【必考题】数学高考第一次模拟试卷(及答案)
陕西省咸阳市2023届高三下学期一模理科数学试题(解析版)
【答案】B
【解析】
【分析】根据给定条件，求出抛物线C的焦点坐标及准线方程，再利用定义求解作答.
【详解】抛物线C： 的焦点 ，准线方程 ，
显然点A的横坐标为2，由抛物线定义得： ，所以 .
故选：B6.执行如图所来自的程序框图，若输入 ，则输出s＝（）
A. B. C. D.
【答案】A
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据题意得 ，进而结合双曲线的性质和已知条件得 ， ， ，再根据 ， ， 得 ，进而根据离心率公式求解即可.
【详解】解：如图，设直线 为双曲线 的两条渐近线，
则直线 的方程分别为 ， ，
因为 ，所以 ，即 ，
因为 ，直线 的方程分别为 ，即 ，
所以 到直线 的距离为 ，
所以， 的实数解有 个，
所以，函数 零点的个数是 个.
故答案为：
三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22、23题为选考题，考生根据要求作答．
（一）必考题：共60分．
17.已知数列 的前n项之积为 ．
（1）求数列 的通项公式；
A.11.1米B.10.1米C.11.11米D.11米
【答案】C
【解析】
【分析】根据给定条件，利用等比数列通项及前n项和公式计算作答.
【详解】依题意，乌龟爬行的距离依次排成一列构成等比数列 ， ，公比 ， ，
所以当阿喀斯与乌龟相距0.01米时，乌龟共爬行的距离 .
故选：C
5.设F为抛物线C： 的焦点，点A在C上，且A到C焦点的距离为3，到y轴的距离为2，则p＝（）
【小问1详解】
2020年四川省宜宾市高考数学一诊试卷(理科)试题及答案(解析版)
∴ 时，g（x）取得最小值 ，
解 得，a≥4，显然a＜4和a＞4时，都不满足f（x）在（0，2）上是减函数，只有a＝4时满足f（x）在（0，2）上是减函数，
∴满足条件的a的集合是{4}．
故答案为：{4}．
三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分.
2020年四川省宜宾市高考数学一诊试卷（理科）
参考答案与试题解析
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的．
1．已知集合U＝{1，2，3，4，5，6}，A＝{1，3，4}，则∁UA＝（ ）
A．{5，6}B．{1，2，3，4}C．{2，5，6}D．{2，3，4，5，6}
（1）讨论f（x）在其定义域内的单调性；
（2）若a＝1，且f（x1）＝f（x2），其中0＜x1＜x2，求证：x1+x2+x1x2＞3．
（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]
22．如图所示，“8”是在极坐标系Ox中分别以 和 为圆心，外切于点O的两个圆．过O作两条夹角为 的射线分别交⊙C1于O、A两点，交⊙C2于O、B两点．
∴cos∠AOB＝ ，即∠AOB＝60°．
（1）若λ＞0，μ＞0，
设 ＝2 ， ＝2 ，则 ＝ + ，
∵|λ|+|μ|＝λ+μ≤2，故当λ+μ＝2时，E，F，P三点共线，
故点P表示的区域为△OEF，
河北省唐山市2021-2022学年度高三第一次模拟考试数学(理)试题及答案解析
唐山市2017-2018学年度高三年级第一次模拟考试理科数学试卷一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.2(1)i i-=（ ） A ．22i -+B ．22i + C ．22i -- D ．22i -2.设集合2{|0}M x x x =->，1|1N x x ⎧⎫=<⎨⎬⎩⎭，则（ ） A ．MN B ．N M C ．M N =D ．M N R =3.已知1tan 2α=-，且(0,)απ∈，则sin 2α=（ ） A ．45B ．45-C ．35D ．35- 4.两个单位向量a ，b 的夹角为120，则2a b +=（ ） A ．2B ．3 C ．2D ．35.用两个1，一个2，一个0，可组成不同四位数的个数是（ ） A ．18 B ．16 C ．12 D ．96.已知233a -=，432b -=，ln3c =，则（ ）A ．a c b <<B ．a b c <<C ．b c a <<D ．b a c <<7. 如图是根据南宋数学家杨辉的“垛积术”设计的程序框图，该程序所能实现的功能是（ ）A ．求135...(21)n ++++-B ．求135...(21)n +++++C ．求2222123n +++⋅⋅⋅+D ．求2222123(1)n +++⋅⋅⋅++ 8.为了得到函数5sin 6y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象，可以将函数sin y x =的图象（ ） A ．向左平移6π个单位长度 B ．向右平移3π个单位长度 C ．向右平移6π个单位长度 D ．向左平移3π个单位长度 9. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积是（ ）A ．542+．9C ．652+．5310.已知F 为双曲线C ：22221x y a b-=(0,0)a b >>的右焦点，过点F 向C 的一条渐近线引垂线，垂足为A ，交另一条渐近线于点B .若OF FB =，则C 的离心率是（ ） A ．62．33C 2D ．2 11. 已知函数2()2cos f x x x x =-，则下列关于()f x 的表述正确的是（ ） A ．()f x 的图象关于y 轴对称 B ．0x R ∃∈，()f x 的最小值为1- C ．()f x 有4个零点 D ．()f x 有无数个极值点12.已知P ，A ，B ，C 是半径为2的球面上的点，2PA PB PC ===，90ABC ∠=，点B 在AC 上的射影为D ，则三棱锥P ABD -体积的最大值是（ ） A ．334B ．338 C ．12D ．34二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13. 设x ，y 满足约束条件0230210x y x y x y -≥⎧⎪+-≤⎨⎪--≤⎩，则23z x y =+的最小值是．14.6(21)x -的展开式中，二项式系数最大的项的系数是．（用数字作答）15. 已知P 为抛物线2y x =上异于原点O 的点，PQ x ⊥轴，垂足为Q ，过PQ 的中点作x 轴的平行线交抛物线于点M ，直线QM 交y 轴于点N ，则PQNO=． 16.在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，AB 边上的高为h ，若2c h =，则a bb a+的取值范围是．三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第（22）、（23）题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：共60分.17.已知数列{}n a 为单调递增数列，n S 为其前n 项和，22n n S a n =+.（1）求{}n a 的通项公式； （2）若2112n n n n n a b a a +++=⋅⋅，n T 为数列{}n b 的前n 项和，证明：12nT <. 18.某水产品经销商销售某种鲜鱼，售价为每公斤20元，成本为每公斤15元.销售宗旨是当天进货当天销售.如果当天卖不出去，未售出的全部降价处理完，平均每公斤损失3元.根据以往的销售情况，按[50,150)，[150,250)，[250,350)，[350,450)，[450,550]进行分组，得到如图所示的频率分布直方图.（1）求未来连续三天内，该经销商有连续两天该种鲜鱼的日销售量不低于350公斤，而另一天日销售量低于350公斤的概率；（2）在频率分布直方图的需求量分组中，以各组区间的中点值代表该组的各个值. （i ）求日需求量X 的分布列；（ii ）该经销商计划每日进货300公斤或400公斤，以每日利润Y 的数学期望值为决策依据，他应该选择每日进货300公斤还是400公斤？19.如图，在三棱柱111ABC A B C -中，平面11A B C ⊥平面11AAC C ，90BAC ∠=.（1）证明：1AC CA ⊥；（2）若11A B C ∆是正三角形，22AB AC ==，求二面角1A AB C --的大小.20.已知椭圆Γ：22221x y a b+=(0)a b >>的左焦点为F ，上顶点为A ，长轴长为6，B 为直线l ：3x =-上的动点，(,0)M m ，AM BM ⊥.当AB l ⊥时，M 与F 重合. （1）若椭圆Γ的方程；（2）若直线BM 交椭圆Γ于P ，Q 两点，若AP AQ ⊥，求m 的值. 21.已知函数1()x f x e-=，()ln g x x a =+.（1）设()()F x xf x =，求()F x 的最小值；（2）证明：当1a <时，总存在两条直线与曲线()y f x =与()y g x =都相切.（二）选考题：共10分.请考生在（22）、（23）题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22.选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，圆1C ：22(1)1x y -+=，圆2C ：22(3)9x y -+=.以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系. （1）求1C ，2C 的极坐标方程； （2）设曲线3C ：cos sin x t y t αα=⎧⎨=⎩（t 为参数且0t ≠），3C 与圆1C ，2C 分别交于A ，B ，求2ABC S ∆的最大值.23.选修4-5：不等式选讲设函数()1f x x x =+-的最大值为m . （1）求m 的值；（2）若正实数a ，b 满足a b m +=，求2211a b b a +++的最小值.唐山市2017—2018学年度高三年级第一次模拟考试理科数学参考答案一．选择题：A 卷：DCBDA DCCAB DB B 卷：ACBDD DCAAB DB 二．填空题：（13）－5 （14）－160 （15）32（16）[2，22]三．解答题： （17）解：（Ⅰ）当n ＝1时，2S 1＝2a 1＝a 21＋1，所以(a 1－1)2＝0，即a 1＝1，又{a n }为单调递增数列，所以a n ≥1．…2分由2S n ＝a 2n ＋n 得2S n ＋1＝a 2n ＋1＋n ＋1，所以2S n ＋1－2S n ＝a 2n ＋1－a 2n ＋1， 整理得2a n ＋1＝a 2n ＋1－a 2n ＋1，所以a 2n ＝(a n ＋1－1)2．所以a n ＝a n ＋1－1，即a n ＋1－a n ＝1，所以{a n }是以1为首项，1为公差的等差数列，所以a n ＝n ．…6分 （Ⅱ）b n ＝a n ＋22n ＋1·a n ·a n ＋1＝n ＋22n ＋1·n ·(n ＋1)＝12n ·n －12n ＋1·(n ＋1)…9分所以T n ＝(121·1－122·2)＋(122·2－123·3)＋…＋[12n ·n －12n ＋1·(n ＋1)]＝121·1－12n ＋1·(n ＋1)＜12．…12分（18）解：（Ⅰ）由频率分布直方图可知，日销售量不低于350公斤的概率为(0.0025＋0.0015)×100＝0.4，则未来连续三天内，有连续两天的日销售量不低于350公斤，而另一天日销售量低于350公斤的概率P ＝0.4×0.4×(1－0.4)＋(1－0.4)×0.4×0.4＝0.192．…3分（Ⅱ）（ⅰ）X可取100，200，300，400，500，P(X＝100)＝0.0010×10＝0.1；P(X＝200)＝0.0020×10＝0.2；P(X＝300)＝0.0030×10＝0.3；P(X＝400)＝0.0025×10＝0.25；P(X＝500)＝0.0015×10＝0.15；所以X的分布列为：X 100 200 300 400 500P 0.1 0.2 0.3 0.25 0.15…6分（ⅱ）当每日进货300公斤时，利润Y1可取－100，700，1500，此时Y1的分布列为：Y1－100 700 1500P 0.1 0.2 0.7此时利润的期望值E(Y1)＝－100×0.1＋700×0.2＋1500×0.7＝1180；…8分当每日进货400公斤时，利润Y2可取－400，400，1200，2000，此时Y2的分布列为：Y2－400 400 1200 2000P 0.1 0.2 0.3 0.4此时利润的期望值E(Y2)＝－400×0.1＋400×0.2＋1200×0.3＋2000×0.4＝1200；…10分因为E(Y1)＜E(Y2)，所以该经销商应该选择每日进货400公斤．…12分（19）解：（Ⅰ）过点B1作A1C的垂线，垂足为O，由平面A1B1C⊥平面AA1C1C，平面A1B1C∩平面AA1C1C＝A1C，得B1O⊥平面AA1C1C，又AC平面AA1C1C，得B1O⊥AC．由∠BAC＝90°，AB∥A1B1，得A1B1⊥AC．又B 1O ∩A 1B 1＝B 1，得AC ⊥平面A 1B 1C ． 又CA 1平面A 1B 1C ，得AC ⊥CA 1．…4分（Ⅱ）以C 为坐标原点，CA →的方向为x 轴正方向，|CA →|为单位长，建立空间直角坐标系C -xyz ． 由已知可得A (1，0，0)，A 1(0，2，0)，B 1(0，1，3)．所以CA →＝(1，0，0)，AA 1→＝(－1，2，0)，AB →＝A 1B 1→＝(0，－1，3)． …6分设n ＝(x ，y ，z )是平面A 1AB 的法向量，则⎩⎪⎨⎪⎧n ·AA 1→＝0，n ·AB →＝0，即⎩⎨⎧－x ＋2y ＝0，－y ＋3z ＝0．可取n ＝(23，3，1)． …8分 设m ＝(x ，y ，z )是平面ABC 的法向量，则⎩⎪⎨⎪⎧m ·AB →＝0，m ·CA →＝0，即⎩⎨⎧－y ＋3z ＝0，x ＝0．可取m ＝(0，3，1)．…10分则cosn ，m ＝n ·m |n ||m |＝12．又因为二面角A 1-AB -C 为锐二面角， 所以二面角A 1-AB -C 的大小为3．…12分（20）解：（Ⅰ）依题意得A (0，b )，F (－c ，0)，当AB ⊥l 时，B (－3，b )， 由AF ⊥BF 得k AF ·k BF ＝ b c · b －3＋c ＝－1，又b 2＋c 2＝6.解得c ＝2，b ＝2．所以，椭圆Γ的方程为x 26＋y 22＝1．…4分（Ⅱ）由（Ⅰ）得A (0，2)，依题意，显然m ≠0，所以k AM ＝－2m，又AM ⊥BM ，所以k BM ＝m2，所以直线BM 的方程为y ＝m2(x －m )，设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)．y ＝m2(x －m )与x 26＋y 22＝1联立得(2＋3m 2)x 2－6m 3x ＋3m 4－12＝0，AA 1BC1B 1xyzOx 1＋x 2＝6m 32＋3m 2，x 1x 2＝3m 4－122＋3m2．…7分|PM |·|QM |＝(1＋m 22)|(x 1－m )(x 2－m )|＝(1＋m 22)|x 1x 2－m (x 1＋x 2)＋m 2|＝(1＋m 22)·|2m 2－12|2＋3m 2＝(2＋m 2)|m 2－6|2＋3m2， |AM |2＝2＋m 2，…9分由AP ⊥AQ 得，|AM |2＝|PM |·|QM |， 所以|m 2－6|2＋3m2＝1，解得m ＝±1．…12分（21）解：（Ⅰ）F(x )＝(x ＋1)ex －1，当x ＜－1时，F (x )＜0，F (x )单调递减； 当x ＞－1时，F(x )＞0，F (x )单调递增，故x ＝－1时，F (x )取得最小值F (－1)＝－1e 2．…4分（Ⅱ）因为f (x )＝ex －1，所以f (x )＝e x －1在点(t ，e t －1)处的切线为y ＝e t －1x ＋(1－t )e t －1； …5分因为g(x )＝1x，所以g (x )＝ln x ＋a 在点(m ，ln m ＋a )处的切线为y ＝1mx ＋ln m ＋a －1，…6分由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧e t －1＝1m ，(1－t )e t －1＝ln m ＋a －1，则(t －1)e t －1－t ＋a ＝0． …7分令h (t )＝(t －1)e t －1－t ＋a ，则h (t )＝t e t －1－1由（Ⅰ）得t ＜－1时，h (t )单调递减，且h(t )＜0；当t ＞－1时，h(t )单调递增，又h (1)＝0，t ＜1时，h(t )＜0，所以，当t ＜1时，h (t )＜0，h (t )单调递减；当t ＞1时，h(t )＞0，h (t )单调递增．…9分由（Ⅰ）得h (a －1)＝(a －2)ea －2＋1≥－1e＋1＞0，…10分又h (3－a )＝(2－a )e2－a＋2a －3＞(2－a )(3－a )＋2a －3＝(a －32)2＋34＞0，…11分h (1)＝a －1＜0，所以函数y ＝h (t )在(a －1，1)和(1，3－a )内各有一个零点，故当a ＜1时，存在两条直线与曲线f (x )与g (x )都相切．…12分（22）解：（Ⅰ）由x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ可得，C 1：ρ2cos 2θ＋ρ2sin 2θ－2ρcos θ＋1＝1，所以ρ＝2cos θ； C 2：ρ2cos 2θ＋ρ2sin 2θ－6ρcos θ＋9＝9，所以ρ＝6cos θ．…4分（Ⅱ）依题意得|AB |＝6cos α－2cos α＝4cos α，－2＜α＜2， C 2(3，0)到直线AB 的距离d ＝3|sin α|，所以S △ABC 2＝12×d ×|AB |＝3|sin 2α|，故当α＝±4时，S △ABC 2取得最大值3．…10分（23）解：（Ⅰ）f (x )＝|x ＋1|－|x |＝⎩⎪⎨⎪⎧－1，x ≤－1，2x ＋1，－1＜x ＜1，1，x ≥1，由f (x )的单调性可知，当x ≥1时，f (x )有最大值1． 所以m ＝1．…4分（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，a ＋b ＝1，a 2b ＋1＋b 2a ＋1＝13(a 2b ＋1＋b2a ＋1)[(b ＋1)＋(a ＋1)] ＝13[a 2＋b 2＋a 2(a ＋1)b ＋1＋b 2(b ＋1)a ＋1] ≥13(a 2＋b 2＋2a 2(a ＋1)b ＋1·b 2(b ＋1)a ＋1) ＝13(a ＋b )2 ＝13．当且仅当a ＝b ＝12时取等号．即a 2b ＋1＋b 2a ＋1的最小值为13． …10分。
2020-2021学年度山西省高考第一次模拟考试数学(理)试题及答案
理科数学一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知单元素集合(){}2|210A x x a x =-++=，则a =（ ） A ． 0 B ． -4 C ． -4或1 D ．-4或02. 某天的值日工作由4名同学负责，且其中1人负责清理讲台，另1人负责扫地，其余2人负责拖地，则不同的分工共有（ ）A ．6种B ． 12种C ．18种D ．24种3. 已知函数()sin f x x x =+，若()()()23,2,log 6a f b f c f ===，则,,a b c 的大小关系是（ ） A ．a b c << B ．c b a << C ．b a c << D ．b c a <<4.在平行四边形ABCD 中，点E 为CD 的中点，BE 与AC 的交点为F ，设,AB a AD b ==u u u r u u u r ，则向量BF =u u u r（ ） A ．1233a b+B ．1233a b -- C. 1233a b -+ D ．1233a b - 5.已知抛物线2:C y x =，过点(),0P a 的直线与C 相交于,A B 两点，O 为坐标原点，若0OA OB <u u u r u u u rg，则a 的取值范围是 （ ）A ．(),0-∞B ．()0,1 C. ()1,+∞ D ．{}16.《九章算术》中对一些特殊的几何体有特定的称谓，例如：将底面为直角三角形的直三棱柱称为堑堵.将一堑堵沿其一顶点与相对的棱刨开，得到一个阳马（底面是长方形，且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥）和一个鳖臑（四个面均匀直角三角形的四面体）.在如图所示的堑堵111ABC A B C -中，15,3,4AA AC AB BC ====，则阳马111C ABB A -的外接球的表面积是 （ ）A ．25πB ． 50π C. 100π D ．200π7. 若,x y 满足约束条件44030y x x y x y ≤⎧⎪+-≥⎨⎪+-≤⎩，则1x y +的取值范围是（ ）A ．5,113⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．13,115⎡⎤⎢⎥⎣⎦ C. 3,115⎡⎤⎢⎥⎣⎦ D ．15,113⎡⎤⎢⎥⎣⎦8. 执行如图所示的程序框图，如果输入的n 是10，则与输出结果S 的值最接近的是（ ）A ． 28eB ． 36e C. 45e D ．55e9.在ABC ∆中，点D 为边AB 上一点，若3,32,3,sin 3BC CD AC AD ABC ⊥==∠=，则ABC ∆的面积是（ ） A ．922 B ．1522C. 62 D ．122 10.某市1路公交车每日清晨6：30于始发站A 站发出首班车，随后每隔10分钟发出下一班车.甲、乙二人某日早晨均需从A 站搭乘该公交车上班，甲在6：35-6：55内随机到达A 站候车，乙在6：50-7：05内随机到达A 站候车，则他们能搭乘同一班公交车的概率是 （ ） A ．16 B ． 14 C. 13 D ．51211.如图，Rt ABC ∆中，,6,2AB BC AB BC ⊥==，若其顶点A 在x 轴上运动，顶点B 在y 轴的非负半轴上运动.设顶点C 的横坐标非负，纵坐标为y ，且直线AB 的倾斜角为θ，则函数()y f θ=的图象大致是 （ ）A ．B ．C. D ．12. 定义在R 上的函数()f x 满足()()f x f x -=，且当0x ≥时，()21,0122,1xx x f x x ⎧-+≤<=⎨-≥⎩，若对任意的[],1x m m ∈+，不等式()()1f x f x m -≤+恒成立，则实数m 的最大值是（ ） A ． -1 B ．12-C. 13- D ．13二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分，将答案填在答题纸上13.在复平面内，复数()228z m m m i =+--对应的点位于第三象限，则实数m 的取值范围是． 14.已知tan 24πα⎛⎫+=-⎪⎝⎭，则1sin 2cos 2αα-=．15.过双曲线()2222:10,0x y E a b a b-=>>的右焦点，且斜率为2的直线与E 的右支有两个不同的公共点，则双曲线离心率的取值范围是．16.一个正方体的三视图如图所示，若俯视图中正六边形的边长为1，则该正方体的体积是．三、解答题 ：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：共60分.17. 已知等比数列{}n a 中，*11211120,,,64n n n n a a n N a a a ++>=-=∈. （1）求{}n a 的通项公式；（2）设()()221log nn n b a =-g ，求数列{}n b 的前2n 项和2n T .18.某快递公司收取快递费用的标准是：重量不超过1kg 的包裹收费10元；重量超过1kg 的包裹，除1kg 收费10元之外，超过1kg 的部分，每超出1kg （不足1kg ，按1kg 计算）需再收5元.该公司将最近承揽的100件包裹的重量统计如下： 包裹重量（单位：kg ）1234 5包裹件数43 30 15 8 4包裹件数范围 0100: 101200: 201300: 301400: 401500:包裹件数（近似处理）50 150 250 350 450 天数6630126（1）计算该公司未来3天内恰有2天揽件数在101400:之间的概率； （2）①估计该公司对每件包裹收取的快递费的平均值；②公司将快递费的三分之一作为前台工作人员的工资和公司利润，剩余的用作其他费用.目前前台有工作人员3人，每人每天揽件不超过150件，工资100元.公司正在考虑是否将前台工作人员裁减1人，试计算裁员前后公司每日利润的数学期望，并判断裁员是否对提高公司利润更有利？19.如图，在多面体ABCDEF 中，四边形ABCD 为菱形，//,AF DE AF AD ⊥，且平面BED ⊥平面ABCD .（1）求证：AF CD ⊥； （2）若0160,2BAD AF AD ED ∠===，求二面角A FB E --的余弦值.20.已知椭圆()2222:10x y E a b a b +=>>过点⎛ ⎝⎭，且两个焦点的坐标分别为()()1,0,1,0-. （1）求E 的方程；（2）若,,A B P 为E 上的三个不同的点，O 为坐标原点，且OP OA OB =+u u u r u u u r u u u r，求证：四边形OAPB 的面积为定值.21. 已知函数()()()221ln f x x m x x m R =-++∈. （1）当12m =-时，若函数()()()1ln g x f x a x =+-恰有一个零点，求a 的取值范围； （2）当1x >时，()()21f x m x <-恒成立，求m 的取值范围.（二）选考题：共10分.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22. 【选修4-4：坐标系与参数方程】在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为：cos sin x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数，[]0,θπ∈），将曲线1C 经过伸缩变换：x xy '=⎧⎪⎨'=⎪⎩得到曲线2C .（1）以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立坐标系，求2C 的极坐标方程；（2）若直线cos :sin x t l y t αα=⎧⎨=⎩（t 为参数）与12,C C 相交于,A B两点，且1AB ，求α的值.23. 【选修4-5：不等式选讲】 已知函数()()1f x x a a R =--∈.（1）若()f x 的最小值不小于3，求a 的最大值；（2）若()()2g x f x x a a =+++的最小值为3，求a 的值.试卷答案一、选择题1-5: DBDCB 6-10: BABCA 11、12：AC 二、填空题13. ()2,0- 14. 12-15. (16.三、解答题17.解：（1）设等比数列{}n a 的公比为q ，则0q >， 因为12112n n n a a a ++-=，所以11111112n n n a q a q a q -+-=， 因为0q >，解得2q =， 所以17*122,64n n n a n N --=⨯=∈； （2）()()()()()()2227221log 1log 217nnnn n n b a n -=-=-=--g g g ，设7n c n =-，则()()21nn n b c =-g ，()()()()()()222222212342121234212n n n n n T b b b b b b c c c c c c --⎡⎤⎡⎤=++++++=-++-+++-+⎣⎦⎣⎦L L()()()()()()12123434212212n n n n c c c c c c c c c c c c --=-+++-++++-++L ()()2123421226272132132n n n n c c c c c c n n n n --+-⎡⎤⎣⎦=++++++==-=-L .18.解：（1）样本中包裹件数在101400:之间的天数为48，频率484605f ==， 故可估计概率为45， 显然未来3天中，包裹件数在101400:之间的天数X 服从二项分布，即43,5X B ⎛⎫ ⎪⎝⎭:，故所求概率为223414855125C ⎛⎫⨯⨯=⎪⎝⎭； （2）①样本中快递费用及包裹件数如下表：故样本中每件快递收取的费用的平均值为1530201525830415100+⨯+⨯+⨯+⨯=（元）， 故该公司对每件快递收取的费用的平均值可估计为15元.②根据题意及（2）①，揽件数每增加1，可使前台工资和公司利润增加11553⨯=（元）， 将题目中的天数转化为频率，得若裁员1人，则每天可揽件的上限为300件，公司每日揽件数情况如下：EY500.11500.12500.53000.23000.1235⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=因9751000<，故公司将前台工作人员裁员1人对提高公司利润不利.19.（1）证明：连接AC，由四边形ABCD为菱形可知AC BD⊥，∵平面BED⊥平面ABCD，且交线为BD，∴AC⊥平面BED，∴AC ED⊥，又//AF DE，∴AF AC⊥，∵,AC AD AAF AD⊥=I，∴AF⊥平面ABCD，∵CD⊂平面ABCD，∴AF CD⊥；（2）解：设AC BD O=I，过点O作DE的平行线OG，由（1）可知,,OA OB OG两两互相垂直，则可建立如图所示的空间直角坐标系O xyz-，设()1202AF AD ED a a===>，则)()()()3,0,0,0,,0,3,0,2,0,,4A aB a F a a E a a-，所以()()()()3,,0,0,0,2,0,2,4,3,,2 AB a a AF a BE a a BF a a a=-==-=-u u u r u u u r u u u r u u u r，设平面ABF的法向量为(),,m x y z=u r，则m ABm AF⎧=⎪⎨=⎪⎩u r u u u rgu r u u u rg，即3020x yz⎧+=⎪⎨=⎪⎩，取3y=()3,0m=u r为平面ABF的一个法向量，同理可得()0,2,1n=r为平面FBE的一个法向量.则2315cos,525m n==⨯，又二面角A FB E--的平面角为钝角，则其余弦值为1520.解：（1）由已知得1,2c a ===∴1a b ==，则E 的方程为2212x y +=； （2）当直线AB 的斜率不为零时，可设:AB x my t =+代入2212x y +=得： ()2222220my mty t +++-=，设()()1122,,,A x y B x y ，则212122222,22mt t y y y y m m -+=-=++，()2282m t ∆=+-，设(),P x y ，由OP OA OB =+u u u r u u u r u u u r，得()121212122224,222mt ty y y x x x my t my t m y y t m m =+=-=+=+++=++=++， ∵点P 在椭圆E 上，∴()()22222221641222t m t m m+=++，即()()22224212t m m+=+，∴2242t m =+，AB ===原点到直线x my t =+的距离为d =∴四边形OAPB的面积：22122242OABS S AB d t ∆==⨯⨯===. 当AB的斜率为零时，四边形OAPB的面积112222S =⨯⨯=，∴四边形OAPB 21.解：（1）函数()g x 的定义域为()0,+∞，当12m =-时，()2ln g x a x x =+，所以()222a x a g x x x x +'=+=，①当0a =时，()2,0g x x x =>时无零点，②当0a >时，()0g x '>，所以()g x 在()0,+∞上单调递增， 取10ax e-=，则21110aa g e e --⎛⎫⎛⎫=-+< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，因为()11g =，所以()()010g x g <g ，此时函数()g x 恰有一个零点，③当0a <时，令()0g x '=，解得x =当0x <<()0g x '<，所以()g x 在⎛ ⎝上单调递减；当x >()0g x '>，所以()g x 在⎫+∞⎪⎪⎭上单调递增.要使函数()f x 有一个零点，则ln 02ag a ==即2a e =-，综上所述，若函数()g x 恰有一个零点，则2a e =-或0a >；（2）令()()()()22121ln h x f x m x mx m x x =--=-++，根据题意，当()1,x ∈+∞时，()0h x <恒成立，又()()()()1211221x mx h x mx m x x--'=-++=， ①若102m <<，则1,2x m ⎛⎫∈+∞⎪⎝⎭时，()0h x '>恒成立，所以()h x 在1,2m ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上是增函数，且()1,2h x h m ⎛⎫⎛⎫∈+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以不符题意. ②若12m ≥，则()1,x ∈+∞时，()0h x '>恒成立，所以()h x 在()1,+∞上是增函数，且()()()1,h x h ∈+∞，所以不符题意.③若0m ≤，则()1,x ∈+∞时，恒有()0h x '<，故()h x 在()1,+∞上是减函数，于是“()0h x <对任意()1,x ∈+∞，都成立”的充要条件是()10h ≤，即()210m m -+≤，解得1m ≥-，故10m -≤≤.综上，m 的取值范围是[]1,0-.22.解：（1）1C 的普通方程为()2210x y y +=≥，把,3x x y y ''==代入上述方程得，()22103y x y '''+=≥， ∴2C 的方程为()22103y x y +=≥， 令cos ,sin x y ρθρθ==， 所以2C 的极坐标方程为[]()2222230,3cos sin 2cos 1ρθπθθθ==∈++；（2）在（1）中建立的极坐标系中，直线l 的极坐标方程为()R θαρ=∈，由1ρθα=⎧⎨=⎩，得1A ρ=， 由2232cos 1ρθθα⎧=⎪+⎨⎪=⎩，得B ρ=，11=，∴1cos 2α=±， 而[]0,απ∈，∴3πα=或23π. 23.解：（1）因为()()min 1f x f a ==-，所以3a -≥，解得3a ≤-，即max 3a =-；（2）()()212g x f x x a a x x a =+++=-++，当1a =-时，()310,03g x x =-≥≠，所以1a =-不符合题意，当1a <-时，()()()()()()()12,12,112,1x x a x a g x x x a x a x x a x -++≥-⎧⎪=--+≤<-⎨⎪---+<⎩，即()312,12,1312,1x a x a g x x a x a x a x -+≥-⎧⎪=---≤<-⎨⎪-+-<⎩， 所以()()min 13g x g a a =-=--=，解得4a =-，当1a >-时，同法可知()()min 13g x g a a =-=+=，解得2a =，综上，2a =或-4.。
