初中数学三角形面积综合测试卷

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人教版初中数学八年级上册第十一单元《三角形》综合测试卷(解析版)

⼈教版初中数学八年级上册第⼗⼀单元《三⾓形》综合测试卷（解析版）⼀⼆三四总分⼀、选择题（每题3分，共30分）(共10题；共30分)1．（3分）（2023八上·双鸭⼭期中）下列各图中，正确画出△ABC中AC边上的⾼的是（）A．B．C．D．2．（3分）（2023七上·沭阳⽉考）⼀块矩形草坪的⻓比宽多10米，它的周⻓是132米，求宽x所列的⽅程是（）A．x+10=132B．2x+10=132C．22x+10=132D．2x−10=132 3．（3分）（2020七上·庆云⽉考）代数式|x−2|+3的最⼩值是（）A．0B．2C．3D．54．（3分）（2020八上·余⼲⽉考）在△ABC中，∠A：∠B：∠C=1：2：3，则△ABC为（）A．等腰三⾓形B．锐⾓三⾓形C．直⾓三⾓形D．钝⾓三⾓形5．（3分）（2023七下·承德期末）下列四个选项中，∠1与∠2互为邻补⾓的是（）A．B．C．D．6．（3分）（2024八上·合江期末）根据图中的数据，可得∠B的度数为（）A ．40°B ．50°C ．60°D ．70°7．（3分）（2022七上·晋州期中）已知射线OC 在∠AOB 的内部，下列4个表述中：①∠AOC =12∠AOB ；②∠AOC =∠BOC ；③∠AOB =2∠BOC ；④∠AOC +∠BOC =∠AOB ，能表⽰射线OC 是∠AOB 的⾓平分线的有（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个8．（3分）（2022八上·港南期中）下列图形具有稳定性的是（）A ．B ．C ．D ．9．（3分）（2021九下·曹县期中）如图，在平⾯直⾓坐标系中，点 A 1 ， A 2 ， A 3 ，…， A n 在 x 轴上，点 B 1 ， B 2 ，…， B n 在直线 y 上，若点 A 1 的坐标为 (1，0) ，且 △A 1B 1A 2 ， △A 2B 2A 3 ，…， △A n B n A n +1 都是等边三⾓形，从左到右的⼩三⾓形（阴影部分）的⾯积分别记为 S 1 ， S 2 ，．．， S n ，则 S n 可表⽰为（）A ．22B ．22n −C ．22n −D ．22n −10．（3分）（2021八上·诸暨⽉考）如图，BF 是∠ABD 的平分线，CE 是∠ACD 的平分线，BF 与CE 交于G ，若∠BDC ＝130°，∠BGC ＝100°，则∠A 的度数为（）A ．60°B ．70°C ．80°D ．90°⼆、填空题（每题3分，共15分）(共5题；共15分)11．（3分）过⼗边形的⼀个顶点可作对⾓线的条数为m，则m的值为．12．（3分）（2024七下·⽞武期中）如图1，点D在△ABC边BC上，我们知道若BDCD=ab，则S△ABDS△ACD=ab；反之亦然．如图2，BE是△ABC的中线，点F在边AB上，BE、CF相交于点O，若AFBF =m，则OEOB=　　．13．（3分）（2024七下·⻄安期中）已知三⾓形两边的⻓分别为1cm，5cm，第三边⻓为整数，则第三边的⻓为 .14．（3分）（2024七下·淮阴期中）如图，在△ABC中，点D是边BC的中点，点E是AC边上⼀点，AD和BE交于点O，CE=14AC，△ABC的⾯积是2024，若把△ABO的⾯积记为S1，把四边形CDOE的⾯积记为S 2，则S1−S2的值为．15．（3分）（2018八上·武汉⽉考）图中x的值为 .三、解答题（共7题，共65分）(共7题；共65分)16．（10分）（2018八上·潘集期中）某零件如图所⽰，按规定∠A＝90°，∠B＝32°，∠C＝21°，当检验员量得∠BDC＝146°，就断定这个零件不合格，你能说出其中的道理吗？17．（5分）（2023八上·鹿寨期中）已知⼀个多边形中，每个内⾓都相等，并且每个外⾓等于与它相，求这个多边形的边数及内⾓和．邻的内⾓的1818．（5分）（2023八上·城厢开学考）已知：△ABC中，图①中∠B、∠C的平分线相交于M，图②中∠B、∠C的外⾓平分线相交于N，（1）（1分）若∠A＝80°，∠BMC＝ °，∠BNC＝ ° ．（2）（1分）若∠A＝β，试⽤β表⽰∠BMC和∠BNC19．（11分）（2016八上·肇庆期末）⼀个零件的形状如图所⽰，按规定∠A=90º，∠C=25º，∠B=25º，检验员已量得∠BDC=150º，请问：这个零件合格吗？说明理由。

初三求三角形面积的练习题

初三求三角形面积的练习题三角形的面积是初中数学中重要的概念之一，也是学生在几何学习中需要掌握的基础内容。

通过解决一些求三角形面积的练习题，能够帮助初三学生巩固和应用所学的知识。

本文将从简单到复杂，逐步介绍几个具体的求三角形面积的练习题。

一、求等边三角形的面积首先，让我们解决一个简单的问题：如何求等边三角形的面积呢？假设等边三角形的边长为a，则根据等边三角形的性质，它的高也是a，将等边三角形分为两个等边直角三角形，很容易得出每个等边直角三角形的面积为：S = (a * a) / 2因此，等边三角形的面积就是两个等边直角三角形的面积之和：S = 2 * [(a * a) / 2] = a^2二、求任意三角形的面积接下来，我们来解决一个稍微复杂一些的问题：如何求任意三角形的面积呢？对于任意三角形，我们可以利用海伦公式来求解。

海伦公式表示为：S = √[p * (p - a) * (p - b) * (p - c)]其中，p表示三角形的半周长，即p = (a + b + c) / 2a、b、c分别表示三角形的三条边的长度。

通过海伦公式，我们可以求得任意三角形的面积。

三、求特殊三角形的面积在解决练习题时，我们可能会遇到特殊的三角形，例如直角三角形、等腰三角形等。

下面，我们就来讨论如何求解这些特殊三角形的面积。

1. 求直角三角形的面积对于直角三角形，我们可以利用直角边的长度来求解面积。

假设直角边分别为a和b，斜边为c，则直角三角形的面积为：S = (a * b) / 22. 求等腰三角形的面积对于等腰三角形，我们可以利用底边和高来求解面积。

假设等腰三角形的底边长度为a，高为h，则等腰三角形的面积为：S = (a * h) / 23. 求等边三角形的面积前面已经介绍了等边三角形的面积计算方法。

练习题一：已知等边三角形的边长为5cm，求其面积。

解：根据前面的解析，我们知道等边三角形的面积就是边长的平方，因此所求面积为：S = 5^2 = 25cm^2练习题二：已知三角形的三边分别为3cm、4cm和5cm，求其面积。

(必考题)初中数学七年级数学下册第四单元《三角形》测试卷(有答案解析)(2)

一、选择题1．如图，,,AB AD CB CD AC BD ==、相交于点O ，则下列说法中正确的个数是（）①OD OB =；②点O 到CB CD 、的距离相等；③BDA BDC ∠=∠；④BD AC ⊥A ．4B ．3C ．2D ．12．MAB ∠为锐角，AB a ，点C 在射线AM 上，点B 到射线AM 的距离为d ，BC x =，若△ABC 的形状、大小是唯一确定的，则x 的取值范围是（）A ．x d =或x a ≥B ．x a ≥C ．x d =D ．x d =或x a >3．如图，∠ACB=90°，AC=BC ，AD ⊥CE ，BE ⊥CE ，垂足分别是点D 、E ，AD=3，BE=1，则DE 的长是（）A ．1.5B ．2C ．22D ．104．如果a 、b 、c 分别是三角形的三条边，那么化简a c b b c a -+++-的结果是（） A ．2c -B ．2bC ．22a c -D ．b c -5．下列长度的三条线段能构成三角形的是（）A ．2cm ，3cm ，5cmB ．5cm ，6cm ，11cmC ．3cm ，4cm ，8cmD ．5cm ，6cm ，10cm6．如图，12AB =，CA AB ⊥于A ，DB AB ⊥于B ，且4AC cm =，P 点从B 向A 运动，每分钟走1m ，Q 点从B 向D 运动，每分钟走2m ，P ，Q 两点同时出发，运动______分钟后CAP 与PQB △全等（）A ．4或6B ．4C ．6D ．57．已知图中的两个三角形全等，则∠α等于（）A ．50°B ．60°C ．70°D ．80°8．如图，AE ∥DF ，AE ＝DF ．添加下列的一个选项后．仍然不能证明△ACE ≌△DBF 的是（）A ．AB ＝CD B ．EC ＝BF C ．∠E ＝∠FD ．EC ∥BF9．下列各组条件中，不能判定A ABC B C '''≌△△的是（）A ．AC A C BCBC C C '''''==∠=∠ B ．A A BC B C AC A C '''''∠=∠== C ．AC A C AB A B A A '''''==∠=∠D ．AC A C A A C C ''''=∠=∠∠=∠10．下列四个图形中，有两个全等的图形，它们是（）A ．①和②B ．①和③C ．②和④D ．③和④11．如图，AOB ∠是一个任意角，在边OA ，OB 上分别取OM ON =，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与点M ，N 重合，过顶点O 与角尺顶点C 的射线OC 便是AOB ∠的平分线．这样的作法所运用的原理是三角形全等的判定，该判定方法是（）A ．SASB ．SSSC ．ASAD ．AAS12．如图，AD 是ABC 的中线，E ，F 分别是AD 和AD 延长线上的点，且DE DF =，连结BF ，CE ．下列说法：①CE ＝BF ；②△ABD 和△ACD 面积相等；③BF ∥CE ；④△BDF ≌△CDE ．其中正确的有（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个二、填空题13．如果三角形的三边长分别为5，8，a ，那么a 的取值范围为__．14．如图，//AB CD ，点M 为CD 上一点，MF 平分∠CME ．若∠1＝57°，则∠EMD 的大小为_____度．15．如图，在ABC 中，D ，E 分别是BC ，AD 的中点，24ABCS cm =，则ABES的值是_______．16．已知：如图，在长方形ABCD 中，AB ＝4，AD ＝6．延长BC 到点E ，使CE ＝2，连接DE ，动点P 从点B 出发，以每秒2个单位的速度沿BC ﹣CD ﹣DA 向终点A 运动，设点P 的运动时间为t 秒，当t 的值为__秒时，△ABP 和△DCE 全等．17．如图，△ABC 中，点D 在边BC 上，DE ⊥AB 于E ，DH ⊥AC 于H ，且满足DE=DH ，F 为AE 的中点，G 为直线AC 上一动点，满足DG ＝DF ，若AE=4cm ，则AG= _____cm ．18．如图所示，A ，B 在一条河的两侧，若BE DE =，90B D ∠=∠=︒，160CD m =，则河宽AB 等于______m ．19．如图，90C D ∠=∠=︒，请添加一个条件，使Rt ABC ∆与Rt ABD ∆全等．你添加的条件是________（写出一个符合要求的条件即可）．20．已知：AD 、AE 分别是ABC 的高，中线，6BE =，4CD =，则DE 的长为_________．三、解答题21．（1）如图1，已知OAB 中，OA OB =，90AOB ∠=︒，直线l 经过点O ，BC ⊥直线l ，AD ⊥ 直线l ，垂足分别为点C ，D ．依题意补全图l ，并写出线段BC ，AD ，CD 之间的数量关系为______；（2）如图2，将（1）中的条件改为：在OAB 中，OA OB =，C ，O ，D 三点都在直线l 上，并且有BCO ODA BOA ∠=∠=∠，请问（1）中结论是否成立?若成立，请加以证明；若不成立，请说明理由；（3）如图3，在ABC 中，AB AC =，90CAB ∠=︒，点A 的坐标为(0,1)，点C 的坐标为()3,2，请直接写出点B 的坐标．22．如图，点A 、F 、C 、D 在一条直线上，,,AB DE BC EF AF CD ===．（1）求证：ABC DEF △≌△；（2）求证：//AB DE ．23．如图，在△ABC 中，AC ＝BC ，∠ACB ＝90°，点D 在边BC 上（不与点B ，C 重合），过点C 作CE ⊥AD ，垂足为点E ，交AB 于点F ，连接DF ．（1）请直接写出∠CAD 与∠BCF 的数量关系；（2）若点D 是BC 中点，在图2中画出图形，猜想线段AD ，CF ，FD 之间的数量关系，并证明你的猜想．24．如图，在平面内有三个点、、A B C（1）根据下列语句画图： ①连接AB ； ②作直线BC ；③作射线AC ，在AC 的延长线上取一点D 使得CD CB =，连接BD ；（2）比较,,AB BD AB BC CD AD +++的大小关系．25．如图，点A ，D ，B ，E 依次在同一条直线上，BC DF =，AD BE =，ABC EDF ∠=∠，求证：A E ∠=∠．26．如图，//AB CD ，点E 在CB 的延长线上，A E ∠=∠，AC ED =．（1）求证：BC CD =；（2）连接BD ，求证：ABD EBD ∠=∠．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．B 解析：B 【分析】先根据全等三角形的判定定理得出△ACD ≌△ACB ，△ABO ≌△ADO ，再根据全等三角形的性质即可得出结论．【详解】解：在△ABC 和△ADC 中，∵AB AD BC CD AC AC ⎧⎪⎨⎪⎩＝＝＝， ∴△ABC ≌△ADC （SSS ）， ∴∠BAC=∠DAC ， ∠DCA=∠BCA ∴点O 到CB 、CD 的距离相等．故②正确在△ABO 与△ADO 中AB AD BAC DAC OA OA ⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝， ∴△ABO ≌△ADO （SAS ）， ∴BO=DO ，∠BOA=∠DOA ∵∠BOA+∠DOA=180°∴∠BOA=∠DOA=90°，即BD AC ⊥ 故①④正确； ∵AD≠CD∴BDA BDC ∠≠∠，故③错误所以，正确的结论是①②④，共3个，故选：B ．【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．2．A解析：A 【分析】当x ＝d 时，BC ⊥AM ，C 点唯一；当x ≥a 时，能构成△ABC 的C 点唯一，可确定取值范围．【详解】解：若△ABC 的形状、大小是唯一确定的，则C 点唯一即可，当x ＝d 时，BC ⊥AM ，C 点唯一；当x >a 时，以B 为圆心，BC 为半径的作弧，与射线AM 只有一个交点，x =a 时，以B 为圆心，BC 为半径的作弧，与射线AM 只有两个交点，一个与A 重合，所以，当x ≥a 时，能构成△ABC 的C 点唯一，故选为：A ．【点睛】本题考查了三角形的画法，根据题意准确作图并且能够分类讨论是解题关键．3．B解析：B 【分析】根据已知条件可以得出∠E=∠ADC=90︒，进而得出∆CEB ≅∆ADC ，就可以得出BE=DC ，进而求出DE 的值．【详解】∵BE ⊥CE ，AD ⊥CE ， ∴∠E=∠ADC=90︒， ∴∠EBC+∠BCE=90︒， ∵∠BCE+∠ACD=90︒， ∴∠EBC=∠DCA ，在∆CEB 和∆ADC 中，∠E=∠ADC ，∠EBC=∠DCA ，BC=AC ， ∴∆CEB ≅∆ADC(AAS)， ∴BE=DC=1，CE=AD=3， ∴DE=EC-CD=3-1=2，故选：B ．【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解决问题的关键．4．B解析：B 【分析】根据三角形的三边关系可得a b c +>，b c a +>，从而得出0a c b -+>，0b c a +->，然后根据绝对值的性质化简即可．【详解】解：∵a 、b 、c 分别是三角形的三条边， ∴a b c +>，b c a +>， ∴0a c b -+>，0b c a +->， ∴a c b b c a -+++- =a c b b c a -+++- =2b 故选B ．【点睛】此题考查的是三角形三边关系的应用和化简绝对值，掌握三角形的三边关系和绝对值的性质是解题关键．5．D解析：D 【分析】看哪个选项中两条较小的边的和大于最大的边即可．【详解】解：A 、2+3=5，不能构成三角形；B、5+6=11，不能构成三角形；C、3+4＜8，不能构成三角形；D、5+6＞10，能构成三角形．故选：D．【点睛】本题主要考查对三角形三边关系的理解应用．判断是否可以构成三角形，只要判断两个较小的数的和大于最大的数就可以．6．B解析：B【分析】分当△CPA≌△PQB时和当△CPA≌△PQB时，两种情况进行讨论，求得BQ和BP的长，分别求得P和Q运动的时间，若时间相同即可，满足全等，若不等，则不能成立．【详解】解：当△CPA≌△PQB时，BP=AC=4（米），则BQ=AP=AB-BP=12-4=8（米），A的运动时间是：4÷1=4（分钟），Q的运动时间是：8÷2=4（分钟），则当t=4分钟时，两个三角形全等；当△CPA≌△QPB时，BQ=AC=4（米），AP=BP=12AB=6（米），则P运动的时间是：6÷1=6（分钟），Q运动的时间是：4÷2=2（分钟），故不能成立．总之，运动4分钟后，△CPA与△PQB全等，故选B．【点睛】本题考查了全等三角形的判定，注意分△CPA≌△PQB和△CPA≌△QPB两种情况讨论是关键．7．C解析：C【分析】利用全等三角形的性质及三角形内角和可求得答案．【详解】解：如图，∵两三角形全等，∴∠2=60°，∠1=52°，∴∠α=180°-50°-60°=70°，故选：C．【点睛】本题主要考查全等三角形的性质，掌握全等三角形的对应角相等是解题的关键．8．B解析：B【分析】结合题目条件，依据三角形全等的判定定理逐一判断即可．【详解】∵AE∥DF，∴∠A＝∠D，A、根据SAS，可以推出△ACE≌△DBF，本选项不符合题意．B、SSA不能判定三角形全等，本选项符合题意．C、根据ASA，可以推出△ACE≌△DBF，本选项不符合题意．D、根据AAS，可以推出△ACE≌△DBF，本选项不符合题意．故选：B．【点睛】本题考查了三角形全等的判定，熟记三角形全等的判定定理是解题的关键．9．B解析：B【分析】根据全等三角形的判定逐一分析即可．【详解】解：A、根据SAS即可判定全等，该项不符合题意；B、根据SSA不能判定全等，该项符合题意；C、根据SAS即可判定全等，该项不符合题意；D 、根据ASA 即可判定全等，该项不符合题意；故选：B ．【点睛】本题考查全等三角形的判定，掌握三角形全等的判定方法是解题的关键．10．B解析：B【分析】根据全等形的概念：能够完全重合的两个图形叫做全等形可得答案．【详解】解：①和③可以完全重合，因此全等的图形是①和③．故选：B ．【点睛】此题主要考查了全等图形，关键是掌握全等图形的概念．11．B解析：B【分析】根据作图过程可得OM=ON ，MC=NC ，再利用SSS 可判定△MCO ≌△NCO ．【详解】解：∵在△MCO 和△NCO 中MO NO CO CO MC NC ⎧⎪⎨⎪⎩＝＝＝，∴△MCO ≌△NCO （SSS ），故选：B ．【点睛】此题主要考查了基本作图，以及全等三角形的判定，关键是掌握判定三角形全等的方法． 12．C解析：C【分析】根据“SAS ”可证明CDE BDF ∆≅∆，则可对④进行判断；利用全等三角形的性质可对①进行判断；由于AE 与DE 不能确定相等，则根据三角形面积公式可对②进行判断；根据全等三角形的性质得到ECD FBD ∠=∠，则利用平行线的判定方法可对③进行判断．【详解】解：AD 是ABC ∆的中线，CD BD ∴=， DE DF =，CDE BDF ∠=∠，∴∆≅∆，所以④正确；CDE BDF SAS()∴=，所以①正确；CE BF∵与DE不能确定相等，AE∆面积不一定相等，所以②错误；ACE∴∆和CDE∆≅∆，CDE BDF∴∠=∠，ECD FBDBF CE∴，所以③正确；//故选：C．【点睛】本题考查了全等三角形的判定，熟悉全等三角形的5种判定方法是解题的关键．二、填空题13．3<a<13【分析】根据三角形的三边关系解答【详解】由题意得：8-5<a<8+5∴3<a<13故答案为：3<a<13【点睛】此题考查三角形的三边关系：三角形任意两边的和大于第三边解析：3<a<13【分析】根据三角形的三边关系解答．【详解】由题意得：8-5<a<8+5，∴3<a<13，故答案为：3<a<13．【点睛】此题考查三角形的三边关系：三角形任意两边的和大于第三边．14．【分析】根据AB∥CD求得∠CMF=∠1＝57°利用MF平分∠CME求得∠CME=2∠CMF＝114°根据∠EMD=180°-∠CME求出结果【详解】∵AB∥CD∴∠CMF=∠1＝57°∵MF平分∠解析：66【分析】根据AB∥CD，求得∠CMF=∠1＝57°，利用MF平分∠CME，求得∠CME=2∠CMF＝114°，根据∠EMD=180°-∠CME求出结果.【详解】∵AB∥CD，∴∠CMF=∠1＝57°，∵MF平分∠CME，∴∠CME=2∠CMF＝114°，∴∠EMD=180°-∠CME＝66°，故答案为：66.【点睛】此题考查平行线的性质，角平分线的有关计算，理解图形中角之间的和差关系是解题的关键.15．【分析】中线AD把△ABC分成面积相等的两个三角形中线BE又把△ABD 分成面积相等的两个三角形所以△ABE的面积是△ABC的面积的【详解】解：∵DE分别是BCAD的中点∴△ABD是△ABC面积的△A解析：21cm【分析】中线AD把△ABC分成面积相等的两个三角形，中线BE又把△ABD分成面积相等的两个三角形，所以△ABE的面积是△ABC的面积的14．【详解】解：∵D、E分别是BC，AD的中点，∴△ABD是△ABC面积的12，△ABE是△ABD面积的12，∴△ABE的面积=4×12×12=21cm．故答案为：21cm．【点睛】本题考查了三角形的面积计算，解题的关键是熟悉三角形的中线把三角形分成面积相等的两个小三角形．16．1或7【分析】分两种情况进行讨论根据题意得出BP=2t=2或AP=16-2t=2即可求得结果【详解】因为AB＝CD若∠ABP＝∠DCE＝90°BP＝CE＝2根据SAS 证得△ABP≌△DCE由题意得：解析：1或7【分析】分两种情况进行讨论，根据题意得出BP=2t=2或AP=16-2t=2即可求得结果．【详解】因为AB＝CD，若∠ABP＝∠DCE＝90°，BP＝CE＝2，根据SAS证得△ABP≌△DCE，由题意得：BP＝2t＝2，所以t＝1，因为AB＝CD，若∠BAP＝∠DCE＝90°，AP＝CE＝2，根据SAS证得△BAP≌△DCE，由题意得：AP＝16﹣2t＝2，解得t＝7．所以，当t的值为1或7秒时．△ABP和△DCE全等．故答案为：1或7．【点睛】本题考查了全等三角形的判定，要注意分类讨论．17．2或6【详解】∵DE ⊥ABDH ⊥AC ∴∠AED=∠AHE=90°在△ADE 和△ADH 中∵AD=ADDE=DH ∴△ADE ≌△ADH(HL)∴AH=AE=4cm ∵F 为AE 的中点∴AF=EF=2cm 在△F解析：2或6.【详解】∵DE ⊥AB ，DH ⊥AC ，∴∠AED=∠AHE=90°.在△ADE 和△ADH 中，∵AD=AD,DE=DH, ∴△ADE ≌△ADH(HL),∴AH=AE=4cm.∵F 为AE 的中点，∴AF=EF=2cm.在△FDE 和△GDH 中，∵DF=DG,DE=DH, ∴△FDE ≌△GDH(HL),∴GH=EF=2cm.当点G 在线段AH 上时，AG=AH-GH=4-2=2cm;当点G 在线段HC 上时，AG=AH+GH=4+2=6cm;故AG 的长为2或6.18．160【分析】首先利用ASA 判定△ABE ≌△CDE 然后可得CD=AB 【详解】解：∵在△ABE 和△CDE 中∴△ABE ≌△CDE （ASA ）∴CD=AB=160m 故答案为：160【点睛】本题考查全等三角形解析：160【分析】首先利用ASA 判定△ABE ≌△CDE ，然后可得CD=AB ．【详解】解：∵在△ABE 和△CDE 中==B D BE DEAEB CED ∠∠⎧⎪=⎨⎪∠∠⎩∴△ABE ≌△CDE （ASA ），∴CD=AB=160m ，故答案为：160．【点睛】本题考查全等三角形的应用，解题关键是掌握全等三角形的判定定理和性质定理． 19．AC=AD 或BC=BD 或∠BAC=∠BAD 或∠ABC=∠ABD （只要写出其中一个即可）【分析】现有条件：公共边AB ∠C=∠D=90°可以考虑添加对应边相等（因为是直角三角形全等的问题可以考虑用HL 判解析：AC=AD 或BC=BD 或∠BAC=∠BAD 或∠ABC=∠ABD （只要写出其中一个即可）【分析】现有条件：公共边AB ，∠C=∠D=90°，可以考虑添加对应边相等（因为是直角三角形全等的问题，可以考虑用HL 判定全等），也可以考虑添加角对应相等．【详解】在Rt △ABC 和Rt △ABD 中，已知∠C=∠D=90°，AB=AB ；根据HL 添加AC=AD 或BC=BD ；根据AAS 添加∠BAC=∠BAD 或∠ABC=∠ABD ．故答案为：AC=AD 或BC=BD 或∠BAC=∠BAD 或∠ABC=∠ABD ．【点睛】本题考查了直角三角形全等的判定，主要看学生对全等三角形几种判断方法的掌握情况，特别是直角三角形的全等，既可以用一般方法，又可以用直角三角形全等的特殊方法，选择面就更广一些．20．2或10【分析】由已知条件可推导出；再假设D 点所在的不同位置分别计算即可得到答案【详解】∵是的中线且∴假设点D 在CB 的延长线上如下图∵是的中线且∴∵∴和图形不符∴该假设不成立；假设点D 在点E 和点B 之解析：2或10【分析】由已知条件，可推导出6EC BE ==；再假设D 点所在的不同位置，分别计算DE ，即可得到答案．【详解】∵AE 是ABC 的中线，且6BE =∴6EC BE ==假设点D 在CB 的延长线上，如下图∵AE 是ABC 的中线，且6BE =∴212BC BE ==∵4CD =∴CD BC <，和图形不符∴该假设不成立；假设点D 在点E 和点B 之间，如下图∵4CD =，6EC =∴CD EC <，和图形不符∴该假设不成立；假设点D 在点E 和点C 之间，如下图∴642DE EC CD =-=-=；假设点D 在点BC 延长线上，如下图∴6410DE EC CD =+=+=；故答案为：2或10．【点睛】本题考察了三角形中线和三角形高的知识；求解的关键是熟练掌握三角形中线和三角形高的性质，从而完成求解．三、解答题21．（1）补全如图所示见解析；CD BC AD =+；（2）成立，证明见解析；（3）点B 的坐标为()1,2-．【分析】（1）依题意补全图，易证△AOD ≌△OBC ，则有AD =CO ，OD =BC ，从而可得CD BC AD =+；（2）利用三角形内角和易证23∠∠=，再证明BCO ODA ≌，同（1）即可证明结论；（3）过B 、C 两点作y 轴垂线，构造如（1）图形，即可得三角形全等，再将线段关系即可求出点B 坐标．【详解】（1）补全图1如图所示，CD BC AD =+；证明：∵90AOB ∠=︒，BC ⊥直线l ，AD ⊥ 直线l ，∴∠BCO =∠ODA =90°，∴∠BOC +∠OBC =90°，又∵90AOB ∠=︒，∴∠BOC +∠AOD =90°，∴∠OBC =∠AOD ，在△AOD 和△OBC 中BCO ODA OBC AOD BO AO ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△AOD ≌△OBC （AAS ）∴AD =CO ，OD =BC ，∵CD OD CO =+，∴CD BC AD =+．（2）成立．证明：如图，∵12180BOA ∠+∠=︒-∠，13180BOA ∠+∠=︒-∠，BOA BCO ∠=∠∴23∠∠=在BCO 和ODA 中32BCO ODA BO OA ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴BCO ODA ≌（AAS ）∴BC OD =，CO AD =∴CD CO OD AD BC =+=+（3）点B 的坐标为()1,2-．过程如下：过B 、C 两点作y 轴垂线，垂足分别为M 、N ，同理（1）可得，CN =AM ，AN =MB ，∵点A 的坐标为(0,1)，点C 的坐标为()3,2，∴CN =AM =3，ON =2，OA =1,∴MB =AN =ON -OA =1，OM =AM -OA =2，∵点B 在第四象限，∴点B 坐标为：()1,2-．【点睛】主要考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质、图形与坐标变换，构造出全等三角形是解本题的关键．22．（1）证明见解析；（2）证明见解析．【分析】（1）利用SSS 即可判断△ABC ≌△DEF ；（2）利用全等三角形的性质即可证明.【详解】证明：（1）∵点A 、F 、C 、D 在一条直线上，AF CD =，∴AC DF =．在ACE △与BDF 中,,.AB DF BC EF AC DF =⎧⎪=⎨⎪=⎩∴ABC DEF △≌△，()SSS（2）∵△ABC ≌△DEF ，∴∠BCA ＝∠EFD ，∴A D ∠=∠，∴//AB DE ．【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，平行线的判定等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．23．（1）∠BCF＝∠CAD；（2）AD＝CF+DF，证明见解析【分析】（1）由余角的性质可求解；（2）过点B作BG∥AC交CF的延长线于G，由“ASA”可证△ACD≌△CBG，可得CD＝BG，AD＝CG，由“SAS”可证△BDF≌△BGF，可得DF＝GF，可得结论．【详解】解：（1）∠BCF＝∠CAD，理由如下：∵CE⊥AD，∴∠CED＝∠ACD＝90°，∴∠CAD+∠ADC＝90°＝∠ADC+∠BCF，∴∠CAD＝∠BCF；（2）如图所示：猜想：AD＝CF+DF，理由如下：过点B作BG∥AC交CF的延长线于G，则∠ACB+∠CBG＝180°，∴∠CBG＝∠ACD＝90°，在△ACD和△CBG中，∵CAD BCF AC BCACD CBG ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴△ACD≌△CBG（ASA），∴CD＝BG，AD＝CG，∵D是BC的中点，∴CD＝BG＝BD，∵AC＝BC，∠ACB＝90°，∴∠CBA＝∠CAB，∴∠CBA＝45°，∴∠FBG＝∠CBG﹣∠CBA＝90°﹣45°＝45°，∴∠FBG＝∠FBD，在△BDF 和△BGF 中，BF BF FBD FBG BD BG =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△BDF ≌△BGF （SAS ），∴DF ＝GF ，∵AD ＝CG ＝CF +FG ，∴AD ＝CF +DF ．【点睛】本题主要考查余角的性质，全等三角形的判定和性质，添加合适的辅助线，构造全等三角形，是解题的关键．24．（1）见解析；（2）AB BC CD AB BD AD ++>+>【分析】（1）①按要求作图；②按要求作图；③按要求作出射线AC ，然后以点C 为圆心，BC 为半径画弧，交射线AC 于点D ，连接BD ；（2）结合图形，根据三角形两边之和大于第三边进行分析比较．【详解】解：（1）①如图，线段AB 即为所求；②如图，直线BC 即为所求；③如图，射线AC ，点D ，线段BD 即为所求（2）如图，在△BCD 中，BC+CD ＞BD∴AB BC CD AB BD ++>+在△ABD 中，AB+BD ＞AD∴AB BC CD AB BD AD ++>+>【点睛】本题考查基本作图及三角形三边关系，正确理解几何语言并掌握三角形三边关系是解题关键．25．证明见解析．【分析】先根据已知条件得出AB ED =，再利用SAS 证明ABC EDF △≌△，最后根据全等三角形的性质即可得出答案．【详解】证明：∵AD BE =，∴AD DB BE DB +=+，∴AB ED =．在ABC 和EDF 中，AB ED ABC EDF BC DF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴()ABC EDF SAS △≌△，∴A E ∠=∠．【点睛】本题考查了全等三角形的判定及性质，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键． 26．（1）见解析；（2）见解析．【分析】（1）根据平行线的性质可得∠ABC=∠ECD ，则可利用AAS 证明△ABC ≌△ECD ，再由全等三角形的性质可证得结论；（2）根据“等边对等角”可得∠DBC=∠BDC ，结合∠ABC=∠ECD ，可得∠ABD=∠ABC+∠DBC =∠ECD+∠BDC ，再利用三角形的外角性质得∠EBD =∠ECD+∠BDC ，即可证明∠ABD=∠EBD ．【详解】证明：（1）∵AB ∥CD ，∴∠ABC=∠ECD ，在△ABC 和△ECD 中，ABC ECD A EAC ED ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴△ABC ≌△ECD （AAS ），∴BC=CD ．（2）证明：如图，∵BC=CD，∴∠DBC=∠BDC，∵∠ABC=∠ECD，∴∠ABD=∠ABC+∠DBC =∠ECD+∠BDC，又∵∠EBD =∠ECD+∠BDC，∴∠ABD=∠EBD．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质等知识，掌握全等三角形的判定与性质及等腰三角形的性质是解题的关键．。

