最新初中数学三角形综合题目含答案

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初中数学三角形专题训练50题-含答案

初中数学三角形专题训练50题含答案(单选、填空、解答题)一、单选题1．根据下列图中所给定的条件，找出全等的三角形（）A ．①和①B ．①和①C ．①和①D ．①和① 2．在ABC 中，作BC 边上的高，以下作图正确的是（）A ．B ．C ．D ． 3．在ABCD 中，①ABC ＝30°，AB ＝8，AC ＝5，则ABCD 的周长是( )A ．11+B ．10+C ．11++5D ．2210++4．如图，在ABC ∆中，=30A ∠，=50ABC ∠，若EDC ABC ∆≅∆，且,,A C D 在同一条直线上，则=BCE ∠（）A ．20B ．30C ．40D ．50 5．如图，在ABC 中，90,70C B ∠=∠=︒︒，点D 、E 分别在AB AC 、上，将ADE 沿DE 折叠，使点A 落在点F 处．则BDF CEF ∠-∠=（）A．20︒B．30︒C．40︒D．50︒6．，则下列结论正确的是（）A．B．C．D．7．如图，在四边形ABCD中，90⊥，A∠=︒，4AD，连接BD，BD CD=∠=∠．若P是BC边上一动点，则DP长的最小值为（）ADB CA．3B．4C．5D．68．如图，在四边形ABCD中①A＝①C＝90°，AB＝CD＜AD，则下列说法中不正确的是()A．AD①BC B．BC＝CD C．AD＝BC D．AB①CD 9．已知：如图，①ABC中，BD为①ABC的角平分线，且BD＝BC，E为BD延长线上的一点，BE＝BA，过E作EF①AB，F为垂足．下列结论：①①ABD①①EBC；①BE平分①FEC；①AE＝AD＝EC；①S四边形ABCE＝BF×EF．其中正确的个数是（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 10．如图，已知①ABC①①DEF ，若AC ＝22，CF ＝4，则CD 的长是（）A ．22B ．18C ．16D ．411．已知Rt △ABC 的周长是4+，斜边上的中线长是2，则S △ABC 为（） A ．16 B ．8 C ．4 D ．12 12．下列结论中，正确的有（）①①ABC 的三边长分别为a ，b ，c ，若b 2+c 2＝a 2，则①ABC 是直角三角形； ①在Rt①ABC 中，已知两边长分别为6和8，则第三边的长为10；①在①ABC 中，若①A ：①B ：①C ＝1：5：6，则①ABC 是直角三角形；①若三角形的三边长之比为1：2A ．3个B ．2个C ．1个D ．0个 13．如图，AC 与BD 相交于点O ，且OA OC =，OB OD =，则下列结论错误的是()A ．AB CD = B ．AC ∠=∠ C ．//AB CD D ．OA OD = 14．下列说法正确的是（）A ．所有的等边三角形是全等形B ．面积相等的三角形是全等三角形C ．到三角形三边距离相等的点是三边中线的交点D ．到三角形三个顶点距离相等的是三边中垂线的交点15．如图：在①ABC 中，G 是它的重心，AG ①CG ，如果32BG AC ⋅=，则①AGC 的面积的最大值是（）A ．B ．8C ．D ．616．如图，在ABC 中，AB AC =，AF 是①BAC 的角平分线，DE 是边AB 上的中垂线．连接BE 、EF ，若BE AC ⊥，EF FC =，则①BEF 的度数是（）A ．30°B ．20°C ．22.5°D ．15° 17．如图，正方形ABCD 中，E 为BC 的中点，CG DE ⊥于G ，延长BG 交CD 于点F ，延长CG 交BD 于点H ，交AB 于N 下列结论：①DE CN =；①13BH BD =；①3DEC BNH S S ∆∆=；①45BGN ∠=︒；①GN EG +=；其中正确结论的个数有（）A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个二、填空题18．如图，在①ABC 中，①ABC ＝①ACB ，AB 的垂直平分线交AC 于点M ，交AB 于点N ．连接MB ，若AB ＝8，①MBC 的周长是14，则BC 的长为____．19．如图，①ABC中，①ACB=90°，D、E是边AB上两点，且CD垂直平分BE，CE平分①ACD，若BC=2，则AC的长为_______.20．用同样粗细、同种材料的金属线，制作两个全等的①ABC和①DEF．已知①B=①E，若AC边的质量为20千克，则DF边的质量为________千克．21．等边ΔABC的高为3cm，则以AB为边的正方形面积为__________.22．如图所示，AD①BC，BD平分①ABC．若①ABD=30°，①BDC=90°，CD=2，则BC=_______．23．小敏设计了一种挂衣架，在挂衣服的时候可以任意角度收扰两个挂衣杆OA和OB，然后套进衣服后松开即可.如图1，衣架杆OA=OB.如图2，若衣架收拢时衣服领口宽AB=22cm，且①AOB=60°，那么这个衣架杆的长OA=OB=______cm.24．如图，直线EF∥GH，点A在EF上，AC交GH于点B，若∠F AC＝72°，∠ACD ＝58°，点D在H上，则∠BDC的度数为____．25．两根长度分别为3，5的木棒，若想钉一个三角形木架，第三根木棒的长度可以是________．（写一个值即可）26．如图，点C 是线段AB 的中点，DA EC ∥．请你只添加一个条件，使得DAC △①ECB ．（1）你添加的条件是______；（要求：不再添加辅助线，只需填一个答案即可）（2）依据所添条件，判定DAC △与ECB 全等的理由是______．27．如图，在ABC 中，已知AB AC BD ==，215∠=︒，那么1∠的度数为________．28．在①ABC 中，点E 、F 分别为边AB 、AC 上的点，把①ABC 沿EF 翻折，翻折后的图形如图所示．若1+2110∠∠=︒，则A ∠的度数为___________．29．如图，G 为ABC 的重心，AG =12，则AD =__________．30．如图，将月牙①绕点A 按逆时针方向旋转得到月牙①，线段AB 与线段AC 重合，连接BC，过B点作BD①AC于点D，若CD长为3，BC长为AD的长为_____．31．如图，在①ABC中，中线AD、BE交于O，若S△BOD=5，则S△BOA=_____．32．已知一个菱形的周长为24cm，有一个内角为60︒，则较长的一条对角线长为_________cm．33．如图，四边形ABCD中，点P是对角线BD的中点，点E，F分别是AB，CD的中点，AD=BC，①PEF=35°，则①PFE的度数是_____．34．如图，在△ABC中，AD平分△BAC，AD△BD于点D，DE△AC交AB于点E，若AB=8，则DE=_______35．如图，在平行四边形ABCD中，45∠=︒，AAD AB与CD之间的距离为______．36．在直角坐标系中有过点(3,4)A 的反比例函数(0)k y x x=>，在x 轴上有一点(1,0)P ，在反比例函数图象上有一个动点Q ，以PQ 为一边作一个正方形PQRS ，当正方形PQRS 有两个顶点在坐标轴上时，点S 坐标为__________． 37．如图，在①ABC 中，AB=AC ，BC=6，AF①BC 于点F ，BE①AC 于点E ，且点D 是AB 的中点，①DEF 的周长是11，则AB=______．三、解答题38．如图，在①ABC 中，①ACB=90°，①A=30°，AB 的垂直平分线分别交AB 和AC 于点D ，E.(1)求证:AE=2CE ;(2)连接CD ，请判断①BCD 的形状，并说明理由.39．已知：如图，在①ABC 中，AD 平分①BAC ，CE①AD 于点E ，EF①AB 交AC 于点F ．求证：①FEC 是等腰三角形．40．如图，已知ABC 中，,90AC BC ACB =∠=︒，点D 与点E 都在射线AP 上，且CD CE =，90DCE ∠=︒．(1)说明AD BE =的理由；(2)说明BE AE ⊥的理由．41．如图，在△ABC 中，AB BC =，点D 在边AB 上，AE CD ∥，CA 平分①BCE ，连接DE ，交AC 于点F ．(1)求证：四边形ADCE 是平行四边形；(2)当DE BC ∥，10AC =，13BC =时，sin AFD ∠的值为．42．如图，以等腰直角三角形ABC 的斜边AB 为边作等边ABD ∆，连接DC ，以DC 当边作等边DCE ∆，B 、E 在C 、D 的同侧，若AB BE 的长．43．已知：如图，ABC 和CDE 都是等边三角形，且点A 、C 、E 在一条直线上，AD 与BE 相交于点P ，AD 与BC 相交于点M ，BE 与CD 相交于点N ．求证：()1APB 60∠=︒；()2CM CN =．44．已知，如图，在边长为2的等边三角形ABC 中，点D 为直线BC 上的一点（不与点B ，C 重合），连接AD ，将AD 绕点A 逆时针旋转60︒到AE ，连接DE ，过点E 作//EF BC 交直线AB 于点F ．（1）如图1，点D 在线段BC 上，①猜想线段AC ，DC ，CE 之间的数量关系，并说明理由．①求出EF 的长度．（2）如图2，当点D 在BC 的延长线上时，直接写出（1）中的两个结论．45．如图1，在边长为4cm 的等边①ABC 中，点P 从点A 出发沿着AB 以2cm/s 的速度向点B 运动，点Q 从B 点出发沿着BC 以相同的速度向点C 运动，P 、Q 两点同时出发，设运动时间为t 秒．(1)当t =1时，试判断①PBQ 的形状，并说明理由；(2)当PQ ①BC 时，求t 的值；(3)如图2，过点P 作PH ①BC ，垂足为H ，连接PQ ，以PQ 为边向左作等边①PQE ，连接BE ．①用含t 的代数式表示QH 的长；①当0≤t ≤23时，BE 的长度能否为2cm ？若能，求出此时QH 的长；若不能，请说明理由．46．如图，在正方形ABCD 中，1AB =，延长BC 至M ，使5BM =．以,BD BM 为邻边作DBMN ．动点P 从点D 出发，以每秒1个单位的速度沿DN 向终点N 运动，过点 P 作PQ ⊥BM 交BM 或BM 的延长线于点Q ，以PQ 为边向右作正方形PQRS ．设正方形PQRS ．设正方形PQRS 与DBMN 的重叠部分的面积为y ，点P 运动的时间为x （0x >．单位：秒）．（1）用含x 的代数式表示线段PN 为；（2）当点S 与点N 重合时，求x 的值；（3）当正方形PQRS 与DBMN 的重叠部分不是正方形时，求y 与x 之间的函数关系式；（4）当DQS △或PRN △是直角三角形时，直接写出x 的值．47．在ABC 中，90BAC ∠=︒，点O 是斜边BC 上的一点，连接AO ，点D 是AO 上一点，过点D 分别作//DE AB ，//DF AC ，交BC 于点E 、F ．（1）如图1，若点O 为斜边BC 的中点，求证：点O 是线段EF 的中点．（2）如图2，在（1）的条件下，将DEF 绕点O 顺时针旋转任意一个角度，连接AD ，CF ，请写出线段AD 和线段CF 的数量关系，并说明理由．（3）如图3，若点O 是斜边BC 的三等分点，且靠近点B ，当30ABC ∠=︒时，将DEF 绕点O 顺时针旋转任意一个角度，连接AD 、BE 、CF ，请求出BE AD的值．参考答案：1．D【分析】根据三角形全等的判定定理，结合已知条件，判断条件与定理相一致的即可．【详解】①①和①符合了SAS ，①①和①两个三角形全等；故选D ．【点睛】本题考查了三角形全等的判定方法，熟练掌握判定方法是解题的关键． 2．A【分析】根据三角形高的定义，即可求解．【详解】解：解：在ABC 中，画出边BC 上的高，即是过点A 作BC 边的垂线段，正确的是A ．故选A ．【点睛】本题主要考查了三角形高线的作法，正确把握相关定义是解题关键，经过三角形的顶点（与底相对的点）向对边（底）作垂线，顶点和垂足之间的线段就是三角形的一条高．3．D【分析】根据题意分别画出图形，BC 边上的高在平行四边形的内部和外部，进而利用勾股定理求出即可．【详解】解：作BC 边上的高AE①BC 于E ，分两种情况：AE 在平行四边形的内部和外部.．① 如图所示：AE 在平行四边形的内部，①在ABCD 中，①ABC ＝30°，AB ＝8，AC ＝5，AE①BC①AE=12AB=4，3 ，=①▱ABCD 的周长等于：()()2222AB BC AB BE EC +=++=+；①如图所示：AE 在平行四边形的外部，①在ABCD 中，①ABC ＝30°，AB ＝8，AC ＝5，AE①BC①AE=12AB=4，3 ，=①▱ABCD 的周长等于：()()2210AB BC AB BE EC +=+-=+．故选D ．【点睛】本题考查平行四边形的性质、勾股定理、直角三角形30度角性质，利用分类讨论得出是解题的关键．4．A【分析】根据三角形内角和定理求出①ACB 的度数，根据全等三角形的性质得到①DCE =①ACB =100°，由A 、C 、D 在同一条直线上，得到①ACD =180°，根据角的和差即可得到结论.【详解】①①A =30°，①ABC =50°，①①ACB =180°－30°－50°=100°.①①EDC ①①ABC ，①①DCE =①ACB =100°.①A 、C 、D 在同一条直线上，①①ACD =180°，①①BCE =①ACB +①DCE ﹣①ACD =20°.故选：A.【点睛】本题考查了三角形内角和定理、全等三角形的性质，平角的定义，熟记全等三角形的性质是解题的关键.5．C【分析】先利用平角用①1表示出①BDF ，再利用三角形的内角和定理及推论用①1表示出①CEF ，两式相减可得结论．【详解】如图，①①DEF是由①DEA折叠成的，①①1=①2，①3=①DEF．①①BDF+①1+①2=180°，①①BDF=180°-2①1．①①CEF+①CED=①DEF，①CED=①1+①A，①3+①1+①A=180°，①①CEF=①3-①CED=180°-①1-①A-①1-①A=180°-2①1-40°=140°-2①1．①①BDF-①CEF=180°-2①1-（140°-2①1）=180°-2①1-140°+2①1=40°．故选：C．【点睛】本题主要考查了三角形的内角和定理，掌握“三角形的内角和等于180°”、折叠的性质是解决本题的关键．6．A【详解】试题分析：由AB=AC，根据等边对等角，即可得①B=①C，又由BF=CD，BD=CE，可证得①BDF①①CED（SAS），根据全等三角形的性质，即可求得①B=①C=α，根据三角形的内角和定理，即可求得答案．①AB=AC，①①B=①C，①BF=CD，BD=CE，①①BDF①①CED（SAS），①①BFD=①EDC ，①α+①BDF+①EDC=180°，①α+①BDF+①BFD=180°，①①B+①BDF+①BFD=180°，①①B=α，①①C=①B=α，①①A+①B+①C=180°，①2α+①A=180°．故选A ．考点：等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质点评：全等三角形的判定和性质是初中数学的重点，贯穿于整个初中数学的学习，是中考中比较常见的知识点，一般难度不大，需熟练掌握.7．B【分析】当DP BC ⊥时，DP 最短，通过等角的余角相等，得出ABD CBD ∠=∠，即可得出BD 平分ABC ∠，再根据角平分线的性质即可进行解答．【详解】解：过点D 作DP BC ⊥于点P ，此时DP 最短．①90A ∠=︒，BD CD ⊥，①90,90ABD ADB CBD C ∠+∠=︒∠+∠=︒，①ADB C ∠=∠，①ABD CBD ∠=∠，即BD 平分ABC ∠，①90A ∠=︒，DP BC ⊥，4=AD ，①4DP AD ==，故选：B ．【点睛】本题主要考查了角平分线的性质，解题的关键是熟练掌握“垂线段最短”，“等角的余角相等”，“角平分线上的点到两边距离相等”．8．B【分析】先根据HL 证明Rt①ABD ①Rt①CDB ，再根据全等三角形的性质即可进一步判断各项.【详解】解：在Rt①ABD 和Rt①CDB 中，BD DB AB CD =⎧⎨=⎩， ①Rt①ABD ①Rt①CDB (HL)，①AD ＝BC ，①ABD =①CDB ，①ADB =①CBD ，①AB ①CD ，AD ①BC ；所以A 、C 、D 三项是正确的，错误的是B 项.故选B.【点睛】本题考查的是直角三角形的判定和性质、平行线的判定，属于基础题型，熟练掌握直角三角形的判定和性质是关键.9．C【分析】过点E 作EG ①BC ，通过证明①ABD ①①EBC 和①AFE ①①CGE ，结合割补法求面积即可求解；【详解】解：在①ABD 和①EBC 中，AB BE ABD EBC BD BC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩(角平分线定义) ①①ABD ①①EBC ；故①正确；①BE ＝BA ，BD ＝BC ，①①AEB =1(180)2ABE ︒-∠， 1(180)2ADE BDC CBE ∠=∠=︒-∠, 又①=ABE CBE ∠∠，①=AEB ADE ∠∠，①AE ＝AD ，又①ABD ①①EBC ，①AD ＝EC①AE ＝AD ＝EC ；故①正确；过点E 作EG ①BC ，交BC 于点G ，①BD 平分ABC ∠，在Rt ①AFE 和Rt ①CGE 中，AE EC EF EG =⎧⎨=⎩, ①Rt ①AFE ①Rt ①CGE (HL )，同理可证：Rt ①BFE ①Rt ①BGES 四边形ABCE ＝2AEF CGE BEF EFBC EFBC SS S S S EF BF +=+==⨯四边形四边形，故①正确，由Rt ①BFE ①Rt ①BGE ，①=FEB BEG ∠∠,①FEB BEC ∠≠∠，①BE 不平分①FEC ，故①不正确；综上，正确的个数为3个，故选择：C【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的性质，等腰三角形的判定，证明线段AE =AD =CE 是解题的关键．10．B【分析】根据全等三角形的性质得AC ＝DF ，则依据CF ＝4可得CD 的长．【详解】△ABC①①DEF ，①A 与①D 是对应角，AB 与DE 是对应边，①AC ＝DF ＝22，又①CF ＝4，①CD ＝DF ﹣CF ＝22﹣4＝18，【点睛】本题考查了全等三角形的性质：全等三角形的对应边相等；全等三角形的性质是证明线段和角相等的理论依据，应用时要会找对应角和对应边．11．C【分析】由斜边上的中线长是2，可以得到斜边长为4，设两个直角边的长为x ，y 则x y +=x 2+y 2=16，解这个方程组求出xy 的值即可求出三角形的面积．【详解】解：①Rt ①ABC 的周长是4+，斜边上的中线长是2，①斜边长为4，设两个直角边的长为x ，y ，则x +y =x 2+y 2=16，解得：xy =8，①S △ABC =12xy =4．故选：C ．【点睛】本题考查了直角三角形的性质：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；还考查了勾股定理．解题时要注意方程思想与整体思想的应用．12．A【分析】根据勾股定理的逆定理、勾股定理和三角形内角和逐个判断即可．【详解】解：①①ABC 的三边长分别为a ，b ，c ，若b 2+c 2＝a 2，则①ABC 是直角三角形，选项说法正确；①在Rt①ABC 中，已知两边长分别为6和8，则第三边的长为10或，选项说法错误； ①在①ABC 中，若①A ：①B ：①C ＝1：5：6，根据三角形内角和是180︒可得11801512A ∠=︒⨯=︒，51807512B ∠=︒⨯=︒，61809012C ∠=︒⨯=︒，则①ABC 是直角三角形，选项说法正确；①若三角形的三边长之比为1：2x ，2x ，根据勾股定理的逆定理即可得到该三角形是直角三角形，选项说法正确；故选：A ．【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理、勾股定理和三角形内角和，能熟记勾股定理的逆定理的内容是解此题的关键．13．D【分析】由SAS 证明①AOB①①COD ，得出AB=CD ，①A=①C ，OA=OC ，再由内错角相等，即可得出AB①CD ，即可判断.【详解】在①AOB 和①COD 中，OA OC AOB COD OB OD ⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝，①①AOB①①COD （SAS ）①AB=CD ，①A=①C ，OA=OC ，①AB①CD ．故答案为：D.【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、平行线的判定方法；熟练掌握全等三角形的判定方法，并能进行推理论证是解决问题的关键．14．D【分析】根据全等三角形的判定知两个等边三角形不一定全等即可判定A 错误；面积相等的三角形不一定是全等三角形可判定B 错误；根据到三角形三边距离相等的点是内角平分线的交点，可判定C 错误；根据到三角形三个顶点距离相等的点是三边中垂线的交点即可判定D 正确．【详解】解：A 、两个等边三角形不一定全等，故此选项不符合题意；B 、面相等的三角形不一定是全等三角形，故此选项不符合题意；C 、到三角形三边距离相等的点是内角平分线的交点，故此选项不符合题意；D 、到三个顶点距离相等的是三边中垂线的交点，故此选项符合题意；故选：D ．【点睛】本题考查全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定的判定定理，等边三角形的性质，三角形三边垂直平分线的交点的性质，三角形内角平分线的交点性质是解题的关键．15．B【分析】延长BG 交AC 于D ．由重心的性质得到 BG =2GD ，D 为AC 的中点，再由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，得到AC =2GD ，即有BG =AC ，从而得到AC 、GD 的长．当GD ①AC 时，①AGC 的面积的最大，最大值为：12AC •GD ，即可得出结论．【详解】解：延长BG 交AC 于D ．①G 是①ABC 的重心，①BG =2GD ，D 为AC 的中点．①AG ①CG ，①①AGC 是直角三角形，①AC =2GD ，①BG =AC ．①BG •AC =32，①AC GD =当GD ①AC 时，①AGC 的面积的最大，最大值为：12AC •GD =12⨯．故选：B ．【点睛】本题考查了重心的性质和直角三角形的性质．解题的关键是熟知三角形的重心到顶点的距离等于它到对边中点距离的2倍．16．C【分析】由垂直平分线的性质得出AE ＝BE ，由等腰三角形的性质得出①BAE ＝①ABE ＝45°，求出①F AC ＝12①BAC ＝22.5°，AF ①BC ，由直角三角形的性质可求出答案．【详解】解：①BE ①AC ，①①BEC ＝①AEB ＝90°，①DE 是边AB 上的中垂线，①AE ＝BE ，①①BAE ＝①ABE ＝45°，①AB ＝AC ，AF 平分①BAC ，①①F AC ＝12①BAC ＝22.5°，AF ①BC ，①①C ＝90°−①F AC ＝67.5°，①EF ＝FC ，①①FEC ＝①C ＝67.5°，①①BEF ＝①BEC −①FEC ＝90°−67.5°＝22.5°，故选：C ．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，垂直平分线的性质，直角三角形的性质，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键．17．D【分析】由四边形ABCD 是正方形得90CD BC DCE CBN =∠=∠=︒，，因为CG DE ⊥于G ，90CDE BCN DCG ∠=∠=︒-∠，即可证明DEC CNB ≌，得DE CN =，可判断①正确；由E 为BC 的中点得111222BN CE BC CD AB ====，则12BN CD =，由AB CD ∥证明BHN DHC ∽，据此计算，可判断①正确；求得13NH CN =，则13BNH CNBS S ∆∆=，所以3DEC CNB BNH S S S ∆∆∆==，可判断①正确；先证明BNT BER ≌，得BT BR =，再证明Rt Rt BTG BRG ≌，得45BGN BGR ∠=∠=︒，可判断①正确；由TN ER GT GR ==，可推导出2GN EG GT TN EG GT GR GT +=++=+=，而45TBG BGN ∠=∠=︒，则BT GT =，由勾股定理得22222GT GT BT BG =+=，所以2GT =，则GN EG +，可判断①正确．【详解】解：①四边形ABCD 是正方形，①90CD BC DCE CBN =∠=∠=︒，，①CG DE ⊥于G ，①90CGD ∠=︒，①90CDE BCN DCG ∠=∠=︒-∠，在△DCE 和△CBN 中，CDE BCN CD BCDCE BCN ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， ①()SAS DEC CNB ≌，①DE CN =，故①正确；①E 为BC 的中点，BC CD AB ==，①111222BN CE BC CD AB ====， ①1122AB BN CD AB ==， ①AB CD ∥，①BHN DHC ∽， ①12BH BN DN CD ==，即13BH BD =，故①正确； ①12NH BN CH CD ==， ①13NH CN =， ①13BNH CNB S S ∆∆=， ①3DEC CNB BNH S S S ∆∆∆==，故①正确；如图，作BT DN ⊥于点T ，BR DE ⊥交DE 的延长线于点R ，则90BTN R BTG ∠=∠=∠=︒，①CE BN CE BE ==，，①BN BE =，①BNT CED BER CED ∠=∠∠=∠，，①BNT BER ∠=∠，在BNT 和BER △中，BTN R BNT BER BN BE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，①()AAS BNT BER ≌，①BT BR =，在Rt BTG 和Rt BRG 中，BG BG BT BR=⎧⎨=⎩， ①()Rt Rt HL BTG BRG ≌，①BGN BGR ∠=∠，①90RGN ∠=︒， ①1452BGN RGN ∠=∠=︒，故①正确； ①TN ER GT GR ==，，①2GN EG GT TN EG GT ER EG GT GR GT +=++=++=+=，①45TBG BGN ∠=∠=︒，①BT GT =，①22222GT GT BT BG =+=，BG =，①2GT =，①GN EG +=，故①正确，综上，①①①①①均正确，故选：D ．【点睛】此题考查正方形的性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理等知识，正确地作出辅助线构造全等三角形是解题的关键．18．6【分析】根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质可得AM=BM ，然后求出△MBC 的周长=AC+BC ，再代入数据进行计算即可得解．【详解】①M 、N 是AB 的垂直平分线①AM=BM ，①△MBC 的周长=BM+CM+BC=AM+CM+BC=AC+BC ，①AB ＝8，①MBC 的周长是14，①BC=14-8=6．故答案为6．【点睛】线段垂直平分线的性质, 等腰三角形的性质．19．【分析】先根据线段垂直平分线的性质得到CE=CB，①BDC=90°，再根据等腰三角形的性质和角平分线的定义得到①BCD=13①ACB=30°，则①A=30°，然后可得答案．【详解】解：①CD垂直平分BE，①CE=CB，①BDC=90°，①CD平分①BCE，即①BCD=①ECD，①CE平分①ACD，①①ECD=①ACE，而①ACB=90°，①①BCD=13①ACB=30°，①①B=60°，①①A=30°，①2BC=，①AB=4，①AC=．故答案为：【点睛】本题考查了线段垂直平分线的性质：垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等，考查了等腰三角形的三线合一的性质，三角形的内角和定理，勾股定理，掌握以上知识是解题的关键．20．20【详解】①①ABC①①DEF，①AC=DF，①AC边的质量为20千克，①DF边的质量为20千克.21．12【分析】首先作出图形，利用等边三角形的性质以及解直角三角形的知识求出BC的长，以AB为边的正方形面积．【详解】如图，过A作AD①BC，①AB=AC=BC，①BD=CD=12BC=12AB，①BAD=30°，①AD=3，222AB AD BD=+，①AB=①以AB为边的正方形面积为212=cm2．22．4．【详解】试题分析：如图，①BD平分①ABC．①ABD=30°，①①DBC=30°．①①BDC=90°，CD=2，①BC=2CD=4．故答案是：4．考点：含30度角的直角三角形．23．22【分析】图一、图二①AOB的度数发生变化，但是OA、OB的长度没有改变，在通过①AOB=60°，OA=OB，得到三角形AOB为等边三角形求解．【详解】图一、图二①AOB的度数发生变化，但是OA、OB的长度没有改变,仍然有OA=OB．①OA=OB，①AOB=60°，①①AOB为等边三角形，①OA=OB=AB=22cm.【点睛】本题比较简单，主要是对三角形中等腰、等边三角形的考查，熟练掌握这块的基础知识是解答本题的关键．24．50°【分析】利用平行线的性质求出①DBC，再根据三角形内角和定理求出①BDC即可．【详解】解：①EF①GH，①①FAC=①DBC=72°，①①C+①DBC+①BDC=180°，①①BDC=180°−72°−58°=50°，故答案为50°.【点睛】本题主要考查了平行线的性质，掌握平行线的性质是解题的关键.25．4（答案不唯一）【分析】根据三角形中“两边之和大于第三边，两边之差小于第三边”，进行分析得到第三边的取值范围；再进一步找到符合条件的数值．【详解】解：根据三角形的三边关系，得第三边应大于两边之差，即532-=；而小于两边之和，即538+=，即2<第三边8<，故第三根木棒的长度可以是4．故答案为：4（答案不唯一）．【点睛】本题主要考查了三角形三边关系，熟练掌握两边之和大于第三边，两边之差小于第三边是解题的关键．26． AD =CE （或①D =①E 或①ACD =①B ）（答案不唯一） SAS【分析】（1）由已知条件可得两个三角形有一组对应边相等，一组对应角相等，根据三角形全等的判定方法添加条件即可；（2）根据添加的条件，写出判断的理由即可．【详解】解：（1）添加的条件是：AD =CE （或①D =①E 或①ACD =①B ）故答案为：AD =CE （或①D =①E 或①ACD =①B ）（2）若添加：AD =CE①点C 是线段AB 的中点，①AC =BC①DA EC ∥①A BCE ∠=∠①DAC △①ECB (SAS )故答案为：SAS【点睛】本题主要考查了添加条件判断三角形全等，熟练掌握全等三角形的判断方法是解答本题的关键．27．65︒【分析】根据AB AC BD ==，可得C B ∠=∠,13∠=∠，根据三角形的内角和定理，以及三角形的外角性质列出方程组解方程组即可求解．【详解】解：如图，①AB AC BD ==①C B ∠=∠,13∠=∠，23180B C ∠+∠+∠+∠=︒1318022C ∴∠=∠=︒-∠-∠又12C ∠=∠+∠218022C C ∴∠+∠=︒-∠-∠318022C ∴∠=︒-∠18030503C ︒-︒∴∠==︒ 12155065C ∴∠=∠+∠=︒+︒=︒故答案为：65︒【点睛】本题考查了三角形内角和定理以及三角形的外角性质，等边对等角求角度，二元一次方程组的应用，掌握以上知识是解题的关键．28．55︒【分析】如图，延长B ′E 交C ′F 的延长线于点A ′，连接AA ′．证明①1+①2=2①EAF ，可得结论．【详解】解：如图，延长B ′E 交C ′F 的延长线于点A ′，连接AA ′．①①1=①EAA ′+①EA ′A ，①2=①F AA ′+①F A ′A ,①①1+①2=①EAF +①EA ′F ，①①EAF =①EA ′F ，①①1+①2=2①EAF =110°，①①A =55°．故答案为：55°．【点睛】本题考查三角形内角和定理，翻折变换等知识，解题的关键是证明①1+①2=2①EAF．29．18【分析】连接CG并延长交AB于点E，连接DE，根据题意，可以得到DE时①ABC的中位线，从而可以得到DE①AC且DE=12AC，然后即可得到①DEG①①ACG，由相似三角形的性质得到DG和AG的比值，求出然后DG，即可得到结果．【详解】解：如图，连接CG并延长交AB于点E，连接DE，①点G是①ABC的重心，①点E和点D分别是AB和BC的中点，①DE是①ABC的中位线，①DE①AC且DE=12AC，①①DEG①①ACG，①12 DE DGAC AG==，①AG=12，①DG=6，①AD=AG+GD=18．故答案为：18．【点睛】本题考查三角形的重心、三角形的中位线、三角形相似，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．30．12．【分析】由旋转的性质可求AB AC =，由勾股定理可求BD 的长，AD 的长.【详解】①线段AB 与线段AC 重合AB AC ∴=3,CD BC BD AD ==⊥9BD ∴==222,3AB AC CD AD A D D A BD AB ===+=++2281(3)AD AD ∴+=+12AD ∴=故答案为：12.【点睛】本题考查了旋转的性质、勾股定理，根据旋转的性质得出AB AC =是解题关键. 31．10【详解】试题分析：根据三角形的重心到顶点的长度等于到对边中点的长度的2倍可得OD=12AO ，再根据等高的三角形的面积等于底边的比求出①AOB 的面积为22510AOB BOD S S ==⨯=．考点：三角形的重心，三角形的面积（等高，等底同高）32．【分析】根据菱形的四条边都相等，菱形的两条对角线互相垂直平分，并且每一条对角线平分一组对角；利用30°直角三角形的边长关系和勾股定理计算求值即可．【详解】解：由题意得作图如下：菱形ABCD 中，①DAB =60°，①ABCD 是菱形，①AC 、BD 互相垂直平分，AC 平分①DAB ，①①CAB=30°，①AOB=90°，①菱形周长为24cm，①AB=24÷4=6cm，①OB=12AB=3cm，AO=，①BD=2OB=6cm，AC=2AO=，①较长的一条对角线长，故答案为：【点睛】本题考查了菱形的性质，30°直角三角形，勾股定理；掌握菱形的性质是解题关键．33．35°【详解】①四边形ABCD中，点P是对角线BD的中点，点E，F分别是AB，CD的中点，①PE是①ABD的中位线，PF是①BDC的中位线，①PE=12AD，PF=12BC，又①AD=BC，①PE=PF，①①PFE=①PEF=35°.故答案为35°.34．4【详解】试题分析：根据角平分线的定义可得①CAD=①BAD，再根据两直线平行，内错角相等可得①CAD=①ADE，然后求出①ADE=①BAD，根据等角对等边可得AE=DE，然后根据等角的余角相等求出①ABD=①BDE，根据等角对等边可得DE=BE，从而得到DE= AB．解：①AD是①BAC的平分线，①①CAD=①BAD，①DE①AC，①①CAD=①ADE，①①ADE=①BAD，①AE=DE ，①BD①AD ，①①ADE+①BDE=①BAD+①ABD=90°，①①ABD=①BDE ，①DE=BE ，①DE=AB ，①AB=8，①DE=×8=4．故答案为4．考点：等腰三角形的判定与性质．35【分析】作DE AB ⊥，在Rt ADE 中根据勾股定理求出DE 的长即可．【详解】解：作DE AB ⊥，则90AED ∠=︒，又①45A ∠=︒，45ADE ∴∠=︒，AE DE ∴=，222AE DE AD +=，222DE ∴=，23DE =，DE ∴=，①AB 与CD【点睛】本题主要考查了平行线之间的距离和勾股定理，如果两条直线互相平行，则其中一条直线上任意一点到另一条直线的距离都相等，这个距离称为平行线之间的距离，掌握平行线之间距离的定义并能用勾股定理计算时解题的关键．36．(13,0)或(11,0)-或(4,3)-或(0,11)或(11)-【分析】利用待定系数法求出反比例函数表达式，再分情形画出图形分别求解即可解决问题．【详解】解：反比例函数(0)ky x x=>，过点(3,4)A ， 12k ∴=，12y x ∴=，①如图1中，四边形PQRS 是正方形，PS PQ ∴=，(1,0)P ，(1,12)Q ∴，12PQ ∴=，12PS ∴=，13OS ∴=，(13,0)S ∴．则当S 在负半轴时，(11,0)S -．①如图2中，四边形PQRS 是正方形，Q ∴、S 关于x 轴对称，设(1,)Q m m +代入12y x=中，(1)12m m +=， 3m ∴=或4-（舍弃），(4,3)Q ∴，(4,3)S ∴-．①如图3中，作QE x ⊥轴于E ．四边形PQRS 是正方形，PS PQ ∴=，①SPQ=90°，①①SPO+①QPE=90°，又①SPO+①PSO=90°，①①QPE=①PSO ，又①POS=①PEQ ，①PQE SPO ∆≅∆（AAS ），1EQ OP ∴==，(12,1)Q ∴，11PE SO ∴==，(0,11)S ∴，①如图4中，作QE x ⊥轴于E ，QF y ⊥轴于F ．四边形PQRS 是正方形，①PQ=RQ ，①PQR=90°，①①FQR+①FQP=90°，①EQP+①FQP=90°，①①FQR=①EQP ，又①QFR=①QEP=90°，①PQE RQF ∆≅∆（AAS ），QE QF ∴=，RF PE =，设(,)Q n n ，则Q ，(0R ∴，1)，设(,)S a b ，102+=，1a ∴=-1b =，(1S ∴-1)．综上：点S 的坐标为：(13,0)或(11,0)-或(4,3)-或(0,11)或(11)-，故答案为：(13,0)或(11,0)-或(4,3)-或(0,11)或(11)-．【点睛】本题考查反比例函数综合题、正方形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、待定系数法、中点坐标公式等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题．37．8【详解】①AB=AC，AF①BC，①①AFB=90°，BF=CF，又①BE①AC，①①BEC=①BEA=90°，①EF=12BC=3，又①D为AB中点，①DE=DF=12AB，①DE+DF+EF=11，①DE+DF=8，①AB=8.38．见解析【分析】（1）连接BE，根据线段垂直平分线的性质可得AE=BE，利用等边对等角的性质可得①ABE=①A；结合三角形外角的性质可得①BEC的度数，再在Rt①BCE中结合含30°角的直角三角形的性质，即可证明第（1）问的结论；（2）根据直角三角形斜边中线的性质可得BD=CD，再利用直角三角形锐角互余的性质可得到①ABC=60°，至此不难判断①BCD的形状【详解】（1）证明：连结BE，如图．①DE是AB的垂直平分线，①AE＝BE，①①ABE＝①A＝30°，①①CBE＝①ABC－①ABE＝30°，在Rt①BCE中，BE＝2CE，①AE＝2CE.（2）解：①BCD是等边三角形．理由如下：①DE垂直平分AB，①D为AB的中点．①①ACB＝90°，①CD＝BD.又①①ABC＝60°，①①BCD是等边三角形．【点睛】此题考查了线段垂直平分线的性质、30°角的直角三角形的性质，等腰三角形的性质，直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，等边三角形的判定，熟练掌握30°角的直角三角形的性质是解（1）的关键，熟练掌握直角三角形斜边的中线等于斜边的一半是解（2）的关键，39．见解析.【分析】利用平行线以及角平分线的定义证明①2=①3，再根据等角的余角相等证明①4=①5即可解决问题.【详解】证明：如图，①AD平分①BAC，①①1=①2，①EF①AB，①①1=①3，①①2=①3，①CE①AD 于点E，①①AEC=90°，①①3+①4=90°，①①2+①5=90°，①①4=①5，①FE=FC，①①FEC是等腰三角形．【点睛】本题考查平行线的性质，等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识．40．(1)见解析(2)见解析。