高考数学(理科)模拟试题含答案(一)精编版
高考数学(理科)模拟试题含答案(一)精编版高考理科数学模拟试题精编(一)注意事项：1.作答选择题时，在答题卡上涂黑对应选项的答案信息点。
如需改动，先擦干净再涂其他答案。
不得在试卷上作答。
2.非选择题用黑色钢笔或签字笔作答，写在答题卡指定区域内。
如需改动，先划掉原答案再写新答案。
不得用铅笔或涂改液。
不按要求作答无效。
3.答题卡需整洁无误。
考试结束后，交回试卷和答题卡。
第Ⅰ卷一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求。
)1.设全集Q={x|2x²-5x≤0，x∈N}，且P⊆Q，则满足条件的集合P的个数是()A。
3B。
4C。
7D。
82.若复数z=m(m-1)+(m-1)i是纯虚数，其中m是实数，则z=()A。
iB。
-iC。
2iD。
-2i3.已知等差数列{an}的公差为5，前n项和为Sn，且a1，a2，a5成等比数列，则S6=()A。
80B。
85C。
90D。
954.XXX每天上学都需要经过一个有交通信号灯的十字路口。
已知十字路口的交通信号灯绿灯亮的时间为40秒，黄灯5秒，红灯45秒。
如果XXX每天到路口的时间是随机的，则XXX上学时到十字路口需要等待的时间不少于20秒的概率是()A。
4/5B。
3/4C。
2/3D。
3/56.已知p：a=±1，q：函数f(x)=ln(x+a²+x²)为奇函数，则p 是q成立的()A。
充分不必要条件B。
必要不充分条件C。
充分必要条件D。
既不充分也不必要条件7.(省略了一个选项) 327.(1+x²+4x)²的常数项为()A。
120B。
160C。
200D。
2408.我们可以用随机模拟的方法估计π的值，如图所示的程序框图表示其基本步骤(函数RAND是产生随机数的函数，它能随机产生(0,1)内的任何一个实数)，若输出的结果为521，则由此可估计π的近似值为()A。
3.119B。
2024届陕西省商洛市高三上学期一模文数试题及答案
商洛市2024届高三第一次模拟检测数学试卷（文科）考生注意：1.本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分，共150分.考试时间120分钟.2､请将各题答案填写在答题卡上.3.本试卷主要考试内容：高考全部内容.第Ⅰ卷一､选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}{}2,0,1,3,0,2,3A B =-=，则A B ⋂=（ ）A.{}2,1-B.{}2,1,2-C.{}0,3D.{}2,0,1,2,3-2.12i43i +=+（ ）A.25i 77-+ B.21i55+C.25i 77-- D.21i55-3.在ABC 中，角,,A B C 的对边分别是,,a b c ，若24,3,sin 3a b A ===，则B =（ ）A.π6 B.π6或5π6 C.π3 D.π3或2π34.已知 1.1112310.9,log ,log 23a b c ===，则（ ）A.a b c >> B.a c b >>C.c a b >>D.b a c>>5.根据国家统计局发布的数据，我国今年3月份至10月份社会消费品零售总额同比增速如图所示，则下列说法错误的是（）A.我国今年3月份至10月份社会消费品零售总额同比增速最高为18.4%B.我国今年3月份至10月份社会消费品零售总额同比增速的中位数为6.55%C.我国今年3月份至10月份社会消费品零售总额同比增速的极差为14.9%D.我国今年3月份至10月份社会消费品零售总额同比增速的平均值为8.125%6.已知()5πsin 3sin π2αα⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，则tan2α=（ ）A.34 B.34- C.43 D.43-7.已知抛物线2:6C y x =，过点()4,2A 的直线l 与抛物线C 交于,M N 两点，若MA AN =，则直线l 的斜率是（ ）A.23 B.34 C.43 D.328.已知函数()()22,1,32,1x ax x f x a x x ⎧-+⎪=⎨-+>⎪⎩…是定义在R 上的增函数，则a 的取值范围是（ ）A.[)1,3B.[]1,2C.[)2,3D.()0,39.已知函数()()221e xf x x x ax =---在R 上单调递增，则a 的最大值是（ ）B.A.01eC.eD.310.已知某比赛在,,,A B C D 这4支队伍之间进行，且D 队伍有一名主力队员缺席，导致D 队伍无缘前2名，假设剩下的3支队伍的水平相当，则,A B 这2支队伍都进入前3名的概率是（ ）A.13 B.12 C.23 D.3411.已知,A B是直线y =()πsin (0)6f x x ωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭图象的两个相邻交点，若π6AB =，则ω=（ ）A.4B.4或8C.2D.2或1012.在正四棱台1111ABCD A B C D -中，1112AB A B AA ===，点P 在底面ABCD 内，且14A P =，则P 的轨迹长度是（ ）C.6πD.12π第II 卷二､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知单位向量,a b满足2a b += ，则向量,a b的夹角是__________.14.已知实数,x y 满足约束条件220,10,2,x y x y x -+⎧⎪++⎨⎪⎩……….，则z x y =-+的最大值为__________.15.在正四面体ABCD 中，,E F 是棱,BC AB 的中点，则异面直线DE 与CF 所成角的余弦值是__________.16.过双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的右焦点2F 作C 的一条渐近线的垂线，垂足为A ，且C 的左顶点为,B AB =C 的离心率为__________.三､解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明､证明过程或演算步骤.17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22，23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17.（12分）在等差数列{}n a 中，25612,11a a a +==.（1）求{}n a 的通项公式；（2）若2n an b =，求数列{}n b 的前n 项和n S .18.（12分）镇安大板栗又称中国甘栗､东方珍珠，以味道甜脆，甘美可口，老幼皆宜，营养丰富而著称于世.现从某板栗园里随机抽取部分板栗进行称重（单位：克），将得到的数据按[30,40),[40,50),[50,60),[60,70),[70,80]分成五组，绘制的频率分布直方图如图所示.（1）请估计该板栗园的板栗质量的中位数；（2）现采用分层抽样的方法从质量在[)30,40和[]70,80内的板栗中抽取5颗，再从这5颗板栗中随机抽取2颗，求抽取到的2颗板栗中至少有1颗的质量在[)30,40内的概率.19.（12分）如图，在三棱柱111ABC A B C -中，1AA ⊥平面,ABC ABC 是等边三角形，且D 为棱AB 的中点.（1）证明：AB ⊥平面1CC D .（2）若1236AA AB ==，求点1B 到平面1ABC 的距离.20.（12分）已知点()()121,0,1,0F F -，动点M 满足124MF MF +=，动点M 的轨迹记为E .（1）求E 的方程；（2）过点2F 的直线l 与E 交于,A B 两点，O 为坐标原点，求OAB 面积的最大值.21.（12分）已知函数()2sin f x x x =+.（1）求曲线()y f x =在点(()0,f 处的切线方程；（2）证明：()516f x >-.（二）选考题：共10分.请考生从第22，23两题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一个题目计分.22.[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）在平面直角坐标系xOy 中，曲线C的参数方程为1,x y αα⎧=⎪⎨=⎪⎩（α为参数），以坐标原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程是cos sin 80ρθθ+-=.（1）求曲线C 的极坐标方程；（2）已知直线1π:3l θ=，在第一象限内，直线1l 与曲线C 交于点A ，与直线l 交于点B ，求AB 的值.23.[选修4-5：不等式选讲]（10分）已知函数()2f x x =-.（1）求不等式()25f x x -…的解集；（2）若()3f x x a -+…恒成立，求a 的取值范围.商洛市2024届高三第一次模拟检测数学试卷参考答案（文科）1.C 由题意可得{}0,3A B ⋂=.2.B ()()()()2212i 43i 12i 43i 8i 6i 21i 43i 43i 43i 169i 55+-+-+-===+++--.3.A 由正弦定理可得sin sin a b A B =，则sin 1sin 2b A B a ==，则π6B =或5π6.因为2sin 3A =，所以π6A >，则π6B =.4.D 因为 1.10121323100.90.91,log log 31,log 2log 203<==<>=-<，所以b a c >>.5.C 我国今年3月份至10月份社会消费品零售总额同比增速从小到大依次为2.5%,3.1%，4.6%,5.5%,7.6%,10.6%,12.7%,18.4%.我国今年3月份至10月份社会消费品零售总额同比增速最高为18.4%,A 正确.我国今年3月份至10月份社会消费品零售总额同比增速的中位数为5.5%7.6%6.55%,B 2+=正确.我国今年3月份至10月份社会消费品零售总额同比增速的极差为15.9%,C错误.我国今年3月份至10月份社会消费品零售总额同比增速的平均值为()12.5%3.1%4.6%5.5%7.6%10.6%12.7%18.4%8⨯+++++++=8.125%,D 正确.6.B 因为()5πsin 3sin π2αα⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，所以cos 3sin αα=-，所以1tan 3α=-，则22tan 3tan21tan 4ααα==--.7.D 设()()1122,,,M x y N x y ，则124y y +=，故直线l 的斜率212122212121263266y y y y k y y x x y y --====-+-.8.B 因为()f x 是定义在R 上的增函数，所以1,30,1232,a a a a ⎧⎪->⎨⎪-+-+⎩……解得12a …….9.A 由题意可得()2e 2xf x x x a =--'.因为()f x 在R 上单调递增，所以()2e 20xf x x x a =--'…恒成立，即2e 2x a x x -…恒成立.设()2e 2xg x x x =-，则()()22e 2xg x x =+-'.当x <0时，()0g x '<，当0x >时，()0g x '>，则()g x 在(),0∞-上单调递减，在()0,∞+上单调递增，故()min ()00g x g ==，即0a ….10.C 这4支队伍按排名先后的情况有,,,,,ABCD ABDC ACBD ACDB BACD BADC ，,,,,,BCAD BCDA CABD CADB CBAD CBDA ，共12种，其中,A B 这2支队伍排在前3位的情况有,,,,,,,ABCD ABDC ACBD BACD BADC BCAD CABD CBAD ，共8种，故所求概率82123P ==.11.D 设()f x 的最小正周期为T ，则16AB T =或56AB T =，即2ππ66ω=或10ππ66ω=，解得2ω=或10ω=.12.B 如图1，连接AC ，作1A H AC ⊥，垂足为H ，易证1A H ⊥平面ABCD .因为1112AB A B AA ===，所以AH =，则12A H ==.因为点P 在底面ABCD内，且14A P =，所以PH =以H为圆心，2，则 MN是P 的轨迹.分别作,HE AM HF AN ⊥⊥，垂足分别为,E F .由题意可得HE HF HM HN ====，则π3MHE NHF ∠∠==，从而5π6MHN ∠=，故P的轨迹长度是5π6⨯=.13.π3因为2a b += ，所以22447a a b b +⋅+= .因为||||1a b == ，所以12a b ⋅= ，则1cos ,2||||a b a b a b ⋅== ，故向量,a b的夹角是π3.14.4 画出可行域（图略），当直线z x y =-+经过点()2,6A 时，z 取得最大值，且最大值为4.15.16如图，取线段BF 的中点G ，连接,,DG EG DF .易证EG ∥CF ，则DEG ∠是异面直线DE 与CF 所成的角或其补角.设4AB =，则1DE CF DF GF ====，从而12EG CF DG====在DEG中，由余弦定理可得2221cos26DE EG DGDEGDE EG∠+-==⋅.16.2设O为坐标原点，C的焦距为2c.过点A作AH垂直于x轴，垂足为H（图略）.易得2,abAF b AHc==，则由22||OA OH OF=⋅，得2aOHc=，所以2aBH ac=+==c a+=，所以()2222()33c a b c a+==-，故2cea==.17.解：（1）设数列{}n a的公差为d，由题意可得251612512,511,a a a da a d+=+=⎧⎨=+=⎩解得11,2a d==.故()1121na a n d n=+-=-.（2）由（1）可得212nnb-=，则2112nnb++=，从而14nnbb+=.因为12b=，所以{}n b是首项为2，公比为4的等比数列.由等比数列的前n项和公式可得()()2111214221143n n nnb qSq+-⨯--===--.18.（1）解：因为()0.0080.018100.260.5,0.260.032100.580.5+⨯=<+⨯=>，所以该板栗园的板栗质量的中位数在[)50,60内.设该板栗园的板栗质量的中位数为m，则()500.0320.260.5m-⨯+=，解得57.5m=，即该板栗园的板栗质量的中位数约为57.5.（2）由题意可知采用分层抽样的方法从质量在[)30,40内的板栗中抽取0.00850.0080.012⨯=+2颗，分别记为,a b ；从质量在[]70,80内的板栗中抽取0.012530.0080.012⨯=+颗，分别记为,,c d e .从这5颗板栗中随机抽取2颗的情况有,,,,,,,,,ab ac ad ae bc bd be cd ce de ，共10种，其中符合条件的情况有,,,,,,ab ac ad ae bc bd be ，共7种，故所求概率710P =.19.（1）证明：由三棱柱的性质可知1CC ∥1AA .因为1AA ⊥平面ABC ，所以1CC ⊥平面ABC .因为AB ⊂平面ABC ，所以1CC AB ⊥.因为D 为AB 的中点，且ABC 是等边三角形，所以CD AB ⊥.因为1,CD CC ⊂平面1CC D ，且1CC CD C ⋂=，所以AB ⊥平面1CC D .（2）解：因为1236AA AB ==，所以13,2AA AB ==，则11BB C 的面积12332S =⨯⨯=.作AE BC ⊥，垂足为E ，易证AE ⊥平面11BB C .因为ABC 是等边三角形，所以AE =1111333A BBC V S AE -=⋅=⨯=.因为1CC ⊥平面ABC ，所以11,CC AC CC BC ⊥⊥，则11AC BC ==，故1ABC 的面积1122S =⨯=.设点1B 到平面1ABC 的距离为d ，则三棱锥11B ABC -的体积11113B ABC V S d -==.因为1111B ABC A BB C V V --==32d =.20.解：（1）因为121242MF MF F F +=>=，所以E 是以12,F F 为焦点，且长轴长为4的椭圆.设E 的方程为22221(0)x y a b a b+=>>，则24a =，可得2a =.又1c =，所以2223b a c =-=，所以E 的方程为22143x y +=.（2）由题意可知直线l 的斜率不为0，设直线()()1122:1,,,,l x my A x y B x y =+.联立221,1,43x my x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩整理得()2234690m y my ++-=，则()()()222Δ(6)434914410m m m =-+⨯-=+>，12122269,3434m y y y y m m +=-=-++.由弦长公式可得2AB y =-=()2212134m m +=+.点O 到直线l的距离d =，则OAB的面积12S AB d =⋅=设1t =，则()226661313143t t S t t t t===+-++.因为1t …，所以134t t +…，所以32S …，当且仅当0m =时，32S =.21.（1）解：()()()cos 2,01,00f x x x f f '='=+=.故曲线()y f x =在点()()0,0f 处的切线方程为y x =.（2）证明：由（1）得()cos 2f x x x =+'.令函数()()u x f x ='，则()sin 20u x x =-+>'，所以()()u x f x ='是增函数.因为()1101,cos 1022f f ⎛⎫=-=-< ⎪⎝⎭''，所以存在01,02x ⎛⎫∈-⎪⎝⎭，使得()000cos 20f x x x =+='，即22001cos 4x x =，所以当()0,x x ∞∈-时，()0f x '<，当()0,x x ∞∈+时，()0f x '>，则()f x 在()0,x ∞-上单调递减，在()0,x ∞+上单调递增，所以()()2220000000111sin sin cos sin sin 444f x f x x x x x x x =+=+=-++….因为01,02x ⎛⎫∈-⎪⎝⎭，所以01π10sin sin sin 262x ⎛⎫⎛⎫>>->-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以22001111115sin sin 44422416x x ⎛⎫-++>-⨯--+=-⎪⎝⎭.故()516f x >-.22.解：（1）由1,x y αα⎧=⎪⎨=⎪⎩（α为参数），得22(1)3x y -+=，即22220,x y x +--=则曲线C 的极坐标方程为22cos 20ρρθ--=.（2）联立2π,32cos 20,θρρθ⎧=⎪⎨⎪--=⎩解得2A ρ=或1A ρ=-（舍去）.联立π,3cos sin 80,θρθθ⎧=⎪⎨⎪+-=⎩解得4B ρ=.故2A B AB ρρ=-=.23.解：（1）()25f x x -…等价于20,225x x x -⎧⎨--⎩……或()20,225,x x x -<⎧⎨---⎩…解得3x …，即不等式()25f x x -…的解集为(],3∞-.（2）()3f x x a -+…恒成立，即23x x a -++…恒成立.因为()222x x a x x a a -++--+=+…，所以23a +…，解得1a …或5a -…，即a 的取值范围是][(),51,∞∞--⋃+.。
四川内江市2021届高三数学(理)上学期高考一模试卷附答案解析
数 学 (理科 )
1。 本试卷 包括 第 I卷 (选 择题 )和 第 Ⅱ卷 (非 选择题 )两 部分 ,共 4页 。全卷满分 150分 , 考试时间 120分钟。
2.答 第 I卷 时,用 2B铅 笔把答题卡上对应题 目的答案标号涂黑,如 需改动 ,用 橡皮擦 干 净后 ,再 选涂其它答案标号;答 第 Ⅱ卷时,用 0.5毫 米的黑色签字笔在答题卡规定的区域 内作
１９ ３０
１ ３
１ ３０
分 １２
解：（） （） 分 １８．
１ ｆ′ ｘ
＝
ａ ｘ
－ ２ｂｘ
２
∵
函数ｆ（ｘ）在ｘ ＝
１
处与直线ｙ ＝
－
１ ２
相切，
（） ｆ′ １ ＝ ０
，即 ， 分 ∴
{ （） { ｆ １
）∞ ．
（） ， ｆ′ ｘ ＝ １ － ｘ ＝ １ － ｘ２
ｘ
ｘ
令（） ，得 ，令（） ，得 分 ｆ′ ｘ ＞ ０ ０ ＜ ｘ ＜ １ ｆ′ ｘ ＜ ０ ｘ ＞ １． ８
∴ ｆ（ｘ）在（１ｅ ，１）上单调递增，在（１，ｅ）上单调递减， １０ 分
∴
D。 -7,3j
3.已 知随机变量 X服 从正态分布 Ⅳ(G,4),且 P(X>1)〓 0.5,P(X>2)=0。 3,则
P(X<0)=
A。 0.2
B。 0.3
C。 0.7
D。 0.8
4.为 了解户籍性别对生育二胎选择倾 向的影响,某 地从育龄人群 中随机抽取 了容量为 1∞ 的调查样本 ,其 中城镇户籍与农村户籍各 sO人 ;男 性 ω 人 ,女 性 们 人 ,绘制不同群体中倾 向选择生育二胎与倾向选择不生育二胎的人数 比例图(如 图所示 ),其 中阴影部分表示倾 向选
2020年高考理科数学模拟试题含答案及解析5套)
绝密★启用前2020年高考模拟试题（一）理科数学时间：120分钟分值：150分注意事项：1、本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
答题前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在答题卡上。
2、回答第Ⅰ卷时，选出每小题的答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
写在试卷上无效。
3、回答第Ⅱ卷时，将答案填写在答题卡上，写在试卷上无效。
4、考试结束，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知a ，b 都是实数，那么“22a b >”是“22a b >”的（） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件2．抛物线22(0)x py p =>的焦点坐标为（）A ．,02p ⎛⎫⎪⎝⎭B ．1,08p ⎛⎫⎪⎝⎭C ．0,2p ⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．10,8p ⎛⎫ ⎪⎝⎭3．十字路口来往的车辆，如果不允许掉头，则行车路线共有（）A ．24种B ．16种C ．12种D ．10种4．设x ，y 满足约束条件36020 0,0x y x y x y ⎧⎪⎨⎪+⎩---≤≥≥≥，则目标函数2z x y =-+的最小值为（）A ．4-B ．2-C ．0D ．2 5．《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，系统地总结了战国、秦、汉时期的数学成就．书中将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为“阳马”，若某“阳马”的三视图如图所示（网格纸上小正方形的边长为1），则该“阳马”最长的棱长为（） A ．5 B ．34C ．41D ．526．()()()()sin ,00,xf x x x=∈-ππ大致的图象是（）A ．B ．C ．D ．此卷只装订不密封级 姓名 准考证号 考场号 座位号7．函数()sin cos (0)f x x x ωωω=->ω的取值不可能为（） A ．14B ．15 C ．12D ．348．运行如图所示的程序框图，设输出数据构成的集合为A ，从集合A 中任取一个元素a ，则函数ay x =，()0,x ∈+∞是增函数的概率为（） A ．35B ．45C ．34D ．37开始输出y结束是否3x =-3x ≤22y x x=+1x x =+9．已知A ，B 是函数2xy =的图象上的相异两点，若点A ，B 到直线12y =的距离相等，则点A ，B 的横坐标之和的取值范围是（） A ．(),1-∞-B ．(),2-∞-C ．(),3-∞-D ．(),4-∞-10．在四面体ABCD 中，若AB CD ==，2AC BD ==，AD BC ==，则四面体ABCD 的外接球的表面积为（） A ．2π B ．4πC ．6πD ．8π11．设1x =是函数()()32121n n n f x a x a x a x n +++=--+∈N 的极值点，数列{}n a 满足11a =，22a =，21log n n b a +=，若[]x 表示不超过x 的最大整数，则122320182019201820182018b b b bb b ⎡⎤+++⎢⎥⎣⎦=（）A ．2017B ．2018C ．2019D ．202012[]0,1上单调递增，则实数a 的取值范围（） A ．()1,1- B ．()1,-+∞C ．[]1,1-D ．(]0,+∞第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题：本大题共4个小题,每小题5分,共20分.13．命题“00x ∃>，20020x mx +->”的否定是__________．14．在ABC △中，角B2π3C =，BC =，则AB =__________．15．抛物线24y x =的焦点为F ，过F 的直线与抛物线交于A ，B 两点，且满足4AFBF =，点O 为原点，则AOF △的面积为__________．16．已知函数()()2cos2cos0222xxxf x ωωωω=+>的周期为2π3，当π03x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，时，函数()()g x f x m=+恰有两个不同的零点，则实数m 的取值范围是__________．三、解答题：共70分。
2022年吉林省长春市高考文科数学一模试卷及答案解析
