任务三：建模计算

2014级“知行教改班”建模练习题三

A题人口增长模型

下表列出了中国1982~1998年的人口统计数据，取1982年为起始年(t=0)，1982年的人口101654万人，人口自然增长率为14‰，以36亿作为我国人口的容纳量，试建立一个较好的人口数学模型并给出相应的算法和程序，并与实际人口进行比较。

B题长途列车食品的价格方案

长途列车由于时间漫长，需要提供车上的一些服务。提供一天三餐是主要的服务。由于火车上各方面的成本高，因此车上食物的价格也略高。以T238次哈尔滨到广州的列车为例，每天早餐为一碗粥、一个鸡蛋及些许咸菜，价格10元；中午及晚上为盒饭，价格一律15元。由于价格偏贵，乘客一般自带食品如方便面、面包等。列车上也卖方便面及面包等食品，但价格也偏贵。如一般售价3元的方便面卖5元。当然，由于列车容量有限，因此提供的用餐量及食品是有限的，适当提高价格是正常的。但高出的价格应有一个限制，不能高得过头。假如车上有乘客1000人，其中500人有在车上买饭的要求，但车上盒饭每餐只能供给200人；另外，车上还可提供每餐100人的方便面。请你根据实际情况设计一个价格方案，使列车在用餐销售上效益最大。

C 题 动物繁殖预测

某动物最高年龄29岁，按间隔10岁将此动物种群划分为三组，现设初始时刻在0~9，10~19，20~29三个年龄组的动物数量均是1000头，相应的莱斯利矩阵为：

⎥⎥⎥⎦

⎤⎢⎢⎢⎣⎡=02/10006/1030

L

根据以上题目所给的条件及数据，回答以下问题： 问题一：试求10年、20年、30年后各年龄组的动物数量； 问题二：求这一动物种群的自然增长率r 及相应的稳定年龄分布； 问题三：指出该动物种群的发展趋势。

D 题 细菌繁殖问题

下表是一组培养物中酵母菌的观察数据

现在要根据已有的数据来预测酵母菌的数量，要求尽量与实际相符。 (1) 建立酵母菌数量的数学模型，确定模型中的未知参数。 (2) 利用(1)中的模型，预测20小时时的酵母菌的数量。

(3) 若二次多项式2012()N t k k t k t =++作为新模型，试从误差的角度说明新模型与(1)中的模型哪个具有更好的的预测能力，并画出对比曲线。

E题水星的运动规律

水星到太阳的最远距离为0.68982×1011m，此时水星绕太阳运行的线速度为3.886×104m/s，试求:

(1)水星到太阳的最近的距离；

(2)水星绕太阳运行的周期；

(3)画出水星绕太阳运行的轨道曲线；

(4)求从远日点开始的第50天(地球天)结束时水星的位置.

F题地中海鲨鱼问题

20世纪20年代中期，意大利生物学家D’Ancona偶然注意到第一次世界大战期间在原南斯拉夫的里耶卡港，人们捕获的鱼类中，鲨鱼等软骨鱼的百分比大量增加（见下表），而供其捕食的食用鱼的百分比却明显下降. 显然，战争使捕鱼量下降，食用鱼应该增加，鲨鱼等软骨鱼也随之增加，但为何其比例大幅度增加呢？请对软骨鱼及食用鱼的增长情况建立一个数学模型来解释这一现象。

G题蛛网模型

自由贸易的集市上存在这样一种现象：一个时期由于猪肉的上市量大于需求、销售不畅导致价格下降，农民觉得养猪赔钱，于是转而经营其他农副产业，过段时间后猪肉上市量大减，供不应求导致价格上涨. 原来的饲养户看到有利可挣，又重操旧业，这样下一个时期又会重现供大于求、价格下降的局面. 在没有外界干预的情况下，这种现象将如此循环下去，试建立数学模型解释这一现象。