谱聚类Clustering -
SpectralClustering（谱聚类
SpectralClustering（谱聚类Spectral ClusteringSpectral Clustering（谱聚类）是一种基于图论的聚类方法，它能够识别任意形状的样本空间且收敛于全局最有解，其基本思想是利用样本数据的相似矩阵进行特征分解后得到的特征向量进行聚类，可见，它与样本feature无关而只与样本个数有关。
一、图的划分图划分的目的是将有权无向图划分为两个或以上子图，使得子图规模差不多而割边权重之和最小。
图的划分可以看做是有约束的最优化问题，它的目的是看怎么把每个点划分到某个子图中，比较不幸的是当你选择各种目标函数后发现该优化问题往往是NP-hard的。
怎么解决这个问题呢？松弛方法往往是一种利器（比如SVM中的松弛变量），对于图的划分可以认为能够将某个点的一部分划分在子图1中，另一部分划分在子图2中，而不是非此即彼，使用松弛方法的目的是将组合优化问题转化为数值优化问题，从而可以在多项式时间内解决之，最后在还原划分时可以通过阈值来还原，或者使用类似K-Means这样的方法，之后会有相关说明。
二、相关定义1、用表示无向图，其中和分别为其顶点集和边集；2、说某条边属于某个子图是指该边的两个顶点都包含在子图中；3、假设边的两个不同端点为和，则该边的权重用表示，对于无向无环图有且，为方便以下的“图”都指无向无环图；4、对于图的某种划分方案的定义为：所有两端点不在同一子图中的边的权重之和，它可以被看成该划分方案的损失函数，希望这种损失越小越好，本文以二分无向图为例，假设原无向图被划分为和，那么有：三、Laplacian矩阵假设无向图被划分为和两个子图，该图的顶点数为：，用表示维指示向量，表明该划分方案，每个分量定义如下：于是有：又因为：其中，为对角矩阵，对角线元素为：为权重矩阵：且。
重新定义一个对称矩阵，它便是Laplacian矩阵：矩阵元素为：进一步观察：如果所有权重值都为非负，那么就有，这说明Laplacian矩阵是半正定矩阵；而当无向图为连通图时有特征值0且对应特征向量为，这反映了，如果将无向图划分成两个子图，一个为其本身，另一个为空时，为0(当然，这种划分是没有意义的)。
谱聚类算法评估
谱聚类算法评估
谱聚类（Spectral Clustering）算法是一种基于图论和矩阵计算的聚类算法，不仅可以用于聚类分析，还可以用于图像分割、模式识别等领域。
其基本思想是将数据样本间的相似性转化成图论问题，再将其转化为代数问题来实现聚类。
聚类算法评估指标主要包括准确率、召回率、F值等。
其中准确率是指分类正确的样本数占样本总数的比例，召回率是指分类正确的样本数占该类别总数的比例，F值是综合了准确率和召回率的度量标准，它是准确率和召回率的加权调和平均数。
在谱聚类算法中，由于数据通常是经过降维处理的，因此需要通过调整降维参数来获得最佳的聚类效果。
在调整参数时，需要同时考虑聚类效果和算法的计算复杂度等因素。
在实际应用中，除了考虑聚类算法的性能指标，还需要考虑算法的效率、可扩展性和稳定性等因素。
算法的效率指算法在数据量很大时能否保证较快的运行速度；可扩展性指算法能否处理大规模的数据样本；稳定性指算法在处理数据时是否稳定、可靠。
因此，算法的效率、可扩展性和稳定性等因素也是评估谱聚类算法的重要指标。
在实际应用中，如何选择适当的谱聚类算法和参数调节，需要结合数据的特点和实际应用需求综合考虑，选择最佳的算法和参数，以达到较好的聚类效果和算法时间复杂度的平衡。
总之，谱聚类算法的评估需要综合考虑聚类算法的性能、效率、可扩展性和稳定性等因素，通过调整参数、选择合适的算法来达到最佳的聚类效果和算法时间复杂度的平衡。
谱聚类方法
谱聚类方法一、谱聚类的基本原理谱聚类（Spectral Clustering）是一种基于图论的聚类方法，通过研究样本数据的图形结构来进行聚类。
谱聚类方法的基本原理是将高维数据转换为低维数据，然后在低维空间中进行聚类。
它利用样本之间的相似性或距离信息，构建一个图模型（通常是相似度图或距离图），然后对图模型进行谱分解，得到一系列特征向量，最后在特征向量空间中进行聚类。
谱聚类的核心步骤是构建图模型和进行谱分解。
在构建图模型时，通常采用相似度矩阵或距离矩阵来表示样本之间的联系。
在谱分解时，通过对图模型的拉普拉斯矩阵进行特征分解，得到一系列特征向量，这些特征向量表示了样本数据的低维空间结构。
通过对特征向量空间进行聚类，可以将高维数据分为若干个类别。
二、谱聚类的优缺点1.优点（1）适用于高维数据：谱聚类方法能够有效地处理高维数据，因为它的核心步骤是将高维数据转换为低维数据，然后在低维空间中进行聚类。
这有助于克服高维数据带来的挑战。
（2）对噪声和异常值具有较强的鲁棒性：谱聚类方法在构建图模型时，会考虑到样本之间的相似性和距离信息，从而在一定程度上抑制了噪声和异常值的影响。
（3）适用于任意形状的聚类：谱聚类方法可以适用于任意形状的聚类，因为它的聚类结果是基于特征向量空间的，而特征向量空间可以捕捉到样本数据的全局结构。
2.缺点（1）计算复杂度高：谱聚类的计算复杂度相对较高。
构建图模型和进行谱分解都需要大量的计算。
在大规模数据集上，谱聚类的计算效率可能会成为问题。
（2）对相似度矩阵或距离矩阵的敏感性：谱聚类的结果会受到相似度矩阵或距离矩阵的影响。
如果相似度矩阵或距离矩阵不合理或不准确，可能会导致聚类结果不理想。
（3）对参数的敏感性：谱聚类的结果会受到参数的影响，如相似度度量方式、距离度量方式、图模型的构建方式等。