2022年吉林省长春市高考文科数学一模试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设集合A ＝{2，3，5}，B ＝{2，3，6}，若x ∈A ，且x ∉B ，则x 的值为（ ） A ．2B ．3C ．5D ．62．已知平面向量a →，b →的夹角为π3，且|a →|＝2，|b →|＝1，则|a →−2b →|＝（ ） A ．2B ．4C ．1D ．√63．设正项等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 2＝3，a 3+a 4＝12，则公比q ＝（ ） A ．±4 B ．4 C ．±2 D ．24．曲线y =2x−1x+1在(1，12)处的切线斜率为（ ） A ．14B ．34C ．1D ．545．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A ．√3π2B ．√3π3C ．π6D ．√3π66．函数y ＝sin （3x −π4）的一个零点是（ ） A ．−π12B ．−7π12C ．7π12D ．11π127．已知向量BA →=（12，√32），BC →=（√32，12），则∠ABC ＝（ ）A ．30°B ．45°C ．60°D ．120°8．已知函数f(x)=a +12x+1为奇函数，则f （1）＝（ ） A ．−23B ．﹣1C ．−16D ．139．△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．已知a ＝1，c cos A +a cos C ＝2b cos B ，△ABC 的面积S =√3，则b 等于（ ）A ．3B ．√13C ．4D ．√1510．△ABC 中，点M 为AC 上的点，且AM →=12MC →，若BM →=λBA →+μBC →，则λ﹣μ的值是（ ）A ．1B ．12C ．13D ．2311．已知数列{a n }满足a 2＝4，n （n ﹣1）a n +1＝（n ﹣1）a n ﹣na n ﹣1（n ＞1且n ∈N *），数列{a n }的前n 项和为S n ，则（ ） A ．20S 21＝a 20+80 B ．20S 21＝a 20+40C ．S 21＝20a 20+80D ．S 21＝20a 20+4012．已知函数f （x ）={−lnx ，0＜x ≤11x ，x ＞1，若0＜a ＜b 且满足f （a ）＝f （b ），则af （b ）+bf（a ）的取值范围是（ ） A ．（1，1e +1）B ．（﹣∞，1e+1]C ．（1，1e+1]D ．（0，1e+1）二、填空题：本题共4小题，每小题0分，共20分.13．已知直棱柱的底面周长为12，高为4，则这个棱柱的侧面积等于 ． 14．若sinθ+√3cosθ=2，θ∈(0，π2)，则θ＝ ．15．设函数f （x ）＝2|x |+x 2，若f （a +1）﹣8＜0，则实数a 的取值范围是 ． 16．若x 的不等式e x （x 2﹣2x +2）≤ae x +x 在[0，+∞）有解，则实数a 的取值范围是 ． 三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选做题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17．设等差数列{a n }的公差不为0，a 2＝1，且a 2，a 3，a 6成等比数列． （Ⅰ）求{a n }的通项公式；（Ⅱ）设数列{a n }的前n 项和为S n ，求使S n ＞35成立的n 的最小值．18．如图，在四棱锥P ﹣ABCD 中，底面ABCD 为菱形，且∠DAB ＝60°，△ADP 为等边三角形．（1）求证：AD ⊥PB ；（2）若AB ＝2，BP =√6，求点C 到平面PBD 的距离．19．某果园新采摘了一批苹果，从中随机抽取50个作为样本，称出它们的重量（单位：克），将重量按照[120，140），[140，160），[160，180），[180，200]进行分组，得到频率分布直方图如图所示（同一组中的数据以该组区间的中点值为代表）． （Ⅰ）估计这批苹果的重量的平均数；（Ⅱ）该果园准备把这批苹果销售给一家超市，根据市场行情，有两种销售方案： 方案一：所有苹果混在一起，价格为1元千克；方案二：将不同重量的苹果分开，重量不小于160克的苹果的价格为1.2元/千克，重量小于160克的苹果的价格为0.8元/千克，但果园需支付每1000个苹果5元的分拣费． 分别估计并比较两种方案下果园销售10000个苹果的收入．20．已知中心在原点，焦点在x 轴上的椭圆C 的长半轴长为2，且经过点M （1，32）；过点P （2，1）的直线l 与椭圆C 相交于不同的两点A ，B ． （Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）是否存在直线l ，满足PA →•PB →=PM →2，若存在，求出直线l 的方程；若不存在，请说明理由．21．已知函数f （x ）＝x 2﹣ax ﹣lnx ．（1）当a ＝﹣1时，求函数f （x ）的单调区间； （2）若函数f （x ）的最小值为﹣e 2，求参数a 的值． 四、解答题（共2小题，满分0分）22．在直角坐标系xOy 中，圆C 的参数方程为{x =1+cosφy =sinφ（φ为参数），以O 为极点，x轴非负半轴为极轴建立极坐标系．直线l的极坐标方程是2ρsin（θ+π3）＝3√3．（1）求圆C的极坐标方程和直线l的直角坐标方程；（2）射线OM：θ=π3与圆C的交点为O，P，与直线l的交点为Q，求△CPQ的面积．23．已知函数f（x）＝|2x﹣m|．（1）当m＝1时，求函数g（x）＝f（x）+|2x+5|的最小值；（2）若f（x）≤1的解集为[1，2]，且a+3b＝m（a＞0，b＞0），求a2+9b2的最小值．2022年吉林省长春市高考文科数学一模试卷参考答案与试题解析一、选择题：本题共12小题，每小题5分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设集合A ＝{2，3，5}，B ＝{2，3，6}，若x ∈A ，且x ∉B ，则x 的值为（ ） A ．2B ．3C ．5D ．6【解答】解：∵x ∈{2，3，5}，∴x ＝2或x ＝3或x ＝5． ∵x ∉{2，3，6}，∴x ≠2且x ≠3且x ≠6， ∴x ＝5． 故选：C ．2．已知平面向量a →，b →的夹角为π3，且|a →|＝2，|b →|＝1，则|a →−2b →|＝（ ）A ．2B ．4C ．1D ．√6【解答】解：∵|a →−2b →|=√(a →−2b →)2=√|a →|2−4|a →||b →|cos π3+4|b →|2=2．故选：A ．3．设正项等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 2＝3，a 3+a 4＝12，则公比q ＝（ ） A ．±4B ．4C ．±2D ．2【解答】解：依题意，数列{a n }是正项等比数列，S 2＝a 1+a 2＝3，a 3+a 4＝（a 1+a 2）•q 2＝12，所以q =√a 2+a 4S2=2，故选：D ．4．曲线y =2x−1x+1在(1，12)处的切线斜率为（ ） A ．14B ．34C ．1D ．54【解答】解：由y =2x−1x+1，得y ′=2(x+1)−(2x−1)(x+1)2=3(x+1)2，∴y′|x=1=34，即曲线y =2x−1x+1在(1，12)处的切线斜率为34．故选：B ．5．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A ．√3π2B ．√3π3C ．π6D ．√3π6【解答】解：由三视图知几何体为圆锥的一半，且圆锥的底面圆半径为1，高为√3， ∴几何体的体积V =12×13×π×12×√3=√36π， 故选：D ．6．函数y ＝sin （3x −π4）的一个零点是（ ） A ．−π12B ．−7π12C ．7π12D ．11π12【解答】解：令函数y ＝sin （3x −π4）＝0 则3x −π4的终边落在X 轴上 即3x −π4=k π（k ∈Z ） 则x =13kπ+π12（k ∈Z ） 当k ＝﹣3时，x =−7π12 故选：B ．7．已知向量BA →=（12，√32），BC →=（√32，12），则∠ABC ＝（ ） A ．30°B ．45°C ．60°D ．120°【解答】解：BA →⋅BC →=√34+√34=√32，|BA →|=|BC →|=1； ∴cos∠ABC =BA →⋅BC →|BA →||BC →|=√32；又0°≤∠ABC ≤180°； ∴∠ABC ＝30°． 故选：A ．8．已知函数f(x)=a +12x+1为奇函数，则f （1）＝（ ） A ．−23B ．﹣1C ．−16D ．13【解答】解：函数的定义域为R ， ∵f （x ）是奇函数， ∴f （0）＝0，即f （0）＝a +11+1=0，即a =−12， 则f （1）=−12+12+1=−12+13=−16， 故选：C ．9．△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．已知a ＝1，c cos A +a cos C ＝2b cos B ，△ABC 的面积S =√3，则b 等于（ ） A ．3B ．√13C ．4D ．√15【解答】解：∵c cos A +a cos C ＝2b cos B ，∴由正弦定理，得2sin B cos B ＝sin C cos A +sin A cos C ＝sin （A +C ）＝sin B ，即2sin B cos B ＝sin B ， 又sin B ≠0， ∴cos B =12，∴由B ∈（0，π），可得B =π3，∵△ABC 的面积S =12ac sin B =12×c ×1×√32=√3，解得：c ＝4， ∴b =√a 2+c 2−2accosB =√1+16−2×1×4×12=√13． 故选：B ．10．△ABC 中，点M 为AC 上的点，且AM →=12MC →，若BM →=λBA →+μBC →，则λ﹣μ的值是（ ）A ．1B ．12C ．13D ．23【解答】解：AM →=12MC →， 所以AM →=13AC →，所以BM →=BA →+AM →=BA →+13AC →=BA →+13(BC →−BA →)=23BA →+13BC →， 若BM →=λBA →+μBC →， 则λ=23，μ=13，λ﹣μ=13．故选：C ．11．已知数列{a n }满足a 2＝4，n （n ﹣1）a n +1＝（n ﹣1）a n ﹣na n ﹣1（n ＞1且n ∈N *），数列{a n }的前n 项和为S n ，则（ ） A ．20S 21＝a 20+80 B ．20S 21＝a 20+40C ．S 21＝20a 20+80D ．S 21＝20a 20+40【解答】解：数列{a n }满足a 2＝4，n （n ﹣1）a n +1＝（n ﹣1）a n ﹣na n ﹣1（n ＞1且n ∈N *），整理得：a n+1=a n n −an−1n−1，所以S n ＝a 1+a 2+a 3+...+a n =a 1+a 2+a 22−a 11+a 33−a 22+...+a n−2n−2−a n−3n−3+an−1n−1−a n−2n−2=a 2+a n−1n−1=4+an−1n−1， 故当n ＝21时，S 21=4+a2020，整理得：20S 21＝a 20+80． 故选：A ．12．已知函数f （x ）={−lnx ，0＜x ≤11x，x ＞1，若0＜a ＜b 且满足f （a ）＝f （b ），则af （b ）+bf（a ）的取值范围是（ ） A ．（1，1e +1）B ．（﹣∞，1e+1]C ．（1，1e+1]D ．（0，1e+1）【解答】解：∵函数f （x ）={−lnx ，0＜x ≤11x ，x ＞1，若0＜a ＜b 且满足f （a ）＝f （b ），则−lna =1b 且由0＜−lna ＜1得1e ＜a ＜1又af(b)+bf(a)=a ⋅1b+b(−lna)=−alna +1(1e＜a ＜1) 令g （x ）＝﹣xlnx +1，（1e ＜x ＜1）则g ′（x ）＝﹣lnx ﹣1 令g ′（x ）＝0，则x =1e当1e＜x ＜1时，g ′（x ）＜0，g （x ）为减函数，∴g （x ）∈（1，1e+1）故选：A ．二、填空题：本题共4小题，每小题0分，共20分.13．已知直棱柱的底面周长为12，高为4，则这个棱柱的侧面积等于 48 ． 【解答】解：∵直棱柱的底面周长为12，高为4， ∴这个棱柱的侧面积为12×4＝48， 故答案为：48．14．若sinθ+√3cosθ=2，θ∈(0，π2)，则θ＝ π6．【解答】解：因为sin θ+√3cos θ ＝2（12sin θ+√32cos θ）＝2（cos π3sin θ+sin π3cos θ） ＝2sin （θ+π3）＝2， 所以sin （θ+π3）＝1，由θ∈（0，π2），可得θ+π3∈（π3，5π6），所以θ+π3=π2， 所以θ=π6． 故答案为：π6．15．设函数f （x ）＝2|x |+x 2，若f （a +1）﹣8＜0，则实数a 的取值范围是 （﹣3，1） ． 【解答】解：∵f （﹣x ）＝2|﹣x |+（﹣x ）2＝2|x |+x 2＝f （x ），∴f （x ）是偶函数，当x ≥0时，f （x ）为增函数，则由f（a+1）﹣8＜0得f（a+1）＜8＝f（2），即等价为f（|a+1|）＜f（2），则|a+1|＜2得﹣2＜a+1＜2，得﹣3＜a＜1，即实数a的取值范围是（﹣3，1），故答案为：（﹣3，1）．16．若x的不等式e x（x2﹣2x+2）≤ae x+x在[0，+∞）有解，则实数a的取值范围是[1−1 e，+∞）．【解答】解：不等式e x（x2﹣2x+2）≤ae x+x可化为a≥x2﹣2x+2−xe x，设f（x）＝x2﹣2x+2−xe x，x∈[0，+∞），所以f′（x）＝2x﹣2−1−xe x=（x﹣1）（2+1e x），当x∈[0，1）时，f′（x）＜0，f（x）单调递减，当x∈（1，+∞）时，f′（x）＞0，f（x）单调递增，当x＝1时，f′（x）＝0，f（x）取得极小值，也是函数的最小值，所以f min（x）＝f（1）＝1−1 e，所以实数a的取值范围是[1−1e，+∞）．故答案为：[1−1e，+∞）．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选做题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17．设等差数列{a n}的公差不为0，a2＝1，且a2，a3，a6成等比数列．（Ⅰ）求{a n}的通项公式；（Ⅱ）设数列{a n}的前n项和为S n，求使S n＞35成立的n的最小值．【解答】解：（Ⅰ）设等差数列{a n}的公差为d，d≠0，因为a2，a3，a6成等比数列，所以a32=a2⋅a6，即（1+d）2＝1+4d，解得d＝2，或d＝0（舍去），所以{a n}的通项公式为a n＝a2+（n﹣2）d＝2n﹣3；（Ⅱ）因为a n ＝2n ﹣3， 所以S n =n(a 1+a n )2=n(a 2+a n−1)2=n 2−2n ， 依题意有n 2﹣2n ＞35， 解得n ＞7，使S n ＞35成立的n 的最小值为8．18．如图，在四棱锥P ﹣ABCD 中，底面ABCD 为菱形，且∠DAB ＝60°，△ADP 为等边三角形．（1）求证：AD ⊥PB ；（2）若AB ＝2，BP =√6，求点C 到平面PBD 的距离．【解答】解：（1）证明：取AD 中点O ，连接PO ，BO ，∵在四棱锥P ﹣ABCD 中，底面ABCD 为菱形，且∠DAB ＝60°，△ADP 为等边三角形， ∴PO ⊥AD ，BO ⊥AD ，∵PO ∩BO ＝O ，∴AD ⊥平面POB ， ∵PB ⊂平面POB ，∴AD ⊥PB ；（2）∵AB ＝2，∴PO ＝BO =√22−12=√3， ∵BP =√6，∴PO 2+BO 2＝PB 2，∴PO ⊥BO ， ∵PO ⊥AD ，AD ∩BO ＝O ，∴PO ⊥平面ABCD ， 设点C 到平面PBD 的距离为h ， ∵S △BDC =12×2×2×sin60°=√3， S △PBD =12×√6×22−(√62)2=√152， V P ﹣BDC ＝V C ﹣BDP ， ∴13×S △BDC ×PO =13×S △PBD ×ℎ，∴点C 到平面PBD 的距离为h =13×√3×√313×√152=2√155．19．某果园新采摘了一批苹果，从中随机抽取50个作为样本，称出它们的重量（单位：克），将重量按照[120，140），[140，160），[160，180），[180，200]进行分组，得到频率分布直方图如图所示（同一组中的数据以该组区间的中点值为代表）．（Ⅰ）估计这批苹果的重量的平均数；（Ⅱ）该果园准备把这批苹果销售给一家超市，根据市场行情，有两种销售方案：方案一：所有苹果混在一起，价格为1元千克；方案二：将不同重量的苹果分开，重量不小于160克的苹果的价格为1.2元/千克，重量小于160克的苹果的价格为0.8元/千克，但果园需支付每1000个苹果5元的分拣费．分别估计并比较两种方案下果园销售10000个苹果的收入．【解答】解：（Ⅰ）由频率和为1知，（0.016+0.015+a+0.009）×20＝1，解得a＝0.01；50个苹果重量的平均数x=0.2×130+0.3×150+0.32×170+0.18×190＝159.6；估计这批苹果的重量的平均数为159.6（克）．（Ⅱ）若采用方案一，估计销售收入约为159.6×10000×11000=1596（元）；若采用方案二，重量小于160克的苹果总重量约为（10000×0.2×130+10000×0.3×150）×11000=710（千克），所以重量不小于160克的苹果总重量约为（10000×0.32×170+10000×0.18×190）×11000=886（千克）；由此估计销售收入约为710×0.8+886×1.2﹣50＝1581.2（元）；所以方案一的销售收入更高．20．已知中心在原点，焦点在x 轴上的椭圆C 的长半轴长为2，且经过点M （1，32）；过点P （2，1）的直线l 与椭圆C 相交于不同的两点A ，B ． （Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）是否存在直线l ，满足PA →•PB →=PM →2，若存在，求出直线l 的方程；若不存在，请说明理由．【解答】解：（Ⅰ）∵中心在原点，焦点在x 轴上的椭圆C 的长半轴长为2，且经过点M （1，32），∴设椭圆C 的方程为x 2a 2+y 2b 2=1，a ＞b ＞0，由题意得{a =21a2+94b2=1，解得b 2＝3，∴椭圆C 的方程为x 24+y 23=1．（Ⅱ）∵过点P （2，1）的直线l 与椭圆C 相交于不同的两点A ，B ， ∴若存在直线l 满足题意，则直线l 的斜率必存在， 设直线l 的方程为：y ＝k （x ﹣2）+1，由{x 24+y 23=1y =k(x −2)+1，得（3+4k 2）x 2﹣8k （2k ﹣1）x +16k 2﹣16k ﹣8＝0， ∵直线l 与椭圆C 相交于不同的两点A 、B ， 设A 、B 两点的坐标分别为（x 1，y 1），（x 2，y 2），∴Δ＝[﹣8k （2k ﹣1）]2﹣4（3+4k 2）（16k 2﹣16k ﹣8）＞0， 整理，得32（6k +3）＞0，解得k ＞−12， 又x 1+x 2=8k(2k−1)3+4k2，x 1x 2=16k 2−16k−83+4k2，∵PA →⋅PB →=PM →2，即（x 1﹣2）（x 2﹣2）+（y 1﹣1）（y 2﹣1）=54， ∴（x 1﹣2）（x 2﹣2）（1+k 2）＝|PM |2=54， ∴[x 1x 2﹣2（x 1+x 2）+4]（1+k 2）=54， ∴[16k 2−16k−83+4k 2−2⋅8k(2k−1)3+4k 2+4]（1+k 2）=4+4k 23+4k2=54，解得k =±12，∵k ＞−12，∴k =12， ∴存在直线l 满足条件，其方程为y =12x ． 21．已知函数f （x ）＝x 2﹣ax ﹣lnx ．（1）当a ＝﹣1时，求函数f （x ）的单调区间； （2）若函数f （x ）的最小值为﹣e 2，求参数a 的值．【解答】解：（1）当a ＝﹣1时，f （x ）＝x 2+x ﹣lnx （x ＞0）求导得：………………………（1分）f′(x)=2x +1−1x =2x 2+x−1x⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（2分） 令2x 2+x ﹣1＝（2x ﹣1）（x +1）＝0，则x 1＝﹣1（舍）；x 2=12⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（3分） ∴当x ∈(0，12)，f '（x ）＜0，f （x ）在区间(0，12)单调递减； 当x ∈(12，+∞)，f '（x ）＞0，f （x ）在区间(12，+∞)单调递增；∴函数f （x ）的单调减区间为(0，12)，单调增区间为(12，+∞)⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（4分） （2）f （x ）＝x 2﹣ax ﹣lnx （x ＞0）求导得：f′(x)=2x −a −1x =2x 2−ax−1x⋯⋯（5分） 令h （x ）＝2x 2﹣ax ﹣1，则Δ＝a 2+8＞0，且h （x ）开口向上，h （0）＝﹣1………（6分）∴存在x 0＞0，使得h （x 0）＝0…………………………………………………………（7分） 当x ∈（0，x 0），f '（x ）＜0，f （x ）在区间（0，x 0）单调递减；当x ∈（x 0，+∞），f '（x ）＞0，f （x ）在区间（x 0，+∞）单调递增；……………………（8分）f(x)min =f(x 0)=−e 2，即x 02−ax 0−lnx 0=−e 2，2x 02−ax 0−1=0⋯⋯⋯⋯（9分）两式相减得：x 02+lnx 0−1−e 2=0，令t （x ）＝x 2+lnx ﹣1﹣e 2（x ＞0），……（10分） t′(x)=2x +1x＞0(x ＞0)，∴函数t （x ）在区间（0，+∞）单调递增，且t （e ）＝0， ∴x 0＝e ，∴e 2﹣ae ﹣lne ＝﹣e 2，a =2e −1e ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（12分）四、解答题（共2小题，满分0分）22．在直角坐标系xOy 中，圆C 的参数方程为{x =1+cosφy =sinφ（φ为参数），以O 为极点，x轴非负半轴为极轴建立极坐标系．直线l 的极坐标方程是2ρsin （θ+π3）＝3√3． （1）求圆C 的极坐标方程和直线l 的直角坐标方程；（2）射线OM ：θ=π3与圆C 的交点为O ，P ，与直线l 的交点为Q ，求△CPQ 的面积． 【解答】解：（1）∵cos 2φ+sin 2φ＝1，又∵圆C 的参数方程为{x =1+cosφy =sinφ（φ为参数），∴（x ﹣1）2+y 2＝1，∴ρ2﹣2ρcos θ＝0，即ρ＝2cos θ，∵直线l 的极坐标方程是2ρsin （θ+π3）＝3√3． ∴直线l 的直角坐标方程为√3x +y −3√3=0． （2）设（ρ1，θ1）为点P 的极坐标， 由{ρ1=2cosθ1θ1=π3，解得{ρ1=1θ1=π3，即P （1，π3），设（ρ2，θ2）为点Q 的极坐标，由{ρ2(sinθ2+√3cosθ2)=3√3θ2=π3，解得{ρ2=3θ2=π3，即Q(3，π3)， ∵θ1＝θ2，∴|PQ |＝|ρ1﹣ρ2|＝2，点C 到OM 的距离为√32， 故△CPQ 的面积为12×2×√32=√32． 23．已知函数f （x ）＝|2x ﹣m |．（1）当m ＝1时，求函数g （x ）＝f （x ）+|2x +5|的最小值；（2）若f （x ）≤1的解集为[1，2]，且a +3b ＝m （a ＞0，b ＞0），求a 2+9b 2的最小值． 【解答】解：（1）当m ＝1时，g （x ）＝|2x ﹣1|+|2x +5|，所以g （x ）≥|（2x ﹣1）﹣（2x +5）|＝6，当−52≤x ≤12时等号成立， ∴函数g （x ）的最小值为6； （2）由|2x ﹣m |≤1得m−12≤x ≤m+12，因为f （x ）≤1的解集为[1，2]，∴{m−12=1m+12=2，解得m ＝3，∴a +3b ＝3，∵a ＞0，b ＞0，∴6a ⋅b =2(a ⋅3b)≤2(a+3b 2)2=2⋅94=92（当且仅当a =3b =32时取等号）， ∴a 2+9b 2=(a +3b)2−6ab ≥32−92=92（当且仅当a =32，b =12时取等号）， ∴a 2+9b 2的最小值为92．。
高考一模数学试卷(理)含答案试卷分析解析
太原五中-第二学期阶段性检测高 三 数 学（理）出题人、校对人：刘晓瑜、郭舒平、董亚萍、刘锦屏、凌河、闫晓婷（.4.2） 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1、已知{}{}2ln(1),2,xP x y x Q y y x P ==-==∈,则=PQ （ ）.A (0,1) .B 1(,1)2 .C 1(0,)2.D (1,2)2、已知复数(2a iz i i+=-为虚数单位)在复平面内对应的点在第三象限，则实数a 的取值范围是（ ）.A 1(2,)2- .B 1(,2)2- .C (,2)-∞- .D 1(+)2∞， 3、在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别是,,a b c ，若直线cos cos 0bx y A B ++=与cos cos 0ax y B A ++=平行，则ABC ∆一定是（ ）.A 锐角三角形 .B 等腰三角形 .C 直角三角形 .D 等腰或直角三角形4、在区间[1,5]随机地取一个数m ，则方程22241x m y +=表示焦点在y 轴上的椭圆的概率是（ ）.A 15 .B 14 .C 35 .D 345、若2012(21)n n n x a a x a x a x +=++++的展开式中的二项式系数和为32，则12+n a a a ++=（ ）.A 241 .B 242 .C 243 .D 2446、《算法统宗》是中国古代数学名著，由明代数学家程大位所著，该著作完善了珠算口诀，确立了算盘用法，完成了由筹算到珠算的彻底转变，对我国民间普及珠算和数学知识起到了很大的作用．如图所示的程序框图的算法思路源于该著作中的“李白沽酒”问题，执行该程序框图，若输出的m 的值为0，则输入的a 的值为（ ）.A 218 .B 4516 .C 9332.D 189647、已知等比数列{}n a 的前n 项和是n S ，则下列说法一定成立的是（ ）.A 若30a >，则20150a < .B 若40a >，则20140a < .C 若30a >，则20150S > .D 若40a >，则20140S >8、已知k R ∈，点(,)P a b 是直线2x y k +=与圆22223x y k k +=-+的公共点，则ab 的最大值为（ ）.A 15 .B 9 .C 1 .D 53-9、若不等式组20510080x y x y x y -+≥⎧⎪-+≤⎨⎪+-≤⎩，所表示的平面区域存在点00(,)x y ，使00+20x ay +≤成立，则实数a 的取值范围是（ ）.A 1a ≤- .B 1a <- .C 1a > .D 1a ≥10、平行四边形ABCD 中，1,1,2-=⋅==AD AB AD AB ，点M 在边CD 上，则MB MA ⋅的最大值为（ ）.A 5 .B 2 .C 1- .D 111、已知12,F F 是双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的左、右焦点，过1F 的直线l 与双曲线的左支交于点A ，与右支交于点B ，若a AF 21=，3221π=∠AF F ，则=∆∆221ABF F AF S S （ ）.A 1 .B 21 .C 31 .D 3212、不等式2ln (2)2x x x m x m ++-≤有且只有一个整数解，则m 的取值范围为（ ）.A [1,)-+∞ .B (,44ln 2][1,)-∞---+∞ .C (,33ln3][1,)-∞---+∞ .D (44ln 2,33ln3][1,)-----+∞第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分.第13题—第21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22题—第23题为选考题，考生根据要求作答.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分 13、121(1sin 2)x x dx --+=⎰.14、已知函数()x f x e =，2()1(,)g x ax bx a b R =++∈，当0a =时，若()()f x g x ≥对任意的x R ∈恒成立，则b 的取值范围是 .15、如图是某四面体的三视图，则该四面体的体积为 .16、已知数列{}n a 满足22(2)(2)n n na n a n n λ+-+=+，其中121,2a a ==，若1n n a a +<对n N *∀∈恒成立，则实数λ的取值范围是 .三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17、（本小题满分12分） 已知23BAC P π∠=，为BAC ∠内部一点，过点P 的直线与BAC ∠的两边交于点,B C ，且,3PA AC AP ⊥=.（1）若3AB =，求PC ；（2）求11PB PC+的取值范围. 18、（本小题满分12分）如图，在四棱锥P ABCD -中，四边形ABCD 是菱形，对角线AC 与BD 的交点为O ,2,6,60PD PB AB PA BCD ====∠=.（1）证明：PO ⊥平面ABCD ；（2）在棱CD 上是否存在点M ，使平面ABP 与平面MBP 所成锐二面角的余弦值为55?若存在，请指出M 点的位置；若不存在，请说明理由. 19、（本小题满分12分）正视图侧视图俯视图12 212 APBCD OA CPB在2月K12联盟考试中，我校共有500名理科学生参加考试，其中语文考试成绩近似服从正态分布2(95,17.5)N ，数学成绩的频率分布直方图如图：（1）如果成绩大于130的为特别优秀，这500名学生中本次考试语文、数学成绩特别优秀的大约各多少人？（2）如果语文和数学两科都特别优秀的共有6人，从（1）中的这些同学中随机抽取3人，设三人中两科都特别优秀的有X 人，求X 的分布列和数学期望．（3）根据以上数据，是否有99%以上的把握认为语文特别优秀的同学，数学也特别优秀？ ①若X ~2(,)N μσ，则()0.68,(22)0.96P X P X μσμσμσμσ-<≤+=-<≤+=②22()=()()()()n ad bc K a b c d a c b d -++++③20()P K K ≥0.50 0.40 … 0.010 0.005 0.001 0K0.455 0.708…6.6357.87910.82820、（本小题满分12分）已知椭圆)0(1:22221>>=+b a by a x C ，F 为左焦点，A 为上顶点，)0,2(B 为右顶点，若AB AF 27=，抛物线2C 的顶点在坐标原点，焦点为F . （1）求1C 的标准方程；数学成绩50 70 150 130110 90 0.00120.008 0.0088 0.024频率/组距（2）是否存在过F 点的直线，与1C 和2C 交点分别是P ，Q 和M ，N ，使得OMN OPQ S S ∆∆=21？如果存在，求出直线的方程；如果不存在，请说明理由.21、（本小题满分12分） 已知函数()(2)()xf x x e ax =--.（1）当0a >时，讨论)(x f 的极值情况； （2）若(1)[()]0x f x a e --+≥，求a 的值.请考生从第22、23 题中任选一题作答，并用2B 铅笔将答题卡上所选题目对应的题号右侧方框涂黑，按所选涂题号进行评分；多涂、多答，按所涂的首题进行评分；不涂，按本选考题的首题进行评分.22、（本小题满分10分）【选修4——4：坐标系与参数方程】 在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为2+2cos 2sin x ty t =⎧⎨=⎩（t 为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，并使得它与直角坐标系xOy 有相同的长度单位，曲线2C 的极坐标方程为2sin ρθ=，曲线3C 的极坐标方程为=(0)6πθρ>.（1）求曲线1C 的普通方程和3C 的直角坐标方程； （2）设3C 分别交1C 、2C 于点P 、Q ，求1C PQ ∆的面积. 23、（本小题满分10分）【选修4——5：不等式选讲】 已知函数()||21f x x m x =++-. （1）当=1m 时，解不等式()3f x ≥； （2）若14m <，且当[,2]x m m ∈时，不等式1()12f x x ≤+恒成立，求实数m 的取值范围．理科数学 参考答案1.B2.C3.C 【解析】由两直线平行可得cos cos 0b B a A -=，由正弦定理可得sin cos sin cos 0B B A A -=，即11sin 2sin 222A B =，又,(0,)+(0,)A B A B ππ∈∈，，所以22A B =或2+2=A B π，即A B =或+=2A B π，当A B =时，cos cos a b A B ==，，此时两直线重合，不符合题意，舍去.则ABC ∆是直角三角形. 