2020年数学中考复习专题：《三角形综合》(后附解析)

中考复习冲刺：《三角形综合》1．如图，在三角形ABC 中，AB ＝8，BC ＝16，AC ＝12．点P 从点A 出发以2个单位长度/秒的速度沿A →＞B →C →A 的方向运动，点Q 从点B 沿B →C →A 的方向与点P 同时出发；当点P 第一次回到A 点时，点P ，Q 同时停止运动；用t （秒）表示运动时间．（1）当t ＝秒时，P 是AB 的中点．（2）若点Q 的运动速度是23个单位长度/秒，是否存在t 的值，使得BP ＝2BQ ．（3）若点Q 的运动速度是a 个单位长度/秒，当点P ，Q 是AC 边上的三等分点时，求a 的值．2．如图，在△ABC 中，BC ＝7cm ，AC ＝24cm ，AB ＝25cm ，P 点在BC 上，从B 点到C 点运动（不包括C 点），点P 运动的速度为2cm /s ；Q 点在AC 上从C 点运动到A 点（不包括A 点），速度为5cm /s ．若点P 、Q 分别从B 、C 同时运动，请解答下面的问题，并写出探索主要过程：（1）经过多少时间后，P 、Q 两点的距离为5cm ？（2）经过多少时间后，S △PCQ 的面积为15cm 2？（3）用含t 的代数式表示△PCQ 的面积，并用配方法说明t 为何值时△PCQ 的面积最大，最大面积是多少？3．定义：如果一个三角形的一个内角等于另一个内角的两倍，则称这样的三角形为“倍角三角形”．（1）如图1，△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，求证：△ABC是倍角三角形；（2）若△ABC是倍角三角形，∠A＞∠B＞∠C，∠B＝30°，AC＝4 2 ，求△ABC面积；（3）如图2，△ABC的外角平分线AD与CB的延长线相交于点D，延长CA到点E，使得AE＝AB，若AB+AC＝BD，请你找出图中的倍角三角形，并进行证明．4．如图，如图1，在平面直角坐标系中，已知点A（﹣4，﹣1）、B（﹣2，1），将线段AB 平移至线段CD，使点A的对应点C在y轴的正半轴上，点D在第一象限．（1）若点C的坐标（k，0），求点D的坐标（用含k的式子表示）；（2）连接BD、BC，若三角形BCD的面积为5，求k的值；（3）如图2，分别作∠ABC和∠ADC的平分线，它们交于点P，请写出∠A、和∠P和∠BCD 之间的一个等量关系，并说明理由．5．如图1，在△ABC和△ADE中，∠BAC＝∠DAE＝90°，AB＝AC，AD＝AE．（1）求证：S△ABD ＝S△ACE；（2）如图2，AM是△ACE的中线，MA的延长线交BD于N，求证：MN⊥BD．6．已知：△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC．（1）如图1，点D在BC的延长线上，连AD，过B作BE⊥AD于E，交AC于点F．求证：AD＝BF；（2）如图2，点D在线段BC上，连AD，过A作AE⊥AD，且AE＝AD，连BE交AC于F，连DE，问BD与CF有何数量关系，并加以证明；（3）如图3，点D在CB延长线上，AE＝AD且AE⊥AD，连接BE、AC的延长线交BE于点M，若AC＝3MC，请直接写出的值．7．定义：如果三角形有一边上的中线长恰好等于这边的长，那么称这个三角形为“和美三角形”，这条边称为“和美边”，这条中线称为“和美中线”．理解：（1）请你在图①中画一个以AB为和美边的和美三角形，使第三个顶点C落在格点上；（2）如图②，在Rt△ABC中，∠C＝90°，tan A＝．求证：△ABC是“和美三角形”．运用：（3）已知，等腰△ABC是“和美三角形”，AB＝AC＝20，求底边BC的长（画图解答）．8．【问题提出】在△ABC中，AB＝AC≠BC，点D和点A在直线BC的同侧，BD＝BC，∠BAC ＝α，∠DBC＝β，且α+β＝120°，连接AD，求∠ADB的度数．（不必解答）【特例探究】小聪先从特殊问题开始研究，当α＝90°，β＝30°时，利用轴对称知识，以AB为对称轴构造△ABD的轴对称图形△ABD′，连接CD′（如图2），然后利用α＝90°，β＝30°以及等边三角形等相关知识便可解决这个问题．请结合小聪研究问题的过程和思路，在这种特殊情况下填空：△D′BC的形状是三角形；∠ADB的度数为．【问题解决】在原问题中，当∠DBC＜∠ABC（如图1）时，请计算∠ADB的度数；【拓展应用】在原问题中，过点A作直线AE⊥BD，交直线BD于E，其他条件不变若BC ＝7，AD＝2．请直接写出线段BE的长为．9．如图，已知A（3，0），B（0，﹣1），连接AB，过B点作AB的垂线段BC，使BA＝BC，连接AC．（1）如图1，求C点坐标；（2）如图2，若P点从A点出发沿x轴向左平移，连接BP，作等腰直角△BPQ，连接CQ，当点P在线段OA上，求证：PA＝CQ；（3）在（2）的条件下若C、P，Q三点共线，求此时∠APB的度数及P点坐标．10．问题原型：如图①，在锐角△ABC中，∠ABC＝45°，AD⊥BC于点D，在AD上取点E，使DE＝CD，连结BE．求证：BE＝AC．问题拓展：如图②，在问题原型的条件下，F为BC的中点，连结EF并延长至点M，使FM ＝EF，连结CM．（1）判断线段AC与CM的大小关系，并说明理由．（2）若AC＝，直接写出A、M两点之间的距离．11．如图，△ABC是边长为6的等边三角形，P是AC边上一动点，由A向C运动（与A、C 不重合），Q是CB延长线上一点，与点P同时以相同的速度由B向CB延长线方向运动（Q 不与B重合），过P作PE⊥AB于E，连接PQ交AB于D．（1）当∠BQD＝30°时，求AP的长；（2）证明：在运动过程中，点D是线段PQ的中点；（3）当运动过程中线段ED的长是否发生变化？如果不变，求出线段ED的长；如果变化请说明理由．12．如图，AC平分钝角∠BAE交过B点的直线于点C，BD平分∠ABC交AC于点D，且∠BAD+∠ABD＝90°．（1）求证：AE∥BC；（2）点F是射线BC上一动点（点F不与点B，C重合），连接AF，与射线BD相交于点P．（ⅰ）如图1，若∠ABC＝45°，AF⊥AB，试探究线段BF与CF之间满足的数量关系；＝30，∠CAF＝∠ABD，求线段BP的长．（ⅱ）如图2，若AB＝10，S△ABC13．如图，在△ABC中，AB＝AC＝2，∠B＝∠C＝40°，点D在线段BC上运动（点D不与点B、C重合），连接AD，作∠ADE＝40°，DE交线段AC于点E．（1）当∠BDA＝110°时，∠EDC＝°，∠DEC＝°；点D从B向C的运动过程中，∠BDA逐渐变（填“大”或“小”）；（2）当DC等于多少时，△ABD≌△DCE，请说明理由．（3）在点D的运动过程中，△ADE的形状可以是等腰三角形吗？若可以，请直接写出∠BDA的度数，若不可以，请说明理由．14．如图，在等腰Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D为BC的中点，过点C作CG⊥AD于点G，过点B作FB⊥CB于点B，交CG的延长线于点F，连接DF交AB于点E．（1）求证：△ACD≌△CBF；（2）求证：AB垂直平分DF；（3）连接AF，试判断△ACF的形状，并说明理由．15．【阅读理解】截长补短法，是初中数学几何题中一种辅助线的添加方法．截长就是在长边上截取一条线段与某一短边相等，补短是通过在一条短边上延长一条线段与另一短边相等，从而解决问题．（1）如图1，△ABC是等边三角形，点D是边BC下方一点，∠BDC＝120°，探索线段DA、DB、DC之间的数量关系．解题思路：延长DC到点E，使CE＝BD，连接AE，根据∠BAC+∠BDC＝180°，可证∠ABD ＝∠ACE易证得△ABD≌△ACE，得出△ADE是等边三角形，所以AD＝DE，从而探寻线段DA、DB、DC之间的数量关系．根据上述解题思路，请直接写出DA、DB、DC之间的数量关系是；【拓展延伸】（2）如图2，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC．若点D是边BC下方一点，∠BDC ＝90°，探索线段DA、DB、DC之间的数量关系，并说明理由；【知识应用】（3）如图3，两块斜边长都为14cm的三角板，把斜边重叠摆放在一起，则两块三角板的直角顶点之间的距离PQ的长分别为cm．16．如图，△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC，D在边AC上，AE⊥BD于E．（1）如图1，作CF⊥BD于F，求证：CF﹣AE＝EF；（2）如图2，若BC＝CD，求证：BD＝2AE；（3）如图3，作BM⊥BE，且BM＝BE，AE＝2，EN＝4，连接CM交BE于N，请直接写出△BCM的面积为．17．已知△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠ABC＝∠ADE＝90°，M为CE中点．（1）如图1，若D点在BA延长线上，直接写出BM与DM的数量关系与位置关系不必证明．（2）如图2，当C，E，D在同直线上，连BE，探究BE与AB的的数量关系，并加以证明．（3）在（2）的条件下，若AB＝AE＝2．求BD的长．18．如图1，点C在线段AB上，（点C不与A、B重合），分别以AC、BC为边在AB同侧作等边三角形ACD和等边三角形BCE，连接AE、BD交于点P（1）观察猜想：①线段AE与BD的数量关系为．②∠APC的度数为．（2）数学思考：如图2，当点C在线段AB外时，（1）中的结论①，②是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请你写出正确结论再给予证明（3）拓展应用：如图3，分别以AC、BC为边在AB同侧作等腰直角三角形ACD和等腰直角三角形BCE，其中∠ACD＝∠BCE＝90°，CA＝CD，CB＝CE，连接AE＝BD交于点P，则线段AE与BD的关系为．19．（1）已知：如图1，△ABC为等边三角形，点D为BC边上的一动点（点D不与B、C 重合），以AD为边作等边△ADE，连接CE．求证：①BD＝CE，②∠DCE＝120°；（2）如图2，在△ABC中，∠BAC＝90°，AC＝AB，点D为BC上的一动点（点D不与B、C重合），以AD为边作等腰Rt△ADE，∠DAE＝90°（顶点A、D、E按逆时针方向排列），连接CE，类比题（1），请你猜想：①∠DCE的度数；②线段BD、CD、DE之间的关系，并说明理由；（3）如图3，在（2）的条件下，若D点在BC的延长线上运动，以AD为边作等腰Rt△ADE，∠DAE＝90°（顶点A、D、E按逆时针方向排列），连接CE．①则题（2）的结论还成立吗？请直接写出，不需论证；②连结BE，若BE＝10，BC＝6，直接写出AE的长．20．思维启迪：（1）如图①，A，B两点分别位于一个池塘的两端，小亮想用绳子测量A，B间的距离，但绳子不够长，他出一个办法：先在地上取一个可以直接到达B点的点C，连接BC，取BC的中点P（点P可以直接到达A点），利用工具过点C作CD∥AB交AP的延长线于点D，此时测得CD＝200米，那么A，B间的距离是米．思维探索：（2）在△ABC和△ADE中，AC＝BC＝4，AE＝DE＝，∠ACB＝∠AED＝90°，将△ADE 绕点A顺时针方向旋转，把点E在AC边上时△ADE的位置作为起始位置（此时点B和点D位于AC的两侧），设旋转角为α，连接BD，点P是线段BD的中点，连接PC，PE．①如图②，当△ADE在起始位置时，求证：PC⊥PE，PC＝PE．②如图③，当α＝90°时，点D落在AB边上，PC与PE的数量关系和位置关系分别为．③当α＝135°时，直接写出PC的值．参考答案1．解：（1）∵AB＝8，点P的运动速度为2个单位长度/秒，∴当P为AB中点时，即4÷2＝2（秒）；故答案为：2．（2）由题意可得：当BP＝2BQ时，P，Q分别在AB，BC上，∵点Q的运动速度为个单位长度/秒，∴点Q只能在BC上运动，∴BP＝8﹣2t，BQ＝t，则8﹣2t＝2×t，解得t＝，当点P运动到BC和AC上时，不存在BP＝2BQ；（3）当点P为靠近点A的三等分点时，如图1，AB+BC+CP＝8+16+8＝32，此时t＝32÷2＝16，∵BC+CQ＝16+4＝20，∴a＝20÷16＝，当点P为靠近点C的三等分点时，如图2，AB +BC +CP ＝8+16+4＝28，此时t ＝28÷2＝14，∵BC +CQ ＝16+8＝24，∴a ＝24÷14＝．综上可得：a 的值为或．2．解：（1）连接PQ ，设经过ts 后，P 、Q 两点的距离为5cm ，ts 后，PC ＝7﹣2tcm ，CQ ＝5tcm ，根据勾股定理可知PC 2+CQ 2＝PQ 2，代入数据（7﹣2t ）2+（5t ）2＝（5）2；解得t ＝1或t ＝﹣（不合题意舍去）；（2）设经过ts 后，S △PCQ 的面积为15cm 2 ts 后，PC ＝7﹣2tcm ，CQ ＝5tcm ，S △PCQ ＝×PC ×CQ ＝×（7﹣2t ）×5t ＝15解得t 1＝2，t 2＝1.5，经过2或1.5s 后，S △PCQ 的面积为15cm 2．（3）设经过ts 后，△PCQ 的面积最大，ts 后，PC ＝7﹣2tcm ，CQ ＝5tcm ，S △PCQ ＝×PC ×CQ ＝×（7﹣2t ）×5t ＝×（﹣2t 2+7t ）．＝﹣5．∴当t＝s时，△PCQ的面积最大，最大值为cm2．3．（1）证明：∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，∵∠A+∠B+∠C＝180°，∠A＝36°，∴∠B＝∠C＝72°，∴∠A＝2∠C，即△ABC是倍角三角形，（2）解：∵∠A＞∠B＞∠C，∠B＝30°，①当∠B＝2∠C，得∠C＝15°，过C作CH⊥直线AB，垂足为H，可得∠CAH＝45°，∴AH＝CH＝AC＝4．∴BH＝，∴AB＝BH﹣AH＝﹣4，∴S＝．②当∠A＝2∠B或∠A＝2∠C时，与∠A＞∠B＞∠C矛盾，故不存在．综上所述，△ABC面积为．（3）△ADC和△ABC是倍角三角形，证明如下：∵AD平分∠BAE，∴∠BAD＝∠EAD，∵AB＝AE，AD＝AD，∴△ABD≌△AED（SAS），∴∠ADE＝∠ADB，BD＝DE．又∵AB +AC ＝BD ，∴AE +AC ＝BD ，即CE ＝BD ．∴CE ＝DE ．∴∠C ＝∠BDE ＝2∠ADC ．∴△ADC 是倍角三角形．∵△ABD ≌△AED ，∴∠E ＝∠ABD ，∴∠E ＝180°﹣∠ABC ，∵∠E ＝180°﹣2∠C ，∴∠ABC ＝2∠C ．∴△ABC 是倍角三角形．4．解：（1）∵点A （﹣4，﹣1）、B （﹣2，1），C （k ，0），将线段AB 平移至线段CD ， ∴点B 向上平移一个单位，向右平移（k +4）个单位到点D ，∴D （k +2，2）；（2）如图1，过点B 作BE ⊥x 轴于点E ，过点D 作DF ⊥x 轴于点F ，∵A （﹣4，﹣1）、B （﹣2，1），C （k ，0），D （k +2，2），∴BE ＝1，CE ＝k +2，DF ＝2，EF ＝k +4，CF ＝2，∵S 四边形BEFD ＝S △BEC +S △DCF +S △BCD ， ∴＝+，解得：k ＝2．（3）∠BPD ＝∠BCD +∠A ；理由如下：过点P 作PE ∥AB ，如图2所示：∴∠PBA＝∠EPB，∵线段AB平移至线段CD，∴AB∥CD，∴PE∥CD，∠ADC＝∠A，∠ABC＝∠BCD，∴∠EPD＝∠PDC，∴∠BPD＝∠PBA+∠PDC，∵BP平分∠ABC，DP平分∠ADC，∴∠PBA＝∠ABC，∠PDC＝∠ADC，∴∠BPD＝∠ABC+∠ADC＝∠BCD+∠A．5．证明：（1）过B作BM⊥DA于M，过C作CN⊥EA交EA的延长线于N，如图，∵∠BAC＝∠DAE＝90°，∴∠BAD+∠CAE＝180°，∵∠CAN+∠CAE＝180°，∴∠BAD＝∠CAN∵sin∠BAD＝，sin∠CAN＝，又∵AB＝AC，∴BM＝CN，∵DA＝AE，S△ABD ＝DN×BM，S△ACE＝AE×CN，∴S△ADB ＝S△ACE．（2）延长AM到Q使AM＝QM，连接CQ、EQ，如图，∵AM是△ACE中线，∴CM＝EM，∴四边形ACQE是平行四边形，∴AC＝EQ＝AB，AE＝CQ＝AD，AC∥EQ，∴∠CAE+∠AEQ＝180°，∵∠BAD+∠CAE＝180°，∴∠BAD＝∠AEQ，∵在△BAD和△QEA中∴△BAD≌△QEA，∴∠BDA＝∠EAM，∵∠DAE＝90°，∴∠NAD+∠QAE＝90°，∴∠BDA+∠NAD＝90°，∴∠DNA＝180°﹣90°＝90°，∴MN⊥BD．6．（1）证明：如图1中，∵BE⊥AD于E，∴∠AEF＝∠BCF＝90°，∵∠AFE＝∠CFB，∴∠DAC＝∠CBF，∵BC＝CA，∴△BCF≌△ACD，∴BF＝AD．（2）结论：BD＝2CF．理由：如图2中，作EH⊥AC于H．∵∠AHE＝∠ACD＝∠DAE＝90°，∴∠DAC+∠ADC＝90°，∠DAC+∠EAH＝90°，∴∠DAC ＝∠AEH ，∵AD ＝AE ，∴△ACD ≌△EHA ，∴CD ＝AH ，EH ＝AC ＝BC ，∵CB ＝CA ，∴BD ＝CH ，∵∠EHF ＝∠BCF ＝90°，∠EFH ＝∠BFC ，EH ＝BC ，∴△EHF ≌△BCF ，∴FH ＝CF ，∴BD ＝CH ＝2CF ．（3）如图3中，同法可证BD ＝2CM ．∵AC ＝3CM ，设CM ＝a ，则AC ＝CB ＝3a ，BD ＝2a ， ∴＝＝．7．解：（1）如图①中，△ABC 1，△ABC 2即为所求．（2）证明：如图②，根据定义Rt △ABC 中，和美中线一定是较长直角边上的中线．理由：取AC 的中点D ，连结BD ，设AC ＝2x ，则CD ＝AD ＝x ，∵，∴，∴，在Rt△BCD中，∴BD＝AC，∴△ABC是“和美三角形：．（3）分两种情况：如图③，当腰上的中线BD＝AC时，则AB＝BD，过B作BE⊥AD于E，∵AB＝AC＝20，∴BD＝20，，∴CE＝10+5＝15，∴Rt△BDE中，BE2＝BD2﹣DE2＝375，∴Rt△BCE中，；如图④，当底边上的中线AD＝BC时，则AD⊥BC，且AD＝2BD，设BD＝x，则x2+（2x）2＝202，∴x2＝80，又∵x＞0，∴，∴．综上所述，底边BC的长为或．8．解：【特例探究】①如图2中，作∠ABD′＝∠ABD，BD′＝BD，连接CD′，AD′，∵AB＝AC，∠BAC＝90°，∴∠ABC＝45°，∵∠DBC＝30°，∴∠ABD＝∠ABC﹣∠DBC＝15°，在△ABD和△ABD′中，∴△ABD≌△ABD′，∴∠ABD＝∠ABD′＝15°，∠ADB＝∠AD′B，∴∠D′BC＝∠ABD′+∠ABC＝60°，∵BD＝BD′，BD＝BC，∴BD′＝BC，∴△D′BC是等边三角形，②∵△D′BC是等边三角形，∴D′B＝D′C，∠BD′C＝60°，在△AD′B和△AD′C中，∴△AD′B≌△AD′C，∴∠AD′B＝∠AD′C，∴∠AD′B＝∠BD′C＝30°，∴∠ADB＝30°．故答案为：等边，30°；【问题解决】解：∵∠DBC＜∠ABC，∴60°＜α≤120°，如图3中，作∠ABD′＝∠ABD，BD′＝BD，连接CD′，AD′，∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB，∵∠BAC＝α，∴∠ABC＝（180°﹣α）＝90°﹣α，∴∠ABD＝∠ABC﹣∠DBC＝90°﹣α﹣β，同（1）①可证△ABD≌△ABD′，∴∠ABD＝∠ABD′＝90°﹣α﹣β，BD＝BD′，∠ADB＝∠AD′B∴∠D′BC＝∠ABD′+∠ABC＝90°﹣α﹣β+90°﹣α＝180°﹣（α+β），∵α+β＝120°，∴∠D′BC＝60°，由（1）②可知，△AD′B≌△AD′C，∴∠AD′B＝∠AD′C，∴∠AD′B＝∠BD′C＝30°，∴∠ADB＝30°．【拓展应用】第①情况：当60°＜α＜120°时，如图3﹣1，由（2）知，∠ADB＝30°，作AE⊥BD，在Rt△ADE中，∠ADB＝30°，AD＝2，∴DE＝，∵△BCD'是等边三角形，∴BD'＝BC＝7，∴BD＝BD'＝7，∴BE＝BD﹣DE＝7﹣；第②情况：当0°＜α＜60°时，如图4中，作∠ABD′＝∠ABD，BD′＝BD，连接CD′，AD′．同理可得：∠ABC＝（180°﹣α）＝90°﹣α，∴∠ABD＝∠DBC﹣∠ABC＝β﹣（90°﹣α），同（1）①可证△ABD≌△ABD′，∴∠ABD＝∠ABD′＝β﹣（90°﹣α），BD＝BD′，∠ADB＝∠AD′B，∴∠D′BC＝∠ABC﹣∠ABD′＝90°﹣α﹣[β﹣（90°﹣α）]＝180°﹣（α+β），∴D′B＝D′C，∠BD′C＝60°．同（1）②可证△AD′B≌△AD′C，∴∠AD′B＝∠AD′C，∵∠AD′B+∠AD′C+∠BD′C＝360°，∴∠ADB＝∠AD′B＝150°，在Rt△ADE中，∠ADE＝30°，AD＝2，∴DE＝，∴BE＝BD+DE＝7+，故答案为：7+或7﹣．9．解：（1）作CH⊥y轴于H，则∠BCH+∠CBH＝90°，∵AB⊥BC，∴∠ABO+∠CBH＝90°，∴∠ABO＝∠BCH，在△ABO和△BCH中，，∴△ABO≌△BCH，∴BH＝OA＝3，CH＝OB＝1，∴OH＝OB+BH＝4，∴C点坐标为（1，﹣4）；（2）∵∠PBQ＝∠ABC＝90°，∴∠PBQ﹣∠ABQ＝∠ABC﹣∠ABQ，即∠PBA＝∠QBC，在△PBA和△QBC中，，∴△PBA≌△QBC，∴PA＝CQ；（3）∵△BPQ是等腰直角三角形，∴∠BQP＝45°，当C、P，Q三点共线时，∠BQC＝135°，由（2）可知，△PBA≌△QBC，∴∠BPA＝∠BQC＝135°，∴∠OPB＝45°，∴OP＝OB＝1，∴P点坐标为（1，0）．10．解：问题原型：∵AD⊥BC，∴∠ADB＝∠ADC＝90°，∵∠ABC＝45°，∴∠BAD＝45°，∴∠ABC＝∠BAD，∴AD＝BD，在△BDE和△ADC中，∵，∴△BDE≌△ADC（SAS），∴BE＝AC，问题拓展：（1）AC＝CM，理由：∵点F是BC中点，∴BF＝CF，在△BEF和△CMF中，∵，∴△BEF≌△CMF（SAS），∴BE＝CM，由（1）知，BE＝AC，∴AC＝CM；（2）如图②，连接AM，由（1）知，△BDE≌△ADC，∴∠BED＝∠ACD，由（2）知，△BEF≌△CMF，∴∠EBF＝∠BCM，∴∠ACM＝∠ACD+∠BCM＝∠BED+∠EBF＝90°，∵AC＝CM，∴AM＝AC＝．11．（1）解：设AP＝x，则BQ＝x，∵∠BQD＝30°，∠C＝60°，∴∠QPC＝90°，∴QC＝2PC，即x+6＝2（6﹣x），解得x＝2，即AP＝2．（2）证明：如图，过P点作PF∥BC，交AB于F，∵PF∥BC，∴∠PFA＝∠FPA＝∠A＝60°，∴PF＝AP＝AF，∴PF＝BQ，又∵∠BDQ＝∠PDF，∠DBQ＝∠DFP，∴△DQB≌△DPF，∴DQ＝DP即D为PQ中点，（3）运动过程中线段ED的长不发生变化，是定值为3，理由：∵PF＝AP＝AF，PE⊥AF，∴，又∵△DQB≌△DPF，∴，∴．12．（1）证明：∵AC平分钝角∠BAE，BD平分∠ABC，∴∠BAE＝2∠BAD，∠ABC＝2∠ABD，∴∠BAE+∠ABC＝2（∠BAD+∠ABD）＝2×90°＝180°，∴AE∥BC；（2）解：（ⅰ）BF＝（2+）CF；理由如下：∵∠BAD+∠ABD＝90°，∴BD⊥AC，∴∠CBD+∠BCD＝90°，∵∠ABD＝∠CBD，∴∠BAD＝∠BCD，∴AB＝BC，过点A作AH⊥BC于H，如图1所示：∵∠ABC＝45°，AF⊥AB，∴△ABH、△BAF是等腰直角三角形，∴AH＝BH＝HF，BC＝AB＝BH，BF＝AB＝×BH＝2BH，∴CF＝BF﹣BC＝2BH﹣BH＝（2﹣）BH，∴BH＝＝（1+）CF，∴BF＝2（1+）CF＝（2+）CF；（ⅱ）当点F在点C的左侧时，如图2所示：同（ⅰ）得：∠BAD＝∠BCD，∴AB＝BC＝10，∵∠CAF＝∠ABD，∠BAD+∠ABD＝90°，∴∠BCD+∠CAF＝90°，∴∠AFC＝90°，∴AF⊥BC，＝BC•AF＝×10×AF＝30，则S△ABC∴AF＝6，∴BF＝＝8，∴CF＝BC﹣BF＝10﹣8＝2，∴AC＝＝2，＝AC•BD＝×2×BD＝30，∵S△ABC∴BD＝3，作PG⊥AB于G，则PG＝PF，在Rt△BPG和Rt△BPF中，，∴Rt△BPG≌Rt△BPF（HL），∴BG＝BF＝8，∴AG＝AB﹣BG＝2，∵AB＝CB，BD⊥AC，∴AD＝CD＝AC＝，设AP＝x，则PG＝PF＝6﹣x，在Rt△APG中，由勾股定理得：22+（6﹣x）2＝x2，解得：x＝，∴AP＝，∴PD＝＝＝，∴BP＝BD﹣PD＝3﹣＝；当点F在点C的右侧时，则∠CAF＝∠ACF'，∵BD⊥AC，∴∠APD＝∠AP'D，∴AP＝AP'，PD＝P'D＝，∴BP＝+2×＝；综上所述，线段BP的长为或．13．解：（1）∵∠ADB+∠ADE+∠EDC＝180°，且∠ADE＝40°，∠BDA＝110°，∴∠EDC＝30°，∵∠AED＝∠EDC+∠ACB＝30°+40°＝70°∴∠EDC＝180°﹣∠AED＝110°，故答案为：30，110，∵∠BDA+∠B+∠BAD＝180°，∴∠BDA＝140°﹣∠BAD∵点D从B向C的运动过程中，∠BAD逐渐变大∴∠BDA逐渐变小，故答案为：小（2）当DC＝2时，△ABD≌△DCE，理由如下：∵∠ADC＝∠B+∠BAD，∠ADC＝∠ADE+∠CDE，∠B＝∠ADE＝40°，∴∠BAD＝∠CDE，且AB＝CD＝2，∠B＝∠C＝40°，∴△ABD≌△DCE（ASA）（3）若AD＝DE时，∵AD＝DE，∠ADE＝40°∴∠DEA＝∠DAE＝70°∵∠DEA＝∠C+∠EDC∴∠EDC＝30°∴∠BDA＝180°﹣∠ADE﹣∠EDC＝180°﹣40°﹣30°＝110°若AE＝DE时，∵AE＝DE，∠ADE＝40°∴∠ADE＝∠DAE＝40°，∴∠AED＝100°∵∠DEA＝∠C+∠EDC∴∠EDC＝60°∴∠BDA＝180°﹣∠ADE﹣∠EDC＝180°﹣40°﹣60°＝80°综上所述：当∠BDA＝80°或110°时，△ADE的形状可以是等腰三角形14．证明：（1）∵CG⊥AD，∴∠AGC＝90°，∴∠GCA+∠CAD＝90°，∵∠GCA+∠FCB＝90°，∴∠CAD＝∠FCB，∵FB⊥BC，∴∠CBF＝90°，∵Rt△ABC是等腰三角形，∠ACB＝90°，∴AC＝BC，∠CBF＝∠ACB，在△ACD和△CBF中，∴△ACD≌△CBF（ASA）；（2）∵△ACD≌△CBF，∴CD＝BF，∵D为BC的中点，∴CD＝BD，∴BD＝BF，∵△ABC是等腰直角三角形，∠ACB＝90°，∴∠DBE＝45°，∵∠CBF＝90°，∴∠DBE＝∠FBE＝45°，在△DBE和△FBE中，∴△DBE≌△FBE（SAS），∴DE＝FE，∠DEB＝∠FEB＝90°，∴AB垂直平分DF；（3）△ACF是等腰三角形，理由为：连接AF，如图所示，由（1）知：△CBF≌△ACD，∴CF＝AD，由（2）知：AB垂直平分DF，∴AF＝AD，∵CF＝AD，∴CF＝AF，∴△ACF是等腰三角形．15．解：（1）如图1，延长DC到点E，使CE＝BD，连接AE，∵△ABC是等边三角形，∴AB＝AC，∠BAC＝60°，∵∠BDC＝120°，∴∠ABD+∠ACD＝180°，又∵∠ACE+∠ACD＝180°，∴∠ABD＝∠ACE，∴△ABD≌△ACE（SAS），∴AD＝AE，∠BAD＝∠CAE，∵∠ABC＝60°，即∠BAD+∠DAC＝60°，∴∠DAC+∠CAE═60°，即∠DAE＝60°，∴△ADE是等边三角形，∴DA＝DE＝DC+CE＝DC+DB，即DA＝DC+DB，故答案为：DA＝DC+DB；（2）DA＝DB+DC，如图2，延长DC到点E，使CE＝BD，连接AE，∵∠BAC＝90°，∠BDC＝90°，∴∠ABD+∠ACD＝180°，∵∠ACE+∠ACD＝180°，∴∠ABD＝∠ACE，∵AB＝AC，CE＝BD，∴△ABD≌△ACE，∴AD＝AE，∠BAD＝∠CAE，∴∠DAE＝∠BAC＝90°，∴DA2+AE2＝DE2，∴2DA2＝（DB+DC）2，∴DA＝DB+DC；（3）如图3，连接PQ，∵MN＝14，∠QMN＝30°，∴QN＝MN＝7，∴MQ＝＝＝7，由（2）知PQ＝QN+QM＝7+7，∴PQ＝＝，故答案为：．16．（1）证明：∵CF⊥BD于点F，AE⊥BD，∴∠AEB＝∠CFB＝90°，∴∠ABE+∠BAE＝90°，又∵∠ABC＝90°，∴∠ABE+∠CBF＝90°，∴∠BAE＝∠CBF，在△ABE和△BCF中，，∴△ABE≌△BCF（AAS），∴BE＝CF，AE＝BF，∴CF﹣AE＝BE﹣BF＝EF；（2）证明：如图1，过点C作CF⊥BD于点F，∵BC＝CD，∴BF＝DF，由（1）得AE＝BF，∴AE＝DF，∴BD＝2AE；（3）解：如图2，过点C作CG⊥MB，交MB的延长线于点G，过点C作CH⊥BE，交BE于点H，∵BM⊥BE，CH⊥BE，CG⊥MB，∴∠NBG＝∠CHB＝∠CGB＝90°，∴四边形BGCH为矩形，∴BG＝HC，BH＝GC，由（1）得△AEB≌△BHC，∴AE＝BH，BE＝CH，∵BM＝BE，∴BM＝CH，∵∠MBN＝∠CHN＝90°，∠MNB＝∠CNH，∴△BMN≌△HCN（AAS），∴BM＝CH，BN＝HN，∵AE＝BH＝2，∴BN＝1，∴BE＝BM＝BN+EN＝1+4＝5，∴＝．故答案为：5．17．解：（1）BM＝DM，BM⊥DM；如图1，连接AM，∵△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠ABC＝∠ADE＝90°，∴∠CAE＝90°，∵M为CE中点．∴CM＝AM，∵BM＝BM，BC＝BA，∴△BCM≌△BAM（SSS），∴∠CBM＝∠MBA＝45°，同理可得∠MDA＝45°，∴∠BMD＝90°，∴BM＝DM，BM⊥DM；（2）如图2，延长BM到N，使BM＝MN，连EN，DN，BD，BE，∵∠CMB＝∠EMN，CM＝ME，∴△CBM≌△ENM（SAS），∴BC＝EN，∠BCM＝∠MEN，∴EN＝AB，∵∠CBA＝∠ADE＝90°，∴∠BCM+∠BAD＝180°，∵∠NED+∠MEN＝180°，∴∠NED＝∠BAD，又∵AD＝DE，∴△END≌△ABD（SAS），∴DB＝DN，∠NDE＝∠BDA，∴∠NDE+∠BDE＝90°，∴∠NDB＝90°，∴DB⊥DN，∴DM⊥BN，∴BE＝EN＝BC＝AB；（3）如图3，连BE，BD交AE于N，在（2）的条件下，CM＝ME，DM⊥BM，∴BE＝BC＝AE＝AB＝2，DE＝DA＝2，∴BD为AE的垂直平分线，∴EN＝DN＝AN＝，∴BN＝＝，∴BD＝+．18．解：（1）观察猜想：①如图1，设AE交CD于点O．过点C作CH⊥AE，CG⊥BD，∵△ADC，△ECB都是等边三角形，∴CA＝CD，∠ACD＝∠ECB＝60°，CE＝CB，∴∠ACE＝∠DCB，∴△ACE≌△DCB（SAS），∴AE＝BD，∠CAO＝∠ODP，S△ACE ＝S△BCD，∴∠DPO＝∠ACO＝60°，∴∠APB＝120°，∵S△ACE ＝S△BCD，∴×AE×CH＝×BD×CG，∴CH＝CG，且CH⊥AE，CG⊥BD，∴CP平分∠APB，∴∠APC＝60°，故答案为AE＝BD，60°．（2）数学思考：：①成立，②不成立，理由：设AC交BD于点O．过点C作CH⊥AE，CG⊥BD，∵△ADC，△ECB都是等边三角形，∴CA＝CD，∠ACD＝∠ECB＝60°，CE＝CB，∴∠ACE＝∠DCB∴△ACE≌△DCB（SAS），∴AE＝BD，∠PAO＝∠ODC，∵∠AOP＝∠DOC，∴∠APO＝∠DCO＝60°，∴∠DPE＝120°，∵S△ACE ＝S△BCD，∴×AE×CH＝×BD×CG，∴CH＝CG，且CH⊥AE，CG⊥BD，∴∠DPC＝60°，∴∠APC＝120°，∴①成立，②不成立；拓展应用：设AC交BD于点O．∵∠ACD＝∠BCE＝90°，CA＝CD，CB＝CE，∴∠ACE＝∠DCB∴△AEC≌△DBC（SAS），∴AE＝BD，∠CDB＝∠CAE，∵∠AOP＝∠COD，∠CDB＝∠CAE，∴∠DCO＝∠APO＝90°，∴AE⊥BD，故答案为：AE＝BD，AE⊥BD．19．证明：（1）①如图1，∵△ABC和△ADE是等边三角形，∴AB＝AC，AD＝AE，∠ACB＝∠B＝60°，∠BAC＝∠DAE＝60°，∴∠BAC﹣∠DAC＝∠DAE﹣∠DAC，∴∠BAD＝∠EAC．在△ABD和△ACE中，，∴△ABD≌△ACE（SAS），∴BD＝CE；②∵△ABD≌△ACE，∴∠ACE＝∠B＝60°，∴∠DCE＝∠ACE+∠ACB＝60°+60°＝120°；（2）∠DCE＝90°，BD2+CD2＝DE2．证明：如图2，∵∠BAC＝∠DAE＝90°，∴∠BAC﹣∠DAC＝∠DAE﹣∠DAC，即∠BAD＝∠CAE，在△ABD与△ACE中，，∴△ABD≌△ACE（SAS），∴∠B＝∠ACE＝45°，BD＝CE，∴∠B+∠ACB＝∠ACE+∠ACB＝90°，∴∠BCE＝90°，∴Rt△DCE中，CE2+CD2＝DE2，∴BD2+CD2＝DE2；（3）①（2）中的结论还成立．理由：∵∠BAC＝∠DAE＝90°，∴∠BAC+∠DAC＝∠DAE+∠DAC，即∠BAD＝∠CAE，在△ABD与△ACE中，，∴△ABD≌△ACE（SAS），∴∠ABC＝∠ACE＝45°，BD＝CE，∴∠ABC+∠ACB＝∠ACE+∠ACB＝90°，∴∠BCE＝90°＝∠ECD，∴Rt△DCE中，CE2+CD2＝DE2，∴BD2+CD2＝DE2；②∵Rt△BCE中，BE＝10，BC＝6，∴CE＝＝＝8，∴BD＝CE＝8，∴CD＝8﹣6＝2，∴Rt△DCE中，DE＝＝＝，∵△ADE是等腰直角三角形，∴．20．（1）解：∵CD∥AB，∴∠ABP＝∠C，∵P是BC的中点，∴PB＝PC，在△ABP和△DCP中，，∴△ABP≌△DCP（ASA），∴AB＝CD＝200米；故答案为：200；（2）①证明：延长EP交BC于F，如图②所示：∵∠ACB＝∠AED＝90°，∴DE∥BC，∴∠EDP＝∠FBP，∠DEP＝∠BFP，∵点P是线段BD的中点，∴PB＝PD，在△FBP和△EDP中，，∴△FBP≌△EDP（AAS），∴PF＝PE，BF＝DE，∵AC＝BC，AE＝DE，∴FC＝EC，又∵∠ACB＝90°，∴△EFC是等腰直角三角形，∵PE＝PF，∴PC⊥EF，PC＝EF＝PE；②解：PC⊥PE，PC＝PE；理由如下：延长ED交BC于H，如图③所示：由旋转的性质得：∠CAE＝90°，∵∠AED＝∠ACB＝90°，∴四边形ACHE是矩形，∴∠BHE＝∠CHE＝90°，AE＝CH，∵AE＝DE，∴CH＝DE，∠ADE＝45°，∴∠EDP＝135°，∵∠ACB＝90°，AC＝BC，∴∠ABC＝45°，∵∠BHE＝90°，点P是线段BD的中点，∴PH⊥BD，PH＝BD＝PD，△BPH是等腰直角三角形，∴∠BHP＝45°，∴∠CHP＝135°＝∠EDP，在△CPH和△EPD中，，∴△CPH≌△EPD（SAS），∴PC＝PE，∠CPH＝∠EPD，∴∠CPE＝∠HPD＝90°，∴PC⊥PE；故答案为：PC⊥PE，PC＝PE；③解：当α＝135°时，AD⊥AC，过点D作DF⊥BC于F，连接CD，过点C作CN⊥BD于N，如图④所示：则四边形ACFD是矩形，∴CF＝AD＝AE＝2，DF＝AC＝4，∴CD＝＝＝2，BF＝BC﹣CF＝4﹣2＝2，∴BD＝＝＝2，∵DF•BC＝CN•BD，∴CN＝＝＝，BN＝＝＝，∴PN＝BD﹣BN＝×2﹣＝，∴PC＝＝＝．。