如果参数选择不当，可能会导致聚类效果不佳。
三、谱聚类的应用场景1.图像分割：谱聚类方法可以应用于图像分割，将图像中的像素点分为若干个类别，从而实现对图像的分割。
谱聚类（Spectralclustering）（2）：NCut
谱聚类（Spectralclustering）（2）：NCut作者：桂。
时间：2017-04-13 21:19:41声明：欢迎被转载，不过记得注明出处哦~前⾔本⽂为谱聚类的第⼆篇，主要梳理NCut算法，关于谱聚类的更多细节信息，可以参考之前的博⽂： 1） 2）内容主要参考，更多细节可以参考该作者博⽂，本⽂最后给出代码实现，全⽂包括： 1）NCut原理 2）NCut算法实现⼀、NCut原理 Ncut切图和RatioCut切图很类似，但是把Ratiocut的分母|Ai|换成vol(A_i)，由于⼦图样本的个数多并不⼀定权重就⼤，我们切图时基于权重也更合我们的⽬标，因此⼀般来说Ncut切图优于RatioCut切图。
vol(A): = \sum\limits_{i \in A}d_i对应的，Ncut切图对指⽰向量h做了改进。
注意到RatioCut切图的指⽰向量使⽤的是\frac{1}{\sqrt{|A_j|}}标⽰样本归属，⽽Ncut切图使⽤了⼦图权重\frac{1}{\sqrt{vol(A_j)}}来标⽰指⽰向量h，定义如下:那么我们对于h_i^TLh_i有：推导⽅式和RatioCut完全⼀致。
也就是说，我们的优化⽬标仍然是但是此时我们的H^TH \neq I⽽是H^TDH = I，推导如下：也就是说，此时我们的优化⽬标最终为：这个就是泛化瑞利熵的求解问题，。
这⾥再次给出细节分析。
令H = D^{-1/2}F，则优化⽬标转化为：⾄此已经完成了NCut的理论。
画蛇添⾜⼀下吧，注意到：事实上，连拉普拉斯矩阵都懒得构造了。
⼆、NCut算法实现⾸先给出算法步骤：步骤⼀：求解邻接矩阵W和度矩阵D步骤⼆：对{D^{ - \frac{1}{2}}}W{D^{ - \frac{1}{2}}}进⾏特征值分解，并取K个最⼤特征值对应的特征向量（K为类别数⽬）步骤三：将求解的K个特征向量（并分别归⼀化），构成新的矩阵，对该矩阵进⾏Kmeans处理Kmeans得到的类别标签，就是原数据的类别标签，⾄此完成NCut聚类。
谱聚类算法
其中： assoc(A k , V )
i
Ak ,j V
w ij
Melia 指出Ncut 和MNcut 的差异之处仅在于所使用的 谱映射不同, 并且当k= 2 时, MNcut 与Ncut 等价。多路规 范割集准则在实际应用中合理有效, 但其优化问题通常难以 解决。
相似矩阵、度矩阵及Laplacian 矩阵
cut(A ,B )
i ,
w ij Aj B
通过最小化上述剪切值来划分图G, 这一划分准则被称 为最小割集准则。他们用这个准则对一些图像进行分割, 并 产生了较好的效果, 同时他们也注意到, 该准则容易出现歪 斜( 即偏向小区域) 分割。规范割集准则及比例割集准则均 可避免这种情况的发生。
谱聚类算法
根据不同的准则函数及谱映射方法, 谱聚类算法发展了很多
不同的具体实现方法, 但是都可以归纳为下面三个主要步骤 :
构建表示样本集的矩阵Z; 通过计算Z 的前k 个特征值与特征向量, 构建特征向量空间; 利用k-means 或其它经典聚类算法对特征向量空间中的特征向 量进行聚类。 上述步骤是谱聚类算法的一个框架, 在具体实现过程中,不同 的算法在数据集矩阵Z 的表示上存在着不同。例如根据2 way cut 的目标函数, Z= W; 根据随机游动关系, 则Z=D- 1W 等。划分准则一 般分为2 way 和k way, 本文根据所使用的划分准则, 将算法分为迭 代谱和多路谱两类, 并分别讨论了各类中典型的谱聚类算法。
可以看出Avcut 和Ncut 函数都表示无向图G 中边界损
失与分割区域相关性的比值之和, 因此最小化Avcut 与Ncut 目标函数都能产生较准确的划分。其共同缺点是倾向于欠 分割且易分割出只包含几个顶点的较小子图。文献通过实 验发现, 当把Normalized cut 和Average cut 准则分别用于同
谱聚类基本概念
谱聚类基本概念谱聚类（spectral clustering）是一种经典的无监督学习算法，用于将数据集分成若干个不相交的子集或簇。
它借助于数据集的相似性矩阵或图结构进行聚类。
谱聚类的基本概念包括以下几点：1. 相似性矩阵：相似性矩阵用于表示数据样本之间的相似程度。
它可以是一个对称的矩阵，矩阵的元素表示样本之间的相似度或距离。
2. 图拉普拉斯算子：图拉普拉斯算子是图结构中的一种特殊矩阵，用于表示图的拓扑结构。
它将相似性矩阵进行规范化，得到一个对称的拉普拉斯矩阵。
3. 特征值分解：通过对图拉普拉斯矩阵进行特征值分解，可以得到一组特征值和对应的特征向量。
这些特征向量可以用于表示样本在新的低维空间中的投影。
4. 谱聚类过程：谱聚类的过程主要包括以下几步：计算相似性矩阵，构造图拉普拉斯矩阵，对图拉普拉斯矩阵进行特征值分解，选择特征值对应的特征向量，对特征向量进行聚类。
总的来说，谱聚类通过图论的方法，将样本投影到低维空间，并利用聚类算法进行聚类，从而实现数据集的聚类分析。
它可以处理非线性、非凸以及具有复杂结构的数据。
当进行谱聚类时，可以根据需要采用不同的相似度度量方法，比如欧氏距离、余弦相似度等。
具体的相似性度量方式取决于数据的特征和聚类的目标。
另外，在特征值分解时，通常选择特征值较小的前k个特征向量作为投影空间的基，这样可以将数据映射到一个低维空间。