4. B 5. B 6.C7.C 【解析】等比数列的公比0q ≠，若30a >，则2201411201510,0,0a q a a a q>∴>∴=>，所以A 错误；若40a >，则3201311201410,0,0a q a q a a q>∴>∴=>，所以B 错误；若30a >，则312=0,1a a q q>∴=时，20150S >，1q ≠时，201512015(1)=0(11a q S q q ->--与20151q -同号），所以C 一定成立；易知D 不成立. 8.B 【解析】由题意得：d =≤，且2230k k -+>，解得31k -≤≤ .2222222=()()4(23)323ab a b a b k k k k k +-+=--+=+-，所以：当=3k -时，ab 取到最大值9.9. A 【解析】由线性区域可得00y >，由题意得0max 02()x a y +≤-，002yx +表示(2,0)-与00(,)x y 031y ，所以002713x y +-≤-≤-，1a ≤-.10.B 11.B12.D 【解析】由2ln (2)2x x x m x m ++-≤得2ln 2(2)x x x x x m +-≤-，所以当2x >时，满足2ln 2(2)x x x xm x +-≥-只有一个整数解或当02x <<时，满足2ln 2(2)x x x xm x +-≤-只有一个整数解.令2ln 2()(2)x x x x f x x +-=-，所以222ln 32()(2)x x x f x x -+-'=-，令2()2ln 32g x x x x =-+-，得(21)(2)()x x g x x--'=-，所以()g x 在(0,2)单调递增，(2)+∞，单调递减，所以max ()(2)2ln 24622ln 20g x g ==-+-=>，又(1)0g =， (3)2ln 320,(4)4ln 260g g =->=-<，所以存在0(3,4)x ∈，使0()=0g x ，所以()f x 在(0,1)，0(,)x +∞单调递减，在(1,2)，0(2,)x 单调递增，所以当(0,2)x ∈时，min ()(1)1f x f ==-，当(2,)x ∈+∞时，max 0()()f x f x =，又(3)33ln3(1),(4)44ln 2(1)f f f f =--<=--<，且16(3)(4)ln027ef f -=>，所以2ln 2(2)x x x x x m +-≤-有且只有一个整数解的解为1x =或3x =，所以(1)m f >或(4)(3)f m f <≤，即1m ≥-或44ln 233ln3m --<≤--13.2π 14. 1 15. 2 16. [0,)+∞17. 【解析】（1）2=326BAC PAC BAP πππ∠=∠∴∠=，，，在PAB ∆中，由余弦定理知2222cos36PB AP AB AP AB π=+-=，得PB AP ，则233BPA APC ππ∠=∠=，.在直角APC ∆中，=23cos3AP PC π=.（2）设APC θ∠=，则6ABP πθ∠=-，在直角APC ∆中，=cos APPC θ，在PAB ∆中，由正弦定理知,sin()sin2sin()666AP PB AP PB πππθθ=∴=-- .所以2sin()11cos 3sin 6=sin PB PC AP AP APπθθθθ-++==，由题意知1,sin 1622ππθθ<<∴<<，所以11PB PC +的取值范围是1(,1)2. 18.【解析】（Ⅰ）证明：∵ PD ＝PB ，且O 为BD 中点，∴ PO ⊥BD. 在菱形ABCD 中，∵ ∠BCD ＝600，AB ＝2，∴ OA ＝3，OB ＝1. 又PB ＝2， ∴ PO ＝ 3.∵ PA ＝6，∴ PA 2＝PO 2＋OA 2，PO ⊥OA. ∵ BD ∩AO ＝O ，∴ PO ⊥平面ABCD ； （Ⅱ）建立如图所示坐标系，则A(3，0，0)，B(0，1，0)，C(－3，0，0)，D(0，－1，0)，P(0，0，3).∴ → AB ＝(－3，1，0)，→ BP ＝(0，－1，3)，→ BC ＝(－3，－10)，→ CD ＝(3，-1，0)，设平面ABP 的一个法向量为n 1，由⎩⎪⎨⎪⎧n 1·→ AB ＝0n 1·→ BP ＝0 得n 1＝(1，3，1)设→ CM ＝λ→ CD ，则→ BM ＝→ BC ＋→ CM ＝→ BC ＋λ→CD ＝(3(λ-1)，－(λ+1)，0).设平面BPM 的一个法向量为n 2，由⎩⎪⎨⎪⎧n 2·→ BM ＝0n 2·→BP ＝0 得n 2＝(λ+1，3(λ－1)，λ－1) 由 |cos < n 1，n 2>|＝|5λ－3|5(λ+1)2+4(λ－1)2＝55 得 5λ2－6λ＋1＝0，∴ λ＝1或λ＝15 . 即，当点M 与点D 重合或|→ CM|＝15 |→ CD|时，锐二面角的余弦值为55.19.【解析】解：（1）∵语文成绩服从正态分布2(95,17.5)N ， ∴语文成绩特别优秀的概率为11(130)(10.96)0.022p P X =≥=-⨯=， zA PB CDOx y M数学成绩特别优秀的概率为20.0012200.024p =⨯=， ∴语文特别优秀的同学有5000.02=10⨯人， 数学特别优秀的同学有5000.024=12⨯人．（2）语文数学两科都优秀的有6人，单科优秀的有10人，X 的所有可能取值为0,1,2,3，321101063316161231066331616327(0),(1),1456151(2),(3),5628C C C P X P X C C C C C P X P X C C ============∴X 的分布列为：X0 1 2 3P314 2756 1556 1283271519()0123145656288E X =⨯+⨯+⨯+⨯=.（3）2×2列联表：语文特别优秀 语文不特别优秀 合计数学特别优秀 6 6 12 数学不特别优秀4 484 488 合计10490500∴22500(648446)=144.5 6.6351049012488K ⨯⨯-⨯≈>⨯⨯⨯ ∴有99%以上的把握认为语文特别优秀的同学，数学也特别优秀．20. 【解析】（Ⅰ）依题意可知=，即2227b a a +=，由右顶点为)0,2(B ，得2=a ，解得32=b ，所以1C 的标准方程为13422=+y x . （Ⅱ）依题意可知2C 的方程为x y 42-=，假设存在符合题意的直线，设直线方程为1-=ky x ，),(11y x P ，),(22y x Q ，),(33y x M ，),(44y x N ,联立方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+-=134122y x ky x ，得096)43(22=--+ky y k ， 由韦达定理得436221+=+k k y y ，439221+-=k y y ，则431122221++=-k k y y ，联立方程组⎩⎨⎧-=-=xy ky x 412，得0442=-+ky y ，由韦达定理得k y y 443-=+，443-=y y ，所以14243+=-k y y ，若OMN OPQ S S ∆∆=21，则432121y y y y -=-，即1243112222+=++k k k ，解得36±=k ，所以存在符合题意的直线方程为0136=++y x 或0136=+-y x . 21.【解析】（1）已知()()(2)()(1)2(1)(1)(2)x x x xf x e ax x e a x e a x x e a '=-+--=---=--因为0a >，由()0f x '=得1x =或ln 2x a =.① 当=2e a 时，()(1)()0xf x x e e '=--≥，()f x 单调递增，故()f x 无极值； ② 当02ea <<时，ln21a <，则所以：()f x 有极大值2(ln 2)=(ln 22)f a a a --，极小值(1)=f a e - ③2ea >时，ln21a >，则所以：()f x 有极大值(1)=f a e -，极小值2(ln 2)=(ln 22)f a a a -- 综上所述：02e a <<时，()f x 有极大值2(ln 22)a a --，极小值a e -； =2ea 时，()f x 无极值；2e a >时，()f x 有极大值a e -，极小值2(ln 22)a a --； （2）令()()g x f x a e =-+，则(1)()0x g x -≥， 且()()(1)(2)xg x f x x e a ''==--①0a ≤时，20xe a ->，所以当1x <时，()0g x '<，()g x 单调递减，所以()(1)0g x g >=，此时(1)()0x g x -<，不满足题意；③ 由于()g x 与()f x 由相同的单调性，由（1）知a.当=2ea 时，()g x 在R 上单增，且(1)=0g ，所以1x ≥时，()0g x ≥，1x <时，()0g x <， 所以当=2ea 时，恒有(1)()0x g x -≥，满足题意； b.当02ea <<时，()g x 在(ln 2,1)a 上单减，所以(ln 2,1)x a ∈时，()(1)=0g x g >，此时 (1)()0x g x -<，不满足题意；c.当2ea >时，()g x 在(1,ln 2)a 递减，所以当(1,ln 2)x a ∈时，()(1)=0g x g <，此时 (1)()0x g x -<，不满足题意；综上：=2e a .22.【解析】（1）曲线1C 的普通方程：22(2)4x y -+=，即22-40x y x +=.所以1C 的极坐标方程为24cos 0ρρθ-=，即=4cos ρθ. 曲线3C的直角坐标方程：(0)y x x =>，...........5分 （2）依题意，设点P 、Q 的极坐标分别为12(,),(,)66ππρρ. 将=6πθ代入=4cos ρθ，得1ρ，将=6πθ代入=2sin ρθ，得2=1ρ，所以121PQ ρρ=-=，依题意得，点1C 到曲线=6πθ的距离为1sin16d OC π==.所以1111(231)222C PQ S PQ d ∆===. ......10分 23. 【解析】（1）当=1m 时，()|1|21f x x x =++-，则-3(1)1()2-(1)213()2x x f x xx x x ⎧⎪<-⎪⎪=-≤≤⎨⎪⎪>⎪⎩，由()3f x ≥解得1x ≤-或1x ≥，即原不等式的解集为(,1][1,)-∞-⋃+∞........5分（2）1()12f x x ≤+，即11+2-1122x m x x +≤+，又[,2]x m m ∈且14m <， 所以10,4m <<且0x > 所以11+121222m x x x ≤+--.即221m x x ≤+--.令()221t x x x =+--，则131(0)2()13()2x x t x x x ⎧+<<⎪⎪=⎨⎪-≥⎪⎩，所以[,2]x m m ∈时，min ()()=31t x t m m =+， 所以31m m ≤+，解得12m ≥-， 所以实数m 的取值范围是1(0,)4. ......10分。
陕西省西安市2021届高三一模数学试卷及答案(理科)
2021年陕西省西安市高考数学第一次质检试卷（理科）（一模）一、选择题（共12小题）.1．已知集合M＝{x|x2﹣3x﹣10＜0}，，则（∁R N）∩M为（）A．{x|3＜x＜5}B．{x|x＜﹣3或x＞5}C．{x|﹣3≤x≤﹣2}D．{x|﹣3＜x＜5} 2．i（2+3i）＝（）A．3﹣2i B．3+2i C．﹣3﹣2i D．﹣3+2i3．已知点A（﹣2，3）在抛物线y2＝2px的准线上，则p＝（）A．1B．2C．4D．84．已知首项为最小正整数，公差不为零的等差数列{a n}中，a2，a8，a12依次成等比数列，则a4的值是（）A．B．C．﹣26D．585．从点P（m，3）向圆（x﹣2）2+y2＝1引切线，则切线长的最小值（）A．B．5C．D．6．某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积是（）A．6B．8C．12D．247．已知函数f（x）＝sin（2x+φ）其中φ∈（0，2π），若对于一切x∈R恒成立，则f（x）的单调递增区间是（）A．B．C．D．8．已知定义域为R的函数f（x）满足f（x+2）＝f（x），且当0≤x≤1时，f（x）＝lg（x2+2），则f（﹣2021）＝（）A．﹣lg3B．lg9C．lg3D．09．直线y＝kx+1与曲线f（x）＝alnx+b相切于点P（1，2），则2a+b＝（）A．4B．3C．2D．110．设图F1、F2分别为双曲线的左、右焦点，双曲线上存在一点P使得|PF1|+|PF2|＝3b，|PF1|•|PF2|＝ab，则该双曲线的离心率为（）A ．B ．C ．D．311．天干地支纪年法（简称干支纪年法）是中国历法上自古以来就一直使用的纪年方法．天干有十，即：甲、乙，丙、丁、戊、己、庚，辛，壬、癸；地支有十二，即：子、丑、寅、卯、辰，巳、午，未、申、酉、戌、亥．干支纪年法中，天干地支对应的规律如表：天干甲乙丙丁戊己庚辛壬癸甲乙丙…地支子丑寅卯辰巳午未申酉戌亥子…干支纪年甲子年乙丑年丙寅年丁卯年戊辰年己巳年庚午年辛未年壬申年癸酉年甲戌年乙亥年丙子年…2049年是新中国成立100周年．这一百年，中国逐步实现中华民族的伟大复兴．使用干支纪年法，2049年是己巳年，则2058年是（）年．A．己巳B．甲申C．戊寅D．丙戌12．已知正方体的外接球与内切球上各有一个动点M、N，若线段MN 的最小值为，则下列结论不正确的是（）A．正方体的外接球的表面积为12πB ．正方体的内切球的体积为C．正方体的棱长为2D．线段MN 的最大值为二、填空题（共4小题）.13．已知向量，，若，则k ＝．14．在（x﹣）6展开式中，常数项为．（用数值表示）15．已知实数x，y满足约束条件，则z＝3x+2y的最大值．16．已知数列{a n}的前n项和为S n，满足a1＝+1，则数列{a n}的前16项和S16＝．三、解答题（第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22，23题为选考题，考生根据要求作答．）（一）必考题：共60分．17．在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，a＝2．（1）若，求角B；（2）若c＝2b，当角B最大时，求△ABC的面积．18．为了推进分级诊疗，实现“基层首诊，双向转诊，急慢分治、上下联动”的诊疗模式，某地区自2016年起全面推行家庭医生签约服务．已知该地区居民约为2000万．从1岁到101岁的居民年龄结构的频率分布直方图如图甲所示．为了解各年龄段居民签约家庭医生的情况，现调查了1000名年满18周岁以上的居民，各年龄段被访者签约率如图乙所示．（1）估计该地区年龄在71～80岁且已签约家庭医生的居民人数；（2）若以图中年龄在71～80岁居民签约率作为此地区该年龄段每个居民签约家庭医生的概率，则从该地区年龄在71～80岁居民中随机抽取三人，以已签约家庭医生的居民为变量X，求这三人中恰有二人已签约家庭医生的概率；并求变量X的数学期望和方差．19．如图，AB是半圆O的直径，C是半圆O上除A，B外的一个动点，DC垂直于半圆O 所在的平面，DC∥EB，DC＝EB＝1，AB＝4．（1）证明：平面ADE⊥平面ACD；（2）当C点为半圆的中点时，求二面角D﹣AE﹣B的余弦值．20．已知椭圆离心率为，点A，B，D，E分别是C的左，右，上，下顶点，且四边形ADBE的面积为．（1）求椭圆C的标准方程；（2）已知F是C的右焦点，过F的直线交椭圆C于P，Q两点，记直线AP，BQ的交点为T，求证：点T横坐标为定值．21．已知函数f（x）＝e x（x+a），其中e是自然对数的底数，a∈R．（1）求函数f（x）的单调区间；（2）设g（x）＝f（x﹣a）﹣x2，讨论函数g（x）零点的个数，并说明理由．（二）选考题：共10．请考生在第22，23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知圆C 的极坐标方程为ρ2+12ρcosθ+11＝0．（1）求圆心C的直角坐标；（2）若直线l的参数方程是（t为参数），l与C交于A，B两点，，求l的斜率．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝x2+1，g（x）＝|x﹣a|﹣|2x﹣1|，a≥．（1）当a＝时，解不等式g（x2）＜﹣；（2）对任意x1，x2∈R．若不等式f（x1）≥g（x2）恒成立，求实数a的取值范围．参考答案一、选择题（共12小题）.1．已知集合M＝{x|x2﹣3x﹣10＜0}，，则（∁R N）∩M为（）A．{x|3＜x＜5}B．{x|x＜﹣3或x＞5}C．{x|﹣3≤x≤﹣2}D．{x|﹣3＜x＜5}解：∵集合M＝{x|x2﹣3x﹣10＜0}＝{x|﹣2＜x＜5}，＝{x|﹣3≤x≤3}，∴∁R N＝{x|x＜﹣3或x＞3}，∴（∁R N）∩M＝{x|3＜x＜5}．故选：A．2．i（2+3i）＝（）A．3﹣2i B．3+2i C．﹣3﹣2i D．﹣3+2i解：i（2+3i）＝2i+3i2＝﹣3+2i．故选：D．3．已知点A（﹣2，3）在抛物线y2＝2px的准线上，则p＝（）A．1B．2C．4D．8解：由已知得，抛物线y2＝2px的准线方程为，且过点A（﹣2，3），故，p＝4．故选：C．4．已知首项为最小正整数，公差不为零的等差数列{a n}中，a2，a8，a12依次成等比数列，则a4的值是（）A．B．C．﹣26D．58解：设公差不为零的等差数列{a n}的公差为d（d≠0），∵a2，a8，a12依次成等比数列，∴a82＝a2a12，即（a1+7d）2＝（a1+d）（a1+11d），可得19d2＝﹣a1d，∵d≠0，∴a1＝﹣19d，又由已知可得a1＝1，在，因此，，故选：A．5．从点P（m，3）向圆（x﹣2）2+y2＝1引切线，则切线长的最小值（）A．B．5C．D．解：设切线长为d，由题设条件可得：d2＝（m﹣2）2+（3﹣0）2﹣1＝（m﹣2）2+8≥8，∴，当且仅当m＝2时取“＝“，故选：D．6．某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积是（）A．6B．8C．12D．24解：根据几何体的三视图转换为几何体为：如图所示：所以，由于锥体的高为4，故．故选：B．7．已知函数f（x）＝sin（2x+φ）其中φ∈（0，2π），若对于一切x∈R恒成立，则f（x）的单调递增区间是（）A．B．C．D．解：函数f（x）＝sin（2x+φ），其中φ∈（0，2π），若对于一切x∈R 恒成立，则2×+φ＝2kπ+，k∈Z，所以φ＝2kπ+，k∈Z，由于φ∈（0，2π），所以φ＝，即f（x）＝sin（2x+），令2kπ﹣≤2x+≤2kπ+，k∈Z，解得kπ﹣≤x≤kπ+，k∈Z，即f（x）的单调递增区间是．故选：B．8．已知定义域为R的函数f（x）满足f（x+2）＝f（x），且当0≤x≤1时，f（x）＝lg（x2+2），则f（﹣2021）＝（）A．﹣lg3B．lg9C．lg3D．0解：根据题意，定义域为R的函数f（x）满足f（x+2）＝f（x），则f（x）是周期为2的周期函数，则有f（﹣2021）＝f（1﹣2×1011）＝f（1），又由当0≤x≤1时，f（x）＝lg（x2+2），则f（1）＝lg3，则f（﹣2021）＝f（1）＝lg3，故选：C．9．直线y＝kx+1与曲线f（x）＝alnx+b相切于点P（1，2），则2a+b＝（）A．4B．3C．2D．1解：直线y＝kx+1与曲线f（x）＝alnx+b相切于点P（1，2），可得k+1＝2，即k＝1，f（1）＝b＝2，f（x）的导数为f′（x ）＝，即有a＝1，则2a+b＝2+2＝4．故选：A．10．设图F1、F2分别为双曲线的左、右焦点，双曲线上存在一点P使得|PF1|+|PF2|＝3b，|PF1|•|PF2|＝ab，则该双曲线的离心率为（）A ．B ．C ．D．3解：由双曲线的定义得：|PF1|﹣|PF2|＝2a，（不妨设该点在右支上）又|PF1|+|PF2|＝3b ，所以，两式相乘得．结合c2＝a2+b2得．故e ＝．故选：B．11．天干地支纪年法（简称干支纪年法）是中国历法上自古以来就一直使用的纪年方法．天干有十，即：甲、乙，丙、丁、戊、己、庚，辛，壬、癸；地支有十二，即：子、丑、寅、卯、辰，巳、午，未、申、酉、戌、亥．干支纪年法中，天干地支对应的规律如表：天干甲乙丙丁戊己庚辛壬癸甲乙丙…地支子丑寅卯辰巳午未申酉戌亥子…干支纪年甲子年乙丑年丙寅年丁卯年戊辰年己巳年庚午年辛未年壬申年癸酉年甲戌年乙亥年丙子年…2049年是新中国成立100周年．这一百年，中国逐步实现中华民族的伟大复兴．使用干支纪年法，2049年是己巳年，则2058年是（）年．A．己巳B．甲申C．戊寅D．丙戌解：根据题意，列表如下：2049年是己巳年，往后数9年，可得2058年是戊寅．故选：C．12．已知正方体的外接球与内切球上各有一个动点M、N，若线段MN的最小值为，则下列结论不正确的是（）A．正方体的外接球的表面积为12πB．正方体的内切球的体积为C．正方体的棱长为2D．线段MN的最大值为解：设正方体的棱长为a，则正方体外接球半径为体对角线长的一半，即，内切球半径为棱长的一半，即．∵M、N分别为外接球和内切球上动点，∴，解得：a＝2．即正方体惨长为2，C正确；∴正方体外接球表面积为，A正确；内切球体积为，B正确；线段MN的最大值为，D错误．故选：D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知向量，，若，则k＝12．解：根据题意，向量，，则，若，则有，解得k＝12，故答案为：12．14．在（x﹣）6展开式中，常数项为﹣20．（用数值表示）解：二项式（x﹣）6＝[x+（﹣x﹣1）]6，其展开式的通项公式为：T r+1＝•x6﹣r•（﹣x﹣1）r＝（﹣1）r••x6﹣2r，当6﹣2r＝0时，得r＝3，所以展开式的常数项为：T4＝（﹣1）3•＝﹣20．故答案为：﹣20．15．已知实数x，y满足约束条件，则z＝3x+2y的最大值9．解：由约束条件直线可行域如图，令t＝x+2y，由图可知，当直线t＝x+2y过A时，t有最大值为t＝2，此时z＝3x+2y的最大值为9．故答案为：9．16．已知数列{a n}的前n项和为S n，满足a1＝+1，则数列{a n}的前16项和S16＝84．解：2（S n+2+S n）＝4S n+1+1，化为，即，∵，∴{a n}为等差数列，公差，∴．故答案为：84．三、解答题（共7．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22，23题为选考题，考生根据要求作答．）（一）必考题：共60分．17．在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，a＝2．（1）若，求角B；（2）若c＝2b，当角B最大时，求△ABC的面积．解：（1）因为，所以＝＝，整理可得a2+c2﹣b2＝ac，可得cos B＝＝＝，因为B∈（0，π），可得B＝．（2）在△ABC中，b2＝a2+c2﹣2ac cos B，c＝2b，所以cos B＝≥，当且仅当b＝时取等号，此时B＝，C＝，所以△ABC的面积S＝ab＝＝．18．为了推进分级诊疗，实现“基层首诊，双向转诊，急慢分治、上下联动”的诊疗模式，某地区自2016年起全面推行家庭医生签约服务．已知该地区居民约为2000万．从1岁到101岁的居民年龄结构的频率分布直方图如图甲所示．为了解各年龄段居民签约家庭医生的情况，现调查了1000名年满18周岁以上的居民，各年龄段被访者签约率如图乙所示．（1）估计该地区年龄在71～80岁且已签约家庭医生的居民人数；（2）若以图中年龄在71～80岁居民签约率作为此地区该年龄段每个居民签约家庭医生的概率，则从该地区年龄在71～80岁居民中随机抽取三人，以已签约家庭医生的居民为变量X，求这三人中恰有二人已签约家庭医生的概率；并求变量X的数学期望和方差．解：（1）由题知该地区居民约为2000万，由图1知，该地区年龄在71～80岁的居民人数为0.004×10×2000＝80万．由图2知．年龄在71～80岁的居民签概率为0.7．所以该地区年龄在71～80岁且已签约家庭医生的居民人数为80×0.7＝56万．（2）由题知此地区年龄段在71～80的每个居民签约家庭医生的概率为P＝0.7，且每个居民之间是否签约是独立的，所以设“从该地区年龄在71～80岁居民中随机抽取三人”为事件B，随机变量为X，这三人中恰有二人已签约庭医生的概率为：．数学期望E（X）＝3×0.7＝2.1，方差D（X）＝3×0.7×0.3＝0.63．19．如图，AB是半圆O的直径，C是半圆O上除A，B外的一个动点，DC垂直于半圆O 所在的平面，DC∥EB，DC＝EB＝1，AB＝4．（1）证明：平面ADE⊥平面ACD；（2）当C点为半圆的中点时，求二面角D﹣AE﹣B的余弦值．【解答】（1）证明：∵AB是圆O的直径，∴AC⊥BC，∵DC⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，∴DC⊥BC，又DC∩AC＝C，∴BC⊥平面ACD，∵DC∥EB，DC＝EB，∴四边形DCBE是平行四边形，∴DE∥BC，∴DE⊥平面ACD，又DE⊂平面ADE，∴平面ACD⊥平面ADE．（2）当C点为半圆的中点时，AC＝BC＝2，以C为原点，以CA，CB，CD为坐标轴建立空间坐标系如图所示：则D（0，0，1），E（0，2，1），A（2，0，0），B（0，2，0），∴＝（﹣2，2，0），＝（0，0，1），＝（0，2，0），＝（2，0，﹣1），设平面DAE的法向量为＝（x1，y1，z1），平面ABE的法向量为＝（x2，y2，z2），则，，即，，令x1＝1得＝（1，0，2），令x2＝1得＝（1，1，0）．∴cos＜＞＝＝＝．∵二面角D﹣AE﹣B是钝二面角，∴二面角D﹣AE﹣B的余弦值为﹣．20．已知椭圆离心率为，点A，B，D，E分别是C的左，右，上，下顶点，且四边形ADBE的面积为．（1）求椭圆C的标准方程；（2）已知F是C的右焦点，过F的直线交椭圆C于P，Q两点，记直线AP，BQ的交点为T，求证：点T横坐标为定值．解：（1）设椭圆C的半焦距为c，根据题意，，解得，所以椭圆的方程为+＝1．（2）证明：由（1）知A（﹣3，0），B（3，0），F（2，0），设T（x0，y0），P（x1，y1），Q（x2，y2），由k TA＝k PA，得＝，k TB＝k QB，得＝，两式相除得＝•，又+＝1，故﹣1＝﹣•＝﹣，故＝﹣，于是＝•＝﹣•，由于直线PQ经过点F，故设直线PQ的方程为x＝my+2，联立椭圆的方程可得（5m2+9）y2+20my﹣25＝0，所以，所以＝﹣•＝﹣•＝﹣•＝﹣•＝，解得x0＝，所以点T横坐标为定值．21．已知函数f（x）＝e x（x+a），其中e是自然对数的底数，a∈R．（1）求函数f（x）的单调区间；（2）设g（x）＝f（x﹣a）﹣x2，讨论函数g（x）零点的个数，并说明理由．解：（1）因为f（x）＝e x（x+a），所以f'（x）＝e x（x+a+1）．………………………………………………………………（1分）由f'（x）＞0，得x＞﹣a﹣1；由f'（x）＜0，得x＜﹣a﹣1．………………………………………………………………所以f（x）的增区间是（﹣a﹣1，+∞），减区间是（﹣∞，﹣a﹣1）．………………………（2）因为g（x）＝f（x﹣a）﹣x2＝xe x﹣a﹣x2＝x（e x﹣a﹣x）．由g（x）＝0，得x＝0或e x﹣a﹣x＝0．………………………………………………………………………设h（x）＝e x﹣a﹣x，又h（0）＝e﹣a≠0，即x＝0不是h（x）的零点，故只需再讨论函数h（x）零点的个数．因为h'（x）＝e x﹣a﹣1，所以当x∈（﹣∞，a）时，h'（x）＜0，h（x）单调递减；当x∈（a，+∞）时，h'（x）＞0，h（x）单调递增．…………………………………………所以当x＝a时，h（x）取得最小值h（a）＝1﹣a．………………………………………①当h（a）＞0，即a＜1时，h（x）＞0，h（x）无零点；…………………………………②当h（a）＝0，即a＝1时，h（x）有唯一零点；…………………………………………③当h（a）＜0，即a＞1时，因为h（0）＝e﹣a＞0，所以h（x）在（﹣∞，a）上有且只有一个零点．……………………………………………令x＝2a，则h（2a）＝e a﹣2a．设φ（a）＝h（2a）＝e a﹣2a（a＞1），则φ'（a）＝e a﹣2＞0，所以φ（a）在（1，+∞）上单调递增，所以，∀a∈（1，+∞），都有φ（a）≥φ（1）＝e﹣2＞0．所以h（2a）＝φ（a）＝e a﹣2a＞0．………………………………………………………所以h（x）在（a，+∞）上有且只有一个零点．所以当a＞1时，h（x）有两个零点．………………………………………………………综上所述，当a＜1时，g（x）有一个零点；当a＝1时，g（x）有两个零点；当a＞1时，g（x）有三个零点．……………………………………………………………（二）选考题：共10．请考生在第22，23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知圆C 的极坐标方程为ρ2+12ρcosθ+11＝0．（1）求圆心C的直角坐标；（2）若直线l的参数方程是（t为参数），l与C交于A，B两点，，求l的斜率．解：（1）将x＝ρcosθ，y＝ρsinθ，x2+y2＝ρ2代入ρ2+12ρcosθ+11＝0，得x2+y2+12x+11＝0，即（x+6）2+y2＝25，所以圆C的圆心坐标为（﹣6，0）；（2）在极坐标系中，直线l的极坐标方程为θ＝α（ρ∈R）．设A，B所对应的极径分别为ρ1，ρ2，将l的极坐标方程代入C的极坐标方程得ρ2+12ρcosα+11＝0．于是ρ1+ρ2＝﹣12cosα，ρ1ρ2＝11，，由，得，，tanα＝＝±＝，所以l的斜率为或．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝x2+1，g（x）＝|x﹣a|﹣|2x﹣1|，a≥．（1）当a＝时，解不等式g（x2）＜﹣；（2）对任意x1，x2∈R．若不等式f（x1）≥g（x2）恒成立，求实数a的取值范围．解：（1）当时，，不等式g（x2）＜﹣，即，即，解得x2＞4或x2＜﹣3（舍去），由x2＞4，解得x＜﹣2或x＞2，所以不等式的解集是（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）．（2）由题意知，只需满足f（x）mix≥g（x）max即可，因为f（x）＝x2+1，所以f（x）min＝1，依题意，当时，g（x）＝，得f（x）min≥g（x）max，得，即，所以，即a的取值范围是[，]．。
2022年四川省高考理科数学第一次统一检测试卷及答案解析