《好题》初中八年级数学上册第十一章《三角形》经典测试卷(含答案)

一、选择题1．若一个正多边形的内角和等于其外角和的3倍，则这个正多边形是（）A ．5边形B ．6边形C ．7边形D ．8边形D解析：D【分析】设多边形的边数是n ，根据多边形的外角和是360°，以及多边形的内角和公式列出方程即可求解．【详解】解：设多边形的边数是n ，则180（n ﹣2）=3×360，解得：n =8．故选:D ．【点睛】本题考查了多边形的内角和公式以及外角和定理，根据多边形的内角和公式以及外角和定理列出方程是解题关键．2．如图，AD 是ABC 的外角CAE ∠的平分线，35B ∠=︒，60=︒∠DAC ，则ACD ∠的度数为（）A ．25︒B ．85︒C ．60︒D ．95︒D解析：D【分析】根据角平分线的定义可得∠DAC ＝∠DAE ，根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得∠D ，然后利用三角形的内角和定理列式计算即可得解．【详解】解：∵AD 是∠CAE 的平分线，60=︒∠DAC ，∴∠DAC ＝∠DAE ＝60°，又∵35B ∠=︒由三角形的外角性质得，∠D ＝∠DAE−∠B ＝60°−35°＝25°，∴在△ACD 中，∠ACD ＝180°−∠DAC －∠D ＝180°−60°−25°＝95°．故选：D ．【点睛】本题考查了三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，三角形的内角和定理，熟记性质并准确识图理清图中各角度之间的关系是解题的关键．3．如图，1∠等于（）A ．40B ．50C ．60D ．70D解析：D【分析】根据三角形外角的性质直接可得出答案．【详解】解：由三角形外角的性质，得160=130∠+︒︒11306070∴∠=︒-︒=︒故选D ．【点睛】本题考查了三角形外角的性质，比较简单．4．如图，ABC 中，将A ∠沿DE 翻折，若30A ∠=︒，25BDA '∠=︒，则CEA '∠多少度（）A ．60°B ．75°C ．85°D ．90°C解析：C【分析】根据折叠前后对应角相等可得ADE A DE '∠=∠，AED A ED '∠=∠，再运用平角的定义和三角形内角和定理依次求得ADE ∠、AED ∠，再次运用平角的定义即可求得CEA '∠．【详解】解：∵将A ∠沿DE 翻折，∴ADE A DE '∠=∠，AED A ED '∠=∠，∵D 是线段AB 上的点，25BDA '∠=︒，∴180ADE A D B E DA '∠+∠-'∠=︒，即251280ADE ︒=∠-︒，解得102.5ADE ∠=︒，∵30A ∠=︒，180A AED ADE ∠+∠+∠=︒，∴180180102.53047.5AED ADE A ∠=︒-∠-∠=︒-︒-︒=︒，∴18018047.547.585CEA AED A ED ''∠=︒-∠-∠=︒-︒-︒=︒．故选：C ．【点睛】本题考查折叠的性质，三角形内角和定理，平角的定义．理解折叠前后对应角相等是解题关键．5．已知，D 是ABC ∠的边BC 上一点，//DE BA ，CBE ∠和CDE ∠的平分线交于点F ，若F α∠=，则ABE ∠的大小为（）A ．αB ．52α C ．2α D ．32αC 解析：C【分析】先利用角平分线和三角形外角的性质可得2BED α∠=，再根据平行线的性质定理即可得出ABE ∠的大小．【详解】解：如下图所示，∵CBE ∠和CDE ∠的平分线交于点F ，∴21,22C CBE DE ∠∠==∠∠，∵12F ∠+∠=∠，F α∠=，∴21α∠-∠=，∵EBD BED EDC ∠+∠=∠，∴22212ED D C BE EBD α∠∠-∠=∠-==∠，∵//DE BA ，∴2ABE BED α∠==∠，故选：C ．【点睛】本题考查三角形外角的性质，平行线的性质定理，与角平分线有关的计算．正确理解三角形外角等于与它不相邻的两个内角之和是解题关键．6．如图，在ABC ∆中，AD 是ABC ∆的角平分线，DE AC ⊥，若40,60B C ︒︒∠=∠=，则ADE ∠的度数为（）A ．30︒B ．40︒C ．50︒D ．60︒C解析：C【分析】根据三角形内角和180︒求出∠BAC ，再由AD 是ABC ∆的角平分线求得∠DAC ，最后利用直角三角形的两个锐角互余求出∠ADE ，问题得到解决．【详解】解：∵40,60B C ︒︒∠=∠=，∴BAC=180B-C=80∠︒-∠∠︒，∵AD 是ABC ∆的角平分线， ∴1DAC=BAC=402∠∠︒， ∵DE AC ⊥，∴90DAC=50ADE ∠=︒-∠︒，故选：C ．【点睛】本题考查了三角形的内角和定理，三角形的角平分线定义，直角三角形的两个锐角互余，正确理解三角形中角之间的关系是解本题的关键．7．下列每组数分别三根小木棒的长度，用它们能摆成三角形的是（）A ．3,4,8cm cm cmB ．7,8,15cm cm cmC ．12,13,22cm cm cmD ．10,10,20cm cm cm C解析：C【分析】根据三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边计算判断即可.【详解】∵3+4＜8，∴A 选项错误；∵7+8=15，∴B 选项错误；∵12+13＞22，∴C 选项正确；∵10+10=20，∴D 选项错误；故选C.【点睛】本题考查了三角形的存在性，熟练掌握三角形的三边关系定理是解题的关键.8．将一副三角板如图放置，使等腰直角三角板DEF 的锐角顶点D 放在另一块直角三角板（60B ∠=）的斜边AB 上，两块三角板的直角边交于点M ．如果75BDE ∠=，那么AMD ∠的度数是（）A ．75°B ．80°C ．85°D ．90°D解析：D【分析】由题意得：∠A=30°，∠FDE=45°，利用平角等于180°，可得到∠ADF 的度数，在△AMD 中，利用三角形内角和为180°，可以求出∠AMD 的度数．【详解】解：∵∠B=60°，∴∠A=30°，∵∠BDE=75°，∠FDE=45°，∴∠ADF=180°-75°-45°=60°，∴∠AMD=180°-30°-60°=90°，故选D ．【点睛】此题主要考查了三角形的内角和定理的应用，题目比较简单，关键是要注意角之间的关系．9．下列说法正确的有（）个①把一个角分成两个角的射线叫做这个角的角平分线；②连接C 、D 两点的线段叫两点之间的距离；③两点之间直线最短；④射线上点的个数是直线上点的个数的一半；⑤n 边形从其中一个顶点出发连接其余各顶点，可以画出()3n -条对角线，这些对角线把这个n 边形分成了()2n -个三角形．A ．3B ．2C ．1D ．0C解析：C【分析】分别利用直线、射线、线段的定义、角的概念和角平分线的定义以及多边形对角线的求法分析得出即可．【详解】解：①把一个角分成两个角的射线叫做这个角的角平分线，故原说法错误；②连接C、D两点的线段的长度叫两点之间的距离，故原说法错误；③两点之间线段最短，故原说法错误；④射线上点的个数与直线上点的个数没有关系，故原说法错误；n-条对角线，这些对角线把⑤n边形从其中一个顶点出发连接其余各顶点，可以画出()3n-个三角形，此说法正确．这个n边形分成了()2所以，正确的说法只有1个，故选：C．【点睛】此题主要考查了直线、射线、线段的定义以及角的概念和角平分线的定义等知识，正确把握相关定义是解题关键．10．如图，盖房子时，在窗框没有安装之前，木工师傅常常先在窗框上斜钉一根木条，使其不变形，这种做法的根据是（）A．两点之间线段最短B．长方形的对称性C．长方形四个角都是直角D．三角形的稳定性D解析：D【分析】在窗框未安装之前，木工师傅常常先在窗框上斜钉一根木条，则分成了两个三角形，据此即可判断是利用了三角形的稳定性．【详解】在窗框未安装之前，木工师傅常常先在窗框上斜钉一根木条，则分成了两个三角形，利用了三角形的稳定性，D正确．故答案选D．【点睛】本题比较简单主要考查三角形稳定性的实际应用，通常要使一些图形具有稳定的结构，往往是将其转化为三角形而获得．二、填空题11．在一个三角形中，若其中一个内角的度数是另一个内角的2倍，则我们称这个三角形为“倍角三角形”．已知某“倍角三角形”的一个内角的度数为60°，则其它两个内角的度数分别是_______．30°90°或40°80°【分析】根据倍角三角形的定义结合三角形的内角和定理分三种情况即可得出结论【详解】在△ABC中不妨设∠A=60①若∠A=2∠C则∠C=30∴∠B=；②若∠C=2∠A则∠C=1解析：30°，90°或40°，80°【分析】根据“倍角三角形”的定义结合三角形的内角和定理分三种情况即可得出结论．【详解】在△ABC中，不妨设∠A=60︒，①若∠A=2∠C，则∠C=30︒，︒-︒-︒=︒；∴∠B=180603090②若∠C=2∠A，则∠C=120︒，︒-︒-︒=︒(不合题意，舍去)；∴∠B=180601200=︒-︒=120︒，③若∠B=2∠C，则3∠C18060∴∠C4=0︒，∠B=180604080︒-︒-︒=︒；综上所述，其它两个内角的度数分别是：30︒，90︒或40︒，80︒．【点睛】本题考查了“倍角三角形”的定义以及三角形的内角和等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想解决问题．12．如图，将一副直角三角尺按图③放置，使三角尺①的长直角边与三角尺②的某直角边在同一条直线上，则图③中的∠1=______°．105【分析】利用三角形外角性质求解【详解】如图∵∠2=∠3=∴∠4=∠2+∠3=∴∠1=故答案为：105【点睛】此题考查三角板的角度计算三角形外角的性质观察图形掌握各角度之间的位置关系是解题的关键解析：105【分析】利用三角形外角性质求解．【详解】如图，∵∠2=30，∠3=45︒，∴∠4=∠2+∠3=75︒，︒-∠=︒，∴∠1=1804105故答案为：105．．【点睛】此题考查三角板的角度计算，三角形外角的性质，观察图形掌握各角度之间的位置关系是解题的关键．13．如图，ACD ∠是ABC 的外角，ABC ∠的平分线与ACD ∠的平分线交于点1A ，1A BC ∠的平分线与1A CD ∠的平分线交于点2A ，…，1n A BC -∠的平分线与1n A CD -∠的平分线交于点n A ，设=A θ∠，则2=A ∠___________，=n A ∠___________．【分析】根据三角形的外角性质可得∠ACD=∠A+∠ABC ∠A1CD=∠A1+∠A1BC 根据角平分线的定义可得∠A1BC=∠ABC ∠A1CD=∠ACD 整理得到∠A1=∠A 同理可得∠A2=∠A1从而判断解析：4θ 2nθ 【分析】根据三角形的外角性质可得∠ACD=∠A+∠ABC ，∠A 1CD=∠A 1+∠A 1BC ，根据角平分线的定义可得∠A 1BC=12∠ABC ，∠A 1CD=12∠ACD ，整理得到∠A 1=12∠A ，同理可得∠A 2=12∠A 1，从而判断出后一个角是前一个角的12，然后表示出∠A n 即可得答案．【详解】∵ACD ∠是ABC 的外角，∠A 1CD 是△A 1BC 的外角，∴∠ACD=∠A+∠ABC ，∠A 1CD=∠A 1+∠A 1BC ，∵ABC ∠的平分线与ACD ∠的平分线交于点1A ，∴∠A 1BC=12∠ABC ，∠A 1CD=12∠ACD ， ∴∠A 1=12∠A ，同理可得∠A 2=12∠A 1=14∠A ， ∵∠A=θ，∴∠A 2=4θ，同理：∠A 3=12∠A 2=382θθ=， ∠A 4=12∠A 3=4162θθ= ……∴∠A n =2n θ．故答案为：4θ，2nθ 【点睛】本题考查了三角形的外角性质及角平分线的定义，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和；熟记性质并准确识图，求出后一个角是前一个角的12是解题的关键． 14．如图，若∠CGE=α，则∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=____． 2【分析】根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和表示出∠A+∠B ∠D+∠E 再根据邻补角表示出∠CGF 然后利用三角形的内角和定理列式整理即可得解【详解】解：如图根据三角形的外角性质∠1=∠A解析：2α【分析】根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和表示出∠A+∠B ，∠D+∠E ，再根据邻补角表示出∠CGF ，然后利用三角形的内角和定理列式整理即可得解．【详解】解：如图，根据三角形的外角性质，∠1=∠A+∠B，∠2=∠D+∠E，∵∠3=180°-∠CGE=180°-α，∴∠1+∠F+180°-α=180°，∴∠A+∠B+∠F=α，同理：∠2+∠C+180°-α=180°，∴∠D+∠E+∠C=α，∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=2α．故答案为：2α【点睛】本题考查了三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，三角形的内角和定理，准确识图是解题的关键．15．如图，△ABC的两条中线AD、BE相交于点G，如果S△ABG＝2，那么S△ABC＝_____．6【分析】根据DE分别是三角形的中点得出G是三角形的重心再利用重心的概念可得：2GD＝AG进而得到S△ABG：S△ABD＝2：3再根据AD是△ABC的中线可得S△ABC＝2S△ABD进而得到答案【详解析：6【分析】根据D，E分别是三角形的中点，得出G是三角形的重心，再利用重心的概念可得：2GD＝AG进而得到S△ABG：S△ABD＝2：3，再根据AD是△ABC的中线可得S△ABC＝2S△ABD进而得到答案．【详解】解：∵△ABC的两条中线AD、BE相交于点G，∴2GD＝AG，∵S△ABG＝2，∴S△ABD＝3，∵AD是△ABC的中线，∴S△ABC＝2S△ABD＝6．故答案为：6．【点睛】此题主要考查了重心的概念和性质：三角形的重心是三角形三条中线的交点，且重心到顶点的距离是它到对边中点的距离的两倍．16．如图所示，△ABC中，∠BAC、∠ABC、∠ACB的四等分线相交于D、E、F（其中∠CAD＝3∠BAD，∠ABE＝3∠CBE，∠BCF＝3∠ACF），且△DFE的三个内角分别为∠DFE ＝60°、∠FDE＝53°、∠FED＝67°，则∠BAC的度数为_________°．72【分析】由∠CAD=3∠BAD∠ABE=3∠CBE∠BCF=3∠ACF易得各角与∠ABC∠ACB∠BAC之间的关系由三角形外角等于不相邻的两个内角和列方程组求解即可得出结论【详解】解：∵∠CAD解析：72【分析】由∠CAD=3∠BAD，∠ABE=3∠CBE，∠BCF=3∠ACF易得各角与∠ABC、∠ACB、∠BAC之间的关系，由三角形外角等于不相邻的两个内角和列方程组求解即可得出结论．【详解】解：∵∠CAD=3∠BAD，∠ABE=3∠CBE，∠BCF=3∠ACF，∴∠CAD=34∠BAC，∠BAD=14∠BAC，∠ABE=34∠ABC，∠CBE=14∠ABC，∠BCF=34∠ACB，∠ACF=14∠ACB．∵∠DFE＝60°、∠FDE＝53°、∠FED＝67°，∴1360 441353441367 44BAC ABCABC ACBACB BAC⎧∠+∠=⎪⎪⎪∠+∠=⎨⎪⎪∠+∠=⎪⎩，解得∠BAC=72°，∠ABC=56°，∠ACB=52°，故答案为：72．【点睛】本题考查了三元一次方程组的应用，以及三角形外角的性质．解题的关键是由外角的性质列出方程组．本题属于中档题，难度不大，但在角的变化上稍显繁琐，一不注意就易失分，做形如此类题型时，牢牢把握等量关系是关键．17．AD为ABC的中线，AE为ABC的高，ABD△的面积为14，7,2AE CE==则DE的长为_________．2或6【分析】利用面积法求出BD即可求得CD再分AE在内部和外部求出DE即可【详解】解：为的高△ABD的面积为14AE=7∴∵为的中线∴CD=BD=4当AE在内部时∵CE=2∴DE=CD-CE=2当解析：2或6利用面积法求出BD ，即可求得CD ，再分AE 在ABC 内部和外部，求出DE 即可．【详解】解：AE 为ABC 的高，△ABD 的面积为14，AE=7， 1142∴⋅⋅=BD AE ， ∴2828=4,B 7D ==AE ∵AD 为ABC 的中线，∴CD=BD=4，当AE 在ABC 内部时∵CE=2，∴DE=CD-CE=2，当AE 在ABC 外部时∵CE=2，∴DE=CD+CE=6，故答案为：2或6 【点睛】本题考查三角形的高、中线和面积，注意高可在三角形的内部和外部是解题的关键． 18．如图，在ABC 中，已知66ABC ∠=︒，54ACB ∠=︒，BE 是AC 上的高，CF 是AB 上的高，H 是BE 和CF 的交点，EHF ∠的度数是________．120°【分析】先根据三角形内角和定理求出∠A 的度数再根据CF是AB 上的高得出∠ACF 的度数再由三角形外角的性质即可得出结论【详解】解：∵∠ABC=66°∠ACB=54°∴∠A=60°∵CF 是AB 上【分析】先根据三角形内角和定理求出∠A 的度数，再根据CF 是AB 上的高得出∠ACF 的度数，再由三角形外角的性质即可得出结论．【详解】解：∵∠ABC=66°，∠ACB=54°，∴∠A=60°，∵CF 是AB 上的高，∴在△ACF 中，∠ACF=180°-∠AFC-∠A=30°，在△CEH 中，∠ACF=30°，∠CEH=90°，∴∠EHF=∠ACF+∠CEH=30°+90°=120°．故答案为120°．【点睛】本题考查的是三角形内角和定理及三角形外角的性质、三角形的高线等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．19．如图，△ABC 中，D 为BC 边上的一点，BD ：DC=2：3，△ABC 的面积为10，则△ABD 的面积是_________________4【分析】利用面积公式可得出△ABD 与△ABC 等高只需求出BD 与BC 的比值即可求出三角形ABD 的面积【详解】解：∵BD ：DC=2：3∴BD=BC △ABD 的面积=BD•h ＝× BC•h=△ABC 的面积解析：4【分析】利用面积公式可得出△ABD 与△ABC 等高，只需求出BD 与BC 的比值即可求出三角形ABD 的面积．【详解】解：∵BD ：DC=2：3，∴BD=25BC ． △ABD 的面积=12BD•h ＝12× 25BC•h=25△ABC 的面积=25×10=4．故答案为：4．【点睛】本题考查了三角形面积公式以及根据公式计算三角形面积的能力．20．如图，AB BE ,分别是ABC 中,BC AC 边上的高，6cm BC ，4cm AC =，若3cm =AD ，则BE 的长为__________cm ．【分析】三角形的面积等于任意一条底边乘以该边上的高的积的一半别以BCAC为底写出△ABC的面积的两种表示方法；结合两个面积相等和已知中的数据进行计算即可解答题目【详解】S△ABC=BC·AD=AC·解析：9 2【分析】三角形的面积等于任意一条底边乘以该边上的高的积的一半，别以BC、AC为底，写出△ABC的面积的两种表示方法；结合两个面积相等和已知中的数据，进行计算即可解答题目.【详解】S△ABC=12BC·AD=12AC·BE，将AD=3cm，BC=6cm，AC=4cm代入，得：11364 22BE ⨯⨯=⨯92BE=cm故答案为：9 2【点睛】本题考查三角形等面积法求高，通过三角形面积建立等量关系是解题的关键.三、解答题21．如图，所有小正方形的边长都为1个单位，A、B、C均在格点上．（1）过点A画线段BC的垂线，垂足为E；（2）过点A画线段AB的垂线，交线段CB的延长线于点F；（3）线段BE的长度是点到直线的距离；（4）线段AE、BF、AF的大小关系是．（用“＜”连接）解析：（1）见解析；（2）见解析；（3）B ，AE ；（4）AE ＜AF ＜BF【分析】（1）根据垂线的做法画出图象；（2）根据垂线的做法画出图象；（3）根据点到直线距离的定义填空；（4）利用直角三角形的斜边和直角边的大小关系，得出结果．【详解】(1)如图所示；(2)如图所示；(3) ∵BE AE ⊥，∴线段BE 的长度是点B 到直线AE 的距离，故答案是：B ，AE ；(4)∵AE 是直角三角形AEF 的直角边，AF 是直角三角形AEF 的斜边，∴AE AF <，∵BF 是直角三角形ABF 的斜边，AF 是直角三角形ABF 的直角边，∴AF BF <，∴AE AF BF <<，故答案是：AE AF BF <<．【点睛】本题考查作垂线和直角三角形的性质，解题的关键是掌握作垂线的方法和直角三角形的直角边和斜边的大小关系．22．如图，在ABC 中，30A ∠=︒，80ACB ∠=︒，ABC 的外角CBD ∠的平分线BE 交AC 的延长线于点E ．（1）求CBE ∠的度数；（2）过点D 作//DF BE ，交AC 的延长线于点F ，求F ∠的度数．解析：（1）55CBE ∠=︒；（2）25F ∠=︒．【分析】(1)利用三角形的外角性质和角的平分线性质求解即可；(2)根据三角形外角的性质和两直线平行，同位角相等求解.【详解】（1）在ABC 中，30A ∠=︒，80ACB ∠=︒，3080110CBD A ACB ∴∠=∠+∠=︒+︒=︒， BE 是CBD ∠的平分线， 111105522CBE CBD ∴∠=∠=⨯︒=︒；（2）80ACB ∠=︒，55CBE ∠=︒，805525CEB ACB CBE ∴∠=∠--︒∠=︒=︒，//DF BE ，25F CEB ∴∠=∠=︒.【点睛】本题考查了运用三角形外角性质，角平分线性质，平行线的性质求角的度数，熟练并灵活运用这些性质是解题的关键.23．如图，将△ABC 沿着平行于BC 的直线DE 折叠，点A 落到点A ′，若∠C ＝125°，∠A ＝20°，求∠BD A ′的度数.解析：110°【分析】利用翻折变换的性质以及三角形内角和定理求出∠BDE ，∠A′DE ，即可解决问题．【详解】∵∠A ＋∠B ＋∠C ＝180°，∠A ＝20°，∠C ＝125°，∴∠B ＝35°，∵DE ∥BC ，∴∠ADE ＝∠B ＝35°，∠BDE ＋∠B ＝180°，∴∠BDE ＝180−∠B ＝180°−35°＝145°，∵△ADE 沿DE 折叠成△A′DE ，∴∠A′DE＝∠ADE＝35°，∴∠BDA′＝∠BDE−∠A′DE＝145°−35°＝110°．【点睛】本题考查三角形内角和定理，翻折变换的性质以及平行线的性质，解题的关键是熟练掌握翻折变换的性质，属于中考常考题型．