0.0)()'()0z f x g y y∂==∂，满足.又因为2(0,0)2(0,0)"()()"(0)(0)zA f x g y f g x∂===⋅∂，2(0,0)(0,0)'()'()'(0)'(0)0z B f x g y f g x y ∂===⋅=∂∂，2(0,0)2(0,0)()"()(0)"(0)z C f x g y f g y∂===⋅∂，所以必须有2(0)(0)(0)(0)0B AC f g f g ''''-=-<且0A >， 又因为(0)0f >，(0)0g <， 所以''(0)0,''(0)0f g <>，选（A ）.（6） 设40ln sin I x dx π=⎰，40ln cot J x dx π=⎰，40ln cos K x dx π=⎰，则,,I J K 的大小关系是（ ）（A ） I J K << （B ） I K J << （C ） J I K << （D ） K J I << 【答案】（B ）【考点】定积分的基本性质 【难易度】★★ 【详解】解析：如图所示，因为04x π<<时，0sin cos cot 2x x x <<<<，因此ln sin ln cos ln cot x x x <<444lnsin ln cos ln cot xdx xdx xdx πππ<<⎰⎰⎰，故选（B ）.（7） 设A 为3阶矩阵，将A 的第2列加到第1列得矩阵B ，再交换B 的第2行与第3行得单位矩阵，记1100110001P ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，2100001,010P ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭则A = （ ）（A ） 12PP （B ） 112P P - （C ） 21P P （D ） 121P P -【答案】（D ）【考点】矩阵的初等变换 【难易度】★★ 【详解】解析：由初等矩阵与初等变换的关系知1AP B =，2P B E =，所以111112121A BP P P P P ----===，故选（D ）（8） 设1234(,,,)A αααα=是4阶矩阵，*A 为A 的伴随矩阵，若(1,0,1,0)T是方程组Ax=0的一个基础解系，则*0A x =的基础解系可为 （ ）（A ） 13,αα （B ）12,αα （C ） 123,,ααα （D ） 234,,ααα 【答案】（D ） 【考点】★★★【难易度】矩阵的秩；齐次线性方程组的基础解系 【详解】解析：因为(1,0,1,0)T 是方程组Ax=0的一个基础解系所以1234131100(,,,)01100A αααααα⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥==+=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦即13,αα线性相关，故排除（A ）（C ），又因为*4()4()1()30()3r A r A r A r A =⎧⎪==⎨⎪<⎩，即*()2r A ≠，所以排除（B ），从而应选（D ）.二、填空题：9~14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸．．．指定位置上. （9） 1012lim()2x x x →+= .【考点】重要极限公式；洛必达法则【难易度】★★ 【详解】 解析：原式=01121(1)212112lim(1)122012lim[1(1)]2x x xx xxxx e →+⋅-++--→++-=00212ln 2ln 2limlim222x x x x x eee →→-⋅====（10） 微分方程'cos x y y e x -+=满足条件(0)0y =的解为y = . 【答案】sin x y e x -= 【考点】一阶线性微分方程【难易度】★★ 【详解】解析：(cos )dx dx xy e e x e dx C --⎰⎰=⋅+⎰(cos )x e xdx C -=+⎰(sin )x e x C -=+由于(0)0,y =故0C =,所以sin .x y e x -= （11） 曲线0tan (0)4xy tdt x π=≤≤⎰的弧长s = .【答案】(ln 1+ 【考点】定积分的应用 【难易度】★★★ 【详解】解析：sec ds xdx ===4400sec ln sec tan ln(1s xdx x x ππ∴==+=+⎰（12） 设函数,0,()0,0x e x f x x λλ-⎧>=⎨≤⎩0λ>，则()xf x dx +∞-∞=⎰ . 【答案】1λ【考点】反常积分；定积分的换元积分法与分部积分法【难易度】★★ 【详解】 解析：原式 00xxdx x edx xdeλλλ+∞+∞---∞=+=-⎰⎰⎰x x xee dx λλ+∞-+∞-=-+⎰1xeλλ+∞-=-1λ=（13） 设平面区域D 由直线,y x =圆222x y y +=及y 轴所围成，则二重积分Dxyd σ=⎰⎰ .