初中数学三角形全等证明综合题(含答案)

七年级下册数学三角形全等证明综合题北师版一、单选题(共9道，每道11分)1.如图，AE=BF，AD∥BC，AD=BC，试说明DF=CE，小明是这样做的，老师扣他了3分，大家帮他找一下，他到底那个地方扣分了？证明：∵AE=BF∴AE -EF= BF-EF，即AF=EB①又∵AD∥BC∴∠C=∠D②在△ADF和△BCE中③ ∴△ADF≌△BEC（SAS）④ ∴DF=CE 上面过程中出错的序号有（）A.①②③④B.②③④C.①②③D.③④答案：B试题难度：三颗星知识点：证明题的书写步骤及定理应用考察2.已知如下左图，△ABC中，AB=AC，AD是角平分线，BE=CF，图中全等的三角形有（）对A.1B.2C.3D.4答案：C试题难度：三颗星知识点：全等三角形的个数3.如图，已知BD、CE是△ABC的高，点P在BD的延长线上，BP=AC，点Q在CE上，CQ=AB．判断线段AP和AQ的关系，并证明．小红在做这道题目的时候部分分析思路如下：猜测AP和AQ的数量关系应该是相等的，证明线段AP=AQ，将这两条线段放到两个三角形中，即证明__≌__，题中已知BP=AC，CQ=AB，采取的判定方法是__，此时需要找的第三组条件=__.①△APD≌△QAE ②△APB≌△QAC ③SAS ④SSS ⑤AP=AQ⑥∠ABP=∠QCA ⑦∠PAB=∠AQC ⑧∠BPA=∠CAQA.①③⑧B.②③⑦C.②③⑥D.②④⑤答案：C试题难度：三颗星知识点：三角形全等解题思路4.已知，如图∠ACE=90°，AC=CE，B为AE上一点，ED⊥CB于D，AF⊥CB交CB的延长线于F．求证：DF=CF－AF.小强在做这道题目的时候部分分析思路如下：从图中知道DF=CF－CD，只需证明AF=CD，即证明△ACF≌△CED,题中已知AC=CE，ED⊥CB，AF⊥CB，采取的判定方法是AAS，此时需要找的第三组条件__=__.因为ED⊥CB，所以__+__=90°，而∠ACE=90°，即__+__=90°，根据等量代换即可得到第三组条件.①∠CAF=∠CED ②∠ACF=∠CED ③∠DBE+∠BED=90°④∠DCE+∠DEC=90° ⑤∠ACF+∠CAF=90° ⑥∠ACF+∠FCE=90°A.①③⑤B.①③⑥C.②④⑤D.②④⑥答案：D试题难度：三颗星知识点：三角形全等解题思路5.如图，在中，,AB=12，则中线AD的取值范围是（）A.7＜AD＜17B.C.5＜AD＜12D.答案：B试题难度：三颗星知识点：倍长中线法6.如图，在△ABC中，AB＞AC，∠1＝∠2，P为AD上任意一点.则下列式子正确的是（）A.AB-AC＜PB-PCB.AB-AC≧PB-PCC.AB-AC=PB-PCD.AB-AC＞PB-PC答案：D试题难度：三颗星知识点：截长补短法7.已知△ABC，∠BAD=∠CAD，AB=2AC，AD=BD，下列式子中正确的是（）A.AB=2ADB.AD=CDC.AD⊥BDD.DC⊥AC答案：D解题思路：利用翻折的思想来进行解决，在AB上截取AE=AC，在AB上截取AE=AC，连接DE，∵AB=2AC，∴AE=BE，又∵AD=BD，∴DE⊥AB，再证明△ADE≌ADC，∴∠ACD=∠AED=90°，即DC⊥AC．试题难度：三颗星知识点：折叠与全等8.如图，已知△ABC，BD=EC≠DE，则对于AB+AC与AD+AE的大小关系正确的是（）A.AB+AC=AD+AEB.AB+AC≧AD+AEC.AB+AC＞AD+AED.AB+AC≦AD+AE答案：C解题思路：利用平移的思想来进行解题，可以将△AEC平移至BD处，使EC与BD重合，假设为△BDF，DF与AB交于点G，则可先证△BDF≌△ECA，则在△BGF和△DGA中，BG+FG ＞BF，DG+AG＞AD，即AB+AC＞AD+AE．解：过点B和D作BF∥AE，DF∥AC，BF与DF交于点F，DF 与AB交于点G，则△BDF≌△ECA（ASA），∴BF=AE，DF=AC，在△BGF和△DGA中，BG+FG ＞BF，DG+AG＞AD，二式相加可得BG+FG+ DG+AG＞BF+ AD 即AB+AC＞AD+AE．试题难度：三颗星知识点：平移与全等9.如图，EF分别是正方形ABCD的边BC、CD上的点，且∠EAF=45°，AH⊥EF，H为垂足，则下列说法中正确的是（）A.直接证明△ABE和△AHE全等可以证明AH=ABB.EF=BE+DFC.AE=AFD.∠AEB=∠AFE答案：B解题思路：利用旋转的思想来进行解题，延长EB使得BH=DF，易证△ABH≌△ADF（SAS）可得∠EAH=∠EAF=45°，进而求证△AEH≌△AEF可得EF=BE+DF解：延长EB到点H，使得BH=DF，连接AH，可得△ABH≌△ADF（SAS），∴∠DAF=∠BAH，AF=AH，∠EAH=∠EAF=45°∴△AEG≌△AEF（SAS）∴EF=EH=BE+DF试题难度：三颗星知识点：旋转与全等。

中考数学总复习《三角形的综合题》练习题及答案

中考数学总复习《三角形的综合题》练习题及答案班级:___________姓名：___________考号：_____________一、单选题1．如图，在平面直角坐标系中直线y=−x与双曲线y=kx交于A、B两点，P是以点C(2，2)为圆心，半径长1的圆上一动点，连结AP，Q为AP的中点.若线段OQ长度的最大值为2，则k的值为（）A．−12B．−32C．−2D．−142．如图，已知AB∥CD，点E在线段AD上（不与点A，点D重合），连接CE.若∠C＝20°，∠AEC＝50°，则∠A＝（）A．10°B．20°C．30°D．40°3．如图，在Rt△ABC中AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB垂足为E．若BC=8cm,BD=5cm则DE的长为（）A．2√3cm B．3cm C．4cm D．5cm4．如图，矩形纸片ABCD中AD=8cm，把纸片沿直线AC折叠，点B落在E处，AE交DC于点O，若AO=10cm，则AB的长为（）A．12cm B．14cm C．16cm D．18cm5．如图，直线l∥m，将含有45°角的三角板ABC的直角顶点C放在直线m上，若∠1=25°，则∠2的度数为（）A．20°B．25°C．30°D．15°6．如图，锐角∠ABC的两条高BD，CE相交于点O，且CE=BD，若∠CBD=20°，则∠A的度数为()A．20°B．40°C．60°D．70°7．下列长度的三条线段与长度为5的线段能组成四边形的是（）A．1，1，1B．1，1，8C．1，2，2D．2，2，28．如图，在∠ABC中AB=AC，BE=CD，BD=CF，若∠A=40°，则∠EDF等于（）A．40°B．50°C．60°D．70°9．若点O是等腰∠ABC的外心，且∠BOC＝60°，底边BC＝2，则∠ABC的面积为() A．2＋√3B．2√3C．2＋√3或2－√3D．4＋2√3或2－√3310．如图，等边ΔABC的边长为4，AD是BC边上的中线，F是AD边上的动点，E是AC边上一点，若AE=2，当EF+CF取得最小值时，则∠ECF的度数为（）A．15°B．22.5°C．30°D．45°11．如图，在△ABC中∠A=30°，∠ABC=100°，观察尺规作图的痕迹，则∠BFC的度数为（）A．130°B．120°C．110°D．100°12．在测量一个小口圆形容器的壁厚时，小明用“X型转动钳”按如图方法进行测量，其中OA＝OD，OB＝OC，测得AB＝5厘米，EF＝6厘米，圆形容器的壁厚是（）A．5厘米B．6厘米C．2厘米D．12厘米二、填空题13．如图，要测量河两岸相对的两点A、B的距离，在AB的垂线段BF上取两点C、D，使BC=CD，过D作BF的垂线DE，与AC的延长线交于点E，若测得DE的长为20米，则河宽AB长为米．14．如图1，点P从△ABC的项点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿A→B→C→A的方向匀速运动到点A.图2是点P运动时线段AP的长度y随时间t（s）变化的关系图象，其中点M为曲线部分的最低点，则△ABC的面积是.15．如图，在正方形ABCD中AC为对角线，E为AC上一点，连接EB，ED，BE的延长线交AD于点F，∠BED=120∘，则∠EFD的度数为.16．如图，△ABC中∠A=40°，D、E是AC边上的点，把△ABD沿BD对折得到△A′BD，再把△BCE沿BE对折得到△BC′E，若C′恰好落在BD上，且此时∠C′EB=80°，则∠ABC=．17．如图，测量三角形中线段AB的长度为cm.判断大小关系：AB+AC BC（填“ >”，“ =”或“ <”）．18．如图，已知AB是∠O的弦，AB=8，C是∠O上的一个动点，且∠ACB=45°．若M，N分别是AB，BC的中点，则线段MN长度的最大值是三、综合题19．已知关于x的一元二次方程（a＋c）x2＋2bx＋（a﹣c）＝0，其中a，b，c分别为∠ABC三边的长．（1）如果x＝﹣1是方程的根，试判断∠ABC的形状，并说明理由；（2）如果∠ABC是等边三角形，试求这个一元二次方程的根．20．如图，在Rt∠OAB中∠OAB＝90°，OA＝AB＝6，将∠OAB绕点O沿逆时针方向旋转90°得到∠OA1B1．（1）线段OA1的长是，∠AOB1的度数是；（2）连接AA1，求证：四边形OAA1B1是平行四边形．21．已知一次函数y=2x−2的图像为l1，函数y=12x−1的图像为l2．按要求完成下列问题：（1）求直线l1与y轴交点A的坐标；求直线l2与y轴的交点B的坐标；（2）求一次函数y=2x−2的图象l1与y=12x−1的图象l2的交点P的坐标；（3）求由三点P、A、B围成的三角形的面积．22．在图中利用网格点和三角板画图或计算：（1）在给定方格纸中画出平移后的△A′B′C′；（2）图中AC与A′C′的关系怎样？（3）记网格的边长为1，则△A′B′C′的面积为多少？23．如图，在∠ABC中点D在AB上，且CD=CB，E为BD的中点，F为AC的中点，连接EF交CD 于点M，连接AM.（1）求证：EF= 12AC；（2）若EF∠AC，求证：AM+DM=CB.24．如图①，Rt△ABC中∠C=90°，AC=6cm.动点P以acm/s的速度由B出发沿线段BA 向A运动，动点Q以1cm/s的速度由A出发沿射线AC运动.当点Q运动2s时，点P开始运动；P点到达终点时，P、Q一起停止.设点P运动的时间为ts，△APQ的面积为ycm2，y与t的函数关系图像如图②所示.（1）点P运动的速度a=cm/s，AB=cm；（2）当t为何值时，△APQ的面积为12cm2；（3）是否存在t，使得直线PQ将Rt△ABC的周长与面积同时平分？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由.参考答案1．【答案】A2．【答案】C3．【答案】B4．【答案】C5．【答案】A6．【答案】B7．【答案】D8．【答案】D9．【答案】C10．【答案】C11．【答案】C12．【答案】D13．【答案】2014．【答案】1215．【答案】105º16．【答案】60°17．【答案】2.0；>18．【答案】4√219．【答案】（1）解：ΔABC是等腰三角形；理由：把x=−1代入方程得a+c−2b+a−c=0，则a=b，所以ΔABC为等腰三角形（2）解：∵ΔABC为等边三角形∴a=b=c∴方程化为x2+x=0解得x1=0，x2=−1．20．【答案】（1）6；135°（2）证明：∵∠OAB绕点O沿逆时针方向旋转90°得到∠OA1B1∴∠AOA1＝90°，∠OA1B1＝90°，OA1＝A1 B1＝OA＝6∴∠AO A1＝∠O A1B1∴OA∠A1B1∵A1B1＝OA∴四边形OAA1B1是平行四边形．21．【答案】（1）解：当x =0时，y= -2，即直线l 1与y 轴交点A 的坐标为(0，−2)当x =0时，y= -1，即直线l 2与y 轴交点B 的坐标为(0，−1)；（2）解：∵一次函数y =2x −2的图象l 1与y =12x −1的图象l 2相交∴2x −2=12x −1∴x =23∴y =2×23−2=−23∴交点P 的坐标为(23，−23)；（3）解：三点P 、A 、B 围成的三角形，如下图，作PD ⊥AB 交y 轴于点DAB =|−1−(−2)|=1△ABP 的高DP 为：23∴S △ABP =12AB ×DP =12×1×23=13即由三点P 、A 、B 围成的三角形的面积：13．22．【答案】（1）解：如图，∠A′B′C′为所作；（2）解：线段AC 与A′C′的位置关系是平行，数量关系是相等（3）解：∠A′B′C′的面积＝12×4×4＝8．23．【答案】（1）证明：连接CE∵CD=CB，点E为BD的中点∴CE⊥BD∵点F为AC的中点∴EF=12AC；（2）解：∵点F是AC中点∴AF=FC，又EF⊥AC∴∠AFM=∠CFM，且AF=FC∴ΔAFM≅ΔCFM(SAS)∴AM=CM∵BC=CD=DM+CM=DM+AM.24．【答案】（1）1；10（2）解：当运动时间为t时，AQ=t+2，BP=t，AP=10−t 如图，作PH⊥AC，则△APH∽△ABC∴PH=APAB·BC=4(10−t)5∴S△APQ=12AQ·PH=12(t+2)4(10−t)5=2(t+2)(10−t)5∴△APQ的面积为12cm2时，解方程12=2(t+2)(10−t)5，得t1=4+√6∴当t=4+√6或4−√6时，△APQ的面积为12cm2；（3）解：∵S△ABC=24cm2，C△ABC=6+8+10=24cm∴12S△ABC=12cm2①当0<t≤4时由（2）可知，当t=4−√6时，△APQ的面积为12cm2此时，AQ=4−√6+2=6−√6∴AP+AQ=6+√6+6−√6=12，即AP+AQ=12C△ABC∴t=4−√6时，直线PQ将Rt△ABC的周长与面积同时平分；②当4<t≤10时设PQ与BC交于点N，作PM⊥BC则有：△PBM∽△ABC∴PM AC=BPBA=BMBC，∴PM=3t5，BM=4t5，MC=8−4t5∵PM QC=MNCN，∴MN=3t2−30t25−10t当BN+BP=12时，解方程4t5+3t2−30t25−10t+t=12，得t=5或t=4（舍去）此时，PM=3，BM=4，BP=5∴BN=4+3=7∴当4<t≤10时，不存在t使得直线PQ将Rt△ABC的周长与面积同时平分；∴综上，当t=4−√6时，直线PQ将Rt△ABC的周长与面积同时平分；当4<t≤10时，不存在t使得直线PQ将Rt△ABC的周长与面积同时平分.第11页共11页。

