数集名词解释
数学分析第一册第一章
S的最小的上界 称作 的上确界 的最小的上界,称作 的上确界. 的最小的上界 称作S的上确界 满足： 定义2 定义 设S是R中的一个数集 若数 η 满足： 是 中的一个数集 (i) 对一切 x ∈ S , 有 x ≤ η , η 即是 的上界； 即是S的上界 的上界； (ii) 对任何 α < η , 存在x0 ∈ S , 使得 x0 > α , 即 则称数
事实上，对任何正数 无论多么大 无论多么大)， 事实上，对任何正数M(无论多么大 ，取 则 n0 ∈ N + , 且 n0
n0 = [ M ] + 1, ([ M ]表示对M 取整)
问题: 问题 设 S
有无上界; 有无上界 = [0,1]. (1) S有无上界 (2) S若有上界 有几个上界 若有上界,有几个上界 若有上界 有几个上界; (3) S有无最小的上界 有无最小的上界. 有无最小的上界
数集.确界原理 §2数集 确界原理 数集 一 区间与邻域 为开区间， 设 a, b ∈ R, 且 a < b. 称数集 {x | a < x < b} 为开区间，记作 ( a, b) 称为闭区间，记作 数集 称为闭区间，
{x | a ≤ x ≤ b}
(a, b)
数集
{x | a ≤ x < b} [a, b) 都称为半开半闭区间， 都称为半开半闭区间，分别记作 ( a, b] { x | a < x ≤ b} b
例2 设
满足： 定义2 定义 设S是R中的一个数集 若数η 满足： 是 中的一个数集 (i) 对一切 x ∈ S , 有 x ≤ η , η 即是 的上界； 即是S的上界 的上界； η 又是 的最小上界， 的最小上界 (ii) 对任何 α < η , 存在x ∈ S , 使得 x0 > α ,即 又是S的最小上界， 则称数 证明: S = [0,1]. 证明 sup S = 1. 的上界； 的上界 证: (i) 对一切 x ∈ S , 有 x ≤ 1, η = 1 是S的上界； (ii) 对任何 α < 1, 取 x0 = 1 ∈ S , 则有 x0 > α , 故 sup S = 1. 例2 设 证明: = [0,1).证明: sup S = 1. 的上界； 的上界 证: (i) 对一切 x ∈ S , 有 x ≤ 1, η = 1 是S的上界； 则有任取 x0 ∈ S , (ii) 对任何 α < 1. 若 α < 0, 1+ α , 有 α < x0 . 有 α < x0 . 若 0 ≤ α < 1, 取 x0 = 2 sup S = 1. 例3 设 S 所以
高等数学二常用数学概念大全
高等数学二常用数学概念大全一、数集数集是指一个数学对象的集合，这个集合包括某些数的集合或对象的集合。
数学中的数集可分为有限数集和无限数集。
有限数集是指元素个数有限的数集，而无限数集是指元素个数无限的数集。
二、集合的运算集合的运算通常包括并集、交集、差集和补集。
并集是指将两个数集合并成一个数集，其中数集中包含的元素是两个数集的所有元素的所有不同元素。
交集是指两个数集共同包含的元素集合，即两个数集中都含有的元素。
差集是指一个数集中含有的元素，但另一个数集中不含有的元素的集合。
补集是指一个数集中所有元素不在另一个数集中的元素集合。
三、函数函数是一种数学关系，它将一个数集中的每个元素映射到另一个数集的元素。
函数由一个变量和一个表示变量的公式组成，变量是函数的自变量，公式描述了变量的一个函数值。
四、极限在数学中，极限是指当一个变量逐渐趋向某个值时，函数值逐渐趋向某个值的现象。
极限可能是有限的、无限的或不存在。
极限有许多重要应用，如微积分学、数值计算和数学分析等。
五、导数导数是数学中的一个重要概念，表示在某个瞬间的变化率。
导数可以表示函数的切线斜率，被用于函数的最值问题等。
六、积分积分是数学领域的一个重要概念，表示一个函数在某个区间上的面积。
积分是微积分学中的一个关键概念，在许多领域，例如物理学和工程学中都有着广泛的应用。
七、微分方程微分方程是一个函数的方程，其中包含了函数的导数。
微分方程在数学、物理学和工程学等领域有广泛应用，它们被用于描述许多自然现象和工程问题。
八、矩阵矩阵是数学中一个重要的概念，它是一个由数据排列成的表格。
矩阵可以用来表示数字数据、向量和函数等。
九、行列式行列式是由矩阵中元素按特定规则组成的一个数值。
行列式在线性代数中有广泛应用，它们被用于求解方程组、计算区域面积等问题。
十、张量张量是一种向量或矩阵的扩展概念。
它们广泛应用于物理学、工程学和计算机科学等领域，是模拟复杂系统所必需的工具。
中职数学课件11集合的概念数集
01
集合与数集概述
集合定义及表示方法
集合定义
集合是具有某种特定性质的事物 的总体，事物称为元素。
表示方法
集合通常用大写字母A、B、C等 表示，元素用小写字母a、b、c等 表示。如果a是集合A的元素，则 记作a∈A。
谢谢聆听
集合的基本概念
集合是由具有某种共同特征的对象所组成的 整体，这些对象称为集合的元素。
集合的表示方法
列举法、描述法和图像法。
集合间的关系
包含关系、相等关系和互异关系。
02
01
集合的运算
并集、交集、补集和差集。
03 04
拓展延伸相关知识点
数集的概念
数集是按照某种规则或标准将 数字分类形成的集合，如自然 数集、整数集、有理数集和无
3 < x < 5 }$，$A cup B = { x | x in mathbb{R} }$。
03
数轴与实数集
数轴定义及性质
定义：数轴是一条直线，其上每 一个点都与一个实数对应，且满
足以下性质
在数轴上选取一点作为原点，用 0表示；
在原点的右侧标出正方向，用箭 头表示；
数轴定义及性质