通过对这些特征向量进行聚类，可以得到最终的聚类结果。
需要注意的是，谱聚类算法在大数据集上的计算量较大，因为它涉及到计算相似性矩阵和特征值分解等操作。
为了提高算法的效率，可以通过一些近似计算方法来加速计算，比如使用局部近似算法（Local Approximation Algorithm）或随机近似算法（Randomized Approximation Algorithm）。
总的来说，谱聚类是一种基于图论和线性代数的聚类方法，通过将数据映射到低维空间并进行聚类分析，可以有效地处理复杂的数据结构。
谱聚类与社区划分
谱聚类(Spectral Clustering)
RatioCut ：
谱聚类(Spectral Clustering)
RatioCut ：
谱聚类(Spectral Clustering)
Normalized Cut ：
谱聚类(Spectral Clustering)
Normalized Cut ：
谱聚类与社区划分
谱聚类(Spectral Clustering)
谱聚类(Spectral Clustering, SC)是一种基于图论的聚类方法：将带权无向 图划分为两个或两个以上的最优子图，使子图内部尽量相似，而子图间距 离尽量距离较远，以达到常见的聚类的目的。
谱聚类(Spectral Clustering)
谱聚类(Spectral Clustering)
谱聚类(Spectral Clustering)
小结：
针对以上两种图分割方法，谱聚类算法的步骤如下：
Step1：将每个样本看做图的顶点，构造无向加权图；
Step2：计算图的邻接矩阵W和拉普拉斯矩阵L； Step3：根据图的分割准则计算拉普拉斯矩阵的前k个特征向量； Step4：将拉普拉斯矩阵的前k个特征向量构成矩阵Y，把Y的每一行看 对Y进行聚类。 做一个样本，然后用k-means方法
其中的最优是指最优目标函数不同（例如）：
1.Smallest cut：割边最小分割
2.Best cut：分割规模差不多且割边最小 的分割
这样，谱聚类能够识别任意形状的样本空间且收敛于全局最优解，其基本思想是利用样本数据的相似矩阵 (拉普拉斯矩阵)进行特征分解后得到的特征向量进行聚类。
谱聚类(Spectral Clustering)
谱聚类算法
谱聚类（Spectral Clustering）是一种常用的机器学习非监督学习算法，它可以将数据集进行非均匀划分，自动检测出数据集之间的联系，形成聚类，来支持分类和聚类任务。
谱聚类算法利用图分割技术进行数据集划分，其前提是，一个具有相似关系的数据集可以被抽象成一个图结构，它由节点（node）和边（edge）组成。
这种图将相似的节点连接起来，形成相关性的网络，这就是谱聚类的基本原理。
在谱聚类算法中，我们首先需要将数据集抽象为图结构，有了图后，会根据一些度量（局部密度、连接强度、等等）将其划分为一些小子集，再根据邻域性确定子集的内部结构和边界，从而将图分成若干聚类。
谱聚类的优势在于它可以实现非均匀的聚类，可以根据数据集的特征自动聚类，它不仅可以将数据集划分成几个大的聚类，还可以自动检测出数据集之间更复杂的联系，从而形成聚类。
此外，谱聚类算法还可以处理高维数据，它能够捕捉数据集中所有数据之间的复杂关系，从而实现更好的聚类。
综上所述，谱聚类算法是一种有效的机器学习非监督学习算法，它可以自动检测出数据之间的关系，进行非均匀的聚类，为聚类和分类任务提供有力的支持，是机器学习算法领域的重要研究成果。
聚类分割算法
聚类分割算法聚类分割算法是一类常用于将数据集划分成具有相似特征的子集的方法。
这些算法主要用于无监督学习，即在没有先验标签的情况下，自动发现数据集内在的模式。
以下是一些常见的聚类分割算法：1. K均值聚类（K-Means Clustering）：- K均值是最常见的聚类算法之一。
它将数据集分为K个簇，每个簇由其质心表示。
算法的目标是使每个数据点到其所属簇的质心的距离最小化。
2. 层次聚类（Hierarchical Clustering）：-层次聚类根据数据点之间的相似性构建树状结构。
可以通过聚合或分割来创建簇。
分为凝聚式层次聚类（自底向上）和分裂式层次聚类（自顶向下）。
3. DBSCAN（Density-Based Spatial Clustering of Applications with Noise）：- DBSCAN基于密度的聚类算法，能够发现具有足够密度的区域，并将稀疏区域视为噪声。
它不需要预先指定簇的数量。
4. Mean Shift聚类：- Mean Shift是一种基于梯度上升的聚类算法。
它通过不断迭代调整数据点的位置，使其移向密度最大的区域，从而找到簇的中心。
5. OPTICS（Ordering Points To Identify the Clustering Structure）：- OPTICS是一种基于密度的聚类算法，类似于DBSCAN，但允许在数据集中存在不同密度的区域，并通过产生一系列密度相关的点来表示簇。
6. 谱聚类（Spectral Clustering）：-谱聚类利用数据集的谱信息，通过将数据投影到低维子空间来执行聚类。
它在处理非凸形状的簇和图分割问题时效果较好。
7. 模糊聚类（Fuzzy Clustering）：-模糊聚类考虑了数据点与簇的隶属度，而不是将每个数据点硬性地分配到一个簇。
模糊c均值（FCM）是模糊聚类的一个典型算法。
这只是聚类分割算法的一小部分，每个算法都有其适用的场景和限制。
主题聚类算法