初中数学专项练习《全等三角形》60道计算题包含答案(含解析)

初中数学专项练习《全等三角形》60道计算题包含答案一、计算题(共60题)1、已知ABC中∠BAC=140°, AB、AC的垂直平分线分别交BC于E、F，AEF 的周长为10㎝,求BC的长度和∠EAF的度数.2、如图，已知AB=AD，且AC平分∠BAD，求证：BC=DC3、四边形ABCD是正方形，E、F分别是DC和CB的延长线上的点，且DE=BF，连接AE、AF、EF．若BC=8，DE=3，求△AEF的面积．4、如图，点M，N分别在正三角形ABC的BC，CA边上，且BM=CN，AM，BN交于点Q．求证：∠BQM=60°．5、如图，AB∥CD，AB=CD，CE=BF．请写出DF与AE的数量关系，并证明你的结论．6、如图在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，AE是过点A的直线，CD⊥AE，BE⊥AE，若BE=2，CD=6，求DE的长度．7、四边形ABCD是正方形，E、F分别是DC和CB的延长线上的点，且DE=BF，连接AE、AF、EF．若BC=8，DE=3，求△AEF的面积．8、如图，AB∥CD，AB=CD，CE=BF．请写出DF与AE的数量关系，并证明你的结论．9、如图，点D是AB上一点，DF交AC于点E，DE=FE，FC∥AB，AB=6，FC=4，求线段DB的长．10、如图，∠C=∠D=90°，DA=CB，∠CBA=28°，求∠DAC．11、如图，已知AB=AD，且AC平分∠BAD，求证：BC=DC12、如图，已知AB=AD，且AC平分∠BAD，求证：BC=DC13、如图所示，△ABC和△AEF为等边三角形，点E在△ABC内部，且E到点A，B，C的距离分别为3，4，5，求∠AEB的度数．14、如图，∠C=∠D=90°，DA=CB，∠CBA=28°，求∠DAC．15、如图，已知AB=AD，且AC平分∠BAD，求证：BC=DC16、如图在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，AE是过点A的直线，CD⊥AE，BE⊥AE，若BE=2，CD=6，求DE的长度．17、如图，已知AB=AD，且AC平分∠BAD，求证：BC=DC18、如图，已知∠ACB=∠DCE=90°，AC=BC=6，CD=CE，AE=3，∠CAE=45°，求AD的长．19、如图，AC⊥BD，垂足点E是BD的中点，且AB=CD，求证：AB//CD.20、如图，点M，N分别在正三角形ABC的BC，CA边上，且BM=CN，AM，BN交于点Q．求证：∠BQM=60°．21、如图在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，AE是过点A的直线，CD⊥AE，BE⊥AE，若BE=2，CD=6，求DE的长度．22、如图，AB∥CD，AB=CD，CE=BF．请写出DF与AE的数量关系，并证明你的结论．23、如图，已知AB=AD，且AC平分∠BAD，求证：BC=DC24、已知：如图，在△ABC中，AB=AC，点D，E在边BC上，且BD=CE．求证：AD=AE．25、如图，点D是AB上一点，DF交AC于点E，DE=FE，FC∥AB，AB=6，FC=4，求线段DB的长．26、如图在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，AE是过点A的直线，CD⊥AE，BE⊥AE，若BE=2，CD=6，求DE的长度．27、如图，∠C=∠D=90°，DA=CB，∠CBA=28°，求∠DAC．28、如图所示，△ABC和△AEF为等边三角形，点E在△ABC内部，且E到点A，B，C的距离分别为3，4，5，求∠AEB的度数．29、如图所示，△ABC和△AEF为等边三角形，点E在△ABC内部，且E到点A，B，C的距离分别为3，4，5，求∠AEB的度数．30、如图，在中，，点在边上，且，连接，若，求的度数．31、如图，点M，N分别在正三角形ABC的BC，CA边上，且BM=CN，AM，BN交于点Q．求证：∠BQM=60°．32、如图，AC⊥BD，垂足点E是BD的中点，且AB=CD，求证：AB//CD.33、已知：如图，在△ABC中，AB=AC，点D，E在边BC上，且BD=CE．求证：AD=AE．34、如图，已知∠ACB=∠DCE=90°，AC=BC=6，CD=CE，AE=3，∠CAE=45°，求AD的长．35、如图，点M，N分别在正三角形ABC的BC，CA边上，且BM=CN，AM，BN交于点Q．求证：∠BQM=60°．36、如图，AB∥CD，AB=CD，CE=BF．请写出DF与AE的数量关系，并证明你的结论．37、如图，已知AB=AD，且AC平分∠BAD，求证：BC=DC38、如图，点D是AB上一点，DF交AC于点E，DE=FE，FC∥AB，AB=6，FC=4，求线段DB的长．39、如图，AC⊥BD，垂足点E是BD的中点，且AB=CD，求证：AB//CD.40、如图，点D是AB上一点，DF交AC于点E，DE=FE，FC∥AB，AB=6，FC=4，求线段DB的长．41、如图，∠C=∠D=90°，DA=CB，∠CBA=28°，求∠DAC．42、如图，AB∥CD，AB=CD，CE=BF．请写出DF与AE的数量关系，并证明你的结论．43、如图，已知∠ACB=∠DCE=90°，AC=BC=6，CD=CE，AE=3，∠CAE=45°，求AD的长．44、如图，已知AB=AD，且AC平分∠BAD，求证：BC=DC45、四边形ABCD是正方形，E、F分别是DC和CB的延长线上的点，且DE=BF，连接AE、AF、EF．若BC=8，DE=3，求△AEF的面积．46、如图，点D是AB上一点，DF交AC于点E，DE=FE，FC∥AB，AB=6，FC=4，求线段DB的长．47、如图，已知∠ACB=∠DCE=90°，AC=BC=6，CD=CE，AE=3，∠CAE=45°，求AD的长．48、四边形ABCD是正方形，E、F分别是DC和CB的延长线上的点，且DE=BF，连接AE、AF、EF．若BC=8，DE=3，求△AEF的面积．49、如图所示，△ABC和△AEF为等边三角形，点E在△ABC内部，且E到点A，B，C的距离分别为3，4，5，求∠AEB的度数．50、如图，∠C=∠D=90°，DA=CB，∠CBA=28°，求∠DAC．51、如图，已知AB=AD，且AC平分∠BAD，求证：BC=DC52、如图在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，AE是过点A的直线，CD⊥AE，BE⊥AE，若BE=2，CD=6，求DE的长度．53、如图，已知AB=AD，且AC平分∠BAD，求证：BC=DC54、如图所示，△ABC和△AEF为等边三角形，点E在△ABC内部，且E到点A，B，C的距离分别为3，4，5，求∠AEB的度数．55、如图，点M，N分别在正三角形ABC的BC，CA边上，且BM=CN，AM，BN交于点Q．求证：∠BQM=60°．56、如图，已知∠ACB=∠DCE=90°，AC=BC=6，CD=CE，AE=3，∠CAE=45°，求AD的长．57、如图，已知AB=AD，且AC平分∠BAD，求证：BC=DC58、四边形ABCD是正方形，E、F分别是DC和CB的延长线上的点，且DE=BF，连接AE、AF、EF．若BC=8，DE=3，求△AEF的面积．59、如图，AC⊥BD，垂足点E是BD的中点，且AB=CD，求证：AB//CD.60、如图，已知AB=AD，且AC平分∠BAD，求证：BC=DC参考答案一、计算题(共60题)1、2、4、5、7、8、10、11、12、15、16、17、20、22、23、24、26、31、33、36、37、38、40、42、44、46、51、52、53、57、59、60、。

初一数学三角形试题答案及解析

初一数学三角形试题答案及解析1.小亮截了四根长分别为5cm，6cm，10cm，13cm的木条，任选其中三条组成一个三角形，这样拼成的三角形共有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】C．【解析】选其中3根组成一个三角形，不同的选法有5cm，6cm，10cm；5cm，10cm，13cm；6cm，10cm，13cm；共3种．故选C．【考点】三角形三边关系．2.如图，△ABC≌△AED，∠B=40°，∠EAB=30°，∠ACB=45°，∠D= °．【答案】45°．【解析】根据全等三角形的对应角相等即可得出∠D的度数．试题解析：∵△ABC≌△AED，∠ACB=45°，∴∠ACB=∠D=45°．【考点】全等三角形的性质．3.如图，∠ACB＞90°，AD^BC，BE^AC，CF^AB，垂足分别为点D、点E、点F，△ABC中BC边上的高是（）A.CF ；B.BE；C.AD；D.CD；【答案】B.【解析】如图，AD、BE、CF分别是三角形ABC三条边上的高，与AC对应的高是BE．故选B.【考点】作三角形的高．4.若一个正多边形的每一个外角都是30°，则这个正多边形的内角和等于 ____________ . 【答案】1800°．【解析】根据任何多边形的外角和都是360°，利用360除以外角的度数就可以求出外角和中外角的个数，即多边形的边数．n边形的内角和是（n-2）•180°，把多边形的边数代入公式，就得到多边形的内角和．试题解析：多边形的边数：360°÷30°=12，正多边形的内角和：（12-2）•180°=1800°．【考点】多边形内角与外角．5.正八边形的每一个内角都等于 °．【答案】135°【解析】多边形的内角和公式=180°×（n-2）=180°×（8-2）=1080°，所以每个内角为1080°÷8=135°.本题涉及了多边形内角和，该题较为简单，主要考查学生对多边形内角和公式的应用，以及对正多边形的内角间的关系。

人教版八年级数学上册第11章三角形综合巩固训练(含答案)

人教版八年级数学第11章三角形综合巩固训练一、选择题（本大题共10道小题）1. 如图，在△ABC中，AC边上的高是()图A．线段DA B．线段BAC．线段BC D．线段BD2. 在△ABC中，∠A＝95°，∠B＝40°，则∠C的度数是()A. 35°B. 40°C. 45°D. 50°3. 如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD∥AB，∠ACD＝40°，则∠B的度数为()A. 40°B. 50°C. 60°D. 70°4. 下列各组数中，不可能成为一个三角形三边长的是()A. 2，3，4B. 5，7，7C. 5，6，12D. 6，8，105. 在△ABC中，∠A，∠C与∠B处的外角的度数如图所示，则x的值是()A．80 B．70 C．65 D．606. 若一个正多边形的每一个外角都等于40°，则它是()A．正九边形B．正十边形C．正十一边形D．正十二边形7. 把一张形状是多边形的纸片剪去其中某一个角，剩下的部分是一个四边形，则这张纸片原来的形状不可能是()A．六边形B．五边形C．四边形D．三角形8. 若在n边形内部任意取一点P，将点P与各顶点连接起来，可以把n边形分成n个三角形，利用这个事实，可以探索到n边形的内角和为()A．180°×n B．180°×n－180°C．180°×n＋180°D．180°×n－360°9. (2019•大庆)如图，在△ABC中，BE是∠ABC的平分线，CE是外角∠ACM 的平分线，BE与CE相交于点E，若∠A=60°，则∠BEC是A．15°B．30°C．45°D．60°10. 如图，在△ABC中，∠ACB＝70°，∠1＝∠2，则∠BPC的度数为()A．70°B．108°C．110°D．125°二、填空题（本大题共8道小题）11. 如图，已知AB，CD相交于点O，且∠A＝38°，∠B＝58°，∠C＝44°，则∠D ＝________°.12. 如图所示，x的值为________．13. 如图，若A表示四边形，B表示正多边形，则阴影部分表示________．14. 若一个等腰三角形两边的长分别为2 cm，5 cm，则它的周长为________cm.15. 如图，折叠一张三角形纸片，把三角形的三个角拼在一起，就可以说明一个几何定理．请你写出这个定理的内容：______________________.16. 如图，在△ABC中，AD⊥BC，BE⊥AC，CF⊥AB，垂足分别是D，E，F.若AC＝4，AD＝3，BE＝2，则BC＝________．17. 如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，将四边形ABCD沿对角线AC折叠，使点B落在点B′处．若∠1＝∠2＝44°，则∠B＝________°.18. 如图，在△ABC中，点D在BC的延长线上，∠A＝m°，∠ABC和∠ACD 的平分线交于点A1，得∠A1；∠A1BC和∠A1CD的平分线交于点A2，得∠A2；…；∠A2019BC和∠A2019CD的平分线交于点A2020，则∠A2020＝________°.三、解答题（本大题共4道小题）19. 某单位修建正多边形花台，已知正多边形花台的一个外角的度数比一个内角度数的多12°.(1)求出这个正多边形的一个内角的度数;(2)求这个正多边形的边数.20. 如图，AE，BO，CO分别平分∠BAC，∠ABC，∠ACB，OD⊥BC于点D. 求证：∠1＝∠2.21. 探究与证明如图①，在△ABC中，AD⊥BC于点D，CE⊥AB于点E.(1)猜测∠1与∠2的关系，并说明理由；(2)如果∠ABC是钝角，如图②，(1)中的结论是否还成立？22. 已知：多边形的外角∠CBE和∠CDF的平分线分别为BM，DN.(1)若多边形为四边形ABCD.①如图 (a )，∠A ＝50°，∠C ＝100°，BM 与DN 交于点P ，求∠BPD 的度数； ②如图(b )，猜测当∠A 和∠C 满足什么数量关系时，BM ∥DN ，并证明你的猜想． (2)如图(c )，若多边形是五边形ABCDG ，已知∠A ＝140°，∠G ＝100°，∠BCD ＝120°，BM 与DN 交于点P ，求∠BPD 的度数．人教版八年级数学第11章三角形综合巩固训练-答案一、选择题（本大题共10道小题）1. 【答案】D2. 【答案】C【解析】根据三角形内角和为180°，∠C ＝180°－∠A －∠B ＝45°.3. 【答案】B【解析】∵AB ∥CD ，∴∠A ＝∠ACD ＝40°，∵∠ACB ＝90°，∴∠B ＝90°－∠A ＝90°－40°＝50°.4. 【答案】C 【解析】若三条线段的长满足三角形的三边，则这三条线段长满足最小的两边之和大于地三边，由题意，A ，B ，D 都能构成三角形，C 中5＋6＝11<12，不能构成三角形．5. 【答案】B6. 【答案】A[解析] 由于正多边形的外角和为360°，且每一个外角都相等，因此边数＝360°40°＝9.7. 【答案】A[解析] 剪去一个角的方法有三种：经过两个顶点，则少了一条边；经过一个顶点和一边，边数不变；经过两条邻边，边数增加一条．所以一个n 边形剪去一个角后，剩下的形状可能是n 边形或(n ＋1)边形或(n －1)边形．8. 【答案】D9. 【答案】B【解析】∵BE是∠ABC的平分线，∴∠EBM=12∠ABC，∵CE是外角∠ACM的平分线，∴∠ECM=12∠ACM，则∠BEC=∠ECM–∠EBM=12×(∠ACM–∠ABC)=12∠A=30°，故选B．10. 【答案】C[解析] ∵在△ABC中，∠ACB＝70°，∠1＝∠2，∴∠2＋∠BCP＝∠1＋∠BCP＝∠ACB＝70°.∴∠BPC＝180°－∠2－∠BCP＝180°－70°＝110°.二、填空题（本大题共8道小题）11. 【答案】64[解析] 由三角形内角和定理可知∠A＋∠D＋∠AOD＝180°，∠B ＋∠C＋∠BOC＝180°.∵∠AOD＝∠BOC，∴∠A＋∠D＝∠B＋∠C.∴∠D＝64°.12. 【答案】55°[解析] 由多边形的外角和等于360°，得360°－105°－60°＋x＋2x＝360°，解得x＝55°.13. 【答案】正方形14. 【答案】12[解析] 分两种情况讨论：①当腰长为5 cm时，三边长分别为5 cm，5 cm，2 cm，满足三角形三边关系，周长＝5＋5＋2＝12(cm)．②当腰长为2 cm时，三边长分别为5 cm，2 cm，2 cm.∵2＋2＝4＜5，∴5 cm，2 cm，2 cm不满足三角形的三边关系．综上，它的周长为12 cm.15. 【答案】三角形三个内角的和等于180°16. 【答案】83 [解析] ∵S △ABC ＝12AC·BE ＝12BC·AD ，∴BC ＝AC·BE AD ＝4×23＝83.17. 【答案】114[解析] 因为AB ∥CD ，所以∠BAB′＝∠1＝44°.由折叠的性质知∠BAC ＝12∠BAB′＝22°.在△ABC 中，∠B ＝180°－(∠BAC ＋∠2)＝114°.18. 【答案】(m22020)三、解答题（本大题共4道小题）19. 【答案】解:(1)设这个多边形的一个内角的度数是x °，则与其相邻的外角度数是x °+12°. 由题意，得x+x+12=180，解得x=140. 即这个正多边形的一个内角的度数是140°.(2)这个正多边形的每一个外角的度数为180°-140°=40°，所以这个正多边形的边数是=9.20. 【答案】证明：∵AE ，BO ，CO 分别平分∠BAC ，∠ABC ，∠ACB ， ∴∠ABO ＝12∠ABC ，∠BAE ＝12∠BAC ，∠OCD ＝12∠ACB. ∵∠1＝∠ABO ＋∠BAE ，∴∠1＝12∠ABC ＋12∠BAC ＝12(180°－∠ACB)＝90°－12∠ACB. 又∵∠2＝90°－∠OCD ＝90°－12∠ACB ，∴∠1＝∠2.21. 【答案】解：(1)∠1＝∠2.理由如下： ∵AD ⊥BC ，CE ⊥AB ，∴△ABD 和△BCE 都是直角三角形．∴∠1＋∠B ＝90°，∠2＋∠B ＝90°. ∴∠1＝∠2.(2)(1)中的结论仍然成立．理由如下： ∵AD ⊥BC ，CE ⊥AB ， ∴∠D ＝∠E ＝90°.∴∠2＋∠ABD ＝90°，∠1＋∠CBE ＝90°. 又∵∠ABD ＝∠CBE ， ∴∠1＝∠2.22. 【答案】解：(1)①∵∠A ＝50°，∠C ＝100°， ∴在四边形ABCD 中，∠ABC ＋∠ADC ＝360°－∠A －∠C ＝210°. ∴∠CBE ＋∠CDF ＝150°.∵外角∠CBE 和∠CDF 的平分线分别为BM ，DN ， ∴∠PBC ＋∠PDC ＝12∠CBE ＋12∠CDF ＝75°. ∴∠BPD ＝360°－50°－210°－75°＝25°. ②当∠A ＝∠C 时，BM ∥DN. 证明：如图(a)，连接BD.∵BM ∥DN ，∴∠BDN ＋∠DBM ＝180°.∴∠FDN ＋∠ADB ＋∠ABD ＋∠MBE ＝360°－180°＝180°，即12(∠FDC ＋∠CBE)＋(∠ADB ＋∠ABD)＝180°. ∴12(360°－∠ADC －∠CBA)＋(180°－∠A)＝180°. ∴12(360°－360°＋∠A ＋∠C)＋(180°－∠A)＝180°. ∴∠A ＝∠C.(2)∵∠A ＝140°，∠G ＝100°，∠BCD ＝120°，∠A＋∠ABC＋∠BCD＋∠CDG＋∠G＝540°，∴∠ABC＋∠CDG＝180°.∴∠CBE＋∠CDF＝180°.∵BP平分∠CBE，DP平分∠CDF，∴∠CBP＋∠CDP＝12(∠CBE＋∠CDF)＝90°.如图(b)，延长DC交BP于点Q.∵∠BCD＝∠CBP＋∠CQB，∠CQB＝∠QDP＋∠BPD，∴∠BCD＝∠CBP＋∠QDP＋∠BPD.∴∠BPD＝120°－90°＝30°.。