24．如图1，△ABC中，AD是∠BAC的角平分线，AE⊥BC于点E．（1）若∠C=80°，∠B=40°，求∠DAE的度数；（2）若∠C＞∠B，试说明∠DAE=12(∠C-∠B)；（3）如图2，若将点A在AD上移动到A′处，A′E⊥BC于点E．此时∠DAE变成∠DA′E，请直接回答：（2）中的结论还正确吗？解析：（1）∠DAE=15°；（2）见解析；（3）正确．【分析】（1）先根据三角形内角和定理求出∠BAC的度数，再根据角平分线的定义求得∠BAD的度数，在△ABE中，利用直角三角形的性质求出∠BAE的度数，从而可得∠DAE的度数．（2）结合第（1）小题的计算过程进行证明即可．（3）利用三角形的外角等于与它不相邻的两个内角之和先用∠B和∠C表示出∠A′DE，再根据三角形的内角和定理可证明∠DA′E=12(∠C-∠B)．【详解】（1）∵∠C=80°，∠B=40°，∴∠BAC=180°-∠B-∠C =180°-40°-80°=60°，∵AD是∠BAC的角平分线，∴∠BAD=∠CAD=12∠BAC=30°，∵AE⊥BC，∴∠AEC=90°，∴∠BAE=50°，∴∠DAE=∠BAE-∠BAD =20°；（2）理由：∵AD是∠BAC的角平分线，∴∠BAD=∠CAD=12∠BAC=12(180°-∠B-∠C)= 90°-12∠B-12∠C，∵AE⊥BC，∴∠AEC=90°，∴∠BAE=90°-∠B，∴∠DAE=∠BAE-∠BAD=(90°-∠B) -(90°-12∠B-12∠C )=12∠C-12∠B=12(∠C-∠B)；（3）（2）中的结论仍正确．∵∠A′DE=∠B+∠BAD=∠B+12∠BAC=∠B+12(180°-∠B-∠C) = 90°+12∠B-12∠C；在△DA′E中，∠DA′E=180°-∠A′ED-∠A′DE=180°-90°-(90°+12∠B-12∠C)=12(∠C-∠B)．【点睛】本题考查了三角形的角平分线和高，三角形的内角和定理，三角形的外角性质等知识，注意综合运用三角形的有关概念是解题关键．25．已知：如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AE是角平分线，CD是高，AE、CD相交于点F．（1）若∠DCB=48°，求∠CEF的度数；（2）求证：∠CEF=∠CFE．解析：（1）66°；（2）见解析【分析】（1）依据CD是高，∠DCB=48°，即可得到∠B=42°，进而得出∠BAC=48°，再根据AE是角平分线，即可得到∠BAE=12∠BAC=24°，进而得出∠CEF的度数；（2）根据已知条件可得∠ACD=∠B，∠BAE=∠CAE，再根据三角形外角性质，即可得到∠CFE=∠CEF．【详解】（1）∵CD是高，∠DCB=48°，∴∠B=42°，又∵∠ACB=90°，∴∠BAC=48°，又∵AE是角平分线，∴∠BAE=12∠BAC=24°，∴∠CEF=∠B+∠BAE=42°+24°=66°；（2）∵∠ACB=90°，CD⊥AB，∴∠ACD+∠BAC=∠B+∠BAC=90°，∴∠ACD=∠B，∵AE平分∠BAC，∴∠BAE=∠CAE，∵∠CFE是△ACF的外角，∠CEF是△ABE的外角，∴∠CFE=∠ACD+∠CAE，∠CEF=∠B+∠BAE，∴∠CFE=∠CEF．【点睛】本题主要考查了三角形角平分线的定义，三角形内角和定理以及三角形的外角性质的运用，解题时注意：同角的余角相等．26．一个多边形的内角和比它的外角和多720°，求该多边形的边数．解析：8【分析】先根据一个多边形的内角和比它的外角和多720°得出其内角和度数，再设这个多边形的边数为n，根据内角和公式建立关于n的方程，解之即可．【详解】解：∵一个多边形的内角和比它的外角和多720°，∴这个多边形的内角和为360°+720°＝1080°，设这个多边形的边数为n，则（n﹣2）•180°＝1080°，解得n＝8，答：该多边形的边数为8，故答案为：8．【点睛】本题考查了多边形的内角与外角，解题的关键是掌握多边形的外角和为360°、多边形内角和定理：（n-2）•180° （n≥3且n为整数）．27．已知a，b，c为三角形三边的长，化简：a b c b c a c a b+++-----．解析：a+c-b【分析】根据三角形的三边关系得出a+b＞c，a+c＞b，再去绝对值符号，合并同类项即可．【详解】解：∵a、b、c为三角形三边的长，∴a+b＞c，a+c＞b，∴原式=(a b)c b(c a)c(a b)+-+-+--+=a+b-c-b+c+a+c-a-b=a+c-b【点睛】本题考查的是三角形的三边关系以及整式的加减运算，熟知三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边是解答此题的关键．28．（问题引入）（1）如图1，△ABC，点O是∠ABC和∠ACB相邻的外角平分线的交点，若∠A=40°，请求出∠BOC的度数．（深入探究）（2）如图2，在四边形ABDC中，点O是∠BAC和∠ACD的角平分线的交点，若∠B+∠D=110°，请求出∠AOC的度数．（类比猜想）（3）如图3，在△ABC中，∠CBO=13∠DBC，∠BCO= 13∠ECB，∠A=α，则∠BOC=___（用α的代数式表示，直接写出结果，不需要写出解答过程）．（4）如果BO，CO分别是△ABC的外角∠DBC，∠ECB的n等分线，它们交于点O，∠CBO=∠1n DBC∠BCO=1n∠ECB，则∠BOC=___（用n、a的代数式表示，直接写出结果，不需要写出解答过程）．解析：（1）70°；（2）55°；（3）120°-13α；（4）()11801nn nα-⨯︒-【分析】（1）由三角形内角和定理可求得∠ABC+∠ACB ，再利用邻补角可求得∠DBC+∠ECB ，根据角平分线的定义可求得∠OBC+∠OCB ，在△BOC 中利用三角形内角和定理可求得∠BOC ；（2）根据三角形内角和等于180°，四边形内角和等于360°，结合角平分线的定义即可得到∠AOC 与∠B+∠D 之间的关系；（3）根据三角形的内角和等于180°以及三角形的外角性质列式整理即可得∠BOC=120°-3α；（4）根据三角形的内角和等于180°以及三角形的外角性质列式整理即可得∠BOC=()11801n n nα-⨯︒-．【详解】（1）∵∠A=40°，∴∠ABC+∠ACB=180°-∠A=140°，∴∠DBC+∠ECB=180°-∠ABC+180°-∠ACB=360°-(∠ABC+∠ACB)=360°-140°=220°，∵BO 、CO 分别平分∠DBC 和∠ECB ，∴∠OBC+∠OCB=12(∠DBC+∠ECB) =12×220°=110°， ∴∠BOC=180°-（∠OBC+∠OCB ）=180°-110°=70°；（2）∵点O 是∠BAC 和∠ACD 的角平分线的交点，∴∠OAC=12∠CAB ，∠OCA=12∠ACD ， ∴∠AOC=180°-(∠OAC+∠OCA) =180°-12(∠CAB+∠ACD) =180°-12(360°-∠B-∠D) =12(∠B+∠D)， ∵∠B+∠D=110°， ∴∠AOC=12(∠B+∠D)=55°；（3）在△OBC 中，∠BOC=180°-(∠OBC+∠OCB)=180°-13(∠DBC+∠ECB) =180°-13(∠A+∠ACB+∠A+∠ABC)=180°-13(∠A+180°)=120°-13α；故答案为：120°-13α；（4）在△OBC中，∠BOC=180°-(∠OBC+∠OCB)=180°-1n(∠DBC+∠ECB)=180°-1n(∠A+∠ACB+∠A+∠ABC)=180°-1n(∠A+180°)=()11801nn nα-⨯︒-．故答案为：()11801nn nα-⨯︒-．【点睛】本题考查了三角形的内角和定理，三角形的外角性质，角平分线的定义，整体思想的利用是解题的关键．。

(北师大版)初中数学八年级上册第一章综合测试试卷03及答案

第一章综合测试一、选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）1.以下各组数为三角形的三条边长，其中不能构成直角三角形的是（）A .3，4，5B .6，8，10C .1，1，2D .5，12，132.如图，以直角三角形的一条直角边和斜边为一边作正方形M 和N ，它们的面积分别为29cm 和225cm ，则直角三角形的面积为（）A .26cmB .212cmC .224cmD .23cm 3.在一个直角三角形中，两直角边长分别为a ，b ，斜边为c ，那么（）A .222a b c +＞B .222a b c +＜C .222a b c +=D .222a b c +¹4.甲乙两艘客轮同时离开港口，航行的速度都是每分钟40m ，甲客轮用15分钟到达点A ，乙客轮用20分钟到达点B ，若A 、B 两点的直线距离为1000m ，甲客轮沿着北偏东30°的方向航行，则乙客轮的航行方向可能是（）A .南偏东60°B .南偏西60°C .北偏西30°D .南偏西30°5.如图，一架云梯25米，斜靠在一面墙上，梯子底端离墙7米，如果梯子的顶端下滑4米，那么梯子的底部在水平方向上滑动了（）A .4米B .6米C .8米D .10米6.如图：一个长、宽、高分别为4cm 、3cm 、12cm 的长方体盒子能容下的最长木棒长为（）A .11cmB .12cmC .13cmD .14cm7.如图：在ABC △中，CE 平分ACB Ð，CF 平分ACD Ð，且EF BC ∥交AC 于M ，若5CM =，则22CE CF +等于（）A .75B .100C .120D .1258.如图，在ABC △中，AD BC ^于点D ，BF 平分ABC Ð交AD 于点E ，交AC 于点F ，13AC =，12AD =，14BC =，则AE 的长等于（）A .5B .6C .7D .1529. ABC △中，17AB =，10AC =，高8AD =，则ABC △的周长是（）A .54B .44C .36或48D .54或3310.如图是一个66´的正方形网格，每个小正方形的顶点都是格点，Rt ABC △的顶点都是图中的格点，其中点A 、点B 的位置如图所示，则点C 可能的位置共有（）A .9个B .8个C .7个D .6个二、填空题（共6小题，满分24分，每小题4分）11.已知ABC △的三边的长分别是5AB =、4BC =、3AC =，那么C Ð=________.12.在Rt ABC △中，斜边10BC =，则22AB AC +的值是________.13.如图，每个小正方形的边长都为1，则ABC △的三边长a ，b ，c 的大小关系是________（用“＞”连接）.14.已知一个三角形工件尺寸（单位dm ）如图所示，则高h =________dm .15.如图，它是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的一个大正方形，如果大正方形的面积是13，小正方形的面积是1，直角三角形的较短的直角边长为a ，较长的直角边长为b ，那么a b +的值为________.16.如图所示，已知ABC △中，90B Ð=°，16cm BC =，20cm AC =，点P 是ABC △边上的一个动点，点P 从点A 开始沿A B C A ®®®方向运动，且速度为每秒4cm ，设出发的时间为()t s ，当点P 在边CA 上运动时，若ABP △为等腰三角形，则运动时间t =________.三.解答题（共8小题，满分66分）17.（7分）如图，在ABC △中，CD AB ^于点D ，6BC =，8AC =，10AB =.求CD 的长.18.（7分）如图，在四边形ABCD 中，13AB =，3BC =，4CD =，12DA =，90ADB Ð=°，求四边形ABCD 的面积.19.（8分）在ABC △中，已知90C Ð=°，:3:4a b =，20c =，求：（1）a 、b 的值；（2）ABC S △.20.（8分）如图，每个小正方形的边长为1.（1）求BC 与CD 的长；（2）求证：90BCD Ð=°.21.（8分）八年级（2）班的小明和小亮同学学了“勾股定理”之后，为了测得图中风筝的高度CE ，他们进行了如下操作：①测得BD 的长为15米（注：BD CE ^）；②根据手中剩余线的长度计算出风筝线BC 的长为25米；③牵线放风筝的小明身高1.6米.（1）求风筝的高度CE .（2）过点D 作DH BC ^，垂足为H ，求BH 、DH .22.（8分）已知：整式()()22212A n n -=+，整式0B ＞.尝试化简整式A .发现2A B =.求整式B .联想由上可知，()()222212B n n -=+，当1n ＞时，21n -，2n ，B 为直角三角形的三边长，如图，填写下表中B 的值；直角三角形三边21n -2n B勾股数组Ⅰ8勾股数组Ⅱ3523.（8分）阅读下列内容：设a ，b ，c 是一个三角形的三条边的长，且a 是最长边，我们可以利用a ，b ，c 三条边长度之间的关系来判断这个三角形的形状：①若222a b c =+，则该三角形是直角三角形；②若222a b c +＞，则该三角形是钝角三角形；③若222a b c +＜，则该三角形是锐角三角形.例如：若一个三角形的三边长分别是4，5，6，则最长边是6，22263645=+＜，故由③可知该三角形是锐角三角形，请解答以下问题：（1）若一个三角形的三边长分别是7，8，9，则该三角形是________三角形.（2）若一个三角形的三边长分别是5，12，x ，且这个三角形是直角三角形，求x 的值.24.（12分）观察、思考与验证（1）如图1是一个重要公式的几何解释，请你写出这个公式________；（2）如图2所示，90B D Ð=Ð=°，且B ，C ，D 在同一直线上.试说明：90ACE Ð=°；（3）伽菲尔德（1881年任美国第20届总统）利用（1）中的公式和图2证明了勾股定理（发表在1876年4月1日的《新英格兰教育日志》上），请你写出验证过程.第一章综合测试答案解析一、1.【答案】C【解析】解：A 、222345+=，能组成直角三角形，故此选项错误；B 、2226810+=，能组成直角三角形，故此选项错误；C 、222112+¹，不能组成直角三角形，故此选项正确；D 、22251213+=，能组成直角三角形，故此选项错误；故选：C.2.【答案】A4=（厘米），可得这个直角三角形的面积为：1462=（平方厘米）.故选：A.3.【答案】C【解析】解：∵在Rt ACB △中，90C Ð=°，AC b =，AB c =，BC a =，∴由勾股定理得：222a b c +=，故选：C.4.【答案】A【解析】解：如图：∵甲乙两艘客轮同时离开港口，航行的速度都是每分钟40m ，甲客轮用15分钟到达点A ，乙客轮用20分钟到达点B ，∴甲客轮走了()4015600m ´=，乙客轮走了()4020800m ´=，∵A 、B 两点的直线距离为1000m ，2226008001000\+=，90AOB \Ð=°，∵甲客轮沿着北偏东30°的方向航行，∴乙客轮沿着南偏东60°的方向航行，故选：A.5.【答案】C【解析】解：由题意知25AB DE ==米，7BC =米，4AD =米，∵在直角ABC △中，AC 为直角边，24AC \==米，已知4AD =米，则24420CD =-=（米），∵在直角CDE △中，CE 为直角边15CE \==（米），15BE =米7-米8=米.故选：C.6.【答案】C【解析】解：∵侧面对角线2222345BC =+=，5m CB \=，12m AC =Q ，()13m AB \==，∴空木箱能放的最大长度为13m ，故选：C.7.【答案】B【解析】解：CE Q 平分ACB Ð，CF 平分ACD Ð，12ACE ACB \Ð=Ð，12ACF ACD Ð=Ð，即()1902ECF ACB ACD Ð=Ð+Ð=°，EFC \△为直角三角形，又EF BC Q ∥，CE 平分ACB Ð，CF 平分ACD Ð，ECB MEC ECM \Ð=Ð=Ð，DCF CFM MCF Ð=Ð=Ð，5CM EM MF \===，10EF =，由勾股定理可知222100CE CF EF +==.故选：B.8.【答案】D【解析】解：AD BC ^Q ，90ADC ADB \Ð=Ð=°，12AD =Q ，13AC =，5DC \===，14BC =Q ，1459BD \=-=，由勾股定理得：15AB ==，过点E 作EG AB ^于G ，BF Q 平分ABC Ð，AD BC ^，EG ED \=，在Rt BDE △和Rt BGE △中，EG ED BE BE=ìí=îQ ，()Rt Rt BDE BGE HL \△≌△，9BG BD \==，1596AG \=-=，设AE x =，则12ED x =-，12EG x \=-，Rt AGE △中，()222612x x =+-，152x =，152AE \=.故选：D.9.【答案】C【解析】解：分两种情况：①如图1所示：∵AD 是BC 边上的高，90ADB ADC \Ð=Ð=°，15BD \===，6CD ===，15621BC BD CD \=+=+=；此时，ABC △的周长为：17102148AB BC AC ++=++=.②如图2所示：同①得：15BD =，6CD =，1569BC BD CD \=-=-=；此时，ABC △的周长为：1710936AB BC AC ++=++=.综上所述：ABC △的周长为48或36.故选：C.10.【答案】A解：如图所示：，共9个点，故选：A.二、11.【答案】90°【解析】解：ABC ∵△中，5AB =、4BC =、3AC =，222AB BC AC \=+，ABC ∴△是直角三角形，90C \Ð=°.故答案为：90°.12.【答案】100【解析】解：在Rt ABC △中，∵斜边10BC =，222100AB AC BC \+==，故答案是：100.13.【答案】c a b＞＞【解析】解：由勾股定理可得：a ==b ==c ==c a b \＞＞.故答案为：c a b ＞＞.14.【答案】4【解析】解：过点A 作AD BC ^于点D ，则AD h =，5dm AB AC ==Q ，6dm BC =，AD \是BC 的垂直平分线，13dm 2BD BC \==.在Rt ABD △中，4dm AD ===，即()4dm h =.答：h 的长为4dm .故答案为：4.15.【答案】5【解析】解：根据勾股定理可得2213a b +=，四个直角三角形的面积是：14131122ab ´=-=，即：212ab =，则()2222131225a b a ab b +=++=+=，则5a b +=.故答案为：5.16.【答案】425或9或192【解析】解：如图，过点B 作BH AC ^于H .90ABC Ð=°Q ，20AC =，16BC =，12AB \===，BH AC ^Q ，1122ABC S AC BH AB BC \=××=××△，121648205BH ´\==，365AH \===，当1BA BP =时，1365AH HP==，17216820161255AB BC AP \++=++-=，此时425t =，当2AB AP =时，22016121236AB BC CP ++=++-=，此时9t =，当33AP BP =时，32016121038AB BC CP ++=++-=，此时192t =，综上所述，满足条件的t 的值为425或9或192.三、17.【答案】解：∵在ABC △中，6BC =，8AC =，10AB =，222BC AC AB \+=，90ACB \Ð=°，∵由三角形的面积公式得：AC BC AB CD ´=´，6810CD \´=´，解得： 4.8CD =.18.【答案】解：在Rt ABD △中，222BD AB AD =-，222131225BD \=-=，又22223425BC CD +=+=Q ，222BC CD BD \+=，90BCD \Ð=°，51234 3622ABD BCD ABCD S S S ´´\=+=+=△△四边形.19.解：（1）如图所示：:3:4a b =Q ，∴设3a x =，4b x =，由勾股定理得：5c x =，20c =Q ，520x \=，解得：4x =，12a \=，16b =；（2）11216962ABC S =´´=△.20.解：（1）由题意可知，BC CD ===；（2）证明：连接BD .BD ==Q ，BC CD ==；222BC CD BD \+=，BCD \△是直角三角形，即90BCD Ð=°.21.【答案】解：（1）在Rt CDB △中，由勾股定理，得20CD ===（米）.所以20 1.621.6CE CD DE =+=+=（米）；（2）由1122BD DC BC DH ´=´得15201225DH ´==，在Rt BHD △中，9BH ==.22.【答案】解：()()()222242242212214211A n n n n n n n n =-+=-++=++=+，2A B =Q ，0B ＞，21B n \=+，当28n =时，4n =，2214115n \-=-=，2214117n +=+=；当2135n -=时，6n =±（负值舍去），22612n \=´=，2137n +=.直角三角形三边21n -2n B 勾股数组Ⅰ15817勾股数组Ⅱ351237故答案为：15，17；12，37.23.【答案】（1）锐角（2）当最长边是12时，x ==当最长边是x 时，13x ==，即13x =【解析】（1）解：2278113+=Q ，2981=，222978\+＜，∴该三角形是锐角三角形，故答案为：锐角；（2）当最长边是12时，x ==当最长边是x 时，13x ==，即13x =24.【答案】（1）解：这个公式是完全平方公式：()2222a b a ab b +=++；理由如下：∵大正方形的边长为a b +，∴大正方形的面积()2a b =+，又∵大正方形的面积=两个小正方形的面积+两个矩形的面积22222a b ab ab a ab b =+++=++，∴()2222a b a ab b +=++；故答案为：()2222a b a ab b +=++；（2）证明：ABC CDE Q △≌△，BAC DCE \Ð=Ð，90ACB BAC Ð+Ð=°Q ，90ACB DCE \Ð+Ð=°，90ACE \Ð=°；（3）证明：90B D Ð=Ð=°Q ，180B D \Ð+Ð=°，AB DE \∥，即四边形ABDE 是梯形，∴四边形ABDE 的面积21111()()2222a b a b ab c ab =++=++，整理得：222a b c +=.。