主题聚类算法主题聚类算法是一类用于将文本数据按照主题或话题进行分组的算法。
这些算法旨在通过分析文本中的词汇、语法和语境等特征，自动将文档划分为不同的主题群组。
以下是一些常见的主题聚类算法：1. K均值聚类（K-Means Clustering）：这是一种常见的聚类算法，通过将数据点分配到 k 个簇中，使得每个数据点到其簇中心的距离最小化。
在文本聚类中，数据点可以是文档，而簇则对应于主题。
2. 层次聚类（Hierarchical Clustering）：这种算法构建一个层次结构的簇，通过逐步合并或分裂簇，直到达到某个停止条件。
这样的方法可以形成一个层次树，使得用户可以根据需要选择不同层次的聚类结果。
3. 谱聚类（Spectral Clustering）：这种方法通过利用数据的谱结构来进行聚类。
在文本聚类中，可以使用文本数据的词汇共现矩阵或 TF-IDF 矩阵，然后应用谱聚类算法来识别主题。
4. LDA（Latent Dirichlet Allocation）： LDA 是一种概率主题模型，被广泛应用于文本数据的主题建模。
它假设每个文档是由多个主题混合而成的，每个主题又由多个词汇组成。
LDA 通过迭代推断来发现文档和主题之间的关系。
5. DBSCAN（Density-Based Spatial Clustering of Applications with Noise）： DBSCAN 是一种基于密度的聚类算法，不仅可以处理球状簇，还可以发现任意形状的簇。
在文本聚类中，可以使用文本向量的密度信息来进行聚类。
6. NMF（Non-Negative Matrix Factorization）： NMF 是一种矩阵分解方法，它可以应用于文本数据的主题建模。
NMF 假设文档矩阵是由两个非负矩阵的乘积组成，这两个矩阵分别对应于文档和主题。
这些算法可以根据具体任务的需求和数据特点来选择。
在实际应用中，通常需要根据数据的特点进行调参和优化。
谱聚类算法讲解ppt课件
sij xi KNN ( x j ) and x j KNN ( xi )
10
Spectral Clustering 谱聚类
谱聚类基础一：图-邻接矩阵
（3）全连接法：
通过核函数定义边权重，常用的有多项式核函数，
高斯核函数和Sigmoid核函数。使用高斯核函数构建邻接
1 1
Rcut(G1 , G2 ) Cut (G1 , G2 )
n1 n2
n1、n 2划分到子图1和子图2的顶点个数
Rcut (G1 , G2 )
1 1
w
ij
n2
iG1 , jG2 n1
(n1 n2 ) 2
wij
量的相似矩阵S
邻接矩阵W。
6
Spectral Clustering 谱聚类
谱聚类基础一：图-邻接矩阵
构建邻接矩阵 W 主要有三种方法 ：
•
-近邻法
•
K近邻法
• 全连接法
7
Spectral Clustering 谱聚类
谱聚类基础一：图-邻接矩阵
（1） -近邻法：
设置一个距离阈值
，然后用欧式距离
2
27
Spectral Clustering 谱聚类
(2) Ratio Cut
令
qi
二分类：
n1
n2 n
n2
n1n
i G1
= 1
i G2
Rcut (G1 , G2 )
w q q
2
iG1 , jG2
聚类方法综述
1. 谱聚类给你博客园上若干个博客，让你将它们分成K类，你会怎样做？想必有很多方法，本文要介绍的是其中的一种——谱聚类。
聚类的直观解释是根据样本间相似度，将它们分成不同组。
谱聚类的思想是将样本看作顶点，样本间的相似度看作带权的边，从而将聚类问题转为图分割问题：找到一种图分割的方法使得连接不同组的边的权重尽可能低（这意味着组间相似度要尽可能低），组内的边的权重尽可能高（这意味着组内相似度要尽可能高）。
将上面的例子代入就是将每一个博客当作图上的一个顶点，然后根据相似度将这些顶点连起来，最后进行分割。
分割后还连在一起的顶点就是同一类了。
更具体的例子如下图所示：在上图中，一共有6个顶点（博客），顶点之间的连线表示两个顶点的相似度，现在要将这图分成两半（两个类），要怎样分割（去掉哪边条）？根据谱聚类的思想，应该去掉的边是用虚线表示的那条。
最后，剩下的两半就分别对应两个类了。
根据这个思想，可以得到unnormalized谱聚类和normalized谱聚类，由于前者比后者简单，所以本文介绍unnormalized谱聚类的几个步骤（假设要分K个类）：(a)建立similarity graph，并用W 表示similarity graph的带权邻接矩阵(b)计算unnormalized graph Laplacian matrix L(L = D - W, 其中D是degree matrix)(c)计算L的前K个最小的特征向量(d)把这k个特征向量排列在一起组成一个N*k的矩阵，将其中每一行看作k维空间中的一个向量，并使用K-means 算法进行聚类2. 算法原理解析这一节主要从大体上解释unnormalized谱聚类的四个步骤是怎么来的，不涉及具体的公式推导。
(a)谱聚类的思想就是要转化为图分割问题。
因此，第一步就是将原问题转化为图。
转为图有两个问题要解决：一是两个顶点的边要怎样定义；二是要保留哪些边。
对于第一个问题，如果两个点在一定程度上相似，就在两个点之间添加一条边。
谱聚类算法
基本理论：
图划分准则：
谱聚类算法的思想来源于谱图划分理论 。假定将每个 数据样本看作图中的顶点V, 根据样本间的相似度将顶点间 的边E赋权重值W, 这样就得到一个基于样本相似度的无向 加权图G= (V, E) 。那么在图G 中, 就可将聚类问题转化为在 图G 上的图划分问题。基于图论的最优划分准则就是使划 分成的两个子图内部相似度最大, 子图之间的相似度最小。