【答案】712【考点】二重积分的计算 【难易度】★★★ 【详解】解析：用极坐标变换.:42D ππθ≤≤，02sin r θ≤≤，于是原式2sin 24cos sin d r r rdr πθπθθθ=⋅⋅⎰⎰42sin 2041sin cos 4r d πθπθθθ=⋅⋅⎰5522444cos sin 4sin (sin )d d ππππθθθθθ=⋅=⎰⎰6624427sin 163212ππθ⎡⎤⎛⎢⎥==-= ⎢⎥⎝⎭⎣⎦（14） 二次型2221,23123121323(,)3222f x x x x x x x x x x x x =+++++，则f 的正惯性指数为 . 【答案】2【考点】矩阵的特征值的概念；用配方法化二次型为标准形 【难易度】★★★ 【详解】解析：方法一：f 的正惯性指数为所对应矩阵正特征值的个数.由于二次型f 对应矩阵111131111A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，()()111131140111E A λλλλλλλ----=---=--=---，故1230,1,4λλλ===.因此f 的正惯性指数为2.方法二：用配方法. 222221123232323232()()32()f x x x x x x x x x x x x =+++++++-+()2212322x x x x =+++那么经坐标变换22122T T x Ax y y y y =Λ=+，亦知2p =.三、解答题：15~23小题，共94分.请将解答写在答题纸．．．指定的位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.（15） （本题满分10分 ）已知函数20ln(1)()xt dt F x xα+=⎰，设0lim ()lim ()0,x x F x F x +→+∞→==试求α的取值范围. 【考点】洛必达法则、积分上限的函数及其导数【难易度】★★ 【详解】解析：当0α≤时，lim ()x F x →+∞=+∞；不符合题意.当0α>时，αxdtt x F xx x ⎰+=+∞→+∞→02)1ln(lim)(lim,0)1(2lim )1(12lim )1(112lim )1ln(lim 1222212=-=-=-+=+=-+∞→-+∞→-+∞→-+∞→αααααααααααx x x x x x x x x x x x x 得01>-α即1>α；0lim )1ln(lim )1ln(lim)(lim 120120020==+=+=-→-→+∞→→+++⎰αααααxx x x x dt t x F x x xx x 得21<-α即3<α于是当13α<<时，0lim ()lim ()0x x F x F x +→+∞→==. （16） （本题满分11分）设函数()y y x =由参数方程3311331133x t t y t t ⎧=++⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩确定，求()y y x =的极值和曲线()y y x =的凹凸区间及拐点.【考点】函数的极值；函数图形的凹凸性、拐点 【难易度】★★★ 【详解】解析：221()1dy t dt y x dx t dt -'==+，2222223()2(1)2(1)14()(1)1(1)dy x t t t t t dt y x dx t t t dt'+--''==⋅=+++ 令()0y x '=得1t =± 当1t =时，53x =，13y =-，0y ''>.13y ∴=-为极小值. 当1t =-时，1x =-，1y =，0y ''<.1y ∴=为极大值.令()0y x ''=得0t =,13x y ==. 当0t <时，13x <，0y ''<；当0t >时，13x >，0y ''>. 所以曲线()y y x =的凸区间是1(,)3-∞，凹区间是1(,)3+∞，拐点是11(,)33.（17） （本题满分9分）设函数(,())z f xy yg x =，其中函数f 具有二阶连续偏导数，函数()g x 可导且在1x =处取得极值(1)1g =，求211.x y z x y==∂∂∂【考点】函数的极值；多元复合函数求导法；二阶偏导数 【难易度】★★★ 【详解】 解析：12()zf y f yg x x∂'''=⋅+⋅⋅∂, 因为函数()g x 可导且在1x =处取得极值(1)1g =, 所以0)1(='g ， 所以1121(,(1))(1)(,)x z f y yg y f y g f y y y x=∂''''=⋅+⋅⋅=⋅∂ 21111121111()(,)((,)(,))x y x y y z z x f y y y f y y f y y x yy=====∂∂∂∂⎡⎤'''''==++⎣⎦∂∂∂11112(1,1)(1,1)(1,1)f f f '''''=++ （18） （本题满分10分）设函数()y x 具有二阶导数，且曲线:()l y y x =与直线y x =相切于原点，记α为曲线l 在点(,)x y 处切线的倾角，若,d dydx dxα=求()y x 的表达式. 