2022年四川省高考理科数学第一次统一检测试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）设集合A ＝{x |x 2+x ﹣6≤0}，B ＝{x |﹣1＜x ＜3}，则A ∩B ＝（ ） A ．（﹣1，2）B ．（﹣1，2]C ．[2，3）D ．（2，3）2．（5分）已知复数z 满足（3+4i ）z ＝2+i ，则z 的虚部为（ ） A ．25B ．225C ．−15D ．﹣13．（5分）某市为了解全市环境治理情况，对本市的200家中小型企业的污染情况进行了摸排，并把污染情况各类指标的得分综合折算成标准分100分，统计并制成如图所示的直方图，则标准分不低于70分的企业数为（ ）A ．30B ．60C ．70D ．1304．（5分）当生物死亡后，它机体内原有的碳14会按确定的比率衰减（称为衰减率），大约每经过5730年衰减为原来的一半，这个时间称为“半衰期”．经过9个“半衰期”后，死亡生物组织内的碳14的含量约为死亡前的（ ） A ．1128B ．1256C ．1512D ．110245．（5分）如图，网格纸中小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体中最长的棱长为（ ）A ．2√2B ．4C ．2√5D ．2√66．（5分）双曲线mx 2+y 2＝1的焦距是虚轴长的2倍，则m ＝（ ） A ．−13B ．﹣3C ．﹣5D ．−157．（5分）命题“∀x ∈[﹣1，3]，x 2﹣2x ﹣a ≤0”为真命题的一个充分不必要条件可以是（ ） A ．a ≥4B ．a ≥3C ．a ≥2D ．a ≥18．（5分）已知sin(α−π6)+cosα=35，则cos(2α+π3)=（ ） A ．1825B ．725C ．−725D ．−18259．（5分）若从1，3中选一个数字，从0，2，4中选两个数字，组成无重复数字的三位数，则组成的三位数为偶数的概率是（ ） A ．45B ．57C ．23D ．3510．（5分）如图，A 处为长江南岸某渡口码头，北岸B 码头与A 码头相距√3km ，江水向正东(AD →)流．已知一渡船从A 码头按AC →方向以10km /h 的速度航行，且∠BAC ＝30°，若航行0.2h 到达北岸的B 码头，则江水速度是（ ）A ．10√2km/ℎB ．5√2km/ℎC ．5km /hD ．1km /h11．（5分）祖暅是南北朝时代伟大的科学家，在数学上有突出贡献．他在五世纪末提出祖暅原理：“密势既同，则积不容异．”其意思是：两个等高的几何体若在所有等高处的水平截面面积相等，则这两个几何体的体积相等．我们称由双曲线x 2a 2−y 2b 2=1（a ＞0，b＞0）中|y |≤m （m ＞0）的部分绕其虚轴旋转形成的几何体为双曲线旋转体．如图，双曲线旋转体的下半部分挖去底面直径为2a ，高为m 的圆柱体后，所得几何体与底面半径为am b，高为m 的圆锥均放置于平面β上（几何体底面在β内）．与平面β平行且到平面β距离为h （0≤h ≤m ）的平面与两几何体的截面面积分别为S 圆，S 圆环，可以证明S 圆＝S圆环总成立．依据上述原理，x 2−y 24=1(|y|≤4)的双曲线旋转体的体积为（ ）A ．443π B ．563π C ．283π D ．323π12．（5分）已知函数f （x ）＝xe x ﹣x 2﹣2x ﹣m 在（0，+∞）上有零点，则m 的取值范围是（ ）A ．[1﹣ln 22，+∞）B ．[﹣ln 22﹣1，+∞）C ．[﹣ln 22，+∞）D ．[−12ln 22，+∞)二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．（5分）已知a →，b →是单位向量，且|a →−b →|=1，则|a →+b →|= ． 14．（5分）给出两个条件：①a ，b ∈R ，f （a +b ）＝f （a ）f （b ）； ②f （x ）在（﹣∞，+∞）上单调递增．请写出一个同时满足以上两个条件的一个函数 ．（写出满足条件的一个函数即可） 15．（5分）定义运算“⊕”：a ⊕b ＝sin a ⋅cos b ．设函数f （x ）＝[（2x ）⊕φ]+[φ⊕（2x ）]，将f （x ）的图象向右平移π8个单位长度得到函数g （x ）的图象，且g （x ）的图象关于y轴对称，则|φ|的最小值为 ． 16．（5分）已知点F 是椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a ＞b ＞0)的右焦点，过点A(0，b2)且垂直于y 轴的直线与椭圆交于B ，C 两点．当△BCF 为锐角三角形时，椭圆的离心率的取值范围为 ．三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17．（12分）给出以下条件：①a 2，a 3，a 4+1成等比数列；②S 1+1，S 2，S 3成等比数列；③S n =a n a n+14(n ∈N ∗)．从中任选一个，补充在下面的横线上，再解答．已知递增等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1＝2，_____． （1）求数列{a n }的通项公式；（2）若{bn a n}是以2为首项，2为公比的等比数列，求数列{b n }的前n 项的和T n ．18．（12分）某县对高一年级学生进行体质测试（简称体测），现随机抽取了800名学生的体测结果等级（“良好以下”或“良好及以上”）进行分析，并制成下图所示的列联表．良好以下 良好及以上合计 男 400 550 女 50 合计600800（1）将列联表补充完整；计算并判断是否有95%的把握认为本次体测结果等级与性别有关系；（2）将频率视为概率，用样本估计总体．若从全县高一所有学生中，采取随机抽样的方法次抽取1名学生成绩进行具体指标分析，连续抽取4次，且每次抽取的结果相互独立，记被抽取的4名学生的体测等级为“良好及以上”的人数为ξ，求ξ的分布列和数学期望E （ξ）． 附表及公式： P （K 2≥k 0） 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001k 02.072 2.7063.841 5.024 6.635 7.879 10.828其中K 2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，n ＝a +b +c +d ．19．（12分）如图，三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1的侧棱AA 1垂直于底面ABC ，△ABC 是边长为2的正三角形，AA 1＝3，点D 在线段A 1B 上且A 1D ＝2DB ，点E 是线段B 1C 1的动点． （1）当点E 在什么位置时，直线DE ∥平面ACC 1A 1？（2）当直线DE ∥平面ACC 1A 1时，求二面角D ﹣EB ﹣C 的余弦值．20．（12分）如图，已知抛物线C ：y 2＝2px （p ＞0）与圆M ：（x ﹣4）2+y 2＝12相交于A ，B，C ，D 四点．（1）若以线段AD 为直径的圆经过点M ，求抛物线C 的方程；（2）设四边形ABCD 两条对角线的交点为E ，点E 是否为定点？若是，求出点E 的坐标；若不是，请说明理由．21．（12分）已知函数f(x)=−√x +alnx(a ≠0)，曲线y ＝f （x ）在点（1，f （1））处的切线为l ．（1）求l 的方程；（2）是否存在实数a ，使得l 与函数f （x ）的图象有2个不同公共点？若存在，求a 的值或取值范围；若不存在，请说明理由．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为{x =2+2cosθy =2sinθ，（θ为参数），曲线C 2的方程为x 2+（y ﹣3）2＝9．以O 为极点，x 轴非负半轴为极轴建立极坐标系． （1）求曲线C 1的极坐标方程；（2）已知射线l 1：θ=α(0＜α＜π2)与曲线C 1交于O ，A 两点，将射线l 1绕极点逆时针方向旋转π3得到射线l 2，射线l 2与曲线C 2交于O ，B 两点．当△AOB 的面积最大时，求α的值，并求△AOB 面积的最大值． [选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f （x ）＝|x +1|+|2x ﹣3|，M 为不等式f （x ）≤4的解集． （1）求M ；（2）若a ，b ∈R ，且a 2+b 2∈M ，证明：0≤a 2﹣ab +b 2≤3．2022年四川省高考理科数学第一次统一检测试卷参考答案与试题解析一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）设集合A ＝{x |x 2+x ﹣6≤0}，B ＝{x |﹣1＜x ＜3}，则A ∩B ＝（ ） A ．（﹣1，2）B ．（﹣1，2]C ．[2，3）D ．（2，3）【解答】解：由A ＝{x |x 2+x ﹣6≤0}＝{x |﹣3≤x ≤2}， B ＝{x |﹣1＜x ＜3}， 得A ∩B ＝{x |﹣1＜x ≤2}． 故选：B ．2．（5分）已知复数z 满足（3+4i ）z ＝2+i ，则z 的虚部为（ ） A ．25B ．225C ．−15D ．﹣1【解答】解：∵（3+4i ）z ＝2+i ， ∴z =2+i 3+4i =(2+i)(3−4i)(3+4i)(3−4i)=25−15i ， ∴z 的虚部为−15． 故选：C ．3．（5分）某市为了解全市环境治理情况，对本市的200家中小型企业的污染情况进行了摸排，并把污染情况各类指标的得分综合折算成标准分100分，统计并制成如图所示的直方图，则标准分不低于70分的企业数为（ ）A ．30B ．60C ．70D ．130【解答】解：根据频率分布直方图，标准分不低于70分的企业的频率为： （0.01+0.02+0.04）×5＝0.35，∴标准分不低于70分的企业数为0.35×200＝70（家）． 故选：C ．4．（5分）当生物死亡后，它机体内原有的碳14会按确定的比率衰减（称为衰减率），大约每经过5730年衰减为原来的一半，这个时间称为“半衰期”．经过9个“半衰期”后，死亡生物组织内的碳14的含量约为死亡前的（ ） A ．1128B ．1256C ．1512D ．11024【解答】解：设生物组织死亡前碳14的含量为1，经过1个半衰期后，死亡生物组织内的碳14的剩余量为P =12，经过n 个半衰期后，死亡生物组织内的碳14的剩余为P ＝（12）n ，当n ＝9时，P =129=1512． 故选：C ．5．（5分）如图，网格纸中小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体中最长的棱长为（ ）A ．2√2B ．4C ．2√5D ．2√6【解答】解：根据几何体的三视图转换为直观图为：该几何体为三棱锥体A ﹣BCD ； 如图所示：由于AE ＝DE ＝BC ＝2，EB ＝DC ＝4，所以AC =√22+22+42=2√6，AB ＝BD =√22+42=2√5，AD =√22+22=2√2， 故选：D ．6．（5分）双曲线mx 2+y 2＝1的焦距是虚轴长的2倍，则m ＝（ ） A ．−13B ．﹣3C ．﹣5D ．−15【解答】解：双曲线mx 2+y 2＝1的标准方程：y 2−x 2−1m=1，双曲线的焦距是虚轴长的2倍， 可得2√1−1m =4√−1m， 解得m ＝﹣3， 故选：B ．7．（5分）命题“∀x ∈[﹣1，3]，x 2﹣2x ﹣a ≤0”为真命题的一个充分不必要条件可以是（ ） A ．a ≥4B ．a ≥3C ．a ≥2D ．a ≥1【解答】解：∵命题“∀x ∈[﹣1，3]，x 2﹣2x ﹣a ≤0”为真命题，∴∀x ∈[﹣1，3]，x 2﹣2x ≤a ，则当x ∈[﹣1，2]时，x 2﹣2x ＝（x ﹣1）2﹣1≤3， ∴命题“∀x ∈[﹣1，3]，x 2﹣2x ﹣a ≤0”为真命题时，a ≥3， 经验证，A 选项符合题意． 故选：A ．8．（5分）已知sin(α−π6)+cosα=35，则cos(2α+π3)=（ ） A ．1825B ．725C ．−725D ．−1825【解答】解：∵sin(α−π6)+cosα=√32sin α+12cos α＝sin （α+π6）=35， ∴cos(2α+π3)=1﹣2sin 2(α+π6)=1﹣2×925=725， 故选：B ．9．（5分）若从1，3中选一个数字，从0，2，4中选两个数字，组成无重复数字的三位数，则组成的三位数为偶数的概率是（ ） A ．45B ．57C ．23D ．35【解答】解：组成无重复数字的三位数无0的选法C 21×C 22×A 33=12，有0的选法有C 21C 21×2×A 22=16，组成无重复数字的三位数共有28种， 组成的三位数为偶数，若三位数的个位为0，则有2×2×A 22＝8个； 若十位为0，则有C 21•C 21＝4个；若这个三位数没有0，则有C 21•C 21A 22＝8个． 综上，要求的三位偶数的个数为 8+8+4＝20个， 则组成的三位数为偶数的概率是2028=57．故选：B ．10．（5分）如图，A 处为长江南岸某渡口码头，北岸B 码头与A 码头相距√3km ，江水向正东(AD →)流．已知一渡船从A 码头按AC →方向以10km /h 的速度航行，且∠BAC ＝30°，若航行0.2h 到达北岸的B 码头，则江水速度是（ ）A ．10√2km/ℎB ．5√2km/ℎC ．5km /hD ．1km /h【解答】解：如图，∵北岸B 码头与A 码头相距√3km ，且航行时间为0.2h ， ∴合速度为√30.2=5√3，在△AEC 中，AE =5√3，AC ＝10，∠CAE ＝30°， ∴EC ＝5．即江水速度是5km /h ． 故选：C ．11．（5分）祖暅是南北朝时代伟大的科学家，在数学上有突出贡献．他在五世纪末提出祖暅原理：“密势既同，则积不容异．”其意思是：两个等高的几何体若在所有等高处的水平截面面积相等，则这两个几何体的体积相等．我们称由双曲线x 2a 2−y 2b 2=1（a ＞0，b＞0）中|y |≤m （m ＞0）的部分绕其虚轴旋转形成的几何体为双曲线旋转体．如图，双曲线旋转体的下半部分挖去底面直径为2a ，高为m 的圆柱体后，所得几何体与底面半径为am b，高为m 的圆锥均放置于平面β上（几何体底面在β内）．与平面β平行且到平面β距离为h （0≤h ≤m ）的平面与两几何体的截面面积分别为S 圆，S 圆环，可以证明S 圆＝S圆环总成立．依据上述原理，x 2−y 24=1(|y|≤4)的双曲线旋转体的体积为（ ）A ．443π B ．563π C ．283πD ．323π【解答】解：依题意，m ＝4，a ＝1，b ＝2，圆锥底面半径am b=2，即圆锥的底面面积为4π，由祖暅原理可知，V ＝2（V 圆柱+V 圆锥）=2(π×12+13×π×22×4)=56π3． 故选：B ．12．（5分）已知函数f （x ）＝xe x ﹣x 2﹣2x ﹣m 在（0，+∞）上有零点，则m 的取值范围是（ ）A ．[1﹣ln 22，+∞）B ．[﹣ln 22﹣1，+∞）C ．[﹣ln 22，+∞）D ．[−12ln 22，+∞)【解答】解：因为函数f （x ）＝xe x ﹣x 2﹣2x ﹣m 在（0，+∞）上有零点， 所以方程f （x ）＝xe x ﹣x 2﹣2x ﹣m ＝0在（0，+∞）上有解， 即m ＝xe x ﹣x 2﹣2x 在（0，+∞）上有解，令g （x ）＝xe x ﹣x 2﹣2x ，则g ′（x ）＝（x +1）（e x ﹣2）， 令g ′（x ）＞0，可得x ＞ln 2，令g ′（x ）＜0，可得0＜x ＜ln 2， 所以g （x ）在（0，ln 2）上单调递减，在（ln 2，+∞）上单调递增， 所以g （x ）min ＝g （ln 2）＝﹣ln 22，所以m ≥﹣ln 22，即m 的取值范围是[﹣ln 22，+∞）． 故选：C ．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．（5分）已知a →，b →是单位向量，且|a →−b →|=1，则|a →+b →|= √3 ． 【解答】解：根据题意，a →，b →是单位向量，且|a →−b →|=1， 则（a →−b →）2=a →2+b →2﹣2a →•b →=1，变形可得a →•b →=12， 则（a →+b →）2=a →2+b →2+2a →•b →=3，即|a →+b →|=√3； 故答案为：√3． 14．（5分）给出两个条件：①a ，b ∈R ，f （a +b ）＝f （a ）f （b ）； ②f （x ）在（﹣∞，+∞）上单调递增．请写出一个同时满足以上两个条件的一个函数 f （x ）＝2x （答案不唯一） ．（写出满足条件的一个函数即可）【解答】解：由条件①可知函数f （x ）为指数函数， 由条件②可知，指数函数的底数a ＞1，则同时满足以上两个条件的一个函数可以为f （x ）＝2x ，f （x ）＝4x 等． 故答案为：f （x ）＝2x （答案不唯一）．15．（5分）定义运算“⊕”：a ⊕b ＝sin a ⋅cos b ．设函数f （x ）＝[（2x ）⊕φ]+[φ⊕（2x ）]，将f （x ）的图象向右平移π8个单位长度得到函数g （x ）的图象，且g （x ）的图象关于y轴对称，则|φ|的最小值为π4．【解答】解：∵运算“⊕”：a ⊕b ＝sin a ⋅cos b ，设函数f （x ）＝[（2x ）⊕φ]+[φ⊕（2x ）]＝sin2x cos φ+sin φcos2x ＝sin （2x +φ）， 将f （x ）的图象向右平移π8个单位长度得到函数g （x ）＝sin （2x −π4+φ）的图象，且g （x ）的图象关于y 轴对称， ∴−π4+φ＝±π2+k π，k ∈Z ，则|φ|的最小值为π4，故答案为：π4．16．（5分）已知点F 是椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a ＞b ＞0)的右焦点，过点A(0，b2)且垂直于y 轴的直线与椭圆交于B ，C 两点．当△BCF 为锐角三角形时，椭圆的离心率的取值范围为 (√63，√32) ．【解答】解：如图，易得B(−√32a ，b 2)，C(√32a ，b2)，F(c ，0)．所以CB →=(−√3a ，0)，CF →=(c −√32a ，−b 2)，FB →=(−√3a 2−c ，b2)，FC →=(√32a −c ，b 2)． 根据椭圆对称性，有BF ＞CF ，因此，若△BCF 为锐角三角形， 只需∠BCF 和∠BFC 均为锐角，即{CB →⋅CF →＞0FB →⋅FC →＞0，所以{−√3a(c −√3a2)＞0，(−√3a 2−c)(√3a 2−c)+b24＞0． 由此可得√63＜c a ＜√32， 故椭圆离心率的取值范围是(√63，√32)，故答案为：(√63，√32)．三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17．（12分）给出以下条件：①a 2，a 3，a 4+1成等比数列；②S 1+1，S 2，S 3成等比数列；③S n=a n a n+14(n∈N∗)．从中任选一个，补充在下面的横线上，再解答．已知递增等差数列{a n}的前n项和为S n，且a1＝2，_____．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若{b na n}是以2为首项，2为公比的等比数列，求数列{b n}的前n项的和T n．【解答】解：（1）设数列{a n}的公差为d，则d＞0，选择条件①：因为a2，a3，a4+1成等比数列，所以a32=a2•（a4+1），所以（2+2d）2＝（2+d）•（2+3d+1），化简得d2﹣d﹣2＝0，解得d＝2或﹣1（舍负），所以数列{a n}的通项公式为a n＝2+（n﹣1）×2＝2n．选择条件②：因为S1+1，S2，S3成等比数列，所以S22=（S1+1）•S3，所以（2×2+d）2＝（2+1）•（3×2+3d），化简得d2﹣d﹣2＝0，解得d＝2或﹣1（舍负），所以数列{a n}的通项公式为a n＝2+（n﹣1）×2＝2n．选择条件③：因为S n=a n a n+14(n∈N∗)，所以当n≥2时，S n﹣1=a n−1a n4，两式相减得，a n=14a n（a n+1﹣a n﹣1），因为a n≠0，所以a n+1﹣a n﹣1＝4，即2d＝4，所以d＝2，所以数列{a n}的通项公式为a n＝2+（n﹣1）×2＝2n．（2）因为{b na n}是以2为首项，2为公比的等比数列，所以b na n=2•2n﹣1＝2n，所以b n＝2n•2n，所以T n＝2•21+4•22+6•23+…+2n•2n，2T n＝2•22+4•23+6•24+…+（2n﹣2）•2n+2n•2n+1，两式相减得，﹣T n＝2•21+2•22+2•23+2•24+…+2•2n﹣2n•2n+1＝2×2(1−2n)1−2−2n•2n+1＝（1﹣n）2n+2﹣4，所以T n ＝（n ﹣1）2n +2+4．18．（12分）某县对高一年级学生进行体质测试（简称体测），现随机抽取了800名学生的体测结果等级（“良好以下”或“良好及以上”）进行分析，并制成下图所示的列联表．良好以下 良好及以上合计 男 400 550 女 50 合计600800（1）将列联表补充完整；计算并判断是否有95%的把握认为本次体测结果等级与性别有关系；（2）将频率视为概率，用样本估计总体．若从全县高一所有学生中，采取随机抽样的方法次抽取1名学生成绩进行具体指标分析，连续抽取4次，且每次抽取的结果相互独立，记被抽取的4名学生的体测等级为“良好及以上”的人数为ξ，求ξ的分布列和数学期望E （ξ）． 附表及公式： P （K 2≥k 0） 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001k 02.072 2.7063.841 5.024 6.635 7.879 10.828其中K 2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，n ＝a +b +c +d ．【解答】解：（1）补充列出二联表如下：良好以下 良好及以上合计 男 400 150 550 女 200 50 250 合计600200800∴k 2=800(400×50−200×150)2600×200×550×250≈4.848＞3.841．∴有95%的把握认为本次体测结果等级与性别有关系．（2）由（1）表格可得：“良好及以上”的频率即概率P =200800=14， 由题意可知ξ～B （4，14），P （ξ＝k ）=C 4k(14)k (34)4−k ，k ＝0，1，2，3，4．ξ 0 1234P8125610825654256122561256∴E （ξ）＝4×14=1．19．（12分）如图，三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1的侧棱AA 1垂直于底面ABC ，△ABC 是边长为2的正三角形，AA 1＝3，点D 在线段A 1B 上且A 1D ＝2DB ，点E 是线段B 1C 1的动点． （1）当点E 在什么位置时，直线DE ∥平面ACC 1A 1？（2）当直线DE ∥平面ACC 1A 1时，求二面角D ﹣EB ﹣C 的余弦值．【解答】解：（1）当点E 是线段B 1C 1上靠近B 1的三等分点时，DE ∥平面ACC 1A 1． 过点D 作DF ∥AA 1交A 1B 1于点F ，过点F 作FE ∥A 1C 1于点E ，连接DE ， ∵EF ∥A 1C 1，EF ⊄平面AA 1C 1C ，∴EF ∥平面AA 1C 1C ， ∵DF ∥AA 1，FD ⊄平面AA 1C 1C ，∴FD ∥平面AA 1C 1C ， ∵EF ∩FD ＝F ，∴平面EFD ∥平面AA 1C 1C ， ∵DE ⊂平面EFD ，∴DE ∥平面AA 1C 1C ， 而B 1E EC 1=B 1F FA 1=BD DA 1=12，∴当点E 是线段B 1C 1上靠近B 1的三等分点时，DE ∥平面ACC 1A 1． （2）以BC 的中点O 为坐标原点建立如图所示空间直角坐标系O ﹣xyz ，则B （0，1，0），C （0，﹣1，0），E （0，13，3），A 1（√3，0，3），由BD →=13BA 1→，得D （√33，23，1），∴ED →=（√33，13，﹣2），EB →=（0，23，﹣3），设平面DEB 的一个法向量为m →=（x ，y ，z ），由{m →⋅ED →=0m →⋅EB →=0，得{√33x +13y −2z =023y −3z =0，令z ＝2，得y ＝9，x =√3，即m →=（√3，9，2）， 设二面角D ﹣EB ﹣C 的平面角为θ， 而面EBC 的一个法向量为n →=（1，0，0），则|cos θ|＝|n →⋅m→|n →|×|m →||=√32√22=√6644，故二面角D ﹣EB ﹣C 的余弦值为√6644． 20．（12分）如图，已知抛物线C ：y 2＝2px （p ＞0）与圆M ：（x ﹣4）2+y 2＝12相交于A ，B ，C ，D 四点．（1）若以线段AD 为直径的圆经过点M ，求抛物线C 的方程；（2）设四边形ABCD 两条对角线的交点为E ，点E 是否为定点？若是，求出点E 的坐标；若不是，请说明理由．【解答】解：（1）根据已知圆及抛物线的对称性，可设A （x 1，y 1），D （x 2，y 2），B （x 1，﹣y 1），C （x 2，﹣y 2），由{y 2=2px (x −4)2+y 2=12消去y ，可得x 2+（2p ﹣8）x +4＝0， 则Δ＝（2p ﹣8）2﹣16＞0，得0＜p ＜2或P ＞6，x 1+x 2＝8﹣2p ，x 1x 2＝4，且y 12y 22＝4p 2x 1x 2＝16p 2，显然y 1＞0，y 2＞0，故y 1y 2＝4p ， 由以AD 为直径的圆经过点M ，知MA →•MD →=0，∴（x 1﹣4）（x 2﹣4）+y 1y 2＝0，∴x 1x 2﹣4（x 1+x 2）+16+4p ＝0，∴﹣4（8﹣2p ）+4p +20＝0，∴p ＝1，故抛物线C 的方程为y 2＝2x ； （2）由题意，直线AC 的斜率存在，且为k AC =−y 2−y 1x 2−x 1=−y 2−y 1y 222p −y 122p=2py 1−y 2，∴直线AC 的方程为y ﹣y 1=2p y 1−y 2（x ﹣x 1），即y =2p y 1−y 2x +y 1−2py 1−y 2×y 122p =2py 1−y 2x +y 12−y 1y 2−y 12y 1−y 2， ∴y =2p y 1−y 2x −4p y 1−y 2=2py 1−y 2（x ﹣2），于是直线AC 过定点（2，0）， 由抛物线和圆的对称性，易知ABCD 的两条对角线交点必在x 轴上， 故四边形ABCD 两条对角线的交点为E 是定点（2，0）．21．（12分）已知函数f(x)=−√x +alnx(a ≠0)，曲线y ＝f （x ）在点（1，f （1））处的切线为l ．（1）求l 的方程；（2）是否存在实数a ，使得l 与函数f （x ）的图象有2个不同公共点？若存在，求a 的值或取值范围；若不存在，请说明理由． 【解答】解：f′(x)=2√x ax， 将x ＝1代入得：f′(1)=a −12， 将x ＝1代入f （x ）得：f （1）＝﹣1， 则切线方程为：y +1=(a −12)(x −1)， 化简可得；y =(a −12)x −a −12；（2）联立切线与f （x ）可得：alnx −(a −12)x −√x +a +12=0，观察可得x＝1为该方程的根，故仅需探究方程在（0，+∞）是否存在另一解即可，令√x=t（t≥0），则原方程转为：2alnt−(a−12)t2−t+a+12=0，令g(t)=2alnt−(a−12)t2−t+a+12(t≥0)，g′(t)=[(1−2a)t−2a](t−1)t，①当1﹣2a≤0时，即a≥12时，令g′（t）＞0，解得：0＜t＜1，故g（t）在（0，1）单调递增，在（1，+∞）单调递减，故g（t）＜g（1）＝0，则不存在第二个实数解，不满足题意，②当1﹣2a＞0时，g′(t)=1−2at (t−2a1−a)(t−1)，（Ⅰ）若2a1−2a≤0，即a≤0时，则0＜t＜1时，g′（t）＜0，则g（t）单调递减，若t＞1，g′（t）＞0，则g（t）单调递增，故g（t）＞g（1）＝0，则原方程仅有一个解为t＝1，不满足题意，（Ⅱ）若2a1−a=1，即a=14，此时g′（t）＞0，g（t）单调递增，则原方程仅有一个解为t＝1，不满足题意，（Ⅲ）若0＜2a1−a＜1，即0＜a＜14，则0＜t＜2a1−a，g（t）单调递增，2a1−a＜t＜1，g（t）单调递减，t＞1，g（t）单调递增，又g（1）＝0，可知g(2a1−a)＞0，且t→0，g（t）→﹣∞，故存在t 0∈(0，2a1−a)使得g （t 0）＝0， 此时，方程存在两个实数解，满足题意， （Ⅳ）若2a 1−a＞1，即14＜a ＜12，则0＜t ＜1，g （t ）单调递增，1＜t ＜2a1−a g （t ）单调递减，t ＞2a1−a ，g （t ）单调递增， 又g （1）＝0，可知g(2a1−a )＜0， 且t →+∞，g （t ）→+∞， 故存在t 0∈(2a1−a，+∞)，使得g （t 0）＝0， 此时，方程存在两个实数解，满足题意， 综上所述：方程存在两个实数解时， 其取值范围为：(0，14)∪(14，12)．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为{x =2+2cosθy =2sinθ，（θ为参数），曲线C 2的方程为x 2+（y ﹣3）2＝9．以O 为极点，x 轴非负半轴为极轴建立极坐标系． （1）求曲线C 1的极坐标方程；（2）已知射线l 1：θ=α(0＜α＜π2)与曲线C 1交于O ，A 两点，将射线l 1绕极点逆时针方向旋转π3得到射线l 2，射线l 2与曲线C 2交于O ，B 两点．当△AOB 的面积最大时，求α的值，并求△AOB 面积的最大值．【解答】解：（1）曲线C 1的参数方程为{x =2+2cosθy =2sinθ，（θ为参数），转换为直角坐标方程为（x ﹣2）2+y 2＝4，根据{x =ρcosθy =ρsinθx 2+y 2=ρ2，转换为极坐标方程为ρ＝4cos θ；（2）曲线C 2的方程为x 2+（y ﹣3）2＝9，根据{x =ρcosθy =ρsinθx 2+y 2=ρ2，转换为极坐标方程为ρ＝6sin θ，已知射线l 1：θ=α(0＜α＜π2)与曲线C 1交于O ，A 两点，所以{ρ=4cosθθ=α，整理得ρA ＝4cos α；射线l 1绕极点逆时针方向旋转π3得到射线l 2，射线l 2与曲线C 2交于O ，B 两点． 所以{ρ=6sinθθ=α+π3，所以ρB =6sin(α+π3)；所以S △AOB =12⋅ρA ⋅ρB =12×4cosα⋅6sin(α+π3)⋅sin π3=3√3sin(2α+π3)+92； 由于0＜α＜π2， 故π3＜2α+π3＜4π3；当2α+π3=π2时，即α=π12时，S △AOB 的最大值为92+3√3． [选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f （x ）＝|x +1|+|2x ﹣3|，M 为不等式f （x ）≤4的解集． （1）求M ；（2）若a ，b ∈R ，且a 2+b 2∈M ，证明：0≤a 2﹣ab +b 2≤3． 【解答】解：（1）由已知可得，f （x ）={−3x +2，x ≤−1−x +4，−1＜x ≤323x −2，x ＞32，当x ≤﹣1时，由﹣3x +2≤4，解得x ≥−23（舍去）， 当﹣1＜x ≤32时，由﹣x +4≤4，解得x ≥0，故0≤x ≤32，当x ＞32时，由3x ﹣2≤4，解得x ≤2，故32＜x ≤2，综上所述，f （x ）≤4的解集M ＝[0，2]． （2）∵a 2+b 2∈M ，即0≤a 2+b 2≤2，令a ＝r cos α，b ＝r sin α，0≤r ≤√2，α∈[0，2π]， ∴a 2﹣ab +b 2＝r 2﹣r 2sin αcos α=r 2(1−12sin2α)， ∵α∈[0，2π]， ∴12≤1−12sin2α≤32，即12r 2≤r 2(1−12sin2α)≤32r 2，∵0≤r ≤√2，第 21 页 共 21 页∴12r 2≥0，32r 2≤3， ∴0≤a 2﹣ab +b 2≤3，即得证．。
海南省2020年高考理科数学模拟试题及答案(一)
海南省2020年高考理科数学模拟试题及答案（一）（满分150分，考试时间120分钟）一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
）1. 已知集合2{|2}A x x =<,则R C A =( )A.{|22}x x -≤≤B.{|22}x x x ≤-≥或C.{|x x ≤≤D.{|x x x ≤≥或2. 若()12z i i +=,则z =( )A.1i --B.1i -+C.1i -D.1i +3. 已知3a e =，33log 5log 2b =-，c =a ，b ，c 的大小关系为（ ） A ．a c b >> B ．b c a >> C ．c a b >>D ．c b a >>4. 已知,2sin cos 2R ααα∈-=，则tan(2)4πα-=（ ） A ．43 B ．7- C ．34- D ．175. 已知某几何体的三视图如图所示，网格中小正方形的边长为1，则该几何体的表面积为（ ）A. 20B. 22C. 24D.6. 已知函数()f x 和(2)f x +都是定义在R 上的偶函数，当[0,2]x ∈时，()2xf x =，则20192f ⎛⎫-= ⎪⎝⎭（ ）A. 2B. C.27. 直线2130x ay a -+-=，当a 变动时，所有直线所过的定点为( ) A.1(,3)2-B. 1(,3)2--C. 1(,3)2D.1(,3)2- 8. 三棱锥V ABC -的底面三角形ABC 为正三角形，侧面VAC 垂直于底面，VA VC =,已知其正视图VAC ∆面积为23,则其侧视图的面积为 ( )A.2 B. 6 C. 4 D.39. 如图，已知直四棱柱中，，，且，则直线与直线所成角的余弦值为（ ）A.B. C. D.10. 已知中，内角所对的边分别是，若，且，则当取到最小值时，（ ） A.B.C.D. 11. 定义在上的偶函数满足：当时，，.若函数有6个零点，则实数的取值范围是（ ）A.B.C.D.12. 已知抛物线的焦点为，且到准线的距离为2，直线与抛物线交于两点（点在轴上方），与准线交于点，若，则（ ） A.B.C.D.二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分。