初一数学三角形综合测试题及答案

初一数学三角形综合测试题及答案初一数学三角形综合测试题及答案一、填空题.(每小题2分，共28分)1.三角形的三个外角中，钝角的个数最多有______个，锐角最多_____个.2.造房子时屋顶常用三角结构，从数学角度来看，是应用了_______，而活动挂架则用了四边形的________.3.用长度为8cm，9cm，10cm的三条线段_______构成三角形.(•填“能”或“不能”)4.要使五边形木架不变形，则至少要钉上_______根木条.5.已知在△ABC中，∠A=40°，∠B-∠C=40°，则∠B=_____，∠C=______.6.如图1所示，AB∥CD，∠A=45°，∠C=29°，则∠E=______.(1)(2)(3)7.如图2所示，∠α=_______.8.正十边形的内角和等于______，每个内角等于_______.9.一个多边形的内角和是外角和的一半，则它的边数是_______.10.把边长相同的正三角形和正方形组合镶嵌，若用2个正方形，则还需要____个正三角形才可以镶嵌.11.等腰三角形的周长为20cm，一边长为6cm，则底边长为______.12.如果一个多边形的内角和为1260°，那么这个多边形的一个顶点有_____•条对角线.13.如图3所示，共有_____个三角形，其中以AB为边的三角形有_____，以∠C 为一个内角的三角形有______.14.如图4所示，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=________.(4)(5)(6)二、选择题:(每小题3分，共24分)15.下列说法错误的是().A.锐角三角形的三条高线，三条中线，三条角平分线分别交于一点B.钝角三角形有两条高线在三角形外部C.直角三角形只有一条高线D.任意三角形都有三条高线，三条中线，三条角平分线16.在下列正多边形材料中，不能单独用来铺满地面的是().A.正三角形B.正四边形C.正五边形D.正六边形17.如图5所示，在△ABC中，D在AC上，连结BD，且∠ABC=∠C=∠1，∠A=∠3，则∠A的度数为().A.30°B.36°C.45°D.72°18.D是△ABC内一点，那么，在下列结论中错误的是().A.BD+C D>BCB.∠BDC>∠AC.BD>CDD.AB+AC>BD+CD19.正多边形的一个内角等于144°，则该多边形是正()边形.A.8B.9C.10D.1120.如图6所示，BO，CO分别是∠ABC，∠ACB的两条角平分线，∠A=100°，则∠BOC的度数为().A.80°B.90°C.120°D.140°21.如果多边形的内角和是外角和的k倍，那么这个多边形的边数是().A.kB.2k+1C.2k+2D.2k-222.如图所示，在长为5cm，宽为3cm的长方形内部有一平行四边形，则平行四边形的面积为().A.7cm2B.8cm2C.9cm2D.10cm2三、解答题:(共48分)23.如图所示，在△ABC中：(1)画出BC边上的高AD和中线AE.(3分)(2)若∠B=30°，∠ACB=130°，求∠BAD和∠CAD的度数.(5分)24.(5分)如图所示，BE平分∠ABD，DE平分∠CDB，BE和DE相交于AC上一点E，•如果∠BED=90°，试说明AB∥CD.25.(5分)如图所示，直线AD和BC相交于O，AB∥CD，∠AOC=95°，∠B=50°，•求∠A和∠D.26.(1)若多边形的内角和为2340°，求此多边形的边数.(4分)(2)一个多边形的每个外角都相等，如果它的内角与外角的度数之比为13：12，求这个多边形的边数.(4分)27.(5分)一个零件的形状如图所示，按规定∠A应等于90°，∠B与∠C 应分别是32°和21°，检验工人量得∠BDC=148°，就判断这个零件不合格，试用三角形有关知识说明理由.28.(5分)园艺师从土地上收集了许多大理石的边角料，•准备给公共绿地的甬道铺地面，其中最多的一种边角材料形状如图所示，你能否用这种边角料铺满地面?•如果能，请设计出至少两种方案.四、思维拓展题:(共6分)29.请完成下面的说明:(1)如图①所示，△ABC的外角平分线交于G，试说明∠BGC=90°-∠A.说明：根据三角形内角和等于180°，可知∠ABC+∠ACB=180°-∠_____.根据平角是180°，可知∠ABE+∠ACF=180°×2=360°，所以∠EBC+∠FCB=360°-(∠ABC+∠ACB)=360°-(180°-∠_____)=180 °+ ∠______.根据角平分线的'意义，可知∠2+∠3=(∠EBC+∠FCB)=(180°+∠_____)=90°+∠_______.所以∠BGC=180°-(∠2+∠3)=90°-∠____.(2)如图②所示，若△ABC的内角平分线交于点I，试说明∠BIC=90°+∠A.(3)用(1)，(2)的结论，你能说出∠BGC和∠BIC的关系吗?①②五、合作探究题:(共6分)30.如图所示，分别在三角形，四边形，五边形的广场各角修建半径为R•的扇形草坪(图中阴影部分).(1)图①中草坪的面积为_____;(2)图②中草坪的面积为_____;(3)图③中草坪的面积为_____;(4)如果多边形的边数为n，其余条件不变，那么，你认为草坪的面积为_____.答案:一、1.312.三角形的稳定性不稳定性3.能4.两5.90°50°6.16°7.75°8.1440°144°9.310.311.8cm或6cm12.613.3△ABD，△ABC△ACD，△ACB14.180°二、15.C16.C17.B18.C19.C20.D21.C22.A三、23.(1)如答图所示.(2)∠BAD=60°，∠CAD=40°.24.证明：在△BDE中，∵∠BED=90°，∠BED+∠EBD+∠EDB=180°，∴∠EBD+∠EDB=180°-∠BED=180°-90°=90°.又∵BE平分∠ABD，DE平分∠CDB，∴∠ABD=2∠EBD，∠CDB=2∠EDB，∴∠ABD+∠CDB=2(∠EBD+∠EDB)=2×90°=180°，∴AB∥CD.25.解：∵∠AOC是△AOB的一个外角.∴∠AOC=∠A+∠B(三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和).∵∠AOC=95°，∠B=50°，∴∠A=∠AOC-∠B=95°-50°=45°.∵AB∥CD，∴∠D=∠A(两直线平行，内错角相等)∴∠D=45°.26.解：(1)设边数为n，则(n-2)180°=2340，n=15.答：边数为15.(2)每个外角度数为180°×=24°.∴多边形边数为=15.答：边数为15.27.解：延长BD交AC于点E，∠CDB=90°+32°+21°=143°，所以不合格.28.能：如答图所示.四、29.(1)AAAAAA(2)说明：根据三角形内角和等于180°，新课标第一网可得∠ABC+∠ACB=180°-∠A，根据角平分线的意义，有∠6+∠8=(∠ABC+∠ACB)=(180°-∠A)=90°-∠A，所以∠BIC=180°-(∠6+∠8)=180°-(90°-∠A)=90°+∠A，即∠BIC=90°+∠A.(3)互补.五、30.(1)R2(2)R2(3)R2(4)R2。

初中数学八年级数学《三角形》综合题难题附答案

八年级三角形综合题难题附答案第1节与三角形有关的线段一、三角形的边1、如图，点P是△ABC内部的一点．（1）度量线段AB，AC，PB，PC的长度，根据度量结果比较AB+AC与PB+PC的大小；（2）改变点P的位置，上述结论还成立吗？（3）你能说明上述结论为什么正确吗？【答案】（1）如图有：AB+AC＞PB+PC；（2）改变点P的位置，上述结论还成立；（3）如图，连接AP，BP，CP，延长BP交于AC于点E，在△ABE中有，AB+AE＞BE＝BP+PE △在△CEP中有，PE+CE＞PC △△+△得，AB+AE+PE+CE＞BP+PE+PC，AB+AC+PE＞BP+PE+PC，△AB+AC＞BP+PC．二、三角形的高、中线与角平分线1、如图，在△ABC中，AB＝AC，BD是腰AC上的中线。

（1）若AB>BC，填空：△AD＝_____________；△△ABD的周长与△BEC的周长之差为_________。

（2）若△ABC的周长为20cm，BD将△ABC的周长分成差为4cm的两部分，求△ABC的边长。

【答案】（1）△EC；△AB-BC（2）8cm，8cm，4cm；或16/3cm，16/3cm，28/3cm2、如图，△ABC中，△C＝90°，AC＝8cm，BC＝6cm，AB＝10cm．若动点P从点C开始，按C→A→B→C的路径运动，且速度为每秒2cm．设运动的时间为t秒．（1）当t＝6秒时，CP把△ABC的周长分成相等的两部分？（2）当t＝6.5秒时，CP把△ABC的面积分成相等的两部分？（3）当t为何值时，△BCP的面积为12cm2？【答案】（1）6；（2）6.5；（3）2或6.53、如图，已知在Rt△ABC中，△ABC＝90°，点D沿BC自B向C运动（点D与点B、C不重合），作BE△AD 于E，CF△AD于F，则BE+CF的值（）A．不变B．增大C．减小D．先变大再变小【答案】C第2节与三角形有关的角一、三角形的内角和1、△ABC中，∠A＝50°，有一块直角三角板PMN放置在△ABC上（P点在△ABC内）使三角板PMN的两条直角边PM、PN恰好分别经过点B和C（如图）（1）填空：∠ABC+∠ACB＝______°，∠PBC+∠PCB ＝______°；（2）试问∠ABP与∠ACP是否存在某种确定的数量关系，写出你的结论．【答案】（1）130；90；（2）∠ABP+∠ACP＝40°2、如图①，在△ABC中，∠A＝50°，有一块直角三角尺PMN放置在△ABC上（点P在△ABC内），使三角尺PMN的两条直角边PM、PN恰好分别经过点B、C．（1）填空：∠ABC+∠ACB＝___，∠PBC+∠PCB＝___；（2）试问∠ABP与∠ACP是否存在某种确定的数量关系，请写出你的结论；（3）如图②，改变直角三角尺PMN的位置（点P在△ABC外），三角尺PMN的两条直角边PM、PN仍然分别经过点B、C，（2）中的结论是否仍然成立？若不成立，请写出你的结论，并说明理由．【答案】（1）130；90；（2）∠ABP+∠ACP＝40°；（3）发生变化；∠ACP -∠ABP＝40°．3、问题情景：如图①，将一块直角三角板PMN放置在△ABC上（点P在△ABC内），使三角尺PMN的两条直角边PM、PN恰好分别经过点B、C．试问∠ABP与∠ACP是否存在某种确定的数量关系？（1）特殊探究：若∠A＝50°，则∠ABC+∠ACB＝___，∠PBC+∠PCB＝_____，∠ABP+∠ACP＝_____；（2）类比探究：请探究∠ABP+∠ACP与∠A的数量关系．（3）类比延伸：如图②如图②，改变直角三角尺PMN 的位置（点P在△ABC外），三角尺PMN的两条直角边PM、PN仍然分别经过点B、C，（2）中的结论是否仍然成立？若不成立，请写出你的结论，并说明理由．【答案】（1）130°；90°；40°（2）∠ABP+∠ACP＝90°-∠A；（3）不成立；∠ACP -∠ABP＝90°-∠A．4、动手操作：（1）如图1，将一块直角三角板DEF放置在直角三角板ABC上，使三角板DEF的两条直角边DE、DF分别经过点B、C，且BC△EF，已知△A＝30°，则△ABD +△ACD＝______°；（2）如图2，△BDC与△A、△B、△C之间存在着什么关系，并说明理由；（3）灵活应用：请你直接利用以上结论，解决以下列问题：如图3，BE平分△ABD，CE平分△ACD，若△BAC ＝40°，△BDC＝120°，求△BEC的度数。

中考数学专题三角形综合测试题含答案

中考数学专题三角形综合测试题一、选择题（每小题3分，共30分）1.一直角三角形的两条直角边分别为3和4，下列说法中不正确的是（） A.斜边长为5 B.三角形周长为12 C.第三边长为25 D.三角形面积为6 2．如图，AB ∥CD ，AE 交CD 于C ，∠A=34°，∠DEC=90°，则∠D 的度数为（）A.17°B.34°C.56°D.124°3.计算sin 245°+cos30°•tan60°，其结果是（） A.2 B.1 C.25 D.45 4．如图，在Rt△ABC 中，∠ACB=90°，BC=1，AB=2，则下列结论正确的是（）A.sin A =B.1tan 2A =C.cos B =D.tan B =5．如图，在△ABC 中，∠ACB=90°，BE 平分∠ABC，ED⊥AB 于D ．如果∠A=30°，AE=6cm ，那么CE 等于（） A.cm B.2cm C.3cm D.8cm6．如图，点F 在正方形ABCD 内，满足∠AFB=90°，AF=6，BF=8，则图中阴影部分面积为（）A.48B.60C.76D.807.等腰三角形底边长为10cm ，周长为36cm ，那么它的底角的余弦是（） A.135 B.1312 C.1310 D.125 8．如果一个三角形的一个内角是另一个内角的3倍，那么我们称这个三角形是“智慧三角形”，下列各组数据中，能作为一个智慧三角形三边长的是( ) A.1，2，3 B.1，1，2 C.1，2，3 D.1，1，39．如图，在一笔直的海岸线l 上有A ，B 两个观测站，AB=2km ，从A 测得船C 在北偏东45°的方向，从B 测得船C 在北偏东22.5°的方向，则船C 离海岸线l 的距离（即CD 的长）为（）A.4kmB.（4﹣）kmC.2kmD.（2+）kmBCA10．小明去爬山，在山脚看山顶仰为30°，小明在坡比为5︰12的山坡上走1300米，此时小明看山顶的角度为60°，则山高为（） A.（600﹣250) 米 B.（600﹣250）米 C.（350+350）米 D.500米二、填空题（每小题4分，共32分） 11．已知α为锐角，且23)10sin(=︒-α，则α=_______． 12.已知在Rt △ABC 中，∠C=90°，AC=6，BC=8，D 为AB 中点，则CD=______．13．已知在Rt △ABC 中，∠C=90°，∠A ，∠B ，∠C 的对的边分别为a ，b ，c ，其中22=a ，62=b ，小明得到下面4个结论：①24=c ；②33tan =A ；③1cos sin =+B A ；④∠B =30°，正确的结论是_______（填序号）.14．如图，在Rt △ABC 中，∠B=90°，∠ACB=60°，斜边AC 的垂直平分线DE 分别交AB ，AC 于D ，E 两点，若BD=2，则AC 的长为______.15．如图，△ABC 中，∠A=30°，23tan =B ，AC=32，则AB 的长为______. 16.某厂家新开发的一种电动车如图，它的大灯A 射出的光线AB,AC 与地面MN 所夹的锐角分别为8︒和10︒，大灯A 离地面的距离为1m 则该车大灯照亮地面的宽度BC 是米.（不考虑其他因素））（参考数据：sin 8°≈254，tan8°≈71，sin10°≈509tan10°≈285）第16题图17．一个正方体物体沿斜坡向下滑动，其截面如图所示.正方形DEFH 的边长为2米，∠B＝90°，BC ＝6米，AC=12米. 当正方形DEFH 运动到什么位置，即当AE ＝______米时，有DC 2＝A E 2＋BC 2.18.如图，在小山的东侧A 点有一个热气球，由于受西风的影响，以30米/分的速度沿与地面成75°角的方向飞行，20分钟后到达C 处，此时热气球上的人测得小山西侧B 点的俯角为30°，则小山东西两侧A ，B 两点间的距离为_______米．三、解答题（共58分）19．（10分）如图，在Rt△ABC 中，∠C=90°，AD 平分∠CAB，CD=3，BD=32，求AB 及∠B.20．（10分）如图，在△ABC 中，AD 是BC 边上的高，AE 是BC 边上的中线，∠C=45°，sinB=，AD=1．（1）求BC 的长；（2）求tan∠DAE 的值．21．（12分）如图，MN 表示一段笔直的高架道路，线段AB 表示高架道路旁的一排居民楼．已知点A 到MN 的距离为15米，BA 的延长线与MN 相交于点D ，且∠BDN ＝30°，假设汽车在高速道路上行驶时，周围39米以内会受到噪音的影响．(1)过点A 作MN 的垂线，垂足为点H ．如果汽车沿着从M 到N 的方向在MN 上行驶，当汽车到达点P 处时，噪音开始影响这一排的居民楼，那么此时汽车与点H 的距离为多少米？ (2)降低噪音的一种方法是在高架道路旁安装隔音板．当汽车行驶到点Q 时，它与这一排居DCBA民楼的距离QC 为39米，那么对于这一排居民楼，高架道路旁安装的隔音板至少需要多少米长？(精确到1米) (参考数据：3≈1.7)22．（12分）如图，已知斜坡AB 长60米，坡角（即∠BAC）为30°，BC⊥AC，现计划在斜坡中点D 处挖去部分坡体（用阴影表示）修建一个平行于水平线CA 的平台DE 和一条新的斜坡BE ．（请将下面2小题的结果都精确到0.1米，参考数据：≈1.732）．（1）若修建的斜坡BE 的坡角（即∠BEF）不大于45°，则平台DE 的长最多为_____米；（2）一座建筑物GH 距离坡角A 点27米远（即AG=27米），小明在D 点测得建筑物顶部H 的仰角（即∠HDM）为30°．点B 、C 、A 、G 、H 在同一个平面内，点C 、A 、G 在同一条直线上，且HG⊥CG，问建筑物GH 高为多少米？23．（14分）如图，我南海某海域A 处有一艘捕鱼船在作业时突遇特大风浪，船长马上向我国渔政搜救中心发出求救信号，此时一艘渔政船正巡航到捕鱼船正西方向的B 处，该渔政船收到渔政求救中心指令后前去救援，但两船之间有大片暗礁，无法直线到达，于是决定马上调整方向，先向北偏东60 º方向以每小时30海里的速度航行半小时到达C 处，同时捕鱼船低速航行到A 点的正北1.5海里D 处，渔政船航行到点C 处时测得点D 在南偏东53 º方向上．(1)求CD 两点的距离；(2)渔政船决定再次调整航向前去救援，若两船航速不变，并且在点E 处相会合，求∠ECD 的正弦值 (参考数据：5453sin ≈︒，5353cos ≈︒，3453tan ≈︒).第23题图三角形（二）综合测试题参考答案一、1.C 2.C 3.A 4.D 5.C 6.C 7.A 8.C 9.D 10.B9．解析：过点B 作BE ⊥AD 交AC 于点E ，则BE =AB =2，AE根据题意可知，∠CBD=67.5°，所以∠BCE=22.5°，所以CE=BE=2，，在Rt△ACD 中，sin∠CAD=22=AC CD ,所以CD =(2km.E第9题图第10题图10．解析：如图，根据题意可得，BE=500米，AE=1200米，设EC=x 米，则DF=x 3, 所以CD=500+x 3，AC=1200+x ，在Rt△ACD 中，AC=3CD ，即1200+x=()x 35003+，解得3250600-=x .∴DF=x 3=7503600-， CD= DF+CF=2503600-，故应选B.二、11．70 12．5 13．①② 14．38 15．5 16．57 17．31418．2600 三、19．解：过D 点作DE⊥AB 于E 点，因为AD 平分∠CAB，所以DE=DC=3.在Rt△BED 中，sinB=21，∴∠B=30°，在Rt△ABC 中，23AB BC cosB ==，所以AB=6．第19题图20．解：（1）在△ABC 中，∵AD 是BC 边上的高， ∴∠ADB=∠ADC=90°．在△ADC 中，∵∠ADC=90°，∠C=45°，AD=1，∴DC=AD=1．在△ADB 中，∵∠ADB=90°，sinB=，AD=1，∴AB==3，∴BD==2，∴BC=BD+DC=2+1；（2）∵AE 是BC 边上的中线，∴CE=BC=+， ∴DE=CE ﹣CD=﹣，∴tan∠DAE==﹣．21．解：（1）如图，连接PA ．由题意知，AP=39m ．在直角△APH 中，PH=22221539-=-AH AP =36（米）.（2）由题意知，隔音板的长度是PQ 的长度．在Rt△ADH 中，DH=31530tan =︒AH（米）．在Rt△CDQ 中，DQ=7830sin =︒CQ（米）．则PQ=PH+HQ=PH+DQ-DH=36+78-153≈114-15×1.7=88.5≈89（米）．答：高架道路旁安装的隔音板至少需要89米．第21题图22．解：（1）11.0；（2）过点D 作DP⊥AC，垂足为P ．在Rt△DPA 中，DP=AD=×30=15，PA=AD•cos30°=×30=15．在矩形DPGM 中，MG=DP=15，DM=PG=15+27，在Rt△DMH 中， HM=DM•tan30°=×（15+27）=15+9．GH=HM+MG=15+15+9≈45.6．答：建筑物GH 高为45.6米．第22题图23．解：(1)如图，过点C 作CG ⊥AB 于点G ，DF ⊥CG 于点F . 则在R t△CBG 中，由题意知∠CBG =30°，∴CG=12BC=13015222⨯==7.5.∵∠DAG=90°，∴四边形ADFG是矩形.∴GF= AD=1.5 ，∴CF= CG-GF=7.5－1.5=6. 在R t△CDF中，∠CFD=90º，∵∠DCF=53°，∴cos∠DCF=CF CD，∴6103cos535CFCD===︒(海里)．答：CD两点距离为10海里．（2）如图，设渔政船调整方向后t小时能与捕渔船相会合，由题意知CE=30t，DE=1.5×2×t=3t，∠EDC=53°，过点E作EH⊥CD于点H，则∠EHD=∠CHE=90º，∴sin∠EDH=EH ED，∴EH=ED sin53°=4123=55t t ⨯，∴在Rt△EHC中，sin∠ECD=12253025tEHCE t==．答：sin∠ECD=225．第23题图。