• 选取一个单位长度，作为数轴上每一点到原点的距 离。
举例2
函数$y=frac{1}{x}$的定义域和值域 分析。
定义域
由于分母不能为0，因此函数的定义 域为$(-infty,0)cup(0,+infty)$。
值域
由于函数在定义域内可以取到任意 非零实数，因此函数的值域为$(infty,0)cup(0,+infty)$。
数集和点集的概念-概述说明以及解释
数集和点集的概念-概述说明以及解释1.引言1.1 概述概述数集和点集是数学中基础且重要的概念，它们在各个学科领域中都有广泛的应用。
数集是由一组数字或者数值构成的集合，而点集则是由一组点或者坐标构成的集合。
这两个概念在几何学、代数学、概率论等多个学科中都有重要的地位。
数集的概念可以追溯到早期的数学发展历史。
数集可以包含有限个数或无限个数，并且可以按照不同的属性进行分类。
例如，我们可以将数集分为整数集、实数集、有理数集等。
数集的分类是基于数的性质和规律来进行的，这有助于我们更好地理解和研究数的特性。
点集的概念则与数集略有不同，它是由一组点或者坐标构成的集合。
点集可以是二维的，也可以是三维的，甚至可以是更高维度的。
点集在几何学中非常常见，我们可以通过点集来描述和分析图形的性质和关系。
点集的特性可以通过数学工具和方法进行研究，例如距离、拓扑等概念可以帮助我们深入理解点集的性质。
此篇文章将围绕数集和点集的概念展开，主要包括数集的定义和分类以及点集的定义和特性。
通过对这两个概念的深入了解，我们可以更好地应用它们在不同领域中的实际问题中。
在接下来的篇章中，我们将详细介绍数集和点集的定义、分类以及它们的关系。
同时，我们还将讨论数集和点集在不同学科领域中的应用，并探索它们的实际意义。
读者通过阅读本文，将能够对数集和点集的概念有更加清晰的认识，并能够将其应用于实际问题中，提高数学思维和解决问题的能力。
文章结构部分的内容可以写成以下形式：1.2 文章结构本文将按照以下结构进行探讨数集和点集的概念及其关系：2. 正文部分2.1 数集的概念2.1.1 数集的定义在这一小节中，将对数集的定义进行详细解释。
数集是由一组数按照一定的规则组合而成的集合。
通过对数集的定义和概念的讨论，读者将能够了解数集的基本概念和性质。
2.1.2 数集的分类本小节将介绍数集按照不同的分类方式进行划分的方法。
根据不同的分类方法，可以将数集分为有限数集和无限数集、奇数集和偶数集、等等。
数集知识点
数集知识点数学是一门广阔而深奥的学科，其中有许多重要的知识点需要掌握。
在这篇文章中，我们将介绍一些关于数集的知识点，帮助读者更好地理解和应用数学。
1.数集的定义数集是指一组具有共同特征的数的集合。
数集可以包含无限多个数，也可以只包含有限个数。
数集可以用不同的符号表示，常用的有集合的大括号表示法和集合的描述法。
2.数集的分类根据数集中数的性质和特点，数集可以分为不同的类型。
常见的数集类型有自然数集、整数集、有理数集和实数集等。
•自然数集：自然数集是由0和比0大的整数构成的集合，用符号N 表示。
•整数集：整数集是由正整数、负整数和0构成的集合，用符号Z表示。
•有理数集：有理数集是可以表示为两个整数的比的数的集合，用符号Q表示。
•实数集：实数集包括有理数和无理数，用符号R表示。
3.数集的运算在数集中，我们可以进行不同的运算来操作数。
常见的数集运算有交集、并集、差集和补集等。
•交集：两个数集的交集是包含两个数集中共有元素的新数集。
•并集：两个数集的并集是包含两个数集中所有元素的新数集。
•差集：两个数集的差集是从一个数集中去除另一个数集中的所有元素得到的新数集。
•补集：给定一个数集A，它的补集是指所有不属于A的元素的集合。
4.数集的性质数集有许多重要的性质，这些性质可以帮助我们更好地理解和应用数学。
•互斥性：两个数集互斥是指它们没有共同的元素。
•互余性：两个数集互余是指它们的交集为空集。
•子集关系：一个数集A是另一个数集B的子集，当且仅当A中的每个元素也属于B。
•包含关系：一个数集A包含另一个数集B，当且仅当B是A的子集。
5.数集在实际生活中的应用数集的概念和性质在实际生活中有许多应用。
例如，我们可以使用数集来描述人口统计数据，比如将人群分为男性和女性两个数集；我们也可以使用数集运算来求解实际问题，比如利用交集和并集来解决集合问题。
总结数集是数学中重要的概念之一，它涵盖了许多重要的知识点。
通过了解数集的定义、分类、运算和性质，我们可以更好地理解和应用数学。
数学词典
以下名词解释均来源《全日制普通高级中学教科书》
自然数集（N）------全体非负整数构成的集合。
即N={0,1,2,3,…}
card(A)------指有限集合A的元素个数。
命题--------可以判断真假的语句。
仰角-------向上的视线与水平线所成的角。
俯角-------向下的视线与水平线所成的角。
方位角--------从正北方向按顺时针方向转过的角。
坡度-------坡面与水平面所成的二面角的度数。
倾斜角--------将x轴按逆时针方向旋转到和直线重合时所转过的最小正角α，
其范围是：0o≤α<180o
斜率-----当倾斜角不为90o时其倾斜角的正切值叫做这条直线的斜率。
方向向量------直线上的向量及与它平行的向量都称为直线的方向向量。
法向量------如果向量n与直线L垂直，则称向量n叫做直线L的法向量。
数学期望--------离散型随机变量ξ的平均数、均值，
Eξ=x1p1+x2p2+…x n p n+…
均方差------Dξ=(x1- Eξ)2p1+(x2- Eξ)2p2+…+(x n+ Eξ)2p n+…
欧拉定理-----简单多面体的顶点数为V,棱数E及面数F有关系:V+F-E=2;
常数2称为欧拉示性数.