2022届宁夏银川市高三第二学期第一次模拟考试数学(理)试卷(解析版)
2022届宁夏银川市高三第二学期第一次模拟考试理科数学试题注意事项：1. 本试卷共23小题，满分150分。
考试时间为120分钟。
2. 答案写在答题卡上的指定位置。
考试结束后，交回答题卡。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设集合{}1,2,4,6A =，若}70|{<<∈=⋃x x B A Ζ，{}2,4A B =，则B =（ ） A. {}2,3,4 B. {}2,3,4,5 C. {}2,4,5 D. {}2,3,4,5,72. 23i 2i 3i z =++，则z =（ ）A. 22i -+B. 22i -C. 22i --D. 22i + 3. 某高校有4名大学生志愿者参加2022年北京冬奥会志愿服务．冬奥会志愿者指挥部随机派这4名志愿者参加冰壶、短道速滑、花样滑冰3个项目比赛的志愿服务，每个项目至少安排一名志愿者，则不同的安排方法有（ ） A ．72 种 B ．81种C ．6种D ．36种4. 设m ，n 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列命题为真命题的是（ ） A. m n ⊥，m n αα⇒⊥∥ B. n β∥，n βαα⊥⇒⊥ C. m α∥，n m n α⊂⇒∥D. m n ∥，m n ββ⊥⇒⊥5. 2022年北京冬奥会成功举办，中国冰雪产业快速发展，冰雪运动人数快速上升，冰雪运动市场需求得到释放，将引领相关户外用品行业市场增长．下面是2015年至2021年中国雪场滑雪人次（万人次）与同比增长率（与上一年相比）的统计情况，则下面结论中正确的是（ ）A ．2016年-2021年,中国雪场滑雪人次的同比增长率逐年下降B ．2016年-2021年,中国雪场滑雪人次的同比增长率近似相等,所以同比增长人数也近似相等C ．2016年-2021年,中国雪场滑雪人次逐年增加D ．2016年-2021年,中国雪场滑雪人次增长率为12.6 %6．已知各项均为正数的等比数列{}n a 的前4项和为15，且14a ，32a ，5a 成等差数列，则1a =（ ）A ．525B ．525+C ．52D ．57.已知命题.1ln ,:00=∈∃x R x p 命题:q 某物理量的测量结果服从正态分布),10(2σN ，则该物理量在一次测量中落在)2.10,9.9(与落在)3.10,10(的概率相等．下列命题中的假命题是（ ） A. ()p q ∧⌝ B. p q ∨ C ．()()p q ⌝∧⌝ D ．()()p q ⌝∨⌝ 8.已知函数x x x x x f cos )sin(3)2cos(sin )(ππ+--=，则下列结论中错误的是（ ）A ．)(x f 的最小正周期为πB ．)21,12(-π是)(x f 图象的一个对称中心C ．将函数)(x f 的图象向左平移12π个单位长度，即可得到函数212sin )(+=x x f 的图象D ．3πx =是)(x f 图象的一条对称轴 9. 已知四棱锥ABCD S -的底面ABCD 为正方形，⊥SD 平面ABCD ，SAD ∆为等腰三角形，若E ，F 分别是AB ，SC 的中点，则异面直线EC 与BF 所成角的余弦值为（ ）A ．1010B ．1030C ．1070 D ．1010310. 若函数3cos )(+⋅+-=--x e e e e x f xx x x 在]2,2[ππ-上的最大值与最小值之和为（ ） A ．6 B ．3 C ．4 D ．811.已知抛物线22(0)x py p =>上一点0(,2)A x ，F 为焦点，直线F A 交抛物线的准线于点B ，满足2AB FA =,则0x =（ ）A ．4±B ．42±C ．3±D ．8± 12. 若222ln 2ln 2e 1m m m n n n -+=-++，则（ ）A. e m n >B. e m n <C. e m n ->D. e m n -<二、填空题：本大题共4小题 ,每小题5分,共20分．13.已知变量y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤-≥-≥-+,03,02,02x y x y x 则y x z -=2的最小值为________．14.已知非零向量a ，b ，满足224b a =且(2)a a b ⊥+，则向量a 与b 的夹角为________． 15.若直线()1210m x my m ++--=与圆223x y +=交于M 、N 两点，则弦长||MN 的最小值为___． 16.我国民间剪纸艺术在剪纸时经常会沿纸的某条对称轴把纸对折.现有一张半径为R 的圆形纸，对折1次可以得到两个规格相同的图形，将其中之一进行第2次对折后，就会得到三个图形，其中有两个规格相同，取规格相同的两个之一进行第3次对折后，就会得到四个图形，其中依然有两个规格相同，以此类推，每次对折后都会有两个图形规格相同.如果把k 次对折后得到的不同规格的图形面积和用k S 表示，由题意知221R S π=，4322R S π=，则=4S _______；如果对折n 次，则=∑=n k k S 1________． 三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：共60分. 17.（本小题满分12分）在ABC ∆中，c b a ,,分别为内角C B A ,,的对边，若).sin sin (sin 23sin sin sin 22C B A C B A 2-+=（1）求；C （2）若,3=c 求ABC ∆周长的取值范围.18.（本小题满分12分）2022年2月1日是春节，百节年为首，春节是中华民族最隆重的传统佳节，为拉动春节全民消费，宁夏某市政府分批发行2亿元政府消费券．为了解政府消费券使用人群的年龄结构情况，在发行完第一批政府消费券后，该市政府采用随机抽样的方法在全市市民中随机抽取了200人，对是否使用过政府消费券的情况进行调查，部分结果如表所示，其中年龄在45岁及以下的人数占样本总数的35，没使用过政府消费券的人数占样本总数的310．使用过政府消费券没使用过政府消费券总计 45岁及以下 90 45岁以上 总计200（1）请将题中表格补充完整，并判断是否有90%的把握认为该市市民是否使用政府消费券与年龄有关？ （2）为配合政府消费券的宣传，现需该市45岁及以下的3位市民参与线上访谈．用随机抽样的方法从该市45岁及以下市民中每次抽取1人，共抽取3次，每次抽取的结果相互独立．记抽取的3人中“没使用过政府消费券”的人数为X ，以样本频率作为概率，求随机变量X 的分布列和数学期望()E X ． 附：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++．19.（本小题满分12分）如图，已知直三棱柱111ABC A B C -，O ，M ，N 分别为线段BC ，1AA ，1BB 的中点，P 为线段1AC 上的动点，116AA =，8AC =. （1）若12AO BC =，试证1C N CM ⊥； （2）在（1）的条件下，当6AB =时，试确定动点P 的位置，使线段MP 与平面11BB C C 所成角的正弦值为53.20.（本小题满分12分）已知椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的离心率为22，且点)22,1(M 在椭圆上．（1）求椭圆的方程；（2）若四边形ABCD 的顶点在椭圆上，且对角线AC 、BD 过原点O ，直线AC 和BD 的斜率之积为22ab -，证明：四边形ABCD 的面积为定值． 21.（本小题满分12分）已知函数()2ln f x mx x x =+，0m ≠. （1）若2m =-，求函数()f x 的单调区间；0.15 0.10 0.05 0.025 0k2.0722.7063.8415.024()20P K k ≥（2）若()()120f x f x ==，且12x x ≠，证明：12ln ln 2x x +>.（二）选考题:共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做,则按所做的第一题计分. 22．(本小题满分10分) 选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为3cos 4sin x y θθ=-⎧⎨=⎩（θ为参数），将1C 通过伸缩变换1232x x y y ⎧=⎪⎪⎨=''⎪⎪⎩后，得到曲线2C ． （1）求2C 的普通方程；（2）过点(0,0)O 作直线l 交曲线2C 于,M N 两点，||1MN =，以坐标原点为极点，以x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求直线l 的极坐标方程．23.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲已知函数()121f x x x =++-． （1）求不等式()2f x >的解集；（2）已知函数()f x 的最小值为t ，正实数a ，b ，c 满足42a c t b +=-，证明：1123a b b c +≥++．参考答案：1．C 【解析】 【分析】求出集合,A B 后可求A B . 【详解】因为{}24A x x =-<<，{}32B x x =-<<， 所以{}22A B x x ⋂=-<<. 故选：C. 2．B 【解析】 【分析】先利用复数的除法化简，再利用复数的模长公式即得解 【详解】由题意，()()2232i 1i 32i 15i 1526||1i 2222----⎛⎫⎛⎫===+-= ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭故选：B 3．D 【解析】 【分析】利用两角和的余弦公式及同角三角函数的基本关系得到tan α，再利用同角三角函数的基本关系将弦化切，最后代入计算可得； 【详解】解：由2cos sin 6παα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，即2cos cos 2sin sin sin 66ππααα-=3cos sin sin ααα-=，则3tan α=，所以222sin cos tan 23sin cos sin cos tan 1αααααααα===++故选：D 4．A 【解析】 【分析】由已知条件求得221b a =，然后利用公式221b e a=+.【详解】由题设1b b a a -⨯=-，所以，221b a =，则222222212c c a b be a a a a+==+故选：A. 【点睛】本题考查双曲线离心率的计算，在涉及渐近线的问题时，利用公式221b e a =+力，属于基础题. 5．C 【解析】 【分析】设出底面半径，利用侧面积求出半径，进而利用圆锥体积公式进行所求解. 【详解】设该圆锥体交通锥的底面半径为r ，则2π14465πr r +=，解得：=5r ，所以该圆锥体交通锥的体积为2125π100π3⨯= 故选：C 6．D 【解析】 【分析】依题意根据奇函数的性质得到()00f =，即可得到()3e f =-，代入函数解析求出a ，最后根据()()11f f -=-计算可得； 【详解】解：依题意得()00f =，()()f x f x -=-，由()()0e 3f f +=-，即()ln 3e e e2af =+=-，得8e a =-，所以当0x >时()4n e l f x x x =-，所以()()411ln e 1e 14f f ⎛⎫-=-=--= ⎪⎝⎭.故选：D 7．B 【解析】【分析】由题意，10组随机数中，表示“3轮滑跳全都不成功”的有659，845，利用对立事件，即可得到答案； 【详解】由题意，10组随机数中，表示“3轮滑跳全都不成功”的有659，845，共2个， 所以估计谷爱凌“3轮滑跳中至少有1轮成功”的概率为210.810-=. 故选：B 8．C 【解析】 【分析】模拟执行程序，即可得到输出结果； 【详解】解：模拟执行程序可知：第1循环，1n =，1S =，不满足40?S >， 第2次循环，2n =，123S =+=，不满足40?S >， 第3次循环，3n =，336S =+=，不满足40?S >， 第4次循环，4n =，6410S =+=，不满足40?S >， 第5次循环，5n =，10515S =+=，不满足40?S >， 第6次循环，6n =，15621S =+=，不满足40?S >， 第7次循环，7n =，21728S =+=，不满足40?S >， 第8次循环，8n =，28836S =+=，不满足40?S >，第9次循环，9n =，36945S =+=，满足40?S >，故输出的n 值是9. 故选：C 9．C 【解析】 【分析】设第n 轮感染的人数为n a ，则数列{}n a 是12a =，公比2q 的等比数列，利用等比数列求和公式，结合lg20.3010≈，即可得到答案；【详解】设第n 轮感染的人数为n a ，则数列{}n a 是12a =，公比2q的等比数列，由()2121199912nn S ⨯-+=+=-，可得121000n +=，解得2500n =，两边取对数得lg 2lg500n =，则lg 23lg 2n =-，所以33118.979lg 20.3010n =-=-≈=， 故需要的天数约为9763⨯=. 故选：C 10．B 【解析】 【分析】依题意可得//GH BD 且23HG BD =，//EF BD 且12EF BD =，即可得到//BD 平面EGHF ，再判断FH 与AC 为相交直线，即可判断②③，由四边形EFHG 为梯形，所以EG 与FH 必相交，设交点为M ，即可得到M AC ∈，从而判断④；【详解】解：因为::BG GC DH HC =，所以//GH BD 且23HG BD =，又,E F 分别为,AB AD 的中点，所以//EF BD 且12EF BD =，则//EF GH ，又BD ⊄平面EGHF ，GH ⊂平面EGHF ，所以//BD 平面EGHF ， 因为F 为AD 的中点，H 为CD 的一个三等分点，所以FH 与AC 为相交直线，故FH 与平面ABC 必不平行，AC 也不平行平面EGHF ，因为EFHG 为梯形，所以EG 与FH 必相交，设交点为M ， 又EG ⊂平面ABC ，FH ⊂平面ACD ， 则M 是平面ABC 与平面ACD 的一个交点， 所以M AC ∈，即直线,,GE HF AC 交于一点， 故选：B. 11．B 【解析】 【分析】根据题意得到2cos 6b A a +=，利用余弦定理和面积公式，化简得到()222226144a Sbc -=-，结合222222b c b c ⎛⎫+≤ ⎪⎝⎭，得到42232416a a S -+≤，即可求解. 【详解】由26AB AC a ⋅+=，可得2cos 6b A a +=， 由余弦定理可得22212a b c ++=.因为ABC 的面积1sin 2S bc A =，所以()()222222222222611611cos 14444a a S b c A b c b c bc ⎡⎤-⎛⎫-=-=-=-⎢⎥ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦， 因为222222b c b c ⎛⎫+≤ ⎪⎝⎭，所以()()()()222222222422612632416416416b c a a a a a S +----+≤-=-=，故当24a =时，2S 取得最大值3，此时3S =故选：B. 12．A 【解析】 【分析】先求出函数()f x 的单调区间，根据题意得出参数ω的范围，设6t x πω=+，则,266t ππωπ⎛⎫∈+ ⎪⎝⎭，由172,666πππωπ⎛⎤+∈ ⎥⎝⎦，得出函数sin y t =在,266ππωπ⎛⎫+ ⎪⎝⎭上的零点情况出答案.【详解】 由22262k x k ππππωπ-+++≤≤，k ∈Z ，得22233k k x ππππωωωω-++≤≤，k ∈Z ， 取0k =，可得233x ππωω-≤≤.若()f x 在,64ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单词递增，则23634ππωππω⎧-≤-⎪⎪⎨⎪≥⎪⎩， 解得403ω<≤.若()0,2x π∈，则,2666x πππωωπ⎛⎫+∈+ ⎪⎝⎭.设6t x πω=+，则,266t ππωπ⎛⎫∈+ ⎪⎝⎭，因为172,666πππωπ⎛⎤+∈ ⎥⎝⎦所以函数sin y t =在,266ππωπ⎛⎫+ ⎪⎝⎭上的零点最多有2个.所以()f x 在()0,2π上的零点最多有2个. 故选：A 13．6 【解析】 【分析】依题意画出可行域，数形结合，即可求出z 的最大值；【详解】解：画出可行域如下所示：由200x y x -+=⎧⎨=⎩，解得02x y =⎧⎨=⎩，即()0,2B ，由32z y x =-，则2133y x z =+，平移23y x =，由图可知当21:33l y x z =+经过点()0,2B 时，z 取得最大值，即max 32206z =⨯-⨯=，即z 最大值为6. 故答案为：6 14．1 【解析】 【分析】根据题意，由()sin 0f x m x '=+≥在R 上恒成立求解. 【详解】因为函数()cos f x mx x =-在R 上单调递增， 所以()sin 0f x m x '=+≥在R 上恒成立， 即sin m x ≥-在R 上恒成立， 所以1m ≥. 故答案为：1 15．[]21,119- 【解析】 【分析】由题意可得到P 到AB 中点距离的最大值和最小值，然后根据数量积的运算，可得到答案. 【详解】设C 为AB 的中点，如图示：由题意可知：2||12PC ≤≤ ,则()()22225PA PB PC CA PC CB PC CB PC ⋅=+⋅+=-=-，又因为[]2,12PC ∈，所以PA PB ⋅的取值范围是[]21,119-, 故答案为：[]21,119- 16．[)1,0- 【解析】 【分析】过M 作C 的一条切线，切点为Q ，设OMQ θ∠=，根据在抛物线2:4C y x =上存在点N ，使得45OMN ∠=︒，得到45θ≥︒，然后求得当=45θ︒时的0x 即可. 【详解】过M 作C 的一条切线，切点为Q ，如图所示：设OMQ θ∠=，因为在抛物线2:4C y x =上存在点N ，使得45OMN ∠=︒， 所以45θ≥︒，当=45θ︒时，直线MQ 的方程为0y x x =-，将0y x x =-代入24y x =，可得20440y y x --=，由016160x ∆=+=，解得01x =-， 所以0x 的取值范围为[)1,0-. 故答案为：[)1,0-17．(1)21n a n =- (2)22n S n = 【解析】 【分析】（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，根据等差数列的通项公式得到1122n n a a dn a d ++=+-，即可求出1a 、d ，从而得到通项公式；（2）由（1）可得()21,21,n n n b n n -⎧⎪=⎨--⎪⎩为偶数为奇数，即可得到2122k k b b -+=，利用并项求和法计算可得；(1)解：设等差数列{}n a 的公差为d ，所以()111n a a n d nd a d =+-=+-， 所以11224n n a a dn a d n ++=+-=，所以12420d a d =⎧⎨-=⎩，解得121d a =⎧⎨=⎩，则21n a n =-. (2)解：因为21n a n =-且cos n n b a n π=，所以()()21,21cos 21,n n n b n n n n π-⎧⎪=-=⎨--⎪⎩为偶数为奇数，所以()()21243412k k b b k k -+=--+-=， 所以()()()212342122n n n S b b b b b b n -=++++++=.18．(1)甲需要选择置换，理由见解析； (2)分布列答案见解析，数学期望：37.5. 【解析】 【分析】（1）利用条件概率即求；（2）由题可得X 的可能取值为0，100，分别求概率，即得. (1)甲需要选择置换.理由如下：若甲同学不选择置换，则获得有100元的红包的概率为14，若甲同学选择置换，若甲同学第一次抽到100元，概率为14，置换后概率为0，故为1004⨯=，若甲同学第一次没有抽到100元，概率为34，置换后概率为12，故为313428⨯=；则获得有100元的红包的概率为33088+=， 因为3184>，所以甲需要选择置换.(2)由题可知X 的可能取值为0，100. ()31008P X ==， ()350188P X ==-=，X 的分布列如下：X 0100P5838()53010037.588E X =⨯+⨯=.19．(1)证明见解析 5 【解析】 【分析】（1）连接AC ，通过证明PA AE ⊥和AE AD ⊥可得答案；（2）以A 为原点，AE ，AD ，AP 所在直线分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，求出面AEF 和面ABCD 的法向量，利用夹角公式求解即可. (1)证明：连接AC .因为PA ⊥平面ABCD ，所以PA AE ⊥ 又因为AB AD =，且ABCD 为平行四边形，3ABC π∠=，所以ABC 为等边三角形.又因为E 为BC 的中点，所以AE BC ⊥ 又因为AD BC ∥，所以AE AD ⊥，因为PA AD A ⋂=，所以AE ⊥平面PAD ，又AE ⊂平面AEF ， 所以平面AEF ⊥平面PAD . (2)解：以A 为原点，AE ，AD ，AP 所在直线分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，则()002P ,,，()3,0,0E ，31,,122⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭F ，()3,0,0AE =，31,,122⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭AF ，因为PA ⊥平面ABCD ，所以()0,0,1n =是平面ABCD 的一个法向量. 设平面AEF 的法向量为(),,m x y z =，由0m AE ⋅=，0m AF ⋅=，可得30,310,2x x y z ⎧=++= 令1z =，则0x =，2y =- 即()0,2,1m =-.15cos ,5n m n m n m⋅=== 又二面角F AE D --的平面角为锐角，所以二面角F AE D --5. 20．(1)22142x y +=(2)证明见解析 【解析】 【分析】 （1）由题意得到2c a =，再由圆1F 与圆2F 相交，结合椭圆的定义得到213a =+，进而求得,a b 的值，即可求得椭圆方程；（2）当AB 垂直于x 轴时，得到6A ⎛ ⎝⎭，61,B ⎛ ⎝⎭，求得36ABC S =△AB 与x 轴不垂直时，设直线AB 的直线方程为y kx m =+，联立方程组得到1212,x x x x +，结合弦长公式和点到直线的距离公式，求得2216622ABCm SAB d m m ===. (1)解：由椭圆E 22c e a ==又由圆()221:1F x c y ++=与圆()222:9F x c y -+=， 可得圆心分别为12(,0),(,0)F c F c -，半径分别为121,3r r ==，因为圆()221:1F x c y ++=与圆()222:9F x c y -+=相交，两圆的交点在椭圆E 上， 可得12213a r r =+=+，解得2a =，则2c =可得222b a c -E 的方程为22142x y+=. (2)证明：设()11,A x y ，()22,B x y ，当AB 垂直于x 轴时，12x x =，因为O 为△ABC 的重心，所以()2,0C 或()2,0C -. 根据椭圆的对称性，不妨令()2,0C -，此时6A ⎛ ⎝⎭，61,B ⎛ ⎝⎭，可得36ABCS =当AB 与x 轴不垂直时，设直线AB 的直线方程为y kx m =+，联立方程组22142y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，整理得()()222124220k x kmx m +++-=，则122421km x x k +=-+，()21222221m x x k -=+， 设()33,C x y ，则()3122421km x x x k =-+=+，()3122221my y y k -=-+=+. 代入22142x y +=，得22122k m +=， 又由2121AB k x =+-，原点O 到AB 的距离21m d k=+所以()2222221144221212ABCm km SAB d k k -⎛⎫==-⋅ ⎪++⎝⎭2222264826122m m k m m k m =+-=+所以363ABC OAB S S ==△△，即ABC 的面积为定值. 21．(1)答案见解析 (2)[]0,e 【解析】 【分析】（1）求导，讨论导函数的符号变化进行求解；（2）分三种情况进行讨论：当0a <时，适当放缩进行证明；当0a =时，证明()0f x >恒成立；当0a >时，根据函数()f x 的单调性确定最小值，再讨论e a >、0e a <≤进行求解. (1)解：()()()()11x x a a f x x a x x+-=+--='，()0,x ∈+∞， 当0a ≤时，()f x 在()0,∞+上单调递增；当0a >时，()f x 在()0,a 上单调递减，在(),a +∞上单调递增. (2)解：若0a <，因为()()()22e ln 22x f x x ax a x ⎛⎫=+++-+- ⎪⎝⎭，取71min 1,e a x a ⎧⎫=-+⎨⎬⎩⎭，则222e e 36222x x +++<<，()11ax a a ⎛⎫-≤-⋅-= ⎪⎝⎭， ()7ln ln e 7aa x a -≤-⋅=-，此时()()6170f x <++-=，故此时()0f x ≥不可能恒成立. 若0a =，此时()22e 022x f x x =++>恒成立.若0a >，则()f x 在()0,a 上单调递减，在(),a +∞上单调递增， 故()f x 的最小值在x a =处取到，即()0f a ≥， 而()()2222e e ln 1ln 222a a f a a a a a a -=-+-+=+-. 显然当0e a <≤时，22e 02a -≥，()1ln 0a a -≥，此时()0f a ≥. 当e a >时，22e 02a-<，()1ln 0a a -<，此时()0f a <，故0e a <≤. 综上所述[]0,e a ∈.22．(1)()2211x y x +=≠-53【解析】 【分析】（1）平方相加进行消参即可；（2）由P 在圆上，设cos x θ=，sin y θ=，表示出33y x x y +后借助三角恒等变换化简得2sin 2sin 2-θθ，再结合单调性求出最小值. (1)由题可知242241212t t x t t-+=++，2224412t y t t =++， 所以221x y +=．因为222121111t x t t-==-+≠-++，所以C 的直角坐标方程为()2211x y x +=≠-． (2)点(),P x y 3x ⎛⎫⎡⎫∈ ⎪⎪⎢⎪ ⎪⎣⎭⎝⎭是曲线C 上在第一象限内的一动点，令cos x θ=，sin y θ=，0,6πθ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，则3333sin cos cos sin y x x y +=+θθθθ()2222244sin cos 2sin cos sin cos sin cos sin cos +-⋅+==θθθθθθθθθθ211sin 222sin 21sin 2sin 22-==-θθθθ， 因为上式在0,6π⎛⎤ ⎥⎝⎦上单调递减，故当6πθ=53．23．(1){}13x x x 或 (2)(),3-∞ 【解析】 【分析】(1)首先分类讨论去绝对值，再求解不等式；（2）首先讨论0x =时，a 的范围，当0x ≠时，不等式化简为2212a x x-++>，利用含绝对值三角不等式求最值，即可求得a 的取值范围. (1)()21,1,3,12,21,2,x x f x x x x -+<-⎧⎪=-≤<⎨⎪-≥⎩不等式()2f x x >+等价于1,212x x x <-⎧⎨-+>+⎩或12,32x x -≤<⎧⎨>+⎩或2,212,x x x ≥⎧⎨->+⎩解得1x <或3x >．故原不等式的解集为{}13x x x 或． (2)当0x =时，不等式()1f x a x x >-+恒成立，即a R ∈． 当0x ≠时，()1f x a x x >-+可化为2212a x x-++>， 因为222212123x x x x -++≥-++=，当且仅当22120x x ⎛⎫⎛⎫-+≥ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭时等号成立所以3a <，即a 的取值范围为(),3-∞．。
2023届河南省开封市高三第一次模拟考试文科数学试题【含答案】