如何处理特征向量: 在应用谱方法进行聚类问题的研究中, 用多 少个特征向量进行聚类, 如何选取、计算及使用这些特征向量
等问题均没有得到很好的理论解释, 这些都是未来急需解决的
问题。 如何自动确定聚类数目: 聚类数目的多少直接影响聚类的质量。
如何选取Laplacian 矩阵: 谱聚类算法所使用的Laplacian 矩阵有
或任意其它经典算法, 得到k 个聚类; 将数据点
y i划分到聚类j 中, 当且仅当Y 的第i行被划分到聚类j 中。
小结：
针对图谱的不同划分规则，都有相应的算法如PF、SM、 SLH、Mcut、NJW、MS算法，比较如下：
难点分析
如何构造相似矩阵W: 谱聚类算法中相似矩阵W的构由于尺度参
数R是人为选取的, 使得该函数带有一定的局限性。
Kannan 将该算法与SM 算法、KVV 算法进行了比较, 发现
Mcut 算法能够产生更加平衡的划分结果, 尤其当类间重叠较大时, 效果更为明显。
多路谱聚类算法
NJW 算法 Ng, Jordan 等人选取拉氏矩阵
Lsym的前k 个最大特征值对应的特征
向量, 使其在 R k 空间中构成与原数据一一对应的表述, 然后在 R k 空间中
x T (D W ) x y T (D W ) y x TWx y TWy
clustering 的分类 -回复
clustering 的分类-回复什么是聚类分析？聚类分析是一种无监督学习方法，主要用于将数据集中的对象划分为不同的组别或簇。
在聚类分析中，相似的对象被归类到同一个簇中，而不同的簇之间应尽可能地不相似。
聚类分析在许多领域中都有广泛的应用，如数据挖掘、生物信息学、市场营销等。
聚类分析的步骤聚类分析通常包含以下几个步骤：1. 数据准备：收集所需的数据，并进行预处理。
预处理包括数据清洗、特征选择、数据缩放等。
这些步骤旨在使数据集合适用于聚类分析。
2. 选择合适的聚类算法：根据数据的性质和应用的需求，选择适合的聚类算法。
常见的聚类算法包括K均值聚类、层次聚类、DBSCAN等。
3. 确定聚类数目：根据应用需求和领域知识，确定需要将数据划分为多少个簇。
这一步可以通过可视化工具、聚类性能指标等方法来进行。
4. 计算距离或相似度：根据所选的聚类算法，计算数据对象之间的相似度或距离。
不同的聚类算法使用不同的距离度量方法，如欧氏距离、曼哈顿距离等。
5. 执行聚类：根据选择的聚类算法，将数据集划分为不同的簇。
在K均值聚类中，需要指定初始的聚类中心，而在层次聚类中，不需要预先指定聚类数目。
6. 评估聚类结果：评估聚类结果的好坏。
常用的评估指标包括轮廓系数、Davies-Bouldin指数、兰德指数等。
这些指标可以量化聚类结果的稳定性、紧密性和区分度。
7. 解释和应用聚类结果：根据聚类结果，进行解释和应用。
解释可以帮助我们理解数据集的特征和内在结构，而应用可以帮助我们做出进一步的决策。
常见的聚类算法1. K均值聚类：K均值聚类是最常用的聚类算法之一。
它将数据集划分为K个簇，每个簇由离其最近的均值向量代表。
2. 层次聚类：层次聚类将数据集看作一个层次结构，可以自顶向下或自底向上进行聚类。
自顶向下的方法将数据集分割成越来越小的簇，而自底向上的方法是将单个对象逐渐聚合成簇。
3. 密度聚类(DBSCAN)：DBSCAN根据数据点的密度来划分簇。
谱聚类算法(Spectral Clustering)原理分析
谱聚类算法(Spectral Clustering)谱聚类(Spectral Clustering, SC)是一种基于图论的聚类方法——将带权无向图划分为两个或两个以上的最优子图，使子图内部尽量相似，而子图间距离尽量距离较远，以达到常见的聚类的目的。
其中的最优是指最优目标函数不同，可以是割边最小分割——如图1的Smallest cut(如后文的Min cut)，也可以是分割规模差不多且割边最小的分割——如图1的Best cut(如后文的Normalized cut)。
图1 谱聚类无向图划分——Smallest cut和Best cut 这样，谱聚类能够识别任意形状的样本空间且收敛于全局最优解，其基本思想是利用样本数据的相似矩阵(拉普拉斯矩阵)进行特征分解后得到的特征向量进行聚类。
1 理论基础对于如下空间向量item-user matrix：如果要将item做聚类，常常想到k-means聚类方法，复杂度为o(tknm)，t为迭代次数，k为类的个数、n为item个数、m为空间向量特征数：1 如果M足够大呢？2 K的选取？3 类的假设是凸球形的？4 如果item是不同的实体呢？5 Kmeans无可避免的局部最优收敛？……这些都使常见的聚类问题变得相当复杂。
1.1 图的表示如果我们计算出item与item之间的相似度，便可以得到一个只有item的相似矩阵，进一步，将item看成了Graph(G)中Vertex(V)，歌曲之间的相似度看成G中的Edge(E)，这样便得到我们常见的图的概念。
对于图的表示(如图2)，常用的有：邻接矩阵：E，e ij表示v i和v i的边的权值，E为对称矩阵，对角线上元素为0，如图2-2。
Laplacian矩阵：L = D – E，其中d i (行或列元素的和)，如图2-3。
图2 图的表示1.2 特征值与L矩阵先考虑一种最优化图像分割方法，以二分为例，将图cut为S和T两部分，等价于如下损失函数cut(S, T)，如公式1所示，即最小(砍掉的边的加权和)。