球面距离------过球面上两点的大圆在这两点间的一段劣弧的长度，是球面
上两点间的最短距离.。
数集与集合的运算
数集与集合的运算在数学中，数集是由若干个元素组成的集合，而集合运算是对数集进行操作、组合和比较的一种方法。
本文将介绍数集与集合的运算，包括交集、并集、差集和补集等基本概念和运算规则。
一、交集交集是指两个或多个集合中共有的元素的集合。
用符号表示为“∩”。
假设集合A={1, 2, 3}，集合B={2, 3, 4}，则两个集合的交集为A∩B={2, 3}。
交集运算满足交换律和结合律。
对于任意集合A、B和C，有以下规则：1. 交换律：A∩B = B∩A2. 结合律：(A∩B)∩C = A∩(B∩C)二、并集并集是指两个或多个集合中所有元素的集合。
用符号表示为“∪”。
假设集合A={1, 2, 3}，集合B={2, 3, 4}，则两个集合的并集为A∪B={1, 2, 3, 4}。
并集运算也满足交换律和结合律。
对于任意集合A、B和C，有以下规则：1. 交换律：A∪B = B∪A2. 结合律：(A∪B)∪C = A∪(B∪C)三、差集差集是指一个集合中去掉与另一个集合相同的元素后的集合。
用符号表示为“-”。
假设集合A={1, 2, 3}，集合B={2, 3, 4}，则集合A与集合B的差集为A-B={1}。
差集运算不满足交换律。
对于任意集合A和B，有以下规则：1. 非交换律：A-B ≠ B-A四、补集补集是指某个集合中不属于另一个集合的元素的集合。
对于给定的全集U，集合A的补集表示为A'。
用符号表示为“'”。
假设全集U={1, 2, 3, 4}，集合A={2, 3}，则集合A的补集为A'={1, 4}。
补集运算满足差分运算。
对于任意集合A和B，有以下规则：1. 差分运算：A-B = A∩B'五、运算顺序在进行集合运算时，可以通过添加括号来改变计算的优先级。
一般遵循数学中的运算顺序规则，先计算括号内的运算，再计算并集、交集和差集的运算。
六、示例分析假设全集U={1, 2, 3, 4, 5}，集合A={1, 2, 3}，集合B={3, 4, 5}，集合C={2, 4}，则可以进行如下的集合运算：1. 并集运算：A∪B={1, 2, 3, 4, 5}2. 交集运算：A∩B={3}3. 差集运算：A-B={1, 2}，B-A={4, 5}4. 补集运算：A'={4, 5}，B'={1, 2}5. 复合运算：(A∪B)∩C = {2, 3, 4}通过这些基本的数集与集合的运算，我们可以进行更复杂的集合关系的推理和分析，帮助解决各种实际问题。
集合与数集的运算
并集的运算法则
A∪B = B∪A
交换律
A∪(B∩C) = (A∪B)∩(A
∪C)
分配律
A∪(B∪C) =
(A∪B)∪C
结合律
差集的运算法则
01 A-B ≠ B-A
不满足交换律
02 A-(B∩C) = (A-B)∪(A-C)
差集分配律
03 A-(B∪C) = (A-B)∩(A-C)
差集与交集的关系
乘法的性质
交换律
ab = ba
存在单位元 素
a*1 = a
存在相反元 素
aa^-1 = 1 (a ≠ 0)
结合律
(ab)c = a(bc)
数集的线性运算
加法
数集的加法满足分配律： a(b+c) = ab+ac 加法还满足结合律和交换 律
乘法
数集的乘法满足分配律： a(b+c) = ab+ac 乘法还满足结合律和单位 元素的存在性
01 交集
包含属于A和属于B的元素的集合，记作A∩B
02 并集
包含属于A或属于B的元素的集合，记作 A∪B
03 差集
包含属于A但不属于B的元素的集合，记作 A-B
数集的运算
加法：两个数相加得到另一个数。 减法：一个 数减去另一个数得到另一个数。 乘法：两个数 相乘得到另一个数。 除法：一个数除以另一个 数得到另一个数。
加法的性质
交换律
a+b b+a
存在单位元 素
a+0 = a
存在相反元 素
a+(-a) = 0
结合律
(a+b)+c = a+(b+c)
乘法的性质
常用的数集及其表示符号
常用的数集及其表示符号
（实用版）
目录
1.数集的概念和分类
2.常用的数集及其表示符号
3.数集的表示方法
4.数集的运算与关系
正文
1.数集的概念和分类
数集是数学中一个重要的概念，它是由一些确定的、可数的元素所组成的整体。
数集可以按照元素的性质进行分类，例如自然数集、整数集、有理数集、实数集等。
2.常用的数集及其表示符号
- 自然数集：N，表示所有非负整数，如 0、1、2、3 等。
- 整数集：Z，表示所有整数，包括正整数、负整数和零，如 -3、2、0 等。
- 有理数集：Q，表示所有可以表示为两个整数比的数，如 1/2、-3/4 等。
- 实数集：R，表示所有有理数和无理数，如√2、-π等。
- 复数集：C，表示所有实数与虚数的和，如 a+bi（a、b 为实数，i 为虚数单位）。
3.数集的表示方法
数集可以用不同的符号和表示方法来表示。
例如，区间表示法可以表示实数集中的区间，如开区间 (0, 1)、闭区间 [0, 1]、半开区间 (0, 1]、
半闭区间 [0, 1) 等。
另外，符号"∪"表示并集，"∩"表示交集，""表示真子集，"="表示等于等。
4.数集的运算与关系
数集之间可以进行运算，如并集、交集、补集等。
此外，还可以研究数集之间的关系，如包含关系、相等关系等。
对数集的运算与关系进行研究，有助于深入理解数学概念，提高数学思维能力。
综上所述，常用的数集及其表示符号是我们学习数学时需要掌握的基本知识。
数集和点集的概念