开封市2023届高三年级第一次模拟考试文科数学一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合，，则（ ）{}13A x x =-<<{}1,0,1,2B =-A B = A.B.C.D.{}2{}1,0-{}0,1,2{}1,0,1,2-2. 设命题，，则是（）:p x ∀∈R e 1xx ≥+p ⌝A. ， B. ，x ∀∈R e 1≤+xx x ∀∈R e 1xx <+C ， D. ，x ∃∈R e 1≤+xx x ∃∈R e 1x x <+3. 若是纯虚数，则实数（ ）4i43i a +-=a A. B. C. D. 2-23-34. 已知中，为边上一点，且，则（ ）ABC D BC 13BD BC =AD =A. B. C. D.1233AC AB+ 2133AC AB+1344AC AB+3144AC AB+5. 已知圆锥的底面半径为1，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的体积为（）D.π36. 如图为甲，乙两位同学在5次数学测试中成绩的茎叶图，已知两位同学的平均成绩相等，则甲同学成绩的方差为（）A. 4B. 27. 已知则x ＋2y 的最大值为（）30,10,0,0,x y x y x y +-≤⎧⎪-+≥⎨⎪≥≥⎩A. 2B. 3C. 5D. 68. 设是定义域为的偶函数，且在上单调递减，则满足()f x R [)0,∞+的的取值范围是（ ）()()2f x f x <-x A.B.C. D.(),2-∞-()2,-+∞(),1-∞()1,+∞9. 已知数列的前项和，若，则（ ）{}n a n 2n S n =()*5,p q p q +=∈N p q a a +=A. B. C. D. 7891010. 已知，是椭圆的两个焦点，点M 在C 上，则（1F 2F 22:14x C y +=12MF MF ⋅）A. 有最大值4B. 有最大值3C. 有最小值4D. 有最小值311. 如图，在正方体中，点M ，N 分别是，的中点，则下述1111ABCD A B C D -1A D 1D B 结论中正确的个数为（）①∥平面；②平面平面；MN ABCD 1A ND ⊥1D MB ③直线与所成的角为； ④直线与平面所成的角为．MN 11B D 45︒1D B 1A ND 45︒A. 1B. 2C. 3D. 412. 在数学中，布劳威尔不动点定理是拓扑学里一个非常重要的不动点定理，它可应用到有限维空间，并且是构成一般不动点定理的基石.简单地讲就是对于满足一定条件的连续函数，存在点，使得，那么我们称该函数为“不动点”函数.若函数()f x 0x ()00f x x =为“不动点”函数，则实数a 的取值范围是（）()e x f x a x=-A.B.C.D.1,e ⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦2,e ⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦(],1-∞(],e -∞二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13. 已知点、、，则______.()1,0A ()2,2B ()0,3C ⋅=AB AC 14 已知函数，则______.()cos f x x x=-512f π⎛⎫= ⎪⎝⎭15. 3D 打印是快速成型技术的一种，它是一种以数字模型文件为基础，运用粉末状金属或塑料等可粘合材料，通过逐层打印的方式来构造物体的技术．如图所示的塔筒为打印3D得到的，已知该塔筒（数据均以外壁即塔筒外侧表面计算）的上底直径为6cm ，下底直径为9cm ，高为9cm ，则喉部（最细处）的直径为______cm ．16. 在数列中，，.记是数列的前项和，{}n a 11a =()()*212nn n a a n ++-=∈N n S {}n a n 则______.20S =三、解答题：共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17. 同时从甲、乙、丙三个不同地区进口某种商品的数量分别为、、（单位：240160160件），工作人员用分层抽样的方法从这些商品中共抽取件样品进行检测.7（1）求抽取的件商品中，来自甲、乙、丙各地区的数量；7（2）设抽取的件商品分别用、、、、、、表示，现从中再随机抽取7A B C D E F G 件做进一步检测.2（i ）试用所给字母列举出所有可能的抽取结果；（ii ）设为事件“抽取的件商品来自不同地区”，求事件发生的概率.M 2M 18. 在中，角A ，B ，C ，所对的边分别为a ，b ，c ，已知，ABC cossin 2B Ca b A +=．23a b =（1）求的值；cos B （2）若，求．3a =c 19. 如图，△ABC 是正三角形，在等腰梯形ABEF 中，，AB EF ∥.平面ABC ⊥平面ABEF ，M ，N 分别是AF ，CE 的中点，.12AF EF BE AB ===4CE=（1）证明：平面ABC ；//MN （2）求三棱锥N －ABC 的体积.20. 已知函数，.()2sin f x x ax=-a ∈R （1）若是R 上的单调递增函数，求实数a 的取值范围；()f x （2）当时，求在上的最小值.1a =()()ln g x f x x =-0,2π⎛⎤⎥⎝⎦21. 图1所示的椭圆规是画椭圆的一种工具，在十字形滑槽上各有一个活动滑标M ，N ，有一根旋杆将两个滑标连成一体，，D 为旋杆上的一点且在M ，N 两点之间，且3MN =.当滑标M 在滑槽EF 内做往复运动，滑标N 在滑槽GH 内随之运动时，将2ND DM=笔尖放置于D 处可画出椭圆，记该椭圆为.如图2所示，设EF 与GH 交于点O ，以EF1C所在的直线为x 轴，以GH 所在的直线为y 轴，建立平面直角坐标系.（1）求椭圆的方程；1C （2）以椭圆的短轴为直径作圆，已知直线l 与圆相切，且与椭圆交于A ，B 两1C 2C 2C 1C 点，记△OAB 的面积为S ，若，求直线l 的斜率.S =（二）选考题：共10分.请考生在22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4－4：坐标系与参数方程]22. 在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），为曲线xOy C 222x pt y pt =⎧⎨=⎩t ()2,4上一点的坐标．C （1）将曲线的参数方程化为普通方程；C （2）过点任意作两条相互垂直的射线分别与曲线交于点A ，B ，以直线的斜率O C OA 为参数，求线段的中点的轨迹的参数方程，并化为普通方程．k AB M [选修4－5：不等式选讲]23. 已知函数．()21f x x a x =++-（1）当时，求的最小值；1a =()f x （2）若，时，对任意使得不等式恒成立，证明：0a >0b >[]1,2x ∈()21f x x b >-+．2211222a b ⎛⎫⎛⎫+++> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭开封市2023届高三年级第一次模拟考试文科数学一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合，，则（ ）{}13A x x =-<<{}1,0,1,2B =-A B = A.B.C.D.{}2{}1,0-{}0,1,2{}1,0,1,2-【答案】C 【解析】【分析】根据交集的定义计算即可.【详解】由题知，，{}13A x x =-<<{}1,0,1,2B =-由交集的定义得，，A B = {}0,1,2故选：C.2. 设命题，，则是（）:p x ∀∈R e 1xx ≥+p ⌝A. ， B. ，x ∀∈R e 1≤+xx x ∀∈R e 1xx <+C. ， D. ，x ∃∈R e 1≤+xx x ∃∈R e 1x x <+【答案】D 【解析】【分析】先仔细审题，抓住题目中的关键信息之后再动，原题让我们选择一个全称命题的否定，任意和存在是一对，要注意互相变化，大于等于的否定是小于.【详解】，的否定是，.x ∀∈R e 1xx ≥+x ∃∈R e 1xx <+故选：D3. 若是纯虚数，则实数（ ）4i43i a +-=aA. B. C. D. 2-23-3【答案】D 【解析】【分析】利用复数的除法化简复数，根据纯虚数的概念可得出关于实数的等式与4i43i a +-a 不等式，即可得解.【详解】为纯虚数，则，解得()()()()4i 43i 4i 412316i 43i 43i 43i 2525a a a a +++-+==+--+41203160a a -=⎧⎨+≠⎩.3a =故选：D.4. 已知中，为边上一点，且，则（ ）ABC D BC 13BD BC =AD =A. B. C. D.1233AC AB+ 2133AC AB+1344AC AB+3144AC AB +【答案】A 【解析】【分析】利用向量的线性运算即可求得.【详解】在中，.ABC BC AC AB=-因为，所以.13BD BC =()1133B AC ABD BC ==- 所以.()112333AD AB BD AB A A C AB C AB=++-==+故选：A5. 已知圆锥的底面半径为1，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的体积为（）D. π3【答案】B 【解析】【分析】由侧面展开图求得母线长后求得圆锥的高，再由体积公式计算．【详解】设圆锥母线长为，高为，底面半径为，l h 1r =则由得，所以，2π1πl ⨯=2l=h ==所以．2211ππ133V r h ==⨯=故选：B ．6. 如图为甲，乙两位同学在5次数学测试中成绩的茎叶图，已知两位同学的平均成绩相等，则甲同学成绩的方差为（）A. 4B. 2【答案】B 【解析】【分析】由平均数相等求出，再求方差.m 【详解】由可得，80290392180290329189055m ⨯+⨯++++⨯+⨯++++==，即甲同学成绩的方差为8m =()22221211225+++=故选：B7. 已知则x ＋2y 的最大值为（）30,10,0,0,x y x y x y +-≤⎧⎪-+≥⎨⎪≥≥⎩A 2B. 3C. 5D. 6【答案】C 【解析】【分析】作出可行域，根据简单线性规划求解即可．【详解】作出可行域如图：由可得：，2z x y =+122z y x =-+平移直线经过点时，有最大值，12y x=-A z 由解得，3010x y x y +-=⎧⎨-+=⎩(1,2)A ．max 145z =+=故选：C 8. 设是定义域为的偶函数，且在上单调递减，则满足()f x R [)0,∞+的的取值范围是（ ）()()2f x f x <-x A.B.C. D.(),2-∞-()2,-+∞(),1-∞()1,+∞【答案】D 【解析】【分析】利用的奇偶性、单调性可得，再解不等式可得答案.()f x 2x x-<【详解】因为是定义域为的偶函数，所以，()f x R ()()f x f x -=又在上单调递减，所以在上单调递增，()f x [)0,∞+(),0∞-若，则，解得.()()2f x f x <-2x x-<1x >故选：D.9. 已知数列的前项和，若，则（ ）{}n a n 2n S n =()*5,p q p q +=∈N p q a a +=A. B. C. D. 78910【答案】B 【解析】【分析】利用与的关系可求得的通项公式，进而可求得的值.n a n S {}n a p q a a +【详解】当时，；1n =21111a S ===当时，.2n ≥()221121n n n a S S n n n -=-=--=-也满足，故对任意的，，11a =21n a n =-N n *∈21n a n =-因此，.()222528p q a a p q +=+-=⨯-=故选：B.10. 已知，是椭圆的两个焦点，点M 在C 上，则（1F 2F 22:14x C y +=12MF MF ⋅）A. 有最大值4B. 有最大值3C. 有最小值4D.有最小值3【答案】A 【解析】【分析】根据椭圆方程求得，，2a =1b =c =，设，所以，利用对应函数单124MF MF +=1MF t=()21244MF MF t t t t⋅=-=-+调性即可求解．【详解】由椭圆可得，，，所以，，2214x y +=24a =21b =23c =2a =1b =c =因为点在上，所以，M C 1224MF MF a +==设，，即，则1MF t=[],t a c a c ∈-+22t ⎡∈⎣24MF t =-所以，()21244MF MF t t t t⋅=-=-+由对应函数单调性可知，2124MF MF t t⋅=-+当时，有最大值，最大值为2t =2124MF MF t t ⋅=-+4即时，最大值为，122MF MF ==12MF MF ⋅4当时，有最小值，最小值为2t =2124MF MF t t⋅=-+((22421-+=即，时，最小值为，12MF =22MF =+12MF MF ⋅1综上所述：最小值为，最大值为12MF MF ⋅14故选：A ．11. 如图，在正方体中，点M ，N 分别是，的中点，则下述1111ABCD A B C D -1A D 1D B 结论中正确的个数为（）①∥平面；②平面平面；MN ABCD 1A ND ⊥1D MB ③直线与所成的角为； ④直线与平面所成的角为．MN 11B D 45︒1D B 1A ND 45︒A. 1 B. 2C. 3D. 4【答案】C 【解析】【分析】建立空间直角坐标系，利用法向量的性质，结合空间向量夹角公式逐一判断即可.【详解】建立如下图所示的空间直角坐标系，设该正方体的棱长为，2，111(0,0,0),(2,0,2),(2,2,0),(0,0,2),(2,2,2),(1,0,1),(1,1,1)D A B D B M N 由正方体的性质可知：平面，则平面的法向量为，1D D ⊥ABCD ABCD 1(0,0,2)DD =，因为，所以，而平面，(0,1,0)MN =10D D MN ⋅= 1D D MN ⊥ MN ⊄ABCD 因此∥平面，故①对；MN ABCD 设平面的法向量为，，，1A ND (,,)m x y z = (1,1,1)DN =1(2,0,2)DA = 所以有，1100(1,0,1)2200m DN m DN x y z m x z m DA m DA ⎧⎧⊥⋅=++=⎧⎪⎪⇒⇒⇒=-⎨⎨⎨+=⊥⋅=⎩⎪⎪⎩⎩ 同理可求出平面的法向量，1D MB (1,0,1)n =因为，所以，因此平面平面，故②正确；110m n ⋅=-= m n ⊥1A ND ⊥1D MB 因为，，(0,1,0)MN =11(2,2,0)B D =-- 所以，111111cos ,MN B D MN B D MN B D ⋅〈〉===⋅因为异面直线所成的角范围为，所以直线与所成的角为，故③正确；(0,90]MN 11B D 45︒设直线与平面所成的角为，1D B 1A ND θ因为，平面的法向量为，1(2,2,2)D B =- 1A ND (1,0,1)m =-所以，111sin cos ,D B m D B m D B mθ⋅=〈〉===≠⋅所以直线与平面所成的角不是，因此④错误，1D B 1A ND 45︒一共有个结论正确，3故选：C12. 在数学中，布劳威尔不动点定理是拓扑学里一个非常重要的不动点定理，它可应用到有限维空间，并且是构成一般不动点定理的基石.简单地讲就是对于满足一定条件的连续函数，存在点，使得，那么我们称该函数为“不动点”函数.若函数()f x 0x ()00f x x =为“不动点”函数，则实数a 的取值范围是（）()e x f x a x=-A.B.C.D.1,e ⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦2,e ⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦(],1-∞(],e -∞【答案】B 【解析】【分析】根据题意列出关于和的等式，然后分离参数，转化为两个函数有交点.0x a 【详解】题意得若函数为不动点函数，则满足()e x f x a x=-，即，即()0000e xf x a x x -==00e 2x a x =02e x x a =设，()2e xx g x =()()22e 2e 22e e x xxx x xg x --'==令，解得()0g x '=1x =当时，，所以在上为增函数(),1x ∈-∞()0g x '>()g x (),1-∞当时，，所以在上为减函数()1,x ∈+∞()0g x '<()g x ()1,+∞所以()max 2(1)eg x g ==当时，(),0x ∞∈-()0g x <当时，()0,x ∞∈+()0g x >所以的图象为：()g x要想成立，则与有交点，所以，002e x x a =y a =()g x ()max2e a g x ≤=对应区间为2,e ⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦故选：B.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13. 已知点、、，则______.()1,0A ()2,2B ()0,3C ⋅=AB AC 【答案】5【解析】【分析】计算出向量、的坐标，利用平面向量数量积的坐标运算可求得AB AC的值.AB AC ⋅【详解】由题意可得，，因此，.()1,2AB =()1,3AC =-1235AB AC ⋅=-+⨯=故答案为：.514. 已知函数，则______.()cos f x x x=-512f π⎛⎫= ⎪⎝⎭【解析】【分析】利用辅助角公式将函数化简，再代入计算可得.【详解】∵函数，()1πcos 2cos 2sin 26f x x x x x x ⎫⎛⎫=-=-=-⎪ ⎪⎪⎝⎭⎭即，()2sin()6f x x π=-∴.5π5πππ()2sin()2sin 121264f =-==.15. 3D 打印是快速成型技术的一种，它是一种以数字模型文件为基础，运用粉末状金属或塑料等可粘合材料，通过逐层打印的方式来构造物体的技术．如图所示的塔筒为打印3D得到的，已知该塔筒（数据均以外壁即塔筒外侧表面计算）的上底直径为6cm ，下底直径为9cm ，高为9cm ，则喉部（最细处）的直径为______cm．【答案】【解析】【分析】由已知，根据题意，以最细处所在的直线为轴，其垂直平分线为轴建立平面x y 直角坐标系，设出双曲线方程，并根据离心率表示出之间的关系，由题意底直径为,a b 6cm ，所以双曲线过点，下底直径为9cm ，高为9cm ，所以双曲线过点，()3,m 9,92m ⎛⎫- ⎪⎝⎭代入双曲线方程即可求解方程从而得到喉部（最细处）的直径.【详解】由已知，以最细处所在的直线为轴，其垂直平分线为轴建立平面直角坐标系，x y 设双曲线方程为，()222210,0x y a b a b -=>>由已知可得，，且，ce a ==222c a b =+所以，所以双曲线方程为，224a b =222214x y a a -=底直径为6cm ，所以双曲线过点，()3,m 下底直径为9cm ，高为9cm ，所以双曲线过点，代入双曲线方程得：9,92m ⎛⎫- ⎪⎝⎭，解得：，()222222914819414m a a m a a ⎧-=⎪⎪⎨⎪--=⎪⎩2m a =⎧⎪⎨=⎪⎩所以喉部（最细处）的直径为故答案为：16. 在数列中，，.记是数列的前项和，{}n a 11a =()()*212nn n a a n ++-=∈N n S {}n a n 则______.20S =【答案】110【解析】【分析】对为奇数、为偶数两种情况讨论，求出数列前项中奇数项和偶数项n n {}n a 20的和，相加可得出的值.20S【详解】当为奇数时，，所以，数列的奇数项成以为首项，公差为n 22n n a a +-={}n a 1的等差数列，2所以，；132010921011002a a a ⨯⨯+++=⨯+= 当为偶数时，，n 22n n a a ++=所以，.()()()2420246818202510a a a a a a a a a +++=++++++=⨯= 因此，.2010010110S =+=故答案为：.110三、解答题：共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17. 同时从甲、乙、丙三个不同地区进口某种商品的数量分别为、、（单位：240160160件），工作人员用分层抽样的方法从这些商品中共抽取件样品进行检测.7（1）求抽取的件商品中，来自甲、乙、丙各地区的数量；7（2）设抽取的件商品分别用、、、、、、表示，现从中再随机抽取7A B C D E F G 件做进一步检测.2（i ）试用所给字母列举出所有可能的抽取结果；（ii ）设为事件“抽取的件商品来自不同地区”，求事件发生的概率.M 2M 【答案】（1）分别为件、件、件322（2）（i ）答案见解析；（ii ）1621【解析】【分析】（1）利用分层抽样可计算得出所抽取的件商品中，来自甲、乙、丙各地区的数7量；（2）（i ）利用列举法可列举出所有的基本事件；（ii ）列举出事件所包含的基本事件，利用古典概型的概率公式可求得的值.M ()P M【小问1详解】解：由已知，从甲、乙、丙三个不同地区进口某种商品的数量之比为，3:2:2由于采用分层抽样的方法从中抽取件商品，7因此应从甲、乙、丙三个不同地区进口的某种商品中分别抽取件、件、3737⨯=2727⨯=件.2727⨯=【小问2详解】解：（i ）从抽取的件商品中随机抽取件商品的所有可能结果为：、、、72AB AC AD 、、、、、、、、、、、、、AE AF AG BC BD BE BF BG CD CE CF CG DE 、、、、；DF DG EF EG FG （ii ）不妨设抽取的件商品中，来自甲地区的是、、，来自乙地区的是、，7A B C D E 来自丙地区的是、，F G 则从抽取的件商品中随机抽取的件商品来自相同地区的所有可能结果为：、72AD 、、、、、、、、、、、、、AE AF AG BD BE BF BG CD CE CF CG DF DG 、，共种，EF EG 16所有的基本事件共种，故.21()1621P M =18. 在中，角A ，B ，C ，所对的边分别为a ，b ，c ，已知，ABC cossin 2B Ca b A +=．23a b =（1）求的值；cos B （2）若，求．3a =c 【答案】（1）3cos 4B =（2）52c =【解析】【分析】（1）先由三角形内角和的关系将代换，再由正弦定理将边化角，求得cos2B C+角A ，B 的关系，解出的值；cos B （2）由第一问求得的的值，根据余弦定理公式展开列方程求解即可.cos B c 【小问1详解】因为，A B C π++=所以，222B C Aπ+=-得，cossin 22B C A+=因为，cossin 2B Ca b A +=由正弦定理，可得，sin sinsin sin 2AA B A ⋅=⋅又，所以，sin 0A ≠sinsin 2AB =又因为A ，B 均为三角形内角，所以，即，2AB =2A B =又因为，即，23a b =2sin 3sin A B =即，4sin cos 3sin B B B =又，得；sin 0B ≠3cos 4B =【小问2详解】若，则，3a =2b =由（1）知，3cos 4B =由余弦定理可得2222cos b a c ac B =+-，即，29502c c -+=()5202c c ⎛⎫--= ⎪⎝⎭所以或，2c =52当时，，则，即为等腰直角三角形，2c =b c =22A B C ==ABC 又因为，此时不满足题意，所以．a ≠52c =19. 如图，△ABC 是正三角形，在等腰梯形ABEF 中，，AB EF ∥.平面ABC ⊥平面ABEF ，M ，N 分别是AF ，CE 的中点，.12AF EF BE AB===4CE =（1）证明：平面ABC ；//MN （2）求三棱锥N －ABC 的体积.【答案】（1）证明见解析 （2）2【解析】【分析】（1）取的中点，连接，，证明平面平面，原题即CF D DM DN //MND ABC 得证；（2）取AB 的中点O ，连接OC ，OE ，设，由勾股定理即可12AF EF EB AB a ====求出，进而可求解三棱锥N －ABC 的体积.a 【小问1详解】取CF 的中点D ，连接DM ，DN ，∵M ，N 分别是AF ，CE 的中点，∴，，DM AC ∥DN EF ∥又∵平面ABC ，平面ABC ，∴平面ABC .DM ⊄AC ⊂DM ∥又，∴，同理可得， 平面ABC .EF AB ∥DN AB ∥DN ∥∵平面MND ，平面MND ，，DM⊂DN ⊂DM DN D = ∴平面平面ABC .MND ∥∵平面MND ，∴平面ABC .MN ⊂//MN 【小问2详解】取AB 的中点O ，连接OC ，OE .由已知得OA EF 且OA =EF ，∴OAFE 是平行四边形，∴OE AF 且OE =AF ∥∥∵△ABC 是正三角形，∴OC ⊥AB ，∵平面ABC ⊥平面ABEF ，平面平面ABEF ＝AB ，∴OC ⊥平面ABEF ，ABC ⋂又平面ABEF ，∴OC ⊥OE .OE ⊂设，，12AF EF EB AB a ====OC =在Rt △COE 中，由，解得，即.222OC OE CE +=2a =122AF EF EB AB ====由题意∠FAB ＝60°，M 到AB 的距离即为M 到平面ABC的距离sin 60h AM =︒=又平面ABC ，∴.//MN 11142332N ABC M ABC ABC V V S h --==⋅⋅=⨯⨯⨯=△20. 已知函数，.()2sin f x x ax=-a ∈R （1）若是R 上的单调递增函数，求实数a 的取值范围；()f x（2）当时，求在上的最小值.1a =()()ln g x f x x =-0,2π⎛⎤ ⎥⎝⎦【答案】（1）(],2-∞-（2）2ln 22ππ⎛⎫-- ⎪⎝⎭【解析】【分析】（1）由已知可得：即可求解.()2cos 0f x x a '=-≥（2）结合导数和隐零点替换即可求解最值.【小问1详解】由已知可得：恒成立，()2cos 0f x x a '=-≥即恒成立，又的最小值为-2，所以，2cos a x ≤2cos y x =2a ≤-则有.(],2a ∈-∞-【小问2详解】当时，，1a =()()ln 2sin ln g x f x x x x x=-=--()0,x ∈+∞所以，()12cos 1g x x x '=--令，在上单调递减，()()h x g x '=()212sin h x x x '=-+0,2π⎛⎤⎥⎝⎦又因为，，26106h ππ⎛⎫⎛⎫'=-+> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()12sin112sin 106h π'=-+<-+=所以存在使得，即，从而0,16x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭()0h x '=02012sin x x =0cos x =则有x()00,x 0,2x π⎛⎫ ⎪⎝⎭()h x '正负()g x '递增递减则有最大值为：()g x '，()00000011112cos 11110g x x x x x x '=--=--<-=-<所以，()0g x '<则在上单调递减，所以最小值为.()g x 0,2π⎛⎤ ⎥⎝⎦2ln 222g πππ⎛⎫⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭21. 图1所示的椭圆规是画椭圆的一种工具，在十字形滑槽上各有一个活动滑标M ，N ，有一根旋杆将两个滑标连成一体，，D 为旋杆上的一点且在M ，N 两点之间，且3MN =.当滑标M 在滑槽EF 内做往复运动，滑标N 在滑槽GH 内随之运动时，将2ND DM=笔尖放置于D 处可画出椭圆，记该椭圆为.如图2所示，设EF 与GH交于点O ，以EF 1C 所在的直线为x 轴，以GH 所在的直线为y 轴，建立平面直角坐标系.（1）求椭圆的方程；1C （2）以椭圆的短轴为直径作圆，已知直线l 与圆相切，且与椭圆交于A ，B 两1C 2C 2C 1C点，记△OAB 的面积为S ，若，求直线l 的斜率.S =【答案】（1）2214x y +=（2）k =k =【解析】【分析】（1）由，，即可得到椭圆的长半轴长和短半轴长，进而可求解.2ND =1DM =（2）分类讨论直线的斜率是否存在，当斜率不存在时不满足题意，故设，l :l y kx m =+联立方程，表达出即可求解.S =【小问1详解】由题意可得，，2ND =1DM =所以椭圆的长半轴长为2，短半轴长为1，所以椭圆的方程为：.1C 1C 2214x y +=【小问2详解】若直线l 的斜率不存在，依题意，，带入方程可得，:1lx =±1C AB=此时，所以直线l 的斜率一定存在，设，S =≠:l y kx m =+l 与圆，即，2C 1=221m k =+联立可得，221,4,x y y kx m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩()222148440k x kmx m +++-=由得，()()222264161410k m k m ∆=-+->0k ≠，，122814kmx x k -+=+()21224114mx x k -=+2AB x =-===，由得，即，解得S =AB ==4251120k k -+=k =k =（二）选考题：共10分.请考生在22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4－4：坐标系与参数方程]22. 在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），为曲线xOy C 222x pt y pt =⎧⎨=⎩t ()2,4上一点的坐标．C （1）将曲线的参数方程化为普通方程；C （2）过点任意作两条相互垂直的射线分别与曲线交于点A ，B ，以直线的斜率O C OA 为参数，求线段的中点的轨迹的参数方程，并化为普通方程．k AB M 【答案】（1）2x y =（2）221x y =-【解析】【分析】（1）根据曲线的参数方程为（为参数），消去参数求解；C 222x pty pt =⎧⎨=⎩t t （2）设的斜率为，方程为，则的方程为：，分别与抛物线方OA k y kx =OB 1=-y xk 程联立，求得A ，B 的坐标，再利用中点坐标求解.【小问1详解】解：因为曲线的参数方程为（为参数），C 222x pt y pt =⎧⎨=⎩t 消去参数可得：，将点代入可得，t 22x py =()2,412p =所以曲线的普通方程为：；C 2x y =【小问2详解】由已知得：，的斜率存在且不为0，OA OB设的斜率为，方程为，则的方程为：，OA k y kx =OB 1=-y x k 联立方程可得：，2,,y kx x y =⎧⎨=⎩()2,A k k 同理可得：，211,B k k ⎛⎫- ⎪⎝⎭设，所以(),M x y 2211,211,2x k k y k k ⎧⎛⎫=- ⎪⎪⎪⎝⎭⎨⎛⎫⎪=+ ⎪⎪⎝⎭⎩所以，22214222x k y k =+-=-所以即为点轨迹的普通方程．221x y =-M [选修4－5：不等式选讲]23. 已知函数．()21f x x a x =++-（1）当时，求的最小值；1a =()f x （2）若，时，对任意使得不等式恒成立，证明：0a >0b >[]1,2x ∈()21f x x b >-+．2211222a b ⎛⎫⎛⎫+++> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【答案】（1）2； （2）证明见解析.【解析】【分析】（1）分段求解的最小值和范围，即可求得结果；()f x （2）转化为，结合二次函数在区间上的最值，利用()21f x x b >-+233a b x x +>-+不等式，即可证明.【小问1详解】当时，，1a =()121f x x x =++-当，，；1x ≤-()31f x x =-+()min ()14f x f =-=当，，；11x -<<()3f x x =-+()()2,4f x ∈当，，；1x ≥()31f x x =-()min ()12f x f ==∴当时，的最小值为2．1a =()f x 【小问2详解】，，当时，0a >0b >12x ≤≤可化为，2211x a x x b ++->-+233a b x x +>-+令，，，∴()233h x x x =-+[]1,2x ∈()()()max 121h x h h ===1a b +>∴，22222111()122222a b a b a b a b a b +⎛⎫⎛⎫+++=++++≥+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭当且仅当时取得等号；a b =又当时，，1a b +>2()122a b a b ++++2>故.2211222a b ⎛⎫⎛⎫+++> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭。
2020届高考全国卷1数学(理)模拟试卷含答案详解-202全国卷1数学