初中数学七八九年级重点必考中考复习资料模拟解析试卷含答案——三角形压轴综合问题热点专题

初中数学七八九年级重点必考中考复习资料模拟解析试卷含答案——三角形压轴综合问题热点专题专题29三角形压轴综合问题一、解答题1．（2022·青海·中考真题）两个顶角相等的等腰三角形，如果具有公共的顶角的顶点，并把它们的底角顶点连接起来，则形成一组全等的三角形，把具有这个规律的图形称为“手拉手”图形.(1)问题发现：如图1，若和是顶角相等的等腰三角形，BC，DE分别是底边.求证：；图1(2)解决问题：如图2，若和均为等腰直角三角形，，点A，D，E在同一条直线上，CM为中DE边上的高，连接BE，请判断∠AEB的度数及线段CM，AE，BE之间的数量关系并说明理由.图2【答案】(1)见解析(2)；【解析】【分析】（1）先判断出∠BAD=∠CAE，进而利用SAS判断出△BAD≌△CAE，即可得出结论；（2）同（1）的方法判断出△BAD≌△CAE，得出AD=BE，∠ADC=∠BEC，最后用角的差，即可得出结论．(1)证明：∵和是顶角相等的等腰三角形，∴，，，∴，∴．在和中，，∴，∴．(2)解：，，理由如下：由（1）的方法得，，∴，，∵是等腰直角三角形，∴，∴，∴，∴．∵，，∴．∵，∴，∴．∴．【点睛】此题是三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形，等边三角形，等腰直角三角形的性质，判断出△ACD≌△BCE是解本题的关键．2．（2022·辽宁大连·中考真题）综合与实践问题情境：数学活动课上，王老师出示了一个问题：如图1，在中，D是上一点，．求证．独立思考：（1）请解答王老师提出的问题．实践探究：（2）在原有问题条件不变的情况下，王老师增加下面的条件，并提出新问题，请你解答．“如图2，延长至点E，使，与的延长线相交于点F，点G，H分别在上，，．在图中找出与相等的线段，并证明．”问题解决：（3）数学活动小组河学时上述问题进行特殊化研究之后发现，当时，若给出中任意两边长，则图3中所有已经用字母标记的线段长均可求，该小组提出下面的问题，请你解答．“如图3，在（2）的条件下，若，，，求的长．”【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）【解析】【分析】（1）利用三角形的内角和定理可得答案；（2）如图，在BC上截取证明再证明证明可得从而可得结论；（3）如图，在BC上截取同理可得：利用勾股定理先求解证明可得可得证明可得而可得再利用勾股定理求解BE，即可得到答案．【详解】证明：（1）而（2）理由如下：如图，在BC上截取，∵∴∴∵∴（3）如图，在BC上截取同理可得：而而【点睛】本题考查的是三角形的内角和定理的应用，全等三角形的判定与性质，勾股定理的应用，相似三角形的判定与性质，作出适当的辅助线构建全等三角形是解本题的关键．3．（2022·山东青岛·中考真题）【图形定义】有一条高线相等的两个三角形称为等高三角形．例如：如图①．在和中，分别是和边上的高线，且，则和是等高三角形．【性质探究】如图①，用，分别表示和的面积．则，∵∴．【性质应用】(1)如图②，D是的边上的一点．若，则__________；(2)如图③，在中，D，E分别是和边上的点．若，，，则__________，_________；(3)如图③，在中，D，E分别是和边上的点，若，，，则__________．【答案】(1)(2)；(3)【解析】【分析】（1）由图可知和是等高三角形，然后根据等高三角形的性质即可得到答案；（2）根据，和等高三角形的性质可求得，然后根据和等高三角形的性质可求得；（3）根据，和等高三角形的性质可求得，然后根据，和等高三角形的性质可求得．(1)解：如图，过点A作AE⊥BC，则，∵AE=AE，∴．(2)解：∵和是等高三角形，∴，∴；∵和是等高三角形，∴，∴．(3)解：∵和是等高三角形，∴，∴；∵和是等高三角形，∴，∴．【点睛】本题主要考查了等高三角形的定义、性质以及应用性质解题，熟练掌握等高三角形的性质并能灵活运用是解题的关键．4．（2022·山东烟台·中考真题）(1)【问题呈现】如图1，△ABC和△ADE都是等边三角形，连接BD，CE．求证：BD＝CE．(2)【类比探究】如图2，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠ABC＝∠ADE＝90°．连接BD，CE．请直接写出的值．(3)【拓展提升】如图3，△ABC和△ADE都是直角三角形，∠ABC＝∠ADE＝90°，且＝＝．连接BD，CE．①求的值；②延长CE交BD于点F，交AB于点G．求sin∠BFC的值．【答案】(1)见解析(2)(3)①；②【解析】【分析】（1）证明△BAD≌△CAE，从而得出结论；（2）证明△BAD∽△CAE，进而得出结果；（3）①先证明△ABC∽△ADE，再证得△CAE∽△BAD，进而得出结果；②在①的基础上得出∠ACE＝∠ABD，进而∠BFC＝∠BAC，进一步得出结果．(1)证明：∵△ABC和△ADE都是等边三角形，∴AD＝AE，AB＝AC，∠DAE＝∠BAC＝60°，∴∠DAE﹣∠BAE＝∠BAC﹣∠BAE，∴∠BAD＝∠CAE，∴△BAD≌△CAE（S A S），∴BD＝CE；(2)解：∵△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，，∠DAE＝∠BAC＝45°，∴∠DAE﹣∠BAE＝∠BAC﹣∠BAE，∴∠BAD＝∠CAE，∴△BAD∽△CAE，；(3)解：①，∠ABC＝∠ADE＝90°，∴△ABC∽△ADE，∴∠BAC＝∠DAE，，∴∠CAE＝∠BAD，∴△CAE∽△BAD，；②由①得：△CAE∽△BAD，∴∠ACE＝∠ABD，∵∠AGC＝∠BGF，∴∠BFC＝∠BAC，∴sin∠BFC．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质等知识，解决问题的关键是熟练掌握“手拉手”模型及其变形．5．（2022·广西·中考真题）已知，点A，B分别在射线上运动，．(1)如图①，若，取AB中点D，点A，B运动时，点D也随之运动，点A，B，D的对应点分别为，连接．判断OD与有什么数量关系?证明你的结论：(2)如图②，若，以AB为斜边在其右侧作等腰直角三角形ABC，求点O与点C的最大距离：(3)如图③，若，当点A，B运动到什么位置时，的面积最大?请说明理由，并求出面积的最大值．【答案】(1)，证明见解析(2)(3)当时，的面积最大；理由见解析，面积的最大值为【解析】【分析】（1）根据“直角三角形斜边中线等于斜边一半”可得OD=AB，OD′=A′B′，进而得出结论；（2）作△AOB的外接圆I，连接CI并延长，分别交⊙I于O′和D，当O运动到O′时，OC 最大，求出CD和等边三角形AO′B上的高O′D，进而求得结果；（3）作等腰直角三角形AIB，以I为圆心，AI为半径作⊙I，取AB的中点C，连接CI并延长交⊙I于O，此时△AOB的面积最大，进一步求得结果．（3）以AB为斜边在其右侧作等腰直角三角形ABC，连接OC交AB于点T，在OT上取点E，使OE=BE，连接BE，由（2）可知，当时，OC最大，当时，此时OT 最大，即的面积最大，由勾股定理等进行求解即可．(1)解：，证明如下：，AB中点为D，，为的中点，，，，；(2)解：如图1，作△AOB的外接圆I，连接CI并延长，分别交⊙I于O′和D，当O运动到O′时，OC最大，此时△AOB是等边三角形，∴BO′=AB=6，OC最大=CO′=CD+DO′=AB+BO′=3+3；(3)解：如图2，作等腰直角三角形AIB，以I为圆心，AI为半径作⊙I，∴AI=AB=3，∠AOB=∠AIB＝45°，则点O在⊙I上，取AB的中点C，连接CI并延长交⊙I于O，此时△AOB的面积最大，∵OC=CI+OI=AB+3=3+3，∴S△AOB最大=×6×(3+3)=9+9．【点睛】本题考查了直角三角形性质，等腰三角形性质，确定圆的条件等知识，解决问题的关键是熟练掌握“定弦对定角”的模型．6．（2022·山东潍坊·中考真题）【情境再现】甲、乙两个含角的直角三角尺如图①放置，甲的直角顶点放在乙斜边上的高的垂足O处，将甲绕点O顺时针旋转一个锐角到图②位置．小莹用作图软件Geogebra按图②作出示意图，并连接，如图③所示，交于E，交于F，通过证明，可得．请你证明：．【迁移应用】延长分别交所在直线于点P，D，如图④，猜想并证明与的位置．．关系．【拓展延伸】小亮将图②中的甲、乙换成含角的直角三角尺如图⑤，按图⑤作出示意图，并连接，如图⑥所示，其他条件不变，请你猜想并证明与的数量．．关系．【答案】证明见解析；垂直；【解析】【分析】证明，即可得出结论；通过，可以求出，得出结论；证明，得出，得出结论；【详解】证明：，，，，，，；迁移应用：，证明：，，，，，，，；拓展延伸：，证明：在中，，在中，，，由上一问题可知，，，，．【点睛】本题考查旋转变换，涉及知识点：全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质、锐角三角函数、等角的余角相等，解题关键结合图形灵活应用相关的判定与性质．7．（2022·辽宁锦州·中考真题）在中，，点D在线段上，连接并延长至点E，使，过点E作，交直线于点F．(1)如图1，若，请用等式表示与的数量关系：____________．(2)如图2．若，完成以下问题：①当点D，点F位于点A的异侧时，请用等式表示之间的数量关系，并说明理由；②当点D，点F位于点A的同侧时，若，请直接写出的长．【答案】(1)(2)①；②或；【解析】【分析】（1）过点C作CG⊥AB于G，先证明△EDF≌△CDG，得到，然后等腰三角形的性质和含30度直角三角形的性质，即可求出答案；（2）①过点C作CH⊥AB于H，与（1）同理，证明△EDF≌△CDH，然后证明是等腰直角三角形，即可得到结论；②过点C作CG⊥AB于G，与（1）同理，得△EDF≌△CDG，然后得到是等腰直角三角形，利用勾股定理解直角三角形，即可求出答案．(1)解：过点C作CG⊥AB于G，如图，∵，∴，∵，，∴△EDF≌△CDG，∴；∵在中，，，∴，∴，∴；故答案为：；(2)解：①过点C作CH⊥AB于H，如图，与（1）同理，可证△EDF≌△CDH，∴，∴，在中，，，∴是等腰直角三角形，∴，∴是等腰直角三角形，∴，∴；②如图，过点C作CG⊥AB于G，与（1）同理可证，△EDF≌△CDG，∴，∵，当点F在点A、D之间时，有∴，与①同理，可证是等腰直角三角形，∴；当点D在点A、F之间时，如图：∴，与①同理，可证是等腰直角三角形，∴；综合上述，线段的长为或．【点睛】本题考查了等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理解直角三角形，三角形的内角和定理，解题的关键是熟练掌握所学的知识，正确的作出辅助线，正确得到三角形全等．8．（2022·北京·中考真题）在中，，D为内一点，连接，，延长到点，使得(1)如图1，延长到点，使得，连接，，若，求证：；(2)连接，交的延长线于点，连接，依题意补全图2，若，用等式表示线段与的数量关系，并证明．【答案】(1)见解析(2)；证明见解析【解析】【分析】（1）先利用已知条件证明，得出，推出，再由即可证明；（2）延长BC到点M，使CM＝CB，连接EM，AM，先证，推出，通过等量代换得到，利用平行线的性质得出，利用直角三角形斜边中线等于斜边一半即可得到．(1)证明：在和中，，∴，∴，∴，∵，∴．(2)解：补全后的图形如图所示，，证明如下：延长BC到点M，使CM＝CB，连接EM，AM，∵，CM＝CB，∴垂直平分BM，∴，在和中，，∴，∴，，∵，∴，∴，∵，∴，∴，即，∵，∴，∴．【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，垂直平分线的性质，平行线的判定与性质，勾股定理的逆用，直角三角形斜边中线的性质等，第二问有一定难度，正确作辅助线，证明是解题的关键．9．（2022·福建·中考真题）已知，AB＝AC，AB＞BC．(1)如图1，CB平分∠ACD，求证：四边形ABDC是菱形；(2)如图2，将（1）中的△CDE绕点C逆时针旋转（旋转角小于∠BAC），BC，DE的延长线相交于点F，用等式表示∠ACE与∠EFC之间的数量关系，并证明；(3)如图3，将（1）中的△CDE绕点C顺时针旋转（旋转角小于∠ABC），若，求∠ADB的度数．【答案】(1)见解析(2)，见解析(3)30°【解析】【分析】（1）先证明四边形ABDC是平行四边形，再根据AB＝AC得出结论；（2）先证出，再根据三角形内角和，得到，等量代换即可得到结论；（3）在AD上取一点M，使得AM ＝CB，连接BM，证得，得到，设，，则，得到α+β的关系即可．(1)∵，∴AC＝DC，∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB，AB＝DC，∵CB平分∠ACD，∴，∴，∴，∴四边形ABDC是平行四边形，又∵AB＝AC，∴四边形ABDC是菱形；(2)结论：．证明：∵，∴，∵AB＝AC，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∴；(3)在AD上取一点M，使得AM＝CB，连接BM，∵AB＝CD，，∴，∴BM＝BD，，∴，∵，∴，设，，则，∵CA＝CD，∴，∴，∴，∴，∵，∴，∴，即∠ADB＝30°．【点睛】本题考查了菱形的判定定理、全等三角形的判定和性质、三角形内角和定理等，灵活运用知识，利用数形结合思想，做出辅助线是解题的关键．10．（2022·山东威海·中考真题）回顾：用数学的思维思考(1)如图1，在△ABC中，AB＝AC．①BD，CE是△ABC的角平分线．求证：BD＝CE．②点D，E分别是边AC，AB的中点，连接BD，CE．求证：BD＝CE．（从①②两题中选择一题加以证明）(2)猜想：用数学的眼光观察经过做题反思，小明同学认为：在△ABC中，AB＝AC，D为边AC上一动点（不与点A，C 重合）．对于点D在边AC上的任意位置，在另一边AB上总能找到一个与其对应的点E，使得BD＝CE．进而提出问题：若点D，E分别运动到边AC，AB的延长线上，BD与CE还相等吗？请解决下面的问题：如图2，在△ABC中，AB＝AC，点D，E分别在边AC，AB的延长线上，请添加一个条件（不再添加新的字母），使得BD＝CE，并证明．(3)探究：用数学的语言表达如图3，在△ABC中，AB＝AC＝2，∠A＝36°，E为边AB上任意一点（不与点A，B重合），F为边AC延长线上一点．判断BF与CE能否相等．若能，求CF的取值范围；若不能，说明理由．【答案】(1)见解析(2)添加条件CD=BE，见解析(3)能，0＜CF＜【解析】【分析】（1）①利用ASA证明△ABD≌△ACE．②利用SAS证明△ABD≌△ACE．（2）添加条件CD=BE，证明AC+CD=AB+BE，从而利用SAS证明△ABD≌△ACE．（3）在AC上取一点D，使得BD=CE，根据BF=CE，得到BD=BF，当BD=BF=BA时，可证△CBF∽△BAF，运用相似性质，求得CF的长即可．(1)①如图1，∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB，∵BD，CE是△ABC的角平分线，∴∠ABD=∠ABC，∠ACE =∠ACB，∴∠ABD=∠ACE，∵AB=AC，∠A=∠A，∴△ABD≌△ACE，∴BD=CE．②如图1，∵AB=AC，点D，E分别是边AC，AB的中点，∴AE=AD，∵AB=AC，∠A=∠A，∴△ABD≌△ACE，∴BD=CE．(2)添加条件CD=BE，证明如下：∵AB=AC，CD=BE，∴AC+CD=AB+BE，∴AD=AE，∵AB=AC，∠A=∠A，∴△ABD≌△ACE，∴BD=CE．(3)能在AC上取一点D，使得BD=CE，根据BF=CE，得到BD=BF，当BD=BF=BA时，E与A重合，∵∠A＝36°，AB=AC，∴∠ABC=∠ACB=72°，∠A=∠BF A=36°，∴∠ABF=∠BCF=108°，∠BFC=∠AFB，∴△CBF∽△BAF，∴，∵AB＝AC＝2=BF，设CF=x，∴，整理，得，解得x=，x=（舍去），故CF= x=，∴0＜CF＜．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，三角形全等的判定和性质，三角形相似的判定和性质，一元二次方程的解法，熟练掌握等腰三角形的性质，三角形全等的判定，三角形相似的判定性质是解题的关键．11．（2022·贵州铜仁·中考真题）如图，在四边形中，对角线与相交于点O，记的面积为，的面积为．（1）问题解决：如图①，若AB//CD，求证：（2）探索推广：如图②，若与不平行，（1）中的结论是否成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．（3）拓展应用：如图③，在上取一点E，使，过点E作交于点F，点H为的中点，交于点G，且，若，求值．【答案】（1）见解析；（2）（1）中的结论成立，理由见解析：（3）【解析】【分析】（1）如图所示，过点D作AE⊥AC于E，过点B作BF⊥AC于F，求出，然后根据三角形面积公式求解即可；（2）同（1）求解即可；（3）如图所示，过点A作交OB于M，取BM中点N，连接HN，先证明△OEF≌△OCD，得到OD=OF，证明△OEF∽△OAM，得到，设，则，证明△OGF∽△OHN，推出，，则，由（2）结论求解即可．【详解】解：（1）如图所示，过点D作AE⊥AC于E，过点B作BF⊥AC于F，∴，∴，，∵∠DOE=∠BOF，∴；∴；（2）（1）中的结论成立，理由如下：如图所示，过点D作AE⊥AC于E，过点B作BF⊥AC于F，∴，∴，，∵∠DOE=∠BOF，∴；∴；（3）如图所示，过点A作交OB于M，取BM中点N，连接HN，∵，∴∠ODC=∠OFE，∠OCD=∠OEF，又∵OE=OC，∴△OEF≌△OCD（AAS），∴OD=OF，∵，∴△OEF∽△OAM，∴，设，则，∵H是AB的中点，N是BM的中点，∴HN是△ABM的中位线，∴，∴△OGF∽△OHN，∴，∵OG=2GH，∴，∴，∴，，∴，由（2）可知．【点睛】本题主要考查了解直角三角形，相似三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，三角形中位线定理，正确作出辅助线是解题的关键．12．（2022·湖北武汉·中考真题）已知是的角平分线，点E，F分别在边，上，，，与的面积之和为S．(1)填空：当，，时，①如图1，若，，则_____________，_____________；②如图2，若，，则_____________，_____________；(2)如图3，当时，探究S与m、n的数量关系，并说明理由：(3)如图4，当，，，时，请直接写出S的大小．【答案】(1)①，25；②4；(2)S=(3)S=【解析】【分析】（1）①先证四边形DECF为正方形，再证△ABC为等腰直角三角形，根据CD平分∠ACB，得出CD⊥AB，且AD=BD=m,然后利用三角函数求出BF=BD cos45°=5，DF=BD sin45°=5，AE=AD cos45°=5即可；②先证四边形DECF为正方形，利用直角三角形两锐角互余求出∠A=90°-∠B=30°，利用30°直角三角形先证求出DE=，利用三角函数求出AE=ADcos30°=6，DF=DE=，BF=DF tan30°=2，BD=DF÷sin60°=4即可；（2）过点D作DH⊥AC于H，DG⊥BC于G，在HC上截取HI=BG，连接DI，先证四边形DGCH为正方形，再证△DFG≌△DEH（ASA）与△DBG≌△DIH（SAS），然后证明∠IDA=180°-∠A-∠DIH=90°即可；（3）过点D作DP⊥AC于P，DQ⊥BC于Q，在PC上截取PR=QB，连接DR，过点A作AS⊥DR于S，先证明△DQF≌△DPE，△DBQ≌△DRP，再证△DBF≌△DRE，求出∠ADR=∠ADE+∠BDF=180°-∠FDE=60°即可．(1)解：①∵，，，是的角平分线，∴四边形DECF为矩形，DE=DF，∴四边形DECF为正方形，∵，∴∠A=90°-∠B=45°=∠B，∴△ABC为等腰直角三角形，∵CD平分∠ACB，∴CD⊥AB，且AD=BD=m,∵，∴BD=n=，∴BF=BDcos45°=5，DF=BDsin45°=5，AE=ADcos45°=5，ED=DF=5，∴S= ；故答案为，25；②∵，，，是的角平分线，∴四边形DECF为矩形，DE=DF，∴四边形DECF为正方形，∵，∴∠A=90°-∠B=30°，∴DE=，AE=AD cos30°=6，DF=DE=，∵∠BDF=90°-∠B=30°，∴BF=DF tan30°=2，∴BD=DF÷sin60°=4，∴BD=n=4，∴S=，故答案为：4；；(2)解：过点D作DH⊥AC于H，DG⊥BC于G，在HC上截取HI=BG，连接DI，∴∠DHC=∠DGC=∠GCH=90°，∴四边形DGCH为矩形，∵是的角平分线，DH⊥AC，DG⊥BC，∴DG=DH，∴四边形DGCH为正方形，∴∠GDH=90°，∵，∴∠FDG+∠GDE=∠GDE+∠EDH=90°，∴∠FDG=∠EDH，在△DFG和△DEH中，，∴△DFG≌△DEH（ASA）∴FG=EH，在△DBG和△DIH中，，∴△DBG≌△DIH（SAS），∴∠B=∠DIH，DB=DI=n，∵∠DIH+∠A=∠B+∠A=90°，∴∠IDA=180°-∠A-∠DIH=90°，∴S△ADI=，∴S=；(3)过点D作DP⊥AC于P，DQ⊥BC于Q，在PC上截取PR=QB，连接DR，过点A作AS⊥DR 于S，∵是的角平分线，DP⊥AC，DQ⊥BC，∴DP=DQ，∵∠ACB=60°∴∠QDP=120°，∵，∴∠FDQ+∠FDP=∠FDP+∠EDP=120°，∴∠FDQ=∠EDP，在△DFQ和△DEP中，，∴△DFQ≌△DEP（ASA）∴DF=DE，∠QDF=∠PDE，在△DBQ和△DRP中，，∴△DBQ≌△DRP（SAS），∴∠BDQ=∠RDP，DB=DR，∴∠BDF=∠BDQ+∠FDQ=∠RDP+∠EDP=∠RDE，∵DB=DE，DB=DR，∴△DBF≌△DRE，∴∠ADR=∠ADE+∠BDF=180°-∠FDE=60°，∴S=S△ADR=．【点睛】本题考查等腰直角三角形判定与性质，正方形判定与性质，三角形全等判定与性质，直角三角形判定，三角形面积，角平分线性质，解直角三角形，掌握等腰直角三角形判定与性质，正方形判定与性质，三角形全等判定与性质，直角三角形判定，三角形面积，角平分线性质，解直角三角形是解题关键．13．（2022·黑龙江·中考真题）和都是等边三角形．(1)将绕点A旋转到图①的位置时，连接BD，CE并延长相交于点P（点P与点A重合），有（或）成立；请证明．(2)将绕点A旋转到图②的位置时，连接BD，CE相交于点P，连接P A，猜想线段P A、PB、PC之间有怎样的数量关系？并加以证明；(3)将绕点A旋转到图③的位置时，连接BD，CE相交于点P，连接P A，猜想线段P A、PB、PC之间有怎样的数量关系？直接写出结论，不需要证明．【答案】(1)证明见解析(2)图②结论：，证明见解析(3)图③结论：【解析】【分析】（1）由△ABC是等边三角形，得AB=AC，再因为点P与点A重合，所以PB=AB，PC=AC，P A=0，即可得出结论；（2）在BP上截取，连接AF，证明（SAS），得，再证明（SAS），得，，然后证明是等边三角形，得，即可得出结论；（3）在CP上截取，连接AF，证明（SAS），得，再证明（SAS），得出，，然后证明是等边三角形，得，即可得出结论：．(1)证明：∵△ABC是等边三角形，∴AB=AC，∵点P与点A重合，∴PB=AB，PC=AC，P A=0，∴或；(2)解：图②结论：证明：在BP上截取，连接AF，∵和都是等边三角形，∴，，∴，∴，∴（SAS），∴，∵AC=AB，CP=BF，∴（SAS），∴，，∴，∴，∴是等边三角形，∴，∴；(3)解：图③结论：，理由：在CP上截取，连接AF，∵和都是等边三角形，∴，，∴，∴，∴（SAS），∴，∵AB=AC，BP=CF，∴（SAS），∴，，∴，∴，∴是等边三角形，∴，∴，即．【点睛】本题考查等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，熟练掌握等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质是解题的关键．14．（2022·陕西·中考真题）问题提出(1)如图1，是等边的中线，点P在的延长线上，且，则的度数为__________．问题探究(2)如图2，在中，．过点A作，且，过点P 作直线，分别交于点O、E，求四边形的面积．问题解决(3)如图3，现有一块型板材，为钝角，．工人师傅想用这块板材裁出一个型部件，并要求．工人师傅在这块板材上的作法如下：①以点C为圆心，以长为半径画弧，交于点D，连接；②作的垂直平分线l，与于点E；③以点A为圆心，以长为半径画弧，交直线l于点P，连接，得．请问，若按上述作法，裁得的型部件是否符合要求？请证明你的结论．【答案】(1)(2)(3)符合要求，理由见解析【解析】【分析】（1）利用等腰三角形的判定及性质，结合三角形内角和，先求出即可；（2）连接．先证明出四边形是菱形．利用菱形的性质得出，由，得出．根据，得，，即可求出，再求出，利用即可求解；（3）由作法，知，根据，得出．以为边，作正方形，连接．得出．根据l是的垂直平分线，证明出为等边三角形，即可得出结论．(1)解：，，，，解得：，，，故答案为：；(2)解：如图2，连接．图2∵，∴四边形是菱形．∴．∵，∴．∵，∴．∴．∵，∴．∴．∴．(3)解：符合要求．由作法，知．∵，∴．如图3，以为边，作正方形，连接．图3∴．∵l是的垂直平分线，∴l是的垂直平分线．∴．∴为等边三角形．∴，∴，∴．∴裁得的型部件符合要求．【点睛】本题考查了等边三角形的性质，等腰三角形的判定及性质、三角形内角和定理、菱形的判定及性质、锐角三角函数、正方形、垂直平分线，解题的关键是要灵活运用以上知识点进行求解，涉及知识点较多，题目较难．15．（2022·湖南岳阳·中考真题）如图，和的顶点重合，，，，．(1)特例发现：如图1，当点，分别在，上时，可以得出结论：______，直线与直线的位置关系是______；(2)探究证明：如图2，将图1中的绕点顺时针旋转，使点恰好落在线段上，连接，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由；(3)拓展运用：如图3，将图1中的绕点顺时针旋转，连接、，它们的延长线交于点，当时，求的值．【答案】(1)，垂直(2)成立，理由见解析(3)【解析】【分析】（1）解直角三角形求出，，可得结论；（2）结论不变，证明，推出，，可得结论；（3）如图3中，过点作于点，设交于点，过点作于点求出，，可得结论．(1)解：在中，，，，∴，在中，，，∴，∴，，∴，此时，故答案为：，垂直；(2)结论成立．理由：∵，∴，∵，，∴，∴，∴，，∵，∴，∴，∵，∴，∴；(3)如图3中，过点作于点，设交于点，过点作于点．∵，，∴，∴．∵，∴，，当时，四边形是矩形，∴，，设，则，，∵，∴，∴，∴，∴，∴，∴，∴，∴．【点睛】本题属于三角形综合题，考查了解直角三角形，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考压轴题．16．（2022·湖北十堰·中考真题）已知，在内部作等腰，，．点为射线上任意一点（与点不重合），连接，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接并延长交射线于点．(1)如图1，当时，线段与的数量关系是_________；(2)如图2，当时，（1）中的结论是否还成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由；(3)若，，，过点作，垂足为，请直接写出的长（用含有的式子表示）．【答案】(1)BF=CF(2)成立；理由见解析(3)或PD=0或【解析】【分析】（1）连接AF，先根据“SAS”证明，得出，再证明，即可得出结论；（2）连接AF，先说明，然后根据“SAS”证明，得出，再证明，即可得出结论；（3）先根据，AB=AC，得出△ABC为等边三角形，再按照，，三种情况进行讨论，得出结果即可．(1)解：BF=CF；理由如下：连接AF，如图所示：根据旋转可知，，AE=AD，∵∠BAC=90°，∴，，∴，∵AC=AB，∴（SAS），∴，∴，∵在Rt△ABF与Rt△ACF中，∴（HL），∴BF=CF．故答案为：BF=CF．(2)成立；理由如下：连接AF，如图所示：根据旋转可知，，AE=AD，∵，∴，，∴，∵AC=AB，∴，∴，∴，∵在Rt△ABF与Rt△ACF中，∴（HL），∴BF=CF．∵，AB=AC，∴△ABC为等边三角形，∴，，当时，连接AF，如图所示：根据解析（2）可知，，∴，∵，，即，，根据解析（2）可知，，∴，∴，，，∵，∴，∴，，∴；当时，AD与AC重合，如图所示：∵，，∴△ADE为等边三角形，∴∠ADE=60°，∵，∴，∴此时点P与点D重合，；当时，连接AF，如图所示：根据解析（2）可知，，∴，∵，，即，，根据解析（2）可知，，∴，∴，∵，，∵，∴，∴，，∴；综上分析可知，或PD=0或．17．（2022·湖南湘潭·中考真题）在中，，，直线经过点，过点、分别作的垂线，垂足分别为点、．(1)特例体验：如图①，若直线，，分别求出线段、和的长；(2)规律探究：①如图②，若直线从图①状态开始绕点旋转，请探究线段、和的数量关系并说明理由；②如图③，若直线从图①状态开始绕点A顺时针旋转，与线段相交于点，请再探线段、和的数量关系并说明理由；(3)尝试应用：在图③中，延长线段交线段于点，若，，求．【答案】(1)BD=1；CE=1；DE=2(2)DE=CE+BD；理由见解析；②BD=CE+DE；理由见解析(3)【解析】【分析】（1）先根据得出，根据，得出，，再根据，求出，，即可得出，最后根据三角函数得出，，即可求出；（2）①DE=CE+BD；根据题意，利用“AAS”证明，得出AD=CE，BD=AE，即可得出结论；②BD=CE+DE；根据题意，利用“AAS”证明，得出AD=CE，BD=AE，即可得出结论；（3）在Rt△AEC中，根据勾股定理求出，根据，得出，代入数据求出AF，根据AC=5，算出CF，即可求出三角形的面积．(1)解：∵，，∴，∵，∴，，∵BD⊥AE，CE⊥DE，∴，∴，，∴，∴，，∴．(2)DE=CE+BD；理由如下：∵BD⊥AE，CE⊥DE，∴，∴，∵，∴，∴，∵AB=AC，∴，∴AD=CE，BD=AE，∴DE=AD+AE=CE+BD，即DE=CE+BD；②BD=CE+DE，理由如下：∵BD⊥AE，CE⊥DE，∴，∴，∵，∴，∴，∵AB=AC，∴，∴AD=CE，BD=AE，∴BD=AE=AD+DE=CE+DE，即BD=CE+DE．(3)根据解析（2）可知，AD=CE=3，∴，在Rt△AEC中，根据勾股定理可得：，∵BD⊥AE，CE⊥AE，∴，∴，即，解得：，∴，∵AB=AC=5，∴．【点睛】本题主要考查了三角形全等的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理，平行线的性质，解直角三角形，根据题意证明，是解题的关键．18．（2022·江苏扬州·中考真题）如图1，在中，，点在边上由点向点运动（不与点重合），过点作，交射线于点．(1)分别探索以下两种特殊情形时线段与的数量关系，并说明理由；①点在线段的延长线上且；②点在线段上且．(2)若．①当时，求的长；②直接写出运动过程中线段长度的最小值．【答案】(1)①②(2)①②4【解析】【分析】（1）①算出各个内角，发现其是等腰三角形即可推出；②算出各内角发现其是30°的直角三角形即可推出；（2）①分别过点A，E作BC的垂线，得到一线三垂直的相似，即，设，，利用30°直角三角形的三边关系，分别表示出，，，，列式求解a即可；②分别过点A，E作BC的垂线，相交于点G，H，证明可得，然后利用完全平方公式变形得出，求出AE的取值范围即可．(1)①如图：∵在中，，∴∵∴，在中，∴∴∴；②如图：∵∴，∴在中，∴∴；(2)①分别过点A，E作BC的垂线，相交于点H，G，则∠EGD＝∠DHA＝90°，∴∠GED＋∠GDE＝90°，∵∠HDA＋∠GDE＝90°，∴∠GED＝∠HDA，∴，设，，则，，在中，，AB=6则，在中，，则在中，，∴∴由得，即解得：，（舍）故；②分别过点A，E作BC的垂线，相交于点G，H，则∠EHD＝∠AGD＝90°，∵∠ADE＝90°，∴∠EDH=90°-∠ADG＝∠DAG，∵∠EHD＝∠AGD＝90°，∴，∴，∴，∵∠BAC＝90°，∠C＝60°，∴∠B=30°，∴，∴，∴=，∵∴，∴，∵，∴，∵，∴，∴，故AE的最小值为4.【点睛】本题考查了直角三角形的性质，三角形相似的判定和性质，等腰三角形的性质，一线三垂直相似模型，垂线段最短，熟练掌握直角三角形的性质，一线三垂直模型，垂线段最短原理是解题的关键．19．（2022·河北·中考真题）如图，四边形ABCD中，，∠ABC＝90°，∠C＝30°，AD ＝3，，DH⊥BC于点H．将△PQM与该四边形按如图方式放在同一平面内，使点P与A重合，点B在PM上，其中∠Q＝90°，∠QPM＝30°，．(1)求证：△PQM≌△CHD；(2)△PQM从图1的位置出发，先沿着BC方向向右平移（图2），当点P到达点D后立刻绕点D逆时针旋转（图3），当边PM旋转50°时停止．①边PQ从平移开始，到绕点D旋转结束，求边PQ扫过的面积；②如图2，点K在BH上，且．若△PQM右移的速度为每秒1个单位长，绕点D旋转的速度为每秒5°，求点K在△PQM区域（含边界）内的时长；③如图3．在△PQM旋转过程中，设PQ，PM分别交BC于点E，F，若BE＝d，直接写出CF的长（用含d的式子表示）．【答案】(1)见详解(2)①；②；③【解析】【分析】（1）先证明四边形是矩形，再根据算出CD长度，即可证明；（2）①平移扫过部分是平行四边形，旋转扫过部分是扇形，分别算出两块面积相加即可；②运动分两个阶段：平移阶段：；旋转阶段：取刚开始旋转状态，以PM为直径作圆，H为圆心，延长DK与圆相交于点G，连接GH，GM，过点G作于T；设，利用算出，，，利用算出DG，利用算出GT，最后利用算出，发现，从而得到，度数，求出旋转角，最后用旋转角角度计算所用时间即可；③分两种情况：当旋转角＜30°时，DE在DH的左侧，当旋转角≥30°时，DE在DH上或右侧，证明，结合勾股定理，可得，即可得CF与d的关系．(1)∵，∴则在四边形中故四边形为矩形，在中，∴，∵。