数集和点集的概念全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：数集和点集是数学中的重要概念，它们在数论、几何以及其他数学分支中起着至关重要的作用。
在数学中，我们常常需要处理不同的数值以及它们之间的关系，而数集和点集就是用来描述这些数值和它们之间的关系的工具。
我们来看看数集的概念。
数集是一组数的集合，这些数可以是整数、有理数、无理数等。
数集通常用大写字母来表示，比如A、B、C 等。
数集可以是有限的，也可以是无限的。
有限的数集包含有限个数，比如{1,2,3,4}；无限的数集包含无限多个数，比如{1,2,3,4,…}。
数集可以用集合的形式表示，比如A={1,2,3,4}，表示数集A由数1、2、3和4组成。
数集可以根据它们的元素是否满足某种条件被划分为不同的类型。
按照元素的性质可以分为偶数集、奇数集；按照元素的大小可以分为有界集、无界集；按照元素的来源可以分为自然数集、整数集、有理数集等。
数集的概念不仅仅局限于数值的概念，还涉及到集合论的知识，比如并集、交集、补集等。
点集可以根据它们的位置或形状被划分为不同的类型。
按照位置可以分为内点、外点、边界点；按照形状可以分为直线、曲线、面等。
点集的概念在几何学、拓扑学等领域有着广泛的应用，它们用来描述空间中的各种几何对象和关系。
数集和点集在数学中有着密切的联系，它们相互之间可以进行转化和映射。
在几何中，我们常常需要用数集来表示点集的坐标；在数论中，我们也可以用点集来表示数集中的元素。
数集和点集的概念是数学研究的基础，它们为数学家们研究和解决实际问题提供了重要的工具和方法。
第二篇示例：数集和点集是数学中非常基础且重要的概念。
它们在数理逻辑、集合论、代数等数学分支中都有着广泛的应用。
本文将从数集和点集的定义、性质、相关定理等方面来探讨这两个概念。
首先，我们来了解一下数集和点集的定义。
数集是指由一组数构成的集合，这组数可以是整数、有理数、无理数或实数。
点集是指空间中的点的集合，点可以是二维平面上的点，也可以是三维空间中的点。
数集的定义和概念
数集的定义和概念
数集是指一组具有共同特征或遵循某种规律的数的集合或集合对象。
数集可以包含有限个数、无限个数，甚至有可能是无穷集合。
数集的定义和概念是数学中的基本概念之一，它被广泛应用于各个数学分支和实际问题中。
在数学中，数集通常以大写字母表示，如A、B或C。
数集的元素可以是任何数，例如整数、有理数或实数。
数集可以是离散的，也可以是连续的。
数集的元素之间可以有特定的关系和性质，例如大小关系、等于关系、包含关系等。
数集可以通过列举元素的方式进行定义，例如集合A={1,2,3}表示A包含了元素1、2和3。
数集也可以通过描述特定性质的方式进行定义，例如集合B={x | x是整数且大于0}表示B 包含了所有大于0的整数。
此外，数集还可以通过运算和操作进行构建，例如并集、交集、差集等。
数集的概念在数学中有广泛的应用。
它可以用于描述和研究数的性质和关系，如数的大小、相等性、一一对应等。
数集也可以用于解决实际问题，例如统计数据分析、集合运算等。
在数学的各个分支中，数集都是基础概念，为后续的理论和推理提供了基础。
各种数集的定义
各种数集的定义“哎呀，同学们，今天我们来好好聊聊各种数集呀。
”我笑着对同学们说。
那什么是数集呢？简单来说，数集就是一些数的集合。
我们最常见的数集就是自然数集啦。
自然数集呢，就是由 0 和所有的正整数组成的集合，像0、1、2、3 等等这些数，我们从很小的时候就开始认识它们啦。
比如说我们数苹果呀，1 个苹果、2 个苹果，这就是在和自然数打交道呢。
还有整数集，它不光包含了自然数，还包含了负整数，像-1、-2 等等。
整数在我们生活中也有很多应用呀，比如温度，零下几度就是用负整数来表示的。
有理数集就更广泛啦。
有理数是可以表示为两个整数之比的数，像分数呀就是有理数。
比如说我们把一个蛋糕平均分成几份，每一份就是用分数来表示的，这就是有理数的一种体现呢。
无理数集呢，这可就有点特别啦。
无理数是不能表示成两个整数之比的数，像圆周率π就是一个典型的无理数。
大家都知道圆吧，计算圆的周长和面积的时候就会用到圆周率。
实数集呢，它就是包含了有理数和无理数的所有数的集合啦。
可以说我们日常生活中遇到的大部分数都是实数哦。
再来说说复数集。
复数呀，它是由实数和虚数组成的。
可能有些同学会觉得虚数很抽象，不好理解。
其实呀，在一些科学和工程领域，复数可是非常重要的呢。
比如在电学中，交流电的分析就会用到复数。
就拿我们学过的解方程来说吧，有时候在实数范围内解不出来，但是到了复数范围内就能解出来啦。
总之呢，各种数集都有它们自己的特点和用途，它们就像是数学世界里的一个个小天地，等待着我们去探索和发现。
同学们，希望你们以后能在数学的海洋里畅游，发现更多数集的奥秘哟！。
高一数学课件：集合概念的综述
n 三个元素的集合：子集共有8个、 真子集有8-1个。
n n个元素的集合：子集共有 n 个、 真子集有 -1个n 。
19
请写出满足关系{1,2} A {1,2,3,4,5}的所有集合A。
n 解：满足关系{1,2} A {1,2,3,4,5}的所有集合A 为
5
n 15集合的字母表示：通常用大写的拉丁字母A、
B、C、D、…表示集合。
如A={-1，1，
0，34}、B={斜三角形}。
n 16元素的字母表示：通常用小写的拉丁字母a、 b、c、d、…表示元素。
n 17空集的符号表示：φ或{ }。特别注意的是{φ} 不是空集，而是一个单元素集合。
n 18属于符号：∈ 如-1 ∈A、1 ∈A、34 ∈A
B，B A，那么就说这两个集合相等。记作
A = B.