第 1 页 共 8 页 2020年普通高等学校招生全国统一考试理科数学模拟试题卷注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1. 已知集合}02|{2<--=x x x A ，}log |{2m x x B >=，若B A ⊆，则实数m 的取值范围（ ）A ．]21,(-∞ B ．]4,0( C ．]1,21( D ．]21,0( 2. 若复数z 满足232z z i +=-，其中i 为虚数单位，则z=（ ）A ．1+2iB ．1﹣2iC ．﹣1+2iD ．﹣1﹣2i 3．在等差数列{}n a 中，810112a a =+，则数列{}n a 的前11项和11S =( ) A. 8 B. 16 C. 22 D. 444． 某几何体的三视图如图（其中侧视图中的圆弧是半圆），则该几何体的表面积为A ．9214π+B ．8214π+C ．9224π+D ．8224π+5．若)()1(*3N n xx x n ∈+ 的展开式中存在常数项，则下列选项中n 可为( ) A ．9 B ．10 C ．11 D ．12 6．某地区高考改革，实行“3+1+2”模式，即“3”指语文、数学、外语三门必考科目，“1”指在物理、历史两门科目中必选一门，“2”指在化学、生物、政治、地理以及除了必选一门以外的历史或物理这五门学科中任意选择两门学科，则一名学生的不同选科组合有( )A. 8种B. 12种C. 16种D. 20种7. 已知抛物线C: 28=x y ，定点A （0，2），B （0，2-），点P 是抛物线C 上不同于顶点的动点，则∠PBA 的取值范围为 （ ） A. 0,4π⎛⎤ ⎥⎝⎦ B. 42，ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭ C. 0,3π⎛⎤ ⎥⎝⎦D. 32，ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭8． 若0>ω，函数)3cos(πω+=x y 的图象向右平移3π个单位长度后与函数x y ωsin =图象重合，则ω的最小值为A.211B.25C.21D. 23 9．抛掷两枚骰子，当至少有一枚5点或6点出现时，就说这次试验成功，则在9次试验中成功次数的均值为（ ）。
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【必考题】数学高考第一次模拟试卷(及答案)一、选择题1．某班上午有五节课，分別安排语文，数学，英语，物理，化学各一节课．要求语文与化学相邻，数学与物理不相邻，且数学课不排第一节，则不同排课法的种数是 A ．24 B ．16C ．8D ．122．若3tan 4α= ，则2cos 2sin 2αα+=（ ） A ．6425 B ．4825C ．1D ．16253．已知2a ib i i+=+ ，,a b ∈R ，其中i 为虚数单位，则+a b =（ ） A ．-1B ．1C ．2D ．34．4张卡片上分别写有数字1，2，3，4，从这4张卡片中随机抽取2张，则取出的2张卡片上的数学之和为偶数的概率是（ ） A ．12B ．13C ．23D ．345．在△ABC 中，AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点，则EB = A ．3144AB AC - B ．1344AB AC - C ．3144+AB AC D ．1344+AB AC 6．一个频率分布表（样本容量为30）不小心被损坏了一部分，只记得样本中数据在[)2060,上的频率为0.8，则估计样本在[)40,50、[)50,60内的数据个数共有（ ）A ．14B ．15C ．16D ．177．函数()ln f x x x =的大致图像为 （ ）A ．B ．C ．D ．8．函数y =2x sin2x 的图象可能是A ．B ．C ．D ．9．下列函数中，最小正周期为π，且图象关于直线3x π=对称的函数是（ ）A ．2sin 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭B ．2sin 26y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭ C ．2sin 23x y π⎛⎫=+⎪⎝⎭D ．2sin 23y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭10．一个样本a,3,4,5,6的平均数是b ，且不等式x 2－6x ＋c ＜0的解集为(a ，b )，则这个样本的标准差是( ) A ．1 B 2C 3D ．211．一盒中有12个乒乓球,其中9个新的,3个旧的,从盒中任取3个球来用,用完后装回盒中,此时盒中旧球个数X 是一个随机变量,其分布列为P (X ),则P (X =4)的值为 A ．1220B ．2755C ．2125D ．2722012．在ABC ∆中，A 为锐角，1lg lg()lgsin lg 2b A c+==-，则ABC ∆为（ ） A ．等腰三角形 B ．等边三角形 C ．直角三角形D ．等腰直角三角形二、填空题13．某工厂生产甲、乙、丙、丁四种不同型号的产品，产量分别为200,400,300,100件，为检验产品的质量，现用分层抽样的方法从以上所有的产品中抽取60件进行检验，则应从丙种型号的产品中抽取________ 件. 14．事件,,A B C 为独立事件，若()()()111,,688P A B P B C P A B C ⋅=⋅=⋅⋅=，则()P B =_____．15．已知函数21,1()()1a x x f x x a x ⎧-+≤=⎨->⎩，函数()2()g x f x =-，若函数()()y f x g x =-恰有4个不同的零点，则实数a 的取值范围为______． 16．已知函数()sin ([0,])f x x x π=∈和函数1()tan 2g x x =的图象交于,,A B C 三点，则ABC ∆的面积为__________．17．从2位女生，4位男生中选3人参加科技比赛，且至少有1位女生入选，则不同的选法共有_____________种．（用数字填写答案）18．若函数2()1ln f x x x a x =-++在(0,)+∞上单调递增，则实数a 的最小值是__________． 19．34331654+log log 8145-⎛⎫+= ⎪⎝⎭________. 20．三个数成等差数列，其比为3:4:5，又最小数加上1后，三个数成等比数列，那么原三个数是三、解答题21．如图，在四棱锥P−ABCD 中，AB//CD ，且90BAP CDP ∠=∠=.（1）证明：平面P AB ⊥平面P AD ；（2）若P A =PD =AB =DC ，90APD ∠=，求二面角A −PB −C 的余弦值.22．“微信运动”是手机APP 推出的多款健康运动软件中的一款，大学生M 的微信好友中有400位好友参与了“微信运动”．他随机抽取了40位参与“微信运动”的微信好友（女20人，男20人）在某天的走路步数，经统计，其中女性好友走路的步数情况可分为五个类别：A 、02000步，（说明：“02000”表示大于或等于0，小于2000，以下同理），B 、20005000步，C 、50008000步，D 、800010000步，E 、1000012000步，且A 、B 、C 三种类别的人数比例为1:4:3，将统计结果绘制如图所示的柱形图；男性好友走路的步数数据绘制如图所示的频率分布直方图．（Ⅰ）若以大学生M 抽取的微信好友在该天行走步数的频率分布，作为参与“微信运动”的所有微信好友每天走路步数的概率分布，试估计大学生M 的参与“微信运动”的400位微信好友中，每天走路步数在20008000的人数；（Ⅱ）若在大学生M 该天抽取的步数在800010000的微信好友中，按男女比例分层抽取6人进行身体状况调查，然后再从这6位微信好友中随机抽取2人进行采访，求其中至少有一位女性微信好友被采访的概率．23．如图，矩形ABCD 和菱形ABEF 所在的平面相互垂直，ABE 60∠=︒，G 为BE 的中点.(Ⅰ)求证：AG ⊥平面ADF ；(Ⅱ) 求AB 3=BC 1=，求二面角D CA G --的余弦值. 24．在直角坐标系xOy 中，直线l 1的参数方程为2+,,x t y kt =⎧⎨=⎩（t 为参数），直线l 2的参数方程为2,,x m m m y k =-+⎧⎪⎨=⎪⎩（为参数）.设l 1与l 2的交点为P ，当k 变化时，P 的轨迹为曲线C ． （1）写出C 的普通方程；（2）以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，设()3:cos sin 20l ρθθ+=，M 为l 3与C 的交点，求M 的极径.25．已知数列｛n a ｝的前n 项和Sn ＝n 2－5n (n∈N +）． （1）求数列｛n a ｝的通项公式；（2）求数列｛12nn a +｝的前n 项和Tn . 26．已知(3cos ,cos )a x x =，(sin ,cos )b x x =，函数()f x a b =⋅.（1）求()f x 的最小正周期及对称轴方程； （2）当(,]x ππ∈-时，求()f x 单调递增区间.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．B 解析：B 【解析】 【分析】根据题意，可分三步进行分析：（1）要求语文与化学相邻，将语文与化学看成一个整体，考虑其顺序；（2）将这个整体与英语全排列，排好后，有3个空位；（3）数学课不排第一行，有2个空位可选，在剩下的2个空位中任选1个，得数学、物理的安排方法，最后利用分步计数原理，即可求解。
【详解】根据题意，可分三步进行分析：（1）要求语文与化学相邻，将语文与化学看成一个整体，考虑其顺序，有222A =种情况；（2）将这个整体与英语全排列，有222A =中顺序，排好后，有3个空位；（3）数学课不排第一行，有2个空位可选，在剩下的2个空位中任选1个， 安排物理，有2中情况，则数学、物理的安排方法有224⨯=种， 所以不同的排课方法的种数是22416⨯⨯=种，故选B 。
【点睛】本题主要考查了排列、组合的综合应用，其中解答红注意特殊问题和相邻问题与不能相邻问题的处理方法是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题。
2．A解析：A 【解析】试题分析：由3tan 4α=，得34sin ,cos 55αα==或34sin ,cos 55αα=-=-，所以2161264cos 2sin 24252525αα+=+⨯=，故选A ．【考点】同角三角函数间的基本关系，倍角公式．【方法点拨】三角函数求值：①“给角求值”将非特殊角向特殊角转化，通过相消或相约消去非特殊角，进而求出三角函数值；②“给值求值”关键是目标明确，建立已知和所求之间的联系．3．B解析：B 【解析】 【分析】利用复数除法运算法则化简原式可得2ai b i -=+，再利用复数相等列方程求出,a b 的值，从而可得结果. 【详解】因为22222a i ai i ai b i i i+--==-=+- ，,a b ∈R ， 所以2211b b a a ==⎧⎧⇒⎨⎨-==-⎩⎩，则+1a b =，故选B.【点睛】复数是高考中的必考知识，主要考查复数的概念及复数的运算．要注意对实部、虚部的理解，掌握纯虚数、共轭复数、复数的模这些重要概念，复数的运算主要考查除法运算，通过分母实数化转化为复数的乘法，运算时特别要注意多项式相乘后的化简，防止简单问题出错，造成不必要的失分.4．B解析：B 【解析】试题分析：由题意知本题是一个古典概型概率的计算问题． 从这4张卡片中随机抽取2张，总的方法数是246C 种，数学之和为偶数的有13,24++两种，所以所求概率为13，选B ． 考点：古典概型．5．A解析：A 【解析】分析：首先将图画出来，接着应用三角形中线向量的特征，求得1122BE BA BC =+，之后应用向量的加法运算法则-------三角形法则，得到BC BA AC =+，之后将其合并，得到3144BE BA AC =+，下一步应用相反向量，求得3144EB AB AC =-，从而求得结果. 详解：根据向量的运算法则，可得()111111222424BE BA BD BA BC BA BA AC =+=+=++ 1113124444BA BA AC BA AC =++=+， 所以3144EB AB AC =-，故选A. 点睛：该题考查的是有关平面向量基本定理的有关问题，涉及到的知识点有三角形的中线向量、向量加法的三角形法则、共线向量的表示以及相反向量的问题，在解题的过程中，需要认真对待每一步运算.6．B解析：B 【解析】 【分析】计算出样本在[)2060,的数据个数，再减去样本在[)20,40的数据个数即可得出结果. 【详解】由题意可知，样本在[)2060,的数据个数为300.824⨯=， 样本在[)20,40的数据个数为459+=，因此，样本在[)40,50、[)50,60内的数据个数为24915. 故选：B. 【点睛】本题考查利用频数分布表计算频数，要理解频数、样本容量与频率三者之间的关系，考查计算能力，属于基础题.7．A解析：A 【解析】 【分析】 【详解】∵函数f （x ）=xlnx 只有一个零点，∴可以排除CD 答案又∵当x ∈（0，1）时，lnx ＜0，∴f （x ）=xlnx ＜0，其图象在x 轴下方 ∴可以排除B 答案 考点：函数图像．8．D解析：D 【解析】分析:先研究函数的奇偶性，再研究函数在π(,π)2上的符号，即可判断选择.详解：令()2sin 2xf x x =， 因为,()2sin 2()2sin 2()x x x R f x x x f x -∈-=-=-=-，所以()2sin 2xf x x =为奇函数，排除选项A,B;因为π(,π)2x ∈时，()0f x <，所以排除选项C ，选D.点睛：有关函数图象的识别问题的常见题型及解题思路：（1）由函数的定义域，判断图象的左、右位置，由函数的值域，判断图象的上、下位置；（2）由函数的单调性，判断图象的变化趋势；（3）由函数的奇偶性，判断图象的对称性；（4）由函数的周期性，判断图象的循环往复．9．B解析：B 【解析】 【分析】首先选项C 中函数2sin 23x y π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的周期为2412T ππ==,故排除C,将3x π=,代入A,B,D 求得函数值,而函数sin()y A x B ωϕ=++在对称轴处取最值,即可求出结果. 【详解】先选项C 中函数2sin 23x y π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的周期为2412T ππ==,故排除C,将3x π=,代入A,B,D求得函数值为0,,而函数sin()y A x B ωϕ=++在对称轴处取最值. 故选:B . 【点睛】本题考查三角函数的周期性、对称性,难度较易.10．B解析：B 【解析】由题意得a ＋3＋4＋5＋6＝5b ，a ＋b ＝6，解得a ＝2，b ＝4，所以样本方差s 2＝15[(2－4)2＋(3－4)2＋(4－4)2＋(5－4)2＋(6－4)2]＝2，. 故答案为B.11．D解析：D 【解析】 【分析】旧球个数x=4即取出一个新球，两个旧球，代入公式即可求解． 【详解】因为从盒中任取3个球来用，用完后装回盒中，此时盒中旧球个数为x=4，即旧球增加一个，所以取出的三个球中必有一个新球，两个旧球，所以129331227(4)220C C P X C ===，故选D ． 【点睛】本题考查离散型随机变量的分布列，需认真分析P(X=4)的意义，属基础题．12．D解析：D 【解析】 【分析】 【详解】试题分析：由1lg lg()lgsin b A c+==-lglg 22b bc c =⇒=且sin 2A =，又因为A 为锐角，所以45A =，由2b c =，根据正弦定理，得sin sin sin(135)cos sin 22B C B B B ==-=+，解得cos 090B B =⇒=，所以三角形为等腰直角三角形，故选D. 考点：三角形形状的判定.二、填空题13．18【解析】应从丙种型号的产品中抽取件故答案为18点睛:在分层抽样的过程中为了保证每个个体被抽到的可能性是相同的这就要求各层所抽取的个体数与该层所包含的个体数之比等于样本容量与总体的个体数之比即ni解析：18 【解析】应从丙种型号的产品中抽取30060181000⨯=件，故答案为18．点睛:在分层抽样的过程中，为了保证每个个体被抽到的可能性是相同的，这就要求各层所抽取的个体数与该层所包含的个体数之比等于样本容量与总体的个体数之比，即n i ∶N i ＝n ∶N ．14．【解析】【分析】【详解】分析：根据独立事件的关系列出方程解出详解：设因为所以所以所以点睛：本题主要考查相互独立事件的概率的乘法公式及对立事件的概率关系属于中档题解析：12【解析】 【分析】 【详解】分析：根据独立事件的关系列出方程，解出()P B . 详解：设()()()P A a,P B b,P C c ===, 因为()()()111,,688P A B P B C P A B C ⋅=⋅=⋅⋅=， 所以()()16118118ab b c ab c ⎧=⎪⎪⎪-=⎨⎪⎪-=⎪⎩所以111a ,b ,324c === 所以()1P B 2=点睛：本题主要考查相互独立事件的概率的乘法公式及对立事件的概率关系，属于中档题．15．【解析】【分析】由函数把函数恰有个不同的零点转化为恰有4个实数根列出相应的条件即可求解【详解】由题意函数且函数恰有个不同的零点即恰有4个实数根当时由即解得或所以解得；当时由解得或所以解得综上可得：实 解析：(]2,3【解析】 【分析】由函数()2()g x f x =-，把函数()()y f x g x =-恰有4个不同的零点，转化为()1f x =恰有4个实数根，列出相应的条件，即可求解. 【详解】由题意，函数()2()g x f x =-，且函数()()y f x g x =-恰有4个不同的零点，即()1f x =恰有4个实数根，当1x ≤时，由11a x -+=，即110x a +=-≥，解得2=-x a 或x a =-，所以2112a a a a -≤⎧⎪-≤⎨⎪-≠-⎩，解得13a ；当1x >时，由2()1x a -=，解得1x a =-或1x a =+，所以1111a a ->⎧⎨+>⎩，解得2a >，综上可得：实数a 的取值范围为(]2,3. 【点睛】本题主要考查了函数与方程的应用，其中解答中利用条件转化为()1f x =，绝对值的定义，以及二次函数的性质求解是解答的关键，着重考查了数形结合思想，以及推理与计算能力，属于中档试题.16．【解析】【分析】画出两个函数图像求出三个交点的坐标由此计算出三角形的面积【详解】画出两个函数图像如下图所示由图可知对于点由解得所以【点睛】本小题主要考查正弦函数和正切函数的图像考查三角函数图像交点坐解析：4【解析】 【分析】画出两个函数图像，求出三个交点的坐标，由此计算出三角形的面积. 【详解】画出两个函数图像如下图所示，由图可知()()0,0,π,0A C ，对于B 点，由sin 1tan 2y x y x =⎧⎪⎨=⎪⎩，解得π3B ⎛ ⎝⎭，所以1π2ABC S ∆=⨯=.【点睛】本小题主要考查正弦函数和正切函数的图像，考查三角函数图像交点坐标的求法，考查三角函数面积公式，属于中档题.17．【解析】【分析】首先想到所选的人中没有女生有多少种选法再者需要确定从人中任选人的选法种数之后应用减法运算求得结果【详解】根据题意没有女生入选有种选法从名学生中任意选人有种选法故至少有位女生入选则不同解析：16【解析】【分析】首先想到所选的人中没有女生，有多少种选法，再者需要确定从6人中任选3人的选法种数，之后应用减法运算，求得结果.【详解】根据题意，没有女生入选有344C=种选法，从6名学生中任意选3人有3620C=种选法，故至少有1位女生入选，则不同的选法共有20416-=种，故答案是16.【点睛】该题是一道关于组合计数的题目，并且在涉及到“至多、至少”问题时多采用间接法，一般方法是得出选3人的选法种数，间接法就是利用总的减去没有女生的选法种数，该题还可以用直接法，分别求出有1名女生和有两名女生分别有多少种选法，之后用加法运算求解.18．【解析】【分析】由函数单调递增可得导函数在区间内大于等于零恒成立根据分离变量的方式得到在上恒成立利用二次函数的性质求得的最大值进而得到结果【详解】函数在上单调递增在上恒成立在上恒成立令根据二次函数的解析：1 8【解析】【分析】由函数单调递增可得导函数在区间内大于等于零恒成立，根据分离变量的方式得到22a x x ≥-在()0,∞+上恒成立，利用二次函数的性质求得22x x -的最大值，进而得到结果. 【详解】函数()21ln f x x x a x =-++在()0,∞+上单调递增()210af x x x'∴=-+≥在()0,∞+上恒成立 22a x x ∴≥-在()0,∞+上恒成立 令()22g x x x =-，0x > 根据二次函数的性质可知：当14x =时， ()max 18g x =18a ∴≥，故实数a 的最小值是18本题正确结果：18【点睛】本题考查根据函数在区间内的单调性求解参数范围的问题，关键是能将问题转化为导函数的符号的问题，通过分离变量的方式将问题转变为参数与函数最值之间的关系问题.19．【解析】试题分析：原式=考点：1指对数运算性质 解析：278【解析】试题分析：原式=344332542727log log 134588-⎡⎤⎛⎫+⨯=+=⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦考点：1.指对数运算性质.20．2025【解析】设这三个数：（）则成等比数列则或（舍）则原三个数：152025解析：20 25 【解析】 设这三个数：、、（），则、、成等比数列，则或（舍），则原三个数：15、20、25三、解答题21．（1）见解析；（2）33- 【解析】 【详解】（1）由已知90BAP CDP ∠=∠=︒，得AB ⊥AP ，CD ⊥PD ． 由于AB//CD ，故AB ⊥PD ，从而AB ⊥平面P AD ． 又AB ⊂平面P AB ，所以平面P AB ⊥平面P AD ． （2）在平面PAD 内作PF AD ⊥，垂足为F ，由（1）可知，AB ⊥平面PAD ，故AB PF ⊥，可得PF ⊥平面ABCD .以F 为坐标原点，FA 的方向为x 轴正方向，AB 为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系Fxyz .由（1）及已知可得22A ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，2P ⎛ ⎝⎭，2,1,02B ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，22C ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭. 所以2222PC ⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭，()2,0,0CB =，2222PA ⎛=- ⎝⎭，()0,1,0AB =. 设(),,n x y z =是平面PCB 的法向量，则0,0,n PC n CB ⎧⋅=⎨⋅=⎩即220,2220,x y z x ⎧-+-=⎪⎨⎪=⎩可取(0,1,2n =--.设(),,m x y z =是平面PAB 的法向量，则0,0,m PA m AB ⎧⋅=⎨⋅=⎩即220,0.x z y =⎪=⎩可取()1,0,1m =. 则3cos ,n m n m n m ⋅==-， 所以二面角A PB C --的余弦值为3【名师点睛】高考对空间向量与立体几何的考查主要体现在以下几个方面： ①求异面直线所成的角，关键是转化为两直线的方向向量的夹角；②求直线与平面所成的角，关键是转化为直线的方向向量和平面的法向量的夹角； ③求二面角，关键是转化为两平面的法向量的夹角.建立空间直角坐标系和表示出所需点的坐标是解题的关键. 22．（Ⅰ）见解析（Ⅱ）35． 【解析】 【分析】（Ⅰ）所抽取的40人中，该天行走20008000~步的人数：男12人，女14人，由此能求出400位参与“微信运动”的微信好友中，每天行走20008000~步的人数． （Ⅱ）该天抽取的步数在800010000~的人数：男6人，女3人，共9人，再按男女比例分层抽取6人，则其中男4人，女2人，由此能求出其中至少有一位女性微信好友被采访的概率． 【详解】（Ⅰ）由题意，所抽取的40人中，该天行走20008000~步的人数：男12人，女14人， 所以400位参与“微信运动”的微信好友中，每天行走20008000~步的人数约为2640026040⨯=人； （Ⅱ）该天抽取的步数在800010000~的人数中，根据频率分布直方图可知，男生人数所占的频率为0.1520.3⨯=，所以男生的人数为为200.36⨯=人，根据柱状图可得，女生人数为3人，再按男女比例分层抽取6人，则其中男4人，女2人．再从这6位微信好友中随机抽取2人进行采访，基本事件总数2615n C ==种，至少1个女性的对立事件是选取中的两人都是男性，∴其中至少有一位女性微信好友被采访的概率：2426315C P C =-=．【点睛】本题主要考查了频率分布直方图的应用，以及古典概型及其概率的求解，以及分层抽样等知识的综合应用，其中解答中认真审题，正确理解题意，合理运算求解是解答此类问题的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题． 23．（Ⅰ）详见解析（Ⅱ）7- 【解析】 【分析】（Ⅰ）由矩形ABCD 和菱形ABEF 所在的平面相互垂直，AD AB ⊥，进而证得AD ⊥平面ABEF ，证得AD AG ⊥，再根菱形ABEF 的性质，证得AG AF ⊥，利用线面垂直的判定定理，即可证得AG ⊥平面ADF .(Ⅱ) 由(Ⅰ)可知AD ，AF ，AG 两两垂直，以A 为原点，AG 为x 轴，AF 为y 轴，AD 为z 轴，建立空间直角坐标系，分别求得平面ACD 和平面ACG 一个法向量，利用向量的夹角公式，即可求解. 【详解】（Ⅰ）证明：∵矩形ABCD 和菱形ABEF 所在的平面相互垂直，AD AB ⊥， ∵矩形ABCD ⋂菱形ABEF AB =，∴AD ⊥平面ABEF ， ∵AG ⊂平面ABEF ，∴AD AG ⊥，∵菱形ABEF 中，ABE 60∠=︒，G 为BE 的中点，∴AG BE ⊥，∴AG AF ⊥， ∵AD AF A ⋂=，∴AG ⊥平面ADF .(Ⅱ) 由(Ⅰ)可知AD ，AF ，AG 两两垂直，以A 为原点，AG 为x 轴，AF 为y 轴，AD 为z 轴，建立空间直角坐标系，∵AB 3=，BC 1=，则AD 1=，3AG 2=， 故()A 000，，，33C 12⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，，，()D 001，，，3A 002⎛⎫⎪⎝⎭，，， 则3312AC ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭，，，()001AD =，，，3002AG ，，⎛⎫= ⎪⎝⎭， 设平面ACD 的法向量()1111n x y z =，，，则11111133·022·0AC n x y z AD n z ⎧=-+=⎪⎨⎪==⎩， 取13y =，得()1130n ，，=， 设平面ACG 的法向量()2222n x y z =，，，则22222233·10223·02AC n x y z AG n x ⎧=-+=⎪⎪⎨⎪==⎪⎩， 取22y =，得()2023n ，，=， 设二面角D CA G --的平面角为θ，则1212|?|2321cos θ727·n n n n ===⨯， 由图可知θ为钝角，所以二面角D CA G --的余弦值为217-. 【点睛】本题考查了立体几何中的线面垂直的判定与证明和直线与平面所成的角的求解问题，意在考查学生的空间想象能力和逻辑推理能力，解答本题关键在于能利用直线与直线、直线与平面、平面与平面关系的相互转化，通过严密推理.同时对于立体几何中角的计算问题，往往可以利用空间向量法，通过求解平面的法向量，利用向量的夹角公式求解.24．（1）()2240x y y -=≠（2【解析】（1）消去参数t 得1l 的普通方程()1:2l y k x =-；消去参数m 得l 2的普通方程()21:2l y x k=+. 设(),P x y ,由题设得()()212y k x y x k ⎧=-⎪⎨=+⎪⎩，消去k 得()2240x y y -=≠. 所以C 的普通方程为()2240x y y -=≠.（2）C 的极坐标方程为()()222cos sin 402π,πρθθθθ-=<<≠.联立()()222cos sin 4,cos sin 0ρθθρθθ⎧-=⎪⎨+=⎪⎩得()cos sin 2cos sin θθθθ-=+.故1tan 3θ=-， 从而2291cos ,sin 1010θθ==. 代入()222cos sin 4ρθθ-=得25ρ=，所以交点M【名师点睛】本题考查了极坐标方程的求法及应用，重点考查了转化与化归能力.遇到求曲线交点、距离、线段长等几何问题时，求解的一般方法是分别化为普通方程和直角坐标方程后求解，或者直接利用极坐标的几何意义求解.要结合题目本身特点，确定选择何种方程. 25．（1）26()n a n n N +=-∈；（2）112n nn T -=-- 【解析】 【分析】（1）运用数列的递推式：11,1,1n n n S n a S S n -=⎧=⎨->⎩，计算可得数列｛n a ｝的通项公式；（2）结合（1）求得1322n n na n +-=，运用错位相减法,结合等比数列的求和公式，即可得到数列｛12nn a +｝的前n 项和n T . 【详解】（1）因为11,1,1n n n S n a S S n -=⎧=⎨->⎩，()25n S n n n N +=-∈所以114a S ==-, 1n >时,()()22515126n a n n n n n =---+-=- 1n =也适合，所以()+26N n a n n =-∈（2）因为1322n n na n +-=， 所以12121432222n n n n n T -----=++⋅⋅⋅++ 2311214322222n n n n n T +----=++⋅⋅⋅++ 两式作差得：1211211322222n n n n T +--=++⋅⋅⋅+- 化简得1111222n n n T +-=--， 所以112n nn T -=--. 【点睛】本题考查数列的通项公式的求法，等比数列的求和公式，考查数列的错位相减法，属于中档题. “错位相减法”求数列的和是重点也是难点，利用“错位相减法”求数列的和应注意以下几点：①掌握运用“错位相减法”求数列的和的条件（一个等差数列与一个等比数列的积）；②相减时注意最后一项的符号；③求和时注意项数别出错；④最后结果一定不能忘记等式两边同时除以1q -. 26．(1) T π= ；26k x ππ=+（k Z ∈）. (2) 5(,]6ππ--，[,]36ππ-和2[,]3ππ 【解析】 【分析】（1）化简得()1sin 262f x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，再求函数的周期和对称轴方程；（2）先求出函数在R 上的增区间为[,36k k ππππ-+] （k Z ∈），再给k 赋值与定义域求交集得解.【详解】解：（1）()23sin cos cos f x a b xx x =⋅=+111cos2sin 22262x x x π⎛⎫=++=++ ⎪⎝⎭所以()f x 的周期22T ππ==, 令262x k πππ+=+（k Z ∈），即26k x ππ=+（k Z ∈） 所以()f x 的对称轴方程为26k x ππ=+（k Z ∈）. （2）令222262k x k πππππ-≤+≤+（k Z ∈）解得36k x k ππππ-≤≤+（k Z ∈），由于(],x ππ∈- 所以当1,0k =-或1时，得函数()f x 的单调递增区间为5,6ππ⎛⎤-- ⎥⎝⎦，,36ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦和2,3ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 【点睛】本题主要考查三角恒等变换，考查三角函数的周期的求法和对称轴的求法，考查三角函数的单调区间的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.。