初中数学三角形专题训练50题(含答案)

初中数学三角形专题训练50题含答案(单选、填空、解答题)一、单选题1．如图，已知⊙O的半径为R，C、D是直径AB的同侧圆周上的两点，AC的度数为100°，BC=2BD，动点P在线段AB上，则PC＋PD的最小值为（）C D RA．R B2．如图，在⊙ABCD中，连接AC，⊙ABC＝⊙CAD＝45°，AB＝2，则BC的长是()AB．2C．D．43．如图点P是⊙BAC内一点，PE⊙AB于点E，PF⊙AC于点F，PE＝PF，则直接得到⊙PEA⊙⊙PFA的理由是（）A．HL B．ASA C．AAS D．SAS【答案】A【详解】解：⊙PE⊙AB于点E，PF⊙AC于点F，⊙⊙PEA＝⊙PFA=90°，⊙PE=PF，AP=AP，⊙⊙PEA⊙⊙PFA（HL）；4．如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD 的顶点A 在y 轴上，已知B(﹣3，0)、C(2，0)，则点D 的坐标为（）A ．(4，5)B ．(5，4)C ．(5，3)D ．(4，3)5．适合下列条件的ABC ∆中，是直角三角形的共有（）⊙6a =，45A ∠=︒；⊙32A ∠=，58B ∠=︒；⊙2a =，2b =，4c =；⊙7a =，24b =，25c =.A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】B 【分析】根据构成直角三角形三边关系的条件：三角形两条边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形就是直角三角形，最长边所对的角为直角，判定即可.【详解】⊙6a =，45A ∠=︒，不能判定ABC ∆中是直角三角形；⊙3258A B ︒︒==∠，∠，A B ∠∠=︒+90，是直角三角形；⊙2222222a b c +=+≠，不能判定ABC ∆中是直角三角形；⊙()()22222272425a b c +=+==，是直角三角形；【点睛】此题主要考查构成直角三角形条件的判定，熟练掌握，即可解题.=，点N在CD上，且6．如图，已知四边形ABCD是矩形，点M在BC上，BM CD=与BN交于点P，则:DN CM DM,DM BN=（）A2B．C D．27．如图，已知正方形的面积为25，且AB比AC大1，BC的长为()A．3B．4C．5D．6【答案】A8．如图，在Rt ABC △中，90ACB ∠=︒，30ABC ∠=︒，若ABC A B C ''△≌△，且点A '恰好落在AB 上，则ACA ∠'的度数为（）A ．30°B ．45°C ．50°D ．60° 【答案】D 【分析】根据全等三角形的性质可得A C AC '=，从而得到60AA CA ，即可求解．【详解】解：⊙90ACB ∠=︒，30ABC ∠=︒，⊙⊙A =60°，⊙ABC A B C ''△≌△，⊙A C AC '=，⊙60AA C A ，⊙60ACA '∠=︒．故选：D【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质，等腰三角形的性质，熟练掌握全等三角形的性质，等腰三角形的性质是解题的关键．9．如图，将三角板的直角顶点放在直尺的一边上，1=30∠︒，2=50∠︒，3=∠（）度A ．10B ．20C ．30D ．50 【答案】B 【分析】根据两直线平行，同位角相等求出⊙2的同位角，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式进行计算即可得解．【详解】解：如图：⊙⊙2=50°，直尺的两边互相平行，⊙⊙4=⊙2=50°，⊙⊙1=30°，⊙⊙3=⊙4-⊙1=50°-30°=20°．故选：B ．【点睛】本题考查了两直线平行，同位角相等的性质，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，熟记性质是解题的关键．10．在ABC 中，若90A C ∠+∠=︒，则（）．A ．BC AB AC =+B ．222AC AB BC =+ C ．222AB AC BC =+D ．222BC AB AC =+【答案】B【分析】由⊙A +⊙C =90°可得⊙B =90°，于是可确定AC 是Rt⊙ABC 的斜边，再根据勾股定理即得答案．【详解】解：⊙⊙A +⊙C =90°，⊙⊙B =90°，⊙AC 是Rt⊙ABC 的斜边，222【点睛】本题考查了勾股定理和三角形的内角和定理，由题意确定AC 是Rt ⊙ABC 的斜边是解题的关键．11．如图，直线AB CD ∥，AE CE ⊥于点E ，若140EAB ∠=︒，则ECD ∠的度数是（）A ．120°B ．130°C ．150°D ．160° 【答案】B 【分析】延长AE ，与DC 的延长线交于点F ，根据平行线的性质，求出⊙AFC 的度数，再利用外角的性质求出⊙ECF ，从而求出⊙EC D ．【详解】解：延长AE ，与DC 的延长线交于点F ，⊙AB ⊙CD ，⊙⊙A +⊙AFC =180°，⊙⊙EAB =140°，⊙⊙AFC =40°，⊙AE ⊙CE ，⊙⊙AEC =90°，而⊙AEC =⊙AFC +⊙ECF ，⊙⊙ECF =⊙AEC -⊙F =50°，⊙⊙ECD =180°-50°=130°，故选：B ．【点睛】本题考查平行线的性质和外角的性质，正确作出辅助线和正确利用平行线的性质是解题的关键．12．如图，在ABC 中，AB AC =，AD 是BAC ∠的平分线，DE AB ⊥，DF AC ⊥，垂足分别是E 、F ，下面给出的四个结论，其中正确的有（）．距离相等的点到DE 、DF 的距离也相等．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】D 【分析】由等腰三角形“三线合一”可知AD⊙BC ，BD=DC ，得到AD 上的点到B 、C 两点的距离相等，根据角平分线性质定理可知DE=DF ，根据HL 证直角三角形全等，得到AE=AF ，从而得到AD 平分EDF ∠，即可得出答案．【详解】解：⊙AB AC =，AD 是BAC ∠的平分线，⊙AD⊙BC ，BD=DC ，⊙AD 上的点到B 、C 两点的距离相等，⊙⊙正确；⊙AD 是BAC ∠的平分线，DE AB ⊥，DF AC ⊥，⊙DE=DF ，⊙EDA=⊙FDA ，⊙AD 平分⊙EDF ，⊙⊙正确；在直角△AED 和直角△AFD 中，AD AD DE DF=⎧⎨=⎩ ⊙⊙AED⊙⊙AFD ，⊙AE=AF ，⊙AD 平分⊙BAC ，又⊙AD 是BAC ∠的平分线，⊙到AE 、AF 距离相等的点到DE 、DF 的距离也相等，⊙⊙、⊙正确，故选D ．【点睛】本题考查了全等三角形的证明和性质，角平分线性质，等腰三角形的性质的应用，对条件的合理利用是解题的关键．13．如图，BO 、CO 分别平分⊙ABC 、⊙ACB ，OD ⊙BC 于点D ，OD ＝2，⊙ABC 的周长为28，则⊙ABC 的面积为（）A ．28B ．14C ．21D ．7在BOD 和△OEB OBE BO ∠=∠∠==BOD △≌△OE =OD =21122AB OE BC OD AC OF ++ )AB BC AC OD ++ 282⨯故选：A．【点睛】本题考查了角平分线的性质定理，求三角形的面积等知识，关键是根据条件构造适合角平分线性质定理条件的辅助线．14．如图，菱形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，AE垂直平分CD，垂足为点E，则BAD∠=（）A．100°B．120°C．135°D．150°【答案】B【分析】直接利用线段垂直平分线的性质得出AC=AD，再利用菱形的性质以及等边三角形的判定与性质得出答案．【详解】解：⊙AE垂直且平分边CD，⊙AC=AD，⊙四边形ABCD是菱形，⊙AD=DC，⊙ACB=⊙ACD，⊙⊙ACD是等边三角形，⊙⊙ACD=60︒，⊙⊙BCD=120︒．⊙⊙BAD=⊙BCD=120︒，故选：B．【点睛】此题主要考查了菱形的性质以及等边三角形的判定与性质，得出⊙ACD是等边三角形是解题关键．15．如图中字母A所代表的正方形的面积为（）【详解】试题分析：根据勾股定理的几何意义解答．解：根据勾股定理以及正方形的面积公式知：以直角三角形的两条直角边为边长的正方形的面积和等于以斜边为边长的正方形的面积，所以A=289﹣225=64．故选D．16．三角形的三边长为a，b，c，且满足22-=-，则这个三角形是（）()2a b c abA．等边三角形B．钝角三角形C．直角三角形D．锐角三角形【答案】C【分析】先利用完全平方公式化简已知等式，再根据勾股定理的逆定理即可得．【详解】由22a b c ab-=-得：222()2-+=-，a ab bc ab22即222a b c，+=,,a b c为三角形的三边长，∴这个三角形是直角三角形，故选：C．【点睛】本题考查了完全平方公式、勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题关键．17．如图，⊙ABC的两边AB和AC的垂直平分线分别交BC于D，E，若⊙BAC+⊙DAE=150°，则⊙BAC的度数是（）A．105B．110C．115D．120【答案】B【分析】根据垂直平分线性质，⊙B=⊙DAB，⊙C=⊙EAC．则有⊙B+⊙C+2⊙DAE=150°，即180°-⊙BAC+2⊙DAE=150°，再与⊙BAC+⊙DAE=150°联立解方程组即可．【详解】⊙⊙ABC的两边AB，AC的垂直平分线分别交BC于D，E，⊙DA=DB，EA=EC，⊙⊙B=⊙DAB，⊙C=⊙EAC．⊙⊙BAC+⊙DAE=150°，⊙⊙⊙B+⊙C+2⊙DAE=150°．⊙⊙B+⊙C+⊙BAC=180°，⊙180°-⊙BAC+2⊙DAE=150°，即⊙BAC-2⊙DAE=30°．⊙由⊙⊙组成的方程组150230BAC DAEBAC DAE∠+∠=︒⎧⎨∠-∠=︒⎩，解得⊙BAC=110°．故选B．【点睛】此题考查了线段的垂直平分线、等腰三角形的性质、三角形内角和定理等知识点，解题的关键是得到⊙BAC和⊙DAE的数量关系.18．如图，在平面直角坐标系中，已知A（﹣2，4）、P（﹣1，0），B为y轴上的动点，以AB为边构造⊙ABC，使点C在x轴上，⊙BAC＝90°，M为BC的中点，则PM 的最小值为（）A B C D【答案】C【分析】作AH⊙y轴，CE⊙AH，证明⊙AHB⊙⊙CEA，根据相似三角形的性质得到AE ＝2BH，求出点M的坐标，根据两点间的距离公式用x表示出PM，根据二次函数的性质解答即可．【详解】解：如图，过点A作AH⊙y轴于H，过点C作CE⊙AH于E，则四边形CEHO是矩形，⊙OH＝CE＝4，⊙⊙BAC＝⊙AHB＝⊙AEC＝90°，19．如图，在ABC 和ADE 中，36CAB DAE ∠=∠=︒，AB AC =，AD AE =．连接CD ，连接BE 并延长交AC ，AD 于点F ，G ．若BE 恰好平分ABC ∠，则下列结论错误的是（）A ．ADC AEB ∠=∠B ．//CD ABC ．DE GE=D ．2BF CF AC =⋅ 【答案】C 【分析】根据SAS 即可证明DAC EAB △≌△，再利用全等三角形的性质以及等腰三角形的性质，结合相似三角形的判定和性质，即可一一判断【详解】,,36AB AC AD AE CAB DAE ==∠=∠=︒DAC EAB ∴∠=∠AB AC=∴∠=ABCBE平分∴∠=ABEDAC△≌△∴∠ACD∴∠=ACDAD AE=∴∠=ADE∠=DGE∠即ADE∴≠DE GE∠=ABCCFB∴∠=∴=BC BF∴△∽△ABCBF CF∴=AB BC=AB ACBF CF∴=AC BF2=BF CF故答案选：【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，相似三角20．如图，在Rt△ABC中，⊙ACB＝90°，点D是AB边的中点，过D作DE⊙BC于点E，点P是边BC上的一个动点，AP与CD相交于点Q．当AP＋PD的值最小时，AQ 与PQ之间的数量关系是（）A．AQ＝52PQ B．AQ＝3PQ C．AQ＝83PQ D．AQ＝4PQ⊙MN =PE ，ND =PC ，在△DNQ 和△CPQ 中，NDQ QCP NQD PQC DN PC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，⊙⊙DNQ ⊙⊙CPQ ，⊙NQ =PQ ，⊙AN =NP ，⊙AQ =3PQ故选：B ．【点睛】本题考查轴对称最短问题、全等三角形的判定和性质、平行线分线段成比例定理等知识，解题的关键是利用对称找到点P 位置，熟练掌握平行线的性质，属于中考常考题型．解两条线段之和最小（短）类问题，一般是运用轴对称变换将处于直线同侧的点转化为直线异侧的点，从而把两条线段的位置关系转换，再根据两点之间线段最短来确定方案，使两条线段之和转化为一条线段．二、填空题21．在Rt⊙ABC 中，⊙C ＝90°，若a =6，b =8，则c =________．【答案】10【详解】根据勾股定理2223664100c a b =+=+=c 为三角形边长，故c=10.22．在半径为5的圆中，弧所对的圆心角为90°，则弧所对的弦长是________．【点睛】本题考查利用半径和圆心角求弦长，难度不大，掌握勾股定理是解题的关键．23．在ABC 中，AB AC =，CD 是AB 边上的高，40ACD ∠=︒，则B ∠的度数为______．【答案】65︒或25︒【分析】分两种情况：当D 在线段AB 上时，根据题意，得出90ADC ∠=︒，再根据三角形的内角和定理，得出50A ∠=︒，再根据等边对等角，得出B ACB ∠=∠，再根据三角形的内角和定理，计算即可得出B ∠的度数；当D 在线段AB 的延长线上时，根据题意，得出90ADC ∠=︒，再根据三角形的内角和定理，得出50A ∠=︒，再根据等边对等角，得出B ACB ∠=∠，再根据三角形的外角的性质，计算即可得出B ∠的度数，综合即可得出答案．【详解】解：如图，当D 在线段AB 上时，⊙CD 是AB 边上的高，⊙90ADC ∠=︒，又⊙40ACD ∠=︒，⊙180904050A ∠=︒-︒-︒=︒，⊙AB AC =，⊙B ACB ∠=∠，⊙218018050130B A ∠=︒-∠=︒-︒=︒，⊙65B ∠=︒；如图，当D 在线段BA 的延长线上时，⊙CD 是AB 边上的高，⊙90ADC ∠=︒，又⊙40ACD ∠=︒，⊙180904050DAC ∠=︒-︒-︒=︒，⊙AB AC =，⊙B ACB ∠=∠，又⊙2DAC B ACB B ∠=∠+∠=∠，⊙250B ∠=︒，⊙25B ∠=︒，综上所述，B ∠的度数为65︒或25︒．故答案为：65︒或25︒．【点睛】本题考查了三角形的内角和定理、等边对等角、三角形的外角的性质，解本题的关键在熟练掌握相关的性质定理，分类讨论．24．如图，分别以等边三角形的每个顶点为圆心，以边长为半径，在另两个顶点间作一段圆弧，三段圆弧围成的曲边三角形称为勒洛三角形．若等边三角形的边长为4，则勒洛三角形的周长为：_________．25．边长为2的等边三角形的高与它的边长的比值为___________．【详解】解：等边三角形的边长是26．在Rt⊙ABC中，⊙C＝90°，⊙A＝30°，BC＝2，则AC＝_______ ．27．如图，在四边形ABCD中，90∠=︒，2A==，BC=CD=AD AB∠的度数为________．ABC28．如图，在O 中，弦2BC =，点A 是圆上一点，且30BAC ∠=︒，则O 的半径是________．【答案】2【分析】连接OB ，OC ，先由圆周角定理求出BOC ∠的度数，再由OB OC =判断出BOC 是等边三角形，故可得出结论．【详解】解：连接OB ，OC ，⊙30BAC ∠=︒，⊙260BOC BAC ∠=∠=︒，⊙OB OC =，⊙BOC 是等边三角形，⊙2OB BC ==．故答案为：2【点睛】本题考查了圆周角定理，根据题意作出辅助线，构造出圆心角是解答此题的关键．29．如果等腰三角形的两边长分别为5cm 和10cm ，那么它的周长等于___________cm ．【答案】25【分析】分5cm为腰和10cm为腰，两种情况求解．【详解】解：因为等腰三角形的两边长分别为5cm和10cm，当腰长为5cm时，三边长分别为5cm,5cm,10cm，+，因为55=10所以三角形不存在；当腰长为10cm时，三边长分别为5cm,10cm,10cm，+＞，因为51010所以三角形存在；++=，所以三角形的周长为5101025(cm)故答案为：25．【点睛】本题考查了等腰三角形周长的分类计算，正确进行分类和判定三角形的存在性是解题的关键．30．等腰三角形的一边长为3，周长为15，则该三角形的腰长是______．31．如图，⊙O的半径为5cm，△ABC内接于⊙O，BC＝5cm，则⊙A的度数为_____°．【答案】3032．如图，AD 、AE 分别是⊙ABC 的角平分线和高，⊙B =60°，⊙C =70°，则⊙EAD =______．【答案】5︒【分析】根据角平分线的性质及三角形内角和定理进行求解．【详解】解：由题意可知，⊙B =60°，⊙C =70°，所以18013050A ∠=-=°，所以25BAD ∠=°，在三角形BAE 中，906030BAE ∠=-=°，所以⊙EAD=5°故答案为：5°．【点睛】本题属于对角平分线和角度基本知识，解题的关键是进行变换求解．33．如图，正方形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，点E、F分别在边AB、BC 上，且⊙EOF＝90°，则S四边形OEBF⊙S正方形ABCD＝___.34．图1是一个闭合时的夹子，图2是该夹子的主视示意图，夹子两边为AC，BD （点A与点B重合），点O是夹子转轴位置，O E⊙AC于点E，OF⊙BD于点F，OE=OF=1cm，AC=BD=6cm，CE=DF，CE:AE=2:3.按图示方式用手指按夹子，夹子两边绕点O转动．(1)当E，F两点的距离最大值时，以点A，B，C，D为顶点的四边形的周长是_____cm．(2)当夹子的开口最大（点C与点D重合）时，A，B两点的距离为_____cm．35．如图，直线L 1、L 2、L 3分别过正方形ABCD 的三个顶点A 、D 、C ，且相互平行，若L 1、L 2的距离为1，L 2、L 3的距离为2，则正方形的边长为__________．AED DFC ≌，从而可得度．【详解】如图，过D ⊙123////L L L⊙13,EF L EF L ⊥⊥⊙AED DFC ≌1,DE CF AE DF ===22AD AE ED =+=故答案为：5．【点睛】本题考查了正方形与平行线的问题，掌握平行线的性质、全等三角形的性质以及判定定理、勾股定理是解题的关键．36．正方形ABCD 中．E 是AD 边中点．连接CE ．作⊙BCE 的平分线交AB 于点F ．则以下结论：⊙⊙ECD =30°．⊙⊙BCF 的外接圆经过点E ；⊙四边形AFCD 的面积是⊙BCF⊙BF AB =．其中正确的结论有 _____．（请填写所有正确结论的序号），易证BCF GCF ≅37．菱形ABCD中，AD＝4，⊙DAB＝60°，E、F、G、H分别是AD、AB、BC、CD上的点，且DH＝FB，DE＝BG，当四边形EFGH为正方形时，DH＝____．38．已知菱形ABCD中，AC=6cm，BD=4cm．若以BD为边作正方形BDEF，则AF=__cm．⊙如图1,正方形BDEF在点A一侧时,延长CA交EF于点M.39．如图，正方形ABCD中，2AB=，AC，BD交于点O．若E，F分别是边AB，BC上的动点，且OE OF∆周长的最小值是__________．⊥，则OEF40．如图，在平行四边形ABCD 中，AC ＝3cm ，BD ，AC ⊙CD ，⊙O 是△ABD 的外接圆，则AB 的弦心距等于_____cm ．【答案】116##516【分析】设AC、BD的交点为G，作圆的直径AN，连接BN，过点O作OF⊙AB于点三、解答题41．如图，AD⊙BC，⊙BAC＝70°，DE⊙AC于点E，⊙D＝20°.(1)求⊙B的度数，并判断⊙ABC的形状；(2)若延长线段DE恰好过点B，试说明DB是⊙ABC的平分线．【答案】（1）⊙ABC是等腰三角形，⊙B＝40°；（2）见解析.【详解】分析：(1)、根据Rt⊙ADE的内角和得出⊙DAC=70°，根据平行线的性质得出⊙C=70°，从而根据有两个角相等的三角形是等腰三角形得出答案；(2)、根据等腰三角形底边上的三线合一定理得出DB为顶角的角平分线．详解：解：(1)⊙DE⊙AC于点E，⊙D＝20°，⊙⊙CAD＝70°，⊙AD⊙BC，⊙⊙C＝⊙CAD＝70°，又⊙⊙BAC＝70°，⊙⊙BAC＝⊙C，⊙AB＝BC，⊙⊙ABC是等腰三角形，⊙⊙B＝180°－⊙BAC－⊙C＝180°－70°－70°＝40°.(2)⊙延长线段DE恰好过点B，DE⊙AC，⊙BD⊙AC，⊙⊙ABC是等腰三角形，⊙DB是⊙ABC的平分线．点睛：本题主要考查的是等腰三角形的判定及性质，属于基础题型．明确等腰三角形底边上的三线合一定理是解决这个问题的关键．42．如图，小雪坐着轮船由点A出发沿正东方向AN航行，在点A处望湖中小岛M，测得小岛M在点A的北偏东60°，航行100米到达点B时，此时测得小岛M在点B的北偏东30°，求小岛M到航线AN的距离．Rt BDM 中，12BD MB ==2MD MB =答：小岛M 到航线【点睛】本题考查了方向角问题，勾股定理，等腰三角形的判定，含43．如图，BD 是⊙ABC 的高，AE 是⊙ABC 的角平分线，BD 交AE 于F ，若⊙BAC ＝44°，⊙C ＝80°，求⊙BEF 和⊙AFD 的度数．【答案】⊙BEF＝102°；⊙AFD＝68°【分析】根据BD是⊙ABC的高，AE是⊙ABC的角平分线，求得⊙ADB＝90°，⊙BAE＝⊙EAD＝22°，根据三角形内角和定理即可求得⊙BEF和⊙AFD的度数．【详解】解：⊙BD是⊙ABC的高，AE是⊙ABC的角平分线，⊙BAC＝44°，⊙C＝80°，⊙⊙ADB＝90°，⊙BAE＝⊙EAD＝22°，⊙⊙CBA＝180°﹣44°﹣80°＝56°，⊙⊙BEF＝180°﹣22°﹣56°＝102°，⊙AFD＝180°﹣90°﹣22°＝68°．【点睛】本题考查了三角形的高，角平分线，三角形内角和定理的应用，掌握三角形的高，角平分线的意义是解题的关键．44．（1）如图，90∠=∠=︒，O是AC的中点，求证：OB ODABC ADC=．（2）解方程：2430-+=．x x⊙()()130x x --=，即10,30x x -=-=，解得：121,3x x ==．【点睛】本题主要考查了直角三角形的性质，解一元二次方程，熟练掌握直角三角形斜边中线等于斜边的一半，一元二次方程的解法是解题的关键．45．如图，点E 在边长为10的正方形ABCD 内，6AE =，8BE =，请求出阴影部分的面积，AEB S =四边形ABCD =10ABCD ⨯AEB S =【点睛】本题主要考查了勾股定理的逆定理，熟知勾股定理的逆定理是解题的关键．46．图（a ）、图（b ）是两张形状、大小完全相同的方格纸，方格纸中的每个小正方形的边长均为1．请在图（a ）、图（b ）中，分别画出符合要求的图形，所画图形各顶点必须与方格纸中的小正方形顶点重合．具体要求如下：（1）画一个底边长为4，面积为8的等腰三角形；（2）画一个面积为16的等腰直角三角形．47．如图，点A，B，C，D在同一条直线上，AB=DC，在四个论断“EA=ED，EF⊙AD，AB=DC，FB=FC”中选择二个作为已知条件，另一个作为结论，构成真命题（补充已知和求证），并进行证明．已知、如图，点A，B，C，D在同一条直线上，．求证、．证明、．【答案】见解析【分析】已知：EA=ED ，EF⊙AD ，AB=DC ，求证FB=FC ．想办法证明EF 是线段BC 的垂直平分线即可．（答案不唯一）【详解】已知：如图，EA=ED ，EF⊙AD ，AB=DC ，求证FB=FC ．理由：延长EF 交BC 于H ．⊙EA=ED ，EF⊙AD ，⊙AH=HD ，⊙AB=DC ，⊙BH=CH ，⊙FH⊙BC ，⊙FB=FC ．故答案为EA=ED ，EF⊙AD ，AB=DC ；FB=FC ；延长EF 交BC 于H ．⊙EA=ED ，EF⊙AD ，⊙AH=HD ，⊙AB=DC ，⊙BH=CH ，⊙FH⊙BC ，⊙FB=FC ．【点睛】此题考查等腰三角形的判定和性质，线段的垂直平分线的性质，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于开放性题目．48．如图，已知60AOB ∠︒=，OC 平分AOB ∠，CD ⊥OA 于点D ．(1)实践与操作：作OC的垂直平分线分别交OA于点E；（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）(2)连接CE，若DE的长为1，求OC的长．（1）解：如图所示，49．正方形网格中，每个小正方形的边长均为1个单位长度，△ABC的三个顶点的位置如图所示，A（-2，3），B（-3，1），C（-1，2），现将△ABC平移先向右平移3个单位长度，再向下平移2单位长度．(1)请画出平移后的A B C '''（点B C ''、分别是B 、C 的对应点）；(2)写出点A B C '''、、三点的坐标；(3)求A B C '''的面积．【答案】(1)画图见解析 (2)A '（1，1），B '（0，-1），C '（2，0）(3)1.5【分析】（1）根据所给的平移方式作图即可；（2）根据平移方式即可求出A 、B 、C 对应点A B C '''、、三点的坐标；（3）用A B C '''所在的正方形面积减去周围三个小三角形面积即可得到答案．（1）解：如图所示，A B C '''即为所求；（2）解：⊙A B C '''是△ABC 向右平移3个单位长度，向下平移2个单位长度得到的，A （-2，3），B （-3，1），C （-1，2），⊙A '（1，1），B '（0，-1），C '（2，0）；（3）50．如图1，Rt⊙ABC中，⊙ABC＝90°，P是斜边AC上一个动点，以BP为直径作⊙O交BC于点D，与AC的另一个交点为E（点E在点P右侧），连结DE、BE，已知AB＝3，BC＝6．（1）求线段BE的长；（2）如图2，若BP平分⊙ABC，求⊙BDE的正切值；（3）是否存在点P，使得⊙BDE是等腰三角形，若存在，求出所有符合条件的CP的长；若不存在，请说明理由．。