15
例1写出集合{a}的所有 的子集及真子集 n解：集合{a}的所有的 子集是φ，{a}，其中 φ是真子集.
16
例2 写出集合{a,b}的所 有的子集及真子集 n解：集合{a,b}的所有 的子集是φ，{a}，{b}， {a,b}，其中φ，{a}， {b}是真子集.
4
n 13描述法：把集合中的元素的公共属性描述 出来，写在大括号内表示集合的方法。
n 14描述法有两种表述形式：1、数式形式 如 由不等式x-3＞2的所有解组成的集合，可表 示为 {x│x-3＞2}； 由直线y=x+1上所有的 点的坐标组成的集合，可表示为 {（x，y）│ y=x+1 }。2、语言形式 如由所有 直角三角形组成的集合，可表示为{直角三角 形}；由所有小于6的正整数组成的集合，可 表示为 {小于6的正整数}
高一集合知识点讲解2022
高一集合知识点讲解2022高一是学生进入高中阶段的关键一年，也是新知识积累的开始。
在这一年中，学生将接触到许多新的知识点，为了帮助同学们更好地理解和掌握这些知识，下面将重点对高一集合知识点进行讲解。
一、数集数集是数学研究的基本对象，它是指具有某种共同特征的数的全体。
在高一数学中，我们主要学习了以下几种数集：自然数集、整数集、有理数集和实数集。
1. 自然数集：自然数集是由0和大于0的整数构成的集合，用符号N表示。
N={0, 1, 2, 3, …}。
2. 整数集：整数集是由正整数、负整数和0构成的集合，用符号Z表示。
Z={…, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, …}。
3. 有理数集：有理数集是所有可以表示为两个整数的比值的数构成的集合，用符号Q表示。
例如，分数、整数都属于有理数集。
4. 实数集：实数集含有所有有理数和无理数，用符号R表示。
例如，开根号2、派数π等都属于实数集。
二、集合运算在高一数学中，我们也学习了集合的运算，包括并集、交集、差集和补集。
1. 并集：设A和B为两个集合，它们的并集表示为A∪B，表示包含A和B中所有元素的集合。
2. 交集：设A和B为两个集合，它们的交集表示为A∩B，表示同时属于A和B的元素所组成的集合。
3. 差集：设A和B为两个集合，它们的差集表示为A-B，表示属于A但不属于B的元素所组成的集合。
4. 补集：设U为全集，A为U的一个子集，那么A在U中未出现的元素所组成的集合就是A的补集，用符号A'表示。
三、集合的性质在学习集合的过程中，我们也需要了解一些集合的基本性质。
1. 互不相交：如果两个集合A和B没有共同的元素，则称它们为互不相交的集合。
2. 子集关系：如果一个集合A中的每一个元素都是另一个集合B中的元素，则称A为B的子集，用符号A⊆B表示。
3. 包含关系：如果一个集合A中的每一个元素都是另一个集合B中的元素，则称B包含A，用符号B⊇A表示。
四、集合的表示方法为了更方便地描述集合，我们可以使用不同的表示方法。
数学中的数集与集合运算
数学中的数集与集合运算数学是一门精确而又抽象的学科，其中的数集与集合运算是数学中的重要概念之一。
数集是指具有某种特定性质的数的集合，而集合运算则是对数集进行操作和组合的过程。
本文将探讨数学中的数集与集合运算的概念、性质以及在实际问题中的应用。
一、数集的概念与分类数集是数学中的基本概念之一，它是由具有某种共同特征的数所组成的集合。
数集可以按照不同的特征进行分类，常见的数集有自然数集、整数集、有理数集和实数集等。
1. 自然数集：自然数集是由正整数构成的集合，通常用符号N表示。
自然数集是最基本的数集，它包含了从1开始的所有正整数。
2. 整数集：整数集是由正整数、零和负整数组成的集合，通常用符号Z表示。
整数集是自然数集的扩展，它包含了负整数和零。
3. 有理数集：有理数集是由所有可以表示为两个整数之比的数所组成的集合，通常用符号Q表示。
有理数集包含了整数集，同时还包含了所有的分数和小数。
4. 实数集：实数集是由所有可以表示为无限小数或无理数的数所组成的集合，通常用符号R表示。
实数集包含了有理数集，同时还包含了无限不循环小数和无理数。
二、集合运算的基本概念与性质集合运算是对数集进行操作和组合的过程，常见的集合运算有并集、交集、差集和补集等。
1. 并集：并集是指将两个或多个集合中的所有元素合并在一起形成的新集合。
并集的符号为∪，例如集合A和集合B的并集为A∪B。
并集的性质包括交换律、结合律和吸收律等。
2. 交集：交集是指两个或多个集合中共有的元素所组成的新集合。
交集的符号为∩，例如集合A和集合B的交集为A∩B。
交集的性质包括交换律、结合律和吸收律等。
3. 差集：差集是指从一个集合中去除另一个集合中的元素所得到的新集合。
差集的符号为-，例如集合A减去集合B的差集为A-B。
差集的性质包括非交换律和结合律等。
4. 补集：补集是指在全集中去除一个集合中的元素所得到的新集合。
补集的符号为'，例如集合A的补集为A'。
高中数学的知识点
高中数学的知识点高中数学实用的知识点集合的分类：(1)按元素属性分类，如点集，数集。