习题范例初中数学中的三角形面积计算题

习题范例初中数学中的三角形面积计算题数学是一门抽象而精确的学科，而在初中数学中，三角形的面积计算是一个基础但又非常重要的内容。

本文将以习题范例的形式，详细介绍初中数学中的三角形面积计算题，并提供解题思路与方法。

题目一：已知三角形ABC的底边AB长度为8cm，高为6cm，求其面积。

解题思路：三角形的面积计算公式为：面积 = 底边长度 ×高 ÷ 2。

根据已知条件可直接应用此公式进行计算。

解题步骤：1. 将已知条件代入面积计算公式。

面积 = 8cm × 6cm ÷ 22. 进行数值计算。

面积 = 48cm²因此，三角形ABC的面积为48cm²。

题目二：已知三角形DEF的三边长分别为5cm、6cm和7cm，求其面积。

解题思路：根据已知三边长，我们可以应用海伦公式计算三角形的面积。

解题步骤：1. 计算半周长。

半周长 = (5cm + 6cm + 7cm) ÷ 2 = 9cm2. 应用海伦公式计算面积。

面积= √[9cm × (9cm - 5cm) × (9cm - 6cm) × (9cm - 7cm)]= √[9cm × 4cm × 3cm × 2cm]= √[216cm²]≈ 14.7cm²因此，三角形DEF的面积约为14.7cm²。

题目三：已知三角形GHI的一个角为45度，另外两边长度分别为4cm和5cm，求其面积。

解题思路：根据已知的角度和两边长度，我们可以利用正弦函数来计算三角形的面积。

解题步骤：1. 将已知条件转化为直角三角形。

由于一个角为45度，且另外两边长度已知，可以构造一个等腰直角三角形。

直角三角形的斜边长度为5cm，直角边长度为4cm。

2. 计算直角三角形的面积。

面积 = 直角边长度 ×直角边长度 ÷ 2= 4cm × 4cm ÷ 2= 8cm²3. 由于等腰直角三角形的两个直角边长度相等，所以该三角形的面积为直角三角形面积的一半。

(常考题)人教版初中数学八年级数学上册第一单元《三角形》测试卷(包含答案解析)(1)

一、选择题1．下列长度的三条线段可以组成三角形的是（）A ．1，2，4B ．5，6，11C ．3，3，3D ．4，8，12 2．下列命题中，是假命题的是（）A ．直角三角形的两个锐角互余B ．在同一个平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行C ．同旁内角互补，两直线平行D ．三角形的一个外角大于任何一个内角 3．将一副三角板和一张对边平行的纸条按图中方式摆放，两个三角板的一直角边重合，含30°角的直角三角板的斜边与纸条一边重合，含45°角的三角板的一个顶点在纸条的另一边上，则1∠的度数是（）A ．10°B ．15°C ．20°D ．25° 4．下列每组数分别是三根小木棒的长度，不能用它们搭成三角形的是（）A ．1cm ，2cm ，3cmB ．2cm ，3cm ，4cmC ．3cm ，4cm ，5cmD ．5cm ，6cm ，7cm 5．如图，1∠等于（）A ．40B ．50C ．60D ．706．如图，D 是ABC 的边BC 上任意一点，E 、F 分别是线段AD CE 、的中点，且ABC 的面积为220cm ，则BEF 的面积是（）2cmA ．5B ．6C ．7D ．87．如图，,AD CE 分别是ABC 的中线与角平分线，若,40B ACB BAC ∠=∠∠=︒，则ACE ∠的度数是（）A ．20︒B ．35︒C ．40︒D ．70︒ 8．下列长度的四根木棒，能与3cm ，7cm 长的两根木棒钉成一个三角形的是（）A ．3cmB ．10cmC ．4cmD ．6cm 9．如图，△ABC 中AC 边上的高是哪条垂线段．（）A ．AEB ．CDC ．BFD ．AF 10．以下列各组线段为边，能组成三角形的是（） A ．1，2，3 B ．2，3，4 C ．2，5，8 D ．6，3，3 11．如图，在ABC 中，48BAC ∠=︒，点 I 是ABC ∠、ACB ∠的平分线的交点．点D 是ABC ∠、 ACB ∠的两条外角平分线的交点，点E 是内角ABC ∠、外角ACG ∠的平分线的交点，则下列结论不正确．．．的是（）A ．180BDC BIC ∠+∠=︒B ．85ICE ∠=︒C ．24E ∠=︒D ．90DBE ∠=︒12．具备下列条件的三角形中，不是．．直角三角形的是（） A ．A B C ∠+∠=∠ B ．12A B C ∠=∠=∠C ．3A B C ∠=∠=∠D ．1123A B C ∠=∠=∠ 二、填空题13．在△ABC 中，∠A 是钝角，∠B =30°，设∠C 的度数是α，则α的取值范围是___________14．已知三角形三边长分别为m ，n ，k ，且m 、n 满足2|9|(5)0n m -+-=，则这个三角形最长边k 的取值范围是________．15．如图，飞机P 在目标A 的正上方，飞行员测得目标B 的俯角为30°，那么APB ∠的度数为______°．16．如图，,AE AD 分别是△ABC 的高和角平分线，且6B 3︒∠=，6C 7︒∠=则DAE ∠的度数为__．17．如图，在ABC 中，点D 、E 、F 分别是边BC 、AD 、CE 上的中点，则6ABC S =，则BEF S =△______．18．一个三角形的两边长分别是3和7，且第三边长为奇数，这样的三角形的周长最大值是___________，最小值是___________．19．一副分别含有30°和45°的直角三角板，拼成如图，则BFD ∠的度数是______．20．如图，AB BE ,分别是ABC 中,BC AC 边上的高，6cm BC ，4cm AC =，若3cm =AD ，则BE 的长为__________cm ．三、解答题21．图①、图②、图③都是5×5的网格，每个小正方形的顶点称为格点，△ABC 的顶点均在格点上，在图①、图②、图③给定网格中，仅用无刻度的直尺，按下列要求完成画图，并保留作图痕迹．（1）在图①中边AB 上找到格点D ，并连接CD ，使CD 将△ABC 面积两等分；（2）在图②中△ABC 的内部找到格点E ，并连接BE 、CE ，使△BCE 是△ABC 面积的14．（3）在图③中△外部画一条直线l ，使直线l 上任意一点与B 、C 构成的三角形的面积是△ABC 的18．22．如图，在ABC 中，D 是AB 上一点，且AD AC =，连结CD ．请在下面空格中用“>”，“<”或“=”填空．（1）AB________AC BC +；（2）2AD________CD ；（3）BDC ∠________A ∠．23．如果一个n 边形的内角都相等，且它的每一个外角与内角的比为2：5，求这个多边形的边数n ．24．如图，BM 是ABC 的中线，AB ＝5cm ，BC ＝3cm ，那么ABM 与BCM 的周长的差是多少？25．如图，已知：点P 是ABC ∆内一点．（1）求证：BPC A ∠>∠；（2）若PB 平分ABC ∠，PC 平分ACB ∠，40A ︒∠=，求P ∠的度数．26．（1）一个多边形的内角和等于1800度，求这个多边形的边数．（2）一个多边形的每一个内角都是108°，求这个多边形的边数．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．C解析：C【分析】根据三角形的三边关系“任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”，进行分析．【详解】解：A、1+2<4，不能构成三角形；B、5+6=11，不能构成三角形；C、3+3>3，能构成三角形；D、8+4=12，不能构成三角形．故选：C．【点睛】本题考查了三角形的三边关系．判断能否组成三角形的简便方法是看较小的两个数的和是否大于最大的数．2．D解析：D【分析】利用三角形外角的性质、平行线的性质及直角三角形的性质分别判断后即可确定正确的选项．【详解】解：A. 直角三角形的两个锐角互余，正确，是真命题；B. 在同一个平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行，正确，是真命题；C. 同旁内角互补，两直线平行，正确，是真命题；D. 三角形的一个外角大于任何一个内角，错误，是假命题；故选：D．【点睛】本题考查了命题与定理的知识，三角形外角的性质、平行线的性质及直角三角形的性质，熟悉相关性质是解题的关键．3．B解析：B【分析】延长两三角板重合的边与直尺相交，根据两直线平行，内错角相等求出∠2，再利用三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式计算即可得解．【详解】解：如图，由平行线的性质可得∠2=30°，∠1=∠3-∠2=45°-30°=15°．故选：B．【点睛】本题考查了平行线的性质及三角形外角的性质，三角板的知识，熟记平行线的性质，三角板的度数是解题的关键．4．A【分析】根据三角形的三边关系，两边之和大于第三边，即两短边的和大于最长的边，即可作出判断．【详解】解：A、1+2=3，故以这三根木棒不能构成三角形，符合题意；B、2+3＞4，故以这三根木棒能构成三角形，不符合题意；C、3+4＞5，故以这三根木棒可以构成三角形，不符合题意；D、5+6＞7，故以这三根木棒能构成三角形，不符合题意．故选：A．【点睛】本题主要考查了三角形的三边关系，关键是掌握三角形两边之和大于第三边，判断能否组成三角形的方法是看两个较小的和是否大于第三边．5．D解析：D【分析】根据三角形外角的性质直接可得出答案．【详解】解：由三角形外角的性质，得160=130∠+︒︒11306070∴∠=︒-︒=︒故选D．【点睛】本题考查了三角形外角的性质，比较简单．6．A解析：A【分析】根据三角形的中线把三角形分成两个面积相等的三角形解答即可．【详解】解：∵点E是AD的中点，∴S△ABE=12S△ABD，S△ACE=12S△ADC，∴S△ABE+S△ACE=12S△ABC=12×20＝10cm2，∴S△BCE=12S△ABC=12×20＝10cm2，∵点F是CE的中点，∴S△BEF=12S△BCE=12×10＝5cm2．【点睛】本题考查了三角形的面积，主要利用了三角形的中线把三角形分成两个面积相等的三角形，原理为等底等高的三角形的面积相等．7．B解析：B【分析】由,40B ACB BAC ∠=∠∠=︒，再利用三角形的内角和定理求解ACB ∠，结合三角形的角平分线的定义，从而可得答案．【详解】解： ,B ACB ∠=∠40BAC ∠=︒，18040702B ACB ︒-︒∴∠=∠==︒， CE 是ABC 角平分线，1352ACE ACB ∴∠=∠=︒，故选：.B【点睛】本题考查的是三角形的角平分线的定义，三角形的内角和定理，掌握以上知识是解题的关键．8．D解析：D【分析】根据三角形的三边关系解答．【详解】解：∵三角形的两边为3cm ，7cm ，∴第三边长的取值范围为7-3＜x ＜7+3，即4＜x ＜10，只有D 符合题意，故选：D ．【点睛】本题考查了三角形的三边关系，要知道，三角形的两边之和大于第三边．9．C解析：C【分析】根据三角形的高的定义，△ABC 中AC 边上的高是过B 点向AC 作的垂线段，即为BF ．【详解】解：∵BF ⊥AC 于F ，∴△ABC 中AC 边上的高是垂线段BF ．故选：C ．【点睛】本题考查了三角形的高的定义，关键是根据从三角形的一个顶点向它的对边作垂线，垂足与顶点之间的线段叫做三角形的高解答．10．B解析：B【分析】根据三角形的三边关系定理：两边之和大于第三边，即两条较短的边的长大于最长的边即可．【详解】A 、1+2=3，不能构成三角形， A 错误；B 、2+3=5>4可以构成三角形，B 正确；C 、2+5=7＜8，不能构成三角形， C 错误；D 、3+3=6，不能构成三角形，D 错误．故答案选：B ．【点睛】本题主要考查三角形的三边关系，比较简单，熟记三边关系定理是解决本题的关键． 11．B解析：B【分析】根据题意，结合三角形内角和定理、角平分线的性质，三角形外角的性质分别求解即可得出结论.【详解】解：由题意可得：在四边形BDCI 中，1180902IBD IBC CBD ∠=∠+∠=⨯︒=︒，90ICD ∠=︒，可得180BDC BIC ∠+∠=︒，故A 选项不符合题意， 90ICE ∠=︒，故B 选项符合题意，48BAC ∠=︒，在三角形ICE 中， EIC ∠=18048662IBC ICB ︒-︒∠+∠==︒，90ICE ∠=︒， 906624E ∠=︒-︒=∴︒ ，故C 选项不符合题意，90DBE ∠=︒，故D 选项不符合题意，故选：B.【点睛】本题考查了三角形内角和定理、角平分线的性质和三角形外角的性质，结合图形熟练运用定理和性质进行求解是解题的关键.12．C解析：C【分析】利用三角形的内角和，代入已知条件求出角的度数，逐一判断是否有直角即可．【详解】A ：ABC ∠+∠=∠，代入+=180A B C ∠+∠∠︒得：2=180C ︒∠⇒=90C ∠︒，故此选项不符合题意；B ：12A B C ∠=∠=∠，代入+=180A B C ∠+∠∠︒得：11++=2=18022C C C C ︒∠∠∠∠⇒=90C ∠︒，故此选项不符合题意； C ：3A B C ∠=∠=∠，代入+=180A B C ∠+∠∠︒得：3+3+=180C C C ︒∠∠∠⇒26C ≈︒∠，故此选项符合题意；D ：1123A B C ∠=∠=∠代入+=180A B C ∠+∠∠︒得：12++=18033C C C ︒∠∠∠⇒=90C ∠︒，故此选项符合题意；故答案选：C【点睛】本题主要考查了三角形的内角和，熟悉掌握三角形的内角和运算方式是解题的关键．二、填空题13．【分析】依据三角形的内角和定理表示∠A 根据它是钝角列出不等式组求解即可【详解】解：∵∠A+∠B+∠C=180°∴∠A=180°-30°-α=150°-α∵∠A 是钝角∴即故答案为：【点睛】本题考查解不解析：3060α︒<<︒【分析】依据三角形的内角和定理表示∠A ，根据它是钝角列出不等式组，求解即可．【详解】解：∵∠A+∠B+∠C=180°，∴∠A=180°-30°-α=150°-α．∵∠A 是钝角，∴90150180α︒<︒-<︒，即3060α︒<<︒，故答案为：3060α︒<<︒．【点睛】本题考查解不等式组，三角形内角和定理．能正确表示∠A 及利用它的大小关系列出不等式是解题关键．14．【分析】根据求出mn 的长根据三角形三边关系求出k 的取值范围再根据k 为最长边进一步即可确定k 的取值【详解】解：由题意得n-9=0m-5=0解得m=5n=9∵mnk 为三角形的三边长∴∵k 为三角形的最长边解析：914k ≤<【分析】根据2|9|(5)0n m -+-=求出m 、n 的长，根据三角形三边关系求出k 的取值范围，再根据k 为最长边进一步即可确定k 的取值．【详解】解：由题意得n-9=0，m-5=0，解得 m=5，n=9，∵m ，n ，k ，为三角形的三边长，∴414k ≤<，∵k 为三角形的最长边，∴914k ≤<．故答案为：914k ≤<【点睛】本题考查了绝对值、偶次方的非负性，三角形的三边关系，根据题意求出m 、n 的长是解题关键，确定k 的取值范围时要注意k 为最长边这一条件． 15．60【分析】先由题意得到∠A=∠B=根据直角三角形两锐角互余求得结果【详解】∵飞机P 在目标A 的正上方飞行员测得目标B 的俯角为30°∴∠A=∠CPB=∵CP ∥AB ∴∠B=∠CPB=∴=-∠B=故答案为解析：60【分析】先由题意得到∠A=90︒，∠B=30，根据直角三角形两锐角互余求得结果．【详解】∵飞机P 在目标A 的正上方，飞行员测得目标B 的俯角为30°，∴∠A=90︒，∠CPB=30,∵CP ∥AB ，∴∠B=∠CPB=30,∴APB ∠=90︒-∠B=60︒,故答案为：60．【点睛】此题考查直角三角形两锐角互余的性质，理解飞行员测得目标B 的俯角为30°得到∠B=30是解题的关键．16．20°【分析】根据高线的定义以及角平分线的定义分别得出∠CAD=34°进而得出∠CAE 的度数进而得出答案【详解】解：∵且∴∵平分∴∵是的高∴∴∴∴故答案为：20°【点睛】此题考查三角形的角平分线中线解析：20°【分析】根据高线的定义以及角平分线的定义分别得出68BAC ︒∠=，∠CAD =34°，进而得出∠CAE 的度数，进而得出答案．【详解】解：∵180B BAC C ︒∠+∠+∠=，且6B 3︒∠=，6C 7︒∠=，∴180180367668BAC B C ︒︒︒︒︒∠=-∠-∠=--=，∵AD 平分BAC ∠， ∴11683422CAD BAC ︒︒∠=∠=⨯=， ∵AE 是ABC ∆的高， ∴90AEC ︒∠=，∴90C CAE ︒∠+∠=，∴90907614CAE C ︒︒︒︒∠=-∠=-=，∴341420DAE CAD CAE ︒︒︒∠=∠-∠=-=，故答案为：20°．【点睛】此题考查三角形的角平分线、中线和高，三角形内角和定理，解题关键在于掌握各性质定义．17．【分析】利用三角形的中线把三角形分成面积相等的两部分解决问题即可【详解】解：∵BD=DC ∴S △ABD=S △ADC=×6=3（cm2）∵AE=DE ∴S △AEB=S △AEC=×3=（cm2）∴S △BEC 解析：32【分析】利用三角形的中线把三角形分成面积相等的两部分解决问题即可．【详解】解：∵BD=DC ，∴S △ABD =S △ADC =12×6=3（cm 2）， ∵AE=DE ，∴S△AEB=S△AEC=12×3=32（cm2），∴S△BEC=6-3=3（cm2），∵EF=FC，∴S△BEF=12×3=32（cm2），故答案为32．【点睛】本题考查三角形的面积，三角形的中线等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．18．15【分析】记三角形的第三边为c先根据三角形的三边关系确定c的取值范围进而可得三角形第三边的最大值与最小值进一步即可求出答案【详解】解：记三角形的第三边为c则7－3＜c＜7+3即4＜c＜10因为第三解析：15【分析】记三角形的第三边为c，先根据三角形的三边关系确定c的取值范围，进而可得三角形第三边的最大值与最小值，进一步即可求出答案．【详解】解：记三角形的第三边为c，则7－3＜c＜7+3，即4＜c＜10，因为第三边长为奇数，所以三角形第三边长的最大值是9，最小值是5，所以三角形的周长最大值是3+7+9=19；最小值是3+7+5=15；故答案为：19，15．【点睛】本题考查了三角形的三边关系与不等式组的整数解，属于基础题型，正确理解题意、掌握解答的方法是关键．19．15°【分析】先根据直角三角板的性质得出∠B及∠CDE的度数再由补角的定义得出∠BDF的度数根据三角形内角和定理即可得出结论【详解】解：∵图中是一副直角三角板∴∠B=45°∠CDE=60°∴∠BDF解析：15°【分析】先根据直角三角板的性质得出∠B及∠CDE的度数，再由补角的定义得出∠BDF的度数，根据三角形内角和定理即可得出结论．【详解】解：∵图中是一副直角三角板，∴∠B=45°，∠CDE=60°，∴∠BDF=180°-60°=120°，∴∠BFD=180°-45°-120°=15°．故答案为：15°．【点睛】本题考查的是三角形内角和定理，熟知三角形内角和是180°是解答此题的关键．20．【分析】三角形的面积等于任意一条底边乘以该边上的高的积的一半别以BCAC为底写出△ABC的面积的两种表示方法；结合两个面积相等和已知中的数据进行计算即可解答题目【详解】S△ABC=BC·AD=AC·解析：9 2【分析】三角形的面积等于任意一条底边乘以该边上的高的积的一半，别以BC、AC为底，写出△ABC的面积的两种表示方法；结合两个面积相等和已知中的数据，进行计算即可解答题目.【详解】S△ABC=12BC·AD=12AC·BE，将AD=3cm，BC=6cm，AC=4cm代入，得：11364 22BE ⨯⨯=⨯92BE=cm故答案为：9 2【点睛】本题考查三角形等面积法求高，通过三角形面积建立等量关系是解题的关键.三、解答题21．（1）见解析图；（2）见解析图；（3）见解析图【分析】（1）根据三角形中线的性质可知，当CD为△ABC在AB边上的中线时，可将其面积平分，即找到AB的中点，连接AE即可；（2）可按照△BCE与△ABC都以BC为底边进行分析，当都以BC为底边时，△ABC 的高为4，从而使得△BCE的高为1即可；（3）延续（2）的解题思路，都以BC为底边，要使得构成的三角形的面积是△ABC的1 8，则让构成的三角形的高为12即可，则在BC下方12个单位处作平行于BC的直线即为所求．【详解】如图所示：（1）D在格点上，也为AB的中点，故CD即为所求；（2）当点E在直线m上，且三角形内部时，均满足题意，如图△BCE，此时答案不唯一，符合要求即可；（3）如图，直线l即为所求．【点睛】本题主要考查作图－应用与设计作图，充分理解三角形中线的性质，以及灵活运用底相等时，面积之比等于高之比进行图形构造是解题关键．22．（1）<；（2）>；（3）>【分析】（1）根据三角形的三边关系解答；（2）根据三角形的三边关系解答；（3）根据三角形的外角性质解答．【详解】（1）在△ABC中，AB<AC+BC，故答案为：<；（2）在△ACD中，AD+AC>CD,,∵AD AC∴2AD>CD，故答案为：>；（3）∵∠BDC是△ACD的外角，∴∠BDC>∠A，故答案为：>．【点睛】此题考查三角形的三边关系：两边之和大于第三边，三角形的外角性质三角形的外角大于每一个与它不相邻的内角．23．7【分析】先根据外角与内角的比为2：5，求出每个外角度数，再依据外角和360°求边数n．【详解】解：因为多边形的每一个外角与内角之和为180°，所以每个外角度数为180°2 7⨯=（3607）°．又n边形每个内角度数相等，则每个外角度数也相等，根据多边形外角和360°，可得n＝3603607÷=7．答：这个多边形的边数n是7．【点睛】本题主要考查多边形的内角和外角关系以及多边形外角和，运用外角计算边数是这一类题的通用方法．24．2cm．【分析】先根据中线的定义得出MA＝MC，再求出两三角形的周长差即可．【详解】解：∵BM是△ABC的中线，∴MA＝MC，∴△ABM的周长﹣△BCM的周长＝AB+BM+MA﹣BC﹣CM﹣BM＝AB﹣BC＝5﹣3＝2（cm）．答：△ABM与△BCM的周长是差是2cm．【点睛】本题考查的是三角形的中线，熟知三角形中线的定义是解答此题的关键．25．（1）证明见解析；（2）110°【分析】（1）延长BP交AC于D，根据△PDC外角的性质知∠BPC＞∠1；根据△ABD外角的性质知∠1＞∠A，所以易证∠BPC＞∠A．（2）由三角形内角和定理求出∠ABC＋∠ACB＝140°，由角平分线和三角形内角和定理即可得出结果．【详解】（1）延长BP交AC于D，如图所示：∵∠BPC是△CDP的一个外角，∠1是△ABD的一个外角，∴∠BPC＞∠1，∠1＞∠A，∴∠BPC＞∠A；（2）在△ABC中，∵∠A=40°，∴∠ABC+∠ACB=180°﹣∠A=180°﹣40°=140°，∵PB平分∠ABC，PC平分∠ACB，∴∠PBC=12∠ABC，∠PCB=12∠ACB，在△PBC中，∠P=180°﹣（∠PBC+∠PCB）=180°﹣（12∠ABC+12∠ACB）=180°﹣12（∠ABC+∠ACB）=180°﹣12×140°=110°．【点睛】此题主要考查了三角形的外角性质、三角形内角和定理、三角形的角平分线定义；熟练掌握三角形的外角性质和三角形内角和定理是解决问题的关键．26．（1）十二边形；（2）五边形【分析】（1）n边形的内角和可以表示成（n−2）•180°，设这个正多边形的边数是n，就得到方程，从而求出边数；（2）根据多边形外角的性质进行计算即可．【详解】解：（1）设这个多边形是n边形，根据题意得：2180(10)80n⨯︒=︒﹣，解得:12n=．故这个多边形是十二边形；（2）18010872︒-︒=︒，多边形的边数是:360725÷=．则这个多边形是五边形．故这个多边形的边数为5．【点睛】此题考查了多边形的内角和定理和多边形外角和，注意多边形的内角和为：（n−2）×180°．。