初中数学三角形专题训练50题含参考答案

初中数学三角形专题训练50题含答案(单选、填空、解答题)一、单选题1．如图,已知△ABC的六个元素,则图中甲、乙、丙三个三角形中和△ABC全等的图形个数是A．1B．2C．3D．02．如图，以点P为圆心，以x轴交于A，B两点，点A的坐标为（2，0），点B的坐标为（6，0），则圆心P的坐标为()A．B．（4，2）C．（4，4）D．（2，3．如图，等腰△ABC，BA=BC，点P是腰AB上一点，过点P作直线（不与直线AB重合）截△ABC，使截得的三角形与原三角形相似，满足这样条件的直线最多有（）A．1个B．2个C ．3个D ．4个4．在学习“三角形的内角和外角”时，老师在学案上设计了以下内容：下列选项正确的是（）A ．①处填ECD ∠B ．①处填ECD ∠C ．①处填A ∠D ．①处填B ∠ 5．如图，在一块长方形草地上修速两条互相垂直且宽度相同的平行四边形通道，其中60KHB ∠=︒，已知20AB =米，30BC =米，四块草地总图积为2503m ，设GH 为x 米，则可列方程为（）A ．2030503⎛⎫⎛⎫= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭B ．(20)(30)503x x --=C ．2203097x x x +-=D ．232030974x x x +-= 6．下列四个命题中，是假命题的是（）A ．过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行B ．两条直线被第三条直线所截，同位角相等C ．三角形任意两边之和大于第三边D ．如果a b =，a c =，那么b c =7．如图，BD 是①O 的直径，点A 、C 在圆上，且CD ＝OB ，则①BAC ＝（）A．120°B．90°C．60°D．30°8．已知：在平行四边形ABCD中，点M是BC的中点，MAD MDA∠=∠，则B∠=（）A．60°B．90°C．100°D．120°9．两个直角三角形中：①有两条边相等；①一锐角和斜边对应相等；①斜边和一直角边对应相等；①两个锐角对应相等．能使这两个直角三角形全等的是（）A．①①①B．①①C．①①D．①①①①10．如图，已知点O是正六边形ABCDEF的中心，扇形AOE的面积是12π，则正六边形的边长为（）A．6B．C．D．1211．如图，△ABC和△DCE都是等边三角形，点B、C、E在同一条直线上，BC=1，CE=2，连接BD，则BD的长为（）A．3B．C．D12．如图，在△ABC中，①ACB＝90°，①B＝40°，分别以点A和点B为圆心，以相同的长（大于12AB ）为半径作弧，两弧相交于点M 和点N ，作直线MN 交AB 于点D ，交BC 于点E ，连接CD ，则①CDE 等于（）A ．8°B ．10°C ．15°D ．20° 13．已知菱形ABCD ，E 、F 是动点，边长为5，BE AF =，120BAD ∠=︒，则下列命题中正确的是（）①BEC AFC ≌；①ECF △为等边三角形；①ECF △的边长最小值为①若2AF =，则23FGC EGC S S =△△．A ．①①B ．①①C ．①①①D ．①①① 14．如图，在直角①O 的内部有一滑动杆AB ，当端点A 沿直线AO 向下滑动时，端点B 会随之自动地沿直线OB 向左滑动，如果滑动杆从图中AB 处滑动到A ′B ′处，那么滑动杆的中点C 所经过的路径是（）A ．直线的一部分B ．圆的一部分C ．双曲线的一部分D ．抛物线的一部分15．如图，平面内三点A 、B 、C ，AB ＝，AC ＝BC 为对角线作正方形BDCE ，连接AD ，则AD 的最大值是（）A．5B．C．7D．16．在ABCD中，O是对角线AC，BD的交点．若AOB的面积是8，则ABCD□的面积是（）A．16B．24C．32D．4017．如图，已知半圆O的直径8AB=，C是半圆上一点，沿AC折叠半圆得到弧ADC，交直径AB于点D，若DA、DB的长均不小于2，则AC的长可能是（）A．7B．6C．5D．418．梯形的对角线互相垂直，其中一条对角线长为5，梯形的高为4，则梯形的面积为（）A．5B．10C．503D．25319．如图，抛物线y=x2+bx+c与x轴的交点为A（x1，0）和B（x2，0），与y轴负半轴交点为C，点D为线段OC上一点．且满足c=x1+b，①ACO=①DBO，则下列说法：①b-c=1；①①AOC①①DOB；①若①DBC=30°，则抛物线的对称轴为直线x①当点B绕点D顺时针旋转90°后得到的点B'也在抛物线上，则抛物线的解析式为y=x2-2x-3．正确的是（）A ．①①①B ．①①①C ．①①①D ．①①①①二、填空题20．如图，P 是MON ∠的平分线上一点，PA ON ⊥于点A ，Q 是射线OM 上一个动点，若8PA =，则PQ 的最小值为______．21．△ABC 中，①A=40o ，①B=60o ，则与①C 相邻外角的度数是______．22．在ABC 中，15,13AB AC ==，高12AD =，则ABC 的周长是 _____． 23．如图，已知ABC BAD ≌，A 和B ，C 和D 分别是对应顶点，且60C ∠=︒，35ABD ∠=︒，则BAD ∠ 的度数是_______24．工人师傅常常利用角尺构造全等三角形的方法来平分一个角．如图，在AOB ∠的两边OA 、OB 上分别在取OC OD =，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与点C 、D 重合，这时过角尺顶点M 的射线OM 就是AOB ∠的平分线．利用所学知识可知他构造全等三角形的依据是________．25．等腰三角形的周长18cm ，其中一边长为8cm ，则底边长为 ___________cm ． 26．如图，在①ABC 中，AD 、AE 分别是BC 边上的中线和高，AE ＝6，S △ABD ＝15，则CD ＝_____．27．如图，为了防止门板变形，小明在门板上钉了一根加固木条，从数学的角度看，这样做的理由是利用了三角形的________.28．如图，在Rt △ABC 中，AB =BC ，①B =90°，AC =BDEF 是△ABC 的内接正方形（点D ，E ，F 在三角形的边上），则此正方形的面积是_______．29．如图，正方形ABCD 和等边AEF △都内接于O EF ⊙，与BC CD ，分别相交于点G ， H . 若6AE =，则EG 的长为________.30．如图，在等边①ABC 中，BC =9，点O 是AC 上的一点，点D 是BC 上的一点，若①APO ①①COD ，AO =2.7，则BP =__________．31．平行四边形ABCD 中，E 为BA 延长线上的一点，CE 交AD 于F 点，若:1:3AE AB =，则:CDF ABCF S S =四边形________．32．如图，在Rt ①ABC 中，①ACB ＝90°，点D 是边AB 的中点，连接CD ，将①BCD 沿直线CD 翻折得到①ECD ，连接AE ．若AC ＝6，BC ＝8，则①ADE 的面积为____．33．已知：如图，以Rt ABC 的三边为斜边分别向外作等腰直角三角形，若斜边AB=5，则图中阴影部分的面积为__．34．如图，在菱形ABCD 中，点E 是BC 上的点，AE ①BC ，若sin B ＝35，EC ＝3，P 是AB 边上的一个动点，则线段PE 最小时，BP 长为_____．35．如图，AB 为①O 的直径，弦CD①AB 于E ，已知CD ＝12，BE ＝2，则①O 半径为________．36．如图，在Rt①ABC 中，①ACB ＝90°，①B ＝35°，CD 是斜边AB 上的中线，如果将①BCD 沿CD 所在直线翻折，点B 落在点E 处，联结AE ，那么①CAE 的度数是_____度．37．如图，在菱形ABCD 中，=60B ∠︒，E 在CD 上，将ADE ∆沿AE 翻折至AD E '∆，且AD '刚好过BC 的中点P ，则D EC '∠=_________．38．如图，直线AM 的解析式为1y x =+与x 轴交于点M ，与y 轴交于点A ，以OA 为边作正方形ABCO ，点B 坐标为()1,1．过点B 作1EO MA ⊥交MA 于点E ，交x 轴于点1O ，过点1O 作x 轴的垂线交MA 于点1A 以11O A 为边作正方形1111O A B C ，点1B 的坐标为()5,3．过点1B 作12E O MA ⊥交MA 于1E ，交x 轴于点2O ，过点2O 作x 轴的垂线交MA 于点2A ，以22O A 为边作正方形2222O A B C ，，则点2020B 的坐标______．三、解答题39．如图，在ABC 中，44ABC ∠=︒，BD 平分ABC ∠，60C ∠=︒，22BDE ∠=︒．(1)求证：DE//AB；∠的度数．(2)求ADB40．如图，菱形ABCD对角线AC，BD相交于点O，点E是AD的中点，过点A作对角线AC的垂线，与OE的延长线交于点F，连接FD．(1)求证：四边形AODF是矩形；(2)若AD＝10，①ABC＝60°，求OF和OA的长．=，D是BC边上的中点，连结AD，BE平分①ABC交41．如图，在①ABC中，AB ACAC于点E，过点E作EF//BC交AB于点F．(1)若36∠=︒，求①BAD的度数；C(2)求证：点F在BE的垂直平分线上．42．如图，已知EF①BC，AD①BC，①1=①2，①判断DM与AB的位置关系，并说明理由；①若①BAC=70°，DM平分①ADC，求①ACB的度数．43．如图1，线段AD，BC相交于点O，32B︒∠=，38∠=．D︒（1）若60A ︒∠=，求AOB ∠和C ∠的度数；（2）在（1）的条件下，如图2，若BAO ∠、DCO ∠的平分线AM ，CM 相交于点M ，求M ∠度数；（3）若改变条件，设B α∠=，D β∠=，试用含αβ，的代数式表示M ∠的大小． 44．已知抛物线y ＝x 2+(12m ﹣2)x ﹣3，抛物线与坐标轴交于点A (3，0)、B 两点．(1)求抛物线解析式；(2)当点P (2，a )在抛物线上时．①如图1，过点P 不与坐标轴平行的直线l 1与抛物线有且只有一个交点，求直线l 1的方程；①如图2，若直线l 2：y ＝2x +b 交抛物线于M ，点M 在点P 的右侧，过点P (2，a )作PQ ①y 轴交直线l 2于点Q ，延长MQ 到点N 使得MQ ＝NQ ，试判断点N 是否在抛物线上？请说明理由．45．已知：如图，已知点B 、E 、F 、C 在同一直线上，AB =CD ，AE ⊥BC ，DF ⊥BC ，E ，F 是垂足，CE =BF ，求证：AB //CD ．46．已知：如图所示，在Rt ABC ∆中，90ACB ∠=︒，AC BC =，点D 是BC 的中点，CE AD⊥，垂足为点E，BF AC交CE的延长线于点F，求证：AB垂直平分DF.47．求证：顶角是锐角的等腰三角形腰上的高与底边夹角等于其顶角的一半．(1)根据题意补全下图，并根据题设和结论，结合图形，用符号语言补充写出“已知”和“求证”．=，______;已知：在锐角ABC中，AB AC求证：______．(2)证明：48．如图，已知①ABC中，AB=AC，①A=108°，BD平分①ABC．求证：BC=AB+CD．参考答案：1．B【分析】根据全等三角形判定方法进行判断即可【详解】解：由已知，甲全等条件不具备，乙和△ABC满足两角夹边，故全等，丙和△ABC满足两角和其中一角的对边，故全等，因此，有两个三角形可以判定三角形全等. 2．C【分析】作PC①AB于C，如图，由点A和点B坐标得到AB=4，再根据垂径定理得到AC=BC=2，然后根据勾股定理计算出PC=4，于是可确定P点坐标．【详解】解：作PC①AB于C，如图，①点A的坐标为（2，0），点B的坐标为（6，0），①OA=2，OB=6，①AB=OB-OA=4，①PC①AB，①AC=BC=2，在Rt△P AC中，①P A AC=2，①PC，①OC=OA+AC=4，①P点坐标为（4，4）．故选：C．【点睛】本题考查了垂径定理：平分弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．也考查了勾股定理、坐标与图形性质．3．C【分析】根据相似三角形的判定，过点P分别BC，AC的平行线即可得到与原三角形相似的三角形，过点P作以点P为顶点的角与①A相等的角也可以得到原三角形相似的三角形．【详解】解：①BA=BC，①①A=①C，①作PE①BC，可得①APE①①ABC．①作PF①AC，可得①BPF①①BAC．①作①APG=①A，可得①AGP①①ABC，故选：C．【点睛】本题考查相似三角形的判定质，等腰三角形的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．4．B【分析】延长BC到点D，过点C作CE①AB．依据平行线的性质以及平角的定义，即可得到①A＋①B＋①ACB＝180°．【详解】延长BC到点D，过点C作CE①AB，①CE①AB．①①A＝①ACE（两直线平行，内错角相等）．①B＝①ECD（两直线平行，同位角相等）．①①ACB＋①ACE＋①ECD＝180°（平角定义）．①①A＋①B＋①ACB＝180°（等量代换）．故选：B．【点睛】本题主要考查了平行线的性质以及三角形内角和定理，解题时注意：两直线平行，内错角相等；两直线平行，同位角相等．5．D【分析】设GH为x米，根据矩形和平行四边形的面积公式，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．【详解】解：过H 作HM ①LG 于M ，①①KHB =60°，//LG KH ，①①HGM =①KHB =60°，①①HMG =90°，①HM ， ①长方形的面积=20×30=600（cm ）2，①四块草地总面积为503m 2，①通道的面积为：20x +30x -34x 2=97，故选：D ．【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．6．B【分析】根据平行公理，平行线的性质及三角形三边关系等逐项判断．【详解】A.过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行，故A 不符合题意；B.两条平行线被第三条直线所截，同位角相等，故B 符合题意；C.三角形任意两边之和大于第三边，故C 不符合题意；D.如果a ＝b ，a ＝c ，那么b ＝c ，故D 不符合题意．故选：B ．【点睛】本题考查命题与定理，解题的关键是掌握平行公理，平行线的性质及三角形三边关系等教材上的相关结论．7．C【分析】根据题意得OCD ∆为等边三角形，则60COD ∠=︒，根据圆周角定理得出BAC ∠的度数．【详解】解：连接OC ，CD OB =，OCD ∴∆为等边三角形，60COD ∴∠=︒，180120BOC COD ∴∠=︒-∠=︒，111206022BAC BOC ∴∠=∠=⨯︒=︒，故选：C ．【点睛】本题考查了圆周角定理、等边三角形的判定，解题的关键是掌握圆周角定理的内容．8．B【分析】由MAD MDA ∠=∠，得AM =DM ，再由平行四边形的性质得AB =CD ，AB ∥CD ，则①B +①C =180°，然后证△ABM ①△DCM (SSS )，得①B =①C ，即可求得①B 度数．【详解】解：如图，过点M 作MN ①AD 于N ，①MAD MDA ∠=∠，①AM =DM ，①平行四边形ABCD ，①AB =CD ，AB ∥CD ，①①B +①C =180°，①点M 是BC 的中点，在△ABM 与△DCM 中，AB DC BM CM AM DM =⎧⎪=⎨⎪=⎩，①△ABM ①△DCM (SSS )，①①B =①C ，①2①B =180°，①①B =90°，故选：B ．【点睛】本题考查平行四边形的性质，等腰三角形的判定，全等三角形的判定与性质，熟练掌握相关性质与判定是解题的关键．9．B【分析】根据直角三角形全等的判定条件逐一分析即可得到答案．【详解】解：①两个直角三角形中有两条边相等，不能证明两个直角三角形全等，如一条直角边相等，另一个直角边与斜边相等；①两个直角三角形中一锐角和斜边对应相等，可用AAS 证明两个直角三角形全等； ①两个直角三角形中斜边和一直角边对应相等，可用HL 证明两个直角三角形全等； ①两个直角三角形中两个锐角对应相等，不能证明两个直角三角形全等；故选B ．【点睛】本题主要考查了直角三角形全等的判定定理，熟知直角三角形的判定定理有AAS SAS ASA SSS HL ，，，，是解题的关键．10．A【分析】先求出中心角120AOE ∠︒＝，证得OAF △是等边三角形，得到AF R =，根据扇形的面积求出圆的半径，即可得到正六边形的边长．【详解】解：连接OF ，设①O 的半径为R ，①O 是正六边形ABCDEF 的中心， ①360606AOF EOF ︒∠=∠==︒， ①120AOE ∠︒＝，①OAF △是等边三角形，①AF OA R ==，①扇形AOE 的面积是12π， ①212012360R ππ=， ①236R ＝，①6AF R ==，①正六边形的边长是6，故选：A ．【点睛】本题考查了正多边形与圆，扇形的面积计算，解题的关键是求出正多边形的边长等于圆的半径．11．D【分析】作DF①CE 于F ，构建两个直角三角形，运用勾股定理逐一解答即可．【详解】过D 作DF①CE 于F ，根据等腰三角形的三线合一，得：CF=1，在直角三角形CDF 中，根据勾股定理，得：DF 2=CD 2-CF 2=22-12=3，在直角三角形BDF 中，BF=BC+CF=1+1=2，根据勾股定理得：故选D.【点睛】本题考查了等边三角形的性质，勾股定理等，正确添加辅助线、熟练应用相关的性质与定理是解题的关键.12．B【分析】由题意得MN 垂直平分AB ，得到AD =BD ，①ADE =90°，证得CD =AD =BD ，求出①ADC =2①B ＝80°，即可得到①CDE 的度数．【详解】解：由题意得MN 垂直平分AB ，①AD =BD ，①ADE =90°，①①ACB ＝90°，①CD =AD =BD ，①①BCD =①B ＝40°，①①ADC =2①B ＝80°，①①CDE =①ADE -①ADC =10°，故选：B ．【点睛】此题考查了线段垂直平分线的作图方法，直角三角形斜边中线等于斜边一半的性质、等腰三角形的性质、三角形的外角性质，正确理解线段垂直平分线的作图是解题的关键．13．C【分析】根据菱形的性质可得AB ＝BC ，AD ①BC ，①BAC ＝①DAC ＝12①BAD ＝60°，从而可得①B ＝60°，进而证明△ABC 是等边三角形，然后得出BC ＝AC ，即可判断①；利用①的结论可得CE ＝CF ，①BCE ＝①ACF ，从而可得①BCA ＝①ECF ＝60°，即可判断①；当CE ①AB 时，ECF △的边长取最小值，根据含30度角的直角三角形的性质求出BE ，再利用勾股定理求出CE 即可判断①；过点E 作EM ①BC ，交AC 于点M ，求出EM ＝3，然后利用平行线分线段成比例求出23FG AF EG EM ==即可判断①．【详解】解：①四边形ABCD 是菱形，120BAD ∠=︒，①AB ＝BC ，AD ①BC ，①BAC ＝①DAC ＝12①BAD ＝60°，①①B ＝180°−①BAD ＝60°，①①ABC 是等边三角形，①BC ＝AC ，①ACB ＝60°，在△BEC 和△AFC 中，BE AF B FAC BC AC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，①①BEC ①①AFC （SAS ），①正确； ①CE ＝CF ，①BCE ＝①ACF ，①①BCE ＋①ACE ＝①ACF ＋①ACE ， ①①BCA ＝①ECF ＝60°，①①ECF 是等边三角形，①正确； ①△ABC 是等边三角形，AB ＝BC ＝5， ①当CE ①AB 时，ECF △的边长取最小值， ①①B ＝60°，①此时①BCE ＝30°，①BE ＝1522BC =， ①CE①ECF △，①错误；过点E 作EM ①BC ，交AC 于点M ，①①BEC ①①AFC ，①AF ＝BE ＝2，①AB ＝5，①AE ＝AB −BE ＝5−2＝3，①EM ①BC ，①①AEM ＝①B ＝60°，①AME ＝①ACB ＝60°， ①①AEM 是等边三角形，①AE ＝EM ＝3，①AD①BC，①AF①EM①23 FG AFEG EM==，①23FGC EGCS S=△△，①正确；故选：C．【点睛】本题考查了菱形的性质，等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理以及平行线分线段成比例，灵活运用各性质进行推理是解题的关键．14．B【详解】连接OC、OC′，如图，①①AOB=90°，C为AB中点，①OC=12AB=12A′B′=OC′，①当端点A沿直线AO向下滑动时，AB的中点C到O的距离始终为定长，①滑动杆的中点C所经过的路径是一段圆弧．故选B．【点睛】考点：①圆的定义与性质；①直角三角形的性质．15．C【分析】如图，将①BDA绕点D顺时针旋转90°得到①CDM，由旋转的性质可得①ADM是等腰直角三角形，根据勾股定理推出AD，可知当AM的值最大时，AD的值最大，利用三角形的三边关系求出AM的最大值，即可解决问题．【详解】解：如图，将BDA△绕点D顺时针旋转90°得到CDM由旋转的性质可知：4AB CM ==，DA DM =，90ADM ∠=︒①ADM △是等腰直角三角形，①根据勾股定理222AD MD AM +=，①AD AM =， ①当AM 的值最大时，AD 的值最大，①AM AC CM ≤+，AC CM AB ===①AM ≤①AM 的最大值为①AD 的最大值为7，故选C ．【点睛】本题考查了正方形的性质，旋转的性质，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理以及两点之间线段最短．解题的关键在于根据旋转的性质构造等腰直角三角形． 16．C【分析】根据平行四边形的性质可得BO =DO ，AO =CO ，由此可得8AOB AOD BOC COD S S S S ∆∆∆∆====，从而可得结论．【详解】解：①四边形ABCD 是平行四边形，①BO =DO ，AO =CO ，①8AOB AOD BOC COD S S S S ∆∆∆∆====，①平行四边形ABCD 的面积=4×8=32，故选：C【点睛】本题考查了平行四边形的性质和三角形中线的性质，解决本题的关键是理解平行四边形的对角线互相平分．17．A【分析】分如解图①，当点D 在圆心O 的左侧且2AD =时，如解图①，当点D 在圆心O 的右侧且2BD =时，两种情况求出AC 的长，从而确定AC 的取值范围即可得到答案．【详解】如解图①，当点D 在圆心O 的左侧且2AD =时，过C 作CE AB ⊥，垂足为E ，连接CD 、CO 、CB ，①AC ADC =，①CDB CBD ∠=∠，①CD CB =，①3DE BE ==，①2DO =，①1OE =，①5AE =，22215CE CO OE =-=，①AC =如解图①，当点D 在圆心O 的右侧且2BD =时，过C 作CE AB ⊥，垂足为E ，连接CD 、CO 、CB ，①AC ADC =，①CDB CBD ∠=∠，①CD CB =，①1DE BE ==，①3OE =，①7AE =，2227CE CO OE =-=，①AC =①若DA 、DB 的长均不小于2AC ≤①AC 的长可能是7，故选A ．【点睛】本题主要考查了圆周角定理，等腰三角形的性质与判定，勾股定理，无理数的估算等等，利用分类讨论的思想求解是解题的关键．18．C【分析】过B 作BE AC ∥交DC 延长线于E ，过B 作BF DC ⊥于F ，如图所示，根据题意，分两种情况讨论：①当5BD =时；①当5AC =时，根据双垂直模型得到BDF EBF ∽△△，利用相似比得到未知线段，然后根据BDE ABCD S S =△梯形代值求解即可得到答案．【详解】解：过B 作BE AC ∥交DC 延长线于E ，过B 作BF DC ⊥于F ，如图所示：4BF ∴=，①当5BD =时，对角线相互垂直，即AC BD ⊥，BE BD ∴⊥，90DBF EBF ∴∠+∠=︒，BF DC ⊥，在Rt BDF △中，90,5,4DFB BD BF ∠=︒==，则3DF =， 90DBF BDF ∴∠+∠=︒，BDF EBF ∴∠=∠，90BFD BFE ∠=∠=︒，∴BDF EBF ∽△△，BD DF BE BF ∴=，即534BE =，203BE ∴=， ,AB CE AC BE ∥∥，∴四边形ABEF 是平行四边形，AB CE ∴=， ∴()()11111205052222233BDE ABCD S AB DC BF CE DC BF DE BF S BD BE =+⋅=+⋅=⋅==⋅=⨯⨯=△梯形；①当5AC =时，对角线相互垂直，即AC BD ⊥，BE BD ∴⊥，90DBF EBF ∴∠+∠=︒，BF DC ⊥，在Rt BEF △中，90,5,4EFB BE BF ∠=︒==，则3EF =， 90DBF BDF ∴∠+∠=︒，BDF EBF ∴∠=∠，90BFD BFE ∠=∠=︒，∴BDF EBF ∽△△，BD BF BE EF∴=，即453BD =， 203BD ∴=， ,AB CE AC BE ∥∥，∴四边形ABEF 是平行四边形，AB CE ∴=， ∴()()11111205052222233BDE ABCD S AB DC BF CE DC BF DE BF S BD BE =+⋅=+⋅=⋅==⋅=⨯⨯=△梯形；综上所述，梯形的对角线互相垂直，其中一条对角线长为5，梯形的高为4，则梯形的面积为503，【点睛】本题属于几何综合问题，考查梯形性质、梯形面积公式、勾股定理、两个三角形相似的判定与性质、平行四边形的判定与性质、三角形面积及双垂直模型等知识，熟练掌握相关几何图形的性质是解决问题的关键．19．B【分析】利用已知条件分别求得点A，B，C的坐标，表示出线段OA，OB，OC的长度，利用二次函数的性质，待定系数法与全等三角形的判定定理对每个结论进行逐一判断即可得出结论．【详解】解：将A（x1，0）代入物线y=x2+bx+c得：x12+bx1+c=0．①c=x1+b，①x12+bx1+x1+b=0，①x1（x1+1）+b（x1+1）=0，①（x1+b）（x1+1）=0，①c=x1+b≠0，①x1+1=0，①x1=-1，①A（-1，0），①OA=1，①c=-1+b，①b-c=1．①①的结论正确；①c=-1+b，①y=x2+bx+b-1，令y=0，则x2+bx+b-1=0，解得：x=-1或x=1-b，①B（1-b，0），①抛物线的对称轴在y轴的右侧，①b＜0，①OB=1-b，①C（0，b-1），①OB =OC ，在△AOC 和△DOB 中，90ACO DBO OC OB AOC DOB ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠=︒⎩， ①①AOC ①①DOB （ASA ）．①①的结论正确；若①DBC =30°，过点D 作DH ①BC 于点H ，如图，①①AOC ①①DOB ，①OA =OD =1，AC =BD ，①CD =OC -OD =-b ，①OB =OC ，①①OCB =①OBC =45°，①DH ①BC ，①DH， ①DH ①BC ，①DBC =30°，①BD =2DH，①ACb ，①OA 2+OC 2=AC 2，①12+(1−b ) 2＝b ) 2．解得：b①b①抛物线的对称轴为直线x== ①①的结论不正确；当点B 绕点D 顺时针旋转90°后得到的点B '也在抛物线上时，过点B ′作B ′M ①y 轴于点M ，如图，由题意：DB =DB ′，①BDB ′=90°，①①MDB ′+①ODB =90°，①①ODB +①OBD =90°，①①MDB ′=①OBD ，在△MDB ′和△OBD 中，90DMB BOD MDB OBD DB BD ''∠=∠=︒⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩'，①①MDB ′①①OBD （AAS ），①MD =OB =1-b ，MB ′=OD =1，①OM =OD +DM =2-b ，①B ′（1，b -2），①1+b +b -1=b -2，解得：b =-2，①c =b -1=-3，①此时抛物线的解析式为y=x2-2x-3，①①的结论正确；综上，正确的结论是：①①①．故选：B．【点睛】本题主要考查了待定系数法，数形结合法，二次函数的性质，抛物线与x轴的交点，抛物线上点的坐标的特征，图形的旋转的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，含30°角的直角三角形的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．20．8【分析】根据角平分线的性质定理解答．【详解】解：当PQ①OM时，PQ最小，①P是①MON角平分线上的一点，PA①ON，PQ①OM，①PQ=PA=8，故答案为：8．【点睛】本题考查的是角平分线的性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．21．100°##100度【分析】先根据三角形的内角和求出①C的度数，即可求出与①C相邻外角的度数【详解】①C=180°-①A-①B=80°，①①C相邻外角的度数为180°-80°=100°.故答案为：100°【点睛】此题主要考查邻补角的求解，解题的关键是熟知三角形的内角和为180°. 22．42或32##32或42【分析】分两种情况讨论：当高AD在ABC的内部时，当高AD在ABC的外部时，结合勾股定理，即可求解．【详解】解：当高AD在ABC的内部时，如图，在Rt ABD中，9BD，在Rt ACD中，5CD==，①14BC BD CD =+=，此时ABC 的周长是15141342AB BC AC ++=++=；当高AD 在ABC 的外部时，如图，在Rt ABD中，9BD ，在Rt ACD中，5CD ==，①4BC BD CD =-=，此时ABC 的周长是1541332AB BC AC ++=++=；综上所述，ABC 的周长是42或32．故答案为：42或32【点睛】此题考查了勾股定理的知识，在解本题时应分两种情况进行讨论，易错点在于漏解，同学们思考问题一定要全面，有一定难度．23．85︒【分析】根据全等三角形的性质和三角形内角和定理计算即可；【详解】①ABC BAD ≌，60C ∠=︒，35ABD ∠=︒，①60C D ∠=∠=︒，35DBA CAB ∠=∠=︒，①180180603585DAB D DBA ∠=︒-∠-∠=︒-︒-︒=︒．故答案是：85︒．【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质和三角形内角和定理，准确分析计算是解题的关键．24．SSS【分析】根据全等三角形的判定定理SSS 推出①COM ①①DOM ，根据全等三角形的性质得出①COM =①DOM ，根据角平分线的定义得出答案即可．【详解】解：在①COM 和①DOM 中，,OC OD OM OM MC MD =⎧⎪=⎨⎪=⎩. ①①COM ①①DOM （SSS ），①①COM=①DOM，即OM是①AOB的平分线，故答案为：SSS．【点睛】本题考查了全等三角形的判定定理和性质定理，能熟记全等三角形的判定定理是解此题的关键．25．2或8．【详解】试题分析：由题意知，应分两种情况：当腰长为8cm时，则另一腰也为8cm，底边为18-2×8=2cm，①0＜2＜8+8，①边长分别为8cm，8cm，2cm，能构成三角形；当底边长为8cm时，腰的长=（18-8）÷2=5cm，①0＜8＜5+5=13，①边长为5cm，5cm，8cm，能构成三角形．故答案为2或8．考点：等腰三角形的性质．26．5【分析】由利用三角形的面积公式可求得BD的长，再由中线的定义可得CD=BD，从而得解．【详解】解：①S△ABD=15，AE是BC边上的高，BD•AE=15，①12×6BD=15，则12解得：BD=5，①AD是BC边上的中线，①CD=BD=5．故答案为：5．【点睛】本题主要考查三角形的中线，三角形的高，解答的关键是由三角形的面积公式求得BD的长．27．稳定性【分析】根据三角形的三边一旦确定，则形状大小完全确定，即三角形的稳定性．【详解】解：这样做的原因是：利用三角形的稳定性使门板不变形．故答案为：三角形具有稳定性.【点睛】本题主要考查三角形的稳定性在实际生活中的应用．28．36【分析】由△ABC 是等腰直角三角形，可得①A =①C =45°，从而证明△AEF 也是等腰直角三角形，设AF =x ，则BF =12﹣x ，列出方程并求出x 的值，再根据正方形的面积公式即可求得．【详解】解：①①ABC 是等腰直角三角形，①①A =①C =45°，①四边形BDEF 是△ABC 的内接正方形，①EF ①BC ，①①AEF =①C =45°，①①AEF 也是等腰直角三角形，①AF =EF ，设AF =x ，则BF =12﹣x ，①12﹣x =x ，①x =6，①此正方形的面积为6×6=36．故答案为：36．【点睛】本题考查了正方形的性质、等腰三角形的性质及判定．解题的关键是熟练掌握正方形的性质．29．3【分析】连接AC ，CE ，CF ，正方形ABCD 和等边AEF △都内接于O ，得证AC 是O 的直径，45ACG ∠=，60AEF AFE ∠=∠=，AE AF =，从而得证90AEC AFC ∠=∠=，30CEF CFE ∠=∠=，得到CE CF =，直线AC 是线段EF 的垂直平分线，从而得到90GMC ∠=，45CGM ∠=，得证CM GM =，30EAM ∠=，从而得证132EM AE ==，AM =2AC EC =，结合222AC EC AE =+，确定AC =CM GM AC AM ==-==，根据EG EM GM =-计算即可．【详解】如图，连接AC ，CE ，CF ，因为正方形ABCD 和等边AEF △都内接于O ，所以AC 是O 的直径，45ACG ∠=，60AEF AFE ∠=∠=，AE AF =，所以90AEC AFC ∠=∠=，30CEF CFE ∠=∠=，所以CE CF =，所以直线AC 是线段EF 的垂直平分线，所以90GMC ∠=，45CGM ∠=，所以CM GM =，30EAM ∠=，所以132EM AE ==，AM ==2AC EC =，因为222AC EC AE =+，所以2221()62AC AC =+，解得AC =所以CM GM AC AM ==-=所以EG EM GM =-=3故答案为：3【点睛】本题考查了正方形的性质，等边三角形的性质，线段垂直平分线的判定和性质，圆的基本性质，直角三角形的性质，勾股定理，等腰直角三角形的判定和性质，熟练掌握正方形的性质，圆的性质，等边三角形的性质，勾股定理是解题的关键．30．2.7【分析】根据全等可得OC =AP ，再根据等边三角形的性质可得AC =AB ，从而可得AO =BP ，即可得出结论【详解】解：①①ABC 为等边三角形，①AC =AB =BC =9，①①APO ①①COD ，AO =2.7，①AP =OC ，①BP =AO =2.7．故答案为：2.7．【点睛】本题考查全等三角形的性质，等边三角形的性质．正确理解性质得出线段之间的关系是解题关键．31．5:3．【分析】过C 做CG ①AD 交AD 延长线于G ，根据四边形ABCD 为平行四边形，可得CD∥AB 且CD =AB ，AD =BC ，利用平行线性质可得①CDF =①EAF ，①DCF =①E ，可证△DCF ①①AEF ，根据相似三角形性质可得31DF DC AF AE ==，设AF =m ，DF =3m ，则BC =AD = 4m ，求三角形与四边形面积S △CDF =1322DF CG mCG ⋅=，S 四边形ABCF =()()1154222AF BC CG m m CG mCG +⋅=+⋅=，再求两面积比即可．【详解】解：过C 做CG ①AD 交AD 延长线于G ，①四边形ABCD 为平行四边形，①CD∥AB 且CD =AB ，AD =BC ，①①CDF =①EAF ，①DCF =①E ，①△DCF ①①AEF ， ①31DF DC AF AE ==，设AF =m ，DF =3m ，则BC =AD =AF +DF =4m ，①S △CDF =1322DF CG mCG ⋅=， S 四边形ABCF =()()1154222AF BC CG m m CG mCG +⋅=+⋅=， ①53::5:322CDF ABCF S S mCG mCG ==四边形．故答案为5:3．【点睛】本题考查平行四边形的性质，三角形相似判定与性质，三角形面积与四边形面积，掌握平行四边形的性质，三角形相似判定与性质，三角形面积与四边形面积是解题关键．32．6.72【分析】连接BE，延长CD交BE与点H，作CF①AB，垂足为F．首先证明DC垂直平分线段BE，△ABE是直角三角形，利用三角形的面积求出EH，得到BE的长，在Rt△ABE 中，利用勾股定理即可解决问题．【详解】解：如图，连接BE，延长CD交BE与点H，作CF①AB，垂足为F．①①ACB=90°，AC=6，BC=8．①AB，①D是AB的中点，①AD=BD=CD=5，①S△ABC=12AC•BC=12AB•CF，①12×6×8=12×10×CF，解得CF=4.8．①将△BCD沿直线CD翻折得到△ECD，①BC=CE，BD=DE，①CH①BE，BH=HE．①AD=DB=DE，①①ABE为直角三角形，①AEB=90°，①S△ECD=S△ACD，①12DC•HE=12AD•CF，①DC=AD，①HE=CF=4.8．①BE=2EH=9.6．①①AEB=90°，①AE．①S△ADE=12EH•AE=12×2.8×4.8=6.72．故答案为：6.72．【点睛】本题考查了翻折变换（折叠问题），直角三角形斜边上的中线的性质，勾股定理，三角形的面积等知识，解题的关键是学会利用面积法求高，属于中考常考题型．33．【详解】试题分析：根据勾股定理和等腰直角三角形的面积公式，可以证明：以直角三角形的两条直角边为斜边的等腰直角三角形的面积和等于以斜边为斜边的等腰直角三角形的面积．则阴影部分的面积即为以斜边为斜边的等腰直角三角形的面积的2倍．解：在Rt①ABC中，AB2=AC2+BC2，AB=5，S阴影=S△AHC+S△BFC+S△AEB=×+×+×，=（AC2+BC2+AB2），=AB2，=×52=．故答案为．点评：本题考查了勾股定理的知识，要求能够运用勾股定理证明三个等腰直角三角形的面积之间的关系．34．48 5【分析】根据垂线段最短可知当EP①AB时，线段EP最短．根据12•AB•PE=12×BE×AE，只要求出AB、AE、BE、PE，即可解决问题．【详解】解：根据垂线段最短可知当PE①AB时，线段PE最短．①AE①BC于E，sinB＝35＝AEAB，设AE＝3k，AB＝BC＝5k，则BE＝4k，EC＝k，①EC＝3，①k＝3，①BE＝12，AB＝15，AE＝9，当PE①AB时，12•AB•PE＝12×BE×AE，①PE＝AE BEAB⨯＝365，①线段PE的最小值为365，①BP 485．故答案为：485．【点睛】本题考查菱形的性质、解直角三角形、垂线段最短、锐角三角函数等知识，解题的关键是学会利用参数解决问题，属于中考常考题型．35．10．【分析】连结OC，设①O半径为r，则OC=r，OE=r-2，根据垂径定理得到CE=DE=1 2CD=6，在Rt△OCE中，利用勾股定理列出关于r的等式，然后解方程求出r即可．【详解】解：连结OC，设①O半径为r，则OC=r，OE=r-BE=r-2，①CD①AB，CD＝12①CE=DE=12CD=6，。