(2)按元素的个数多少，分为有/无限集关于集合的概念：(1)确定性：作为一个集合的元素，必须是确定的，这就是说，不能确定的对象就不能构成集合，也就是说，给定一个集合，任何一个对象是不是这个集合的元素也就确定了。
(2)互异性：对于一个给定的集合，集合中的元素一定是不同的(或说是互异的)，这就是说，集合中的任何两个元素都是不同的对象，相同的对象归入同一个集合时只能算作集合的一个元素。
(3)无序性：判断一些对象时候构成集合，关键在于看这些对象是否有明确的标准。
集合可以根据它含有的元素的个数分为两类：含有有限个元素的集合叫做有限集，含有无限个元素的集合叫做无限集。
非负整数全体构成的集合，叫做自然数集，记作N。
在自然数集内排除0的集合叫做正整数集，记作N+或NX。
整数全体构成的集合，叫做整数集，记作Z。
第1页共9页有理数全体构成的集合，叫做有理数集，记作Q。
(有理数是整数和分数的统称，一切有理数都可以化成分数的形式。
) 实数全体构成的集合，叫做实数集，记作R。
(包括有理数和无理数。
其中无理数就是无限不循环小数，有理数就包括整数和分数。
数学上，实数直观地定义为和数轴上的点一一对应的数。
)1、列举法：如果一个集合是有限集，元素又不太多，常常把集合的所有元素都列举出来，写在花括号“{｝”内表示这个集合，例如，由两个元素0，1构成的集合可表示为{0，1｝。
有些集合的元素较多，元素的排列又呈现一定的规律，在不致于发生误解的情况下，也可以列出几个元素作为代表，其他元素用省略号表示。
例如：不大于100的自然数的全体构成的集合，可表示为{0，1，2，3，…，100｝。
无限集有时也用上述的列举法表示，例如，自然数集N可表示为{1，2，3，…，n，…｝。
2、描述法：一种更有效地描述集合的（方法），是用集合中元素的特征性质来描述。
例如：正偶数构成的集合，它的每一个元素都具有性质：“能被2整除，且大于0”而这个集合外的其他元素都不具有这种性质，因此，我们可以用上述性质把正偶数集合表示为{x∈R│x能被2整除，且大于0｝或{x ∈R│x=2n，n∈N+｝，大括号内竖线左边的X表示这个集合的任意一个元素，元素X从实数集合中取值，在竖线右边写出只有集合内的元素x才具有的性质。
常用数集的符号表示
常用数集的符号表示
数学的本质是符号的操作及规律的描述。
符号表示是数学的基础，用于表示或描述一些特定的现象或结构，这种现象或结构称为“数集”。
数集是抽象出来的，它不属于实体，只有用符号表示出来才有意义，数集表示所用的符号就成为了数集的表示方式。
数集有不同的表示方式，其中常用的有函数表示法和集合表示法。
“函数表示法”是一种简单而强大的符号表示方式，它能用简洁的符号来描述规律，其中最常用的是“f(x)=y”的形式，表示一个变量与另一个变量之间的某种关系。
另一种常用的表示法是“集合表示法”，它用“{}”括起一个或
多个数，表示一定范围内的所有数，比如“{-2, -1, 0, 1, 2}”表
示从 -2 2所有数；而“[-2, 2]”表示从 -2 2闭区间，其中包含 -2 2 两个端点；而“(-2, 2)”表示从 -2 2开区间，其中不包含 -2 2 两个端点。
此外，还有一些特殊的符号表示法，可以用来表示特定的数集，比如“自然数集{1,2,3,4…}”可以用“N”表示，“有理数集
{1/2,2/3,3/4…}”可以用“Q”表示，“实数集{-2.2, -1.5, 0.1, 1.3, 2.7…}”可以用“R”表示。
总之，数集由多个数构成，它们可以用函数表示法和集合表示法来进行表示，也可以用一些特殊的符号表示来替代更加简洁。
不同类型的数集需要使用不同的符号表示，在日常的数学应用中，使用符号表示法非常有用，可以大大提高研究的效率。
§1.2 数集
§1.2 数集预备知识自然数、整数、有理数及无理数的概念重点1. 基本数集符号2. 一般数集的表示难点1. 准确地表示给定的数集学习要求1. 熟悉基本数集的符号2. 能在数轴上正确的表示数集3. 能用集合的语言正确的表示数集作为一般集合，它的元素可以是任何事物，但是在数学里我们最经常遇到的集合的元素是各种数．为此必须对由数构成的集合的表示、特点等作一番专门的研究． 如果集合的元素是数，就把该集合叫做数集． 1. 基本数集在初中阶段你就接触过数集，但是那时只是用了名称，现在以规范的名称和形式把他们表示出来：自然数集：N ={0,1,2,3,4,...}或N ={0和所有正整数}或N ={x |x =0或x 是1的正整数倍}；整数集：Z ={…-3,-2,-1,0,1,2,3,…}或Z ={自然数和它的相反数}或Z ={x |x =0或正整数或负整数}或Z ={x |x ∈N 或-x ∈N }；有理数集：Q ={整数或分数}或Q ={x |x =q p , p ,q ∈Z ,q ≠0; p ,q 既约}；实数集：R ={x |x 为有理数或无理数}．还有一些是与基本数集相近的常用数集，如： N +={1,2,3,4,…}={x |x 是1的正整数倍}； R +={x |x ∈R , x ≠0}．2. 一般数集回忆一下在初中你求解一元一次不等式的过程：解不等式3x <15，解得x <5，即小于5的一切实数都能满足不等式，从集合的角度看，这是由属性“x 是实数，且小于5”所限定的实数的一部分，因此是一个集合，且是一个数集，叫做解集．