(完整版)初一三角形面积题

(完整版)初一三角形面积题三角形是几何学中的重要概念之一，计算三角形的面积是初中数学中的常见问题。

本文将介绍一些初一学生常见的三角形面积题目，帮助学生更好地掌握三角形的面积计算方法。

题目一已知三角形的底边长度为5cm，高为4cm，请计算三角形的面积。

解答：根据三角形面积的计算公式S = 底边长度 ×高 / 2，我们可以将题目中给定的数值代入计算。

S = 5cm × 4cm / 2 = 20cm²所以，三角形的面积为20平方厘米。

题目二已知三角形的底边长度为8cm，两边长度分别为6cm和7cm，请计算三角形的面积。

解答：对于这个题目，我们无法直接应用三角形面积的计算公式，因为题目中给出的两边长度并不是直角边和垂直边。

首先，我们需要根据给定的三边长度判断是否可以构成一个三角形。

根据三角形两边之和大于第三边的性质，我们可以发现8cm、6cm和7cm是可以构成一个三角形的。

接下来，我们可以使用海伦公式来计算三角形的面积。

海伦公式的计算公式为：S = √[p × (p - a) × (p - b) × (p - c)]，其中p为半周长，a、b、c分别为三角形的三边长度。

首先，我们计算半周长p：p = (8cm + 6cm + 7cm) / 2 = 10.5cm然后，我们将半周长p和三边长度代入海伦公式计算：S = √[10.5cm × (10.5cm - 8cm) × (10.5cm - 6cm) × (10.5cm - 7cm)] = √[10.5cm × 2.5cm × 4.5cm × 3.5cm] ≈ √425.25 ≈ 20.63cm²所以，三角形的面积约为20.63平方厘米。

题目三已知三角形的一个角度为60度，另外两条边长分别为6cm和8cm，请计算三角形的面积。

解答：首先，我们可以通过已知条件计算出三角形的高。

初中数学教案解三角形的面积与周长综合题综合题

初中数学教案解三角形的面积与周长综合题综合题初中数学教案：解三角形的面积与周长综合题在初中数学教学中，三角形是一个重要的图形。

学生们需要掌握三角形的面积和周长的计算方法，并能够综合运用这些知识解决实际问题。

本文将通过一系列综合题来帮助学生提高解三角形面积与周长的能力。

一、题目一已知一个直角三角形的斜边长为10 cm，一条直角边长为6 cm，请计算该三角形的面积和周长。

解析：首先，计算直角三角形的面积。

面积的计算公式为：面积 = 底边长×高 / 2。

在直角三角形中，斜边为底边，另一直角边为高。

所以，面积 = 10 × 6 / 2 = 30 平方厘米。

其次，计算直角三角形的周长。

周长的计算公式为：周长 = 斜边长+ 直角边1 + 直角边2。

所以，周长 = 10 + 6 + 8 = 24 cm。

综上所述，该直角三角形的面积为30平方厘米，周长为24cm。

二、题目二已知一个等边三角形的周长为18 cm，请计算该三角形的面积。

解析：因为等边三角形的三条边长相等，所以周长除以3即为每条边的长度。

所以，每条边的长度为18 / 3 = 6 cm。

等边三角形的面积计算公式为：面积 = 边长² × √3 / 4。

将边长代入公式，即可计算出该等边三角形的面积。

面积= 6² × √3 / 4 = 18√3 / 4 ≈ 7.794 平方厘米（结果保留三位小数）。

综上所述，该等边三角形的面积约为7.794 平方厘米。

三、题目三已知一个等腰直角三角形的斜边长为5 cm，请计算该三角形的面积和周长。

解析：等腰直角三角形的特点是两条直角边的长度相等。

因为等腰直角三角形的一条直角边就是斜边的一半，所以直角边的长度为5 / 2 = 2.5 cm。

首先，计算等腰直角三角形的面积。

面积的计算公式为：面积 = 直角边 ×直角边 / 2。

将直角边代入公式，即可计算出该等腰直角三角形的面积。

初中数学面积问题综合题

读万卷书行万里路1面积问题综合题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．如图，△ABC 的面积为3，BD ：DC ＝2：1，E 是AC 的中点，AD 与BE 相交于点P ，那么四边形PDCE 的面积为（）A ．13B ．710C ．35D ．1320二、填空题2．如图，小红作出了面积为1的正△ABC，然后分别取△ABC 三边的中点A 1，B 1，C 1，作出了正△A 1B 1C 1，用同样的方法，作出了正△A 2B 2C 2，….由此可得，正△A 8B 8C 8的面积是________．三、解答题3．如图，正方形ABCD 的边长为10cm ，点P 从A 开始沿折线A D C →→以2cm /s 的速度移动，点Q 从D 开始沿DC 边以1cm/s 的速度移动，如果点P ，Q 分别从A ，D 同时出发，当其中一点到达C时，另一点也随之停读万卷书行万里路2止运动．（1）设PQB ∆的面积为S ，t 为运动时间，写出S 关于t 的函数表达式；（2）t 为何值时，PQB ∆的面积为正方形ABCD 面积的14？4．如图，在ABC ∆中，ABC ∠为锐角，点D 为直线BC 上一动点，以AD 为直角边且在AD 的右侧作等腰直角三角形ADE ，90DAE ∠=︒，AD AE =.读万卷书行万里路3（1）如果AB AC =，90BAC ∠=︒.①当点D 在线段BC 上时，如图1，线段CE 、BD 的位置关系为___________，数量关系为_____________ ②当点D 在线段BC 的延长线上时，如图2，①中的结论是否仍然成立，请说明理由.（2）如图3，如果AB AC ≠，90BAC ∠≠︒，点D 在线段BC 上运动。

探究：当ACB ∠多少度时，CE BC ⊥？小明通过（1）的探究，猜想45ACB ∠=︒时，CE BC ⊥.他想过点A 做AC 的垂线，与CB 的延长线相交，构建图2的基本图案，寻找解决此问题的方法。

三角形的面积-初中数学习题集含答案

（1）求 ABC 面积；
（2）若点
P
在坐标轴上，且
SPAB
1 2
SABC
，请你直接写出点
P
的坐标．
10．（2017
春•海淀区校级期中）已知
x
y
1 4
和
x y
2 n
都是关于
x
，
y
的二元一次方程
2x
y
m
0
的解．
（1）分别求 m ， n 的值；
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（2）若点 A(m, 0) ，点 B(0, n) ，点 P 在 x 轴上，且使 OP 1 OA ，直接写出 ABP 的面积． 2
三角形的面积（北京习题集）（教师版）
一．选择题（共 4 小题） 1．（2015 春•东城区期末）如图，三边均不等长的锐角 ABC ，若在此三角形内找一点 O ，使得 OAB 、 OBC 、
OCA 的面积均相等．下列作法中正确的是 ( )
A．作中线 AD ，再取 AD 的中点 O B．分别作 AB 、 BC 的高线，再取此两高线的交点 O C．分别作中线 AD 、 BE ，再取此两中线的交点 O D．分别作 A 、 B 的角平分线，再取此两角平分线的交点 O 2．（2014 秋•房山区校级期中）如图， ABC 中， D 为 BC 上的一点，且 SACD SABD ，则 AD 为 ( )
C．角平分线
D．不能确定
【分析】过 A 作 AE BC ，分别计算 SACD 、 SABD ，根据 SACD SABD 即可求得 BD DC ，即可解题．
【解答】解：过 A 作 AE BC ，
则
SACD
1 2
BDgAE
，
SABD

初一数学综合算式练习题三角形面积计算

初一数学综合算式练习题三角形面积计算初一数学综合算式练习题：三角形面积计算三角形是初中数学中重要的几何形状之一，计算三角形的面积是其中的一项基本技能。

本文将介绍三角形面积计算的基本公式，以及一些练习题供初一学生复习和巩固知识。

一、三角形面积计算公式计算三角形面积的基本公式是：面积 = 底边长 ×高 / 2。

在此公式中，底边长是指任意一条边作为底边，高是指从底边到与其垂直的另一点的距离。

在实际运用中，我们还可以使用海伦公式或正弦定理来计算三角形的面积。

但是对于初中阶段的学习，上述基本公式已经足够使用。

二、练习题1. 已知一个等边三角形的边长为8厘米，求其面积。

解答：由于等边三角形的三边长度相等，并且等边三角形的高等于边长乘以 sin60°，根据公式，可以计算得出面积。

边长 = 8厘米高 = 8厘米 × sin60°通过计算得出sin60° ≈ 0.866，所以：高≈ 8厘米× 0.866 ≈ 6.928厘米面积 = 8厘米 × 6.928厘米/ 2 ≈ 34.624平方厘米所以，该等边三角形的面积约为34.624平方厘米。

2. 已知一个直角三角形的两条直角边分别为6厘米和8厘米，求其面积。

解答：直角三角形的面积计算可以直接使用基本公式。

底边长 = 6厘米高 = 8厘米面积 = 6厘米 × 8厘米 / 2 = 24平方厘米所以，该直角三角形的面积为24平方厘米。

3. 已知一个非等边三角形的三边长度分别为5厘米、6厘米和8厘米。

求其面积。

解答：对于非等边三角形，可以使用海伦公式来计算面积。

海伦公式的表达式如下：面积= √[p(p - a)(p - b)(p - c)]其中，a、b、c分别为三角形的三边长度，p为半周长，即 p = (a + b + c) / 2。

根据给定的边长计算半周长和面积：a = 5厘米，b = 6厘米，c = 8厘米p = (5厘米 + 6厘米 + 8厘米) / 2 = 9.5厘米根据海伦公式计算面积：面积= √[9.5厘米(9.5厘米 - 5厘米)(9.5厘米 - 6厘米)(9.5厘米 - 8厘米)]面积≈ √[9.5厘米 × 4.5厘米 × 3.5厘米 × 1.5厘米] ≈ 8.94平方厘米所以，该非等边三角形的面积约为8.94平方厘米。

初中数学三角形的试卷

一、选择题（每题4分，共20分）1. 下列图形中，不是三角形的是（）A. 等边三角形B. 等腰三角形C. 直角三角形D. 长方形2. 一个三角形的两个内角分别是40°和70°，那么第三个内角的度数是（）A. 40°B. 70°C. 100°D. 130°3. 在一个三角形中，若两边长分别为3cm和4cm，那么第三边的长度（）A. 大于3cm小于7cmB. 大于4cm小于7cmC. 大于3cm小于7cmD. 大于4cm小于3cm4. 下列关于三角形面积的说法中，正确的是（）A. 所有三角形的面积都相等B. 所有三角形的面积都大于0C. 所有三角形的面积都小于正方形的面积D. 所有三角形的面积都大于直角三角形的面积5. 在三角形ABC中，若∠A=60°，∠B=45°，则∠C的度数是（）A. 60°B. 45°C. 75°D. 90°二、填空题（每题4分，共20分）6. 三角形内角和定理是：一个三角形的内角和等于______。

7. 等边三角形的每个内角都是______度。

8. 一个三角形的两边长分别为5cm和8cm，那么第三边长的取值范围是______。

9. 在三角形ABC中，若AB=AC，则三角形ABC是______三角形。

10. 三角形面积公式是：三角形面积=底×高÷______。

三、解答题（每题10分，共30分）11. （10分）已知一个三角形的两个内角分别为30°和45°，求第三个内角的度数。

12. （10分）在直角三角形ABC中，∠A=90°，AB=6cm，BC=8cm，求三角形ABC 的面积。

13. （10分）已知一个三角形的三边长分别为5cm、7cm和9cm，判断该三角形是锐角三角形、直角三角形还是钝角三角形，并说明理由。

(必考题)初中数学七年级数学下册第四单元《三角形》测试卷(含答案解析)