初中数学全等三角形判定综合练习(附答案)

初中数学全等三角形判定综合练习一、单选题1.如图,已知AB AD =,那么添加下列一个条件后,仍无法判定ABC ADC △≌△的是( )A. CB CD =B. BAC DAC ∠=∠C. BCA DCA ∠=∠D. 90B D ∠=∠=︒2.如图,已知ABC DCB ∠=∠,添加下列所给的条件不能证明ABC DCB △≌△的是( )A. A D ∠=∠B. AB DC =C. ACB DBC ∠=∠D. AC BD =3.如图，点,D E 分别在线段,AB AC 上，CD 与BE 相交于O 点，已知AB AC =，现添加以下的哪个条件仍不能判定ABE ACD ≅△△( )A.B C ∠=∠B.AD AE =C. BD CE =D.BE CD =4.某同学把一块三角形的玻璃打碎成了三块（如图所示），现在要到玻璃店去配一块与原来完全一样的玻璃，那么最省事的方法是( )A.带①去B.带②去C.带③去D.带①②③去5.如图,BF EC B E =∠=∠请问添加下面哪个条件不能判断ABC DEF ≅△△( )A.A D ∠=∠B.AB ED =C.//DF ACD.AC DF =6.如图，点B E C F 、、、在同一条直线上，//AB DE ，AB DE =，要用SAS 证明ABC DEF ≅△△，可以添加的条件是( )A ．A D ∠=∠B ．//AC DF C ．BE CF =D ．AC DF =7.下列各图中a b c ,,为三角形的边长，则甲、乙、丙三个三角形和左侧ABC △全等的是( )A.甲和乙B.乙和丙C.甲和丙D.只有丙8.如图，点D E ,分别在线段AB AC ,上，CD 与BE 相交于O 点，已知AB AC =，现添加以下的哪个条件仍不能判定ABE ACD ≅△△？( )A.B C ∠=∠B.AD AE =C. BD CE =D.BE CD =9.如图所示的是用直尺和圆规作一个角等于已知角的示意图，则说明'''A O B AOB ∠=∠的依据是（）A.S.A.SB.S.S.S.C.A.A.S.D.A.S.A.10.如图，AOB ∠是一个任意角，在边OA OB ,上分别取OM ON =，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与M N ,重合，过角尺顶点C 的射线OC 便是AOB ∠的平分线这种方法所用的三角形全等的判定方法是( )A.S.A.S.B.S.S.S.C.A.S.A.D.A.A.S.11.如图，AB AD =，BC CD =，点E 在AC 上，则全等三角形共有( )A.1对B.2对C.3对D.4对12.如图，在ABC △和DEF △中，,B E C F ,,在同一直线上，AB DE =，AC DF =，要使ABC DEF ≅△△，还需要添加的一个条件是( )A.EC CF =B.BE CF =C.B DEF ∠=∠D.//AC DF13.如图，ABC △中，AB AC =，EB EC =，则由“S.S.S.”可以判定( )A.ABD ACD ≅△△B.ABE ACE ≅△△C.BDE CDE ≅△△D.以上答案都不对14.如图，点E 在ABC △的外部，点D 在边BC 上，DE 交AC 于点F .若12∠=∠，E C ∠=∠，AE AC =，则( )A.ABC AFE ≅△△B.AFE ADC ≅△△C.AFE DFC ≅△△D.ABC ADE ≅△△15.下列条件能判断两个三角形全等的是（）A.有两边对应相等B.有两角对应相等C.有一边一角对应相等D.能够完全重合16.如图，全等的两个三角形是( )A.③④B.②③C.①②D.①④17.如图,点,,,B E C F 在同一条直线上,//,AB DE AB DE = ,要用“边角边”证明ABC DEF ≅△△,可以添加的条件是( ).A.A D ∠=∠B.//AC DFC.BE CF =D.AC DF =18.如图，点P 是AB 上任一点，ABC ABD ∠=∠,从下列各条件中补充一个条件，不一定能推出APC APD ≅△△.的是( )A.BC BD =B.ACB ADB ∠=∠C.AC AD =D. CAB DAB ∠=∠二、证明题19.如图：点C D 、在AB 上，且//AC BD AE FB AE BF ==，，．求证：//DE CF ．20.如图，已知CA CB =，AD BD =，M N ,分别是CB CA ,的中点，求证：DN DM =.21.如图，已知AB AE =，12∠=∠，B E ∠=∠.求证：BC ED =.22.如图，90A D ∠=∠=︒，AC DB =，AC DB ,相交于点O .求证:OB OC =.23.如图（1）在ABC △中，90ACB AC BC ∠=︒=，,直线MN 经过点C ,且AD MN ⊥于点D ,BE MN ⊥于点E 。

初中数学《第11章三角形》单元综合质量检测考试卷及答案 (新版)新部编版

xx学校xx学年xx学期xx试卷姓名:_____________ 年级:____________ 学号:______________题型选择题填空题简答题xx题xx题xx题总分得分一、xx题（每空xx 分，共xx分）试题1:下列各组线段，能组成三角形的是（）A、2 cm，3 cm，5 cmB、5 cm，6 cm，10cmC、1cm，1 cm，3 cmD、3 cm，4 cm，8 cm试题2:在一个三角形中，一个外角是其相邻内角的3倍，那么这个外角是（）A、150°B、135°C、120°D、100°试题3:如图4，△ABC中，AD为△ABC的角平分线，BE为△ABC的高，∠C=70°，∠ABC=48°，那么∠3是（）A、59°B、60°C、56°D、22°试题4:在下列条件中：①∠A+∠B=∠C;②∠A:∠B∠:∠C=1:2:3;③∠A=90°－∠B;④∠A=∠B=∠C,能确定△ABC是直角三角形的条件有（）个.A.1B.2C.3D.4评卷人得分坐标平面内下列个点中，在坐标轴上的是（）A.（3,3）B.（-3,0）C.（-1,2）D.（-2，-3）试题6:将某图中的横坐标都减去2，纵坐标不变，则该图形（）A. 向上平移2个单位B. 向下平移2个单位C. 向右平移2个单位D. 向左平移2个单位试题7:点P（x,y）在第三象限，且点P到x轴、y轴的距离分别为5,3，则P点的坐标为（）A.（-5,3） B.(3，-5) C.(-3，-5) D.（5，-3）试题8:如图6，如果AB∥CD，那么下面说法错误的是（）A．∠3=∠7； B．∠2=∠6C、∠3+∠4+∠5+∠6=1800D、∠4=∠8试题9:如图1，△ABC中，AD⊥BC，AE平分∠BAC，∠B=70°，∠C=34°，则∠DAE= 度。

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