若把这个解集记作A ，则 A ={x |x ∈R , x <5}，在数轴上表示这个数集是图1-3(1)的形式．同样，解不等式2x +3≥-9，解得x ≥-6，即不小于-6的一切实数都能满足不等式．这是由属性“x 是实数，且不小于-6”所限定的实数的一部分，它也是一个数集．若把这个解集记作B ，则B ={x |x ∈R 且x ≥-6}，在数轴上表示这个数集是图1-3(2)的形式．由此可见，不等式的解集常常是某个基本数集的一部分．例1 若干人分100元，每人不少于3元，问可以分给多少人？用数集表示结果．解 用x 表示人数，则3x ≤100，解得x ≤3100．考虑到实际问题是人数，所以解集是{x |x ∈N , 0<x ≤33 }．3. 数集的区间表示法一般集合可以用列举、描述和维恩图等方法表示，数集还有一种更为简单的表示方法，叫做区间表示法．对于元素是实数、且以不等式表示元素属性的数集，用区间法表示十分方便．根据表示元素属性的不等式不同，共有下列几个基本区间： (1)开区间(a ,b )：表示数集{x |x ∈R , a <x <b }，对应图象如图1-4(1)； (2)闭区间[a ,b ]：表示数集{x |x ∈R , a ≤x ≤b }，对应图象如图1-4(2)；图1-3(1) 图1-3(2)(3)左闭右开区间[a ,b )：表示数集{x |x ∈R , a ≤x <b }，对应图象如图1-4(3)； (4)左开右闭区间(a ,b ]：表示数集{x |x ∈R , a <x ≤b }，对应图象如图1-4(4)； (5)左开右无界区间(a ,+∞)：表示数集{x |x ∈R , x >a }，对应图象如图1-4(5)； (6)左闭右无界区间[a ,+∞)：表示数集{x |x ∈R , x ≥a }，对应图象如图1-4(6)； (7)右开左无界区间(-∞,a )：表示数集{x |x ∈R , x <a }，对应图象如图1-4(7)； (8)右闭左无界区间(-∞,a ]：表示数集{x |x ∈R , x ≤a }，对应图象如图1-4(8)．其中的a ,b 都表示定数，符号“∞”读左“无穷大”，它不是一个数，仅表示书写端是没有“边界”的，可以无限制地增大或减小． 课内练习1. 用“∈”或“∉”填空：(1)-1( )N ； 0( )N +； 3( )N ； ∞( )N ．(2)1( )Z ； -2.45( )Z ； -310037( )Q ；22( )Q ；π( )R ；－0.79( )R ．2. 把下列数集用描述法表示(1)数集B 是平方等于1的数的全体； (2)数集A 是大于0，不大于5的奇数；(3)方程2x 2-4x +3=0在自然数集内的解集A ，在整数集内的解集B ，在有理数集内的解集C ，在实数集内的解集D 。
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1、摩尔定律：一个芯片上的晶体管数目大约每十八个月增长一倍。
2、建立时间：在时钟翻转之前数据输入必须有效的时间。
3、保持时间：在时钟边沿之后数据输入必须仍然有效的时间。
4、传播延时：输出端处在最坏情况下被复制到输出端Q的时间。
一个门的传播延时t p定义了它对输入端信号变化的响应有多快。
它表示一个
信号通过一个门时所经历的延时，定义为输入和输出波形的50%翻转点之间的时间。
由于一个门对上升和下降输入波形的响应时间不同，所以需定义两个传播延
时。
t pLH定义为这个门的输出由低至高翻转的响应时间，而t pHL则为输出由高至低翻转的响应时间。
传播延时t p定义为这两个时间的平均值：t p=（t pLH+t pHL）
/2。
5、设计规则：定义设计规则的目的是为了能够很容易地把一个电路概念转换成硅上的几何图形。
设计规则的作用就是电路设计者和工艺工程师之间的接口，或者说他们之间的协议。
设计规则是指导版图掩膜设计的对几何尺寸的一组规定。
它们包括图形允许的最小宽度以及在同一层和不同层上图形之间最小间距的限制与要求。
6、饱和区：当V DS>V GS−V TH时，被感应的电荷为0，而导电沟道消失或者说它已被夹断。
称晶体管工作在饱和区。
7、速度饱和效应：当沿沟道的电场达到某一临界值时，载流子的速度将由于散射效应（即载流子间的碰撞）而趋于饱和。
8、本征电容（MOS结构电容，沟道电容，结电容）：
①MOS结构电容：栅电容C g，覆盖电容（栅与源/漏间的寄生电容）
②沟道电容：栅至沟道的总电容C GC
③结电容：由反向偏置的S-B和D-B之间的pn结引起的
9、源漏穿通：当漏电压足够高时，源区与漏区甚至可以短路在一起，这称为“源漏穿通”，它可对器件造成永久性的破坏。
10、热载流子效应：由于器件的尺寸不断减小，但电源和工作电压并没有相应降低，其结果是电场强度提高，使电子速度增加，一旦它们速度足够高就会离开Si而遂穿到栅氧中。
在栅氧中被俘获的电子将改变阈值电压。
一般会增加NMOS 的预阈值而减小PMOS的阈值。
11、时钟抖动：在芯片的某一个给定点上时钟周期发生暂时的变化，即时钟周期在每个不同的周期上可以缩短或加长。
12、逻辑综合：逻辑综合的任务是产生一个逻辑级模型的结构描述。