一、选择题1．如图，△ABC 的面积为9cm 2，BP 平分∠ABC ，AP ⊥BP 于P ，连接PC ，则△PBC 的面积为（）A ．3cm 2B ．4.5cm 2C ．5cm 2D ．6cm 22．如图，AB 与CD 相交于点E ，AD=CB ，要使△ADE ≌△CBE ，需添加一个条件，则添加的条件以及相应的判定定理正确的是（）A ．AE=CE ；SASB ．DE=BE ；SASC ．∠D=∠B ；AASD ．∠A=∠C ；ASA3．如图，CD AB ⊥，BE AC ⊥，垂足分别为点D ，点E ，BE 、CD 相交于点O ，12∠=∠，则图中全等三角形共有（）A ．2对B ．3对C ．4对D ．5对4．已知如图，AB=AE ，只需再加一个条件就能证明△ABC ≌△AED ，下列选项是所加条件，请判断哪一个不能判断△ABC ≌△AED （）A ．∠B=∠EB ．AC=ADC ．∠ADE=∠ACBD ．BC=DE 5．如图，已知∠ABC ＝∠DEF ，AB ＝DE ，添加以下条件，不能判定△ABC ≌△DEF 的是（）A ．∠A ＝∠DB ．∠ACB ＝∠DFEC ．AC ＝DFD ．BE ＝CF 6．下列长度的三条线段中，有组成三角形的是（） A ．3cm,4cm,9cm B ．8cm,7cm,15cmC ．12cm,13cm,24cmD ．2cm,2cm,6cm 7．如图，AB AC =，AD AE =，55A ︒∠=，35C ︒∠=，则DOE ∠的度数是（）A ．105︒B ．115︒C ．125︒D ．130︒8．已知：如图，BD 为△ABC 的角平分线，且BD=BC ，E 为BD 延长线上的一点，BE=BA ，过E 作EF ⊥AB ，F 为垂足，下列结论：①△ABD ≌△EBC②∠BCE+∠BCD=180°③AD=AE=EC ④ BA+BC=2BF 其中正确的是（）A ．①②③B ．①③④C ．①②④D ．①②③④ 9．已知三角形的三边长分别是3，8，x ，则x 的值可以是（）A ．6B ．5C ．4D ．3 10．如图，已知AE=CF ，∠AFD=∠CEB ，那么添加下列一个条件后，仍无法判定△ADF ≌△CBE 的是（）A ．∠B=∠DB ．BE=DFC ．AD=CBD ．AD ∥BC 11．若a ，b ，c 为△ABC 的三边长，且满足|a ﹣5|+(b ﹣3)2=0，则c 的值可以为（）A ．7B ．8C ．9D ．1012．如图，点D ，E 在△ABC 的边BC 上，△ABD ≌△ACE ，其中B ，C 为对应顶点，D ，E 为对应顶点，下列结论不．一定成立的是（）A ．AC=CDB ．BE=CDC ．∠ADE=∠AED D ．∠BAE=∠CAD二、填空题13．如图，已知AC DB =，添加一个条件________，可以得到ABC DCB △≌△．14．如图，已知∠A ＝47°，∠B ＝38°，∠C ＝25°，则∠BDC 的度数是______．15．如图，在ABC 中，D ，E 分别是BC ，AD 的中点，24ABC Scm =，则ABE S 的值是_______．16．如图10，某同学把一块三角形的玻璃打碎成三片，现在他要到玻璃店去配一块完全一样形状的玻璃．那么最省事的办法是带________去配，这样做的数学依据是是_______________________________．17．三角形的三边长分别为5，1+2x ，8，则x 的取值范围是．18．已知：如图，ACB DBC ∠∠＝，要使△ABC ≌△DCB ，只需增加的一个条件是_____（只需填写一个你认为适合的条件）．19．用12根等长的火柴棒拼成一个等腰三角形，火柴棒不允许剩余、重叠、折断，则能摆出不同的等腰三角形的个数为________个．20．如图，点E ，F 在线段AD 上，且AE DF =，//AB DC ，AB DC =，连接BE ，BF ，CE ，CF ，则图中共有_____对全等三角形．三、解答题21．我们知道：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形．类似地，我们定义：至少有一组对边相等的四边形叫做等对边四边形．（1）请写出一个你学过的特殊四边形中是等对边四边形的图形的名称；（2）如图，在ABC 中，点D E ，分别在AB AC ，上，设CD BE ，相交于点O ，若60A ∠=︒，12DCB EBC A ∠=∠=∠．请你写出图中一个与A ∠相等的角，并猜想图中哪个四边形是等对边四边形；（3）在ABC 中，如果A ∠是不等于60︒的锐角，点D E ，分别在AB AC ，上，且12DCB EBC A ∠=∠=∠．探究：满足上述条件的图形中是否存在等对边四边形，并证明你的结论．22．（问题情境）（1）如图1，在四边形ABCD 中，AB AD =，90B D ︒∠=∠=，120BAD ︒∠=．点E ，F 分别是BC 和CD 上的点，且60EAF ︒∠=，试探究线段BE ，EF ，DF 之间的关系．小明同学探究此问题的方法是：延长FD 到点G ，使DG BE =，连接AG ．先证明ADG ABE ≅△△，再证明AEF AGF ≅△△，进而得出EF BE DF =+．你认为他的做法；（填“正确”或“错误”）．（探索延伸）（2）如图2，在四边形ABCD 中，AB AD =，70B ︒∠=，110D ︒∠=，100BAD ︒∠=，点E ，F 分别是BC 和CD 上的点，且50EAF ︒∠=，上题中的结论依然成立吗？请说明理由．（思维提升）（3）小明通过对前面两题的认真思考后得出：如图3，在四边形ABCD 中，若AB AD =，180B D ︒∠+∠=，12EAF BAD ∠=∠，那么EF BE DF =+．你认为正确吗？请说明理由．23．（1）如图1，已知OAB 中，OA OB =，90AOB ∠=︒，直线l 经过点O ，BC ⊥直线l ，AD ⊥ 直线l ，垂足分别为点C ，D ．依题意补全图l ，并写出线段BC ，AD ，CD 之间的数量关系为______；（2）如图2，将（1）中的条件改为：在OAB 中，OA OB =，C ，O ，D 三点都在直线l 上，并且有BCO ODA BOA ∠=∠=∠，请问（1）中结论是否成立?若成立，请加以证明；若不成立，请说明理由；（3）如图3，在ABC 中，AB AC =，90CAB ∠=︒，点A 的坐标为(0,1)，点C 的坐标为()3,2，请直接写出点B 的坐标．24．如图，90ACB ∠=︒，AC BC =，AD CE ⊥，BE CE ⊥，垂足分别为D ，E ， 2.5cm AD =，求1cm BE =，求DE 的长．25．如图，点A 、D 、B 、E 在一条直线上，BC 与DF 交于点G ，AD BE =，//BC EF ，BC EF =．求证：ABC DEF △≌△．26．已知22a m n =+，2b m =，c mn =，且m >n >0．（1）比较a ，b ，c 的大小；（2）请说明以a ，b ，c 为边长的三角形一定存在．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．B解析：B【分析】根据已知条件证得△ABP ≌△EBP ，根据全等三角形的性质得到AP=PE ，得出S △ABP =S △EBP ，S △ACP =S △ECP ，推出S △PBC=12S △ABC ，代入求出即可．【详解】解：延长AP 交BC 于E ，∵BP 平分∠ABC ，∴∠ABP=∠EBP ，∵AP ⊥BP ，∴∠APB=∠EPB=90°，在△ABP 和△EBP 中，ABP EBP PB PBAPB EPB ∠∠⎧⎪⎨⎪∠∠⎩＝＝＝，∴AP=PE，∴S△ABP=S△EBP，S△ACP=S△ECP，∴S△PBC=12S△ABC=12×9cm2=4.5cm2，故选：B．【点睛】本题考查了全等三角形的性质和判定，三角形的面积的应用，注意：等底等高的三角形的面积相等．2．C解析：C【分析】根据三角形全等的判定方法结合全等的判定方法逐一进行来判断．【详解】解：A.添加AE=CE后，根据已知两边和其中一边的对角对应相等，两个三角形不一定全等；故不符合题意；B.添加DE=BE后，根据已知两边和其中一边的对角对应相等，两个三角形不一定全等；故不符合题意；C.添加∠D=∠B，根据AAS可证明△ADE≌△CBE，故此选项符合题意；D.添加∠A=∠C，根据AAS可证明△ADE≌△CBE，故此选项不符合题意；故选：C【点睛】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、AAS、ASA．关键在于应根据所给的条件判断应证明哪两个三角形全等．3．C解析：C【分析】共有四对．分别为ADO≌AEO，ADC≌AEB，ABO≌ACO，BOD≌COE．做题时要从已知条件开始结合图形利用全等的判定方法由易到难逐个寻找．【详解】解：∵CD⊥AB，BE⊥AC，∴∠ADO＝∠AEO＝90°，又∵∠1＝∠2，AO＝AO，∴ADO≌AEO；（AAS）∴OD＝OE，AD＝AE，∵∠DOB＝∠EOC，∠ODB＝∠OEC＝90°，OD＝OE，∴BOD≌COE；（ASA）∴BD＝CE，OB＝OC，∠B＝∠C，∵AE＝AD，∠DAC＝∠CAB，∠ADC＝∠AEB＝90°∵AD＝AE，BD＝CE，∴AB＝AC，∵OB＝OC，AO＝AO，∴ABO≌ACO．（SSS）所以共有四对全等三角形．故选：C．【点睛】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．4．D解析：D【分析】根据全等三角形的判定条件结合AE=AB、∠A=∠A逐项判定即可．【详解】解：∵AE=AB、∠A=∠A∴A、补充∠B=∠E，根据ASA可证明△ABC≌△AED，不符合题意；B、补充AC=AD，根据SAS可证明△ABC≌△AED，不符合题意；C、补充∠ADE=∠ACB，根据AAS可证明△ABC≌△AED，不符合题意；D、补充BC=DE，为SSA不能证明△ABC≌△AED，符合题意．故答案为D．【点睛】本题考查了三角形全等的证明，掌握AAA、SSA不能判定普通三角形全等是解答本题的关键．5．C解析：C【分析】根据全等三角形的判定方法一一判断即可；【详解】A、根据ASA，可以推出△ABC≌△DEF，本选项不符合题意．B、根据AAS，可以推出△ABC≌△DEF，本选项不符合题意．C、SSA，不能判定三角形全等，本选项符合题意．D、根据SAS，可以推出△ABC≌△DEF，本选项不符合题意．故选：C．【点睛】本题考查了全等三角形的判定，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定方法；6．C解析：C【分析】根据三角形的三边关系对各选项进行逐一分析即可．【详解】解：A 、∵3＋4=7<9，∴不能构成三角形，故本选项不符合题意；B 、∵8＋7＝15，∴不能构成三角形，故本选项不符合题意；C 、∵12+13=25>24，∴能构成三角形，故本选项符合题意；D 、∵2＋2＝4＜6，∴不能构成三角形，故本选项不符合题意．故选：C ．【点睛】此题考查了三角形的三边关系．判断能否组成三角形的简便方法是看较小的两个数的和是否大于第三个数．7．C解析：C【分析】先判定△ABE ≌△ACD ，再根据全等三角形的性质，得出∠B=∠C=35︒，由三角形外角的性质即可得到答案．【详解】在△ABE 和△ACD 中，AB AC BAE CAD AE AD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ABE ≌△ACD （SAS ），∴∠B=∠C ，∵∠C=35︒，∴∠B=35︒，∴∠OEC=∠B+∠A=355590︒+︒=︒，∴∠DOE=∠C+∠OEC=3590125︒+︒=︒，故选：C ．【点睛】本题考察全等三角形的判定与性质、三角形外角的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题关键．8．D解析：D【分析】易证ABD EBC ∆∆≌，可得BCE BDA ∠=∠，AD=EC 可得①②正确；再根据角平分线的性质可求得DAE DCE ∠=∠ ，即③正确，根据③可判断④正确；【详解】∵ BD 为∠ABC 的角平分线，∴ ∠ABD=∠CBD ，∴在△ABD 和△EBD 中，BD=BC ，∠ABD=∠CDB ，BE=BA ，∴△ABD EBC ∆∆≌(SAS)，故①正确；∵ BD 平分∠ABC ，BD=BC ，BE=BA ，∴ ∠BCD=∠BDC=∠BAE=∠BEA ，∵△ABD ≌△EBC ，∴∠BCE=∠BDA ，∴∠BCE+∠BCD=∠BDA+∠BDC=180°，故②正确；∵∠BCE=∠BDA ，∠BCE=∠BCD+∠DCE ，∠BDA=∠DAE+∠BEA ，∠BCD=∠BEA ，∴∠DCE=∠DAE ，∴△ACE 是等腰三角形，∴AE=EC ，∵△ABD ≌△EBC ，∴AD=EC ，∴AD=AE=EC ，故③正确；作EG ⊥BC ，垂足为G ，如图所示：∵ E 是BD 上的点，∴EF=EG ，在△BEG 和△BEF 中BE BE EF EG =⎧⎨=⎩∴ △BEG ≌△BEF ，∴BG=BF ，在△CEG 和△AFE 中EF EG AE CE =⎧⎨=⎩∴△CEG ≌△AFE ，∴ AF=CG ，∴BA+BC=BF+FA+BG-CG=BF+BG=2BF ，故④正确；故选：D ．【点睛】本题考查了全等三角形的判定，全等三角形对应边、对应角相等的性质，本题中熟练求证三角形全等和熟练运用全等三角形对应边、对应角相等的性质是解题的关键；9．A解析：A【分析】根据三角形三边关系：①任意两边之和大于第三边；②任意两边之差小于第三边，即可得出第三边的取值范围．【详解】解：∵三角形的三边长分别为3，8，x，∴8-3＜x＜8+3，即5＜x＜11，故选：A．【点睛】本题考查了三角形的三边关系，即任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．10．C解析：C【分析】求出AF=CE，再根据全等三角形的判定定理判断即可．【详解】解：∵AE=CF，∴AE+EF=CF+EF，∴AF=CE，A、∠B=∠D，∠AFD=∠CEB，AF=CE，满足AAS，能判定△ADF≌△CBE；B、BE=DF，∠AFD=∠CEB，AF=CE，满足SAS，能判定△ADF≌△CBE；C、AD=CB，AF=CE，∠AFD=∠CEB，满足SSA，不能判定△ADF≌△CBE；D、AD∥BC，则∠A=∠C，又AF=CE，∠AFD=∠CEB，满足ASA，能判定△ADF≌△CBE；故选：C．【点睛】本题考查了平行线性质，全等三角形的判定的应用，注意：全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS．11．A解析：A【分析】根据非负数的性质列方程求出a、b的值，再根据三角形的任意两边之和大于第三边，三角形的任意两边之差小于第三边求出c的取值范围，然后解答即可．【详解】解：∵|a﹣5|+(b﹣3)2=0，∴a﹣5=0，b﹣3=0，解得a=5，b=3，∵5﹣3=2，5+3=8，∴2＜c＜8，∴c的值可以为7．故选：A．【点睛】本题考查了非负数的性质以及三角形的三边关系．注意：几个非负数的和为0时，这几个非负数都为0．12．A解析：A【详解】∵△ABD≌△ACE，∴∠ADB=∠AEC，∠BAD=∠CAE，BD=CE，∴180°-∠ADB=180°-∠AEC，∠BAD+∠DAE=∠CAE+∠DAE，BD+DE=CE+DE，即∠ADE=∠AED，∠BAE=∠CAD，BE=CD，故B、C、D选项成立，不符合题意；无法证明AC=CD，故A符合题意，故选A.二、填空题13．（答案不唯一）【分析】要使△ABC≌△DCB由于BC是公共边若补充一组边相等则可用SSS判定其全等；【详解】解：添加AB=DC∵AC=BDBC=BCAB=DC∴△ABC≌△DCB（SSS）∴加一个适（答案不唯一）解析：AB DC【分析】要使△ABC≌△DCB，由于BC是公共边，若补充一组边相等，则可用SSS判定其全等；【详解】解：添加AB=DC，∵ AC=BD，BC=BC，AB=DC，∴△ABC≌△DCB（SSS），∴加一个适当的条件是AB=DC，故答案为：AB=DC．【点睛】本题考查了三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL，根据已知图形以及判定方法选择添加的条件是正确解答本题的关键．14．110°【分析】连接AD并延长根据三角殂的外角性质分别表示出∠3和∠4因为∠BDC是∠3和∠4的和从而不难求得∠BDC的度数【详解】解：连接AD 并延长∵∠3=∠1+∠B∠4=∠2+∠C∴∠BDC=∠解析：110°【分析】连接AD，并延长，根据三角殂的外角性质分别表示出∠3和∠4，因为∠BDC是∠3和∠4的和，从而不难求得∠BDC的度数．【详解】解：连接AD，并延长．∵∠3=∠1+∠B，∠4=∠2+∠C．∴∠BDC=∠3+∠4=（∠1+∠B）+（∠2+∠C）=∠B+∠BAC+∠C．∵∠A＝47°，∠B＝38°，∠C＝25°．∴∠BDC=47°+38°+25°=110°，故答案为：110°．【点睛】本题考查了三角形的外角性质：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和．15．【分析】中线AD把△ABC分成面积相等的两个三角形中线BE又把△ABD 分成面积相等的两个三角形所以△ABE的面积是△ABC的面积的【详解】解：∵DE分别是BCAD的中点∴△ABD是△ABC面积的△A解析：21cm【分析】中线AD把△ABC分成面积相等的两个三角形，中线BE又把△ABD分成面积相等的两个三角形，所以△ABE的面积是△ABC的面积的14．【详解】解：∵D、E分别是BC，AD的中点，∴△ABD是△ABC面积的12，△ABE是△ABD面积的12，∴△ABE的面积=4×12×12=21cm．故答案为：21cm．【点睛】本题考查了三角形的面积计算，解题的关键是熟悉三角形的中线把三角形分成面积相等的两个小三角形．16．③两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等【分析】已知三角形破损部分的边角得到原来三角形的边角根据三角形全等的判定方法即可求解【详解】第一块和第二块只保留了原三角形的一个角和部分边根据这两块中的任一解析：③ 两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等【分析】已知三角形破损部分的边角，得到原来三角形的边角，根据三角形全等的判定方法，即可求解．【详解】第一块和第二块只保留了原三角形的一个角和部分边，根据这两块中的任一块均不能配一块与原来完全一样的；第三块不仅保留了原来三角形的两个角还保留了一边，则可以根据ASA来配一块一样的玻璃．故答案为③；两个角及它们的夹边对应相等的两个三角形全等．【点睛】本题考查了全等三角形的判定，解题的关键是要认真观察图形，根据已知选择判定方法．17．1＜x＜6【解析】试题分析：根据三角形的三边关系：任意两边之和大于第三边任意两边之差小于第三边解：由题意有8﹣5＜1+2x＜8+5解得：1＜x＜6考点：三角形三边关系解析：1＜x＜6【解析】试题分析：根据三角形的三边关系：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．解：由题意，有8﹣5＜1+2x＜8+5，解得：1＜x＜6．考点：三角形三边关系．18．∠A＝∠D或∠ABC＝∠DCB或BD＝AC【分析】已知一条公共边和一个角有角边角或角角边定理再补充一组对边相等或一组对角相等即可【详解】解：添加∠A＝∠D∠ABC＝∠DCBBD＝AC后可分别根据AA解析：∠A＝∠D或∠ABC＝∠DCB或BD＝AC【分析】已知一条公共边和一个角，有角边角或角角边定理，再补充一组对边相等或一组对角相等即可．【详解】解：添加∠A＝∠D，∠ABC＝∠DCB，BD＝AC后可分别根据AAS、SAS、SAS判定△ABC≌△ADC．故答案为：∠A＝∠D或∠ABC＝∠DCB或BD＝AC．【点睛】本题考查三角形全等的判定方法；判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．添加时注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，不能添加，根据已知结合图形及判定方法选择条件是正确解答本题的关键．19．2【分析】本题根据三角形的三边关系定理得到不等式组从而求出三边满足的条件再根据三边长是整数进而求解【详解】设摆出的三角形中相等的两边是x根则第三边是（）根根据三角形的三边关系定理得到：则又因为是整数解析：2【分析】本题根据三角形的三边关系定理，得到不等式组，从而求出三边满足的条件，再根据三边长是整数，进而求解．【详解】设摆出的三角形中相等的两边是x 根，则第三边是（122x -）根，根据三角形的三边关系定理得到：122122x x x x x x +>-⎧⎨-+>⎩，则3x >， 6x <，又因为x 是整数，∴x 可以取4或5，因而三边的值可能是：4，4，4或5，5，2；共二种情况，则能摆出不同的等腰三角形的个数为2．故答案为：2．【点睛】本题考查了三角形的三边关系：在组合三角形的时候，注意较小的两边之和应大于最大的边，三角形三边之和等于12．20．3【分析】易证△ABE ≌△DCF 从而可得出△ABF ≌△DCE 进而可得出△BEF ≌△CFE 【详解】∵AB ∥DC ∴∠A=∠D ∵AB=CDAE=DF ∴△ABE ≌△DCF(SAS)∴AE=DFBE=CF ∴A 解析：3【分析】易证△ABE ≌△DCF,从而可得出△ABF ≌△DCE,进而可得出△BEF ≌△CFE ．【详解】∵AB ∥DC∴∠A=∠D∵AB=CD,AE=DF∴△ABE ≌△DCF(SAS)∴AE=DF ，BE=CF∴AF=ED∴△ABF ≌△DCE(SAS)∴BF=EC∵EF=EF∴△BEF ≌△CFE(SSS)故答案为：3．【点睛】本题考查三角形全等的证明，需要注意SSA 是不能证明全等的．三、解答题21．（1）平行四边形，等腰梯形，矩形等；（2）与A ∠相等的角是∠DOB （或∠EOC ）；猜想四边形BDEC 是等对边四边形；（3）存在等对边四边形，是四边形BDEC ，见解析．【分析】（1）本题理解等对边四边形的图形的定义，平行四边形，等腰梯形，矩形就是；（2）与∠A 相等的角是∠BOD （或∠COE ），四边形DBCE 是等对边四边形；（3）作CG ⊥BE 于G 点，作BF ⊥CD 交CD 延长线于F 点，易证△BCF ≌△CBG ，进而证明△BDF ≌△CEG ，所以BD ＝CE ，所以四边形DBCE 是等对边四边形．【详解】解：（1）如：平行四边形，等腰梯形，矩形等．（2）与A ∠相等的角是∠BOD （或∠COE ），∵∠A ＝60°，12DCB EBC A ∠=∠=∠， ∴∠OBC ＝∠OCB ＝30°，∴∠BOD ＝∠EOC ＝∠OBC ＋∠OCB ＝60°，∴与∠A 相等的角是∠BOD （或∠EOC ），猜想：四边形BDEC 是等对边四边形，（3）存在等对边四边形，是四边形BDEC ，证明：如图作CG ⊥BE 于G ，BF ⊥CD 交CD 的延长线于F ，在△BCF 和△CBG 中，DCB EBC BFC CGB BC BC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△BCF ≌△CBG （AAS ），∴BF ＝CG ，∵BDF ABE EBC DCB ∠=∠+∠+∠，BEC ABE A ∠=∠+∠，∴BDF BEC ∠=∠，在△BDF 和△CEG 中，90BDF CEB BFC CGE BF CG ∠∠⎧⎪∠∠=︒⎨⎪⎩＝＝＝ ∴△BDF ≌△CEG （AAS ），∴BD ＝CE∴四边形BDEC 是等对边四边形．【点睛】本题考查了全等三角形的性质和判定的应用，解决本题的关键是理解等对边四边形的定义，把证明BD ＝CE 的问题转化为证明三角形全等的问题．22．（1）正确；（2）成立，理由见解析；（3）正确，理由见解析．【分析】（1）延长FD 到点G ，使DG BE =，连接AG ．先证明ADG ABE ≅△△，可得AE=AG ，再证明AEF AGF ≅△△，可得EF=GF ，进而得出EF BE DF =+．即可解题；（2）成立，证明方法同（1）：延长FD 到点G ，使DG BE =，连接AG ．先证明ADG ABE ≅△△，可得AE=AG ，再证明AEF AGF ≅△△，可得EF=GF ，进而得出EF BE DF =+．即可解题；（3）正确，证明方法同（2）：延长FD 到点G ，使DG BE =，连接AG ．先证明ADG ABE ≅△△，可得AE=AG ，再证明AEF AGF ≅△△，可得EF=GF ，进而得出EF BE DF =+．即可解题．【详解】解：（1）正确．理由：如图1，延长FD 到点G ，使DG BE =，连接AG ．∵90B ADF ︒∠=∠=，∴90ADG ADF B ∠=∠=∠=︒，在△ABE 和△ADG 中，∵DG BE AB AD =⎧⎪=⎨⎪=⎩∠B ∠ADG ， ∴△ABE ≌△ADG （SAS ），∴AE=AG ，∠BAE=∠DAG ，∵120BAD ︒∠=，60EAF ︒∠=，∴∠EAF =12∠BAD ， ∴∠GAF=∠DAG+∠DAF=∠BAE+∠DAF=∠BAD-∠EAF=∠EAF ， ∴∠EAF=∠GAF ，在△AEF 和△AGF 中，∵AE AG EAF GAF AF AF =⎧⎪=⎨⎪=⎩∠∠， ∴△AEF ≌△AGF （SAS ），∴EF=GF ，∵GF=DG+DF=BE+DF ，∴EF BE DF =+；（2）（1）题中的结论依然成立；理由：如图2，延长FD 到点G ，使DG BE =，连接AG ．∵110ADF ︒∠=，70B ︒∠=，∴18011070ADG B ∠=︒-︒=︒=∠，在△ABE 和△ADG 中，∵DG BE AB AD =⎧⎪=⎨⎪=⎩∠B ∠ADG ， ∴△ABE ≌△ADG （SAS ），∴AE=AG ，∠BAE=∠DAG ，∵100BAD ∠=︒，50EAF ∠=︒，∴∠EAF =12∠BAD ， ∴∠GAF=∠DAG+∠DAF=∠BAE+∠DAF=∠BAD-∠EAF=∠EAF ， ∴∠EAF=∠GAF ，在△AEF 和△AGF 中，∵AE AG EAF GAF AF AF =⎧⎪=⎨⎪=⎩∠∠， ∴△AEF ≌△AGF （SAS ），∴EF=GF ，∵GF=DG+DF=BE+DF ，∴EF BE DF =+；（3）正确，理由：如图3，延长FD 到点G ，使DG BE =，连接AG ．∵180B ADF ︒∠+∠=，180ADG ADF ∠+∠=︒， ∴ADG B ∠=∠，在△ABE 和△ADG 中，∵DG BE AB AD =⎧⎪=⎨⎪=⎩∠B ∠ADG ， ∴△ABE ≌△ADG （SAS ），∴AE=AG ，∠BAE=∠DAG ，∵∠EAF =12∠BAD ， ∴∠GAF=∠DAG+∠DAF=∠BAE+∠DAF=∠BAD-∠EAF=∠EAF ， ∴∠EAF=∠GAF ，在△AEF 和△AGF 中，∵AE AG EAF GAF AF AF =⎧⎪=⎨⎪=⎩∠∠， ∴△AEF ≌△AGF （SAS ），∴EF=GF ，∵GF=DG+DF=BE+DF ，∴EF BE DF =+．【点睛】本题是三角形的综合题，考查了全等三角形的判定和性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是本题的关键．23．（1）补全如图所示见解析；CD BC AD =+；（2）成立，证明见解析；（3）点B 的坐标为()1,2-．【分析】（1）依题意补全图，易证△AOD ≌△OBC ，则有AD =CO ，OD =BC ，从而可得CD BC AD =+；（2）利用三角形内角和易证23∠∠=，再证明BCO ODA ≌，同（1）即可证明结论；（3）过B 、C 两点作y 轴垂线，构造如（1）图形，即可得三角形全等，再将线段关系即可求出点B 坐标．【详解】（1）补全图1如图所示，CD BC AD =+；证明：∵90AOB ∠=︒，BC ⊥直线l ，AD ⊥ 直线l ，∴∠BCO =∠ODA =90°，∴∠BOC +∠OBC =90°，又∵90AOB ∠=︒，∴∠BOC +∠AOD =90°，∴∠OBC =∠AOD ，在△AOD 和△OBC 中BCO ODA OBC AOD BO AO ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△AOD ≌△OBC （AAS ）∴AD =CO ，OD =BC ，∵CD OD CO =+，∴CD BC AD =+．（2）成立．证明：如图，∵12180BOA ∠+∠=︒-∠，13180BOA ∠+∠=︒-∠，BOA BCO ∠=∠ ∴23∠∠=在BCO 和ODA 中32BCO ODA BO OA ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴BCO ODA ≌（AAS ）∴BC OD =，CO AD =∴CD CO OD AD BC =+=+（3）点B 的坐标为()1,2-．过程如下：过B 、C 两点作y 轴垂线，垂足分别为M 、N ，同理（1）可得，CN =AM ，AN =MB ，∵点A 的坐标为(0,1)，点C 的坐标为()3,2，∴CN =AM =3，ON =2，OA =1,∴MB =AN =ON -OA =1，OM =AM -OA =2，∵点B 在第四象限，∴点B 坐标为：()1,2-．【点睛】主要考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质、图形与坐标变换，构造出全等三角形是解本题的关键．24． 1.5cm DE =．【分析】根据垂直定义求出∠BEC ＝∠ACB ＝∠ADC ，根据等式性质求出∠ACD ＝∠CBE ，根据AAS 证明△BCE ≌△CAD ；根据全等三角形的对应边相等得到AD ＝CE ，BE ＝CD ，利用DE ＝CE−CD ，即可解答．【详解】AD CE ⊥,BE CE ⊥90ADC CEB ∴∠=∠=︒90BCE CBE ∴∠+∠=︒又90ACB ∠=︒90BCE ACD ∴∠+∠=︒CBE ACD ∴=∠在ACD △和CBE △中ADC CEB ACD CBE AC BC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩()AAS ACD CBE ∴△≌△CD BE ∴=,AD CE =又 2.5cm AD =,1cm BE =2.5cm CE ∴=,1cm =CD2.51 1.5cm DE CE CD ∴=-=-=．【点睛】本题考查了全等三角形的性质和判定，垂线的定义等知识点的应用，解此题的关键是推出证明ACD CBE ∴≌的三个条件．25．见解析【分析】由AD BE =，得AB=DE ，由//BC EF ，得ABC E ∠=∠，根据SAS 可证．【详解】证明：∵AD BE =，∴AD BD BE BD +=+，∴AB DE =，∵//BC EF ，∴ABC E ∠=∠，在ABC 和DEF 中，AB DE ABC E BC EF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴()ABC DEF SAS ≌．【点睛】本题考查了用“边角边”定理判断两个三角形全等，解题关键是挖掘题目隐含的全等条件，根据判定定理证明．26．（1）a＞b＞c；（2）见解析【分析】（1）a、b、c两两作差可得出a、b、c之间的大小关系；（2）对于任意一个三角形的三边a，b，c，满足任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．【详解】（1）∵a-b=m2+n2-m2=n2＞0；a-c=m2+n2-mn=（m-n）2+mn＞0；b-c= m2-mn=m（m-n）＞0∴a＞b＞c；（2）由（1）a＞b＞c可得，a+b＞c∵a-b= m2+n2-m2=n2＜mn∴a-b＜c∴以a、b、c为边长的三角形一定存在．【点睛】本题主要考查了利用差比法比较代数式的大小和用三角形三边关系证明三角形的存在．。

初中数学《第11章三角形》单元综合质量检测考试卷及答案 (新版)新部编版

xx学校xx学年xx学期xx试卷姓名:_____________ 年级:____________ 学号:______________题型选择题填空题简答题xx题xx题xx题总分得分一、xx题（每空xx 分，共xx分）试题1:下列各组线段，能组成三角形的是（）A、2 cm，3 cm，5 cmB、5 cm，6 cm，10cmC、1cm，1 cm，3 cmD、3 cm，4 cm，8 cm试题2:在一个三角形中，一个外角是其相邻内角的3倍，那么这个外角是（）A、150°B、135°C、120°D、100°试题3:如图4，△ABC中，AD为△ABC的角平分线，BE为△ABC的高，∠C=70°，∠ABC=48°，那么∠3是（）A、59°B、60°C、56°D、22°试题4:在下列条件中：①∠A+∠B=∠C;②∠A:∠B∠:∠C=1:2:3;③∠A=90°－∠B;④∠A=∠B=∠C,能确定△ABC是直角三角形的条件有（）个.A.1B.2C.3D.4评卷人得分坐标平面内下列个点中，在坐标轴上的是（）A.（3,3）B.（-3,0）C.（-1,2）D.（-2，-3）试题6:将某图中的横坐标都减去2，纵坐标不变，则该图形（）A. 向上平移2个单位B. 向下平移2个单位C. 向右平移2个单位D. 向左平移2个单位试题7:点P（x,y）在第三象限，且点P到x轴、y轴的距离分别为5,3，则P点的坐标为（）A.（-5,3） B.(3，-5) C.(-3，-5) D.（5，-3）试题8:如图6，如果AB∥CD，那么下面说法错误的是（）A．∠3=∠7； B．∠2=∠6C、∠3+∠4+∠5+∠6=1800D、∠4=∠8试题9:如图1，△ABC中，AD⊥BC，AE平分∠BAC，∠B=70°，∠C=34°，则∠DAE= 度。

(常考题)人教版初中数学八年级数学上册第二单元《全等三角形》测试卷(答案解析)(1)