谱聚类详细入门级介绍
6
0.0 0.0 0.0 0.7 0.8 0.0
拉普拉斯矩阵L=D-W
1
2
3
4
5
6
1
1.5 0.0 0.0 0.0 0.0 0. 0
2
0.0 1.6 0.0 0.0 0.0 0.0
3
0.0 0.0 1.6 0.0 0.0 0.0
4
0.0 0.0 0.0 1.7 0.0 0.0
5
0.0 0.0 0.0 0.0 1.7 0.0
123456 1 1.5 0.0 0.0 0.0 0.0 0. 0 2 0.0 1.6 0.0 0.0 0.0 0.0 3 0.0 0.0 1.6 0.0 0.0 0.0 4 0.0 0.0 0.0 1.7 0.0 0.0 5 0.0 0.0 0.0 0.0 1.7 0.0 6 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 1.5
Ratio cut
Cu(G t 1,G2)n11
1 n2
Ncut
Cu(G t 1,G2)d11
1 d2
顶点数
权重和
1、同子图内所有点相似度高 2、不同子图的点相似度低
Minimum Cut、Ratio cut只考虑了1个要求
Ncut考虑了上面2个要求
Spectral Clustering 谱聚类 Unnormalized Spectral Clustering步骤
Spectral Clustering 谱聚类 Minimum Cut方法
0.7
2
7
0.6
0.6
1
0.3
3
0.2 0.2
ห้องสมุดไป่ตู้
5
0.
0.
8
8
谱聚类算法spectralclustering
4.2.1 基本k-means聚类算法
k-means聚类算法：
(1)从数据集D中任意选择k个对象作为初始簇中心； (2) repeat (3) for 数据集D中每个对象P do (4) 计算对象P到k个簇中心的距离 (5) 将对象P指派到与其最近(距离最短)的簇； (6) end for (7) 计算每个簇中对象的均值，做为新的簇的中心； (8) until k个簇的簇中心不再发生变化
K-means算法采用<k,mean>来表示一个簇
k-means聚类算法示例-1
例 4.1 对表4-1中二维数据，使用k-means算法将其划分为2个簇，
假设初始簇中心选为P7(4，5)，P10(5，5)。 表4-1 k-means聚类过程示例数据集1 P1 x y 3 4 P2 3 6 P3 7 3 P4 4 7 P5 3 8 P6 8 5 P7 4 5 P8 4 1 P9 7 4 P10 5 5
(a) 大小不同的簇
(b) 形状不同的簇
图4.3 基于质心的划分方法不能识别的数据
4.2.2 二分k-means算法
二分K-means算法是基本k-means算法的直接扩充，基于 如下想法：为了得到k个簇，将所有点的集合分裂成两个 簇，从中选择一个继续分裂，如此重复直到产生k个簇。 算法详细描述如下： 初始化簇表，使之包含由所有的点组成的簇。 Repeat 从簇表中选取一个簇。 { 对选定的簇进行多次二分“试验” } For i=1 to 试验次数 do 使用基于基本k-means，二分选定的簇 End for 从二分试验中选择具有最小总SSE的两个簇。 将这两个簇添加到簇表中 Until 簇表中包含k个簇
图4-2 k-means算法聚类过程示例
谱聚类（spectralclustering）原理总结
谱聚类（spectralclustering）原理总结 谱聚类（spectral clustering）是⼴泛使⽤的聚类算法，⽐起传统的K-Means算法，谱聚类对数据分布的适应性更强，聚类效果也很优秀，同时聚类的计算量也⼩很多，更加难能可贵的是实现起来也不复杂。
在处理实际的聚类问题时，个⼈认为谱聚类是应该⾸先考虑的⼏种算法之⼀。
下⾯我们就对谱聚类的算法原理做⼀个总结。
1. 谱聚类概述 谱聚类是从图论中演化出来的算法，后来在聚类中得到了⼴泛的应⽤。
它的主要思想是把所有的数据看做空间中的点，这些点之间可以⽤边连接起来。
距离较远的两个点之间的边权重值较低，⽽距离较近的两个点之间的边权重值较⾼，通过对所有数据点组成的图进⾏切图，让切图后不同的⼦图间边权重和尽可能的低，⽽⼦图内的边权重和尽可能的⾼，从⽽达到聚类的⽬的。
乍⼀看，这个算法原理的确简单，但是要完全理解这个算法的话，需要对图论中的⽆向图，线性代数和矩阵分析都有⼀定的了解。
下⾯我们就从这些需要的基础知识开始，⼀步步学习谱聚类。
2. 谱聚类基础之⼀：⽆向权重图 由于谱聚类是基于图论的，因此我们⾸先温习下图的概念。
对于⼀个图G，我们⼀般⽤点的集合V和边的集合E来描述。
即为G(V,E)。
其中V即为我们数据集⾥⾯所有的点(v_1, v_2,...v_n)。
对于V中的任意两个点，可以有边连接，也可以没有边连接。
我们定义权重w_{ij}为点v_i和点v_j之间的权重。
由于我们是⽆向图，所以w_{ij} = w_{ji}。
对于有边连接的两个点v_i和v_j，w_{ij} > 0,对于没有边连接的两个点v_i和v_j，w_{ij} = 0。