这一模型可以用许多不同的方式来说明，如状态转移图、状态图、电路图、布尔表达式、真值表或HDL描述。
13、噪声：在逻辑节点上不希望发生的电压和电流的变化。
14、噪声容限:为了使一个门的稳定性较好并且对噪声干扰不敏感，应当使“0”和“1”的区间越大越好。
一个门对噪声的灵敏度是由低电平噪声容限NM L和高电平噪声容限NM H来度量的，它们分别量化了合法的“0”和“1”的范围，并确定了噪声的最大固定阈值：
NM L= V IL - V OL
NM H= V OH- V IH
15、沟道长度调制：在理想情况下，处于饱和区的晶体管的漏端与源端的电流是恒定的，并且独立于在这两个端口上外加的电压。
但事实上导电沟道的有效长度由锁所加的VDS调制：增加VDS将使漏结的耗尽区加大，从而缩短了有效沟道的长度。
16、开关阈值：电压传输特性（VTC）曲线与直线V out = V in的交点。
17、有比逻辑：有比逻辑试图减少实现一个给定逻辑功能所需要的晶体管数目，但它经常以降低稳定性和付出额外功耗为代价。
在互补CMOS中，PUN的目的是当PDN关断在VDD和输出之间提供一条有条件的通路。
在有比逻辑中，整个PUN 被一个无条件的负载器件所替代，它上拉输出以得到一个高电平输出。
这样的门不是采用有源的下拉和上拉网络的组合，而是由一个实现逻辑功能的NMOS下拉网络和一个简单的负责器件组成。
如伪NMOS，由于输出端的电压摆幅及门的总体功能取决于NMOS和PMOS的尺寸比，所以该电路称为有比逻辑。
18、传输管逻辑：P196，它通过允许原始输入驱动栅端和源漏端来减少实现逻辑所需要的晶体管数目。
19、差分传输逻辑：接受真输入及其互补输入，并产生真输出及其互补输出。
它是传输管的一种，可有效减少逻辑门的数目。
20、传输门逻辑：传输门结合了NMOS和PMOS器件的优点：NMOS器件传递强逻辑0和弱逻辑1；PNOS器件传递强逻辑1和弱逻辑0的优点，将一个NMOS器件和一个PMOS器件并联，传输门的控制信号（C和C）是互补的。
它的作用就像一个栅信号C控制的双向开关，当C=1时，两个MOSFET都导通，允许信号通过此门（即：若C=1，则A=B），若C=0，则两管均关断。
21、动态逻辑的基本原理：工作可分为预充电和求值两个阶段，处于何种工作模式由时钟CLK决定。
预充电：当CLK=0时，输出节点Out被PMOS管M P预充电至V DD。
求值：当CLK=1时，预充电管M P关断，求值管M e导通。
22、动态设计中的信号完整性问题：①电荷泄漏②电荷分享③电容耦合④时钟馈通
23、多米诺逻辑：一个多米诺逻辑模块是由一个n型动态逻辑块后面接一个静态反相器构成。
在预充电期间，n型动态门的输出被充电至V DD，而反相器的输出则置为0 。
在求值期间动态门有条件地放电，而反相器则有条件地完成0 1的翻转。
24、时钟偏差：我们一直假设两相时钟CLK和CLK完全相反，或产生反相时钟信号的反相器的延时为0。
但事实上，由于布置两个时钟信号的导线会有差别，或者负载电容可以因存储在所连接的锁存器中的数据不同而变化。
这一影响称为时钟偏差。
25、流水线：流水线是一项提高资源利用率的技术，它增加了电路的数据处理量。
我们在逻辑块中插入寄存器，这使得一组输入数据的计算分布在几个时钟周期中。
这一计算过程以一种装配线的形式进行，因此得名流水线。
26、电压传输特性（VTC）：一个逻辑门输出电压和输入电压之间的关系。
27、信号摆幅（V sw）：最高输出电平V OH与最低输出电平V OL之差。
28、扇入：连接到驱动门输出端的负载门的数目。
增加一个门的扇出会影响它的逻辑输出电平。
29、扇出：一个门输入的数目。
30、MOS晶体管的阈值电压：MOS晶体管发生强反型时V GS的值。
31、体效应：MOS晶体管的源极和衬底的电压不相等。
32、亚阈值：对于NMOS晶体管，当V GS低于阈值电压时，MOS晶体管已部分导通，这一现象称为亚阈值。
33、闩锁效应：在MOS工艺内，同时存在的阱和衬底会形成寄生的N-P-N-P结构，这些类似闸流管的器件一旦激发即会导致V DD和V SS线短路，这通常会破坏芯片。
34、组合逻辑电路：在任何时刻电路输出与其当前输入信号的关系服从某个布尔表达式，而不存在任何从输出返回到输入的连接。
35、时序逻辑电路：电路的输出不仅与当前的输入数据有关，而且也与输入信号以前的值有关。
36、电气努力：一个门外部负载与输入电容直接的比。
37、逻辑努力：对于一给定负载，复合门必须比反相器更努力工作才能得到类似响应。
一个逻辑门的逻辑努力告诉我们，当假设这个逻辑门的每一个输入只代表与一个反相器相同的输入电容时，在产生输出电流方面它比这个反相器差多少。
或相当于说，逻辑努力表示一个门与一个反相器提供相同的输出电流时它所表现出的输入电容比反相器大多少。
38、寄存器：边沿触发的存储器件。
39、锁存器：电平敏感的器件。
40、触发器：由交叉耦合的门构成的任何双稳态元件。
41、COMS电路的特点：噪声容限大、无比逻辑（逻辑电平与器件的相对尺寸无关）、稳态时输出具有有限电阻、输入电阻极高、静态功耗小。
42、COMS反相器的开关模型：
43、COMS反相器的动态模型：。