立体几何——二面角问题方法归纳

二面角的求法

一、 定义法:

从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角, 这条直线叫做二面角的棱, 这两个半平面叫做二面角的面,在棱上取点,分别在两面内引两条射线与棱垂直,这两条垂线所成的角的大小就就是二面角的平面角。 例1(全国卷Ⅰ理)如图,四棱锥S ABCD -中,底面

ABCD 为矩形,SD ⊥底面ABCD ,2AD = 2DC SD ==,点M 在侧棱SC 上,ABM ∠=60°

(I)证明:M 在侧棱SC 的中点 (II)求二面角S AM

B --的大小。

练习1(山东)如图,已知四棱锥P -ABCD ,底面ABCD 为菱形,P A ⊥平面ABCD ,60ABC ∠=︒,E ,F 分别就是BC , PC 的中点、(Ⅰ)证明:AE ⊥PD ; (Ⅱ)若H 为PD 上的动点,EH 与平面P AD 所成最大角的正切值为

6

2

,求二面角E —AF —C 的余弦值、 二、三垂线法

三垂线定理:在平面内的一条直线,如果与这个平面的一条斜线的射影垂直,那么它也与这条斜线垂直.通常当点P 在一个半平面上则通常用三垂线定理法求二面角的大小。

例2.(山东卷理) 如图,在直四棱柱ABCD-A 1B 1C 1D 1中,底面ABCD 为等腰梯形,AB//CD,AB=4, BC=CD=2, AA 1=2, E 、E 1、F 分别就是棱AD 、AA 1、AB 的中点。

(1)证明:直线EE 1//平面FCC 1; (2)求二面角B-FC 1-C 的余弦值。 练习2(天津)如图,在四棱锥ABCD P -

中,底面ABCD 就是矩形.

已知ο

60,22,2,2,3=∠====PAB PD PA AD AB .

(Ⅰ)证明⊥AD 平面PAB ; (Ⅱ)求异面直线PC 与AD 所成的角的大小; (Ⅲ)求二面角A BD P --的大小.

三.补棱法

本法就是针对在解构成二面角的两个半平面没有明确交线的求二面角题目时,要将两平面的图形补充完整,使之有明确的交线(称为补棱),然后借助前述的定义法与三垂线法解题。即当二平面没有明确的交线时,一般用补棱法解决

例3(湖南)如图所示,四棱锥P -ABCD 的底面ABCD 就是边长为1的菱形,∠BCD ＝60°,E 就是CD

的中点,P A ⊥底面ABCD ,P A ＝2、

(Ⅰ)证明:平面PBE ⊥平面P AB ;

(Ⅱ)求平面P AD 与平面PBE 所成二面角(锐角)的大小、

练习3已知斜三棱柱ABC —A 1B 1C 1的棱长都就是a,侧棱与底面成600的角,侧面BCC 1B 1⊥底面ABC 。

(1)求证:AC 1⊥BC;

(2)求平面AB 1C 1与平面 ABC 所成的二面角(锐角)的大小。 四、射影面积法(cos s S

q

=

射影)

凡二面角的图形中含有可求原图形面积与该图形在另一个半平面上的射影图形面积的都可利用射影面积公式(cos 斜

射S S =

θ

)求出二面角的大小。

例4.(北京理)如图,在三棱锥P ABC -中,

2AC BC ==,90ACB ∠=o ,

AP BP AB ==,PC AC ⊥. (Ⅰ)求证:PC AB ⊥;

(Ⅱ)求二面角B AP C --的大小;

练习4: 如图5,E 为正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱CC 1的中点,求平面AB 1E 与底面A 1B 1C 1D 1所成锐角的余弦值、

五、向量法

向量法解立体几何中就是一种十分简捷的也就是非常传统的解法,可以说所有的立体几何题都可以用向量法求解,用向量法解立体几何题时,通常要建立空间直角坐标系,写出各点的坐标,然后将几何图中的线段写成用坐标法表示的向量,进行向量计算解题。 例4:(天津卷理)如图,在五面体ABCDEF 中,FA

⊥平面ABCD, AD//BC//FE,AB ⊥AD,M 为EC 的

A

B

C

E

D P A

C B P

E A

B

C F

E A B C

D D A

D B C

E D B

C A 图

中点,AF=AB=BC=FE=1 2

AD

(I) 求异面直线BF与DE所成的角的大小;(II) 证明平面AMD⊥平面CDE;

求二面角A-CD-E的余弦值。

练习5、(湖北)如图,在直三棱柱

111

ABC A B C

-中,平面ABC⊥侧面

11

A ABB、

(Ⅰ)求证:AB BC

⊥;

(Ⅱ)若直线AC与平面1A BC所成的角为θ,二面角1A BC A

--的大小为ϕ,试判断θ与ϕ

的大小关系,并予以证明、

二面角大小的求法的归类分析

一、定义法:直接在二面角的棱上取一点(特殊点),分别在两个半平面内作棱的垂线,得出平面角,用定义法时,要认真观察图形的特性;

例1 在四棱锥P-ABCD中,ABCD就是正方形,PA⊥平面ABCD,PA=AB=a,求二面角B-PC—-D的大小。

二、三垂线法:已知二面角其中一个面内一点到一个面的垂线,用三垂线定理或逆定理作出二面角的平面角; 例 2 在四棱锥P-ABCD中,ABCD就是平行四边形,PA⊥平面ABCD,PA=AB=a,∠ABC=30°,求二面角

P-BC-A的大小。

三、垂面法:已知二面角内一点到两个面的垂线时,过两垂线作平面与两个半平面的交线所成的角即

为平面角,由此可知,二面角的平面角所在的平面与棱垂直;

例3 在四棱锥P-ABCD中,ABCD就是正方形,PA⊥平面ABCD,PA=AB=a,求B-PC-D的大小。

四、射影面积法(

cos

s

S

q=射影)

凡二面角的图形中含有可求原图形面积与该图形在另一个半平面上的射影图形面积的都可利用射影面

积公式(cos

斜

射

S

S

=

θ)求出二面角的大小,其中θ为平面角的大小,此方法不必在图形中画出平面角;

例4在四棱锥P-ABCD中,ABCD为正方形,PA⊥平面ABCD,PA＝AB＝a,求平面PBA与平面PDC所成二面角的大小。

五、补棱法:对于一类没有给出棱的二面角,应先延伸两个半平面,使之相交出现棱,然后再选用上述方法(尤其要考虑射影法)。

例5、在四棱锥P-ABCD中,ABCD为正方形,PA⊥平面ABCD,PA＝AB＝a,求平面PBA与平面PDC所成二面角

的大小。(补形化为定义法)

六、向量法:向量法解立体几何中就是一种十分简捷的也就是非常传统的解法,可以说所有的立体几何题都可以用向量法求解,用向量法解立体几何题时,通常要建立空间直角坐标系,写出各点的坐标,然后将几何图中的线段写成用坐标法表示的向量,进行向量计算解题。

例6、(湖北)如图,在直三棱柱

111

ABC A B C

-中,平面ABC⊥侧面

11

A ABB、

(Ⅰ)求证:AB BC

⊥;

(Ⅱ)若直线AC与平面1A BC所成的角为θ,二面角1A BC A

--的大小为ϕ,试判断θ与ϕ的大小

关系,并予以证明、

由此可见,二面角的类型与求法可用框图展现如下:

二面角大小的求法答案

p

A

C

D

L

H

j A

B C

D

P

H

j A

B C

D

P

H

l

A

C

D

P