一、选择题1．如图O 是ABC 内的一点，且O 到三边AB 、BC 、CA 的距离==OF OD OE ．若70A ∠=︒，则BOC ∠（）．A ．125°B ．135°C ．105°D ．100°2．如图，在ABC 中，AD BC ⊥于D ，CE AB ⊥于E ，AD 与CE 交于点F ．请你添加一个适当的条件，使AEF ≌CEB △．下列添加的条件不正确的是（）A ．EF EB =B ．EA EC = C ．AF CB =D ．AFE B ∠=∠ 3．如图，ABC 的面积为26cm ，AP 垂直B 的平分线BP 于P ，则PBC 的面积为（）A ．21cmB ．22cmC ．23cmD ．24cm 4．如图，ABC 和DEF 中，∠A=∠D ，∠C=∠F ，要使ABC DEF ≅，还需增加的条件是（）A ．AB=EFB ．AC=DFC ．∠B=∠ED ．CB=DE 5．用三角尺画角平分线：如图，先在AOB ∠的两边分别取OM ON =，再分别过点M ，N 作OA ，OB 的垂线，交点为P ．得到OP 平分AOB ∠的依据是（）A ．HLB ．SSSC ．SASD ．ASA 6．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，BC ＝5cm ，在AC 上取一点E ，使EC ＝BC ，过点E 作EF ⊥AC ，连接CF ，使CF ＝AB ，若EF ＝12cm ，则下列结论不正确的是（）A ．∠F ＝∠BCFB ．AE ＝7cmC ．EF 平分ABD ．AB ⊥CF 7．下列各命题中，假命题是（）A ．有两边及其中一边上的中线对应相等的两个三角形全等B ．有两边及第三边上高对应相等的两个三角形全等C ．有两角及其中一角的平分线对应相等的两三角形全等D ．有两边及第三边上的中线对应相等的两三角形全等8．如图，点D 在线段BC 上，若1802ACE ABC x ∠=︒-∠-︒，且BC DE =，AC DC =，AB EC =，则下列角中，大小为x ︒的角是( )A ．EFC ∠B ．ABC ∠ C ．FDC ∠D ．DFC ∠ 9．如图，OB 平分∠MON ，A 为OB 的中点，AE ⊥ON ，EA=3，D 为OM 上的一个动点，C 是DA 延长线与BC 的交点，BC //OM ，则CD 的最小值是（）A ．6B ．8C ．10D ．1210．根据下列条件，能画出唯一ABC 的是（）A ．3AB =，4BC =，7CA =B ．4AC =，6BC =，60A ∠=︒ C ．45A ∠=︒，60B ∠=︒，75C ∠=︒D ．5AB =，4BC =，90C ∠=︒ 11．如图，在下列条件中，不能判断△ABD ≌△BAC 的条件是（）A ．∠D=∠C ， ∠BAD=∠ABCB ．BD=AC ， ∠BAD=∠ABC C ．∠BAD=∠ABC ， ∠BAD=∠ABCD ．AD=BC ，BD=AC 12．如图，要判定△ABD ≌△ACD ，已知AB ＝AC ，若再增加下列条件中的一个，仍不能说明全等，则这个条件是（）A ．CD ⊥AD ，BD ⊥ADB ．CD ＝BDC ．∠1＝∠2D ．∠CAD ＝∠B AD二、填空题13．如图所示，在ABC 中，D 是BC 的中点，点A 、F 、D 、E 在同一直线上．请添加一个条件，使BDE CDF ≌（不再添其他线段，不再标注或使用其他字母），并给出证明．你添加的条件是______14．如图，在Rt ABC △中，90C ∠=︒，10AC =，5BC =，线段PQ AB =，P ，Q两点分别在线段AC 和过点A 且垂直于AC 的射线AD 上运动，当AQ =______时，ABC 和PQA △全等．15．如图，AB 与CD 相交于点O ，OC ＝OD ．若要得到△AOC ≌△BOD ，则应添加的条件是__________．（写出一种情况即可）16．如图，AC//BD ，OA ，OB 分别平分BAC ∠和ABD ∠，OE AB ⊥，垂足为E ，如果OE 5=，那么AC 与BD 的距离是________17．在ABC 中，48ABC ︒∠=，点D 在BC 边上，且满足18,BAD DC AB ︒∠==，则CAD ∠=________度． 18．如图所示，AB AC =，AD AE =，BAC DAE ∠=∠，点D 在线段BE 上．若125∠=︒，230∠=︒，则3∠=______．19．如图，△ABC 的外角∠MBC 和∠NCB 的平分线BP 、CP 相交于点P ，PE ⊥BC 于E 且PE ＝3cm ，若△ABC 的周长为14cm ，S △BPC ＝7.5，则△ABC 的面积为______cm 2．20．如图，在ABC 中，60BAC ∠=︒，BAC ∠的平分线AD 与边BC 的垂直平分线MD 相交于点D ，DE AB ⊥交AB 的延长线于点E ，DF AC ⊥于点F ，现有下列结论：①120EDF ∠=︒；②DM 平分EDF ∠；③DE DF AD +=；④2AB AC AE +>；其中正确的有________(请将正确结论的序号填写在横线上)．三、解答题21．如图，点A 、D 、B 、E 在一条直线上，BC 与DF 交于点G ，AD BE =，//BC EF ，BC EF =．求证：ABC DEF △≌△．22．在Rt ABC △中，90C ∠=︒，8cm AC =，6cm BC =，点D 在AC 上，且6cm AD =，过点A 作射线AE AC ⊥（AE 与BC 在AC 同侧），若点P 从点A 出发，沿射线AE 匀速运动，运动速度为1cm/s ，设点P 运动时间为t 秒．连结PD 、BD ．（1）如图①，当PD BD ⊥时，求证：PDA DBC △≌△；（2）如图②，当PD AB ⊥于点F 时，求此时t 的值．23．如图，点B 、E 、C 、F 在同一条直线上，A D ∠=∠，//AB DE ，BE CF =．求证：//AC DF ．24．求证：全等三角形对应边上的中线相等．（根据图形写出已知，求证并完成证明）25．已知：如图，AOB ∠．求作： A O B '''∠，使A O B AOB '''∠=∠．作法：①以点O 为圆心，任意长为半径画弧，分别交OA ,OB 于点C ,D ；②画一条射线O A ''，以点O '为圆心，OC 长为半径画弧，交O A ''于点C '； ③以点C '为圆心，CD 长为半径画弧，与②中所画的弧相交于点D ；④过点D 画射线O B ''，则A O B AOB '''∠=∠；A OB '''∠就是所求作的角．（1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）；（2）完成下面的证明证明：连接C D ''．由作法可知OC O C ''=, ，，∴COD C O D '''≅．（）（填推理依据）．∴A O B AOB '''∠=∠．∴A O B '''∠就是所求作的角．26．已知：如图，AB ＝ AD ．请添加一个条件使得△ABC ≌△ADC ，然后再加以证明．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．A解析：A【分析】根据到角的两边距离相等的点在角的平分线上判断出点O 是三角形三条角平分线的交点，再根据三角形的内角和定理求出∠ABC+∠ACB ，然后求出∠OBC+∠OCB ，再利用三角形的内角和定理列式计算即可得解．【详解】解：∵O 到三边AB 、BC 、CA 的距离OF=OD=OE ，∴点O 是三角形三条角平分线的交点，∵∠BAC=70°，∴∠ABC+∠ACB=180°-70°=110°，∴∠OBC+∠OCB= 12（∠ABC+∠ACB ）= 12×110°=55°，在△OBC 中，∠BOC=180°-（∠OBC+∠OCB ）=180°-55°=125°．故选：A ．【点睛】本题考查了角平分线判定定理，三角形的内角和定理，要注意整体思想的利用． 2．D解析：D【分析】根据垂直关系，可以判断△AEF 与△CEB 有两对角相等，就只需要添加一对边相等就可以了．【详解】解：∵AD ⊥BC ，CE ⊥AB ，垂足分别为D 、E ，∴∠AEF=∠CEB=90°，∠ADB=∠ADC=90°，∴∠EAF+∠B=90°，∠BCE+∠B=90°，∴∠EAF=∠BCE ．A.在Rt △AEF 和Rt △CEB 中AEF CEB EAF BCE EF EB ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴AEF ≌CEB △（AAS ），故正确；B.在Rt △AEF 和Rt △CEB 中 AEF CEB EA ECEAF BCE ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴AEF ≌CEB △（ASA ），故正确；C.在Rt △AEF 和Rt △CEB 中 AEF CEB EAF BCE AF CB ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴AEF ≌CEB △（AAS ），故正确；D.在Rt △AEF 和Rt △CEB 中由AEF CEB EAF BCE AFB B ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪∠=∠⎩不能证明AEF ≌CEB △，故不正确；故选D ．【点睛】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS 、SAS 、ASA 、AAS 、HL ．添加时注意：AAA 、SSA 不能判定两个三角形全等，不能添加，根据已知结合图形及判定方法选择条件是正确解答本题的关键．3．C解析：C【分析】延长AP 交BC 于E ，根据AP 垂直∠B 的平分线BP 于P ，即可求出△ABP ≌△BEP ，又知△APC 和△CPE 等底同高，可以证明两三角形面积相等，即可证明三角形PBC 的面积．【详解】解：延长AP 交BC 于E ，∵AP 垂直∠B 的平分线BP 于P ，∴∠ABP =∠EBP ，∠APB =∠BPE =90∘，在△APB 和△EPB 中∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩APB EPB BP BPABP EBP ∴△APB ≌△EPB (ASA )，∴APB EPB S S =△△，AP =PE ，∴△APC 和△CPE 等底同高，∴APC PCE S S =,∴PBC PCE PCE S S S =+△△△=12ABC S =1632⨯= 故选C ．【点睛】本题考查了三角形的面积和全等三角形的性质和判定的应用，关键是求出PBC PCE PCE S S S =+△△△=12ABC S ．4．B解析：B【分析】根据AAS 定理或ASA 定理即可得．【详解】在ABC 和DEF 中，,A C F D ∠∠∠=∠=，∴要使ABC DEF ≅，只需增加一组对应边相等即可，即需增加的条件是AB DE =或AC DF =或BC EF =，观察四个选项可知，只有选项B 符合，故选：B ．【点睛】本题考查了三角形全等的判定定理，熟练掌握三角形全等的判定定理是解题关键． 5．A解析：A【分析】利用垂直得到90PMO PNO ∠=∠=，再由OM ON =，OP OP =即可根据HL 证明()HL ≌PMO PNO △△，由此得到答案.【详解】∵PM OA ⊥，PN OB ⊥，∴90PMO PNO ∠=∠=．∵OM ON =，OP OP =，∴()HL ≌PMO PNO △△， ∴POA POB ∠=∠，故选：A ．【点睛】此题考查三角形全等的判定定理：SSS 、SAS 、ASA 、AAS 、HL ，根据题中的已知条件确定对应相等的边或角，由此利用以上五种方法中的任意一种证明两个三角形全等. 6．C解析：C证明EF ∥BC 即可得到A 正确，证明()Rt ACB Rt FEC HL ≅，得AC ＝EF ＝12cm ，CE ＝BC ＝5cm ，得到B 正确，根据∠A ＋∠ACD ＝∠F ＋∠ACD ＝90°即可证明D 正确．【详解】解：∵EF ⊥AC ，∠ACB ＝90°，∴∠AEF ＝∠ACB ＝90°，∴EF ∥BC ，∴∠F ＝∠BCF ，故A 正确；在Rt ACB 和Rt FEC 中，CB EC AB FC =⎧⎨=⎩， ∴()Rt ACB Rt FEC HL ≅，∴AC ＝EF ＝12cm ，∵CE ＝BC ＝5cm ，∴AE ＝AC ﹣CE ＝7cm ．故B 正确；如图，记AB 与EF 交于点G ，如果AE ＝CE ，∵EF ∥BC ，∴EG 是△ABC 的中位线，∴EF 平分AB ，而AE 与CE 不一定相等，∴不能证明EF 平分AB ，故C 错误；∵Rt ACB Rt FEC ≅，∴∠A ＝∠F ，∴∠A ＋∠ACD ＝∠F ＋∠ACD ＝90°，∴∠ADC ＝90°，∴AB ⊥CF ，故D 正确．∴结论不正确的是C ．故选：C ．【点睛】本题考查全等三角形的性质和判定，解题的关键是掌握全等三角形的性质和判定定理． 7．B【分析】根据全等三角形的判定定理进行证明并依次判断．【详解】解：A 、有两边及其中一边上的中线对应相等的两个三角形全等，可利用证两步全等的方法求得，是真命题；B 、高有可能在内部，也有可能在外部，是不确定的，不符合全等的条件，原命题是假命题；C 、有两角及其中一角的平分线对应相等的两三角形全等，可利用证两步全等的方法求得，是真命题；D 、有两边及第三边上的中线对应相等的两三角形全等，可利用证两步全等的方法求得，是真命题；故选：B ．【点睛】此题考查全等三角形的判定定理：SSS 、SAS 、ASA 、AAS 、HL ，灵活判定命题真假，熟记定理并灵活应用解决问题是解题的关键．8．C解析：C【分析】先证明()ABC CED SSS ∆≅∆得到B E ∠=∠、FCD FDC ∠=∠，再根据1802ACE ABC x ∠=︒-∠-︒可得2CFE x ∠=︒；然后根据外角的性质可得2EFC FDC FCD FDC ∠=∠+∠=∠即可解答．【详解】解：在ABC ∆和CED ∆中，AC CD AB CE BC ED =⎧⎪=⎨⎪=⎩，()ABC CED SSS ∴∆≅∆，B E ∴∠=∠，FCD FDC ∠=∠1802180ACE ABC x E CFE ∠=︒-∠-︒=︒-∠-∠，2CFE x ∴∠=︒，2EFC FDC FCD FDC ∠=∠+∠=∠=2x ︒，FDC x ∴∠=︒．故答案为C ．【点睛】本题主要考查全等三角形的判定和性质、三角形的外角的性质等知识，弄清题意、理清角之间的关系是解答本题的关键．9．A【分析】根据两条平行线之间的距离可知当CD ⊥OM 时，CD 取最小值，先利用角平分线的性质得出AD =AE =3，利用全等三角形的判定和性质得出AC =AD =AE =3，进而解答即可．【详解】解：由题意得，当CD ⊥OM 时，CD 取最小值，∵OB 平分∠MON ，AE ⊥ON 于点E ，CD ⊥OM ，∴AD =AE =3，∵BC ∥OM ，∴∠DOA =∠B ，∵A 为OB 中点，∴AB =AO ，在△ADO 与△ABC 中B DOA AB AO BAC DAO ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴△ADO ≌△ABC (SAS ),∴AC =AD =3，∴336CD AC AD =+=+=，故选A ．【点睛】此题考查角平分线的性质、全等三角形的判定和性质、平行线之间的距离，关键是利用全等三角形的判定和性质得出AC =AD =AE =3．10．D解析：D【分析】利用构成三角形的条件，以及全等三角形的判定得解.【详解】解：A ，AB BC CA +=，不满足三边关系，不能画出三角形，故选项错误； B ，不满足三角形全等的判定，不能画出唯一的三角形，故选项错误；C ，不满足三角形全等的判定，不能画出唯一的三角形，故选项错误；D ，可以利用直角三角形全等判定定理HL 证明三角形全等，故选项正确.故选:D【点睛】本题考查三角形全等的判定以及构成三角形的条件，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定方法.11．B解析：B本题已知条件是两个三角形有一公共边，只要再加另外两边对应相等或有两角对应相等即可，如果所加条件是一边和一角对应相等，则所加角必须是所加边和公共边的夹角对应相等才能判定两个三角形全等；【详解】A、符合AAS，能判断两个三角形全等，故该选项不符合题意；B、符合SSA，∠BAD和∠ABC不是两条边的夹角，不能判断两个三角形全等，故该选项符合题意；C、符合AAS，能判断两个三角形全等，故该选项不符合题意；D、符合SSS，能判断两个三角形全等，故该选项不符合题意；故选：B．【点睛】本题考查了全等三角形的判定方法，三角形判定定理中，最容易出错的是“边角边”定理，这里强调的是夹角，不是任意角；12．C解析：C【分析】在△ACD和△ABD中，AD=AD，AB=AC，由全等三角形判定定理对选项一一分析，排除不符合题意的选项即可．【详解】解：添加A选项中条件可用HL判定两个三角形全等，故选项A不符合题意；添加B选项中的条件可用SSS判定两个三角形全等，故选项B不符合题意；添加C选项中的条件∠1＝∠2可得∠CDA=∠BDA，结合已知条件不SS判定两个三角形全等，故选项C符合题意；添加D选项中的条件可用SAS判定两个三角形全等，故选项D不符合题意．故选：C．【点睛】本题考查了全等三角形的判定，判定三角形全等的方法：SSS、SAS、ASA、AAS，判断直角三角形全等的方法：“HL”．二、填空题13．ED=FD（答案不唯一∠E=∠CFD或∠DBE=∠DCF）【分析】根据三角形全等的判定方法SAS或AAS或ASA定理添加条件然后证明即可【详解】解：∵D是的中点∴BD=DC①若添加ED=FD在△BD解析：ED=FD（答案不唯一，∠E=∠CFD或∠DBE=∠DCF）【分析】根据三角形全等的判定方法SAS或AAS或ASA定理添加条件，然后证明即可．【详解】解：∵D是BC的中点，∴BD=DC①若添加ED=FD在△BDE和△CDF中，BD CDBDE CDF ED FD=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△BDE≌△CDF（SAS）；②若添加∠E=∠CFD在△BDE和△CDF中，BDE CDFE CFDBD CD∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△BDE≌△CDF（AAS）；③若添加∠DBE=∠DCF在△BDE和△CDF中，BDE CDF BD CDDBE DCF ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴△BDE≌△CDF（ASA）；故答案为：ED=FD（答案不唯一，∠E=∠CFD或∠DBE=∠DCF）．【点睛】本题考查了全等三角形的判定，熟练掌握三角形全等的判定方法是解题的关键．14．5或10【分析】分两种情况：当AQ=5时当AQ=10时利用全等三角形的判定及性质定理得到结论【详解】分两种情况：当AQ=5时∵∴AQ=BC∵AD⊥AC∴∠QAP=∠ACB=∵AB=PQ∴≌△PQA（解析：5或10【分析】分两种情况：当AQ=5时，当AQ=10时，利用全等三角形的判定及性质定理得到结论．【详解】分两种情况：当AQ=5时，∵5BC=，∴AQ=BC，∵AD⊥AC，∴∠QAP=∠ACB=90︒，∵AB=PQ，∴ABC≌△PQA（HL）；当AQ=10时，∵10AC=，∴AQ=AC ，∵AD ⊥AC ，∴∠QAP=∠ACB=90︒，∵AB=PQ ，∴△ABC ≌△QPA ，故答案为：5或10．【点睛】此题考查全等三角形的判定及性质定理，运用分类思想，动点问题，熟记三角形的判定定理及性质定理是解题的关键．15．OA=OB （答案不唯一）【分析】全等三角形的判定方法有SASASAAASSSS 只要添加一个符合的条件即可【详解】解：OA=OB 理由是：在△AOC 和△BOD 中∴△AOC ≌△BOD （SAS ）故答案为：O解析：OA=OB ．（答案不唯一）【分析】全等三角形的判定方法有SAS ，ASA ，AAS ，SSS ，只要添加一个符合的条件即可．【详解】解：OA=OB ，理由是：在△AOC 和△BOD 中，OA OB AOC BOD OC OD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△AOC ≌△BOD （SAS ）．故答案为：OA=OB ．（答案不唯一）【点睛】本题考查了全等三角形的判定的应用，通过做此题培养了学生的发散思维能力和对全等三角形的判定方法的灵活运用能力，题目答案不唯一，是一道比较好的题目．16．【分析】过点作于作于利用平行线的性质可证得OM ⊥BD 进而可证得MN 为AC 和BD 的距离根据角平分线的性质可知OE=OM=OE 即可求得MN 的长度【详解】解：如图过点作于作于∵分别平分和∴又∥∴又∴三点共解析：10【分析】过点O 作OM AC ⊥于M ，作ON BD ⊥于N ，利用平行线的性质可证得OM ⊥BD ，进而可证得MN 为AC 和BD 的距离，根据角平分线的性质可知OE=OM=OE ，即可求得MN 的长度．【详解】解：如图，过点O 作OM AC ⊥于M ，作ON BD ⊥于N ．∵OA 、OB 分别平分BAC ∠和ABD ∠，OE AB ⊥，∴OM OE ON 5===，又 AC ∥BD ，OM AC ⊥，∴OM BD ⊥，又ON BD ⊥，∴M ，O ，N 三点共线，∴ AC 与BD 之间的距离为MN=OM ON 10+=．故答案为：10．【点睛】本题考查求平行线间的距离、角平分线的性质、八个基本事实，熟练掌握角平分线的性质，作出AC 和BD 之间的距离是解答的关键．17．66【分析】在线段CD 上取点E 使CE=BD 再证明△ADB ≅△AEC 即可求出【详解】在线段DC 取点ECE=BD 连接AE ∵CE=BD ∴BE=CD ∵AB=CD ∴AB=BE ∠BAE=∠BEA=（180°-4解析：66【分析】在线段CD 上取点E 使CE =BD ，再证明△ADB ≅△AEC 即可求出．【详解】在线段DC 取点E ，CE =BD ，连接AE ，∵CE =BD ，∴BE =CD ，∵AB =CD ，∴AB =BE ，∠BAE =∠BEA =（180°-48°）÷2=66°，∴∠DAE =48° ，∠AED =66°，∴△ADB ≅△AEC ，∴∠BAD =∠CAE =18°，∴∠CAD =∠DAE +∠CAE =66°．故答案为：66．【点睛】本题考察了全等三角形的证明和三角形内角和定理，解题的关键是做出辅助线找到全等三角形．18．55°【分析】先证明△ABD ≌△ACE （SAS ）；再利用全等三角形的性质：对应角相等求得∠2=∠ABE ；最后根据三角形内角与外角的性质即可求出答案【详解】∵∴∠1+∠CAD=∠CAE+∠CAD ∴∠1解析：55°【分析】先证明△ABD ≌△ACE （SAS ）；再利用全等三角形的性质：对应角相等，求得∠2=∠ABE ；最后根据三角形内角与外角的性质即可求出答案．【详解】∵BAC DAE ∠=∠，∴∠1+∠CAD=∠CAE+∠CAD ，∴∠1=∠CAE ；在△ABD 与△ACE 中，1AD AE CAE AB AC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ABD ≌△ACE （SAS ）；∴∠2=∠ABE ；∵∠3=∠ABE+∠1=∠1+∠2，∠1=25°，∠2=30°，∴∠3=55°．故答案为：55°．【点睛】本题考查了全等三角形的判定及性质，三角形的外角性质；将所求的角与已知角通过全等及内角、外角之间的关系联系起来是解答此题的关键．19．6【分析】过点P 作PH ⊥AMPQ ⊥AN 连接AP 根据角平分线上的点到角两边的距离相等可得PH=PE=PQ 再根据三角形的面积求出BC 然后求出AC+AB 再根据S △ABC=S △ACP+S △ABP-S △BPC解析：6【分析】过点P 作PH ⊥AM ，PQ ⊥AN,连接AP ，根据角平分线上的点到角两边的距离相等可得PH=PE=PQ ，再根据三角形的面积求出BC ，然后求出AC+AB ，再根据S △ABC= S △ACP+ S △ABP -S △BPC 即可得解.【详解】解：如图，过点P 作PH ⊥AM ，PQ ⊥AN ，连接AP∵BP 和CP 为∠MBC 和∠NCB 角平分线∴PH=PE ，PE=PQ∴PH=PE=PQ=3∵S △BPC=12×BC×PE=7.5 ∴BC=5∵S △ABC= S △ACP+ S △ABP -S △BPC =12×AC×PQ+12×AB×PH-7.5 =12×3（AC+AB ）-7.5 ∵AC+AB+BC=14，BC=5∴AC+AB=9∴S △ABC=12×3×9-7.5=6 cm 2 【点睛】本题考查了角平分线上点到角的两边距离相等的性质，三角形的面积，熟记性质是解题的关键，难点在于S △ABC 的面积的表示．20．①③【分析】由四边形内角和定理可求出；若DM 平分∠EDF 则∠EDM=60°从而得到∠ABC 为等边三角形条件不足不能确定故②错误；由题意可知∠EAD=∠FAD=30°故此可知ED=ADDF=AD 从而可解析：①③【分析】由四边形内角和定理可求出120EDF ∠=︒；若DM 平分∠EDF ，则∠EDM=60°，从而得到∠ABC 为等边三角形，条件不足，不能确定，故②错误；由题意可知∠EAD=∠FAD=30°，故此可知ED=12AD ，DF=12AD ，从而可证明③正确；连接BD 、DC ，然后证明△EBD ≌△CFD ，从而得到BE=FC ，从而可得AB+AC=2AE ，故可判断④．【详解】解：如图所示：连接BD 、DC ．（1）∵DE AB ⊥，DF AC ⊥，∴∠AED=∠AFD=90°，∵∠EAF=60°，∠EAF+∠AED+∠AFD+∠EDF=360°∴∠EDF=360°-∠EAF-∠AED-∠AFD=360°-60°-90°-90°=120°，故①正确；②由题意可知：∠EDA=∠ADF=60°．假设MD 平分∠EDF ，则∠ADM=30°．则∠EDM=60°，又∵∠E=∠BMD=90°，∴∠EBM=120°．∴∠ABC=60°．∵∠ABC 是否等于60°不知道，∴不能判定MD 平分∠EDF ，故②错误；③∵∠EAC=60°，AD 平分∠BAC ，∴∠EAD=∠FAD=30°．∵DE ⊥AB ，∴∠AED=90°．∵∠AED=90°，∠EAD=30°，∴ED=12AD ．同理：DF=12AD ． ∴DE+DF=AD ．故③正确．④∵DM 是BC 的垂直平分线，∴DB=DC ．在Rt △BED 和Rt △CFD 中DE DF BD DC ⎧⎨⎩＝＝， ∴Rt △BED ≌Rt △CFD ．∴BE=FC ．∴AB+AC=AE-BE+AF+FC又∵AE=AF ，BE=FC ，∴AB+AC=2AE ．故④错误．因此正确的结论是：①③，故答案为：①③．【点睛】本题主要考查的是全等三角形的性质和判定、角平分线的性质、线段垂直平分线的性质以及四边形的内角和等知识，掌握本题的辅助线的作法是解题的关键．三、解答题21．见解析【分析】由AD BE =，得AB=DE ，由//BC EF ，得ABC E ∠=∠，根据SAS 可证．【详解】证明：∵AD BE =，∴AD BD BE BD +=+，∴AB DE =，∵//BC EF ，∴ABC E ∠=∠，在ABC 和DEF 中，AB DE ABC E BC EF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴()ABC DEF SAS ≌．【点睛】本题考查了用“边角边”定理判断两个三角形全等，解题关键是挖掘题目隐含的全等条件，根据判定定理证明．22．（1）见解析；（2）8秒【分析】（1）根据垂直及角之间的关系证明出PDA CBD ∠=∠，又有90PAD C ∠=∠=︒，=6AD BC =，根据三角形全等的判定定理则可证明PDA DBC △≌△．（2）根据垂直及角之间的关系证明APF DAF ∠=∠，又因为90PAD C ∠=∠=︒，AD BC =，则可证明PAD ACB △≌△，所以8cm AP AC ==，即t=8秒．【详解】（1）证明：PD BD ⊥，90PDB ∴∠=︒，即90BDC PDA ∠+∠=︒又90C ∠=︒，90BDC CBD ∠+∠=︒ PDA CBD ∴∠=∠又AE AC ⊥，90PAD ∴∠=︒90PAD C ∴∠=∠=︒又6cm BC =，6cm AD =AD BC ∴= 在PAD △和DCB 中PAD C AD CBPDA DBC ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩()PDA DBC ASA ∴△≌△（2）PD AB ⊥，90AFD AFP ∴∠=∠=︒，即90PAF APF ∠+∠=︒又AE AC ⊥， 90PAF DAF ∴∠+∠=︒APF DAF ∴∠=∠又90PAD C ∠=∠=︒，AD BC =在APD △和CAB △中APD CAB PAD C AD BC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩()PAD ACB AAS ∴△≌△8cm AP AC ∴==即8t =秒．【点睛】本题主要考查的是全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理，灵活运用角之间的关系是解题关键．23．见解析．【分析】根据//AB DE 可知B DEF ∠=∠，又根据∠A=∠D ，BE=CF 可以判定ABC DEF △≌△，即可求证//AC DF ；【详解】∵//AB DE ，∴B DEF ∠=∠，∵BE CF =，∴BC EF =，∴在ABC 和DEF 中，A DB DEF BC EF ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴ABC DEF △≌△，∴ACB F ∠=∠，∴//AC DF ．【点睛】本题考查了三角形全等的性质与判定的应用以及两直线平行的判定定理，解此题的关键是推出ABC DEF △≌△，注意全等三角形的对应边相等；24．见解析【分析】利用SAS 证明ABD ≌A B D '''△，即可证得结论．【详解】解：已知：如图，ABC ≌A B C '''，AD 和A D ''分别是BC 和B C ''上的中线，求证：AD ＝A D ''．证明：∵ABC ≌A B C '''， ∴AB ＝A B ''，∠B ＝∠B '，BC ＝B C ''，∵AD 、A D ''是 BC 和B C ''上的中线，∴BD ＝12BC ，12B D B C ''''=， ∴BD ＝B D ''，∴在ABD 与A B D '''△中 AB A B B B BD B D =⎧⎪∠=∠⎨⎪=''''⎩' ∴ABD ≌A B D '''△（SAS ），∴AD ＝A D ''．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，证明线段相等的问题，基本的思路是转化成三角形全等．25．（1）补全图形见解析；（2）OD O D ''=，CD C D ''=，SSS ．【分析】（1）根据题意要求作图即可；（2）根据题意利用SSS 证明COD C O D '''≅即可．【详解】(1)作图：(2)连接C D ''，∵OC O C ''=，OD O D ''= ，CD C D ''=，∴COD C O D '''≅（SSS ），∴A O B AOB '''∠=∠．∴A O B '''∠就是所求作的角故答案为：OD O D ''=，CD C D ''=，SSS ．．【点睛】此题考查作图能力—作一个角等于已知角，全等三角形的判定及性质，根据题意画出图形并确定对应相等的条件证明三角形全等是解题的关键．26．BC=CD,证明见解析（答案不唯一）．【分析】已知两组对应边相等，则找另一组边相等或找另一组对应角相等均可证明△ABC ≌△ADC ．【详解】解：若添加条件为：BC=CD,证明如下：在△ABC 和△ADC 中AC AC BC CD AB AD =⎧⎪=⎨⎪=⎩∴△ABC ≌△ADC （SSS ）（答案不唯一）．【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定，灵活运用全等三角形的判定方法是解答本题的关键．。

初中数学三角形的面积问题练习题

第五讲三角形面积问题姓名：班级：学号：1．在△ABC 中，AB =10，BC =12，BC 边上的高AD =8，则△ABC 边AB 上的高为（） A ．8 B ．9.6 C ．10 D ．122．如图所示，AD 是ABC 的高，延长BC 至E ，使CE BC =，ABC 的面积为1S ，ACE 的面积为2S ，那么（ ) A ．12S S > B ．12S S = C ．12S S < D ．不能确定 3．在△ABC 中，AB ＝4，BC ＝8，则△ABC 的高AD 和CE 之比是 .4．已知AD ，BE 分别是ABC 的两条中线，若ABD 的面积为10，则BCE 的面积为（） A ．5 B ．10 C ．15 D ．205．如图, BD 和 DE 分别是△ABC 和△ABD 的中线，若△ABC 的面积为 16cm²，则△EBD 的面积为 ________ cm².6．如图所示，D 是 BC 的中点，E 是 AC 的中点，若 S △ADE ＝1，则 S △ABC ＝__________7．如图，在△ABC 中，D ，E ，F 分别是BC ，AD ，CE 边上的中点，且S △ABC ＝16 cm 2，S △BEF ＝_________．8．如图，△ABC中，AD是BC边上的中线，AE是BC边上的高．若S△ABC＝12，CD＝4，求高AE的长．9．在△ABC中，∠ACB=90°，CD是AB边上的高，AB=13cm，BC=12cm，AC=5cm，（1）求CD的长；（2）若AE是BC边上的中线，求△ABE的面积．10．如图，在△ABC中，∠C＝90°，BC＝8cm，AC＝6cm，点E是BC的中点，动点P从A 点出发，以每秒2cm的速度沿A→C→E运动，最终到达点E．若设点P运动的时间是t秒，那么当t取何值时，△APE的面积等于10？。

初中数学知识归纳三角形的面积与计算

初中数学知识归纳三角形的面积与计算三角形是初中数学中的基础图形之一。

在数学的学习过程中，我们经常会遇到涉及到三角形的面积计算问题。

本文将针对初中数学中三角形的面积计算进行归纳总结，以帮助同学们更好地理解和掌握这一知识点。

一、三角形的基本概念三角形是由三条线段组成的图形，其中任意两条线段之和大于第三条线段。

根据三角形的边长关系，我们可以将三角形分为等边三角形、等腰三角形和普通三角形。

1. 等边三角形：三条边的边长相等的三角形。

2. 等腰三角形：两条边的边长相等的三角形。

3. 普通三角形：三条边的边长都不相等的三角形。

二、三角形的面积计算公式计算三角形的面积需要用到三角形的底长和高。

下面是三角形面积计算的常用公式：1. 根据底长和高计算面积：面积 = 底长 ×高 ÷ 22. 根据两边和夹角计算面积：面积 = 两边之积 ×正弦夹角的正弦值 ÷ 2三、等边三角形的面积计算等边三角形的特点是三条边长相等。

由于等边三角形具有高度相等的性质，所以它的面积计算相对简单。

只需知道等边三角形的边长a，就能快速计算出它的面积。

面积= (a × a) × √3 ÷ 4四、等腰三角形的面积计算等腰三角形的特点是两条边长相等。

计算等腰三角形的面积时，我们需要先计算出底长和高，再代入公式进行计算。

1. 已知底长和高的计算：面积 = 底长 ×高 ÷ 22. 已知两边和夹角的计算：面积 = (底长 ×一条腰) ×正弦夹角的正弦值 ÷ 2五、普通三角形的面积计算普通三角形的面积计算相对来说稍微复杂一些，需要根据给定的条件进行计算。

1. 已知底长和高的计算：面积 = 底长 ×高 ÷ 22. 已知两边和夹角的计算：面积 = (一条边 ×另一条边 ×正弦夹角的正弦值) ÷ 23. 已知三边长的计算：首先根据海伦公式计算半周长s，然后代入下面的公式计算面积。

初中数学三角形测试卷

一、选择题（每题3分，共30分）1. 在下列三角形中，下列说法正确的是（）A. 等腰三角形的底角相等B. 直角三角形的两条直角边相等C. 等边三角形的边长一定相等D. 等腰直角三角形的两条腰相等2. 一个三角形的三个内角分别是30°、60°、90°，则该三角形是（）A. 等腰三角形B. 等边三角形C. 直角三角形D. 梯形3. 一个三角形的两边长分别是5cm和8cm，若第三边长是7cm，则该三角形是（）A. 等腰三角形B. 等边三角形C. 直角三角形D. 梯形4. 在下列图形中，下列说法正确的是（）A. 平行四边形一定是等腰三角形B. 矩形一定是等腰三角形C. 正方形一定是等腰三角形D. 梯形一定是等腰三角形5. 在下列图形中，下列说法正确的是（）A. 等腰三角形一定是直角三角形B. 等边三角形一定是直角三角形C. 直角三角形一定是等腰三角形D. 梯形一定是直角三角形6. 一个三角形的两边长分别是6cm和8cm，若第三边长是10cm，则该三角形是（）A. 等腰三角形B. 等边三角形C. 直角三角形D. 梯形7. 一个三角形的三个内角分别是45°、45°、90°，则该三角形是（）A. 等腰三角形B. 等边三角形C. 直角三角形D. 梯形8. 在下列图形中，下列说法正确的是（）A. 平行四边形一定是等腰三角形B. 矩形一定是等腰三角形C. 正方形一定是等腰三角形D. 梯形一定是等腰三角形9. 在下列图形中，下列说法正确的是（）A. 等腰三角形一定是直角三角形B. 等边三角形一定是直角三角形C. 直角三角形一定是等腰三角形D. 梯形一定是直角三角形10. 一个三角形的两边长分别是4cm和6cm，若第三边长是5cm，则该三角形是（）A. 等腰三角形B. 等边三角形C. 直角三角形D. 梯形二、填空题（每题5分，共20分）11. 一个三角形的三个内角分别是40°、60°、80°，则该三角形的最大内角是_________。

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初中数学三角形面积综合测评题
一、单选题(共 7 道，每道 14 分) 1.现有四根木棒,长度分别为 4cm,6cm,8cm,10cm,从中任取三根木棒,能组成三角形的个数为 () A.1 B.2 C.3 D.4
2.下列说法正确的是( ) ①三角形的三条中线都在三角形内部; ②三角形的三条角平分线都在三角形内部; ③三角形的三条高都在三角形的内部. A.①②③ B.①② C.②③ D.①③
B.66
C.75
D.90
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3.下面四个图形中,线段 BE 是△ ABC 的高的图是( )
A.
B.
C.
D.
4.如图,已知直线 m∥ n,A、B 为直线 n 上的两点,C、P 为直线 m 上的两点,那么图中与△ ABC 面积相等的三角形是( )
A.△ AOC B.△ COP C.△ ABP D.△ CPB 5.在边长为 1 的小正方形组成的网格中,有如图所示的 A,B 两点,在格点上任意放置点 C,恰好能使得△ ABC 的面积为 1,则点 C 的个数为( )
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A.4 B.6 C.8 D.10
6.△ ABC 中,已知点 D,E,F 分别是 BC,AD,CE 边上的中点,且 ()
,则△ BCF 的面积为
A.
B.
C.
D.
7.如图,梯形 ABCD 中,AD∥ BC,△ AOD 和△ DOC 的面积分别为 12 积为( )
和 18,那么梯形的面 NhomakorabeaA.60