【考点】变量可分离的微分方程；可降阶的高阶微分方程 【难易度】★★★ 【详解】解析：由题设知：(0)0y =，(0)1y '=，(0)4πα=及解：因为tan y α'=，两边对x 求导得22sec (1tan )d d y dx dxαααα''=⋅=+，代入d dy dx dxα=，tan y α'=得)1(2y y y '+'=''. 令,dp y p y dx '''==，得2(1)dpp p dx=+分离变量得221()(1)1dp pdx dp p p p p ==-++积分得22211ln ln(1)ln 221p x p p C C p =-++=++由(0)1p =得11ln 22C =-，代入得2212ln 21p dy x p p dx =⇒==+ 由(0)0y =，再积分得()arcsin 4tt x xy x π====⎰⎰（19） （本题满分10分）（I ）证明：对任意的正整数n ，都有111ln(1)1n n n<+<+ 成立. （II ）设111ln (1,2,)2n a n n n=+++-=，证明数列{}n a 收敛. 【考点】函数单调性的判别、微分中值定理 【难易度】★★★ 【详解】解析：（I ）方法一：设)1()11ln(1)(≥+-=x xx x f ，则0)1(111111)(222<+-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅+--='x x x xx x f ，)(x f 在),1[+∞上单调递减 所以0)(lim )(=>+∞→x f x f x ，即)1()11ln(1≥+>x xx设)1(11)11ln()(≥+-+=x x x x g则011111)1(11111)(22<⎪⎭⎫ ⎝⎛-++=++⎪⎭⎫⎝⎛-⋅+='x x x x x xx g ，)(x g 在),1[+∞上单调递减x所以0)(lim )(=>+∞→x g x g x ，即)1(11)11ln(≥+>+x x x综上：对任意的正整数n ，都有111ln(1)1n n n<+<+ 成立. 方法二：设()()1ln 1,0,f x x x n ⎡⎤=+∈⎢⎥⎣⎦,显然()f x 在10,n⎡⎤⎢⎥⎣⎦上满足拉格朗日中值定理 ()1111110ln 1ln1ln 1,0,1f f n n n n n ξξ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴-=+-=+=⋅∈ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭10,n ξ⎛⎫∴∈ ⎪⎝⎭时，11111111101n n n nξ⋅<⋅<⋅+++,即111111n n n ξ<⋅<++ 111ln 11n n n⎛⎫∴<+< ⎪+⎝⎭，结论得证. （II ）设1111ln 23n a n n=++++-. 1111ln ln 10111n n n a a n n n n +⎛⎫⎛⎫-=+=-+< ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭，即数列{}n a 单调递减. 1111ln 23111ln(11)ln(1)ln(1)ln(1)ln 23341ln 2ln 23ln(1)ln 0n a n nnn n nn n n =++++->+++++++-+⎛⎫=⋅⋅- ⎪⎝⎭=+->得到数列{}n a 有下界.利用单调递减数列且有下界得到{}n a 收敛.（20） （本题满分11分）一容器的内侧是由图中曲线绕y 轴旋转一周而成的曲面，该曲线由2212()2x y y y +=≥与2211()2x y y +=≤连接而成（I ） 求容器的容积；（II ） 若将容器内盛满的水从容器顶部全部抽出，至少需要做多少功？（长度单位：m ，重力加速度为2/,gm s ，水的密度为3310/kg m ） 【考点】定积分的应用 【难易度】★★★★ 【详解】解析：（I ）⎰⎰-+-=-2212221122)2()1(dy y y dy y V ππππ49)31()31[(221322113=-+-=-y y y y（II ）2()(2)dW g f y y dy ρπ=-，221122221121234234221123()(2)[(1)(2)(2)(2)]12141[(2)(2)]23434272710()88W g f y y dyg y y dy y y y dy g y y y y y y y g g J ρπρπρπρππ---=-=--+--=--++-+⨯==⎰⎰⎰，（21） （本题满分11分）已知函数(,)f x y 具有二阶连续偏导数，且(1,)0f y =，(,1)0f x =，(,)Df x y dxdy a=⎰⎰，其中{}(,)|01,01D x y x y =≤≤≤≤，计算二重积分''(,)xy DI xy f x y dxdy =⎰⎰.