对于图中的任意⼀个点v_i，它的度d_i定义为和它相连的所有边的权重之和，即d_i = \sum\limits_{j=1}^{n}w_{ij} 利⽤每个点度的定义，我们可以得到⼀个nxn的度矩阵D,它是⼀个对⾓矩阵，只有主对⾓线有值，对应第i⾏的第i个点的度数，定义如下：\mathbf{D} = \left( \begin{array}{ccc} d_1 & \ldots & \ldots \\ \ldots & d_2 & \ldots \\ \vdots & \vdots & \ddots \\ \ldots & \ldots & d_n\end{array} \right) 利⽤所有点之间的权重值，我们可以得到图的邻接矩阵W，它也是⼀个nxn的矩阵，第i⾏的第j个值对应我们的权重w_{ij}。
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聚类分析1.聚类分析定义：2.聚类方法：3.谱聚类：3.1 常见矩阵变换3.2 谱聚类流程3.3 谱聚类理论前提、证明3.4 图像分割实例结果4.总结：聚类分析：•聚类分析（Cluster analysis，亦称为群集分析）是对于静态数据分析的一门技术，在许多领域受到广泛应用，包括机器学习，数据挖掘，模式识别，图像分析以及生物信息。
算法分类：•数据聚类算法可以分为结构性或者分散性。
•结构性算法以前成功使用过的聚类器进行分类。
结构性算法可以从上至下或者从下至上双向进行计算。
从下至上算法从每个对象作为单独分类开始，不断融合其中相近的对象。
而从上至下算法则是把所有对象作为一个整体分类，然后逐渐分小。
•分散型算法是一次确定所有分类。
K-均值法及衍生算法。
•谱聚类（spectral clustering）结构型：层次聚类的一个例子：分散型：K-均值算法：分散型k-means 及其衍生算法的比较：K-means K-MedoidsK-Means算法：1. 将数据分为k个非空子集2. 计算每个类中心点（k-means<centroid>中心点是所有点的average），记为seed point3. 将每个object聚类到最近seed point4. 返回2，当聚类结果不再变化的时候stop K-Medoids算法：1.任意选取K个对象作为medoids(O1,O2,…Oi…Ok）。
2.将余下的对象分到各个类中去（根据与medoid最相近的原则);3.对于每个类（Oi）中，顺序选取一个Or，计算用Or代替Oi后的消耗E（Or）。
选择E最小的那个Or来代替Oi。
转到2。
4.这样循环直到K个medoids固定下来。
这种算法对于脏数据和异常数据不敏感，但计算量显然要比K均值要大，一般只适合小数据量。
means无法解决。
而通过空间转换则可以解决)ρ=eαθρ=eα(θ−π)means无法解决。
而通过空间转换则可以解决)谱聚类算法流程：1.输入数据：d 1,d 2,,,d n ;2.计算相似度矩阵W n*n ，其元素W(i,j)为数据d i 与d j 的相似度。
(相似度计算的具体方法后面给出，同时，易知W 为对称矩阵)；3.计算矩阵D ，D 为对角矩阵，除对角元素外全为0，D 的对角元素D(j,j) = i=1n w i,j 。
D 的对角元素为W n∗n 对应列的所有元素之和。
4.计算矩阵L = D-W ；L 为拉普拉斯矩阵。
（不同的L 矩阵定义对应不同的聚类准则，如下文提到的L sym ≔D −12LD −12=I −D −12WD −12），同时，易知L 为对称矩阵谱聚类算法流程：5.求L的特征值并按照从小到大排列：γ1≤γ2≤⋯≤γn(对称矩阵有n个实值的特征值)。
6.对于K类聚类，选取前K个特征值所对应的特征向量，按列组成新的R = n*k维矩阵。
7.把矩阵R的每行元素作为新的数据（共n个，每个数据为k维），使用K-means聚类。
如果R的第i行元素被聚类到子类K j，那么原n个数据中的第i个数据属于子类j；谱聚类流程的具体说明：•下面主要介绍：1.相似度矩阵W n∗n 的计算；2.聚类的准则函数类型和定义；如：（其物理意义就是类A 与非A 类这两类之间的所有边的权值之和，当边值的大、小表示点之间的相关、不相关时，就是求一种分类A 和非A ，使得这个准则函数对应的值最小。
即类内相关、类间无关）。
3.准则函数RatioCut(A,A )的求解转换(将求解Ratiocut 的较难的图分割问题转化为求较简单的f 问题，即使得下方左侧最小的f 就是使得准则函数最小的分割，具体见后面讲解)。
A minRatioCut(A,A)=1/2 i∈A,j∈A W i,j获取数据计算W n∗n换k-means聚类小到大取前k个值、向量•输入4*6的图像image，则共计有4*6=24个像素点，其中包括图像的像素灰度值信息、像素的位置信息等。
•获取的图像数据中，24个像素包含灰度信息、RGB 颜色及位置信息。
•转化：•24个像素图中的点v i 。
i ∈1，2，，，，24；•像素与像素之间的信息图中点v i 与点v j 之间的边，所以可以用24*24的矩阵表示图中点v i 与点v j 之间的关系w ij 。
（w ij 表示图的邻接矩阵的第i 行第j列元素）获取数据计算W n∗n换k-means 聚类小到大取前k 个值、向量相似度矩阵计算•常见的转化方法：1.高斯距离：2.曼哈顿距离：3.欧式距离：（高斯距离：F为像素点灰度值，X为像素坐标，r为限定范围）获取数据计算W n∗n换k-means聚类小到大取前k个值、向量相似度矩阵计算•常见的转化方法：1.高斯距离：2.曼哈顿距离：3.欧式距离：像素的灰度值、位置越相近，则边值越大，相关性就越强。
获取数据计算W n∗n换k-means聚类小到大取前k个值、向量相似度矩阵计算曼哈顿距离和欧式距离区别于高斯距离，两点越相关距离越小。
越无关距离越大。
所以高斯距离准则函数求极小而曼哈都欧式距离求准则函数最大值。
具体见后面的准则函数定义。
•转化到图后：1.邻接矩阵W 24∗24；2.D 24∗24；（W 矩阵的i 列所有元素之和作为D 的（i,i ）元素，即D ii =j=124w ji ，实际上W 为对称的。
），D 的非对角元素全为0；placian 矩阵：L = D-W;4.3中的L 矩阵，是其中一种方法，还有其他的L 的定义，如：1.L sym ≔D −12LD−12=I −D −12WD −12；symmetric 矩阵，I 表示单位矩阵。
2.L rw ≔D −1LD 12=I −D −1W ；random walk 矩阵，I 表示单位矩阵。
获取数据计算W n∗n换k-means 聚类小到大取前k 个值、向量相似度矩阵计算•右图的一个W矩阵实例：acgbfde0.040.40.210.30.420.080.160.320.54获取数据计算W n∗n换k-means聚类小到大取前k个值、向量相似度矩阵计算a b c d e f ga100.040000b010.40.21000c0.040.4100.300d00.21010.420.080.54e000.30.42100.32f0000.08010.16g0000.540.320.161•准则函数1：•Min cut：图G分割为两类A，A A表示不属于A子图的点；•Min cut(A,A) = i∈A,j∈A w ijacgbfde0.040.40.210.30.420.080.160.320.54获取数据计算W n∗n换k-means聚类小到大取前k个值、向量图分割、准则函数及准则函数最小化问题转换Minacgbf d e0.040.40.210.30.420.080.160.320.54获取数据计算W n∗n换k-means 聚类小到大取前k 个值、向量图分割、准则函数及准则函数最小化问题转换•准则函数1：•Min cut ：图G 分割为两类A ，A A 表示不属于A 子图的点；•Min cut(A,A ) = i∈A,j∈A w ij Minacgb fde获取数据计算W n∗n换k-means 聚类小到大取前k 个值、向量图分割、准则函数及准则函数最小化问题转换min准则函数2：RatioCut(A,A )(|A i |表示子图A i 中的顶点个数)a c gb fd e 获取数据计算W n∗n 换k-means 聚类小到大取前k个值、向量图分割、准则函数及准则函数最小化问题转换准则函数2：RatioCut(A,A )(|A i |表示子图A i 中的顶点个数)min准则函数3：Ncut(A,A)其中，vol(A i)表示的是子图A i中的每个顶点上所有边的权值和。
获取数据计算W n∗n换k-means聚类小到大取前k个值、向量图分割、准则函数及准则函数最小化问题转换min•以准则函数2为例：对于含有7个顶点的图（见上前面的图，对于4*6的图像，则可以转为到24个点的图，图的边表示两个像素之间的相似度，故后面就以7个点的图为例），如果分为两类，那么：1.当一类只含有1个元素时有：C 71种可能。
（排列组合）2.当一类只含有2个元素是有：C 72种可能；3.、、、每一种情况对应一个准则函数的值准则函数最小时对应的分类就是聚类结果，但是在数据个数较大时，是个非线性时间复杂度问题，也就是NP 问题。
获取数据计算W n∗n 换k-means 聚类小到大取前k个值、向量图分割、准则函数及准则函数最小化问题转换min•为了求最好的分割将准则函数用另一种形式表示（即问题的转化）•对于前面得到的对称矩阵L ：这里对于任意f(f 1,f 2,,,f 7)成立。
(附录1)•如果把f 的每个元素分别对应到图的7点，那么，当第i 个顶点vi属于子图A 时，那么取f i 的值为|A|/|A|，否则顶点v i 就是属于A ，此时f i 取的值则为-|A|/|A|。
获取数据计算W n∗n 换k-means 聚类小到大取前k 个值、向量图分割、准则函数及准则函数最小化问题转换•例如：七个顶点的图分割共有C 71+C 72+⋯C 76种分割情况；•如果点a 、c 被分为一类其余点被分为另一类，则对应的f 设置为：•F(5/2,−25,5/2, −25, −25, −25, −25);其中（|A|/|A|= 5/2，-|A|/|A|= −25）•如果点a 、b 、d 被分为一类其余被分为另一类，则对应的f 为：•F(4/3,4/3,−34，4/3, −34，−34，−34);其中（|A|/|A|= 4/3，-|A|/|A|= −3/4）获取数据计算W n∗n 换k-means 聚类小到大取前k 个值、向量图分割、准则函数及准则函数最小化问题转换•为了求最好的分割将准则函数用另一种形式表示（即问题的转化）•这样，对于含有7个点的图分割问题，是个NP 问题，对于每种可能的分割，就对应着一个f(f 1,f 2,,,f 24)的值：即如果某个顶点v i 属于子图A ，那么我们就知道其对应的f i 值为|A|/|A|。
•反过来，每一个f 就对应着一个分割：若第i 个元素是|A|/|A|，那么我们就可以知道点v i 属于子图A ，如果是−A/|A|，那么点v i 就属于子图A 。
•其实，通过以上的步骤我们已经转换了问题；获取数据计算W n∗n 换k-means 聚类小到大取前k个值、向量图分割、准则函数及准则函数最小化问题转换•转换的原理在于：把f 带入下式：•也就是当f 的元素满足前面的约束时f T Lf 就是图分割的第二种准则函数，所以，求图分割的准则函数的最小值就转化为求f 的值，使得f T Lf 值最小。