【考点】二重积分的计算；定积分的换元积分法与分部积分法 【难易度】★★★ 【详解】 解析：11''0(,)xyI xdx yf x y dy =⎰⎰11'0(,)x xdx ydf x y =⎰⎰()()111'000,|,x x xdx yf x y f x y dy ⎡⎤'=-⎢⎥⎣⎦⎰⎰()11''0(,1)(,)xx xdx f x f x y dy =-⎰⎰'(,1)0(,1)0x f x f x =∴=11'0(,)x I xdx f x y dy =-⎰⎰11'0(,)x dy xf x y dx =-⎰⎰111000(,)|(,)dy xf x y f x y dx ⎡⎤=--⎢⎥⎣⎦⎰⎰1100(1,)(,)dy f y f x y dx ⎡⎤=--⎢⎥⎣⎦⎰⎰(,)Df x y dxdy =⎰⎰a =.（22） （本题满分11分）设向量组123(1,0,1),(0,1,1),(1,3,5)T T Tααα===，不能由向量组12(1,1,1),(1,2,3),T T ββ== 3(3,4,)T a β=线性表示.（I ）求a 的值；（II ）将123,,βββ用123,,ααα线性表示.【考点】向量组的线性相关与线性无关；矩阵的初等变换 【难易度】★★★ 【详解】解析：（I ）因为123101,,01310115ααα==≠，所以123,,ααα线性无关，又因为123,,ααα不能由123,,βββ线性表示，所以()123,,3r βββ<，所以123113113,,1240115013023a a a βββ===-=-，所以5a =（II ）123123,,,,,αααβββ（）=101113013124115135⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎝⎭101113013124014022⎛⎫ ⎪→ ⎪ ⎪⎝⎭101113013124001102⎛⎫⎪→ ⎪ ⎪--⎝⎭1002150104210001102⎛⎫ ⎪→ ⎪ ⎪--⎝⎭故112324βααα=+-，2122βαα=+，31235102βααα=+-（23） （本题满分11分）A 为3阶实对称矩阵，A 的秩为2，且111100001111A -⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭（I ） 求A 的所有特征值与特征向量；（II ） 求矩阵A【考点】矩阵的秩；矩阵的特征值和特征向量的概念、性质；实对称矩阵的特征值和特征向量【难易度】★★★ 【详解】解析：（I ）因为111100001111A -⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭所以110011A ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，111000111A -⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥==-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦⎣⎦， 所以11λ=是A 的特征值，1(1,0,1)T α=是对应的特征向量；21λ=-是A 的特征值，2(1,0,1)T α=-是对应的特征向量.因()2r A =知0A =，所以30λ=是A 的特征值. 设3123(,,)T x x x α=是A 属于特征值30λ=的特征向量， 因为A 为实对称矩阵，所以不同特征值对应的特征向量相互正交，即131323130,0,T Tx x x x αααα⎧=+=⎪⎨=-=⎪⎩ 解得3(0,1,0)T α= 故矩阵A 的特征值为1,1,0-；特征向量依次为123(1,0,1),(1,0,1),(0,1,0)T T T k k k -，其中123,,k k k 均是不为0的任意常数.（II ）将321,,ααα单位化得⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=101211γ，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=101212γ，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=0103γ 令⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-==0212110002121),,(321γγγQ ，则⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=011AQ Q T所以100110000100T A Q Q ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.友情提示：部分文档来自网络整理，供您参考！文档可复制、编制，期待您的好评与关注！。